المتوسط ​​الحسابي لصيغة الأعداد. كيفية حساب الوسط الحسابي

المتوسط ​​الحسابي البسيط هو متوسط ​​المصطلح ، في تحديد الحجم الإجمالي لسمة معينة تجمعاتيتم توزيع البيانات بالتساوي بين جميع الوحدات المدرجة في هذه المجموعة. لذا ، فإن متوسط ​​الإنتاج السنوي لكل عامل هو مقدار المخرجات التي ستقع على كل موظف إذا تم توزيع حجم الإنتاج بالكامل بالتساوي بين جميع موظفي المنظمة. يتم حساب المتوسط ​​الحسابي للقيمة البسيطة بواسطة الصيغة:

متوسط ​​حسابي بسيط- يساوي نسبة مجموع القيم الفردية للسمة إلى عدد السمات في الإجمالي

مثال 1. يتلقى فريق مكون من 6 عمال 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 ألف روبل شهريًا.

أوجد حل متوسط ​​الأجر: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 ألف روبل.

المتوسط ​​المرجح الحسابي

إذا كان حجم مجموعة البيانات كبيرًا ويمثل سلسلة توزيع ، فسيتم حساب المتوسط ​​الحسابي المرجح. هذه هي الطريقة التي يتم بها تحديد متوسط ​​السعر المرجح لكل وحدة إنتاج: يتم قسمة التكلفة الإجمالية للإنتاج (مجموع المنتجات من كميتها وسعر وحدة الإنتاج) على الكمية الإجمالية للإنتاج.

نحن نمثل هذا في شكل الصيغة التالية:

المتوسط ​​الحسابي المرجح- تساوي النسبة (مجموع حاصل ضرب قيمة السمة إلى تكرار تكرار هذه السمة) إلى (مجموع ترددات جميع الصفات). وتستخدم عندما تحدث متغيرات المجتمع المدروس بشكل غير متساو عدد الاوقات.

مثال 2. أوجد متوسط ​​أجور عمال المتجر في الشهر

راتب عامل ألف روبل. X	عدد العمال F

يمكن الحصول على متوسط ​​الأجر بالقسمة المبلغ الإجماليأجور الرقم الإجماليعمال:

الجواب: 3.35 الف روبل.

المتوسط ​​الحسابي لسلسلة فاصلة

عند حساب المتوسط ​​الحسابي لسلسلة تباين الفاصل الزمني ، حدد أولاً متوسط ​​كل فترة زمنية كنصف مجموع الحد الأعلى والحدود الدنيا ، ثم متوسط ​​السلسلة بأكملها. في حالة الفواصل الزمنية المفتوحة ، يتم تحديد قيمة الفاصل الزمني السفلي أو العلوي بقيمة الفترات المجاورة لها.

المتوسطات المحسوبة من سلسلة الفترات تقريبية.

مثال 3. حدد متوسط ​​العمرطلاب المساء.

العمر بالسنين !! x ؟؟	عدد الطلاب	الفاصل الزمني يعني	ناتج منتصف الفترة (العمر) وعدد الطلاب
		(18 + 20) / 2 = 19 18 بوصة هذه القضيةالحد الأدنى للفاصل الزمني. محسوبة على أنها 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 أو أكثر		(30 + 34) / 2 = 32

المتوسطات المحسوبة من سلسلة الفترات تقريبية. تعتمد درجة تقريبها على المدى الذي يقترب فيه التوزيع الفعلي للوحدات السكانية ضمن الفاصل الزمني موحدًا.

عند حساب المتوسطات ، ليس فقط المطلق ، ولكن أيضًا القيم النسبية(تكرر).

أهم خاصية للمتوسط ​​هي أنه يعكس العامل المشترك المتأصل في جميع وحدات السكان قيد الدراسة. تختلف قيم سمة الوحدات الفردية من السكان تحت تأثير العديد من العوامل ، من بينها يمكن أن يكون هناك عوامل أساسية وعشوائية. يكمن جوهر المتوسط ​​في حقيقة أنه يعوض عن انحرافات قيم السمة ، والتي ترجع إلى عمل العوامل العشوائية ، ويتراكم (يأخذ في الاعتبار) التغييرات الناتجة عن عمل العنصر الرئيسي. عوامل. هذا يسمح للمتوسط ​​بالتفكير المستوى النموذجيعلامات ومجردة من الخصائص الفرديةمتأصلة في الوحدات الفردية.

