أوجد متجهًا عموديًا على المتجهات. إيجاد متجه عمودي على متجه معين ، أمثلة وحلول

تعليمات

إذا تم عرض المتجه الأصلي في الرسم في نظام إحداثيات مستطيل ثنائي الأبعاد وكان من الضروري إنشاء متجه عمودي في نفس المكان ، فانتقل من تعريف عمودية المتجهات على المستوى. تنص على أن الزاوية بين مثل هذا الزوج من المقاطع الموجهة يجب أن تكون مساوية لـ 90 درجة. من الممكن بناء عدد لا حصر له من هذه النواقل. لذلك ارسم أي موقع ملائممستوي عمودي على المتجه الأصلي ، ضع جانباً مقطعًا عليه ، يساوي الطولإعطاء زوج من النقاط مرتبة وتعيين أحد نهاياته كبداية لمتجه عمودي. افعل ذلك بمنقلة ومسطرة.

إذا تم إعطاء المتجه الأصلي بواسطة إحداثيات ثنائية الأبعاد ā = (X₁ ؛ Y₁) ، فابدأ من حقيقة أن منتج عددييجب أن تكون أزواج المتجهات العمودية مساوية للصفر. هذا يعني أنك بحاجة إلى اختيار المتجه المطلوب ō = (X₂، Y₂) مثل هذه الإحداثيات التي ستثبت عندها المساواة (ā، ō) = X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂ = 0. يمكن القيام بذلك على النحو التالي: اختر أي قيمة غير صفرية للإحداثي X₂ ، واحسب إحداثي Y باستخدام الصيغة Y₂ = - (X₁ * X₂) / Y₁. على سبيل المثال ، بالنسبة للمتجه ā = (15 ؛ 5) سيكون هناك متجه ō ، مع الإحداثي السيني ، يساوي واحد، والإحداثيات تساوي - (15 * 1) / 5 = -3 ، أي ō = (1 ؛ -3).

بالنسبة لنظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد وأي نظام إحداثيات متعامد آخر ، يكون نفس الشرط الضروري والكافي لعمودية المتجهات صحيحًا - يجب أن يكون ناتجها القياسي مساويًا للصفر. لذلك ، إذا تم إعطاء المقطع الأصلي الموجه بواسطة الإحداثيات ā = (X₁، Y₁، Z₁) ، للزوج المرتب من النقاط ō = (X₂، Y₂، Z₂) عموديًا عليها ، اختر مثل هذه الإحداثيات التي تفي بالشرط (ā ، ō) = X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂ + Z₁ * Z₂ = 0. أسهل طريقة هي تعيين قيم مفردة لـ X₂ و Y₂ ، وحساب Z₂ من المعادلة المبسطة Z₂ = -1 * (X₁ * 1 + Y₁ * 1) / Z₁ = - (X₁ + Y₁) / Z₁. على سبيل المثال ، بالنسبة للمتجه ā = (3،5،4) ، سيأخذ هذا الشكل التالي: (ā، ō) = 3 * X₂ + 5 * Y₂ + 4 * Z₂ = 0. ثم خذ الإحداثي والإحداثيات متجه عمودي كوحدة ، وفي هذه الحالة سيكون مساوياً لـ - (3 + 5) / 4 = -2.

مصادر:

• ابحث عن المتجه إذا كان متعامدًا

عمودي تسمى المتجه، الزاوية بين 90 درجة. يتم إنشاء المتجهات العمودية باستخدام أدوات الرسم. إذا كانت إحداثياتها معروفة ، فيمكنك التحقق من عمودية المتجهات أو إيجادها طرق تحليلية.

سوف تحتاج

• - منقلة
• - بوصلة؛
• - مسطرة.

تعليمات

أنشئ متجهًا عموديًا على المتجه المعطى. للقيام بذلك ، عند النقطة التي هي بداية المتجه ، قم باستعادة الخط العمودي عليه. يمكن القيام بذلك باستخدام منقلة ، مع وضع زاوية 90 درجة جانبًا. إذا لم يكن هناك منقلة ، اصنعها ببوصلة.

اضبطه على نقطة بداية المتجه. ارسم دائرة بنصف قطر عشوائي. ثم قم ببناء نقطتين في المنتصف عند النقاط التي تتقاطع فيها الدائرة الأولى مع الخط الذي يقع عليه المتجه. يجب أن تكون أنصاف أقطار هذه الدوائر متساوية مع بعضها البعض وأكبر من الدائرة الأولى المنشأة. عند نقاط تقاطع الدوائر ، قم ببناء خط مستقيم يكون عموديًا على المتجه الأصلي عند نقطة بدايته ، وضع جانبًا عليه متجهًا عموديًا على المتجه المعطى.

