لا توجد أماكن مثالية في أي مكان في الطائرة 7. الأمثلة المضادة في التحليل

دعونا نبني مجموعة مثيرة للاهتمام على متن الطائرة فيعلى النحو التالي: قسّم ، تربيع بخطوط مستقيمة
إلى 9 مربعات متساوية وتجاهل خمسة منها مفتوحة ، وليست مجاورة لرؤوس المربع الأصلي. ثم نقسم كل من المربعات المتبقية إلى 9 أجزاء ، ونتخلص من خمسة منها ، وهكذا. يتم الإشارة إلى المجموعة المتبقية بعد عدد قابل للعد من الخطوات بو اتصل مقبرة سيربينسكي. احسب مساحة المربعات المهملة:

مقبرة سيربينسكي مثالية وليست كثيفة في أي مكان.

لاحظ التركيب النمطي هندسي متكرر للمجموعة.

2.2 مشط كانتور

لنتصل مشط كانتورمجموعة من دعلى السطح أوكسي، تتكون من جميع النقاط
التي تستوفي إحداثياتها الشروط التالية:
، أين
- تعيين كانتور على المحور أوي. مشط كانتور مثالي في أي مكان كثيف في الطائرة. مجموعة من ديتكون من جميع النقاط
مربع الوحدة الأصلي ، حيث تكون الأحراج منها عشوائية
، ويمكن كتابة الإحداثيات على هيئة كسر ثلاثي لا يحتوي على واحد من بين علاماته الثلاثية.

هل من الممكن أن تحدد ب(مقبرة سيربينسكي) و د(مشط كانتور) تعبر عن مجموعة كانتور
بمساعدة عمليات الإضافة إلى المقطع والمنتج الديكارتي؟ من الواضح أن المجموعات بو ديتم التعبير عنها ببساطة:

ب=
x

د= س

3 وظيفة كانتور

هل من الممكن أن نرسم باستمرار بعض المواقع الكثيفة في أي مكان على قطعة على هذا المقطع نفسه؟

نعم ، لنأخذ مجموعة كانتور غير الكثيفة. في الخطوة الأولى من البناء ، قمنا بتعيين قيمة الدالة تساوي 0.5 عند نقاط الفترة المجاورة من النوع الأول. في الخطوة الثانية ، لكل فترة مجاورة من النوع الثاني ، قمنا بتعيين قيمة الدالة على 0.25 و 0.75 على التوالي. هؤلاء. نحن ، كما هو الحال ، نقسم كل جزء إلى محور أويفي النصف ( ذ أنا) وقم بتعيين قيمة الدالة التي تساوي القيمة في الفترة المجاورة المقابلة يي.

نتيجة لذلك ، حصلنا على وظيفة غير متناقصة (والتي تم إثباتها في إطار الدورة التدريبية "فصول مختارة من التحليل الرياضي") ، محددة في مقطع وثابت في بعض المناطق المجاورة لكل نقطة من المجموعة \
. وظيفة مدمجة
اتصل دالة كانتور(دالة كانتور) ، والرسم البياني أدناه - "اللعنة السلالم".

انتبه إلى البنية الكسورية للوظيفة:

وظيفة
يفي بعدم المساواة التالية:

وظيفة Cantor مستمرة في الفترة. لا ينقص ، وتشكل مجموعة قيمه المقطع بأكمله. لذلك ، فإن الوظيفة
ليس لديه قفزات. ومنذ ذلك الحين إذا كان لا يمكن أن تحتوي الدالة الرتيبة على نقاط انقطاع أخرى غير القفزات (انظر معيار استمرارية الدوال أحادية اللون) ، فإنها تكون مستمرة.

من الغريب ملاحظة أن الرسم البياني لوظيفة Cantor المستمرة
من المستحيل الرسم "بدون رفع قلم الرصاص عن الورقة" ".

في كل مكان دالة مستمرة ولكن لا يمكن تمييزها في أي مكان

دعونا نبني وظيفة مساعدة
خطوة بخطوة. في الخطوة الصفرية ، حددنا نقطتين:

و
.

