أنواع المعادلات وطرق حلها. المعادلات الخطية
وزارة العامة و التعليم المهنيالترددات اللاسلكية
مؤسسة تعليمية بلدية
صالة رقم 12
مقال
في موضوع: المعادلات وطرق حلها
المكتمل: طالب 10 صف "أ"
كروتكو يفجيني
تم الفحص: مدرس الرياضيات Iskhakova Gulsum Akramovna
تيومين 2001
يخطط................................................. .................................................. ............................... واحد
مقدمة ... ................................................ .. ....................... 2
الجزء الرئيسي................................................ .................................................. .............. 3
استنتاج................................................. .................................................. ................ 25
طلب................................................. .................................................. ............... 26
قائمة المراجع ............................................... ............................... ................... ... 29
يخطط.
مقدمة.
مرجع التاريخ.
المعادلات. المعادلات الجبرية.
أ) التعريفات الأساسية.
ب) المعادلة الخطية وكيفية حلها.
ج) المعادلات التربيعية وطرق حلها.
د) المعادلات ذات الحدين ، طريقة لحلها.
هـ) المعادلات التكعيبية وطرق حلها.
ه) معادلة بكوادروكيفية حلها.
ز) معادلات الدرجة الرابعة وطرق حلها.
ز) معادلات الدرجات العليا وطرق الحل.
ح) المعادلة الجبرية العقلانية وطريقتها
و) المعادلات غير المنطقيةوطرق حلها.
ي) المعادلات التي تحتوي على المجهول تحت العلامة.
القيمة المطلقة وكيفية حلها.
المعادلات التجاوزية.
أ) المعادلات الأسيةوكيفية حلها.
ب) المعادلات اللوغاريتميةوكيفية حلها.
مقدمة
تلقى تعليم الرياضيات في مدرسة التعليم العام، هو محتوي اساسي تعليم عامو ثقافة مشتركة الإنسان المعاصر. كل ما يحيط بالشخص الحديث تقريبًا مرتبط بطريقة أو بأخرى بالرياضيات. لكن الإنجازات الأخيرةفي الفيزياء والتكنولوجيا و تكنولوجيا المعلوماتلا تدع مجالا للشك في أن الأمور ستبقى على حالها في المستقبل. لذلك ، فإن حل العديد من المشاكل العملية يقتصر على الحل أنواع مختلفةمعادلات لتعلم كيفية حلها.
هذا العمل هو محاولة لتعميم وتنظيم المواد المدروسة حول الموضوع أعلاه. لقد رتبت المادة وفقًا لدرجة تعقيدها ، بدءًا من الأبسط. يتضمن كلا من أنواع المعادلات المعروفة لنا من مسار الجبر المدرسي ، و مواد اضافية. في نفس الوقت حاولت إظهار أنواع المعادلات التي لم تتم دراستها فيها دورة مدرسية، ولكن المعرفة التي قد تكون مطلوبة عند دخول أعلى مؤسسة تعليمية. في عملي ، عند حل المعادلات ، لم أقصر نفسي على حل حقيقي فحسب ، بل أشرت أيضًا إلى حل معقد ، لأنني أعتقد أنه بخلاف ذلك لم يتم حل المعادلة ببساطة. بعد كل شيء ، إذا لم تكن هناك جذور حقيقية في المعادلة ، فهذا لا يعني أنه ليس لها حلول. لسوء الحظ ، نظرًا لضيق الوقت ، لم أتمكن من تقديم جميع المواد التي أمتلكها ، ولكن حتى مع المواد المعروضة هنا ، قد تثار أسئلة كثيرة. آمل أن تكون معرفتي كافية للإجابة على معظم الأسئلة. لذا ، سأقوم بتقديم المادة.
الرياضيات ... تكشف عن النظام
التناظر واليقين ،
وهذا هو أهم الأنواعجميلة.
أرسطو.
مرجع التاريخ
في تلك الأوقات البعيدة ، عندما بدأ الحكماء في التفكير لأول مرة في المساواة التي تحتوي على كميات غير معروفة ، ربما لم تكن هناك عملات معدنية أو محافظ حتى الآن. لكن من ناحية أخرى ، كانت هناك أكوام ، بالإضافة إلى الأواني والسلال ، والتي كانت مثالية لدور المخازن المؤقتة التي تحتوي على عدد غير معروف من العناصر. "نحن نبحث عن كومة ، مع ثلثيها ، نصف وسبع ، تساوي 37 ..." - درس في الألفية الثانية قبل الميلاد عهد جديدالكاتب المصري احمس. في القديم المشاكل الرياضيةبلاد ما بين النهرين والهند والصين واليونان بكميات غير معروفة تعبر عن عدد الطاووس في الحديقة ، وعدد الثيران في القطيع ، ومجموع الأشياء التي تؤخذ في الاعتبار عند قسمة الممتلكات. الكتبة والمسؤولون والكهنة الذين بدأوا في المعرفة السرية ، مدربين جيدًا في علم العد ، تعاملوا مع مثل هذه المهام بنجاح كبير.
تشير المصادر التي وصلت إلينا إلى أن العلماء القدماء امتلكوا بعض الأساليب العامة لحل المشكلات بكميات غير معروفة. ومع ذلك ، لا توجد بردية واحدة ولا لوح طيني واحد يعطي وصفاً لهذه التقنيات. قدم المؤلفون من حين لآخر حساباتهم العددية بتعليقات متوسطة مثل: "انظر!" ، "افعلها!" ، "لقد وجدت ذلك صحيحًا." بهذا المعنى ، فإن الاستثناء هو "الحساب" لعالم الرياضيات اليوناني ديوفانتوس الإسكندري (القرن الثالث) - مجموعة من المشاكل لتجميع المعادلات مع عرض منظم لحلولها.
ومع ذلك ، أصبح عمل الباحث البغدادي في القرن التاسع هو أول دليل لحل المشكلات أصبح معروفًا على نطاق واسع. محمد بن موسى الخوارزمي. كلمة "الجبر" من العنوان العربي لهذه الرسالة - "كتاب الجابر والمقابلة" - مع مرور الوقت تحولت إلى كلمة "الجبر" المعروفة للجميع ، و عمل الخوارزمي نفسه كان بمثابة نقطة انطلاق في تطوير علم حل المعادلات.
المعادلات. المعادلات الجبرية
التعاريف الأساسية
في الجبر ، هناك نوعان من المساواة - الهويات والمعادلات.
هويةهي المساواة التي تحمل جميع القيم (المقبولة) للأحرف). لكتابة الهوية مع الإشارة
يتم استخدام العلامة أيضًا.المعادلة- هذه مساواة لا ترضي إلا بعض قيم الحروف المتضمنة فيها. يمكن أن تكون الأحرف المضمنة في المعادلة ، حسب حالة المشكلة ، غير متساوية: يمكن للبعض أن يأخذ كل ما لديهم القيم المسموح بها(يطلق عليهم المعلماتأو معاملاتالمعادلات وعادة ما يشار إليها بالحروف الأولى الأبجدية اللاتينية:
، ، ... - أو نفس الأحرف ، مزودة بالفهارس: ، ، ... أو ، ...) ؛ يتم استدعاء الآخرين الذين يمكن العثور على قيمهم مجهول(عادةً ما يُشار إليها بالأحرف الأخيرة من الأبجدية اللاتينية: ، ، ، ، ... - أو بنفس الأحرف ، مزودة بالمؤشرات: ، ، ... ، أو ، ...).في نظرة عامةيمكن كتابة المعادلة على النحو التالي:
(, , ..., ).حسب الرقم معادلة غير معروفةتسمى معادلة ذات مجهول واحد أو اثنين أو ما إلى ذلك.
المعادلة هي تعبير رياضي معادلة تحتوي على مجهول. إذا كانت المساواة صحيحة بالنسبة لأية قيم مقبولة للمجهول المتضمن فيها ، فإنها تسمى هوية ؛ على سبيل المثال: علاقة مثل (س - 1) 2 = (س - 1) (س - 1) تنطبق على جميع قيم س.