إلى معدلكان نموذجيًا حقًا ، يجب حسابه مع مراعاة مبادئ معينة.

المبادئ الأساسية لاستخدام المتوسطات.

1. يجب تحديد المتوسط ​​للسكان المكونين من وحدات متجانسة نوعياً.

2. يجب حساب المتوسط ​​لمجتمع يتكون من عدد كبير بدرجة كافية من الوحدات.

3. يجب حساب المتوسط ​​للسكان في ظل ظروف ثابتة (عندما لا تتغير العوامل المؤثرة أو تتغير بشكل كبير).

4. يجب حساب المتوسط ​​مع مراعاة المحتوى الاقتصادي للمؤشر قيد الدراسة.

حساب الأكثر تحديدا المؤشرات الإحصائيةبناءً على استخدام:

متوسط ​​الركام

متوسط ​​القدرة (متناسق ، هندسي ، حسابي ، تربيعي ، مكعب) ؛

متوسط ​​التسلسل الزمني (انظر القسم).

يمكن حساب جميع المتوسطات ، باستثناء المتوسط ​​التجميعي ، في نسختين - مرجحة أو غير مرجحة.

متوسط ​​الإجمالي. الصيغة المستخدمة هي:

أين ث أنا= س ط* فاي;

س ط- الخيار الأولعلامة متوسطة

فاي, - الوزن أنا- الخيار ال.

متوسط ​​الدرجة. في نظرة عامةصيغة الحساب:

حيث الدرجة ك- نوع من متوسط ​​القوة.

قيم المتوسطات المحسوبة على أساس الأسس المتوسطة لنفس البيانات الأولية ليست هي نفسها. مع زيادة الأس k ، يزداد المقابل متوسط ​​القيمة:

متوسط ​​الترتيب الزمني. للحظة سلسلة ديناميكيةمع على فترات متساويةبين التواريخ ، محسوبة بالصيغة:

,

أين × 1و Xنقيمة المؤشر لتواريخ البدء والانتهاء.

صيغ لحساب متوسطات القوة

مثال. حسب الجدول. 2.1 يشترط حساب متوسط ​​الراتب بشكل عام لثلاث مؤسسات.

الجدول 2.1

راتب شركات AO

شركة	عدد الصناعية إنتاجالأفراد (PPP) ، بيرس.	الصندوق الشهري أجور، فرك.	متوسط أجرفرك.
		564840	2092
		332750	2750
		517540	2260
المجموع		1415130

محدد صيغة الحسابيعتمد على جدول البيانات. 7 أصلية. وفقًا لذلك ، فإن الخيارات التالية ممكنة: بيانات العمودين 1 (عدد تعادل القوة الشرائية) و 2 (كشوف المرتبات الشهرية) ؛ أو - 1 (عدد PPP) و 3 (متوسط ​​RFP) ؛ أو 2 (كشوف المرتبات الشهرية) و 3 (متوسط ​​الراتب).

إذا كانت هناك بيانات فقط للأعمدة 1 و 2. تحتوي نتائج هذه الرسوم البيانية على القيم اللازمة لحساب المتوسط ​​المطلوب. يتم استخدام صيغة متوسط ​​الركام:

إذا كانت هناك بيانات فقط للأعمدة 1 و 3، ثم يكون مقام النسبة الأصلية معروفًا ، لكن بسطه غير معروف. ومع ذلك ، يمكن الحصول على كشوف المرتبات بضرب متوسط ​​الأجر في عدد SPPs. لذلك ، يمكن حساب المتوسط ​​العام باستخدام الصيغة حسابي يعني مرجح:

يجب مراعاة أن الوزن ( فاي) في حالات فرديةيمكن أن يكون منتجًا من قيمتين أو حتى ثلاث قيم.

بالإضافة إلى ذلك ، يتم استخدام المتوسط ​​أيضًا في الممارسة الإحصائية. غير مرجح حسابي:

أين ن هو حجم السكان.

يستخدم هذا المتوسط ​​عند استخدام الأوزان ( فاي) غائبة (كل متغير من السمة يحدث مرة واحدة فقط) أو متساوٍ مع الآخر.

