أوجد معادلة لنقطتين. معادلات مختلفة للخط المستقيم

تعريف.يمكن إعطاء أي خط في المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

آه + وو + ج = 0 ،

والثوابت أ ، ب لا تساوي صفرًا في نفس الوقت. هذه المعادلة من الدرجة الأولى تسمى المعادلة العامة للخط المستقيم.اعتمادًا على قيم الثوابت A و B و C ، تكون الحالات الخاصة التالية ممكنة:

C \ u003d 0 ، A ≠ 0 ، B ≠ 0 - يمر الخط عبر الأصل

A \ u003d 0 ، B ≠ 0 ، C ≠ 0 (By + C \ u003d 0) - الخط موازٍ لمحور Ox

B \ u003d 0 ، A ≠ 0 ، C ≠ 0 (Ax + C \ u003d 0) - الخط موازٍ لمحور Oy

B \ u003d C \ u003d 0 ، A 0 - يتطابق الخط المستقيم مع محور Oy

A \ u003d C \ u003d 0 ، B 0 - يتطابق الخط المستقيم مع محور Ox

يمكن تقديم معادلة الخط المستقيم بأشكال مختلفة اعتمادًا على أي شروط أولية معينة.

معادلة الخط المستقيم بنقطة والمتجه العادي

تعريف.في نظام الإحداثيات المستطيل الديكارتي ، يكون المتجه ذو المكونات (أ ، ب) عموديًا على الخط المعطى بواسطة المعادلة Ax + By + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة أ (1 ، 2) المتعامد على (3 ، -1).

قرار. عند A = 3 و B = -1 ، نكوّن معادلة الخط المستقيم: 3x - y + C = 0. لإيجاد المعامل C ، نعوض بإحداثيات النقطة المعطاة A في التعبير الناتج. نحصل على: 3 - 2 + C = 0 ، لذلك C = -1. المجموع: المعادلة المطلوبة: 3 س - ص - 1 \ u003d 0.

معادلة خط يمر بنقطتين

دع النقطتين M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) و M 2 (x 2 ، y 2 ، z 2) تُعطى في الفراغ ، ثم معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر هذه النقاط:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا ، يجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر. على المستوى ، يتم تبسيط معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه:

إذا كانت x 1 ≠ x 2 و x = x 1 إذا كانت x 1 = x 2.

الكسر = k يسمى عامل الانحدارمباشرة.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين أ (1 ، 2) ، ب (3 ، 4).

قرار.بتطبيق الصيغة أعلاه نحصل على:

معادلة خط مستقيم من نقطة وميل

إذا كان مجموع Ax + Wu + C = 0 يؤدي إلى النموذج:

والمعين ، ثم يتم استدعاء المعادلة الناتجة معادلة الخط المستقيم بميلك.

معادلة الخط المستقيم مع متجه النقطة والاتجاه

بالتشابه مع الفقرة مع الأخذ في الاعتبار معادلة الخط المستقيم من خلال المتجه العادي ، يمكنك إدخال تعيين خط مستقيم من خلال نقطة ومتجه توجيه لخط مستقيم.

تعريف.كل متجه غير صفري (α 1 ، α 2) ، مكوناته التي تفي بالشرط A α 1 + B α 2 = 0 يسمى متجه التوجيه للخط

آه + وو + ج = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم مع متجه الاتجاه (1 ، -1) والمرور بالنقطة أ (1 ، 2).

قرار.سنبحث عن معادلة الخط المستقيم المطلوب بالشكل: Ax + By + C = 0. وفقًا للتعريف ، يجب أن تستوفي المعاملات الشروط:

1 * أ + (-1) * ب = 0 ، أي أ = ب.

ثم تكون معادلة الخط المستقيم بالشكل: Ax + Ay + C = 0 ، أو x + y + C / A = 0. بالنسبة إلى x = 1 ، y = 2 نحصل على C / A = -3 ، أي المعادلة المرغوبة:

معادلة خط مستقيم في مقاطع

إذا كانت المعادلة العامة للخط المستقيم Ah + Wu + C = 0 C ≠ 0 ، عند القسمة على –C ، نحصل على: أو

المعنى الهندسي للمعاملات هو أن المعامل أهو إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور السيني ، و ب- إحداثيات نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور Oy.

مثال.بالنظر إلى المعادلة العامة للخط x - y + 1 = 0. أوجد معادلة هذا الخط في المقاطع.

C \ u003d 1،، a \ u003d -1، b \ u003d 1.

المعادلة العادية للخط المستقيم

إذا تم ضرب طرفي المعادلة Ax + Vy + C = 0 في العدد ، من اتصل عامل التطبيع، ثم نحصل

xcosφ + ysinφ - ع = 0 -

المعادلة العادية للخط المستقيم. يجب اختيار علامة ± لعامل التطبيع بحيث μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

مثال. بالنظر إلى المعادلة العامة للخط 12x - 5y - 65 = 0. مطلوب كتابة أنواع مختلفة من المعادلات لهذا الخط.