إذا كانت المعادلة التي تتضمن x غير معروف تنطبق فقط على قيم معينة لـ x ، وليس لجميع قيم x ، كما في حالة الهوية ، فقد يكون من المفيد تحديد قيم x التي لها المعادلة صحيحة. تسمى قيم x هذه بجذور أو حلول المعادلة. على سبيل المثال ، الرقم 5 هو جذر المعادلة 2x + 7 = 17.
في فرع الرياضيات المسمى بنظرية المعادلات ، يكون الموضوع الرئيسي للدراسة هو طرق حل المعادلات. في دورة الجبر المدرسية ، يتم إيلاء الكثير من الاهتمام للمعادلات.
يعود تاريخ دراسة المعادلات إلى قرون عديدة. أشهر علماء الرياضيات الذين ساهموا في تطوير نظرية المعادلات هم:
أرخميدس (حوالي 287-212 قبل الميلاد) - عالم يوناني قديم وعالم رياضيات وميكانيكي. في دراسة مشكلة واحدة ، والتي تم اختزالها إلى معادلة تكعيبية ، اكتشف أرخميدس دور الخاصية ، والتي أصبحت تُعرف فيما بعد باسم المميز.
عاش فرانسوا فيت في القرن السادس عشر. لقد قدم مساهمة كبيرة في الدراسة مشاكل مختلفةالرياضيات. على وجه الخصوص ، قدم التدوين الحرفي لمعاملات المعادلة وأسس علاقة بين جذور المعادلة التربيعية.
ليونارد أويلر (1707 - 1783) - عالم رياضيات وميكانيكي وفيزيائي وعالم فلك. مؤلف كتاب St. 800 ورقة في التحليل الرياضي ، المعادلات التفاضلية، الهندسة ، نظرية الأعداد ، الحسابات التقريبية ، الميكانيكا السماوية ، الرياضيات ، البصريات ، المقذوفات ، بناء السفن ، نظرية الموسيقى ، إلخ. كان له تأثير كبير على تطور العلوم. اشتق الصيغ (صيغ أويلر) للتعبير الدوال المثلثيةمتغير x من خلال دالة أسية.
لاغرانج جوزيف لويس (1736-1813) ، عالم رياضيات فرنسيوميكانيكي. يمتلك أبحاثًا متميزة ، من بينها البحث في الجبر (الوظيفة المتماثلة لجذور المعادلة ، في المعادلات التفاضلية (نظرية الحلول الفردية ، طريقة اختلاف الثوابت).
J. Lagrange و A. Vandermonde - علماء رياضيات فرنسيون. في عام 1771 ، تم استخدام طريقة حل أنظمة المعادلات (طريقة الاستبدال) لأول مرة.
غاوس كارل فريدريش (1777-1855) - عالم رياضيات ألماني. كتب كتابًا يلخص نظرية معادلات تقسيم الدائرة (أي المعادلات xn - 1 = 0) ، والذي كان من نواح كثيرة نموذجًا أوليًا لنظرية جالوا. بعيدا الطرق الشائعةحل هذه المعادلات ، وإنشاء صلة بينها وبين بناء المضلعات المنتظمة. لقد قام ، لأول مرة بعد العلماء اليونانيين القدماء ، بخطوة مهمة إلى الأمام في هذا الأمر ، وهي: وجد كل قيم n التي من أجلها العادية n-gonيمكن بناؤها ببوصلة ومسطرة. تعلمت كيف تضيف. وخلص إلى أن أنظمة المعادلات يمكن إضافتها وتقسيمها ومضاعفتها فيما بينها.
O.I.Somov - إثراء أجزاء مختلفة من الرياضيات بأعمال مهمة ومتعددة ، من بينها نظرية معادلات جبرية معينة درجات أعلى.
Galois Evariste (1811-1832) ، عالم رياضيات فرنسي. ميزته الرئيسية هي صياغة مجموعة من الأفكار ، والتي أتى إليها بالارتباط مع استمرار البحث حول قابلية حل المعادلات الجبرية ، التي بدأها ج. درجة واحدة غير معروفة.
أ.ف.بوغوريلوف (1919-1981) - ترتبط الأساليب الهندسية في عمله طرق تحليليةنظرية المعادلات التفاضلية ذات المشتقات الجزئية. كان لأعماله أيضًا تأثير كبير على نظرية المعادلات التفاضلية غير الخطية.
P. Ruffini - عالم رياضيات إيطالي. كرس عددًا من الأعمال لإثبات عدم قابلية معادلة الدرجة الخامسة للحل ، ويستخدم بشكل منهجي إغلاق مجموعة الاستبدالات.
على الرغم من حقيقة أن العلماء كانوا يدرسون المعادلات لفترة طويلة ، فإن العلم لا يعرف كيف ومتى يحتاج الناس إلى استخدام المعادلات. من المعروف فقط أن المشكلات التي أدت إلى حل أبسط المعادلات قد حلها الناس منذ أن أصبحوا بشرًا. 3 - 4 آلاف سنة أخرى قبل الميلاد. ه. عرف المصريون والبابليون كيفية حل المعادلات. تتطابق قاعدة حل هذه المعادلات مع المعادلة الحديثة ، لكن من غير المعروف كيف وصلوا إلى هذه النقطة.
في مصر القديمةوبابل ، تم استخدام طريقة الموقف الخاطئ. يمكن دائمًا اختزال معادلة الدرجة الأولى مع مجهول إلى الشكل ax + b = c ، حيث a ، b ، c أعداد صحيحة. وفقا للقوانين عمليات حسابيةفأس \ u003d ج - ب ،
إذا كانت b> c ، فإن c b رقم سالب. الأعداد السالبةكانت غير معروفة للمصريين والعديد من الشعوب الأخرى اللاحقة (على قدم المساواة مع أرقام موجبةبدأ استخدامهم في الرياضيات فقط في القرن السابع عشر). لحل المشكلات التي نحلها الآن باستخدام معادلات من الدرجة الأولى ، تم اختراع طريقة الموضع الخاطئ. في بردية أحمس ، تم حل 15 مشكلة بهذه الطريقة. كان لدى المصريين علامة خاصة لعدد غير معروف ، والتي كانت تُقرأ حتى وقت قريب "كيف" وترجمتها كلمة "كومة" ("كومة" أو "عدد غير معروف" من الوحدات). الآن يقرأون بشكل أقل دقة: "آها". طريقة الحل التي يستخدمها Ahmes تسمى طريقة الموقف الخاطئ الواحد. باستخدام هذه الطريقة ، يتم حل المعادلات ذات الشكل ax = b. تتكون هذه الطريقة من قسمة كل جانب من جوانب المعادلة على. تم استخدامه من قبل كل من المصريين والبابليين. في شعوب مختلفةتم استخدام طريقة وضعين خاطئين. مكن العرب هذه الطريقة وحصلوا على الشكل الذي انتقلت به إلى الكتب المدرسية للشعوب الأوروبية ، بما في ذلك حساب ماغنيتسكي. يسمي Magnitsky طريقة حل "القاعدة الخاطئة" ويكتب في جزء من كتابه يشرح هذه الطريقة:
Zelo bo cunning هو هذا الجزء ، كما يمكنك وضع كل شيء معه. ليس فقط ما هو في المواطنة ، ولكن أيضًا العلوم العليا في الفضاء ، حتى يتم سردها في فلك السماء ، مثل الحكماء هناك حاجة.
