ما هي القيم التي يمكن أن تأخذها القيمة العددية. الكتلة والكثافة

المتجه- بحتة مفهوم رياضي، والذي يستخدم فقط في الفيزياء أو غيرها العلوم التطبيقيةمما يجعل من الممكن تبسيط حل بعض المشاكل المعقدة.
المتجه- قطعة خطية موجهة.
أنا أعرف الفيزياء الابتدائيةعلى المرء أن يعمل بفئتين من الكميات - العددية والمتجهات.
العدديةالكميات (الكميات) هي كميات تتميز بها قيمة عدديةووقع. الحجميات هي الطول - ل، كتلة - م، المسار - س، الوقت - ر، درجة الحرارة - تي, الشحنة الكهربائية − ف، الطاقة - دبليووالإحداثيات وما إلى ذلك.
يتم تطبيق جميع العمليات الجبرية (الجمع والطرح والضرب وما إلى ذلك) على القيم العددية.

مثال 1.
حدد التكلفة الإجمالية للنظام ، التي تتكون من الرسوم المضمنة فيه ، إذا كان q 1 \ u003d 2 nC ، q 2 \ u003d -7 nC ، q 3 \ u003d 3 nC.
شحن النظام بالكامل
q \ u003d q 1 + q 2 + q 3 \ u003d (2-7 + 3) nC = -2 nC = -2 × 10 -9 C.

مثال 2.
إلى عن على معادلة من الدرجة الثانيةطيب القلب
الفأس 2 + ب س + ج = 0 ؛
× 1،2 = (1 / (2a)) × (b ± √ (ب 2-4ac)).

المتجهالكميات (المتجهات) هي كميات ، من أجل تعريفها من الضروري الإشارة ، بالإضافة إلى القيمة العددية ، إلى الاتجاه أيضًا. النواقل - السرعة الخامس، قوة F، قوة الدفع ص، توتر الحقل الكهربائي ه، الحث المغناطيسي بوإلخ.
يُشار إلى القيمة العددية للمتجه (المعامل) بحرف بدون رمز متجه أو يكون المتجه محاطًا بخطوط عمودية ص = | ص |.
بيانياً ، يتم تمثيل المتجه بسهم (الشكل 1) ،

طوله في مقياس معين يساوي معامله ، ويتزامن الاتجاه مع اتجاه المتجه.
متجهان متساويان إذا كانت معاملهما واتجاهاتهما هي نفسها.
يتم إضافة كميات المتجهات هندسيًا (وفقًا لقاعدة الجبر المتجه).
يسمى إيجاد مجموع متجه معطى متجهات المكون إضافة متجه.
تتم إضافة متجهين وفقًا لقاعدة متوازي الأضلاع أو قاعدة المثلث. إجمالي ناقلات
ج = أ + ب
يساوي قطر متوازي الأضلاع المبني على المتجهات أو ب. وحدة عليه
с = √ (أ 2 + ب 2 - 2abcosα) (الشكل 2).

بالنسبة إلى α = 90 درجة ، فإن c = √ (a 2 + b 2) هي نظرية فيثاغورس.

يمكن الحصول على نفس المتجه c بقاعدة المثلث إذا كان من نهاية المتجه أتأجيل ناقلات ب. متجه الإغلاق ج (توصيل بداية المتجه أونهاية المتجه ب) هو مجموع المتجهات للمصطلحات (مكونات المتجهات أو ب).
تم العثور على المتجه الناتج على أنه إغلاق أحد الخط المكسور ، والذي تمثل روابطه النواقل المكونة (الشكل 3).

مثال 3.
أضف قوتين F 1 \ u003d 3 N و F 2 \ u003d 4 N ، ناقلات F1و F2اصنع الزوايا α 1 \ u003d 10 ° و α 2 \ u003d 40 ° مع الأفق ، على التوالي
F = F 1 + F 2(الشكل 4).

نتيجة إضافة هاتين القوتين هي قوة تسمى المحصلة. المتجه Fموجهة على طول قطري متوازي الأضلاع المبني على المتجهات F1و F2، كجوانب ، و modulo يساوي طوله.
معامل المتجه Fتجد بموجب قانون جيب التمام
F = √ (F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos (α 2 - α 1)) ،
القوة = √ (3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × كوس (40 درجة - 10 درجة)) ≈ 6.8 هـ.
اذا كان
(α 2 - α 1) = 90 درجة ، ثم F = √ (F 1 2 + F 2 2).

زاوية هذا المتجه Fمع محور الثور ، نجدها بالصيغة
α \ u003d arctg ((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2) / (F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)) ،
α = أركتان ((3.0.17 + 4.0.64) / (3.0.98 + 4.0.77)) = أركتان 0.51 ، α ≈ 0.47 راد.

إسقاط المتجه a على المحور Ox (Oy) هو قيمة عددية تعتمد على الزاوية α بين اتجاه المتجه أومحاور الثور (Oy). (الشكل 5)

إسقاطات المتجهات أعلى محوري Ox و Oy نظام مستطيلإحداثيات. (الشكل 6)

من أجل تجنب الأخطاء عند تحديد علامة إسقاط المتجه على المحور ، من المفيد تذكر القاعدة التالية: إذا كان اتجاه المكون يتزامن مع اتجاه المحور ، فإن إسقاط المتجه على هذا يكون المحور موجبًا ، ولكن إذا كان اتجاه المكون عكس اتجاه المحور ، فإن إسقاط المتجه يكون سالبًا. (الشكل 7)

الطرح المتجه هو إضافة يتم فيها إضافة المتجه إلى المتجه الأول ، مساويًا عدديًا للثاني ، موجه بشكل معاكس
أ - ب = أ + (ب) = د(الشكل 8).

فليكن من الضروري من المتجه أطرح ناقلات ب، اختلافهم - د. لإيجاد الفرق بين متجهين ، من الضروري أن يكون المتجه أإضافة ناقلات ( − ب) ، وهذا هو ، ناقل د = أ - بسيكون متجهًا موجهًا من بداية المتجه أفي نهاية المتجه ( − ب) (الشكل 9).

في متوازي الأضلاع مبني على المتجهات أو بكلا الجانبين ، قطري واحد جله معنى المجموع ، والآخر د- فروق المتجهات أو ب(الشكل 9).
المنتج المتجه ألكل عددي ك يساوي متجه ب= ك أ، التي يكون معاملها أكبر بمقدار k مرة من مقياس المتجه أ، والاتجاه هو نفس الاتجاه ألإيجابية k والعكس سالب k.

مثال 4.
أوجد الزخم لجسم كتلته ٢ كجم يتحرك بسرعة ٥ م / ث. (الشكل 10)

زخم الجسم ص= م الخامس؛ p = 2 kg.m / s = 10 kg.m / s وتوجه نحو السرعة الخامس.

مثال 5.
يتم وضع الشحنة q = −7.5 nC في مجال كهربائي بكثافة E = 400 V / m. أوجد مقياس واتجاه القوة المؤثرة على الشحنة.

القوة تساوي F= ف ه. نظرًا لأن الشحنة سالبة ، يتم توجيه متجه القوة في الاتجاه المعاكس للمتجه ه. (الشكل 11)

قسمالمتجه أبواسطة عددي k يساوي الضرب أبنسبة 1 / ك.
المنتج نقطةثلاثة أبعاد أو بنسمي العددي "ج" ، يساوي حاصل ضرب وحدات هذه المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما
(أ ب) = (ب أ) = ج ،
с = ab.cosα (الشكل 12)

مثال 6.
أوجد عمل قوة ثابتة F = 20 N إذا كانت الإزاحة S = 7.5 m ، والزاوية α بين القوة والإزاحة α = 120 °.

عمل القوة بحكم التعريف المنتج نقطةالقوى والحركات
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7.5 m × cos120 ° = −150 × 1/2 = −75 J.

ناقلات الفنثلاثة أبعاد أو بناقلات الاتصال ج، مساويًا عدديًا لمنتج وحدات المتجهين a و b ، مضروبًا في جيب الزاوية بينهما:
ج = أ × ب = ،
ج = أب × sin α.
المتجه جعمودي على المستوى الذي تكمن فيه المتجهات أو ب، واتجاهه مرتبط باتجاه النواقل أو بقاعدة المسمار الصحيحة (الشكل 13).

مثال 7.
أوجد القوة المؤثرة على موصل طوله 0.2 متر ، وموضوعة في مجال مغناطيسي ، تحريضه 5 تسنين ، إذا كان التيار في الموصل 10 أ ويشكل زاوية α = 30 درجة مع اتجاه المجال.

قوة الأمبير
dF = I = Idl × B أو F = I (l) ∫ (dl × B) ،
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0.2 م × 1/2 = 5 نيوتن.

