ابدأ في العلم. طرق حل المعادلات

المعادلة التي تمثل ثلاثي الحدود مربع، يشار إليها عادة باسم المعادلة التربيعية. من وجهة نظر الجبر ، يتم وصفه بالصيغة a * x ^ 2 + b * x + c = 0. في هذه الصيغة ، x هو المجهول الذي يمكن إيجاده (يطلق عليه المتغير الحر) ؛ أ ، ب ، ج معاملات عددية. فيما يتعلق بمكونات هذا ، هناك عدد من القيود: على سبيل المثال ، يجب ألا يكون المعامل a مساويًا لـ 0.

حل المعادلة: مفهوم المميز

تسمى قيمة المجهول x ، حيث تتحول المعادلة التربيعية إلى مساواة حقيقية ، بجذر هذه المعادلة. من أجل حل معادلة من الدرجة الثانية ، يجب عليك أولاً العثور على قيمة المعامل الخاص - المميز ، الذي سيُظهر عدد جذور المساواة المدروسة. يتم حساب المميز بالصيغة D = b ^ 2-4ac. في هذه الحالة ، يمكن أن تكون نتيجة الحساب موجبة أو سالبة أو مساوية للصفر.

في هذه الحالة ، يجب ألا يغيب عن البال أن المفهوم يتطلب أن يكون المعامل a فقط مختلفًا تمامًا عن 0. لذلك ، يمكن أن يكون المعامل b مساويًا لـ 0 ، والمعادلة نفسها في هذه الحالة هي * x ^ 2 + ج \ u003d 0. في مثل هذه الحالة ، يجب استخدام قيمة المعامل التي تساوي 0 في الصيغ لحساب المميز والجذور. لذلك ، سيتم حساب المميز في هذه الحالة على النحو D = -4ac.

حل المعادلة بمميز موجب

إذا تبين أن مميز المعادلة التربيعية موجب ، فيمكننا أن نستنتج من هذا أن هذه المساواة لها جذرين. يمكن حساب هذه الجذور باستخدام الصيغة التالية: x = (- b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a = (- b ± √D) / 2a. وهكذا ، لحساب قيمة جذور المعادلة التربيعية ل قيمة موجبةاستخدام مميز القيم المعروفةالمعاملات المتاحة في. بفضل استخدام المجموع والاختلاف في الصيغة لحساب الجذور ، ستكون نتيجة الحسابات قيمتين تحوّلان المساواة المعنية إلى القيمة الصحيحة.

حل المعادلة بمميز صفري ومميز سالب

إذا تبين أن مميز المعادلة التربيعية يساوي 0 ، فيمكننا استنتاج ذلك قال المعادلةله جذر واحد. بالمعنى الدقيق للكلمة ، في هذه الحالة ، لا يزال للمعادلة جذران ، ولكن نظرًا لأن المميز الصفري ، سيكونان متساويين. في هذه الحالة x = -b / 2a. إذا تبين ، أثناء العمليات الحسابية ، أن قيمة المميز سالبة ، فيجب استنتاج أن المعادلة التربيعية المدروسة ليس لها جذور ، أي قيم x التي تتحول عندها إلى مساواة حقيقية.

المعادلة هي تعبير رياضي معادلة تحتوي على مجهول. إذا كانت المساواة صحيحة بالنسبة لأية قيم مقبولة للمجهول المتضمن فيها ، فإنها تسمى هوية ؛ على سبيل المثال: علاقة مثل (س - 1) 2 = (س - 1) (س - 1) تنطبق على جميع قيم س.

إذا كانت المعادلة التي تتضمن x غير معروف تنطبق فقط على قيم معينة لـ x ، وليس لجميع قيم x ، كما في حالة الهوية ، فقد يكون من المفيد تحديد قيم x التي لها المعادلة صحيحة. تسمى قيم x هذه بجذور أو حلول المعادلة. على سبيل المثال ، الرقم 5 هو جذر المعادلة 2x + 7 = 17.

في فرع الرياضيات المسمى بنظرية المعادلات ، يكون الموضوع الرئيسي للدراسة هو طرق حل المعادلات. في دورة مدرسيةتحظى معادلات الجبر باهتمام كبير.

يعود تاريخ دراسة المعادلات إلى قرون عديدة. أشهر علماء الرياضيات الذين ساهموا في تطوير نظرية المعادلات هم:

أرخميدس (حوالي 287-212 قبل الميلاد) - عالم يوناني قديم وعالم رياضيات وميكانيكي. في دراسة مشكلة واحدة ، والتي تم اختزالها إلى معادلة تكعيبية ، اكتشف أرخميدس دور الخاصية ، والتي أصبحت تُعرف فيما بعد باسم المميز.

عاش فرانسوا فيت في القرن السادس عشر. لقد قدم مساهمة كبيرة في الدراسة مشاكل مختلفةالرياضيات. على وجه الخصوص ، قدم التدوين الحرفي لمعاملات المعادلة وأسس علاقة بين جذور المعادلة التربيعية.

ليونارد أويلر (1707 - 1783) - عالم رياضيات وميكانيكي وفيزيائي وعالم فلك. مؤلف كتاب St. 800 ورقة في التحليل الرياضي ، المعادلات التفاضلية، الهندسة ، نظرية الأعداد ، الحسابات التقريبية ، الميكانيكا السماوية ، الرياضيات ، البصريات ، المقذوفات ، بناء السفن ، نظرية الموسيقى ، إلخ. كان له تأثير كبير على تطور العلوم. اشتق الصيغ (صيغ أويلر) للتعبير الدوال المثلثيةمتغير x من خلال دالة أسية.

لاغرانج جوزيف لويس (1736-1813) ، عالم رياضيات فرنسيوميكانيكي. يمتلك أبحاثًا متميزة ، من بينها البحث في الجبر (الوظيفة المتماثلة لجذور المعادلة ، في المعادلات التفاضلية (النظرية قرارات خاصة، طريقة اختلاف الثوابت).

