جميع الصيغ الخاصة بالتقدم الحسابي والهندسي 9. التقدم الحسابي (الصف 9): الصيغ والأمثلة

الغرض من اللعبة :

1. تعميم وتنظيم معارف الطلاب حول هذا الموضوع.
2. تعريف الطلاب بالمواد التاريخية.

المعدات: ملصق اللعبة "التقدم - المضي قدمًا".

ينقسم جميع الطلاب إلى خمس مجموعات + نصيحة الحكماء

لقد انتهى القرن العشرون.
اين يذهب الشخص؟
استكشاف الفضاء والبحر
هيكل النجوم والأرض كلها.
لكن علماء الرياضيات ينادون
شعار مشهور:
"Progressio - المضي قدمًا".

اليوم سيكون لدينا مجلس في الفصل - مجلس الحكماء. الحكماء هم طلاب يجلسون في مجموعات في الفصل. والجوس الحكماء يجلسون على هذه الطاولة.

هل تتعرف عليهم؟

الجلوس على الطاولة: أرخميدس ، غاوس ، ماغنيتسكي.

من وجد صيغة مجموع المربعات؟
وجاء الطريق الصحيح للتقدم؟
عالم رياضيات وفيزيائي. أنا أرخميدس.
هناك العديد من الأساطير حول حياتي.

اوه! أنا كارل جاوس! وجدت على الفور مجموع الكل الأعداد الطبيعيةمن 1 إلى 100 كطالب في مدرسة ابتدائية.

ماغنيتسكي. رب! يشرفني أن أقدم نفسي. أنا ليونتي فيليبوفيتش ماغنيتسكي ، مؤلف أول كتاب مدرسي "الحساب".

معلم. أخبرني يا رفاق ، لماذا اجتمع هؤلاء العلماء فجأة على طاولة واحدة؟ ما هو السؤال الرياضي الذي يوحدهم؟ إذا لم تكن قد اكتشفت ذلك ، فراقب المشهد بعناية.

أسطورة هندية قديمة

يظهر ملك هندوسي في الفصل مع خادم.

القيصر. أنا ، الملك الهندوسي شيرام ، تعلمت لعبة الشطرنج وأعجب بذكائها وتنوع المواقف. خادمة ، لنسمي المخترع سيتو. أريد أن أكافئك بشكل مناسب ، سيث ، على اللعبة الرائعة التي توصلت إليها. اسم مكافأة ترضيك وستحصل عليها.

سيث. رب. اطلب مني أن أعطني حبة قمح واحدة في الخلية الأولى من رقعة الشطرنج

القيصر. حبة قمح بسيطة؟

سيث. نعم ، يا سيد للخلية الثانية ، من أجل إعطاء حبتين ، للثالث - 4 ، للرابع - 8 ، وللخامس - 16 ، وهكذا حتى الخلية 64.

ضحك الملك شيرام.

معلم. يا حكماء الصف التاسع ، دعونا نتشاور. هل يضحك الملك؟

سجل على السبورة: 1،2،4،8،16 ، ... .. ق 64 -؟

يقرر الطلاب. ب 1 = 1 ، ف = 2 ، ن = 64 ، ق 64 = 2 64-1.

معلم. ما هو حجم هذا الرقم؟ من يستطيع شرح ذلك؟

أرخميدس. أحكم! إذا استطاع الملك أن يزرع القمح على كامل سطح الأرض ، بعد البحار والمحيطات والجبال والصحراء والقطب الشمالي والقارة القطبية الجنوبية ، ويحصل على حصاد مرضٍ ، إذن ، ربما ، يمكن أن يدفع في غضون خمس سنوات. إيقاف.

جاوس. الرياضيات علم دقيق. (يكتب على السبورة 18446744073709551615). 18 كوينتيليون 446 كوادريليون 744 تريليون 73 مليار 709 مليون 551 ألف 615.

ماغنيتسكي. اللورد الحكماء من الصف التاسع! سيقول معاصري أن S 64 18.5 10 18. صحيح ، أعترف لك أنه في كتابي المدرسي "الحساب" ، الذي نشر قبل 200 عام ، والذي درس الأطفال منه لمدة نصف قرن ، هناك العديد من المشكلات حول موضوع "التعاقب" ، لكنني قمت بحل بعضها بصعوبة كبيرة ، لأنني لم أجد حتى الآن جميع الصيغ المتعلقة بالكميات المدرجة فيها.

تحت صرير قلم على ورقة.
املأ هذه الأوراق!
نرجو أن تساعدك مساعينا!

يتم توزيع الأوراق الفارغة لاختبار معرفة النظرية ، أي استعادة الملخص الأساسي حول موضوع "التعاقب".

يكمل الطلاب الجدول. يظهر الجدول التالي على السبورة:

	التعاقب	الحساب أ ن	هندسي ب ن
	تعريف		ب ن + 1 = ب ن س (س 0 ، ف 1)
	صيغة n المصطلحات الأولى	أ n \ u003d a 1 + (n-1) د
	مجموع أول n من شروط التقدم	S ن =	S n = وكان البحث عنهم موضع تقدير من قبلنا. يجب الآن دمج الكلمات ، في أي عبارة يمكن الجمع بينهما؟ "الرياضيات ملكة العلوم ، والحساب ملكة الرياضيات" يا حكماء الزمن! لا يمكنك العثور على أصدقاء. انتهى المجلس اليوم لكن يجب أن يعرف الجميع: المعرفة والمثابرة والعمل الجاد يؤدي إلى التقدم في الحياة!