ضع في اعتبارك حل المشكلات.
1. كيف يتم توجيه متجهين ، معامليهما متماثلان ويساويان a ، إذا كان معامل مجموعهما: أ) 0 ؛ ب) 2 أ ؛ ج) أ. د) أ√ (2) ؛ هـ) أ√ (3)؟

المحلول.
أ) موجهان موجهان على طول نفس الخط المستقيم في الأطراف المقابلة. مجموع هذه المتجهات يساوي صفرًا.

ب) موجهان موجهان على طول نفس الخط المستقيم في نفس الاتجاه. مجموع هذه المتجهات 2 أ.

ج) موجهان موجهان بزاوية 120 درجة لبعضهما البعض. مجموع المتجهات يساوي أ. تم العثور على المتجه الناتج بواسطة نظرية جيب التمام:

أ 2 + أ 2 + 2aacosα = أ 2 ،
cosα = −1/2 و α = 120 درجة.
د) موجهان موجهان بزاوية 90 درجة لبعضهما البعض. معامل المجموع هو
أ 2 + أ 2 + 2 أكوس أ = 2 أ 2 ،
cosα = 0 و α = 90 درجة.

ه) موجهان موجهان بزاوية 60 درجة لبعضهما البعض. معامل المجموع هو
أ 2 + أ 2 + 2aacosα = 3a 2 ،
cosα = 1/2 و α = 60 درجة.
إجابه: الزاوية α بين المتجهات تساوي: أ) 180 درجة ؛ ب) 0 ؛ ج) 120 درجة ؛ د) 90 درجة ؛ ه) 60 درجة.

2. إذا أ = أ 1 + أ 2توجيه النواقل ، ما يمكن قوله عن التوجه المتبادل للناقلات أ 1و أ 2، إذا: أ) أ = أ 1 + أ 2 ؛ ب) أ 2 \ u003d أ 1 2 + أ 2 2 ؛ ج) أ 1 + أ 2 \ u003d أ 1 - أ 2؟

المحلول.
أ) إذا تم العثور على مجموع المتجهات كمجموع وحدات هذه المتجهات ، فإن المتجهات يتم توجيهها على طول خط مستقيم واحد ، موازٍ لبعضها البعض أ 1 || أ 2.
ب) إذا كانت المتجهات موجهة بزاوية مع بعضها البعض ، فسيتم إيجاد مجموعها بواسطة قانون جيب التمام لمتوازي أضلاع
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ،
cosα = 0 و α = 90 درجة.
المتجهات متعامدة مع بعضها البعض أ 1 ⊥ أ 2.
ج) الشرط أ 1 + أ 2 = أ 1 - أ 2يمكن أداؤها إذا أ 2- متجه صفري ، ثم a 1 + a 2 = a 1.
الإجابات. أ) أ 1 || أ 2؛ ب) أ 1 ⊥ أ 2؛ في) أ 2- ناقل صفر.

3. يتم تطبيق قوتين مقدارهما 1.42 نيوتن على نقطة واحدة من الجسم بزاوية 60 درجة على بعضهما البعض. في أي زاوية يجب تطبيق قوتين قياسهما 1.75 نيوتن على نفس نقطة الجسم بحيث يوازن عملهما عمل أول قوتين؟

المحلول.
وفقًا لظروف المشكلة ، توازن قوتان مقدارهما 1.75 نيوتن لكل منهما قوتان كل منهما 1.42 نيوتن ، وهذا ممكن إذا كانت وحدات المتجهات الناتجة لأزواج القوة متساوية. يتم تحديد المتجه الناتج بواسطة نظرية جيب التمام لمتوازي الأضلاع. للزوج الأول من القوات:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα \ u003d F 2 ،
للزوج الثاني من القوات ، على التوالي
و 2 2 + و 2 2 + 2F 2 و 2 cosβ = و 2.
معادلة الأجزاء اليسرى من المعادلات
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
أوجد الزاوية المرغوبة β بين المتجهين
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα - و 2 2 - و 2 2) / (2F 2 F 2).
بعد الحسابات ،
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60 ° - 2.1.752) / (2.1.752) = −0.0124 ،
β ≈ 90.7 درجة.

الطريقة الثانية لحلها.
ضع في اعتبارك إسقاط المتجهات على محور الإحداثيات OX (الشكل).

باستخدام النسبة بين الجانبين في مثلث قائم، نحن نحصل
2F 1 cos (α / 2) = 2F 2 cos (/ 2),
أين
cos (β / 2) = (F 1 / F 2) cos (α / 2) = (1.42 / 1.75) × cos (60/2) و β ≈ 90.7 درجة.

4. المتجهات أ = 3 ط - 4 ج. ما يجب أن تكون القيمة العددية c بحيث | c أ| = 7,5?
المحلول.
ج أ= ج ( 3i - 4j) = 7,5
معامل المتجه أسوف تساوي
أ 2 = 3 2 + 4 2 ، أ = ± 5 ،
ثم من
ج (± 5) = 7.5 ،
وجدت أن
ج = ± 1.5.

5. النواقل أ 1و أ 2يخرج من الأصل ويملك الإحداثيات الديكارتيةينتهي (6 ، 0) و (1 ، 4) ، على التوالي. ابحث عن ناقل أ 3مثل: أ) أ 1 + أ 2 + أ 3= 0 ؛ ب) أ 1 − أ 2 + أ 3 = 0.

المحلول.
دعنا نرسم المتجهات النظام الديكارتيإحداثيات (الشكل)

أ) المتجه الناتج على طول محور الثور هو
أ س = 6 + 1 = 7.
المتجه الناتج على طول محور Oy هو
أ ص = 4 + 0 = 4.
لكي يساوي مجموع المتجهات الصفر ، من الضروري أن يكون الشرط
أ 1 + أ 2 = −أ 3.
المتجه أ 3سيكون modulo مساويًا للمتجه الإجمالي أ 1 + أ 2لكنها موجهة في الاتجاه المعاكس. تنسيق متجه النهاية أ 3تساوي (7، −4)، و المقياس
أ 3 \ u003d √ (7 2 + 4 2) = 8.1.

ب) المتجه الناتج على طول محور الثور يساوي
أ س = 6-1 = 5 ،
والمتجه الناتج على طول محور Oy
أ ص = 4 - 0 = 4.
عندما تكون الحالة
أ 1 − أ 2 = −أ 3,
المتجه أ 3إحداثيات نهاية المتجه a x = -5 و a y = -4 ، ومقياسه هو
أ 3 \ u003d √ (5 2 + 4 2) = 6.4.

6. ينتقل الرسول 30 مترًا شمالًا ، و 25 مترًا شرقًا ، و 12 مترًا جنوبًا ، ثم يرتفع المصعد في المبنى إلى ارتفاع 36 مترًا. ما هي المسافة التي يقطعها ل والإزاحة س؟

المحلول.
دعونا نصور الحالة الموصوفة في المشكلة على مستوى على نطاق تعسفي (الشكل).

نهاية المتجه OAإحداثيات 25 م شرقا و 18 م شمالا و 36 لأعلى (25 و 18 و 36). المسار الذي يسلكه الشخص هو
L = 30 م + 25 م + 12 م +36 م = 103 م.
تم إيجاد وحدة متجه الإزاحة بواسطة الصيغة
S = √ ((x - x o) 2 + (y - y o) 2 + (z - z o) 2) ،
حيث x o = 0 ، y o = 0 ، z o = 0.
S \ u003d √ (25 2 + 18 2 + 36 2) = 47.4 (م).
إجابه: الطول = 103 م ، جنوب = 47.4 م.

7. الزاوية α بين متجهين أو بيساوي 60 درجة. حدد طول المتجه ج = أ + بوالزاوية β بين المتجهات أو ج. حجم المتجهات أ = 3.0 و ب = 2.0.

المحلول.
طول المتجه يساوي المجموعثلاثة أبعاد أو بنحدد استخدام نظرية جيب التمام للحصول على متوازي الأضلاع (الشكل).

с = √ (أ 2 + ب 2 + 2abcosα).
بعد التبديل
ج = √ (3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60 درجة) = 4.4.
لتحديد الزاوية β ، نستخدم نظرية الجيب من أجلها مثلث ABC:
ب / sinβ = أ / الخطيئة (α - β).
في نفس الوقت ، يجب أن تعرف ذلك
الخطيئة (α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ.
حل بسيط المعادلة المثلثية، نصل إلى التعبير
tgβ = bsinα / (a + bcosα) ،
بالتالي،
β = arctg (bsinα / (a + bcosα)) ،
β = arctg (2.sin60 / (3 + 2.cos60)) ≈ 23 درجة.
دعنا نتحقق من استخدام نظرية جيب التمام للمثلث:
أ 2 + ص 2 - 2ac.cosβ = ب 2 ،
أين
cosβ = (أ 2 + ص 2 - ب 2) / (2 أ ج)
و
β \ u003d arccos ((a 2 + c 2 - b 2) / (2ac)) \ u003d arccos ((3 2 + 4.4 2-2 2) / (2.3.4.4)) = 23 درجة.
إجابه: ج 4.4 ؛ β ≈ 23 درجة.

