المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية. بناء حل عام خطي متجانس

معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتةلديه حل عام
، أين و حلول خاصة مستقلة خطيًا لهذه المعادلة.

الشكل العام لحلول معادلة تفاضلية متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتة
، يعتمد على جذور المعادلة المميزة
.

جذور الخاصية المعادلات	رأي حل مشترك
الجذور و صالحة ومتنوعة
الجذور == صالح ومتطابق
جذور معقدة ,

مثال

أوجد الحل العام للمعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة:

1)

المحلول:
.

بعد حلها ، سنجد الجذور
,
صالح ومختلف. لذلك فإن الحل العام هو:
.

2)

المحلول: دعونا نجعل المعادلة المميزة:
.

بعد حلها ، سنجد الجذور

صالح ومتطابق. لذلك فإن الحل العام هو:
.

3)

المحلول: دعونا نجعل المعادلة المميزة:
.

بعد حلها ، سنجد الجذور
مركب. لذلك فإن الحل العام هو:

معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتةلديه الشكل

أين
. (1)

الحل العام لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الدرجة الثانية له الشكل
، أين
هو حل خاص لهذه المعادلة ، هو حل عام للمقابل معادلة متجانسة، بمعنى آخر. المعادلات.

نوع الحل الخاص
معادلة غير متجانسة(1) حسب الجانب الأيمن
:

الجزء الأيمن	حل خاص
- درجة كثيرة الحدود	، أين هو عدد جذور المعادلة المميزة التي تساوي الصفر.
	، أين = هو جذر المعادلة المميزة.
	أين - رقم، يساوي الرقمالجذور معادلة مميزة، تتوافق مع .
	أين هو عدد جذور المعادلة المميزة التي تتطابق مع .

ضع في اعتبارك أنواعًا مختلفة من الجوانب اليمنى لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة:

1.
، أين هي كثيرة الحدود من الدرجة . ثم حل معين
يمكن البحث في النموذج
، أين

، أ هو عدد جذور المعادلة المميزة التي تساوي الصفر.

مثال

ابحث عن حل عام
.

المحلول:

.

ب) بما أن الجانب الأيمن من المعادلة هو كثير الحدود من الدرجة الأولى ولا يوجد أي من جذور المعادلة المميزة
لا يساوي الصفر (
) ، ثم نبحث عن حل معين بالشكل حيث و معاملات غير معروفة. التفريق مرتين
والاستعاضة عنها
,
و
في المعادلة الأصلية ، نجد.

معادلة المعاملات بنفس القوى على طرفي المعادلة
,
، نجد
,
. لذلك ، حل معين معادلة معينةلديه الشكل
، وحلها العام.

2. يترك الجزء الصحيحلديه الشكل
، أين هي كثيرة الحدود من الدرجة . ثم حل معين
يمكن البحث في النموذج
، أين
هي كثيرة الحدود من نفس الدرجة مثل
، أ - رقم يشير إلى عدد المرات هو جذر المعادلة المميزة.

مثال

ابحث عن حل عام
.

المحلول:

أ) أوجد الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة
. للقيام بذلك ، نكتب المعادلة المميزة
. لنجد جذور المعادلة الأخيرة
. لذلك ، فإن الحل العام للمعادلة المتجانسة له الشكل
.

معادلة مميزة

، أين هو معامل غير معروف. التفريق مرتين
والاستعاضة عنها
,
و
في المعادلة الأصلية ، نجد. أين
، هذا هو
أو
.

إذن ، حل معين لهذه المعادلة له الصيغة
، وحلها العام
.

3. دع الجانب الأيمن يبدو ، أين
و - أرقام معينة. ثم حل معين
يمكن البحث في الشكل حيث و معاملات غير معروفة ، و هو رقم يساوي عدد جذور المعادلة المميزة التي تتطابق مع
. إذا كان في تعبير وظيفي
تتضمن واحدة على الأقل من الوظائف
أو
، ثم في
يجب إدخالها دائمًا على حد سواءالمهام.

