طريقة التكرار البسيطة مع المعلمة المثلى. الطرق التكرارية لحل السلاجة

طريقة التكرار البسيطة ، وتسمى أيضًا الطريقة التقريب المتتالي، - هذا هو خوارزمية رياضيةإيجاد قيمة كمية غير معروفة عن طريق تنقيحها تدريجيًا. جوهر هذه الطريقة هو أنه ، كما يوحي الاسم ، يعبر تدريجياً عن تلك اللاحقة من التقريب الأولي ، ويحصلون على المزيد والمزيد من النتائج المكررة. تُستخدم هذه الطريقة لإيجاد قيمة المتغير في وظيفة معينةوكذلك في حل أنظمة المعادلات الخطية وغير الخطية.

ضع في اعتبارك كيف هذه الطريقةيتحقق عند حل SLAE. طريقة التكرار البسيطة لها الخوارزمية التالية:

1. التحقق من شرط التقارب في المصفوفة الأصلية. نظرية التقارب: إذا كانت المصفوفة الأصلية للنظام لها هيمنة قطرية (أي ، في كل صف ، يجب أن تكون عناصر القطر الرئيسي أكبر في المعامل من مجموع عناصر الأقطار الثانوية في المعامل) ، فإن الطريقة تكرارات بسيطة- متقارب.

2. لا تتمتع مصفوفة النظام الأصلي دائمًا بالهيمنة القطرية. في مثل هذه الحالات ، يمكن تعديل النظام. تُترك المعادلات التي تفي بشرط التقارب كما هي ، ومع المعادلات التي لا تُمارس ، فإنها تشكل تركيبات خطية ، أي اضرب ، اطرح ، أضف معادلات لبعضها البعض حتى يتم الحصول على النتيجة المرجوة.

إذا كانت هناك معاملات غير ملائمة على القطر الرئيسي في النظام الناتج ، تتم إضافة شروط النموذج c i * x i إلى كلا الجزأين من هذه المعادلة ، والتي يجب أن تتطابق علاماتها مع علامات العناصر القطرية.

3. تحويل النظام الناتج إلى الشكل العادي:

س - = β - + α * س -

يمكن القيام بذلك بعدة طرق ، على سبيل المثال ، على النحو التالي: من المعادلة الأولى ، عبر عن x 1 من حيث المجهول الأخرى ، من الثانية - x 2 ، من الثالث - x 3 ، إلخ. هنا نستخدم الصيغ:

α ij = - (a ij / a ii)

أنا = ب أنا / أ الثاني
يجب أن تتأكد مرة أخرى من أن النظام الناتج بالشكل العادي يفي بشرط التقارب:

∑ (ي = 1) | α ij | ≤ 1 ، بينما أنا = 1،2 ، ... ن

4. نبدأ في تطبيق طريقة التقريب المتتالية نفسها.

x (0) - التقريب الأولي ، نعبر عنه x (1) ، ثم من خلال x (1) نعبر عن x (2). الصيغة العامةأ شكل المصفوفةيبدو مثل هذا:

س (ن) = β - + α * x (ن -1)

نحسب حتى نصل إلى الدقة المطلوبة:

ماكس | x i (k) -x i (k + 1) ≤ ε

لذا ، لنلقِ نظرة على طريقة التكرار البسيطة عمليًا. مثال:
حل SLAE:

4.5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1 × 1 + 2.3 × 2-1.1 × 3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 بدقة ε = 10 -3

دعنا نرى ما إذا كانت العناصر القطرية تسود modulo.

نرى أن المعادلة الثالثة فقط تفي بشرط التقارب. نقوم بتحويل المعادلتين الأولى والثانية ، نضيف الثانية إلى المعادلة الأولى:

7.6 × 1 + 0.6 × 2 + 2.4 × 3 = 3

اطرح الأول من الثالث:

2.7 × 1 + 4.2 × 2 + 1.2 × 3 = 2

لقد قمنا بتحويل النظام الأصلي إلى نظام مكافئ:

7.6 × 1 + 0.6 × 2 + 2.4 × 3 = 3
-2.7 × 1 + 4.2 × 2 + 1.2 × 3 = 2
1.8 × 1 + 2.5 × 2 + 4.7 × 3 = 4

الآن دعنا نعيد النظام إلى طبيعته:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

نتحقق من تقارب العملية التكرارية:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319 = 0.9149 1 ، أي تم استيفاء الشرط.