يمكن تلخيص محتوى قصائد Magnitsky على النحو التالي: هذا الجزء من الحساب صعب للغاية. بمساعدتها ، لا يمكنك حساب ما هو مطلوب في الممارسة اليومية فحسب ، بل إنها تحل أيضًا الأسئلة "الأعلى" التي تواجه "الحكيم". يستخدم Magnitsky "قاعدة خاطئة" بالشكل الذي أعطاه إياها العرب ، واصفا إياها "بحساب خطأين" أو "طريقة الأوزان". غالبًا ما أعطى علماء الرياضيات الهنود مشاكل في الشعر. تحدي اللوتس:
فوق البحيرة الهادئة ، نصف مقياس فوق الماء ، كان لون اللوتس مرئيًا. نشأ وحيدًا ، والريح في موجة ثنيه جانبًا ، ولم يعد
زهور فوق الماء. وجدت عين الصياد مقياسين من حيث نشأ. كم عدد البحيرات هنا عمق المياه؟ سأقدم لك سؤالا.
أنواع المعادلات
المعادلات الخطية هي معادلات بالصيغة: ax + b = 0 ، حيث a و b بعض الثوابت. إذا كانت a لا تساوي الصفر ، فإن المعادلة لها جذر واحد: x \ u003d - b: a (ax + b ؛ ax \ u003d - b ؛ x \ u003d - b: a.).
على سبيل المثال: حل معادلة خطية: 4x + 12 = 0.
الحل: من T. إلى a \ u003d 4 ، و b \ u003d 12 ، ثم x \ u003d - 12: 4 ؛ س = - 3.
تحقق: 4 (- 3) + 12 = 0 ؛ 0 = 0.
بما أن k 0 = 0 ، فإن -3 هو جذر المعادلة الأصلية.
إجابه. س = -3
إذا كان a صفرًا و b صفرًا ، فإن جذر المعادلة ax + b = 0 هو أي رقم.
فمثلا:
0 = 0. بما أن 0 يساوي 0 ، فإن جذر المعادلة 0x + 0 = 0 هو أي رقم.
إذا كانت a تساوي صفرًا و b ليست صفرية ، فإن المعادلة ax + b = 0 ليس لها جذور.
فمثلا:
0 \ u003d 6. بما أن 0 لا تساوي 6 ، فإن 0x - 6 \ u003d 0 ليس لها جذور.
نظم المعادلات الخطية.
نظام المعادلات الخطية هو نظام تكون فيه جميع المعادلات خطية.
حل نظام يعني إيجاد كل الحلول الخاصة به.
قبل حل نظام المعادلات الخطية ، يمكنك تحديد عدد حلوله.
دع نظام المعادلات يُعطى: (а1х + b1y = с1، (а2х + b2y = c2.
إذا كانت a1 على a2 لا تساوي b1 مقسومة على b2 ، فإن النظام لديه حل فريد واحد.
إذا كان a1 مقسومًا على a2 يساوي b1 مقسومًا على b2 ، ولكنه يساوي c1 مقسومًا على c2 ، فلن يكون للنظام أي حلول.
إذا كان a1 على a2 يساوي b1 مقسومًا على b2 ، ويساوي c1 مقسومًا على c2 ، فإن النظام يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.
نظام المعادلات الذي يحتوي على حل واحد على الأقل يسمى متوافق.
يسمى نظام المفصل محدد إذا كان كذلك عدد محدودالحلول ، وإلى أجل غير مسمى إذا كانت مجموعة الحلول لا نهائية.
يسمى النظام الذي لا يحتوي على حل واحد غير متناسق أو غير متسق.
طرق حل المعادلات الخطية
هناك عدة طرق لحل المعادلات الخطية:
1) طريقة الاختيار. وهذا هو الأكثر أبسط طريقة. يكمن في حقيقة أن جميع القيم الصالحة للمجهول يتم اختيارها عن طريق التعداد.
فمثلا:
حل المعادلة.
دع x = 1. ثم
4 = 6. بما أن 4 لا تساوي 6 ، فإن افتراضنا أن x = 1 كان غير صحيح.
دع x = 2.
6 = 6. بما أن 6 يساوي 6 ، فإن افتراضنا أن x = 2 كان صحيحًا.
الجواب: س = 2.
2) طريقة التبسيط
تكمن هذه الطريقة في حقيقة أن جميع الأعضاء التي تحتوي على المجهول يتم نقلها إلى الجانب الأيسر ، والمعروفة إلى اليمين بـ علامة المعاكس، وإعطاء مماثلة ، وقسم كلا طرفي المعادلة على معامل المجهول.
فمثلا:
حل المعادلة.
5x - 4 = 11 + 2x ؛
5x - 2x = 11 + 4 ؛
3 س = 15 ؛ : (3) س = 5.
إجابه. س = 5.
3) طريقة رسومية.
يتكون من حقيقة أن الرسم البياني للوظائف مبني معادلة معينة. لأنه في المعادلة الخطية y \ u003d 0 ، سيكون الرسم البياني موازيًا لمحور y. ستكون نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور السيني هي حل هذه المعادلة.
فمثلا:
حل المعادلة.
دع y = 7. ثم y = 2x + 3.
لنقم ببناء رسم بياني لوظائف كلتا المعادلتين:
طرق حل أنظمة المعادلات الخطية
في الصف السابع يتم دراسة ثلاث طرق لحل أنظمة المعادلات:
1) طريقة الاستبدال.
تتكون هذه الطريقة من حقيقة أنه في إحدى المعادلات يتم التعبير عن مجهول من حيث الآخر. يتم استبدال التعبير الناتج في معادلة أخرى ، والتي تتحول بعد ذلك إلى معادلة مجهولة واحدة ، ثم يتم حلها. يتم استبدال القيمة الناتجة لهذا المجهول في أي معادلة للنظام الأصلي ويتم العثور على قيمة المجهول الثاني.
فمثلا.
حل نظام المعادلات.
5 س - 2 ص - 2 = 1.
3 س + ص = 4 ؛ ص \ u003d 4 - 3x.
استبدل التعبير الناتج في معادلة أخرى:
5x - 2 (4 - 3x) -2 \ u003d 1 ؛
5x - 8 + 6x = 1 + 2 ؛
11 س = 11 ؛ : (11) س = 1.
استبدل القيمة الناتجة في المعادلة 3x + y \ u003d 4.
3 1 + ص = 4 ؛
3 + ص = 4 ؛ ص \ u003d 4 - 3 ؛ ص = 1.
فحص.
/ 3 1 + 1 = 4 ،
\ 5 1 - 2 1 - 2 = 1 ؛
الجواب: س = 1 ؛ ص = 1.
2) طريقة الجمع.
هذه الطريقة هي إذا هذا النظاميتكون من المعادلات التي ، عند إضافة مصطلح بمصطلح ، تشكل معادلة مع واحد غير معروف ، ثم من خلال حل هذه المعادلة ، نحصل على قيمة أحد المجهولين. يتم استبدال القيمة الناتجة لهذا المجهول في أي معادلة للنظام الأصلي ويتم العثور على قيمة المجهول الثاني.
فمثلا:
حل نظام المعادلات.
/ 3y - 2x \ u003d 5 ،
\ 5 س - 3 س = 4.
لنحل المعادلة الناتجة.
3 س = 9 ؛ : (3) س = 3.
دعنا نستبدل القيمة التي تم الحصول عليها في المعادلة 3y - 2x = 5.
3 س - 2 3 = 5 ؛
3 ص = 11 ؛ : (3) ص = 11/3 ؛ ص = 3 2/3.
لذا س = 3 ؛ ص = 3 2/3.
فحص.
/ 3 11/3 - 2 3 = 5 ،
\ 5 3 - 3 11/3 = 4 ؛
إجابه. س = 3 ؛ ص = 3 2/3
3) طريقة رسومية.
تعتمد هذه الطريقة على حقيقة أن الرسوم البيانية للمعادلات يتم رسمها في نظام إحداثي واحد. إذا تقاطعت الرسوم البيانية للمعادلة ، فإن إحداثيات نقطة التقاطع هي الحل لهذا النظام. إذا كانت الرسوم البيانية للمعادلة عبارة عن خطوط متوازية ، فلا يوجد حلول للنظام المعطى. إذا اندمجت الرسوم البيانية للمعادلات في خط مستقيم واحد ، فإن النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول.
فمثلا.
