ما هي طريقة لاغرانج. التحسين الشرطي

طريقة مضاعفات لاجرانجهي طريقة تقليدية لحل المشكلات البرمجة الرياضية(محدب على وجه الخصوص). لسوء الحظ ، في تطبيق عمليقد تواجه الطريقة صعوبات حسابية كبيرة ، مما يضيق نطاق استخدامها. نعتبر هنا طريقة لاغرانج أساسًا لأنها جهاز مستخدَم بنشاط لتبرير مختلف الأساليب العددية الحديثة المستخدمة على نطاق واسع في الممارسة. أما بالنسبة لدالة لاغرانج ومضاعفات لاجرانج ، فهما يلعبان بشكل مستقل وحصري دورا هامافي النظرية والتطبيقات ليس فقط البرمجة الرياضية.

ضع في اعتبارك مشكلة التحسين الكلاسيكية

ماكس (دقيقة) ض = و (س) (7.20)

تتميز هذه المشكلة عن المشكلة (7.18) ، (7.19) بحقيقة أنه من بين القيود (7.21) لا توجد متباينات ، ولا توجد شروط لعدم سلبية المتغيرات ، وتقديرها ، والوظائف f (x). ) كلاهما متصلان ولهما مشتقات جزئية من الدرجة الثانية على الأقل.

النهج الكلاسيكيلحل المسألة (7.20) ، (7.21) يعطي نظام المعادلات ( الشروط اللازمة) ، والتي يجب أن تفي بالنقطة x * التي توفر الوظيفة f (x) مع حد أقصى محلي على مجموعة النقاط التي تفي بالقيود (7.21) (لمشكلة البرمجة المحدبة ، النقطة x * وجدت ، وفقًا لـ نظرية 7.6 ، ستكون أيضًا نقطة قصوى عالمية).

افترض أنه عند النقطة x * الوظيفة (7.20) لها محلي أقصى حد شرطيورتبة المصفوفة. ثم يمكن كتابة الشروط اللازمة على النحو التالي:

(7.22)

هي وظيفة لاغرانج. هي مضاعفات لاغرانج.

هناك أيضًا شروط كافية يحدد بموجبها حل نظام المعادلات (7.22) النقطة القصوى للدالة f (x). تم حل هذا السؤال على أساس دراسة علامة التفاضل الثاني لوظيفة لاغرانج. ومع ذلك ، فإن الشروط الكافية ذات أهمية نظرية.

يمكن للمرء أن يشير إلى الإجراء التالي لحل المشكلة (7.20) ، (7.21) بواسطة طريقة مضاعف لاغرانج:

1) يؤلف وظيفة لاغرانج (7.23) ؛

2) أوجد المشتقات الجزئية لدالة لاغرانج بالنسبة لجميع المتغيرات ونعادلها بالصفر. وبالتالي ، سيتم الحصول على النظام (7.22) المكون من المعادلات. حل النظام الناتج (إذا كان ممكنًا!) وبهذه الطريقة ابحث عن الكل نقاط ثابتةوظائف لاغرانج

3) من النقاط الثابتة ، المأخوذة بدون إحداثيات ، اختر النقاط التي تحتوي فيها الوظيفة f (x) على قيمة قصوى محلية شرطية في ظل وجود قيود (7.21). يتم هذا الاختيار ، على سبيل المثال ، باستخدام الشروط الكافية الحد الأقصى المحلي. غالبًا ما يتم تبسيط الدراسة إذا تم استخدام شروط محددة للمشكلة.

مثال 7.3. ابحث عن التوزيع الأمثل لمورد محدود في الوحدات. بين n مستهلكين ، إذا تم حساب الربح المستلم عند تخصيص x j وحدات من المورد للمستهلك j بواسطة الصيغة.

المحلول.النموذج الرياضي للمشكلة له العرض التالي:

نقوم بتكوين وظيفة لاغرانج:

.