0,3947
التخمين الأولي x (0) = 0.4762
0,8511

باستبدال هذه القيم في معادلة النموذج العادي ، نحصل على القيم التالية:

0,08835
× (1) = 0.486793
0,446639

باستبدال القيم الجديدة ، نحصل على:

0,215243
س (2) = 0.405396
0,558336

نواصل العمليات الحسابية حتى نقترب من القيم التي تفي بالشرط المحدد.

س (7) = 0.441091

دعنا نتحقق من صحة النتائج التي تم الحصول عليها:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1 * 0.1880 + 2.3 * 0.441-1.1x * 0.544 = 0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

النتائج التي تم الحصول عليها عن طريق استبدال القيم الموجودة في المعادلات الأصلية تفي تمامًا بشروط المعادلة.

كما نرى ، فإن طريقة التكرار البسيطة تعطي الكثير نتائج دقيقةومع ذلك ، لحل هذه المعادلة ، كان علينا قضاء الكثير من الوقت وإجراء حسابات مرهقة.

انصح خطي المعادلات الجبرية

دعونا ننفق القليل التحولات المكافئة. نضرب كلا الجزأين من النظام في نفس العامل القياسي ، ثم نضيف متجهًا إلى الجزأين الأيمن والأيسر من النظام.يمكن الآن كتابة نظام المعادلات في شكل مناسب للتكرار:

(2.15)

الآن دعونا نبني سلسلة تقريبية لحل النظام. نختار متجهًا تعسفيًا - التقريب الأولي للحل. في أغلب الأحيان ، يُفترض ببساطة أنه متجه صفري. على الأرجح ، التقريب الأولي لا يفي بـ (2.15) ، وبالتالي ، النظام الأصلي. عند استبدالها بالمعادلة الأصلية ، يظهر تناقض. وحساب التناقض باستخدام (2.15) ، يمكننا تحسين التقريب للحل ، بافتراض أن

وفقًا للتقريب الأول ، يتم حساب التناقض مرة أخرى ، وتستمر العملية. في سياق التكرار ، نحصل على صيغة مكافئة للطريقة المسماة طريقة التكرار البسيطة، على النحو التالي. تم إيجاد الحل (2.15) على أنه نهاية المتسلسلة التقريبية ، التي ترتبط شروطها بعلاقة متكررة (وهي مكافئة لتلك الواردة أعلاه ، يتم استبعاد المتجه المتبقي من التدوين):

(2.16)

(أو أي ناقل تعسفي). إذا كان حد هذا التسلسل موجودًا ، فعندئذٍ يتحدث المرء عنه التقاربعملية تكرارية لحل SLAE.

هناك أشكال أخرى لكتابة طريقة التكرار ، مثل

بالنسبة إلى ، تتوافق الصيغة الأخيرة مع العملية التكرارية ذات المعلمة الواحدة التي تمت مناقشتها أعلاه طريقة التكرار البسيطة. من أجل ، - n - عملية تكرارية صريحة ، لـ ، - طريقة التكرار البسيطةبدون معلمة التكرار. في حالة متى ، طريقة تكراريةاتصل ضمني- للحساب التقريب التاليلحلها ، سيكون عليك حل نظام (أبسط من النظام الأصلي) من المعادلات الخطية.

نظرية ( شرط كافالتقارب طريقة التكرار البسيطة). تتقارب العملية التكرارية (2.16) مع حل SLAE بالمعدل المتوالية الهندسيةعند استيفاء الشرط:

دليل - إثبات.

