المعامل أ في معادلة الانحدار الخطي المقترنة. فترات الثقة للمتغير التابع

إرسال عملك الجيد في قاعدة المعرفة أمر بسيط. استخدم النموذج أدناه

عمل جيدإلى الموقع ">

سيكون الطلاب وطلاب الدراسات العليا والعلماء الشباب الذين يستخدمون قاعدة المعرفة في دراساتهم وعملهم ممتنين جدًا لك.

نشر على http:// www. كل خير. en/

وزارة التربية والتعليم والعلوم في الاتحاد الروسي

ميزانية الدولة الفيدرالية مؤسسة تعليميةتعليم عالى

"جامعة كومسومولسك أون أمور التقنية الحكومية"

كلية الاقتصاد والإدارة

قسم الاقتصاد والمالية والمحاسبة

الحساب والمهمة الرسومية

في تخصص "الاقتصاد القياسي"

طالب المجموعة

أ. زايتشينكو

معلم

أنا. أنتونوفا

الجدول 1

رقم المنطقة	متوسط ​​الحد الأدنى من الكفاف للفرد في اليوم لشخص واحد قادر على العمل ، فرك ،	متوسط ​​الراتب اليومي ، فرك ،

مطلوب:

1. قم ببناء معادلة انحدار زوج خطية من.

3. قم بتقييم الدلالة الإحصائية لمعلمات الانحدار والارتباط باستخدام اختبار فيشر واختبار تي للطالب.

4. قم بتشغيل تنبؤ أجورمع القيمة المتوقعة لمتوسط ​​الحد الأدنى من الكفاف للفرد ، وهو 107 ٪ من المستوى المتوسط.

5. قم بتقييم دقة التنبؤ بحساب الخطأ المتوقع وفترة الثقة الخاصة به.

6. ارسم البيانات الأولية والخط النظري على رسم بياني واحد.

1. لحساب معلمات المعادلة الانحدارالخطيبناء جدول حساب 2. الانحدار التقريبي للارتباط الخطي

الجدول 2

يعني

تم الحصول على معادلة الانحدار:

مع زيادة نصيب الفرد من الحد الأدنى للكفاف بمقدار 1 فرك. متوسط ​​الأجر اليومي يرتفع بمعدل 0.89 روبل.

2. سيتم تقدير ضيق العلاقة الخطية بواسطة معامل الارتباط:

وهذا يعني أن 51٪ من التباين في الأجور () يُفسَّر باختلاف العامل - متوسط ​​الحد الأدنى للكفاف للفرد.

يتم تحديد جودة النموذج من خلال متوسط ​​خطأ التقريب:

يتم تقييم جودة النموذج المركب على أنها جيدة ، حيث لا تتجاوز 8-10٪.

3. سنقدر أهمية معادلة الانحدار ككل باستخدام معيار فيشر. القيمة الفعلية - المعايير:

القيمة المجدولة للمعيار عند مستوى أهمية خمسة بالمائة ودرجات الحرية و هي. بما أن معادلة الانحدار تعتبر ذات دلالة إحصائية.

سنقوم بتقييم الأهمية الإحصائية لمعلمات الانحدار باستخدام إحصائيات الطالب t ومن خلال حساب فاصل الثقة لكل من المؤشرات.

القيمة المجدولة للمعيار لعدد درجات الحرية وستكون.

دعنا نحدد الأخطاء العشوائية:

القيم الفعلية للإحصاءات تتجاوز قيمة الجدول:

لذلك ، لا تختلف المعلمات بشكل عشوائي عن الصفر ، ولكنها ذات دلالة إحصائية. دعنا نحسب فترات الثقة لمعلمات الانحدار و. لهذا نحدد خطأ هامشيلكل مؤشر:

فترات الثقة:

يؤدي تحليل الحدود العليا والسفلى لفترات الثقة إلى استنتاج مفاده أنه مع وجود احتمال ، لا تقبل المعلمات وكونها ضمن الحدود المحددة القيم الصفرية، بمعنى آخر. ليست ذات دلالة إحصائية وتختلف بشكل كبير عن الصفر.

4. تسمح لنا التقديرات التي تم الحصول عليها لمعادلة الانحدار باستخدامها للتنبؤ. إذا كانت القيمة المتوقعة للحد الأدنى للمعيشة هي:

ثم ستكون القيمة المتوقعة للأجور:

سيكون خطأ التنبؤ:

سيكون خطأ التنبؤ الهامشي ، والذي لن يتم تجاوزه في الحالات ، كما يلي:

فاصل الثقة للتنبؤ:

إن التوقعات التي تم الوفاء بها لمتوسط ​​الراتب الشهري موثوقة () وهي في حدود 131.66 روبل. يصل إلى 190.62 روبل. في الختام ، سنقوم برسم البيانات الأولية والخط المستقيم النظري على نفس الرسم البياني (الشكل 1)

الصورة 1

استضافت على Allbest.ru

وثائق مماثلة

مبنى معادلة خط مستقيمالانحدار الزوجي ، الحساب معامل خطيالارتباط الزوجي و متوسط ​​الخطأتقريبية. تحديد معاملات الارتباط والمرونة ، ودليل الارتباط ، وجوهر تطبيق معيار فيشر في الاقتصاد القياسي.

الاختبار ، تمت الإضافة في 05/05/2010


حساب معلمات الانحدار الخطي المقترن. تقييم الدلالة الإحصائية لمعادلة الانحدار ومعلماتها باستخدام اختبارات فيشر وستودنت. بناء مصفوفة من معاملات الارتباط المزدوجة. تحليل احصائيباستخدام PPP MS EXCEL.

الاختبار ، تمت إضافة 05/14/2008


حساب المعامل الخطي للزوج والارتباط الجزئي. الدلالة الإحصائية لمعلمات الانحدار والارتباط. تحليل مجال بيانات الارتباط. دقة التنبؤ وحساب الخطأ وفترة الثقة. معامل التحديد المتعدد.

التحكم في العمل ، تمت إضافة 12/11/2010


التفسير الاقتصادي لمعامل الانحدار. إيجاد المجموع المتبقي للمربعات وتقدير التباين في القيم المتبقية. التحقق من أهمية معاملات معادلة الانحدار باستخدام اختبار الطالب t. حساب متوسط ​​خطأ التقريب النسبي.

الاختبار ، تمت إضافة 03/23/2010


بناء فاصل ثقة لمعامل الانحدار. تحديد خطأ التقريب ومؤشر الارتباط واختبار فيشر F. تقييم مرونة التغيرات في استهلاك المواد للمنتجات. بناء معادلة خطية الانحدار المتعدد.

الاختبار ، تمت إضافة 04/11/2015


حساب معاملات معادلة الانحدار الخطي وتقدير ضيق العلاقة باستخدام مؤشرات الارتباط والتحديد. تحديد متوسط ​​الخطأ التقريبي. الموثوقية الإحصائية للنمذجة باستخدام اختبار فيشر F واختبار الطالب.

الاختبار ، تمت إضافة 10/17/2009


تحديد الاعتماد الكمي لكتلة الحيوان الحامل للفراء على عمره. بناء معادلة الانحدار المزدوج وحساب معاملاتها والتحقق من كفايتها. تقييم الدلالة الإحصائية لمعلمات الانحدار ، وحساب فترة ثقتهم.

العمل المخبري ، تمت إضافة 06/02/2014


بناء فرضية حول شكل الارتباط بين الدخل النقدي للفرد والإنفاق الاستهلاكي في مناطق الأورال وغرب سيبيريا في الاتحاد الروسي. حساب معاملات معادلات الانحدار الزوجي وتقييم جودتها باستخدام متوسط ​​خطأ التقريب.