بعد ذلك ، قم بإصلاح المعلمة . في الخطوات الأولى واللاحقة ، سنحدد النقاط وفقًا للقاعدة التالية: لكل نقطتين تم إنشاؤهما مسبقًا متجاورتين على طول محور الإحداثي و سنبني نقطتين جديدتين و متماثل مركزيًا حول مركز المستطيل المحدد بالنقاط و مع معامل ك. أي ، في الخطوة الأولى ، يتم تعيين نقطتين جديدتين:

و
، إلخ.

تشغيل (م + 1) -الخطوة العاشرة بالإضافة إلى النقاط التي تم إنشاؤها مسبقًا مع الأحرف الكبيرة

يتم بناء نقطتين في جميع الفواصل الزمنية على طول محور الإحداثي بين النقاط المجاورة التي تم إنشاؤها بالفعل. يتم تنفيذ هذا البناء على النحو التالي: الفجوات على طول الإحداثي بين النقاط المجاورة (المستطيلات ذات الجوانب أو ب) إلى 3 أجزاء متساوية لكل منهما. ثم يتم بناء نقطتين جديدتين وفقًا لأحد المخططات التالية:

اعتمادا على أي من النقاط المجاورة أو أعلاه ، استخدم مخطط اليسار أو اليمين. في الخطوة الأولى ، كما هو موضح أعلاه ، نتخذ أ = ب = 1.

نكرر البناء عددًا لا يحصى من المرات لـ m = 1 ، 2 ، 3 ،…. نتيجة لذلك ، سوف نحصل على كسورية متشابهة ، حتى بعض التحويلات الأفينية (التمدد ، الضغط ، الدوران) لأي جزء من أجزائه الموجودة في كل شريط:

;

نتيجة لبناء الفراكتل ، نحصل على الوظيفة
محددة في مجموعة النقاط

,
;
(*)

الذي هو كثيف في كل مكان على هذا القطاع.

ما هي خصائص الوظيفة المنشأة؟

في كل نقطة من النموذج (*) إما حد أقصى صارم أو حد أدنى صارم ، أي وظيفة ز(x) ليس في أي مكان رتيب ، ولديه مجموعات كثيفة من النقاط القصوى الصارمة على المقطع ؛

الوظيفة g (x) متصلة ، وحتى متصلة بشكل منتظم على مجموعة النقاط (*) ؛

لا تحتوي الوظيفة المبنية بشكل مستمر على المقطع حتى على مشتقات من جانب واحد في أي نقطة من المقطع المحدد ؛

تم إثبات الخصائص المذكورة أعلاه في إطار دورة "فصول مختارة من التحليل الرياضي".

في المثال المدروس ، قمنا بتعيين المعلمة . من خلال تغيير قيمة هذه المعلمة ، يمكنك الحصول على مجموعات من الوظائف بخصائصها الخاصة.

وظيفة Weierstrass المعقدة لها الشكل

اين بعض عدد حقيقي، ويتم كتابته إما بصيغة أو بصيغة. تسمى الأجزاء الحقيقية والخيالية لوظيفة ما بجيب Weierstrass و sinusoids ، على التوالي.

الوظيفة مستمرة ولكن لا يمكن تمييزها في أي مكان. ومع ذلك ، فإن تعميمها الرسمي على الحالة مستمر وقابل للتفاضل.

بالإضافة إلى الوظيفة نفسها ، يناقش هذا القسم بعض خياراتها ؛ ترجع الحاجة إلى تمثيلهم إلى المعنى الجديد المعطى لوظيفة Weierstrass بواسطة نظرية الفركتلات.

طيف التردد للوظيفة.مصطلح "الطيف" ، في رأيي ، مليء بالمعاني. طيف التردد هو المجموعة القيم المسموح بهاالترددات بغض النظر عن اتساع المكونات المقابلة.

الطيف الترددي لدالة دورية هو سلسلة من الأعداد الصحيحة الموجبة. الطيف الترددي للدالة البراونية هو. الطيف الترددي لوظيفة Weierstrass هو تسلسل منفصلمن الى .