اسمحوا ان يكون الحل الدقيق للنظام (2). بطرح من (2.16) - (2.15) نحصل على الخطأ أو نحصل عليه نحصل على معادلة تطور الخطأ سلسلة المتباينات صحيحة: أين

ويترتب على ذلك أنه عندما

من عدم المساواة يمكن للمرء الحصول على تقدير لعدد التكرارات المطلوبة لتحقيق الدقة ، أي لتلبية الشرط هذا التقدير له شكل

نظرية (معيار التقارب طريقة التكرار البسيطة (لا إثبات)). دع SLAE (2.15) لديها حل فريد. ثم من أجل تقارب العملية التكرارية (2.16) من الضروري والكافي أن كل ذلك القيم الذاتيةالمصفوفات قيمه مطلقهكانت أقل من واحد.

قارن في الكمية عمليات حسابيةمباشر و الطرق التكرارية. تتطلب طريقة Gaussian دون اختيار العنصر الأساسي

عمليات حسابية؛ طريقة التكرار البسيطة (2.16) ، حيث i هو عدد التقديرات المطلوبة لتحقيق الدقة المحددة. لذلك ، بالنسبة لي< n/3 метод итераций становится предпочтительнее. В مهام حقيقية، بالإضافة إلى ذلك ، في الأساس ، الطرق التكراريةيمكن جعلها أكثر كفاءة عن طريق تغيير معلمات التكرار. في بعض الحالات الطرق التكراريةتبين أنها أكثر استقرارًا فيما يتعلق بتراكم أخطاء التقريب من الخطوط المستقيمة.

طرق المحاضرة التكرارية لحل نظام المعادلات الخطية الجبرية.

حالة التقارب للعملية التكرارية ، طريقة جاكوبي ، طريقة سايدل

طريقة التكرار البسيطة

يعتبر نظام المعادلات الجبرية الخطية

لتطبيق الأساليب التكرارية ، يجب تقليل النظام إلى نموذج مكافئ

بعد ذلك ، يتم اختيار التقريب الأولي لحل نظام المعادلات ، ويتم إيجاد تسلسل تقريبي للجذر.

لكي تتقارب العملية التكرارية ، يكفي أن تتقارب الشرط
(قاعدة المصفوفة). يعتمد معيار الإنهاء للتكرارات على الطريقة التكرارية المطبقة.

طريقة جاكوبي .

إن أبسط طريقة لتحويل النظام إلى شكل مناسب للتكرار هي كما يلي:

من المعادلة الأولى للنظام نعبر عن المجهول x 1 ، من المعادلة الثانية للنظام نعبر عنها x 2 ، إلخ.

نتيجة لذلك ، نحصل على نظام معادلات بالمصفوفة B ، حيث تكون العناصر الصفرية على القطر الرئيسي ، ويتم حساب العناصر المتبقية بواسطة الصيغ:

يتم حساب مكونات المتجه d بالصيغ:

صيغة حساب طريقة التكرار البسيطة هي:

أو بالتدوين المنسق يبدو كالتالي:

معيار إنهاء التكرارات في طريقة جاكوبي له الشكل:

اذا كان
، ثم يمكن تطبيق معيار أبسط لإنهاء التكرارات

مثال 1حل نظام المعادلات الخطية بطريقة جاكوبي.

دع نظام المعادلات يعطى:

مطلوب إيجاد حل للنظام بدقة

نأتي بالنظام إلى شكل مناسب للتكرار:

نختار تقريبًا أوليًا ، على سبيل المثال ،

هو متجه الجانب الأيمن.

ثم يبدو التكرار الأول كما يلي:

يتم الحصول على التقديرات التالية للمحلول بالمثل.

أوجد قاعدة المصفوفة ب.

سوف نستخدم القاعدة

بما أن مجموع وحدات العناصر في كل صف هو 0.2 ، إذن
، لذا فإن معيار إنهاء التكرارات في هذه المشكلة هو

دعونا نحسب معايير الاختلافات في النواقل:

لان
يتم الوصول إلى الدقة المحددة عند التكرار الرابع.