نجد المشتقات الجزئية لدالة لاغرانج وتعادلها بالصفر:

لحل نظام المعادلات هذا ، نحصل على:

وبالتالي ، إذا تم تخصيص وحدة للمستهلك من الرتبة j. المورد ، ثم سيصل إجمالي الربح إلى الحد الأقصى للقيمة والمبلغ إلى دن. الوحدات

لقد اعتبرنا طريقة لاغرانج كما هي مطبقة على مشكلة كلاسيكيةتهيئة. من الممكن تعميم هذه الطريقة على الحالة التي تكون فيها المتغيرات غير سالبة وبعض القيود معطاة في شكل متباينات. ومع ذلك ، فإن هذا التعميم نظري في الغالب ولا يؤدي إلى خوارزميات حسابية محددة.

في الختام ، نقدم تفسيرًا اقتصاديًا لمضاعفات لاغرانج. للقيام بذلك ، ننتقل إلى أبسط مشكلة تحسين كلاسيكية

ماكس دقيقة) ض=F(x 1 , X 2); (7.24)

𝜑 (× 1 ، × 2) = ب. (7.25)

لنفترض أنه تم الوصول إلى الحد الأقصى الشرطي عند هذه النقطة. القيمة القصوى المقابلة للدالة F(x)

لنفترض أنه في القيود (7.25) الكمية بيمكن أن تتغير ، ثم إحداثيات النقطة القصوى ، وبالتالي القيمة القصوى F*المهام F(x) ستصبح كميات حسب ب، بمعنى آخر. ,، وبالتالي مشتق الوظيفة (7.24)

an (t) z (n) (t) + an - 1 (t) z (n - 1) (t) + ... + a1 (t) z "(t) + a0 (t) z (t) = و (ر)

يتكون من استبدال الثوابت التعسفية ck في الحل العام

ض (t) = c1z1 (t) + c2z2 (t) + ...

كنزن (ر)

ذو صلة معادلة متجانسة

an (t) z (n) (t) + an - 1 (t) z (n - 1) (t) + ... + a1 (t) z "(t) + a0 (t) z (t) = 0

إلى الدوال المساعدة ck (t) التي تلبي مشتقاتها النظام الجبري الخطي

محدد النظام (1) هو Wronskian للوظائف z1 ، z2 ، ... ، zn ، والذي يضمن قابلية حله الفريدة فيما يتعلق بـ.

إذا كانت المشتقات العكسية مأخوذة بقيم ثابتة لثوابت التكامل ، فإن الوظيفة

هو حل للمعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة الأصلية. اندماج معادلة غير متجانسةفي وجود حل عام للمعادلة المتجانسة المقابلة ، يتم تقليل ذلك إلى التربيعات.

طريقة لاغرانج (طريقة تغيير الثوابت التعسفية)

طريقة للحصول على حل عام لمعادلة غير متجانسة ، مع العلم قرار مشتركمعادلة متجانسة دون إيجاد حل معين.

للحصول على معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الرتبة n

y (n) + a1 (x) y (n-1) + ... + an-1 (x) y "+ an (x) y = 0 ،

حيث y = y (x) دالة غير معروفة ، a1 (x) ، a2 (x) ، ... ، an-1 (x) ، an (x) معروفة ، مستمرة ، صحيحة: 1) يوجد n خطيًا معادلات الحلول المستقلة y1 (x) ، y2 (x) ، ... ، yn (x) ؛ 2) لأي قيم للثوابت c1 ، c2 ، ... ، cn ، الدالة y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) هي a حل المعادلة 3) لأي القيم الأولية x0، y0، y0،1، ...، y0، n-1 هناك قيم c * 1، c * n، ...، c * n مثل أن الحل y * (x) = c * 1 y1 (x) + c * 2 y2 (x) + ... + c * n yn (x) يرضي لـ x = x0 الشروط الأولية y * (x0) = y0، (y *) "(x0) = y0،1، ...، (y *) (n-1) (x0) = y0، n-1.

التعبير y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) يسمى الحل العام لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة من الرتبة n.

مجموعة الحلول المستقلة خطيًا لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة n y1 (x) ، y2 (x) ، ... ، yn (x) تسمى النظام الأساسي لحلول المعادلة.