مثال

ابحث عن حل عام.

المحلول:

أ) أوجد الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة
. للقيام بذلك ، نكتب المعادلة المميزة
. لنجد جذور المعادلة الأخيرة
. لذلك ، فإن الحل العام للمعادلة المتجانسة له الشكل
.

ب) بما أن الجانب الأيمن من المعادلة دالة
، ثم رقم التحكم في هذه المعادلة ، فإنه لا يتطابق مع الجذور
معادلة مميزة
. ثم نبحث عن حل معين في النموذج

أين و معاملات غير معروفة. التفريق مرتين ، نحصل عليه. أستعاض
,
و
في المعادلة الأصلية ، نجد

.

نجمع الشروط المتشابهة معًا ، نحصل عليها

.

نحن نساوي المعاملات في
و
على الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلة ، على التوالي. نحصل على النظام
. نجد حلها
,
.

إذن ، حل معين للمعادلة التفاضلية الأصلية له الشكل.

الحل العام للمعادلة التفاضلية الأصلية له الشكل.

المعادلة

حيث تسمى الدالات المستمرة في الفاصل الزمني معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية غير متجانسة ، والوظائف ومعاملاتها. إذا كانت في هذه الفترة الزمنية ، فإن المعادلة تأخذ الشكل:

وتسمى معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية. إذا كانت المعادلة (**) لها نفس المعاملات والمعادلة (*) ، فإنها تسمى معادلة متجانسة تقابل معادلة غير متجانسة (*).

المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية

دع المعادلة الخطية

أنا - دائم أرقام حقيقية.

سنبحث عن حل معين للمعادلة في شكل دالة ، حيث يكون الحقيقي أو عدد مركبيتم تحديدها. التفريق فيما يتعلق ، نحصل على:

بالتعويض في المعادلة التفاضلية الأصلية ، نحصل على:

ومن ثم ، مع مراعاة ذلك ، لدينا:

تسمى هذه المعادلة بالمعادلة المميزة للمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة. تجعل المعادلة المميزة أيضًا من الممكن العثور عليها. هذه معادلة من الدرجة الثانية ، لذلك لها جذرين. دعنا نشير إليها بواسطة و. ثلاث حالات ممكنة:

1) الجذور حقيقية ومختلفة. في هذه الحالة ، الحل العام للمعادلة هو:

مثال 1

2) الجذور حقيقية ومتساوية. في هذه الحالة ، الحل العام للمعادلة هو:

مثال2

هل وصلت إلى هذه الصفحة أثناء محاولة حل مشكلة في اختبار أو اختبار؟ إذا كنت لا تزال غير قادر على اجتياز الاختبار - في المرة القادمة ، قم بالترتيب مسبقًا على موقع الويب حول المساعدة عبر الإنترنت في الرياضيات العليا.

المعادلة المميزة لها الشكل:

حل المعادلة المميزة:

الحل العام للمعادلة التفاضلية الأصلية:

3) جذور معقدة. في هذه الحالة ، الحل العام للمعادلة هو:

مثال 3

المعادلة المميزة لها الشكل:

حل المعادلة المميزة:

الحل العام للمعادلة التفاضلية الأصلية:

معادلات تفاضلية خطية من الدرجة الثانية غير متجانسة

دعونا الآن نفكر في حل بعض أنواع معادلات الدرجة الثانية الخطية غير المتجانسة ذات المعاملات الثابتة

أين و هي أرقام حقيقية ثابتة ، هي دالة مستمرة معروفة في الفترة الزمنية. لإيجاد الحل العام لمثل هذه المعادلة التفاضلية ، من الضروري معرفة الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة المقابلة والحل الخاص. لننظر في بعض الحالات:

نحن نبحث أيضًا عن حل معين للمعادلة التفاضلية على شكل مربع ثلاثي الحدود:

إذا كان 0 هو جذر واحد للمعادلة المميزة ، إذن

إذا كان 0 هو جذر مزدوج للمعادلة المميزة ، إذن

يكون الوضع مشابهًا إذا كانت متعددة الحدود لدرجة تعسفية

مثال 4

نحل المعادلة المتجانسة المقابلة.

