درجات متساوية. درجة قياس قوس الدائرة

الزاوية عبارة عن شكل يتكون من نقطة - رأس الزاوية وخطين أنصاف مختلفين ينبثقان من هذه النقطة - جوانب الزاوية (الشكل 14). إذا كانت جوانب الزاوية عبارة عن خطوط أنصاف مكملة ، فإن الزاوية تسمى الزاوية المستقيمة.

يشار إلى الزاوية إما بالإشارة إلى رأسها ، أو بالإشارة إلى جوانبها ، أو بالإشارة إلى ثلاث نقاط: رأس ونقطتان على جانبي الزاوية. في بعض الأحيان يتم استبدال كلمة "زاوية"

يمكن تمثيل الزاوية في الشكل 14 بثلاث طرق:

يُقال أن الشعاع c يمر بين جانبي زاوية ما إذا كان يأتي من رأسها ويتقاطع مع بعض الأجزاء مع نهايات على جانبي الزاوية.

في الشكل 15 ، يمر الشعاع c بين جانبي الزاوية لأنه يتقاطع مع المقطع

في حالة الزاوية المستقيمة ، فإن أي شعاع يخرج من قمته ويختلف عن جوانبه يمر بين جانبي الزاوية.

تقاس الزوايا بالدرجات. إذا أخذنا زاوية مستقيمة وقسمناها على 180 زوايا متساويةومن بعد قياس الدرجةكل من هذه الزوايا تسمى درجة.

يتم التعبير عن الخصائص الرئيسية لقياس الزوايا في البديهية التالية:

كل زاوية لها قياس معين ، صفر كبير. الزاوية المتطورة 180 درجة. قياس درجة الزاوية يساوي مجموع مقاييس درجات الزوايا التي تقسم إليها أي شعاع يمر بين جانبيها.

هذا يعني أنه إذا مر الشعاع c بين جانبي الزاوية ، فإن الزاوية تساوي مجموع الزوايا

تم إيجاد قياس الزاوية باستخدام المنقلة.

الزاوية التي تساوي 90 درجة تسمى الزاوية القائمة. الزاوية الأقل من 90 درجة تسمى الزاوية الحادة. تسمى الزاوية الأكبر من 90 درجة وأقل من 180 درجة الزاوية المنفرجة.

دعونا نصوغ الخاصية الرئيسية للتخلص من الزوايا.

من أي نصف خط إلى نصف مستوى معين ، يمكن للمرء الاستغناء عن زاوية بقياس درجة معينة أقل من 180 درجة ، وواحدة فقط.

النظر في نصف خط أ. نمدها إلى ما بعد نقطة البداية A. الخط المستقيم الناتج يقسم الطائرة إلى نصفين. يوضح الشكل 16 كيفية استخدام منقلة للابتعاد عن نصف الخط أ إلى نصف المستوى العلوي بزاوية بقياس درجة معين قدره 60 درجة.

T. 1. 2. إذا تم وضع زاويتين جانباً من نصف خط معين في نصف مستوى واحد ، فإن جانب الزاوية الأصغر ، والذي يختلف عن نصف خط معين ، يمر بين جانبي الزاوية الأكبر .

دع الزوايا من نصف الخط المعطى a في نصف مستوى واحد ، واجعل الزاوية أقل من الزاوية. تنص النظرية 1.2 على أن الشعاع يمر بين جانبي الزاوية (الشكل 17).

منصف الزاوية هو شعاع يأتي من رأسه ويمر بين الجانبين ويقسم الزاوية إلى نصفين. في الشكل 18 ، الشعاع هو منصف الزاوية

في الهندسة ، هناك مفهوم الزاوية المستوية. زاوية المستوى هي جزء من مستوى يحده شعاعين مختلفين ينبثقان من نفس النقطة. تسمى هذه الأشعة بجوانب الزاوية. هناك زاويتان مسطحتان بجوانب معينة. يطلق عليهم إضافات. في الشكل 19 ، إحدى الزوايا المسطحة ذات الجوانب أ و

ملاحظات هامة!
1. إذا رأيت abracadabra بدلاً من الصيغ ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. كيفية القيام بذلك في متصفحك مكتوب هنا:
2. قبل أن تبدأ في قراءة المقال ، انتبه إلى الملاح الخاص بنا أكثر من غيره مورد مفيدإلى عن على

الشروط الأساسية.

إلى أي مدى تتذكر جميع الأسماء المرتبطة بالدائرة؟ فقط في حالة ، نتذكر - انظر إلى الصور - قم بتحديث معرفتك.

أولاً - مركز الدائرة هو النقطة التي تكون منها جميع النقاط على الدائرة على نفس المسافة.

ثانيًا - نصف القطر - قطعة خطية تربط المركز ونقطة على الدائرة.

يوجد الكثير من أنصاف الأقطار (بقدر ما توجد نقاط على دائرة) ، ولكن جميع أنصاف الأقطار لها نفس الطول.

في بعض الأحيان لفترة قصيرة نصف القطريسمونه طول القطعة"المركز نقطة على الدائرة" ، وليس المقطع نفسه.

وهذا ما يحدث إذا قمت بتوصيل نقطتين على دائرة؟ أيضا قطع؟

لذلك ، هذا الجزء يسمى "وتر".

تمامًا كما في حالة نصف القطر ، يُطلق على القطر غالبًا طول المقطع الذي يربط بين نقطتين على دائرة ويمر عبر المركز. بالمناسبة ، كيف يرتبط القطر ونصف القطر؟ انظر بتمعن. بالطبع، نصف القطر نصف القطر.

بالإضافة إلى الحبال ، هناك أيضًا قاطع.

هل تتذكر الأبسط؟

الزاوية المركزية هي الزاوية بين نصف قطر.

والآن الزاوية المحيطية

الزاوية المحيطية هي الزاوية الواقعة بين وتران يتقاطعان عند نقطة في دائرة.