معادلة هذا الخط المستقيم في مقاطع:

معادلة هذا الخط بالمنحدر: (اقسم على 5)

؛ كوس φ = 12/13 ؛ الخطيئة φ = -5/13 ؛ ص = 5.

وتجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن تمثيل كل خط مستقيم بمعادلة في مقاطع ، على سبيل المثال ، خطوط مستقيمة موازية للمحاور أو تمر عبر الأصل.

مثال. يقطع الخط المستقيم مقاطع موجبة متساوية على محاور الإحداثيات. اكتب معادلة الخط المستقيم إذا كانت مساحة المثلث المكونة من هذين المقطعين 8 سم 2.

قرار.معادلة الخط المستقيم لها الشكل: ، أب / 2 = 8 ؛ أب = 16 ؛ أ = 4 ، أ = -4. أ = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

مثال. اكتب معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة أ (-2 ، -3) والأصل.

قرار. معادلة الخط المستقيم لها الشكل: ، حيث x 1 \ u003d y 1 \ u003d 0 ؛ × 2 \ u003d -2 ؛ ص 2 \ u003d -3.

الزاوية بين الخطوط على المستوى

تعريف.إذا تم إعطاء خطين y = k 1 x + b 1 ، y = k 2 x + b 2 ، فسيتم تعريف الزاوية الحادة بين هذين الخطين على أنها

خطان متوازيان إذا كان k 1 = k 2. يكون الخطان متعامدين إذا كان k 1 = -1 / k 2.

نظرية.الخطوط المستقيمة Ax + Vy + C \ u003d 0 و A 1 x + B 1 y + C 1 \ u003d 0 تكون متوازية عندما تكون المعاملات A 1 \ u003d λA ، B 1 \ u003d λB متناسبة. إذا كانت С 1 = λС أيضًا ، فإن الخطوط تتطابق. تم إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع سطرين كحل لنظام معادلات هذين المستقيمين.

معادلة خط يمر عبر نقطة معينة عمودية على خط معين

تعريف.يتم تمثيل الخط المار بالنقطة M 1 (x 1، y 1) والعمودي على الخط y \ u003d kx + b بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط

نظرية.إذا تم إعطاء نقطة M (x 0 ، y 0) ، فإن المسافة إلى الخط Ax + Vy + C \ u003d 0 يتم تعريفها على أنها

دليل - إثبات.اجعل النقطة M 1 (x 1، y 1) هي قاعدة العمود العمودي المسقط من النقطة M إلى الخط المعطى. ثم المسافة بين النقطتين M و M 1:

(1)

يمكن إيجاد إحداثيات x 1 و y 1 كحل لنظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطة معينة M 0 عموديًا على خط مستقيم معين. إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى النموذج:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) + فأس 0 + ب 0 + ج = 0 ،

ثم نحصل على الحل:

بالتعويض عن هذه التعبيرات في المعادلة (1) ، نجد:

لقد تم إثبات النظرية.

مثال. حدد الزاوية بين السطور: y = -3 x + 7 ؛ ص = 2 س + 1.

ك 1 \ u003d -3 ؛ ك 2 = 2 ؛ tgφ = ؛ φ = π / 4.

مثال. بيّن أن الخطين 3x - 5y + 7 = 0 و 10x + 6y - 3 = 0 عموديان.

قرار. نجد: ك 1 \ u003d 3/5 ، ك 2 \ u003d -5/3 ، ك 1 * ك 2 \ u003d -1 ، لذلك ، الخطوط متعامدة.

مثال. رؤوس المثلث أ (0 ؛ 1) ، ب (6 ؛ 5) ، ج (12 ؛ -1) معطاة. أوجد معادلة الارتفاع المرسومة من الرأس ج.

قرار. نجد معادلة الضلع AB: ؛ 4 س = 6 ص - 6 ؛

2x - 3y + 3 = 0 ؛

معادلة الارتفاع المطلوبة هي: Ax + By + C = 0 أو y = kx + b. ك =. ثم y =. لان يمر الارتفاع بالنقطة C ، ثم تحقق إحداثياته هذه المعادلة: من أين ب = 17. المجموع:.

الجواب: 3 س + 2 ص - 34 = 0.

تم العثور على الخط المار بالنقطة K (x 0 ؛ y 0) والمتوازي مع الخط y = kx + a بواسطة الصيغة:

ص - ص 0 \ u003d ك (س - س 0) (1)

حيث k هو ميل الخط المستقيم.

