نظرية بايز هي نظرية احتمالية وقوع حدث. شرح بسيط لنظرية بايز

عند اشتقاق الصيغة الاحتمال الكاملكان من المفترض أن الحدث لكن، الذي كان من المحتمل تحديد احتمال حدوثه ، يمكن أن يحدث لأحد الأحداث ح 1 ، ن 2 , ... , ح ن، وتشكيل مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة الزوجية. في نفس الوقت ، الاحتمالات أحداث محددة(الفرضيات) كانت معروفة مسبقًا. لنفترض أنه قد تم إجراء تجربة ، ونتيجة لذلك الحدث لكنجاء. هذه معلومات إضافيةيسمح لك بإعادة تقييم احتمالات الفرضيات أهلاً ،بعد أن حسبت P (H i / A).

أو ، باستخدام صيغة الاحتمالية الإجمالية ، نحصل عليها

تسمى هذه الصيغة صيغة بايز أو نظرية الفرضية. تسمح لك صيغة بايز "بمراجعة" احتمالات الفرضيات بعد أن تصبح نتيجة معروفةالتجربة التي أدت إلى الحدث لكن.

الاحتمالات Р (Н ط)هي الاحتمالات المسبقة للفرضيات (تم حسابها قبل التجربة). الاحتمالات P (H i / A)هي الاحتمالات اللاحقة للفرضيات (يتم حسابها بعد التجربة). تسمح لك صيغة بايز بحساب الاحتمالات اللاحقة من احتمالاتها السابقة ومن الاحتمالات الشرطية للحدث لكن.

مثال. من المعروف أن 5٪ من جميع الرجال و 0.25٪ من جميع النساء مصابون بعمى الألوان. يعاني شخص تم اختياره عشوائيًا من خلال رقم البطاقة الطبية من عمى الألوان. ما هو احتمال أن يكون رجلاً؟

المحلول. حدث لكنالشخص مصاب بعمى الألوان. مساحة الأحداث الأولية للتجربة - يتم اختيار الشخص من خلال رقم البطاقة الطبية - Ω = ( ح 1 ، ن 2 ) يتكون من حدثين:

ح 1 - يتم اختيار الرجل ،

ح 2 - اختيار امرأة.

يمكن اختيار هذه الأحداث كفرضيات.

وفقًا لحالة المشكلة (الاختيار العشوائي) ، فإن احتمالات هذه الأحداث هي نفسها وتساوي ص (ح 1 ) = 0.5; ص (ح 2 ) = 0.5.

في هذه الحالة ، تكون الاحتمالات الشرطية التي يعاني منها الشخص من عمى الألوان متساوية ، على التوالي:

حرمان 1 ) = 0.05 = 1/20; حرمان 2 ) = 0.0025 = 1/400.

نظرًا لأنه من المعروف أن الشخص المختار مصاب بعمى الألوان ، أي حدث حدث ، فإننا نستخدم صيغة Bayes لإعادة تقييم الفرضية الأولى:

مثال.هناك ثلاثة مربعات متطابقة. الصندوق الأول يحتوي على 20 كرة بيضاء ، والصندوق الثاني يحتوي على 10 كرات بيضاء و 10 كرات سوداء ، والصندوق الثالث يحتوي على 20 كرة سوداء. يتم سحب كرة بيضاء من صندوق يتم اختياره عشوائيًا. احسب احتمال سحب الكرة من الصندوق الأول.

المحلول. للدلالة به لكنحدث - حدوث كرة بيضاء. يمكن عمل ثلاثة افتراضات (فرضيات) حول اختيار الصندوق: ح 1 ,ح 2 , ح 3 - اختيار المربعات الأول والثاني والثالث على التوالي.

نظرًا لأن اختيار أي من المربعات ممكن بشكل متساوٍ ، فإن احتمالات الفرضيات هي نفسها:

ص (ح 1 ) = ف (ح 2 ) = ف (ح 3 )= 1/3.

حسب حالة المشكلة ، احتمالية سحب كرة بيضاء من الصندوق الأول

احتمالية سحب كرة بيضاء من الصندوق الثاني

احتمال سحب كرة بيضاء من الصندوق الثالث

نجد الاحتمال المطلوب باستخدام صيغة Bayes:

تكرار الاختبارات. صيغة برنولي.

هناك تجارب n ، في كل منها قد يحدث أو لا يحدث A ، واحتمال الحدث A في كل تجربة فردية ثابت ، أي لا يتغير من تجربة إلى أخرى. نحن نعلم بالفعل كيفية إيجاد احتمال وقوع حدث "أ" في تجربة واحدة.

من الأمور ذات الأهمية الخاصة احتمال حدوث عدد معين من المرات (م مرات) للحدث A في تجارب n. يتم حل هذه المشكلات بسهولة إذا كانت الاختبارات مستقلة.

ديف.يتم استدعاء عدة اختبارات مستقل فيما يتعلق بالحدث أ إذا كان احتمال الحدث A في كل منها لا يعتمد على نتائج التجارب الأخرى.

احتمال P n (m) لوقوع الحدث A بالضبط م مرات (عدم حدوث ن م مرات، event) في هذه التجارب n. يظهر الحدث أ في مجموعة متنوعة من المتواليات م مرات).

- صيغة برنولي.

الصيغ التالية واضحة:

ف ن (م أقلمرات ك في عدد المحاولات n.

P n (m> k) = P n (k + 1) + P n (k + 2) +… + P n (n) - احتمال حدوث الحدث A أكثرمرات ك في عدد المحاولات n.

صيغة بايز

مبرهنة بايز- إحدى النظريات الرئيسية لنظرية الاحتمال الأولي ، التي تحدد احتمالية وقوع حدث في ظل ظروف لا يُعرف فيها إلا بعض المعلومات الجزئية عن الأحداث بناءً على الملاحظات. وفقًا لمعادلة بايز ، من الممكن إعادة حساب الاحتمال بشكل أكثر دقة ، مع مراعاة المعلومات والبيانات المعروفة سابقًا من الملاحظات الجديدة.

"المعنى المادي" والمصطلحات

تسمح لك صيغة بايز "بإعادة ترتيب السبب والنتيجة": وفقًا لـ حقيقة معروفةحدث لحساب احتمال أن يكون سببًا معينًا.

الأحداث التي تعكس عمل "الأسباب" في هذه القضيةيطلق عليه الفرضيات، لانهم مفترضالأحداث التي أدت إليه. يسمى الاحتمال غير المشروط لصحة الفرضية بداهة(ما مدى احتمالية السبب؟ عموما) ، وشرطية - مع مراعاة حقيقة الحدث - لاحقة(ما مدى احتمالية السبب؟ تبين أنها تأخذ بعين الاعتبار بيانات الحدث).

عاقبة

إحدى النتائج المهمة لصيغة بايز هي معادلة الاحتمال الكلي لحدث ما اعتمادًا على العديد منفرضيات غير متسقة ( وفقط منهم!).

- احتمال وقوع الحدث ب، اعتمادًا على عدد من الفرضيات أ أناإذا كانت درجات موثوقية هذه الفرضيات معروفة (على سبيل المثال ، تم قياسها تجريبياً) ؛

اشتقاق الصيغة

إذا كان الحدث يعتمد فقط على الأسباب أ أناثم إذا حدث ، فهذا يعني أن بعض الأسباب حدثت بالضرورة ، أي

بواسطة صيغة بايز

نقل ص(ب) إلى اليمين ، نحصل على التعبير المطلوب.

طريقة تصفية البريد العشوائي

تم تطبيق طريقة تعتمد على نظرية بايز بنجاح في تصفية البريد العشوائي.

وصف

عند تدريب عامل التصفية ، يتم حساب "وزنها" وتخزينه لكل كلمة يتم العثور عليها بالحروف - احتمالية أن يكون الحرف الذي يحتوي على هذه الكلمة بريدًا عشوائيًا (في أبسط الحالات ، عن طريق التعريف الكلاسيكيالاحتمالات: "الظهور في الرسائل الاقتحامية / تكرارات كل شيء").

عند التحقق من حرف وصل حديثًا ، يتم حساب احتمال كونه بريدًا عشوائيًا وفقًا للصيغة أعلاه لمجموعة من الفرضيات. في هذه الحالة ، تكون "الفرضيات" كلمات ، ولكل كلمة "موثوقية الفرضية" - النسبة المئوية لهذه الكلمة في الحرف ، و "اعتماد الحدث على الفرضية" ص(ب | أ أنا) - "وزن" الكلمة المحسوب مسبقًا. أي أن "وزن" الحرف في هذه الحالة ليس سوى متوسط ​​"وزن" كل كلماته.

يُصنف الحرف على أنه "بريد عشوائي" أو "غير بريد عشوائي" من خلال ما إذا كان "وزنه" يتجاوز حدًا معينًا يحدده المستخدم (عادةً ما يأخذ 60-80٪). بعد اتخاذ قرار بشأن الحرف ، يتم تحديث "أوزان" الكلمات الواردة فيه في قاعدة البيانات.

صفة مميزة

هذه الطريقة بسيطة (الخوارزميات أولية) ومريحة (تتيح لك الاستغناء عن "القوائم السوداء" والحيل الاصطناعية المماثلة) وفعالة (بعد التدريب بما يكفي عينة كبيرةتقطع ما يصل إلى 95-97٪ من الرسائل غير المرغوب فيها ، وفي حالة حدوث أي أخطاء يمكن إعادة تدريبها). بشكل عام ، هناك جميع المؤشرات لاستخدامها على نطاق واسع ، وهو ما يحدث عمليًا - فكل مرشحات البريد العشوائي الحديثة تقريبًا مبنية على أساسها.

ومع ذلك ، فإن لهذه الطريقة أيضًا عيبًا أساسيًا: إنها على أساس الافتراض، ماذا او ما تكون بعض الكلمات أكثر شيوعًا في الرسائل غير المرغوب فيها ، بينما تكون الكلمات الأخرى أكثر شيوعًا في رسائل البريد الإلكتروني العادية، وغير فعال إذا كان هذا الافتراض خاطئًا. ومع ذلك ، وكما تبين الممارسة ، حتى الشخص غير قادر على تحديد مثل هذه الرسائل غير المرغوب فيها "بالعين" - فقط بعد قراءة الرسالة وفهم معناها.

عيب آخر ، غير أساسي ، مرتبط بالتنفيذ - الطريقة تعمل فقط مع النص. بمعرفة هذا القيد ، بدأ مرسلو البريد العشوائي في وضع معلومات إعلانية في الصورة ، في حين أن النص الموجود في الرسالة إما غائب أو لا معنى له. في مقابل ذلك ، يتعين على المرء استخدام إما أدوات التعرف على النص (إجراء "مكلف" ، يتم استخدامه فقط عندما حالة طوارئ) ، أو طرق التصفية القديمة - "القوائم السوداء" والتعبيرات العادية (نظرًا لأن مثل هذه الأحرف غالبًا ما يكون لها شكل نمطي).

أنظر أيضا

ملحوظات

الروابط

المؤلفات

• بيرد كيوي. نظرية القس بايز. // مجلة Computerra ، 24 أغسطس 2001
• بول جراهام. خطة البريد العشوائي. // الموقع الشخصي لبول جراهام.

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

شاهد ما هي "صيغة Bayes" في القواميس الأخرى:

صيغة تشبه: حيث a1 ، A2 ، ... ، أحداث غير متوافقة ، المخطط العام لتطبيق F. in. g .: إذا كان الحدث B يمكن أن يحدث في decomp. الشروط التي بموجبها n الفرضيات A1 ​​، A2 ، ... ، يتم تكوين An مع الاحتمالات P (A1) ، ... المعروفة قبل التجربة ، ... ... الموسوعة الجيولوجية

يسمح لك بحساب احتمالية وقوع حدث مهم من خلال الاحتمالات الشرطية لهذا الحدث ، بافتراض فرضيات معينة ، وكذلك احتمالات هذه الفرضيات. صياغة فليكن مساحة الاحتمال، والمجموعة الكاملة في أزواج ...... ويكيبيديا

يسمح لك بحساب احتمالية وقوع حدث مهم من خلال الاحتمالات الشرطية لهذا الحدث ، بافتراض فرضيات معينة ، وكذلك احتمالات هذه الفرضيات. الصياغة يجب إعطاء مساحة احتمالية ، ومجموعة كاملة من الأحداث ، مثل ... ... ويكيبيديا

- (أو صيغة بايز) إحدى النظريات الرئيسية لنظرية الاحتمالات ، والتي تسمح لك بتحديد احتمالية وقوع حدث (فرضية) في وجود دليل (بيانات) غير مباشر فقط قد يكون غير دقيق ... ويكيبيديا

نظرية بايز هي واحدة من النظريات الرئيسية النظرية الابتدائيةالاحتمال ، الذي يحدد احتمال وقوع حدث في ظل ظروف لا يُعرف فيها إلا بعض المعلومات الجزئية عن الأحداث بناءً على الملاحظات. وفقًا لصيغة بايز ، يمكنك ... ... ويكيبيديا

بايز ، توماس توماس بايز القس توماس بايز تاريخ الميلاد: 1702 (1702) مكان الميلاد ... ويكيبيديا

توماس بايز القس توماس بايز تاريخ الميلاد: 1702 (1702) مكان الميلاد: لندن ... ويكيبيديا

الاستدلال البايزي هو إحدى طرق الاستدلال الإحصائي ، حيث تُستخدم معادلة بايز لتنقيح التقديرات الاحتمالية لحقيقة الفرضيات عند وصول الدليل. استخدام التحديث Bayesian مهم بشكل خاص في ... ... ويكيبيديا

هل ترغب في تحسين هذه المقالة؟: ابحث عن الحواشي وقدمها للمراجع إلى المصادر الموثوقة التي تؤكد ما تم كتابته. وضع الهوامش ، وتقديم إشارات أكثر دقة للمصادر. بيري ... ويكيبيديا

هل سيخون السجناء بعضهم البعض ، متبعين مصالحهم الأنانية ، أم سيبقون صامتين ، وبالتالي يقللون من شأنهم مصطلح عام؟ معضلة السجين (معضلة المهندس السجين ، فإن اسم "معضلة" أقل استخدامًا ... ويكيبيديا

كتب

• نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي في المسائل: أكثر من 360 مشكلة وتمرين ، بورزيخ د. يحتوي الدليل المقترح على مشاكل ذات مستويات مختلفة من التعقيد. ومع ذلك ، فإن التركيز هو على المهام صعوبة متوسطة. يتم القيام بذلك عن قصد لتشجيع الطلاب على ...