متجه الوحدة هو: ، أين هو معامل المتجه.

إجابه:
.

ملحوظة.يجب ألا تكون إحداثيات متجه الوحدة أكبر من واحد.

6.3 أوجد طول واتجاه جيب التمام للمتجه . قارن مع الإجابة في الفقرة السابقة. ارسم استنتاجاتك الخاصة.

طول المتجه هو معامله:

ويمكننا إيجاد جيب التمام باستخدام صيغة إحدى طرق تحديد المتجهات:

مما حصلنا عليه ، نرى أن اتجاه جيب التمام هو إحداثيات متجه الوحدة.

إجابه:
,
,
,
.

6.4. تجد
.

من الضروري إجراء عمليات ضرب المتجه برقم وجمع ومعامل.

نضرب إحداثيات المتجهات في حد عدد في حد.

نجمع إحداثيات المتجهات على حدها.

أوجد مقياس المتجه.

إجابه:

6.5. تحديد إحداثيات المتجهات
، خطية متداخلة مع المتجه ، مع العلم أن
ويتم توجيهه في الاتجاه المعاكس للناقل .

المتجه خطية متداخلة للمتجه ، لذلك فإن متجه الوحدة الخاص بها يساوي متجه الوحدة فقط بعلامة ناقص ، لأن موجهة في الاتجاه المعاكس.

طول متجه الوحدة هو 1 ، مما يعني أنه إذا تم ضربه في 5 ، فإن طوله سيساوي خمسة.

نجد

إجابه:

6.6. احسب حاصل الضرب النقطي
و
. هل النواقل متعامدة و ,و بين أنفسهم؟

دعونا نجري حاصل الضرب القياسي للمتجهات.

إذا كانت المتجهات متعامدة ، فإن حاصل الضرب النقطي لها يساوي صفرًا.

نرى أن المتجهات في حالتنا و عمودي.

إجابه:
,
، المتجهات ليست عمودية.

ملحوظة.المعنى الهندسي للمنتج العددي قليل الاستخدام من الناحية العملية ، لكنه لا يزال موجودًا. يمكن تصوير نتيجة مثل هذا الإجراء وحسابها هندسيًا.

6.7 ابحث عن عمل تم إنجازه نقطة ماديةالتي يتم تطبيق القوة عليها
، عند نقلها من النقطة B إلى النقطة C.

المعنى المادي للمنتج القياسي هو العمل. قوة ناقلات هنا ، متجه الإزاحة
. وسيكون ناتج هذه النواقل هو العمل المطلوب.

ابحث عن عمل

6.8 البحث عن الزاوية الداخلية في قمة الرأس أ والزاوية الخارجية في الأعلى ج مثلث ABC .

من التعريف ، الناتج القياسي للمتجهات ، نحصل على صيغة إيجاد الزاوية:.

في
سنبحث عن الزاوية الداخلية باعتبارها الزاوية بين المتجهات الخارجة من نقطة واحدة.

لإيجاد الزاوية الخارجية ، عليك أن تجمع المتجهات بحيث تخرج من نفس النقطة. يوضح الشكل هذا.

من الجدير بالذكر أن
، لها إحداثيات أولية مختلفة فقط.

إيجاد المتجهات والزوايا اللازمة

الجواب: الزاوية الداخلية في الرأس A \ u003d ، الزاوية الخارجية عند الرأس B = .

6.9 ابحث عن إسقاطات النواقل: و

أذكر ناقل orts:
,
,
.

تم العثور على الإسقاط أيضًا من المنتج القياسي

-تنبؤ بعلى ال أ.

تم الحصول عليها مسبقًا من قبلنا ناقلات

,
,

البحث عن الإسقاط

إيجاد الإسقاط الثاني

إجابه:
,

ملحوظة.تعني علامة الطرح عند العثور على الإسقاط أن الإسقاط لا يقع على المتجه نفسه ، ولكن في الاتجاه المعاكس ، على الخط الذي يقع عليه هذا المتجه.

6.10. احسب
.

نفذ حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات

لنجد الوحدة

نجد جيب الزاوية بين المتجهات من تعريف المنتج المتجه للمتجهات

إجابه:
,
,
.