اختبار ، تمت إضافة 11/05/2014


طريقة التحليل المربعات الصغرىلانحدار الزوج كطريقة لتقدير معاملات الانحدار الخطي. النظر في المعادلة الخطية لانحدار الزوج. دراسة الانحدار الخطي المتعدد. دراسة أخطاء معاملات الانحدار.

اختبار ، تمت إضافة 2018/03/28


بناء مجال الارتباط. حساب معلمات معادلات الانحدار المزدوجة. اعتماد متوسط ​​العمر المتوقع على بعض العوامل. دراسة "معيار فيشر". تقييم مدى ضيق الاتصال باستخدام مؤشرات الارتباط والتحديد.

100 صمكافأة من الدرجة الأولى

اختر نوع العمل عمل التخرج عمل الدورةملخص أطروحة الماجستير تقرير عن ممارسة مراجعة تقرير المادة اختبارمونوغراف حل المشكلات خطة الأعمال إجابات على الأسئلة عمل ابداعيمقال رسم التراكيب عروض ترجمة كتابة أخرى زيادة تفرد نص أطروحة المرشح العمل المخبريمساعدة عبر الإنترنت

اسأل عن السعر

انحدار الزوج هو معادلة العلاقة بين متغيرين

ص و س الأنواع ذ= F(x),

حيث y - متغير تابع (علامة ناتجة) ؛

x هو متغير توضيحي مستقل (عامل الإشارة).

هناك انحدارات خطية وغير خطية.

طريقة المربعات الصغرى

لتقدير معاملات الانحدار الخطية في هذه المعلمات ، يتم استخدام طريقة المربعات الصغرى (LSM) . يجعل LSM من الممكن الحصول على مثل هذه التقديرات للمعلمات التي بموجبها مجموع الانحرافات التربيعية للقيم الفعلية للميزة الناتجة y من القيم النظرية ŷ xبنفس قيم العامل xالحد الأدنى ، أي

5. تقييم الدلالة الإحصائية لمؤشرات الارتباط ، معاملات معادلة الانحدار الخطي المزدوجة ، معادلة الانحدار ككل.

6. تقييم درجة تقارب العلاقة بين المتغيرات الكمية. معامل التغاير. مقاييس الارتباط: معامل الارتباط الخطي ، مؤشر الارتباط (= نسبة الارتباط النظري).

معامل التغاير

Mch (y) - أي. نحصل على علاقة تبعية.

إن وجود علاقة تبعية لا يمكن أن يجيب على السؤال حول سبب العلاقة. يحدد الارتباط فقط مقياس هذا الاتصال ، أي مقياس الاختلاف المتسق.

يمكن إيجاد مقياس للعلاقة بين متغيرات mu 2 باستخدام التغاير.

, ,

تعتمد قيمة أس التغاير على الوحدات في المتغير الذي يتم قياسه. لذلك ، لتقييم درجة التباين المتسق ، يتم استخدام معامل الارتباط - وهي خاصية لا أبعاد لها مع حدود معينة للتباين.

7. معامل التحديد. الخطأ المعياري لمعادلة الانحدار.

معامل التحديد (rxy2) - يميز نسبة التباين في السمة الناتجة y ، التي يشرحها التباين ، في التباين الكليعلامة فعالة. كلما كان rxy2 أقرب إلى 1 ، كان نموذج الانحدار أفضل ، أي أن النموذج الأصلي يقارب البيانات الأصلية جيدًا.

8. تقييم الأهمية الإحصائية لمؤشرات التصحيح ، ومعلمات معادلة الانحدار الخطي المقترنة ، ومعادلة الانحدار ككل: ر- معيار الطالب. F- معيار فيشر.

9. نماذج الانحدار اللاخطي وخطيتها.

تنقسم الانحدارات غير الخطية إلى فئتين : الانحدارات غير الخطية فيما يتعلق بالمتغيرات التوضيحية المستبعدة من التحليل ، ولكنها خطية فيما يتعلق بالمعلمات المقدرة ، والانحدارات غير الخطية فيما يتعلق بالمعلمات المقدرة.

أمثلة الانحدار ، المتغيرات التفسيرية غير الخطية, لكن خطية في المعلمات المقدرة:

نماذج الانحدار اللاخطي وتقسيمها الخطي

مع الاعتماد غير الخطي على الميزات ، يتم تقليله إلى شكل خطي، يتم أيضًا تحديد معلمات الانحدار المتعدد بواسطة المربعات الصغرى مع الاختلاف الوحيد الذي لم يتم استخدامه معلومات اساسية، ولكن إلى البيانات المحولة. لذلك ، بالنظر إلى وظيفة القوة

,

نقوم بتحويله إلى شكل خطي:

حيث يتم التعبير عن المتغيرات باللوغاريتمات.

المعالجة الإضافية للمربعات الصغرى هي نفسها: تم بناء النظام المعادلات العاديةويتم تحديد المعلمات غير المعروفة. من خلال تقوية القيمة ، نجد المعلمة أوبالتالي ، الشكل العام لمعادلة دالة القدرة.

بشكل عام، الانحدار غير الخطيعلى المتغيرات المضمنة لا يخفي أي صعوبات في تقدير معاملاتها. يتم تحديد هذا التقدير ، كما هو الحال في الانحدار الخطي ، بواسطة المربعات الصغرى. إذن ، في معادلة الانحدار غير الخطي ذات العاملين

يمكن تنفيذ الخطية عن طريق إدخال متغيرات جديدة فيه . والنتيجة هي معادلة انحدار خطي من أربعة عوامل

10.متعدد الخطية. طرق التخلص من العلاقة الخطية المتعددة.

تنشأ أكبر الصعوبات في استخدام جهاز الانحدار المتعدد في وجود عوامل خطية متعددة ، عندما يرتبط أكثر من عاملين الاعتماد الخطي . قد يعني وجود عامل الخطية المتعددة أن بعض العوامل ستعمل دائمًا في انسجام تام. نتيجة لذلك ، لم يعد التباين في البيانات الأصلية مستقلاً تمامًا ، ومن المستحيل تقييم تأثير كل عامل على حدة.

كلما كانت العلاقة الخطية المتعددة للعوامل أقوى ، كان تقدير توزيع مجموع التباين الموضح على العوامل الفردية باستخدام طريقة المربعات الصغرى (LSM) أقل موثوقية.

يعتبر إدراج العوامل متعددة الخطوط في النموذج غير مرغوب فيه للأسباب التالية:

ü يصعب تفسير معاملات الانحدار المتعدد ؛ تفقد معلمات الانحدار الخطي من الناحية الاقتصادية;

ü تقديرات المعلمات غير موثوقة ، وتظهر أخطاء معيارية كبيرة وتتغير مع حجم الملاحظات ، مما يجعل النموذج غير مناسب للتحليل والتنبؤ

طرق التخلص من العلاقة الخطية المتعددة

- استبعاد المتغير (المتغيرات) من النموذج ؛

ومع ذلك ، هناك حاجة إلى بعض الحذر عند التقديم هذه الطريقة. في هذه الحالة ، قد تكون أخطاء المواصفات ممكنة.

- الحصول على بيانات إضافية أو تكوين عينة جديدة ؛

في بعض الأحيان ، لتقليل العلاقة الخطية المتعددة ، يكفي زيادة حجم العينة. على سبيل المثال ، إذا كنت تستخدم البيانات السنوية ، فيمكنك التغيير إلى البيانات ربع السنوية. تؤدي زيادة كمية البيانات إلى تقليل الفروق في معاملات الانحدار وبالتالي زيادة أهميتها الإحصائية. ومع ذلك ، فإن الحصول على عينة جديدة أو توسيع العينة القديمة ليس ممكنًا دائمًا أو ينطوي على تكاليف كبيرة. علاوة على ذلك ، يمكن أن يزيد هذا النهج

الارتباط التلقائي.