J. Lagrange و A. Vandermonde - علماء رياضيات فرنسيون. في عام 1771 ، تم استخدام طريقة حل أنظمة المعادلات (طريقة الاستبدال) لأول مرة.

غاوس كارل فريدريش (1777-1855) - عالم رياضيات ألماني. كتب كتابًا يلخص نظرية معادلات تقسيم الدائرة (أي المعادلات xn - 1 = 0) ، والذي كان من نواح كثيرة نموذجًا أوليًا لنظرية جالوا. بعيدا الطرق الشائعةحل هذه المعادلات ، وإنشاء صلة بينها وبين بناء المضلعات المنتظمة. لقد قام ، لأول مرة بعد العلماء اليونانيين القدماء ، بخطوة مهمة إلى الأمام في هذا الأمر ، وهي: وجد كل قيم n التي من أجلها العادية n-gonيمكن بناؤها ببوصلة ومسطرة. تعلمت كيف تضيف. وخلص إلى أن أنظمة المعادلات يمكن إضافتها وتقسيمها ومضاعفتها فيما بينها.

O.I.Somov - إثراء أجزاء مختلفة من الرياضيات بأعمال مهمة ومتعددة ، من بينها نظرية معادلات جبرية معينة درجات أعلى.

Galois Evariste (1811-1832) ، عالم رياضيات فرنسي. ميزته الرئيسية هي صياغة مجموعة من الأفكار ، والتي أتى إليها بالارتباط مع استمرار البحث حول قابلية حل المعادلات الجبرية ، التي بدأها ج. درجة واحدة غير معروفة.

أ.ف.بوغوريلوف (1919-1981) - ترتبط الأساليب الهندسية في عمله طرق تحليليةنظرية المعادلات التفاضلية ذات المشتقات الجزئية. كان لأعماله أيضًا تأثير كبير على نظرية المعادلات التفاضلية غير الخطية.

P. Ruffini - عالم رياضيات إيطالي. كرس عددًا من الأعمال لإثبات عدم قابلية معادلة الدرجة الخامسة للحل ، ويستخدم بشكل منهجي إغلاق مجموعة الاستبدالات.

على الرغم من حقيقة أن العلماء كانوا يدرسون المعادلات لفترة طويلة ، فإن العلم لا يعرف كيف ومتى يحتاج الناس إلى استخدام المعادلات. من المعروف فقط أن المشكلات التي أدت إلى حل أبسط المعادلات قد حلها الناس منذ أن أصبحوا بشرًا. 3 - 4 آلاف سنة أخرى قبل الميلاد. ه. عرف المصريون والبابليون كيفية حل المعادلات. تتطابق قاعدة حل هذه المعادلات مع المعادلة الحديثة ، لكن من غير المعروف كيف وصلوا إلى هذه النقطة.

في مصر القديمةوبابل ، تم استخدام طريقة الموقف الخاطئ. يمكن دائمًا اختزال معادلة الدرجة الأولى مع مجهول إلى الشكل ax + b = c ، حيث a ، b ، c أعداد صحيحة. وفقا للقوانين عمليات حسابيةفأس \ u003d ج ​​- ب ،

إذا كانت b> c ، فإن c b رقم سالب. الأعداد السالبةكانت غير معروفة للمصريين والعديد من الشعوب الأخرى اللاحقة (على قدم المساواة مع أرقام موجبةبدأ استخدامهم في الرياضيات فقط في القرن السابع عشر). لحل المشكلات التي نحلها الآن باستخدام معادلات من الدرجة الأولى ، تم اختراع طريقة الموضع الخاطئ. في بردية أحمس ، تم حل 15 مشكلة بهذه الطريقة. كان لدى المصريين علامة خاصة لعدد غير معروف ، والتي كانت تُقرأ حتى وقت قريب "كيف" وترجمتها كلمة "كومة" ("كومة" أو "عدد غير معروف" من الوحدات). الآن يقرأون بشكل أقل دقة: "آها". طريقة الحل التي يستخدمها Ahmes تسمى طريقة الموقف الخاطئ الواحد. باستخدام هذه الطريقة ، يتم حل المعادلات ذات الشكل ax = b. تتكون هذه الطريقة من قسمة كل جانب من جوانب المعادلة على. تم استخدامه من قبل كل من المصريين والبابليين. في شعوب مختلفةتم استخدام طريقة وضعين خاطئين. مكن العرب هذه الطريقة وحصلوا على الشكل الذي انتقلت به إلى الكتب المدرسية للشعوب الأوروبية ، بما في ذلك حساب ماغنيتسكي. يسمي Magnitsky طريقة حل "القاعدة الخاطئة" ويكتب في جزء من كتابه يشرح هذه الطريقة:

Zelo bo cunning هو هذا الجزء ، كما يمكنك وضع كل شيء معه. ليس فقط ما هو في المواطنة ، ولكن أيضًا العلوم العليا في الفضاء ، حتى يتم سردها في فلك السماء ، مثل الحكماء هناك حاجة.

يمكن تلخيص محتوى قصائد Magnitsky على النحو التالي: هذا الجزء من الحساب صعب للغاية. بمساعدتها ، لا يمكنك حساب ما هو مطلوب في الممارسة اليومية فحسب ، بل إنها تحل أيضًا الأسئلة "الأعلى" التي تواجه "الحكيم". يستخدم Magnitsky "قاعدة خاطئة" بالشكل الذي أعطاه إياها العرب ، واصفا إياها "بحساب خطأين" أو "طريقة الأوزان". غالبًا ما أعطى علماء الرياضيات الهنود مشاكل في الشعر. تحدي اللوتس:

فوق البحيرة الهادئة ، نصف مقياس فوق الماء ، كان لون اللوتس مرئيًا. نشأ وحيدًا ، والريح في موجة ثنيه جانبًا ، ولم يعد

زهور فوق الماء. وجدت عين الصياد مقياسين من حيث نشأ. كم عدد البحيرات هنا عمق المياه؟ سأقدم لك سؤالا.

