متجه الاتجاه للخط المستقيم لأي ناقل غير صفري ( م, ن) موازية لهذا الخط.

دع النقطة م 1 (x 1 , ذ 1) وناقلات الاتجاه ( م, ن) ، ثم معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة م 1 في اتجاه المتجه له الشكل: . هذه المعادلة تسمى معادلة قانونيةمستقيم.

مثال.أوجد معادلة الخط المستقيم مع متجه الاتجاه (1 ، -1) ويمر بالنقطة أ (1 ، 2).

سنبحث عن معادلة الخط المستقيم المطلوب بالشكل: الفأس + ب + ج= 0. لنكتب المعادلة الأساسية للخط ، ونحولها. احصل على س + ص - 3 = 0

معادلة خط يمر بنقطتين

دع نقطتين على الطائرة م 1 (x 1 , ذ 1) و م 2 (x 2, ذ 2) ، فإن معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر هذه النقاط لها الشكل: . إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا ، يجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر.

مثال.أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين أ (1 ، 2) ، ب (3 ، 4).

بتطبيق الصيغة أعلاه ، نحصل على:

معادلة خط مستقيم من نقطة وميل

إذا كانت المعادلة العامة للخط المستقيم آه + وو + ج= 0 إحضار إلى النموذج: والدلالة ، ثم تسمى المعادلة الناتجة معادلة الخط المستقيم مع عامل الانحدارك.

معادلة خط مستقيم في مقاطع

إذا كان الخط في المعادلة العامة آه + وو + ج= 0 معامل من¹ 0 ، إذن ، بالقسمة على C ، نحصل على: او اين

المعنى الهندسي للمعاملات هو أن المعامل أهو إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور أوه، أ ب- إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور OU.

مثال.يتم إعطاء المعادلة العامة للخط المستقيم X – في+ 1 = 0. أوجد معادلة هذا الخط المستقيم في أجزاء. أ = -1 ، ب = 1 ، ج = 1 ، إذن أ = -1, ب= 1. ستأخذ معادلة الخط المستقيم في مقاطع الشكل.

مثال.يتم إعطاء رؤوس المثلث أ (0 ؛ 1) ، ب (6 ؛ 5) ، ج (12 ؛ -1). أوجد معادلة الارتفاع المرسوم من الرأس C.

نجد معادلة الضلع AB: ;

4x = 6ذ– 6; 2x – 3ذ + 3 = 0;

معادلة الارتفاع المطلوبة لها الشكل: الفأس + ب + ج= 0 أو ص = ك س + ب.

ك=. ثم ذ=. لان الارتفاع يمر بالنقطة C ، ثم تفي بإحداثياتها هذه المعادلة: أين ب= 17. المجموع:.

الجواب: 3 x + 2ذ – 34 = 0.

درس عملي №7

اسم الفصل: منحنيات من الدرجة الثانية.

الغرض من الدرس:تعلم كيفية عمل منحنيات من الدرجة الثانية ، قم ببنائها.

التحضير للدرس:يكرر مادة نظريةحول موضوع "منحنيات من الدرجة الثانية"

المؤلفات:

1. Dadayan A.A. الرياضيات 2004

مهمة الدرس:

ترتيب الدرس:

1. احصل على إذن للعمل
2. أكمل المهام
3. اجب عن اسئلة الامان.

1. الاسم والغرض من الدرس والمهمة ؛
2. مهمة مكتملة
3. إجابات لأسئلة التحكم.

أسئلة التحكم للإزاحة:

1. حدد منحنيات من الدرجة الثانية (دائرة ، قطع ناقص ، قطع زائد ، قطع مكافئ) ، اكتب معادلاتها الأساسية.
2. ما هو الانحراف اللامركزي للقطع الناقص أو القطع الزائد يسمى؟ كيف تجدها؟
3. اكتب معادلة القطع الزائد المتساوي الأضلاع

الملحق

محيطهي مجموعة من جميع نقاط المستوى على مسافة متساوية من نقطة واحدة تسمى المركز.

دع مركز الدائرة يكون نقطة ا(أ؛ ب) والمسافة إلى أي نقطة م(س ؛ ذ) الدائرة تساوي ص. ثم ( اكس- ا) 2 + (ص ب) 2 = ص 2 - المعادلة المتعارف عليها لدائرة مركزها ا(أ؛ ب) ونصف القطر تم العثور على R.

مثال.أوجد إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها إذا كانت معادلتها كما يلي: 2 x 2 + 2ذ 2 - 8 س + 5 ذ – 4 = 0.

لإيجاد إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها ، يجب اختزال هذه المعادلة إلى الصيغة المتعارف عليها. للقيام بذلك ، حدد المربعات الكاملة:

x 2 + ذ 2 – 4x + 2,5ذ – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 – 4 + ذ 2 + 2,5ذ + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x– 2) 2 + (ذ + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (ذ + 5/4) 2 = 121/16

من هنا نجد إحداثيات المركز ا(2 ؛ -5 / 4) ؛ نصف القطر ص = 11/4.

الشكل البيضاويتسمى مجموعة من النقاط في المستوى ، ومجموع المسافات من كل منها إلى نقطتين معينتين (تسمى البؤر) هي قيمة ثابتة أكبر من المسافة بين البؤر.

تتم الإشارة إلى التركيز بالحروف F 1 , F مع، مجموع المسافات من أي نقطة من القطع الناقص إلى البؤر هو 2 أ (2أ > 2ج), أ- شبه محور كبير ؛ ب- نصف محور صغير.

المعادلة الأساسية للقطع الناقص هي: ، أين أ, بو جمرتبطة ببعضها البعض من خلال المساواة: أ 2 - ب 2 \ u003d ج ​​2 (أو ب 2 - أ 2 \ u003d ج ​​2).

يتم تحديد شكل القطع الناقص من خلال خاصية هي نسبة الطول البؤري إلى طول المحور الرئيسي وتسمى الانحراف المركزي. أو .

لان بحكم التعريف 2 أ> 2ج، ثم يتم التعبير عن الانحراف دائمًا جزء الصحيح، بمعنى آخر. .

مثال.اكتب معادلة للقطع الناقص إذا كانت بؤرته F 1 (0 ؛ 0) ، F 2 (1 ؛ 1) ، المحور الرئيسي هو 2.

معادلة القطع الناقص لها الشكل:.

المسافة بين النقاط: 2 ج= ، هكذا، أ 2 – ب 2 = ج 2 =. حسب الشرط 2 أ= 2 ، إذن أ = 1, ب= المعادلة المرغوبة للقطع الناقص ستأخذ الشكل:.

مقارنة مبالغ فيهاتسمى مجموعة النقاط في المستوى ، والفرق في المسافات من كل منها إلى نقطتين معينتين ، تسمى البؤر ، هو قيمة ثابتة ، أقل من المسافة بين البؤر.

المعادلة الأساسية للقطع الزائد لها الشكل: أو ، أين أ, بو جمرتبطة بالمساواة أ 2 + ب 2 = ص 2.القطع الزائد متماثل فيما يتعلق بمنتصف المقطع الذي يربط البؤر وفيما يتعلق بمحاور الإحداثيات. تتم الإشارة إلى التركيز بالحروف F 1 , F 2 ، المسافة بين البؤر - 2 مع، الفرق في المسافات من أي نقطة من القطع الزائد إلى البؤر هو 2 أ (2أ < 2ج). المحور 2 أيسمى المحور الحقيقي للقطع الزائد ، المحور 2 بهو المحور التخيلي للقطع الزائد. القطع الزائد له خطان مقاربان معادلاتهما

الانحراف اللامركزي للقطع الزائد هو نسبة المسافة بين البؤر إلى طول المحور الحقيقي: أو. لان بحكم التعريف 2 أ < 2ج، ثم يتم دائمًا التعبير عن الانحراف اللامركزي للقطع الزائد جزء غير لائق، بمعنى آخر. .

إذا كان طول المحور الحقيقي يساوي طول المحور التخيلي ، أي أ = ب, ε = ، ثم يسمى القطع الزائد متساوي الاضلاع.

مثال.اكتب المعادلة الأساسية للقطع الزائد إذا كان انحرافه هو 2 وتتزامن البؤر مع بؤر القطع الناقص مع المعادلة

إيجاد البعد البؤري ج 2 = 25 – 9 = 16.

للمبالغة: ج 2 = أ 2 + ب 2 = 16, ε = ج / أ = 2; ج = 2أ; ج 2 = 4أ 2 ; أ 2 = 4; ب 2 = 16 – 4 = 12.

ثم - المعادلة المرغوبة للقطع الزائد.

القطع المكافئهي مجموعة النقاط في مستوى متساوٍ من نقطة معينة، يسمى التركيز ، وخط مستقيم معين يسمى الدليل.

يتم الإشارة إلى تركيز القطع المكافئ بالحرف F، مدير - د، المسافة من البؤرة إلى الدليل هي ص.

المعادلة الأساسية للقطع المكافئ ، التي يقع تركيزها على المحور السيني ، هي:

ذ 2 = 2مقصفأو ذ 2 = -2مقصف

x = -ص/2, x = ص/2

المعادلة الأساسية للقطع المكافئ الذي ينصب تركيزه على المحور الصادي هو:

X 2 = 2السنة التحضيريةأو X 2 = -2السنة التحضيرية

معادلات المخرجات على التوالي في = -ص/2, في = ص/2

مثال.على القطع المكافئ في 2 = 8Xأوجد النقطة التي تكون بعدها عن الدليل 4.

من معادلة القطع المكافئ نحصل على ذلك ص = 4. ص = س + ص/ 2 = 4 ؛ بالتالي:

x = 2; ذ 2 = 16; ذ= ± 4. نقاط البحث: م 1 (2; 4), م 2 (2; -4).

الممارسة رقم 8

اسم الفصل: انتهت الإجراءات ارقام مركبةفي شكل جبري. التفسير الهندسي للأعداد المركبة.

الغرض من الدرس:تعلم كيفية التعامل مع الأعداد المركبة.

التحضير للدرس:كرر المادة النظرية حول موضوع "الأعداد المركبة".

