ورشة عمل معملية حول الطرق العددية. الأساليب العددية العملي

هي أقل عمل المختبر مع الحلولبالطرق العددية (يتم إجراؤها في Matburo). يمكنك تنزيل ملفات العمل الجاهزة من الروابط أدناه ، وكذلك الحصول على مزيد من المعلومات حول حل مثل هذه المهام من الكتيبات وورش العمل.

الطرق العددية(أو الرياضيات الحسابية) - قسم من الرياضيات التطبيقية يتم فيه تطويرها وإثباتها رياضيًا (التقارب والاستقرار) وتنفيذها (في برامج خاصة أو في لغات البرمجة مستوى عال) طرق الحل التقريبي مسائل حسابية: لا توجد حلول المعادلات الخطية، SLAE ، المعادلات والأنظمة التفاضلية العادية ، المعادلات التفاضلية الجزئية ، مشاكل القيمة الحدية ، مشاكل الاستيفاء العددي ، التقريب ، التكامل ، إلخ.

معمل جاهز في الرياضيات الحسابية

• اختبار الأساسيات العددية ، 3 صفحات
  

  المهمة 1. أقحم باستخدام نيوتن كثير الحدود واحسب قيمة كثير الحدود عند النقطة x = 0.0014.

  المهمة 2. قم بتحسين قيمة الجذر في الفاصل الزمني في ثلاث تكرارات

  المهمة 3. استخدم طرق المستطيلات ، شبه المنحرف وسمبسون لحساب التكامل

• مهمة Padé التقريبية مع المحلول ، صفحتان
  

  طبق تقريب Padé لتقريب الوظيفة $ f (x) = x ^ 2 * e ^ (1-x) $ جزء منطقي.

• ، 4 صفحات
  

  1. تحديد المساواة الأكثر دقة.

  2. تقريب الأرقام المشكوك في تحصيلها من العدد ، وترك العلامات الصحيحة.

  3. أوجد الحد المطلق و خطأ نسبيالأرقام إذا كانت تحتوي فقط على أرقام صالحة.

  4. حساب وتحديد خطأ النتيجة.

  5. افصل جذور المعادلة غير الخطية تحليلياً

  6. افصل جذور المعادلة غير الخطية بشكل تحليلي وصقل أحدها بطريقة تجريبية بدقة 0.01

• الطرق العددية: حل معمل 3 مهام ، 11 صفحة
  

  المهمة 1. النظر في الوظيفة
  أنفق البحث الرياضيرسم بياني للوظيفة f (x). أنشئ رسمًا تخطيطيًا للرسم البياني للدالة.
  اعزل أصفار الدالة f (x) ، أي أوجد الفواصل الزمنية التي تتغير فيها إشارة f (x). في كل فترة ، اتخذ 4 خطوات باستخدام الطريقة نصف تقسيم.
  أوجد القيم التقريبية للجذور بطريقة نيوتن (الظل). كتقديرات أولية ، خذ نقاط منتصف الفترات الموجودة أعلاه. اتخذ خطوتين.
  يجب إجراء جميع الحسابات بدقة لا تقل عن 5 منازل عشرية.

  المهمة 2. النظر في المصفوفات
  تجد مصفوفة معكوسة$ P ^ (- 1) $ وحساب منتج المصفوفة $ W = P \ cdot R \ cdot P ^ (- 1) $
  ابحث عن $ \ det W $ باستخدام طريقة Gaussian.
  حل نظام المعادلات الجبرية الخطية بالطريقة الغاوسية مع اختيار العناصر الأساسية بالأعمدة $ Wx = b $

  المهمة 3. إعطاء جدول البيانات التجريبية
  بافتراض أن التبعية خطية ، أي $ y = ax + b $ ، ابحث عن $ a $ و $ b $ باستخدام طريقة المربعات الصغرى.
  على نفس ورقة الرسم البياني ، ارسم نقاط الجدول وارسم الخط المستقيم الناتج.
  يتم تنفيذ جميع الحسابات بدقة 5 منازل عشرية.

• حل مشكلة كوشي بالطرق العددية ، 5 صفحات
  

  حل المشكلة باستخدام طريقة أويلر ، طريقة آدامز ، طريقة رونج-كوتا.

• اختبار الطرق العددية مع الحل ، 6 مهام ، 9 صفحات
  

  المهمة 1. أوجد جذر المعادلة على مقطع باستخدام طريقة نيوتن بدقة 0.01.

  المهمة 2. استخدام طريقة الوتر للبحث جذر سلبيمعادلات بدقة 0.0001. مطلوب البناء الأولي للرسم البياني للوظيفة وفصل الجذور.

  المهمة 3. تحديد قيم جذور نظام المعادلات باستخدام طريقة Seidel

  المهمة 4. استخدم طريقة المستطيلات لحساب التكامل بخطوة 0.02:

  المهمة 5. استخدم طريقة أويلر-كوشي لإيجاد حل المعادلة التفاضليةفي الفترة الزمنية س = ، الشروط الأولية y (x = 0) = 0. خطوة التكامل h = 0.02.

  المهمة 6. إعطاء جدول لقيم الوظيفة. باستخدام كثير حدود الاستيفاء لنيوتن ، احسب قيمة الدالة عند x = 0.077.

• اختبار الرياضيات الحسابية في ملف حساب MathCad + xmcd
  

  المهمة 1. باستخدام الوظائف المضمنة في MathCad ، قم بإجراء عمليات حسابية بسيطة.

  المهمة 2. استخدم وظائف MathCad المضمنة لحل المعادلة. استخدم طريقة فصل الجذر ، واحصل على تفسير رسومي ، واستخدم الوظائف المضمنة في Mathcad ، واحصل على الحل بطريقة نصف القسمة وطريقة نيوتن.

  المهمة 3. باستخدام الدوال المضمنة في MathCad ، حل أنظمة المعادلات الخطية ، ثم تحقق بطريقة عددية. طريقة جاوس.

  المهمة 4. باستخدام وظائف MathCad المضمنة ، قم بحل نظام المعادلات غير الخطية ، ثم تحقق منه عدديًا. طريقة نيوتن.

  المهمة 5. حل مشكلة التمايز العددي لوظيفة ما.

  المهمة 6. قارن نتائج التكامل العددي. طريقة المستطيل الأيمن بطريقة شبه منحرف

  المهمة 7. حل معادلة تفاضلية عادية عدديًا: طريقة أويلر

  المهمة 8. حل مشكلة إيجاد كثير حدود للإقحام لوظيفة معطاة في جدول. ابحث عن قيمة الدالة في نقطة معينة: الدرجة الثانية والسادسة

نسخة طبق الأصل

1 وكالة فيدراليةمن خلال تعليم البحوث الوطنية الاتحاد الروسي الجامعة النووية"MEPhI" V. طرق راشيكوف العددية. ورشة الحاسوب موسكو 009

2 UDC 519. (075) BBK.193ya7 A R8 Raschikov V.I. الطرق العددية. ورشة الحاسب الآلي: معينات التدريس. م: NRNU MEPhI ، ص. يقدم هذا الدليل الطرق العددية الرئيسية للحل المهام الجسدية: تقريب واستيفاء الوظائف ، تكامل رقميوالتفاضل ، حل المعادلات والأنظمة غير الخطية ، مسائل الجبر الخطي ، المعادلات التفاضلية العادية والمعادلات التفاضلية الجزئية ، طرق التحسين. تم اختيار عدد كبير لتوضيح كل طريقة. مهام نموذجية، والتي غالبًا ما يتم مواجهتها في الحسابات الهندسية والفيزيائية. المخططات القُطرية المعطاة للبرامج و نصيحة عمليةمن خلال كتابتها ، تسمح لك بالفهم التفصيلي للخوارزمية لحل المشكلة وتسهيل عملية البرمجة. الدليل مخصص لطلاب كليات MEPhI النهارية والمسائية ، وقد يكون مفيدًا أيضًا لطلاب الجامعات الأخرى في الملف الشخصي المادي. تمت الموافقة عليها من قبل هيئة تحرير NRNU MEPhI كأداة مساعدة في التدريس. المراجع تقنية. العلوم ، مساعد. في. بارباشوف ISBN National Research Nuclear University MEPhI، 009

3 مقدمة المحتويات ... 4 المهمة 1. تحليل تسلسل البيانات ... 7 المهمة. حل المعادلات غير الخطية المهمة 3. الاستيفاء ... 1 المهمة 4. التقريب ... 7 المهمة 5. التمايز العددي المهمة 6. التكامل العددي المهمة 7. حساب التكاملات المتعددة بطريقة مونت كارلو المهمة 8. حل الأنظمة الخطية المعادلات الجبرية. المهمة 9. مشكلة جزئية القيم الذاتيةالمهمة 10. إيجاد الحد الأدنى لوظيفة واحدة متغيرة المهمة 11. إيجاد دالة لا تقل عن اثنين المتغيرات المهمة 1. الحل العددي لمسألة كوشي للمعادلات التفاضلية العادية المهمة 13. الحل العددي لمشكلة قيمة حدية خطية لمعادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية المهمة 14. الحل العددي لمعادلة النقل الخطي المهمة 15. الحل العددي للمعادلة- معادلة الحرارة البعدية المهمة 16. الحل العددي لمعادلة الحرارة في مستطيل. المهمة 17. الحل العددي للمعادلة أحادية البعد معادلة الموجةالمهمة 18. الحل العددي لمعادلة بواسون في ببليوغرافيا مستطيلة

4 تمهيد هذا مساعدة تعليميةتم تجميعها على أساس سنوات عديدة من الخبرة للمؤلف في إجراء الفصول العملية وإلقاء محاضرات في دورة "الطرق العددية" في كليات النهار والمساء في MEPhI. تعتبر ورشة عمل الكمبيوتر من العوامل الرئيسية للإتقان العملي للطرق العددية لحل المشكلات الفيزيائية ، وهذا هو سبب تخصيصها معظمالوقت المخصص للدورة. يتكون الدليل من 18 مهمة تغطي تقريبًا جميع الأقسام الرئيسية للدورة: الاستيفاء والتقريب للوظائف ، التكامل والتفاضل العددي ، حل المعادلات والأنظمة غير الخطية ، مشاكل الجبر الخطي ، المعادلات التفاضلية العادية والمعادلات في المشتقات الجزئية ، الطرق العددية لإيجاد الحد الأدنى من وظائف متغير واحد ومتعدد. توفر كل مهمة ما يلزم لفهم الطريقة المعلومات النظرية، خيارات المهام لـ تحقيق الذاتوالتوصيات العملية للبرمجة ، مدعومة بمخططات انسيابية للخوارزميات الحسابية. في نهاية كل مهمة توجد قائمة بأسئلة التحكم التي تسمح لك بالتحقق من درجة استيعاب المادة المدروسة. هناك حاجة إلى مخططات انسيابية للمزيد عرض مرئيخوارزمية المشكلة ، مما يسهل فهم طريقة حل وكتابة البرنامج نفسه. عند تنفيذ المخططات ، تم استخدام GOST ، الذي ينظم قواعد إنشاء المخططات و مظهر خارجيعناصرهم. العناصر الرئيسية التي سيتم استخدامها في المستقبل في الدليل هي كما يلي: - فاصل. يعرض عنصر الإدخال من بيئة خارجيةأو الخروج منه (الاستخدام الأكثر شيوعًا هو بداية البرنامج ونهايته). الإجراء المقابل مكتوب داخل الشكل ؛ أربعة

5 - عملية إجراء عملية أو أكثر ، معالجة البيانات من أي نوع (تغيير قيمة البيانات ، نموذج العرض ، الموقع). داخل الشكل ، العمليات نفسها مكتوبة مباشرة ؛ - المحلول؛ يعرض قرارًا أو وظيفة من نوع التبديل بإدخال واحد ومخرجين بديلين أو أكثر ، يمكن تحديد واحد منها فقط بعد تقييم الشروط المحددة داخل هذا العنصر. يُشار إلى مدخل عنصر ما بخط يدخل عادةً قمة العنصر. إذا كان هناك مخارجان أو ثلاثة ، فعادةً ما يُشار إلى كل مخرج بخط يخرج من الرؤوس المتبقية (الجانب والسفلي). تستخدم لتوضيح العبارات الشرطية f (ناتجان: صحيح ، خطأ) والحالة (مخرجات متعددة) ؛ - عملية محددة مسبقا؛ يعرض الرمز تنفيذ عملية تتكون من عملية واحدة أو أكثر ، والتي يتم تحديدها في مكان آخر في البرنامج (في روتين فرعي ، وحدة نمطية). داخل الرمز ، يتم كتابة اسم العملية والبيانات المنقولة إليها. تستخدم للإشارة إلى استدعاء لإجراء أو وظيفة ؛ - البيانات (المدخلات والمخرجات) ؛ تحويل البيانات إلى نموذج مناسب للمعالجة (الإدخال) أو عرض نتائج المعالجة (الإخراج). لا يعرّف هذا الرمز وسيط البيانات (تُستخدم رموز محددة للإشارة إلى نوع وسيط البيانات) ؛ - حدود الدورة ؛ يتكون الرمز من جزأين ، على التوالي ، بداية الدورة ونهايتها ، ويتم وضع العمليات التي يتم إجراؤها داخل الدورة بينهما. تتم كتابة شروط الحلقة والزيادات داخل رمز بداية الحلقة أو نهايتها ، اعتمادًا على نوع تنظيم الحلقة. في كثير من الأحيان ، بالنسبة للصورة الموجودة على الرسم التخطيطي للكتل للدورة ، بدلاً من هذا الرمز ، يتم استخدام رمز القرار ، للإشارة إلى 5 فيه

6 شرط ، وأحد خطوط الإخراج مغلق أعلى في مخطط الكتلة (قبل عمليات الحلقة) ؛ - موصل يمثل الرمز مخرجًا إلى جزء من دائرة ومدخل من جزء آخر من تلك الدائرة. تُستخدم لكسر خط ومتابعته في مكان آخر (على سبيل المثال: تقسيم مخطط انسيابي لا يتناسب مع الورقة) ؛ -تعليق؛ تستخدم للمزيد وصف مفصلخطوة أو عملية أو مجموعة من العمليات. يتم وضع الوصف على الجانب قوس مربعومغطاة طوال الوقت. منقط يذهب الخطللعنصر الموصوف أو مجموعة العناصر (في هذه الحالة ، يتم تمييز المجموعة بخط منقط مغلق). أيضًا ، يتم استخدام رمز التعليق في الحالات التي يتجاوز فيها حجم النص في أي رمز آخر (على سبيل المثال ، رمز العملية ، رمز البيانات ، إلخ) حجمه. يتم تعيين ترتيب الإجراءات من خلال توصيل الرؤوس ، مما يسمح لنا بالنظر في المخططات الانسيابية ليس فقط كتفسير مرئي للخوارزمية ، وملائم للإدراك البشري ، ولكن أيضًا كرسم بياني موجه. عند كتابة هذا الدليل ، تم استخدام المواد من [-4] بشكل أساسي. لمزيد من الدراسة الكاملة للطرق العددية في قائمة ببليوغرافيةيتم إعطاء الدروس اللازمة. 6

7 مهمة 1 تحليل تسلسل البيانات الغرض من العمل هو بناء مفترقات وهياكل دورية في البرامج ، لتطوير برامج لتحليل تدفقات البيانات. صياغة المشكلة في هذا البحث ، نقوم بتحليل تسلسل يحاكي تدفق البيانات التجريبية. لنفترض أن f (x) يكون اعتمادًا تجريبيًا مأخوذًا على مقطع بخطوة ثابتة b a h ، N 1 حيث N هو عدد النقاط في الاعتماد التجريبي. يتم تحديد قيم حدود هذه النقاط بواسطة الصيغة x = a + h ، = 0 ، 1 ، n. من الضروري حساب: 1) أقصى قيمةدوال fmax max f وعدد العقدة max ، حيث يتم الوصول إلى هذه القيمة ؛) الحد الأدنى لقيمة الوظيفة fmn mn f ؛ 3) متوسط ​​قيمة f ، المربع الأوسطدالة f و RMS ذات قيمة f t: n n 1 1 f f، f f، fm f؛ ن 1 0 ن 1 0 القيم السالبةو (= 0 ، 1 ، ... ، ن) ؛ 7

8 5) الانحراف المعياري عن متوسط ​​القيمة 1 ن 1 ن (و و). 0 خيارات الوظيفة f (х) k m 1) f (x) cos (x /) x ؛ ك م) و (س) سن (س /) (1 ×) ؛ ك م 3) و (س) ش x كوس (س) ؛ ك م 4) و (س) 1 × ت ج (س / 4) ؛ ك م 5) و (س) (1 س) tg (س / 4) ؛ 6) 1 / ك م و (س) (1 س) tg (س / 4) ؛ 7) () x m f x e sn (x /) ؛ x ك م 8) و (س) ه x sn (x /) ؛ م 9) (1 ×) × ؛ 10) (1) 1 / م 1 / س س ؛ ك م ل 11) و (خ) (1 س) تش س س ؛ ك م ل 1) و (س) (1 س) كوس (س /) س ؛ ك م 13) و (س) (1 س) ش س ؛ 14) 15) 1 / ك م و (س) (1 س) ش س ؛ 1 / ك م و (س) (1 س) ش س ؛ ك م ل 16) و (خ) (1 س) ch x x ؛ م ل 17) و (خ) أركسن x (1 س) ؛ م ل 18) و (س) ك كوس (π س) س (1 س) ؛ م ل 19) و (خ) لا ن (1 س) (1 س) ؛ م ك ل 0) و (x) ln (1 x) (1 x) ch x. في الدوال ، تأخذ المعلمات l ، k ، t القيم من 1 إلى 4 ، 0 × 1 ، القيم الموصى بها لـ n هي من 50 إلى

9 البرمجة كلها تقريبا تطبيقات حديثة لغات عالميةالبرمجة ، مثل فورتران ، سي ، باسكال ، هناك نفس الشيء العناصر الهيكليةمع البرامج التي بنيت. الهياكل الرئيسية التي تمت دراستها في هذا البرنامج هي الشوكة والحلقة. يمكن تمثيل الشوكة في مخطط كتلة كما هو موضح في الشكل.