حل نظام المعادلات.
18 س + 3 ص - 1 = 8.
2x - ص \ u003d 5 ؛ 18x + 3y - 1 = 8 ؛
ص = 5 - 2 س ؛ 3y \ u003d 9-18x ؛ : (3) ص = 2 س - 5. ص = 3-6 س.
نقوم ببناء الرسوم البيانية للوظائف y \ u003d 2x - 5 و y \ u003d 3-6x على نفس نظام الإحداثيات.
الرسوم البيانية للوظائف y \ u003d 2x - 5 و y \ u003d 3-6x تتقاطع عند النقطة A (1 ؛ -3).
لذلك ، سيكون حل نظام المعادلات هذا هو x = 1 و y = -3.
فحص.
2 1 - (- 3) = 5 ،
18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.
18 - 9 – 1 = 8;
إجابه. س = 1 ؛ ص = -3.
استنتاج
بناءً على كل ما سبق ، يمكننا أن نستنتج أن المعادلات ضرورية في العالم الحديثليس فقط لحل المشكلات العملية ، ولكن أيضًا كأداة علمية. لذلك ، درس العديد من العلماء هذه المسألة واستمروا في الدراسة.
يتم وضع نص العمل بدون صور وصيغ.
النسخة الكاملةالعمل متاح في علامة التبويب "ملفات العمل" بتنسيق PDF
المقدمة
"المعادلة هي المفتاح الذهبي الذي يفتح كل السمسم الرياضي"
إس كوفال
تعليم الرياضيات الذي يتم تلقيه في المدرسة هو غاية في الروعة الجزء الرئيسيحياة الإنسان الحديث. يرتبط كل ما يحيط بنا تقريبًا بطريقة أو بأخرى بالرياضيات. يتم تقليل حل العديد من المشكلات العملية إلى حل المعادلات من أنواع مختلفة.
المعادلات هي الموضوع الأكثر ضخامة في دورة الجبر بأكملها. في الماضي السنة الأكاديميةفي دروس الجبر تعرفنا على المعادلات التربيعية. تستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في حل المشكلات المختلفة ، سواء في مجال الرياضيات أو في مجال الفيزياء والكيمياء.
في دورة الرياضيات المدرسية ، الأساسي حلولالمعادلات التربيعية. ومع ذلك ، هناك طرق أخرى لحل المعادلات التربيعية ، بعضها يسمح لك بحلها بسرعة وعقلانية.
أجرينا استطلاعًا على 84 طالبًا في الصفوف 8-9 على سؤالين:
ما هي طرق حل المعادلات التربيعية التي تعرفها؟
أي منها تستخدم أكثر؟
بناءً على نتائج المسح ، تم الحصول على النتائج التالية:
بعد تحليل النتائج ، توصلنا إلى استنتاج مفاده أن معظم الطلاب يستخدمون معادلات الجذر عند حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز ولا يدركون جيدًا كيفية حل المعادلات التربيعية.
وبالتالي ، فإن الموضوع الذي اخترناه مناسب.
نضع أمام أنفسنا هدف: يكتشف طرق غير تقليديةحل المعادلات التربيعية ، لتعريف الطلاب في الصفين 8 و 9 إلى طرق مختلفةالحلول ، تطوير القدرة على اختيار طريقة عقلانية لحل المعادلة التربيعية.
لتحقيق هذا الهدف ، تحتاج إلى حل ما يلي مهام:
جمع معلومات حول طرق مختلفة لحل المعادلات التربيعية ،
لإتقان الحلول التي تم العثور عليها ،
اكتب برنامجًا لحل المعادلات التربيعية باستخدام صيغ جذور المعادلة التربيعية في Excel ،
طور مواد تعليميةلدرس أو الأنشطة اللامنهجية ل طرق غير قياسيةحل المعادلات التربيعية ،
إجراء درس "طرق غير عادية لحل المعادلات التربيعية" مع الطلاب في الصفوف 8-9.
موضوع الدراسة: المعادلات التربيعية.
موضوع البحث: طرق مختلفة لحل المعادلات التربيعية.
نحن نصدق ذلك أهمية عمليةيتكون العمل من إمكانية استخدام بنك من التقنيات والأساليب لحل المعادلات التربيعية في الرياضيات و نشاطات خارجيةوكذلك تعريف الطلاب في الصفوف 8-9 بهذه المادة.
الفصل 1. طرق غير عادية لحل المعادلات التربيعية
- خصائص المعادلات (أ ، ب ، ج)
تعتمد الطريقة على خصائص المعاملات أ ، ب ، ج:
اذا كان أ + ب + ج = 0 ،ثم = 1 =
مثال:
-6x 2 + 2 س + 4 = 0 ،ثم = 1 ، = =.
اذا كان أ ب + ج = 0 ،ثم = -1 ، = -
مثال:
2017x 2 + 2001 س +16 = 0 ،ثم = -1 ، -.
- تبعات المعامِلات (أ ، ب ، ج)
التبعيات التالية للمعاملات صالحة أ ، ب ، ج:
إذا كانت ب = أ 2 +1 ، ج = أ ، إذن س 1 = -أ ؛ × 2 \ u003d -.
إذا كان ب = - (أ 2 +1) ، أ = ج ، إذن س 1 = أ ؛ × 2 =.
إذا كانت b = a 2-1 ، c = -a ، ثم x 1 = -a ؛ × 2 =.
إذا كان ب = - (أ 2 -1) ، -أ = ج ، إذن س 1 = أ ؛ × 2 \ u003d -.
لنحل المعادلات التالية:
5x 2 + 26 س + 5 = 0
x 1 = -5
x 2 = - 0,2.
13 ضعفًا 2 - 167 × + 13 = 0
x 1 = 13 س 2 =
14 ضعفًا 2 + 195 س - 14 = 0
x 1 = - 14 س 2 =
10x 2 - 99x - 10 = 0
x 1 = 10 س 2 =-0,1.
- "عكس" المعامل الرئيسي
معامل في الرياضيات او درجة أيتم ضربه بالمصطلح المجاني ، كما لو "تم نقله" إليه ، لذلك يطلق عليه طريقة "التحويل". علاوة على ذلك ، تم العثور على الجذور من خلال نظرية فييتا. يتم تقسيم الجذور التي تم العثور عليها على المعامل المنقولة سابقًا ، وبفضل ذلك نجد جذور المعادلة.
مثال:
2x 2 - 3 س + 1 = 0.
دعنا "ننقل" المعامل 2 إلى المصطلح المجاني ، ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة
في 2 - 3 س + 2 = 0.
وفقًا لنظرية فييتا
في 1 = 2 ، س 1 = 2/2 ، س 1 = 1,
في 2 = 1 ؛ x 2 = 1/2 ؛ x 2 = 0,5.
الجواب: 0.5 ؛ واحد.
- طريقة الحل الرسومية
إذا كان في المعادلة أ x 2 + ب س + ج= 0 حرك المصطلحين الثاني والثالث إلى الجانب الأيمن، ثم نحصل على ملف x 2 = -bx-ج .
دعونا نبني الرسوم البيانية التبعية في= الفأس 2 و في= -bx-جفي نظام إحداثيات واحد.
الرسم البياني للاعتماد الأول هو قطع مكافئ يمر عبر الأصل. الرسم البياني للتبعية الثانية هو خط مستقيم.
الحالات التالية ممكنة:
يمكن أن يتقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ عند نقطتين ، وتشكل حدود نقاط التقاطع جذور المعادلة التربيعية ؛
يمكن أن يلمس الخط والقطع المكافئ (نقطة مشتركة واحدة فقط) ، أي المعادلة لها حل واحد ؛
الخط المستقيم والقطع المكافئ لا يملكان النقاط المشتركة، بمعنى آخر. المعادلة التربيعية ليس لها جذور.