المؤلفات:

1. Grigoriev V.P.، Dubinsky Yu.A. "عناصر رياضيات أعلى"، 2008

مهمة الدرس:

1. احسب:

1) أنا 145 + أنا 147 + أنا 264 + أنا 345 + أنا 117 ;

2) (أنا 64 + أنا 17 + أنا 13 + أنا 82) ( أنا 72 – أنا 34);

ما هو طبيعي؟ بكلمات بسيطة، العمودي هو العمودي. أي أن المتجه الطبيعي لخط ما عمودي على الخط المعطى. من الواضح أن أي خط مستقيم يحتوي على عدد لا حصر له منها (بالإضافة إلى نواقل التوجيه) ، وستكون جميع المتجهات العادية للخط المستقيم متداخلة (اتجاهي أم لا - لا يهم).

سيكون التعامل معهم أسهل من التعامل مع متجهات الاتجاه:

إذا تم إعطاء الخط بواسطة المعادلة العامة في نظام مستطيلإحداثيات ، ثم المتجه هو المتجه الطبيعي للخط المحدد.

إذا كان لابد من "سحب" إحداثيات متجه الاتجاه بعناية من المعادلة ، فسيتم ببساطة "إزالة" إحداثيات المتجه العادي.

يكون المتجه العادي دائمًا متعامدًا مع متجه الاتجاه للخط. سوف نتحقق من تعامد هذه المتجهات باستخدام المنتج نقطة:

سأقدم أمثلة بنفس المعادلات مثل متجه الاتجاه:

هل من الممكن كتابة معادلة لخط مستقيم بمعرفة نقطة واحدة ومتجه عادي؟ إذا كان المتجه الطبيعي معروفًا ، فسيتم تحديد اتجاه الخط المستقيم بشكل فريد أيضًا - وهذا "هيكل صلب" بزاوية 90 درجة.

كيف تكتب معادلة خط مستقيم بنقطة ومتجه عادي؟

إذا كانت هناك نقطة ما تنتمي إلى الخط والمتجه الطبيعي لهذا الخط معروفة ، فسيتم التعبير عن معادلة هذا الخط بالصيغة:

اكتب معادلة الخط المستقيم بنقطة ومتجه عادي. أوجد متجه الاتجاه للخط المستقيم.

الحل: استخدم الصيغة:

تم الحصول على المعادلة العامة للخط المستقيم ، دعنا نتحقق من:

1) "إزالة" إحداثيات المتجه العادي من المعادلة: - نعم ، في الواقع ، يتم الحصول على المتجه الأصلي من الحالة (أو يجب أن يكون المتجه على خط واحد مع المتجه الأصلي).

2) تحقق مما إذا كانت النقطة تفي بالمعادلة:

المساواة الحقيقية.

بعد اقتناعنا بصحة المعادلة ، سنكمل الجزء الثاني الأسهل من المهمة. نسحب متجه الاتجاه للخط المستقيم:

إجابه:

في الرسم الوضع كما يلي:

لأغراض التدريب ، مهمة مماثلة ل قرار مستقل:

اكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة و ناقلات الطبيعي. أوجد متجه الاتجاه للخط المستقيم.

سيتم تخصيص القسم الأخير من الدرس للأقل شيوعًا ، ولكن أيضًا الأنواع المهمةمعادلات الخط المستقيم على المستوى

معادلة خط مستقيم في مقاطع.
معادلة الخط المستقيم بالصيغة البارامترية

معادلة الخط المستقيم في المقاطع لها الشكل ، حيث توجد ثوابت غير صفرية. لا يمكن تمثيل بعض أنواع المعادلات في هذا الشكل ، على سبيل المثال ، التناسب المباشر (نظرًا لأن المصطلح المجاني هو صفر ولا توجد طريقة للحصول على واحدة في الجانب الأيمن).

هذا ، من الناحية المجازية ، نوع "تقني" من المعادلة. تتمثل المهمة المعتادة في تمثيل المعادلة العامة للخط المستقيم كمعادلة للخط المستقيم في مقاطع. لماذا هي مريحة؟ تتيح لك معادلة الخط المستقيم في المقاطع العثور بسرعة على نقاط تقاطع الخط المستقيم معها تنسيق المحاور، وهو أمر مهم للغاية في بعض مشاكل الرياضيات العليا.

أوجد نقطة تقاطع الخط مع المحور. نعيد ضبط "y" ، وتأخذ المعادلة الشكل. يتم الحصول على النقطة المطلوبة تلقائيًا:.

نفس الشيء مع المحور هي النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور الصادي.

يتم تنفيذ الإجراءات التي شرحتها للتو بالتفصيل شفهيًا.

نظرا لخط مستقيم. قم بتكوين معادلة خط مستقيم في مقاطع وتحديد نقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات.

الحل: لنجلب المعادلة إلى الصورة. أولاً ننتقل المصطلح المجاني إلى الجانب الأيمن:

للحصول على وحدة على اليمين ، نقسم كل حد من المعادلة على -11:

نصنع الكسور من ثلاثة طوابق:

ظهرت نقاط تقاطع الخط المستقيم مع محاور الإحداثيات:

إجابه:

يبقى إرفاق مسطرة ورسم خط مستقيم.

من السهل أن ترى أن هذا الخط المستقيم يتم تحديده بشكل فريد من خلال المقاطع الحمراء والخضراء ، ومن هنا جاءت التسمية - "معادلة الخط المستقيم في المقاطع".

بالطبع ، ليس من الصعب العثور على النقاط من المعادلة ، لكن المشكلة لا تزال مفيدة. ستكون الخوارزمية المدروسة مطلوبة للعثور على نقاط تقاطع المستوى مع محاور الإحداثيات ، لإحضار معادلة خط الدرجة الثانية إلى الشكل الأساسي ، وفي بعض المشكلات الأخرى. لذلك ، خطان مستقيمان لحل مستقل:

قم بتكوين معادلة خط مستقيم في مقاطع وتحديد نقاط تقاطعها مع محاور الإحداثيات.

الحلول والأجوبة في النهاية. لا تنس أنه إذا كنت ترغب في ذلك ، يمكنك رسم كل شيء.

كيف تكتب المعادلات البارامترية لخط مستقيم؟

المعادلات البارامترية للخط المستقيم أكثر صلة بالخطوط المستقيمة في الفضاء ، ولكن بدونها سيصبح مجردةنا يتيمة.

إذا كانت هناك نقطة تنتمي إلى الخط ومتجه الاتجاه لهذا الخط معروفة ، عندئذٍ يتم إعطاء المعادلات البارامترية لهذا الخط بواسطة النظام:

يؤلف معادلات بارامترية لخط مستقيم بنقطة ومتجه اتجاه

انتهى الحل قبل أن يبدأ:

يمكن أن تأخذ المعلمة "te" أي قيمة من "سالب اللانهاية" إلى "زائد ما لا نهاية" ، وتتوافق كل قيمة معلمة مع نقطة معينة من المستوى. على سبيل المثال ، إذا حصلنا على نقطة .

مشكلة معكوسة: كيف تتحقق مما إذا كانت نقطة الشرط تنتمي إلى سطر معين؟

دعونا نستبدل إحداثيات النقطة في المعادلات البارامترية التي تم الحصول عليها:

من كلا المعادلتين يتبع ذلك ، أي أن النظام متسق ولديه حل فريد.

دعنا نفكر في المهام الأكثر أهمية:

يؤلف معادلات بارامترية للخط المستقيم

الحل: بشرط ، يتم إعطاء الخط المستقيم بشكل عام. لتكوين المعادلات البارامترية للخط المستقيم ، تحتاج إلى معرفة متجه الاتجاه ونقطة ما تنتمي إلى هذا الخط المستقيم.

لنجد متجه الاتجاه:

أنت الآن بحاجة إلى العثور على نقطة ما تنتمي إلى الخط (أي شخص سيفعل ذلك) ، ولهذا الغرض ، من الملائم إعادة كتابة المعادلة العامة في شكل معادلة ذات ميل:

هذا يستدعي ، بالطبع ، النقطة

نؤلف المعادلات البارامترية للخط المستقيم:

وأخيرًا ، ملف مهمة إبداعيةلحل مستقل.

قم بتكوين معادلات حدودية لخط مستقيم إذا كانت النقطة التي تنتمي إليه والمتجه الطبيعي معروفة

يمكن إكمال المهمة الطريقة الوحيدة. أحد نسخ الحل والجواب في النهاية.

الحلول والأجوبة:

مثال 2: الحل: أوجد المنحدر:

نؤلف معادلة الخط المستقيم بنقطة وميل:

إجابه:

مثال 4: الحل: سنقوم بتكوين معادلة خط مستقيم وفقًا للصيغة:

إجابه:

مثال 6: الحل: استخدم الصيغة:

إجابه: (المحور ص)

المثال 8: المحلول: لنجعل معادلة الخط المستقيم على نقطتين:

اضرب كلا الطرفين في -4:

واقسم على 5:

إجابه:

المثال 10: المحلول: استخدم الصيغة:

نخفض بمقدار -2:

ناقل الاتجاه المباشر:
إجابه:

المثال 12:
أ) المحلول: لنحول المعادلة:

في هذا الطريق:

إجابه:

ب) المحلول: لنحول المعادلة:

في هذا الطريق:

إجابه:

المثال 15: المحلول: أولاً ، نكتب المعادلة العامة للخط المستقيم بنقطة والناقل الطبيعي :

اضرب ب 12:

نضرب في 2 حتى بعد فتح القوس الثاني ، نتخلص من الكسر:

ناقل الاتجاه المباشر:
نؤلف المعادلات البارامترية للخط المستقيم بالنقطة وناقل الاتجاه :
إجابه:

أبسط مسائل الخط المستقيم على المستوى.
الترتيب المتبادل للخطوط. الزاوية بين السطور

نستمر في النظر في هذه الخطوط اللانهائية.

كيف تجد المسافة من نقطة إلى خط؟
كيف تجد المسافة بين خطين متوازيين؟
كيف تجد الزاوية بين خطين؟

الترتيب المتبادل لخطين مستقيمين

ضع في اعتبارك خطين مستقيمين تعطيهما المعادلات بشكل عام:

الحالة عندما تغني القاعة في الجوقة. يمكن لخطين:

1) المباراة ؛

2) كن متوازيًا: ؛

3) أو تتقاطع عند نقطة واحدة:.

أرجوك تذكر علامة رياضيةتقاطع سيحدث في كثير من الأحيان. الإدخال يعني أن الخط يتقاطع مع الخط عند النقطة.