10 هنا ف (الحل) هو بعض شرط منطقي، والتي يمكن أن تأخذ القيمة "صواب" (نعم ، صواب) أو "خطأ" (لا ، خطأ). بناءً على ذلك ، سيتم تنفيذ إما مجموعة من العبارات A أو مجموعة من العبارات B. ويمكن تنفيذها إما باستخدام مفترق أو باستخدام مشغلات حلقة خاصة بشرط مسبق (شرط تنفيذ عبارات جسم الحلقة يتم فحصه عند دخول الحلقة) ، مع شرط لاحق (يتم فحص عبارات شرط التنفيذ لجسم الحلقة عند الخروج من الحلقة) ، مع عداد (متغير يسمى عداد الحلقة يتغير بزيادات حتى يصل إلى قيمة ثابتة). في مخطط الكتلة ، يتم تمثيل الدورة إما بشوكة (الشكل 1.) ، أو برمز يتكون من جزأين ، يعرضان بداية الدورة ونهايتها (الشكل 1.3). كلا الجزأين من الرمز لهما نفس المعرف. شروط التهيئة ، الزيادة ، الإنهاء ، إلخ. يتم وضعها داخل الرمز في البداية أو في النهاية ، اعتمادًا على موقع العملية التي تتحقق من الحالة. مخطط كتلة الشكل للشوكة ("القرار" ، "الاختيار") الشكل. 1 .. مخطط دورة مع شوكة في المثال في التين. 1. متغير من نوع عدد صحيح بسيط يسمى متغير حلقة ؛ ر 1 القيمة البدائيةمتغير الحلقة ، م 3 هي خطوة التغيير ، و م تحدد القيمة النهائية ، و هي جسم الحلقة. عشرة

الشكل 11 مخطط دورة برمز خاص في مهمتنا ، يجب وضع قيم الدالة u المحسوبة في العقد x في مصفوفة أحادية البعد ، بعد أن وصفت سابقًا نوعها وأبعادها. يظهر مخطط كتلة البرنامج في الشكل. في الكتلة ، يتم إدخال البيانات الأولية ، ودورة حساب الكميات الرئيسية ، باستثناء الانحراف المعياريمن المتوسط ​​، الذي يتم حسابه في دورة منفصلة ، لأنه يعتمد على نتائج العمليات السابقة. في الخانة 9 ، يتم إحضار النتائج إلى النموذج المطلوب ، وفي الخانة 10 ، يتم إخراجها. 1 ابدأ 6 بـ = 1 ، N بيانات البداية 11 7 (f f)

12 للتحقق من صحة البرنامج ، يوصى أولاً بدراسة وظيفة الاختبار u (x) x (1 x) 1/8 ، N 101 ، والتي يجب الحصول على النتائج التالية لها: 1

13 umax 0.15 ، بحد أقصى 51 ، عمود 0.15 ، مليون 1 ؛ u u um p 0.970 ، p ، ζ ، يوصى بإجراء حسابات لعدة قيم لـ n وتحليل كيفية تغير النتائج. محتوى التقرير يجب أن يحتوي التقرير على: الصيغ والمعلمات والرسم البياني للوظيفة u (x) لمتغير معين ؛ نص البرنامج نتائج الحساب. أسئلة التحكم 1. كيف يتم وصف المصفوفات ؟. كيف يتم كتابة بيان حلقة وتنفيذها؟ 3. ما هي القيود المفروضة على تعليمة الحلقة؟ 4. كيف يتم كتابة وتنفيذ بيانات المدخلات والمخرجات؟ 13

14 حل المهام للمعادلات غير الخطية الغرض من العمل: دراسة الطرق التكرارية المتقاربة المشروطة وغير المشروطة لحل المعادلات غير الخطية. بيان المشكلة من أكثر المشاكل التي يواجهها الفيزيائي شيوعًا هي حل المعادلات بالصيغة f (x) = 0. (.1) يتم البحث عن الحلول بالطرق. التقريبات المتتاليةأو الطرق التكرارية. يمكن العثور على التقريب الأولي من الاعتبارات المادية ، من تجربة حل مشاكل مماثلة ، باستخدام طرق الرسميتم إجراء البحث عن جذر المعادلة رياضيًا باستخدام بناء متوالية كوشي (x) ، عندما يكون هناك N لكل n و p يتجاوز N ، x n x p<, причем корень находится внутри этого отрезка неопределѐнности. Метод половинного деления (дихотомия) Пусть известно, что на отрезке находится искомое значение корня уравнения (.1), т. е. x (рис..1). В качестве начального приближения возьмем a b середину отрезка x 0. Теперь исследуем значения функции f(x) на концах образовавшихся отрезков и . Выберем из них тот, на концах которого функция принимает Рис..1. Иллюстрация метода дихотомии значения разного знака, так как 14

15 يحتوي على الجذر المطلوب. يمكن تجاهل النصف الثاني من المقطع. ثم نقسم المقطع الجديد إلى نصفين ونأتي مرة أخرى إلى جزأين ، في نهايات أحدهما تتغير الوظيفة ، أي يحتوي على جذر. وبالتالي ، بعد كل تكرار ، يتم تقسيم المقطع الأصلي إلى النصف ، أي بعد تكرار n ، سيتم تقليله بمقدار n مرة. ستستمر عملية التكرار حتى تصبح قيمة الوحدة النمطية للوظيفة أقل من الدقة المحددة ، أي f (x n)<, или длина исследуемого отрезка станет меньше удвоенной допустимой: x n+1 x n <. Тогда в качестве приближенного значения корня можно принять середину последнего отрезка 0,5(x n + x n+1). Как видно из сказанного, метод довольно медленный, однако он безусловно сходящийся, т. е. всегда сходится к корню. Метод касательных Метод касательных (метод Ньютона) можно отнести к методам, в основе которых лежит замена исследуемой функции f(x) более простой функцией, в данном случае касательной. Геометрически в начальной точке x 0 проводится касательная к кривой f(x) и находится точка ее пересечения с осью абсцисс (рис..). Рис... Иллюстрация метода касательных Уравнение касательной к кривой f(x) в точке M 0 (x 0, f(x 0)) имеет вид y f(x 0) = f (x 0)(x x 0), 15

16 والتقريب التالي x 1 ، وهو نقطة تقاطع المماس مع المحور x ، يُعطى بالصيغة f (x0) x1 x0. f (x0) وبالمثل ، يمكن للمرء أن يجد تقديرات تقريبية f (xn) xn 1 x، n f (xn) عن طريق تكوين ظلمات بالتتابع من النقاط М 1 ، .. ، М n-1 ، دون أن ننسى أن f (x n) 0. طريقة الظلال هي طريقة متقاربة مشروطًا ، أي لتقاربها * lm x x ، يجب استيفاء الشرط التالي في منطقة البحث عن الجذر "" ff (f) ، x * هي القيمة المرغوبة للجذر. لتقريب الصفر التعسفي ، ستتقارب التكرارات إذا تم استيفاء الشرط الذي تم الحصول عليه أعلاه في كل مكان. خلاف ذلك ، سيكون التقارب فقط في بعض جوار الجذر. يمكن استخدام المعايير التالية لإنهاء العملية التكرارية. 1. الحد الأقصى لعدد التكرارات. هذا المعيار ضروري إذا لم تتقارب الطرق. ومع ذلك ، من الصعب تحديد عدد التكرارات المطلوبة مسبقًا للحصول على دقة مرضية. تباين ضعيف لتقريب الجذر: x n + 1 x n< или x n+1 x n < x n. (.) 3. Достаточно малое значение функции f(x n) <. Метод Ньютона обладает сходимостью второго порядка. Это означает, что вблизи корня погрешность уменьшается по закону ε const ε 1. Поэтому итерации по методу Ньютона сходятся очень быстро, так что для достижения условия (.) достаточно нескольких итераций. 16

17 عدم استيفاء الشرط (.) عند> 10 يشير عادةً إلى عدم وجود تقارب أو خطأ في الصيغ أو في البرنامج. طريقة القاطع إن حساب مشتق الدالة f (x) ، وهو أمر ضروري في طريقة نيوتن ، ليس دائمًا مناسبًا أو ممكنًا. يؤدي استبدال مشتق أول فرق مقسم ، والذي تم العثور عليه خلال التكرارين الأخيرين (أي استبدال الظل بقطعة قاطعة) إلى طريقة القاطع. من وجهة نظر الطرق التحليلية ، يعتبر الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطتين الأخيرتين x n و x n 1 هو النقطة التقريبية ، أي أنه بدلاً من المشتق في طريقة الظل ، من الضروري استبدال "f (xn) f (xn 1) f، xn xn 1 ثم نصل إلى صيغة طريقة secant: xn xn 1 xn 1 xn f (xn) .f (x) f (x) n الشكل 3. رسم توضيحي للطريقة القاطعة 17 n 1 (تسريع) النقاط x 0 و x 1. بيانياً ، الطريقة موضحة في الشكل 3. أولاً ، من خلال النقاط المحددة (x 0، f (x 0))، (x 1، f (x 1) ) نرسم خطًا مستقيمًا حتى يتقاطع مع المحور x ونحدد x ، والخط العمودي عند x يعطي f (x) ثم يتم رسم الخط من خلال النقاط (x 1، f (x 1)) و (x ، f (x) وما إلى ذلك ، حتى أحد الشروط الثلاثة لإنهاء العملية التكرارية (.). عادةً ، تتطلب الطريقة القاطعة تكرارات أكثر من طريقة الظل ، ولكن كل تكرار أسرع بكثير ، لأنه ليس ضروريًا لحساب f "(x) ، وبالتالي في كثير من الأحيان م نفس حجم الحساب

18 تكرارًا ، يمكنك إجراء المزيد من التكرارات والحصول على دقة أعلى. خيارات التعيين باستخدام طريقة الانقسام المتقارب غير المشروط وأحد الطرق المتقاربة شرطيًا (الظل أو القاطع) ، ابحث في المقطع 0 × 1 عن جذر إحدى الوظائف أدناه. في الدوال ، تأخذ المعلمات l، k، t القيم من 1 إلى 4. يوصى بفحص الوظيفة نفسها كما في المهمة 1. k m 1) f (x) cos (π x /) x؛ ك م) و (س) sn (π س /) (1 س) ؛ ك م 3) و (س) ش x كوس (π س) ؛ ك م 4) و (س) 1 × tg (π × / 4) ؛ ك م 5) و (س) (1 س) tg (π x / 4) ؛ 6) 1 / ك م و (س) (1 س) tg (π س / 4) ؛ 7) () x m f x e sn (π x /) ؛ x ك م 8) و (س) ه x sn (π x /) ؛ م 9) (1 ×) × ؛ 10) (1) 1 / م 1 / س س ؛ ك م ل 11) و (خ) (1 س) تش س س ؛ ك م ل 1) و (س) (1 س) كوس (π س /) س ؛ ك م 13) و (س) (1 س) ش س ؛ 14) 15) 1 / ك م و (س) (1 س) ش س ؛ 1 / ك م و (س) (1 س) ش س ؛ ك م ل 16) و (خ) (1 س) ch x x ؛ م ل 17) و (خ) أركسن x (1 س) ؛ م ل 18) و (س) ك كوس (π س) س (1 س) ؛ م ل 19) و (خ) لا ن (1 س) (1 س) ؛ م ك ل 0) و (x) ln (1 x) (1 x) ch x. الثامنة عشر

19 البرمجة عند تجميع برنامج ، يُنصح بتعيين الحد الأقصى المسموح به لعدد التكرارات ، مع مقاطعة العملية التكرارية إذا = max. هذا يمنع ما يسمى "التكرار الحلقي" للبرنامج ، والذي يحدث أحيانًا بسبب أخطاء في الصيغ أو البرنامج ، بالإضافة إلى اختيار غير ناجح للتكرار الأولي. في هذه المشكلة ، يكفي تعيين الحد الأقصى = 30 ، لأنه في حالة عدم وجود أخطاء ، يتم تحقيق التقارب قبل ذلك بكثير. يوصى باختيار قيمة ε في النطاق. كالتكرار الأولي ، يمكنك أخذ x 0 = 0 ،. إذا لم تتقارب التكرارات ، فيمكن تقليل هذه القيمة أو زيادتها ، والبقاء في النطاق 0< х 0 < 1. Блок-схемы программ решения нелинейных уравнений методом дихотомии и секущих приведены на рис..4 и.5. Они составлены так, чтобы на каждой итерации вычислялось лишь одно новое значение f (х). Это обеспечивает максимальную скорость решения, так как основное время решения занимает вычисление значений функции f (х). В качестве «разгонных» значений в методе секущих можно принять х 0 = 0,; х 1 = х 0 + (10 100)ε. a,b,ε,n max f(x) f(x) fa=f(a), n=0 c=(a+b)/ fc=f(c), n=n+1 a-b ε n0 ب = ج الشكل 4. مخطط كتلة لبرنامج حل معادلة غير خطية باستخدام طريقة الانقسام 19

20 1 ابدأ البيانات الأولية 3 = 1 ، x -1 = x 0 x = x 1 f -1 = f (x -1) f (x) لا x x 1 x 1 x f 4> f f 1 max 5 x x f f (x) 1 نعم نعم<ε 6 Нет 8 9 График f Результаты Конец x 1 1 f x x x f Рис..5. Блок-схема программы решения нелинейного уравнения методом секущих 0

21 محتوى التقرير يجب أن يحتوي التقرير على: صيغة الدالة f (x) لمتغير معين ؛ تعيين القيمة ε والقيم الأولية × 0 ؛ نص البرنامج وجدت قيمًا تقريبية للجذر وعدد التكرارات لكلتا الطريقتين ؛ الرسم البياني للوظيفة f (x) التي تم إنشاؤها في المهمة السابقة. أسئلة التحكم 1. كيف يتم بناء حل المعادلات غير الخطية بطريقة الظل ، ما هي خصائصها؟ الحصول على شرط التقارب لطريقة الظل. 3. احصل على تقدير لمعدل (ترتيب) تقارب طريقة الظل. 4. كيف يتم بناء حل المعادلات غير الخطية بالطريقة القاطعة ، ما هي خصائصها؟ 5. ما هي الطرق الأخرى الموجودة لحل المعادلات غير الخطية؟ 6. كيف يتم بناء حل المعادلات غير الخطية بطريقة الانقسام ، ما هي خصائصها؟ 7. قارن طرق حل المعادلات غير الخطية من حيث معدل التقارب باستخدام النتائج التي حصلت عليها كمثال. واحد

22 المهمة 3 الاستيفاء الغرض من العمل هو دراسة طرق الاستيفاء ، وبناء كثير حدود الاستيفاء لنيوتن. صياغة المشكلة ترتبط المحاكاة العددية لمعظم المشاكل الفيزيائية ، كقاعدة عامة ، بالحاجة إلى مراعاة العوامل التي لا يمكن وصفها تحليليًا. لا يوجد سوى عدد من التبعيات التجريبية التي تم الحصول عليها عند عدد ثابت من النقاط في نطاق المتغيرات التي تهمنا. وبالتالي ، عند حل مشكلة واسعة الانتشار حول ديناميكيات الأجسام الكبيرة والصغيرة في مجالات الجاذبية الخارجية أو المجالات الكهرومغناطيسية ، غالبًا ما يكون من المستحيل الحصول على معلومات حول المجال في شكل وظائف تحليلية دون تقديم افتراضات تبسيط إضافية يمكن أن تؤثر بشكل كبير على النتيجة . في هذه الحالة ، من الضروري اللجوء إلى الخصائص التجريبية ، ولا يمكن إجراء التجربة إلا لعدد محدود من المرات. وهكذا ، نصل إلى مشكلة فيزيائية حيث يتم إعطاء عدد من الوظائف على عدد محدود من النقاط x من نطاق ثابت للوسيطة x. ومع ذلك ، قد تتطلب الطريقة العددية معرفة هذه الوظائف لجميع قيم الوسيطات في هذه المنطقة. في هذه الحالة ، تنشأ مشكلة استعادة الوظيفة y (x) لجميع قيم x إذا كانت قيمها معروفة عند عدد محدد من النقاط x من هذا المقطع. الطريقة الأبسط والأكثر شيوعًا لحل هذه المشكلة هي الاستيفاء بين القيم المجاورة ، مما يقلل من إنشاء دالة (x) تتزامن مع الوظيفة y (x) عند النقاط x ، أي (x) = y (x) = y ، = 0 ، 1 ، n ، حيث n + 1 هو عدد النقاط المحددة في المقطع ، و x هي عقد الاستيفاء.

23 عند اختيار دالة الاستيفاء (x) ، من الضروري قصر البحث على الوظائف التي يتم حسابها بسهولة وسرعة على الكمبيوتر ، حيث يجب ، كقاعدة عامة ، حسابها عدة مرات. هناك العديد من كثيرات حدود الاستيفاء وطرق بنائها ، وهي مناسبة لمواقع العقد المختلفة. عند إنشاء كثيرات حدود للإقحام ، يُفترض عادةً أن مجموعة العقد المستخدمة معروفة. ومع ذلك ، غالبًا ما تُعرف الدقة المطلوبة فقط ، ولا يتم تحديد عدد العقد. تتميز كثيرات حدود الاستيفاء لنيوتن ، والتي هي موضوع هذا العمل ، بحقيقة أن عدد العقد المستخدمة يمكن زيادتها أو إنقاصها بسهولة دون تكرار دورة الحساب بأكملها ، وبالتالي تغيير دقة الاستيفاء. يتم إجراء الاستيفاء على طاولة ذات عقد متساوية الأبعاد ، على الرغم من أن كثير حدود الاستيفاء لنيوتن قابلة للتطبيق على أي ترتيب للعقد. تتضمن المهمة الخطوات التالية. 1. احسب جدول القيم y y (x) وظيفة معينة y (x) عند العقد متساوية الأبعاد x h (0،1، ...، n)، h 1 / n، الجزء .. ضع جدولًا للاختلافات الأولى في الوظيفة y 1 y y 1 y y (x 1، x) (0 ، 1 ، .. ، ن 1). x x h 1 3. ضع جدولاً للفروق الثانية المقسمة y (x، x 1) y (x 1، x) y y 1 y y (x، x 1، x) x x h (0،1، ...، n) وفقًا لهذه الجداول ، باستخدام الدرجة الثانية نيوتن متعددة الحدود P (x) y (x x) y (x، x) (x x) (x x) y (x، x، x) y 1 y y y 1 y y (x x) (x x) ) (س × 1) ، ح ح

24 احسب قيم P (x) عند النقاط (العقد) بمؤشرات نصف عدد صحيح x 1 / (1 /) h (0،1، ...، n). 5. أوجد خطأ الاستيفاء في هذه العقد ε y (x) P (x) (0،1، ... م: ن 1 ε ماكس ماكس ε 1 / ، ε ε 1 / ، ε م ε. ن 1 6. تحقق من كيفية تغير الخطأين max و m مع n. 0 خيارات الوظائف y (x) (a، b 1 5؛ k، m 1 4؛ n 0 100) k m k m 1) y (x) sn (π x)؛) y (x) cos (π x) ؛ 3) y (x) k 1 / m sn (π x) ؛ 4) y (x) k 1 / m cos (π x) ؛ 5) y (x) k m tg (π x / 4) ؛ 6) y (x) k 1 / m tg (π x / 4) ؛ 7) ص (خ) 4 فأس 3 ب س ؛ 8) ص (س) (أ م ك ب) ؛ 9) y (x) (a m 1 / k bx) ؛ 10) ص (خ) (أ 1 / م ك ب) ؛ 11) y (x) (a 1 / m 1 / k bx) ؛ 1) y (x) k x / (a ​​m bx) ؛ 13) y (x) k x / (a ​​m bx) ؛ 14) y (x) 1 / k x / (a ​​m bx) ؛ 15) y (x) k x / (a ​​1 / m bx) ؛ 16) y (x) 1 / k x / (a ​​1 / m bx) ؛ 17) y (x) (a k x) / (b 4 m x) ؛ 18) ص (خ) (أ 1 / ك س) / (ب 4 م ×) ؛ 19) y (x) (a k x) / (b 4 1 / m x) ؛ 0) y (x) (a 1 / k x) / (b 4 1 / m x) ؛ 1) y (x) k x / (a ​​m bx) ؛) y (x) 1 / k x / (a ​​m bx) ؛ 3) y (x) k x / (a ​​1 / m bx) ؛ 4) y (x) 1 / k x / (a ​​1 / m bx) ؛ ك م 1 / ك م 5) ص س () ل ن (1 س) ؛ 6) y (x) ln (1x) ؛ أربعة

25 ك 1 / م 1 / ك 1 / م 7) ص (س) لا (1 س) ؛ 8) y (x) ln (1x) ؛ ك × 1 / ك × 9) ص (خ) × هـ ؛ 30) ص (خ) × هـ ؛ 1 / م 1 / م ك × 1 / ك × 31) ص (س) × هـ ؛ 3) ص (خ) × هـ ؛ 8 (x 0.5) ك 8 (x 0.5) 33) ص (x) هـ ؛ 34) ص (خ) × هـ ؛ 1 / ك 8 (× 0.5) م 1 / ك 35) ص (×) × هـ ؛ 36) ص (خ) (أ ب س) ؛ 1 / م 1 / ك م ك 37) ص (خ) (أ ب س) ؛ 38) ص (خ) (أ ب س) ؛ م 1 / ك 1 / م 1 / ك 39) ص (س) (أ ب س) ؛ 40) ص (خ) (أ ب س) ؛ ك م ك م 41) ص (خ) أركسن ؛ 4) ص (خ) arccos ؛ ك 1 / م ك م 43) ص (خ) أركسن ؛ 44) ص (خ) arccos ؛ م 1 / م 45) ص (خ) أركتج (أ ب س) ؛ 46) y (x) arctg (a bx) ؛ 47) y (x) sh (a m bx) ؛ 48) y (x) sh (a 1 / m bx) ؛ 47) y (x) ch (a m bx) ؛ 50) y (x) ch (a 1 / m bx). البرمجة يظهر الرسم التخطيطي للكتل للبرنامج في الشكل. ويستند البرنامج إلى ثلاث دورات متتالية من الكتل ، 6-7-8. لتخزين قيم الوظائف المحسوبة في هذه الدورات ، الفروق الأولى والثانية ، وكذلك الأخطاء ، يجب وصف المصفوفات المقابلة. للتحقق من صحة البرنامج ، يوصى أولاً بإجراء حسابات لوظيفة الاختبار y (x) x ، والتي يجب أن تختفي ε max و ε m. 5