لنحل المعادلات التالية:
1) × 2 + 2 س - 3 = 0
× 2 \ u003d - 2x + 3
في نظام إحداثيات واحد ، نقوم بإنشاء رسم بياني للوظيفة y \ u003d x 2 ورسم بياني للوظيفة y \ u003d - 2x + 3. للدلالة على حدود نقاط التقاطع ، نحصل على الإجابة.
الجواب: × 1 \ u003d - 3 ، × 2 \ u003d 1.
2) × 2 + 6 × +9 = 0
× 2 \ u003d - 6x - 9
في نظام إحداثي واحد ، نقوم بإنشاء رسم بياني للوظيفة y \ u003d x 2 ورسم بياني للوظيفة y \ u003d -6x - 9. للدلالة على حدود نقطة اللمس ، نحصل على الإجابة.
الجواب: س = - 3.
3) 2 س 2 + 4 س + 7 = 0
2 س 2 = - 4 س - 7
في نظام إحداثي واحد ، نقوم بإنشاء رسم بياني للوظيفة y \ u003d 2x 2 ورسم بياني للوظيفة
القطع المكافئ y \ u003d 2x 2 والخط المستقيم y \ u003d - 4x - 7 ليس لهما نقاط مشتركة ، وبالتالي فإن المعادلة ليس لها جذور.
الجواب: لا جذور.
- حل المعادلات التربيعية بمساعدة البوصلة والمسطرة
نحل المعادلة ax 2 + bx + c \ u003d 0:
لنقم ببناء النقاط S (-b: 2a، (a + c): 2a) - مركز الدائرة والنقطة A (0،1).
ارسم دائرة نصف قطرها SA.
إن حدود نقاط التقاطع مع محور الثور هي جذور المعادلة الأصلية.
في هذه الحالة ، هناك ثلاث حالات ممكنة:
1) نصف قطر الدائرة أكبر من إحداثيات المركز ( AS> SK، أو ص>) ، تتقاطع الدائرة مع المحور أوهبنقطتين .. ب ( X 1 ؛ 0) و د (x 2 ؛ 0) ، أين X 1 و X 2 - جذور المعادلة التربيعية أوه 2 + ب س + ج = 0.
2) نصف قطر الدائرة يساوي إحداثيات المركز ( AS = SВ، أو ص =) ، تلامس الدائرة المحور أوهعند النقطة ب ( X 1 ؛ 0) أين X 1 هو جذر المعادلة التربيعية.
3) نصف قطر الدائرة أقل من إحداثيات المركز ( كما< SВ ، أو ص< ) ، ليس للدائرة نقاط مشتركة مع المحور السيني ، وفي هذه الحالة لا يوجد حل للمعادلة.
أ) AS> SВأو ص>، ب) AS = SВأو ص =في) كما< SВ, أو ص< .
حلان X 1 و X 2 . حل واحد X 1.. ليس له حل.
مثال 1: 2x 2 - 8 س + 6 = 0.
المحلول:
لنرسم دائرة نصف قطرها SA ،أين لكن (0;1).
الجواب: × 1 \ u003d 1 ، × 2 \ u003d 3.
المثال الثاني:× 2 - 6 س + 9 = 0.
المحلول: أوجد الإحداثيات S: x = 3، y = 5.
الجواب: س = 3.
المثال 3:× 2 + 4 س + 5 = 0.
المحلول:إحداثيات مركز الدائرة: x = - 2 و y = 3.
الجواب: لا جذور
- NOMOGRAM SOLUTION
Nomogram (من اليونانية "nomos" - القانون وغرام) ، التمثيل البيانيدوال من عدة متغيرات ، مما يسمح باستخدام بسيط العمليات الهندسية(على سبيل المثال ، تطبيق مسطرة) استكشاف التبعيات الوظيفية بدون حسابات. على سبيل المثال ، حل معادلة من الدرجة الثانية بدون استخدام الصيغ.
إنه قديم والآن الطريق المنسيحل المعادلات التربيعية ، الموضوعة في الصفحة 83 من المجموعة: Bradis V.M. "الجداول الرياضية الرباعية الأبعاد". - M. ، "DROFA" ، 2000. الجدول الثاني والعشرون. مخطط حل المعادلات ض 2 + pz + q = 0(انظر الملحق 1).
يسمح هذا الرسم البياني ، بدون حل المعادلة التربيعية ، بتحديد جذور المعادلة بواسطة معاملاتها.
تم بناء المقياس المنحني للرسم البياني وفقًا للصيغ: OV= , AB =
بافتراض OS = p ، ED = q ، OE = أ(الكل في سم) ، من مثلثات مماثلة سانو CDFنحصل على النسبة حيث ، بعد الاستبدالات والتبسيط ، تتبع المعادلة z 2 + pz + q = 0 ، والحرف z يعني تسمية أي نقطة على مقياس منحني.
مثال 1: ض 2 - 9 ع + 8 = 0.
على المقياس p نجد العلامة -9 وعلى المقياس q العلامة 8. نرسم خطًا مستقيمًا من خلال هذه العلامات يتقاطع مع منحنى مقياس الرسم البياني عند العلامات 1 و 8. لذلك ، جذور المعادلة 1 و 8.
الجواب: 1 ؛ ثمانية.
تم حل هذه المعادلة في جدول Bradys في الصفحة 83 (انظر الملحق 1).
المثال الثاني: 2z 2 - 9 ع + 2 = 0.
نقسم معاملات هذه المعادلة على 2 ، نحصل على المعادلة:
ض 2 - 4.5z + 1 = 0.يعطي الرسم البياني الجذور ض 1 = 4 و ض 2 = 0,5.
الجواب: 4 ؛ 0.5
المثال 3:x 2 - 25 س + 66 = 0
المعاملتان p و q خارج النطاق. لنقم بإجراء الاستبدال س = 5z، نحصل على المعادلة:
ض 2 - 5 ز + 2.64 = 0 ،
والتي يتم حلها عن طريق مخطط رمزي.
احصل على z 1 = 0,6 و ض 2 = 4,4,
أين x 1 = 5z 1 = 3,0 و x 2 = 5z 2 = 22,0.
الجواب: 3 ؛ 22.
المثال 4:ض 2 + 5z - 6 = 0 ، 1 =1 ، أ جذر سلبيتجد بالطرح جذر إيجابي out -p , أولئك. ض 2 = - ص -1 = - 5-1 = -6.
الجواب: 1 ؛ -6.
المثال 5:ض 2 - 2z - 8 = 0 ،يعطي الرسم البياني جذرًا موجبًا لـ z 1 =4, والسالب هو z 2 = -p-4 =
= 2 - 4= -2.
الجواب: 4 ؛ -2.
الفصل 2
قررنا كتابة برنامج لحل المعادلة التربيعية باستخدام باستخدام Excel- منتشر برنامج الحاسب. هناك حاجة لإجراء العمليات الحسابية ، وتجميع الجداول والرسوم البيانية ، وحساب بسيط و وظائف معقدة. إنه جزء من حزمة Microsoft Office.