إذا كانت هناك بيانات فقط للأعمدة 2 و 3.أي أن بسط النسبة الأصلية معروف لكن قاسمها غير معروف. يمكن الحصول على عدد تعادل القوة الشرائية لكل مؤسسة بقسمة كشوف المرتبات على متوسط ​​الراتب. ثم يتم حساب متوسط ​​الراتب للمؤسسات الثلاث ككل وفقًا للصيغة متوسط ​​مرجح متناسق:

إذا كانت الأوزان متساوية ( فاي) يمكن حساب متوسط ​​المؤشر وفقًا لـ متوسط ​​غير مرجح متناسق:

في مثالنا ، استخدمنا أشكال مختلفةمتوسط ​​، ولكن تلقى نفس الإجابة. هذا يرجع إلى حقيقة أنه بالنسبة لبيانات محددة ، تم تنفيذ نفس النسبة الأولية للمتوسط ​​في كل مرة.

يمكن حساب المتوسطات على فترات منفصلة وفاصلة سلسلة الاختلاف. في هذه الحالة ، يتم الحساب وفقًا للمتوسط ​​الحسابي المرجح. إلى عن على سلسلة منفصلة صيغة معينةتستخدم بنفس الطريقة كما في المثال أعلاه. في سلسلة الفواصل الزمنية ، يتم تحديد نقاط المنتصف للفترات الزمنية للحساب.

مثال. حسب الجدول. 2.2 تحديد قيمة متوسط ​​الدخل النقدي للفرد شهريًا في منطقة مشروطة.

الجدول 2.2

البيانات الأولية (سلسلة التباينات)

المتوسط ​​الشهري للدخل النقدي للفرد ، ، فرك.	السكان ،٪ من الإجمالي /
ما يصل إلى 400	30,2
400 — 600	24,4
600 — 800	16,7
800 — 1000	10,5
1000-1200	6,5
1200 — 1600	6,7
1600 — 2000	2,7
2000 وما فوق	2,3
المجموع	100

تستخدم القيم المتوسطة على نطاق واسع في الإحصاء. القيم المتوسطة تميز المؤشرات النوعية للنشاط التجاري: تكاليف التوزيع ، الربح ، الربحية ، إلخ.

متوسط هذا هو أحد التعميمات الأكثر شيوعًا. إن الفهم الصحيح لجوهر المتوسط ​​يحدد أهميته الخاصة في اقتصاد السوق ، عندما يجعل المتوسط ​​، من خلال واحد وعشوائي ، من الممكن تحديد العام والضروري ، لتحديد اتجاه أنماط التنمية الاقتصادية.

متوسط ​​القيمة - هذه مؤشرات عامة يجدون فيها تعبيرًا عن الفعل شروط عامةانتظام الظاهرة المدروسة.

يتم حساب المتوسطات الإحصائية على أساس البيانات الجماعية للمراقبة الجماعية المنظمة إحصائيًا بشكل صحيح (مستمر وانتقائي). ومع ذلك ، سيكون المتوسط ​​الإحصائي موضوعيًا ونموذجيًا إذا تم حسابه من البيانات الجماعية لسكان متجانسين نوعياً (ظواهر جماعية). على سبيل المثال ، إذا قمنا بحساب متوسط ​​الأجور في التعاونيات والمؤسسات المملوكة للدولة ، وقمنا بتوسيع النتيجة لتشمل جميع السكان ، فإن المتوسط ​​يكون وهميًا ، لأنه محسوب لمجموعة سكانية غير متجانسة ، ويفقد هذا المتوسط ​​كل المعنى.

بمساعدة المتوسط ​​، هناك نوع من تجانس الاختلافات في حجم الميزةالتي تنشأ لسبب أو لآخر في وحدات المراقبة الفردية.

على سبيل المثال ، يعتمد متوسط ​​ناتج مندوب المبيعات على العديد من العوامل: المؤهلات ، ومدة الخدمة ، والعمر ، وشكل الخدمة ، والصحة ، وما إلى ذلك.

يعكس متوسط ​​الناتج الملكية العامة لجميع السكان.

القيمة المتوسطة هي انعكاس لقيم السمة المدروسة ، وبالتالي ، يتم قياسها بنفس بُعد هذه السمة.

كل قيمة متوسطة تميز المجتمع المدروس وفقًا لأي سمة واحدة. من أجل الحصول على صورة كاملة وشاملة للسكان قيد الدراسة من حيث عدد من السمات الأساسية ، من الضروري بشكل عام أن يكون لديك نظام متوسط ​​القيم يمكنه وصف الظاهرة من زوايا مختلفة.

هناك متوسطات مختلفة:

المتوسط ​​الحسابي؛

الوسط الهندسي

متوسط ​​متناسق

معدل الجذر التربيعي؛

المتوسط ​​الزمني.

ضع في اعتبارك بعض أنواع المتوسطات الأكثر استخدامًا في الإحصاء.