26 1 ابدأ 9 بـ = 1 ، n- ابدأ البيانات 3 بـ = 1، n 10 y (x، x، x)، 1 Px ()، 1/1 /، max 1/4 y 11 x 5 by 1، m 6 في = 1، n-1 13 الرسوم البيانية النتائج 7 y (x +1، x) 14 النهاية 8 بالشكل 3.1. مخطط كتلة لبرنامج الاستيفاء 6

27 محتويات التقرير يجب أن يحتوي التقرير على: صيغة ورسم بياني للوظيفة y (x) لمتغير معين ؛ نص البرنامج جدول الخطأ ε 1 / (0،1 ، ... ، ن) ؛ قيم ε max و t أسئلة التحكم 1. كيف تتم صياغة مشكلة الاستيفاء؟ ما هي كثيرات حدود الاستيفاء التي تعرفها؟ 3. كيف يتم تحديد الفروق المقسمة لأوامر مختلفة؟ 4. كيف تم بناء كثير حدود الاستيفاء لنيوتن؟ 5. ما هو الخطأ (المصطلح المتبقي) في كثير الحدود؟ 6. كيف يمكن تقدير خطأ الاستيفاء عمليا؟ 7

28 المهمة 4 التقريب الغرض من العمل: دراسة تقريب الوظائف على مثال طريقة المربعات الصغرى. صياغة المشكلة عند استبدال دالة بكثير حدود الاستيفاء ، فإن الشرط الضروري هو مرور كثير حدود الاستيفاء من خلال قيم الوظيفة عند عقد الاستيفاء. في حالة استخدام التبعيات التجريبية ، يتم الحصول على قيم الوظيفة في العقد مع وجود خطأ معين (غالبًا ما يكون كبيرًا جدًا) ، لذلك من غير المناسب اللجوء إلى الاستيفاء ، مما يجبر متعدد الحدود على تكرار هذه الأخطاء. في هذه الحالة ، من الأفضل استخدام التقريب ، أي اختيار وظيفة تمر عن قرب من نقاط معينة ، بعد تحديد معايير "القرب" مسبقًا. اعتمادًا على طريقة التقريب المحددة ، يمكنك الحصول على نتائج مختلفة تمامًا عن بعضها البعض: يمكن للمنحنى أن يمر تمامًا عبر جميع النقاط المحددة وفي نفس الوقت يختلف اختلافًا كبيرًا عن وظيفة التقريب المتجانسة. = c 0 + c 1 x + c x + + ج م س م ، التي يتم اختيار معاملاتها ج لتقليل انحراف كثير الحدود عن الوظيفة المحددة. ثمانية

29 دعنا نستخدم تقريب الجذر التربيعي للدالة y (x) بواسطة كثير الحدود (x) في المجموعة (x ، y) ، (= 0 ، 1 ، n) ، حيث يكون مقياس الانحراف هو القيمة S ، والتي تساوي مجموع تربيع الفروق بين قيم كثير الحدود والوظيفة عند هذه النقاط: n n 0 1 m 0 0 S [(x، c، c، ...، c) y]. لبناء كثير حدود تقريبي ، من الضروري اختيار المعاملات c 0 ، c 1 ، c m بحيث تكون قيمة S هي الأصغر. هذه طريقة المربعات الصغرى. إذا كان الانحراف يطيع قانون التوزيع العادي ، فإن قيم المعلمات التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة هي الأكثر احتمالية. كما هو مذكور أعلاه ، فإن تقريب جذر متوسط ​​التربيع يخفف من عدم دقة الوظيفة ، مما يعطي تمثيلًا صحيحًا لها. نظرًا لأن c تعمل كمتغيرات مستقلة للدالة S ، فإننا نجد الحد الأدنى من خلال معادلة الصفر للمشتقات الجزئية فيما يتعلق بهذه المتغيرات: S S S S 0 ، 0 ، 0 ، ... ، 0 ، c c c 0 1 ، أي أننا نصل إلى نظام من المعادلات لتحديد ج. إذا أخذنا كثير الحدود كدالة تقريبية ، فإن التعبير عن الانحرافات التربيعية سيأخذ الشكل: n m (m). 0 S c c x c x c x y معادلة المشتقات الجزئية بالصفر ، نصل إلى النظام: S c 0 S c 1 ... S c m n m (c c x ... c x y) 0؛ 0 ن م (ج ج س ... ج س ص) × 0 ؛ ن 0 1 م م (ج ج س ... ج س ص) × م م 9 ن

30 بجمع معاملات المجهول c 0، c 1، c m نحصل على نظام المعادلات: n n n n m (n 1) c0 c1 x c x ... cm x y؛ n n n n n 3 m m c x c x c x ... c x x y؛ ... n n n n n n m m 1 m m 0 1 m c x c x c x ... c x x y. لحل النظام ، نجد معلمات غير معروفة ج 0 ، ج 1 ، ج م. في شكل أكثر إحكاما ، يمكننا كتابة: b 00 c 0 + b 01 c b 0m c m = a 0؛ ب 10 ص 0 + ب 11 ص ب 1 م ج م = أ 1 ؛ (4.1) b m0 c 0 + b m1 c b mm c m = a m، n k l k إذا قدمنا ​​الترميز b x، a x y؛ ك ، ل 0 ، 1 ، ... ، م. ك ل 0 0 نشير بواسطة شريط إلى المتوسط ​​على مجموعة العقد x 1 u n 1 ونقدم أيضًا الترميز: n 0 k mk x (k 1، ...)، K x y. ثم يمكن كتابة النظام (4.1) على النحو التالي: c m c m c K؛ u m c m c m c K mc0 m3c1 m4c K1. يمكن حل نظام المعادلات بأي من الطرق المباشرة المذكورة أدناه. نظرًا لأن النظام يحتوي على مصفوفة متماثلة ، فيمكننا استخدام طريقة الجذر التربيعي ، الصيغ الحسابيةوالتي ترد أدناه: n ؛ ثلاثين

31 ث 1 ، ث م ، ث م ؛ ث م م ، ث (م م م) / ث ؛ ث م (ث) م (م ث) ؛ ض ك ، ض (ك م ك) / ث ؛ z [K (s z s z)] / s ؛ z z z c c، c، c z (s c s c) s33 s ..، n) والخطأ التقريبي ε max max ε، ε y (x) φ (x)، εm ε حيث يكون متوسط ​​مربع الخطأ ε S / (n 1 ). معلمات خيارات التعيين: a 0 ، b 1 ، n العقد: x h (0،1، ...، n)، h 1 / n. متغيرات الوظائف y (x) q 1) y (x) sn x (q 1 3) ؛ 1 / ف) ص (س) س س (ف ، 3) ؛ 3) ص (خ) × هـ ؛ 4) y (x) log (1 q x) (q 1 3) ؛ 1 / q 5) y (x) cos x (q، 3) ؛ q 6) y (x) cos x (q 1 3) ؛ 1 / ف × 7) ص (خ) ه (ف ، 3) ؛ 1 / q 8) y (x) ln (1 x) (q 1 3) ؛ 31

32 ف 9) ص (س) س (1 س) 0.01 س (ف 3 5) ؛ 1 / ف 10) ص (خ) × (1 ×) × (ف 5) ؛ 1 / ف 11) ص (خ) تان س (ف 1 3) ؛ ف 1) ص (س) 1 س (ف 1 4) ؛ 13) ص (خ) (1 ف 1 س) (ف 1 4) ؛ 14) y (x) 15) y (x) (1 (1 1 / q x) (q x) / (1 1 3 x)؛ 3) ؛ 16) y (x) x (1 1 / q x) (q 4) ؛ 17) ص (خ) هـ ؛ x 18) y (x) e ؛ 19) y (x) 1 / q arcsn x (q 1 3) ؛ 0) ص (خ) (1 1 / ف س) (ف 4) ؛ 1) ص (س) (1 1 / ف س) (ف 1 3) ؛) ص (س) (1 1 / ف س) (ف 4) ؛ ف 3) ص (س) س / (1 س) (ف 1 4) ؛ x q 4) y (x) x e (q 1). البرمجة يظهر مخطط كتلة البرنامج في الشكل. 4 .. لتخزين y ، θ (x) ، قم بتخصيص المصفوفات التي تحتوي على عناصر n + 1 على الأقل. يوصى بإجراء الحسابات للعديد من قيم n ، مع الانتباه إلى التغيير في الخطأ مع زيادة n. يكفي عرض النتائج لقيمة واحدة من n على الشاشة. للتحقق من صحة البرنامج ، يوصى بتقريب الوظيفة y (x) (1 x) كمشكلة اختبار ، حيث تكون الأخطاء ε max ، ε t ، يجب أن تكون مساوية للصفر. 3

33 1 3 ابدأ البيانات الأولية بـ = 1، n 7 8 by = 1، n (x (x)،)، max 4 y، m k، k l، 9 x 5 x 10 m 6 S، z k، c، c، ج النتائج 1 نهاية الشكل. 4 .. رسم تخطيطي لبرنامج التقريب 33

34 محتوى التقرير يجب أن يحتوي التقرير على: معادلة الوظيفة y (x) ومعلمات متغير معين. نص البرنامج القيم ج 0 ، ج 1 ، ث ؛ المصفوفات والرسوم البيانية y ، θ (x) ؛ الأخطاء ε max، ε t، ε. أسئلة التحكم 1. كيف يتم تعيين مهمة تقريب الوظائف؟ ما هو جذر متوسط ​​التربيع التقريبي؟ 3. ما هو التقريب المنتظم؟ 4. كيف يتم بناء طريقة المربعات الصغرى؟ 5. ما هو الخطأ (المصطلح المتبقي) للتقريب بوظائف القدرة؟ 6. ما هي شروط اكتمال نظام الوظائف؟ 34

35 المهمة 5 التمايز العددي الغرض من العمل هو دراسة طرق التمايز العددي ، لحساب المشتقات الأولى والثانية لدالة معينة باستخدام كثير حدود الاستيفاء لنيوتن. صياغة المشكلة التفاضل العددي هو أحد أكثر المشاكل شيوعًا في الرياضيات الحسابية ، والتي لها تطبيقات مختلفة. دع دالة الشبكة y y (x) (0،1، ...، n) المحددة في مجموعة العقد x ، (= 0 ، 1 ، ... ، n). لحساب المشتق y (k) (x) من رتبة k (k = 1، ...) عند نقطة ما x ، نختار عقد m + 1 (m k) في المنطقة المجاورة لهذه النقطة ونبني استيفاء متعدد الحدود Р m (x) من الدرجة m (على سبيل المثال ، كثير حدود نيوتن (انظر المهمة 3)) يمر عبر جميع العقد المحددة: (5.) y (x) P (x) R (x)، m (X). عند التفريق بين المساواة (5.) نجد (ك) (ك) (ك) ص (س) م (س) Rm (س) (ك 1 ، ...). (5.3) لنأخذ الآن كقيمة تقريبية للمشتق y) (x) مشتق كثير الحدود: (k (k) (k) y (x) P (x). (5.4) ثم المصطلح المتبقي ( خطأ) للمشتق Q m ، k (x) يساوي مشتق باقي (خطأ) من كثير الحدود: Q x y x P x R x (k) (k) (k) m، k () () م () م (). م م (5.1) 35

36 المشتقات (5.4) تسمى الفروق المحدودة. في الممارسة العملية ، غالبًا ما يتم استخدام الشبكات الموحدة ، أي شبكات مع عقد متباعدة بشكل متساو. في مثل هذه الشبكات ، يتم إعطاء مشتقات الفروق المحدودة الأولى والثانية عند العقد x التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة ، مع وجود خطأ O (h) بالنسبة إلى خطوة الشبكة h ، بواسطة الصيغ: y 1 y 1 y y (x) ، y y h O (h) ؛ y 1 y y 1 y y (x) ، y h y O (h) ؛ (1 ، ... ، ن 1). في العقد الحدودية ذات الأرقام = 0 و = n ، يتعين على المرء حساب ما يسمى بالمشتقات أحادية الجانب عن طريق اختيار عقد الاستيفاء على جانب واحد فقط من العقدة الحدودية. في شبكة موحدة ، تكون معادلات الدرجة الثانية للمشتقين الأول والثاني: 3y0 4y1 y y 0 y (x0) O (h)؛ ح yn 4yn 1 3yn y n y (xn) O (h) ؛ h 1y0 30y1 4y 6y3 y 0 y (x0) O (h) ؛ 6 س 6 س 4 س 30 س 1 س ص y n y x O h 6h n 3 n n 1 n (n) (). كما يتضح من الصيغ ، في المشتقات أحادية الجانب ، يلزم المزيد من العقد لتحقيق نفس الدقة. لأداء العمل المخبري ، يتم تجميع جدول القيم (5.1) بشكل أولي لإحدى الوظائف y (x) الواردة أدناه في العقد المتباعدة بشكل متساوٍ 36

37 x h (0،1، ...، n)، h 1 / n، على الفاصل الزمني 0 x 1. يتم اختيار قيم n في النطاق n = ثم y بالضبط "، y" (بشكل تحليلي) وقيم y و y التقريبية للمشتقات الأولى والثانية التي تم الحصول عليها "بواسطة الصيغ أعلاه. يوجد في جميع العقد الحد الأقصى والجذر المتوسط ​​التربيعي (k) (k) εk ، max max y (k 1،) 1 n ε k n (k) (k) (y y) 1 0 (k 1،) قيم خطأ التمايز العددي ، وكذلك عدد العقد kmax ، حيث القيم ε kmax (k = 1 ،) تحققت. x؛ 4) cos (π x /)؛ x 5) x e؛ 6) xch x؛ x / 7) sh x؛ 8) e؛ 9) x sh x؛ x / 10) ch x؛ 11) e؛ 1) x ch x؛ 13) x sn x؛ 14) sn x؛ 15) x sh x؛ 16) x cos x؛ 17) cos x؛ 18) tg (π x / 4)؛ 19) x sn x؛ 0) x sn x؛ 1) (x 1) ln (x 1)؛) x cos x؛ 3) xcos x؛ 4) xln (x 1)؛ x / x 5) e sn x؛ 6 ) xe؛ 7) arcsn (x /)؛ x / 8) arctg x؛ 9) xe؛ 30) (x 1) ln (x 1) .37

38 البرمجة يظهر الرسم التخطيطي للكتلة لبرنامج التمايز العددي في الشكل. لتخزين قيم دالة الشبكة ، القيم الدقيقة والتقريبية للمشتقات ، بالإضافة إلى أخطائها ، المصفوفات التي يبلغ طولها n على الأقل. يجب تعيين + l. منذ في هذا العمل ن<100, достаточно описать массивы, каждый их которых имеет 101 элемент. Функцию у(х), а также ее аналитические и конечно-разностные производные удобно описать в виде подпрограмм-функций. В цикле вычисляются узлы и значения функции в них, а в цикле аналитические и численные значения производных и погрешности. Правильность программы можно проверить, задавая, например, тестовую функцию у = х /, для которой должны получаться точные значения " y / ï, y 1 (0,1,..., n). Рабочие варианты рекомендуется рассчитать для нескольких значений n, наблюдая за уменьшением погрешности с ростом п. На экран достаточно вывести результаты вычислений для какого-либо одного значения п. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА Отчет должен содержать: функцию у(х) и расчетные формулы для конкретного варианта; текст программы; результаты вычислений и графики функций: " у", y ", у ", y, (= 0, 1,..., п), причем точные и приближѐнные значения соответствующих производных должны быть изображены разными цветами в одном окне. 38

39 1 ابدأ 6 بـ = 1 ، n ابدأ البيانات 7 y، y، y، y، y y (k) (k) k، 3 by = 1، n k، max، k، k، max y، y، y، y ، 41 x، y 8 x 5 x 9 k 10 النتائج 11 مخطط انسيابي للشكل النهائي لبرنامج التمايز العددي. 39

40 أسئلة رقابة 1. كيف تتم صياغة مشكلة التفاضل العددي؟ كيف يتم بناء معادلات التفاضل العددي ، ما هو خطأها؟ 3. تقدير خطأ الصيغ التي تستخدمها. 4. كيف ينخفض ​​ترتيب خطأ التمايز العددي مع زيادة ترتيب المشتق لنفس عدد العقد؟ 5. كيف يمكنك بناء صيغ للتمايز العددي بدقة متزايدة؟ 6. ما هو الخطأ في صياغة مشكلة التفاضل العددي؟ 40

41 المهمة 6 التكامل العددي الغرض من العمل هو دراسة طرق التكامل العددي ، حساب تكامل محدد لوظيفة معينة بواسطة طرق المستطيلات و Gauss. بيان المشكلة دع الدالة y = f (x) تُعطى على المقطع عند النقاط x 0 = a ، x 1 ، x n = b. علينا حساب التكامل المحدد للصورة b a f (x) dx. باستخدام تعريف التكامل باعتباره نهاية المجموع المتكامل ، لدينا: b a n 1 f (x) dx lm f () x، x x x، max x (6.1) حيث x x +1 هي نقطة منتصف الفترة x، x +1. تقلل مهمة التكامل بيانياً لإيجاد المنطقة تحت الرسم البياني للدالة f (x) على مقطع معين الشكل. الشكل. توضيح للتكامل العددي ينقسم المحور x إلى n مقاطع بطول x ، ويتم تحديد نقطة على كل مقطع وفقًا لمعيار معين ومحسوب في هذا 41

42 نقطة من قيمة الدالة f (). يتم تحديد المساحة من خلال مجموع مساحات المستطيلات الناتجة. عندما تكون أطوال المقاطع × 0 ، فإن مجموع مساحات المستطيلات يميل إلى قيمة التكامل. للتكامل العددي ، يتم استبدال الدالة f (x) بهذه الوظيفة التقريبية (x) ، والتي يمكن حساب تكاملها بسهولة. في أغلب الأحيان ، تعمل كثيرات الحدود المعممة كقوائم تقريبية. نظرًا لأن مثل هذا التقريب خطي فيما يتعلق بالمعلمات ، يتم استبدال الوظيفة بتعبير خطي معين ، معاملاتها هي قيم الوظيفة عند العقد: n f (x) f (x) (x) r ( x) ، 0 حيث r (x) هو الحد المتبقي للتقريب. بالتعويض عن هذا التعبير للوظيفة في التكامل الأصلي (6.1) ، نحصل على b a n f (x) dx q f (x) R ، حيث q (x) dx ، R r (x) dx. ب أ ب أ 0 الصيغة (6.) تسمى الصيغة التربيعية بالأوزان q والعقد x. كما يتضح من الصيغة ، فإن الأوزان q تعتمد فقط على موقع العقد ، ولكن ليس على شكل الوظيفة f (x). يُقال أن الصيغة التربيعية دقيقة لكثيرات الحدود من الدرجة m إذا ، عندما يتم استبدال الدالة f (x) بكثرة الحدود الجبرية التعسفية من الدرجة m ، يصبح المصطلح الباقي مساويًا للصفر. يتم الحصول على الصيغ التربيعية الأكثر شهرة عن طريق اختيار عقد x متباعدة بشكل متساوٍ في فترة التكامل. تسمى هذه الصيغ بصيغ نيوتن كوتس. تتضمن الصيغ من هذا النوع الصيغ المعروفة للمستطيلات وشبه المنحرف والقطوع المكافئة (سيمبسون) وبعض الصيغ الأخرى. في طريقة المستطيلات في الشكل. 6. يتم تقريب الدالة f (x) بواسطة كثير حدود من الدرجة صفر f (x) f (x) f. 0 0 (6.) 4

43 لحساب التكامل على القطعة [أ ، ب] ، نقسمه إلى أجزاء صغيرة بطول h ، والتكامل في مجموع التكاملات في أقسام منفصلة. ثم لقسم واحد h / h / f (x) dx hf ، حيث f 0 هي قيمة الوظيفة في منتصف المقطع. وبالتالي ، يتم تقريب مساحة شبه المنحني المنحني الخطي بواسطة مستطيل ، ويتم حساب الوظيفة عند نقطة منتصف المقطع. 0 تين. 6. طريقة المستطيلات للمقطع -th x 1 x f (x) dx hf، 43 1 / حيث f + 1 / = f (a + (+ 1 /) h). ثم أخيرًا قيمة التكامل في [а، b] b a f (x) dx h (f f ... f) r (x). 1/3 / n 1 / إذا كانت العقد x ثابتة (موزعة بشكل موحد على) ، فعندئذٍ في الصيغة التربيعية (6.) تكون الأوزان q ثابتة أيضًا. بعد ذلك ، لبناء كثير حدود استيفاء يقترب من الدالة f (x) ، يبقى فقط (n + 1) الحالة المستقلة ، أي القيم المعروفة للوظيفة عند عقد الاستيفاء f (x). وبالتالي ، باستخدام هذه الشروط ، من الممكن بناء كثير حدود لا يزيد عن الدرجة n. إذا لم نصلح موضع العقد ، وبالتالي ، q ، إذن لدينا تحت تصرفنا (n +)