أنواع المعادلات

المعادلات الخطية

المعادلات الخطية هي معادلات بالصيغة: ax + b = 0 ، حيث a و b بعض الثوابت. إذا كانت a لا تساوي الصفر ، فإن المعادلة لها جذر واحد: x \ u003d - b: a (ax + b ؛ ax \ u003d - b ؛ x \ u003d - b: a.).

على سبيل المثال: حل معادلة خط مستقيم: 4x + 12 = 0.

الحل: من T. إلى a \ u003d 4 ، و b \ u003d 12 ، ثم x \ u003d - 12: 4 ؛ س = - 3.

تحقق: 4 (- 3) + 12 = 0 ؛ 0 = 0.

بما أن k 0 = 0 ، فإن -3 هو جذر المعادلة الأصلية.

إجابه. س = -3

إذا كان a صفرًا و b صفرًا ، فإن جذر المعادلة ax + b = 0 هو أي رقم.

فمثلا:

0 = 0. بما أن 0 يساوي 0 ، فإن جذر المعادلة 0x + 0 = 0 هو أي رقم.

إذا كانت a تساوي صفرًا و b ليست صفرية ، فإن المعادلة ax + b = 0 ليس لها جذور.

فمثلا:

0 \ u003d 6. بما أن 0 لا تساوي 6 ، فإن 0x - 6 \ u003d 0 ليس لها جذور.

نظم المعادلات الخطية.

نظام المعادلات الخطية هو نظام تكون فيه جميع المعادلات خطية.

حل نظام يعني إيجاد كل الحلول الخاصة به.

قبل حل نظام المعادلات الخطية ، يمكنك تحديد عدد حلوله.

دع نظام المعادلات يُعطى: (а1х + b1y = с1، (а2х + b2y = c2.

إذا كانت a1 على a2 لا تساوي b1 مقسومة على b2 ، فإن النظام لديه حل فريد واحد.

إذا كان a1 مقسومًا على a2 يساوي b1 مقسومًا على b2 ، ولكنه يساوي c1 مقسومًا على c2 ، فلن يكون للنظام أي حلول.

إذا كان a1 على a2 يساوي b1 مقسومًا على b2 ، ويساوي c1 مقسومًا على c2 ، فإن النظام يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.

نظام المعادلات الذي يحتوي على حل واحد على الأقل يسمى متوافق.

يسمى نظام المفصل محدد إذا كان كذلك عدد محدودالحلول ، وإلى أجل غير مسمى إذا كانت مجموعة الحلول لا نهائية.

يسمى النظام الذي لا يحتوي على حل واحد غير متناسق أو غير متسق.

طرق حل المعادلات الخطية

هناك عدة طرق لحل المعادلات الخطية:

1) طريقة الاختيار. وهذا هو الأكثر أبسط طريقة. وهو يتألف من حقيقة أنهم يختارون الكل القيم المسموح بهاغير معروف بالسرد.

فمثلا:

حل المعادلة.

دع x = 1. ثم

4 = 6. بما أن 4 لا تساوي 6 ، فإن افتراضنا أن x = 1 كان خطأ.

دع x = 2.

6 = 6. بما أن 6 يساوي 6 ، فإن افتراضنا أن x = 2 كان صحيحًا.

الجواب: س = 2.

2) طريقة التبسيط

تكمن هذه الطريقة في حقيقة أن جميع الأعضاء التي تحتوي على المجهول يتم نقلها إلى الجانب الأيسر ، والمعروفة إلى اليمين بـ علامة المعاكس، وإعطاء مماثلة ، وقسم كلا طرفي المعادلة على معامل المجهول.

فمثلا:

حل المعادلة.

5x - 4 = 11 + 2x ؛

5x - 2x = 11 + 4 ؛

3 س = 15 ؛ : (3) س = 5.

إجابه. س = 5.

3) طريقة رسومية.

يتكون من حقيقة أن الرسم البياني للوظائف مبني معادلة معينة. لأنه في المعادلة الخطية y \ u003d 0 ، سيكون الرسم البياني موازيًا لمحور y. ستكون نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور السيني هي حل هذه المعادلة.

فمثلا:

حل المعادلة.

دع y = 7. ثم y = 2x + 3.

لنقم ببناء رسم بياني لوظائف كلتا المعادلتين:

طرق حل أنظمة المعادلات الخطية

في الصف السابع يتم دراسة ثلاث طرق لحل أنظمة المعادلات:

1) طريقة الاستبدال.

تتكون هذه الطريقة من حقيقة أنه في إحدى المعادلات يتم التعبير عن مجهول من حيث الآخر. يتم استبدال التعبير الناتج في معادلة أخرى ، والتي تتحول بعد ذلك إلى معادلة مجهولة واحدة ، ثم يتم حلها. يتم استبدال القيمة الناتجة لهذا المجهول في أي معادلة للنظام الأصلي ويتم العثور على قيمة المجهول الثاني.

فمثلا.

حل نظام المعادلات.

5 س - 2 ص - 2 = 1.

3 س + ص = 4 ؛ ص \ u003d 4 - 3x.

استبدل التعبير الناتج في معادلة أخرى:

5x - 2 (4 - 3x) -2 \ u003d 1 ؛

5x - 8 + 6x = 1 + 2 ؛

11 س = 11 ؛ : (11) س = 1.

استبدل القيمة الناتجة في المعادلة 3x + y \ u003d 4.

3 1 + ص = 4 ؛

3 + ص = 4 ؛ ص \ u003d 4 - 3 ؛ ص = 1.

فحص.

/ 3 1 + 1 = 4 ،

\ 5 1 - 2 1 - 2 = 1 ؛

الجواب: س = 1 ؛ ص = 1.

2) طريقة الجمع.