معادلة مميزة:

الحل العام للمعادلة المتجانسة:

دعونا نجد حلاً خاصًا لمعادلة ديف غير المتجانسة:

استبدال المشتقات الموجودة في المعادلة التفاضلية الأصلية ، نحصل على:

الحل المعين المطلوب:

الحل العام للمعادلة التفاضلية الأصلية:

نسعى إلى حل معين في النموذج ، حيث يوجد معامل غير محدد.

بالتعويض وفي المعادلة التفاضلية الأصلية ، نحصل على هوية ، ونجد المعامل منها.

إذا كان هذا هو جذر المعادلة المميزة ، فإننا نبحث عن حل معين للمعادلة التفاضلية الأصلية في الشكل ، ومتى يكون الجذر واحدًا ، ومتى يكون الجذر المزدوج.

مثال 5

معادلة مميزة:

الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة المقابلة هو:

دعونا نجد حلاً معينًا للمعادلة التفاضلية غير المتجانسة المقابلة:

الحل العام للمعادلة التفاضلية:

في هذه الحالة ، نبحث عن حل معين في شكل ذات الحدين المثلثية:

أين و هي معاملات غير مؤكدة

بالتعويض وفي المعادلة التفاضلية الأصلية ، نحصل على هوية ، ونجد المعاملات منها.

تحدد هذه المعادلات المعاملات وباستثناء الحالة متى (أو متى تكون جذور المعادلة المميزة). في الحالة الأخيرة ، نبحث عن حل معين للمعادلة التفاضلية بالشكل:

مثال6

معادلة مميزة:

الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة المقابلة هو:

دعونا نجد حلاً خاصًا لمعادلة dif-غير المتجانسة

بالتعويض في المعادلة التفاضلية الأصلية ، نحصل على:

الحل العام للمعادلة التفاضلية الأصلية:

تقارب السلاسل الرقمية
يتم إعطاء تعريف تقارب السلسلة ويتم النظر في مشاكل دراسة التقارب بالتفصيل سلسلة رقمية- معايير المقارنة ، ومعيار التقارب لدالمبرت ، ومعيار كوشي للتقارب ، ومعيار كوشي للتلاقي المتكامل.

التقارب المطلق والمشروط لسلسلة
تتعامل الصفحة مع المتسلسلات المتناوبة ، وتقاربها الشرطي والمطلق ، واختبار تقارب Leibniz للسلسلة المتناوبة - يحتوي على نظرية موجزةحول الموضوع ومثال على حل المشكلة.

نطبق هنا طريقة اختلاف ثوابت لاغرانج لحل المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية. وصف مفصلهذه الطريقة لحل معادلات الترتيب التعسفي موضحة في الصفحة
حل المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة ذات الرتب الأعلى بطريقة لاغرانج >>>.

مثال 1

حل معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتةطريقة اختلاف ثوابت لاجرانج:
(1)

المحلول

أولاً ، نحل المعادلة التفاضلية المتجانسة:
(2)

هذه معادلة من الدرجة الثانية.

نحل المعادلة التربيعية:
.
جذور متعددة:. النظام الأساسيحلول المعادلة (2) لها الشكل:
(3) .
ومن ثم نحصل على الحل العام للمعادلة المتجانسة (2):
(4) .

نغير الثوابت C 1 و ج 2 . أي نستبدل الثوابت وفي (4) بالوظائف:
.
نبحث عن حل للمعادلة الأصلية (1) بالصيغة:
(5) .

نجد المشتق:
.
نقوم بتوصيل الوظائف والمعادلة:
(6) .
ثم
.

نجد المشتق الثاني:
.
نعوض بالمعادلة الأصلية (1):
(1) ;



.
بما أن المعادلة المتجانسة (2) وتلبيها ، فإن مجموع المصطلحات في كل عمود من الصفوف الثلاثة الأخيرة هو صفر ، وتصبح المعادلة السابقة:
(7) .
هنا .

جنبًا إلى جنب مع المعادلة (6) ، نحصل على نظام معادلات لتحديد الوظائف و:
(6) :
(7) .

حل نظام المعادلات

نحل نظام المعادلات (6-7). لنكتب تعابير للدوال و:
.
نجد مشتقاتهم:
;
.

نحل نظام المعادلات (6-7) بطريقة كرامر. نحسب محدد مصفوفة النظام:

.
من خلال صيغ كرامر نجد:
;
.

لذلك وجدنا مشتقات الدوال:
;
.
دعونا ندمج (انظر طرق تكامل الجذور). إجراء الاستبدال
; ; ; .

.
.

;
.

إجابه

مثال 2

حل المعادلة التفاضلية بطريقة التباين في ثوابت لاغرانج:
(8)

المحلول

الخطوة 1. حل المعادلة المتجانسة

نحل معادلة تفاضلية متجانسة:

(9)
أبحث عن حل في النموذج. نؤلف المعادلة المميزة:

هذه المعادلة لها جذور معقدة:
.
النظام الأساسي للحلول المقابلة لهذه الجذور له الشكل:
(10) .
الحل العام للمعادلة المتجانسة (9):
(11) .

الخطوة 2. تباين الثوابت - استبدال الدوال بالثوابت

الآن نقوم بتغيير الثوابت C 1 و ج 2 . أي نستبدل الثوابت في (11) بالوظائف:
.
نبحث عن حل للمعادلة الأصلية (8) بالصيغة:
(12) .

علاوة على ذلك ، فإن مسار الحل هو نفسه كما في المثال 1. وصلنا إليه النظام القادممعادلات لتحديد الوظائف و:
(13) :
(14) .
هنا .

حل نظام المعادلات

لنحل هذا النظام. دعنا نكتب تعبيرات الوظائف و:
.
من جدول المشتقات نجد:
;
.

نحل نظام المعادلات (13-14) بطريقة كرامر. محدد مصفوفة النظام:

.
من خلال صيغ كرامر نجد:
;
.

.
منذ ذلك الحين ، يمكن حذف علامة المقياس الموجودة أسفل علامة اللوغاريتم. اضرب البسط والمقام في:
.
ثم
.

الحل العام للمعادلة الأصلية:


.

مؤسسة تعليمية "دولة بيلاروسيا

الأكاديمية الزراعية "

قسم الرياضيات العليا

القواعد الارشادية

حول دراسة موضوع "المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية" من قبل طلاب قسم المحاسبة بالمراسلة شكل التعليم (NISPO)

جوركي ، 2013

خطي المعادلات التفاضلية

المرتبة الثانية مع ثابتمعاملات

المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة

المعادلة التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية ذات المعاملات الثابتة يسمى معادلة النموذج

أولئك. معادلة تحتوي على الوظيفة المطلوبة ومشتقاتها فقط إلى الدرجة الأولى ولا تحتوي على منتجاتها. في هذه المعادلة و
هي بعض الأرقام ، والوظيفة
في بعض الفترات
.

اذا كان
في الفترة
، ثم تأخذ المعادلة (1) الشكل

, (2)

ودعا متجانسة خطية . خلاف ذلك ، تسمى المعادلة (1) خطي غير متجانس .

ضع في اعتبارك الوظيفة المعقدة

, (3)

أين
و
- وظائف حقيقية. إذا كانت الوظيفة (3) عبارة عن حل معقد للمعادلة (2) ، فإن الجزء الحقيقي
والجزء التخيلي
حلول
تؤخذ بشكل منفصل حلول من نفس المعادلة المتجانسة. وهكذا ، كل الحل الكاملتولد المعادلة (2) حلين حقيقيين لهذه المعادلة.

حلول متجانسة معادلة خط مستقيملها خصائص:

اذا كان هو حل المعادلة (2) ، ثم الوظيفة
، أين من- الثابت التعسفي ، سيكون أيضًا حلاً للمعادلة (2) ؛

اذا كان و هي حلول المعادلة (2) ، ثم الوظيفة
سيكون أيضًا حلاً للمعادلة (2) ؛

اذا كان و هي حلول المعادلة (2) ، ثم تركيبة خطية
سيكون أيضًا حلاً للمعادلة (2) حيث و
ثوابت اعتباطية.

المهام
و
اتصل تعتمد خطيا في الفترة
إذا كان هناك مثل هذه الأرقام و
، والتي لا تساوي الصفر في نفس الوقت ، أن المساواة في هذه الفترة

إذا كانت المساواة (4) تنطبق فقط عندما
و
، ثم الوظائف
و
اتصل مستقل خطيا في الفترة
.

مثال 1 . المهام
و
تعتمد خطيًا ، منذ ذلك الحين
على طول خط الأعداد الصحيح. في هذا المثال
.

مثال 2 . المهام
و
مستقلة خطيًا على أي فترة ، منذ المساواة
ممكن فقط إذا و
، و
.

بناء حل عام خطي متجانس

المعادلات

من أجل إيجاد حل عام للمعادلة (2) ، عليك إيجاد اثنين من الحلول المستقلة خطيًا و . مزيج خطي من هذه الحلول
، أين و
هي ثوابت عشوائية ، وستعطي الحل العام لمعادلة خطية متجانسة.

سيتم البحث عن حلول مستقلة خطيًا للمعادلة (2) في النموذج

, (5)

أين - بعض الأرقام. ثم
,
. دعونا نستبدل هذه التعبيرات في المعادلة (2):

أو
.

لان
، ومن بعد
. لذا فإن الوظيفة
سيكون حلاً للمعادلة (2) إذا سوف تفي بالمعادلة

. (6)

المعادلة (6) تسمى معادلة مميزة للمعادلة (2). هذه المعادلة معادلة جبرية من الدرجة الثانية.

يترك و هي جذور هذه المعادلة. يمكن أن تكون حقيقية ومختلفة ، أو معقدة ، أو حقيقية ومتساوية. دعونا ننظر في هذه الحالات.

دع الجذور و المعادلات المميزة حقيقية ومتميزة. ثم ستكون حلول المعادلة (2) هي الوظائف
و
. هذه الحلول مستقلة خطيا ، منذ المساواة
لا يمكن إجراؤها إلا عندما
، و
. لذلك ، الحل العام للمعادلة (2) له الشكل

,

أين و
ثوابت اعتباطية.

مثال 3
.

المحلول . ستكون المعادلة المميزة لهذا التفاضل
. حلها معادلة من الدرجة الثانيةتجد جذورها
و
. المهام
و
هي حلول المعادلة التفاضلية. الحل العام لهذه المعادلة له الشكل
.

عدد مركب يسمى تعبير عن النموذج
، أين و هي أرقام حقيقية ، و
تسمى الوحدة التخيلية. اذا كان
ثم الرقم
يسمى تخيل بحت. إذا
ثم الرقم
برقم حقيقي .

رقم يسمى الجزء الحقيقي من العدد المركب ، و - الجزء التخيلي. إذا كان رقمان مركبان يختلفان عن بعضهما البعض فقط في علامة الجزء التخيلي ، فيطلق عليهما اسم مترافق:
,
.

مثال 4 . حل معادلة تربيعية
.

المحلول . مميز المعادلة
. ثم. على نفس المنوال،
. وبالتالي ، فإن هذه المعادلة التربيعية لها جذور معقدة مترافقة.

دع جذور المعادلة المميزة تكون معقدة ، أي
,
، أين
. يمكن كتابة حلول المعادلة (2) على هيئة
,
أو
,
. وفقًا لصيغ أويلر

,
.

ثم ،. كما هو معروف ، إذا كانت دالة معقدة عبارة عن حل لمعادلة خطية متجانسة ، فإن حلول هذه المعادلة هي الأجزاء الحقيقية والخيالية لهذه الوظيفة. وبالتالي ، ستكون حلول المعادلة (2) هي الوظائف
و
. منذ المساواة

لا يمكن أداؤها إلا إذا
و
، فهذه الحلول مستقلة خطيًا. لذلك ، الحل العام للمعادلة (2) له الشكل

أين و
ثوابت اعتباطية.

مثال 5 . أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية
.

المحلول . المعادلة
هي خاصية مميزة للتفاضل المحدد. نحلها ونحصل على جذور معقدة
,
. المهام
و
هي حلول مستقلة خطيًا للمعادلة التفاضلية. الحل العام لهذه المعادلة له الشكل.

دع جذور المعادلة المميزة تكون حقيقية ومتساوية ، أي
. ثم حلول المعادلة (2) هي الوظائف
و
. هذه الحلول مستقلة خطيًا ، حيث يمكن أن يكون التعبير مساويًا للصفر فقط عندما
و
. لذلك ، الحل العام للمعادلة (2) له الشكل
.

مثال 6 . أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية
.

المحلول . معادلة مميزة
له جذور متساوية
. في هذه الحالة ، الحلول المستقلة خطيًا للمعادلة التفاضلية هي الوظائف
و
. الحل العام له الشكل
.

معادلات تفاضلية خطية من الدرجة الثانية غير متجانسة ذات معاملات ثابتة

والجانب الأيمن الخاص

الحل العام للمعادلة الخطية غير المتجانسة (1) يساوي مجموع الحل العام
المعادلة المتجانسة المقابلة وأي حل معين
معادلة غير متجانسة:
.

في بعض الحالات ، يمكن إيجاد حل معين لمعادلة غير متجانسة ببساطة عن طريق شكل الجانب الأيمن
المعادلات (1). دعونا ننظر في الحالات عندما يكون ذلك ممكنًا.

أولئك. الجانب الأيمن من المعادلة غير المتجانسة هو كثير حدود الدرجة م. اذا كان
ليس جذرًا للمعادلة المميزة ، فيجب البحث عن حل معين للمعادلة غير المتجانسة في شكل متعدد الحدود من الدرجة م، بمعنى آخر.

احتمال
يتم تحديدها في عملية إيجاد حل معين.

إذا
هو جذر المعادلة المميزة ، ثم يجب البحث عن حل معين للمعادلة غير المتجانسة في الشكل

مثال 7 . أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية
.

المحلول . المعادلة المتجانسة المقابلة لهذه المعادلة هي
. معادلتها المميزة
له جذور
و
. الحل العام للمعادلة المتجانسة له الشكل
.

لان
ليس جذرًا للمعادلة المميزة ، فسنبحث عن حل معين للمعادلة غير المتجانسة في شكل دالة
. أوجد مشتقات هذه الدالة
,
واستبدلهم في هذه المعادلة:

أو . يساوي المعاملات في والأعضاء الأحرار:
اتخاذ القرار هذا النظام، نحن نحصل
,
. ثم يكون لحل معين للمعادلة غير المتجانسة الشكل
، والحل العام لهذه المعادلة غير المتجانسة سيكون مجموع الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة والحل الخاص للمعادلة غير المتجانسة:
.

دع المعادلة غير المتجانسة لها الشكل

اذا كان
ليس جذرًا للمعادلة المميزة ، لذا يجب البحث عن حل معين للمعادلة غير المتجانسة في الشكل. إذا
هو جذر معادلة التعددية المميزة ك (ك= 1 أو ك= 2) ، ثم في هذه الحالة سيكون للحل المعين للمعادلة غير المتجانسة الشكل.

المثال 8 . أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية
.

المحلول . المعادلة المميزة للمعادلة المتجانسة المقابلة لها الشكل
. جذورها
,
. في هذه الحالة ، يتم كتابة الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة
.