44 شرطًا يمكنك من خلالها إنشاء درجة متعددة الحدود (n + 1). هذه هي الطريقة التي نشأت بها مشكلة إيجاد ، من بين جميع الصيغ التربيعية ذات العقد (n + 1) ، معادلة بهذا الترتيب للعقد x على ومع مثل هذه الأوزان q التي تكون دقيقة بالنسبة لكثيرات الحدود من الدرجة القصوى. من الواضح بشكل بديهي أن خطأ الطريقة هو الأصغر ، وكلما زاد ترتيب كثير الحدود ، يعطي التكامل العددي نتيجة دقيقة. دعونا نغير متغير التكامل في التكامل الأصلي (6.1) x a (b a) t (0 t 1) ونحوله إلى الشكل I = (b a) J ، حيث 1 J f (t) dt، f (t) f (س (ر)). 0 وهكذا ، نأتي بالتكامل في أي مقطع إلى فترة زمنية ثابتة ، حيث سنبحث عن الترتيب الأمثل للعقد. تم حل هذه المشكلة بنجاح ، وتوضح الكتب المرجعية لهذه الفترة موقع العقد t والأوزان A ، حيث = 1 ، م. لحساب التكامل ، نستخدم الصيغة التربيعية للصيغة التالية: 1 m J f (t) dt A f (t) R. 0 1 m المصطلح المتبقي من الصيغة Gaussian مع العقد m له شكل R M f t M ( م) م م كحد أقصى () ، م 0 ر 1 (م!) (م 1) (م)! 4 3. على وجه الخصوص ، م 3 = ، م 5 = ، م 7 = ، م 9 = ، م 10 = ، إلخ. الأوزان A ، والعقد t لصيغ Gauss التربيعية لها القيم التالية: m = 3 t 1 = 1 t 3 = ، t = ، A 1 = A 3 = ، A =

45 م = 5 ر 1 = 1 ر 5 = ، ر = 1 ر 4 = ، أ 1 = أ 5 = ، أ = أ 4 = ، ر 3 = ، أ 3 = م = 7 ر 1 = 1 ر 7 = ، ر = 1 ر 6 = ، ر 3 = 1 ر 5 = ، ر 4 = ، أ 1 = أ 7 = ، أ = أ 6 = ، أ 3 = أ 5 = ، أ 4 = م = 9 ر 1 = 1 ر 9 = ، ر = 1 ر 8 = ، ر 3 = 1 ر 7 = ، ر 4 = 1 ر 6 = ، ر 5 == ، أ 5 = ، أ 1 = أ 9 = ، أ = أ 8 = ، أ 3 = أ 7 = ، أ 4 = أ 6 = م = 11 ر 1 = 1 ر 11 = ، ر = 1 ر 10 = ، ر 3 = 1 ر 9 = ، ر 4 = 1 ر 8 = ، ر 5 = 1 ر 7 = ، تي 6 = ، أ 1 = أ 11 = ، أ = أ 10 = ، أ 3 = أ 9 = ، أ 4 = أ 8 = ، أ 5 = أ 7 = ، أ 6 = خيارات التخصيص لحساب التكامل ، نستخدم طريقة المستطيلات مع عدد العقد من م إلى 100 وصيغة جاوس التربيعية سم = 5 11 عقدة. تتضمن البيانات الأولية: الوظيفة f (x) ؛ حدود التكامل أ ، ب ؛ عدد العقد m ، والأوزان A ، والعقد t لصيغة Gauss التربيعية. احسب تكامل جدول النموذج b a E (ξ) ξ 0 d وفقًا للبيانات الواردة في 45

46 E () a b 0 1 ξ e sn (ξ /) 0 π 3 ξ (ξ 1) e 0 4 1/3 cos (ξ /) 0 5 ξ 1 ξ ξ / ln ξ / 4 3sn (ξ / ) 0 π 8 3 3ξ ξ e ξ e 0 10 arcsn ξ (ξ ξ (1 ξ) cos (0.5ξ 0.15ξ) 0 π 1 arctan ξ sh ξ ξ ch ξ / ξ cos ξ e 0 الجدول 6.1 البرمجة لتخزين الأوزان A ، والعقد t لصيغة Gauss التربيعية وقيم الوظائف في مراكز المقاطع المختارة f + 1 / في طريقة المستطيلات ، يجب على المرء أن يصف مصفوفات الطول المناسب للحسابات في يمكن تبسيط طريقة Gauss ، مع مراعاة تناظر الأوزان والعقد حول منتصف المقطع t = 0.5 يجب أولاً إدخال القيم A ، t ، (= 1 ، ... ، 11) في المصفوفات A () و T () باستخدام عوامل التخصيص أو مشغل إدخال البيانات الأولي.

47 1 ابدأ البيانات الأولية 7 بواسطة = 1 ، m 8 J m 1 A f (t) 3 by = 1، n 9 x 41 x، n 1 I h f (x) 1/10 I (b a) J 5 x 11 النتائج 6 أ ، ر 1 مخطط كتلة الشكل النهائي لبرنامج التكامل 47

48 الرسم التخطيطي للكتلة لبرنامج حساب التكامل بطريقة المستطيلات وطريقة غاوس موضح في الشكل ، وطريقة المستطيلات تنفذ في الدورة ، وطريقة غاوس مطبقة. يمكن التحقق من صحة التكامل عن طريق حساب التكامل 1 n I (n 1) x dx (n m 1) كاختبار ، والذي يجب الحصول على القيمة الدقيقة لـ 1 له ، أو I 1 4 (1 1 x) dx ، قيمته تساوي π. 0 0 محتوى التقرير يجب أن يحتوي التقرير على: تكامل وحدود تكامل متغير معين ؛ عدد العقد في طرق المستطيلات و Gauss ؛ نص البرنامج الرسم البياني للتكامل. قيمة التكامل التي تم الحصول عليها بطريقتين. أسئلة التحكم 1. كيف تتم صياغة مشكلة التكامل العددي؟ كيف يتم إنشاء معادلات الاستيفاء التربيعي ، ما هو الخطأ (المصطلح المتبقي)؟ 3. كيف يتم بناء صيغ جاوس التربيعية ، ما هو الخطأ (المصطلح المتبقي)؟ 4. كيف يتم بناء الصيغ التربيعية المركبة (الكبيرة) (المستطيلات ، شبه المنحرف ، القطع المكافئة) ، ما هو خطأها (المصطلح المتبقي)؟ 5. قارن دقة طريقة المستطيلات وطريقة غاوس بنفس عدد العقد. 48

49 المهمة 7 حساب التكاملات المتعددة بطريقة مونت كارلو الغرض من العمل هو التعرف على الطرق العددية لمونتي كارلو ، الحساب بطريقة مونت كارلو للتكامل المتعدد لوظيفة معينة في منطقة محدبة. بيان المشكلة ضع في اعتبارك مشكلة حساب التكامل ذو البعد n I f (x) dx، X (x، x، ...، x)، dx dx، dx، ...، dx (V) 1 n 1 في مجال V بحدود Г مضمن في موازٍ للسطوح ذات أبعاد n بها مساحة تكامل حجم الشكل في حالة متغيرين W = بالصيغة t 1 T T (x1، x، x3، t) dx1dx dx3dt، V (t t) s 1 t1 (Vs) حيث Vs 4 π 3 3 R - حجم الكرة. 51

52 بما أن T (x، t) تأخذ T (x1، x، x3، t) ρ (x1 g1t، x gt، x3 g3t) ، حيث ρ (х) هي إحدى وظائف المهمة السابقة ، g 1 = 0 .l 0.9 (= 1.3). 3. احسب الحجم V للجسم الذي يحده شكل بيضاوي سداسي الأبعاد 6 x Г () 1 0 (c 0.1). c 1 قم بإجراء حساب مونت كارلو باستخدام الصيغة V dx dx dx dx dx dx dx. (V) (V) البرمجة سيتم تنفيذ حساب التكامل لعدة قيم من N ، يتم تقديمها بواسطة مصفوفة منفصلة N (L) في البرنامج الرئيسي. وفقًا لذلك ، يجب أن ينظم البرنامج إخراج النتائج عندما يصل عدد الأرقام العشوائية إلى القيمة التالية N من المصفوفة. هذا سيجعل من الممكن ملاحظة التغيير في النتائج وتقارب التكامل مع زيادة N. ويظهر مخطط الكتلة للبرنامج في الشكل. 7 .. أساس البرنامج هو دورة (كتل 3-10) لـ l من l إلى L ، حيث L هو عدد معين من الخيارات مع عدد مختلف من الأرقام العشوائية N l ، والتي يتم إخراج النتائج لها. في الخانة 4 ، يتم الوصول إلى مولد الأرقام العشوائية لحساب. في الشكل ، العدد الحالي للنقاط العشوائية ، M هو عدد النقاط العشوائية في المنطقة V ، I è V لتقييم التكامل I وحجم المنطقة V. كاختبار ، من الضروري حساب حجم الشكل الإهليلجي في منطقة ثلاثية الأبعاد وفقًا للفقرة 3 من المهمة. الحل التحليلي V 4 c معروف. 1cc 3 3 5

1. الطرق العددية لحل المعادلات 1. نظم المعادلات الخطية. 1.1 الطرق المباشرة. 1.2 الطرق التكرارية. 2. المعادلات غير الخطية. 2.1. المعادلات ذات المجهول. 2.2. نظم المعادلات. واحد.

المحاضرة 5. تقريب الوظائف بطريقة المربعات الصغرى. في الأنشطة الهندسية ، غالبًا ما يكون من الضروري وصف العلاقة بين القيم الواردة في الجدول في شكل علاقة وظيفية

حل المعادلات غير الخطية وأنظمة المعادلات غير الخطية حل المعادلات غير الخطية بالشكل الحل العددي للمعادلات الجبرية غير الخطية أو المعادلات التجاوزية. تقع في إيجاد القيم

وزارة التعليم والعلوم في الجامعة التقنية الوطنية الأوكرانية "معهد خاركوف البوليتكنيك" القواعد الارشاديةإلى العمل المخبري "حساب جذور المعادلات المتعالية"

الطرق العددية الموضوع 2 الاستيفاء V I Velikodny 2011 2012 العام الدراسي 1 مفهوم الاستيفاء الاستيفاء هو طريقة لإيجاد تقريبي أو دقيق لأي قيمة من القيم الفردية المعروفة

تقدير الدوال التفاضلية العددية والتكامل في هذا القسم ، نأخذ في الاعتبار مشاكل تقريب الدوال باستخدام كثيرات حدود لاجرانج ونيوتن باستخدام الاستيفاء المحوري

وزارة التعليم والعلوم في دولة الاتحاد الروسي مؤسسة تعليميةأعلى التعليم المهنيتومسك جامعة الدولةأنظمة التحكم والإلكترونيات الراديوية قسم TUSUR

العمل المخبريطرق لتقليل وظائف متغير واحد باستخدام معلومات حول مشتقات دالة الهدف بيان المشكلة: مطلوب إيجاد الحد الأدنى غير المشروط لوظيفة متغير واحد (

الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي "جامعة ولاية بينزا" التربيع والصيغ التكعيبية المنهجية

المحاضرة 9 3. الطرق العددية لحل المعادلات غير الخطية للمشكلة دع المعادلة غير الخطية (0 ، (3.1) تُعطى حيث (دالة محددة ومستمرة في بعض الفترات. في بعض الحالات

موضوع 4. الحل العددي للمعادلات غير الخطية -1- الموضوع 4. الحل العددي للمعادلات غير الخطية 4.0. بيان المشكلة غالبًا ما تواجه مشكلة إيجاد جذور المعادلة غير الخطية بالصيغة y = f () في العلوم

الطرق العددية في صناعة التعدين النماذج الرياضية والطرق العددية

حل المعادلات غير الخطية وأنظمة المعادلات غير الخطية حل المعادلات غير الخطية بالشكل الحل العددي للمعادلات الجبرية غير الخطية أو المعادلات المتسامية f =) يتمثل في إيجاد القيم ،

1 متعدد حدود لاجرانج دع قيم الدالة المجهولة (x i = 01 x [a b] i i i) يتم الحصول عليها من التجربة. نقطة تعسفية x ل

مهام للفصول العملية في تخصص "الرياضيات الحاسوبية" درس عمليحول موضوع نظرية الأخطاء أسئلة الاختبارحدد تجربة حسابية ارسم مخططًا

المؤسسة التعليمية للميزانية الحكومية للتعليم المهني الثانوي "كلية فلاديمير للطيران الميكانيكية" تعليمات منهجية للعمل المخبري في مجال الانضباط العددي

الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي "جامعة فورونيج الحكومية البيداغوجية" قسم المعلوماتية والأساليب

الخيار 1. 1. مجال الأعداد المركبة. تصميمه. شكل جبري ومثلثي لكتابة الأعداد المركبة. صيغة Moivre وصيغة استخراج جذور الدرجة التاسعة من عدد مركب.

يُفهم التكامل العددي على أنه مجموعة من الطرق العددية لإيجاد قيمة تكامل معين. عند حل المشكلات الهندسية ، من الضروري أحيانًا حساب متوسط ​​القيمة

2 الطرق العددية لحل المعادلات. 2.1 تصنيف المعادلات وأنظمتها وطرق حلها. تنقسم المعادلات وأنظمة المعادلات إلى: 1) جبري: تسمى المعادلة جبري إذا انتهت

المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى المفاهيم الأساسية المعادلة التفاضلية هي معادلة تدخل فيها دالة غير معروفة تحت علامة المشتقة أو التفاضلية.

وزارة التربية والعلوم الاتحاد الروسيالمؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم العالي "NIZHNY NOVGOROD STATE TECHNICAL UNIVERSITY IM. تم العثور على R.

بيان المشكلة ، المفاهيم الأساسية الاختلافات المحدودة وخصائصها متعدد الحدود الاستيفاء تقدير المصطلح المتبقي من كثيرات الحدود الاستيفاء بيان المشكلة ، المفاهيم الأساسية دعنا ، أي

محاضرة 3. 3. طريقة نيوتن (للظلال. دعنا نضع بعض التقريب الأولي [، ب] ونرسم الدالة f (في الجوار باستخدام جزء من سلسلة تايلور f (= f (+ f "((-. (5)) بدلاً من المعادلة (نحلها

فصل حساب التكاملات المحددة! "#٪ $ &"٪ ("#) * +، -" # "dx. بشكل عام ، يتم حل المشكلة عن طريق تقريب الوظيفة بواسطة دالة أخرى ، والتي يتم حساب التكامل لها تحليليًا.

مخططات الفروق للمسائل غير الخطية. معادلة النقل شبه الخطية. إلى عن على الحل العدديالمشاكل غير الخطية في المواقف المختلفة ، يتم استخدام كل من المخططات الخطية وغير الخطية. استدامة ذات الصلة

أدوات التقييمللرصد الحالي للتقدم ، شهادة وسيطة تستند إلى نتائج إتقان الانضباط و الدعم التربوي والمنهجي عمل مستقلالطلاب 1 خيارات مهام الحساب

1 1.57.5-5-.5 حل المعادلات بمهمة واحدة متغيرة: ابحث عن حل معادلة بدقة 0.0001 باستخدام الطرق التالية: الأجزاء المتناسبة (الحبال) ؛ الظلال (نيوتن) ؛ تم التعديل

المحاضرة 2. حل المعادلات غير الخطية. بيان المشكلة: ابحث عن عامل خطأ الأداة σ عند إجراء القياسات الجيوديسية من المعادلة: δ cos σ υ 2 + η = 0 القيم δ = 0.186 ، υ = 4.18 ،

المفاهيم الأساسية لنظرية مخططات الاختلاف. أمثلة على بناء مخططات الاختلاف لمشكلات القيمة الأولية. يؤدي عدد كبير من المشكلات في الفيزياء والتكنولوجيا إلى مشاكل حدية أو حدود أولية للخطية

النمذجة الرياضية لمنشآت الطاقة الحرارية - المحاضرة 1 - المعادلات الجبرية والمتجاوزة اللاخطية. المصطلحات والمفاهيم 2 النمذجة هي دراسة كائن أو نظام كائنات بواسطة

نظم المعادلات الخطية بعد دراسة هذا الموضوع ، سوف تكون قادرًا على: تنفيذ حل رقمي لمشاكل الجبر الخطي. يتم تقليل العديد من المشاكل العملية إلى حل أنظمة المعادلات الخطية ، الحل

متكامل. 8 طرق التكامل العددي. في هذا الفصل ، سننظر في طرق حساب طريقة معينة. تستخدم طرق التكامل العددي على نطاق واسع في أتمتة حل علمي

المحاضرة 11 مشكلة تحسين التداخل متعدد الأبعاد في المحاضرة الأخيرة ، تم النظر في طرق حل المعادلات غير الخطية.

حدد التكامل. المجاميع التكاملية والتكامل المحدد دع الدالة y = f () محددة في المقطع [، b] ، أين< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي يكرر.

الفصل الرابع: الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية العادية وأنظمتها

وزارة التعليم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي "ولاية إيجيفسك جامعة فنية"الموافقة على رئيس الجامعة الرابع أبراموف

وزارة التربية والتعليم في الاتحاد الروسي معهد سانت بيترسبرغ التكنولوجي (الجامعة التقنية) قسم الرياضيات التطبيقية M.V. طرق Lukina في الحسابات التقريبية

المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم العالي "جامعة نيجني نوفغورود التقنية التابعة لهم. يكرر. معهد ألكسييفا للإلكترونيات الإذاعية والمعلومات

المحاضرة 3 طرق معالجة استيفاء البيانات التجريبية

باسكال 13. حل المعادلات غير الخطية. يمكن تقسيم المعادلات غير الخطية إلى فئتين - جبري ومتسامي. المعادلات الجبريةتسمى المعادلات التي تحتوي فقط على الجبرية

طريقة ريتز هناك نوعان رئيسيان من الطرق لحل مشاكل التغيير. النوع الأول يتضمن طرق تختزل المشكلة الأصلية إلى حل المعادلات التفاضلية. تم تطوير هذه الأساليب بشكل جيد للغاية

1. أهداف وغايات الانضباط. الغرض من التخصص: دراسة طرق بناء الخوارزميات العددية ودراسة الطرق العددية لحل المشكلات الرياضية التي تحاكي العمليات الفيزيائية المختلفة.