هذه الطريقة هي إذا هذا النظاميتكون من المعادلات التي ، عند إضافة مصطلح بمصطلح ، تشكل معادلة مع واحد غير معروف ، ثم من خلال حل هذه المعادلة ، نحصل على قيمة أحد المجهولين. يتم استبدال القيمة الناتجة لهذا المجهول في أي معادلة للنظام الأصلي ويتم العثور على قيمة المجهول الثاني.

فمثلا:

حل نظام المعادلات.

/ 3y - 2x \ u003d 5 ،

\ 5 س - 3 س = 4.

لنحل المعادلة الناتجة.

3 س = 9 ؛ : (3) س = 3.

دعنا نستبدل القيمة التي تم الحصول عليها في المعادلة 3y - 2x = 5.

3 س - 2 3 = 5 ؛

3 ص = 11 ؛ : (3) ص = 11/3 ؛ ص = 3 2/3.

لذا س = 3 ؛ ص = 3 2/3.

فحص.

/ 3 11/3 - 2 3 = 5 ،

\ 5 3 - 3 11/3 = 4 ؛

إجابه. س = 3 ؛ ص = 3 2/3

3) طريقة رسومية.

تعتمد هذه الطريقة على حقيقة أن الرسوم البيانية للمعادلات يتم رسمها في نظام إحداثي واحد. إذا تقاطعت الرسوم البيانية للمعادلة ، فإن إحداثيات نقطة التقاطع هي الحل لهذا النظام. إذا كانت الرسوم البيانية للمعادلة عبارة عن خطوط متوازية ، فلا يوجد حلول للنظام المعطى. إذا اندمجت الرسوم البيانية للمعادلات في خط مستقيم واحد ، فإن النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول.

فمثلا.

حل نظام المعادلات.

18 س + 3 ص - 1 = 8.

2x - ص \ u003d 5 ؛ 18x + 3y - 1 = 8 ؛

ص = 5 - 2 س ؛ 3y \ u003d 9-18x ؛ : (3) ص = 2 س - 5. ص = 3-6 س.

نقوم ببناء الرسوم البيانية للوظائف y \ u003d 2x - 5 و y \ u003d 3-6x على نفس نظام الإحداثيات.

الرسوم البيانية للوظائف y \ u003d 2x - 5 و y \ u003d 3-6x تتقاطع عند النقطة A (1 ؛ -3).

لذلك ، سيكون حل نظام المعادلات هذا هو x = 1 و y = -3.

فحص.

2 1 - (- 3) = 5 ،

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

إجابه. س = 1 ؛ ص = -3.

استنتاج

بناءً على كل ما سبق ، يمكننا أن نستنتج أن المعادلات ضرورية في العالم الحديثليس فقط لحل المشكلات العملية ، ولكن أيضًا كأداة علمية. لذلك ، درس العديد من العلماء هذه المسألة واستمروا في الدراسة.

وزارة العامة و التعليم المهنيالترددات اللاسلكية

مؤسسة تعليمية بلدية

صالة رقم 12

مقال

في موضوع: المعادلات وطرق حلها

المكتمل: طالب 10 صف "أ"

كروتكو يفجيني

تم الفحص: مدرس الرياضيات Iskhakova Gulsum Akramovna

تيومين 2001

يخطط................................................. .................................................. ............................... واحد

مقدمة ... ................................................ .. ....................... 2

الجزء الرئيسي................................................ .................................................. .............. 3

استنتاج................................................. .................................................. ................ 25

طلب................................................. .................................................. ............... 26

قائمة المراجع ............................................... ............................... ................... ... 29

يخطط.

مقدمة.

مرجع التاريخ.

المعادلات. المعادلات الجبرية.

أ) التعريفات الأساسية.

ب) المعادلة الخطية وكيفية حلها.

ج) المعادلات التربيعية وطرق حلها.

د) المعادلات ذات الحدين ، طريقة لحلها.

ه) المعادلات التكعيبيةوطرق حلها.

ه) معادلة بكوادروكيفية حلها.

ز) معادلات الدرجة الرابعة وطرق حلها.

ز) معادلات الدرجات العليا وطرق الحل.

ح) المعادلة الجبرية العقلانية وطريقتها

و) المعادلات غير المنطقيةوطرق حلها.

ي) المعادلات التي تحتوي على المجهول تحت العلامة.

القيمة المطلقة وكيفية حلها.

المعادلات التجاوزية.

أ) المعادلات الأسيةوكيفية حلها.

ب) المعادلات اللوغاريتميةوكيفية حلها.

مقدمة

تلقى تعليم الرياضيات في مدرسة التعليم العام، هو محتوي اساسي تعليم عامو ثقافة مشتركة الإنسان المعاصر. كل ما يحيط بالشخص الحديث تقريبًا مرتبط بطريقة أو بأخرى بالرياضيات. لكن الإنجازات الأخيرةفي الفيزياء والتكنولوجيا و تكنولوجيا المعلوماتلا تدع مجالا للشك في أن الأمور ستبقى على حالها في المستقبل. لذلك ، فإن حل العديد من المشاكل العملية يقتصر على الحل أنواع مختلفةمعادلات لتعلم كيفية حلها.

هذا العمل هو محاولة لتعميم وتنظيم المواد المدروسة حول الموضوع أعلاه. لقد رتبت المادة وفقًا لدرجة تعقيدها ، بدءًا من الأبسط. يتضمن كلا من أنواع المعادلات المعروفة لنا من مسار الجبر المدرسي ، و مواد اضافية. في نفس الوقت حاولت إظهار أنواع المعادلات التي لم يتم دراستها في المقرر المدرسي ، ولكن المعرفة بها قد تكون مطلوبة عند الالتحاق بالتعليم العالي. مؤسسة تعليمية. في عملي ، عند حل المعادلات ، لم أقصر نفسي على حل حقيقي فحسب ، بل أشرت أيضًا إلى حل معقد ، لأنني أعتقد أنه بخلاف ذلك لم يتم حل المعادلة ببساطة. بعد كل شيء ، إذا لم تكن هناك جذور حقيقية في المعادلة ، فهذا لا يعني أنه ليس لها حلول. لسوء الحظ ، نظرًا لضيق الوقت ، لم أتمكن من تقديم جميع المواد التي أمتلكها ، ولكن حتى مع المواد المعروضة هنا ، قد تثار أسئلة كثيرة. آمل أن تكون معرفتي كافية للإجابة على معظم الأسئلة. لذا ، سأقوم بتقديم المادة.