- تغيير مواصفات النموذج ؛

في بعض الحالات ، يمكن حل مشكلة العلاقة الخطية المتعددة عن طريق تغيير مواصفات النموذج: إما أن يتم تغيير شكل النموذج أو إضافة متغيرات توضيحية جديدة لا تؤخذ في الاعتبار في النموذج.

- استخدام المعلومات الأولية حول بعض المعلمات ؛

11- كلاسيك نموذج خطيمتعددة regr-ii (KLMMR). تحديد معلمات ur-I للانحدار المتعدد بطريقة المربعات.

مهمة الخدمة. بمساعدة الخدمة وضع على شبكة الإنترنتيمكن ايجاده:

• معلمات معادلة الانحدار الخطي y = a + bx ، معامل الارتباط الخطي مع اختبار أهميتها ؛
• ضيق الاتصال باستخدام مؤشرات الارتباط والتحديد ، تقدير المربعات الصغرى ، الموثوقية الثابتة لنمذجة الانحدار باستخدام اختبار فيشر F واختبار الطالب t ، فاصل الثقة للتنبؤ بمستوى الأهمية α

تشير معادلة الانحدار الزوجي إلى معادلة الانحدار من الدرجة الأولى. إذا كان النموذج الاقتصادي القياسي يحتوي على متغير توضيحي واحد فقط ، فإنه يسمى الانحدار الزوجي. معادلة الانحدار من الدرجة الثانيةو معادلة الانحدار من الدرجة الثالثةالرجوع إلى معادلات الانحدار غير الخطي.

مثال. حدد المتغير التابع (الموضح) والمتغير التوضيحي لبناء نموذج انحدار مزدوج. يعطي . تحديد معادلة نظريةانحدار الزوج. قم بتقييم مدى كفاية النموذج المُنشأ (تفسير R-square ، و t-Statistics ، و F-Statistics).
المحلولسوف يعتمد على عملية النمذجة الاقتصادية القياسية.
المرحلة 1 (التدريج) - تحديد الأهداف النهائية للنمذجة ، ومجموعة من العوامل والمؤشرات المشاركة في النموذج ، ودورها.
مواصفات النموذج - تحديد الغرض من الدراسة واختيار المتغيرات الاقتصادية للنموذج.
مهمة ظرفية (عملية). بالنسبة لـ 10 شركات في المنطقة ، يعتمد اعتماد الإنتاج لكل عامل (ألف روبل) على جاذبية معينةعمال درجة عالية من الكفاءةفي القوة الكليةالعمال x (٪).
المرحلة 2 (بداهة) - تحليل النموذج المسبق الجوهر الاقتصاديللظاهرة قيد الدراسة ، وتشكيل وإضفاء الطابع الرسمي على المعلومات المسبقة والافتراضات الأولية ، على وجه الخصوص ، المتعلقة بطبيعة ونشأة البيانات الإحصائية الأولية والمكونات العشوائية المتبقية في شكل عدد من الفرضيات.
بالفعل في هذه المرحلة ، يمكننا التحدث عن اعتماد واضح على مستوى مهارة العامل ومخرجاته ، لأنه كلما كان العامل أكثر خبرة ، زادت إنتاجيته. لكن كيف تقيم هذا الاعتماد؟
انحدار الزوجهو انحدار بين متغيرين - y و x ، أي نموذج للشكل:

حيث y هو المتغير التابع (علامة النتيجة) ؛ x هو متغير مستقل أو توضيحي (عامل الإشارة). تعني علامة "^" أنه لا يوجد اعتماد وظيفي صارم بين المتغيرين x و y ، وبالتالي ، في كل متغيرين تقريبًا حالة منفصلةتتكون قيمة y من فترتين:

حيث y هي القيمة الفعلية للميزة الفعالة ؛ y x هي القيمة النظرية للخاصية الفعالة ، الموجودة على أساس معادلة الانحدار ؛ ε هو متغير عشوائي يميز انحرافات القيمة الحقيقية للميزة الناتجة عن القيمة النظرية التي تم العثور عليها بواسطة معادلة الانحدار.
سوف نظهر بيانيا تبعية الانحدار بين الناتج لكل عامل ونسبة العمال ذوي المهارات العالية.

المرحلة الثالثة (البارامتر) - النمذجة الفعلية ، أي خيار نظرة عامةالنموذج ، بما في ذلك تكوين وشكل العلاقات بين المتغيرات المدرجة فيه. يسمى اختيار نوع الاعتماد الوظيفي في معادلة الانحدار نموذج المعلمات. يختار معادلة انحدار الزوج، بمعنى آخر. عامل واحد فقط سيؤثر على النتيجة النهائية ذ.
المرحلة الرابعة (إعلامية) - جمع ما يلزم المعلومات الإحصائية، بمعنى آخر. تسجيل قيم العوامل والمؤشرات المشاركة في النموذج. تتكون العينة من 10 شركات صناعية.
المرحلة 5 (تحديد النموذج) - تقدير معلمات النموذج غير المعروفة باستخدام البيانات الإحصائية المتاحة.
لتحديد معلمات النموذج ، نستخدمها LSM - طريقة المربعات الصغرى. سيبدو نظام المعادلات العادية كما يلي:
أ ن + ب س = ∑ ص
a∑x + b∑x 2 = y x
لحساب معلمات الانحدار ، سنقوم ببناء جدول حساب (الجدول 1).

x	ذ	x2	y2	س ص
10	6	100	36	60
12	6	144	36	72
15	7	225	49	105
17	7	289	49	119
18	7	324	49	126
19	8	361	64	152
19	8	361	64	152
20	9	400	81	180
20	9	400	81	180
21	10	441	100	210
171	77	3045	609	1356

نأخذ البيانات من الجدول 1 (الصف الأخير) ، ونتيجة لذلك لدينا:
10 أ + 171 ب = 77
171 أ + 3045 ب = 1356
يتم حل SLAE بطريقة كريمر أو طريقة المصفوفة العكسية.
نحصل على معاملات الانحدار التجريبية: ب = 0.3251 ، أ = 2.1414
معادلة الانحدار التجريبي لها الشكل:
ص = 0.3251 س + 2.1414
المرحلة 6 (التحقق من النموذج) - مقارنة البيانات الحقيقية والنموذجية ، والتحقق من كفاية النموذج ، وتقييم دقة بيانات النموذج.
يتم إجراء التحليل باستخدام

1. التعاريف والصيغ الأساسية

انحدار الزوج- الانحدار (العلاقة) بين متغيرين ، إلخ. عرض النموذج:

أين المتغير التابع (العلامة الناتجة) ؛

- متغير توضيحي مستقل (عامل الإشارة) ؛

اضطراب أو متغير عشوائي ، بما في ذلك تأثير العوامل التي لم تؤخذ في الاعتبار في النموذج.

في كل حالة على حدة تقريبًا ، تتكون القيمة من فترتين:

أين هي القيمة الفعلية للميزة الفعالة ؛

القيمة النظرية للميزة الناتجة ، وجدت على أساس معادلة الانحدار. تعني علامة "^" أنه لا توجد علاقة وظيفية صارمة بين المتغيرات و.

يميز خطيو غير خطيتراجع.

الانحدارالخطييوصف بمعادلة الخط المستقيم

الانحدارات غير الخطيةتنقسم إلى فئتين:

1) الانحدار ، غير خطية في المتغيرات التوضيحية ، ولكنها خطية في المعلمات المقدرة، فمثلا:

كثيرات الحدود من درجات مختلفة

القطع الزائد المتساوي الأضلاع

2) الانحدار ، غير خطي في المعلمات المقدرة، فمثلا:

قوة

برهنة

متسارع

لبناء انحدار خطي مزدوج ، يتم حساب الكميات المساعدة (- عدد الملاحظات).