إجابه: x 1 = 1.102, x 2 = 0.991, x 3 = 1.0 1 1

طريقة Seidel .

يمكن اعتبار الطريقة بمثابة تعديل لطريقة جاكوبي. الفكرة الرئيسية هي أنه عند حساب التالي (ن + 1)التقريب -th للمجهول x أنافي أنا> 1استخدام وجدت بالفعل (ن + 1) -تقترب من المجهول x 1 ,x 2 , ...,xأنا - 1 ، لا نالتقريب عشر ، كما في طريقة جاكوبي.

تبدو صيغة حساب الطريقة في تدوين الإحداثيات كما يلي:

يمكن أن تؤخذ شروط التقارب ومعيار الإنهاء للتكرارات كما في طريقة جاكوبي.

مثال 2حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة Seidel.

ضع في اعتبارك بالتوازي حل 3 أنظمة من المعادلات:

نأتي بالأنظمة إلى شكل مناسب للتكرار:

لاحظ أن شرط التقارب
نفذت فقط للنظام الأول. نحسب 3 تقديرات تقريبية للحل في كل حالة.

النظام الأول:

سيكون الحل الدقيق هو القيم: x 1 = 1.4, x 2 = 0.2 . تتقارب العملية التكرارية.

النظام الثاني:

يمكن ملاحظة أن العملية التكرارية تتباعد.

حل دقيق x 1 = 1, x 2 = 0.2 .

النظام الثالث:

يمكن ملاحظة أن العملية التكرارية تدور.

حل دقيق x 1 = 1, x 2 = 2 .

دع مصفوفة نظام المعادلات أ تكون متماثلة وموجبة محددة. ثم ، لأي اختيار للتقريب الأولي ، تتقارب طريقة Seidel. لا يتم فرض شروط إضافية على صغر قاعدة بعض المصفوفة هنا.

طريقة التكرار البسيطة.

إذا كانت A مصفوفة محددة متماثلة وإيجابية ، فغالبًا ما يتم تقليل نظام المعادلات إلى شكل مكافئ:

x=x-(أ x- ب) ، τ هي معلمة تكرارية.

صيغة حساب طريقة التكرار البسيطة في هذه الحالة هي:

x (ن + 1) =x ن- τ (أ x (ن) - ب).

ويتم اختيار المعلمة τ> 0 بحيث ، إذا أمكن ، الحد الأدنى للقيمة

دع λ min و λ max هما الحد الأدنى والحد الأقصى لقيم eigenvalues ​​للمصفوفة A. الخيار الأمثل هو المعلمة

في هذه الحالة
يقبل الحد الأدنى للقيمةيساوي:

مثال 3 حل أنظمة المعادلات الخطية بالتكرار البسيط. (في MathCAD)

دع نظام المعادلات Ax = b

لبناء عملية تكرارية تجد منطقتناأرقام المصفوفة أ:

- يستخدم وظيفة مضمنة للعثور على قيم eigenvalues.

احسب المعامل التكراري وتحقق من شرط التقارب

تم استيفاء شرط التقارب.

لنأخذ التقريب الأولي - المتجه x0 ، واضبط الدقة على 0.001 وابحث عن التقديرات الأولية باستخدام البرنامج أدناه:

حل دقيق

تعليق. إذا قام البرنامج بإرجاع مصفوفة rez ، فيمكنك عرض جميع التكرارات الموجودة.

1. لنعرف مقطعًا يحتوي على جذر واحد للمعادلة f (x) = 0. الوظيفة f هي دالة قابلة للتفاضل باستمرار في هذا المقطع (f (x) нC 1). إذا تم استيفاء هذه الشروط ، يمكن استخدام طريقة التكرار البسيطة.

2. بناءً على الوظيفة f (x) ، يتم إنشاء الدالة j (x) التي تفي بثلاثة شروط: يجب أن تكون قابلة للتفاضل باستمرار (j (x) нC 1) ، بحيث تكون المعادلة x = j (x) تعادل المعادلة f (x) = 0 ؛ يجب أيضا ترجمة المقطع في نفسك.