6.11. أوجد مساحة المثلث ABC وطول ارتفاع محتلم من النقطة ج.

المعنى الهندسي لوحدة حاصل الضرب العرضي هو أنها مساحة متوازي الأضلاع التي شكلتها هذه المتجهات. مساحة المثلث تساوي نصف مساحة متوازي الأضلاع.

يمكن إيجاد مساحة المثلث أيضًا على أنها حاصل ضرب الارتفاع في القاعدة مقسومًا على اثنين ، ومن ثم يمكنك اشتقاق صيغة إيجاد الارتفاع.

وهكذا نجد الارتفاع

إجابه:
,
.

6.12. أوجد متجه الوحدة عموديًا على المتجهات و .

ناتج حاصل الضرب النقطي هو متجه عمودي على المتجهين الأصليين. متجه الوحدة هو متجه مقسومًا على طوله.

في السابق وجدنا:

,

إجابه:
.

6.13. أوجد مقدار وجيب التمام الخاص بعزم القوة
تم تطبيقه على A فيما يتعلق بالنقطة C.

المعنى المادي للمنتج المتجه هو لحظة القوة. لنقدم توضيحًا لهذه المهمة.

إيجاد لحظة القوة

إجابه:
.

6.14. هل نواقل الكذب ,و في نفس الطائرة؟ هل يمكن أن تشكل هذه النواقل أساسًا للفضاء؟ لماذا ا؟ إذا أمكن ، قم بتوسيع المتجه في هذا الأساس
.

للتحقق مما إذا كانت المتجهات تقع في نفس المستوى ، من الضروري إجراء المنتج المختلط لهذه المتجهات.

المنتج المختلط لا يساوي الصفر ، وبالتالي ، لا تقع المتجهات في نفس المستوى (وليس المستوى) ويمكن أن تشكل أساسًا. دعونا نتحلل على هذا الأساس.

نتوسع في الأساس عن طريق حل المعادلة

الجواب: النواقل ,و لا تكذب في نفس الطائرة.
.

6.15. تجد
. ما حجم الهرم الذي رءوسه أ ، ب ، ج ، د وانخفض ارتفاعه من النقطة أ إلى القاعدة BCD.

جي المعنى الهندسي للمنتج المختلط هو أنه حجم خط الموازي الذي تشكله هذه المتجهات.

حجم الهرم أقل بست مرات من حجم خط الموازي.

يمكن أيضًا العثور على حجم الهرم على النحو التالي:

احصل على صيغة إيجاد الارتفاع

إيجاد الارتفاع

الجواب: الحجم = 2.5 ، الارتفاع = .

6.16. احسب
و
.

ندعوك للتفكير في هذه المهمة بنفسك.

- لنقم بالعمل.

وردت سابقا

إجابه:
.

6.17. احسب

لنفعل ذلك خطوة بخطوة

3)

نلخص القيم التي تم الحصول عليها

إجابه:
.

6.18. ابحث عن ناقل
، مع العلم أنه عمودي على المتجهات و ، وإسقاطه على المتجه يساوي 5.

دعنا نقسم هذه المسألة إلى مهمتين فرعيتين.

1) أوجد متجهًا عموديًا على المتجهات و الطول التعسفي.

سنحصل على متجه عمودي نتيجة حاصل الضرب الاتجاهي

في السابق وجدنا:

يختلف المتجه المطلوب في الطول فقط عن الذي تم الحصول عليه

2) البحث من خلال المعادلة

6.19. ابحث عن ناقل
، استيفاء الشروط
,
,
.

دعونا نفكر في هذه الشروط بمزيد من التفصيل.

هذا نظام من المعادلات الخطية. دعونا ننشئ ونحل هذا النظام.

إجابه:

6.20. حدد إحداثيات بعض المتجهات
، متحد المستوى مع نواقل و ، وعمودي على المتجه
.

في هذه المهمة ، هناك شرطان: المتجهات متحدة المستوى ومتعامدة ، ونحقق أولاً الشرط الأول ، ثم الثاني.

1) إذا كانت المتجهات متحد المستوى ، فإن منتجها المختلط هو صفر.

من هنا نحصل على بعض الاعتماد على إحداثيات المتجه

لنجد المتجه .