تم وصف نظرية بايز بالتفصيل في مقال منفصل. هذا عمل رائع ، لكنه يحتوي على 15000 كلمة. تم شرح جوهر النظرية بإيجاز في نفس ترجمة المقال بقلم خالد آزاد.

• نتائج البحث والاختبار ليست أحداثًا.هناك طريقة لتشخيص السرطان ، ولكن هناك الحدث نفسه - وجود المرض. تتحقق الخوارزمية مما إذا كانت الرسالة تحتوي على بريد عشوائي ، ولكن يجب اعتبار الحدث (البريد العشوائي وصل بالفعل إلى البريد) بشكل منفصل عن نتيجة عملها.
• هناك أخطاء في نتائج الاختبار.غالبًا ما تكشف طرق البحث لدينا ما هو غير (إيجابي كاذب) ولا تكشف ما هو (سلبي كاذب).
• بمساعدة التجارب ، نحصل على احتمالات نتيجة معينة.غالبًا ما ننظر إلى نتائج الاختبار بأنفسنا ولا نأخذ في الاعتبار أخطاء الطريقة.
• النتائج الإيجابية الكاذبة تشوه الصورة.افترض أنك تحاول الكشف عن ظاهرة نادرة جدًا (1 من 1،000،000). حتى لو كانت طريقتك دقيقة ، فمن المحتمل أن تكون نتيجتها الإيجابية في الواقع إيجابية خاطئة.
• من الأنسب العمل مع الأعداد الطبيعية.من الأفضل أن نقول: 100 من 10000 ، وليس 1٪. باستخدام هذا الأسلوب ، سيكون هناك عدد أقل من الأخطاء ، خاصة عند الضرب. لنفترض أننا بحاجة إلى مزيد من العمل على هذه النسبة البالغة 1٪. الاستدلال بالنسب المئوية غير دقيق: "في 80٪ من الحالات من 1٪ حصلوا على نتيجة إيجابية". يُنظر إلى المعلومات الأكثر سهولة على النحو التالي: "في 80 حالة من أصل 100 ، لوحظت نتيجة إيجابية".
• حتى في العلم ، فإن أي حقيقة هي مجرد نتيجة لتطبيق طريقة ما.من وجهة نظر فلسفية تجربة علميةهو مجرد اختبار مع وجود خطأ محتمل. هناك طريقة مادة كيميائيةأو بعض الظواهر ، وهناك الحدث نفسه - وجود هذه الظاهرة. يمكن أن تعطي طرق الاختبار لدينا نتيجة خاطئة ، وأي جهاز به خطأ متأصل.

تحول نظرية بايز نتائج الاختبار إلى احتمالات للأحداث.

• إذا عرفنا احتمالية وقوع حدث ما واحتمال وجود إيجابيات وسلبيات كاذبة ، فيمكننا تصحيح أخطاء القياس.
• تربط النظرية احتمال وقوع حدث مع احتمال نتيجة معينة. يمكننا ربط Pr (A | X): احتمالية حدث A بالنظر إلى النتيجة X ، و Pr (X | A): احتمال حدوث نتيجة X نظرًا لحدث A.

فهم الطريقة

تناقش المقالة المشار إليها في بداية هذا المقال طريقة التشخيص (تصوير الثدي الشعاعي) التي تكتشف سرطان الثدي. دعونا نفكر في هذه الطريقة بالتفصيل.

• 1٪ من جميع النساء مصابات بسرطان الثدي (وبالتالي 99٪ لا يمرضن)
• 80٪ من صور الثدي بالأشعة السينية تكتشف المرض عندما يكون بالفعل (وبالتالي 20٪ لا تكتشفه)
• 9.6٪ من الدراسات تكشف عن السرطان عندما لا يوجد أي سرطان (وبالتالي 90.4٪ أبلغوا عن نتيجة سلبية بشكل صحيح)

لنقم الآن بإنشاء جدول مثل هذا:

كيف تعمل مع هذه البيانات؟

• 1٪ من النساء يصبن بسرطان الثدي
• إذا كان المريض يعاني من مرض ، انظر في العمود الأول: هناك فرصة بنسبة 80٪ أن الطريقة أعطت النتيجة الصحيحة ، و 20٪ أن نتيجة الدراسة غير صحيحة (سلبية كاذبة)
• إذا لم يتم تشخيص إصابة المريض بالمرض ، انظر إلى العمود الثاني. مع احتمال 9.6٪ يمكننا القول أن النتيجة الإيجابية للدراسة غير صحيحة ، وباحتمال 90.4٪ يمكننا القول أن المريض يتمتع بصحة جيدة حقًا.

ما مدى دقة الطريقة؟

الآن دعونا نلقي نظرة على نتيجة الاختبار الإيجابية. ما هو احتمال أن يكون الشخص مريضًا حقًا: 80٪ ، 90٪ ، 1٪؟

لنفكر:

• هناك نتيجة إيجابية. سنقوم بتحليل جميع النتائج المحتملة: يمكن أن تكون النتيجة التي تم الحصول عليها إيجابية صحيحة وإيجابية كاذبة.
• احتمال الحصول على نتيجة إيجابية حقيقية يساوي: احتمالية الإصابة بالمرض مضروبة في احتمال أن يكون الاختبار قد اكتشف المرض بالفعل. 1٪ * 80٪ = .008
• احتمال وجود نتيجة إيجابية خاطئة يساوي: احتمال عدم وجود المرض ، مضروباً في احتمال أن الطريقة اكتشفت المرض بشكل غير صحيح. 99٪ * 9.6٪ = .09504

الآن يبدو الجدول كما يلي:

ما هو احتمال أن يكون الشخص مريضًا حقًا إذا تم الحصول على نتيجة إيجابية للتصوير الشعاعي للثدي؟ احتمال وقوع حدث هو نسبة عدد النتائج المحتملة لحدث ما المجموعكل النتائج الممكنة.

احتمالية الحدث = نتائج الحدث / جميع النتائج المحتملة

احتمال الحصول على نتيجة موجبة حقيقية هو .008. احتمال النتيجة الإيجابية هو احتمال نتيجة إيجابية حقيقية + احتمال نتيجة إيجابية كاذبة.

(.008 + 0.09504 = .10304)

لذلك فإن احتمالية المرض بنتيجة الدراسة الإيجابية تحسب كالتالي: .008 / .10304 = 0.0776. هذه القيمة حوالي 7.8٪.

أي أن النتيجة الإيجابية للتصوير الشعاعي للثدي تعني فقط أن احتمال الإصابة بمرض هو 7.8٪ ، وليس 80٪ (القيمة الأخيرة هي فقط الدقة المقدرة للطريقة). تبدو هذه النتيجة غير مفهومة وغريبة في البداية ، لكن عليك أن تأخذ في الاعتبار: تعطي الطريقة نتيجة إيجابية خاطئة في 9.6٪ من الحالات (وهو عدد كبير جدًا) ، لذلك سيكون هناك العديد من النتائج الإيجابية الخاطئة في العينة. بالنسبة لمرض نادر ، ستكون معظم النتائج الإيجابية إيجابية كاذبة.

دعونا ندير أعيننا على الطاولة ونحاول فهم معنى النظرية بشكل حدسي. إذا كان لدينا 100 شخص ، فإن واحد منهم فقط مصاب بالمرض (1٪). في هذا الشخص ، مع احتمال 80٪ ، ستعطي الطريقة نتيجة إيجابية. من الـ 99٪ المتبقية ، 10٪ سيكون لها نتائج إيجابية ، مما يعطينا ، تقريبًا ، 10 من 100 إيجابيات خاطئة.إذا أخذنا في الاعتبار جميع النتائج الإيجابية ، فسيكون واحدًا فقط من أصل 11 صحيحًا. وبالتالي ، إذا تم الحصول على نتيجة إيجابية ، فإن احتمال الإصابة بالمرض هو 1/11.

أعلاه ، حسبنا أن هذا الاحتمال يساوي 7.8٪ ، أي الرقم في الواقع أقرب إلى 1/13 ، ولكن هنا ، مع التفكير البسيط ، تمكنا من إيجاد تقدير تقريبي بدون آلة حاسبة.

مبرهنة بايز

الآن دعنا نصف مسار أفكارنا بصيغة تسمى نظرية بايز. تسمح لك هذه النظرية بتصحيح نتائج الدراسة وفقًا للتشويه الذي تقدمه النتائج الإيجابية الخاطئة:

• Pr (A | X) = احتمالية المرض (A) بنتيجة إيجابية (X). هذا هو بالضبط ما نريد معرفته: ما هو احتمال وقوع حدث في حالة حدوث نتيجة إيجابية. في مثالنا ، تساوي 7.8٪.
• Pr (X | A) = احتمال نتيجة إيجابية (X) في حالة مرض المريض حقًا (A). في حالتنا ، هذه هي قيمة الموجب الحقيقي - 80٪
• Pr (A) = احتمال الإصابة بالمرض (1٪)
• Pr (ليس A) = احتمالية عدم الإصابة بالمرض (99٪)
• Pr (X | not A) = احتمال نتيجة إيجابية للدراسة إذا لم يكن هناك مرض. هذه هي قيمة الإيجابيات الكاذبة - 9.6٪.

يمكننا أن نستنتج أنه للحصول على احتمالية وقوع حدث ما ، عليك قسمة احتمالية وجود نتيجة إيجابية حقيقية على احتمالية جميع النتائج الإيجابية. الآن يمكننا تبسيط المعادلة:
Pr (X) هو ثابت التطبيع. لقد خدمتنا جيدًا: بدونها ، ستمنحنا نتيجة الاختبار الإيجابية فرصة بنسبة 80 ٪ للحدث.
Pr (X) هو احتمال أي نتيجة إيجابية ، سواء كانت إيجابية حقيقية في دراسة المريض (1٪) أو إيجابية كاذبة في دراسة الأشخاص الأصحاء (99%).

في مثالنا ، Pr (X) صحيح تمامًا رقم ضخملأن هناك احتمال كبير لنتائج إيجابية خاطئة.

تنتج Pr (X) نتيجة 7.8٪ ، والتي تبدو للوهلة الأولى غير منطقية.

معنى النظرية

نحن نختبر لمعرفة الحالة الحقيقية للأشياء. إذا كانت اختباراتنا مثالية ودقيقة ، فستتطابق احتمالات التجارب واحتمالات الأحداث. ستكون جميع النتائج الإيجابية إيجابية حقًا ، وستكون النتائج السلبية سلبية. لكننا نعيش في العالم الحقيقي. وفي عالمنا ، تعطي الاختبارات نتائج خاطئة. تأخذ نظرية بايز في الاعتبار النتائج المنحرفة ، وتصحح الأخطاء ، وتعيد الإنشاء عامه السكانويجد احتمال الحصول على نتيجة إيجابية حقيقية.

فلتر البريد المزعج

تم تطبيق نظرية بايز بنجاح في مرشحات البريد العشوائي.

نملك:

• الحدث أ - في بريد إلكتروني عشوائي
• نتيجة الاختبار هي محتوى كلمات معينة في الحرف:

يأخذ المرشح نتائج الاختبار (محتوى كلمات معينة في البريد الإلكتروني) في الاعتبار ويتوقع ما إذا كان البريد الإلكتروني يحتوي على بريد عشوائي. يدرك الجميع ، على سبيل المثال ، أن كلمة "فياجرا" أكثر شيوعًا في الرسائل غير المرغوب فيها منها في رسائل البريد الإلكتروني العادية.