بناء جملة عامل التشغيل: بيان الحلقة العامة افعل [(حتى الآن)] ... حلقة [(حتى الآن)] حيث تتم ترجمة الكلمات الأساسية على النحو التالي

وزارة الزراعة في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "جامعة ولاية كوبان الزراعية"

Ch Power series a a a a series بالشكل a a a a () تسمى سلسلة القوة ، حيث ، a ، الثوابت ، تسمى معاملات السلسلة سلسلة الطاقةأكثر نظرة عامة: أ (أ) أ (أ) أ (أ) () ، أين

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "جامعة ولاية كورغان"

طرق AP Popov الحلول المثلىدليل لطلاب التخصصات الاقتصادية للجامعات Rostov-on-Don 01 1 مقدمة ب الرياضيات التطبيقيةهناك عدة اتجاهات تهدف في المقام الأول إلى

46 درس عملي 6 التكامل العددي المدة - ساعتان الغرض من العمل: تعزيز المعرفة حول التكامل العددي باستخدام الصيغ المعممة لمتوسط ​​المستطيلات وشبه المنحرف ،

UDC 004.9 LBC 32.97 T47 التناظرية الإلكترونية للنسخة المطبوعة: المعلوماتية والرياضيات: في 3 ساعات الجزء 2: حل المعادلات / V. I. Tishin. م: بينوم. مختبر المعرفة 2013. 112 ص. : سوف. Tishin V. I. T47

المحاضرة 4 8 الطرق العددية لحل أنظمة المعادلات التفاضلية العادية بيان المشكلة مشكلة حل أنظمة المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى المتصلة

الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية العادية حل مسألة كوشي ... مسألة كوشي لمعادلة تفاضلية عادية. نحن نعتبر مشكلة كوشي لتفاضل واحد

الفصل 1 الطرق العددية لحساب تكامل محدد الغرض من العمل هو دراسة الطرق العددية للتكامل وتطبيقها العملي للحساب التقريبي للتكاملات الفردية. مدة

تعليمات منهجية لأداء العمل المخبري في الفصل الدراسي الانضباط "علوم الكمبيوتر" 3 نوفوسيبيرسك 008 وزارة العلوم والتعليم في الاتحاد الروسي نوفوسيبيرسك المعهد التكنولوجيولاية موسكو

طرق. doc طرق الحساب التقريبية صفحة 1 من 6 الحالة العامةالمهمة: باستخدام طريقتين عددية معطاة ، احسب القيمة التقريبية للجذر 1 لمعادلة وظيفية للصيغة f () = 0 لقيم N

سميت جامعة ولاية ساراتوف الوطنية للبحوث باسم N.G. تشيرنيشيفسكي "أ. زينينا ف. طرق Kopnina العددية للجبر الخطي وغير الخطي الدورة التعليميةساراتوف

تمت الموافقة على قسم نظم وتقنيات الحوسبة (اسم القسم) في اجتماع القسم يوم 4 مارس 2016 البروتوكول 6 رئيس القسم Kondratiev V.V.

نسخة طبق الأصل

1 ألكسيفا أو. ورشة الطرق العددية في تشيليابينسك

2 UDC 59.6 BBK.9 A-47 Alekseeva O.A. الطرق العددية: العمل العملي. تشيليابينسك: NOUVPO RBIM. 77 ص. تعتبر أكثر طرق التحليل العددي شيوعًا: طريقة التكرار البسيط وطريقة Seidel لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ، الطرق العددية لإيجاد جذور المعادلات المتعالية ، معادلة لاغرانج ، طريقة المربعات الصغرى المستخدمة على نطاق واسع في الممارسة . في كل عمل مخبري ، يتم اشتقاق صيغ العمل التي تُستخدم لتنفيذها اللاحق على الكمبيوتر. يتم توضيح الخوارزميات المدروسة بأمثلة. يحتوي كل عمل معمل على حوالي 8 أنواع مختلفة من المهام الفردية وأمثلة التحكم. تم تصميم ورشة العمل لتنظيم فصول عملية وعمل مستقل في تخصص "الطرق العددية" لطلاب اتجاهات "المعلوماتية التطبيقية" و "معلوماتية الأعمال". المراجعون: Turlakova S.U. مرشح الفيزياء والرياضيات Sci. ، أستاذ مشارك في قسم الرياضيات التطبيقية ، FSBEI HPE "SUSU" (NRU UDC 59.6 BBK.9 Alekseeva O.A. ، NOUVPO RBIM ،

3 محتويات مختبر العمل. الطرق التكرارية لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية بيان المشكلة تصنيف طرق حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية طريقة التكرار البسيطة (طريقة جاكوبي شروط التقارب و التحولات الأوليةالمصفوفات طريقة Seidel (طريقة Gauss-Seidel للبدائل المتتالية مهام التحكم... 4 أسئلة التحكم ... العمل المخبري. طرق لإيجاد حلول للمعادلات غير الخطية بمفردها غير معروف .... بيان المشكلة .... طرق حل المعادلات غير الخطية .... مهام الاختبار ... 7 أسئلة الاختبار ... 9 العمل المخبري. صيغة لاغرانج لاستيفاء بيان المشكلة حالات خاصة من متعدد الحدود لاجرانج تقييم الأخطاء مهام التحكم أسئلة الاختبار ... 5 العمل المخبري 4. طريقة المربعات الصغرى وصف الطريقة الوظيفة الخطية الوظيفة التربيعية وظيفة الطاقة الوظيفة اللوغاريتمية مهام التحكم أسئلة الاختبار ... 7 ملحق قائمة ببليوغرافية ... 75

4 عمل مخبري. الطرق التكرارية لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية الغرض من العمل: حل نظام المعادلات الجبرية الخطية عن طريق التكرار البسيط وطريقة Seidel بدقة معينة. ترتيب العمل. ادرس المادة النظرية .. حل النسخة المعينة من مهمة التحكم (انظر الفقرة 6 .. اكتب تقريرًا. 4. أجب عن أسئلة التحكم. 5. حماية العمل المختبري .. بيان المشكلة دع نظام المعادلات الخطية ذات المجهول يكون معطى: أ أ ... أ ب ، أ ... أ ب ، أ ... أ ب دلالة بواسطة أ مصفوفة معاملات النظام (: أ ... أ أ ... أ أ ، أ أ. .. عمود من الشروط المجانية للنظام (من خلال المتجه b: b b b .... b (4

5 حل نظام المعادلات (نشير إلى المتجه المطلوب من خلال عمود المجهول: .... إذا كانت المصفوفة A غير مفردة ، فإن النظام (له حل فريد (انظر الملحق. مجموعة الأرقام ، ... ، (أي ، المتجه الذي يقلب النظام (يسمى في الهوية حل هذا النظام ، والأرقام نفسها هي جذوره. في الظروف الواقعية ، غالبًا ما تكون حسابات الكمبيوتر مصحوبة بأخطاء. وهي ناتجة عن أخطاء في البيانات الأولية ، أخطاء التقريب ، أخطاء في تحويل الأرقام من عشري إلى ثنائي عند كتابة المعلومات إلى ذاكرة الكمبيوتر والأخطاء المرتبطة بحدود شبكة البت ، وتنقسم طرق حل أنظمة المعادلات الخطية إلى مجموعتين: دقيق والطرق التكرارية .. تصنيف طرق حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية .. الطرق الدقيقة (الطرق المباشرة هذه الطرق هي خوارزميات محدودة لحساب جذور النظام. تعطي القرار بعد إجراء عدد محدد مسبقًا من العمليات ، على سبيل المثال ، القاعدة ك الحجم ، طريقة Gaussian ، طريقة الجذر التربيعي ، إلخ. هذه الطرق بسيطة نسبيًا والأكثر تنوعًا ، أي مناسب لحل فئة واسعة من الأنظمة الخطية. يتم استخدام الطرق الدقيقة لحل أنظمة المعادلات الخطية التي يتم فيها ملء عدد المجهول والمصفوفة بكثافة والمحدد ليس قريبًا من الصفر. بسبب التقريب الحتمي ، تكون نتائج الطرق الدقيقة تقريبية ، وتقدير أخطاء الجذور في الحالة العامةصعبة. 5

6. الطرق التكرارية تسمح بالحصول على جذور النظام بدقة معينة من خلال تقارب العمليات ، على سبيل المثال ، طريقة التكرار البسيطة ، طريقة Seidel ، طريقة الاسترخاء ، إلخ. في هذه الطرق ، من الضروري تحديد بعض التقريبي حل التقريب الأولي. بعد ذلك ، باستخدام الخوارزمية ، يتم تنفيذ دورة واحدة من الحسابات تسمى التكرار. نتيجة للتكرار ، تم العثور على تقريب جديد. يتم إجراء التكرارات حتى يتم الحصول على حل بالدقة المطلوبة. عادة ما تكون خوارزميات حل الأنظمة الخطية باستخدام الطرق التكرارية أكثر تعقيدًا من الطرق المباشرة. لا يمكن تحديد حجم الحسابات بدقة مقدمًا. يعتمد التطبيق الفعال للطرق التكرارية بشكل أساسي على الاختيار الجيد للتقريب الأولي وسرعة تقارب العملية. تُستخدم الطرق التكرارية لحل الأنظمة ذات الأبعاد الكبيرة (لـ> ، عندما يكون استخدام الطرق المباشرة مستحيلًا بسبب قيود ذاكرة الوصول العشوائي للكمبيوتر. أنظمة كبيرةعادة ما تكون المعادلات التي تنشأ في التطبيقات قليلة ، لذا فإن استخدام الطرق الدقيقة غير فعال ، لأنه بغض النظر عما إذا كان العنصر صفراً أم لا ، يجب تخزينه في الذاكرة. في الطرق التكرارية ، تظل المصفوفة متناثرة. تستخدم هذه الطرق أيضًا لتحسين الجذور التي تم الحصول عليها طرق دقيقة.. طريقة التكرار البسيط (طريقة جاكوبي طريقة التكرار البسيط ، ضع في اعتبارك مثال نظام من ثلاث معادلات جبرية خطية: أ أ ب ، أ أ ب ، (أ أ أ ب ، والتي يمكن كتابتها بإيجاز كـ معادلة المصفوفة: آه = ب. في النظام الأصلي ، نفرد المعاملات القطرية أ (حيث = ، .6

7 افترض أن المعاملات القطرية تستوفي الشروط: a a a a a. a a a (a / (a ​​(a (a (a 7 / (a ​​/ (a ​​/ (a ​​b b b نتيجة لذلك ، نحصل على نظام مكافئ: ، حيث b / a ، a / a لـ j (، j = ،. j j / (أ / (أ / (نظام (يمكننا الكتابة في شكل مصفوفة :. النظام (سنحل بطريقة التكرار البسيط. كتقريب صفري (نأخذ عناصر عمود الأعضاء الأحرار: (= ، أي (= ، (= ، (=) ، نجد أول تقريب x (، مع استبدال القيم الموجودة لتقريب الصفر في النظام (: ((((((((((، استبدال القيم التقريب x (in الجانب الأيمننظام (، نحصل على: ((، (((، التقريب الثاني. ((،. ()

8 8 لمواصلة هذه العملية أكثر ، نحصل على تسلسل x (، (، ((، (ك ، ... التقريبات المحسوبة بواسطة صيغ العمل:. ، (((((((((k k k k k k k k بشكل عام ، صيغ العمل للنظام المعادلات: (، (((((، (((((k k k k k k k k k k k k (4 قد لا يتم إنتاج كمية كبيرةالتكرارات ، ولكن لتعيين دقة معينة للحل ، عند الوصول إلى ما تنتهي العملية التكرارية. يمكن كتابة شرط نهاية العملية التكرارية على النحو التالي: ، ((ك ك حيث = ،. مثال. حل النظام بدقة = = -. 46،5،5،7،9 ، الحل. علامة المعاكسعلى الجانب الأيمن. نقسم كل معادلة من معادلات النظام على المعامل المقابل على الجانب الأيسر من المعادلة:

9 4 /، 9 (، 7، /،(7.46، /9.8(8.76، /، (49،7،9،5،5،5،9،5، 4 4 4، .. كمتجه أولي (نحن سنأخذ عناصر عمود الأعضاء الأحرار ، وتقريب قيمهم إلى منزلتين عشريتين: ، 4 (،. ، 45 ، 55. سنجري العمليات الحسابية حتى الشرط (ك (ك ، حيث = - ، = ، 4. احسب بالتتابع: لـ k =: (/، 9 (، 7،45،9،55،75، (/، (7،46،4،5،45،5،55،95، (/ 9،8 (8،76،4،5،55،4، (4 /، (49،7،9،4،5،45،6. مقارنة ما تم الحصول عليه (مع (، نرى أن شروط التقارب غير مستوفاة. متى k =: (((4 6.94 /،9.86.45 /،8.99 /9.8.7، 45.88 /.477. مقارنة ما تم الحصول عليه (مع (، نرى أن شروط التقارب غير مستوفاة. بالنسبة لـ k = 9

10 (((4 6.6744 /،9.7978.548 /.9977.7 /9.8.975 ، 44.88575 /.98.: (4 6.795 /.9.84 ، (4.6 /.5 ، (4.77 /9.8.5 ، (4 4 44.95 / 4. للمقارنة (4 مع (، نجد وحدات اختلاف القيم (4 (: (4 (4 (4 (4 4 ((((4،6،8 أكبر من الرقم المحدد = - ، نستمر في التكرار نحصل على k = 5: (5 (5 (5 (5 4 6.788 /.9.7999.98 /.9999.758 /9.8.999، 44.9774 /.999.

11 أوجد الوحدات النمطية لاختلافات القيم: (5 (4 (5 (4.5، (5 (4.6، (5 (4.6، (5 (4.4، 4 4) وهي أقل من رقم معين ، لذلك نأخذ الحل: = ، 7999 ، = ، 9999 ، = ، 999 ، 4 = ، شروط التقارب وتحويلات المصفوفة الأولية إلى الحل الفريد لهذا النظام ، بغض النظر عن اختيار التقريب الأولي الطبيعي للنظام j ، (= ، .. . ، j b j ، تتقارب طريقة التكرار إذا استمرت المتباينات التالية: a j a j ، (= ، ... ، j أي ، إذا كانت المعاملات القطرية لكل معادلة في النظام أكبر من مجموع وحدات جميع المعاملات الأخرى (بدون حساب المصطلحات الحرة. تسمى التحويلات التالية للمصفوفة التحويلات الأولية للمصفوفة: التحويل ، أي استبدال كل صف بعمود بنفس الرقم ؛ تبديل صفين أو عمودين ؛ ضرب جميع عناصر الصف أو العمود في أي غير -صفر رقم ج ؛ إضافة إلى الكل نأكل عناصر صف أو عمود من العناصر المقابلة في سلسلة متوازية ، مضروبة في نفس العدد.

12 5. طريقة Seidel (طريقة Gauss-Seidel ، طريقة الاستبدالات المتتالية) طريقة Seidel هي تعديل لطريقة التكرار البسيطة. x ، ... ، x -l [، 5]. في هذه الطريقة ، كما في طريقة التكرار البسيط ، من الضروري إحضار النظام إلى النموذج (بحيث تكون المعاملات القطرية بحد أقصى في القيمة المطلقة ، والتحقق من شروط التقارب. إذا لم يتم استيفاء شروط التقارب ، فمن الضروري تنفيذ تحويلات أولية (انظر البند 4. دعنا نعطي نظامًا من ثلاث معادلات خطية. دعنا نحضره إلى النموذج (. نختار بشكل تعسفي التقريبات الأولية للجذور: x (، x (، x (، في محاولة لجعلها في يتوافق بعض المقاييس مع المجهول المطلوب. بالنسبة للتقريب الصفري ، يمكننا أخذ عمود المصطلحات الحرة ، أي x (= (أي (= ، (= ، (=. ابحث عن أول تقريب x (بالصيغ: (( ، (((، (((من الضروري الانتباه إلى التفرد طريقة Seidel ، والتي تتكون من حقيقة أن القيمة x (l) التي تم الحصول عليها في المعادلة الأولى يتم استخدامها على الفور في المعادلة الثانية ، والقيم x ((، x (في المعادلة الثالثة ، إلخ. أي أن جميع القيم التي تم العثور عليها x (يتم استبدالها في المعادلات لإيجاد x +. تكون صيغ العمل لطريقة Seidel لنظام من ثلاث معادلات كما يلي: (k (k (k، (k (k () ك ، (ك (ك (ك

13 (ك (ك) دعونا نكتب بشكل عام لنظام المعادلات صيغ العمل: (ك (ك (ك (ك ... ، (ك (ك (ك ... ، (ك (ك (k (k .. ،. ،. لاحظ أن نظرية التقارب لطريقة التكرار البسيطة صالحة أيضًا لطريقة Seidel. دعنا نضع دقة معينة للحل ، عند الوصول إلى انتهاء العملية التكرارية ، أي استمرار الحل حتى يتم استيفاء شرط جميع المعادلات :، حيث = ، مثال: استخدم طريقة Seidel لحل النظام بدقة = - :، 9.9 4.7.5.5 4 7.46.5 9.8، 4 8.76.9.5، 4 49.7. الحل. قم بإحضار النظام إلى النموذج: / ، 9 (، 7،9 4 ، / ، (7،46،5،5 4 ، / 9،8 (8،76،5 ، 4 ، 4 / ، (49،7 ، 9،5 ، .. كمتجه أولي x (نأخذ عناصر عمود المصطلحات الحرة ، ونقرب قيمها إلى منزلتين عشريتين: ، 4 (،. ، 45 ، 55. سوف نكررها باستخدام طريقة Seidel بالنسبة لـ k = (/، 9 (، 7،45،9،55،75. (عند حساب x ، نستخدم القيمة التي تم الحصول عليها بالفعل (x \ u003d، 75:

14 (/، (7،46،75،5،45،5،55،9674. ((عند حساب x ، استخدم قيم x و x (: (/ 9،8 (8،76،75، 5،9674،55،977 أخيرًا ، باستخدام القيم x (، x (، x (، نحصل على: (4 /، (49،7،9،75،5،9674،977،47. وبالمثل ، نقوم بتنفيذ حسابات k = و k =. بالنسبة إلى k =: (6.766 /.9.89 ، (.9 /.9996 ، (.758 /9.8.996 ، (4 44.998 /.4. بالنسبة إلى k =: (6.7 /.9.86 ، (.58 /، (، / 9،8،9999، (4 44،9999 /، 4. دعونا نجد وحدات اختلاف القيم (k (k for k =: ((((، 4، ((، 4، ((، 4 4 هم أقل من رقم معين ، لذلك نأخذ كحل: = ، 86 ، = ، = ، 9999 ، 4 = ، 4. 6. حل مهام التحكم نظام معينالمعادلات الجبرية الخطية عن طريق التكرار البسيط وطرق Seidel. دقة الحل = ،. ، 7 ، 4 ، 5.6 ، 4 ، 5 ، 5.8 7 ،. 4، 4.5 4.8 4.9،.، 8، 4، 5.7،8.7. 7.8 5 و 6 و 5.8. أربعة

15 5.,.,5,4,8,7,4,4,5,6 5, 6, 4.,4., 5,6,5, 7,8 4,7,5,4, 4,5,7 5. 5,6., 7, 5,8,4,8 4,5,7,5 6.,., 4,5,5,5 5,8,5,4,8,7,9 7. 5,5. 8,6,5,4,5,5 4,5,9,5,4 8.,5.,5,6,7 4, 6,8,5 5,5,8,4 5,4 9.,5. 5,4, 4,8, 8,7,4. 4,5., 7,4 6,5, 6,4,8,8,8,5,.,. 4,6,5,8,6,7,6,8 4,5.,8.,75,5,7,7,8,65,7,8,6,7,4.,.,75,75,8, 4.,7.,7,7,75,5,4, 5,5.,8,7,75,7,8,75 6.,.,9,7,8,77,8,75,5,4, 7.,88.,67,8,7,6,4,54,4,5,6,8,9 8.,5.,6,5,48,5,44,45,46,7,87,4 9.,64.,5,84,44,58,4,6,85,4,.,87.,6,7,58,4,56,4,8,68,86,44,6

16 6.,6.,7,86,75,8,8,5,44,5,7,46.,5.,6,5,5,6,5,7,4,87,55,7 4,4.,74.,8,55,58,84,45,8,64,8,44,6,4 4.,8.,4,4,7,7,76,88,6,4,56,6 5.,.,68,4,57,4,8,67,7,5,7,5 6.,97.,6,8,74,4,4,6,5,4,7,95 7.,4.,7,8,7,4,7,5,4,7,7, 8.,7.,6,7,5,8,8,76,65,6,6,8,6 9.,6.,74,78,77,7,4,74,7,65,7,.,54.,88,77,86,7,4,8,58, 4,8,64.,9.,8,75,66,78,66,5,58,8,4,7.,.,8,58,4,6,7,8,74,7,58,4,4.,5.,8,7,86,5,54,7,4,4,88,65,47 4.,6.,8,47,4,55,6,54,7,6,4,6 5.,88.,57,8,7,4,57,8,5,4,95,6,4 6.,45.,5,4,9,7,8,4,6,9,7,8 7.,76.,95,48,56,64,5,7,6,8,8,7 8.,8.,7,5,5,8,7,7,5,8,6