صيغة بديلة:
يتم تمثيل الخط المار بالنقطة M 1 (x 1 ؛ y 1) والمتوازي مع الخط Ax + By + C = 0 بالمعادلة

أ (س 1) + ب (ص ص 1) = 0. (2)

مثال 1. قم بتكوين معادلة خط مستقيم يمر بالنقطة م 0 (-2.1) وفي نفس الوقت:
أ) موازٍ للخط المستقيم 2 س + 3 ص -7 = 0 ؛
ب) عمودي على الخط 2 س + 3 ص -7 = 0.
قرار . لنمثل معادلة الميل كما يلي: y = kx + a. للقيام بذلك ، سننقل جميع القيم باستثناء y إلى الجانب الأيمن: 3y = -2x + 7. ثم نقسم الطرف الأيمن على المعامل 3. نحصل على: y = -2 / 3x + 7/3
أوجد المعادلة NK التي تمر عبر النقطة K (-2 ؛ 1) الموازية للخط المستقيم y = -2 / 3 x + 7/3
استبدال x 0 \ u003d -2 ، k \ u003d -2 / 3 ، y 0 \ u003d 1 نحصل على:
ص -1 = -2 / 3 (س - (- 2))
أو
ص = -2 / 3 س - 1/3 أو 3 س + 2 س +1 = 0

المثال رقم 2. اكتب معادلة الخط المستقيم الموازي للخط المستقيم 2x + 5y = 0 وشكل مع محاور الإحداثيات مثلثًا مساحته 5.
قرار . بما أن الخطين متوازيين ، فإن معادلة الخط المطلوب هي 2x + 5y + C = 0. مساحة المثلث القائم ، حيث a و b هي رجليه. ابحث عن نقاط تقاطع الخط المطلوب مع محاور الإحداثيات:
;
.
إذن ، A (-C / 2،0) ، B (0 ، -C / 5). عوض في صيغة المنطقة: . نحصل على حلين: 2x + 5y + 10 = 0 و 2x + 5y - 10 = 0.

المثال رقم 3. اكتب معادلة الخط المار بالنقطة (-2 ؛ 5) والخط الموازي 5x-7y-4 = 0.
قرار. يمكن تمثيل هذا الخط المستقيم بالمعادلة y = 5/7 x - 4/7 (هنا أ = 5/7). معادلة الخط المطلوب هي y - 5 = 5/7 (x - (-2)) ، أي 7 (ص -5) = 5 (س + 2) أو 5 س -7 ص + 45 = 0.

المثال رقم 4. حل المثال 3 (أ = 5 ، ب = -7) باستخدام الصيغة (2) ، نجد 5 (س + 2) -7 (ص -5) = 0.

مثال رقم 5. اكتب معادلة خط مستقيم يمر بالنقطة (-2 ؛ 5) وخط مستقيم متوازي 7x + 10 = 0.
قرار. هنا أ = 7 ، ب = 0. الصيغة (2) تعطي 7 (x + 2) = 0 ، أي س + 2 = 0. الصيغة (1) غير قابلة للتطبيق ، حيث لا يمكن حل هذه المعادلة فيما يتعلق بـ y (هذا الخط المستقيم يوازي المحور y).

خصائص الخط المستقيم في الهندسة الإقليدية.

هناك عدد لا نهائي من الخطوط التي يمكن رسمها من خلال أي نقطة.

من خلال أي نقطتين غير متطابقتين ، يوجد خط مستقيم واحد فقط.

يتقاطع خطان غير متطابقين في المستوى عند نقطة واحدة ، أو يتقاطعان

متوازي (يتبع من السابق).

في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، توجد ثلاثة خيارات للوضع النسبي لخطين:

تتقاطع الخطوط

الخطوط المستقيمة متوازية

تتقاطع الخطوط المستقيمة.

مستقيم خط- منحنى جبري من الدرجة الأولى: في نظام الإحداثيات الديكارتية ، خط مستقيم

تُعطى على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى (معادلة خطية).

المعادلة العامة للخط المستقيم.

تعريف. يمكن إعطاء أي خط في المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

آه + وو + ج = 0 ،

وثابت أ ، بلا يساوي الصفر في نفس الوقت. هذه المعادلة من الدرجة الأولى تسمى جنرال لواء

معادلة الخط المستقيم.بالاعتماد على قيم الثوابت أ ، بو معالحالات الخاصة التالية ممكنة:

. ج = 0 ، 0 ، ب 0- الخط يمر عبر الأصل

. أ = 0 ، ب 0 ، ج 0 (ب + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور أوه

. ب = 0 ، أ ≠ 0 ، ج 0 (فأس + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور OU

. ب = ج = 0 ، أ ≠ 0- يتطابق الخط مع المحور OU

. أ = ج = 0 ، ب 0- يتطابق الخط مع المحور أوه

يمكن تمثيل معادلة الخط المستقيم بأشكال مختلفة اعتمادًا على أي معطى

الشروط الأولية.