2) إذا كانت المتجهات متعامدة ، فإن حاصل ضربها القياسي هو صفر

لقد حصلنا على الاعتماد الثاني لإحداثيات المتجه المطلوب

لأي قيمة المتجه سوف يفي بالشروط. بديل
.

إجابه:
.

الهندسة التحليلية

تكشف هذه المقالة عن معنى عمودي متجهين على مستوى في فضاء ثلاثي الأبعاد وإيجاد إحداثيات متجه عموديًا على متجه واحد أو زوج كامل من المتجهات. الموضوع قابل للتطبيق على المشاكل المتعلقة بمعادلات الخطوط والمستويات.

سننظر في الشرط الضروري والكافي لأن يكون متجهان متعامدين ، ونقرر طريقة إيجاد متجه عمودي على متجه معين ، ونتطرق إلى المواقف في إيجاد متجه عمودي على متجهين.

Yandex.RTB R-A-339285-1

شرط ضروري وكافٍ ليكون متجهين متعامدين

دعونا نطبق القاعدة المتعلقة بالمتجهات العمودية على المستوى وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد.

التعريف 1

بالنظر إلى قيمة الزاوية بين متجهين غير صفريين تساوي 90 درجة (π 2 راديان) تسمى عمودي.

ماذا يعني هذا ، وفي أي مواقف من الضروري معرفة عموديةهما؟

يمكن إنشاء العمودية من خلال الرسم. عند رسم متجه على متن طائرة من نقاط معينةيمكن قياس الزاوية بينهما هندسيًا. إن عمودية النواقل ، إذا تم تأسيسها ، ليست دقيقة تمامًا. في أغلب الأحيان ، لا تسمح لك هذه المهام بالقيام بذلك باستخدام منقلة هذه الطريقةقابل للتطبيق فقط في حالة عدم معرفة أي شيء آخر عن النواقل.

تتم معظم حالات إثبات عمودية متجهين غير صفريين على مستوى أو في الفضاء باستخدام شرط ضروري وكافٍ لعمودي متجهين.

نظرية 1

الناتج القياسي لمتجهين غير صفريين a → و b → يساوي الصفر لتحقيق المساواة a → ، b → = 0 كافٍ لعموديتهم.

إثبات 1

دع المتجهات المعطاة a → و b → تكون عمودية ، ثم سنثبت المساواة a ⇀ ، b → = 0.

من تعريف حاصل الضرب النقطي من النواقلنعلم أنه يساوي حاصل ضرب أطوال متجهات معينة وجيب الزاوية بينهما. حسب الشرط ، تكون a → و b → عموديتين ، وبالتالي ، بناءً على التعريف ، تكون الزاوية بينهما 90 درجة. ثم لدينا a → ، b → = a → b → cos (a → ، b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0.

الجزء الثاني من الإثبات

في ظل الحالة التي تثبت فيها a ⇀ ، b → = 0 عمودية a → و b →.

في الواقع ، الدليل هو عكس السابق. من المعروف أن a → و b → غير صفري ، لذلك من المساواة a ⇀ ، b → = a → b → cos (a → ، b →) ^ نجد جيب التمام. ثم نحصل على cos (a →، b →) ^ = (a →، b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0. نظرًا لأن جيب التمام يساوي صفرًا ، يمكننا أن نستنتج أن الزاوية a → ، b → ^ للمتجهات a → و b → هي 90 درجة. بحكم التعريف ، هذه خاصية ضرورية وكافية.

حالة عمودية على مستوى الإحداثيات

الفصل حاصل الضرب النقطي في الإحداثياتيوضح عدم المساواة (a → ، b →) = a x b x + a y b y ، صالح للمتجهات ذات الإحداثيات a → = (a x ، a y) و b → = (b x ، b y) ، على المستوى و (a → ، b →) = a x b x + a y b y للمتجهات a → = (a x، a y، a z) و b → = (b x، b y، b z) في الفراغ. شرط ضروري وكافٍ لنوعين متعامدين في خطة تنسيقبالصيغة أ س ب س + أ ص ب ص = 0 ، من أجل مساحة ثلاثية الأبعادأ س ب س + أ ص ب ص + أ ض ب ع = 0.

دعونا نضعها موضع التنفيذ ونلقي نظرة على الأمثلة.

مثال 1

تحقق من خاصية عمودية متجهين a → = (2 ، - 3) ، b → = (- 6 ، - 4).

المحلول

لحل هذه المشكلة ، تحتاج إلى إيجاد المنتج القياسي. إذا كان الشرط يساوي صفرًا ، فسيكونان متعامدين.