إن عامل تصفية البريد العشوائي المستند إلى القائمة السوداء له عيب يتمثل في إنتاج نتائج إيجابية خاطئة في كثير من الأحيان.

يأخذ عامل تصفية البريد العشوائي Bayesian أسلوبًا محسوبًا ومعقولًا: فهو يعمل مع الاحتمالات. عندما نقوم بتحليل الكلمات في رسالة بريد إلكتروني ، يمكننا حساب احتمال أن يكون البريد الإلكتروني بريدًا عشوائيًا بدلاً من اتخاذ قرارات بنعم / لا. إذا كان هناك احتمال بنسبة 99٪ أن البريد الإلكتروني يحتوي على بريد عشوائي ، فإن البريد الإلكتروني هو بالفعل بريد عشوائي.

بمرور الوقت ، يتدرب المرشح على عينة أكبر من أي وقت مضى ويقوم بتحديث الاحتمالات. على سبيل المثال ، تقوم عوامل التصفية المتقدمة القائمة على نظرية بايز بفحص العديد من الكلمات المتتالية واستخدامها كبيانات.

مصادر إضافية:

العلامات: أضف علامات

تكنولوجيا المعلومات وعلوم الكمبيوتر والإدارة

حول قابلية تطبيق معادلة بايز

DOI 10.12737 / 16076

إيه. دولغوف **

1Joint-Stock Company "Design Bureau for Radio Monitoring of Control and Navigation and Communication Systems"، Rostov-on-Don، الاتحاد الروسي

حول قابلية تطبيق صيغة Bayes *** A. I. Dolgov1 **

1 "مكتب التصميم المعني برصد نظم التحكم والملاحة والاتصالات" JSC ، روستوف أون دون ، الاتحاد الروسي

موضوعات هذه الدراسةهي صيغة بايز. الغرض من هذا العمل هو تحليل وتوسيع نطاق الصيغة. المهمة الأساسية هي دراسة المنشورات المخصصة لهذه المشكلة ، والتي جعلت من الممكن تحديد أوجه القصور في تطبيق معادلة بايز ، مما أدى إلى نتائج غير صحيحة. المهمة التالية هي إنشاء تعديلات على معادلة بايز تأخذ في الاعتبار العديد من الأدلة الفردية والحصول على النتائج الصحيحة. وأخيرًا ، في مثال البيانات الأولية المحددة ، تتم مقارنة النتائج غير الصحيحة التي تم الحصول عليها باستخدام معادلة Bayes والنتائج الصحيحة المحسوبة باستخدام التعديلات المقترحة. تم استخدام طريقتين في الدراسة. أولاً ، تحليل مبادئ البناء عبارات مشهورةتستخدم لكتابة معادلة بايز وتعديلاتها. ثانياً ، تم إجراء تقييم مقارن للنتائج (بما في ذلك التقييم الكمي). توفر التعديلات المقترحة تطبيقًا أوسع لمعادلة بايز نظريًا وعمليًا ، بما في ذلك عند الحل المهام التطبيقية.

الكلمات الدالةالكلمات الأساسية: الاحتمالات الشرطية ، الفرضيات غير المتوافقة ، الأدلة المتوافقة وغير المتوافقة ، التطبيع.

معادلة بايز هي موضوع البحث. وهدف العمل هو تحليل تطبيق الصيغة وتوسيع نطاق قابليتها للتطبيق. تتضمن مشكلة الأولوية الأولى تحديد عيوب صيغة بايز بناءً على دراسة المنشورات ذات الصلة التي تؤدي إلى النتائج. تتمثل المهمة التالية في إنشاء تعديلات صيغة Bayes لتوفير محاسبة للمؤشرات الفردية المختلفة للحصول على النتائج الصحيحة. وأخيرًا ، تتم مقارنة النتائج غير الصحيحة التي تم الحصول عليها باستخدام صيغة Bayes بالنتائج الصحيحة المحسوبة باستخدام تعديلات الصيغة المقترحة بمثال البيانات الأولية المحددة. يتم استخدام طريقتين في الدراسات. أولاً ، تم إجراء تحليل مبادئ تكوين التعبيرات المعروفة المستخدمة لتسجيل صيغة بايز وتعديلاتها. ثانيًا ، يتم إجراء تقييم مقارن للنتائج (بما في ذلك التقييم الكمي). توفر التعديلات المقترحة تطبيقا أوسع لمعادلة بايز من الناحيتين النظرية والتطبيقية بما في ذلك حل المشكلات المطبقة.

الكلمات المفتاحية: الاحتمالات الشرطية ، الفرضيات غير المتسقة ، المؤشرات المتوافقة وغير المتوافقة ، التطبيع.

مقدمة. يتم استخدام معادلة بايز بشكل متزايد في النظرية والتطبيق ، بما في ذلك في حل المشكلات التطبيقية بمساعدة تكنولوجيا الكمبيوتر. يتيح استخدام الإجراءات الحسابية المستقلة بشكل متبادل إمكانية التطبيق هذه الصيغةعند حل المشكلات في أنظمة الحوسبة متعددة المعالجات ، لأنه في هذه الحالة يتم تنفيذ التنفيذ المتوازي على المستوى المخطط العام، وعند إضافة الخوارزمية التالية أو فئة المهام التالية ، ليست هناك حاجة لإعادة أداء العمل على التوازي.

موضوع هذه الدراسة هو قابلية تطبيق معادلة بايز للتقييم المقارن للأثر اللاحق الاحتمالات الشرطيةفرضيات غير متسقة مع دليل واحد مختلف. كما يوضح التحليل ، في مثل هذه الحالات ، الاحتمالات المقيسة للأحداث المشتركة غير المتوافقة التي تنتمي إلى

S X<и ч и

هو eö و IS X X<и H

"تم تنفيذ العمل كجزء من مشروع بحثي مبادرة.

** البريد الإلكتروني: [بريد إلكتروني محمي]

"" يتم إجراء البحث في إطار البحث والتطوير المستقل.

لمجموعات كاملة مختلفة من الأحداث. في الوقت نفسه ، تبين أن النتائج المقارنة غير كافية للبيانات الإحصائية الحقيقية. هذا يرجع إلى العوامل التالية:

يتم استخدام التطبيع غير الصحيح ؛

لا يؤخذ في الاعتبار وجود أو عدم وجود التقاطعات للأدلة المدروسة.

من أجل القضاء على أوجه القصور التي تم تحديدها ، تم تحديد حالات قابلية تطبيق معادلة بايز. إذا كانت الصيغة المحددة غير قابلة للتطبيق ، يتم حل مشكلة إنشاء تعديلها ، مما يضمن أخذ العديد من الأدلة الفردية في الاعتبار مع الحصول على النتائج الصحيحة. فيما يتعلق بمثال البيانات الأولية المحددة ، تم إجراء تقييم مقارن للنتائج:

غير صحيح - تم الحصول عليه باستخدام صيغة Bayes ؛

صحيح - محسوب باستخدام التعديل المقترح.

مناصب البداية. تستند العبارات التالية إلى مبدأ الحفاظ على نسب الاحتمالات: "المعالجة الصحيحة لاحتمالات الأحداث ممكنة فقط عند التسوية باستخدام مقسوم تطبيع مشترك واحد يضمن المساواة بين نسب الاحتمالات المقيسة إلى نسب المقياس المقابل" الاحتمالات ". يمثل هذا المبدأ الأساس الذاتي لنظرية الاحتمالات ، لكنه لا ينعكس بشكل صحيح في الأدبيات التربوية والعلمية والتقنية الحديثة.

في حالة انتهاك هذا المبدأ ، يتم تشويه المعلومات حول درجة احتمال وقوع الأحداث قيد النظر. النتائج التي تم الحصول عليها على أساس المعلومات المشوهة والقرارات المتخذة تبين أنها غير كافية للبيانات الإحصائية الحقيقية.

سيتم استخدام المفاهيم التالية في هذه المقالة:

الحدث الأولي هو حدث غير قابل للقسمة إلى عناصر ؛

حدث مشترك - حدث يمثل مجموعة أو أخرى من الأحداث الأولية ؛

الأحداث المتوافقة - الأحداث التي في بعض حالات التقييم المقارن لاحتمالاتها قد تكون غير متوافقة ، وفي حالات أخرى مشتركة ؛

الأحداث غير المتوافقة هي الأحداث التي لا تتوافق في جميع الحالات.

وفقًا لنظرية الضرب الاحتمالية ، فإن الاحتمال P (U ^ E) لمنتج الأحداث الأولية U ^ و

يتم حساب E على أنه حاصل ضرب الاحتمالات P (المملكة المتحدة E) = P (E) P (U ^ E). في هذا الصدد ، غالبًا ما تكون صيغة بايز

مكتوب بالصيغة Р (Ик \ Е) = - - - ، واصفاً تعريف الاحتمالات الشرطية اللاحقة

فرضيات P (U ^ E) المملكة المتحدة (ك = 1 ، ... ن) بناءً على تطبيع الاحتمالات المسبقة P (U ^ E) للمجموعة المدروسة أحداث غير متوافقةويمثل كل من هذه الأحداث منتجًا ، تعتبر عوامله إحدى الفرضيات المدروسة وأحد الأدلة المدروسة. في الوقت نفسه ، يتم النظر في كل شيء

أحداث uIKE (k = 1، ... n) تشكل مجموعة كاملة من uIKE الأحداث المجمعة غير المتوافقة ، بسبب

التي يجب أن يتم بها تطبيع احتمالاتها P (Ik E) مع مراعاة صيغة الاحتمال الكلي ، وفقًا لذلك

سرب P (E) = 2 P (المملكة المتحدة) P (E \ UK). لذلك ، غالبًا ما تتم كتابة صيغة Bayes بالشكل الأكثر استخدامًا:

P (Uik) P (EIK)

P (المملكة المتحدة \ E) \ u003d -. (واحد)

^ كاتيون من صيغة بايز.

- تحليل سمات بناء معادلة بايز التي تهدف إلى حل المشكلات التطبيقية بالإضافة إلى الأمثلة

"وتطبيقاتها العملية تسمح لنا باستخلاص استنتاج هام فيما يتعلق باختيار مجموعة كاملة من الأحداث المجمعة مقارنة بدرجة الاحتمال (كل منها هو نتاج حدثين أوليين - أحد الفرضيات والأدلة المأخوذة داخل الحساب). يتم اتخاذ مثل هذا الاختيار بشكل شخصي من قبل صانع القرار ، على أساس البيانات الأولية الموضوعية المتأصلة في الظروف النموذجية للموقف: أنواع وعدد الفرضيات التي تم تقييمها والأدلة التي تم أخذها في الاعتبار على وجه التحديد.

احتمالات غير قابلة للمقارنة لفرضيات بدليل واحد غير متسق. تُستخدم معادلة بايز تقليديًا في حالة تحديد الاحتمالات الشرطية اللاحقة التي لا يمكن مقارنتها من حيث درجة الاحتمال.

احتمال الفرضيات H ^ مع دليل واحد غير متوافق ، يمكن أن يظهر كل منها

فقط بالاشتراك مع أي من هذه الفرضيات. في هذه الحالة ، يتم تحديد المجموعات الكاملة و HkE معًا

أحداث الحمام في شكل منتجات ، عواملها هي أحد الأدلة على ج. (1 = 1 ، ... ، م) وواحد

من الفرضيات قيد النظر.

تُستخدم معادلة بايز لمقارنة احتمالات الأحداث المجمعة لكل مجموعة كاملة ، والتي تختلف عن المجموعات الكاملة الأخرى ، ليس فقط في الأدلة المأخوذة في الاعتبار e ، ولكن أيضًا في الحالة العامةأنواع الفرضيات H ^ و (أو) عددهم ن (انظر ، على سبيل المثال ،)

RNky = P (Hk) P (eH)

٪ P (Hk) P (Er \ Hk) k = 1

في حالة خاصة لـ n = 2

RNk \ E، ~ P (Hk) P (EN)

٪ P (Hk) P (E، \ H k) k = 1

والنتائج التي تم الحصول عليها صحيحة ، بسبب مراعاة مبدأ الحفاظ على نسب الاحتمال:

الفوسفور (H1E،) _ P (H 1) P (E، \ H1) / P (H2) P (E، \ H2) = P (H 1) P (E، \ H1)

ف (H 2 =٪ PW1!)

ذاتية اختيار مجموعة كاملة من الأحداث مجتمعة مقارنة من حيث درجة الاحتمال (مع

بعض الأحداث الابتدائية المتغيرة) يسمح لك بتحديد مجموعة كاملة من الأحداث و Hk E ■ s

من خلال نفي الحدث الأولي E ■ () وكتابة معادلة Bayes (1 = 1، ...، m) على النحو التالي:

P (Hk \ E) - = - RNSh ±.