معادلة الخط المستقيم بنقطة والمتجه العادي.

تعريف. في نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي ، متجه به مكونات (أ ، ب)

عمودي على الخط المعطى بالمعادلة

آه + وو + ج = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة أ (1 ، 2)عمودي على المتجه (3, -1).

قرار. لنؤلف في A \ u003d 3 و B \ u003d -1 معادلة الخط المستقيم: 3x - y + C \ u003d 0. لإيجاد المعامل C

نعوض بإحداثيات النقطة المعطاة A في التعبير الناتج ، ونحصل على: 3 - 2 + C = 0 ، لذلك

ج = -1. المجموع: المعادلة المطلوبة: 3 س - ص - 1 \ u003d 0.

معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين.

دع نقطتين تعطى في الفضاء م 1 (× 1 ، ص 1 ، ض 1)و M2 (× 2 ، ص 2 ، ض 2) ،من ثم معادلة الخط المستقيم,

يمر عبر هذه النقاط:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا ، فيجب أن يساوي البسط المقابل صفرًا. على ال

المستوى ، معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه مبسطة:

لو × 1 × 2و س = س 1، لو س 1 = س 2 .

جزء = كاتصل عامل الانحدار مباشرة.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين أ (1 ، 2) ، ب (3 ، 4).

قرار. بتطبيق الصيغة أعلاه نحصل على:

معادلة الخط المستقيم بنقطة وميل.

إذا كانت المعادلة العامة للخط المستقيم آه + وو + ج = 0أحضر إلى النموذج:

والمعين ، ثم يتم استدعاء المعادلة الناتجة

معادلة الخط المستقيم بميله k.

معادلة الخط المستقيم على نقطة ومتجه الاتجاه.

بالتشابه مع النقطة مع الأخذ في الاعتبار معادلة الخط المستقيم من خلال المتجه العادي ، يمكنك إدخال المهمة

خط مستقيم يمر بنقطة ومتجه الاتجاه لخط مستقيم.

تعريف. كل متجه غير صفري (α 1، α 2)، التي تلبي مكوناتها الشرط

أ 1 + ب 2 = 0اتصل ناقل الاتجاه للخط المستقيم.

آه + وو + ج = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم مع متجه الاتجاه (1 ، -1) والمرور بالنقطة أ (1 ، 2).

قرار. سنبحث عن معادلة الخط المستقيم المطلوب بالشكل: الفأس + ب + ج = 0.حسب التعريف

يجب أن تستوفي المعاملات الشروط:

1 * أ + (-1) * ب = 0 ، أي أ = ب.

ثم تأخذ معادلة الخط المستقيم الشكل: الفأس + آي + ج = 0 ،أو س + ص + ج / أ = 0.

في س = 1 ، ص = 2نحن نحصل ج / أ = -3، بمعنى آخر. المعادلة المرغوبة:

س + ص - 3 = 0

معادلة خط مستقيم في مقاطع.

إذا كانت المعادلة العامة للخط المستقيم Ah + Wu + C = 0 C ≠ 0 ، عند القسمة على -C ، نحصل على:

او اين

المعنى الهندسي للمعاملات هو أن المعامل a هو إحداثيات نقطة التقاطع

مباشرة مع المحور أوه،أ ب- إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور OU.

مثال. يتم إعطاء المعادلة العامة للخط المستقيم س - ص + 1 = 0.أوجد معادلة هذا الخط المستقيم في أجزاء.

C \ u003d 1،، a \ u003d -1، b \ u003d 1.

المعادلة العادية للخط المستقيم.

إذا كان كلا طرفي المعادلة آه + وو + ج = 0قسمة على الرقم ، من اتصل

عامل التطبيع، ثم نحصل

xcosφ + ysinφ - ع = 0 -المعادلة العادية للخط المستقيم.

يجب اختيار علامة ± لعامل التطبيع بحيث μ * ج< 0.

ص- انخفاض طول العمود العمودي من الأصل إلى الخط ،

أ φ - الزاوية المتكونة من هذا العمودي مع الاتجاه الإيجابي للمحور أوه.

مثال. بالنظر إلى المعادلة العامة للخط المستقيم 12 س - 5 ص - 65 = 0. مطلوب لكتابة أنواع مختلفة من المعادلات

هذا الخط المستقيم.

معادلة هذا الخط المستقيم في مقاطع:

معادلة هذا الخط مع المنحدر: (اقسم على 5)

معادلة الخط المستقيم:

كوس φ = 12/13 ؛ الخطيئة φ = -5/13 ؛ ص = 5.

وتجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن تمثيل كل خط مستقيم بمعادلة في مقاطع ، على سبيل المثال ، الخطوط المستقيمة ،

بالتوازي مع المحاور أو يمر عبر الأصل.

الزاوية بين الخطوط على المستوى.

تعريف. إذا أعطيت سطرين ص \ u003d ك 1 س + ب 1 ، ص \ u003d ك 2 س + ب 2، ثم الزاوية الحادة بين هذه الخطوط

سيتم تعريفه على أنه

خطان متوازيان إذا ل 1 = ك 2. خطان متعامدان

لو ك 1 \ u003d -1 / ك 2 .

نظرية.

مباشر آه + وو + ج = 0و أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 \ u003d 0تكون متوازية عندما تكون المعاملات متناسبة

أ 1 \ u003d λA ، B 1 \ u003d λB. إذا كان كذلك С 1 \ u003d λС، ثم تتطابق الخطوط. إحداثيات نقطة تقاطع خطين

تم العثور عليها كحل لنظام معادلات هذه الخطوط.

معادلة الخط المار بنقطة معينة تكون عمودية على خط معين.

تعريف. خط يمر بنقطة م 1 (× 1 ، ص 1)وعمودي على الخط ص = ك س + ب

ممثلة بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط.

نظرية. إذا أعطيت نقطة م (× 0 ، ص 0) ،ثم المسافة إلى الخط آه + وو + ج = 0معرف ك:

دليل - إثبات. دع النقطة م 1 (× 1 ، ص 1)- انحدرت قاعدة العمود العمودي من النقطة ملاجل منحه

مباشرة. ثم المسافة بين النقطتين مو م 1:

(1)

إحداثيات × 1و 1يمكن إيجادها كحل لنظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطة معينة M 0 عموديًا

سطر معين. إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى النموذج:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) + فأس 0 + ب 0 + ج = 0 ،

ثم نحصل على الحل:

بالتعويض عن هذه التعبيرات في المعادلة (1) ، نجد:

لقد تم إثبات النظرية.

معادلة خط على مستوى.

كما هو معروف ، يتم تحديد أي نقطة على المستوى بواسطة إحداثيات في بعض أنظمة الإحداثيات. يمكن أن تكون أنظمة التنسيق مختلفة اعتمادًا على اختيار الأساس والأصل.

تعريف. معادلة الخطهي العلاقة y = f (x) بين إحداثيات النقاط التي يتكون منها هذا الخط.

لاحظ أنه يمكن التعبير عن معادلة الخط بطريقة حدودية ، أي أن كل إحداثيات كل نقطة يتم التعبير عنها من خلال بعض المعلمات المستقلة ر.

مثال نموذجي هو مسار نقطة متحركة. في هذه الحالة ، يلعب الوقت دور المعلمة.

معادلة خط مستقيم على مستوى.

تعريف. يمكن إعطاء أي خط في المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

آه + وو + ج = 0 ،

علاوة على ذلك ، فإن الثوابت أ ، ب لا تساوي الصفر في نفس الوقت ، أي أ 2 + ب 2  0. تسمى هذه المعادلة من الدرجة الأولى المعادلة العامة للخط المستقيم.

اعتمادًا على قيم الثوابت A و B و C ، تكون الحالات الخاصة التالية ممكنة:

C \ u003d 0 ، A  0 ، B  0 - يمر الخط عبر الأصل

A \ u003d 0 ، B  0 ، C  0 (By + C \ u003d 0) - الخط موازٍ لمحور Ox

B \ u003d 0 ، A  0 ، C  0 (Ax + C \ u003d 0) - الخط موازٍ لمحور Oy

B \ u003d C \ u003d 0 ، A 0 - يتطابق الخط المستقيم مع محور Oy

A \ u003d C \ u003d 0 ، B 0 - يتطابق الخط المستقيم مع محور Ox

يمكن تقديم معادلة الخط المستقيم بأشكال مختلفة اعتمادًا على أي شروط أولية معينة.

معادلة الخط المستقيم بنقطة والمتجه العادي.

تعريف. في نظام الإحداثيات المستطيل الديكارتي ، يكون المتجه ذو المكونات (أ ، ب) عموديًا على الخط المعطى بواسطة المعادلة Ax + By + C = 0.

مثال.أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة أ (1 ، 2) المتعامد على المتجه (3, -1).

دعونا نؤلف عند A \ u003d 3 و B \ u003d -1 معادلة الخط المستقيم: 3x - y + C \ u003d 0. للعثور على المعامل C ، نستبدل إحداثيات النقطة المعينة A في التعبير الناتج.

نحصل على: 3 - 2 + C \ u003d 0 ، وبالتالي C \ u003d -1.

المجموع: المعادلة المطلوبة: 3 س - ص - 1 \ u003d 0.

معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين.