المتوسط ​​الحسابي

المتوسط ​​الحسابي البسيط (غير مرجح) يساوي مجموع القيم الفردية للخاصية مقسومًا على عدد هذه القيم.

تسمى القيم الفردية للسمة المتغيرات ويتم الإشارة إليها بواسطة x () ؛ يُشار إلى عدد الوحدات السكانية بالرمز n ، ومتوسط ​​قيمة الميزة - بواسطة . لذلك ، فإن المتوسط ​​الحسابي البسيط هو:

وفقًا لبيانات سلسلة التوزيع المنفصلة ، يمكن ملاحظة أن نفس قيم السمة (الخيارات) تتكرر عدة مرات. لذلك ، يحدث المتغير x في المجموع مرتين ، والمتغير x - 16 مرة ، إلخ.

يسمى عدد القيم المتطابقة لميزة في سلسلة التوزيع التردد أو الوزن ويُشار إليه بالرمز n.

احسب متوسط ​​الأجر لكل عامل بالروبل:

صندوق الأجور لكل مجموعة من العمال يساوي المنتجخيارات لكل تكرار ، ومجموع هذه المنتجات يعطي إجمالي فاتورة الأجور لجميع العمال.

وفقًا لهذا ، يمكن تقديم الحسابات بشكل عام:

تسمى الصيغة الناتجة بالمتوسط ​​الحسابي الموزون.

يمكن تقديم المواد الإحصائية كنتيجة للمعالجة ليس فقط في شكل سلسلة توزيع منفصلة ، ولكن أيضًا في شكل سلسلة تباين الفاصل الزمني مع فترات مغلقة أو مفتوحة.

يتم حساب متوسط ​​البيانات المجمعة وفقًا لمعادلة المتوسط ​​الحسابي المرجح:

في ممارسة الإحصاء الاقتصادي ، من الضروري أحيانًا حساب المتوسط ​​حسب متوسطات المجموعة أو متوسطات الأجزاء الفردية من السكان (المتوسطات الجزئية). في مثل هذه الحالات ، يتم أخذ المتوسطات الجماعية أو الجزئية كخيارات (س) ، والتي على أساسها يتم حساب المتوسط ​​الإجمالي كمتوسط ​​حسابي معتاد.

الخصائص الأساسية للمتوسط ​​الحسابي .

يحتوي المتوسط ​​الحسابي على عدد من الخصائص:

1. من انخفاض أو زيادة في ترددات كل قيمة من قيم السمة x بمقدار n مرة ، لن تتغير قيمة الوسط الحسابي.

إذا تم تقسيم جميع الترددات أو ضربها بأرقام معينة ، فلن تتغير قيمة المتوسط.

2. يمكن إخراج المضاعف الإجمالي للقيم الفردية للسمة من علامة المتوسط:

3 - متوسط ​​مجموع (فرق) كميتين أو أكثر يساوي مجموع (فرق) متوسطاتها:

4. إذا كانت x \ u003d c ، حيث c هي قيمة ثابتة ، إذن
.

5. مجموع انحرافات قيم السمة X عن المتوسط ​​الحسابي x يساوي صفرًا:

متوسط ​​متناسق.

إلى جانب الوسط الحسابي ، تستخدم الإحصائيات الوسط التوافقي ، وهو مقلوب الوسط الحسابي للقيم المتبادلة للسمة. مثل الوسط الحسابي ، يمكن أن يكون بسيطًا ومرجحًا.

إلى جانب المتوسطات ، فإن خصائص سلسلة التباينات هي الوضع والوسيط.

موضة - هذه هي قيمة السمة (المتغير) ، الأكثر تكرارًا في المجتمع المدروس. بالنسبة لسلسلة التوزيع المنفصلة ، سيكون الوضع هو قيمة المتغير بأعلى تردد.

بالنسبة لسلسلة التوزيع الفاصل ذات الفواصل الزمنية المتساوية ، يتم تحديد الوضع بواسطة الصيغة:

أين
- القيمة البدائيةفترة تحتوي على وضع ؛

- قيمة الفاصل الزمني ؛

- تردد الفاصل الزمني ؛

- تواتر الفاصل الزمني السابق للوضع ؛

- تردد الفاصل الزمني بعد الوسائط.

الوسيط هو المتغير الموجود في منتصف صف الشكل. إذا كانت سلسلة التوزيع منفصلة ولها عدد فرديأعضاء ، فسيكون الوسيط هو المتغير الموجود في منتصف السلسلة المرتبة (السلسلة المرتبة هي ترتيب وحدات السكان بترتيب تصاعدي أو تنازلي).