في هذه الحالة ، يقولون أن الزاوية المحيطية تعتمد على قوس (أو على وتر).

انظر الى الصورة:

قياس الأقواس والزوايا.

محيط. تقاس الأقواس والزوايا بالدرجات والراديان. أولاً ، عن الدرجات العلمية. لا توجد مشاكل في الزوايا - عليك أن تتعلم كيفية قياس القوس بالدرجات.

قياس الدرجة (قيمة القوس) هو القيمة (بالدرجات) للزاوية المركزية المقابلة

ماذا تعني كلمة "المقابلة" هنا؟ دعونا ننظر بعناية:

ترى القوسين والزاوية المركزية اثنين؟ حسنًا ، يقابل القوس الأكبر زاوية أكبر (ولا بأس في أنه أكبر) ، والقوس الأصغر يقابل زاوية أصغر.

لذلك ، اتفقنا على أن القوس يحتوي على نفس عدد الدرجات للزاوية المركزية المقابلة.

والآن عن الرهيب - حول الراديان!

أي نوع من الحيوانات هذا "راديان"؟

تخيل هذا: راديان طريقة لقياس الزاوية ... في نصف القطر!

زاوية الراديان هي الزاوية المركزية، طول قوسها يساوي نصف قطر الدائرة.

ثم السؤال الذي يطرح نفسه - كم راديان في زاوية مستقيمة؟

بمعنى آخر: كم عدد أنصاف الأقطار التي "تناسب" في نصف دائرة؟ أو بطريقة أخرى: كم مرة يكون طول نصف دائرة أكبر من نصف القطر؟

طرح هذا السؤال من قبل العلماء في اليونان القديمة.

وهكذا ، بعد بحث طويل ، وجدوا أن نسبة المحيط إلى نصف القطر لا تريد التعبير عنها بأرقام "بشرية" ، مثل ، إلخ.

وليس من الممكن حتى التعبير عن هذا الموقف من خلال الجذور. أي ، اتضح أنه لا يمكن للمرء أن يقول أن نصف الدائرة ضعف أو ضعف نصف القطر! هل يمكنك أن تتخيل كم كان مذهلاً اكتشاف الناس لأول مرة ؟! بالنسبة لنسبة طول نصف دائرة إلى نصف القطر ، كانت الأرقام "العادية" كافية. كان علي إدخال حرف.

إذن ، هو رقم يعبر عن نسبة طول نصف دائرة إلى نصف القطر.

يمكننا الآن الإجابة على السؤال: كم راديان في الزاوية المستقيمة؟ لها راديان. على وجه التحديد لأن نصف الدائرة ضعف نصف القطر.

الناس القدامى (وغير ذلك) عبر العصور (!) حاولوا حساب هذا الرقم الغامض بشكل أكثر دقة ، للتعبير عنه بشكل أفضل (على الأقل تقريبًا) من خلال أرقام "عادية". والآن نحن كسالى بشكل مستحيل - علامتان بعد الانشغال تكفيان لنا ، وقد اعتدنا على ذلك

فكر في الأمر ، هذا يعني ، على سبيل المثال ، أن y لدائرة نصف قطرها يساوي واحدًا تقريبًا في الطول ، ومن المستحيل ببساطة كتابة هذا الطول برقم "بشري" - فأنت بحاجة إلى حرف. وبعد ذلك سيكون هذا المحيط متساويًا. وبالطبع ، محيط نصف القطر متساوي.

دعنا نعود إلى الراديان.

لقد اكتشفنا بالفعل أن الزاوية المستقيمة تحتوي على راديان.

ما لدينا:

سعيد جدا ، هذا سعيد. بنفس الطريقة ، يتم الحصول على لوحة ذات الزوايا الأكثر شيوعًا.

النسبة بين قيم الزوايا المنقوشة والمركزية.

هناك حقيقة مذهلة:

قيمة الزاوية المحيطية تساوي نصف قيمة الزاوية المركزية المقابلة.

انظر كيف يبدو هذا البيان في الصورة. الزاوية المركزية "المقابلة" هي الزاوية التي تتطابق فيها النهايات مع نهايات الزاوية المحيطية ، ويكون الرأس في المركز. وفي الوقت نفسه ، يجب أن "تنظر" الزاوية المركزية "المقابلة" إلى نفس الوتر () مثل الزاوية المحيطية.

لما ذلك؟ دعونا نلقي نظرة أولاً على حالة بسيطة. دع أحد الأوتار يمر عبر المركز. بعد كل شيء ، هذا يحدث في بعض الأحيان ، أليس كذلك؟

ماذا يحدث هنا؟ انصح. إنه متساوي الساقين - بعد كل شيء ، وهو نصف قطر. لذلك ، (دلت عليهم).

الآن دعونا نلقي نظرة على. هذه الزاوية الخارجية! نتذكر أن الزاوية الخارجية تساوي مجموع زاويتين داخليتين غير متجاورتين ، ونكتب:

هذا هو! تأثير غير متوقع. لكن هناك أيضًا زاوية مركزية للنقش المدرج.

إذن ، في هذه الحالة ، أثبتنا أن الزاوية المركزية تساوي ضعف الزاوية المحيطية. لكنها تؤلم حالة خاصة: هل صحيح أن الوتر لا يمر عبر المركز دائمًا؟ لكن لا شيء ، الآن هذه الحالة الخاصة ستساعدنا كثيرًا. انظر: الحالة الثانية: دع المركز يكمن في الداخل.

لنفعل هذا: ارسم قطرًا. وبعد ذلك ... نرى صورتين تم تحليلهما بالفعل في الحالة الأولى. لذلك ، لدينا بالفعل

لذلك (على الرسم ، أ)

حسنا ، وبقيت الحالة الأخيرة: مركز خارج الزاوية.

نفعل الشيء نفسه: ارسم قطرًا من خلال نقطة. كل شيء هو نفسه ، ولكن بدلا من المجموع - الفرق.