(أ → ، ب →) = أ س ب س + أ ص ب ص = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0. تم استيفاء الشرط ، مما يعني أن المتجهات المعينة متعامدة على المستوى.

إجابه:نعم ، المتجهات المعطاة a → و b → متعامدة.

مثال 2

بالنظر إلى متجهات الإحداثيات i → ، j → ، k →. تحقق مما إذا كانت المتجهات i → - j → و i → + 2 j → + 2 k → يمكن أن تكون متعامدة.

المحلول

لكي تتذكر كيف يتم تحديد إحداثيات المتجه ، تحتاج إلى قراءة مقال حول إحداثيات المتجهات بتنسيق نظام مستطيلإحداثيات.وبالتالي ، نحصل على أن المتجهات المعطاة i → - j → و i → + 2 j → + 2 k → لها الإحداثيات المقابلة (1 ، - 1 ، 0) و (1 ، 2 ، 2). بديل القيم العدديةونحصل على: i → + 2 j → + 2 k →، i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1.

التعبير ليس صفراً ، (i → + 2 j → + 2 k → ، i → - j →) ≠ 0 ، مما يعني أن المتجهات i → - j → و i → + 2 j → + 2 k → ليست كذلك عمودي لأن الشرط غير راضٍ.

إجابه:لا ، المتجهات i → - j → و i → + 2 j → + 2 k → ليست متعامدة.

مثال 3

معطى المتجهات a → = (1 ، 0 ، - 2) و b → = (λ ، 5 ، 1). أوجد القيمة λ التي تكون المتجهات المعطاة لها متعامدة.

المحلول

نستخدم حالة العمودية لمتجهين في الفضاء في شكل مربع، ثم نحصل عليه

أ س ب س + أ ص ب ص + أ ع ب ع = 0 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

إجابه:المتجهات متعامدة عند القيمة λ = 2.

هناك حالات عندما تكون مسألة العمودية مستحيلة حتى مع الضرورة و شرط كاف. من الممكن إيجاد البيانات الموجودة على الجوانب الثلاثة للمثلث على متجهين الزاوية بين النواقلوتحقق من ذلك.

مثال 4

بمثلث أ ب ج بجوانب أ ب \ u003d 8 ، أ ج \ u003d 6 ، ب ج \ u003d 10 سم. تحقق من المتجهات A B → و A C → من أجل العمودية.

المحلول

عندما يكون المتجهان ب ← و ج ← متعامدين ، يعتبر المثلث ب ج مستطيلًا. ثم نطبق نظرية فيثاغورس ، حيث BC هو وتر المثلث. يجب تحقيق المساواة B C 2 = A B 2 + A C 2. يتبع ذلك أن 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. ومن ثم ، فإن ب ، ج هما ساقا المثلث ب ج ، لذلك ب ← و ج ← عموديان.

من المهم معرفة كيفية إيجاد إحداثيات متجه عموديًا على متجه معين. هذا ممكن سواء على المستوى أو في الفضاء ، بشرط أن تكون المتجهات متعامدة.

إيجاد متجه عمودي على متجه معين في المستوى.

يمكن أن يحتوي المتجه غير الصفري a → على عدد لا حصر له من المتجهات العمودية في المستوى. دعنا نمثله على خط الإحداثيات.

يتم إعطاء متجه غير صفري a → ، ملقى على الخط a. ثم المعطى b → ، الموجود على أي خط عمودي على الخط a ، يصبح عموديًا و a →. إذا كان المتجه j → أو أي من المتجهات λ j → عموديًا على المتجه i → مع λ يساوي أي عدد حقيقيباستثناء الصفر ، فإن إيجاد إحداثيات المتجه b → عمودي على a → = (a x، a y) يقلل إلى مجموعة لا نهائية من الحلول. لكن من الضروري إيجاد إحداثيات المتجه العمودي على a → = (a x، a y). للقيام بذلك ، من الضروري تدوين حالة عمودية المتجهات بالصيغة التالية a x · b x + a y · b y = 0. لدينا b x و b y ، وهما الإحداثيان المطلوبان للمتجه العمودي. عندما تكون a x ≠ 0 ، تكون قيمة b y غير صفرية ويتم حساب b x من المتباينة a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. عندما يكون a x = 0 و a y ≠ 0 ، فإننا نحدد قيمة b x أي قيمة بخلاف الصفر ، ويتم إيجاد b y من التعبير b y = - a x · b x a y.