طيف الطاقة للوظيفة.يُفهم طيف الطاقة على أنه مجموعة قيم التردد المسموح بها مع قيم الطاقة (مربعات السعة) للمكونات المقابلة. لكل قيمة تردد للنموذج في الوظيفة ، يوجد خط طيفي للطاقة في النموذج . لذلك ، تتقارب القيمة الإجمالية للطاقة عند الترددات وتتناسب مع .

مقارنة مع الحركة البراونية الكسرية.إجمالي الطاقة متناسب في العديد من الحالات الأخرى التي درسناها سابقًا: دوال فورييه-براون-وينر العشوائية الدورية الجزئية ، والترددات المقبولة التي لها الشكل ، ومعاملات فورييه المقابلة تساوي ؛ عمليات عشوائيةذات كثافة طيفية مستمرة للسكان متناسبة مع. العمليات الأخيرة ليست سوى الوظائف البراونية الكسرية الموصوفة في الفصل 27. على سبيل المثال ، يمكن للمرء أن يجد الطيف التراكمي لوظيفة Weierstrass في حركة براونية عادية تتناسب كثافتها الطيفية معها. الفرق الأساسي هو أن الطيف البراوني مستمر تمامًا ، في حين أن أطياف وظائف فورييه-براون-وينر وويرستراس منفصلة.

عدم التفاضل.لإثبات أن الوظيفة ليس لها مشتق محدد لأي قيمة ، كان على Weierstrass الجمع بين اثنين وفقا للشروط: هو عدد صحيح فردي ، بحيث تكون الوظيفة سلسلة فورييه ، و. ضروري و شروط كافية(و) مأخوذة من ورقة هاردي.

استهلاك الطاقة.بالنسبة لفيزيائي معتاد على الأطياف ، تبدو ظروف هاردي واضحة. بتطبيق قاعدة الإبهام التي تقضي بحساب مشتق دالة عن طريق ضرب معامل فورييه رقم -th في ، يجد الفيزيائي للمشتق الرسمي للدالة أن مربع سعة معامل فورييه c هو . نظرًا لأن الطاقة الإجمالية عند ترددات أكبر من ، غير محدودة ، يصبح من الواضح للفيزيائي أنه لا يمكن تحديد المشتق.

من المثير للاهتمام أن نلاحظ أن ريمان ، بحثًا عن مثال على عدم التفاضل ، جاء إلى الوظيفة ، التي تتناسب طاقتها الطيفية عند ترددات أكبر من ، مع أين. وبالتالي ، بتطبيق نفس الاستدلال الاستدلالي ، يمكننا أن نفترض أن المشتق غير قابل للاشتقاق. هذا الاستنتاج صحيح جزئيا فقط ، منذ ذلك الحين قيم معينةالمشتق لا يزال موجودا (انظر).

الاختلاف فوق البنفسجي / كارثة.ظهر مصطلح "كارثة" في الفيزياء في العقد الأول من القرن العشرين ، عندما طور رايلي وجينز بشكل مستقل نظرية إشعاع الجسم الأسود ، والتي بموجبها تكون طاقة النطاق الترددي للعرض في محيط التردد متناسبة إلى . هذا يعني أن الطاقة الإجمالية للطيف على ترددات عاليةلانهائي - والذي تبين أنه كارثي للغاية بالنسبة للنظرية. نظرًا لأن مصدر المشكلة هو الترددات الموجودة خارج الجزء فوق البنفسجي من الطيف ، فإن هذه الظاهرة تسمى كارثة الأشعة فوق البنفسجية (UV).

يعلم الجميع أن بلانك بنى نظرية الكمعلى الأنقاض التي تحولت إليها نظرية الإشعاع بالتحديد بواسطة الأشعة فوق البنفسجية - كارثة.

خلوة تاريخية.نلاحظ (على الرغم من أنني لا أفهم تمامًا سبب عدم قيام أحد بذلك من قبل ؛ على أي حال ، لم أجد أي شيء مشابه في المصادر المتاحة لي) أن سبب وفاة كل من الفيزياء القديمة والرياضيات القديمة هو نفس الاختلاف التي قوضتهم - الاعتقاد بأن وظائف مستمرةيجب أن تكون قابلة للتفاضل فقط. رد فعل الفيزيائيين تغيير بسيطقواعد اللعبة ، كان على علماء الرياضيات أن يتعلموا العيش مع وظائف غير قابلة للتفاضل ومشتقاتها الشكلية. (هذا الأخير هو المثال الوحيد لوظيفة شوارتز المعممة التي يشيع استخدامها في الفيزياء).