الرياضيات ... تكشف عن النظام

التناظر واليقين ،

وهذا هو أهم الأنواعجميلة.

أرسطو.

مرجع التاريخ

في تلك الأوقات البعيدة ، عندما بدأ الحكماء في التفكير لأول مرة في المساواة التي تحتوي على كميات غير معروفة ، ربما لم تكن هناك عملات معدنية أو محافظ حتى الآن. لكن من ناحية أخرى ، كانت هناك أكوام ، بالإضافة إلى الأواني والسلال ، والتي كانت مثالية لدور المخازن المؤقتة التي تحتوي على عدد غير معروف من العناصر. "نحن نبحث عن كومة ، مع ثلثيها ، نصف وسبع ، تساوي 37 ..." - درس في الألفية الثانية قبل الميلاد عهد جديدالكاتب المصري احمس. في القديم المشاكل الرياضيةبلاد ما بين النهرين والهند والصين واليونان بكميات غير معروفة تعبر عن عدد الطاووس في الحديقة ، وعدد الثيران في القطيع ، ومجموع الأشياء التي تؤخذ في الاعتبار عند قسمة الممتلكات. الكتبة والمسؤولون والكهنة الذين بدأوا في المعرفة السرية ، مدربين جيدًا في علم العد ، تعاملوا مع مثل هذه المهام بنجاح كبير.

تشير المصادر التي وصلت إلينا إلى أن العلماء القدماء امتلكوا بعض الأساليب العامة لحل المشكلات بكميات غير معروفة. ومع ذلك ، لا توجد بردية واحدة ولا لوح طيني واحد يعطي وصفاً لهذه التقنيات. قدم المؤلفون من حين لآخر حساباتهم العددية بتعليقات متوسطة مثل: "انظر!" ، "افعلها!" ، "لقد وجدت ذلك صحيحًا." بهذا المعنى ، فإن الاستثناء هو "الحساب" لعالم الرياضيات اليوناني ديوفانتوس الإسكندري (القرن الثالث) - مجموعة من المشاكل لتجميع المعادلات مع عرض منظم لحلولها.

ومع ذلك ، أصبح عمل الباحث البغدادي في القرن التاسع هو أول دليل لحل المشكلات أصبح معروفًا على نطاق واسع. محمد بن موسى الخوارزمي. كلمة "الجبر" من العنوان العربي لهذه الرسالة - "كتاب الجابر والمقابلة" - مع مرور الوقت تحولت إلى كلمة "الجبر" المعروفة للجميع ، و عمل الخوارزمي نفسه كان بمثابة نقطة انطلاق في تطوير علم حل المعادلات.

المعادلات. المعادلات الجبرية

التعاريف الأساسية

في الجبر ، هناك نوعان من المساواة - الهويات والمعادلات.

هويةهي المساواة التي تحمل جميع القيم (المقبولة) للأحرف). لكتابة الهوية مع الإشارة

يتم استخدام العلامة أيضًا.

المعادلة- هذه مساواة لا ترضي إلا بعض قيم الحروف المتضمنة فيها. يمكن أن تكون الأحرف المتضمنة في المعادلة ، وفقًا لظروف المشكلة ، غير متساوية: يمكن للبعض أن يأخذ جميع قيمها المسموح بها (يطلق عليها المعلماتأو المعاملاتالمعادلات وعادة ما يشار إليها بالحروف الأولى الأبجدية اللاتينية:

، ، ... - أو نفس الأحرف ، مزودة بالفهارس: ، ، ... أو ، ...) ؛ يتم استدعاء الآخرين الذين يمكن العثور على قيمهم مجهول(عادةً ما يُشار إليها بالأحرف الأخيرة من الأبجدية اللاتينية: ، ، ، ، ... - أو بنفس الأحرف ، مزودة بالمؤشرات: ، ، ... ، أو ، ...).

بشكل عام ، يمكن كتابة المعادلة على النحو التالي:

(, , ..., ).

اعتمادًا على عدد المجهول ، تسمى المعادلة معادلة ذات مجهول واحد أو اثنين أو ما إلى ذلك.

عادة، المعادلاتتظهر في المشاكل التي تتطلب إيجاد قيمة معينة. تسمح لنا المعادلة بصياغة المشكلة في لغة الجبر. من خلال حل المعادلة ، نحصل على قيمة الكمية المطلوبة ، والتي تسمى المجهول. "أندريه لديه بضعة روبلات في محفظته. إذا ضربت هذا الرقم في 2 ثم طرحت 5 ، فستحصل على 10. ما مقدار المال الذي يمتلكه أندريه؟ " دعنا نشير إلى المبلغ غير المعروف على أنه x ونكتب المعادلة: 2x-5 = 10.

للحديث عنه طرق حل المعادلات، تحتاج أولاً إلى تحديد المفاهيم الأساسية والتعرف على الرموز المقبولة عمومًا. إلى عن على أنواع مختلفةالمعادلات ، هناك خوارزميات مختلفة لحلها. المعادلات من الدرجة الأولى مع واحد غير معروف هي الأسهل في الحل. كثير من المدرسة على دراية بصيغة الحل المعادلات التربيعية. الخدع رياضيات أعلىتساعد في حل المعادلات ترتيب عالي. ترتبط مجموعة الأرقام التي يتم تعريف المعادلة بها ارتباطًا وثيقًا بحلولها. العلاقة بين المعادلات والرسوم البيانية للوظائف مثيرة للاهتمام أيضًا ، نظرًا لأن تمثيل المعادلات في شكل رسوميمساعدة كبيرة في نفوسهم.