حل المشاكل.
8. بالنسبة للناقلات أو بالمعرفة في المثال 7 ، أوجد طول المتجه د = أ - بركن γ ما بين أو د.

9. أوجد إسقاط المتجه أ = 4.0i + 7.0jإلى خط مستقيم يكون اتجاهه زاوية α = 30 درجة مع محور الثور. المتجه أوالخط يقع في المستوى xOy.

10. المتجهات أيصنع زاوية α = 30 ° مع الخط المستقيم AB ، a = 3.0. في أي زاوية β على الخط AB يجب توجيه المتجه ب(ب = √ (3)) بحيث يكون المتجه ج = أ + بكانت موازية لـ AB؟ أوجد طول المتجه ج.

11 - تم إعطاء ثلاثة نواقل: أ = 3 ط + 2 ي - ك; ب = 2 ط - ي + ك; ج = أنا + 3 ي. إعثر على) أ + ب؛ ب) أ + ج؛ في) (أ ، ب)؛ ز) (أ ، ج) ب - (أ ، ب) ج.

12. الزاوية بين المتجهات أو بيساوي α = 60 درجة ، أ = 2.0 ، ب = 1.0. أوجد أطوال المتجهات ج = (أ ، ب) أ + بو د = 2 ب - أ / 2.

13. إثبات أن النواقل أو بتكون عمودية إذا كانت أ = (2 ، 1 ، −5) وب = (5 ، −5 ، 1).

14. أوجد الزاوية α بين المتجهين أو ب، إذا كانت أ = (1 ، 2 ، 3) ، ب = (3 ، 2 ، 1).

15. المتجهات أيصنع زاوية α = 30 ° مع محور Ox ، فإن إسقاط هذا المتجه على محور Oy هو y = 2.0. المتجه بعمودي على المتجه أو ب = 3.0 (انظر الشكل).

المتجه ج = أ + ب. البحث عن: أ) إسقاطات المتجهات بعلى محوري Ox و Oy ؛ ب) القيمة ج والزاوية β بين المتجه جومحور الثور ؛ سيارة أجرة)؛ د) (أ ، ج).

الإجابات:
9. a 1 \ u003d a x cosα + a y sinα 7.0.
10. β = 300 درجة ؛ ج = 3.5.
11. أ) 5i + j ؛ ب) أنا + 3 ي - 2 ك ؛ ج) 15 ط - 18 ي + 9 ك.
12. ج = 2.6 ؛ د = 1.7.
14. α = 44.4 درجة.
15. أ) ب س \ u003d -1.5 ؛ ب ص = 2.6 ؛ ب) ج = 5 ؛ β ≈ 67 درجة ؛ ج) 0 ؛ د) 16.0.
من خلال دراسة الفيزياء ، لديك فرص عظيمةأكمل تعليمك في جامعة فنية. سيتطلب ذلك تعميقًا موازيًا للمعرفة في الرياضيات والكيمياء واللغة وفي كثير من الأحيان في مواضيع أخرى. تخرج الفائز في الأولمبياد الجمهوري ، إيجور سافيتش ، من أحد أقسام معهد موسكو للفيزياء والتكنولوجيا ، حيث تُطالب بمعرفة الكيمياء. إذا كنت بحاجة إلى مساعدة في GIA في الكيمياء ، فاتصل بالمتخصصين ، وستحصل بالتأكيد على مساعدة مؤهلة وفي الوقت المناسب.

أنظر أيضا:

كمية المتجهات

كمية المتجهات- الكمية المادية ، وهي متجه (موتر من الرتبة 1). من ناحية ، فإنه يعارض العددية (الموترات من الرتبة 0) ، من ناحية أخرى ، لموترة الكميات (بالمعنى الدقيق للكلمة ، لعشرات من الرتبة 2 أو أكثر). يمكن أيضًا أن تتعارض مع أشياء معينة ذات طبيعة رياضية مختلفة تمامًا.

في معظم الحالات ، يستخدم مصطلح ناقل في الفيزياء للإشارة إلى ناقل في ما يسمى ب "الفضاء المادي" ، أي في الفضاء العادي ثلاثي الأبعاد في الفيزياء الكلاسيكية أو في الزمكان رباعي الأبعاد في الفيزياء الحديثة(في الحالة الأخيرةيتطابق مفهوم المتجه والكمية المتجهة مع مفهوم المتجه 4 وكمية 4 المتجهات).

إن استخدام عبارة "كمية المتجه" عمليا يستنفد بهذا. أما بالنسبة لاستخدام مصطلح "ناقل" ، فإنه ، على الرغم من الجاذبية الافتراضية تجاه نفس مجال التطبيق ، في بأعداد كبيرةالحالات ، ومع ذلك ، تتجاوز هذه الحدود. انظر أدناه لمزيد من المعلومات حول هذا.

استخدام المصطلحات المتجهو كمية ناقلاتفي الفيزياء

بشكل عام ، في الفيزياء ، يتطابق مفهوم المتجه بشكل كامل تقريبًا مع مفهوم الرياضيات. ومع ذلك ، هناك خصوصية مصطلحات تتعلق بحقيقة أن هذا المفهوم في الرياضيات الحديثة مفرط في التجريد (فيما يتعلق باحتياجات الفيزياء).

في الرياضيات ، فإن قول "متجه" يعني بالأحرى ناقل بشكل عام ، أي أي ناقل لأي مساحة خطية مجردة بشكل تعسفي من أي بُعد وطبيعة ، والتي ، إذا لم يتم بذل جهود خاصة ، يمكن أن تؤدي إلى الارتباك (ليس كثيرًا ، بالطبع ، من حيث الجوهر ، ولكن من حيث سهولة الاستخدام). إذا كان من الضروري أن تكون محددًا ، في الأسلوب الرياضي ، يتعين على المرء إما التحدث طويلاً ("ناقل كذا وكذا الفضاء") ، أو أن يفكر في ما يعنيه السياق الموصوف صراحةً.

ومع ذلك ، في الفيزياء ، لا يتعلق الأمر دائمًا بالأشياء الرياضية (التي تمتلك خصائص شكلية معينة) بشكل عام ، ولكن يتعلق بربطها المحدد ("المادي"). بالنظر إلى هذه الاعتبارات الملموسة مع اعتبارات الإيجاز والملاءمة ، يمكن للمرء أن يفهم أن ممارسة المصطلحات في الفيزياء تختلف بشكل ملحوظ عن الممارسة الرياضية. ومع ذلك ، فإنه لا يدخل في تناقض واضح مع الأخير. يمكن تحقيق ذلك ببعض "الحيل" البسيطة. بادئ ذي بدء ، تتضمن اصطلاحًا استخدام المصطلح افتراضيًا (عندما لا يتم تحديد السياق على وجه التحديد). لذلك ، في الفيزياء ، على عكس الرياضيات ، لا يُفهم متجه الكلمات بدون توضيحات إضافية على أنه "متجه لأي مساحة خطية بشكل عام" ، ولكن ، أولاً وقبل كل شيء ، متجه مرتبط بـ "الفضاء المادي العادي" ( مساحة ثلاثية الأبعاد الفيزياء الكلاسيكيةأو الزمكان رباعي الأبعاد للفيزياء النسبية). بالنسبة إلى متجهات المسافات التي لا ترتبط بشكل مباشر ومباشر بـ "الفضاء المادي" أو "الزمكان" ، ما عليك سوى استخدام أسماء خاصة (تتضمن أحيانًا كلمة "متجه" ، ولكن مع توضيح). إذا تم إدخال متجه لمساحة ما غير مرتبط بشكل مباشر ومباشر بـ "الفضاء المادي" أو "الزمكان" (والذي يصعب وصفه على الفور بأي طريقة محددة) في النظرية ، فغالبًا ما يتم وصفه على وجه التحديد بأنه "ناقلات مجردة".

كل ما قيل في أكثرمن مصطلح "ناقل" يشير إلى مصطلح "كمية متجه". يعني التقصير في هذه الحالة ارتباطًا أكثر صرامة بـ "الفضاء العادي" أو الزمكان ، واستخدام العناصر المجردة فيما يتعلق بالعناصر مساحات ناقلاتبدلاً من ذلك ، لا يحدث عمليًا ، على الأقل ، يُنظر إلى مثل هذا التطبيق على أنه استثناء نادر (إن لم يكن تحفظًا على الإطلاق).