٪ P (Hk) P (E، Hk)

هذه الصيغة قابلة للتطبيق أيضًا وتجعل من الممكن الحصول على النتائج الصحيحة إذا تم حسابها

تتم مقارنة الاحتمالات المقيسة في ظل الفرضيات المختلفة التي تم النظر فيها ، ولكن ليس في إطار مختلف

سلطات. ¡^

الاحتمالات المقارنة للفرضيات تحت دليل واحد غير متسق. اذا حكمنا من خلال publica- ^ المعروفة

يستخدم لإجراء تقييم مقارن لاحتمالات شرطية لاحقة للفرضيات لمختلف الأدلة الفردية.

سلطات. في الوقت نفسه ، لا يتم الانتباه إلى الحقيقة التالية. في هذه الحالات ، تتم مقارنة ^ احتمالات الأحداث المجمعة غير المتوافقة (غير المتوافقة) التي تنتمي إلى مجموعات كاملة مختلفة n من الأحداث. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، لا تنطبق معادلة بايز ، حيث تتم مقارنة الأحداث المجمعة التي لم يتم تضمينها في مجموعة كاملة واحدة ، ويتم تطبيع الاحتمالات باستخدام قواسم تطبيع مختلفة. لا يمكن مقارنة الاحتمالات المقيسة للأحداث المجمعة غير المتوافقة (غير المتوافقة) إلا إذا كانت تنتمي إلى نفس المجموعة الكاملة من الأحداث وتم تطبيعها بواسطة ¡3 باستخدام القاسم المشترك, يساوي المجموعاحتمالات جميع الأحداث المقيسة المدرجة في كامل §

بشكل عام ، يمكن اعتبار ما يلي دليلًا غير متوافق:

دليلان (على سبيل المثال ، الأدلة وإنكارها) ؛ ^

ثلاثة أدلة (على سبيل المثال ، في حالة اللعب ، اربح ، خسر وتعادل) ؛ ^

أربع شهادات (خاصة في الرياضة ، الفوز ، الخسارة ، الرسم والإعادة) ، إلخ. ^

ضع في اعتبارك مثالًا بسيطًا إلى حد ما (يتوافق مع المثال الوارد في) لتطبيق صيغة Bayes ^ لتحديد الاحتمالات الشرطية اللاحقة للفرضية H ^ لحدثين غير متوافقين في

في شكل دليل L] - وإنكارها L]

الفوسفور (ح ، ك) - ^. ^ P (A ^ k "، (2)

] E P (Hk> P (A] \ vk> k - 1

■ _ P (HkA]) P (Hk> P (A] \ nk>

P (H، \ A،) ---- k -] -. (3)

ف ك \ أ]> ف (أ> ن

] E P (Hk) P (A] \ Hk) k -1

في الحالتين (2) و (3) ، يتم اختيار المجموعات الكاملة ذاتيًا مقارنةً من حيث درجة إمكانية حدوث

الأحداث binned هي ، على التوالي ، المجموعات و H إلى A و H إلى A. وهذا هو الحال عندما تكون الصيغة

ك -1 ك] ك -1 ك]

بايز غير قابل للتطبيق ، نظرًا لانتهاك مبدأ الحفاظ على نسب الاحتمالات - لم تتم ملاحظة المساواة بين نسب الاحتمالات الطبيعية إلى نسب الاحتمالات المقيسة المقابلة:

P (H إلى A]] P (Hk) P (A] \ Hk) / P (Hk) P (A] \ Hk) P (Hk) P (A] Hk)

الفوسفور (Hk E P (Hk) P (A] \ Hk) / E P (Hk) P (A] \ Hk) P (Hk) P (A] Hk)

ك - 1 / ك - 1 وفقًا لمبدأ حفظ نسب الاحتمال ، فإن المعالجة الصحيحة لاحتمالات الحدث تكون مجدية فقط عند التسوية باستخدام مقسوم تطبيع مشترك واحد يساوي مجموع كل التعبيرات المقيسة المقارنة. لهذا

E P (Hk) P (A] \ Hk) + E P (Hk) P (A] \ Hk) - E P (Hk) [P (A] \ Hk) + P (Hk) P (A] \ Hk)] - EP (Hk) - 1. إلى -1 إلى -1 إلى -1 إلى -1

وهكذا ، تم الكشف عن الحقيقة أن هناك أنواعًا مختلفة من صيغة بايز

معروف بعدم وجود قاسم تطبيع:

A،) - P (H) P (A] \ Hk)، P (Hk A،) - P (H) P (A، Hk). (أربعة)

J إلى I ■> إلى

في هذه الحالة ، تتم ملاحظة المساواة بين نسب الاحتمالات المقيسة إلى نسب الاحتمالات المقيسة المقابلة:

م ^ A ^ P (Hk) P (A] \ Hk)

أ ،) ف (ح ك) ف (أ ، هك)

استنادًا إلى الاختيار الشخصي لمجموعات كاملة غير مسجلة تقليديًا من الأحداث المجمعة غير المتوافقة ، من الممكن زيادة عدد التعديلات على معادلة بايز التي تتضمن أدلة ، بالإضافة إلى رقم واحد أو آخر من إنكارها. على سبيل المثال ، أكثر مجموعة كاملة من الأحداث المدمجة

تتوافق u و Hk /"./ ^ u و Hk E \ (مع مراعاة عدم وجود مقسوم تطبيع) مع صيغة التعديل ؛ = 1 A "= 1 ؛ \ u003d 1 بايزي

P (Hk \ ~) - P (Hk) ПЁ ^ ^ ^

حيث يكون الحدث الأولي في شكل دليل E \ e II II / "/ أحد عناصر المجموعة المشار إليها

o في حالة عدم وجود إنكار للأدلة ، أي عندما E \ u003d // e و /"./ ،

^ P (H \ E) P (Hk) P (E ، \ Hk)

E P (Hk) P (E \ Hk) ك - 1

وبالتالي ، فإن تعديل معادلة بايز ، الذي يهدف إلى تحديد الاحتمالات الشرطية للفرضيات مقارنة بدرجة احتمال وجود دليل واحد غير متوافق ، هو على النحو التالي. يحتوي البسط على الاحتمال المعياري لواحد من الأحداث غير المتوافقة المجمعة التي تشكل مجموعة كاملة ، معبرًا عنها كناتج احتمالات مسبقة ، ويحتوي المقام على مجموع الكل

احتمالات طبيعية. في الوقت نفسه ، يتم مراعاة مبدأ الحفاظ على نسب الاحتمالات - والنتيجة التي تم الحصول عليها صحيحة.

احتمالات الفرضيات تحت دليل واحد متوافق. تُستخدم الصيغ البايزية تقليديًا لتحديد الاحتمالات الشرطية الخلفية للفرضيات Hk (k = 1، ...، n) مقارنة من حيث درجة الاحتمال لأحد الأدلة المتوافقة العديدة EL (1 = 1 ، ... ، م). على وجه الخصوص (انظر

على سبيل المثال ، و) ، عند تحديد الاحتمالات الشرطية اللاحقة Р (1Е ^) و Р (Н 1 2) لكل من الأدلة المتوافقة Е1 و 2 ، يتم استخدام صيغ النموذج:

P (H 1) PE \ H1) P (Hj) P (E2Hj) P (H J E1) = --1-and P (H J E 2) = - 1-. (5)

I P (Hk) PE \ Hk) I P (Hk) P (E2 Hk)

ك = 1 ك = 1 لاحظ أن هذه حالة أخرى حيث لا تنطبق معادلة بايز. علاوة على ذلك ، في هذه الحالة ، يجب القضاء على عيبين:

التطبيع الموضح لاحتمالات الأحداث المجمعة غير صحيح ، بسبب الانتماء إلى مجموعات كاملة مختلفة من الأحداث قيد الدراسة ؛

السجلات الرمزية للأحداث المجمعة HkEx و HkE2 لا تعكس حقيقة أن الأدلة المدروسة E x و E 2 متوافقة.

للتخلص من العيب الأخير ، يمكن استخدام سجل أكثر تفصيلاً للأحداث المجمعة ، مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن الأدلة المتوافقة E1 و E2 في بعض الحالات قد تكون غير متوافقة ، وفي حالات أخرى مشتركة:

HkE1 = HkE1 E2 و HkE2 = HkE 1E2 + HkE1 E2 ، حيث E1 و E 2 هما دليلان معاكسان لـ E1 و E 2.

من الواضح أنه في مثل هذه الحالات يتم أخذ ناتج الأحداث Hk E1E2 في الاعتبار مرتين. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن أخذه في الاعتبار مرة أخرى بشكل منفصل ، لكن هذا لا يحدث. الحقيقة هي أنه في الحالة قيد النظر ، يتأثر الوضع المقيَّم بثلاثة أحداث مجتمعة غير متوافقة محتملة: HkE1E2 و HkE 1E2 و

هونج كونج E1E2. في الوقت نفسه ، بالنسبة لصانع القرار ، من المهم تقييم درجة الاحتمال فقط

حدثان مجتمعان غير متوافقين: HkE1 E2 و HkE 1E2 ، والذي يتوافق مع اعتبار g فقط

دليل واحد. ¡ج

وبالتالي ، عند إنشاء تعديل لصيغة بايز لتحديد القيم الشرطية اللاحقة ،

يجب أن يستند احتمال الفرضيات مع دليل واحد متوافق على ما يلي. يقبل الشخص ^

القرار ، نحن مهتمون بالضبط بأي حدث أولي ، يمثله دليل أو آخر من

الرقم الذي تم اعتباره حدث بالفعل في ظروف محددة. إذا وقع حدث ابتدائي آخر في K.

في شكل شهادة واحدة ، يلزم إعادة النظر في القرار ، بسبب نتائج التقييم المقارن لـ n

الاحتمالات الشرطية اللاحقة للفرضيات مع مراعاة لا غنى عنها للشروط الأخرى التي تؤثر على العام الحقيقي

ضبط. 3

دعنا نقدم الترميز التالي: HkE- لواحد (وواحد فقط) غير متوافق مع co- ^

الوجود ، والذي يتكون من حقيقة أنه من بين m> 1 تم اعتبار الأحداث الأولية Ei (i = 1 ، ... ، m) جنبًا إلى جنب مع الفرضية "

Hk حدث ابتدائي واحد Ex وقع ولم يحدث أي حدث آخر الأحداث الابتدائية. حد ذاته "

على الأكثر حالة بسيطةيتم النظر في اثنين من الأدلة غير المتوافقة. إذا تم التأكيد

في انتظار واحد منهم ، والاحتمال الشرطي للأدلة في نظرة عامةمعبر عنها بالصيغة ل

الفوسفور (Hk E-) = P (Ei \ Hk) -P (EjE ^ Hk) = P (Ei \ Hk) -P (M ^ Hk) P (M ^ Hk) ، i = 1 ، -2 (6) ز

يمكن رؤية صلاحية الصيغة بوضوح (الشكل 1).

أرز. 1. التفسير الهندسي لحساب P (Hk E-) لـ / = 1 ، ... ، 2 مع دليل مستقل مشروط

الفوسفور (K1K2 \ Hk) = p (E \ Hk) P (E2 \ Hk) ،

لذلك ، مع الأخذ بعين الاعتبار (6)

P (Hk E-) = PE Hk) - P (E1 Hk) P (E21Hk) ، = 1 ،. ، 2. (7)

وبالمثل ، يتم التعبير عن الاحتمال P (HkE-) لأحد الأحداث الثلاثة (/ = 1، ...، 3) غير المتوافقة HkE ^ بواسطة الصيغة

على سبيل المثال ، بالنسبة إلى i = 1:

ع (HkEl) = P (Ei \ Hk) - [S P (Ei \ Hk) P (Ej \ Hk)] + P (EiE2E3Hk)

p (HkE-) = P (E7 | Hk) - P (E] E ^ Hk) - P (E7EjHk) + P (E] E2E3 \ Hk)

يتم تأكيد صحة هذه الصيغة بوضوح من خلال التفسير الهندسي المقدم في الشكل.