دع النقطتين M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) و M 2 (x 2 ، y 2 ، z 2) تُعطى في الفراغ ، ثم معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر هذه النقاط:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا ، فيجب أن يساوي البسط المقابل صفرًا.

على المستوى ، يتم تبسيط معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه:

إذا كانت x 1  x 2 و x \ u003d x 1 ، إذا كانت x 1 \ u003d x 2.

جزء
= k يسمى عامل الانحدارمباشرة.

مثال.أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين أ (1 ، 2) ، ب (3 ، 4).

بتطبيق الصيغة أعلاه نحصل على:

معادلة الخط المستقيم بنقطة وميل.

إذا كانت المعادلة العامة للخط المستقيم Ax + Vy + C = 0 تؤدي إلى النموذج:

والمعين
، ثم يتم استدعاء المعادلة الناتجة معادلة الخط المستقيم بميلك.

معادلة الخط المستقيم على نقطة ومتجه الاتجاه.

تعريف. كل متجه غير صفري ( 1 ،  2) ، تسمى مكوناتها التي تفي بالشرط A 1 + B 2 = 0 متجه التوجيه للخط

آه + وو + ج = 0.

مثال.أوجد معادلة الخط المستقيم مع متجه الاتجاه (1 ، -1) والمرور بالنقطة أ (1 ، 2).

سنبحث عن معادلة الخط المستقيم المطلوب بالشكل: Ax + By + C = 0. وفقًا للتعريف ، يجب أن تستوفي المعاملات الشروط:

1A + (-1) B = 0 ، أي أ = ب.

ثم تكون معادلة الخط المستقيم بالشكل: Ax + Ay + C = 0 ، أو x + y + C / A = 0.

عند x = 1 ، y = 2 نحصل على С / A = -3 ، أي المعادلة المرغوبة:

معادلة خط مستقيم في مقاطع.

إذا كانت المعادلة العامة للخط المستقيم Ah + Wu + C = 0 C 0 ، عند القسمة على –C ، نحصل على:
أو

، أين

مثال.بالنظر إلى المعادلة العامة للخط x - y + 1 = 0. أوجد معادلة هذا الخط في المقاطع.

ج \ u003d 1 ،
، أ = -1 ، ب = 1.

المعادلة العادية للخط المستقيم.

إذا كان كلا طرفي المعادلة Ax + Wy + C = 0 مقسومًا على الرقم
، من اتصل عامل التطبيع، ثم نحصل

xcos + ysin - ع = 0 -

المعادلة العادية للخط المستقيم.

يجب اختيار علامة  لعامل التطبيع بحيث С< 0.

p هو طول العمود العمودي الذي تم إسقاطه من الأصل إلى الخط المستقيم ، و هي الزاوية المكونة من هذا العمودي مع الاتجاه الإيجابي لمحور Ox.

مثال.بالنظر إلى المعادلة العامة للخط 12x - 5y - 65 = 0. مطلوب كتابة أنواع مختلفة من المعادلات لهذا الخط.

معادلة هذا الخط المستقيم في مقاطع:

معادلة هذا الخط بالمنحدر: (اقسم على 5)

المعادلة العادية للخط المستقيم:

؛ cos = 12/13 ؛ sin = -5/13 ؛ ص = 5.

مثال.يقطع الخط المستقيم مقاطع موجبة متساوية على محاور الإحداثيات. اكتب معادلة الخط المستقيم إذا كانت مساحة المثلث المكونة من هذين المقطعين 8 سم 2.

معادلة الخط المستقيم لها الشكل:
، أ = ب = 1 ؛ أب / 2 = 8 ؛ أ = 4 ؛ -4.

أ = -4 لا تتناسب مع حالة المشكلة.

المجموع:
أو x + y - 4 = 0.

مثال.اكتب معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة أ (-2 ، -3) والأصل.

معادلة الخط المستقيم لها الشكل:
، حيث x 1 \ u003d y 1 \ u003d 0 ؛ × 2 \ u003d -2 ؛ ص 2 \ u003d -3.

الزاوية بين الخطوط على المستوى.

تعريف. إذا تم إعطاء خطين y = k 1 x + b 1 ، y = k 2 x + b 2 ، فسيتم تعريف الزاوية الحادة بين هذين الخطين على أنها

خطان متوازيان إذا كان k 1 = k 2.

يكون الخطان متعامدين إذا كان k 1 = -1 / k 2.

نظرية. خطوط مستقيمة Ax + Vy + C = 0 و A 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0 تكون متوازية عندما تكون المعاملات A متناسبة 1 =  أ ، ب 1 =  ب. إذا كان أيضًا ج 1 =  C ، ثم تتطابق الخطوط.

تم إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع سطرين كحل لنظام معادلات هذين المستقيمين.