بحثًا عن طيف منفصل ثابت الحجم. اختلاف الأشعة تحت الحمراء.على الرغم من أن طيف التردد للدالة البراونية مستمر ، وغير متغير ، وموجود من أجل ، فإن طيف التردد لوظيفة Weierstrass ، المقابلة لنفس القيمة ، منفصل ومحدود أدناه. يرجع وجود الحد الأدنى فقط إلى حقيقة أن رقم Weierstrass كان في الأصل عددًا صحيحًا ، وكانت الوظيفة دورية. للقضاء على هذا الظرف ، من الواضح أنه ينبغي السماح بأخذ أي قيمة من إلى. ولكي يصبح طيف الطاقة غير متغير ، يكفي ربط كل مكون تردد بالسعة.

لسوء الحظ ، تتباعد السلسلة الناتجة ، ويتم إلقاء اللوم على مكونات التردد المنخفض. يسمى هذا العيب اختلاف الأشعة تحت الحمراء (IR) (أو "الكارثة"). مهما كان الأمر ، يجب على المرء أن يتحمل هذا الاختلاف ، لأنه بخلاف ذلك يتعارض الحد الأدنى مع التشابه الذاتي المتأصل في طيف الطاقة.

وظيفة Weierstrass المعدلة ، علاقة ذاتية فيما يتعلق بالوقت البؤري.إن أبسط إجراء لتوسيع نطاق التردد لوظيفة Weierstrass إلى قيمة وتجنب العواقب الوخيمة في العملية يتكون من مرحلتين: أولاً ، نحصل على التعبير ، وعندها فقط دعونا نأخذ أي قيمة من إلى. المصطلحات الإضافية المقابلة لقيم التقارب ، ومجموعها مستمر وقابل للتفاضل. تم تعديل الوظيفة بهذه الطريقة

لا يزال مستمرًا ، لكن لا يمكن تمييزه في أي مكان.

بالإضافة إلى ذلك ، فهو مقياس ثابت بمعنى أن

لذا فإن الوظيفة لا تعتمد على. يمكن أن يقال بشكل مختلف: لوظيفة لا تعتمد على. هذه هي الوظيفة ، أجزائه الحقيقية والخيالية مرتبطة بالذات فيما يتعلق بقيم الشكل والوقت البؤري.

غاوسي ميزات عشوائيةمع طيف Weierstrass المعمم.الخطوة التالية نحو الواقعية والتطبيق الواسع هي التوزيع العشوائي لوظيفة Weierstrass المعممة. إن أبسط الطرق وأكثرها طبيعية هي مضاعفة معاملات فورييه بمركب غاوسي المركب المستقل المتغيرات العشوائيةمع توقع رياضي صفر وتباين الوحدة. يمكن تسمية الأجزاء الحقيقية والخيالية للدالة الناتجة بحق وظائف Weierstrass-Gauss (المعدلة). في بعض الحواس ، يمكن اعتبار هذه الوظائف وظائف براونية كسرية تقريبية. عندما تتطابق القيم ، تتشابه أطيافها مع حقيقة أن أحد هذه الأطياف مستمر بينما يسمح الآخر المنفصل. علاوة على ذلك ، فإن نتائج Orey و Marcus (انظر ص 490) قابلة للتطبيق على وظائف Weierstrass-Gauss ، وتتزامن الأبعاد الكسورية لمجموعات المستوى مع الأبعاد الكسورية لمجموعات المستويات للوظائف البراونية الكسرية.

بالنظر إلى السابقة في وجه الكسري الحركة البراونية، يمكننا أن نفترض أن أبعاد المجموعات الصفرية لوظيفة Weierstrass-Rademacher ستكون مساوية لـ. تم تأكيد هذا الافتراض ، ولكن فقط للأعداد الصحيحة.