أرز. 2. التفسير الهندسي لحساب P (Hk E-) لـ / = 1 ، ... ، 3

طريقة الاستنتاج الرياضييمكن إثباتها الصيغة العامةمن أجل الاحتمال Р (Нк Е-) لأي عدد من الأدلة هـ ، 0 = 1 ، ... ، م):

P (HkE-) = P (E، Hk) - m PE \ Hk) P (E] \ Hk) + 1 P (E \ Hk) P (E] \ Hk) P (E ^ Hk) + ■ ■ ■ ■ + (-1)

] = 1(] * 0 ],1 * 1

باستخدام نظرية الضرب الاحتمالية ، نكتب الاحتمال الشرطي Р (НкЕ ~ -) في شكلين:

^ الذي يتبع ذلك

P (Hk E -) = P (Hk) P (E- | Hk) = P (E-) P (Hk

E -) = P (HkE-) "" P (E-)

باستخدام صيغة الاحتمال الكلي P (Ei) = S P (H £) P (Ei Hk) اتضح أن

E-) \ u003d P (HkET)

2 ف (HkE-) ك = 1

بالتعويض في الصيغة الناتجة عن تعبيرات Р (НкЕ-) في شكل الجانب الأيمن من (8) ، نحصل على الصيغة النهائية للصيغة لتحديد الاحتمالات الشرطية اللاحقة للفرضيات H ^ (k = 1 ، ... ، ن) لأحد الأدلة المتعددة التي تعتبر غير متوافقة: (E ^ \ Hk)

P (Hk) [P (E، \ Hk) - 2 P (E، \ Hk) P (Ep k) + ... + (-1) m-1 P (P P (Erk)] P (H، E ~) = -] = 1 (] * ■ ---- (9)

ك 1 ص ر ر ر

2 P (Hk) 2 [P (E، \ Hk) - 2 P (EgHk) P (E ^ Hk) + ... + (-1) m-1 P (P P (Ep k)]

ك = 1 ، = 1) = 1 () * ،) ■! = 1

تقديرات المقارنة. تعتبر بسيطة للغاية ، ولكن أمثلة توضيحية، يقتصر على تحليل الاحتمالات الشرطية الخلفية المحسوبة لإحدى الفرضيتين بدليل واحد. 1. احتمالات الفرضيات تحت دليل واحد غير متوافق. دعنا نقارن النتائج التي تم الحصول عليها باستخدام صيغتي Bayes (2) و (3) ، باستخدام مثالين من الأدلة L = L و L = L مع البيانات الأولية:

P (H1 = 0.7 ؛ P (H2) = 0.3 ؛ P (L | H ^ = 0.1 ؛ P (L \ n 1) = 0.9 ؛ P (L \ H2) = 0.6 P (A \ H2) = 0.4 في تعتبر أمثلة مع فرضية H1 ، تؤدي الصيغتان التقليديتان (2) و (3) إلى النتائج التالية:

ف (ن.) ف (أ \ لا 0 07

الفوسفور (N ، L) \ u003d - 11 \ u003d - \ u003d 0.28 ،

2 ف (هك) ف (أ \ هك) ك = 1

R (N L R (A \ N 1) 0 63

P (N ، L) \ u003d - 11 \ u003d - \ u003d 0.84 ،

2 ف (هك) ف (أ \ هك) ك = 1

تشكيل الأقسام P (H 1 L) \ u003d P (H ^ P (L \ Hp \ u003d 0.07 ؛ P (H ^ A) \ u003d P (H 1) P (n | H ^ \ u003d 0.63.1 من المقترح الصيغ فيما يتعلق بـ:

ص<Н)Р(АНА-Р(А|Н1) _ 0,07

ومع الصيغ المقترحة (4) التي لا تحتوي على قواسم تطبيع: "و

وبالتالي ، في حالة تطبيق الصيغ المقترحة ، فإن نسبة الاحتمالات المقيسة تساوي نسبة الاحتمالات الطبيعية: K

rm f P (H 1) P (A \ H 1) A11 |

عند استخدام الصيغ المعروفة بنفس النسبة - ؛ - = - = 0.11 فيرون طبيعي

ف (ح 1) ف (أ \ ح 1) «§

النسب المشار إليها في البسط ، نسبة الاحتمالات المقيسة الناتجة: 2

الفوسفور (H 1) P (A \ H 1) P (A \ H 1) 0.63

P (H1 L) = 0.28 P (H 1 L) = 0.84

بمعنى ، لم يتم مراعاة مبدأ حفظ نسب الاحتمال ، ويتم الحصول على نتائج غير صحيحة. في هذه الحالة ، £

في حالة تطبيق الصيغ المعروفة ، تبين أن قيمة الانحراف النسبي للنسبة (11) من الاحتمالات الشرطية اللاحقة والاحتمالات الشرطية للفرضيات من النتائج الصحيحة (10) مهمة للغاية ، لأنها

° ، 33 - ° ، ف × 100 \ u003d 242٪ .. أنا

2. احتمالات الفرضيات تحت دليل واحد متوافق. دعونا نقارن النتائج التي تم الحصول عليها باستخدام صيغ Bayes (5) والتعديل الصحيح المركب (9) ، باستخدام البيانات الأولية التالية:

الفوسفور (H1 = 0.7 ؛ الفوسفور (H2) = 0.3 ؛ الفوسفور (E1H1) = 0.4 ؛ الفوسفور (E2H1) = 0.8 ؛ الفوسفور (E1 \ H2) = 0.7 ؛ الفوسفور (E ^ H2) = 0.2.113

في الأمثلة قيد الدراسة مع فرضية H 2 في حالة استخدام الصيغ التقليدية (5):

P (H 2) P (E1 H 2) Q، 21

الفوسفور (H 2 E1) = -2 -! - 2- = - = Q ، 429 ،

ع (هك) ع (هك) ك = 1

P (H 2) P (E 2 H 2) Q، Q6

P (H 2 E 2) \ u003d -2-- \ u003d - \ u003d 0.097.

I P (Hk) P (E 2 Hk) k = 1

في حالة تطبيق الصيغة المقترحة (9) ، مع مراعاة (7) ، P (H

P (H2) 0.168

ه) ----- 0.291 ،

Z P (Hk) Z "

P (H2) 0.018

E0) ----- 0.031.

Z P (Hk) Z k - 1 i - 1

عند استخدام الصيغ الصحيحة المقترحة ، بسبب نفس القواسم ، فإن النسبة P (H2) -

الاحتمالات المعيارية ، المشار إليها بالبسط ، تساوي النسبة

ف (H2)

الاحتمالات الطبيعية:

وهذا يعني أنه يتم مراعاة مبدأ حفظ نسب الاحتمال.

ومع ذلك ، في حالة تطبيق الصيغ المعروفة مع نسبة الاحتمالات المقيسة المشار إليها في البسط

الفوسفور (H 2) P (E1 \ H 2) _ 0.21 _3 5 P (H 2) P (E 2 H 2) 0.06 ،

نسبة الاحتمالات المقيسة:

الفوسفور (H 2 = 0.429 = 4.423. (13)

ف (H 2 \ e2) 0.097

أي ، لم يتم احترام مبدأ الحفاظ على نسب الاحتمال ، كما كان من قبل. في هذه الحالة ، في حالة تطبيق الصيغ المعروفة ، تبين أيضًا أن قيمة الانحراف النسبي للنسبة (13) من الاحتمالات الشرطية اللاحقة للفرضيات من النتائج الصحيحة (12) مهمة جدًا:

9.387 4.423 × 100 = 52.9٪.

استنتاج. يسمح لنا تحليل بناء علاقات الصيغ المحددة التي تنفذ معادلة بايز وتعديلاتها ، المقترحة لحل المشكلات العملية ، بذكر ما يلي. يمكن اختيار المجموعة الكاملة من الأحداث المشتركة المحتملة 2 القابلة للمقارنة بشكل شخصي من قبل صانع القرار. يعتمد هذا الاختيار على البيانات الأولية الموضوعية المدروسة ، والتي تتميز بموقف نموذجي (أنواع محددة وعدد الأحداث الأولية - الفرضيات والأدلة المقدرة). الفائدة العملية هي الاختيار الشخصي للخيارات الأخرى للمجموعة الكاملة مقارنة بدرجة الاحتمال.

أحداث مجمعة - وبالتالي ، يتم توفير مجموعة كبيرة ومتنوعة من نسب الصيغة عند إنشاء متغيرات غير تقليدية لتعديلات معادلة Bayes. هذا ، بدوره ، يمكن أن يكون أساسًا لتحسين الدعم الرياضي لتنفيذ البرامج ، بالإضافة إلى توسيع نطاق علاقات الصيغ الجديدة لحل المشكلات التطبيقية.

قائمة ببليوغرافية

1. Gnedenko، B. V. مقدمة أولية لنظرية الاحتمال / B.V Gnedenko، A. Ya. خنشين. - 114 نيويورك: منشورات دوفر ، 1962. - 144 روبل.

2. Venttsel ، E. S. نظرية الاحتمالات / E. S. Venttsel. - الطبعة العاشرة ، ممحاة. - موسكو: المدرسة العليا 2006. - 575 ص.

3. أندرونوف. A. M. ، نظرية الاحتمالية و إحصائيات الرياضيات/ A. M. Andronov ، E. A. Kopytov ، L. Ya. Gringlaz. - سان بطرسبرج: بيتر ، 2004. - 481 ص.

4. Zmitrovich ، A. I. أنظمة المعلومات الذكية / A. I. Zmitrovich. - مينسك: TetraSistems ، 1997. - 496 ص.

5. Chernorutsky ، I. G. أساليب صنع القرار / I.G Chernorutsky. - سانت بطرسبرغ: BHV-Petersburg ، 2005. - 416 صفحة.

6 نايلور ، سي. بناء نظام الخبراء الخاص بك / C.-M. نايلور. - شيشستر: جون وايلي وأولاده ، 1987. - 289 ص.

7. رومانوف ، V.P. نظم المعلومات الذكية في الاقتصاد / V.P. Romanov. - الطبعة الثانية ، ممحاة.

موسكو: امتحان ، 2007. - 496 ص.

8. الكفاءة الاقتصادية والقدرة التنافسية / د. يو مورومتسيف [وآخرون]. - تامبوف: دار تامبوف للنشر. حالة تقنية. أون تا ، 2007. - 96 ص.

9. Dolgov ، A. I. التعديلات الصحيحة لصيغة Bayes للبرمجة المتوازية / A. I. Dolgov // تقنيات الكمبيوتر العملاق: مواد من 3rd All-Russian. العلمية التقنية أسيوط. - روستوف اون دون. - 2014. - المجلد .1 - س 122-126.

10. A. I. Dolgov ، حول صحة تعديلات صيغة Bayes / A. I. Dolgov ، Vestnik Don. حالة تقنية. جامعة

2014. - V. 14، No. 3 (78). - س 13-20.

1. Gnedenko ، B.V. ، Khinchin ، A.Ya. مقدمة أولية لنظرية الاحتمال. نيويورك: منشورات دوفر ، 1962 ، 144 ص.

2 فنتسل ، إ. Teoriya veroyatnostey. الطبعة العاشرة ، reimpr. موسكو: Vysshaya shkola، 2006، 575 p. (بالروسية).

3. Andronov، A.M.، Kopytov، E.A.، Gringlaz، L.Y. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika. سانت بطرسبرغ: بيتر ، 2004 ، 481 ص. (بالروسية).

4. زميتروفيتش ، أ 1. Intellektual "nye informatsionnye sistemy. Minsk: TetraSistems، 1997، 496 p. (بالروسية).

5. تشيرنوروتسكي ، آي. منهجية prinyatiya resheniy. سانت بطرسبرغ: BKhV-Peterburg، 2005، 416 p. (بالروسية).

6 نايلور ، سي. بناء نظام الخبراء الخاص بك. شيشستر: جون وايلي وأولاده ، 1987 ، 289 ص.

7. رومانوف ، ف. Intellektual "nye informatsionnye sistemy v ekonomike. 2nd ed.، reimpr. Moscow: Ekzamen، 2007، 496 p. (بالروسية).

8. Muromtsev ، D.Y. ، وآخرون. Ekonomicheskaya effektivnost "i konkurentosposobnost". تامبوف: إيزد فو تامب. جوس. تكنولوجيا أون تا ، 2007 ، 96 ص. (بالروسية). IB

9. Dolgov، A1. Korrektnye modifikatsii formuly Bayesa dlya المتوازية "nogo programmirovaniya. Superkomp" yuternye tekhnologii: mat-ly 3-y vseros. العلمية التقنية. أسيوط. روستوف أون دون ، 2014 ، المجلد. 1 ، ص. 122-126 (بالروسية). ^

10. Dolgov، A1. O korrektnosti modifikatsiy formuly Bayesa. ^ فيستنيك من DSTU ، 2014 ، المجلد. 14 ، لا. 3 (78) ، ص. 13-20 (بالروسية). *

إذا كان الحدث لكنيمكن أن يحدث فقط عندما يكون أحد الأحداث التي تتشكل مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة ، ثم احتمال وقوع الحدث لكنمحسوبة بالصيغة

هذه الصيغة تسمى صيغة الاحتمال الكلي .

لنتأمل مرة أخرى المجموعة الكاملة للأحداث غير المتوافقة ، والتي تكون احتمالات وقوعها . حدث لكنيمكن أن تحدث فقط مع أي من الأحداث التي سنسميها الفرضيات . ثم حسب معادلة الاحتمال الكلي

إذا كان الحدث لكنحدث ، يمكن أن يغير احتمالات الفرضيات .

وفقا لنظرية الضرب الاحتمالية

.

وبالمثل ، بالنسبة للفرضيات الأخرى

الصيغة الناتجة تسمى صيغة بايز (صيغة بايز ). تسمى احتمالات الفرضيات الاحتمالات اللاحقة ، بينما - الاحتمالات السابقة .

مثال.تلقى المتجر منتجات جديدة من ثلاث شركات. النسبة المئوية لتكوين هذه المنتجات هي كما يلي: 20٪ - منتجات المؤسسة الأولى ، 30٪ - منتجات المؤسسة الثانية ، 50٪ - منتجات المؤسسة الثالثة ؛ علاوة على ذلك ، 10 ٪ من منتجات المؤسسة الأولى من أعلى درجة ، في المؤسسة الثانية - 5 ٪ وفي الثالثة - 20 ٪ من منتجات الدرجة الأولى. ابحث عن احتمال أن يكون المنتج الجديد الذي تم شراؤه عشوائيًا من أعلى مستويات الجودة.