17 7 9.,5.,8,56,4,7,4,5,7,45,9,65 4.,8.,7 4,8,4,7,9,8,7 4.,8.,7 5,8 4,7,8,7,5,7 4., 5,8., 5,7 4, 6,7,8 5,8 9,8, 7,8 5,6 9, 4. 5,6. 4,8,8 7,5,9,9,8, 44.,.,8,7 5,7, 4,8,7 4,8,8, 45.,8.,6,85,44,7,48,4,75,4,7,4,.,5,6,4,7,4,5 6,5,7,5, 47.,6., 4,5,5,4,9,6,7,8, 4,7,8,6 48.,.,7,8,4, 6,7,6,4,9,7,7 5,6 49.,4.,4,7 5,6, 6,7,8 4,5,5,5,9,7 5. 6,4.,5 7,4,8,5,6,5, 7,4,5 4,5 5.,6.,5 4,5,4,8,7, 6,4 5, 6,7,8 5.,8.,8,4,8,8,4,5,5 6, 5,4 5.,4.,8, 4,5,8,8, 4,8 5, 7,8.,8, 5,8,9, 4,8, 4,.,9 4,8,9,8,. 4,8 7, 6,5 7,8,5 4,5,8,8

18 ,. 5, 4,8 4, 6,9,7 5,8, 4,7, 58. 5,8. 7, 7,8 8, 6, 5, 4,8 5, 7, 6, 6,8 7, 59. 7,8.,8,9 9,7,7 4,8, 4,7 5,8 7,6 6.,47.,65,95,84,7,86,8,76,6,5 6.,9. 7,4,4,4,7,7 4,5,4, 5,4 6.,4.,8,45,7,45,7,7,4 6.,8.,44,6,55,75,6,87,4,48,55,4,9 64.,6.,85,8,4,4,8,6,75,4,75,45 65.,87.,8,4,65,87,4,6,8,65,6, 66.,88.,8,7,5,8,76,5,48,7,5,4 67.,87.,77,4,6,64,4,45,7,8,6,7, 68.,47.,86,7,5,7,7,8,8,57,5,8,78 69.,5.,6,5,8,5,7,8,6,8,75 7.,4.,55,64,64,96,75,8,75,48 7.,74.,4,6,7,7,6,7,7,75,7,7,6 7.,68.,88,5,67,7,5,87,8,67,8 7.,87.,5,7,54,68,7,6,65,4,54,65,7 74.,57.,65,7,77,88,7,8,77,7

19 9 75.,.,76,7,8,5,6,8,8,7,8,74 76.,7.,5,6,9,7,6,4,5,8,9,5,64 77.,.,6,46,8,9,46,7,7,5,8,7,65 78.,7.,5,9,8,95,9,68,75,68,8,75,5 79.,74.,7,57,8,88,57,45,6,65,8,6,4 8.,5. 8,7,84,6,7,65,7,5,84,7,6

20 سؤال تحكم. ماذا يسمى حل نظام المعادلات الجبرية الخطية؟. ما هي طرق حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية؟. متى تكون الطرق التكرارية مناسبة؟ 4. هل طريقة كرامر هي طريقة دقيقة أم تقريبية؟ 5. اكتب معادلات العمل لطريقة التكرار. 6. أعط أمثلة للطرق التكرارية لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية. 7. ما هو الفرق بين طريقة Seidel وطريقة التكرار البسيط؟ 8. كيف يتم تصنيف طرق حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية؟ 9. ما هي الطريقة الأفضل لحل نظام المعادلات ذات الترتيب المنخفض ، على سبيل المثال ، الثالث؟ ما الذي يحدد معدل تقارب طريقة التكرار؟ تحت أي ظرف ستتقارب طريقة التكرار البسيطة؟ اكتب معادلات العمل لطريقة Seidel لنظام x المعادلات الجبرية الخطية ما هو الفرق الرئيسي بين الطرق الدقيقة والتقريبية لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية؟

21 عمل مخبري. طرق إيجاد حلول للمعادلات غير الخطية ذات المعادلات غير المعروفة. الغرض من العمل: حل معادلة غير خطية بدقة معينة. ترتيب العمل. تعرف على وصف العمل المخبري .. حل الخيار المحدد (انظر الفقرة 4: فصل الجذر ، ب توضيح قيمة الجذر .. تقديم تقرير. 4. الإجابة على أسئلة التحكم. 5. حماية العمل المخبري .. بيان المشكلة مشكلة إيجاد جذور المعادلات غير الخطية الموجودة فيها مناطق مختلفة بحث علميوذات صلة اليوم. غالبًا ما تكون خطوة أولية في حل المشكلات العلمية والتقنية. الطرق التحليليةلإيجاد جذور المعادلات غير الخطية توجد فقط للمعادلات الفردية ، على سبيل المثال ، أ ب ج. كقاعدة عامة ، يتم استخدام الطرق التقريبية للعثور على الجذور. يمكن أن تكون المعادلات غير الخطية من نوعين: جبري ومتسامي. تسمى المعادلات ذات الشكل أ ب ج الجبرية ، والمعادلات من الصورة ق (متجاوز ، لأنها تحتوي على وظائف متعالية. وتشمل هذه المعادلات الدوال المثلثية x s (، cos (، tg (، ctg (، الدالة الأسية e ، الدوال اللوغاريتمية lg (، l (. في الحالة العامة ، يكون للمعادلات غير الخطية ذات الشكل المجهول الشكل F (. (جذر المعادلة هو أي رقم حقيقي أو وهمي يتحول (إلى هوية.

22- توجد الجذور على مرحلتين: الأولى فصل الجذور أي. إيجاد قطعة تحتوي على جذر معادلة واحدة ؛ التحسين الثاني لقيمة الجذور على الأجزاء التي تم العثور عليها بدقة معينة. إذا كانت الوظيفة F (مستمرة وتتخذ نهايات المقطع علامات مختلفة، بمعنى آخر. و (أ * و (ب طرق مختلفة.. قم بتجميع جدول قيم الوظيفة y F (في المقطع المحدد للتغيير في الوسيطة. لفصل الجذر ، من الضروري أن يكون للوظيفة في نهايات المقطع المحدد علامات مختلفة وأن تكون رتيبة . كدليل على رتابة الوظيفة ، يمكنك استخدام شرط المشتق الأول الذي يكون ثابتًا. * F (b ، الوظيفة F (رتيبة .. أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة y F (على مقطع التغيير ؛ ستعطينا نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور o جذر المعادلة. لمزيد من التوضيح الجذر ، خذ جوار الجذر والدلالة عليهم .. المعادلة F (استبدل ما يعادله F (F (، أنشئ رسمين بيانيين y F (و y F (. ستعطي حدود نقطة تقاطع هذه الرسوم البيانية المسقطة على المحور نحن الجزء الذي يوجد بداخله جذر المعادلة F (.. طرق حل المعادلات غير الخطية .. طريقة التنصيف (طريقة التقسيم) المهمة. البحث عن حل للمعادلة غير الخطية F (بدقة. الطريقة على النحو التالي: كنتيجة ل تقسيم الجذر ، تم العثور على المقطع ، حيث توجد القيمة المطلوبة للجذر. كتقريب أولي للجذر ، نأخذ القيمة c o \ u003d (b + a /. بعد ذلك ، ندرس قيم F (في نهايات المقاطع و. الواحد في نهايته) F (تأخذ قيم علامات مختلفة ، تحتوي على الجذر المطلوب. لذلك ، يتم أخذها كقطعة جديدة (انظر الشكل ، هنا الجذر على المقطع

23 كه. ثم نقسم الجزء الناتج إلى نصفين ونتحقق من العلامات مرة أخرى. F (a، F (b، F (c. الشكل. الآن نجد الجذر على المقطع ، ثم نجد c مع c ، إلخ. تستمر العملية التكرارية حتى F (تصبح أقل من رقم معين: F (c. صيغة العمل لإيجاد الجذر لها الشكل c c c. يعتمد عدد التكرارات في هذه الطريقة على الدقة المحددة مسبقًا وطول المقطع ولا تعتمد على نوع الوظيفة F (. الطريقة بطيئة ، يتقارب دائمًا ، يمكنك الحصول على حل بدقة معينة ، ويستخدم على نطاق واسع في الممارسة. من المعادلة ؛ عدد التكرارات ؛ F (- قيمة الوظيفة عند النقطة المقابلة ... مهمة الأوتار. ابحث عن جذر المعادلة F (بدقة. لنحصل على مقطع في نهايته F (يغير علامته ، حيث F (هي دالة رتيبة. لنفترض أن F (a، F (b. في الشكل ، يتم تمثيل مشكلة العثور على الجذر بطريقة الوتر بيانياً. يمكن أن تكون أي نقطة في المقطع هي الأولى تقريب الجذر لنوصل النقطتين A و B بخط مستقيم ، بمعنى آخر. دعونا نفعل الوتر. وهكذا نحصل على ب ، وهو تقريب للجذر.

24 دعنا نستخدم معادلة قلم رصاص من الخطوط التي تمر عبر النقطة B (b، F (b. y y = k (، y F (b = k (b. يجب أن يمر الوتر عبر النقطة A (a، F (a ، أي F (a F (b k. ab اكتب معادلة الخط F (a F (b y F (b (b. a b ابدأ الإدخال a ، b ، = ، ε احسب F (a = + c a b F (c b = ج F (ج لا لا F (ج * F (أ نعم نعم إخراج ج ، أ = ج نهاية الشكل 4

25 5 تين. يتقاطع الخط المرسوم مع المحور x (((b a b b F a F b F y. ابحث عن x عند y \ u003d ((((((((b F a F b a b F b b b F a F b a b F b. بمقارنة علامات F (b و F (b ، ابحث عن مقطع جديد. صل النقطتين A و B بتردد جديد ، وبالتالي ابحث عن تقريب جديد للجذر. تستمر العملية التكرارية حتى F (b أقل من رقم: (b F. عند حل هذه الطريقة ، من المستحيل أن تفقد الجذر. صيغة العمل لطريقة الوتر: b b b b F a F b a b F b b or (((، حيث b هي بداية المقطع ، و النهاية (النقطة a ثابتة. النهاية التي تتطابق فيها وظيفة الإشارة (F مع علامة مشتقها الثاني (F. الرسم التخطيطي للكتلة لخوارزمية طريقة الأوتار مبين في الشكل 4 ، حيث المقطع الذي فيه يقع جذر المعادلة ؛ ب هو جذر المعادلة ؛ عدد التكرارات ؛ F (ب هي قيمة الوظيفة عند النقطة المقابلة.

26 .. طريقة نيوتن (طريقة الظل) 5 مما يوضح حل رسوميمهام. يتم رسم ظل الدالة من النقطة أ. نقطة تقاطع المماس مع محور الثور هي أول تقريب للجذر ، في الشكل. 5 تم وضع علامة على. ثم من النقطة أ نرسم خطًا مستقيمًا عموديًا على المحور x. سيتم الإشارة إلى نقطة تقاطع هذا الخط مع الوظيفة بواسطة A ، وهكذا. بدء الإدخال ب ، = ب ب ب = + و (ب نعم لا الإخراج ب ، نهاية الشكل .4 اكتب معادلة خط الظل إلى F (: y-y = k (- ، y = ، F (a حيث k F (a ، a ، F (a F (a y F (a. a a. F (a y F a F (a (. (a 6

27 تين. 5 بدء الإدخال a ، = a a = + F (a نعم لا الإخراج a ، إنهاء الشكل 6 صيغة العمل لطريقة الظل: F (a a، F (a a a a، ... 7

28 تستمر العملية التكرارية حتى F (أقل من رقم معين: F (أ. عند العمل بهذه الطريقة ، قد يضيع الجذر ، ولكن مع التطبيق الصحيح للطريقة ، فإنه يتقارب بسرعة ، 4-5 تكرارات تعطي خطأ -5 ، يتم استخدامه أيضًا لتوضيح قيمة الجذر يظهر مخطط انسيابي لخوارزمية طريقة الظل في الشكل 6 ، حيث a هو جذر المعادلة ، عدد التكرارات ، F (a هو قيمة الوظيفة عند النقطة المقابلة. (بدقة معينة. في هذه الحالة ، يتم استخدام طرق الظلال والأوتار في وقت واحد. تحدث طريقة التعامل مع الجذر من جانبين. ضع في اعتبارك أربع حالات تتوافق مع التوليفات الممكنةالعلامات F (و F (. من الرسوم البيانية المعروضة في الشكل 7 ، يتم تطبيق طريقة الوتر من جانب التقعر ، وطريقة الظل من الجانب المحدب من الرسم البياني. الشكل 7. تقريب مفرط وغير كافٍ. بتطبيق هذه الطريقة ، نفترض أن F (و F (و F (متصلة على القطعة ، و F (و F (تحتفظ بعلامتها. ومن المعروف أن علامة الحفظ 8

29 y F (يشير إلى رتابة F (، والحفاظ على علامة y F (يعني أن محدب المنحنى y F (لكل [a ، b] يواجه نفس الاتجاه. لسهولة الحساب ، نشير إلى بحلول ونهاية المقطع ، حيث تتطابق العلامات F (و F (. من الحالات المحتملة ، ضع في اعتبارك الحالة الأولى. دع F (a * F (b و F (* F (، أي علامات تتطابق المشتقات الأولى والثانية. عند حل المعادلة ، يكون كل تكرار على النحو التالي: من النقطة ودعنا نرسم وترًا يقابل القوس AB ، ونرسم مماسًا للقوس بحيث تكون نقطة تقاطع المماس مع x -المحور موجود داخل القطعة ... يتقاطع الوتر الموجود في الرسوم البيانية مع المحور x عند النقطة b ، التي تقع بين النقطتين b والجذر المطلوب ، والماس للقوس عند النقطة A يتقاطع مع المحور x عند النقطة أ ، التي تقع بين النقطتين أ والجذر المطلوب للمعادلة (الشكل 8. وتعطي القيمة التي تم الحصول عليها من أ و ب تقريبًا جديدًا للجذر. دعونا نعطي معادلات الحساب لـ a + و b + ، المشتقة في الفقرة .. و .. F (b (a b F (a b b، a a. F (a F (b F (a) تستمر عملية العثور على a + و b + حتى واحد من وفقا للشروط: أ ب ، أين هي الدقة المحددة ؛ F؛ (ب أو F (أ و أ ب شكل ٨ ٩

30 يجب أن يتم التقريب في العمليات الحسابية بعيدًا عن الجذر. على التين. 9 هو مخطط كتلة طريقة مجتمعةالأوتار والظل ، أين عدد التكرارات ؛ أ ، ب قيم تقريب الجذر ؛ F (a F (قيم دالة b عند نقاط معينة. ابدأ الإدخال a، b، = a a a b b b c a b = + F (c لا نعم الإخراج c، End Fig بسيط طريقة التكرار (طريقة التقريب المتتالية) لتطبيق طريقة التكرار البسيطة للحل من المعادلة غير الخطية F (= ، من الضروري تحويلها إلى النوع التالي: (. (هذا التحول (جلب المعادلة إلى شكل مناسب للتكرار) يمكن أن يتم بعدة طرق ؛ سيتم مناقشة بعضها أدناه. تسمى الوظيفة الوظيفة التكرارية.

31 نختار بطريقة ما قيمة تقريبية للجذر (x ونعوضها في الجانب الأيمن من المعادلة (. نحصل على قيمة x (x. الآن نعوض بـ x في الطرف الأيمن (((للمعادلة (( ((لدينا x (x. استمرار هذه العملية إلى أجل غير مسمى ، نحصل على تسلسل تقريبي للجذر ، محسوبًا بالصيغة (((،. (إذا كان هناك حد للتسلسل المركب (x lm ، إذن ، تمرير إلى حد المساواة (وبافتراض أن الوظيفة مستمرة ، نحصل على المساواة x (x (4 وهذا يعني أن x هي المعادلات الجذرية (. تسمح الطريقة بتفسير هندسي بسيط. نبني الرسوم البيانية للوظائف y \ u003d و y \ u003d (، (الشكل ، أ و ، ب. جذر المعادلة y \ u003d (هو الحد الأقصى لنقطة تقاطع المنحنى y \ u003d (مع الخط المستقيم y \ u003d. مع الأخذ في الاعتبار الأولي نقطة اعتباطية ، بناء خط متقطع. إن الخطوط العريضة لرؤوس هذا الخط المكسور هي تقديرات تقريبية متتالية للجذر. يتضح من الأرقام أنه إذا "(< на отрезке , то последовательные приближения = (-, колеблются около корня, если же производная "(>، ثم تتقارب التقريبات المتتالية بشكل رتيب مع الجذر. أ ب التين.

32 عند استخدام تكرارات بسيطةالنقطة الأساسية هي اختيار الوظيفة y = (، المكافئة للوظيفة الأصلية. يوضح الشكل مثالاً عندما يتم استيفاء شرط نهاية العملية التكرارية y في الخطوة الأولى من العملية التكرارية ، أي يليها من هذا أن x قيمة تقريبية للجذر المطلوب. ومع ذلك ، يوضح الشكل. أن هذا ليس صحيحًا ، لأن حل المشكلة هو. بالنسبة لطريقة التكرار ، يجب على المرء تحديد الوظيفة (بحيث "(δ<, в противном случае процесс итерации расходящийся. При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности { } к корню тем выше, чем меньше число δ. Ключевой момент в применении метода простой итерации эквивалентное преобразование уравнения F(= к виду (. Конечно, Рис. такое преобразование имеет смысл только тогда, когда оказывается выполненным условие (х q при q. Если первая (обычно самая простая и напрашивающаяся попытка представления уравнения в требуемом виде оказалась неудачной, отчаиваться не следует. В ряде случаев можно использовать специальные приемы. Рассмотрим некоторые из них [,5]. Способ. Если f (содержит в себе выражение некоторой обратимой на [с; d] функции y (, причем такой, что (q на , то следует попытаться заменить уравнение на равносильное с использованием обратной для функции: (y. Этот способ основан на известном соотношении между производными взаимообратных функций (y / (y и следствии из него:

33 if (q، ثم (y (q. مثال. أحضر المعادلة إلى صيغة مناسبة للحل عن طريق التكرار البسيط على الفترة [، 8 ؛]. دعونا نضيف x إلى الجزأين الأيمن والأيسر ونحصل على :. تحقق من التقارب الشرط: ((؛ (لـ x [، 8 ؛] ، شرط التقارب غير مستوفٍ. نسخة أخرى من المعادلة :. تحقق من شرط التقارب: ((؛ (4 لـ x [، 8 ؛] ، شرط التقارب هو غير راضٍ. نظرًا لأن أيا من المعادلات التي قدمناها لا تفي بشرط التقارب ، فإن الطريقة الموصوفة قابلة للتطبيق: من الصعب تطبيقها أو أنها لن تعطي النتيجة المرجوة ، يمكنك استخدام الحيلة التالية. لنفترض أنه في المقطع [c ؛ d] المشتق f للدالة F مستمر ، ولا يساوي ثابتًا ويأخذ قيمًا من نفس العلامة. سنفترض أن f (، وإلا فإننا يستطيع ضع في اعتبارك المعادلة المكافئة: f (. دعونا نقدم الترميز: m m m f (، M ma f (، k and q -. [c؛ d] [c؛ d] M M

34 من الواضح أن q. دعونا نستبدل المعادلة المكافئة بمعادلة مكافئة لها k f (ونوضح أنه بالنسبة للوظيفة g (k f (on) ، يظل شرط التقارب صحيحًا. بالنسبة إلى [c، d] كسور المتباينات ، نحصل على المتباينة: f (m q، M M حيث يتبع ذلك g (k f (q for all [c، d]. مثال. اختزل المعادلة l إلى صيغة مناسبة للحل عن طريق التكرار البسيط على الفترة [، 4 ؛ ، 7]. نظرًا لأن شرط التقارب ليس كذلك راضيًا ، نطبق الطريقة الثانية لتقليل المعادلة: f (؛ f (، 4،4،4،7،7،44؛ f (، 7،7،7،59،4،99؛ m m f (m، 99 ؛ M ma f (k M q m M، 44،69؛، 99،44 4 ،. M، 44 ؛ المعادلة l إلى شكل مناسب للحل عن طريق التكرار البسيط على الفترة [، 7 ؛ ،] ..