هذا كل شئ!

دعنا الآن نشكل نتيجتين رئيسيتين وهامتين للغاية لبيان أن الزاوية المحيطية هي نصف الزاوية المركزية.

النتيجة الطبيعية 1

جميع الزوايا المنقوشة التي تتقاطع مع نفس القوس متساوية.

نوضح:

الزوايا المحيطية بناءً على نفس القوس (لدينا هذا القوس) - لا يحصى، قد تبدو مختلفة تمامًا ، لكن لديهم جميعًا نفس الزاوية المركزية () ، مما يعني أن كل هذه الزوايا المحفورة متساوية مع بعضها البعض.

النتيجة 2

الزاوية القائمة على القطر هي الزاوية اليمنى.

انظر: أي ركن مركزي؟

بالطبع، . لكنه متساو! حسنًا ، هذا هو السبب (بالإضافة إلى الكثير من الزوايا المحيطية على أساس) ويساوي.

الزاوية بين الوترين والقطعان

ولكن ماذا لو كانت الزاوية التي نهتم بها ليست منقوشة وليست مركزية ، ولكن ، على سبيل المثال ، مثل هذا:

او مثل هذا؟

هل من الممكن التعبير عنها بطريقة ما من خلال بعض الزوايا المركزية؟ اتضح أنك تستطيع. انظر ، نحن مهتمون.

أ) (كركن خارجي لـ). لكن - نقش ، على أساس القوس -. - نقش ، على أساس القوس -.

يقولون للجمال:

الزاوية بين الأوتار تساوي نصف مجموع القيم الزاوية للأقواس المتضمنة في هذه الزاوية.

هذا مكتوب للإيجاز ، ولكن بالطبع ، عند استخدام هذه الصيغة ، عليك أن تضع في اعتبارك الزوايا المركزية

ب) والآن - "خارج"! كيف تكون؟ نعم ، تقريبا نفس الشيء! الآن فقط (قم بتطبيق خاصية الزاوية الخارجية مرة أخرى). هذا الآن.

وهذا يعني . دعونا نجلب الجمال والإيجاز في السجلات والتركيبات:

الزاوية بين القاطعات تساوي نصف الفرق في القيم الزاوية للأقواس المحاطة بهذه الزاوية.

حسنًا ، أنت الآن مسلح بكل المعارف الأساسية حول الزوايا المرتبطة بالدائرة. إلى الأمام ، للهجوم على المهام!

زاوية دائرية ومحكمة. مستوى متوسط

ما هي الدائرة ، حتى الطفل البالغ من العمر خمس سنوات يعرف ، أليس كذلك؟ لدى علماء الرياضيات ، كما هو الحال دائمًا ، تعريفًا غامضًا لهذا الموضوع ، لكننا لن نعطيه (انظر) ، بل نتذكر ما تسمى النقاط والخطوط والزوايا المرتبطة بالدائرة.

شروط مهمة

أولاً:

مركز الدائرة- نقطة تكون منها المسافات التي من خلالها إلى جميع نقاط الدائرة متساوية.

ثانيًا:

هناك تعبير مقبول آخر هنا: "الوتر ينقبض القوس". هنا ، هنا في الشكل ، على سبيل المثال ، يتقلص الوتر قوسًا. وإذا مر الوتر فجأة عبر المركز ، فسيكون له اسم خاص: "القطر".

بالمناسبة ، كيف يرتبط القطر ونصف القطر؟ انظر بتمعن. بالطبع،

والآن - أسماء الزوايا.

بالطبع ، أليس كذلك؟ تخرج جوانب الزاوية من المركز ، مما يعني أن الزاوية مركزية.

هذا هو المكان الذي تنشأ فيه الصعوبات في بعض الأحيان. انتبه - ليس هناك أي زاوية داخل دائرة منقوشة ،ولكن فقط واحد رأسه "يجلس" على الدائرة نفسها.

دعونا نرى الفرق في الصور:

يقولون أيضًا بشكل مختلف:

هناك نقطة واحدة صعبة هنا. ما هي الزاوية المركزية "المقابلة" أو "الخاصة"؟ ما هي الزاوية التي يكون رأسها في وسط الدائرة وينتهي عند طرفي القوس؟ ليس بالتأكيد بهذه الطريقة. انظر الى الصورة.

ومع ذلك ، فإن إحداها لا تبدو حتى كزاوية - إنها أكبر. لكن في المثلث لا يمكن أن يكون هناك المزيد من الزوايا ، لكن في الدائرة - قد يكون ذلك جيدًا! إذن: القوس الأصغر AB يقابل زاوية أصغر (برتقالية) ، والأكبر يقابل زاوية أكبر. فقط مثل ، أليس كذلك؟

العلاقة بين الزوايا المنقوشة والمركزية

تذكر عبارة مهمة للغاية:

في الكتب المدرسية ، يحبون كتابة نفس الحقيقة مثل هذا:

صحيح ، بزاوية مركزية ، الصيغة أبسط؟

ولكن مع ذلك ، دعونا نجد تطابقًا بين الصيغتين ، وفي نفس الوقت نتعلم كيفية إيجاد الزاوية المركزية "المقابلة" والقوس الذي "تتكئ" عليه الزاوية المحيطية على الأشكال.

انظر ، هنا دائرة وزاوية محيطية:

أين الزاوية المركزية "المقابلة"؟

لننظر مرة أخرى:

ما هي القاعدة؟

ولكن! في هذه الحالة ، من المهم أن "تبدو" الزوايا المنقوشة والمركزية على نفس الجانب من القوس. فمثلا:

الغريب ، الأزرق! لأن القوس طويل ، أطول من نصف الدائرة! لذلك لا ترتبك أبدًا!