ما هو المعنى الحسابي

المتوسط ​​الحسابي للعديد من القيم هو نسبة مجموع هذه القيم إلى عددها.

يُطلق على المتوسط ​​الحسابي لسلسلة معينة من الأرقام مجموع كل هذه الأرقام مقسومًا على عدد الحدود. وبالتالي ، فإن المتوسط ​​الحسابي هو متوسط ​​قيمة سلسلة الأرقام.

ما هو المتوسط ​​الحسابي لعدة أرقام؟ وهما يساوي مجموع هذه الأعداد مقسومًا على عدد الحدود في هذا المجموع.

كيف تجد المتوسط ​​الحسابي

لا يوجد شيء صعب في حساب أو إيجاد المتوسط ​​الحسابي لعدة أرقام ، يكفي جمع كل الأرقام المعروضة ، وقسمة المجموع الناتج على عدد الحدود. ستكون النتيجة التي تم الحصول عليها هي المتوسط ​​الحسابي لهذه الأرقام.

دعونا نفكر في هذه العملية بمزيد من التفصيل. ما الذي يتعين علينا القيام به لحساب المتوسط ​​الحسابي والحصول على النتيجة النهائية لهذا العدد.

أولاً ، لحسابها ، تحتاج إلى تحديد مجموعة من الأرقام أو عددها. يمكن أن تتضمن هذه المجموعة أعدادًا كبيرة وصغيرة ، ويمكن أن يكون عددها أي شيء.

ثانيًا ، يجب جمع كل هذه الأرقام والحصول على مجموعها. بطبيعة الحال ، إذا كانت الأرقام بسيطة وعددها صغير ، فيمكن إجراء الحسابات عن طريق الكتابة باليد. وإذا كانت مجموعة الأرقام مثيرة للإعجاب ، فمن الأفضل استخدام آلة حاسبة أو جدول بيانات.

ورابعًا ، يجب تقسيم المبلغ الذي تم الحصول عليه من الإضافة على عدد الأرقام. نتيجة لذلك ، نحصل على النتيجة ، والتي ستكون المتوسط ​​الحسابي لهذه السلسلة.

ما هو الوسط الحسابي ل؟

يمكن أن تكون الوسيلة الحسابية مفيدة ليس فقط لحل الأمثلة والمشكلات في دروس الرياضيات ، ولكن للأغراض الأخرى الضرورية في الحياة اليوميةشخص. يمكن أن تكون هذه الأهداف عبارة عن حساب الوسيلة الحسابية لحساب متوسط ​​نفقات التمويل شهريًا ، أو لحساب الوقت الذي تقضيه على الطريق ، وأيضًا لمعرفة الحضور والإنتاجية والسرعة والإنتاجية وغير ذلك الكثير.

لذا ، على سبيل المثال ، دعنا نحاول حساب مقدار الوقت الذي تقضيه في التنقل إلى المدرسة. الذهاب إلى المدرسة أو العودة إلى المنزل ، في كل مرة تقضيها على الطريق وقت مختلف، لأنك عندما تكون في عجلة من أمرك ، تكون أسرع ، وبالتالي تستغرق الرحلة وقتًا أقل. لكن ، بالعودة إلى المنزل ، يمكنك المضي قدمًا ببطء ، والتحدث مع زملائك في الفصل ، والاستمتاع بالطبيعة ، وبالتالي سيستغرق الطريق وقتًا أطول.

لذلك ، لن تتمكن من تحديد الوقت الذي تقضيه على الطريق بدقة ، ولكن بفضل الوسط الحسابي ، يمكنك معرفة الوقت الذي تقضيه على الطريق تقريبًا.

افترض أنك في اليوم الأول بعد عطلة نهاية الأسبوع ، قضيت خمسة عشر دقيقة في الطريق من المنزل إلى المدرسة ، وفي اليوم الثاني استغرقت رحلتك عشرين دقيقة ، يوم الأربعاء قطعت المسافة في خمسة وعشرين دقيقة ، في نفس الوقت الذي قطعته فيه. طريقك يوم الخميس ويوم الجمعة لم تكن في عجلة من أمرك وعدت لمدة نصف ساعة.