35 نظرًا لعدم استيفاء شرط التقارب ، فإننا نطبق الطريقة الثانية لتقليل المعادلة: f (؛ l f (، 7،6،4،66؛، 7 l، 7 f (، 4 ؛، l، m m f (m، 4؛ M ma f (k M، 66،5؛ M، 66؛ m، 4 q، 6. M، 66 مناسب للحل بطريقة التكرار البسيط على الفترة [، ؛ ، 7]. منذ حالة التقارب غير راضٍ ، فنحن نطبق الطريقة الثانية لتقليل المعادلة: e.7 5.5 ؛ .7 ؛ 5

36 م م ك م و (م م و (5.5 ، م 7 م 5.5 م 7 ف 9 م 5.5) يظهر مخطط كتلة خوارزمية طريقة التكرار البسيطة في الشكل. جذر المعادلة ؛ عدد التكرارات ؛ F (c هي قيمة الوظيفة عند النقطة المقابلة.بدء الإدخال c ، = (c c = = + F (c نعم لا الإخراج c ، نهاية الشكل 6)

37. مهام التحكم حل المعادلات التي لا يعرفها أحد بالطرق المدروسة .. l .. cos. ل. 4. كوس 5. كوس. 6. (على سبيل المثال 7. (على سبيل المثال 8. لتر 9. هـ .. lg .. l .. كوس .. t g ctg cos l s. 8. s. 9. lg .. tg .. s cos .. s ، 5 .. s cos ، cos ، cos 4 7. tg. 8. ctg ، 5. 9. cos .. lg .. 7 lg. 6. cos. e (. 4. e .. 5. e 4 (.

38 7. هـ 4. 8. ، 9 ق. 9. ه. 4.s. 4. هـ 4. ، 58 ق. 4. ق. 46. ​​كوس. 47.ctg. 48. ق ه. 5. (s. 5. cos. 5. lg tg، lg، s، 5. e. 57. (، 58. l tg 6. s. 6. l (. 6. lg (. 64. s (، 5 ، (e، s 67. e. 68. s 69. tg 7. s lg (. 7. e lg (. 74. l (. 75. s (، 6، s (، 5، lg (، (e. (هـ. 8. هـ ... 8

39 أسئلة التحكم. طريقة نصف القسمة. لماذا تعتبر هذه الطريقة طريقة موثوقة لحل المعادلات غير الخطية؟ ما هو عيب هذه الطريقة؟ وهل من الضروري دائما التحقق من شروط التقارب للطرق المدروسة؟. ما الذي يفسر جدوى استخدام الطرق المركبة ، ولا سيما طريقة الأوتار والظل؟ 4. شروط تقارب أسلوب التكرارات البسيطة. 5. شروط إنهاء العملية التكرارية المستخدمة في البرنامج. 6. اسم مراحل التحديد التقريبي للجذور. 7. ما هو جذر أو حل المعادلة غير الخطية؟ 8. إعطاء تفسير هندسي لطريقة التنصيف. 9. أي نهاية من الوتر يتم إصلاحه عند تنفيذ طريقة الوتر ؟. كيف يتم اختيار التقدير التقريبي الأول في طريقة نيوتن؟ اكتب الخوارزمية لحل المسألة بطريقة الأوتار ، طريقة نصف القسمة. لماذا تعتبر هذه الطريقة طريقة موثوقة لحل المعادلات غير الخطية؟ ما هو عيب هذه الطريقة؟ هل من الضروري دائمًا التحقق من شروط التقارب للطرق المدروسة؟ 4. ما الذي يفسر ملاءمة استخدام الطرق المركبة ، ولا سيما طريقة الأوتار والظل؟ 5. شروط تقارب أسلوب التكرارات البسيطة؟ 6. شروط إنهاء العملية التكرارية المستخدمة في البرنامج؟ 7. اسم مراحل التحديد التقريبي للجذور. 8. ما هو جذر أو حل المعادلة غير الخطية؟ 9. إعطاء تفسير هندسي لطريقة نصف القسمة .. أي طرف من الوتر يثبت عند تنفيذ طريقة الأوتار ؟. كيف يتم اختيار التقدير التقريبي الأول في طريقة نيوتن؟ اكتب خوارزمية لحل المشكلة باستخدام طريقة الأوتار. 9

40 عمل مخبري. صيغة لاغرانج للاستيفاء مقدمة الاستيفاء هو حالة خاصة لمشكلة تقريب دالة إلى أخرى. سنتحدث عن تقريب دالة لمتغير واحد. تنشأ مشاكل الاستيفاء في ممارسة المهندس في الحالات التالية: استيفاء البيانات الجدولية ؛ الحصول على اعتماد تحليلي من البيانات التجريبية ؛ استبدال دالة معقدة حسابيًا بتبعية أبسط ؛ التفاضل والتكامل التقريبي ؛ الحل العددي للمعادلات التفاضلية. الغرض من العمل: حساب قيمة دالة معطاة في جدول عند نقاط لا تتطابق مع العقد ، باستخدام صيغة لاغرانج. ترتيب العمل. لدراسة المادة النظرية .. قم بعمل برنامج لحل المشكلة وصححها .. حل النسخة المعطاة من مهمة التحكم. 4. قم بتجميع تقرير يحتوي على المهمة ، وقائمة البرامج ، وقيم الوظيفة المحسوبة. 5. حماية العمل المختبري بيان المشكلة الوظيفة الأولية y \ u003d F (معطاة على المقطع في شكل جدول مع عقد متباعدة بشكل غير متساوٍ (تكلفة x + x. لكتابة هذه الوظيفة بشكل تحليلي باستخدام صيغة الاستيفاء ، ضروري للوفاء بشرط أن الوظيفة الأصلية والوظيفة φ (x التي تحل محلها) يجب أن تتطابق مع العقد ، أي أنه من الضروري الوفاء بالشرط F (= φ (، حيث ì = ،. (نحن نمثل الدالة y = F (ككثير حدود من الدرجة n: L (x = a + a x + a x a p x. (4

41 لهذا نستخدم كثيرات الحدود ، كل منها عند النقطة x = x (= ، تأخذ القيمة y = ، وفي جميع العقد الأخرى = ، = ، = - ، = + ، = تتحول y إلى صفر y = y = y = = - ، + = ص =. الشكل ، ي ؛ P (، ي. يوضح الشكل متعدد الحدود. نظرًا لأن كثير الحدود المطلوب يتحول عند نقاط ، ... ، فإنه يكون على شكل P C ، (حيث C هي معامل ثابت.يمكن إيجاد المعامل عند = ، منذ P ، C ، (4 من حيث C. (5 استبدال (5 في (، نحصل على P (6 درجة كثير الحدود هي n. يبدأ ترقيم النقاط بـ و ينتهي بـ n ، بينما تسقط النقطة -th يمثل كثير الحدود الناتج الوظيفة الأصلية y \ u003d F (فقط عند نقطة واحدة. لتمثيل الوظيفة الجدولية الكاملة لمثل هذه كثيرات الحدود ، ستحتاج إلى العنصر L 4 P y. (7

42 4. حالات خاصة من كثير حدود لاجرانج خذ بعين الاعتبار حالات خاصة من كثير حدود لاجرانج من أجل n =؛ ن = ؛ ع =. بالنسبة إلى n = ، سيبدو جدول الدالة الأصلي كما يلي: y y ، ثم بالصيغة (7 لدينا y y y P y P L. للحالة n =: y y y. y y y y P y P y P L للحالة n =: y y y y. y P y P y P y P L y y.y y لنأخذ مثالًا ملموسًا: يتم تعريف الدالة بجدول قيمها: احسب قيمة الوظيفة عند النقطة ، 5.

43 قيم الدالة y = l x 4 5 y = l، 69،986،86،694 باستخدام القيم الثلاث الأولى كعقد الاستيفاء ، نحصل على: L (= ((- (- 4 / (- (- 4.69 + ((- (- 4 / (- (- 4، ((- (- / (4- (4 -.، 86 = -، 589 +، 7 -، 47؛ L (، 5 =، 9. L نبني كثير حدود الدرجة الثالثة على أربع عقد: ، 9،86،94،6849 ؛ ، L ، 99. ، 69،986،89 للمقارنة ، نشير إلى أنه في الجداول المكونة من أربعة أرقام ، القيمة l ، 5 = ، 99 .. تقدير الأخطاء يتطابق كثير حدود لاجرانج المركب مع الدالة الأصلية F ، في جميع النقاط الأخرى L (يمثل الوظيفة F (على الفاصل الزمني تقريبًا. بدون الاشتقاق ، نكتب الصيغة المستخدمة لتقدير الأخطاء: f R f (L (، (8! حيث R هو المصطلح المتبقي أو الخطأ ؛ f (+ i مشتق من الوظيفة الأصلية ، بينما نفترض أن F (في المقطع a b من التغييرات في x سيكون لها جميع مشتقات a ، b ، حتى (+ الترتيب الشامل ؛ النقطة التي تعطيها القيمة القصوى للدالة f في كثير الحدود ، ... ؛ الدرجة 4

44 تين. 44

45 دعونا نقدر خطأ الدالة المعطاة بالجدول ، اختر درجة كثير الحدود n = ، معطى الوظيفة y = l. دعونا نجد مشتق الترتيب الثالث y "= / ؛ y" "= / ، y" "" = /. من الواضح أنه سيتم الحصول على الحد الأقصى لقيمة y "" "عند =: y" "" = / = / 4. R (، 5 (، 5 (، 5 4) X Y X Y X Y.5.54.5 8.6579.5.8678.45.946.55 4.8، 8.99.887.46 9.6.6 6.598.5 7.9589.5.7788.47 8.945 .65 8.4747، 7.6489.7488.48 8.746 .7 4.447.5 7.65.5.74688.49 7.75 4.5.4 7.96.4.67.5 6.8 44، 7.45 6.8485.45.6768.5 5.984.85 46.99.5 6.6659.5.665.5.9484.9 49.44.55 6.9986.55.57695.5.558. 95 5.954.6 6.9658.6.5488.54.997 = .5 = ، = .7 = .455 = .9 = .6 = .58 = ، X Y X Y X Y X Y.4 -.4476.4 4.556.5 4.487 .9984.5 -.597.45 4.55.6 4.95.6.9595.6 -.7446.5 4.455.7 5.479.965.7 -.896.55 4.5684.8 6.496.6.87695 8 -.5.6 4.6744.9 6.6859.8468.9 -.779.65 4.798 و 7.89.6.87789.4 -.95.7 4.96 و 8.66 .775.4 - ، 4598.75 5.49 ، 9.5.6.744.4 -.599.8 5.7744 ، 9.974.4.749.4 -.77.85 5.6.4.46.68547 = ، 45 = ، 6 = ، 55 = ، 7 = ، 47 = ، 84 = ، 8 = ، 45 45

46 9 X Y X Y X Y X Y.8 5.654.68.45.88855.5.644.85 5.4669.6.7644.4.889599.76.9 5.64.9.45.8967.5.967، 95 5.94.6.67.4.89667.54، 5.6649.45.89687.5.8.5 4.9469.6.66.44.89698. 4.4776، 4.87.57.445 8947.45.8759.5 4.76.6.677.45.89569.5.467، 4.6855.4.857.455.896677.55.45688.5 = 46 = 7 = 7 = 5 = 457 =، X Y X Y X Y X Y، 5،56،5،576، 4-6،94647،7،4499،6،89،44-7، 8945 5.8655.9.59.7.8.54-7.67 7.776.59774.8.5.64-7.8678 9.446.6587.9.697.74-7.5445.66977.5.74 4.869، 84- 7.75.77648.7.769 4.498.94-7.8666 5.999.9.86 4.458.4-8.56 7.7558.8474 4.4586.4-8.46 9.449.885 4.4.486.4-8.898.489 = ، 48 = ، 68 = ، 46 = ، 7 س = ، 87 = 4، =، 5 = 9، X Y X Y X Y X Y، 5 -، 6844،9،5844،47 -، 788،5 -، 84، -، 5688، 95.67884.48 -.8 -.99.7 -.474.69.49 -.947 -.796 -.9987.5.6546.5 -.8768.4 -.79.9 -، 96.6754.5 -.84.7 -.69.45 -.88.5.696759.5 -.7444 -.584.5 -.486.77685.5 -.6788 -. 5.57 - .74.5.784.54 -.66.6 -.4858.6 -.6664.75847.55 -.5489.9 -.4464.69 -.8.5.7777.56 -.4846 -.49 x =، 6 x =، 9 x =، 475 x =، 64 س = ، 66 س = ، س = ، 55 9 س = ، 46

47 4 X Y X Y X Y X Y.7 -.7896 5.5.964.4 -.788.789 -.98.8 -.7445 5.969.5 -.498.79 -.978.9 -.5.94585، 6 -.65.79 -.98 -.6696 5.9555.7 -.9945.79 -.997 -.6659 5.5.9658.8 -.96758.79 -.957 -.595 5 .97456.9 -.946.794 -.97 -.5664 5.5.98949.4 -.969.795 -.977.4 -.596 5.4.995.4 -.896.796 -. 947.5 -.547 5، 45.468.4 -.8675.797 -.9497.6 -.4945 5.5.6.4 -.8497.798 -.9557 = .79 x = 5.6 x = .5 x = 5.48 x = .44 x =. X Y X Y X Y X Y. 75 4.5.5 7.65.7488.9 5.6.8 44.7.4 7.96.5 .74688.95 5.9.85 46.99.45 6.8485.4.67، 5.664.9 49.44.5 6.6659.45.6768.5 4.946.95 5.954.55 6.9986.5.665، 4.87 4.54.598.6 6.9658.55.57695.5 4.76 4.5 57.975.65 6.55.6.5488.4.685 4.6.4.7 5.8558.65.546.5 4.59 4.5 6.44.75 5.6558.7.496585 ، 4.44 4.66.686.8 5.4954.75.476.5 4 ، = 76 =. .6 =، x = .98 = 4، 7 x =، 7 x =، 74 x =، 7 9 X Y X Y X Y X Y، 7 5.479.4.88959.6.7644.6 6.598.8 6.496.45.896.9.65 8.474.9 6 .6859.4. 8966.6.67.7 4.447 ، 7.89.45.8968.75 4.5 ، 8.66.44.8969.6.66.8 44.7 ، 9.5.445.8947 ، 57.85 46.99 ، 9.974.45.89569.6.677.9 49.4.4.455.8966 7.4.857.95 5.95.5.85.46.89765.46.9959 4.54.598.6.467.465.8986.5.4579 4.5 57.97 = .74x = .46x = .8x = .6 = ، x = ، 46 x = ، 5 x = 4.47

48 4 5 6 X Y X Y X Y X Y.5 7.9589.5.7788.47 8.945.99، 7.6489.748.48 8.746.885.5 7.65.5.7468.49 7.4، 6755.4 7.96.4.67.5 6.6.555.45 6.8485.45.676.5 5.984.8.5.5 6.6659 .5.665.5.9484.4.55 6.9986.55 ، 57695.5.558 ، -.584.6 6.9658.6.5488.54.997.4 -.555.65 6.55.65.54.55 9.647.6- -.445.7 5.8558.7.49658 ، 56 7،5،8 - ، 69 =، 6 x =، 7 x =، 465 x =، =، 67 x =، 67 x =، 557 x =، X Y X Y X Y X Y، 99، - .46 6.68.7.486:8.885، -.5885 6.5.5.9. 985.5.6755.4 -.774 6.7.448.69.7.555.6 -.8569 6.9.5784.67.9 .5.8 -.94 7.79.5.87.4 -.99 7.854.7.79 -.584 -.998 7.5.98.9.466.5 -. 555.4 -.45 7.7.988.7 -.445.6 -.489 7.9.9989.98.9 -.69.8 -.5 8.5.5.85 x = .7 = .8 x = = .7 x = 6 = 7.6 x = 75 =، X Y X Y X Y X Y، 45،48،47،58،48،56،49،54،5،546،5،576،5،5859،54،5994،55،6،57، 64،58،655،59،6696،6،684،6، 79،6،79،64،7445،65،76،67،79،68،887،69،85،7،84،7،877،7،949،74،9،75، 96،77،9696،78،989،79،4 ، 8،96،8،77،8،94،84،56،85،8،87،85،88،97،89،46،9،6،9، 9.49.94.69 x = .48 x = .48 x = .5 س = .5 س = .87 س = .9 س = .9 س = .9 48

49 X Y X Y X Y X Y 7456.8.7.84.7.8949.44، 957.75.96.78.989.55.4.8.96.8.94.75.78.85.8.88.97.4 4.96 .4 4.787.9.6.9.49.5 4.567.5 4.68.95.984.98.49.6 5.8.6 5.9 x =، 49 x =، 5 x =، 75 x =، 7 x \ u003d، 9 x \ u003d، 95 x \ u003d، 6 x \ u003d، X Y X Y X Y X Y .7966، 4.9.7.644.8.95.8.986، 4.457. 9.78.9.554.9.7 ، 4.97.89.6.4 5.466.966.69.86.5 .546.5645.6 6.6947.7.78.758.7 7.46.9.6.4.9477.4.9697 x = .8 x = ، x = .59 x = .55 x = ، x =، x =، 8 x =، X Y X Y X Y X Y، 8.947.97.75.474.98 8.4.8546.4.744.95.867.4.9 8.6.744.5.75.5.66.6.85 8.8.5849 .6 4.96.5.59.8.6967 9.4.7 4.9. 55.545 9.9.8 5.8.75.78.64 9.4.48.9 6.859.95.4 ، 4.699 9.6 -.74 ، 8.5.65.6 -.9 9.8 -.665 ، 9.6.5.954.8 -.7 ، -.544.648.55.78 x = ، س = 8 ، 5 س = .5 س = .78 = .66 = 9.9 = .4 = .45 49

50 X Y 6 X Y 6 X 6 Y X 64 Y.7 X.8 Y X.5.5 Y 4، X -.7568 Y.5 X.5 Y 84.8.54.55.5666.4.6.666.9 4 .65 -.876 8.4747. 6.6485 8.99.9.64.4596.6846.4.7.7586.9 4.4.7 -.956 4.447.7.5.77 7.9589 ، 74.78.894.44.8.888.947 4.6.75 -.997 4.5.8.965 7.6489.84.64.94.46.9.65.896 4.8. 8 -.996 44.7.9.5 .49 7.65.94.847.48.75.887 5.85 -.68 46.99.4.97 7.96.4.669.79.5.56.8776 5.9 -.5 49.44.45.54 6.8485.4.4 4.55.45.5.595.8678 5.4.95 -. 67 5.954.5.576 6.6659.5.4 4.487.585.54.6984.8577 5.6 4، -.54 54.598 55.78 6.9986.6.4 4.95.7786.56.4.94.847 5.8 4.5 -.4 57.975.4.6.959 6.9658 x.44 = 75.999.58 س = ، 54.865 4 ، س = 4 ، 6.4.65 س = ، 56.55 س = ، 55.55 س = ، 4.5 س = ، 655 5.7 س = ، 6.7 = ، 46 = ، 57 = 4.7 = ، س ص ص ص ص ص ص 46 9.6. 6.959.6 4.95.45 4.55.47 8.945.96.7 5.479.5 4.455.48 8.746.6.8769.8 6.496.55 4.5684، 49 7.846.9 6.6859.6 4.6744.5 6.6.877، 7.89.65 4.798.5 5.984. 775، 8.66.7 4.96.5.9484.6.744، 9.5، 75 5.49.5.558.4.74، 9.974.8 5.7744.54.997.46.6854.4.85 5.6.55 9.647.5.6579.5.85.9 5.6 x = .55 =، 65 x = ، 66 س = ، 465 = ، 7 = ، 57 = ، 57 = ، س ص X ص س Y X Y 5،44774،765،56،478،6،848،4855،796،57،4745،7،964،5،5745،67،58،46668،8،7،4،556،6،59،46،9،448،45،5868،4 ، 5669 س = ، 59 = ، 7 س = ، 5 س = ، 56 = ، 6 = ، 87 = ، 44 = ، 7 5

51 X Y X Y X Y X Y .7554.6.75.6.55.7.864.7.6.7.864.7.847.8.9896.8.8.9896.8 4.57.9.77.9.66.9.77.9 4، 57 x =، 55 =، 65 x =، 8 x =، 6 = ، 7 = ، 57 = ، 87 = ، 8 أسئلة تحكم. ماذا تعني المصطلحات: التقريب ، الاستيفاء ، الاستقراء؟. مقاييس القرب (انحرافات وظيفتين .. اكتب معادلات الاستيفاء للجداول: أ بخطوة متغيرة ؛ ب بخطوة ثابتة. 4. الاختلافات المحدودة ، كيفية حسابها؟ 5. الاختلافات المقسمة ، كيف يتم حسابها؟ 6. اكتب دالة محددة في الجدول في شكل تحليلي باستخدام صيغ الاستيفاء X - Y اكتب حالات خاصة من صيغة نيوتن لـ n = ، n = 8. اكتب حالات خاصة لصيغة لاجرانج لـ n = ، n = ، n = 9. كيفية تقدير الخطأ من صيغة الاستيفاء؟ لاغرانج .. احسب الفروق المحدودة لمختلف الطلبات: 5