يذكر سينغ العديد من المتغيرات الأخرى لوظيفة Weierstrass. يمكن بسهولة تقدير الأبعاد الصفرية لمجموعات بعضها. بشكل عام ، من الواضح أن هذا الموضوع يستحق دراسة أكثر تفصيلاً ، مع مراعاة إنجازات الفكر النظري الحديث.

لنقم ببناء دالة مساعدة على الفاصل الزمني خطوة بخطوة. في الخطوة الصفرية ، حددنا نقطتين:

و .

بعد ذلك ، قم بإصلاح المعلمة. في الخطوات الأولى واللاحقة ، سنحدد النقاط وفقًا للقاعدة التالية: لكل نقطتين تم إنشاؤهما مسبقًا والمجاورة على طول محور الإحداثي ، سنقوم ببناء نقطتين جديدتين وبشكل متماثل حول مركز المستطيل المحدد بواسطة النقاط ومع المعامل ك. أي ، في الخطوة الأولى ، يتم تعيين نقطتين جديدتين:

و ، إلخ.

تشغيل (م + 1) -الخطوة العاشرة بالإضافة إلى النقاط التي تم إنشاؤها مسبقًا مع الأحرف الكبيرة

اعتمادًا على أي من النقاط المجاورة أو أعلى ، نستخدم مخطط اليسار أو اليمين. في الخطوة الأولى ، كما هو موضح أعلاه ، نتخذ أ = ب = 1.

نكرر البناء عددًا لا يحصى من المرات لـ m = 1 ، 2 ، 3 ،…. نتيجة لذلك ، سوف نحصل على فراكتل متشابه ، حتى البعض تحويل تآلفي(التمدد والضغط والدوران) لأي جزء من أجزائه الواردة في كل شريط:

;

نتيجة لبناء كسورية ، نحصل على وظيفة محددة في مجموعة من النقاط

الذي هو كثيف في كل مكان على هذا القطاع.

ما هي خصائص الوظيفة المنشأة؟

· في كل نقطة من النموذج (*) يوجد إما حد أقصى صارم أو حد أدنى صارم ، أي وظيفة ز (س)ليس في أي مكان رتيب ، ولديه مجموعات كثيفة من النقاط القصوى الصارمة على المقطع ؛

· الدالة g (x) متصلة ، ومتصلة بشكل منتظم على مجموعة النقاط (*) ؛

· لا تحتوي الدالة المبنية بشكل مستمر على المقطع حتى على مشتقات أحادية الجانب في أي نقطة من المقطع المحدد ؛

تم إثبات الخصائص المذكورة أعلاه في إطار دورة "فصول مختارة من التحليل الرياضي".

في المثال المدروس ، افترضنا المعلمة. من خلال تغيير قيمة هذه المعلمة ، يمكنك الحصول على مجموعات من الوظائف بخصائصها الخاصة.

·. هذه الوظائف مستمرة وتتزايد بشكل رتيب. لديهم مشتقات صفرية ولانهائية (على التوالي ، نقاط انعطاف) على مجموعات من النقاط كثيفة في كل مكان على القطعة.

·. الواردة دالة خطية ص = س

·. خصائص عائلة الوظائف هي نفسها لقيم k من النطاق الأول.

·. لقد حصلنا على وظيفة كانتور ، التي درسناها بالتفصيل سابقًا.

·. هذه الدوال متصلة ، لا توجد في أي مكان رتابة ، لها حد أدنى وحد أقصى صارم ، صفر ولانهائي (لكلتا العلامتين) مشتقات أحادية الجانب على مجموعات من النقاط كثيفة في كل مكان على القطعة.

· . هذه الوظيفةلقد درسنا أعلاه.

·. الوظائف من هذا النطاق لها نفس خصائص وظيفة.

استنتاج.

في عملي قمت بتطبيق بعض الأمثلة من دورة "فصول مختارة من التحليل الرياضي". في هذا العملتم إدراج لقطات من البرامج التي تصورتها. في الواقع ، جميعها تفاعلية ، يمكن للطالب رؤية نوع الوظيفة في خطوة معينة ، وبناءها بشكل متكرر والتكبير. خوارزميات البناء وكذلك بعض وظائف المكتبة هيكل عظميتم اختياره وإتقانه خصيصًا لـ نوع معينالمهام (تم اعتبار الفركتلات بشكل أساسي).