عينة يعني: و

عينة التغايربين و

أو

التغاير- هذا هو خاصية عدديةالتوزيع المشترك لاثنين المتغيرات العشوائية.

تباين العينة لـ

أو

تباين العينة لـ

أو

تباين العينةيميز درجة انتشار قيم متغير عشوائي حول متوسط ​​القيمة (التباين ، التباين).

يتم تقدير تقارب العلاقة بين الظواهر المدروسة بواسطة معامل ارتباط العينةبين و

معامل الارتباط يختلف من -1 إلى +1. كلما كان modulo أقرب إلى 1 ، كلما كان أقرب الاعتماد الإحصائيبين و إلى دالة خطية.

إذا كانت = 0 ، إذن اتصال خطيبين ومفقودين<0,3 - связь слабая; 0,3<0,7 - связь умеренная; 0,7<0,9 - связь сильная; 0,9<0,99 - связь весьма сильная.

تشير القيمة الموجبة للمعامل إلى أن العلاقة بين العلامات مباشرة (تزيد القيمة مع النمو) ، وتشير القيمة السالبة إلى علاقة عكسية (تقل القيمة مع النمو).

بناء الانحدار الخطييقلل من تقدير معلماته ويستند النهج الكلاسيكي لتقدير معلمات الانحدار الخطي المربعات الصغرى(MNK). يجعل LSM من الممكن الحصول على مثل هذه التقديرات للمعلمات التي بموجبها يكون مجموع الانحرافات التربيعية للقيم الفعلية للميزة الناتجة عن القيم النظرية ضئيلاً ، أي

بالنسبة للانحدار الخطي ، تم العثور على المعلمات من نظام المعادلات العادية:

نجد حل النظام فيعلى ال

والمعلمة

معامل في الرياضيات او درجةمع متغير عامل يوضح مدى تغير القيمة في المتوسط ​​عندما يتغير العامل لكل وحدة قياس.

عندما لا يمكن أن تكون المعلمة تساوي 0 ، فلن يكون لها معنى اقتصاديًا. من الممكن تفسير علامة فقط إذا كان التغيير النسبي في النتيجة أبطأ من التغيير في العامل ، أي تباين النتيجة أقل من تباين العامل والعكس صحيح.

لتقييم جودة نموذج الانحدار المركب ، يمكنك استخدام معامل التحديدأو متوسط ​​الخطأ التقريبي.

إلىمعامل التحديد

أو

يوضح حصة التباين التي يفسرها الانحدار في إجمالي التباين للسمة الناتجة ، وبناءً على ذلك ، فإن القيمة تميز حصة التباين في المؤشر الناجم عن تأثير العوامل التي لم تؤخذ في الاعتبار في النموذج وأسباب أخرى.

كلما اقتربنا من 1 ، كان نموذج الانحدار أفضل ، أي النموذج المبني يقارب البيانات الأولية جيدًا.

متوسط ​​الخطأ التقريبيهو متوسط ​​الانحراف النسبي للقيم النظرية عن القيم الفعلية ، أي

تعتبر معادلة الانحدار المُركبة مُرضية إذا لم تتجاوز القيمة 10-12٪.

للانحدار الخطي متوسط ​​معامل المرونةتم العثور عليه وفقًا للصيغة:

متوسط ​​معامل المرونةيوضح عدد النسبة المئوية في المتوسط ​​في عدد السكان التي ستتغير النتيجة عن قيمتها عندما يتغير العامل بنسبة 1٪ من قيمته.

الصف حناكيموستومعادلات الانحداريُعطى عمومًا باستخدام اختبار فيشر ، والذي يتكون من اختبار فرضية عدم الأهمية الإحصائية لمعادلة الانحدار . لهذا ، يتم إجراء مقارنة فِعليهسماءو حرج(جدول) القيم - معيار فيشر .

يتم تحديده من نسبة قيم العامل والتباينات المتبقية المحسوبة لدرجة واحدة من الحرية ، أي

- أقصى قيمة ممكنة للمعيار تحت تأثير العوامل العشوائية مع درجات الحرية = 1 ، = -2 ومستوى الأهمية موجود من جدول معيار فيشر (الجدول 1 من الملحق).

مستوى الأهمية- هو احتمال رفض فرضية صحيحة ، بالنظر إلى أنها صحيحة.

اذا كان ثم يتم رفض الفرضية حول عدم وجود علاقة بين المؤشر المدروس والعامل ويتم التوصل إلى استنتاج حول أهمية هذا الارتباط بمستوى الأهمية (أي أن معادلة الانحدار مهمة).

اذا كان ثم يتم قبول الفرضية ويتم التعرف على الدلالة الإحصائية وعدم موثوقية معادلة الانحدار.

للانحدار الخطي الدلالةمعاملات الانحدارمع التقييم - معيار الطالب ، والذي بموجبه يتم طرح فرضية حول الطبيعة العشوائية للمؤشرات ، أي حول اختلافهم الضئيل عن الصفر. بعد ذلك ، يتم حساب القيم الفعلية للمعيار لكل من معاملات الانحدار المقدرة ، أي

أين و - الأخطاء المعياريةيتم تحديد معلمات الانحدار الخطي بواسطة الصيغ:

- أقصى قيمة ممكنة لمعيار الطالب تحت تأثير العوامل العشوائية لدرجة معينة من الحرية = -2 ويتم العثور على مستوى الأهمية من جدول معيار الطالب (الجدول 2 من الملحق).

اذا كان ثم يتم رفض الفرضية حول عدم أهمية معامل الانحدار بمستوى الأهمية أي لا يختلف المعامل (أو) عن طريق الخطأ عن الصفر وقد تم تشكيله تحت تأثير عامل يتصرف بشكل منهجي

اذا كان ثم لا يتم رفض الفرضية ويتم التعرف على الطبيعة العشوائية لتشكيل المعلمة.

دلالة معامل الارتباط الخطيفحص أيضا مع - معيار الطالب ، أي

يتم رفض فرضية عدم دلالة معامل الارتباط مع مستوى الدلالة إذا

تعليق.بالنسبة للانحدار الزوجي الخطي ، فإن اختبار الفرضيات حول أهمية المعامل ومعامل الارتباط يعادل اختبار الفرضية حول أهمية معادلة الانحدار ككل ، أي

لحساب فاصل الثقة ، حدد خطأ هامشيلكل مؤشر ، أي

فترات الثقةلمعاملات الانحدار الخطي:

إذا كان الصفر يقع ضمن حدود فاصل الثقة ، أي الحد الأدنى سلبي ، والحد الأعلى موجب ، ثم يُفترض أن المعلمة المقدرة تساوي صفرًا ، منذ ذلك الحين لا يمكن أن تأخذ القيم الموجبة والسالبة في نفس الوقت.

قيمة التنبؤيتم تحديدها عن طريق استبدال القيمة التنبؤية المقابلة في معادلة الانحدار ثم يتم حسابها متوسط ​​الخطأ المعياري للتنبؤ

أين

ويجري بناؤه توقع فاصل الثقة

يمكن أن يكون الفاصل الزمني واسعًا جدًا نظرًا لصغر حجم الملاحظات.

الانحدار غير الخطية في المتغيرات المضمنة , يتم تقليلها إلى شكل خطي عن طريق تغيير بسيط في المتغيرات ، ويتم إجراء تقدير إضافي للمعلمات باستخدام طريقة المربعات الصغرى.