52. أنشئ كثير حدود لاغرانج لاستيفاء دالة جدوليًا y = nx :. اكتب الدالة في شكل تحليلي ، باستخدام الفروق المقسمة لهذا: 4. كيف يمكنك تحديد أفضل درجة لكثير الحدود ليتم تقريبها؟ 5. هل من الممكن ضبط درجة تقريبية كثيرة الحدود بشكل تعسفي أثناء التقريب؟ 6. أوجد كثير الحدود من أقل درجة تأخذ القيم المعطاة عند النقاط المعطاة. y، 45،4،6 4،5،4 5،65 هذه الوظيفة. ص 4 6 5

53 العمل المخبري 4. طريقة المربعات الصغرى الغرض من العمل: اختيار نوع الاعتماد وتحديد المعلمات غير المعروفة لوظيفة جدولية معينة باستخدام طريقة المربعات الصغرى. ترتيب العمل. تعرف على وصف العمل المخبري. بالنسبة لمتغير معين ، حدد: نوع الاعتماد ؛ ب معلمات غير معروفة. قم بعمل تقرير. 4. أجب عن أسئلة الأمان. 5. حماية العمل المخبري. وصف الطريقة دع التجربة ينتج عنها جدول لبعض الوظائف F (y y y y y مطلوب العثور على دالة بالصيغة y = F (والتي ، عند النقاط ، تأخذ القيم الأقرب إلى قيم الجدول y ، y ، y. تسمى هذه الصيغة بالصيغة التجريبية أو معادلة الانحدار y on ، وتسمى الوظيفة نفسها الدالة التقريبية أو التقريبية. عمليًا ، تم العثور على هذه الدالة التقريبية على النحو التالي. وفقًا للجدول ، تم إنشاء مخطط نقطي للوظيفة F ، وفقًا لنوع وظيفة التقريب. كدالة تقريبية ، y \ u003d F (اعتمادًا على الوظائف التالية غالبًا ما تستخدم اعتمادًا على طبيعة مخطط التشتت: y = أ + ب ؛ ص = أ + ب + ج ؛ ص = أ م ؛ ص = ب أ ؛ ص = أ + ب ث ؛ ص = أ ل + ب ؛ ص = / (أ + ب ؛ ص = أ / + ب ؛ ص = / (أ + ب ، ص = أ هـ م ؛ حيث أ ، ب ، ج ، م ثوابت ، اختيار دالة التقريب ليس خوارزميًا ؛

54 تم العثور على وظيفة التقريب عن طريق العد. كوسيلة مساعدة ، يمكنك استخدام طريقة المحاذاة. وبالتالي ، إذا تم إنشاء شكل دالة التقريب ، يتم تقليل المشكلة إلى إيجاد قيم المعلمات. يمكن حسابها باستخدام طريقة المربعات الصغرى ، ويكون جوهرها كما يلي. دع الأمر مطلوبًا للعثور على وظيفة تقريبية ، على سبيل المثال ، مع ثلاث معلمات: y ǐ = F (ǐ ، أ ، ب ، ج (على سبيل المثال (حيث = ، من الجدول ، ستأخذ هذه الوظيفة القيم = F (، أ ، ب ، ج) ، تختلف بشكل أقل عن المعطاة (قيم الجدول ، أي يجب أن يكون الفرق قريبًا من الصفر. لذلك ، مجموع الفروق التربيعية للقيم المقابلة للوظائف F (و y F a ، b ، c Фa ، b c ، يجب أن تأخذ أيضًا قيمة دنيا. وهكذا ، تم تقليل المشكلة لإيجاد الحد الأدنى للدالة Ф (أ ، ب ، ج. نستخدم الشرط الأقصى الضروري: Ф ، أ Ф ، ب Ф أو c أو y F ، a ، b ، cf ، a ، b ، c y F ، a ، b ، cf ، a ، b ، c y F ، a ، b ، cf ، a ، b ، c 54 a b c ، b ، c من الواضح أن قيم الدالة التي تم العثور عليها F (، أ ، ب ، ج عند النقاط ستختلف عن قيم الجدول y ، y ، y .. قيم الاختلافات y F ، a ، b ، c ، حيث = ، .. ، تسمى انحرافات قيم y هذه عن تلك التي تحسبها الصيغ ه (. مجموع الانحرافات التربيعية (يجب أن يكون الأصغر. لاحظ أنه من بين عدة تقديرات تقريبية لوظيفة الجدول نفسها ، فإن الأفضل هو الذي يحتوي على أكبر قدر من

55 هي القيمة الأقل. في حالتنا ، تعتمد وظيفة التقريب على ثلاثة معلمات ، لكن التغيير في عدد المعلمات سيؤثر فقط على التغيير في عدد معادلات النظام (وسيظل جوهر الطريقة كما هو. دعونا نفكر في حالات معينة من إيجاد دوال تقريبية .. دالة خطية اسمح لها بإيجاد دالة تقريبية في صورة دالة خطية: ، أ ، ب = أ + ب. بما أن مشتقاتها الجزئية فيما يتعلق بالمعلمات أ وب: ، أ ، ب F b ، a ، b ، ثم النظام (سيأخذ الشكل: F a ، y a b ، y a b. بعد التحولات البسيطة ، يمكن إحضارها إلى النموذج: y a b ، (а y a b. بعد حل النظام ، نحصل على قيم المعلمتين a و b ، وبالتالي الشكل المحدد للدالة التقريبية F (، a، b = a + b. مثال. أوجد الدالة التقريبية في شكل كثير الحدود الخطي F (، a، b = a + b y 66.7 7، 76، 8.6 85.7 9.9 99.4.6 5 =، = = 8 ،، = 54.8، = 46. نحل نظام المعادلات الجبرية الخطية لـ a و b ، نحصل على a = 0.87 ، ب = 9. تقريبا. دالة التعديل لها الشكل F (، أ ، ب = ، 87 + 9 ،. 55

56. دالة تربيعية اسمح لها بإيجاد دالة تقريبية على شكل دالة تربيعية: F (، a، b، c = a + b + c. بما أن مشتقاتها الجزئية فيما يتعلق بالمعلمات a و b و c على التوالي ، متساوية: F a ، a ، b ، c ، F b ، a ، b ، c ، F c ، a ، b ، c ، ثم يأخذ النظام الشكل: y a b c ، y a b c ، y a b c. F (، a ، ب ، ج = أ + ب + ج. 4. حجة دالة الطاقة وقيمة الدالة موجبة ، نأخذ لوغاريتم المساواة (: lf = la + ml. دعنا نقدم الترميز التالي u = l ؛ A = m ؛ B = la ، ثم lf ستكون دالة لـ u: Ф (u ، A ، B = Au + B. وهكذا ، إيجاد المعلمات وظيفة الطاقةخفضنا إلى إيجاد المعلمات دالة خطية. لذلك ، سيكون الحل الإضافي للمشكلة المطروحة مشابهًا للحالة الأولى. بما أن المشتقات الجزئية للدالة Ф (u ، A ، B بالنسبة للمعلمات A ، B: Ф a u ، Ф ، فإن النظام (سيأخذ الشكل: b u y A u B u ، y Au B. 56

محاضرة 3. 3. طريقة نيوتن (للظلال. دعنا نضع بعض التقريب الأولي [، ب] ونرسم الدالة f (في الجوار باستخدام جزء من سلسلة تايلور f (= f (+ f "((-. (5)) بدلاً من المعادلة (نحلها

وزارة التربية والعلوم في الجامعة التقنية الوطنية الأوكرانية "معهد خاركيف البوليتكنيك" مبادئ توجيهية للعمل المخبري "حساب جذور المعادلات المتعالية"

حل المعادلات غير الخطية لا يمكن دائمًا حل المعادلات الجبرية أو المتعالية تمامًا. يتضمن مفهوم دقة الحل :) إمكانية كتابة "صيغة دقيقة" ، أو بالأحرى

موضوع 4. الحل العددي للمعادلات غير الخطية -1- الموضوع 4. الحل العددي للمعادلات غير الخطية 4.0. بيان المشكلة غالبًا ما تواجه مشكلة إيجاد جذور المعادلة غير الخطية بالصيغة y = f () في العلوم

حل المعادلات غير الخطية وأنظمة المعادلات غير الخطية حل المعادلات غير الخطية بالشكل الحل العددي للمعادلات الجبرية غير الخطية أو المعادلات التجاوزية. هو إيجاد القيم

سميت جامعة ولاية ساراتوف الوطنية للبحوث باسم N.G. تشيرنيشيفسكي "أ. زينينا ف. طرق Kopnina العددية للجبر الخطي وغير الخطي تعليمي ساراتوف

حل المعادلات غير الخطية وأنظمة المعادلات غير الخطية حل المعادلات غير الخطية بالشكل الحل العددي للمعادلات الجبرية غير الخطية أو المعادلات المتسامية f =) يتمثل في إيجاد القيم ،

عمل مخبري حول موضوع "الموضوع .. طرق حل المعادلات غير الخطية" إذهب إلى الموضوع. عنوان. Ogl ... أسئلة لدراستها. بيان مشكلة الحل العددي للمعادلات غير الخطية ، المراحل العددية

المحاضرة 9 3. الطرق العددية لحل المعادلات غير الخطية للمشكلة دع المعادلة غير الخطية (0 ، (3.1) تُعطى حيث (دالة محددة ومستمرة في بعض الفترات. في بعض الحالات

الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي "جامعة فورونيج الحكومية البيداغوجية" قسم المعلوماتية والأساليب

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي مؤسسة موازنة الدولة الفيدرالية التعليمية للتعليم المهني العالي "البحث الوطني تومسك بوليتيكنيكال"

المؤسسة التعليمية للميزانية الحكومية للتعليم المهني الثانوي "كلية فلاديمير للطيران الميكانيكية" تعليمات منهجية للعمل المخبري في مجال الانضباط العددي

بيان المشكلة طريقة التقسيم طريقة الأوتار (طريقة الأجزاء المتناسبة 4 طريقة نيوتن (طريقة الظل 5 طريقة التكرارات (طريقة التقريب المتتالي) بيان المشكلة معطى

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية للتعليم المهني العالي جامعة تومسك الحكومية لأنظمة التحكم والإلكترونيات الراديوية قسم TUSUR

2 الطرق العددية لحل المعادلات. 2.1 تصنيف المعادلات وأنظمتها وطرق حلها. تنقسم المعادلات وأنظمة المعادلات إلى: 1) جبري: تسمى المعادلة جبري إذا انتهت

وزارة التربية والتعليم في الاتحاد الروسي معهد سانت بيترسبرغ التكنولوجي (الجامعة التقنية) قسم الرياضيات التطبيقية M.V. طرق Lukina في الحسابات التقريبية

جامعة ولاية سانت بيترسبرج كلية الرياضيات التطبيقية لعمليات التحكم أ. ورشة عمل إيفانوف حول الطرق العددية إرشادات طريقة نيوتن سانت بطرسبرغ 2013

الوكالة الفيدرالية للتعليم في الاتحاد الروسي ، جامعة أوختا التقنية الحكومية ، إرشادات الرياضيات الحسابية و أوراق الاختبار UHTA 6 UDC.6 7. LBC. أنا 7

تعليمات منهجية لأداء العمل المخبري في الفصل الدراسي الانضباط "علوم الكمبيوتر" 3 نوفوسيبيرسك 008 وزارة العلوم والتعليم في الاتحاد الروسي معهد نوفوسيبيرسك التكنولوجي في موسكو الحكومية

ب. إرشادات إيفانوف الموضوع 4: طريقة نيوتن لحل المعادلات غير الخطية وأنظمة المعادلات كلية PM PU جامعة سانت بطرسبرغ الحكومية 2007 جدول المحتويات 1. حل المعادلات العددية ................ ......... ........

1 متعدد حدود لاجرانج دع قيم الدالة المجهولة (x i = 01 x [a b] i i i) يتم الحصول عليها من التجربة.

الحل العددي للمعادلات غير الخطية -1 الحل العددي للمعادلات غير الخطية 0. بيان المشكلة غالبًا ما توجد مشكلة إيجاد جذور المعادلة غير الخطية بالصيغة y = f () في البحث العلمي

مهام الفصول العملية في تخصص "الرياضيات الحسابية" درس عملي حول الموضوع نظرية الأخطاء أسئلة الاختبار تحديد تجربة حسابية رسم مخطط

أدوات التقييم للرصد الحالي للتقدم ، شهادة متوسطة تعتمد على نتائج إتقان الانضباط والدعم التعليمي والمنهجي للعمل المستقل للطلاب 1 متغيرات مهام الحساب

المحاضرة 2. حل المعادلات غير الخطية. بيان المشكلة: ابحث عن عامل خطأ الأداة σ عند إجراء القياسات الجيوديسية من المعادلة: δ cos σ υ 2 + η = 0 القيم δ = 0.186 ، υ = 4.18 ،

حل تقريبي للدرس للمعادلات غير الخطية فصل الجذور دع المعادلة f () 0 ، () حيث تكون الوظيفة f () C [a ؛ التعريف يسمى الرقم جذر المعادلة () أو صفر من الدالة f () ، إذا

وزارة التربية والتعليم في الاتحاد الروسي جامعة ولاية بنزا الطرق العددية للجبر الخطي إرشادات لأداء الأعمال المختبرية بينزا 7

طرق. doc طرق الحساب التقريبية الصفحة 1 من 6 الشرط العام للمشكلة: باستخدام طريقتين عدديتين معطاة ، احسب القيمة التقريبية للجذر 1 لمعادلة وظيفية للصيغة f () = 0 لقيم N

20 درس عملي 3 حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية بالطرق التكرارية. مدة العمل - ساعتان الغرض من العمل: توحيد المعرفة حول طرق التكرار البسيط و Gauss-Seidel.

وزارة التعليم والعلوم بالاتحاد الروسي ولاية كوستروما جامعة التكنولوجياإ. Zemlyakova، O.B. سادوفسكايا ، أ. الطرق الرقمية إليوكينا موصى بها من قبل التحرير والنشر

الفصل معادلات غير خطية. المفاهيم والتعاريف. صياغة المشكلة. يعد حل المعادلات غير الخطية التي لا يعرفها أحد أحد المشكلات الرياضية المهمة التي تنشأ في أقسام مختلفة

الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية العادية حل مسألة كوشي ... مسألة كوشي لمعادلة تفاضلية عادية. نحن نعتبر مشكلة كوشي لتفاضل واحد

1 حل معادلة مجهولة واحدة تعطى المعادلة بالصيغة f (x) = 0 ، حيث f (x) هي إحدى وظائف المتغير x. الرقم x * يسمى الجذر أو الحل معادلة معينة، إذا عند استبدال x = x * في المعادلة

وزارة التعليم والعلوم من الاتحاد الروسي جامعة موسكو الحكومية للجيوديسيا ورسم الخرائط (MIIGAiK) كلية النماذج البعيدةالتعلم خارج أسوارالبرنامج والتحكم

المحاضرة 3 سلسلة تايلور وماكلورين تطبيق سلسلة الطاقة توسيع الوظائف إلى سلسلة الطاقة سلسلة تايلور وماكلورين بالنسبة للتطبيقات ، من المهم أن تكون قادرًا على توسيع وظيفة معينة إلى سلسلة طاقة ، تلك الوظائف

تقدير الدوال التفاضلية العددية والتكامل في هذا القسم ، نأخذ في الاعتبار مشاكل تقريب الدوال باستخدام كثيرات حدود لاجرانج ونيوتن باستخدام الاستيفاء المحوري

وزارة الزراعة في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "جامعة ولاية كوبان الزراعية"

قسم الرياضيات وعناصر المعلوماتية رياضيات أعلى مجمع التدريب والميتودولوجيالطلاب التعليم المهني الثانوي الذين يدرسون باستخدام التقنيات البعيدةوحدة حساب التفاضل والتكامل جمعت بواسطة:

MODULE "تطبيق الاستمرارية والمشتق. تطبيق المشتق على دراسة التوابع. تطبيق الاستمرارية .. طريقة الفواصل .. مماس للرسم البياني. صيغة لاغرانج. 4. تطبيق المشتق

أسئلة لامتحان الدورة الأساليب الحسابيةالجبر الخطي السنة الثانية ، الفصل الثالث المحاضر: الأستاذ س.ب. سوروكين الجزء 1. التحليل العددي الموضوع 1. الطرق الجبريةإقحام. 1. صياغة

العمل المخبري الغرض من العمل: ترسيخ المهارات في العمل مع الأساسيات الإنشاءات النحويةلغة سي والقدرة على تنظيم الحلقات وأداء العمليات الحسابية .. الجزء النظري .. طرق الحل

باسكال 13. حل المعادلات غير الخطية. يمكن تقسيم المعادلات غير الخطية إلى فئتين - جبري ومتسامي. تسمى المعادلات الجبرية المعادلات التي تحتوي على المعادلات الجبرية فقط

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي مؤسسة تعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "جامعة تامبوف التقنية الحكومية"

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "جامعة ولاية أوليانوفسك التقنية"

A.P.Popov كتيب طرق اتخاذ القرارات المثلى لطلاب التخصصات الاقتصادية في جامعات Rostov-on-Don 01 1 مقدمة هناك عدة اتجاهات في الرياضيات التطبيقية ، تهدف في المقام الأول

Ch Power series a a a a () من الشكل a a a a () تسمى سلسلة القوة ، حيث ، a ، هي ثوابت ، تسمى معاملات السلسلة.في بعض الأحيان ، تعتبر سلسلة القوة ذات الشكل الأكثر عمومية: أ (أ) أ ( أ) أ (أ) () ، أين

قسم الرياضيات والمعلوماتية التحليل الرياضيمجمع تعليمي ومنهجي لطلاب HPE الذين يدرسون باستخدام تقنيات عن بعد الوحدة 4 تطبيقات المشتق من إعداد: أستاذ مشارك

) مفهوم SLAE) قاعدة Cramer لحل SLAE) طريقة Gauss 4) رتبة المصفوفة ، نظرية Kronecker-Capelli 5) حل SLAE بقلب المصفوفات ، مفهوم شرطية المصفوفات) مفهوم SLAE O . نظام SLAE

الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية العادية .. الطرق العددية لحل مشكلة الكوشي .. مسألة كوشي لمعادلة تفاضلية عادية. نحن نعتبر مشكلة كوشي

الفصل 4 النظريات الأساسية حساب التفاضلالكشف عن عدم اليقين النظريات الأساسية لحساب التفاضل والتكامل نظرية فيرمات (بيير فيرمات (6-665) عالم رياضيات فرنسي) إذا كانت الوظيفة y f

FEDERAL AGENCY FOR EDUCATION مؤسسة تعليمية حكومية للتعليم المهني العالي “جامعة ولاية أورال. صباحا. Gorky "IONTS" Business Informatics

الطرق الرقمية للتحليل دار النشر GOU VPO TSTU وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي "ولاية تامبوف

وزارة النقل في الاتحاد الروسي (وزارة النقل الروسية) وكالة النقل الجوي الفيدرالية (Rosaviatsiya) جامعة سانت بطرسبرغ الحكومية الطيران المدني»E.

وزارة التعليم في الاتحاد الروسي ، فرع جامعة جنوب الأورال الحكومية (NRU) التابع لـ SUSU (NRU) في Ust-Katav

وزارة التعليم والعلوم في روسيا جامعة ولاية تومسك كلية علوم المعلومات برنامج العملالانضباط الرياضيات الحاسوبية اتجاه الدراسة 010300 المعلوماتية والمعلومات الأساسية

الوكالة الفيدرالية للتعليم مؤسسة تعليمية حكومية للتعليم المهني العالي جامعة نيجني نوفغورود التقنية الحكومية. ورشة عمل R.E. Alekseeva ON

4 طرق تكرارية لحل طريقة التكرار البسيطة SLAE أعداد كبيرةالمعادلات ، الطرق المباشرة لحل SLAE (باستثناء طريقة المسح) تصبح صعبة التنفيذ على الكمبيوتر ، ويرجع ذلك أساسًا إلى