كيف تحدد الموضع النسبي لخطين؟

لنبدأ بالحالة الأولى:

يتطابق سطرين إذا وفقط إذا كانت معاملات كل منهما متناسبة ، أي أن هناك عددًا من "لامدا" تحمله المساواة

لنفكر في الخطوط المستقيمة ونؤلف ثلاث معادلات من المعاملات المقابلة:. من كل معادلة ، يترتب على ذلك ، أن هذه الخطوط تتطابق.

في الواقع ، إذا كانت جميع معاملات المعادلة اضرب ب -1 (علامات التغيير) ، وجميع معاملات المعادلة تقليل بمقدار 2 ، تحصل على نفس المعادلة:.

الحالة الثانية عندما تكون الخطوط متوازية:

خطان متوازيان إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما في المتغيرات متناسبة: ، لكن .

كمثال ، ضع في اعتبارك خطين مستقيمين. نتحقق من تناسب المعاملات المقابلة للمتغيرات:

ومع ذلك ، فمن الواضح أن.

والحالة الثالثة عندما يتقاطع الخطان:

يتقاطع خطان إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما عند المتغيرات غير متناسبة ، أي أنه لا توجد قيمة "لامدا" بحيث تتحقق المساواة

لذلك ، بالنسبة للخطوط المستقيمة ، سنقوم بتكوين نظام:

ويترتب على المعادلة الأولى ذلك ومن المعادلة الثانية: مما يعني أن النظام غير متناسق (لا توجد حلول). وبالتالي ، فإن المعاملات في المتغيرات ليست متناسبة.

الخلاصة: تتقاطع الخطوط

في المشاكل العملية ، يمكن استخدام مخطط الحل الذي تم النظر فيه للتو. بالمناسبة ، إنه مشابه جدًا لخوارزمية فحص المتجهات للعلاقة الخطية المتداخلة. لكن هناك حزمة أكثر تحضرًا:

اكتشف الموضع النسبي للخطوط:

يعتمد الحل على دراسة توجيه نواقل الخطوط المستقيمة:

أ) من المعادلات نجد متجهات الاتجاه للخطوط: .

، لذلك لا تكون المتجهات على خط واحد وتتقاطع الخطوط.

ب) ابحث عن متجهات الاتجاه للخطوط:

الخطوط لها نفس متجه الاتجاه ، مما يعني أنها إما متوازية أو متشابهة. هنا المحدد ليس ضروريا.

من الواضح أن معاملات المجهول متناسبة ، بينما.

دعنا نكتشف ما إذا كانت المساواة صحيحة:

في هذا الطريق،

ج) ابحث عن متجهات الاتجاه للخطوط:

لنحسب المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات:
لذلك ، فإن نواقل الاتجاه متداخلة. الخطوط إما موازية أو متزامنة.

يمكن إيجاد معامل التناسب "لامدا" مباشرة بواسطة نسبة متجهات الاتجاه الخطي. ومع ذلك ، فمن الممكن أيضًا من خلال معاملات المعادلات نفسها: .

الآن دعنا نكتشف ما إذا كانت المساواة صحيحة. كلا المصطلحين المجانيين صفرا ، لذلك:

القيمة الناتجة تحقق هذه المعادلة (أي رقم يرضيها بشكل عام).

وهكذا تتطابق الخطوط.

كيفية رسم خط مواز لخط معين؟

يتم إعطاء الخط المستقيم بواسطة المعادلة. اكتب معادلة لخط متوازي يمر بالنقطة.

الحل: قم بالإشارة إلى الخط المستقيم غير المعروف بالحرف. ماذا تقول الشرط عنها؟ الخط يمر بالنقطة. وإذا كانت الخطوط متوازية ، فمن الواضح أن متجه التوجيه للخط "ce" مناسب أيضًا لإنشاء الخط "te".

نخرج متجه الاتجاه من المعادلة:

تبدو هندسة المثال بسيطة:

يتكون التحقق التحليلي من الخطوات التالية:

1) نتحقق من أن الخطوط لها نفس متجه الاتجاه (إذا لم يتم تبسيط معادلة الخط بشكل صحيح ، فستكون المتجهات على خط واحد).

2) تحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة الناتجة.

من السهل إجراء التحقق التحليلي شفوياً في معظم الحالات. انظر إلى المعادلتين وسيكتشف الكثير منكم بسرعة كيف أن الخطوط متوازية دون أي رسم.

ستكون أمثلة الحل الذاتي اليوم إبداعية.

اكتب معادلة لخط يمر بنقطة موازية للخط إذا

أقصر طريق في النهاية.

كيف تجد نقطة تقاطع خطين؟

إذا كان مستقيما تتقاطع عند النقطة ، فتكون إحداثياتها هي حل النظام المعادلات الخطية

كيف تجد نقطة تقاطع الخطوط؟ حل النظام.

تستخدم لتمني الصحة أو النجاح لشخص قبل الشرب المعنى الهندسيأنظمة معادلتين خطيتين مع مجهولين هما خطان متقاطعان (غالبًا) في المستوى.

أوجد نقطة تقاطع الخطوط

الحل: هناك طريقتان لحل - رسومية وتحليلية.

طريقة رسوميةهو ببساطة رسم الخطوط المعينة ومعرفة نقطة التقاطع مباشرة من الرسم:

ها هي وجهة نظرنا:. للتحقق ، يجب أن تستبدل إحداثياته ​​في كل معادلة للخط المستقيم ، يجب أن تناسب كلاهما هناك وهناك. بمعنى آخر ، إحداثيات نقطة هي حل النظام. في الواقع ، لقد نظرنا في طريقة رسومية لحل نظام من المعادلات الخطية مع معادلتين ، مجهولين.

الطريقة الرسومية ، بالطبع ، ليست سيئة ، لكن هناك عيوب ملحوظة. لا ، النقطة ليست أن طلاب الصف السابع يقررون بهذه الطريقة ، فالنقطة هي أن الأمر سيستغرق وقتًا لعمل رسم صحيح ودقيق. بالإضافة إلى ذلك ، ليس من السهل إنشاء بعض الخطوط ، ويمكن أن تكون نقطة التقاطع نفسها في مكان ما في المملكة الثلاثين خارج ورقة دفتر الملاحظات.

لذلك ، من الأنسب البحث عن نقطة التقاطع بالطريقة التحليلية. لنحل النظام:

لحل النظام ، تم استخدام طريقة جمع المعادلات النهائية.

التحقق بسيط - يجب أن تفي إحداثيات نقطة التقاطع بكل معادلة في النظام.

أوجد نقطة تقاطع الخطين إذا تقاطعا.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". من المناسب تقسيم المشكلة إلى عدة مراحل. يشير تحليل الحالة إلى أنه من الضروري:
1) اكتب معادلة الخط المستقيم.
2) اكتب معادلة الخط المستقيم.
3) اكتشف الموضع النسبي للخطوط.
4) إذا تقاطع الخطان ، فابحث عن نقطة التقاطع.

يعد تطوير خوارزمية الإجراء نموذجيًا للعديد من المشكلات الهندسية ، وسأركز بشكل متكرر على هذا.

الحل الكاملوالجواب في النهاية:

خطوط متعامدة. المسافة من نقطة إلى خط.
الزاوية بين السطور

كيفية رسم خط عمودي على خط معين؟

يتم إعطاء الخط المستقيم بواسطة المعادلة. اكتب معادلة لخط عمودي يمر بنقطة.

الحل: من المعروف عن طريق افتراض ذلك. سيكون من الجيد إيجاد متجه الاتجاه للخط المستقيم. نظرًا لأن الخطوط عمودية ، فإن الحيلة بسيطة:

من المعادلة "نزيل" المتجه العادي: والذي سيكون المتجه الموجه للخط المستقيم.

نؤلف معادلة الخط المستقيم بنقطة وناقل التوجيه:

إجابه:

دعونا نكشف عن الرسم الهندسي:

التحقق التحليليحلول:

1) استخرج متجهات الاتجاه من المعادلات وباستخدام الناتج القياسي للمتجهات ، نستنتج أن الخطوط عمودية بالفعل:.

بالمناسبة ، يمكنك استخدام المتجهات العادية ، الأمر أسهل.

2) تحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة الناتجة .

التحقق ، مرة أخرى ، من السهل القيام به لفظيًا.

أوجد نقطة تقاطع المستقيمات المتعامدة ، إذا كانت المعادلة معروفة ونقطة.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". هناك العديد من الإجراءات في المهمة ، لذا فمن الملائم ترتيب الحل نقطة تلو الأخرى.

المسافة من نقطة إلى خط

يُشار إلى المسافة في الهندسة تقليديًا بالحرف اليوناني "p" ، على سبيل المثال: - المسافة من النقطة "م" إلى الخط المستقيم "د".

المسافة من نقطة إلى خط يتم التعبير عنها بالصيغة

أوجد المسافة من نقطة إلى خط

الحل: كل ما عليك فعله هو إدخال الأرقام بعناية في الصيغة وإجراء العمليات الحسابية:

إجابه:

لننفذ الرسم:

المسافة التي تم العثور عليها من النقطة إلى الخط هي بالضبط طول الجزء الأحمر. إذا قمت بعمل رسم على ورق متقلب بمقياس 1 وحدة. = 1 سم (خليتان) ، ثم يمكن قياس المسافة بمسطرة عادية.

ضع في اعتبارك مهمة أخرى وفقًا لنفس الرسم:

كيف نبني نقطة متناظرة حول خط مستقيم؟

المهمة هي إيجاد إحداثيات النقطة ، والتي تكون متناظرة مع النقطة بالنسبة للخط . أقترح تنفيذ الإجراءات بمفردك ، ومع ذلك ، سأقوم بتعيين خوارزمية الحل بـ نتائج متوسطة:

1) ابحث عن خط عمودي على خط مستقيم.

2) أوجد نقطة تقاطع الخطوط: .

في الهندسة ، تُؤخذ الزاوية بين خطين مستقيمين كزاوية أصغر ، والتي تتبع منها تلقائيًا أنه لا يمكن أن تكون منفرجة. في الشكل ، الزاوية التي يشير إليها القوس الأحمر لا تعتبر الزاوية بين الخطوط المتقاطعة. ويعتبر جارها "الأخضر" أو ركن "التوت" المعاكس الاتجاه على هذا النحو.

إذا كانت الخطوط متعامدة ، فيمكن اعتبار أي من الزوايا الأربع كزاوية بينهما.