جيالكرة الفائقةالانحدار ical:

ص الخروج , غير خطي ه وفقًا للمعايير المقدرة تنقسم إلى نوعين: داخليًا غير خطيإلخ. (لا تختزل إلى شكل خطي) و خطي داخليا(يتم تقليله إلى شكل خطي باستخدام التحولات المناسبة) ، على سبيل المثال:

الانحدار الأسي:

التحول الخطي:

انحدار الطاقة:

التحول الخطي:

فِهرِسانحدار نايا:

التحول الخطي:

لوغاريتميالانحدار:

التحول الخطي:

2. حل المشاكل النموذجية

مثال9 .1 . بالنسبة لـ 15 مؤسسة زراعية (الجدول 9.1) ، يُعرف ما يلي: - عدد المعدات لكل وحدة مساحة البذر (وحدة / هكتار) و - حجم المنتجات المزروعة (ألف دن. وحدة). ضروري:

1) تحديد الاعتماد على

2) ارسم حقول الارتباط وارسم معادلة الانحدار الخطي عليها

3) استخلاص استنتاج حول جودة النموذج وحساب القيمة المتوقعة بقيمة متوقعة 112٪ من المستوى المتوسط.

الجدول 9.1

المحلول:

1) في Excel ، سنقوم بتجميع جدول إضافي 9.2.

الجدول 9.2

أرز.9 .واحد. جدول لحساب القيم الوسيطة

احسب عدد القياسات للقيام بذلك ، في خلية ب 19ضع = العد (A2: A16 ) .

استخدام وظيفة ∑ (جمع تلقائي) على شريط الأدوات اساسي ر نايا أوجد مجموع الكل (خلية ب 17) و (الخلية ج 17).

أرز. 9.2. حساب مجموع القيم والمتوسطات

لحساب متوسط ​​القيم ، نستخدم وظيفة MS Excel AVERAGE () المضمنة ، ويشار إلى نطاق القيم لتحديد المتوسط ​​بين قوسين. وبذلك يبلغ متوسط ​​حجم المنتجات المزروعة في 15 مزرعة 210.833 ألف دن. ويبلغ متوسط ​​عدد المركبات 6.248 وحدة / هكتار.

لملء الأعمدة د, ه, Fأدخل صيغة حساب المنتج: في الخلية د2 ضع = B2 * C2، ثم اضغط على ENTER على لوحة المفاتيح. غادر انقر على الخلية د2 وأمسك الزاوية اليمنى السفلية من هذه الخلية (الأسود زائد) ، واسحب إلى الخلية د16 . سيتم ملء النطاق تلقائيًا. د3 - د16 .

للحساب بتنسيق انتقائييا التغايربين واستخدام الصيغة ، أي في خلية ب21 ضع = د18- ب18* ج18 واحصل على 418.055 (الشكل 9.3).

أرز.9 .3. عملية حسابية

انتقائيرائعتشتتيوللبحث عن طريق الصيغة لهذا في خلية ب22 ضع = E18-B18^2 (^ - علامة تشير إلى الأس ) واحصل على 11.337. وبالمثل ، نحدد \ u003d 16745.05556 (الشكل 9.4)

أرز.9 .four. عملية حسابيةفار(x) وفار (ذ)

علاوة على ذلك ، باستخدام دالة MS Excel القياسية "CORREL" ، نحسب قيمة معامل الارتباط الخطي لمهمتنا ، وستبدو الوظيفة مثل "= CORREL (B2: B16 ؛ C2: C16)" ، والقيمة rxy = 0.96 . تشير القيمة التي تم الحصول عليها لمعامل الارتباط إلى وجود علاقة مباشرة وقوية بين توافر المعدات وحجم المنتجات المزروعة.

نجد فيمعامل الانحدار الخطي = 36.87 ؛ المعلمة = -17.78. لذلك ، تبدو معادلة الانحدار الخطي المقترن = -17.78 + 36.87

يوضح المعامل أنه مع زيادة عدد المعدات بمقدار 1 وحدة / هكتار ، سيزداد حجم المنتجات المزروعة في المتوسط ​​بمقدار 36.875 ألف دن. الوحدات (الشكل 9.5)

أرز.9 .5. حساب معاملات معادلة الانحدار.

وبالتالي ، فإن معادلة الانحدار ستبدو كما يلي:.

نعوض بالقيم الفعلية في المعادلة الناتجة x(عدد المعدات) نجد القيم النظرية لحجم المنتجات المزروعة (الشكل 9.6).

أرز.9 .6. حساب القيم النظرية لأحجام المنتجات المزروعة

استخدام معالج الرسم البيانينقوم ببناء حقول الارتباط (اختيار الأعمدة ذات القيم و) ومعادلة الانحدار الخطي (اختيار الأعمدة ذات القيم و). اختر نوع الرسم البياني - تي مشهد في الرسم البياني الناتج ، املأ المعلمات الضرورية (العنوان ، تسميات المحاور ، وسيلة الإيضاح ، إلخ). نتيجة لذلك ، نحصل على الرسم البياني الموضح في الشكل. 9.7

أرز.9 .7. رسم بياني لاعتماد حجم المنتجات المزروعة على عدد المعدات

لتقييم جودة نموذج الانحدار المُنشأ ، نحسب:

. إلىمعامل التحديد\ u003d 0.92 ، مما يدل على أن التغير في تكاليف الإنتاج هو 92٪ بسبب التغير في حجم الإنتاج ، و 8٪ ينخفض ​​على حصة العوامل التي لم يتم أخذها في الاعتبار في النموذج ، مما يدل على جودة الانحدار المركب. نموذج؛

. معريدنيويوخطأفيتقريبية. للقيام بذلك ، في العمود حاحسب الفرق بين القيم الفعلية والنظرية أ في العمود أنا- التعبير . يرجى ملاحظة أن وظيفة MS Excel "ABS" القياسية تستخدم لحساب قيمة النموذج. عند ضرب متوسط ​​القيمة (الخلية أنا18 ) بنسبة 100٪ نحصل على 18.2٪. وبالتالي ، في المتوسط ​​، تنحرف القيم النظرية عن القيم الفعلية بنسبة 18.2٪ (الشكل 1.8).

باستخدام معيار فيشر ، نقدر حناكيموستبالمعادلاتريجريمعهذه بشكل عام: 150,74.

عند مستوى دلالة 0.05 = 4.67 ، نحدد استخدام الدالة الإحصائية المضمنة التوزيع F(الشكل 1.9). في الوقت نفسه ، يجب أن نتذكر أن "Degrees_of_freedom1" هو المقام ، و "Degrees_of_freedom2" هو البسط ، حيث عدد المعلمات في معادلة الانحدار (لدينا 2) ، ن- عدد أزواج القيم الأولية (لدينا 15).

لان ثم تكون معادلة الانحدار مهمة عند = 0.05.

أرز.9 .8. تحديد معامل التحديد ومتوسط ​​الخطأ التقريبي

أرز. 9 . 9 . نافذة الحوارالمهامالتوزيع F

بعد ذلك ، نحدد معمعامل المرونة المتوسطحسب الصيغة. يوضح المكتشف أنه مع زيادة حجم المنتجات المصنعة بنسبة 1٪ ، فإن تكاليف إنتاج هذه المنتجات ستزداد بنسبة 1.093٪ في المتوسط ​​في المجموع.

احسب قيمة التنبؤبالتعويض عن القيمة المتوقعة للعامل = 1.12 = 6.248 * 1.12 = 6.9978 في معادلة الانحدار = -19.559 + 36.8746. نحصل على = 238.48. وبالتالي ، مع عدد المعدات البالغ 6.9978 وحدة / هكتار ، سيكون حجم الإنتاج 238.48 ألف دن. الوحدات

أوجد التباين المتبقي ، لذلك نحسب مجموع مربعات الفرق بين القيم الفعلية والنظرية. = 39.166 بوضع الصيغة التالية = ROOT (J17 / (B19-2))في خلية ح2 1 (الشكل 9.10).