ملزمة برامج اكسل، حيث يتم عرض الصيغ:
ورقة إكسل تظهر مثال محددحل المعادلة التربيعية x 2 - 14x - 15 = 0:
الفصل 3
|
صيغة جذور المعادلة التربيعية باستخدام المميز D و D1 |
براعة ، لأن يمكن استخدامها لحل جميع المعادلات التربيعية تمامًا |
مميز مرهق غير مدرج في جدول المربعات |
|
نظرية فييتا |
حل سريع في حالات معينة وتوفير الوقت |
إذا لم يكن المميز هو المربع الكامل لعدد صحيح. معاملات غير صحيحة ب وج. |
|
اختيار مربع كامل |
مع التحويل الصحيح لمربع ذات الحدين ، نحصل على معادلة تربيعية غير كاملة ، وبالتالي ، يتم العثور على الجذور بشكل أسرع |
صعوبة اختيار مربع كامل عندما احتمالات كسريةالمعادلات |
|
طريقة التجميع |
يمكن حلها دون معرفة الصيغ |
ليس من الممكن دائمًا تحليل المصطلح المتوسط إلى مصطلحات مناسبة للتجميع |
|
طريقة رسومية |
لا الصيغ المطلوبة. يمكنك معرفة عدد جذور المعادلة بسرعة |
تقريب المحلول |
|
الخصائص المعاملات أ ، ب ، ج |
سرعة اتخاذ القرار. للمعادلات ذات المعاملات الكبيرة |
مناسب فقط لبعض المعادلات |
|
"Reroll" من المعامل الرئيسي |
سرعة الحل إذا كانت الجذور عددًا صحيحًا |
نفس استخدام نظرية فييتا |
|
مخطط الاسم |
الرؤية كل ما يتطلبه الأمر لحل هو رسم بياني |
ليس لديك دائمًا مخطط ترميز معك. عدم دقة الحل |
|
البحث عن الجذور بالبوصلة والمسطرة |
الرؤية |
إذا كانت إحداثيات المركز عبارة عن أعداد غير صحيحة. إيجاد جذور المعادلات ذات المعاملات الكبيرة |
"غالبًا ما يكون أكثر فائدة لطالب الجبر أن يحل المشكلة نفسها بثلاث طرق مختلفة بدلاً من حل ثلاث أو أربع مسائل مختلفة. حل مشكلة واحدة أساليب مختلفة، يمكنك معرفة أيهما أقصر وأكثر كفاءة عن طريق المقارنة. هذه هي الطريقة التي تصنع بها التجربة ".
والتر وارويك سوير
في سياق العمل ، جمعنا المواد ودرسنا طرقًا لحل (إيجاد الجذور) للمعادلات التربيعية. يتم تقديم حل المعادلات بطرق مختلفة في الملحق 2.
دراسة طرق مختلفةحل المعادلات التربيعية ، خلصنا إلى أنه لكل معادلة يمكنك اختيار الطريقة الأكثر فعالية وعقلانية للعثور على الجذور. كل حل من الحلول فريد ومريح في حالات معينة. توفر بعض طرق الحل الوقت ، وهو أمر مهم عند حل المهام لـ OGE ، بينما يساعد البعض الآخر في حل المعادلة بمعامِلات كبيرة جدًا. حاولنا مقارنة الحلول المختلفة من خلال تجميع جدول يعكس إيجابيات وسلبيات كل طريقة من الطرق.
لقد تطورنا مذكرة. يمكنك التعرف على بنك المهام حول الموضوع في الملحق 3.
استخدام مايكروسوفت اكسل، قمنا بتجميعها جدول، والذي يسمح لك بحساب جذور المعادلة التربيعية تلقائيًا باستخدام صيغ الجذر.
كان لدينا درس في طرق غير عاديةحل المعادلات التربيعية لطلبة الصف التاسع. لقد أحب الطلاب حقًا الأساليب ، وأشاروا إلى أن المعرفة المكتسبة ستكون مفيدة لهم فيها مزيد من التعليم. كانت نتيجة الدرس عمل الطلاب الذي قدموا فيه خيارات مختلفةحل المعادلات التربيعية (انظر الملحق 4).
يمكن استخدام مادة العمل من قبل أولئك الذين يحبون الرياضيات وأولئك الذين يريدون معرفة المزيد عن الرياضيات.
المؤلفات
براديس ف م. "جداول رياضية من أربعة أرقام لـ المدرسة الثانوية"، م: بوستارد ، 2000.
فيلينكين ن. "الجبر للصف الثامن" ، م: التربية ، 2000.
جاليتسكي م. "مجموعة المهام في الجبر" م: التربية 2002.
جليزر جي آي "تاريخ الرياضيات في المدرسة" ، م: التربية ، 1982.
Zvavich L.I. "Algebra Grade 8" ، موسكو: Mnemosyne ، 2002.
ماكاريشيف يو. "الجبر الصف الثامن" ، موسكو: التعليم ، 2015.
Pluzhnikov I. "10 طرق لحل المعادلات التربيعية" // الرياضيات في المدرسة. - 2000. - رقم 40.
Presman A.A. "حل معادلة تربيعية باستخدام بوصلة ومسطرة" // م. ، كفانت ، رقم 4/72 ، ص 34.
Savin A.P. " قاموس موسوعيعالم رياضيات شاب
موسكو: علم أصول التدريس ، 1989.
موارد الإنترنت:
http://revolution.allbest.ru/
المرفقات 1
"مجموعة BRADIS V.M."
الملحق 2
"حل المعادلة بكل الطرق"
المعادلة الأولية:4x 2 + 3 س -1 = 0.
1- صيغة جذور المعادلة التربيعية باستخدام المميز د
4x 2 + 3 س -1 = 0
د =ب 2 - 4ac = 9 + 16 = 25> 0 ، =>المعادلة لها جذران
x 1,2 =
x 1 ==
x 2 ==-1
2. نظرية فييتا
4x 2 + 3 س -1 = 0 ،قسّم المعادلة على 4 لتقليلها
X 2 + س - = 0
X 1 = -1
X 2 =
3. طريقة اختيار مربع كامل
4x 2 + 3 س -1 = 0
(4x 2 + 2 * 2x * +) - 1 = 0
(2x +) 2 -=0
(2 س + -) (2 س + +) = 0 ،
(2x -) = 0 (2x +2) = 0
X 1 = س 2 = -1
4. طريقة التجميع
4x 2 + 3 س -1 = 0
4x 2 + 4x-1x-1 = 0
4 س (س + 1) -1 (س + 1) = 0
(4x-1) (x + 1) = 0 ،المنتج = 0 عندما يكون أحد العوامل = 0
(4x-1) = 0 (x + 1) = 0
X 1 = س 2 = -1
5. خواص المعاملات
4x 2 + 3 س -1 = 0
إذا كانت أ - ب + ج = 0 ، إذن = -1 ، = -
4-3-1=0, => = -1, =
6. طريقة "التحويل" للمعامل الرئيسي
4x 2 + 3 س -1 = 0
ذ 2 + 3 ص - 4 = 0
نظرية فييتا:
ذ 1 = -4
ذ 2 = 1
نقسم الجذور التي تم العثور عليها على المعامل الرئيسي ونحصل على جذور المعادلة:
X 1 = -1
X 2 =
7. طريقة لحل المعادلات التربيعية باستخدام البوصلة والمسطرة
4x 2 + 3 س -1 = 0
حدد إحداثيات نقطة مركز الدائرة بالصيغ:
X 1 = -1
X 2 =
8. حل رسومي
4x 2 + 3 س -1 = 0
4x 2 = - 3 س + 1
في نظام إحداثيات واحد ، نقوم بإنشاء رسم بياني للوظيفة ص = 4x 2 والرسم البياني للوظيفة
ص \ u003d - 3 س + 1.للدلالة على حدود نقاط التقاطع ، نحصل على الإجابة:
X 1 = -1
9. استخدام النموجرام
4x 2 + 3 س -1 = 0 ،نقسم معاملات المعادلة 1 / على 4 ، نحصل على المعادلة
X 2 + س - = 0.
يعطي الرسم البياني جذرًا موجبًا = ,
ويتم إيجاد الجذر السالب بطرح الجذر الموجب من - p , أولئك.
x 2 = - ص - = - - = -1.