كيف تختلف الزوايا؟ توجيه. أولاً ، اتجاه "التمرير" في الزاوية مهم بشكل أساسي. ثانيًا ، يتم كتابة الزاوية ذات الاتجاه السالب بعلامة ناقص ، على سبيل المثال ، إذا.

لماذا قلت هذا؟ يبدو أنه يمكنك تجاوز المفهوم المعتاد للزاوية. الحقيقة هي أنه في الصيغ التي سنجد بها الزوايا ، يمكن أن تظهر بسهولة نتيجة سلبيةولا ينبغي أن يفاجئك. الزاوية بعلامة ناقص ليست أسوأ ، ولها معنى هندسي محدد للغاية. على الرسم ل زاوية سالبةتأكد من الإشارة إلى اتجاهه (في اتجاه عقارب الساعة) بسهم.

بناءً على ما سبق ، يتم إضفاء الطابع الرسمي على الحل بشكل ملائم في خطوتين:

1) احسب الناتج القياسي لتوجيه متجهات الخطوط المستقيمة:
لذلك فإن الخطوط ليست عمودية.

2) نجد الزاوية بين السطور بالصيغة:

باستخدام وظيفة عكسيةمن السهل العثور على الزاوية نفسها. في هذه الحالة ، نستخدم غرابة قوس الظل:

إجابه:

في الإجابة ، نشير إلى القيمة الدقيقة ، وكذلك القيمة التقريبية (يفضل أن تكون بالدرجات والراديان) ، المحسوبة باستخدام الآلة الحاسبة.

حسنًا ، ناقص ، ناقص ، لا بأس. هنا رسم توضيحي هندسي:

ليس من المستغرب أن تكون الزاوية سالبة الاتجاه ، لأنه في حالة المشكلة ، يكون الرقم الأول عبارة عن خط مستقيم ويبدأ "التواء" الزاوية منه بالضبط.

هناك أيضا حل ثالث. الفكرة هي حساب الزاوية بين متجهات الاتجاه للخطوط:

نحن هنا لا نتحدث عن زاوية موجهة ، ولكن "مجرد زاوية" ، أي أن النتيجة ستكون بالتأكيد إيجابية. المهم هو أنه يمكن أن يحدث زاوية منفرجة(ليس الشخص الذي تريده). في هذه الحالة ، سيكون عليك أن تحجز أن الزاوية بين السطور هي زاوية أصغر ، وطرح جيب التمام الناتج من القوس "pi" راديان (180 درجة).

أوجد الزاوية بين الخطين.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". حاول حلها بطريقتين.

الحلول والأجوبة:

مثال 3: الحل: أوجد متجه الاتجاه للخط المستقيم:

سنقوم بتكوين معادلة الخط المستقيم المطلوب باستخدام النقطة ومتجه الاتجاه

ملحوظة: هنا يتم ضرب المعادلة الأولى للنظام بـ 5 ، ثم يتم طرح المعادلة الثانية بمصطلح من المعادلة الأولى.
إجابه:

إشغال 9 . الطائرة والخط في الفضاء.

9.1 المعادلة العامة للطائرة. ناقلات الطبيعي.

9.3 المسافة من نقطة إلى مستوى. الترتيب المتبادل لطائرتين ، خط مستقيم ومستوى من خطين مستقيمين في الفضاء.

9.1 المعادلة العامة للطائرة. ناقلات الطبيعي.

المعادلة العامة للطائرة في الفضاء لها الشكل ، أين
- معاملات عددية ،
- الإحداثيات نقطة تعسفيةطائرات.

يتم الحصول على هذه المعادلة من خلال حل المشكلة التالية.

مهمة 1. أوجد معادلة مستوى يمر بنقطة معينة
عمودي على المتجه
.

المحلول. دلالة على المستوى المطلوب من خلال
. نستخدم سلسلة الاستنتاجات التالية:

نلاحظ التشابه الكامل بين المعادلة العامة لخط مستقيم على مستوى
والمعادلة العامة للطائرة في الفضاء.

يمكن أن نرى من حل المشكلة أنه من المعادلة العامة للمستوى يمكن للمرء أن يجد المتجه على الفور
عمودي على المستوى. هذا المتجه يسمى عادي(أو ناقلات الطبيعي) إلى الطائرة. على سبيل المثال ، من المعادلة العامة للطائرة
(في هذه المعادلة) نحصل على مثل هذا المتجه العادي
. معامل في الرياضيات او درجة ليس لديه عبء دلالي خاص ؛ فيما يتعلق به ، يمكن للمرء أن يقول ذلك فقط عندما
الطائرة تمر من خلال الأصل
، وعندما
لا يمر من خلال الأصل. وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن المعادلة
مجموعات في الفضاء
طائرة عادية
، مما يدل على أن المستوى المحدد يعمل بالتوازي مع المحور
. إنها نفس المعادلة
على السطح
يحدد خط.

وبالمثل ، فإن المعادلة
في الفضاء
يمثل المعادلة العامة لمستوى الإحداثيات
. المستوى الطبيعي لهذا المستوى هو المتجه
- متجه الوحدة لاتجاه المحور الإيجابي
.

عند العثور على معادلات المستويات ، غالبًا ما يتم استخدام حالة التعامد بين متجهين (كما هو الحال في المشكلة 1) وشرط التوافق مع ثلاثة نواقل.

مثال 1. أوجد معادلة مستوى يمر بثلاث نقاط.

المحلول. أولاً ، تأكد من أن النقاط الثلاث المعطاة لا تقع على نفس الخط (إذا كانت هذه النقاط تقع على نفس الخط ، فهناك عدد لا نهائي من المستويات التي تحتوي على النقاط المحددة). لنجد المتجهات. إحداثياتهم ليست متناسبة. لذا فإن النقاط
لا تستلقي على خط مستقيم وتمر من خلالها طائرة واحدة فقط. أوجد هذا المستوى الذي نشير إليه
، بطريقتين.

1) - متحد المستوى
منتج مختلط من النواقل
صفر

المعادلة العامة للطائرة
.

2)
- ناقل طبيعي للطائرة
، لان من خلال تعريف المنتج المتقاطع عمودي على المتجهات
، موازى
. مزيد من التفكير يكرر حل المشكلة 1.

المعادلة العامة للطائرة
.

مثال 2. أوجد معادلة المستوى
يمر بالنقطة
بالتوازي مع الطائرة
:
.

المحلول.
: - ناقل طائرة عادي
. نفس المتجه يعمل كمتجه طبيعي للمستوى
. يبقى تكرار حل المشكلة 1.

المعادلة العامة للطائرة
.

مثال 3.تجد زاوية زوجية، التي تتقاطع تحتها الطائرات
و
.

:
,
:
.

المحلول. زاوية زوجية (منفرجة أو حادة) بين المستويات تساوي الزاوية بين معاييرها.

:,
:.

- زاوية منفرجة،

. زاوية ثنائية السطح الحاد بين
و
يساوي
.

9.2. خط مستقيم في الفضاء
:المعادلات الكنسية البارامترية.

واحد). مباشرة في الفضاء
يمكن تعريفه على أنه خط تقاطع مستويين. لذلك ، نظام المعادلتين المستويين
,

(1)

يحدد خط في الفضاء
شريطة أن الأعراف
,
هذه الطائرات ليست متوازية. اذا كان و
متوازية ، ثم الطائرات
,
إما أن تكون متوازية أو متشابهة. في كلتا الحالتين ، لن يعطي النظام (1) خطاً مستقيماً بعد الآن.

تعليق. إعداد النظام المباشر (1) ليس ملائمًا للغاية ، لأن لا يمكن رؤية اتجاه الخط المستقيم ولا أي من النقاط على هذا الخط المستقيم منه. يمكن الحصول على هذه المعلومات من النظام (1) فقط من خلال حسابات إضافية.

الأكثر تفضيلاً من حيث الملاحظة المقدمة هي المعادلات الكنسية والبارامترية للخط المستقيم في
.

2). المعادلات المتعارف عليها للخط المستقيم في الفراغ
يشبه

. (2)

هنا
- الأرقام المعطاة لها المعنى الهندسي التالي:
- إحداثيات نقطة ثابتة
على خط مستقيم

- إحداثيات متجه الاتجاه مستقيم.

- إحداثيات نقطة عشوائية على خط مستقيم.

المعادلات البارامترية للخط المستقيم في
يشبه

(3)

المعنى الهندسي للكميات
والكميات
نفس أعلاه.

يتم الحصول على المعادلات (2) ، (3) عن طريق حل المتغير المكاني المهام 2من الدرس 8.

تعليق.الخط المستقيم على المستوى له قيمة طبيعية، والذي ، مثل متجه التوجيه للخط المستقيم ، يسمح لك بتعيين اتجاه هذا الخط المستقيم. بالنسبة لخط مستقيم في الفضاء ، فإن المتجه الطبيعي لا معنى له، لان يوجد عدد لا نهائي من المتجهات المتعامدة مع خط الفضاء باتجاهات مختلفة ، ولا يعطي متجه واحد معطى عموديًا على هذا الخط إجابة لا لبس فيها حول اتجاهه.

مثال 4. أوجد المعادلات الأساسية للخط
، المعرفة على أنها تقاطع طائرتين
:
و
:
.

نظام المعادلات
يحدد خط مستقيم
في الفضاء لأن نواقل عادية للطائرات
و
، وهذه هي النواقل
و
ليست موازية. لنجد نقطتين ثابتتين
على خط مستقيم
.

1. استبدل القيمة في النظام
، نحن نحصل

.

المعنى الهندسي للنقطة
: هذه هي نقطة تقاطع الخط
بالطائرة
.

2. استبدل القيمة في النظام
، نحن نحصل

.

نقطة
، هي نقطة تقاطع الخط
بالطائرة
.

3. - متجه الاتجاه مستقيم
.

4. إحداثيات المتجهات
متناسب

. هذه هي المعادلة الأساسية للخط
.

5. ملاحظة. اتجاه متجه مستقيم
يمكن العثور عليها بواسطة النواقل
و
. للقيام بذلك ، تحتاج إلى حساب حاصل الضرب الاتجاهي.

المتجه عمودي على المتجهات و
الوقت ذاته. بالتالي، بالتوازي مع خط مستقيم
ويخدم الآخرين (مقارنة بالناقل ) كمتجه اتجاه هذا الخط. على فكرة:
، والذي يشير أيضًا إلى توازي المتجه مستقيم
. مع هذا النهج ، المعادلات الأساسية للخط المستقيم
يتم الحصول عليها بعد تنفيذ النقاط 1. و 4. و 5. من القرار أعلاه. فقط الإجابة ستظهر بالفعل في النموذج
.