هذه المادة، ستكون بلا شك مفيدة للمعلمين والطلاب ومرافقة جيدة لمحاضرات دورة "فصول مختارة من التحليل الرياضي". تساعد تفاعلات هذه التصورات على فهم طبيعة المجموعات المُنشأة بشكل أفضل وتسهيل عملية إدراك الطلاب للمواد.

يتم تضمين البرامج الموصوفة في مكتبة الوحدات المرئية لمشروع www.visualmath.ru ، على سبيل المثال ، إليك وظيفة Cantor التي درسناها بالفعل:

في المستقبل ، من المخطط توسيع قائمة المهام المرئية وتحسين خوارزميات البناء من أجل تشغيل أكثر كفاءة للبرامج. لقد جلب العمل في مشروع www.visualmath.ru بلا شك الكثير من الفوائد والخبرة ، ومهارات العمل الجماعي ، والقدرة على تقييم وتقديم المواد التعليمية بأكبر قدر ممكن من الوضوح.

أدب.

1. ب. جيلباوم ، جيه أولمستيد ، أمثلة مضادة في التحليل. م: مير 1967.

2. ب. ماكاروف وآخرين. المهام المميزةمن خلال التحليل الحقيقي. لهجة نيفسكي 2004.

3. ب. ماندلبروت. الهندسة الكسورية للطبيعة. معهد أبحاث الكمبيوتر ، 2002.

4. يوس. أوشان ، مجموعة من المشاكل والنظريات حول TFDP. م: التنوير. 1963.

5. في. أمثلة Shibinsky وأمثلة مضادة في سياق التحليل الرياضي. م: المدرسة الثانوية, 2007.

6. آر إم كرونوفر ، صور النمطي هندسي متكرر والفوضى في أنظمة ديناميكية، M: Postmarket، 2000.

7. A. A. Nikitin ، فصول مختارة من التحليل الرياضي // مجموعة مقالات من قبل العلماء الشباب في هيئة التدريس في CMC MSU ، 2011 / ed. إس إيه لوزكين. م: قسم النشر بكلية جامعة موسكو الحكومية VMK. م. لومونوسوف ، 2011. س 71-73.

8. آر إم كرونوفر ، الفركتلات والفوضى في الأنظمة الديناميكية ، موسكو: Postmarket ، 2000.

9. النمطي هندسي متكرر وبناء وظيفة مستمرة في كل مكان ولكن ليس في أي مكان غير قابلة للتفاضل // السادس عشر الدوليقراءات لومونوسوف: جمع أوراق علمية. - أرخانجيلسك: جامعة ولاية بومور ، 2004. ص 266-273.

اتحاد عدد قابل للعد من المجموعات المفتوحة (الفواصل المتجاورة) مفتوح ، والمكمل للمجموعة المفتوحة مغلق.

أي حي من نقطة أمجموعة كانتور ، هناك نقطة واحدة على الأقل في ، مختلفة عن أ.

مغلق ولا يحتوي على نقاط معزولة(كل نقطة حد).

هناك على الأكثر مجموعة معدودة في كل مكان كثيفة.

المجموعة A ليست كثيفة في أي مكان في الفضاء R إذا كانت أي مجموعة مفتوحة من هذه المساحة تحتوي على مجموعة مفتوحة أخرى خالية تمامًا من النقاط في A.

نقطة في أي حي تحتوي على مجموعة غير معدودة من النقاط للمجموعة المحددة.

نقول أن المجموعة الموجودة في المستوى ليست كثيفة في أي مكان في الفضاء المتري R إذا كان أي قرص مفتوح في هذه المساحة يحتوي على قرص مفتوح آخر خالٍ تمامًا من النقاط في المجموعة المحددة.

تعريف 1. الوظيفة تسمى قابل للتفاضل في هذه النقطة ، إذا كان يمكن تمثيل الزيادة في هذه المرحلة كـ

, (2.1)

أين
ولا تعتمد على
، أ
في
.