مثال 5

إعطاء متجه بإحداثيات a → = (- 2 ، 2). أوجد متجهًا عموديًا على المتجه المعطى.

المحلول

قم بالإشارة إلى المتجه المطلوب كـ b → (b x ، b y). يمكنك العثور على إحداثياته ​​من شرط أن تكون المتجهات a → و b → متعامدة. ثم نحصل على: (أ → ، ب →) = أ س ب س + أ ص ب ص = - 2 ب س + 2 ب ص = 0. ضع b y = 1 وعوض: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0. ومن هذه الصيغة نحصل على b x = - 2 - 2 = 1 2. ومن ثم ، فإن المتجه b → = (1 2 ، 1) هو متجه عمودي على a →.

إجابه:ب → = (1 2 ، 1) .

إذا أثيرت مسألة الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يتم حل المشكلة وفقًا لنفس المبدأ. بالنسبة للمتجه المعطى a → = (a x، a y، a z) يوجد مجموعة لانهائيةناقلات عمودية. سوف يصلح على الإحداثيات طائرة ثلاثية الأبعاد. إعطاء → الكذب على الخط أ. المستوى العمودي على الخط المستقيم a يُرمز إليه بـ α. في هذه الحالة ، يكون أي متجه غير صفري b → من المستوى α عموديًا على a →.

من الضروري إيجاد الإحداثيات b → عموديًا على المتجه غير الصفري a → = (a x ، a y ، a z).

لنفترض أن b → تُعطى بالإحداثيات b x و b y و b z. للعثور عليهم ، من الضروري تطبيق تعريف حالة عمودية متجهين. المساواة a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 يجب أن تثبت. من الشرط a → - غير الصفر ، مما يعني أن أحد الإحداثيات له قيمة لا تساوي الصفر. افترض أن a x ≠ 0 (a y ≠ 0 أو a z ≠ 0). إذن ، لدينا الحق في قسمة المتباينة بأكملها a x b x + a y b y + a z b z = 0 على هذا الإحداثي ، نحصل على التعبير b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x. نخصص أي قيمة للإحداثيين b y و b x ، ونحسب القيمة b x ، بناءً على الصيغة ، b x = - a y · b y + a z · b z a x. سيكون للمتجه العمودي المطلوب القيمة a → = (a x ، a y ، a z).

لنلقِ نظرة على الدليل بمثال.

مثال 6

إعطاء متجه بالإحداثيات a → = (1 ، 2 ، 3). أوجد متجهًا عموديًا على المتجه المعطى.

المحلول

قم بالإشارة إلى المتجه المطلوب كـ b → = (b x ، b y ، b z). بناءً على شرط أن تكون المتجهات متعامدة ، يجب أن يكون الناتج القياسي مساويًا للصفر.

أ ⇀ ، ب ⇀ = 0 ⇔ أ س ب س + أ ص ب ص + أ ز ب ع = 0 ⇔ 1 ب س + 2 ب ص + 3 ب ع = 0 ب س = - (2 ب ص + 3 ب ع)

إذا كانت القيمة b y = 1 ، b z = 1 ، إذن b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5. يتبع ذلك إحداثيات المتجه b → (- 5 ، 1 ، 1). المتجه b → هو أحد المتجهات العمودية على المعطى.

إجابه:ب → = (- 5 ، 1 ، 1).

إيجاد إحداثيات متجه عمودي على متجهين محددين

تحتاج إلى إيجاد إحداثيات المتجه في الفضاء ثلاثي الأبعاد. إنه عمودي على المتجهات غير الخطية a → (a x ، a y ، a z) و b → = (b x ، b y ، b z). بشرط أن تكون النواقل a → و b → متداخلة ، سيكون كافياً في المشكلة العثور على متجه عمودي على a → أو b →.

عند الحل ، يتم استخدام مفهوم المنتج المتجه للمتجهات.

عبر المنتج من النواقل a → و b → عبارة عن متجه عمودي في نفس الوقت على كل من a → و b →. لحل هذه المشكلة ، يتم استخدام منتج المتجه a → × b →. للفضاء ثلاثي الأبعاد الشكل a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

دعونا نحلل المنتج المتجه بمزيد من التفصيل باستخدام مثال المشكلة.