في الفيزياء ، تسمى النواقل في أغلب الأحيان والكميات المتجهة - دائمًا تقريبًا - نواقل من فئتين متشابهتين:

أمثلة على المتجهات كميات فيزيائية: السرعة ، القوة ، التدفق الحراري.

نشأة كميات المتجهات

كيف ترتبط "الكميات المتجهة" المادية بالفضاء؟ بادئ ذي بدء ، من اللافت للنظر أن أبعاد الكميات المتجهة (بالمعنى المعتاد لاستخدام هذا المصطلح ، الموضح أعلاه) تتطابق مع نفس البعد "المادي" (و "الهندسي") ، على سبيل المثال ، الفضاء ثلاثي الأبعاد والمجالات الكهربائية ثلاثية الأبعاد. حدسيًا ، يمكن للمرء أيضًا أن يلاحظ أن أي كمية مادية متجهة ، بغض النظر عن مدى ارتباطها الغامض بالامتداد المكاني المعتاد ، مع ذلك لها اتجاه محدد تمامًا في هذا الفضاء العادي.

ومع ذلك ، فقد تبين أنه يمكن تحقيق المزيد من خلال "تقليل" المجموعة الكاملة لكميات متجه الفيزياء إلى أبسط ناقلات "هندسية" ، أو بالأحرى ، حتى إلى متجه واحد - متجه الإزاحة الأولية ، ولكنه سيكون كذلك الأصح أن نقول - باشتقاقها كلها منها.

يحتوي هذا الإجراء على تطبيقين مختلفين (على الرغم من تكرار بعضهما البعض بالتفصيل) للحالة ثلاثية الأبعاد للفيزياء الكلاسيكية ولصياغة الزمكان رباعية الأبعاد الشائعة في الفيزياء الحديثة.

حالة 3D الكلاسيكية

سننطلق من الفضاء "الهندسي" المعتاد ثلاثي الأبعاد الذي نعيش فيه ويمكننا التحرك فيه.

دعونا نأخذ متجه الإزاحة اللامتناهية في الصغر باعتباره المتجه الأولي والنموذجي. من الواضح جدًا أن هذا متجه "هندسي" عادي (بالإضافة إلى متجه إزاحة محدود).

لاحظ الآن على الفور أن ضرب متجه في عددي يعطي دائمًا متجهًا جديدًا. يمكن قول الشيء نفسه عن مجموع المتجهات واختلافها. في هذا الفصل ، لن نفرق بين المتجهات القطبية والمحورية ، لذا لاحظ أن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين يعطي أيضًا متجهًا جديدًا.

أيضًا ، يعطي المتجه الجديد تمايزًا في المتجه فيما يتعلق بعدد قياسي (نظرًا لأن هذا المشتق هو حد نسبة اختلاف المتجهات إلى العددية). يمكن أن يقال هذا أكثر عن مشتقات جميع الطلبات الأعلى. وينطبق الشيء نفسه على التكامل عبر الحجميات (الوقت والحجم).

لاحظ الآن ذلك ، بناءً على متجه نصف القطر صأو من الإزاحة الأولية د ص، نحن نفهم بسهولة أن النواقل هي (بما أن الوقت عدد قياسي) مثل الكميات الحركية مثل

من السرعة والتسارع ، مضروبا في عددي (كتلة) ، تظهر

نظرًا لأننا مهتمون الآن أيضًا بالمتجهات الكاذبة ، فإننا نلاحظ ذلك

باستخدام صيغة قوة لورنتز ، ترتبط شدة المجال الكهربائي وناقل الحث المغناطيسي بمتجهات القوة والسرعة.

بالاستمرار في هذا الإجراء ، نجد أن جميع كميات المتجهات المعروفة لدينا الآن ليست فقط بشكل حدسي ، ولكن أيضًا بشكل رسمي ، مرتبطة بالفضاء الأصلي. وبالتحديد ، كلهم ، بمعنى ما ، هم عناصره ، منذ ذلك الحين يتم التعبير عنها في الجوهر كمجموعات خطية من نواقل أخرى (مع عوامل عددية ، من المحتمل أن تكون أبعادًا ، ولكنها قياسية ، وبالتالي فهي قانونية تمامًا من الناحية الرسمية).

علبة حديثة رباعية الأبعاد

يمكن إجراء نفس الإجراء بدءًا من إزاحة رباعية الأبعاد. اتضح أن جميع الكميات ذات المتجهات الأربعة "تأتي" من إزاحة 4 ، وبالتالي فهي بمعنى ما نفس متجهات الزمكان مثل الإزاحة 4 نفسها.

أنواع النواقل فيما يتعلق بالفيزياء

المتجه القطبي أو الحقيقي هو ناقل عادي.
المتجه المحوري (pseudovector) - في الواقع ، ليس متجهًا حقيقيًا ، لكنه رسميًا لا يختلف تقريبًا عن الأخير ، باستثناء أنه يغير الاتجاه إلى العكس عندما يتغير اتجاه نظام الإحداثيات (على سبيل المثال ، عندما انعكاس المرآةنظم الإحداثيات). أمثلة على المتجهات الزائفة: جميع الكميات المحددة من خلال حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين قطبين.
هناك العديد من فئات التكافؤ المختلفة للقوى.

ملحوظات

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

شاهد ما هي "كمية المتجهات" في القواميس الأخرى:

كمية ناقلات- - [Ya.N. Luginsky، MS Fezi Zhilinskaya، Yu.S. Kabirov. القاموس الإنجليزي الروسي للهندسة الكهربائية وصناعة الطاقة ، موسكو ، 1999] موضوعات الهندسة الكهربائية ، المفاهيم الأساسية كمية المتجهات EN ... دليل المترجم الفني

كمية ناقلات- vektorinis dydis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. كمية ناقلات كمية متجهة vok. Vektorgröße ، ف ؛ vektorielle Größe، f rus. كمية ناقلات و pranc. ناقلات العظمة ، و ... Automatikos terminų žodynas

كمية ناقلات- vektorinis dydis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. كمية ناقلات كمية متجهة vok. Vektorgröße ، ف ؛ vektorielle Größe، f rus. كمية ناقلات و pranc. ناقلات العظمة ، و ... Fizikos terminų žodynas

تمثيل بياني للكميات المتغيرة وفقًا لقانون الجيب (جيب التمام) والعلاقات بينها باستخدام المقاطع الموجهة من المتجهات. مخططات المتجهاتتستخدم على نطاق واسع في الهندسة الكهربائية والصوتيات والبصريات ونظرية الاهتزاز وما إلى ذلك ... ... ويكيبيديا

يعيد توجيه "القوة" هنا ؛ انظر أيضا معاني أخرى. قوة البعد LMT − 2 وحدات SI ... ويكيبيديا

هذه المقالة أو القسم يحتاج إلى مراجعة. يرجى تحسين المقال وفقًا لقواعد كتابة المقالات. المادية ... ويكيبيديا

هذه الكمية ، نتيجة للتجربة ، تأخذ إحدى القيم العديدة ، ولا يمكن التنبؤ بدقة بظهور قيمة أو أخرى لهذه الكمية قبل قياسها. رَسمِيّ التعريف الرياضيالتالي: دع الاحتمالية ...... ويكيبيديا

الدالات المتجهة والحجمية للإحداثيات والوقت ، وهي خصائص الكهربائية حقل مغناطيسي. ناقلات P. ه. اتصل الكمية المتجهة أ ، الدوار ك سرب يساوي المتجهفي تحريض المجال المغناطيسي ؛ rotA V. Scalar P. e. اتصل القيمة العددية f ، ... ... قاموس موسوعي كبير للفنون التطبيقية

القيمة التي تميز الدوران. تأثير القوة عندما تعمل على شاشة التلفزيون. هيئة. يميز M. مع. بالنسبة إلى المركز (النقطة) ونسبة إلى النقطة الرئيسية. آنسة. بالنسبة إلى المركز O (الشكل أ) هي كمية متجهة عدديًا يساوي المنتجقوة الوحدة F على ... ... علم الطبيعة. قاموس موسوعي

كمية متجهة تميز معدل التغير في سرعة نقطة من حيث قيمتها العددية واتجاهها. في الحركة المستقيمةالنقاط عندما تزيد سرعتها (أو تنقص) بشكل موحد ، عدديًا V. في الوقت المناسب: ... ... الموسوعة السوفيتية العظمى

لا يمكن للفيزياء والرياضيات الاستغناء عن مفهوم "كمية المتجه". يجب أن تكون معروفة ومعترف بها ، وكذلك تكون قادرة على التعامل معها. يجب عليك بالتأكيد أن تتعلم هذا حتى لا يتم الخلط بينكما ولا ترتكب أخطاء غبية.