المحلول.للدلالة به فيالحدث الذي يتألف من حقيقة أنه سيتم شراء المنتج المتميز ، دعنا نشير إلى الأحداث التي تتكون من شراء المنتجات التي تنتمي إلى الشركات الأولى والثانية والثالثة ، على التوالي.

يمكننا تطبيق صيغة الاحتمال الكلي ، وفي تدويننا:

بالتعويض عن هذه القيم في معادلة الاحتمال الكلي ، نحصل على الاحتمال المطلوب:

مثال.يتم استدعاء أحد الرماة الثلاثة إلى خط النار ويطلق رصاصتين. احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة للمطلق الأول هو 0.3 ، وللثاني - 0.5 ؛ للثالث - 0.8. لم يتم ضرب الهدف. أوجد احتمال أن تكون الطلقات قد أطلقها مطلق النار الأول.

المحلول.ثلاث فرضيات ممكنة:

يطلق النار الأول على خط النار ،

يطلق النار الثاني على خط النار ،

تم استدعاء مطلق النار الثالث على خط النار.

بما أن استدعاء أي مطلق النار إلى خط النار ممكن بنفس القدر ، إذن

نتيجة للتجربة ، لوحظ الحدث B - بعد إطلاق الطلقات ، لم يتم إصابة الهدف. الاحتمالات الشرطية لهذا الحدث في ظل الفرضيات هي:

باستخدام صيغة Bayes ، نجد احتمال الفرضية بعد التجربة:

مثال.في ثلاث آلات أوتوماتيكية ، تتم معالجة الأجزاء من نفس النوع ، والتي تصل بعد المعالجة على ناقل مشترك. الجهاز الأول يعطي 2٪ رفض ، الثاني - 7٪ ، الثالث - 10٪. إنتاجية الآلة الأولى أكبر بثلاث مرات من إنتاجية الثانية ، والثالثة أقل مرتين من الثانية.

أ) ما هو معدل الخلل في خط التجميع؟

ب) ما هي نسب أجزاء كل آلة بين الأجزاء المعيبة في الناقل؟

المحلول.لنأخذ جزءًا واحدًا عشوائيًا من خط التجميع ونفكر في الحدث A - الجزء معيب. وهي مرتبطة بفرضيات تتعلق بمكان تشكيل هذا الجزء: - تم تشكيل جزء تم اختياره عشوائيًا على الماكينة.

الاحتمالات الشرطية (في حالة المشكلة يتم تقديمها في شكل نسب مئوية):

تعني التبعيات بين أداء الآلة ما يلي:

وبما أن الفرضيات تشكل مجموعة كاملة ، إذن.

بعد حل نظام المعادلات الناتج ، نجد:.

أ) إجمالي احتمال أن يكون الجزء المأخوذ عشوائيًا من خط التجميع معيبًا:

بمعنى آخر ، في كتلة الأجزاء الخارجة من خط التجميع ، يكون العيب 4٪.

ب) ليكن معلومًا أن الجزء المأخوذ عشوائيًا معيب. باستخدام صيغة بايز ، نجد الاحتمالات الشرطية للفرضيات:

وبالتالي ، في الكتلة الإجمالية للأجزاء المعيبة على الناقل ، تبلغ حصة الآلة الأولى 33٪ ، والثانية - 39٪ ، والثالثة - 28٪.

مهام عملية

التمرين 1

حل المشكلات في الأقسام الرئيسية لنظرية الاحتمالات

الهدف هو اكتساب المهارات العملية في حل المشكلات

أقسام نظرية الاحتمالات

التحضير للمهمة العملية

للتعرف على المادة النظرية حول هذا الموضوع ، لدراسة محتوى النظرية ، وكذلك الأقسام ذات الصلة في الأدب

أمر تنفيذ المهمة

حل 5 مشاكل وفقًا لعدد خيار المهمة الوارد في الجدول 1.

خيارات البيانات الأولية

الجدول 1

	رقم المهمة

تكوين تقرير المهمة 1

5 مشاكل تم حلها حسب الرقم المتغير.

مهام الحل المستقل

1. هي مجموعات الأحداث التالية الحالات: أ) الخبرة - رمي قطعة نقود. التطورات: أ 1- ظهور شعار النبالة ؛ أ 2- ظهور رقم ؛ ب) الخبرة - رمي عملتين ؛ التطورات: في 1- ظهور طبقتين من النبالة ؛ في 2 -ظهور رقمين. على الساعة 3- ظهور شعار واحد ورقم واحد ؛ ج) الخبرة - رمي النرد. التطورات: C1 -ظهور ما لا يزيد عن نقطتين ؛ C2 -ظهور ثلاث أو أربع نقاط ؛ C3 -ظهور خمس نقاط على الأقل ؛ د) الخبرة - تسديدة على هدف ؛ التطورات: D1- يضرب؛ D2-يغيب؛ ه) الخبرة - طلقتين على الهدف ؛ التطورات: E0- لا ضربة واحدة ؛ ه 1- ضربة واحدة؛ ه 2- ضربتان و) الخبرة - سحب بطاقتين من سطح السفينة ؛ التطورات: F1-ظهور بطاقتين حمراوين. F2- ظهور بطاقتين أسودتين؟

2. تحتوي الجرة A على اللون الأبيض و B. كرات سوداء. يتم سحب كرة واحدة عشوائيًا من الجرة. أوجد احتمال أن تكون هذه الكرة بيضاء.

3. في جرة أ رمال بيضاء ب كرات سوداء. يتم إخراج كرة واحدة من الجرة ووضعها جانبًا. هذه الكرة بيضاء. بعد ذلك ، تؤخذ كرة أخرى من الجرة. أوجد احتمال أن تكون هذه الكرة بيضاء أيضًا.

4. في جرة أ البيض وب كرات سوداء. تم إخراج كرة واحدة من الجرة ووضعها جانبًا دون النظر. بعد ذلك ، تم أخذ كرة أخرى من الجرة. اتضح أنه أبيض. أوجد احتمال أن تكون الكرة الأولى الموضوعة جانبًا بيضاء أيضًا.

5. من جرة تحتوي على A. البيض وب كرات سوداء ، اخرج واحدة تلو الأخرى جميع الكرات ماعدا واحدة. أوجد احتمال أن تكون الكرة الأخيرة المتبقية في الجرة بيضاء.

6. من الجرة التي فيها أ كرات بيضاء و B سوداء ، أخرج كل الكرات الموجودة فيه على التوالي. أوجد احتمال أن تكون الكرة الثانية بيضاء.

7. في جرة A من الكرات البيضاء و B من الكرات السوداء (أ > 2). يتم إخراج كرتين من الجرة مرة واحدة. أوجد احتمال أن تكون كلتا الكرتين بيضاء.

8. أبيض وباء في جرة أ كرات سوداء (أ> 2 ، ب> 3). يتم إخراج خمس كرات من الجرة دفعة واحدة. ابحث عن الاحتمالية صسيكون اثنان منهم من البيض وثلاثة سيكونون من السود.

9. في حزب مكون من X المنتجات ، هناك أنامعيب. من الدفعة المختارة للتحكم أنا منتجات. ابحث عن الاحتمالية صأي منهم بالضبط J المنتجات ستكون معيبة.

10. رمي النرد مرة واحدة. أوجد احتمال الأحداث التالية: لكن -ظهور عدد زوجي من النقاط ؛ في- ظهور 5 نقاط على الأقل ؛ من-ظهور لا يزيد عن 5 نقاط.

11. رمي نرد مرتين. ابحث عن الاحتمالية صأن نفس عدد النقاط سيظهر في المرتين.

12. رمي نردان في نفس الوقت. أوجد احتمالات الأحداث التالية: لكن- مجموع النقاط المسقطة يساوي 8 ؛ في- حاصل ضرب النقاط المسقطة يساوي 8 ؛ من-مجموع النقاط المسقطة أكبر من حاصل ضربهم.

13. رمي عملتان. أي من الأحداث التالية هو الأكثر احتمالًا: لكن -سوف تقع العملات المعدنية على نفس الجوانب ؛ في -هل العملات تقع على جوانب مختلفة؟

14. في جرة أ البيض وب كرات سوداء (أ > 2 ؛ ب > 2). يتم إخراج كرتين من الجرة في نفس الوقت. ما هو الحدث الأكثر احتمالا: لكن- كرات من نفس اللون ؛ في -كرات بألوان مختلفة؟

15. ثلاثة لاعبين يلعبون الورق. يتم توزيع 10 بطاقات لكل منهم ويتبقى بطاقتان في السحب. يرى أحد اللاعبين أن لديه 6 بطاقات من البدلة الماسية و 4 بطاقات من البدلة غير الماسية. يتخلص من اثنتين من هذه البطاقات الأربعة ويأخذ السحب. أوجد احتمال أنه يشتري ماسين.

16. من جرة تحتوي صكرات مرقمة ، قم بإخراج جميع الكرات الموجودة فيها بشكل عشوائي واحدة تلو الأخرى. أوجد احتمال أن تكون أعداد الكرات المسحوبة بالترتيب: 1، 2، ...، ص.

17. نفس الجرة كما في المسألة السابقة ، ولكن بعد إخراج كل كرة يتم وضعها مرة أخرى وخلطها مع الآخرين ، ويتم تدوين رقمها. أوجد احتمال كتابة التسلسل الطبيعي للأرقام: 1، 2، ...، n.

18. مجموعة كاملة من البطاقات (52 ورقة) مقسمة عشوائيًا إلى مجموعتين متساويتين من 26 ورقة. أوجد احتمالات الأحداث التالية: لكن -في كل حزمة سيكون هناك اثنان ارسالا ساحقا. في- في إحدى الحزم لن يكون هناك ارسالا ساحقا ، وفي الأخرى - كل أربعة ؛ إس إنستحتوي إحدى العبوات على آس واحد ، وستحتوي الحزمة الأخرى على ثلاثة.

19. يشارك 18 فريقًا في بطولة كرة السلة ، حيث يتم تشكيل مجموعتين من 9 فرق بشكل عشوائي. هناك 5 فرق من بين المشاركين في المسابقة

درس اضافي. أوجد احتمالات الأحداث التالية: لكن -تقع جميع فرق الدرجة الإضافية في نفس المجموعة ؛ في- سوف ينضم فريقان من الدرجة الإضافية إلى إحدى المجموعات ، وثلاثة - في المجموعة الأخرى.

20. تتم كتابة الأرقام على تسعة بطاقات: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8. يتم إخراج اثنين منهم عشوائيًا ووضعهما على الطاولة بترتيب الظهور ، ثم يتم قراءة الرقم الناتج ، على سبيل المثال 07 (سبعة) ، 14 (أربعة عشر) ، إلخ. أوجد احتمال أن يكون الرقم زوجيًا.

21. الأرقام مكتوبة على خمس بطاقات: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5. يتم إخراج اثنتين منها ، واحدة تلو الأخرى. أوجد احتمال أن يكون الرقم الموجود في البطاقة الثانية أكبر من الرقم الموجود في البطاقة الأولى.

22. نفس السؤال كما في المسألة 21 ، ولكن يتم إرجاع البطاقة الأولى بعد السحب وخلطها مع الباقي ، ويتم تدوين الرقم عليها.

23. في جرة أ أبيض ، ب كرات سوداء وحمراء ج. واحدة تلو الأخرى ، يتم إخراج جميع الكرات الموجودة بها من الجرة ويتم تدوين ألوانها. أوجد احتمال ظهور اللون الأبيض قبل الأسود في هذه القائمة.

24. هناك نوعان من الجرار: في الأولى أ البيض وب كرات سوداء في ثاني ج أبيض و د أسود. يتم سحب كرة من كل جرة. أوجد احتمال أن تكون كلتا الكرتين بيضاء.

25. في ظل ظروف المسألة 24 ، أوجد احتمال أن تكون الكرات المسحوبة ذات ألوان مختلفة.

26. هناك سبعة أعشاش في أسطوانة مسدس ، خمسة منهم محملة بخراطيش ، واثنان تركوا فارغين. يتم ضبط الأسطوانة على الدوران ، ونتيجة لذلك يتم وضع أحد المقابس بشكل عشوائي مقابل البرميل. بعد ذلك ، يتم الضغط على الزناد ؛ إذا كانت الخلية فارغة ، لا تحدث اللقطة. ابحث عن الاحتمالية صحقيقة أننا ، بعد أن كررنا مثل هذه التجربة مرتين على التوالي ، لن نطلق النار في المرتين.

27. في ظل نفس الظروف (انظر المسألة 26) ، أوجد احتمال حدوث اللقطة في المرتين.