للحصول على معادلة تفاضلية خطية متجانسة مع معاملات ثابتةهناك خوارزمية بسيطة لبناء نظام أساسي للحلول. سنبحث عن حل للمعادلة بالصيغة y (x) = exp (lx): exp (lx) (n) + a1exp (lx) (n-1) + ... + an-1exp (lx) "+ anexp (lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an) exp (lx) = 0 ، أي أن الرقم l هو الجذر معادلة مميزة ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. يسمى الجانب الأيسر من المعادلة المميزة كثير الحدود المميز لمعادلة تفاضلية خطية: P (l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. وهكذا ، فإن مشكلة حل معادلة خطية متجانسة من الدرجة n مع معاملات ثابتة يتم تقليلها إلى حل معادلة جبرية.

إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور حقيقية مختلفة l1№ l2 № ... ln ، فإن النظام الأساسي للحلول يتكون من الدوال y1 (x) = exp (l1x) ، y2 (x) = exp (l2x) ،. .. ، yn (x) = exp (lnx) ، والحل العام للمعادلة المتجانسة هو: y (x) = c1 exp (l1x) + c2 exp (l2x) + ... + cn exp (lnx).

نظام أساسي للحلول وحل عام لحالة الجذور الحقيقية البسيطة.

إذا تكررت أي من الجذور الحقيقية للمعادلة المميزة r مرات (جذر r-fold) ، فإن وظائف r تتوافق معها في نظام الحلول الأساسي ؛ إذا lk = lk + 1 = ... = lk + r-1 ، ثم في النظام الأساسيحلول المعادلة ، هناك وظائف r: yk (x) = exp (lkx) ، yk + 1 (x) = xexp (lkx) ، yk + 2 (x) = x2exp (lkx) ، ... ، yk + r-1 (x) = xr-1exp (lnx).

مثال 2. النظام الأساسي للحلول والحل العام لقضية الجذور الحقيقية المتعددة.

إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور معقدة ، فإن كل زوج من الجذور المعقدة البسيطة (للتعددية 1) lk ، k + 1 = ak ± ibk في النظام الأساسي للحلول يتوافق مع زوج من الوظائف yk (x) = exp (akx) cos (bkx) ، yk + 1 (x) = exp (akx) sin (bkx).

مثال 4. النظام الأساسي للحلول والحل العام لحالة الجذور المعقدة البسيطة. جذور خيالية.

إذا كان زوج معقد من الجذور له تعدد r ، فإن هذا الزوج lk = lk + 1 = ... = l2k + 2r-1 = ak ± ibk ، في نظام الحلول الأساسي يتوافق مع وظائف exp (akx) cos ( bkx) ، exp (akx) sin (bkx) ، xexp (akx) cos (bkx) ، xexp (akx) sin (bkx) ، x2exp (akx) cos (bkx) ، x2exp (akx) sin (bkx) ، .. ...... ........ xr-1exp (akx) cos (bkx) ، xr-1exp (akx) sin (bkx).

مثال 5. النظام الأساسي للحلول والحل العام لحالة الجذور المعقدة المتعددة.

وهكذا ، لإيجاد حل عام لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة ، يجب على المرء: كتابة المعادلة المميزة ؛ أوجد جميع جذور المعادلة المميزة l1، l2، ...، ln؛ اكتب النظام الأساسي للحلول y1 (x) ، y2 (x) ، ... ، yn (x) ؛ اكتب تعبيرًا عن الحل العام y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x). لحل مشكلة كوشي ، نحتاج إلى استبدال تعبير الحل العام بالشروط الأولية وتحديد قيم الثوابت c1 ، ... ، cn ، وهي حلول لنظام الخطي المعادلات الجبرية c1 y1 (x0) + c2 y2 (x0) + ... + cn yn (x0) = y0، c1 y "1 (x0) + c2 y" 2 (x0) + ... + cn y "n (x0 ) = y0،1، .........، c1 y1 (n-1) (x0) + c2 y2 (n-1) (x0) + ... + cn yn (n-1) ( x0) = y0، n-1