معادلة خط يمر عبر نقطة معينة

عمودي على هذا الخط.

تعريف. يتم تمثيل الخط المار بالنقطة M 1 (x 1، y 1) والعمودي على الخط y \ u003d kx + b بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط.

نظرية. إذا كانت النقطة M (x 0 ، ذ 0 ) ، ثم يتم تحديد المسافة إلى الخط Ax + Vy + C = 0 على أنها

دليل - إثبات. اجعل النقطة M 1 (x 1، y 1) هي قاعدة العمود العمودي المسقط من النقطة M إلى الخط المعطى. ثم المسافة بين النقطتين M و M 1:

يمكن إيجاد إحداثيات x 1 و y 1 كحل لنظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطة معينة M 0 عموديًا على خط مستقيم معين.

إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى النموذج:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) + فأس 0 + ب 0 + ج = 0 ،

ثم نحصل على الحل:

بالتعويض عن هذه التعبيرات في المعادلة (1) ، نجد:

لقد تم إثبات النظرية.

مثال.حدد الزاوية بين السطور: y = -3x + 7 ؛ ص = 2 س + 1.

ك 1 \ u003d -3 ؛ ل 2 = 2tg =
؛  =  / 4.

مثال.بيّن أن الخطين 3x - 5y + 7 = 0 و 10x + 6y - 3 = 0 عموديان.

نجد: ك 1 \ u003d 3/5 ، ك 2 \ u003d -5/3 ، ك 1 ك 2 \ u003d -1 ، لذلك ، الخطوط متعامدة.

مثال.رؤوس المثلث أ (0 ؛ 1) ، ب (6 ؛ 5) ، ج (12 ؛ -1) معطاة. أوجد معادلة الارتفاع المرسومة من الرأس ج.

نجد معادلة الضلع AB:
؛ 4 س = 6 ص - 6 ؛

2x - 3y + 3 = 0 ؛

معادلة الارتفاع المطلوبة هي: Ax + By + C = 0 أو y = kx + b.

ك = . ثم y =
. لان يمر الارتفاع بالنقطة C ، ثم تحقق إحداثياته هذه المعادلة:
من أين ب = 17. المجموع:
.

الجواب: 3 س + 2 ص - 34 = 0.

الهندسة التحليلية في الفضاء.

معادلة الخط في الفضاء.

معادلة الخط المستقيم في الفراغ بنقطة و

ناقل الاتجاه.

خذ خطًا تعسفيًا ومتجهًا (م ، ن ، ع) موازية للخط المعطى. المتجه اتصل ناقلات التوجيهمباشرة.

لنأخذ نقطتين عشوائيتين M 0 (x 0 ، y 0 ، z 0) و M (x ، y ، z) على الخط المستقيم.

م 1

دعونا نشير إلى متجهات نصف القطر لهذه النقاط على أنها و ، من الواضح أن - =
.

لان ثلاثة أبعاد
و هي علاقة خطية متداخلة ، ثم تكون العلاقة صحيحة
= t ، حيث t هي بعض المعلمات.

في المجموع ، يمكننا أن نكتب: = + ر.

لان يتم استيفاء هذه المعادلة بإحداثيات أي نقطة على الخط ، ثم تكون المعادلة الناتجة المعادلة البارامترية للخط المستقيم.

يمكن تمثيل معادلة المتجه هذه في شكل إحداثيات:

بتحويل هذا النظام ومعادلة قيم المعلمة t ، نحصل على المعادلات الأساسية للخط المستقيم في الفضاء:

تعريف. جيب التمام الاتجاهالمباشر هي جيب تمام اتجاه المتجه ، والتي يمكن حسابها بالصيغ:

;

.

من هنا نحصل على: m: n: p = cos: cos: cos.

الأرقام م ، ن ، ص تسمى عوامل الانحدارمباشرة. لان متجه غير صفري ، لا يمكن أن تكون m و n و p صفراً في نفس الوقت ، ولكن يمكن أن يكون واحدًا أو اثنين من هذه الأرقام صفرًا. في هذه الحالة ، في معادلة الخط المستقيم ، يجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر.

معادلة خط مستقيم في الفراغ المار

من خلال نقطتين.

إذا تم تمييز نقطتين تعسفيتين M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) و M 2 (x 2 ، y 2 ، z 2) على خط مستقيم في الفضاء ، فيجب أن تفي إحداثيات هذه النقاط بمعادلة خط مستقيم تم الحصول عليه أعلاه:

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة للنقطة M 1 ، يمكننا أن نكتب:

لحل هذه المعادلات معًا ، نحصل على:

هذه معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين في الفضاء.

المعادلات العامة للخط المستقيم في الفراغ.

يمكن اعتبار معادلة الخط المستقيم على أنها معادلة لخط تقاطع مستويين.