ما هي النتيجة التي يمكن استنتاجها من "نصف" الزاوية المحيطية؟

وهنا على سبيل المثال:

الزاوية على أساس القطر

لقد لاحظت بالفعل أن علماء الرياضيات مغرمون جدًا بالحديث عن نفس الشيء. كلمات مختلفة؟ لماذا هو لهم؟ ترى ، لغة الرياضيات ، على الرغم من كونها رسمية ، إلا أنها حية ، وبالتالي ، كما في لغة عادية، في كل مرة أريد أن أقول الطريقة الأكثر ملاءمة. حسنًا ، لقد رأينا بالفعل ما هي "الزاوية التي تقع على القوس". وتخيلوا أن نفس الصورة تسمى "الزاوية تقع على الوتر". على ماذا؟ نعم ، بالطبع ، على الشخص الذي يسحب هذا القوس!

متى يكون الاعتماد على وتر أكثر ملاءمة من الاعتماد على القوس؟

حسنًا ، على وجه الخصوص ، عندما يكون هذا الوتر قطرًا.

هناك عبارة بسيطة وجميلة ومفيدة بشكل مثير للدهشة لمثل هذا الموقف!

انظر: هنا دائرة وقطر وزاوية تقع عليها.

زاوية دائرية ومحكمة. باختصار حول الرئيسي

1. مفاهيم أساسية.

3. قياسات الأقواس والزوايا.

زاوية الراديان هي زاوية مركزية طول قوسها يساوي نصف قطر الدائرة.

هذا رقم يعبر عن نسبة طول نصف دائرة إلى نصف القطر.

محيط نصف القطر يساوي.

4. النسبة بين قيم الزوايا المنقوشة والمركزية.

حسنًا ، لقد انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور ، فأنت رائع جدًا.

لأن 5٪ فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بمفردهم. وإذا كنت قد قرأت حتى النهاية ، فأنت في الـ 5٪!

الآن أهم شيء.

لقد اكتشفت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر ، إنه ... إنه رائع فقط! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من أقرانك.

المشكلة أن هذا قد لا يكون كافيا ...

لماذا؟

إلى عن على تسليم ناجحامتحان الدولة الموحد ، للقبول في المعهد على الميزانية ، والأهم من ذلك ، مدى الحياة.

لن أقنعك بأي شيء ، سأقول شيئًا واحدًا ...

الناس الذين تلقوا على تعليم جيد، يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يحصلوا عليها. هذه إحصائيات.

لكن هذا ليس هو الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن الكثير ينفتح أمامهم. المزيد من الاحتمالاتوتصبح الحياة أكثر إشراقا؟ لا أعرف ...

لكن فكر بنفسك ...

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أن تكون أفضل من الآخرين في الامتحان وأن تكون في النهاية ... أكثر سعادة؟

املأ يدك وحل المشكلات الواردة في هذا الموضوع.

في الامتحان لن يطلب منك النظرية.

سوف تحتاج حل المشاكل في الوقت المحدد.

وإذا لم تحلها (الكثير!) ، فإنك بالتأكيد سترتكب خطأ غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن ترتكبها في الوقت المناسب.

إنه مثل الرياضة - تحتاج إلى التكرار عدة مرات للفوز بالتأكيد.

ابحث عن مجموعة في أي مكان تريده بالضرورة مع الحلول تحليل تفصيلي وتقرر ، تقرر ، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (ليست ضرورية) ونحن بالتأكيد نوصي بها.

من أجل الحصول على يد المساعدة في مهامنا ، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع المقالات البالغ عددها 99 في البرنامج التعليمي - شراء كتاب مدرسي - 499 روبل

نعم ، لدينا 99 مقالًا من هذا القبيل في الكتاب المدرسي ويمكن الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها يمكن فتحها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع بالكامل.

ختاماً...

إذا كنت لا تحب مهامنا ، فابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عن النظرية.

"فهمت" و "أعرف كيف أحل" مهارات مختلفة تمامًا. أنت بحاجة لكليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

تعليمات

القوس هو جزء من دائرة محاطة بنقطتين على هذه الدائرة. يمكن التعبير عن أي قوس من حيث القيم العددية. لها الشخصيات الرئيسيهجنبا إلى جنب مع الطول هي قيمة مقياس الدرجة.

ولكن عندما يتم تحديد قوس على الدائرة ، يتم تشكيل قوس آخر. لذلك ، من أجل فهم نوع القوس الذي نتحدث عنه بشكل لا لبس فيه ، حدد نقطة أخرى على القوس المحدد ، على سبيل المثال ، C. ثم ستتخذ شكل ABC.

القطعة المستقيمة المكونة من نقطتين تحيط بقوس هي وتر.

يمكن العثور على قياس درجة القوس من خلال قيمة الزاوية المحيطية ، والتي تعتمد على وجود نقطة رأس على الدائرة نفسها ، هذا القوس. تسمى هذه الزاوية بالزاوية المحيطية ، وقياس درجتها يساوي نصف القوس الذي تقع عليه.

توجد أيضًا زاوية مركزية في الدائرة. كما أنه يرتكز على القوس المطلوب ، ولم يعد رأسه على الدائرة ، بل في المركز. و هو قيمة عدديةلم يعد يساوي نصف درجة قياس القوس ، ولكن قيمته الصحيحة.

بعد فهم كيفية حساب القوس من خلال الزاوية القائمة عليه ، يمكنك تطبيق هذا القانون في غير إتجاهواشتق القاعدة القائلة بأن الزاوية المحيطية التي تعتمد على القطر هي الزاوية القائمة. بما أن القطر يقسم الدائرة إلى جزأين متساويين ، فهذا يعني أن قيمة أي من الأقواس 180 درجة. إذن ، الزاوية المحيطية تساوي 90 درجة.

أيضًا ، استنادًا إلى طريقة البحث عن قيمة درجة القوس ، فإن القاعدة صحيحة أن الزوايا القائمة على قوس واحد لها قيمة متساوية.

غالبًا ما تُستخدم قيمة قياس درجة القوس لحساب محيط الدائرة أو القوس نفسه. للقيام بذلك ، استخدم الصيغة L = π * R * α / 180.