وصف. المعادلة هي معادلة رياضية بها مجهول واحد أو أكثر ، مثل 2x + 3y = 0.

يتم استدعاء التعابير الموجودة على جانبي علامة التساوي الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلة. تشير أحرف الأبجدية اللاتينية إلى مجهول. على الرغم من أنه يمكن أن يكون هناك أي عدد من المجهول ، في ما يلي سنتحدث فقط عن معادلات ذات مجهول واحد ، والذي سنشير إليه بواسطة x.

درجة المعادلةهي القوة القصوى التي يرفع إليها المجهول. فمثلا،
$ 3x ^ 4 + 6x-1 = 0 $ هي معادلة من الدرجة الرابعة ، و $ x-4x ^ 2 + 6x = 8 $ هي معادلة من الدرجة الثانية.

يتم استدعاء الأرقام التي يتم ضرب المجهول بها المعاملات. في المثال السابق ، المجهول للقوة الرابعة له معامل قدره 3. إذا ، عند استبدال x بهذا الرقم ، نظرا للمساواة، ثم نقول أن هذا الرقم يحقق المعادلة. تسمى حل المعادلة، أو جذره. على سبيل المثال ، 3 هو جذر أو حل المعادلة 2x + 8 = 14 ، بما أن 2 * 3 + 8 = 6 + 8 = 14.

حل المعادلات. لنفترض أننا نريد حل المعادلة 2 س + 5 = 11.

يمكنك استبدال أي قيمة x فيه ، على سبيل المثال x = 2. دعنا نستبدل x بـ 2 ونحصل على: 2 * 2 + 5 = 4 + 5 = 9.

هناك شيء خاطئ هنا ، لأنه في الجانب الأيمن من المعادلة يجب أن نحصل على 11. لنجرب x = 3: 2 * 3 + 5 = 6 + 5 = 11.

الجواب صحيح. اتضح أنه إذا كان المجهول يأخذ القيمة 3 ، إذن يحمل المساواة. لذلك ، أوضحنا أن الرقم 3 هو حل المعادلة.

الطريقة التي استخدمناها لحل هذه المعادلة تسمى طريقة الاختيار. من الواضح أنه غير مريح للاستخدام. علاوة على ذلك ، لا يمكن حتى تسميتها طريقة. للتحقق من ذلك ، يكفي محاولة تطبيقه على معادلة بالصيغة $ x ^ 4-5x ^ 2 + 16 = 2365 $.

طرق الحل. عندما يكون هناك ما يسمى "قواعد اللعبة" ، والتي سيكون من المفيد أن تتعرف عليها. هدفنا هو تحديد قيمة المجهول الذي يحقق المعادلة. لذلك من الضروري عزل المجهول بطريقة ما. للقيام بذلك ، من الضروري نقل شروط المعادلة من جزء منها إلى آخر. القاعدة الأولى لحل المعادلات هي ...

1. عند نقل مصطلح في معادلة من جزء إلى آخر ، تتغير علامته إلى العكس: بالإضافة إلى التغييرات إلى ناقص والعكس صحيح. اعتبر المعادلة 2 س + 5 = 11 كمثال. انقل 5 من اليسار إلى اليمين: 2x = 11-5. ستأخذ المعادلة الشكل 2 س = 6.

دعنا ننتقل إلى القاعدة الثانية.
2. يمكن ضرب طرفي المعادلة وقسمتهما على عدد غير صفري. لنطبق هذه القاعدة على معادلتنا: $ x = \ frac62 = 3 $. على الجانب الأيسر من المساواة ، بقي x المجهول فقط ، لذلك وجدنا قيمتها وقمنا بحل المعادلة.

لقد نظرنا للتو في أبسط مشكلة - معادلة خطية مع واحد غير معروف. دائمًا ما يكون للمعادلات من هذا النوع حل ، علاوة على ذلك ، يمكن دائمًا حلها باستخدام أبسط العمليات: الجمع والطرح والضرب والقسمة. للأسف ، ليست كل المعادلات بهذه البساطة. علاوة على ذلك ، تزداد درجة تعقيدها بسرعة كبيرة. على سبيل المثال ، يمكن لأي طالب حل معادلات الدرجة الثانية بسهولة المدرسة الثانوية، لكن طرق حل أنظمة المعادلات الخطية أو المعادلات ذات الدرجات العليا تدرس فقط في المدرسة الثانوية.

وهكذا ، فمن المنطقي التعرف على المعادلات من الأنواع الأخرى. التالي في الخط المعادلات الخطيةتبدأ الدراسة الهادفة في دروس الجبر في الصف السابع.

من الواضح أنك تحتاج أولاً إلى شرح ماهية المعادلة الخطية ، وإعطاء تعريف للمعادلة الخطية ، ومعاملاتها ، وإظهارها الشكل العام. يمكنك بعد ذلك معرفة عدد الحلول التي تمتلكها المعادلة الخطية اعتمادًا على قيم المعاملات وكيفية إيجاد الجذور. سيسمح لك ذلك بالانتقال إلى حل الأمثلة ، وبالتالي توحيد النظرية المدروسة. في هذه المقالة سنفعل ذلك: سوف نتناول بالتفصيل جميع النقاط النظرية والعملية المتعلقة بالمعادلات الخطية وحلها.

دعنا نقول على الفور أننا هنا سننظر فقط في المعادلات الخطية بمتغير واحد ، وفي مقال منفصل سندرس مبادئ حل المعادلات الخطية في متغيرين.

التنقل في الصفحة.