10. حل هذه المعادلة في EXCEL
الملحق 3
"المواد الشخصية لهذا الموضوع
“حل المعادلات التربيعية " »
10x 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200.7
-10x 2 + 7 س + 3 = 0 -1 0.3
354 ضعفًا 2 -52 س -302 = 0 1 -
100 ضعف 2 -99x-1 \ u003d 0 1 -0.01
5x 2 + 9 س + 4 = 0 -1 -0.8
2017x 2 + س -2016 = 0 -1
22 ضعفًا 2 + 10x-12 = 0 -1
5432 ضعفًا 2 -3087 × 2345 = 0 1 -
4x 2 + 2x -6s \ u003d 0 1 -1.5
55 ضعفًا 2 -44 س -11 = 0 1 -0.2
6x 2 - 7x - 3 \ u003d 0 -، 1.5
4x 2 -17 س -15 = 0 -0.75.5
4271 ضعفًا 2 -4272 س + 1 = 0 1 ،
3x 2 + 10x + 7 \ u003d 0 -1 ، - 2
5x 2 - 11x + 2 \ u003d 0 2، 0.2
2x 2 - 11 س + 15 = 0 2.5 ، 3
4x 2 + 4x -3 \ u003d 0 -1.5 ، 0.5
5x 2 -12 س + 7 = 0 1.4 ، 1
2x 2 + 13 س + 15 = 0 -1.5 -5
3x 2 -7 س + 2 = 0 1/3 2
الملحق 4
يعمل الطالب
أنا أعرف رياضيات المدرسة، يسمع الطفل مصطلح "المعادلة" لأول مرة. ما هو ، دعنا نحاول معرفة ذلك معًا. في هذه المقالة ، سننظر في أنواع وطرق الحل.
رياضيات. المعادلات
بادئ ذي بدء نقترح التعامل مع المفهوم نفسه ، ما هو؟ كما تقول العديد من كتب الرياضيات المدرسية ، فإن المعادلة عبارة عن بعض التعبيرات التي توجد دائمًا علامة التساوي بينها. تحتوي هذه التعبيرات على أحرف تسمى المتغيرات التي يجب إيجاد قيمتها.
هذه سمة نظام تغير قيمتها. مثال جيدالمتغيرات هي:
- درجة حرارة الهواء؛
- ارتفاع الطفل
- الوزن وهلم جرا.
في الرياضيات ، يُشار إليها بالحروف ، على سبيل المثال ، x ، a ، b ، c ... عادةً ما تكون المهمة في الرياضيات كما يلي: ابحث عن قيمة المعادلة. هذا يعني أنك بحاجة إلى إيجاد قيمة هذه المتغيرات.
أصناف
يمكن أن تكون المعادلة (ما هي ، التي ناقشناها في الفقرة السابقة) بالشكل التالي:
- خطي؛
- ميدان؛
- مكعب؛
- جبري؛
- غير محدود.
لمزيد من التعارف المفصل مع جميع الأنواع ، سننظر في كل منها على حدة.
معادلة خط مستقيم
هذا هو النوع الأول الذي يتعرف عليه الطلاب. يتم حلها بسرعة وبساطة. إذن ، ما هي المعادلة الخطية؟ هذا تعبير عن النموذج: ax = s. هذا ليس واضحًا جدًا ، لذا دعنا نعطي بعض الأمثلة: 2x = 26 ؛ 5 س = 40 ؛ 1.2x = 6.
لنلقِ نظرة على أمثلة المعادلات. للقيام بذلك ، نحتاج إلى جمع كل البيانات المعروفة من جهة ، والبيانات غير المعروفة من جهة أخرى: x = 26/2؛ س = 40/5 ؛ س = 6 / 1.2. تستخدم هنا القواعد الابتدائيةالرياضيات: أ * ج = هـ ، من ج = هـ / أ ؛ أ = البريد / ثانية. لإكمال حل المعادلة ، نقوم بإجراء واحد (في حالتنا ، القسمة) x = 13 ؛ س = 8 ؛ س = 5. كانت هذه أمثلة على الضرب ، فلنلقِ نظرة الآن على الطرح والجمع: x + 3 = 9؛ 10x-5 = 15. نقوم بنقل البيانات المعروفة في اتجاه واحد: x = 9-3 ؛ س = 20/10. نقوم بتنفيذ الإجراء الأخير: x = 6 ؛ س = 2.
من الممكن أيضًا استخدام متغيرات المعادلات الخطية ، حيث يتم استخدام أكثر من متغير واحد: 2x-2y = 4. من أجل الحل ، من الضروري إضافة 2y إلى كل جزء ، نحصل على 2x-2y + 2y \ u003d 4-2y ، كما لاحظنا ، على الجانب الأيسر من علامة التساوي -2y و + 2y يتم تقليلها ، بينما نحن لديك: 2x \ u003d 4 -2u. الخطوة الأخيرة هي قسمة كل جزء على اثنين ، نحصل على الإجابة: x يساوي اثنين ناقص y.
تم العثور على مشاكل مع المعادلات حتى على ورق البردي أحمس. إليكم إحدى المسائل: مجموع العدد والجزء الرابع منه يصل إلى 15. لحلها ، نكتب المعادلة التالية: x زائد ربع x يساوي 15. نرى مثالًا آخر كنتيجة للحل ، نحصل على الإجابة: x = 12. لكن هذه المشكلة يمكن حلها بطريقة أخرى وهي المصرية أو كما يطلق عليها بطريقة أخرى طريقة الافتراض. تستخدم فى البردى الحل التالي: خذ أربعة وجزءها الرابع ، أي واحد. في المجموع ، يعطون خمسة ، والآن يجب أن نقسم خمسة عشر على المجموع ، نحصل على ثلاثة ، بالإجراء الأخير نضرب ثلاثة في أربعة. نحصل على الجواب: 12. لماذا نقسم خمسة عشر على خمسة في الحل؟ إذن ، نكتشف عدد مرات 15 ، أي النتيجة التي نحتاج إلى الحصول عليها أقل من خمسة. في العصور الوسطى ، تم حل المشكلات بهذه الطريقة ، وأصبحت تُعرف باسم طريقة الموضع الخاطئ.
المعادلات التربيعية
بالإضافة إلى الأمثلة التي تمت مناقشتها سابقًا ، هناك أمثلة أخرى. ماذا بالضبط؟ ما هي المعادلة التربيعية؟ تبدو مثل الفأس 2 + ب س + ج = 0. لحلها ، تحتاج إلى التعرف على بعض المفاهيم والقواعد.
أولاً ، عليك إيجاد المميز باستخدام الصيغة: b 2 -4ac. هناك ثلاثة حلول ممكنة:
- مميز فوق الصفر;
- أقل من الصفر؛
- يساوي صفر.
في الخيار الأول ، يمكننا الحصول على إجابة من جذرين ، تم إيجادهما بواسطة الصيغة: -b + - جذر المميز مقسومًا على المعامل الأول المضاعف ، أي 2 أ.
في الحالة الثانية ، المعادلة ليس لها جذور. في الحالة الثالثة ، يمكن إيجاد الجذر بالصيغة: -b / 2a.
ضع في اعتبارك مثالًا لمعادلة تربيعية لمعرفة أكثر تفصيلاً: ثلاثة س تربيع ناقص أربعة عشر س ناقص خمسة يساوي صفرًا. بادئ ذي بدء ، كما كتبنا سابقًا ، نبحث عن المميز ، وهو في حالتنا 256. لاحظ أن الرقم الناتج أكبر من الصفر ، لذلك يجب أن نحصل على إجابة تتكون من جذرين. نعوض بالمميز الناتج في الصيغة لإيجاد الجذور. ونتيجة لذلك ، لدينا: x يساوي خمسة وسالب ثلث.
حالات خاصة في المعادلات التربيعية
هذه أمثلة تكون فيها بعض القيم صفر (أ ، ب ، ج) ، وربما أكثر من واحد.
على سبيل المثال ، لنأخذ المعادلة التالية ، وهي تربيعية: اثنان x تربيع يساوي صفرًا ، وهنا نرى أن b و c هما صفر. دعنا نحاول حلها ، لهذا نقسم كلا جزئي المعادلة على اثنين ، لدينا: x 2 \ u003d 0. نتيجة لذلك ، نحصل على x = 0.
حالة أخرى هي 16x2-9 = 0. هنا فقط ب = 0. نحل المعادلة ، وننقل المعامل المجاني إلى الجانب الأيمن: 16x 2 \ u003d 9 ، والآن نقسم كل جزء على ستة عشر: × 2 \ u003d تسعة على ستة عشر. نظرًا لأن لدينا x تربيع ، فإن جذر 9/16 يمكن أن يكون سالبًا أو موجبًا. نكتب الإجابة على النحو التالي: س يساوي موجب / ناقص ثلاثة أرباع.