كلمة "" لها تفسيرات مختلفة. في الهندسة ، الزاوية هي جزء من مستوى يحده شعاعين يخرجان من نقطة واحدة - الرأس. متي نحن نتكلمحول الزوايا الصحيحة والحادة والمتطورة ، فهذا هو بالضبط الزوايا الهندسية.

مثل أي شكل في الهندسة ، يمكن مقارنة الزوايا. يتم تحديد مساواة الزوايا بالحركة. من السهل تقسيم الزاوية إلى قسمين متساويين. يعد التقسيم إلى ثلاثة أجزاء أكثر صعوبة ، ولكن لا يزال من الممكن القيام به باستخدام المسطرة والبوصلة. بالمناسبة ، بدت هذه المهمة صعبة للغاية. من السهل هندسيًا وصف أن إحدى الزوايا أكبر أو أقل من الأخرى.

وحدة قياس الزوايا هي 1/180 من الزاوية الموسعة. قيمة الزاوية هي رقم يوضح عدد المرات التي تتناسب فيها الزاوية المختارة كوحدة قياس مع الشكل المعني.

كل زاوية لها قياس درجة أكبر من الصفر. الزاوية المستقيمة 180 درجة. قياس الزاوية هو يساوي المجموعمقاييس الدرجة للزوايا التي يقسم إليها أي شعاع على المستوى يحده من جوانبه.

من أي شعاع طائرة معينةيمكنك تنحية زاوية بقياس درجة معينة لا يتجاوز 180. علاوة على ذلك ، ستكون هناك زاوية واحدة فقط من هذا القبيل. قياس الزاوية المستوية ، وهي جزء من نصف مستوى ، هو قياس درجة زاوية ذات جوانب متشابهة. قياس مستوى الزاوية التي تحتوي على نصف المستوى هو القيمة 360 - α ، حيث α هو قياس درجة الزاوية المسطحة التكميلية.

يتيح قياس درجة الزاوية إمكانية الانتقال من الوصف الهندسي إلى الوصف العددي. إذن ، الزاوية القائمة هي الزاوية التي تساوي 90 درجة ، والزاوية المنفرجة هي الزاوية الأقل من 180 درجة ، ولكنها أكبر من 90 ، زاوية حادةلا تتجاوز 90 درجة.

بالإضافة إلى الدرجات ، يوجد قياس راديان للزاوية. في القياس ، يكون الطول L ، ونصف القطر هو r ، والزاوية المركزية المقابلة هي α. علاوة على ذلك ، ترتبط هذه المعلمات بالعلاقة α = L / r. هذا هو أساس قياس الراديان للزوايا. إذا كانت L = r ، فإن الزاوية α ستكون مساوية لراديان واحد. إذن ، قياس الراديان للزاوية هو نسبة طول القوس المرسوم بنصف قطر تعسفي والمحاط بين جانبي هذه الزاوية إلى نصف قطر القوس. دورة كاملةفي قياس الدرجة(360 درجة) تقابل 2π بالتقدير الدائري. واحد هو 57.2958 درجة.

فيديوهات ذات علاقة

مصادر:

• درجة قياس صيغة الزوايا

تم اختراع قياس القيم المسطحة بالدرجات في بابل القديمة قبل وقت طويل من بداية عصرنا. فضل سكان هذه الحالة حساب التفاضل والتكامل بين الجنسين ، لذا فإن تقسيم الزوايا إلى 180 أو 360 وحدة اليوم يبدو غريبًا بعض الشيء. ومع ذلك ، عرضت في النظام الحديثوحدات القياس SI ، ومضاعفات pi ، ليست أقل غرابة. لا يقتصر هذان الخياران على تعيينات الزوايا المستخدمة اليوم ، لذا تظهر مشكلة تحويل قيمها إلى مقياس درجة في كثير من الأحيان.

تعليمات

إذا كنت بحاجة إلى تحويل قيمة الزاوية بالراديان إلى مقياس درجة ، فانتقل من حقيقة أن الدرجة الواحدة تقابل عدد الراديان الذي يساوي 1/180 من الرقم pi. يحتوي هذا الثابت الرياضي على عدد لا حصر له من المنازل العشرية ، لذا فإن عامل التحويل هو أيضًا كسر عشري لانهائي. هذه هي القيمة الدقيقة تمامًا في التنسيق كسر عشريلا يمكن الحصول عليها ، لذلك يجب تقريب عامل التحويل. على سبيل المثال ، مع دقة تبلغ واحد من المليار من الوحدة ، سيكون المعامل المحسوب 0.017453293. بعد التقريب إلى العدد المطلوب من المنازل العشرية ، اقسم العدد الأصلي للراديان على هذا العامل ، وستحصل على قياس درجة الزاوية.

قياس درجة الزاوية. راديان قياس الزاوية. حول الدرجات إلى الراديان والعكس صحيح.

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

في الدرس السابق ، أتقننا عد الزوايا على الدائرة المثلثية. تعلمت كيفية الاعتماد الإيجابي و زوايا سلبية. أدركت كيفية رسم زاوية أكبر من 360 درجة. حان الوقت للتعامل مع قياس الزوايا. خاصة مع الرقم "Pi" الذي يسعى إلى إرباكنا في مهام صعبة ، نعم ...

تم حل المهام القياسية في علم المثلثات برقم "Pi" جيدًا. تساعد الذاكرة البصرية. لكن أي انحراف عن النموذج - يقرع على الفور! لكي لا تسقط - تفهممن الضروري. ما سنفعله الآن بنجاح. بمعنى - نحن نفهم كل شيء!

لذا، ماذا او ما هل تحسب الزوايا؟ في دورة مدرسيةيستخدم علم المثلثات مقياسين: درجة قياس الزاويةو راديان قياس زاوية. دعونا نلقي نظرة على هذه الإجراءات. بدون هذا ، في علم المثلثات - لا مكان.