كيفية التمييز بين القيمة العددية والمتجهية؟

الأول له خاصية واحدة فقط. هذه هي قيمتها العددية. يمكن أن تأخذ معظم المقاييس قيمًا موجبة وسالبة. ومن الأمثلة الشحنة الكهربائية أو العمل أو درجة الحرارة. لكن هناك بعض المقاييس التي لا يمكن أن تكون سالبة ، مثل الطول والكتلة.

كمية المتجهات ، باستثناء قيمة عددية، والتي يتم أخذها دائمًا modulo ، تتميز أيضًا بالاتجاه. لذلك ، يمكن تصويره بيانياً ، أي في شكل سهم ، طوله يساوي معامل القيمة الموجهة في اتجاه معين.

عند الكتابة ، تتم الإشارة إلى كل كمية متجه بعلامة سهم على الحرف. اذا كان في السؤالحول قيمة عددية ، ثم السهم غير مكتوب أو يتم أخذها بطريقة معيارية.

ما هي الإجراءات التي يتم تنفيذها غالبًا باستخدام النواقل؟

أولا ، مقارنة. قد تكون أو لا تكون متساوية. في الحالة الأولى ، وحداتهم هي نفسها. لكن هذا ليس الشرط الوحيد. يجب أن يكون لديهم أيضًا نفس الاتجاه أو الاتجاه المعاكس. في الحالة الأولى ، يجب أن يتم استدعاؤهم نواقل متساوية. في الثانية ، هم عكس ذلك. إذا لم يتم استيفاء أحد هذه الشروط على الأقل ، فلن تكون المتجهات متساوية.

ثم تأتي الإضافة. يمكن أن يتم ذلك وفقًا لقاعدتين: مثلث أو متوازي أضلاع. الأول يقضي بتأجيل المتجه الأول ، ثم من نهايته الثاني. ستكون نتيجة الإضافة هي النتيجة التي يجب رسمها من بداية الأول إلى نهاية الثانية.

يمكن استخدام قاعدة متوازي الأضلاع عندما تحتاج إلى إضافة كميات متجهة في الفيزياء. على عكس القاعدة الأولى ، هنا يجب تأجيلها من نقطة واحدة. ثم قم ببنائها على شكل متوازي الأضلاع. يجب اعتبار نتيجة الإجراء قطري متوازي الأضلاع المرسوم من نفس النقطة.

إذا تم طرح كمية متجهة من أخرى ، فسيتم رسمها مرة أخرى من نقطة واحدة. ستكون النتيجة فقط متجهًا يتطابق مع المتجه المرسوم من نهاية الثاني إلى نهاية الأول.

ما النواقل التي تمت دراستها في الفيزياء؟

هناك العديد منهم كما هناك عددية. يمكنك ببساطة تذكر كميات المتجهات الموجودة في الفيزياء. أو تعرف على العلامات التي يمكن من خلالها حسابها. بالنسبة لأولئك الذين يفضلون الخيار الأول ، سيكون هذا الجدول مفيدًا. يحتوي على ناقلات الكميات الفيزيائية الرئيسية.

الآن المزيد عن بعض هذه الكميات.

القيمة الأولى هي السرعة

يجدر البدء بإعطاء أمثلة لكميات المتجهات منه. هذا يرجع إلى حقيقة أنه تمت دراسته من بين الأوائل.

تُعرَّف السرعة بأنها إحدى خصائص حركة الجسم في الفضاء. يحدد قيمة عددية واتجاه. لذلك ، السرعة هي كمية متجهة. بالإضافة إلى ذلك ، من المعتاد تقسيمها إلى أنواع. اول واحد هو السرعة الخطية. يتم تقديمه عند التفكير في خط مستقيم حركة موحدة. في هذه الحالة ، يتبين أنها تساوي نسبة المسار الذي يقطعه الجسم إلى وقت الحركة.

يمكن استخدام نفس الصيغة للحركة غير المتساوية. عندها فقط سيكون متوسط. علاوة على ذلك ، يجب بالضرورة أن تكون الفترة الزمنية التي سيتم اختيارها قصيرة قدر الإمكان. عندما يميل الفاصل الزمني إلى الصفر ، تكون قيمة السرعة فورية بالفعل.

إذا تم النظر في حركة تعسفية ، فهنا تكون السرعة دائمًا كمية متجهة. بعد كل شيء ، يجب أن تتحلل إلى مكونات موجهة على طول كل متجه لتوجيه خطوط الإحداثيات. بالإضافة إلى ذلك ، يتم تعريفه على أنه مشتق من متجه نصف القطر ، بالنسبة للوقت.

القيمة الثانية هي القوة

يحدد مقياس شدة التأثير الذي تمارسه الهيئات أو المجالات الأخرى على الجسم. نظرًا لأن القوة عبارة عن كمية متجهة ، فإن لها بالضرورة قيمة واتجاه معياري خاص بها. نظرًا لأنه يعمل على الجسم ، فإن النقطة التي يتم تطبيق القوة عليها مهمة أيضًا. ليحصل التمثيل المرئيحول متجهات القوة ، يمكنك الرجوع إلى الجدول التالي.

أيضًا ، القوة المحصلة هي أيضًا كمية متجهة. يتم تعريفه على أنه مجموع كل المؤثرات على الجسم القوى الميكانيكية. لتحديد ذلك ، من الضروري إجراء عملية الجمع وفقًا لمبدأ قاعدة المثلث. ما عليك سوى تأجيل المتجهات بدوره من نهاية السابقة. ستكون النتيجة هي التي تربط بداية الأول بنهاية الأخير.

الكمية الثالثة هي الإزاحة

أثناء الحركة ، يصف الجسم خطًا معينًا. يطلق عليه المسار. يمكن أن يكون هذا الخط مختلفًا تمامًا. الأهم ليست هي مظهر خارجيونقاط البداية والنهاية للحركة. ترتبط ببعضها البعض بواسطة جزء يسمى الإزاحة. هذه أيضًا كمية متجهة. علاوة على ذلك ، يتم توجيهها دائمًا من بداية الحركة إلى النقطة التي توقفت فيها الحركة. من المقبول تعيينه حرف لاتينيص.

وهنا قد ينشأ السؤال التالي: "هل المسار كمية متجهة؟". في الحالة العامةهذا البيان غير صحيح. طريق يساوي الطولالمسار وليس له اتجاه محدد. الاستثناء هو الموقف عندما يتم النظر في الحركة المستقيمة في اتجاه واحد. ثم يتطابق معامل متجه الإزاحة في القيمة مع المسار ، ويتضح أن اتجاههما هو نفسه. لذلك ، عند التفكير في الحركة على طول خط مستقيم دون تغيير اتجاه الحركة ، يمكن تضمين المسار في أمثلة كميات المتجهات.

القيمة الرابعة هي التسارع

إنها سمة من سمات معدل تغير السرعة. علاوة على ذلك ، يمكن أن يكون التسارع موجبًا و معنى سلبي. في حركة مستقيمة ، يتم توجيهها في اتجاه سرعة أعلى. إذا كانت الحركة من قبل مسار منحني، ثم يتحلل متجه التسارع إلى مكونين ، أحدهما موجه إلى مركز الانحناء على طول نصف القطر.

خصص متوسط قيمة التسارع واللحظية. يجب حساب الأول على أنه نسبة التغير في السرعة خلال فترة زمنية معينة إلى هذا الوقت. عندما تميل الفترة الزمنية المدروسة إلى الصفر ، يتحدث المرء عن تسارع لحظي.

القيمة الخامسة - الزخم

بطريقة أخرى ، يطلق عليه أيضًا مقدار الحركة. الزخم هو كمية متجهية بسبب حقيقة أنه يرتبط ارتباطًا مباشرًا بالسرعة والقوة المطبقة على الجسم. كلاهما له اتجاه ويعطيه للاندفاع.

بحكم التعريف ، الأخير يساوي المنتجوزن الجسم للسرعة. باستخدام مفهوم زخم الجسم ، يمكن للمرء أن يكتب قانون نيوتن المعروف بطريقة مختلفة. اتضح أن التغير في الزخم يساوي حاصل ضرب القوة والفاصل الزمني.

في الفيزياء دورا هامالديه قانون الحفاظ على الزخم ، والذي ينص على أنه في نظام مغلق من الأجسام يكون الزخم الكلي ثابتًا.

لقد قمنا بإدراج الكميات (المتجه) التي تمت دراستها في سياق الفيزياء بإيجاز شديد.

مشكلة التأثير غير المرن

حالة. هناك منصة ثابتة على القضبان. سيارة تقترب منها بسرعة 4 م / ث. كتلتي المنصة والعربة 10 و 40 طنًا على التوالي. تصطدم السيارة بالمنصة ، يحدث قارنة أوتوماتيكية. من الضروري حساب سرعة نظام منصة العربة بعد الاصطدام.