لنجد المتوسط ​​الحسابي ، بإضافة الوقت ، لجميع الأيام الخمسة. لذا،

15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115

الآن قسّم هذا المقدار على عدد الأيام

من خلال هذه الطريقة ، تعلمت أن الرحلة من المنزل إلى المدرسة تستغرق حوالي ثلاث وعشرين دقيقة من وقتك.

الواجب المنزلي

1. باستخدام حسابات بسيطة ، ابحث عن المتوسط ​​الحسابي لحضور الطلاب في فصلك في الأسبوع.

2. ابحث عن الوسط الحسابي:

3. حل المشكلة:

الشكل الأكثر شيوعًا للمؤشرات الإحصائية المستخدمة في البحث الاجتماعي والاقتصادي هو متوسط ​​القيمة ، وهو معمم خاصية كميةعلامة من السكان الإحصائيين. القيم المتوسطة ، كما كانت ، "تمثل" سلسلة الملاحظات بأكملها. في كثير من الحالات ، يمكن تحديد المتوسط ​​من خلال النسبة الأولية للمتوسط ​​(ISS) أو صيغتها المنطقية:. لذلك ، على سبيل المثال ، لحساب متوسط ​​أجور موظفي مؤسسة ما ، من الضروري تقسيم إجمالي صندوق الأجور على عدد الموظفين: بسط النسبة الأولية للمتوسط ​​هو مؤشرها المحدد. بالنسبة لمتوسط ​​الأجر ، فإن هذا المؤشر المحدد هو صندوق الأجور. لكل مؤشر مستخدم في التحليل الاجتماعي والاقتصادي ، يمكن تجميع نسبة مرجعية حقيقية واحدة فقط لحساب المتوسط. يجب أيضًا إضافة ذلك من أجل تقدير أكثر دقة الانحراف المعياريبالنسبة للعينات الصغيرة (مع عدد العناصر أقل من 30) ، يجب عدم استخدام مقام التعبير تحت الجذر ن، أ ن- 1.

مفهوم وأنواع المتوسطات

متوسط ​​القيمة- هذا مؤشر معمم للمجتمع الإحصائي ، والذي يسدد الفروق الفردية في القيم الإحصاءمما يسمح لك بمقارنة مجموعات سكانية مختلفة مع بعضها البعض. موجود 2 فصولالقيم المتوسطة: القوة والهيكلية. المتوسطات الهيكلية موضه و الوسيط ، ولكنها الأكثر استخدامًا متوسطات القوةأنواع مختلفة.

متوسطات القوة

يمكن أن تكون متوسطات القوة بسيطو موزون.

يتم حساب المتوسط ​​البسيط عندما يكون هناك قيمتان أو أكثر من القيم الإحصائية غير المجمعة ، مرتبة بترتيب تعسفي وفقًا للصيغة العامة التالية لقانون متوسط ​​القوة (لقيم مختلفة لـ k (m)):

يتم حساب المتوسط ​​المرجح من الإحصائيات المجمعة باستخدام الصيغة العامة التالية:

أين س - متوسط ​​قيمة الظاهرة قيد الدراسة ؛ x i - المتغير الأول للخاصية المتوسطة ؛

f هو وزن الخيار i.

حيث X هي قيم القيم الإحصائية الفردية أو نقاط المنتصف لفترات التجميع ؛
م - الأس ، الذي تعتمد على قيمته الأنواع التالية من متوسطات القوة:
عند م = -1 الوسط التوافقي ؛
بالنسبة إلى m = 0 ، المتوسط ​​الهندسي ؛
بالنسبة إلى m = 1 ، المتوسط ​​الحسابي ؛
عند م = 2 ، الجذر يعني التربيع ؛
عند م = 3 ، متوسط ​​مكعب.

باستخدام الصيغ العامة للمتوسطات البسيطة والمرجحة عند الأسس المختلفة m ، نحصل على صيغ معينة من كل نوع ، والتي ستتم مناقشتها بالتفصيل أدناه.

المتوسط ​​الحسابي

المتوسط ​​الحسابي - لحظة أولية الطلب الأول, القيمة المتوقعةالقيم المتغيرات العشوائيةجلس أعداد كبيرةالاختبارات.

المتوسط ​​الحسابي هو المتوسط ​​الأكثر استخدامًا ويتم الحصول عليه بالتعويض في الصيغة العامةم = 1. المتوسط ​​الحسابي بسيطلديها العرض التالي:

أو

حيث X هي قيم الكميات التي من الضروري حساب متوسط ​​القيمة لها ؛ ن- المجموعالقيم X (عدد الوحدات في مجتمع الدراسة).