قياس درجة الزاوية.

نحن معتادون بطريقة ما على الدرجات. الهندسة ، على أقل تقدير ، مرت ... نعم ، وفي الحياة كثيرًا ما نلتقي بعبارة "تحول 180 درجة" ، على سبيل المثال. الدرجة ، باختصار ، شيء بسيط ...

نعم؟ أجبني بعد ذلك ما هي الدرجة ما الذي لا يعمل على الفور؟ شئ ما...

تم اختراع الدرجات في بابل القديمة. لقد مر وقت طويل ... قبل 40 قرنا ... وقد توصلوا إليه للتو. أخذوا الدائرة وقسموها إلى 360 درجة اجزاء متساوية. الدرجة الأولى هي 1/360 من الدائرة. وهذا كل شيء. يمكن تقسيمها إلى 100 قطعة. أو بمقدار 1000. لكنهم قاموا بتقسيمه إلى 360. بالمناسبة ، لماذا بالضبط بـ 360؟ لماذا 360 أفضل من 100؟ يبدو أن الرقم 100 أكثر تكافؤًا إلى حد ما ... حاول الإجابة على هذا السؤال. أو ضعيف مقابل بابل القديمة?

في مكان ما في نفس الوقت مصر القديمةتعذبها قضية أخرى. كم مرة يكون محيط الدائرة أكبر من طول قطرها؟ وهكذا قاموا بالقياس ، وبهذه الطريقة ... تحول كل شيء إلى ما يزيد قليلاً عن ثلاثة. لكن بطريقة ما اتضح أنه أشعث وغير متساوٍ ... لكنهم ، المصريون ، ليسوا مسؤولين. من بعدهم ، عانوا لمدة 35 قرنا أخرى. حتى أثبتوا أخيرًا أنه بغض النظر عن مدى دقة قطع الدائرة إلى قطع متساوية ، من هذه القطع إلى صنع ناعمطول القطر مستحيل ... من حيث المبدأ مستحيل. حسنًا ، كم مرة يكون المحيط أكبر من القطر بالطبع. حول. 3.1415926 ... مرة.

هذا هو الرقم "بي". هذا أشعث ، أشعث للغاية. بعد الفاصلة العشرية - عدد لا حصر له من الأرقام بدون أي ترتيب ... تسمى هذه الأرقام غير منطقية. هذا ، بالمناسبة ، يعني أنه من خلال قطع متساوية من الدائرة ، القطر ناعملا تطوي. أبداً.

إلى عن على تطبيق عمليمن المعتاد حفظ رقمين فقط بعد العلامة العشرية. تذكر:

نظرًا لأننا فهمنا أن محيط الدائرة أكبر من القطر بمقدار مرات "Pi" ، فمن المنطقي أن نتذكر صيغة محيط الدائرة:

أين إلهو المحيط و دهو قطرها.

مفيد في الهندسة.

إلى عن على تعليم عامسأضيف أن الرقم "Pi" لا يوجد فقط في الهندسة ... في أكثر أقسام الرياضيات تنوعًا ، وخاصة في نظرية الاحتمالات ، يظهر هذا الرقم باستمرار! بنفسها. أبعد من رغباتنا. مثله.

لكن العودة إلى الدرجات. هل اكتشفت سبب تقسيم الدائرة في بابل القديمة إلى 360 جزءًا متساويًا؟ لكن ليس 100 ، على سبيل المثال؟ لا؟ نعم. سأعطيك نسخة. لا يمكنك أن تسأل البابليين القدماء ... بالنسبة للبناء ، أو لنقل علم الفلك ، من المناسب تقسيم الدائرة إلى أجزاء متساوية. اكتشف الآن الأرقام التي تقبل القسمة عليها تماما 100 ، وأيها - 360؟ وفي أي إصدار من هذه المقسمات تماما- أكثر؟ هذا التقسيم مناسب جدًا للناس. ولكن...

كما اتضح بعد فترة طويلة من بابل القديمة ، لا يحب الجميع الدرجات العلمية. الرياضيات العليا لا تحبهم ... رياضيات أعلى- السيدة جادة ، مرتبة حسب قوانين الطبيعة. وتعلن هذه السيدة: "اليوم قسمت الدائرة إلى 360 جزءًا ، وغدًا ستقسمها إلى 100 جزء ، وغدًا بعد غد إلى 245 ... وماذا أفعل؟ لا حقًا ..." كان علي أن أطيع. لا يمكنك خداع الطبيعة ...

كان علي أن أدخل مقياسًا للزاوية لا يعتمد على المفاهيم البشرية. يجتمع - راديان!

راديان قياس الزاوية.

ما هو الراديان؟ يعتمد تعريف الراديان على الدائرة على أي حال. الزاوية 1 راديان هي الزاوية التي تقطع قوسًا من دائرة طولها ( إل) يساوي طول نصف القطر ( ص). نحن ننظر إلى الصور.

مثل هذه الزاوية الصغيرة ، لا يوجد أي منها تقريبًا ... نحرك المؤشر فوق الصورة (أو نلمس الصورة على الجهاز اللوحي) ونرى واحدة تقريبًا راديان. L = ص

تشعر الفرق؟

راديان واحد أكبر بكثير من درجة واحدة. كم مرة؟

دعونا نلقي نظرة على الصورة التالية. التي رسمت عليها نصف دائرة. الزاوية الموسعة ، بالطبع ، حجمها 180 درجة.

والآن سأقطع نصف الدائرة هذا إلى راديان! نحوم فوق الصورة ونرى أن 3 راديان بذيل يتناسب مع 180 درجة.

من يستطيع أن يخمن ما هو ذيل الحصان هذا !؟

نعم! هذا الذيل هو 0.1415926 .... مرحبًا Pi ، لم ننساك بعد!