مثال 7

يتم إعطاء المتجهات b → = (0 ، 2 ، 3) و a → = (2 ، 1 ، 0). أوجد إحداثيات أي متجه عمودي على البيانات في نفس الوقت.

المحلول

لحل هذه المشكلة ، تحتاج إلى إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات. (يجب الرجوع إلى الفقرة حسابات محدد المصفوفةللعثور على المتجه). نحن نحصل:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 أنا → + (- 6) ي → + 4 ك →

إجابه: (3 , - 6 , 4) - إحداثيات متجه عمودي في نفس الوقت على a → و b →.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

في القسم المتعلق بالسؤال ، أوجد متجهًا عموديًا على اثنين نواقل معينةقدمها المؤلف آنا أفاناسييفاأفضل إجابة هي متجه عمودي على اثنين لا نواقل متوازيةتم العثور عليه كمنتج المتجه الخاص بهم ahb ، للعثور عليه تحتاج إلى عمل محدد ، سيتكون السطر الأول منه من ناقلات الوحدةأنا ، ي ، ك ، والثاني من إحداثيات المتجه أ ، والثالث من إحداثيات المتجه ج. يعتبر المحدد امتدادًا على طول الخط الأول ، في حالتك سيتحول axb = 20i-10k ، أو axb = (20،0، -10).

إجابة من 22 إجابة[خبير]

مرحبًا! فيما يلي مجموعة مختارة من الموضوعات ذات الإجابات على سؤالك: ابحث عن متجه عمودي على متجهين معينين

إجابة من تمتد[مبتدئ]
تم العثور على متجه عمودي على متجهين غير متوازيين كحاصل ضربهما الاتجاهي ahb ، لإيجاده تحتاج إلى عمل محدد ، سيتكون الصف الأول منه من وحدة المتجهات I ، j ، k، والثاني من إحداثيات المتجه أ ، والثالث من إحداثيات المتجه ج. يعتبر المحدد امتدادًا على طول الخط الأول ، في حالتك سيتحول axb = 20i-10k ، أو axb = (20،0، -10).

إجابة من القش كا[خبير]
قرر تقريبًا مثل هذا ؛ لكن اقرأها أولاً بنفسك! !
احسب حاصل الضرب القياسي للمتجهين d و r إذا كانت d = -c + a + 2b ؛ ص = -ب + 2 أ.
مقياس المتجه a هو 4 ، مقياس المتجه b هو 6. الزاوية بين المتجهين a و b تساوي 60 درجة ، المتجه c عمودي على المتجهين a و b.
تقع النقطتان E و F على التوالي على الجانبين AD و BC من متوازي الأضلاع ABCD ، مع AE = ED ، BF: FC = 4: 3. أ) عبر عن المتجه EF من حيث المتجهات m = المتجه AB والمتجه n = المتجه AD . ب) هل يمكن ضرب المتجه EF = x في المتجه CD للحصول على قيمة معينة من x؟ .

أوم. للقيام بذلك ، نقدم أولاً مفهوم المقطع.

التعريف 1

المقطع هو جزء من خط مستقيم تحده نقاط على كلا الجانبين.

التعريف 2

ستسمى نهايات المقطع بالنقاط التي تحده.

لتقديم تعريف المتجه ، سيطلق على أحد أطراف المقطع بدايته.

التعريف 3

سوف نسمي متجهًا (مقطعًا موجهًا) مثل هذا المقطع ، حيث يتم الإشارة إلى نقطة الحدود التي تكون بدايتها ونهايتها.

التدوين: \ overline (AB) - المتجه AB ، يبدأ من النقطة A وينتهي عند النقطة B.

بخلاف ذلك ، في حرف واحد صغير: \ overline (a) (الشكل 1).

التعريف 4

المتجه الصفري هو أي نقطة تنتمي إلى المستوى.

التعيين: \ overline (0).

نقدم الآن التعريف مباشرة ناقلات خطية.

نقدم أيضًا تعريف المنتج القياسي ، والذي سنحتاجه أدناه.

التعريف 6

الناتج القياسي لاثنين من المتجهات المعطاة هو عدد (أو رقم) يساوي حاصل ضرب أطوال هذين المتجهين مع جيب التمام للزاوية بين المتجهين المعينين.