مثال 5. أوجد المعادلات البارامترية للخط المستقيم
يمر بالنقطة
عمودي على المستوى
:
.

المحلول.
- ناقل طبيعي للطائرة
. هذا المتجه موازي للخط
وبالتالي ، هو ناقلها التوجيهي. بالتالي،

مثال 6. أوجد المعادلات الأساسية والبارامترية للخط المستقيم
يمر بالنقطة
بالتوازي مع خط مستقيم
:
.

المحلول.
- متجه الاتجاه مستقيم
. نفس المتجه هو متجه الاتجاه للخط المطلوب
. بالتالي،

إحداثيات ناقلات
متناسب

- المعادلات الكنسية للخط


- المعادلات البارامترية للخط المستقيم
.

9.3 المسافة من نقطة إلى مستوى. الترتيب المتبادل لطائرتين ، خط مستقيم ومستوى ، خطان مستقيمان في الفضاء.

مسافه: بعد من وجهة
للمستوى بواسطة الصيغة
.

معظم معلومات مفيدةحول الموضع النسبي لطائرتين ، خط ومستوى ، يمكن استخراج خطين في الفضاء من متجهات الاتجاه للخطوط والأعراف إلى المستويات.

المثال 8. ابحث عن مسافة من وجهة
حتى الطائرة
.

المحلول. .

المثال 9. ما قيمة المعلمة طائرة
:
بالتوازي مع الطائرة
:
?

المحلول. تكون المستويات متوازية إذا وفقط إذا كانت نواقلها العادية على خط واحد
و
، بمعنى آخر. يجب ان يكون
. هذه المساواة المزدوجة لا تصح لأي شيء ، لان
. لذلك ، الطائرات
و
ليس موازيًا لجميع قيم المعلمات .

المثال 10. ما قيم المعلمات
مستقيم
:
تقع في الطائرة
:
?

وفقًا للمعادلات الكنسية للخط المستقيم
نكتب معادلاتها البارامترية

.

كل نقاط الخط
إرضاء معادلة المستوى

إجابه:
.

يمكنك حل هذه المشكلة بطريقة مختلفة.
- متجه الاتجاه مستقيم
و
هي نقطة ثابتة في هذا الخط.
- ناقل طبيعي للطائرة
. بعد ذلك ، نبني مثل هذه السلسلة من التفكير.

المثال 11. اكتشف الموضع النسبي لخطين

:
و
:
.

المحلول. يمكن أن تتقاطع الخطوط في الفضاء ، ويمكن أن تتقاطع عند نقطة واحدة ، ويمكن أن تكون متوازية ، ويمكن أن تتطابق. دعونا نكتشف أي من الحالات الأربع المشار إليها يتم تحقيقها في هذا المثال.

من المعادلة
نستنتج: و
.

من المعادلة
انتاج:
و
.

.

إذا كان مستقيما
و
تتقاطع أو تكون متوازية أو متزامنة ، ثم ثلاثية النواقل
- متحد المستوى. ماذا لو مستقيم
و
تتقاطع ، ثم ثلاثية النواقل
-غير متحد المستوى. لنجد حاصل الضرب المختلط لهذه المتجهات الثلاثة.

الترويكا
- غير متحد المستوى

مستقيم
و
هجن.

توضح الأمثلة الواردة في الدرسين 8 و 9 بوضوح قوة أساليب المتجهات والدور الاستثنائي للشروط: العلاقة الخطية المتداخلة بين متجهين ؛ تعامد متجهين ؛ الانحدار لثلاثة نواقل في إيجاد معادلات الخطوط والمستويات.

الواجب المنزلي.

1. أوجد المعادلة العامة لمستوى يمر بثلاث نقاط.

2. أوجد المعادلات الأساسية والبارامترية للخط المستقيم ، وهو تقاطع المستويات.

3. أوجد نقطة تقاطع الخط المار بالنقطة
عمودي على المستوى
مع هذه الطائرة.

يرتبط مفهوم متجه التوجيه ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الخط المستقيم. غالبًا ما يكون من الأنسب في المشكلات النظر إليه بدلاً من الخط المباشر نفسه. كجزء من هذه المادةسنقوم بتحليل ماهية متجه التوجيه لخط مستقيم في الفضاء وعلى المستوى ، ونخبرك بما يمكن استخدامه من أجله.

Yandex.RTB R-A-339285-1

في الفقرة الأولى ، نصوغ التعريف ونعرض المفاهيم الأساسية في الرسوم التوضيحية ، مكملاً لها أمثلة ملموسةناقلات التوجيه. بعد ذلك ، سنرى كيف يتفاعل الخط ومتجهات الاتجاه في نظام إحداثيات مستطيل وكيف يمكننا حساب إحداثيات هذا المتجه إذا عرفنا معادلة الخط. سيتم توضيح جميع القواعد ، كما هو الحال دائمًا ، بأمثلة على حلول المشكلات.

لفهم هذا الموضوع ، نحتاج إلى تكوين فكرة جيدة عن ماهية الخط المستقيم بشكل عام وكيف يمكن وضعه في الفضاء وعلى مستوى. بالإضافة إلى ذلك ، من المهم تذكر مفهوم المتجه الذي تمت دراسته مسبقًا. لقد كتبنا بالفعل عن هذا في مقال منفصل. إذا لزم الأمر ، ابحث عن هذه المقالات وأعد قراءتها.

لنقم بصياغة ماهية متجه الاتجاه.

التعريف 1

توجيه ناقلاتالخط المستقيم هو أي متجه غير صفري يتم وضعه على خط معين أو على خط موازٍ له.

اتضح أن كل سطر له مجموعة لانهائيةنواقل التوجيه. علاوة على ذلك ، سيكون كل منهم على علاقة خطية بحكم التعريف الصوتي ، لأنهم يقعون على سطر أو خط آخر موازٍ له. اتضح أنه إذا كان a → هو المتجه الموجه للخط a ، فيمكننا الإشارة إلى متجه التوجيه الآخر كـ t · a → لأي قيمة لـ t تقابل رقمًا حقيقيًا.

أيضًا من التعريف أعلاه ، يمكننا أن نستنتج أن متجهات الاتجاه لخطين متوازيين ستتطابق: إذا كان الخطان a و 1 متوازيان ، فسيكون المتجه a → هو الاتجاه لكل من a و 1.

الاستنتاج الثالث يتبع من التعريف: إذا كان لدينا متجه اتجاه للخط أ ، فسيكون عموديًا على أي متجه عادي لنفس الخط.

دعنا نعطي مثالاً على متجه الاتجاه: في نظام إحداثيات مستطيل للمحاور O x و O y و O z ستكون متجهات الاتجاه هي i → و j → و k →.

كيفية حساب إحداثيات متجه الاتجاه من معادلات الخط المستقيم

لنفترض أن لدينا خطًا مستقيمًا به متجهات اتجاه ، يقع في نظام إحداثيات مستطيل. سننظر أولاً في الحالة مع شقة النظام الديكارتي O x y ، ثم مع النظام O x y z الموجود في فضاء ثلاثي الأبعاد.

1. يمكن وصف الخط المستقيم في O x y باستخدام معادلة الخط المستقيم في المستوى. في هذه الحالة ، ستتوافق إحداثيات متجهات الاتجاه مع متجهات الاتجاه للخط الأصلي. وإذا عرفنا معادلة الخط المستقيم ، فكيف نحسب إحداثيات متجه اتجاهه؟ من السهل القيام بذلك إذا كنا نتعامل مع معادلة أساسية أو بارامترية.

لنفترض أن لدينا الحالة الأساسية لمعادلة تبدو مثل x - x 1 a x = y - y 1 a y. بمساعدتها ، يتم تعيين خط مستقيم مع ناقل توجيه a → = (a x ، a y) على المستوى.

لحساب إحداثيات متجه الاتجاه ، علينا أخذ الأرقام من مقام المعادلة الأساسية للخط.

دعنا نعطي مثالا على مهمة.

مثال 1

في نظام الإحداثيات المستطيل ، يوجد خط مستقيم يمكن وصفه بالمعادلة x - 1 4 = y + 1 2 - 3. احسب إحداثيات أحد متجهات الاتجاه للخط.

المحلول

من المعادلة ، يمكننا أن نأخذ إحداثيات متجه الاتجاه على الفور. نأخذ الأعداد في المقامات ونكتب: 4 ، - 3. سيكون هذا هو الجواب الذي نحتاجه.

إجابه: 4 , - 3 .

إذا تم وصف الخط المستقيم بمعادلة من النوع البارامترى ، فسنحتاج إلى النظر إلى معاملات المعلمة. سوف تتوافق مع إحداثيات متجه الاتجاه الذي نحتاجه.

مثال 2

لدينا خط مستقيم يمكن وصفه باستخدام نظام المعادلات البارامترية x = - 1 y = 7-5 · λ ، بينما λ ∈ R. أوجد إحداثيات متجهات الاتجاه.

المحلول

أولاً ، دعنا نعيد كتابة هذه المعادلات البارامترية بالصيغة x = - 1 + 0 · λ y = 7 - 5 · λ. لنلق نظرة على النسب. سوف يعلموننا الإحداثيات المطلوبةمتجه الاتجاه - a → = (0 ، 5). بالنظر إلى أن جميع متجهات الاتجاه لخط مستقيم واحد ستكون متداخلة ، يمكننا تعيينها في الشكل t a → أو 0 ، - 5 t ، حيث يمكن أن تكون أي عدد حقيقي. لقد كتبنا عن كيفية تنفيذ الإجراءات مع المتجهات في الإحداثيات في مقال منفصل.

إجابه: 0 ، - 5 طن ، t ∈ R ، t ≠ 0

لنلق نظرة الآن على حالة كيفية إيجاد إحداثيات المتجه إذا كان الخط مُعطى بمعادلة عامة بالصيغة A x + B y + C = 0. إذا كان A = 0 ، فيمكن إعادة كتابة المعادلة الأصلية على النحو التالي: B y + C = 0. إنها تحدد خطًا مستقيمًا يوازي المحور x. لذلك ، كمتجه اتجاهه ، يمكننا أخذ متجه الإحداثيات i → = 1 ، 0.