في الواقع ، هناك 3.1415926 ... راديان في 180 درجة. كما يمكنك أن تتخيل ، فإن كتابة 3.1415926 طوال الوقت ... غير مريحة. لذلك ، بدلاً من هذا الرقم اللامتناهي ، يكتبون دائمًا ببساطة:

وها هو الرقم الموجود على الإنترنت

من غير الملائم أن أكتب ... لذلك ، في النص أكتبه بالاسم - "Pi". لا ترتبك ...

الآن ، من المفيد جدًا كتابة مساواة تقريبية:

أو المساواة بالضبط:

حدد عدد الدرجات في راديان واحد. كيف؟ بسهولة! إذا كان هناك 180 درجة في 3.14 راديان ، فإن 1 راديان أقل بمقدار 3.14 مرة! أي نقسم المعادلة الأولى (الصيغة هي أيضًا معادلة!) على 3.14:

من المفيد تذكر هذه النسبة ، فهناك 60 درجة تقريبًا في راديان واحد. في علم المثلثات ، غالبًا ما يتعين عليك معرفة وتقييم الموقف. هذا هو المكان الذي تساعد فيه المعرفة كثيرًا.

لكن المهارة الرئيسية لهذا الموضوع هي تحويل الدرجات إلى راديان والعكس صحيح.

إذا تم إعطاء الزاوية بالتقدير الدائري بالرقم "pi" ، يكون كل شيء بسيطًا جدًا. نحن نعلم أن "pi" راديان = 180 درجة. لذلك نستبدل راديان بدلاً من "Pi" - 180 درجة. نحصل على الزاوية بالدرجات. ننقص ما ينقص والجواب جاهز. على سبيل المثال ، نحتاج إلى معرفة المقدار درجاتفي الزاوية "Pi" / 2 راديان؟ نكتب هنا:

أو تعبير أكثر غرابة:

قراءة سهلة؟

الترجمة العكسية أكثر تعقيدًا بعض الشيء. لكن ليس كثيرًا. إذا كانت الزاوية بالدرجات ، فيجب علينا معرفة الدرجة الواحدة بالراديان وضرب هذا الرقم في عدد الدرجات. ما هي 1 درجة بالراديان؟

ننظر إلى الصيغة وندرك أنه إذا كانت 180 ° = "Pi" راديان ، فإن 1 ° أصغر 180 مرة. أو بعبارة أخرى ، نقسم المعادلة (الصيغة هي أيضًا معادلة!) على 180. ليست هناك حاجة لتمثيل "Pi" كـ 3.14 ، فهي تكتب دائمًا بحرف على أي حال. نحصل على أن الدرجة الواحدة تساوي:

هذا كل شئ. اضرب عدد الدرجات بهذه القيمة لتحصل على الزاوية بالتقدير الدائري. فمثلا:

أو بالمثل:

كما ترى ، في محادثة ممتعة مع استطراداتاتضح أن الراديان بسيط للغاية. نعم ، والترجمة بدون مشاكل ...

سأكشف السر. الحقيقة هي أنه في الدوال المثلثية ، تتم كتابة رمز الدرجات. دائما. على سبيل المثال ، sin35 °. هذا شرط 35 درجات . وأيقونة الراديان ( مسرور) لا يكتب! هو ضمني. إما كسل علماء الرياضيات المضبوط ، أو شيء آخر ... لكنهم قرروا عدم الكتابة. إذا لم تكن هناك أيقونات داخل الجيب - ظل التمام ، ثم الزاوية - بالتقدير الدائري ! على سبيل المثال ، cos3 هو جيب تمام ثلاثة راديان .

هذا يؤدي إلى سوء الفهم ... يرى الشخص "بي" ويعتقد أنها 180 درجة. أي وقت وأي مكان. بالمناسبة ، هذا يعمل. في الوقت الحالي ، في حين أن الأمثلة قياسية. لكن باي رقم! الرقم 3.14 ليس درجات! هذا "Pi" راديان = 180 درجة!

مرة أخرى: "باي" رقم! 3.14. غير منطقي ، لكن رقم. مثل 5 أو 8. يمكنك ، على سبيل المثال ، اتخاذ خطوات "Pi". ثلاث خطوات وأكثر من ذلك بقليل. أو شراء كيلوجرام "باي" من الحلويات. إذا تم القبض على بائع متعلم ...

"باي" رقم! ماذا ، لقد فهمتك بهذه العبارة؟ هل فهمت بالفعل كل شيء؟ نعم. دعونا تحقق. هل يمكن أن تخبرني أي رقم أكبر؟

أو ما هو أقل؟

هذا من سلسلة من الأسئلة غير المعيارية إلى حد ما والتي يمكن أن تؤدي إلى ذهول ...

إذا وقعت في ذهول أيضًا ، فتذكر التعويذة: "Pi" رقم! 3.14. في أول جيب ، يُشار بوضوح إلى أن الزاوية - على درجات! لذلك ، من المستحيل استبدال "Pi" بـ 180 درجة! درجات "Pi" حوالي 3.14 درجة. لذلك يمكننا أن نكتب:

لا توجد رموز في الجيب الثاني. اذن هناك - راديان! هنا ، استبدال "Pi" بـ 180 درجة سيعمل بشكل جيد. بتحويل الراديان إلى درجات ، كما هو مكتوب أعلاه ، نحصل على:

يبقى أن نقارن هذين الجيبين. ماذا او ما. نسيت كيف؟ بمساعدة الدائرة المثلثية بالطبع! نرسم دائرة ونرسم زوايا تقريبية 60 درجة و 1.05 درجة. ننظر إلى جيب هذه الزوايا. باختصار ، كل شيء ، كما هو الحال في نهاية الموضوع حول الدائرة المثلثية ، تم رسمه. في الدائرة (حتى الملتوية!) سيتبين ذلك بوضوح 60 درجةأكثر بكثير من sin1.05 درجة.