على سبيل المثال ، اجتاز الطالب 4 امتحانات وحصل على الدرجات التالية: 3 و 4 و 4 و 5. احسب المعدل التراكميوفقًا للمعادلة الحسابية البسيطة: (3 + 4 + 4 + 5) / 4 \ u003d 16/4 \ u003d 4.المتوسط ​​الحسابي موزونلديه الشكل التالي:

حيث f هو عدد القيم بنفس قيمة X (التردد). > على سبيل المثال ، اجتاز طالب 4 امتحانات وحصل على الدرجات التالية: 3 و 4 و 4 و 5. احسب متوسط ​​الدرجات باستخدام صيغة المتوسط ​​المرجح الحسابي: (3 * 1 + 4 * 2 + 5 * 1) / 4 = 16/4 = 4.إذا تم إعطاء قيم X كفواصل زمنية ، فسيتم استخدام نقاط المنتصف للفواصل الزمنية X لإجراء العمليات الحسابية ، والتي يتم تعريفها على أنها نصف مجموع الحدين العلوي والسفلي للفاصل الزمني. وإذا لم يكن للفاصل الزمني X حد أدنى أو أعلى (فاصل مفتوح) ، فعندئذٍ لإيجاده ، يتم استخدام النطاق (الفرق بين الحدين العلوي والسفلي) للفاصل X المجاور. على سبيل المثال ، يوجد في المؤسسة 10 موظفين لديهم خبرة عملية تصل إلى 3 سنوات ، و 20 - مع خبرة عمل من 3 إلى 5 سنوات ، و 5 موظفين - مع خبرة عملية تزيد عن 5 سنوات. ثم نحسب متوسط ​​مدة خدمة الموظفين باستخدام معادلة المتوسط ​​المرجح الحسابي ، مع الأخذ في الاعتبار X منتصف فترات الخدمة (2 و 4 و 6 سنوات): (2 * 10 + 4 * 20 + 6 * 5) / (10 + 20 + 5) = 3.71 سنة.

دالة AVERAGE

تحسب هذه الدالة المتوسط ​​(الحسابي) لوسائطها.

AVERAGE (number1، number2، ...)

Number1، number2، ... هي من 1 إلى 30 وسيطة يتم حساب المتوسط ​​لها.

يجب أن تكون الوسيطات أرقامًا أو أسماء أو مصفوفات أو مراجع تحتوي على أرقام. إذا كانت الوسيطة ، وهي مصفوفة أو رابط ، تحتوي على نصوص ، أو منطقية ، أو خلايا فارغة ، فسيتم تجاهل هذه القيم ؛ ومع ذلك ، الخلايا التي تحتوي على قيم فارغةمأخوذ بالحسبان.

دالة AVERAGE

تحسب المتوسط القيم الحسابية، المحدد في قائمة الوسائط. بالإضافة إلى الأرقام ، يمكن للنصوص والقيم المنطقية ، مثل TRUE و FALSE ، المشاركة في الحساب.

متوسط ​​(قيمة 1 ، قيمة 2 ، ...)

Value1 ، value2 ، ... هي من 1 إلى 30 خلية ، أو نطاقات خلايا ، أو قيمًا يتم حساب المتوسط ​​لها.

يجب أن تكون الوسيطات أرقامًا أو أسماء أو مصفوفات أو مراجع. يتم تفسير المصفوفات والروابط التي تحتوي على نص على أنها 0 (صفر). يتم تفسير النص الفارغ ("") على أنه 0 (صفر). يتم تفسير الوسيطات التي تحتوي على القيمة TRUE على أنها 1 ، ويتم تفسير الوسائط التي تحتوي على القيمة FALSE على أنها 0 (صفر).

يتم استخدام المتوسط ​​الحسابي في أغلب الأحيان ، ولكن هناك أوقات تحتاج فيها إلى أنواع أخرى من المتوسطات. لنفكر أكثر في مثل هذه الحالات.