كما نوقش أعلاه ، يمكن إعطاء الطائرة في شكل متجه بواسطة المعادلة:

+ D = 0 ، أين

- طائرة عادية - متجه نصف القطر لنقطة عشوائية للمستوى.

المعادلات الأساسية للخط المستقيم في الفضاء هي معادلات تحدد خطًا مستقيمًا يمر عبر نقطة معينة بشكل متواصل إلى متجه اتجاه.

دعونا نعطي نقطة ومتجه الاتجاه. نقطة اعتباطية تقع على خط لفقط إذا كانت المتجهات وخطية متداخلة ، أي أنها تفي بالشرط:

المعادلات أعلاه هي المعادلات الأساسية للخط.

أعداد م , نو صهي إسقاطات متجه الاتجاه على محاور الإحداثيات. بما أن المتجه غير صفري ، إذن كل الأرقام م , نو صلا يمكن أن تكون صفرا في نفس الوقت. لكن واحد أو اثنين منهم قد يكون صفرا. في الهندسة التحليلية ، على سبيل المثال ، يُسمح بالتدوين التالي:

مما يعني أن إسقاطات المتجه على المحاور أويو أوزتساوي الصفر. لذلك ، يكون كل من المتجه والخط المستقيم المعطى بواسطة المعادلات الأساسية متعامدين على المحاور أويو أوز، أي الطائرات yOz .

مثال 1اكتب معادلات لخط مستقيم في الفراغ المتعامد مع المستوى والمرور بنقطة تقاطع هذا المستوى مع المحور أوز .

قرار. أوجد نقطة تقاطع المستوى المحدد مع المحور أوز. منذ أي نقطة على المحور أوز، لها إحداثيات ، بافتراض معادلة المستوى المعطاة س = ص = 0 ، نحصل على 4 ض- 8 = 0 أو ض= 2. لذلك ، نقطة تقاطع المستوى المحدد مع المحور أوزله إحداثيات (0 ؛ 0 ؛ 2). نظرًا لأن الخط المطلوب عمودي على المستوى ، فهو موازي لمتجه العادي. لذلك ، يمكن أن يكون المتجه العادي بمثابة ناقل توجيه للخط المستقيم طائرة معينة.

نكتب الآن المعادلات المرغوبة للخط المستقيم الذي يمر بالنقطة أ= (0 ؛ 0 ؛ 2) في اتجاه المتجه:

معادلات خط مستقيم يمر بنقطتين معينتين

يمكن تعريف الخط المستقيم بنقطتين عليه و في هذه الحالة ، يمكن أن يكون متجه التوجيه للخط المستقيم هو المتجه. ثم تأخذ المعادلات الأساسية للخط الشكل

تحدد المعادلات أعلاه خطًا مستقيمًا يمر عبر نقطتين معينتين.

مثال 2اكتب معادلة خط مستقيم في الفراغ يمر بالنقطتين و.

قرار. نكتب المعادلات المرغوبة للخط المستقيم بالشكل الموضح أعلاه في المرجع النظري:

منذ ذلك الحين ، يكون الخط المطلوب عموديًا على المحور أوي .

مستقيم كخط تقاطع طائرات

يمكن تعريف الخط المستقيم في الفضاء على أنه خط تقاطع مستويين غير متوازيين ، أي كمجموعة من النقاط التي ترضي نظامًا من معادلتين خطيتين

تسمى معادلات النظام أيضًا المعادلات العامة للخط المستقيم في الفضاء.

مثال 3قم بتكوين معادلات أساسية لخط مستقيم في الفراغ المعطى بواسطة المعادلات العامة

قرار. لكتابة المعادلات الأساسية لخط مستقيم أو معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين ، ما هو نفسه ، تحتاج إلى إيجاد إحداثيات أي نقطتين على الخط المستقيم. يمكن أن تكون نقاط تقاطع خط مستقيم مع أي مستويين إحداثيات ، على سبيل المثال yOzو xOz .

نقطة تقاطع خط مع مستوى yOzلديه حدودي x= 0. لذلك ، مع افتراض في هذا النظام من المعادلات x= 0 ، نحصل على نظام به متغيرين:

قرارها ذ = 2 , ض= 6 مع x= 0 يحدد نقطة أ(0 ؛ 2 ؛ 6) من الخط المطلوب. بافتراض ذلك في نظام المعادلات المعطى ذ= 0 ، نحصل على النظام

قرارها x = -2 , ض= 0 مع ذ= 0 يحدد نقطة ب(-2 ؛ 0 ؛ 0) تقاطع خط مع مستوى xOz .

نكتب الآن معادلات الخط المستقيم الذي يمر بالنقاط أ(0 ؛ 2 ؛ 6) و ب (-2; 0; 0) :

أو بعد قسمة المقام على -2: