طريقة جاوس لحل نظام غير محدد من المعادلات الخطية. طريقة غاوس للدمى: أمثلة للحلول

دع نظام خطي المعادلات الجبرية، والتي تحتاج إلى حل (ابحث عن قيم المجهول i التي تحول كل معادلة في النظام إلى مساواة).

نحن نعلم أن نظام المعادلات الجبرية الخطية يمكنه:

1) ليس لديك حلول (كن غير متوافق).
2) لديك عدد لا نهائي من الحلول.
3) هل لديك حل فريد.

كما نتذكر ، حكم كرامر و طريقة المصفوفةغير مناسبة في الحالات التي يكون فيها النظام به عدد لا نهائي من الحلول أو يكون غير متسق. طريقة جاوس – أقوى أداة وأكثرها تنوعًا لإيجاد حل لأي نظام المعادلات الخطية ، الذي في كل حالةيقودنا إلى الجواب! طريقة الخوارزمية نفسها في كل شيء ثلاث حالاتيعمل بنفس الطريقة. إذا كانت طرق كرامر والمصفوفة تتطلب معرفة المحددات ، فعند تطبيق طريقة غاوس ، المعرفة مطلوبة فقط عمليات حسابيةمما يجعله متاحًا حتى لطلاب المدارس الابتدائية.

تحويلات المصفوفة الممتدة ( هذه هي مصفوفة النظام - مصفوفة تتكون فقط من معاملات المجهول ، بالإضافة إلى عمود من المصطلحات الحرة)أنظمة المعادلات الجبرية الخطية في طريقة جاوس:

1) مع تروكيالمصفوفات يستطيع إعادة الترتيبأماكن.

2) إذا كانت المصفوفة لها (أو لديها) متناسبة (مثل حالة خاصةهي نفس) الأوتار ، ثم يتبعها حذفمن المصفوفة ، كل هذه الصفوف ما عدا واحد.

3) إذا ظهر صف صفري في المصفوفة أثناء التحولات ، فإنه يتبع أيضًا حذف.

4) يمكن لصف المصفوفة ضرب (قسمة)إلى أي رقم بخلاف الصفر.

5) إلى صف المصفوفة ، يمكنك ذلك إضافة سلسلة أخرى مضروبة في رقم، يختلف عن الصفر.

في طريقة غاوس ، لا تغير التحويلات الأولية حل نظام المعادلات.

تتكون طريقة جاوس من مرحلتين:

"النقل المباشر" - باستخدام التحويلات الأولية ، قم بإحضار المصفوفة الممتدة لنظام المعادلات الجبرية الخطية إلى مصفوفة "ثلاثية" عرض صعدت: عناصر المصفوفة الموسعة الواقعة أسفل القطر الرئيسي تساوي الصفر (حركة من أعلى إلى أسفل). على سبيل المثال ، لهذا النوع:

للقيام بذلك ، قم بتنفيذ الخطوات التالية:

1) دعونا نفكر في المعادلة الأولى لنظام المعادلات الجبرية الخطية والمعامل عند x 1 يساوي K. والثاني والثالث وما إلى ذلك. نقوم بتحويل المعادلات على النحو التالي: نقسم كل معادلة (معاملات للمجهول ، بما في ذلك المصطلحات الحرة) على معامل المجهول x 1 ، الموجود في كل معادلة ، ونضرب في K. بعد ذلك ، نطرح الأولى من المعادلة الثانية ( معاملات المجهول والشروط المجانية). نحصل عند x 1 في المعادلة الثانية على المعامل 0. من المعادلة الثالثة المحولة نطرح المعادلة الأولى ، لذلك حتى لا تحتوي جميع المعادلات ماعدا الأولى ، مع x 1 غير معروف ، على معامل 0.

2) انتقل إلى المعادلة التالية. لنفترض أن هذه هي المعادلة الثانية ويكون المعامل عند x 2 يساوي M. مع جميع المعادلات "الثانوية" ، نواصل العمل كما هو موضح أعلاه. وبالتالي ، "تحت" المجهول × 2 في جميع المعادلات ستكون الأصفار.

3) ننتقل إلى المعادلة التالية وهكذا حتى يبقى مصطلح مجاني آخر غير معروف ومتحول.

« يعكس»طريقة غاوس - الحصول على حل لنظام المعادلات الجبرية الخطية (الانتقال من الأسفل إلى الأعلى). من المعادلة "الدنيا" الأخيرة نحصل على حل أول واحد - المجهول x n. لهذا قررنا معادلة أولية A * x n \ u003d B. في المثال أعلاه ، x 3 \ u003d 4. نستبدل القيمة التي تم العثور عليها في المعادلة التالية "العليا" ونحلها للمجهول التالي. على سبيل المثال ، × 2-4 \ u003d 1 ، أي x 2 \ u003d 5. وهكذا حتى نجد كل المجهول.

مثال.

نقوم بحل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة جاوس كما ينصح بعض المؤلفين:

نكتب المصفوفة الممتدة للنظام ، وباستخدام التحولات الأولية ، نحولها إلى شكل تدريجي:

ننظر إلى "الخطوة" اليسرى العليا. هناك يجب أن يكون لدينا وحدة. تكمن المشكلة في عدم وجود أي منها في العمود الأول على الإطلاق ، لذا لا يمكن حل أي شيء بإعادة ترتيب الصفوف. في مثل هذه الحالات ، يجب تنظيم الوحدة باستخدام التحول الأولي. يمكن القيام بذلك عادة بعدة طرق. لنفعلها هكذا:
خطوة واحدة . نضيف السطر الثاني إلى السطر الأول مضروبًا في -1. أي أننا ضربنا عقليًا السطر الثاني في -1 وأجرينا إضافة السطر الأول والثاني ، بينما لم يتغير السطر الثاني.

الآن في أعلى اليسار "ناقص واحد" ، وهو ما يناسبنا تمامًا. يمكن لمن يريد الحصول على +1 تنفيذ إجراء إضافي: اضرب السطر الأول في -1 (قم بتغيير علامته).

2 خطوة . أضيف السطر الأول مضروبًا في 5 إلى السطر الثاني ، وأضيف السطر الأول مضروبًا في 3 إلى السطر الثالث.

3 خطوات . تم ضرب السطر الأول ب -1 ، من حيث المبدأ ، هذا للجمال. تم أيضًا تغيير علامة السطر الثالث ونقلها إلى المركز الثاني ، وبالتالي ، في "الخطوة الثانية ، كان لدينا الوحدة المطلوبة.

4 خطوة . أضف السطر الثاني مضروبًا في 2 إلى السطر الثالث.

5 خطوات . السطر الثالث مقسوم على 3.

العلامة التي تشير إلى خطأ في العمليات الحسابية (أقل خطأ مطبعي) هي محصلة نهائية "سيئة". بمعنى ، إذا حصلنا على شيء مثل (0 0 11 | 23) أدناه ، وبالتالي ، 11x 3 = 23 ، x 3 = 23/11 ، فعندئذ مع درجة عالية من الاحتمال يمكننا القول أن خطأ قد حدث أثناء المرحلة الابتدائية التحولات.

نقوم بحركة عكسية ، في تصميم الأمثلة ، غالبًا ما لا تتم إعادة كتابة النظام نفسه ، ويتم أخذ المعادلات "مباشرة من المصفوفة المعطاة". أذكرك أن الحركة العكسية تعمل "من الأسفل إلى الأعلى". في هذا المثالتلقى هدية:

× 3 = 1
س 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \ u003d 1 ، لذلك x 1 + 3-1 \ u003d 1 ، x 1 \ u003d -1

إجابه: × 1 \ u003d -1 ، × 2 \ u003d 3 ، × 3 \ u003d 1.

لنحل نفس النظام باستخدام الخوارزمية المقترحة. نحن نحصل

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

قسّم المعادلة الثانية على 5 والثالثة على 3. نحصل على:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

اضرب المعادلتين الثانية والثالثة في 4 ، نحصل على:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

اطرح المعادلة الأولى من المعادلتين الثانية والثالثة ، لدينا:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

قسّم المعادلة الثالثة على 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

اضرب المعادلة الثالثة في 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

اطرح المعادلة الثانية من المعادلة الثالثة ، نحصل على المصفوفة المعززة "المتدرجة":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

وبالتالي ، نظرًا لوجود خطأ متراكم في عملية الحسابات ، نحصل على x 3 \ u003d 0.96 ، أو ما يقرب من 1.

× 2 \ u003d 3 و × 1 \ u003d -1.

الحل بهذه الطريقة ، لن يتم الخلط بينك وبين الحسابات ، وعلى الرغم من أخطاء الحساب ، ستحصل على النتيجة.

هذه الطريقة في حل نظام المعادلات الجبرية الخطية سهلة البرمجة ولا تأخذ في الاعتبار مواصفات خاصةمعاملات المجهول ، لأنه من الناحية العملية (في الحسابات الاقتصادية والتقنية) يتعين على المرء أن يتعامل مع معاملات غير صحيحة.

أتمنى لك النجاح! اراك في الفصل! مدرس خاص.

blog.site ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، مطلوب رابط للمصدر.

في هذه المقالة ، تعتبر الطريقة كطريقة لحل أنظمة المعادلات الخطية (SLAE). الطريقة تحليلية ، أي أنها تسمح لك بكتابة خوارزمية الحل في نظرة عامة، ثم استبدل القيم من أمثلة محددة هناك. على عكس طريقة المصفوفة أو معادلات كرامر ، عند حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس ، يمكنك أيضًا العمل مع تلك التي تحتوي على عدد لا نهائي من الحلول. أو ليس لديهم على الإطلاق.

ماذا يعني غاوس؟

تحتاج أولاً إلى كتابة نظام المعادلات الخاص بنا في يبدو هكذا. النظام مأخوذ:

تتم كتابة المعاملات في شكل جدول ، وعلى اليمين في عمود منفصل - أعضاء أحرار. يتم فصل العمود الذي يحتوي على أعضاء حرة لتسهيل الأمر ، وتسمى المصفوفة التي تتضمن هذا العمود الموسعة.

علاوة على ذلك ، يجب تقليل المصفوفة الرئيسية ذات المعاملات إلى الشكل المثلثي العلوي. هذه هي النقطة الرئيسية لحل النظام بطريقة غاوس. ببساطة ، بعد بعض المعالجات ، يجب أن تبدو المصفوفة هكذا ، بحيث لا يوجد سوى أصفار في الجزء السفلي الأيسر منها:

بعد ذلك ، إذا كتبت المصفوفة الجديدة مرة أخرى كنظام معادلات ، فستلاحظ أن الصف الأخير يحتوي بالفعل على قيمة أحد الجذور ، والتي يتم استبدالها بعد ذلك في المعادلة أعلاه ، وتم العثور على جذر آخر ، وهكذا.

هذا الوصف للحل بطريقة غاوس في الغالب بعبارات عامة. وماذا يحدث إذا لم يكن لدى النظام حل فجأة؟ أم أن هناك عددًا لا حصر له منهم؟ للإجابة على هذه الأسئلة والعديد من الأسئلة الأخرى ، من الضروري النظر بشكل منفصل في جميع العناصر المستخدمة في الحل بواسطة طريقة Gauss.

المصفوفات وخصائصها

لا أحد معنى خفيليس في المصفوفة. إنها مجرد طريقة ملائمة لتسجيل البيانات لعمليات لاحقة. حتى أطفال المدارس يجب ألا يخافوا منهم.

تكون المصفوفة دائمًا مستطيلة ، لأنها أكثر ملاءمة. حتى في طريقة غاوس ، حيث كل شيء يأتي لبناء مصفوفة الثلاثي، يظهر مستطيل في الإدخال ، مع وجود أصفار فقط في المكان الذي لا توجد فيه أرقام. يمكن حذف الأصفار ، لكنها ضمنية.

المصفوفة لها حجم. "عرضه" هو عدد الصفوف (م) ، "طوله" هو عدد الأعمدة (ن). ثم حجم المصفوفة A (عادة ما تستخدم الحروف الكبيرة للدلالة عليها) حروف) سيُشار إليها على أنها أ م × ن. إذا كانت m = n ، فإن هذه المصفوفة مربعة ، و m = n هو ترتيبها. وفقًا لذلك ، يمكن الإشارة إلى أي عنصر من عناصر المصفوفة A برقم صفها وعمودها: a xy ؛ س - رقم الصف ، التغييرات ، رقم العمود ص ، التغييرات.

ب ليست النقطة الرئيسية في الحل. من حيث المبدأ ، يمكن إجراء جميع العمليات مباشرة باستخدام المعادلات نفسها ، لكن التدوين سيكون أكثر تعقيدًا ، وسيكون من الأسهل بكثير الخلط فيه.

محدد

المصفوفة لها أيضًا محدد. هذا جدا خاصية مهمة. معرفة معناه الآن لا يستحق كل هذا العناء ، يمكنك ببساطة إظهار كيفية حسابه ، ثم تحديد خصائص المصفوفة التي تحددها. أسهل طريقة لإيجاد المحدد هي من خلال الأقطار. يتم رسم الأقطار الخيالية في المصفوفة ؛ تتضاعف العناصر الموجودة على كل منها ، ثم تُضاف المنتجات الناتجة: الأقطار ذات المنحدر إلى اليمين - بعلامة "زائد" ، ومنحدر إلى اليسار - بعلامة "ناقص".

من المهم للغاية ملاحظة أنه لا يمكن حساب المحدد إلا لمصفوفة مربعة. إلى عن على مصفوفة مستطيلةيمكنك القيام بما يلي: من عدد الصفوف وعدد الأعمدة ، اختر الأصغر (فليكن k) ، ثم حدد بشكل عشوائي أعمدة k وصفوف k في المصفوفة. ستشكل العناصر الموجودة عند تقاطع الأعمدة والصفوف المحددة ملفًا جديدًا مصفوفة مربعة. إذا كان محدد مثل هذه المصفوفة هو رقم غير الصفر ، فإنه يسمى الأساس الصغرى للمصفوفة المستطيلة الأصلية.

قبل الشروع في حل نظام المعادلات بطريقة غاوس ، لا يضر حساب المحدد. إذا اتضح أنها صفر ، فيمكننا أن نقول على الفور أن المصفوفة إما بها عدد لا نهائي من الحلول ، أو لا يوجد حل واحد على الإطلاق. في مثل هذه الحالة المحزنة ، عليك أن تذهب أبعد من ذلك وتكتشف رتبة المصفوفة.

تصنيف النظام

هناك شيء مثل رتبة المصفوفة. هذا هو الحد الأقصى لترتيب المحدد غير الصفري (تذكر ثانوي أساسي، يمكننا القول أن رتبة المصفوفة هي ترتيب الأساس الثانوي).

وفقًا لكيفية سير الأمور بالرتبة ، يمكن تقسيم SLAE إلى:

مشترك. فيبالنسبة لأنظمة المفاصل ، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية (التي تتكون فقط من المعاملات) تتطابق مع مرتبة المصفوفة الموسعة (مع عمود من الأعضاء الأحرار). مثل هذه الأنظمة لها حل ، ولكن ليس بالضرورة حلًا واحدًا ، بالإضافة إلى ذلك أنظمة مشتركةمقسمة إلى:
- تأكيد- وجود حل فريد. في أنظمة معينة ، تتساوى رتبة المصفوفة وعدد المجهول (أو عدد الأعمدة وهو نفس الشيء) ؛
- غير محدد -مع عدد لا حصر له من الحلول. رتبة المصفوفات لهذه الأنظمة أقل من عدد المجهولين.
غير متوافق. فيمثل هذه الأنظمة ، لا تتطابق رتب المصفوفات الرئيسية والمصفوفة الموسعة. الأنظمة غير المتوافقة ليس لها حل.

تعتبر طريقة Gauss جيدة من حيث أنها تسمح للشخص بالحصول على دليل لا لبس فيه على عدم تناسق النظام (دون حساب محددات المصفوفات الكبيرة) أو حل عام لنظام يحتوي على عدد لا حصر له من الحلول أثناء الحل.

التحولات الأولية

قبل الشروع مباشرة في حل النظام ، من الممكن جعله أقل تعقيدًا وأكثر ملاءمة للحسابات. يتم تحقيق ذلك من خلال التحولات الأولية - بحيث لا يغير تنفيذها الإجابة النهائية بأي شكل من الأشكال. تجدر الإشارة إلى أن بعض التحويلات الأولية المذكورة أعلاه صالحة فقط للمصفوفات ، والتي كان مصدرها هو SLAE بالتحديد. فيما يلي قائمة بهذه التحولات:

تبديل السلسلة. من الواضح أننا إذا قمنا بتغيير ترتيب المعادلات في سجل النظام ، فلن يؤثر ذلك على الحل بأي شكل من الأشكال. وبالتالي ، من الممكن أيضًا تبادل الصفوف في مصفوفة هذا النظام ، دون أن ننسى بالطبع عمود الأعضاء الأحرار.
ضرب كل عناصر السلسلة ببعض العوامل. مفيد جدا! يمكن استخدامه للتقصير أعداد كبيرةفي المصفوفة أو إزالة الأصفار. مجموعة الحلول ، كالعادة ، لن تتغير ، وستصبح أكثر ملاءمة لإجراء المزيد من العمليات. الشيء الرئيسي هو أن المعامل لا يساوي الصفر.
احذف الصفوف ذات المعاملات المتناسبة. هذا يتبع جزئيا من الفقرة السابقة. إذا كان لصفين أو أكثر في المصفوفة معاملات متناسبة ، فعند ضرب / قسمة أحد الصفوف على معامل التناسب ، يتم الحصول على صفين (أو أكثر) متطابقين تمامًا ، ويمكنك إزالة الصفوف الإضافية ، مع ترك الصفوف فقط واحد.
إزالة السطر الفارغ. إذا تم الحصول على سلسلة أثناء عمليات التحويل في مكان ما تكون فيه جميع العناصر ، بما في ذلك العضو الحر ، صفرًا ، فيمكن عندئذٍ تسمية هذه السلسلة بالصفر وإلقاءها خارج المصفوفة.
إضافة عناصر صف آخر (في الأعمدة المقابلة) إلى عناصر صف واحد ، مضروبة في معامل معين. التحول الأكثر غموضًا والأكثر أهمية على الإطلاق. يجدر الخوض فيها بمزيد من التفصيل.

إضافة سلسلة مضروبة في عامل

لسهولة الفهم ، يجدر تفكيك هذه العملية خطوة بخطوة. يتم أخذ صفين من المصفوفة:

أ 11 أ 12 ... أ 1 ن | ب 1

أ 21 أ 22 ... أ 2 ن | ب 2

افترض أنك بحاجة إلى إضافة الأول إلى الثاني ، مضروبًا في المعامل "-2".

أ "21 \ u003d أ 21 + -2 × أ 11

أ "22 \ u003d أ 22 + -2 × أ 12

أ "2n \ u003d a 2n + -2 × a 1n

ثم في المصفوفة يتم استبدال الصف الثاني بواحد جديد ، ويبقى الصف الأول دون تغيير.

أ 11 أ 12 ... أ 1 ن | ب 1

أ "21 أ" 22 ... أ "2 ن | ب 2

وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن اختيار عامل الضرب بطريقة تجعل أحد عناصر السلسلة الجديدة يساوي صفرًا نتيجة إضافة سلسلتين. لذلك ، من الممكن الحصول على معادلة في النظام ، حيث ستكون هناك معادلة غير معروفة. وإذا حصلت على معادلتين من هذا القبيل ، فيمكن إجراء العملية مرة أخرى والحصول على معادلة تحتوي بالفعل على مجهولين أقل. وإذا كنا ننتقل في كل مرة إلى صفر معامل واحد لجميع الصفوف الأقل من المعامل الأصلي ، فيمكننا ، مثل الخطوات ، النزول إلى أسفل المصفوفة والحصول على معادلة ذات قيمة واحدة غير معروفة. وهذا ما يسمى بحل النظام باستخدام طريقة جاوس.

على العموم

يجب ألا يكون هناك نظام. لها معادلات م ون جذور غير معروفة. يمكنك كتابتها على النحو التالي:

يتم تجميع المصفوفة الرئيسية من معاملات النظام. يضاف عمود من الأعضاء الأحرار إلى المصفوفة الممتدة ويفصل بينهم شريط للراحة.

يتم ضرب الصف الأول من المصفوفة بالمعامل k = (-a 21 / a 11) ؛
يضاف الصف الأول المعدل والصف الثاني من المصفوفة ؛
بدلاً من الصف الثاني ، يتم إدراج نتيجة الإضافة من الفقرة السابقة في المصفوفة ؛
الآن المعامل الأول في ثانية جديدةالخط هو 11 × (-a 21 / أ 11) + 21 = -a 21 + أ 21 = 0.

الآن يتم إجراء نفس سلسلة التحويلات ، يتم تضمين الصفين الأول والثالث فقط. وفقًا لذلك ، في كل خطوة من الخوارزمية ، يتم استبدال العنصر a 21 بـ 31. ثم يتكرر كل شيء لـ 41 ، ... a m1. والنتيجة هي مصفوفة حيث العنصر الأول في الصفوف يساوي صفرًا. نحتاج الآن إلى نسيان السطر الأول وتنفيذ نفس الخوارزمية بدءًا من السطر الثاني:

المعامل k \ u003d (-a 32 / a 22) ؛
يضاف السطر الثاني المعدل إلى السطر "الحالي" ؛
يتم استبدال نتيجة الإضافة في الأسطر الثالث والرابع وهكذا ، بينما يظل الأول والثاني بدون تغيير ؛
في صفوف المصفوفة ، أول عنصرين يساوي الصفر بالفعل.

يجب تكرار الخوارزمية حتى يظهر المعامل k = (-a m، m-1 / a mm). هذا يعني أن الخوارزمية تم تشغيلها مؤخرًا للمعادلة السفلية فقط. تبدو المصفوفة الآن كمثلث ، أو لها شكل متدرج. يحتوي الخلاصة على المساواة أ م ن × س ن = ب م. المعامل والمصطلح الحر معروفان ، ويتم التعبير عن الجذر من خلالهما: x n = b m / a mn. يتم استبدال الجذر الناتج في الصف العلوي لإيجاد x n-1 = (b m-1 - a m-1، n × (b m / a mn)) ÷ a m-1، n-1. وهكذا عن طريق القياس: يحتوي كل سطر تالٍ جذر جديد، وبعد الوصول إلى "قمة" النظام ، يمكن للمرء أن يجد العديد من الحلول. سيكون الوحيد.

عندما لا توجد حلول

إذا كان في واحد من صفوف المصفوفةجميع العناصر ، باستثناء المصطلح المجاني ، تساوي صفرًا ، ثم تبدو المعادلة المقابلة لهذا الخط 0 = ب. ليس لها حل. وبما أن مثل هذه المعادلة مدرجة في النظام ، فإن مجموعة حلول النظام بأكمله فارغة ، أي أنها متدهورة.

عندما يكون هناك عدد لا حصر له من الحلول

قد يتحول ذلك في المعطى مصفوفة مثلثةلا توجد صفوف بمعامل عنصر واحد للمعادلة ، وواحد - عضو حر. لا يوجد سوى السلاسل التي ، عند إعادة كتابتها ، ستبدو كمعادلة ذات متغيرين أو أكثر. هذا يعني أن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول. في هذه الحالة ، يمكن إعطاء الإجابة في شكل حل عام. كيف افعلها؟

جميع المتغيرات في المصفوفة مقسمة إلى أساسية ومجانية. الأساسيات هي تلك التي تقف "على حافة" الخطوط في صعدت المصفوفة. الباقي أحرار. في الحل العام ، تتم كتابة المتغيرات الأساسية من حيث المتغيرات المجانية.

للراحة ، تتم إعادة كتابة المصفوفة أولاً في نظام المعادلات. ثم في الأخير ، حيث بقي متغير أساسي واحد فقط ، يبقى في جانب ، وكل شيء آخر ينتقل إلى الآخر. يتم ذلك لكل معادلة بمتغير أساسي واحد. ثم ، في بقية المعادلات ، حيثما أمكن ، بدلاً من المتغير الأساسي ، يتم استبدال التعبير الذي تم الحصول عليه من أجله. نتيجة لذلك ، إذا ظهر تعبير مرة أخرى يحتوي على متغير أساسي واحد فقط ، فسيتم التعبير عنه مرة أخرى من هناك ، وهكذا ، حتى تتم كتابة كل متغير أساسي كتعبير يحتوي على متغيرات حرة. هذا ما هو عليه قرار مشترك SLAU.

يمكنك أيضًا العثور على الحل الأساسي للنظام - أعط المتغيرات المجانية أي قيم ، ثم في هذه الحالة بالذات ، احسب قيم المتغيرات الأساسية. هناك عدد لا نهائي من الحلول الخاصة.

حل بأمثلة محددة

هنا نظام المعادلات.

للراحة ، من الأفضل إنشاء مصفوفة على الفور

من المعروف أنه عند الحل بطريقة Gauss ، فإن المعادلة المقابلة للصف الأول ستبقى دون تغيير في نهاية التحويلات. لذلك ، سيكون الأمر أكثر ربحية إذا كان العنصر الأيسر العلوي للمصفوفة هو الأصغر - ثم ستتحول العناصر الأولى من الصفوف المتبقية بعد العمليات إلى الصفر. هذا يعني أنه في المصفوفة المترجمة سيكون من المفيد وضع الصف الثاني مكان الصف الأول.

السطر الثاني: ك = (-a 21 / أ 11) = (-3/1) = -3

أ "21 \ u003d أ 21 + ك × أ 11 \ u003d 3 + (-3) × 1 \ u003d 0

أ "22 \ u003d أ 22 + ك × أ 12 \ u003d -1 + (-3) × 2 \ u003d -7

أ "23 = أ 23 + ك × أ 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

ب "2 \ u003d ب 2 + ك × ب 1 \ u003d 12 + (-3) × 12 \ u003d -24

السطر الثالث: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

أ "3 1 = أ 3 1 + ك × أ 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

أ "3 2 = أ 3 2 + ك × أ 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

أ "3 3 = أ 33 + ك × أ 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

ب "3 \ u003d ب 3 + ك × ب 1 \ u003d 3 + (-5) × 12 \ u003d -57

الآن ، من أجل عدم الخلط ، من الضروري كتابة المصفوفة باستخدام نتائج متوسطةالتحولات.

من الواضح أن مثل هذه المصفوفة يمكن جعلها أكثر ملاءمة للإدراك بمساعدة بعض العمليات. على سبيل المثال ، يمكنك إزالة جميع "السلبيات" من السطر الثاني بضرب كل عنصر في "-1".

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن جميع العناصر في الصف الثالث عبارة عن مضاعفات للعدد ثلاثة. ثم يمكنك تقصير السلسلة بهذا الرقم ، وضرب كل عنصر في "-1/3" (ناقص - في نفس الوقت ، لإزالة القيم السالبة).

تبدو أجمل بكثير. علينا الآن ترك السطر الأول بمفرده والعمل مع السطر الثاني والثالث. تتمثل المهمة في إضافة الصف الثاني إلى الصف الثالث ، مضروبًا في هذا العامل بحيث يصبح العنصر a 32 مساويًا للصفر.

ك = (-a 32 / أ 22) = (-3/7) = -3/7 جزء مشترك، وعندها فقط ، عندما يتم تلقي الإجابات ، قرر ما إذا كان سيتم التقريب والترجمة إلى شكل آخر من أشكال التسجيل)

أ "32 = أ 32 + ك × أ 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

أ "33 \ u003d أ 33 + ك × أ 23 \ u003d 6 + (-3/7) × 11 \ u003d -9/7

ب "3 \ u003d ب 3 + ك × ب 2 \ u003d 19 + (-3/7) × 24 \ u003d -61/7

تمت كتابة المصفوفة مرة أخرى بقيم جديدة.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

كما ترى ، فإن المصفوفة الناتجة لها بالفعل شكل متدرج. لذلك ، لا يلزم إجراء مزيد من التحولات للنظام بطريقة Gauss. ما يمكن عمله هنا هو الإزالة من السطر الثالث المعامل العام "-1/7".

الآن كل شيء جميل. النقطة صغيرة - اكتب المصفوفة مرة أخرى في شكل نظام معادلات واحسب الجذور

س + 2 ص + 4 ع = 12 (1)

7 س + 11 ع = 24 (2)

تسمى الخوارزمية التي سيتم من خلالها العثور على الجذور الآن بالحركة العكسية في طريقة غاوس. تحتوي المعادلة (3) على قيمة z:

ص = (24-11 × (61/9)) / 7 = -65/9

وتتيح لك المعادلة الأولى إيجاد x:

x = (12-4z - 2y) / 1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

لدينا الحق في تسمية مثل هذا النظام مشتركًا ، وحتى مؤكدًا ، أي وجود حل فريد. الرد مكتوب بالصيغة التالية:

× 1 \ u003d -2/3 ، ص \ u003d -65/9 ، ض \ u003d 61/9.

مثال على نظام غير محدد

المحلول نظام معينتم تحليله من خلال طريقة Gaussian ، والآن من الضروري النظر في الحالة إذا كان النظام غير محدد ، أي أنه يمكن العثور على العديد من الحلول بشكل لا نهائي له.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3 س 1 + 2 س 2 + س 3 + س 4 - 3 س 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5 س 1 + 4 س 2 + 3 س 3 + 3 س 4 - س 5 = 12 (4)

إن مظهر النظام نفسه ينذر بالخطر بالفعل ، لأن عدد المجهول هو n = 5 ، ورتبة مصفوفة النظام أقل بالفعل من هذا الرقم ، لأن عدد الصفوف م = 4 ، أي أعظم ترتيبالمحدد المربع - 4. ومن ثم ، توجد حلول مجموعة لانهائية، ومن الضروري البحث عن شكله العام. تتيح طريقة غاوس للمعادلات الخطية القيام بذلك.

أولاً ، كالمعتاد ، يتم تجميع المصفوفة المعززة.

السطر الثاني: المعامل k = (-a 21 / a 11) = -3. في السطر الثالث ، يكون العنصر الأول قبل التحولات ، لذلك لا تحتاج إلى لمس أي شيء ، عليك تركه كما هو. السطر الرابع: k = (-a 4 1 / a 11) = -5

بضرب عناصر الصف الأول في كل من معاملاتها على التوالي وإضافتها إلى الصفوف المرغوبة ، نحصل على المصفوفة النوع التالي:

كما ترى ، الصفوف الثاني والثالث والرابع تتكون من عناصر متناسبة مع بعضها البعض. عموماً الثاني والرابع متماثلان ، لذا يمكن إزالة أحدهما على الفور ، والباقي مضروب في المعامل "-1" والحصول على السطر رقم 3. ومرة أخرى ، اترك أحد سطرين متطابقين.

اتضح مثل هذه المصفوفة. لم يتم تدوين النظام بعد ، من الضروري هنا تحديد المتغيرات الأساسية - الوقوف عند المعاملين 11 \ u003d 1 و 22 \ u003d 1 ، ومجاني - كل الباقي.

المعادلة الثانية لها متغير أساسي واحد فقط - x 2. وبالتالي ، يمكن التعبير عنها من هناك ، الكتابة من خلال المتغيرات x 3 ، x 4 ، x 5 ، وهي مجانية.

نعوض بالتعبير الناتج في المعادلة الأولى.

لقد تم التوصل إلى معادلة يكون فيها المتغير الأساسي الوحيد هو x 1. لنفعل نفس الشيء مع x 2.

يتم التعبير عن جميع المتغيرات الأساسية ، التي يوجد منها متغيران ، في شكل ثلاثة متغيرات مجانية ، والآن يمكنك كتابة الإجابة بشكل عام.

يمكنك أيضًا تحديد أحد الحلول الخاصة للنظام. في مثل هذه الحالات ، كقاعدة عامة ، يتم اختيار الأصفار كقيم للمتغيرات الحرة. ثم تكون الإجابة:

16, 23, 0, 0, 0.

مثال على نظام غير متوافق

حل أنظمة المعادلات غير المتسقة بطريقة غاوس هو الأسرع. تنتهي بمجرد الحصول على معادلة ليس لها حل في إحدى المراحل. أي أن المرحلة مع حساب الجذور ، وهي طويلة جدًا وكئيبة ، تختفي. يعتبر النظام التالي:

س + ص - ض = 0 (1)

2 س - ص - ض = -2 (2)

4 س + ص - 3 ع = 5 (3)

كالعادة ، يتم تجميع المصفوفة:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

ويتم تقليله إلى شكل متدرج:

ك 1 \ u003d -2 ك 2 \ u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

بعد التحويل الأول ، يحتوي السطر الثالث على معادلة النموذج

ليس لديها حل. لذلك ، فإن النظام غير متسق ، والإجابة هي المجموعة الفارغة.

مزايا وعيوب الطريقة

إذا اخترت أي طريقة لحل SLAE على الورق باستخدام قلم ، فإن الطريقة التي تم أخذها في الاعتبار في هذه المقالة تبدو الأكثر جاذبية. في التحولات الأولية ، يكون الخلط أكثر صعوبة مما يحدث إذا كان عليك البحث يدويًا عن المحدد أو بعض المصفوفة المعكوسة الصعبة. ومع ذلك ، إذا كنت تستخدم برامج للعمل مع بيانات من هذا النوع ، على سبيل المثال ، جداول البيانات، اتضح أن مثل هذه البرامج تحتوي بالفعل على خوارزميات لحساب المعلمات الرئيسية للمصفوفات - المحدد ، والقاصر ، والعكس ، وما إلى ذلك. وإذا كنت متأكدًا من أن الجهاز سيحسب هذه القيم بنفسه ولن يخطئ ، فمن الأفضل استخدام طريقة المصفوفة أو معادلات كرامر ، لأن تطبيقها يبدأ وينتهي بحساب المحددات و المصفوفات المعكوسة.

طلب

نظرًا لأن حل Gaussian عبارة عن خوارزمية ، والمصفوفة هي في الواقع مصفوفة ثنائية الأبعاد ، فيمكن استخدامها في البرمجة. ولكن نظرًا لأن المقالة تضع نفسها كدليل "للدمى" ، ينبغي القول إن أسهل مكان لوضع الطريقة فيه هو جداول البيانات ، على سبيل المثال ، Excel. مرة أخرى ، سيتم اعتبار أي SLAE تم إدخاله في جدول في شكل مصفوفة بواسطة Excel كمصفوفة ثنائية الأبعاد. وللعمليات معهم ، هناك العديد من الأوامر الجيدة: الإضافة (يمكنك فقط إضافة مصفوفات من نفس الحجم!) ، الضرب برقم ، ضرب المصفوفة (أيضًا مع قيود معينة) ، إيجاد المصفوفات المعكوسة والمحوّلة ، والأهم من ذلك ، حساب المحدد. إذا تم استبدال هذه المهمة التي تستغرق وقتًا طويلاً بأمر واحد ، فسيكون من الأسرع بكثير تحديد رتبة المصفوفة ، وبالتالي إثبات توافقها أو عدم تناسقها.

منذ بداية القرنين السادس عشر والثامن عشر ، بدأ علماء الرياضيات في دراسة الوظائف بشكل مكثف ، والتي بفضلها تغير الكثير في حياتنا. تكنولوجيا الكمبيوتربدون هذه المعرفة ببساطة لن تكون موجودة. عن الحلول المهام الصعبة، تم إنشاء المعادلات والدوال الخطية مفاهيم مختلفة، نظريات وطرق الحل. إحدى هذه الأساليب والتقنيات العالمية والعقلانية لحل المعادلات الخطية وأنظمتها كانت طريقة غاوس. المصفوفات ورتبتها ومحدداتها - يمكن حساب كل شيء دون استخدام عمليات معقدة.

ما هو SLAU

في الرياضيات ، هناك مفهوم SLAE - نظام المعادلات الجبرية الخطية. ماذا تمثل؟ هذه مجموعة من معادلات m مع n مجهولة مطلوبة ، وعادة ما يشار إليها بالرموز x أو y أو z أو x 1 أو x 2 ... x n أو غيرها من الرموز. حل بطريقة جاوس هذا النظام- يعني العثور على جميع المجهول المطلوب. إذا كان النظام يحتوي على نفس العددالمجهول والمعادلات ، ثم يطلق عليه نظام الترتيب رقم n.

أكثر الطرق شيوعًا لحل SLAE

في المؤسسات التعليميةيدرس التعليم الثانوي تقنيات مختلفة لحل مثل هذه الأنظمة. في أغلب الأحيان هذا معادلات بسيطة، تتكون من مجهولين ، لذلك أي الطريقة الحاليةلن يستغرق الأمر وقتًا طويلاً للعثور على إجابات لهم. يمكن أن تكون مثل طريقة الاستبدال ، عندما يتم اشتقاق معادلة أخرى من معادلة واحدة واستبدالها بالمعادلة الأصلية. أو مصطلح عن طريق الطرح والجمع. لكن طريقة غاوس تعتبر الأسهل والأكثر عالمية. يجعل من الممكن حل المعادلات بأي عدد من المجاهيل. لماذا تعتبر هذه التقنية عقلانية؟ كل شيء بسيط. طريقة المصفوفةالشيء الجيد هنا أنه ليس مطلوبًا إعادة كتابة الأحرف غير الضرورية عدة مرات في شكل مجاهيل ، يكفي إجراء عمليات حسابية على المعاملات - وستحصل على نتيجة موثوقة.

أين يتم استخدام SLAEs في الممارسة؟

حل SLAE هو نقاط تقاطع الخطوط على الرسوم البيانية للوظائف. في عصر الكمبيوتر عالي التقنية ، يحتاج الأشخاص الذين يشاركون عن كثب في تطوير الألعاب والبرامج الأخرى إلى معرفة كيفية حل هذه الأنظمة وما تمثله وكيفية التحقق من صحة النتيجة الناتجة. في أغلب الأحيان ، يطور المبرمجون حاسبات جبر خطية خاصة ، وهذا يشمل نظام المعادلات الخطية. تتيح لك طريقة Gauss حساب جميع الحلول الموجودة. كما يتم استخدام صيغ وتقنيات مبسطة أخرى.

معيار توافق SLAE

لا يمكن حل مثل هذا النظام إلا إذا كان متوافقًا. من أجل الوضوح ، نقدم SLAE بالشكل Ax = b. لها حل إذا كان المدى (أ) يساوي رن (أ ، ب). في هذه الحالة ، (أ ، ب) عبارة عن مصفوفة ممتدة يمكن الحصول عليها من المصفوفة أ بإعادة كتابتها بشروط مجانية. اتضح أن حل المعادلات الخطية باستخدام طريقة Gaussian سهل للغاية.

ربما تكون بعض الرموز غير واضحة تمامًا ، لذلك من الضروري النظر في كل شيء بمثال. لنفترض أن هناك نظامًا: x + y = 1 ؛ 2 س -3 ص = 6. يتكون من معادلتين فقط حيث يوجد 2 مجهولين. سيكون للنظام حل فقط إذا كانت رتبة المصفوفة الخاصة به مساوية لرتبة المصفوفة المعززة. ما هي الرتبة؟ هذا هو عدد الخطوط المستقلة للنظام. في حالتنا ، رتبة المصفوفة هي 2. ستتألف المصفوفة A من المعاملات الواقعة بالقرب من المجهول ، والمعاملات خلف علامة "=" سوف تتناسب أيضًا مع المصفوفة الموسعة.

لماذا يمكن تمثيل SLAE في شكل مصفوفة

استنادًا إلى معيار التوافق وفقًا لنظرية Kronecker-Capelli التي أثبتت جدواها ، يمكن تمثيل نظام المعادلات الجبرية الخطية في شكل مصفوفة. باستخدام طريقة Gaussian cascade ، يمكنك حل المصفوفة والحصول على الإجابة الوحيدة الموثوقة للنظام بأكمله. إذا كانت رتبة المصفوفة العادية تساوي مرتبة المصفوفة الممتدة ، ولكن أقل من عدد المجهول ، فإن النظام لديه عدد لا حصر له من الإجابات.

تحولات المصفوفة

قبل الانتقال إلى حل المصفوفات ، من الضروري معرفة الإجراءات التي يمكن تنفيذها على عناصرها. هناك عدة تحولات أولية:

إعادة كتابة النظام إلى عرض المصفوفةوتحقيق الحل ، من الممكن ضرب جميع عناصر السلسلة بنفس المعامل.
لتحويل مصفوفة إلى شكل متعارف عليه ، يمكن تبديل صفين متوازيين. يشير الشكل الأساسي إلى أن جميع عناصر المصفوفة الموجودة على طول القطر الرئيسي تصبح عناصر ، بينما تصبح العناصر المتبقية أصفارًا.
يمكن إضافة العناصر المقابلة للصفوف المتوازية للمصفوفة الواحدة إلى الأخرى.

طريقة جوردان جاوس

جوهر حل الأنظمة الخطية المتجانسة و معادلات غير متجانسةالطريقة الغاوسية هي القضاء على المجهول تدريجياً. لنفترض أن لدينا نظامًا من معادلتين فيهما مجهولان. للعثور عليهم ، تحتاج إلى التحقق من توافق النظام. تم حل المعادلة الغاوسية بكل بساطة. من الضروري كتابة المعاملات الموجودة بالقرب من كل مجهول في شكل مصفوفة. لحل النظام ، تحتاج إلى كتابة المصفوفة المعززة. إذا كانت إحدى المعادلات تحتوي على عدد أقل من المجاهيل ، فيجب وضع "0" بدلاً من العنصر المفقود. يتم تطبيق جميع طرق التحويل المعروفة على المصفوفة: الضرب ، والقسمة برقم ، وإضافة العناصر المقابلة من الصفوف إلى بعضها البعض ، وغيرها. اتضح أنه في كل صف من الضروري ترك متغير واحد بالقيمة "1" ، والباقي يؤدي إلى لا عقل. لفهم أكثر دقة ، من الضروري النظر في طريقة غاوس مع الأمثلة.

مثال بسيط لحل نظام 2x2

بادئ ذي بدء ، لنأخذ نظامًا بسيطًا من المعادلات الجبرية ، حيث سيكون هناك مجهولين.

دعنا نعيد كتابتها في مصفوفة مكثفة.

لحل نظام المعادلات الخطية هذا ، يلزم إجراء عمليتين فقط. علينا إحضار المصفوفة إلى الصورة المتعارف عليها بحيث توجد وحدات على طول القطر الرئيسي. لذلك ، بالترجمة من نموذج المصفوفة إلى النظام ، نحصل على المعادلات: 1x + 0y = b1 و 0 x + 1y = b2 ، حيث b1 و b2 هي الإجابات التي تم الحصول عليها في عملية الحل.

ستكون الخطوة الأولى في حل المصفوفة المعززة كما يلي: يجب ضرب الصف الأول في -7 وإضافة العناصر المقابلة إلى الصف الثاني ، على التوالي ، من أجل التخلص من واحد غير معروف في المعادلة الثانية.
نظرًا لأن حل المعادلات بطريقة Gauss يعني ضمناً إحضار المصفوفة إلى الشكل المتعارف عليه ، فمن الضروري إجراء نفس العمليات مع المعادلة الأولى وإزالة المتغير الثاني. للقيام بذلك ، نطرح السطر الثاني من الأول ونحصل على الإجابة اللازمة - حل SLAE. أو ، كما هو موضح في الشكل ، نضرب الصف الثاني في عامل -1 ونضيف عناصر الصف الثاني إلى الصف الأول. نفس الشئ.

كما ترى ، تم حل نظامنا بطريقة جوردان جاوس. نعيد كتابته بالصيغة المطلوبة: x = -5 ، y = 7.

مثال على حل SLAE 3x3

افترض أن لدينا نظام معادلات خطية أكثر تعقيدًا. تجعل طريقة غاوس من الممكن حساب الإجابة حتى بالنسبة لأكثر الأنظمة التي تبدو مربكة. لذلك ، للتعمق في منهجية الحساب ، يمكنك الانتقال إلى المزيد مثال معقدمع ثلاثة مجاهيل.

كما في المثال السابق ، نعيد كتابة النظام في شكل مصفوفة موسعة ونبدأ في نقله إلى الشكل المتعارف عليه.

لحل هذا النظام ، ستحتاج إلى تنفيذ إجراءات أكثر بكثير مما في المثال السابق.

تحتاج أولاً إلى إنشاء عنصر واحد في العمود الأول والباقي من الأصفار. للقيام بذلك ، اضرب المعادلة الأولى في -1 وأضف المعادلة الثانية إليها. من المهم أن نتذكر أننا نعيد كتابة السطر الأول في شكله الأصلي ، والثاني - بالفعل في شكل معدل.
بعد ذلك ، نزيل نفس المجهول الأول من المعادلة الثالثة. للقيام بذلك ، نضرب عناصر الصف الأول في -2 ونضيفها إلى الصف الثالث. الآن يتم إعادة كتابة السطر الأول والثاني في شكلهما الأصلي ، والثالث - مع التغييرات بالفعل. كما ترى من النتيجة ، حصلنا على أول واحد في بداية القطر الرئيسي للمصفوفة والباقي أصفار. عدد قليل من الإجراءات ، وسيتم حل نظام المعادلات بطريقة غاوس بشكل موثوق.
أنت الآن بحاجة إلى إجراء عمليات على عناصر أخرى من الصفوف. يمكن دمج الخطوتين الثالثة والرابعة في خطوة واحدة. علينا قسمة الخطين الثاني والثالث على -1 للتخلص من السالب الموجودة على القطر. لقد قمنا بالفعل بإحضار السطر الثالث إلى النموذج المطلوب.
بعد ذلك ، يمكننا جعل السطر الثاني عنوانًا أساسيًا. للقيام بذلك ، نضرب عناصر الصف الثالث في -3 ونضيفها إلى السطر الثاني من المصفوفة. يمكن أن نرى من النتيجة أن السطر الثاني يتم أيضًا تقليله إلى الشكل الذي نحتاجه. يبقى القيام ببعض العمليات الأخرى وإزالة معاملات المجهول من الصف الأول.
من أجل جعل 0 من العنصر الثاني في الصف ، تحتاج إلى ضرب الصف الثالث في -3 وإضافته إلى الصف الأول.
الخطوة الحاسمة التالية هي إضافة العناصر الضرورية للصف الثاني إلى الصف الأول. لذلك نحصل على الصيغة الأساسية للمصفوفة ، وبالتالي الإجابة.

كما ترى ، حل المعادلات بطريقة غاوس بسيط للغاية.

مثال على حل نظام المعادلات 4x4

اكثر أنظمة معقدةيمكن حل المعادلات بطريقة جاوس عن طريق برامج الحاسوب. من الضروري دفع معاملات المجهول إلى الخلايا الفارغة الموجودة ، وسيقوم البرنامج بحساب النتيجة المطلوبة خطوة بخطوة ، مع وصف كل إجراء بالتفصيل.

هو موضح أدناه تعليمات خطوة بخطوةحلول لهذا المثال.

في الخطوة الأولى ، يتم إدخال المعاملات والأرقام المجانية للمجهول في الخلايا الفارغة. وبالتالي ، نحصل على نفس المصفوفة المعززة التي نكتبها يدويًا.

ويتم إجراء جميع العمليات الحسابية اللازمة لإحضار المصفوفة الممتدة إلى الشكل المتعارف عليه. يجب أن يكون مفهوما أن الإجابة على نظام المعادلات ليست دائما أعداد صحيحة. في بعض الأحيان يمكن أن يكون الحل من الأعداد الكسرية.

التحقق من صحة الحل

توفر طريقة Jordan-Gauss للتحقق من صحة النتيجة. لمعرفة ما إذا كانت المعاملات قد تم حسابها بشكل صحيح ، ما عليك سوى استبدال النتيجة في نظام المعادلات الأصلي. الجانب الأيسرمن المعادلة يجب أن يتطابق مع الجانب الأيمن ، الذي يقع خلف علامة التساوي. إذا كانت الإجابات غير متطابقة ، فأنت بحاجة إلى إعادة حساب النظام أو محاولة تطبيق طريقة أخرى لحل SLAE المعروف لك ، مثل الاستبدال أو الطرح والإضافة مصطلحًا تلو الآخر. بعد كل شيء ، الرياضيات هي علم له كمية كبيرة تقنيات مختلفةحلول. لكن تذكر: يجب أن تكون النتيجة هي نفسها دائمًا ، بغض النظر عن طريقة الحل التي استخدمتها.

طريقة غاوس: الأخطاء الأكثر شيوعاً في حل SLAE

أثناء حل أنظمة المعادلات الخطية ، غالبًا ما تحدث أخطاء ، مثل النقل غير الصحيح للمعاملات إلى شكل مصفوفة. هناك أنظمة تفتقد فيها بعض المجهول في إحدى المعادلات ، ثم نقل البيانات إلى المصفوفة الموسعة ، يمكن أن تضيع. نتيجة لذلك ، عند حل هذا النظام ، قد لا تتوافق النتيجة مع النتيجة الحقيقية.

من الأخطاء الرئيسية الأخرى كتابة النتيجة النهائية بشكل غير صحيح. يجب أن يكون مفهوما بوضوح أن المعامل الأول سيتوافق مع المجهول الأول من النظام ، والثاني - إلى الثاني ، وما إلى ذلك.

تصف طريقة غاوس بالتفصيل حل المعادلات الخطية. بفضله ، من السهل إجراء العمليات اللازمة والعثور على النتيجة الصحيحة. بالإضافة إلى ذلك علاج عالميللبحث عن إجابة موثوقة للمعادلات مهما كانت درجة تعقيدها. ربما هذا هو السبب في أنها تستخدم في كثير من الأحيان في حل SLAE.

1. نظام المعادلات الجبرية الخطية

1.1 مفهوم نظام المعادلات الجبرية الخطية

نظام المعادلات هو شرط يتكون من التنفيذ المتزامن لعدة معادلات في عدة متغيرات. نظام المعادلات الجبرية الخطية (المشار إليها فيما يلي باسم SLAE) الذي يحتوي على معادلات m و n مجهول هو نظام من النموذج:

حيث تسمى الأرقام a ij معاملات النظام ، والأرقام b i هي أعضاء أحرار ، aijو ب ط(أنا = 1 ، ... ، م ؛ ب = 1 ، ... ، ن) بعضها أرقام معروفةو x 1 ، ... ، x n- مجهول. في تدوين المعاملات aijيشير الفهرس الأول i إلى رقم المعادلة ، ويشير المؤشر الثاني j إلى عدد المجهول الذي يقف عنده هذا المعامل. تخضع لإيجاد الرقم x n. من الملائم كتابة مثل هذا النظام في شكل مصفوفة مضغوطة: AX = ب.هنا A هي مصفوفة معاملات النظام ، تسمى المصفوفة الرئيسية ؛

هو متجه عمود غير معروف xj.
هو ناقل عمود للأعضاء الأحرار ثنائية.

يتم تعريف حاصل ضرب المصفوفات A * X ، نظرًا لوجود العديد من الأعمدة في المصفوفة A حيث توجد صفوف في المصفوفة X (قطع n).

المصفوفة الممتدة للنظام هي المصفوفة أ للنظام ، يكملها عمود من المصطلحات الحرة

1.2 حل نظام المعادلات الجبرية الخطية

حل نظام المعادلات عبارة عن مجموعة مرتبة من الأرقام (قيم المتغيرات) ، عند استبدالها بدلاً من المتغيرات ، تتحول كل معادلة من معادلات النظام إلى مساواة حقيقية.

حل النظام هو قيم n للمجهول x1 = c1 ، x2 = c2 ، ... ، xn = cn ، مع استبدال أي معادلات النظام تتحول إلى مساواة حقيقية. يمكن كتابة أي حل للنظام في صورة عمود مصفوفة

يسمى نظام المعادلات متسقًا إذا كان يحتوي على حل واحد على الأقل ، وغير متسق إذا لم يكن له حلول.

يسمى نظام المفصل محددًا إذا كان لديه حل فريد ، وغير محدد إذا كان يحتوي على أكثر من حل واحد. في الحالة الأخيرةكل حل من الحلول يسمى حل معين للنظام. تسمى مجموعة جميع الحلول المعينة الحل العام.

يعني حل النظام معرفة ما إذا كان متسقًا أو غير متسق. إذا كان النظام متوافقًا ، فابحث عن حله العام.

يُطلق على نظامين اسم مكافئ (مكافئ) إذا كان لهما نفس الحل العام. بمعنى آخر ، تكون الأنظمة متكافئة إذا كان كل حل لأحدها هو حل الآخر ، والعكس صحيح.

تحول ، تطبيقه يحول النظام إلى نظام جديد، أي ما يعادل الأصل ، يسمى تحويل مكافئ أو مكافئ. أمثلة التحولات المكافئةيمكن أن تخدم التحولات التالية: تبادل معادلتين من النظام ، وتبادل مجهولين مع معاملات جميع المعادلات ، وضرب كلا الجزأين من أي معادلة في النظام برقم غير صفري.

يسمى نظام المعادلات الخطية بالتجانس إذا كانت جميع المصطلحات الحرة تساوي صفرًا:

دائمًا ما يكون النظام المتجانس ثابتًا ، لأن x1 = x2 = x3 =… = xn = 0 هو حل للنظام. يسمى هذا الحل باطل أو تافه.

2. طريقة القضاء على Gaussian

2.1 جوهر طريقة القضاء على Gaussian

الطريقة الكلاسيكية لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية هي الطريقة الاستبعاد المتسلسلمجهول - طريقة جاوس(وتسمى أيضًا طريقة القضاء على Gaussian). هذه طريقة للتخلص من المتغيرات المتتالية ، عندما ، بمساعدة التحولات الأولية ، يتم تقليل نظام المعادلات إلى نظام مكافئشكل تدريجي (أو مثلث) ، يتم من خلاله العثور على جميع المتغيرات الأخرى بالتتابع ، بدءًا من المتغيرات الأخيرة (حسب الرقم).

تتكون عملية حل Gaussian من مرحلتين: التحركات للأمام والخلف.

1. التحرك المباشر.

في المرحلة الأولى ، يتم تنفيذ ما يسمى بالتحرك المباشر ، عندما يتم ، عن طريق التحولات الأولية عبر الصفوف ، إحضار النظام إلى شكل متدرج أو ثلاثي ، أو يثبت أن النظام غير متسق. على وجه التحديد ، من بين عناصر العمود الأول من المصفوفة ، يتم اختيار عنصر غير صفري ، ويتم نقله إلى الموضع العلوي عن طريق تبديل الصفوف ، ويتم طرح الصف الأول الذي تم الحصول عليه بعد التبديل من الصفوف المتبقية ، وضربه في قيمة مساوية لنسبة العنصر الأول في كل من هذه الصفوف إلى العنصر الأول من الصف الأول ، مع وضع الصفر على العمود الموجود أسفله.

بعد إجراء التحولات المشار إليها ، يتم شطب الصف الأول والعمود الأول ذهنيًا ويستمران حتى تبقى مصفوفة ذات حجم صفري. إذا لم يتم العثور على رقم غير صفري في بعض التكرارات بين عناصر العمود الأول ، فانتقل إلى العمود التالي وقم بإجراء عملية مماثلة.

في المرحلة الأولى (الجري إلى الأمام) ، يتم تقليل النظام إلى شكل متدرج (على وجه الخصوص ، مثلث).

النظام أدناه متدرج:

تُسمى المعاملات aii بالعناصر الرئيسية (الرائدة) للنظام.

(إذا كان a11 = 0 ، أعد ترتيب صفوف المصفوفة بحيث أ 11 لا تساوي 0. هذا ممكن دائمًا ، لأنه بخلاف ذلك تحتوي المصفوفة على عمود صفري ، فإن محددها يساوي صفرًا والنظام غير متسق).

نقوم بتحويل النظام عن طريق إزالة المجهول x1 في جميع المعادلات باستثناء المعادلة الأولى (باستخدام التحولات الأولية للنظام). للقيام بذلك ، اضرب طرفي المعادلة الأولى في

ونضيف مصطلحًا بمصطلح مع المعادلة الثانية للنظام (أو من المعادلة الثانية نطرح مصطلحًا بمصطلح مضروبًا في الأول). ثم نضرب كلا الجزأين من المعادلة الأولى في ونضيفهما إلى المعادلة الثالثة للنظام (أو نطرح الأول مضروبًا في الحد الثالث حسب الحد). وبالتالي ، نضرب الصف الأول في رقم ونضيفه على التوالي أناالسطر من أجل أنا = 2, 3, …,ن.

استمرارًا لهذه العملية ، نحصل على النظام المكافئ:

- القيم الجديدة لمعاملات المجهول والمصطلحات المجانية في معادلات m-1 الأخيرة للنظام ، والتي تحددها الصيغ:

وهكذا ، في الخطوة الأولى ، يتم تدمير جميع المعاملات تحت العنصر الرئيسي الأول أ 11

0 ، فإن الخطوة الثانية تدمر العناصر الموجودة تحت العنصر الرئيسي الثاني أ 22 (1) (إذا كان 22 (1) 0) ، وهكذا. لمواصلة هذه العملية أكثر ، سنقوم أخيرًا بتقليل النظام الأصلي إلى نظام ثلاثي في الخطوة (م -1).

إذا ، في عملية اختزال النظام إلى شكل تدريجي ، تظهر معادلات صفرية ، أي المساواة في الشكل 0 = 0 ، يتم تجاهلها. إذا كان هناك معادلة للشكل

يشير هذا إلى عدم توافق النظام.

هذا يكمل المسار المباشر لطريقة غاوس.

2. عكس الحركة.

في المرحلة الثانية ، يتم تنفيذ ما يسمى بالحركة العكسية ، وجوهرها هو التعبير عن جميع المتغيرات الأساسية الناتجة من حيث المتغيرات غير الأساسية والبناء النظام الأساسيالحلول ، أو إذا كانت جميع المتغيرات أساسية ، فقم بالتعبير عن الحل الوحيد لنظام المعادلات الخطية بصيغة رقمية.

يبدأ هذا الإجراء بالمعادلة الأخيرة ، والتي يتم من خلالها التعبير عن المتغير الأساسي المقابل (وهو واحد فقط فيه) واستبداله في المعادلات السابقة ، وهكذا دواليك ، صعودًا "الخطوات" إلى الأعلى.

يتوافق كل سطر مع متغير أساسي واحد بالضبط ، لذلك في كل خطوة ، باستثناء الأخير (الأعلى) ، يكرر الموقف تمامًا حالة السطر الأخير.

ملحوظة: من الناحية العملية ، من الأنسب العمل ليس مع النظام ، ولكن مع مصفوفته الممتدة ، وإجراء جميع التحويلات الأولية في صفوفه. من الملائم أن يكون المعامل a11 مساويًا لـ 1 (أعد ترتيب المعادلات أو اقسم طرفي المعادلة على a11).

2.2 أمثلة على حل SLAE بطريقة Gauss

في هذا القسمثلاثة أمثلة مختلفةدعونا نوضح كيف يمكن حل SLAE بطريقة Gauss.

مثال 1. حل SLAE من الترتيب الثالث.

اضبط المعاملات على صفر عند

في السطر الثاني والثالث. للقيام بذلك ، اضربهم في 2/3 و 1 على التوالي ، وأضفهم إلى السطر الأول:

دع نظام المعادلات الجبرية الخطية يُعطى ، والتي يجب حلها (ابحث عن قيم المجهول i التي تحول كل معادلة في النظام إلى مساواة).

نحن نعلم أن نظام المعادلات الجبرية الخطية يمكنه:

1) ليس لديك حلول (كن غير متوافق).
2) لديك عدد لا نهائي من الحلول.
3) هل لديك حل فريد.

كما نتذكر ، فإن قاعدة كرامر وطريقة المصفوفة غير مناسبة في الحالات التي يكون فيها النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول أو يكون غير متسق. طريقة جاوس – الأداة الأقوى والأكثر تنوعًا لإيجاد حلول لأي نظام من المعادلات الخطية، الذي في كل حالةيقودنا إلى الجواب! تعمل خوارزمية الطريقة في جميع الحالات الثلاث بنفس الطريقة. إذا كانت طرق كرامر والمصفوفة تتطلب معرفة المحددات ، فإن تطبيق طريقة غاوس يتطلب معرفة العمليات الحسابية فقط ، مما يجعلها في متناول طلاب المدارس الابتدائية.

1) مع تروكيالمصفوفات يستطيع إعادة الترتيبأماكن.

2) إذا كانت هناك (أو كانت) صفوفًا متناسبة (كحالة خاصة - متطابقة) في المصفوفة ، فإنها تتبع حذفمن المصفوفة ، كل هذه الصفوف ما عدا واحد.

3) إذا ظهر صف صفري في المصفوفة أثناء التحولات ، فإنه يتبع أيضًا حذف.

4) يمكن لصف المصفوفة ضرب (قسمة)إلى أي رقم بخلاف الصفر.

5) إلى صف المصفوفة ، يمكنك ذلك إضافة سلسلة أخرى مضروبة في رقم، يختلف عن الصفر.

في طريقة غاوس ، لا تغير التحويلات الأولية حل نظام المعادلات.

تتكون طريقة جاوس من مرحلتين:

"النقل المباشر" - باستخدام التحويلات الأولية ، أحضر المصفوفة الممتدة لنظام المعادلات الجبرية الخطية إلى شكل متدرج "ثلاثي": عناصر المصفوفة الممتدة الواقعة أسفل القطر الرئيسي تساوي الصفر (حركة من أعلى إلى أسفل ). على سبيل المثال ، لهذا النوع:

للقيام بذلك ، قم بتنفيذ الخطوات التالية:

3) ننتقل إلى المعادلة التالية وهكذا حتى يبقى مصطلح مجاني آخر غير معروف ومتحول.

"الحركة العكسية" لطريقة غاوس هي الحصول على حل لنظام المعادلات الجبرية الخطية (الحركة "من أسفل إلى أعلى"). من المعادلة "الدنيا" الأخيرة نحصل على حل أول واحد - المجهول x n. للقيام بذلك ، نحل المعادلة الأولية A * x n \ u003d B. في المثال أعلاه ، x 3 \ u003d 4. نستبدل القيمة الموجودة في المعادلة التالية "العليا" ونحلها فيما يتعلق بالمجهول التالي. على سبيل المثال ، × 2-4 \ u003d 1 ، أي x 2 \ u003d 5. وهكذا حتى نجد كل المجهول.

مثال.

نقوم بحل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة جاوس كما ينصح بعض المؤلفين:

نكتب المصفوفة الممتدة للنظام ، وباستخدام التحولات الأولية ، نحولها إلى شكل تدريجي:

ننظر إلى "الخطوة" اليسرى العليا. هناك يجب أن يكون لدينا وحدة. تكمن المشكلة في عدم وجود أي منها في العمود الأول على الإطلاق ، لذا لا يمكن حل أي شيء بإعادة ترتيب الصفوف. في مثل هذه الحالات ، يجب تنظيم الوحدة باستخدام تحويل أولي. يمكن القيام بذلك عادة بعدة طرق. لنفعلها هكذا:
خطوة واحدة . نضيف السطر الثاني إلى السطر الأول مضروبًا في -1. أي أننا ضربنا عقليًا السطر الثاني في -1 وأجرينا إضافة السطر الأول والثاني ، بينما لم يتغير السطر الثاني.

2 خطوة . أضيف السطر الأول مضروبًا في 5 إلى السطر الثاني ، وأضيف السطر الأول مضروبًا في 3 إلى السطر الثالث.

4 خطوة . أضف السطر الثاني مضروبًا في 2 إلى السطر الثالث.

5 خطوات . السطر الثالث مقسوم على 3.

× 3 = 1
س 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \ u003d 1 ، لذلك x 1 + 3-1 \ u003d 1 ، x 1 \ u003d -1

إجابه: × 1 \ u003d -1 ، × 2 \ u003d 3 ، × 3 \ u003d 1.

لنحل نفس النظام باستخدام الخوارزمية المقترحة. نحن نحصل

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

قسّم المعادلة الثانية على 5 والثالثة على 3. نحصل على:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

اضرب المعادلتين الثانية والثالثة في 4 ، نحصل على:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

اطرح المعادلة الأولى من المعادلتين الثانية والثالثة ، لدينا:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

قسّم المعادلة الثالثة على 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

اضرب المعادلة الثالثة في 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

اطرح المعادلة الثانية من المعادلة الثالثة ، نحصل على المصفوفة المعززة "المتدرجة":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

وبالتالي ، نظرًا لوجود خطأ متراكم في عملية الحسابات ، نحصل على x 3 \ u003d 0.96 ، أو ما يقرب من 1.

× 2 \ u003d 3 و × 1 \ u003d -1.

الحل بهذه الطريقة ، لن يتم الخلط بينك وبين الحسابات ، وعلى الرغم من أخطاء الحساب ، ستحصل على النتيجة.

هذه الطريقة في حل نظام المعادلات الجبرية الخطية قابلة للبرمجة بسهولة ولا تأخذ في الاعتبار السمات المحددة لمعاملات المجهول ، لأنه في الممارسة العملية (في الحسابات الاقتصادية والتقنية) يتعين على المرء التعامل مع معاملات غير صحيحة.

أتمنى لك النجاح! اراك في الفصل! المعلم ديمتري أستراخانوف.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.