نظرية 1. الوظيفة
، قابل للتفاضل عند هذه النقطة إذا وفقط إذا كان لها مشتق محدود في هذه المرحلة
.

دليل - إثبات.ضروري. دع الوظيفة
قابل للتفاضل عند نقطة ما ، بمعنى آخر. المساواة (2.1) يحمل. تقسيمها إلى
، نحن نحصل
. تجاوز الحد عند
، نحن نرى ذلك
، بمعنى آخر. حد الجانب الأيمن موجود ويساوي و، مما يعني أن حد الجانب الأيسر موجود أيضًا ، أي
، و
.

قدرة. دعها موجودة
. ثم ، من خلال النظرية 1 ، القسم 16 ، الفصل 1
، أين هي وظيفة متناهية الصغر لـ
. ومن ثم ، أي الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة ما .

لقد تم إثبات النظرية.

تعليق. ويترتب على النظرية 1 أن مفاهيم الوظيفة التي لها مشتق محدود ووظيفة قابلة للتفاضل متكافئة. لذلك ، يمكن تسمية الوظيفة التي لها مشتق محدود بأنها قابلة للتفاضل ، وهو ما يفعله مؤلفو بعض الكتب المدرسية.

كيف ترتبط خصائص الاستمرارية وقابلية التفاضل للوظائف؟ يأخذ مكان

نظرية 2. إذا كانت الوظيفة
قابل للتفاضل عند نقطة ما ، إذن فهو مستمر في هذه المرحلة.

دليل - إثبات. لأن عند النقطة
، لدينا ، مما يعني أن الدالة متصلة عند النقطة .

لقد تم إثبات النظرية.

العكس ليس صحيحًا ، أي أن هناك وظائف مستمرة غير قابلة للاشتقاق.

مثال 1. دعونا نظهر أن الوظيفة
مستمر ولكن غير قابل للتفاضل عند نقطة ما
.

قرار. لنجد زيادة الدالة عند النقطة
المقابلة للزيادة
جدال. نملك. لهذا السبب
، هذه هي الوظيفة
مستمر عند النقطة
. من ناحية أخرى،،

، أي المشتقات أحادية الجانب عند النقطة
ليست متساوية ، وبالتالي ، فإن الوظيفة المعينة غير قابلة للاشتقاق في هذه المرحلة.

في التحليل الرياضيهناك أمثلة على وظائف متصلة ولكنها غير قابلة للاشتقاق عند كل نقطة من الخط الحقيقي. لديهم هيكل معقد.

نظرية 3. دع الوظيفة
لديه في هذه النقطة المشتق
، وظيفة
لديه في النقطة المقابلة
المشتق
. ثم الوظيفة المعقدة
لديه في هذه النقطة المشتق

أو باختصار
.

دليل - إثبات. دعونا نعطي قيمة زيادة راتب
. ثم نحصل على الزيادة المقابلة
المهام
والزيادة
المهام
. بحكم النظرية 1 ، لدينا

، أين
في
.

لاحظ أنه إذا كان
، ثم و
بواسطة Theorem 2 ، وبالتالي
. بالتالي،.

نظرًا لوجود حد على الجانب الأيمن من المساواة ، فهناك أيضًا حد على الجانب الأيسر و

لقد تم إثبات النظرية.

تعليق. تم إثبات النظرية 3 للحالة عندما تكون الوظيفة المعقدة
له متغير وسيط واحد
. إذا كان هناك العديد من المتغيرات الوسيطة ، فسيتم حساب المشتق بطريقة مماثلة. على سبيل المثال ، إذا
,
,
، ومن بعد.

§ 3. قواعد التفاضل. مشتقات الوظائف الابتدائية الأساسية

نظرية 1. دع الوظيفة
، مستمر ، رتيب بشكل صارم على الفاصل الزمني
وقابلة للتفاضل في نقطة داخلية هذا المقطع و
. ثم الدالة العكسية
قابل للتفاضل عند نقطة ما
، و
.

دليل - إثبات. لاحظ أنه في ظل شروط النظرية ، الدالة العكسية
موجود ، ومستمر ، ورتيب تمامًا على الفترة
بحكم النظرية الواردة في الفقرة 19 من الفصل 1.