للحصول على معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الرتبة n

y (n) + a1 (x) y (n-1) + ... + an-1 (x) y "+ an (x) y = f (x) ،

حيث y = y (x) دالة غير معروفة ، a1 (x) ، a2 (x) ، ... ، an-1 (x) ، an (x) ، f (x) معروفة ، مستمرة ، صالحة: 1 ) إذا كان y1 (x) و y2 (x) حلين لمعادلة غير متجانسة ، فإن الوظيفة y (x) = y1 (x) - y2 (x) هي حل للمعادلة المتجانسة المقابلة ؛ 2) إذا كان y1 (x) حلاً لمعادلة غير متجانسة ، و y2 (x) هو حل للمعادلة المتجانسة المقابلة ، فإن الوظيفة y (x) = y1 (x) + y2 (x) هي حل لـ معادلة غير متجانسة 3) إذا كانت y1 (x) ، و y2 (x) ، ... ، yn (x) هي n حلول مستقلة خطيًا للمعادلة المتجانسة ، و ych (x) - قرار تعسفيمعادلة غير متجانسة ، إذن لأي قيم أولية x0 ، y0 ، y0 ، 1 ، ... ، y0 ، n-1 هناك قيم c * 1 ، c * n ، ... ، c * n مثل الحل y * (x) = c * 1 y1 (x) + c * 2 y2 (x) + ... + c * n yn (x) + ych (x) يفي بـ x = x0 الشروط الأولية y * ( x0) = y0، (y *) "(x0) = y0،1، ...، (y *) (n-1) (x0) = y0، n-1.

يُطلق على التعبير y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) + ych (x) الحل العام لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الترتيب التاسع.

لإيجاد حلول خاصة غير متجانسة المعادلات التفاضليةذات المعاملات الثابتة مع الجوانب اليمنى من النموذج: Pk (x) exp (ax) cos (bx) + Qm (x) exp (ax) sin (bx) ، حيث Pk (x) ، Qm (x) هي متعددة الحدود من الدرجة k و m وفقًا لذلك ، توجد خوارزمية بسيطة لبناء حل معين ، تسمى طريقة الاختيار.

طريقة الاختيار ، أو طريقة المعاملات غير المؤكدة ، هي كما يلي. تتم كتابة الحل المطلوب للمعادلة على النحو التالي: (Pr (x) exp (ax) cos (bx) + Qr (x) exp (ax) sin (bx)) xs ، حيث Pr (x) و Qr (x) هي كثيرات الحدود للدرجة r = max (k، m) مع معاملات غير معروفة pr، pr-1، ...، p1، p0، qr، qr-1، ...، q1، q0. يُطلق على العامل xs عامل الطنين. يحدث الرنين في الحالات التي يكون فيها من بين جذور المعادلة المميزة جذر l = a ± ib من التعددية s. أولئك. إذا كان من بين جذور المعادلة المميزة للمعادلة المتجانسة المقابلة ، هناك جزء منها يتطابق مع المعامل في الأس ، ويتزامن الجزء التخيلي مع المعامل في الوسيطة دالة مثلثيةعلى الجانب الأيمن من المعادلة ، وتعدد هذا الجذر هو s ، ثم في الحل المحدد المطلوب يوجد عامل الطنين xs. إذا لم يكن هناك مثل هذه المصادفة (s = 0) ، فلا يوجد عامل طنين.

باستبدال التعبير الخاص بحل معين على الجانب الأيسر من المعادلة ، نحصل على كثير حدود معمم من نفس الشكل مثل كثير الحدود على الجانب الأيمن من المعادلة ، ومعاملاته غير معروفة.

تتساوى كثيرات الحدود المعممة إذا وفقط إذا كانت معاملات العوامل على شكل xtexp (ax) sin (bx) و xtexp (ax) cos (bx) مع نفس قوى t متساوية. معادلة معاملات هذه العوامل ، نحصل على نظام من 2 (r + 1) المعادلات الجبرية الخطية في 2 (r + 1) مجهول. يمكن إثبات أن مثل هذا النظام متسق وله حل فريد.

طريقة المضاعفلاغرانج(في الأدب الإنجليزي "طريقة لاغرانج للمضاعفات غير المحددة") هذا الطريقة العدديةحلول مشاكل التحسين، والذي يسمح لك بتحديد الحد الأقصى "الشرطي" لوظيفة الهدف (الحد الأدنى أو الحد الأقصى للقيمة)

في ظل وجود قيود معينة على متغيراتها في شكل مساواة (أي المنطقة القيم المسموح بها)

˗ هذه هي قيم وسيطة الوظيفة (المعلمات الخاضعة للرقابة) في المنطقة الحقيقية التي تميل فيها قيمة الوظيفة إلى أقصى حد. يرجع استخدام الاسم الأقصى "الشرطي" إلى حقيقة أنه يتم فرض شرط إضافي على المتغيرات ، مما يحد من مساحة القيم المسموح بها عند البحث عن الحد الأقصى للوظيفة.