ما هي المعادلة الخطية؟

يتم إعطاء تعريف المعادلة الخطية من خلال شكل تدوينها. علاوة على ذلك ، في الكتب المدرسية المختلفة للرياضيات والجبر ، تحتوي صياغة تعريفات المعادلات الخطية على بعض الاختلافات التي لا تؤثر على جوهر المسألة.

على سبيل المثال ، في كتاب الجبر للصف السابع بواسطة Yu. N. Makarycheva وآخرون ، يتم تعريف المعادلة الخطية على النحو التالي:

تعريف.

اكتب المعادلة الفأس = ب، حيث x متغير ، a و b بعض الأرقام ، يسمى معادلة خطية بمتغير واحد.

دعونا نعطي أمثلة على المعادلات الخطية المقابلة للتعريف الصوتي. على سبيل المثال ، 5 س = 10 معادلة خطية بمتغير واحد س ، وهنا المعامل أ هو 5 ، والعدد ب هو 10. مثال آخر: −2.3 y = 0 هي أيضًا معادلة خطية ، ولكن مع المتغير y ، حيث a = −2.3 و b = 0. وفي المعادلتين الخطيتين ، x = −2 و −x = 3.33 a غير موجودة بشكل صريح وتساوي 1 و 1 على التوالي ، بينما في المعادلة الأولى ب = −2 وفي الثانية - ب = 3.33.

قبل عام ، في الكتاب المدرسي للرياضيات بواسطة N. Ya. من المعادلة إلى أخرى مع الإشارة المعاكسة ، وكذلك بمساعدة طاقم شروط مماثلة. وفقًا لهذا التعريف ، المعادلات بالصيغة 5 x = 2 x + 6 ، إلخ. هي أيضا خطية.

بدوره ، تم تقديم التعريف التالي في كتاب الجبر المدرسي لـ 7 فصول بواسطة A.G.Mordkovich:

تعريف.

معادلة خطية بمتغير واحد xهي معادلة بالصيغة أ س + ب = 0 ، حيث أ و ب بعض الأرقام ، تسمى معاملات المعادلة الخطية.

على سبيل المثال ، المعادلات الخطية من هذا النوع هي 2 x − 12 = 0 ، وهنا المعامل a يساوي 2 ، و b يساوي −12 ، و 0.2 y + 4.6 = 0 مع المعاملين a = 0.2 و b = 4.6. لكن في الوقت نفسه ، هناك أمثلة على معادلات خطية ليس لها الشكل أ س + ب = 0 ، ولكن أ س = ب ، على سبيل المثال ، 3 س = 12.

دعنا ، حتى لا يكون لدينا أي تناقضات في المستقبل ، في ظل معادلة خطية ذات متغير واحد x والمعاملات a و b ، سنفهم معادلة بالصيغة a x + b = 0. يبدو أن هذا النوع من المعادلات الخطية هو الأكثر تبريرًا ، لأن المعادلات الخطية كذلك المعادلات الجبرية الدرجة الأولى. وجميع المعادلات الأخرى أعلاه ، وكذلك المعادلات التي ، باستخدام التحولات المكافئةإلى الصورة أ س + ب = 0 ، سوف نسميها المعادلات المختزلة إلى المعادلات الخطية. مع هذا النهج ، فإن المعادلة 2 س + 6 = 0 هي معادلة خطية ، و 2 س = 6 ، 4 + 25 ص = 6 + 24 ص ، 4 (س + 5) = 12 ، إلخ. هي معادلات خطية.

كيف تحل المعادلات الخطية؟

حان الوقت الآن لمعرفة كيفية حل المعادلات الخطية أ س + ب = 0. بمعنى آخر ، حان الوقت لمعرفة ما إذا كانت المعادلة الخطية لها جذور ، وإذا كان الأمر كذلك ، فكم عددها وكيفية العثور عليها.

يعتمد وجود جذور المعادلة الخطية على قيم المعاملين a و b. في هذه الحالة ، فإن المعادلة الخطية أ س + ب = 0 لها

• الجذر الوحيد عند ≠ 0 ،
• ليس له جذور لـ a = 0 و b ≠ 0 ،
• عدد لا نهائي من الجذور لـ a = 0 و b = 0 ، وفي هذه الحالة يكون أي رقم جذرًا لمعادلة خطية.

دعونا نشرح كيف تم الحصول على هذه النتائج.

نعلم أنه لحل المعادلات ، من الممكن الانتقال من المعادلة الأصلية إلى المعادلات المكافئة ، أي إلى المعادلات التي لها نفس الجذور أو ، مثل المعادلة الأصلية ، بدون جذور. للقيام بذلك ، يمكنك استخدام التحويلات المكافئة التالية:

• نقل المصطلح من جزء من المعادلة إلى آخر مع الإشارة المعاكسة ،
• وكذلك ضرب أو قسمة طرفي المعادلة على نفس الرقم غير الصفري.

إذن ، في معادلة خطية مع واحد نوع متغيرأ س + ب = 0 يمكننا نقل المصطلح ب من الجانب الأيسر إلى الجانب الأيمنمع الإشارة المعاكسة. في هذه الحالة ، ستأخذ المعادلة الصيغة a x = −b.

ثم قسمة كلا الجزأين من المعادلة على الرقم a توحي نفسها. لكن هناك شيء واحد: الرقم أ يمكن أن يساوي صفرًا ، وفي هذه الحالة يكون مثل هذا القسمة مستحيلًا. للتعامل مع هذه المشكلة ، سنفترض أولاً أن الرقم أ يختلف عن الصفر ، وننظر في حالة الصفر بشكل منفصل بعد ذلك بقليل.

لذلك ، عندما لا تساوي a صفرًا ، يمكننا قسمة جزأي المعادلة a x = −b على a ، وبعد ذلك يتم تحويلها إلى الصيغة x = (- b): a ، يمكن كتابة هذه النتيجة باستخدام خط صلب مثل.

وهكذا ، بالنسبة إلى أ 0 ، فإن المعادلة الخطية أ · س + ب = 0 تعادل المعادلة التي يظهر جذرها منها.