دعونا نعطي معنى زيادة راتب
. ثم
سوف تحصل على زيادة

(لأن الوظيفة
رتابة بدقة). لذلك ، يمكن للمرء أن يكتب
. منذ في
بسبب استمرارية الدالة العكسية و
ومن المفترض أنه موجود
، نملك
. ومن هنا الوجود والمساواة
. لقد تم إثبات النظرية.

مثال 1. أوجد مشتقات الدوال قوس الخطيئة x,arccos x,arctg x,أركتج x/

قرار. بواسطة Theorem 1 لدينا (منذ ذلك الحين
، نملك
وأخذ الجذر بعلامة الجمع).

على نفس المنوال،

نظرية 2. إذا كانت الوظائف
و
لها مشتقات عند النقطة ، ثم في هذه النقطة لها مشتقات ووظائف
(إذا
) والصيغ

أ)
;ب)
;في)
.

دليل - إثبات.أ) اسمحوا ان
. هيا نعطي زيادة راتب
. ثم الوظائف ش,الخامس,ذسيحصل على زيادات
، و

. من هنا
ثانيا المساواة أ) مثبت.

ب) اسمحوا ان
. على غرار الفقرة أ) نملك

,
،، بمعنى آخر. الصيغة تحمل ب).

في) اسمحوا ان
. نملك
,
,
، بمعنى آخر. الصيغة تحمل في).

لقد تم إثبات النظرية.

الآثار. 1) إذا
، ومن بعد
.

2) الصيغة أ) يحمل أي عدد محدودمصطلحات.

دليل - إثبات. 1) لأن
، نملك.

في الحالة العامةالنتيجة الطبيعية 2) و 3) تم إثباتها بالاستقراء الرياضي.

ضع في اعتبارك وظيفة القوة الأسية
، أين ش و الخامس- بعض الوظائف من X. لنجد مشتقة الدالة فيفي النقطة التي تكون فيها الوظائف قابلة للتفاضل ش و الخامسللقيام بذلك ، نقدم الوظيفة فيمثل
وفقًا لقاعدة تمايز دالة معقدة ، وفقًا للنظرية 2 والمثال 1 من الفقرة 1 ، لدينا

هكذا،

لاحظ أنه في الصيغة الناتجة ، المصطلح الأول هو نتيجة التمايز كيف دالة أسية، والثاني باسم وظيفة الطاقة. يسمى أسلوب التمايز المطبق التمايز اللوغاريتمي . يمكن أيضًا أن يكون مناسبًا للاستخدام عندما تكون الوظيفة القابلة للتفاضل ناتجة عن عدة عوامل.

دعونا ننتقل الآن إلى التخصيص البارامترى للوظائف. إذا كانت وظيفة التبعية فيمن الحجة Xلم يتم تعيينه بشكل مباشر ، ولكن بمساعدة متغير ثالث ر، تسمى المعلمة ، الصيغ

, (3.1)

ثم يقولون أن الوظيفة فيمن Xتعيين حدوديًا.

إذا Xو فيتعتبر إحداثيات مستطيلة لنقطة على المستوى ، ثم يتم تعيين المعادلات (3.1) لكل قيمة
نقطة
على السطح. مع التغيير رنقطة
وصف بعض المنحنى في المستوى. تسمى المعادلات (3.1) المعادلات البارامترية لهذا المنحنى. على سبيل المثال ، المعادلات

(3.2)

هي المعادلات البارامترية للقطع الناقص مع أنصاف المحاور أو ب.

إذا كان في (3.1) المعادلة
مسموح نسبيًا ر,
، ثم يمكن اختزال التعريف البارامترى للوظيفة إلى تعريف واضح:

لنجد المشتق وظيفة محددة بشكل حدودي. لهذا ، نفترض أن الوظائف
و
التفاضل و
في بعض الفترات ، وللحصول على الوظيفة
هناك دالة عكسية
التي لها مشتق محدود
. ثم طبقًا لقاعدة التمايز المركب و وظائف معكوسةنجد:
. هكذا،