نظرًا لأن الرقم 3 ليس جذر المعادلة المميزة ، فيجب البحث عن حل معين للمعادلة غير المتجانسة في النموذج
. دعنا نجد مشتقات من الرتب الأولى والثانية :،

استبدل في المعادلة التفاضلية:
+ +,
+,.

يساوي المعاملات في والأعضاء الأحرار:

من هنا
,
. ثم يكون حل معين لهذه المعادلة بالشكل
، والحل العام

.

طريقة لاغرانج لتغير الثوابت التعسفية

يمكن تطبيق طريقة تغيير الثوابت التعسفية على أي معادلة خطية غير متجانسة ذات معاملات ثابتة ، بغض النظر عن شكل الجانب الأيمن. تتيح هذه الطريقة دائمًا إيجاد حل عام لمعادلة غير متجانسة إذا كان الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة معروفًا.

يترك
و
هي حلول مستقلة خطيًا عن المعادلة (2). ثم الحل العام لهذه المعادلة
، أين و
ثوابت اعتباطية. يتمثل جوهر طريقة اختلاف الثوابت التعسفية في البحث عن الحل العام للمعادلة (1) في الشكل

أين
و
- ميزات جديدة غير معروفة ليتم العثور عليها. نظرًا لوجود دالتين غير معروفين ، يلزم إيجاد معادلتين تحتويان على هذه الوظائف. هاتان المعادلتان تشكلان النظام

وهو نظام جبري خطي من المعادلات فيما يتعلق
و
. نجد حل هذا النظام
و
. نجد دمج كلا الجزأين من المساواة التي تم الحصول عليها

و
.

باستبدال هذه التعبيرات في (9) ، نحصل على الحل العام للمعادلة الخطية غير المتجانسة (1).

المثال 9 . أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية
.

المحلول. المعادلة المميزة للمعادلة المتجانسة المقابلة للمعادلة التفاضلية المعينة هي
. جذوره معقدة
,
. لان
و
، ومن بعد
,
، والحل العام للمعادلة المتجانسة له الشكل ثم سيتم البحث عن الحل العام لهذه المعادلة غير المتجانسة بالشكل حيث
و
- وظائف غير معروفة.

نظام المعادلات لإيجاد هذه الوظائف غير المعروفة له الشكل

نجد حل هذا النظام
,
. ثم

,
. دعونا نستبدل التعبيرات التي تم الحصول عليها في صيغة الحل العامة:

هذا هو الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية التي تم الحصول عليها بطريقة لاغرانج.

أسئلة لضبط النفس في المعرفة

ما هي المعادلة التفاضلية التي تسمى معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتة؟

أي معادلة تفاضلية خطية تسمى متجانسة وأيها تسمى غير متجانسة؟

ما هي خصائص المعادلة الخطية المتجانسة؟

ما هي المعادلة التي تسمى مميزة لمعادلة تفاضلية خطية وكيف يتم الحصول عليها؟

في أي شكل يكون الحل العام لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة مع معاملات ثابتة مكتوبة في حالة الجذور المختلفة للمعادلة المميزة؟

في أي شكل يكون الحل العام لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة مع معاملات ثابتة مكتوبة في الحالة جذور متساويةمعادلة مميزة؟

في أي شكل يكون الحل العام لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة مع معاملات ثابتة مكتوبة في حالة الجذور المعقدة للمعادلة المميزة؟

كيف يتم كتابة الحل العام لمعادلة خطية غير متجانسة؟

في أي شكل يتم البحث عن حل معين لمعادلة خطية غير متجانسة إذا كانت جذور المعادلة المميزة مختلفة ولا تساوي الصفر ، والجانب الأيمن من المعادلة هو متعدد الحدود من الدرجة م?

في أي شكل يتم البحث عن حل معين لمعادلة خطية غير متجانسة إذا كان هناك صفر واحد بين جذور المعادلة المميزة ، والجانب الأيمن من المعادلة هو كثير حدود الدرجة م?

ما هو جوهر طريقة لاغرانج؟