تسمح طريقة مضاعف لاغرانج بمشكلة إيجاد الحد الأقصى الشرطي للدالة الموضوعية على مجموعة القيم المقبولة ليتم تحويلها إلى المشكلة التحسين غير المشروطالمهام.

إذا كانت الوظائف و متواصلة مع مشتقاتها الجزئية ، ثم هناك متغيرات λ لا تساوي الصفر في نفس الوقت ، والتي بموجبها يتم استيفاء الشرط التالي:

وبالتالي ، وفقًا لطريقة مضاعفات لاغرانج للبحث عن أقصى حد للوظيفة الموضوعية في مجموعة القيم المسموح بها ، أقوم بتكوين دالة لاجرانج L (س ، λ) ، والتي تم تحسينها بشكل أكبر:

حيث λ ˗ هو متجه لمتغيرات إضافية تسمى مضاعفات غير محددةلاغرانج.

وبالتالي ، فإن مشكلة إيجاد الحد الأقصى الشرطي للدالة f (x) قد اختزلت إلى مشكلة إيجاد الحد الأقصى غير المشروط للدالة L (x ، λ).

و

يتم توفير الشرط اللازم للحد الأقصى لدالة لاغرانج من خلال نظام المعادلات (يتكون النظام من معادلات "n + m"):

يتيح حل نظام المعادلات هذا تحديد حجج الوظيفة (X) ، والتي تتوافق فيها قيمة الوظيفة L (x ، λ) ، وكذلك قيمة الوظيفة الموضوعية f (x) الطرف الأقصى.

قيمة مضاعفات لاغرانج (λ) ذات فائدة عملية إذا تم تقديم القيود في النموذج مع مصطلح مجاني للمعادلة (ثابت). في هذه الحالة ، يمكننا النظر بشكل أكبر (زيادة / نقص) في قيمة دالة الهدف عن طريق تغيير قيمة الثابت في نظام المعادلات. وبالتالي ، فإن مُضاعِف لاغرانج يميز معدل التغيير في الحد الأقصى لوظيفة الهدف مع تغيير في الثابت المحدد.

هناك عدة طرق لتحديد طبيعة الحد الأقصى للدالة الناتجة:

الطريقة الأولى: اسمحوا - إحداثيات النقطة القصوى ، و - القيمة المقابلة لوظيفة الهدف. يتم أخذ نقطة قريبة من النقطة ، ويتم حساب قيمة الوظيفة الهدف:

اذا كان ، إذن يوجد حد أقصى عند هذه النقطة.

اذا كان ، إذن يوجد حد أدنى عند هذه النقطة.

الطريقة الثانية: شرط كاف، والتي يمكنك من خلالها معرفة طبيعة الطرف الأقصى ، هي علامة التفاضل الثاني لوظيفة لاغرانج. يتم تعريف التفاضل الثاني لوظيفة لاغرانج على النحو التالي:

إذا كان في نقطة معينة الحد الأدنى، إذا ، إذن فالوظيفة الموضوعية f (x) لها شرط أقصى.

الطريقة الثالثة: أيضًا ، يمكن العثور على طبيعة الحد الأقصى للدالة من خلال النظر في دالة هيسيان لوظيفة لاغرانج. مصفوفة هسه متناظرة مصفوفة مربعةالمشتقات الجزئية الثانية للدالة عند النقطة التي تكون فيها عناصر المصفوفة متماثلة بالنسبة للقطر الرئيسي.

لتحديد نوع الطرف الأقصى (الحد الأقصى أو الأدنى للدالة) ، يمكنك استخدام قاعدة سيلفستر:

1. لكي يكون التفاضل الثاني لدالة لاغرانج ذا إشارة موجبة من الضروري أن تكون الزاوية الصغرى للدالة موجبة. في ظل هذه الظروف ، يكون للوظيفة حد أدنى في هذه المرحلة.