سنقول أن الدالة j ( x ) يترجم المقطع [أ , ب ] في نفسها إذا وجدت x Î [ أ , ب ], ذ = ي ( x ) ينتمي أيضا[ أ , ب ] (ذ Î [ أ , ب ]).

يُفرض الشرط الثالث على الوظيفة j (x):

صيغة الطريقة: x n +1 = ي (س).

3. عند استيفاء هذه الشروط الثلاثة ، لأي تقريب أولي x 0 - تسلسل التكرارات x n +1 = تتقارب j (x n) مع جذر المعادلة: x = j (x) على المقطع ().

كقاعدة عامة ، مثل x 0 تم تحديد إحدى الغايات.

,

حيث e هي الدقة المحددة

عدد x ن +1 بشرط إيقاف العملية التكرارية القيمة التقريبية لجذر المعادلة f (x) = 0 على المقطع ، تم العثور عليها بطريقة التكرار البسيط بدقةه .

قم ببناء خوارزمية لتنقية جذر المعادلة: x 3 + 5x - 1 = 0 على المقطع عن طريق التكرار البسيط بدقة e .

1. الوظيفة f (x) = × 3 + 5 × -1 قابل للتفاضل بشكل مستمر على جزء يحتوي على جذر معادلة واحد.

2. إن الصعوبة الأكبر في طريقة التكرار البسيطة هي بناء الوظيفة j (x) التي تفي بجميع الشروط:

انصح: .

المعادلة x = ي 1 (س) تكافئ المعادلة f (x) = 0 ، لكن الوظيفة j 1 (x) غير قابلة للاشتقاق باستمرار على الفترة.

أرز. 2.4 رسم بياني للوظيفة j 2 (x)

من ناحية أخرى ، لذلك ،. ومن ثم: هي دالة قابلة للتفاضل بشكل مستمر. لاحظ أن المعادلة: x = j 2 (x) تعادل المعادلة f (x) = 0 . من الرسم البياني (الشكل 2.4) يمكن ملاحظة أن الوظيفة j 2 (x) تترجم المقطع إلى نفسه.

يمكن إعادة صياغة الشرط الذي تقوم فيه الوظيفة j (x) بتحويل المقطع إلى نفسه على النحو التالي: لنكن مجال الوظيفة j (x) ، ويكون مجال j (x).

إذا كان المقطع ينتمي إلى المقطع ، فإن الوظيفة j (x) تأخذ المقطع إلى نفسه.

, .

تم استيفاء جميع شروط الوظيفة j (x).

صيغة العملية التكرارية: x n +1 = ي 2 (xn).

3. التقريب الأولي: x 0 = 0.

4. شرط إيقاف العملية التكرارية:

أرز. 2.5 المعنى الهندسيطريقة التكرار البسيطة

.

عند استيفاء هذا الشرط ، x n +1 - القيمة التقريبية للجذر على القطعة, تم العثور عليها عن طريق التكرار البسيط بدقة ه. على التين. 2.5 تم توضيح تطبيق طريقة التكرار البسيطة.

نظرية التقارب وتقدير الخطأ

دع المقطع يحتوي على جذر واحد للمعادلةس = ي (س) ، وظيفةي (x ) قابل للتفاضل بشكل مستمر على الفترة الزمنية , يترجم المقطع في نفسها والشرط:

.

ثم لأي تقريب أولي × 0 О اللاحقة يتقارب مع جذر المعادلة ذ = ي (x ) في الجزء وتقدير الخطأ:

.

استقرار طريقة التكرار البسيطة. في ظل ظروف نظرية التقارب ، تكون خوارزمية طريقة التكرار البسيطة مستقرة.

تعقيد طريقة التكرار البسيطة. حجم ذاكرة الكمبيوتر المطلوبة لتنفيذ طريقة التكرار البسيطة لا يكاد يذكر. في كل خطوة ، تحتاج إلى تخزين x n , x ن +1 , ف و ه.