28. يوجد A في الجرة ؛ الكرات المسمى 1 ، 2 ، ... ، إلىمن الجرة أنابمجرد سحب كرة واحدة (أنا<к), يتم كتابة رقم الكرة وإعادتها إلى الجرة. ابحث عن الاحتمالية صأن جميع الأرقام المسجلة ستكون مختلفة.

29. تتكون كلمة "كتاب" من خمسة أحرف من الأبجدية المنقسمة. قام الطفل الذي لا يستطيع القراءة بتشتيت هذه الحروف ثم رتبها بترتيب عشوائي. ابحث عن الاحتمالية صحقيقة أنه حصل على كلمة "كتاب" مرة أخرى.

30. تتكون كلمة "الأناناس" من الحروف الأبجدية المقسمة. قام الطفل الذي لا يستطيع القراءة بتشتيت هذه الحروف ثم رتبها بترتيب عشوائي. ابحث عن الاحتمالية صحقيقة أن لديه كلمة "أناناس" مرة أخرى

31. من مجموعة كاملة من البطاقات (52 ورقة ، 4 مجموعات) ، يتم إخراج عدة بطاقات في وقت واحد. كم عدد البطاقات التي يجب إخراجها من أجل القول باحتمالية أكبر من 0.50 أن يكون من بينها بطاقات من نفس النوع؟

32. نيجلس الناس بشكل عشوائي على مائدة مستديرة (N> 2). ابحث عن الاحتمالية صأن اثنين من وجوه ثابتة لكنو فيسيكون في مكان قريب.

33. نفس المشكلة (انظر 32) ولكن الجدول مستطيل الشكل ون يجلس الشخص بشكل عشوائي على أحد جوانبه.

34. أرقام من 1 إلى ن.من هؤلاء نيتم اختيار برميلين بشكل عشوائي. أوجد احتمال كتابة الأعداد الأقل من k على البراملين (2

35. الأعداد من 1 إلى ن.من هؤلاء نيتم اختيار برميلين بشكل عشوائي. أوجد احتمال أن يكون أحد البراميل أكبر من k , ومن ناحية أخرى - أقل من ك . (2

36. نفاد البطارية مبنادق تطلق النار على مجموعة مكونة من نالأهداف (م< N). تختار المدافع أهدافها بالتسلسل ، بشكل عشوائي ، بشرط عدم إطلاق مسدسين على نفس الهدف. ابحث عن الاحتمالية صحقيقة أن الأهداف ذات الأرقام 1 ، 2 ، ... ، سيتم إطلاق النار عليها م.

37 .. بطارية مكونة من إلىالبنادق والنيران على مجموعة تتكون من أناالطائرات (إلى< 2). يختار كل سلاح هدفه بشكل عشوائي ومستقل عن الآخرين. أوجد احتمال أن كل شيء إلىستطلق البنادق على نفس الهدف.

38. في ظل ظروف المشكلة السابقة ، أوجد احتمال أن تطلق كل البنادق على أهداف مختلفة.

39. أربع كرات مبعثرة بشكل عشوائي على أربعة ثقوب. تصطدم كل كرة بفتحة واحدة أو أخرى بنفس الاحتمال وبصورة مستقلة عن الأخرى (لا توجد عوائق أمام إدخال عدة كرات في نفس الحفرة). أوجد احتمال وجود ثلاث كرات في إحدى الثقوب ، واحدة في الأخرى ، وعدم وجود كرات في الفتحتين الأخريين.

40. تشاجر ماشا مع بيتيا ولا تريد الركوب معه في نفس الحافلة. يوجد 5 حافلات من النزل إلى المعهد من 7 إلى 8. أولئك الذين ليس لديهم وقت لهذه الحافلات يتأخرون عن المحاضرة. ما هو عدد الطرق التي يمكن أن يصل بها ماشا وبيتيا إلى المعهد في حافلات مختلفة ولا يتأخران عن المحاضرة؟

41. يوجد 3 محللين و 10 مبرمجين و 20 مهندس في قسم تكنولوجيا المعلومات بالبنك. للعمل الإضافي في عطلة ، يجب على رئيس القسم تخصيص موظف واحد. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

42. يجب أن يقوم رئيس جهاز الأمن بالبنك بوضع 10 حراس في 10 وظائف يومياً. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

43. يجب أن يعين الرئيس الجديد للبنك نائبين جديدين للرئيس من بين المديرين العشرة. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

44 - ألقى أحد الطرفين المتحاربين القبض على 12 ، والآخر - 15 أسيرا. ما هو عدد الطرق التي يمكن من خلالها تبادل 7 أسرى حرب؟

45. بيتيا وماشا يجمعان أقراص الفيديو. بيتيا لديها 30 فيلمًا كوميديًا و 80 فيلمًا أكشنًا و 7 ميلودراما ، ولدى ماشا 20 فيلمًا كوميديًا و 5 أفلام أكشن و 90 ميلودراما. ما هو عدد الطرق التي يمكن أن يتبادل بها بيتيا وماشا 3 أفلام كوميدية ، وفيلم أكشن ، وميلودراما واحد؟

46. ​​في ظل ظروف المشكلة 45 ، ما هو عدد الطرق التي يمكن أن يتبادل بها بيتيا وماشا 3 ميلودراما و 5 أفلام كوميدية؟

47. في ظل ظروف المشكلة 45 ، كم عدد الطرق التي يمكن أن يتبادل بها بيتيا وماشا فيلمين أكشن و 7 أفلام كوميدية.

48. ألقى أحد الطرفين المتحاربين القبض على 15 ، والآخر - 16 أسيراً. ما هو عدد الطرق التي يمكن من خلالها تبادل 5 أسرى حرب؟

49. كم عدد السيارات التي يمكن تسجيلها في مدينة واحدة إذا كان الرقم مكونًا من 3 أرقام و 3 أحرف)؟

50. ألقى أحد الطرفين المتحاربين القبض على 14 ، والآخر - 17 أسيرا. ما هو عدد الطرق التي يمكن من خلالها تبادل 6 أسرى حرب؟

51. كم عدد الكلمات المختلفة التي يمكن تشكيلها بإعادة ترتيب الحروف في كلمة "أم"؟

52. يوجد 3 تفاحات حمراء و 7 تفاحات خضراء في سلة. يتم إخراج تفاحة واحدة منه. أوجد احتمال أن يكون لونه أحمر.

53. يوجد 3 تفاحات حمراء و 7 تفاحات خضراء في سلة. تم إخراج تفاحة خضراء منه ووضعها جانبًا. ثم يتم إخراج تفاحة واحدة أخرى من السلة. ما هو احتمال أن تكون هذه التفاحة خضراء؟

54. في الدفعة المكونة من 1000 عنصر ، 4 منها معيبة. للتحكم ، تم تحديد دفعة من 100 منتج. ما هو احتمال LLP ألا تكون دفعة التحكم معيبة؟

56. في الثمانينيات ، كانت لعبة sportloto 5 من أصل 36 لعبة تحظى بشعبية في الاتحاد السوفياتي. سجل اللاعب على البطاقة 5 أرقام من 1 إلى 36 وتلقى جوائز من مختلف الفئات إذا خمن عددًا مختلفًا من الأرقام التي أعلنتها لجنة السحب. أوجد احتمال أن اللاعب لم يخمن أي رقم.

57. في الثمانينيات ، كانت لعبة "sportloto 5 من 36" مشهورة في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية. سجل اللاعب على البطاقة 5 أرقام من 1 إلى 36 وتلقى جوائز من مختلف الفئات إذا خمن عددًا مختلفًا من الأرقام التي أعلنتها لجنة السحب. أوجد احتمال أن اللاعب قد خمّن رقمًا واحدًا.

58. في الثمانينيات ، كانت لعبة sportloto 5 من أصل 36 لعبة شائعة في الاتحاد السوفياتي. سجل اللاعب على البطاقة 5 أرقام من 1 إلى 36 وتلقى جوائز من مختلف الفئات إذا خمن عددًا مختلفًا من الأرقام التي أعلنتها لجنة السحب. أوجد احتمال أن اللاعب قد خمّن 3 أرقام.

59. في الثمانينيات ، كانت لعبة sportloto 5 من أصل 36 لعبة شائعة في الاتحاد السوفياتي. سجل اللاعب على البطاقة 5 أرقام من 1 إلى 36 وتلقى جوائز من مختلف الفئات إذا خمن عددًا مختلفًا من الأرقام التي أعلنتها لجنة السحب. أوجد احتمال أن اللاعب لم يخمن جميع الأرقام الخمسة.

60. في الثمانينيات ، كانت لعبة sportloto 6 من أصل 49 لعبة تحظى بشعبية في الاتحاد السوفياتي. سجل اللاعب على البطاقة 6 أرقام من 1 إلى 49 وتلقى جوائز من مختلف الفئات إذا خمن عددًا مختلفًا من الأرقام التي أعلنتها لجنة السحب. أوجد احتمال أن اللاعب قد خمّن رقمين.

61. في الثمانينيات ، كانت لعبة "sportloto 6 out of 49" شائعة في الاتحاد السوفيتي. سجل اللاعب على البطاقة 6 أرقام من 1 إلى 49 وتلقى جوائز من مختلف الفئات إذا خمن عددًا مختلفًا من الأرقام التي أعلنتها لجنة السحب. أوجد احتمال أن اللاعب لم يخمن أي رقم.

62. في الثمانينيات ، كانت لعبة "sportloto 6 out of 49" شائعة في الاتحاد السوفيتي. سجل اللاعب على البطاقة 6 أرقام من 1 إلى 49 وتلقى جوائز من مختلف الفئات إذا خمن عددًا مختلفًا من الأرقام التي أعلنتها لجنة السحب. أوجد احتمال أن يكون اللاعب قد خمّن جميع الأرقام الستة.

63. في دفعة مكونة من 1000 قطعة ، 4 منها معيبة. للتحكم ، تم تحديد دفعة من 100 منتج. ما هو احتمال وجود عيب واحد فقط في حصة التحكم في LLP؟

64. ما هو عدد الكلمات المختلفة التي يمكن تشكيلها بإعادة ترتيب الحروف في كلمة "كتاب"؟

65. كم عدد الكلمات المختلفة التي يمكن تشكيلها عن طريق إعادة ترتيب الحروف في كلمة "الأناناس"؟

66. دخل 6 أشخاص في المصعد ، ويتكون النزل من 7 طوابق. ما هو احتمال خروج جميع الأشخاص الستة في نفس الطابق؟

67. 6 أشخاص دخلوا المصعد ، المبنى مكون من 7 طوابق. ما هو احتمال خروج جميع الأشخاص الستة في طوابق مختلفة؟

68. أثناء عاصفة رعدية ، حدث انقطاع في الأسلاك في المقطع بين 40 و 79 كم من خط الكهرباء. بافتراض أن الكسر ممكن بشكل متساوٍ في أي نقطة ، فأوجد احتمال حدوث القطع بين 40 و 45 كيلومترًا.

69. في مقطع 200 كيلومتر من خط أنابيب الغاز ، يوجد تسرب للغاز بين محطتي الضاغط A و B ، وهو أمر ممكن أيضًا في أي نقطة من خط الأنابيب. ما هو احتمال حدوث التسرب في نطاق 20 كم من A

70. في المقطع البالغ طوله 200 كيلومتر من خط أنابيب الغاز ، يحدث تسرب للغاز بين محطتي الضاغط A و B ، وهو أمر ممكن أيضًا في أي نقطة في خط الأنابيب. ما هو احتمال أن يكون التسرب أقرب إلى A منه إلى B؟

71. رادار مفتش شرطة المرور بدقة 10 كم / ساعة ويدور لأقرب جانب. ماذا يحدث في كثير من الأحيان - التقريب لصالح السائق أو المفتش؟

72. ماشا تقضي 40 إلى 50 دقيقة في طريقها إلى المعهد ، وأي وقت في هذه الفترة يكون محتمل بنفس القدر. ما هو احتمال أن تقضي على الطريق من 45 إلى 50 دقيقة.