المحلول. أولاً ، تحتاج إلى إدخال الرمز: سرعة السيارة قبل الاصطدام - v1 ، السيارة ذات المنصة بعد اقتران - v ، كتلة السيارة m1 ، وزن المنصة - m2. وفقًا لحالة المشكلة ، من الضروري معرفة قيمة السرعة v.

تتطلب قواعد حل مثل هذه المهام تمثيلًا تخطيطيًا للنظام قبل وبعد التفاعل. من المعقول توجيه محور OX على طول القضبان في الاتجاه الذي تتحرك فيه السيارة.

في ظل هذه الظروف ، يمكن اعتبار نظام العربة مغلقًا. هذا يتحدد من خلال حقيقة أن قوى خارجيةيمكن إهمالها. قوة الجاذبية ورد فعل الدعم متوازنة ، والاحتكاك على القضبان لا يؤخذ في الاعتبار.

وفقًا لقانون الحفاظ على الزخم ، فإن مجموع المتجه قبل تفاعل السيارة والمنصة يساوي إجمالي قارنة التوصيل بعد التأثير. في البداية ، لم تتحرك المنصة ، لذلك كان زخمها صفرًا. فقط العربة تتحرك ، زخمها هو حاصل ضرب m1 و v1.

نظرًا لأن التأثير كان غير مرن ، أي تشبث العربة بالمنصة ، ثم بدأت في التدحرج معًا في نفس الاتجاه ، فإن دافع النظام لم يغير الاتجاه. لكن معناه تغير. أي ناتج مجموع كتلة العربة مع المنصة والسرعة المطلوبة.

يمكنك كتابة المساواة التالية: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. سيكون هذا صحيحًا بالنسبة لإسقاط متجهات الزخم على المحور المحدد. من السهل اشتقاق المساواة المطلوبة لحساب السرعة المطلوبة: v = m1 * v1 / (m1 + m2).

وفقًا للقواعد ، يجب عليك تحويل قيم الكتلة من الأطنان إلى الكيلوجرامات. لذلك ، عند استبدالها في الصيغة ، يجب عليك أولاً ضرب القيم المعروفة بألف. تعطي الحسابات البسيطة عددًا قدره 0.75 م / ث.

إجابه. سرعة العربة مع المنصة 0.75 م / ث.

تقسيم الجسم إلى أجزاء

حالة. سرعة القنبلة الطائرة 20 م / ث. تنقسم إلى قطعتين. كتلة الأولى 1.8 كجم. تستمر في التحرك في الاتجاه الذي كانت القنبلة تحلق فيه بسرعة 50 م / ث. القطعة الثانية كتلتها 1.2 كجم. ما هي سرعته؟

المحلول. دع كتل الشظايا يشار إليها بالحرفين m1 و m2. ستكون سرعتهم v1 و v2 على التوالي. سرعة البدءقنابل يدوية في المهمة ، تحتاج إلى حساب القيمة v2.

لكي يستمر الجزء الأكبر في التحرك في نفس اتجاه القنبلة بأكملها ، يجب أن يطير الجزء الثاني الجانب المعاكس. إذا اخترنا اتجاه المحور الذي كان له الدافع الأولي، ثم بعد الفاصل ، يطير جزء كبير على طول المحور ، وجزء صغير يطير ضد المحور.

في هذه المشكلة ، يُسمح باستخدام قانون الحفاظ على الزخم نظرًا لحقيقة أن انفجار القنبلة يحدث على الفور. لذلك ، على الرغم من حقيقة أن الجاذبية تعمل على القنبلة وأجزائها ، إلا أنه ليس لديها الوقت للعمل وتغيير اتجاه متجه الزخم بقيمة معامله.

مجموع قيم المتجه للزخم بعد انفجار القنبلة يساوي ما قبلها. إذا كتبنا قانون حفظ زخم الجسم في الإسقاط على محور OX ، فسيبدو كما يلي: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. من السهل التعبير عن السرعة المطلوبة منه. يتم تحديده بالصيغة: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. بعد استبدال القيم العددية والحسابات ، يتم الحصول على 25 م / ث.

إجابه. سرعة الشظية الصغيرة 25 م / ث.

مشكلة في التصوير بزاوية

حالة. أداة مثبتة على منصة كتلتها M. يتم إطلاق قذيفة كتلتها m. تقلع بزاوية α إلى الأفق بسرعة v (بالنسبة إلى الأرض). مطلوب معرفة سرعة المنصة بعد اللقطة.

المحلول. في هذه المشكلة ، يمكنك استخدام قانون الحفاظ على الزخم في الإسقاط على محور OX. ولكن فقط في الحالة التي يكون فيها إسقاط القوى الناتجة الخارجية مساويًا للصفر.

بالنسبة لاتجاه محور OX ، تحتاج إلى اختيار الجانب الذي ستطير فيه المقذوف ، وبالتوازي مع الخط الأفقي. في هذه الحالة ، ستكون إسقاطات قوى الجاذبية ورد فعل الدعم على OX مساوية للصفر.

سيتم حل المشكلة في نظرة عامةحيث لا توجد بيانات محددة عن الكميات المعروفة. الصيغة هي الجواب.

كان زخم النظام قبل اللقطة يساوي صفرًا ، لأن المنصة والقذيفة كانتا ثابتين. دع السرعة المطلوبة للمنصة يتم الإشارة إليها بالحرف اللاتيني u. ثم يتم تحديد زخمها بعد الطلقة كحاصل ضرب الكتلة وإسقاط السرعة. نظرًا لأن المنصة تتراجع (عكس اتجاه محور OX) ، ستكون قيمة الزخم بعلامة ناقص.

زخم المقذوف هو نتاج كتلته وإسقاط السرعة على محور OX. نظرًا لحقيقة أن السرعة موجهة بزاوية مع الأفق ، فإن إسقاطها يساوي السرعة مضروبة في جيب تمام الزاوية. في المساواة الحرفية ، سيبدو كما يلي: 0 = - Mu + mv * cos α. منه ، من خلال التحولات البسيطة ، يتم الحصول على صيغة الإجابة: u = (mv * cos α) / M.

إجابه. يتم تحديد سرعة المنصة بواسطة الصيغة u = (mv * cos α) / M.

مشكلة عبور النهر

حالة. عرض النهر بطوله بالكامل هو نفسه ويساوي l ، وضفافه متوازية. سرعة تدفق المياه في النهر v1 والسرعة الخاصة للقارب v2 معروفة. واحد). عند العبور ، يتم توجيه قوس القارب بدقة إلى الشاطئ المقابل. إلى أي مدى سيتم نقلها في اتجاه مجرى النهر؟ 2). في أي زاوية يجب توجيه قوس القارب بحيث يصل إلى الضفة المقابلة بشكل عمودي تمامًا على نقطة الانطلاق؟ كم من الوقت سيستغرق هذا العبور؟

المحلول. واحد). السرعة الكاملة للقارب هي مجموع متجه للكميتين. أولها مجرى النهر ، الذي يتجه على طول الضفاف. والثاني هو السرعة الخاصة للقارب ، عموديًا على الشواطئ. يظهر الرسم اثنين مثلثات متشابهة. الأول يتكون من عرض النهر والمسافة التي يحملها القارب. الثاني هو متجهات السرعة.

الإدخال التالي يتبع منهم: s / l = v1 / v2. بعد التحويل ، يتم الحصول على صيغة القيمة المرغوبة: s = l * (v1 / v2).

2). في هذا الإصدار من المشكلة ، يكون متجه السرعة الكلية عموديًا على البنوك. إنه يساوي مجموع المتجه v1 و v2. جيب الزاوية التي يجب أن ينحرف بها متجه السرعة يساوي نسبة الوحدتين v1 و v2. لحساب وقت السفر ، ستحتاج إلى قسمة عرض النهر على السرعة الإجمالية المحسوبة. يتم حساب قيمة الأخير بواسطة نظرية فيثاغورس.

v = √ (v22 - v12) ، ثم t = l / (√ (v22 - v12)).

إجابه. واحد). ق = ل * (v1 / v2) ، 2). الخطيئة α = v1 / v2 ، t = l / (√ (v22 - v12)).