دعونا نقدر عدد العمليات الحسابية المطلوبة لتنفيذ طريقة التكرار البسيطة. دعونا نكتب تقديرًا للعدد n 0 = n 0 (e) بحيث ، بالنسبة لجميع n ³ n 0 ، تظل المتباينة التالية صحيحة:

ويترتب على هذا التقدير أنه كلما اقتربت q من الوحدة ، كان تقارب الطريقة أبطأ.

تعليق. غير موجود قاعدة عامةبناء j (x) من f (x) بحيث يتم استيفاء جميع شروط نظرية التقارب. غالبًا ما يتم استخدام النهج التالي: يتم اختيار الوظيفة j كوظيفة j (x) = x + k × f (x) ، حيث k – مستمر.

عند برمجة طريقة تكرار بسيطة ، غالبًا ما يتطلب إيقاف عملية تكرارية استيفاء شرطين في وقت واحد:

و .

جميع الطرق التكرارية الأخرى التي سننظر فيها هي حالات خاصة لطريقة التكرار البسيطة. على سبيل المثال ، متى طريقة نيوتن هي حالة خاصة لطريقة التكرار البسيطة.

في هذا القسم ، نعتبر عملية التكرار الثابتة عند المصفوفة ومعلمة التكرار لا تعتمد على الفهرس ، وإثبات النظرية التالية بشروط كافية لتقاربها.

نظرية سامارسكي

يترك هي مصفوفة محددة موجبة ذاتية المعايرة:

,
,

هي مصفوفة محددة موجبة ، - رقم موجب، عدد إيجابي:

,
.

ثم لأي اختيار لتقريب الصفر عملية تكرارية يتم تحديدها بواسطة الصيغة العودية ، يتقارب مع حل النظام الأصلي.

قبل الشروع في إثبات النظرية ، دعونا نناقش بمزيد من التفصيل مطلبها الرئيسي ، التحديد الإيجابي للمصفوفة
. يمكن إعادة كتابة هذا الشرط على النحو التالي:

,
,
.

أي ، على وجه الخصوص ، يفترض أن المصفوفة هو ايجابي واضح. بالإضافة إلى ذلك ، تحدد المتباينة الفترة الزمنية التي يمكن أن تتغير فيها المعلمة :

.

بعد هذه الملاحظات ، ننتقل إلى إثبات النظرية. دعونا نعبر عن العلاقة عبر :

واستبدله بالصيغة المتكررة للتسلسل التكراري. نتيجة لذلك ، نحصل على:

.

الفرق بين الصيغة التكرارية هو أنها متجانسة.

مصفوفة هو ايجابي واضح. لذلك ، فهو غير متدهور وله معكوس
. بمساعدتها علاقة تكراريةيمكن حلها بخصوص
:

، لذا
.

ضرب طرفي المساواة على اليسار في المصفوفة ، نحصل على علاقة تكرار أخرى

.

ضع في اعتبارك تسلسل الوظائف الإيجابية:

.

دعونا نؤلف تعبيرا مماثلا ل
وقم بتحويله باستخدام الصيغ المتكررة و:

من الترابط الذاتي للمصفوفة وتتبع الصيغ

نتيجة لذلك ، تأخذ الصيغة الشكل:

وهكذا ، تسلسل الوظائف تخضع للحالة
يشكل تسلسلاً رتيبًا غير متزايد يحده من أسفل بمقدار صفر

.

,

أين
هو ثابت موجب تمامًا. نتيجة لذلك ، وفقا لنا

من هذه المتباينة وتقارب تسلسل الوظائف يتبع ذلك
في
. بدوره
، لذا

لقد تم إثبات النظرية.

1. طريقة التكرار البسيطة.