73. وافق بيتيا وماشا على الاجتماع عند النصب التذكاري لبوشكين من 12 إلى 13 ساعة ، لكن لم يستطع أحد تحديد موعد الوصول بالضبط. اتفقا على انتظار بعضهما البعض لمدة 15 دقيقة. ما هو احتمال اجتماعهم؟

74. اصطاد الصيادون 120 سمكة في البركة ، 10 منها تم حلقها. ما هو احتمال اصطياد سمكة الحلقية؟

75. أخرج كل التفاح من سلة تحتوي على 3 تفاحات حمراء و 7 تفاحات خضراء. ما هو احتمال أن تكون التفاحة الثانية حمراء؟

76. أخرج كل التفاح من سلة تحتوي على 3 تفاحات حمراء و 7 تفاحات خضراء. ما هو احتمال أن تكون آخر تفاحة خضراء؟

77. يعتبر الطلاب أن 10 من أصل 50 تذكرة "جيدة". يتناوب بيتيا وماشا في سحب تذكرة واحدة لكل منهما. ما هو احتمال حصول ماشا على تذكرة "جيدة"؟

78. يعتبر الطلاب أن 10 من أصل 50 تذكرة "جيدة". يتناوب بيتيا وماشا في سحب تذكرة واحدة لكل منهما. ما هو احتمال حصول كلاهما على تذكرة "جيدة"؟

79. حضرت ماشا إلى الامتحان وهي تعلم الإجابات على 20 سؤالاً من البرنامج من أصل 25. يسأل الأستاذ 3 أسئلة. ما هو احتمال أن يجيب ماشا على 3 أسئلة؟

80. حضرت ماشا إلى الامتحان وهي تعلم الإجابات على 20 سؤالاً من البرنامج من أصل 25. يسأل الأستاذ 3 أسئلة. ما هو احتمال ألا يجيب ماشا على أي من الأسئلة؟

81. حضرت ماشا إلى الامتحان وهي تعلم الإجابات على 20 سؤالاً من البرنامج من أصل 25. يسأل الأستاذ 3 أسئلة. ما هو احتمال أن يجيب ماشا على سؤال واحد؟

82- فيما يلي إحصائيات طلبات القروض المصرفية: 10٪ - الولاية. السلطات 20٪ - بنوك أخرى والباقي أفراد. احتمالية التخلف عن سداد القرض هي 0.01 و 0.05 و 0.2 على التوالي. ما هي نسبة القروض غير القابلة للاسترداد؟

83. احتمال أن يتجاوز حجم المبيعات الأسبوعية لتاجر الآيس كريم 2000 روبل. 80٪ في طقس صافٍ ، 50٪ غائم جزئيًا و 10٪ في طقس ممطر. ما هو احتمال أن يتجاوز حجم التداول 2000 روبل. إذا كان احتمال الطقس الصافي 20٪ ، وغائم جزئيا وممطر - 40٪ لكل منهما.

84. الأبيض (ب) و C في الجرة A كرات سوداء (ح). يتم إخراج كرتين من الجرة (في وقت واحد أو بالتتابع). أوجد احتمال أن تكون كلتا الكرتين بيضاء.

85. في جرة أ البيض وب

86. في جرة أ البيض وب

87. في جرة أ البيض وب كرات سوداء. يتم إخراج كرة واحدة من الجرة ، ويتم تمييز لونها وإرجاع الكرة إلى الجرة. بعد ذلك ، تؤخذ كرة أخرى من الجرة. أوجد احتمال أن تكون هذه الكرات ذات ألوان مختلفة.

88. يوجد صندوق به تسع كرات تنس جديدة. يتم أخذ ثلاث كرات من أجل اللعبة ؛ بعد المباراة يتم إعادتهم. عند اختيار الكرات ، فإنها لا تميز بين الكرات التي تم لعبها والكرات التي لم يتم لعبها. ما هو احتمالية عدم وجود كرات لم يتم لعبها في الصندوق بعد ثلاث مباريات؟

89. مغادرة الشقة. ن سيضع كل ضيف على الكالوشات الخاصة به ؛

90. مغادرة الشقة. نيرتدي الضيوف بنفس مقاس الحذاء الكالوشات في الظلام. يمكن لكل منهم تمييز الكالوش الأيمن من اليسار ، لكن لا يمكنه التمييز بين الكالوش الخاص به وبين الآخر. أوجد احتمال ذلك سوف يرتدي كل ضيف حذاءًا ينتمي إلى زوج واحد (ربما ليس خاصًا به).

91. في ظل ظروف المسألة 90 ، أوجد احتمال أن يرحل الجميع في جالوشاتهم إذا كان الضيوف لا يستطيعون التمييز بين الكالوشات اليمنى من اليسار وأخذوا أول اثنين من الكالوشات ببساطة.

92 ـ إطلاق النار جار على الطائرة ، وأجزاؤها المعرضة للخطر محركان وكابينة القيادة. من أجل ضرب (تعطيل) الطائرة ، يكفي ضرب كلا المحركين معًا أو قمرة القيادة. في ظل ظروف إطلاق معينة ، يكون احتمال الاصطدام بالمحرك الأول هو ص 1المحرك الثاني ص 2 ،مقصورة الطيار ص 3.تتأثر أجزاء من الطائرة بشكل مستقل عن بعضها البعض. أوجد احتمال اصطدام الطائرة.

93. أطلق اثنان من الرماة ، بشكل مستقل عن بعضهما البعض ، رصاصتين (كل واحدة على هدفها الخاص). احتمالية إصابة الهدف برصاصة واحدة للمطلق الأول ص 1للمرة الثانية ص 2.الفائز في المسابقة هو مطلق النار ، حيث سيكون هناك المزيد من الثغرات في الهدف. ابحث عن الاحتمالية آر إكسما الذي يفوز به مطلق النار الأول.

94- خلف الجسم الفضائي ، يتم الكشف عن الجسم باحتمال تم العثور على R.يحدث اكتشاف الكائن في كل دورة بشكل مستقل عن الآخرين. أوجد احتمالية ذلك متى صدورات سيتم الكشف عن الكائن.

95. تم كتابة 32 حرفًا من الأبجدية الروسية على بطاقات أبجدية مقطوعة. يتم رسم خمس بطاقات بشكل عشوائي ، واحدة تلو الأخرى ، وتوضع على الطاولة بالترتيب الذي تظهر به. أوجد احتمال الحصول على كلمة "النهاية".

96. تتناثر كرتان بشكل عشوائي ومستقل عن بعضهما البعض على أربع خلايا تقع واحدة تلو الأخرى في خط مستقيم. كل كرة لها نفس الاحتمال 1/4 تصطدم بكل خلية. أوجد احتمال سقوط الكرات في الخلايا المجاورة.

97. مقذوفات حارقة تطلق على الطائرة. يتركز الوقود على متن الطائرة في أربعة خزانات موجودة في جسم الطائرة الواحدة تلو الأخرى. أحجام الخزان هي نفسها. من أجل إشعال الطائرة ، يكفي إصابة قذيفتين إما في نفس الدبابة أو في الدبابات المجاورة. ومعلوم أن قذيفتين أصابت منطقة الدبابة. أوجد احتمال اشتعال الطائرة.

98. من مجموعة كاملة من البطاقات (52 ورقة) ، يتم إخراج أربع بطاقات في وقت واحد. أوجد احتمال أن تكون جميع هذه البطاقات الأربعة من نفس النوع.

99. من مجموعة كاملة من البطاقات (52 ورقة) ، يتم إخراج أربع بطاقات في وقت واحد ، ولكن يتم إرجاع كل بطاقة إلى المجموعة بعد إخراجها. أوجد احتمال أن تكون البطاقات الأربعة من نفس النوع.

100. عند تشغيل الإشعال ، يبدأ المحرك باحتمالية تم العثور على R.

101. يمكن للجهاز العمل في وضعين: 1) عادي و 2) غير طبيعي. لوحظ الوضع العادي في 80٪ من جميع حالات تشغيل الجهاز ؛ غير طبيعي - في 20٪. احتمال فشل الجهاز في الوقت المناسب رفي الوضع العادي هو 0.1 ؛ في الشاذ - 0.7. أوجد إجمالي الاحتمالية صفشل الجهاز.

102. يستقبل المتجر البضائع من 3 موردين: 55٪ من الأول ، 20 من الثاني و 25٪ من الثالث. حصة الزواج هي 5 و 6 و 8 في المائة على التوالي. ما هو احتمال أن المنتج المعيب الذي تم شراؤه جاء من المورد الثاني.

103. تدفق السيارات عبر محطات الوقود يتكون من 60٪ شاحنات و 40٪ سيارات. ما هو احتمال العثور على شاحنة في محطة وقود إذا كان احتمال التزود بالوقود 0.1 ، وكانت السيارة 0.3؟

104. يتألف تدفق السيارات عبر محطات الوقود من 60٪ شاحنات و 40٪ سيارات. ما هو احتمال العثور على شاحنة في محطة وقود إذا كان احتمال التزود بالوقود 0.1 ، وكانت السيارة 0.3؟

105. يستقبل المتجر البضائع من 3 موردين: 55٪ من الأول ، 20 من الثاني و 25٪ من الثالث. حصة الزواج هي 5 و 6 و 8 في المائة على التوالي. ما هو احتمال أن المنتج المعيب الذي تم شراؤه جاء من المورد الأول.

106. 32 حرفًا من الأبجدية الروسية مكتوبة على بطاقات أبجدية مقطوعة. يتم رسم خمس بطاقات بشكل عشوائي ، واحدة تلو الأخرى ، وتوضع على الطاولة بالترتيب الذي تظهر به. أوجد احتمال الحصول على كلمة "كتاب".

107. يستقبل المتجر البضائع من 3 موردين: 55٪ من الأول ، 20 من الثاني و 25٪ من الثالث. حصة الزواج هي 5 و 6 و 8 في المائة على التوالي. ما هو احتمال أن المنتج المعيب الذي تم شراؤه جاء من المورد الأول.

108. تتناثر كرتان بشكل عشوائي ومستقل عن بعضهما البعض على أربع خلايا تقع واحدة تلو الأخرى في خط مستقيم. كل كرة لها نفس الاحتمال 1/4 تصطدم بكل خلية. أوجد احتمال سقوط كرتين في نفس الخلية

109. عند تشغيل الإشعال ، يبدأ المحرك في العمل باحتمالية تم العثور على R.أوجد احتمال بدء تشغيل المحرك في المرة الثانية التي يتم فيها تشغيل الإشعال ؛

110- أطلقت مقذوفات حارقة على الطائرة. يتركز الوقود على متن الطائرة في أربعة خزانات موجودة في جسم الطائرة الواحدة تلو الأخرى. أحجام الخزان هي نفسها. من أجل إشعال الطائرة ، يكفي ضرب قذيفتين في نفس الدبابة. ومعلوم أن قذيفتين أصابت منطقة الدبابة. أوجد احتمال اشتعال الطائرة

111- أطلقت مقذوفات حارقة على الطائرة. يتركز الوقود على متن الطائرة في أربعة خزانات موجودة في جسم الطائرة الواحدة تلو الأخرى. أحجام الخزان هي نفسها. من أجل إشعال الطائرة ، يكفي ضرب قذيفتين في الدبابات المجاورة. ومعلوم أن قذيفتين أصابت منطقة الدبابة. أوجد احتمال اشتعال الطائرة

112- في جرة أ البيض وب كرات سوداء. يتم إخراج كرة واحدة من الجرة ، ويتم تمييز لونها وإرجاع الكرة إلى الجرة. بعد ذلك ، تؤخذ كرة أخرى من الجرة. أوجد احتمال أن تكون كلتا الكرتين المسحوبتين بيضاء.

113. في جرة أ البيض وب كرات سوداء. يتم إخراج كرتين من الجرة مرة واحدة. أوجد احتمال أن تكون هذه الكرات ذات ألوان مختلفة.

114- تتناثر كرتان بشكل عشوائي ومستقل عن بعضهما البعض على أربع خلايا تقع واحدة تلو الأخرى في خط مستقيم. كل كرة لها نفس الاحتمال 1/4 تصطدم بكل خلية. أوجد احتمال سقوط الكرات في الخلايا المجاورة.

115. حضرت ماشا إلى الامتحان وهي تعلم الإجابات على 20 سؤالاً من البرنامج من أصل 25. يسأل الأستاذ 3 أسئلة. ما هو احتمال أن يجيب ماشا على سؤالين؟

116- يعتبر الطلاب أن 10 من أصل 50 تذكرة هي "جيدة". يتناوب بيتيا وماشا في سحب تذكرة واحدة لكل منهما. ما هو احتمال حصول كلاهما على تذكرة "جيدة"؟

117- وجاءت إحصائيات طلبات القروض المصرفية كالتالي: 10٪ - الولاية. السلطات 20٪ - بنوك أخرى والباقي أفراد. احتمالية التخلف عن سداد القرض هي 0.01 و 0.05 و 0.2 على التوالي. ما هي نسبة القروض غير القابلة للاسترداد؟

118. تم كتابة 32 حرفًا من الأبجدية الروسية على بطاقات أبجدية مقطوعة. يتم رسم خمس بطاقات بشكل عشوائي ، واحدة تلو الأخرى ، وتوضع على الطاولة بالترتيب الذي تظهر به. أوجد احتمال الحصول على كلمة "النهاية".

119 إحصائيات طلبات القروض المصرفية كالتالي: 10٪ - الولاية. السلطات 20٪ - بنوك أخرى والباقي أفراد. احتمالية التخلف عن سداد القرض هي 0.01 و 0.05 و 0.2 على التوالي. ما هي نسبة القروض غير القابلة للاسترداد؟

120- احتمالية أن يتجاوز حجم المبيعات الأسبوعية لتاجر الآيس كريم 2000 روبل. 80٪ في طقس صافٍ ، 50٪ غائم جزئيًا و 10٪ في طقس ممطر. ما هو احتمال أن يتجاوز حجم التداول 2000 روبل. إذا كان احتمال الطقس الصافي 20٪ ، وغائم جزئيا وممطر - 40٪ لكل منهما.