وإذا كانت B \ u003d 0 ، فيمكننا كتابة معادلة الخط المستقيم كـ A x + C \ u003d 0. سيكون الخط المستقيم الذي وصفه موازيًا لمحور y ، وبالتالي فإن متجه إحداثياته ​​j → = 0 ، 1 سيكون أيضًا موجهاً. لنفكر في مشكلة محددة.

مثال 3

لدينا خط مستقيم معطى بالمعادلة العامة x - 2 = 0. ابحث عن إحداثيات أي متجه اتجاه.

المحلول

في نظام الإحداثيات المستطيل ، تتطابق المعادلة الأصلية مع خط مستقيم موازٍ لمحور y. إذن يمكننا أخذ متجه الإحداثيات j → = (0 ، 1). سوف يرشدها.

إجابه: (0 , 1)

لكن ماذا لو لم يكن أي من المعاملات في A x + B y + C = 0 يساوي 0؟ ثم يمكننا استخدام عدة طرق مختلفة.

1. يمكننا إعادة كتابة المعادلة الأساسية بحيث تصبح أساسية. ثم يمكن أخذ إحداثيات المتجه من قيمه.

2. يمكنك حساب نقطتي البداية والنهاية لمتجه الاتجاه بشكل منفصل. للقيام بذلك ، سيكون من الضروري أخذ إحداثيات أي نقطتين غير متطابقتين من الخط الأصلي.

3. الطريقة الثالثة هي حساب إحداثيات أي متجه يكون عموديًا على المتجه الطبيعي لهذا الخط n → = A ، B.

أبسط هو النهج الأول. دعنا نوضحها بمثال لمشكلة.

مثال 4

يوجد خط مستقيم على المستوى من المعادلة 3 س + 2 ص - 10 = 0. اكتب إحداثيات أي متجه اتجاه.

المحلول

دعنا نعيد كتابة المعادلة الأصلية بالصيغة المتعارف عليها. أولاً ، ننقل جميع المصطلحات من الجانب الأيسر ، باستثناء 3 x ، إلى الجانب الأيمن بـ علامة المعاكس. سنكون قادرين على:

3 س + 2 ص - 10 = 0 3 س = - 2 ص + 10

نقوم بتحويل المساواة الناتجة ونحصل على:

3 س = - 2 ص + 10 3 س = - 2 (ص - 5) ⇔ س - 2 = ص - 5 3

من هنا يمكننا بالفعل اشتقاق إحداثيات متجه الاتجاه الذي نحتاجه: -2 ، 3

الجواب: -2 ، 3

إلى نظرة عامةمن السهل تقليل أنواع المعادلات مثل معادلة الخط المستقيم في المقاطع x a + y b \ u003d 1 ومعادلة الخط المستقيم بميل y \ u003d k x + b ، لذلك إذا قابلتها في المشكلة لإيجاد إحداثيات متجه الاتجاه ، ثم يمكنك أيضًا استخدام هذا النهج.

التعريف 2

المتجه a → = (a x، a y، a z) هو اتجاه الخط المستقيم معبرًا عنه بـ:

1) المعادلة الأساسية لخط مستقيم في الفراغ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

2) المعادلة البارامتريةخط في الفضاء x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

وبالتالي ، لحساب إحداثيات متجه الاتجاه ، يجب أن تأخذ أرقامًا من القواسم أو معاملات المعلمة في المعادلة المقابلة.

لنفكر في مشكلة محددة.

مثال 5

يتم الحصول على خط مستقيم في الفضاء بواسطة معادلة بالصيغة x - 1 4 = y + 1 2 0 = z - 3. حدد إحداثيات متجه الاتجاه لهذا الخط.

المحلول

في المعادلة الأساسية ، تظهر الأرقام الضرورية على الفور في القواسم. اتضح أن الإجابة ستكون متجهًا بإحداثيات 4 ، 0 ، - 3. يمكن كتابة إحداثيات جميع متجهات الاتجاه لخط معين على النحو 4 · t ، 0 ، - 3 · t بشرط أن يكون t عددًا حقيقيًا.

الجواب: 4 ر ، 0 ، - 3 أطنان ، ر ∈ ص ، ر ≠ 0

مثال 6

احسب إحداثيات أي متجه اتجاه لخط محدد في الفضاء باستخدام المعادلة البارامترية x = 2 y = 1 + 2 · λ z = - 4 -.

المحلول

لنعد كتابة هذه المعادلات بالصيغة x = 2 + 0 · λ y = 1 + 2 · λ z = - 4-1 · λ.

من هذا السجل ، يمكننا عزل إحداثيات المتجه التي نحتاجها - ستكون المعاملات أمام المعلمة.

الجواب: 0 ، 2 ، - 1

لنفكر في حالة أخرى. كيفية حساب الإحداثيات المطلوبة إذا تم إعطاء الخط المستقيم بمعادلة مستويين متقاطعين بالصيغة A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + د 2 = 0؟

هناك طريقتان. يمكنك كتابة هذه المعادلة في شكل حدودي ، حيث ستكون الإحداثيات المرغوبة مرئية. لكن يمكنك استخدام طريقة أخرى. دعونا نشرح ذلك.

أذكر أن مثل هذا المتجه المستوي العادي. بحكم التعريف ، سوف تقع على خط مستقيم عمودي على المستوى الأصلي. هذا يعني أن أي متجه موجه لخط مستقيم موجود فيه سيكون عموديًا على أي متجه عادي له.

سيكون متجه التوجيه للخط المستقيم المتكون من تقاطع مستويين A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 و A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 سيكون عموديًا إلى المتجهات العادية n 1 → = (A 1، B 1، C 1) و n 2 → = (A 2، B 2، C 2). أي ، كمتجه إرشادي ، يمكننا أن نأخذ حاصل ضرب المتجهات n 1 → = (A 1، B 1، C 1) و n 2 → = (A 2، B 2، C 2).

n 1 → × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 - هذا هو متجه التوجيه للخط المستقيم الذي تتقاطع فيه المستويات الأصلية.

دعنا نحل مشكلة تستخدم هذا النهج.

مثال 7

اكتب إحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم معبرًا عنها باستخدام المعادلة x + 2 y + 3 z - 1 = 0 2 x + 4 y - 4 z + 5 = 0.

المحلول

خذ حاصل ضرب متجهي المستوى العاديين x + 2 y + 3 z - 1 = 0 و 2 x + 4 y - 4 z + 5 = 0. لديهم الإحداثيات التالية: 1 ، 2 ، 3 ، 2 ، 4 ، - 4.

سنكون قادرين على:

n 1 → × n 2 → = i → j → k → 1 2 3 2 4-4 = i → 2 (- 4) + j → 3 2 + k → 1 4 - - k → 2 2 - i → 3 4 - j → 1 (- 4) = - 20 i → + 10 j → + 0 k →

اتضح أن المتجه n 1 → × n 2 → = - 20 i → + 10 j → + 0 k → ⇔ n 1 → × n 2 → = - 20 ، 10 ، 0 - هذا هو متجه الاتجاه الذي نحتاجه مباشرة .

إجابه: - 20 , 10 , 0

في نهاية المقال ، نلاحظ أن القدرة على حساب متجه الاتجاه مفيدة لحل العديد من المشكلات ، مثل مقارنة خطين ، وإثبات التوازي والعمودي ، وحساب الزاوية بين الخطوط المتقاطعة أو المتقاطعة ، إلخ.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

معادلة خط مستقيم على مستوى.
متجه الاتجاه مستقيم. ناقلات الطبيعي

الخط المستقيم على المستوى هو أبسطها الأشكال الهندسية، مألوف لك من الصفوف الدنياواليوم سنتعلم كيف نتعامل معها بأساليب الهندسة التحليلية. لإتقان المادة ، من الضروري أن تكون قادرًا على بناء خط مستقيم ؛ تعرف على المعادلة التي تحدد الخط المستقيم ، على وجه الخصوص ، الخط المستقيم الذي يمر عبر الأصل والخطوط المستقيمة الموازية لمحاور الإحداثيات. هذه المعلومةيمكن العثور عليها في الدليل الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية، لقد أنشأته من أجل matan ، لكن القسم عنه دالة خطيةتبين أنها ناجحة للغاية ومفصلة. لذلك ، أقداح الشاي العزيزة ، قم بالتدفئة أولاً هناك. بالإضافة إلى ذلك ، يجب أن يكون لديك معرفة أساسيةحول ثلاثة أبعادوإلا فإن فهم المادة سيكون غير مكتمل.

على ال هذا الدرسسننظر في الطرق التي يمكنك من خلالها كتابة معادلة الخط المستقيم في المستوى. أوصي بعدم إهمال الأمثلة العملية (حتى لو بدا الأمر بسيطًا جدًا) ، حيث سأزودهم بالمرحلة الابتدائية و حقائق مهمة, التقنيات، والتي ستكون مطلوبة في المستقبل ، بما في ذلك أقسام أخرى من الرياضيات العليا.

• كيف تكتب معادلة الخط المستقيم بميل؟
• كيف ؟
• كيفية إيجاد متجه الاتجاه بالمعادلة العامة للخط المستقيم؟
• كيف تكتب معادلة خط مستقيم بنقطة ومتجه عادي؟

ونبدأ:

معادلة الخط مع المنحدر

يسمى شكل "المدرسة" المعروف لمعادلة الخط المستقيم معادلة الخط المستقيم بميل. على سبيل المثال ، إذا أعطيت المعادلة خطًا مستقيمًا ، فإن ميله:. تأمل المعنى الهندسي معامل معينوكيف تؤثر قيمته على موقع الخط:

في سياق الهندسة ثبت ذلك ميل الخط المستقيم هو ظل الزاويةبين اتجاه المحور الموجبوخط معين: ، والزاوية "مفكوكة" عكس اتجاه عقارب الساعة.

من أجل عدم تشويش الرسم ، قمت برسم زوايا لخطين مستقيمين فقط. تأمل الخط المستقيم "الأحمر" وميله. حسب ما سبق: (يُشار إلى الزاوية "ألفا" بقوس أخضر). بالنسبة للخط المستقيم "الأزرق" ذي المنحدر ، تكون المساواة صحيحة (يُشار إلى الزاوية "بيتا" بالقوس البني). وإذا كان ظل الزاوية معروفًا ، فمن السهل العثور عليه إذا لزم الأمر والزاويةباستخدام الدالة العكسية - قوس الظل. كما يقولون ، جدول مثلثي أو آلة حاسبة في متناول اليد. في هذا الطريق، يميز المنحدر درجة ميل الخط المستقيم إلى المحور السيني.