2. لكي يكون التفاضل الثاني لدالة لاغرانج سالبًا ، من الضروري أن تكون الزاوية الصغرى للدالة بديلة ، والعنصر الأول من المصفوفة يجب أن يكون سالب sv. في ظل هذه الظروف ، يكون للوظيفة حد أقصى في هذه المرحلة.

القاصر الزاوي هو قاصر يقع في الصفوف الأولى k وأعمدة k من المصفوفة الأصلية.

رئيسي قيمة عمليةتتمثل طريقة لاغرانج في أنها تسمح لك بالانتقال من التحسين الشرطي إلى التحسين غير المشروط ، وبالتالي توسيع ترسانة الأساليب المتاحة لحل المشكلة. ومع ذلك ، فإن مشكلة حل نظام المعادلات ، التي يتم اختزال هذه الطريقة إليها ، في الحالة العامةليس أسهل المشكلة الأصليةالبحث المتطرف. تسمى هذه الأساليب غير المباشرة. يتم تفسير استخدامها من خلال الحاجة إلى الحصول على حل لمشكلة متطرفة في شكل تحليلي (على سبيل المثال ، لبعض الحسابات النظرية). عند حل مشاكل عملية محددة ، عادة ما يتم استخدام الطرق المباشرة ، بناءً على العمليات التكرارية لحساب ومقارنة قيم الوظائف التي يتم تحسينها.

طريقة الحساب

خطوة واحدة: نحدد دالة لاغرانج من دالة موضوعية معينة ونظام القيود:

إلى الأمام

من أجل إضافة تعليقك على المقال ، يرجى التسجيل في الموقع.

طريقة LAGRANGE

طريقة الصب شكل تربيعيلمجموع المربعات ، المشار إليها في 1759 بواسطة J. Lagrange. دعها تعطى

من المتغيرات × 0 ، س 1 ، ... ، x n. مع معاملات من الميدان كالخصائص مطلوب إحضار هذا النموذج إلى الكنسي. عقل _ يمانع

بمساعدة غير المنحل التحول الخطيالمتغيرات. يتكون L.m مما يلي. يمكننا أن نفترض أنه ليست كل معاملات الصورة (1) تساوي صفرًا. لذلك ، هناك حالتان ممكنتان.

1) بالنسبة للبعض زقطري ثم

حيث لا تحتوي الصيغة f 1 (x) على متغير x ز. 2) إذا كان كل شيء لكن ومن بعد

حيث لا تحتوي الصيغة f 2 (x) على متغيرين xgو س ح.الأشكال الموجودة أسفل العلامات المربعة في (4) مستقلة خطيًا. عن طريق تطبيق تحولات النموذجين (3) و (4) بعد ذلك عدد محدوديتم تقليل الخطوات إلى مجموع مربعات الأشكال الخطية المستقلة خطيًا. باستخدام المشتقات الجزئية ، يمكن كتابة الصيغتين (3) و (4) على هيئة

أشعل.: G a n t m a h e r F. R. ،نظرية المصفوفات ، الطبعة الثانية ، موسكو ، 1966 ؛ K ur o sh A. G.، Course of Higher Algebra، 11th ed.، M.، 1975؛ الكسندروف بس ، محاضرات في الهندسة التحليلية ... ، م ، 1968. I. V. Proskuryakov.

موسوعة رياضية. - م: الموسوعة السوفيتية. آي إم فينوغرادوف. 1977-1985.

تعرف على "طريقة LAGRANGE" في القواميس الأخرى:

طريقة لاغرانج- طريقة لاجرانج - طريقة لحل عدد من فئات مسائل البرمجة الرياضية عن طريق إيجاد نقطة سرج (س * ، λ *) لوظيفة لاجرانج ، والتي يتم تحقيقها عن طريق معادلة الصفر للمشتقات الجزئية لهذه الدالة فيما يتعلق. .. ... القاموس الاقتصادي والرياضي

طريقة لاغرانج- طريقة لحل عدد من فئات مسائل البرمجة الرياضية عن طريق إيجاد نقطة السرج (x * ،؟ *) لدالة لاغرانج ، والتي يتم تحقيقها من خلال معادلة المشتقات الجزئية لهذه الدالة بصفر فيما يتعلق بـ xi و؟ i . انظر لاغرانج. )