عند دراسة مختلف فروع الفيزياء والميكانيكا و العلوم التقنيةهناك كميات يتم تحديدها بالكامل من خلال تحديد قيمها العددية ، بشكل أكثر دقة ، والتي يتم تحديدها بالكامل باستخدام الرقم الذي تم الحصول عليه نتيجة قياسها قيمة متجانسةتؤخذ كوحدة. تسمى هذه الكميات العدديةأو باختصار الحجميات. الكميات القياسية ، على سبيل المثال ، هي الطول ، والمساحة ، والحجم ، والوقت ، والكتلة ، ودرجة حرارة الجسم ، والكثافة ، والعمل ، والسعة الكهربائية ، وما إلى ذلك. وبما أن الكمية القياسية يتم تحديدها بواسطة رقم (موجب أو سالب) ، فيمكن رسمها على المقابلة تنسيق المحور. على سبيل المثال ، غالبًا ما يبنون محور الوقت ودرجة الحرارة والطول (المسار) وغيرها.

بالإضافة إلى الكميات العددية ، في مسائل مختلفة توجد كميات لتحديد منها ، بالإضافة إلى القيمة العددية ، من الضروري أيضًا معرفة اتجاهها في الفضاء. تسمى هذه الكميات المتجه. الأمثلة الفيزيائية للكميات المتجهة هي الإزاحة نقطة ماديةتتحرك في الفضاء ، سرعة هذه النقطة وتسارعها ، وكذلك القوة المؤثرة عليها ، قوة المجال الكهربائي أو المغناطيسي. يتم استخدام كميات المتجهات ، على سبيل المثال ، في علم المناخ. تأمل في مثال بسيط من علم المناخ. إذا قلنا أن الرياح تهب بسرعة 10 م / ث ، فسنقدم قيمة قياسية لسرعة الرياح ، ولكن إذا قلنا أن الرياح الشمالية تهب بسرعة 10 م / ث ، فسنقدم قيمة قياسية لسرعة الرياح ، ولكن إذا قلنا أن الرياح الشمالية تهب بسرعة 10 م / ث ، في هذه الحالة ، ستكون سرعة الرياح بالفعل كمية متجهة.

يتم تمثيل كميات المتجهات باستخدام المتجهات.

بالنسبة للتمثيل الهندسي للكميات المتجهة ، يتم استخدام المقاطع الموجهة ، أي المقاطع التي لها اتجاه ثابت في الفضاء. في هذه الحالة ، يكون طول المقطع مساويًا للقيمة العددية لكمية المتجه ، ويتزامن اتجاهه مع اتجاه كمية المتجه. يسمى المقطع الموجه الذي يميز كمية متجهية معينة ناقلات هندسيةأو مجرد ناقل.

يلعب مفهوم المتجه دورًا مهمًا في كل من الرياضيات وفي العديد من مجالات الفيزياء والميكانيكا. يمكن تمثيل العديد من الكميات الفيزيائية باستخدام المتجهات ، وغالبًا ما يساهم هذا التمثيل في تعميم وتبسيط الصيغ والنتائج. غالبًا ما يتم تحديد الكميات المتجهة والمتجهات التي تمثلها مع بعضها البعض: على سبيل المثال ، يقولون أن القوة (أو السرعة) هي ناقل.

تُستخدم عناصر الجبر المتجه في تخصصات مثل: 1) الآلات الكهربائية ؛ 2) محرك كهربائي آلي. 3) الإضاءة الكهربائية والإشعاع. 4) سلاسل غير ممنوحة التيار المتناوب؛ 5) الميكانيكا التطبيقية. 6) الميكانيكا النظرية؛ 7) الفيزياء. 8) المكونات الهيدروليكية: 9) أجزاء الماكينة ؛ 10) قوة المواد. 11) الإدارة ؛ 12) الكيمياء. 13) علم الحركة. 14) احصائيات ، إلخ.

2. تعريف المتجه.يتم تعريف القطعة المستقيمة بنقطتين متساويتين - نهاياتها. ولكن يمكن للمرء أن يفكر في مقطع موجه محدد بزوج من النقاط المرتب. من المعروف عن هذه النقاط أي منها هي الأولى (البداية) وأيها هي (النهاية).

يُفهم المقطع الموجه على أنه زوج مرتب من النقاط ، أولهما - النقطة A - يسمى بدايته ، والثاني - B - نهايته.

ثم تحت المتجهفي أبسط الحالات ، يتم فهم المقطع الموجه نفسه ، وفي حالات أخرى ، يتم فهم النواقل المختلفة فصول مختلفةمعادلات المقاطع الموجهة ، التي تحددها بعض علاقة التكافؤ المحددة. علاوة على ذلك ، يمكن أن تكون علاقة التكافؤ مختلفة ، مما يحدد نوع المتجه ("مجاني" ، "ثابت" ، إلخ). ببساطة ، ضمن فئة التكافؤ ، يتم التعامل مع جميع المقاطع الموجهة المضمنة فيه على أنها متساوية تمامًا ، ويمكن لكل منها تمثيل الفصل بأكمله بالتساوي.

تلعب النواقل دورًا مهمًا في دراسة التحولات متناهية الصغر في الفضاء.

التعريف 1.مقطع موجه (أو ، ما هو نفسه ، زوج مرتب من النقاط) سنسميه المتجه. عادة ما يتم تمييز الاتجاه على المقطع بسهم. عند الكتابة ، يتم وضع سهم فوق التعيين الحرفي للمتجه ، على سبيل المثال: (في هذه الحالة ، يجب وضع الحرف المقابل لبداية المتجه في المقدمة). في الكتب ، غالبًا ما يتم كتابة الأحرف التي تشير إلى ناقل بالخط العريض ، على سبيل المثال: أ.

سيشار أيضًا إلى ما يسمى بالمتجه الصفري ، الذي تتطابق بدايته مع نهايته ، باسم المتجهات.

يسمى المتجه الذي تتزامن بدايته مع نهايته صفر. يتم الإشارة إلى المتجه الفارغ بـ 0 أو ببساطة.

تسمى المسافة بين بداية ونهاية المتجه لها طويل(إلى جانب وحدةوالقيمة المطلقة). يُشار إلى طول المتجه بالرمز | | أو | |. طول المتجه ، أو معامل المتجه ، هو طول المقطع الموجه المقابل: | | =.

يتم استدعاء النواقل علاقة خطية متداخلة، إذا كانت تقع على نفس الخط أو على خطوط متوازية ، باختصار ، إذا كان هناك خط متوازيين.

يتم استدعاء النواقل متحد المستوى، إذا كان هناك مستوى متوازيين ، فيمكن تمثيلهم بواسطة متجهات تقع على نفس المستوى. يعتبر المتجه الصفري خطيًا متواصلًا مع أي متجه ، نظرًا لعدم وجود اتجاه محدد له. طوله ، بالطبع ، هو صفر. من الواضح أن أي متجهين هما متحد المستوى ؛ ولكن بالطبع ليست كل ثلاثة نواقل في الفضاء متحد المستوى. بما أن المتجهات الموازية لبعضها البعض تكون موازية لنفس المستوى ، إذن ناقلات خطيةأكثر من ذلك بكثير متحد المستوى. بالطبع ، العكس ليس صحيحًا: قد لا تكون المتجهات متحدية المستوى متداخلة. بحكم الشرط أعلاه ، يكون المتجه الصفري خطيًا مع أي متجه ومستوى مع أي زوج من المتجهات ، أي إذا كان بين ثلاثة نواقلصفر واحد على الأقل ، إذن هم متحد المستوى.

2) تعني كلمة "متحد المستوى" في جوهرها: "وجود مستوى مشترك" ، أي "يقع في نفس المستوى". ولكن نظرًا لأننا نتحدث هنا عن المتجهات المجانية التي يمكن نقلها (دون تغيير الطول والاتجاه) بطريقة عشوائية ، يجب أن نسمي متجهات متحدة المستوى موازية لنفس المستوى ، لأنه في هذه الحالة يمكن نقلها بحيث تتحول ليكون موجودا في طائرة واحدة.

لتقصير الخطاب ، سوف نتفق على مصطلح واحد: إذا كانت عدة نواقل حرة موازية لنفس المستوى ، فسنقول إنها متحدة المستوى. على وجه الخصوص ، يكون متجهان دائمًا متحد المستوى ؛ للتحقق من ذلك يكفي تأجيلهم من نفس النقطة. من الواضح ، علاوة على ذلك ، أن اتجاه المستوى الذي يكون فيه متجهان متوازيان يتم تحديدهما تمامًا إذا كان هذان المتجهان غير متوازيين. أي مستوى تتوازى مع المتجهات المستوية المعطاة سيطلق عليه ببساطة مستوى المتجهات المعطاة.

التعريف 2.يتم استدعاء المتجهين مساوإذا كانا متصلين ، ولهما نفس الاتجاه ، ولهما نفس الطول.

يجب أن نتذكر دائمًا أن المساواة بين أطوال متجهين لا تعني المساواة بين هذين المتجهين.

بالمعنى الحقيقي للتعريف ، متجهان ، بشكل منفصل يساوي الثالث ، متساويان مع بعضهما البعض. من الواضح أن جميع المتجهات الصفرية متساوية مع بعضها البعض.