مثل هذه الإجابة ممكنة أيضًا ، لأن المعادلة ليس لها جذور على الإطلاق. لنلق نظرة على هذا المثال: 5x 2 + 80 = 0 ، هنا ب = 0. لحل العضو المجاني ، قم برميها إلى الجانب الأيمن ، بعد هذه الإجراءات نحصل عليها: 5x 2 \ u003d -80 ، الآن نقسم كل جزء على خمسة: x 2 \ u003d ناقص ستة عشر. إذا تم تربيع أي رقم ، إذن معنى سلبيلن نحصل عليه. لذلك ، تبدو إجابتنا على النحو التالي: ليس للمعادلة جذور.
التوسع ثلاثي الحدود
يمكن أن تبدو مهمة المعادلات التربيعية بطريقة أخرى: تتحلل ثلاثي الحدود مربعللمضاعفات. يمكن القيام بذلك باستخدام الصيغة التالية: a (x-x 1) (x-x 2). لهذا ، كما هو الحال في نسخة أخرى من المهمة ، من الضروري إيجاد المميز.
تأمل المثال التالي: 3x 2-14x-5 ، حلل ثلاثي الحدود إلى عوامل. نوجد المميز ، باستخدام الصيغة المعروفة لدينا ، اتضح أنها 256. نلاحظ على الفور أن 256 أكبر من الصفر ، وبالتالي ، سيكون للمعادلة جذران. نجدهم ، كما في الفقرة السابقة ، لدينا: x \ u003d خمسة وناقص ثلث. دعنا نستخدم الصيغة لتحليل ثلاثي الحدود إلى عوامل: 3 (x-5) (x + 1/3). في القوس الثاني ، حصلنا على علامة يساوي ، لأن الصيغة تحتوي على علامة ناقص ، والجذر أيضًا سلبي ، باستخدام المعرفة الأولية للرياضيات ، في المجموع لدينا علامة زائد. للتبسيط ، نضرب الحد الأول والثالث من المعادلة للتخلص من الكسر: (x-5) (x + 1).
المعادلات التربيعية
في هذه الفقرةتعلم حل المزيد معادلات معقدة. لنبدأ على الفور بمثال:
(س 2 - 2 س) 2 - 2 (س 2 - 2 س) - 3 = 0. يمكننا ملاحظة العناصر المكررة: (س 2 - 2 س) ، من المناسب لنا استبدالها بمتغير آخر للحل ، و ثم نحل المعادلة التربيعية المعتادة ، نلاحظ على الفور أنه في مثل هذه المهمة سنحصل على أربعة جذور ، وهذا لا ينبغي أن يخيفك. نشير إلى تكرار المتغير أ. نحصل على: a 2 -2a-3 = 0. خطوتنا التالية هي إيجاد مميز المعادلة الجديدة. نحصل على 16 ، نجد جذرين: ناقص واحد وثلاثة. نتذكر أننا قمنا بالاستبدال ، واستبدلنا هذه القيم ، ونتيجة لذلك لدينا المعادلات: x 2 - 2x \ u003d -1 ؛ × 2 - 2 س = 3. نحلها في الإجابة الأولى: x يساوي واحد، في الثانية: x يساوي سالب واحد وثلاثة. نكتب الإجابة على النحو التالي: زائد / ناقص واحد وثلاثة. كقاعدة عامة ، يتم كتابة الإجابة بترتيب تصاعدي.
المعادلات التكعيبية
لنفكر في شيء آخر متغير ممكن. سيكون ذلكحول المعادلات التكعيبية. تبدو مثل: ax 3 + b x 2 + cx + d = 0. سننظر في أمثلة المعادلات أدناه ، ولكن أولاً نظرية صغيرة. يمكن أن يكون لها ثلاثة جذور ، وهناك أيضًا صيغة لإيجاد المميز لمعادلة تكعيبية.
فكر في مثال: 3x 3 + 4x 2 + 2x = 0. كيف حلها؟ للقيام بذلك ، نخرج x من الأقواس: x (3x 2 + 4x + 2) = 0. كل ما يتبقى لنا هو حساب جذور المعادلة بين قوسين. مميز المعادلة التربيعية بين قوسين أقل من الصفر ، لذا فإن التعبير له جذر: x = 0.
الجبر. المعادلات
هيا بنا نمضي قدما ل النوع التالي. سنراجع الآن باختصار المعادلات الجبرية. إحدى المهام هي كما يلي: تحليل 3x 4 + 2x 3 + 8x 2 + 2x + 5. الطريقة الأكثر ملاءمة هي التجميع التالي: (3x 4 + 3x 2) + (2x 3 + 2x) + (5x 2 + 5). لاحظ أننا مثلنا 8x2 من التعبير الأول كمجموع 3x2 و 5x2. نخرج الآن من كل قوس العامل المشترك 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 + 1) + 5 (x 2 + 1). نرى أن لدينا عاملًا مشتركًا: x تربيع زائد واحد ، نخرجه من الأقواس: (x 2 +1) (3x 2 + 2x + 5). مزيد من التوسع أمر مستحيل ، لأن كلا المعادلتين لهما تمييز سلبي.
المعادلات التجاوزية
نقترح التعامل مع النوع التالي. هذه معادلات تحتوي على وظائف متعالية ، أي اللوغاريتمية أو المثلثية أو الأسية. أمثلة: 6sin 2 x + tgx-1 = 0 ، x + 5lgx = 3 وهكذا. كيف يتم حلها سوف تتعلم من مسار علم المثلثات.
دور
الخطوة الأخيرة هي النظر في مفهوم معادلة الوظيفة. على عكس الخيارات السابقة ، نوع معينلم يتم حلها ، ولكن تم إنشاء رسم بياني عليها. للقيام بذلك ، يجب تحليل المعادلة جيدًا ، والعثور على جميع النقاط اللازمة للبناء ، وحساب الحد الأدنى والحد الأقصى من النقاط.
عادة ما تسمى المعادلة ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية بالمعادلة التربيعية. من وجهة نظر الجبر ، يتم وصفه بالصيغة a * x ^ 2 + b * x + c = 0. في هذه الصيغة ، x هو المجهول الذي يمكن إيجاده (يطلق عليه المتغير الحر) ؛ أ ، ب ، ج معاملات عددية. فيما يتعلق بمكونات هذا ، هناك عدد من القيود: على سبيل المثال ، يجب ألا يكون المعامل a مساويًا لـ 0.
حل المعادلة: مفهوم المميز
تسمى قيمة المجهول x ، حيث تتحول المعادلة التربيعية إلى مساواة حقيقية ، بجذر هذه المعادلة. من أجل حل معادلة من الدرجة الثانية ، يجب عليك أولاً العثور على قيمة المعامل الخاص - المميز ، الذي سيُظهر عدد جذور المساواة المدروسة. يتم حساب المميز بالصيغة D = b ^ 2-4ac. في هذه الحالة ، يمكن أن تكون نتيجة الحساب موجبة أو سالبة أو مساوية للصفر.في هذه الحالة ، يجب ألا يغيب عن البال أن المفهوم يتطلب أن يكون المعامل a فقط مختلفًا تمامًا عن 0. لذلك ، يمكن أن يكون المعامل b مساويًا لـ 0 ، والمعادلة نفسها في هذه الحالة هي * x ^ 2 + ج \ u003d 0. في مثل هذه الحالة ، يجب استخدام قيمة المعامل التي تساوي 0 في الصيغ لحساب المميز والجذور. لذلك ، سيتم حساب المميز في هذه الحالة على النحو D = -4ac.
العم فانيا مؤامرة المسرحية. "العم إيفان. الموقف من أستاذ الآخرين
تساخيس الصغير ، الملقب بزينوبر
مايكوف ، أبولون نيكولايفيتش - سيرة ذاتية قصيرة