من السهل إظهار أن هذا الجذر فريد ، أي أن المعادلة الخطية ليس لها جذور أخرى. هذا يسمح لك بالقيام بالطريقة المعاكسة.

دعنا نشير إلى الجذر على أنه x 1. افترض أن هناك جذرًا آخر للمعادلة الخطية ، والذي نشير إليه x 2 و x 2 ≠ x 1 ، والذي يرجع إلى تعريفات أعداد متساويةمن خلال الاختلافيعادل الشرط x 1 - x 2 ≠ 0. بما أن x 1 و x 2 هما جذور المعادلة الخطية a x + b = 0 ، فإن المعادلات العددية a x 1 + b = 0 و a x 2 + b = 0 تحدث. يمكننا طرح الأجزاء المقابلة من هذه المساواة ، والتي تتيح لنا خصائص المساواة العددية القيام بها ، لدينا a x 1 + b− (a x 2 + b) = 0−0 ، حيث a (x 1 −x 2) + ( ب − ب) = 0 ثم أ (س 1 - س 2) = 0. وهذه المساواة مستحيلة ، لأن كلا من a 0 و x 1 - x 2 ≠ 0. لذلك توصلنا إلى تناقض ، مما يثبت تفرد جذر المعادلة الخطية أ · س + ب = 0 من أجل أ 0.

لذا فقد حللنا المعادلة الخطية أ س + ب = 0 مع أ 0. النتيجة الأولى المعطاة في بداية هذا القسم الفرعي لها ما يبررها. هناك نوعان آخران يفيان بالشرط أ = 0.

بالنسبة إلى أ = 0 ، فإن المعادلة الخطية أ · س + ب = 0 تصبح 0 · س + ب = 0. من هذه المعادلة وخاصية ضرب الأعداد في صفر ، يترتب على ذلك أنه بغض النظر عن العدد الذي نأخذه كـ x ، عندما نعوض به في المعادلة 0 x + b = 0 ، نحصل على المساواة العددية b = 0. تكون هذه المساواة صحيحة عندما تكون b = 0 ، وفي حالات أخرى عندما تكون b 0 هذه المساواة خاطئة.

لذلك ، بالنسبة إلى أ = 0 و ب = 0 ، فإن أي رقم هو جذر المعادلة الخطية أ س + ب = 0 ، لأنه في ظل هذه الظروف ، فإن استبدال أي رقم بدلاً من س يعطي المساواة العددية الصحيحة 0 = 0. وبالنسبة إلى أ = 0 و ب ≠ 0 ، فإن المعادلة الخطية أ س + ب = 0 ليس لها جذور ، لأنه في ظل هذه الظروف ، فإن استبدال أي رقم بدلاً من س يؤدي إلى مساواة عددية غير صحيحة ب = 0.

تجعل التبريرات المذكورة أعلاه من الممكن تشكيل سلسلة من الإجراءات التي تسمح بحل أي معادلة خطية. لذا، خوارزمية لحل معادلة خطيةهو:

• أولاً ، بكتابة معادلة خطية ، نجد قيم المعاملين أ وب.
• إذا كانت a = 0 و b = 0 ، فإن هذه المعادلة لها عدد لا نهائي من الجذور ، أي أن أي رقم هو جذر لهذه المعادلة الخطية.
• إذا كان a مختلفًا عن الصفر ، إذن
• يتم نقل المعامل b إلى الجانب الأيمن مع الإشارة المعاكسة ، بينما يتم تحويل المعادلة الخطية إلى الصيغة a x = −b ،
• بعد ذلك يتم تقسيم كلا الجزأين من المعادلة الناتجة على عدد غير صفري أ ، والذي يعطي الجذر المطلوب للمعادلة الخطية الأصلية.

الخوارزمية المكتوبة هي إجابة شاملة لمسألة كيفية حل المعادلات الخطية.

في ختام هذه الفقرة ، تجدر الإشارة إلى أنه يتم استخدام خوارزمية مماثلة لحل المعادلات بالصيغة أ س = ب. يكمن اختلافها في حقيقة أنه عندما يتم قسمة جزأين من المعادلة على هذا الرقم على الفور ، عندما يكون a 0 ، يكون هنا b بالفعل في الجزء المطلوب من المعادلة ولا يلزم نقله.

لحل المعادلات بالصيغة أ س = ب ، يتم استخدام الخوارزمية التالية:

• إذا كانت a = 0 و b = 0 ، فإن المعادلة لها عدد لا نهائي من الجذور ، وهي عبارة عن أي أرقام.
• إذا كانت a = 0 و b 0 ، فإن المعادلة الأصلية ليس لها جذور.
• إذا كانت a غير صفرية ، فسيتم قسمة طرفي المعادلة على عدد غير صفري a ، والذي من خلاله يتم إيجاد الجذر الوحيد للمعادلة الذي يساوي b / a.

أمثلة على حل المعادلات الخطية

دعنا ننتقل إلى الممارسة. دعونا نحلل كيفية تطبيق الخوارزمية لحل المعادلات الخطية. دعونا نقدم حلول من الأمثلة النموذجية المقابلة ل معان مختلفةمعاملات المعادلات الخطية.

مثال.

حل المعادلة الخطية 0 س − 0 = 0.

المحلول.

في هذه المعادلة الخطية ، أ = 0 و ب = −0 ، وهو نفس ب = 0. لذلك ، هذه المعادلة لها عدد لا نهائي من الجذور ، أي رقم هو جذر هذه المعادلة.

إجابه:

x هو أي رقم.

مثال.

هل للمعادلة الخطية 0 س + 2.7 = 0 حلول؟

المحلول.

في هذه القضيةالمعامل a يساوي صفرًا ، والمعامل b لهذه المعادلة الخطية يساوي 2.7 ، أي أنه يختلف عن الصفر. لذلك ، فإن المعادلة الخطية ليس لها جذور.