تم إعطاء هذا الاسم للطريقة التي ، كمصفوفة يتم اختيار مصفوفة الهوية:
والمعلمة التكرارية يفترض أن تكون مستقلة عن رقم التكرار . بمعنى آخر ، طريقة التكرار البسيطة هي طريقة ثابتة صريحة عند التكرار التالي
يتم حسابه بواسطة الصيغة العودية

سنفترض أن المصفوفة يفي بشرط نظرية Samarskii ،
، ثم الصيغة التي تحدد حدود فاصل التقارب فيما يتعلق بالمعامل التكراري يأخذ الشكل

.

يترك
- الأساس المتعامد للمتجهات الذاتية للمشغل المقابل للمصفوفة . من خلال التحديد الإيجابي ، فإن جميع قيمها الذاتية إيجابية. دعنا نعتبرها مرقمة بترتيب تنازلي:

دعونا نحلل المتجه
على أساس المتجهات الذاتية

نتيجة لذلك ، يتبع من الصيغة أن طريقة التكرار البسيطة تتقارب لأي منها تنتمي إلى الفترة

.

سنقوم ببناء دراسة إضافية لطريقة التكرار البسيطة على تحليل محدد للصيغة العودية. دعونا نقدم مصفوفة عامل النقل

,

وأعد كتابة الصيغة كـ

.

في نفس الوقت ، الخطأ
سوف يفي بعلاقة تكرار مماثلة ، متجانسة فقط

.

دعنا نثبت وجود اثنين من اللمسات التي تسمح لنا بالتحقيق بشكل كامل في شروط تقارب طريقة التكرار البسيطة.

ليما 1

دع العامل الذي يولد المصفوفة ، لديه ناقل ذاتي مع القيمة الذاتية ، ثم عامل الانتقال الذي تم إنشاؤه بواسطة المصفوفة ، لديه أيضًا ناقل eigenvector ، ولكن بقيمة خاصة

.

الدليل أساسي. يتم تنفيذه عن طريق التحقق المباشر

لمصفوفة ذاتية مصفوفة هو أيضًا مساعد ذاتي. لذلك ، يتم تحديد معيارها من خلال أكبر قيمة ذاتية في القيمة المطلقة
:

.

ليما 2

لكي تتقارب طريقة التكرار البسيطة مع حل النظام لأي اختيار لتقريب أولي ، من الضروري والكافي أن جميع القيم الذاتية لمشغل النقل كانت modulo أقل من واحد:

,

قدرة. الشرط يعني أن قاعدة المصفوفة ، وفقًا لذلك ، سيكون أقل من الوحدة:
. نتيجة لذلك ، نحصل عليه

في
.

بحاجة إلى. دعونا نفترض ذلك من بين القيم الذاتية وجدت واحدة على الأقل التي لا تفي بشرط اللمة ، أي

.

دعونا نختار الحد صفر من التسلسل التكراري في النموذج
، أين حل النظام ، ثم الحد الصفري لتسلسل الخطأ سوف يتزامن مع eigenvector عامل القفز :
. نتيجة ل الصيغة المتكررةللأعضاء التالية من تسلسل الأخطاء سوف يأخذ الشكل:

,
.

بمعنى آخر.
. ضرورة تحقيق عدم المساواة لجميع القيم الذاتية تم إثبات تقارب طريقة التكرار البسيطة.

يحدد Lemma 2 البرنامج لمزيد من التحقيق في تقارب طريقة التكرار البسيطة: من الضروري تعيين نطاق اختلاف المعلمات والتي بموجبها تلبي جميع القيم الذاتية عدم المساواة. من السهل القيام بذلك. على التين. يوضح الشكل 1 الرسوم البيانية المتناقصة وظائف خطية
. كلهم يأتون من نفس النقطة
,
وتنخفض بسبب المعاملات السالبة عند ، والوظيفة الأسرع تناقصًا
. عندما تأخذ معنى
، الشرط لم يعد يتحقق:

، في
.

وجدت القيمة هي حدود فاصل التقارب لطريقة التكرار البسيطة

.