سنفعل الشيء نفسه بالضبط مع جيب التمام. على الدائرة ، نرسم زوايا تبلغ حوالي 4 درجاتو 4 راديان(تذكر ، ما هو حوالي 1 راديان؟). ستقول الدائرة كل شيء! بالطبع ، cos4 أقل من cos4 °.

لنتدرب على التعامل مع قياسات الزوايا.

حول هذه الزوايا من درجات إلى راديان:

360 درجة ؛ 30 درجة ؛ 90 درجة ؛ 270 درجة ؛ 45 درجة ؛ 0 درجة ؛ 180 درجة ؛ 60 درجة

يجب أن ينتهي بك الأمر بهذه القيم بالتقدير الدائري (بترتيب مختلف!)

0

بالمناسبة ، لقد حددت الإجابات بشكل خاص في سطرين. حسنًا ، لنكتشف ما هي الزوايا في السطر الأول؟ سواء بالدرجات أو بالتقدير الدائري؟

نعم! هذه هي محاور نظام الإحداثيات! إذا نظرت إلى الدائرة المثلثية ، فإن الجانب المتحرك للزاوية عند هذه القيم يناسب الحق على المحور. هذه القيم بحاجة إلى أن تكون معروفة بشكل مثير للسخرية. ولاحظت الزاوية 0 درجة (0 راديان) ليس عبثًا. ومن ثم لا يستطيع البعض إيجاد هذه الزاوية على الدائرة بأي شكل من الأشكال ... وبناءً عليه ، يتم الخلط بينهم في الدوال المثلثية للصفر ... والشيء الآخر هو أن موضع الجانب المتحرك عند درجة الصفر يتزامن مع الموضع عند 360 درجة ، لذا فإن الصدف على الدائرة دائمًا بجانبها.

في السطر الثاني توجد زوايا خاصة ... هذه هي 30 درجة و 45 درجة و 60 درجة. وما الذي يميزهم؟ لا شيء مميز. الفرق الوحيد بين هذه الزوايا وجميع الزوايا الأخرى هو أنك يجب أن تعرف عن هذه الزوايا. الكل. وأين تقع ، وما هي هذه الزوايا الدوال المثلثية. دعنا نقول القيمة 100 درجةليس عليك أن تعرف. لكن الخطيئة 45 درجة- رجاء كن لطيف! هذه معرفة إلزامية ، بدونها لا يوجد شيء يمكن القيام به في علم المثلثات ... ولكن المزيد حول هذا في الدرس التالي.

حتى ذلك الحين ، دعونا نستمر في التدريب. حول هذه الزوايا من الراديان إلى الدرجات:

يجب أن تحصل على نتائج مثل هذه (في حالة من الفوضى):

210 درجة ؛ 150 درجة ؛ 135 درجة ؛ 120 درجة ؛ 330 درجة ؛ 315 درجة ؛ 300 درجة ؛ 240 درجة ؛ 225 درجة.

حدث؟ ثم يمكننا أن نفترض ذلك تحويل الدرجات إلى راديان والعكس صحيح- ليست مشكلتك بعد الآن.) لكن ترجمة الزوايا هي الخطوة الأولى لفهم علم المثلثات. في نفس المكان ، ما زلت بحاجة للعمل مع جيب التمام. نعم ، ومع الظلال ، الظل أيضًا ...

الخطوة القوية الثانية هي القدرة على تحديد موقف أي ركن على الدائرة المثلثية. سواء بالدرجات والراديان. حول هذه المهارة بالذات ، سألمح لك بشكل ممل في جميع علم المثلثات ، نعم ...) إذا كنت تعرف كل شيء (أو تعتقد أنك تعرف كل شيء) عن الدائرة المثلثية ، وعد الزوايا على الدائرة المثلثية ، يمكنك التحقق من ذلك خارج. حل هذه المهام البسيطة:

1. في أي ربع تقع الزوايا:

45 درجة ، 175 درجة ، 355 درجة ، 91 درجة ، 355 درجة؟

بسهولة؟ نواصل:

2. في أي ربع تقع الزوايا:

402 درجة ، 535 درجة ، 3000 درجة ، -45 درجة ، -325 درجة ، -3000 درجة؟

أيضا لا مشكلة؟ حسن المظهر...)

3. يمكنك وضع الزوايا في أرباع:

هل كنت قادرا؟ حسنًا ، أنت تعطي ..)

4. ما هي المحاور التي يقع عليها الركن:

والزاوية:

هل هو سهل ايضا؟ جلالة ...)

5. في أي ربع تقع الزوايا:

وقد نجحت !؟ حسنًا ، فأنا حقًا لا أعرف ...)

6. حدد أي ربع من الزوايا يقع في:

1 و 2 و 3 و 20 راديان.

سأقدم الإجابة فقط على السؤال الأخير (معقد قليلاً) للمهمة الأخيرة. زاوية مقدارها 20 راديان تقع في الربع الأول.

لن أعطي بقية الإجابات بدافع الجشع.) فقط إذا كنت أنت لم تقررشيئا ما شكنتيجة لذلك ، أو قضى في المهمة رقم 4 أكثر من 10 ثوانٍأنت ضعيف التوجيه في دائرة. ستكون هذه مشكلتك في كل علم المثلثات. من الأفضل التخلص منه (مشكلة ، وليس حساب المثلثات!) على الفور. يمكن القيام بذلك في موضوع: عمل عملي مع الدائرة المثلثية في القسم 555.

إنه يخبرنا عن كيفية حل مثل هذه المهام ببساطة وبشكل صحيح. حسنًا ، تم حل هذه المهام بالطبع. وتم حل المهمة الرابعة في 10 ثوانٍ. نعم ، لذلك قررت أن أي شخص يمكن!

إذا كنت متأكدًا تمامًا من إجاباتك ولم تكن مهتمًا بطرق بسيطة وخالية من المتاعب للعمل مع الراديان ، فلا يمكنك زيارة 555. أنا لا أصر.)

فهم جيد- كافي سبب جيدللمضي قدما!)

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.