رياضيا قد يبدو كالتالي:

\ overline (α) \ overline (β) = | \ overline (α) || \ overline (β) | cos⁡∠ (\ overline (α)، \ overline (β))

يمكن أيضًا إيجاد حاصل الضرب القياسي باستخدام إحداثيات المتجهات على النحو التالي

\ overline (α) \ overline () = α_1 β_1 + α_2 β_2 + α_3 β_3

علامة التعامد من خلال التناسب

نظرية 1

لكي تكون المتجهات غير الصفرية متعامدة مع بعضها البعض ، من الضروري والكافي أن يكون ناتجها القياسي لهذه المتجهات مساويًا للصفر.

دليل - إثبات.

الحاجة: دعونا نحصل على متجهات \ overline (α) و \ overline (β) ، والتي لها إحداثيات (α_1 ، α_2 ، α_3) و (_1 ، β_2 ، β_3) ، على التوالي ، وتكون متعامدة مع بعضها البعض. ثم نحتاج إلى إثبات المساواة التالية

نظرًا لأن المتجهات \ overline (α) و \ overline (β) متعامدة ، فإن الزاوية بينهما هي 90 ^ 0. لنجد حاصل الضرب القياسي لهذه المتجهات باستخدام الصيغة من التعريف 6.

\ overline (α) \ cdot \ overline (β) = | \ overline (α) || \ overline (β) | cos⁡90 ^ \ circ = | \ overline (α) || \ overline (β) | \ cdot 0 = 0

كفاية: لتكن المساواة صحيحة \ overline (α) \ cdot \ overline (β) = 0. دعنا نثبت أن المتجهات \ overline (α) و \ overline () ستكون متعامدة مع بعضها البعض.

حسب التعريف 6 ، ستكون المساواة صحيحة

| \ overline (α) || \ overline (β) | cos⁡∠ (\ overline (α)، \ overline (β)) = 0

كوس⁡∠ (\ overline (α)، \ overline (β)) = 0

∠ (\ overline (α)، \ overline ()) = 90 ^ \ circ

لذلك ، فإن المتجهات \ overline (α) و \ overline () ستكون متعامدة مع بعضها البعض.

لقد تم إثبات النظرية.

مثال 1

أثبت أن المتجهات ذات الإحداثيات (1، -5،2) و (2،1،3 / 2) متعامدة.

دليل - إثبات.

لنجد حاصل الضرب القياسي لهذه المتجهات من خلال الصيغة الموضحة أعلاه

\ overline (α) \ cdot \ overline (β) = 1 \ cdot 2 + (- 5) \ cdot 1 + 2 \ cdot \ frac (3) (2) = 2 \ cdot 5 + 3 = 0

ومن ثم ، من خلال النظرية 1 ، تكون هذه المتجهات متعامدة.

إيجاد متجه عمودي على متجهين محددين من خلال حاصل الضرب الاتجاهي

دعونا أولاً نقدم مفهوم المنتج المتجه.

التعريف 7

حاصل الضرب المتجه لاثنين من المتجهين سيطلق عليه المتجه الذي سيكون عموديًا على كلا المتجهين المعينين ، وسيكون طوله مساويًا لحاصل ضرب أطوال هذه المتجهات مع جيب الزاوية بين هذين المتجهين ، وهذا المتجه مع اثنين الأولى لها نفس التوجه مثل النظام الديكارتيإحداثيات.

تعيين: \ overline (α) x \ overline (β) x.

لإيجاد حاصل الضرب المتجه ، سنستخدم الصيغة

\ overline (α) x \ overline () = \ start (vmatrix) \ overline (i) & \ overline (j) & \ overline (k) \\ α_1 & α_2 & α_3 \\ β_1 & β_2 & β_3 \ end (vmatrix) x

نظرًا لأن متجه حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين عمودي على كلا هذين المتجهين ، فسيكون متجهًا للمطالبة. أي لإيجاد متجه عمودي على متجهين ، ما عليك سوى إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي.

مثال 2

ابحث عن متجه عمودي على المتجهات ذات الإحداثيات \ overline (α) = (1،2،3) و \ overline (β) = (- 1،0،3)

أوجد حاصل الضرب الاتجاهي لهذه المتجهات.

\ overline (α) x \ overline (β) = \ start (vmatrix) \ overline (i) & \ overline (j) & \ overline (k) \\ 1 & 2 & 3 \\ - 1 & 0 & 3 \ end (vmatrix) = (6- 0) \ overline (i) - (3 + 3) \ overline (j) + (0 + 2) \ overline (k) = 6 \ overline (i) -6 \ overline (j) +2 \ overline (k) = (6،6،2) س