في نفس الوقت ، هذا ممكن الحالات التالية:

1) إذا كان المنحدر سالبًا: فإن الخط ، تقريبًا ، ينتقل من أعلى إلى أسفل. الأمثلة هي الخطوط المستقيمة "الزرقاء" و "القرمزية" في الرسم.

2) إذا كان الميل موجبًا: فإن الخط ينتقل من الأسفل إلى الأعلى. الأمثلة هي خطوط مستقيمة "سوداء" و "حمراء" في الرسم.

3) إذا كان الميل يساوي صفرًا: فإن المعادلة تأخذ الشكل والخط المقابل موازٍ للمحور. مثال على ذلك هو الخط "الأصفر".

4) لعائلة من الخطوط المستقيمة الموازية للمحور (لا يوجد مثال في الرسم ، باستثناء المحور نفسه) ، المنحدر غير موجود (ظل 90 درجة غير محدد).

كلما زاد مقياس الانحدار ، زاد انحدار الرسم البياني الخطي.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك خطين مستقيمين. هنا ، يكون للخط المستقيم انحدار أكثر حدة. أذكرك أن الوحدة تسمح لك بتجاهل العلامة ، فنحن مهتمون بها فقط القيم المطلقة معاملات الزاوي.

في المقابل ، يكون الخط المستقيم أكثر انحدارًا من الخطوط المستقيمة. .

والعكس صحيح: كلما كان مقياس الانحدار أصغر ، يكون الخط المستقيم أكثر انبساطًا.

للخطوط المستقيمة عدم المساواة صحيح ، فالخط المستقيم أكثر من مظلة. شريحة الأطفال ، حتى لا تزرع الكدمات والمطبات.

لماذا هذا مطلوب؟

إطالة عذابك إن معرفة الحقائق المذكورة أعلاه يسمح لك برؤية أخطائك على الفور ، ولا سيما الأخطاء عند رسم الرسوم البيانية - إذا تبين أن الرسم "من الواضح أن هناك شيئًا خاطئًا". من المستحسن أن تقوم بذلك على الفوركان من الواضح ، على سبيل المثال ، أن الخط المستقيم شديد الانحدار ويمتد من أسفل إلى أعلى ، والخط المستقيم مسطح جدًا وقريب من المحور ويمر من أعلى إلى أسفل.

في مشاكل هندسيةغالبًا ما تظهر عدة خطوط مستقيمة ، لذلك من المناسب الإشارة إليها بطريقة ما.

الرموز: الخطوط المستقيمة يشار إليها بخط صغير بأحرف لاتينية:. الخيار الشائع هو تعيين نفس الحرف برموز طبيعية. على سبيل المثال ، يمكن الإشارة إلى الأسطر الخمسة التي رأيناها للتو .

نظرًا لأن أي خط مستقيم يتم تحديده بشكل فريد بنقطتين ، فيمكن الإشارة إليه بالنقاط التالية: إلخ. من الواضح تمامًا أن التدوين يشير إلى أن النقاط تنتمي إلى الخط.

حان الوقت للتخفيف قليلاً:

كيف تكتب معادلة الخط المستقيم بميل؟

إذا كانت هناك نقطة معروفة تنتمي إلى خط معين ، وانحدار هذا الخط ، فسيتم التعبير عن معادلة هذا الخط بالصيغة:

مثال 1

اكتب معادلة خط مستقيم بميل إذا كان معروفًا أن النقطة تنتمي إلى هذا الخط المستقيم.

المحلول: سنقوم بتكوين معادلة الخط المستقيم حسب الصيغة . في هذه القضية:

إجابه:

فحصنفذت بشكل أساسي. أولًا ، ننظر إلى المعادلة الناتجة ونتأكد من أن الميل في مكانه. ثانيًا ، يجب أن تفي إحداثيات النقطة بالمعادلة المعطاة. دعنا نعوض بها في المعادلة:

يتم الحصول على المساواة الصحيحة ، مما يعني أن النقطة تفي بالمعادلة الناتجة.

استنتاج: وجدت المعادلة بشكل صحيح.

مثال أكثر صعوبة لحل افعل ذلك بنفسك:

مثال 2

اكتب معادلة الخط المستقيم إذا عرفت أن زاوية ميله للاتجاه الموجب للمحور هي ، والنقطة تنتمي إلى هذا الخط المستقيم.

إذا واجهت أي صعوبات ، أعد قراءة المادة النظرية. بتعبير أدق ، أكثر عملية ، أفتقد العديد من البراهين.

رن الاتصال الاخير، لقد تلاشت الحفلة الراقصة وخارج البوابات المدرسة المنزليةنحن ننتظر ، في الواقع ، الهندسة التحليلية. النكات انتهت ... ربما بدأت للتو =)

نلوح بحنين المقبض إلى المألوف ونتعرف على المعادلة العامة للخط المستقيم. نظرًا لأنه في الهندسة التحليلية ، فإن هذا هو بالضبط ما يتم استخدامه:

المعادلة العامة للخط المستقيم لها الشكل: ، أين توجد بعض الأرقام. في نفس الوقت ، المعاملات الوقت ذاتهلا تساوي الصفر ، لأن المعادلة تفقد معناها.

دعونا نرتدي بدلة ونربط المعادلة بمنحدر. أولاً ، ننقل كل المصطلحات إلى الجانب الأيسر:

يجب وضع المصطلح الذي يحتوي على "x" في المقام الأول:

من حيث المبدأ ، فإن المعادلة لها الشكل بالفعل ، ولكن وفقًا لقواعد الآداب الرياضية ، يجب أن يكون معامل المصطلح الأول (في هذه الحالة) موجبًا. علامات التغيير:

تذكر هذه الميزة التقنية!نجعل المعامل الأول (غالبًا) إيجابيًا!

في الهندسة التحليلية ، تُعطى دائمًا معادلة الخط المستقيم الشكل العام. حسنًا ، إذا لزم الأمر ، فمن السهل إحضاره إلى نموذج "المدرسة" بميل (باستثناء الخطوط المستقيمة الموازية للمحور y).

دعنا نسأل أنفسنا ماذا كافيتعرف لبناء خط مستقيم؟ نقطتان. لكن فيما يتعلق بحالة الطفولة هذه لاحقًا ، يتم الآن التمسك بقاعدة الأسهم. لكل خط مستقيم منحدر محدد جيدًا ، ومن السهل "التكيف" معه المتجه.

المتجه الموازي لخط يسمى متجه الاتجاه لهذا الخط.. من الواضح أن أي خط مستقيم يحتوي على عدد لا نهائي من متجهات الاتجاه ، وستكون جميعها مترابطة (موجهة بشكل مشترك أم لا - لا يهم).

سأشير إلى متجه الاتجاه على النحو التالي:.

لكن متجهًا واحدًا لا يكفي لبناء خط مستقيم ، فالناقل مجاني وغير متصل بأي نقطة من المستوى. لذلك ، من الضروري أيضًا معرفة بعض النقاط التي تنتمي إلى الخط.

كيف تكتب معادلة لخط مستقيم معطى نقطة ومتجه اتجاه؟

إذا كانت نقطة معينة تنتمي إلى الخط والمتجه التوجيهي لهذا الخط معروفة ، فيمكن عندئذٍ تجميع معادلة هذا الخط بواسطة الصيغة:

في بعض الأحيان يطلق عليه معادلة الخط الكنسي .

ماذا تفعل ومتى أحد الإحداثياتهي صفر ، سننظر في الأمثلة العملية أدناه. بالمناسبة ، لاحظ - كلاهما في وقت واحدلا يمكن أن تكون الإحداثيات صفراً ، لأن المتجه الصفري لا يحدد اتجاهًا معينًا.

مثال 3

اكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه اتجاه

المحلول: سنقوم بتكوين معادلة الخط المستقيم حسب الصيغة. في هذه الحالة:

باستخدام خصائص التناسب نتخلص من الكسور:

ونجلب المعادلة إلى شكل عام:

إجابه:

الرسم في مثل هذه الأمثلة ، كقاعدة عامة ، ليس ضروريًا ، ولكن من أجل الفهم:

في الرسم ، نرى نقطة البداية ، متجه الاتجاه الأصلي (يمكن تأجيله من أي نقطة على المستوى) والخط المُنشأ. بالمناسبة ، في كثير من الحالات ، يتم تنفيذ بناء خط مستقيم بشكل أكثر ملاءمة باستخدام معادلة الميل. من السهل تحويل معادلتنا إلى النموذج وبدون أي مشاكل التقط نقطة أخرى لبناء خط مستقيم.

كما لوحظ في بداية القسم ، يحتوي الخط على عدد لا نهائي من متجهات الاتجاه ، وجميعها متداخلة. على سبيل المثال ، رسمت ثلاثة نواقل من هذا القبيل: . أيًا كان متجه الاتجاه الذي نختاره ، ستكون النتيجة دائمًا نفس معادلة الخط المستقيم.

لنقم بتكوين معادلة الخط المستقيم بنقطة ومتجه التوجيه:

تقسيم النسبة:

اقسم كلا الجانبين على -2 واحصل على المعادلة المألوفة:

يمكن لأولئك الذين يرغبون بالمثل اختبار النواقل أو أي ناقل خطي آخر.

الآن دعنا نقرر مشكلة عكسية:

كيفية إيجاد متجه الاتجاه بالمعادلة العامة للخط المستقيم؟

بسيط جدا:

إذا تم إعطاء خط مستقيم بواسطة معادلة عامة في نظام إحداثيات مستطيل ، فإن المتجه هو متجه اتجاه هذا الخط المستقيم.

أمثلة لإيجاد متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة:

يسمح لك البيان بالعثور على متجه اتجاه واحد فقط من لا يحصىلكننا لسنا بحاجة إلى المزيد. على الرغم من أنه من المستحسن في بعض الحالات تقليل إحداثيات متجهات الاتجاه:

لذلك ، تحدد المعادلة خطاً مستقيماً موازياً للمحور وإحداثيات متجه التوجيه الناتج مقسومة بشكل ملائم على -2 ، والحصول على متجه الأساس بالضبط كمتجه التوجيه. منطقيا.

وبالمثل ، تحدد المعادلة خطاً مستقيماً موازياً للمحور ، وبقسمة إحداثيات المتجه على 5 ، نحصل على ort على أنه متجه الاتجاه.