أرز.9 .عشرة. تحديد التباين المتبقي

منريدننعماساسيالخطأ التنبؤ بالمناخ:

عند مستوى الدلالة = 0.05 باستخدام الدالة الإحصائية المضمنة ستوردسبوبرنحدد = 2.1604 ونحسب خطأ التنبؤ الهامشي ، والذي لن يتجاوز 95٪ من الحالات .

دتوقع فاصل الثقة:

أو .

تبين أن توقعات تكاليف الإنتاج موثوقة (1-0.05 = 0.95) ، لكنها غير دقيقة ، لأن نطاق الحدود العليا والسفلى لفاصل الثقة هو مرات. حدث هذا بسبب صغر حجم الملاحظات.

يجب أن يُلغى كون MS Excel يحتوي على وظائف إحصائية مدمجة يمكنها تقليل عدد الحسابات الوسيطة بشكل كبير ، على سبيل المثال (الشكل 9.11):

لكي يحسب فيانتقائيXمعدلXاستخدم الوظيفة AVERAGE (number1: numberن) من الفئة الإحصاء .

عينة التغايربين و وجدت باستخدام الوظيفة COVAR (مجموعةX؛مجموعة مصفوفةص) من الفئة الإحصاء .

انتقائيستشتتوتحددها الوظيفة الإحصائية VARP (رقم 1: رقمن) .

أرز.9 .أحد عشر. الحوسبةفهارس الوظائف المضمنةالسيدةتتفوق

صمعاملسالانحدارالخطييمكن تعريف برنامج Excel بعدة طرق.

1 طريق) مع وظيفة مدمجة LINEST. الإجراء كالتالي:

1. حدد مساحة من الخلايا الفارغة 5 × 2 (5 صفوف ، عمودين) لعرض نتائج إحصائيات الانحدار أو منطقة 1 × 2 - للحصول على معاملات الانحدار فقط.

2. باستخدام معالجات الوظيفةضمن إحصائية حدد الوظيفة LINESTواملأ حججها (الشكل 9.12):

أرز. 9 . 12 . مربع حوار إدخال وسيطة الوظيفةLINEST

القيم_المعروفةذ

القيم_المعروفةx

كونست- قيمة منطقية (1 أو 0) ، والتي تشير إلى وجود أو عدم وجود مصطلح حر في المعادلة ؛ ضع 1

إحصائيات- القيمة المنطقية (1 أو 0) التي تشير إلى ما إذا كان سيتم عرض معلومات إضافية حول تحليل الانحدار أم لا ؛ ضع 1.

3. سيظهر الرقم الأول من الجدول في الخلية اليسرى العلوية للمنطقة المحددة. اضغط على الزر لفتح الجدول بأكمله. < F2> ، ثم - على مجموعة المفاتيح < كنترول> + < تحول> + < أدخل> .

سيتم عرض إحصائيات الانحدار الإضافية في النموذج (الجدول 9.3):

الجدول 9.3

قيمة المعامل	قيمة المعامل
RMS انحراف	RMS انحراف
معامل في الرياضيات او درجة التحديدات	RMS انحراف
إحصائيات	عدد درجات الحرية
مجموع انحدار المربعات	مجموع المربعات المتبقية

نتيجة تطبيق الوظيفة LINESTنحن نحصل:

( 2 طريق) استخدام أداة تحليل البيانات تراجع يمكنك الحصول على نتائج إحصائيات الانحدار ، تحليل التباين، فترات الثقة ، المخلفات ، قطع تركيب الانحدار ، المؤامرات المتبقية ، و الاحتمال العادي. الإجراء كالتالي:

1. تحتاج إلى التحقق من الوصول إلى حزمة التحليل. للقيام بذلك ، في القائمة الرئيسية (عبر الزر مايكروسوفت أوفيسالوصول إلى خيارات MS Excel) في مربع الحوار "خيارات". السيدةتتفوق»حدد أمر" الوظائف الإضافية "وحدد الوظيفة الإضافية على اليمين تحليل الحزمة أ ثم انقر فوق الزر "انتقال" (الشكل 9.13). في مربع الحوار الذي يفتح ، حدد المربع بجوار "حزمة التحليل" وانقر فوق "موافق" (الشكل 9.14).

في علامة التبويب "البيانات" في مجموعة "التحليل" ، سيكون لديك حق الوصول إلى الوظيفة الإضافية المثبتة. (الشكل 9.15).

أرز.9 .13. تمكين الوظائف الإضافية فيالسيدةتتفوق

أرز.9 .أربعة عشرة. مربع حوار الوظائف الإضافية

أرز.9 .15. الوظيفة الإضافية لتحليل البيانات على الشريطالسيدةتتفوق 2007 .

2. حدد "البيانات" في مجموعة "التحليل" ، حدد الأمر تحليل نعم ن نيويورك تايمز في مربع الحوار الذي يفتح ، حدد أداة تحليل "الانحدار" وانقر على "موافق" (الشكل 9.16):

أرز.9 .16. مربع حوار تحليل البيانات

في مربع الحوار الذي يظهر (الشكل 9.17) ، املأ الحقول:

الفاصل الزمني للإدخالص- النطاق الذي يحتوي على بيانات السمة الفعالة Y ؛

الفاصل الزمني للإدخالX- النطاق الذي يحتوي على بيانات السمة التفسيرية X ؛

العلامات- علم يشير إلى ما إذا كان السطر الأول يحتوي على أسماء الأعمدة أم لا ؛

كونستالنملة صفر- علم يشير إلى وجود أو عدم وجود مصطلح مجاني في المعادلة ؛

الفاصل الزمني للإخراج- يكفي الإشارة إلى الخلية اليسرى العلوية للنطاق المستقبلي ؛

ورقة عمل جديدة- يمكنك تعيين اسم عشوائي للورقة الجديدة التي سيتم عرض النتائج عليها.

أرز.9 .17. مربع حوار الانحدار

للحصول على المعلومات المتبقية ، والمخططات المتبقية ، والملاءمة ، والاحتمال العادي ، حدد خانات الاختيار المناسبة في مربع الحوار.

أرز. 9 . 18 . نتائج تطبيق الأداةتراجع

في السيدةتتفوق خط الاتجاهيمكن إضافتها إلى مخطط شريطي أو مخطط خطي. لهذا:

1. من الضروري تحديد منطقة إنشاء المخطط وتحديد "تخطيط" في الشريط وتحديد أمر "خط الاتجاه" في مجموعة التحليل (الشكل 9.19). في عنصر القائمة المنسدلة ، حدد "خيارات خط الاتجاه المتقدمة".

أرز. 1.19شريط

2. في مربع الحوار الذي يظهر ، حدد القيم الفعلية ، ثم سيتم فتح مربع الحوار "تنسيق خط الاتجاه" (الشكل 9.20.) الذي يتم فيه تحديد نوع خط الاتجاه وتعيين المعلمات المناسبة.

أرز. 9 . 20 . نافذة الحوار"تنسيق خط الاتجاه"

بالنسبة لاتجاه متعدد الحدود ، يجب عليك تحديد درجة تقريب كثير الحدود ، لـ التصفية الخطية- عدد نقاط المتوسط.

يختار خطيلبناء معادلة انحدار خطي.

كما معلومات إضافيةيستطيع عرض المعادلة على ديأغرامو ضع قيمة على الرسم التخطيطي(الشكل 9.21).