نحن نعلم بالفعل هذا التفاوت. تم الحصول عليها في وقت سابق من نظرية Samarskii كشرط كاف للتقارب. يسمح لنا التحليل الإضافي المستند إلى Lemma 2 بتنقيح النتيجة. لقد أثبتنا الآن أن عضوية معلمة التكرار الفاصل الزمني هو شرط ضروري وكافٍ لتقارب طريقة التكرار البسيطة.

دعونا ننتقل إلى دراسة معدل تقارب الطريقة. يوضح تقدير الخطأ أنه يتناقص وفقًا لقانون التقدم الهندسي ذي المقام

.

النظر في الشكل. 2 ، مما سيساعدنا في تحليل هذه الصيغة. إنه مشابه للشكل 1 ، إلا أنه يعرض الرسوم البيانية لغير الوظائف
، ووحداتها. على مستوى صغير كل القيم الذاتية
إيجابية ، وأكبرها هو
الذي يتناقص مع الزيادة بأدنى سرعة. ومع ذلك ، يمر من خلال النقطة
القيمة الذاتية
تغيير العلامة يصبح سلبيا. نتيجة لذلك ، الآن معاملها مع زيادة لا ينقص بل يزيد
تقترب من القيمة المحددة للوحدة.

تجد في الجزء
نقطة ، وفيها دالة التناقص
بالمقارنة مع وظيفة متزايدة
. يتم تحديده بواسطة المعادلة

الذي يعطي

.

نتيجة لذلك ، نحصل على:

أصغر قيمة لها هي قاعدة المصفوفة يصل إلى
:

.

توضح الصيغة أنه بالنسبة لمصفوفة غير مشروط ، حتى مع الاختيار الأمثل لمعامل التكرار
قاعدة المصفوفة يقترب من الوحدة ، بحيث يتضح أن تقارب طريقة التكرار البسيطة يكون بطيئًا في هذه الحالة.

في الختام ، نلاحظ أن الصيغة التي تحدد حدود فاصل التقارب ، وصيغة القيمة المثلى للمعامل التكراري هي في المقام الأول ذات أهمية نظرية. عادة ، عند حل SLAE ، أكبر وأصغر أرقام مميزة للمصفوفة غير معروفين ، لذا احسب الكميات و غير ممكن مسبقا. نتيجة لذلك ، المعلمة التكرارية غالبًا ما يكون من الضروري الاختيار مباشرة في عملية الحسابات عن طريق التجربة والخطأ.

المهمة 2.

ضع في اعتبارك نظامًا من معادلتين بهما مجهولان

وإنشاء حل تقريبي لها باستخدام طريقة التكرار البسيطة.

دعونا نكتب على الفور حل النظام

,
,

لتتمكن بعد ذلك من مقارنتها بأعضاء التسلسل التكراري.

دعونا ننتقل إلى حل النظام بطريقة التكرار البسيط. مصفوفة النظام لها الشكل

.

إنها ذاتية الربط ومحددة ، منذ ذلك الحين

دعونا نؤلف المعادلة المميزة للمصفوفة وتجد جذورها:

,

,

يمكن استخدامها لتحديد حدود فاصل التقارب والقيمة المثلى لمعامل التكرار :

,
.

لإنشاء تسلسل تكراري ، نختار قيمة معينة للمعامل التكراري في فاصل التقارب ، على سبيل المثال ،
. في هذه الحالة ، تأخذ الصيغة المتكررة لشروط التسلسل التكراري الشكل:

، أين

خذ أبسط تقريب أولي
واكتب المصطلحات القليلة الأولى من التسلسل التكراري ، بحساب التناقض لكل منهم
. نتيجة لذلك ، نحصل على:

,
,
,

,
,
,

,
,
,

,
,
.

معيار المخلفات ، على الرغم من البطء ، ولكن يتناقص ، مما يشير إلى تقارب العملية. يمكن رؤية الشيء نفسه من مقارنة شروط التسلسل التكراري مع حل النظام. التقارب البطيء يرجع إلى سوء شروط المصفوفة :

.