الآن دعنا ننفذ تحقق من المثال 3. ذهب المثال إلى الأعلى ، لذا أذكرك أننا فيه قمنا بتكوين معادلة خط مستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه

أولاًوفقًا لمعادلة الخط المستقيم ، نستعيد متجه التوجيه: - كل شيء على ما يرام ، لقد حصلنا على المتجه الأصلي (في بعض الحالات ، يمكن أن يتحول إلى علاقة خطية متداخلة مع المتجه الأصلي ، وعادة ما يكون من السهل رؤيته من خلال تناسب الإحداثيات المقابلة).

ثانيًا، يجب أن تفي إحداثيات النقطة بالمعادلة. نستبدلها في المعادلة:

تم الحصول على المساواة الصحيحة ، ونحن سعداء للغاية.

استنتاج: اكتملت المهمة بشكل صحيح.

مثال 4

اكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه اتجاه

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل والجواب في نهاية الدرس. من المستحسن للغاية إجراء فحص وفقًا للخوارزمية التي تم النظر فيها للتو. حاول دائمًا (إن أمكن) التحقق من المسودة. من الحماقة ارتكاب أخطاء حيث يمكن تجنبها بنسبة 100٪.

إذا كان أحد إحداثيات متجه الاتجاه صفرًا ، فمن السهل جدًا القيام بما يلي:

مثال 5

المحلول: الصيغة غير صالحة لأن المقام على الجانب الأيمن هو صفر. هناك مخرج! باستخدام خصائص التناسب ، نعيد كتابة الصيغة بالشكل ، والباقي يتدحرج على طول شبق عميق:

إجابه:

فحص:

1) استعادة متجه الاتجاه للخط المستقيم:
- يكون المتجه الناتج على علاقة خطية متواصل مع متجه الاتجاه الأصلي.

2) استبدل إحداثيات النقطة في المعادلة:

يتم الحصول على المساواة الصحيحة

استنتاج: اكتملت المهمة بشكل صحيح

السؤال الذي يطرح نفسه ، لماذا تهتم بالصيغة إذا كانت هناك نسخة عالمية ستعمل على أي حال؟ هناك سببان. أولاً ، الصيغة الكسرية أفضل بكثير أن نتذكر. وثانيًا ، عيب الصيغة العامة هو ذلك زيادة ملحوظة في خطر حدوث ارتباكعند استبدال الإحداثيات.

مثال 6

اكتب معادلة الخط المستقيم بنقطة ومتجه الاتجاه.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك".

دعنا نعود إلى نقطتين في كل مكان:

كيف تكتب معادلة الخط المستقيم بنقطتين؟

إذا كانت هناك نقطتان معروفتان ، فيمكن تجميع معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر هذه النقاط باستخدام الصيغة:

في الواقع ، هذه صيغة من المعادلات ، وإليكم السبب: إذا عُرفت نقطتان ، فسيكون المتجه هو متجه اتجاه هذا الخط. في الدرس ناقلات للدمىاعتبرنا أبسط مهمة- كيفية إيجاد إحداثيات متجه من نقطتين. وفقًا لهذه المشكلة ، فإن إحداثيات متجه الاتجاه:

ملحوظة : يمكن "مبادلة" النقاط واستخدام الصيغة . مثل هذا القرار سيكون متساويا.

مثال 7

اكتب معادلة الخط المستقيم من نقطتين .

المحلول: استخدم الصيغة:

نقوم بتمشيط القواسم:

وخلط سطح السفينة:

حان الوقت للتخلص من أعداد كسرية. في هذه الحالة ، تحتاج إلى ضرب كلا الجزأين في 6:

افتح الأقواس وجلب المعادلة إلى الذهن:

إجابه:

فحصواضح - يجب أن تفي إحداثيات النقاط الأولية بالمعادلة الناتجة:

1) استبدل إحداثيات النقطة:

المساواة الحقيقية.

2) استبدل إحداثيات النقطة:

المساواة الحقيقية.

استنتاج: معادلة الخط المستقيم صحيحة.

اذا كان مرة على الأقلمن النقاط لا تفي بالمعادلة ، ابحث عن خطأ.

وتجدر الإشارة إلى أن التحقق الرسومي في هذه الحالة صعب ، لأن بناء خط ومعرفة ما إذا كانت النقاط تنتمي إليه ، ليس سهلا.

سأذكر بضع نقاط فنية للحل. ربما يكون من الأفضل في هذه المشكلة استخدام صيغة المرآة ونفس النقاط اصنع معادلة:

هناك عدد أقل من الكسور. إذا كنت تريد ، يمكنك إكمال الحل حتى النهاية ، يجب أن تكون النتيجة نفس المعادلة.

النقطة الثانية هي النظر إلى الإجابة النهائية ومعرفة ما إذا كان يمكن تبسيطها بشكل أكبر؟ على سبيل المثال ، إذا تم الحصول على معادلة ، فمن المستحسن تقليلها بمقدار اثنين: - ستحدد المعادلة نفس الخط المستقيم. ومع ذلك ، هذا بالفعل موضوع نقاش حول الترتيب المتبادل للخطوط المستقيمة.

بعد أن تلقيت إجابة في المثال 7 ، تحسبًا لذلك ، تحققت مما إذا كانت جميع معاملات المعادلة قابلة للقسمة على 2 أو 3 أو 7. على الرغم من أن مثل هذه التخفيضات تتم غالبًا أثناء الحل.

المثال 8

اكتب معادلة الخط المستقيم المار بالنقاط .

هذا مثال على حل مستقل ، والذي سيسمح لك فقط بفهم أسلوب الحساب والعمل به بشكل أفضل.

على غرار الفقرة السابقة: إذا كان في الصيغة يختفي أحد المقامات (تنسيق متجه الاتجاه) ، ثم نعيد كتابته بالشكل. ومرة أخرى ، لاحظ كيف بدأت تبدو محرجة ومربكة. لا أرى فائدة كبيرة في جلب أمثلة عملية، لأننا قد حللنا بالفعل مثل هذه المشكلة (انظر رقم 5 ، 6).

خط مستقيم متجه عادي (ناقل عادي)

ما هو طبيعي؟ بعبارات بسيطة ، العادي هو عمودي. أي أن المتجه الطبيعي لخط ما عمودي على الخط المعطى. من الواضح أن أي خط مستقيم يحتوي على عدد لا حصر له منها (بالإضافة إلى نواقل التوجيه) ، وستكون جميع المتجهات العادية للخط المستقيم متداخلة (اتجاهي أم لا - لا يهم).

سيكون التعامل معهم أسهل من التعامل مع متجهات الاتجاه:

إذا تم إعطاء خط مستقيم بواسطة معادلة عامة في نظام إحداثيات مستطيل ، فإن المتجه هو المتجه الطبيعي لهذا الخط المستقيم.

إذا كان لابد من "سحب" إحداثيات متجه الاتجاه بعناية من المعادلة ، فيمكن ببساطة "إزالة" إحداثيات المتجه العادي.

يكون المتجه العادي دائمًا متعامدًا مع متجه الاتجاه للخط. سوف نتحقق من تعامد هذه المتجهات باستخدام المنتج نقطة:

سأقدم أمثلة بنفس المعادلات مثل متجه الاتجاه:

هل من الممكن كتابة معادلة لخط مستقيم بمعرفة نقطة واحدة ومتجه عادي؟ يبدو الأمر وكأنه ممكن. إذا كان المتجه الطبيعي معروفًا ، فسيتم تحديد اتجاه الخط المستقيم بشكل فريد أيضًا - وهذا "هيكل صلب" بزاوية 90 درجة.

كيف تكتب معادلة خط مستقيم بنقطة ومتجه عادي؟

إذا كانت هناك نقطة ما تنتمي إلى الخط والمتجه الطبيعي لهذا الخط معروفة ، فسيتم التعبير عن معادلة هذا الخط بالصيغة:

هنا ذهب كل شيء بدون كسور ومفاجآت أخرى. هذا هو ناقلنا الطبيعي. أحبها. والاحترام =)

المثال 9

اكتب معادلة الخط المستقيم بنقطة ومتجه عادي. أوجد متجه الاتجاه للخط المستقيم.

المحلول: استخدم الصيغة:

تم الحصول على المعادلة العامة للخط المستقيم ، دعنا نتحقق من:

1) "إزالة" إحداثيات المتجه العادي من المعادلة: - نعم ، في الواقع ، يتم الحصول على المتجه الأصلي من الحالة (أو يجب أن يكون المتجه على خط واحد مع المتجه الأصلي).

2) تحقق مما إذا كانت النقطة تفي بالمعادلة:

المساواة الحقيقية.

بعد اقتناعنا بصحة المعادلة ، سنكمل الجزء الثاني الأسهل من المهمة. نسحب متجه الاتجاه للخط المستقيم:

إجابه:

في الرسم الوضع كما يلي:

لأغراض التدريب ، مهمة مماثلة لحل مستقل:

المثال 10

اكتب معادلة الخط المستقيم بنقطة ومتجه عادي. أوجد متجه الاتجاه للخط المستقيم.

سيخصص القسم الأخير من الدرس لأنواع المعادلات الأقل شيوعًا ، ولكن المهمة أيضًا للخط المستقيم في المستوى

معادلة خط مستقيم في مقاطع.
معادلة الخط المستقيم بالصيغة البارامترية

معادلة الخط المستقيم في المقاطع لها الشكل ، حيث توجد ثوابت غير صفرية. لا يمكن تمثيل بعض أنواع المعادلات في هذا الشكل ، على سبيل المثال ، التناسب المباشر (نظرًا لأن المصطلح المجاني هو صفر ولا توجد طريقة للحصول على واحدة في الجانب الأيمن).

هذا ، من الناحية المجازية ، نوع "تقني" من المعادلة. تتمثل المهمة المعتادة في تمثيل المعادلة العامة للخط المستقيم كمعادلة للخط المستقيم في مقاطع. لماذا هي مريحة؟ تتيح لك معادلة الخط المستقيم في المقاطع العثور بسرعة على نقاط تقاطع الخط المستقيم مع محاور الإحداثيات ، وهو أمر مهم جدًا في بعض مسائل الرياضيات العليا.

أوجد نقطة تقاطع الخط مع المحور. نعيد ضبط "y" ، وتأخذ المعادلة الشكل. يتم الحصول على النقطة المطلوبة تلقائيًا:.

نفس الشيء مع المحور هي النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور الصادي.