أرز. 9 . 21 . الاتجاه الخطي

نماذج الانحدار غير الخطي يتم توضيحها عند حساب معلمات المعادلة باستخدام الوظيفة الإحصائية المحددة في Excel إلGRFPRIBL. إجراء الحساب مشابه لاستخدام دالة LINEST.

إن أبسط تقنيات الفهم والتفسير والحساب هي الشكل الخطي للانحدار.

معادلة الانحدار الزوجي الخطي ، حيث

أ 0 ، 1 - معلمات النموذج ، ε أنا - متغير عشوائي (القيمة المتبقية).

معلمات النموذج ومحتواها:

يتم استكمال معادلة الانحدار بمؤشر على ضيق الاتصال. مثل هذا المؤشر هو معامل الارتباط الخطي ، والذي يتم حسابه بواسطة الصيغة:

أو .

لتقييم جودة الاختيار دالة خطيةيتم حساب مربع معامل الارتباط الخطي ، يسمى معامل التحديد. يميز معامل التحديد نسبة التباين في السمة الناتجة ، التي يفسرها الانحدار ، في التباين الكلي للسمة الناتجة:

,

أين

.

وفقًا لذلك ، تحدد القيمة نسبة التشتت الناتجة عن تأثير العوامل الأخرى التي لم تؤخذ في الاعتبار في النموذج.

بعد بناء معادلة الانحدار ، يتم التحقق من مدى كفايتها ودقتها ، ويتم دراسة خصائص النموذج بناءً على تحليل عدد من القيم المتبقية ε i (انحرافات القيم المحسوبة عن القيم الفعلية).

مستوى صف المخلفات

الترابطي و تحليل الانحدارنفذت لعدد محدود من السكان. في هذا الصدد ، يمكن تشويه مؤشرات الانحدار والارتباط والتحديد بفعل العوامل العشوائية. للتحقق من مدى كون هذه المؤشرات نموذجية لجميع السكان ، سواء كانت نتيجة مجموعة من الظروف العشوائية ، من الضروري التحقق من كفاية النموذج المُنشأ.

يتمثل التحقق من كفاية النموذج في تحديد أهمية النموذج وإثبات وجود أو عدم وجوده خطأ منهجي.

قيم 1البيانات ذات الصلة Xأنا في القيم النظرية أ 0و أ 1 ،عشوائي. ستكون قيم المعاملات المحسوبة منها عشوائية أيضًا. أ 0و أ 1.

يتم التحقق من أهمية معاملات الانحدار الفردية وفقًا لـ اختبار الطالبباختبار الفرضية القائلة بأن كل معامل انحدار يساوي صفرًا. في الوقت نفسه ، تم اكتشاف مدى خصائص المعلمات المحسوبة لعرض مجموعة من الشروط: ما إذا كانت قيم المعلمات التي تم الحصول عليها هي نتيجة لعمل المتغيرات العشوائية. تستخدم الصيغ المناسبة لمعاملات الانحدار المقابلة.

معادلات لتحديد اختبار الطالب

أين

S a 0، S a 1 - الانحرافات المعيارية للمصطلح الحر ومعامل الانحدار. الصيغ

أين

S ε - الانحراف المعياريالنموذج المتبقي (الخطأ المعياري للتقدير) ، والذي يتم تحديده بواسطة المعادلة

تتم مقارنة القيم المحسوبة لمعيار t مع القيمة المجدولة للمعيار رαγ ، والذي تم تحديده لـ (n - ك- 1) درجات الحرية ومستوى الدلالة المقابل α. إذا تجاوزت القيمة المحسوبة لمعيار t قيمته الجدولية رαγ ، ثم يتم التعرف على المعلمة على أنها مهمة. في هذه الحالة ، يكاد يكون من غير المعقول أن القيم الموجودة للمعلمات ترجع فقط إلى مصادفات عشوائية.

يتم تقييم أهمية معادلة الانحدار ككل على أساس - معيار فيشر ، الذي يسبقه تحليل التباين.

يتم تقسيم المجموع الكلي للانحرافات التربيعية للمتغير عن القيمة المتوسطة إلى جزأين - "موضح" و "غير مفسر":

المجموع الكلي للانحرافات التربيعية ؛

مجموع الانحرافات التربيعية التي يفسرها الانحدار (أو عامل مجموع الانحرافات التربيعية) ؛

- المجموع المتبقي للانحرافات التربيعية ، والذي يميز تأثير العوامل التي لم تؤخذ في الاعتبار في النموذج.

يحتوي مخطط تحليل التشتت على الشكل المعروض في الجدول 35 (- عدد الملاحظات ، - عدد المعلمات ذات المتغير).

الجدول 35 - مخطط تحليل التباين

مكونات التباين	مجموع المربعات	عدد درجات الحرية	التشتت حسب درجة الحرية
عام
عاملي
المتبقية

إن تحديد التشتت لكل درجة من الحرية يجلب التشتت إلى شكل مماثل. بمقارنة الفروق العاملية والمتبقية لكل درجة من الحرية ، نحصل على قيمة معيار فيشر:

للتحقق من أهمية معادلة الانحدار ككل ، استخدم اختبار فيشر إف. في حالة الانحدار الخطي المقترن ، يتم تحديد أهمية نموذج الانحدار بالصيغة التالية: .

إذا ، عند مستوى معين من الأهمية ، القيمة المحسوبة لمعيار F مع γ 1 = ك ، γ 2 = ( ص ك- 1) درجات الحرية أكبر من الجدول الجدولي ، ثم يعتبر النموذج مهمًا ، ويتم رفض الفرضية حول الطبيعة العشوائية للخصائص المقدرة ويتم التعرف عليها على أنها دلالة إحصائيةوالموثوقية. يتم التحقق من وجود أو عدم وجود خطأ منهجي (استيفاء المتطلبات الأساسية لطريقة المربعات الصغرى - LSM) على أساس تحليل عدد من القيم المتبقية. يتم حساب الأخطاء العشوائية لمعاملات الانحدار الخطي ومعامل الارتباط وفقًا للصيغ

,

لاختبار خاصية العشوائية لسلسلة من المخلفات ، يمكنك استخدام معيار نقاط التحول (القمم). تعتبر النقطة نقطة تحول إذا وفقا للشروط: ε أنا -1< ε i >ε i +1 أو i -1> ε i< ε i +1

بعد ذلك ، يتم حساب عدد نقاط التحول p. اختبار العشوائية بمستوى أهمية 5٪ ، أي مع مستوى الثقة 95٪ ، هو تحقيق عدم المساواة:

الأقواس المربعة تعني أنه تم أخذها الجزء الكاملرقم بين قوسين. إذا تم استيفاء عدم المساواة ، فإن النموذج يعتبر مناسبًا.

لاختبار المساواة توقع رياضيالتسلسل المتبقي صفر ، يتم حساب متوسط ​​قيمة سلسلة من المخلفات:

إذا كانت = 0 ، فيُعتبر أن النموذج لا يحتوي على خطأ منهجي ثابت ويكون مناسبًا وفقًا لمعيار المتوسط ​​الصفري.

إذا كانت 0 ، فسيتم اختبار الفرضية الصفرية بأن التوقع الرياضي يساوي صفرًا. للقيام بذلك ، احسب اختبار t للطالب وفقًا للصيغة:

حيث S ε هو الانحراف المعياري لبقايا النموذج (خطأ معياري).

تتم مقارنة قيمة المعيار t مع الجدول t αγ. إذا تم استيفاء عدم المساواة t> t αγ ، فإن النموذج غير مناسب وفقًا لهذا المعيار

يجب أن يكون تباين مستويات سلسلة المخلفات هو نفسه لجميع القيم X(منشأه المثليةإذا لم يتم استيفاء هذا الشرط إذن تغاير المرونة .