متوسط ​​متناسق

متوسط ​​توافقي لتحديد متوسط ​​مجموع المعاملات بالمثل ؛

متوسط ​​متناسقيستخدم عندما لا تحتوي البيانات الأصلية على ترددات f by القيم الفردية X ، ولكن يتم تمثيلها على أنها منتجهم Xf. بالدلالة على Xf = w ، نعبر عن f = w / X ، واستبدال هذه التعيينات في صيغة المتوسط ​​الحسابي الموزون ، نحصل على صيغة المتوسط ​​التوافقي الموزون:

وبالتالي ، يتم استخدام المتوسط ​​المرجح التوافقي عندما تكون الترددات f غير معروفة ، ولكن w = Xf معروف. في الحالات التي يكون فيها كل w = 1 ، أي القيم الفردية لـ X تحدث مرة واحدة ، يتم تطبيق صيغة المتوسط ​​التوافقي البسيط: أو على سبيل المثال ، كانت السيارة تتنقل من النقطة أ إلى النقطة ب بسرعة 90 كم / ساعة والعودة بسرعة 110 كم / ساعة. لتحديد متوسط ​​السرعة ، نطبق الصيغة البسيطة التوافقية ، لأن المثال يعطي المسافة w 1 \ u003d w 2 (المسافة من النقطة A إلى النقطة B هي نفسها من B إلى A) ، والتي تساوي المنتج السرعة (X) والوقت (f). متوسط ​​السرعة= (1 + 1) / (1/90 + 1/110) = 99 كم / س.

وظيفة SRHARM

إرجاع الوسط التوافقي لمجموعة البيانات. الوسط التوافقي هو مقلوب الوسط الحسابي للمعاملة بالمثل.

SGARM (رقم 1 ، رقم 2 ، ...)

Number1، number2، ... هي من 1 إلى 30 وسيطة يتم حساب المتوسط ​​لها. يمكنك استخدام مرجع صفيف أو صفيف بدلاً من وسيطات مفصولة بفاصلة منقوطة.

دائمًا ما يكون الوسط التوافقي أصغر الوسط الهندسي، وهو دائمًا أقل من المتوسط ​​الحسابي.

الوسط الهندسي

المتوسط ​​الهندسي لتقدير متوسط ​​معدل نمو المتغيرات العشوائية ، وإيجاد قيمة سمة متساوية البعد عن القيم الدنيا والقصوى ؛

الوسط الهندسيتستخدم في تحديد متوسط ​​التغيرات النسبية. المتوسط ​​الهندسي يعطي أكثر النتيجة الدقيقةالمتوسط ​​، إذا كانت المهمة هي العثور على مثل هذه القيمة من X ، والتي ستكون على مسافة متساوية من كل من الحد الأقصى ومن الحد الأدنى للقيمة x. على سبيل المثال ، بين عامي 2005 و 2008مؤشر التضخم في روسيا كان: في 2005 - 1.109 ؛ في عام 2006 - 090 1 ؛ في عام 2007 - 1119 ؛ في عام 2008 - 1133. نظرًا لأن مؤشر التضخم هو تغيير نسبي (مؤشر ديناميكي) ، فأنت بحاجة إلى حساب متوسط ​​القيمة باستخدام المتوسط ​​الهندسي: (1.109 * 1.090 * 1.119 * 1.133) ^ (1/4) = 1.1126 ، أي للفترة من 2005 إلى 2008 نمت الأسعار سنويًا بمعدل 11.26٪. قد يعطي الحساب الخاطئ للمتوسط ​​الحسابي نتيجة غير صحيحة تبلغ 11.28٪.

دالة SRGEOM

إرجاع المتوسط القيم الهندسيةمجموعة أو فاصل زمني أرقام موجبة. على سبيل المثال ، يمكن استخدام دالة CAGEOM لحساب متوسط ​​معدل النمو إذا تم إعطاء دخل مركب بمعدلات متغيرة.

SRGEOM (رقم 1 ؛ رقم 2 ؛ ...)

Number1، number2، ... هي من 1 إلى 30 وسيطة يتم حساب المتوسط ​​الهندسي لها. يمكنك استخدام مرجع صفيف أو صفيف بدلاً من وسيطات مفصولة بفاصلة منقوطة.

معدل الجذر التربيعي

جذر متوسط ​​التربيع هو اللحظة الأولى من الدرجة الثانية.

معدل الجذر التربيعيتُستخدم عندما تكون القيم الأولية لـ X موجبة وسالبة ، على سبيل المثال ، عند حساب متوسط ​​الانحرافات. الاستخدام الرئيسي للمتوسط ​​التربيعي هو قياس التباين في قيم X.

متوسط ​​مكعب

متوسط ​​مكعب هو اللحظة الأولى من الدرجة الثالثة.

متوسط ​​مكعبنادرًا جدًا ، على سبيل المثال ، عند حساب مؤشرات الفقر للسكان الدول النامية(TIN-1) والمتطورة (TIN-2) ، مقترحة ومحسوبة من قبل الأمم المتحدة.