من هذا التعريف ، يتبع على الفور أنه باختيار أي نقطة أ "، يمكننا إنشاء (وواحد فقط) المتجه أ" ب "، يساوي بعض ناقلات معينة، أو ، كما يقولون ، حرك المتجه إلى النقطة أ ".

تعليق. بالنسبة إلى المتجهات ، لا توجد مفاهيم "أكبر من" أو "أقل من" ، أي كانت متساوية أو غير متساوية.

يسمى المتجه الذي طوله يساوي واحدًا غير مرتبطةمتجه ويشار إليه بواسطة البريد. حتى النصر، الاتجاه الذي يتزامن مع اتجاه المتجه أ ، يسمى ortomناقلات ويشار إليها بواسطة أ.

3. على تعريف آخر للمتجه. لاحظ أن مفهوم المساواة في النواقل يختلف اختلافًا كبيرًا عن مفهوم المساواة ، على سبيل المثال ، الأرقام. كل رقم يساوي نفسه فقط ، بمعنى آخر ، يمكن اعتبار رقمين متساويين في جميع الظروف كرقم واحد ونفس العدد. مع المتجهات ، كما نرى ، يختلف الوضع: بحكم التعريف ، هناك نواقل مختلفة ولكنها متساوية. على الرغم من أننا في معظم الحالات لن نحتاج إلى التمييز بينهما ، فقد يتبين أننا في مرحلة ما سنكون مهتمين بالمتجه ، وليس متجهًا آخر مساويًا لـ A "B".

من أجل تبسيط مفهوم المساواة في النواقل (وإزالة بعض الصعوبات المرتبطة به) ، يذهب المرء أحيانًا إلى تعقيد تعريف المتجه. لن نستخدم هذا التعريف المعقد ، لكننا سنقوم بصياغته. لتجنب الالتباس ، سنكتب "Vector" (مع الحرف الكبير) للدلالة على المفهوم المحدد أدناه.

التعريف 3. دعونا نعطي مقطع موجه. تسمى مجموعة كل المقاطع الموجهة التي تساوي قطعة معينة بمعنى التعريف 2 المتجه.

وبالتالي ، فإن كل مقطع موجه يحدد متجهًا. من السهل أن ترى أن مقطعين موجهين يعرّفان نفس المتجه إذا وفقط إذا كانا متساويين. بالنسبة إلى المتجهات ، كما هو الحال بالنسبة للأرقام ، تعني المساواة نفس الشيء: يتساوى متجهان إذا كانا نفس المتجه وفقط إذا كانا متجهين.

في الترجمة المتوازية للفضاء ، تشكل النقطة وصورتها زوجًا مرتبًا من النقاط وتحدد مقطعًا موجهًا ، وجميع هذه المقاطع الموجهة متساوية بمعنى التعريف 2. لذلك ، يمكن تحديد ترجمة موازية للفضاء باستخدام متجه يتكون من كل هذه المقاطع الموجهة.

من الدورة الأوليةيدرك الفيزيائيون جيدًا أنه يمكن تمثيل القوة بجزء موجه. لكن لا يمكن تمثيله بواسطة متجه ، حيث أن القوى الممثلة بمقاطع موجهة متساوية تنتج ، بشكل عام ، تأثيرات مختلفة. (إذا كانت القوة تؤثر على جسم مرن ، فلا يمكن نقل الجزء الموجه الذي يمثلها حتى على طول الخط المستقيم الذي تقع عليه.)

هذا هو أحد الأسباب فقط ، إلى جانب المتجهات ، أي المجموعات (أو ، كما يقولون ، الفئات) من المقاطع الموجهة المتساوية ، علينا النظر في الممثلين الفرديين لهذه الفئات. في ظل هذه الظروف ، يصبح تطبيق التعريف 3 أكثر تعقيدًا. عدد كبيرالتحفظات. سوف نلتزم بالتعريف 1 ، ومن خلال المعنى العام ، سيكون من الواضح دائمًا ما إذا كنا نتحدث عن ناقل محدد جيدًا ، أو يمكن استبدال أي شخص مكافئ له في مكانه.

فيما يتعلق بتعريف المتجه ، يجدر شرح معنى بعض الكلمات الموجودة في الأدبيات.

في الفيزياء ، هناك عدة فئات للكميات: المتجه والسلمي.

ما هي الكمية المتجهة؟

الكمية المتجهة لها خاصيتان رئيسيتان: الاتجاه والوحدة. سيكون المتجهان متماثلين إذا كانت قيمتهما النمطية واتجاههما متماثلان. لتعيين كمية متجهة ، غالبًا ما يتم استخدام الأحرف ، حيث يتم عرض سهم. مثال على كمية المتجه القوة أو السرعة أو التسارع.

من أجل فهم جوهر الكمية المتجهة ، يجب على المرء أن ينظر فيها نقطة هندسيةرؤية. المتجه هو قطعة مستقيمة لها اتجاه. طول هذا المقطع يتوافق مع قيمة وحدته. مثال فيزيائيالكمية المتجهة هي إزاحة نقطة مادية تتحرك في الفضاء. سيتم أيضًا عرض معلمات مثل تسارع هذه النقطة والسرعة والقوى المؤثرة عليها والمجال الكهرومغناطيسي ككميات متجهة.

إذا أخذنا في الاعتبار كمية متجهة بغض النظر عن الاتجاه ، فيمكن قياس هذا المقطع. ولكن ، ستعرض النتيجة الخصائص الجزئية للقيمة فقط. من أجل القياس الكامل ، يجب استكمال القيمة بمعلمات أخرى للقطاع الموجه.

في ناقلات الجبرهناك مفهوم ناقل صفر. تحت هذا المفهوم يقصد نقطة. أما اتجاه المتجه الصفري ، فيُعتبر غير محدد. يتم الإشارة إلى المتجه الصفري بواسطة الصفر الحسابي المكتوب بالخط العريض.

إذا قمنا بتحليل كل ما سبق ، يمكننا أن نستنتج أن جميع المقاطع الموجهة تحدد المتجهات. سيحدد جزءان متجهًا واحدًا فقط إذا كانا متساويين. عند مقارنة المتجهات ، تنطبق نفس القاعدة عند مقارنة القيم العددية. المساواة تعني التطابق الكامل من جميع النواحي.

ما هي القيمة العددية؟

على عكس المتجه ، تحتوي الكمية العددية على معلمة واحدة فقط - إنها كذلك قيمتها العددية. تجدر الإشارة إلى أن القيمة التي تم تحليلها يمكن أن يكون لها قيمة عددية موجبة وقيمة سالبة.

تشمل الأمثلة الكتلة أو الجهد أو التردد أو درجة الحرارة. مع هذه القيم ، يمكنك تنفيذ مختلف عمليات حسابية: الجمع والقسمة والطرح والضرب. بالنسبة للكمية العددية ، فإن خاصية مثل الاتجاه ليست مميزة.

يتم قياس الكمية العددية بواسطة قيمة رقمية ، بحيث يمكن عرضها على محور الإحداثيات. على سبيل المثال ، غالبًا ما يبنون محور المسافة المقطوعة أو درجة الحرارة أو الوقت.

الاختلافات الرئيسية بين الكميات العددية والمتجهة

من الأوصاف المذكورة أعلاه ، يمكن ملاحظة أن الاختلاف الرئيسي بين الكميات المتجهة والكميات العددية يكمن في مميزات. كمية المتجه لها اتجاه ومعامل ، بينما الكمية القياسية لها قيمة عددية فقط. بالطبع ، يمكن قياس كمية متجهة ، مثل الكمية العددية ، لكن هذه الخاصية لن تكتمل ، لأنه لا يوجد اتجاه.

من أجل تقديم الفرق بين الكمية العددية والكمية المتجهة بشكل أوضح ، يجب إعطاء مثال. للقيام بذلك ، نأخذ مجال المعرفة مثل علم المناخ. إذا قلنا أن الرياح تهب بسرعة 8 أمتار في الثانية ، فسيتم تقديم قيمة قياسية. لكن إذا قلنا أن الرياح الشمالية تهب بسرعة 8 أمتار في الثانية ، إذن نحن سوف نتكلمحول قيمة المتجه.

ناقلات اللعب دور ضخمفي الرياضيات الحديثة ، وكذلك في العديد من مجالات الميكانيكا والفيزياء. يمكن تمثيل معظم الكميات الفيزيائية كنواقل. هذا يجعل من الممكن تعميم وتبسيط الصيغ والنتائج المستخدمة بشكل كبير. غالبًا ما يتم تحديد قيم المتجهات والنواقل مع بعضها البعض. على سبيل المثال ، في الفيزياء يسمع المرء أن السرعة أو القوة متجه.