لتقييم عدم التجانس مع حجم عينة صغير ، يمكن للمرء استخدام طريقة Goldfeld – Quandt, وجوهرها أنه من الضروري:

حدد موقع القيم المتغيرة Xفي ترتيب تصاعدي؛

قسّم مجموعة الملاحظات المرتبة إلى مجموعتين ؛

لكل مجموعة من الملاحظات ، قم ببناء معادلات الانحدار ؛

حدد المجاميع المتبقية من المربعات للمجموعتين الأولى والثانية باستخدام الصيغ: ; ، أين

ن 1 - عدد المشاهدات في المجموعة الأولى ؛

ن 2 - عدد المشاهدات في المجموعة الثانية.

احسب المعيار أو (يجب أن يحتوي البسط على مجموع كبير من المربعات). وانت تفعل فرضية العدمحول المثلية ، فإن المعيار F calc يفي بالمعيار F مع درجات الحرية γ 1 = n 1 -m ، γ 2 = n - n 1 - m) لكل منها اضطرابات الصدمةالمربعات (حيث م — عدد المعلمات المقدرة في معادلة الانحدار). كلما زادت قيمة Fcalc عن القيمة المجدولة لمعيار F ، تم انتهاك فرضية تساوي مشتتات المخلفات.

يتم التحقق من استقلالية تسلسل المخلفات (عدم وجود ارتباط تلقائي) باستخدام اختبار Durbin-Watson d. يتم تحديده من خلال الصيغة:

تتم مقارنة القيمة المحسوبة للمعيار بالقيم الحرجة d 1 والأعلى d 2 لإحصائيات Durbin-Watson. الحالات التالية ممكنة:

1) إذا د< d 1 , то гипотеза о независимости остатков отвергается и модель признается неадекватной по критерию независимости остатков;

2) إذا د 1 < د < د 2 (بما في ذلك هذه القيم نفسها) ، يعتبر أنه لا توجد أسباب كافية لاستخلاص نتيجة أو أخرى. ضروري للاستخدام معيار إضافي، على سبيل المثال معامل الارتباط الأول الأول:

إذا كانت القيمة المحسوبة لمعامل المعامل أقل من القيمة الجدولية r 1kr ، عندئذٍ يتم قبول فرضية عدم وجود ارتباط تلقائي ؛ خلاف ذلك ، يتم رفض هذه الفرضية ؛

3) إذا د 2 < د < 2, ثم يتم قبول فرضية استقلالية القيم المتبقية ويتم التعرف على النموذج على أنه مناسب وفقًا لهذا المعيار ؛

4) إذا كانت د> 2 ، فهذا يدل على ذلك ارتباط تلقائي سلبيبقايا الطعام. في هذه الحالة ، يجب تحويل القيمة المحسوبة للمعيار وفقًا للصيغة d ′ = 4 - d ومقارنتها بالقيمة الحرجة d ′ , لا د.

يمكن التحقق من امتثال توزيع التسلسل المتبقي لقانون التوزيع العادي باستخدام معيار R / S ، الذي تحدده الصيغة:

حيث S ε هو الانحراف المعياري لبقايا النموذج (خطأ معياري). تتم مقارنة القيمة المحسوبة لـ R / S - المعايير قيم الجدول(الحدود الدنيا والعليا علاقة معينة) ، وإذا كانت القيمة لا تقع ضمن الفترة الفاصلة بين الحدود الحرجة ، فعندئذ مع مستوى معين من الأهمية ، يتم رفض فرضية التوزيع الطبيعي ؛ وإلا فإن الفرضية مقبولة

لتقييم الجودة نماذج الانحداريُنصح أيضًا باستخدامه مؤشر الارتباط(معامل الارتباط المتعدد).

معادلة تحديد مؤشر الارتباط

أين

المجموع الكلي لانحرافات المتغير التابع عن متوسطه التربيعي. تحددها الصيغة:

شرح مجموع الانحرافات التربيعية بالانحدار. تحددها الصيغة:

المجموع المتبقي للانحرافات التربيعية. محسوبة بالصيغة:

المعادلة يمكن تمثيلها على النحو التالي:

يأخذ مؤشر الارتباط قيمة من 0 إلى 1. وكلما ارتفعت قيمة المؤشر ، كانت القيم المحسوبة للميزة الناتجة أقرب إلى القيم الفعلية. يتم استخدام مؤشر الارتباط لأي شكل من أشكال ارتباط المتغيرات ؛ مع الانحدار الخطي المقترن ، فإنه يساوي معامل الزوجالارتباطات.

تُستخدم خصائص الدقة كمقياس لدقة النموذج: لتحديد مقياس دقة النموذج ، يتم حساب ما يلي:

- أقصى خطأ- يتوافق مع انحراف الانحراف المحسوب للقيم المحسوبة عن القيم الفعلية

- معدل الخطأ المطلق - يوضح الخطأ مدى انحراف القيم الفعلية عن النموذج في المتوسط

- تباين سلسلة من القيم المتبقية (التشتت المتبقي)

أين هي القيمة المتوسطة لسلسلة من المخلفات. تحددها الصيغة

- جذر يعني خطأ تربيعي. إنه الجذر التربيعي للتباين: ، كيف أقل قيمةكلما زادت دقة النموذج

- معدل خطأ نسبيتقريبية.

يجب ألا يتجاوز متوسط ​​الخطأ التقريبي 8-10٪.

إذا تم التعرف على نموذج الانحدار على أنه ملائم ، وكانت معلمات النموذج مهمة ، فتابع بناء التنبؤ .

القيمة المتوقعةعامل فييتم الحصول عليها عن طريق استبدال القيمة المتوقعة للمتغير المستقل في معادلة الانحدار Xالنذير.

يسمى هذا التوقع نقطة.إن احتمال تنفيذ التنبؤ بالنقطة هو صفر تقريبًا ، لذلك يتم حساب فاصل الثقة للتنبؤ بدرجة عالية من الموثوقية.

تعتمد فترات الثقة للتنبؤ على خطأ تقليدي، حذف Xيهرب من وسطه , عدد الملاحظات نومستوى أهمية التنبؤ α. يتم حساب فترات الثقة للتنبؤ بالصيغة: أو

أين

رجدول - يحدده جدول توزيع الطالب لمستوى الأهمية α وعدد درجات الحرية γ = ن ك -1.

مثال 13.

وفقًا لمسح لثماني مجموعات من العائلات ، فإن البيانات المتعلقة بالعلاقة بين إنفاق السكان على الغذاء ومستوى دخل الأسرة معروفة (الجدول 36).

الجدول 36 - العلاقات بين إنفاق الأسرة على الغذاء ودخل الأسرة

الإنفاق على الطعام ، فرك.	0,9	1,2	1,8	2,2	2,6	2,9	3,3	3,8
دخل الأسرة ، ألف روبل	1,2	3,1	5,3	7,4	9,6	11,8	14,5	18,7

افترض أن العلاقة بين دخل الأسرة والإنفاق على الغذاء علاقة خطية. لتأكيد افتراضنا ، نقوم ببناء حقل ارتباط (الشكل 8).

يوضح الرسم البياني أن النقاط تصطف في خط مستقيم.

لتسهيل المزيد من العمليات الحسابية ، سنقوم بتجميع الجدول 37.

احسب معاملات معادلة انحدار الزوج الخطي . للقيام بذلك ، نستخدم الصيغ:

الشكل 8 - مجال الارتباط.

حصلنا على المعادلة:

أولئك. مع زيادة دخل الأسرة بمقدار 1000 روبل. زيادة تكاليف الغذاء بمقدار 168 روبل.

حساب معامل الارتباط الخطي.