التقدم الحسابي والهندسي.

درس في الصف التاسع.

مدرس الرياضيات - بريخودكو غالينا فلاديميروفنا

أهداف الدرس:

التعليمية: تحسين المهارات في استخدام الصيغ الحسابية والتقدم الهندسي لحل مشاكل المحتوى التطبيقي ، وإظهار استخدام صيغ التقدم لمشاكل في الفيزياء ، وعلم الأحياء ، والاقتصاد ، واختبار استيعاب المعرفة من خلال إجراء عمل مستقلفي شكل اختبار.

تعليمي: لتنمية الشعور بالمسؤولية والاحترام المتبادل والقدرة على العمل في مجموعات.

تطوير: لتنمية الاهتمام بالموضوع ، والحاجة إلى اكتساب معرفة جديدة.

نوع الدرس: طاولة مستديرة.

خلال الفصول:

1.) تنظيم الوقت. شكل الطلاب مجموعات: قسم النظرية ، قسم التاريخ ، علم الأحياء ، الفيزياء ، الاقتصاد.

2.) المسح. قسم النظرية.

خطة الاستجواب: التعريف ، الخصائص ، صيغة العضو التاسع ، صيغة المجموع.

المتوالية العددية. المتوالية الهندسية.

1. 1.

2.
2.

3.
3.

4.
4.

5.
5.

3.) قسم التاريخ.

ترتبط أسماء علماء الرياضيات التالية بمفهوم التسلسل. أعضاء التسلسل 1،1،2،3،5،8،13،21،34،55،89 ... تسمى أرقام فيبوناتشي. يفسر ذلك حقيقة أن عالم الرياضيات والتاجر الإيطالي ليوناردو من بيزا (فيبوناتشي) كان أول من أنشأ علاقة بين هذا التسلسل والمشكلة المعروفة لتكاثر الأرانب. في هذه المشكلة ، يتم التحقق من عدد نسل زوج واحد من الأرانب ، والذي يجلب شهريًا زوجًا من الأرانب ، ويبدأ هؤلاء في الشهر أيضًا في إنتاج النسل.

منذ أن اكتشف فيبوناتشي تسلسله ، تم العثور على ظواهر طبيعية يلعب فيها هذا التسلسل دورًا مهمًا. واحد منهم هو phyllotaxis (ترتيب الأوراق) - القاعدة التي بموجبها ، على سبيل المثال ، توجد البذور في إزهار عباد الشمس. يتم ترتيب البذور في صفين من الحلزونات ، أحدهما يسير في اتجاه عقارب الساعة والآخر في الاتجاه المعاكس. وعدد البذور في كل حالة هو 34 و 55 ، ومع ذلك ، هناك أيضًا عمالقة بـ 89 و 144 بذرة. يمكن العثور على خاصية مماثلة في هيكل مخاريط الصنوبر. لوحظ الشيء نفسه على ثمار الأناناس.

وجد عالم الرياضيات الألماني البارز ك.جاوس مجموع التقدم الحسابي

1، 2، 3، ...، 98،99،100 في سن الخامسة.

مع تسلسل هندسي 1 ، 2 ،
مرتبطة بأسطورة قديمة. سأل الحكيم الهندي ، الذي اخترع لعبة الشطرنج ، من الراجا عن اختراعه ، للوهلة الأولى ، مكافأة متواضعة: للخلية الأولى من رقعة الشطرنج 1 حبة قمح ، للخلية الثانية - 2 ، للثالث - 4 ، إلخ. . - لكل خلية تالية مرتين أكثر من الخلية السابقة. المجموعالحبوب التي طلبها المخترع تساويها

صُدم الراجح الثري عندما علم أنه غير قادر على إشباع "الرغبة المتواضعة" للحكيم. قيمة هذا التعبير هي 18446744073709551615 أي 18 كوينتيليون 446 كوادريليون 744 تريليون 73 مليار 709 مليون 551 ألف 615.

من أجل إدراك حجم هذا العدد ، تخيل أن الحبوب مخزنة في حظيرة بمساحة 12 هكتارًا. سيكون ارتفاعه أكبر من المسافة من الأرض إلى الشمس.

4.) قسم الأحياء.

في علم الأحياء أيضًا ، هناك ظواهر يمكن وصفها باستخدام التعاقب. على وجه الخصوص ، تكاثر الكائنات الحية. من خلال معرفة خصائص الكائن الحي مثل تواتر التكاثر وعدد النسل ، من الممكن التنبؤ بعدد السكان خلال فترة زمنية معينة باستخدام التعاقب. يتم النظر في مثل هذه العملية في المشكلة التالية.

مهمة.

بعد أن دخلت البكتيريا الجسم ، تنقسم إلى قسمين بحلول نهاية 20 دقيقة ، ينقسم كل منهما إلى قسمين مرة أخرى بحلول نهاية 20 دقيقة ، وهكذا. كم عدد البكتيريا الموجودة في الجسم في اليوم؟

المحلول:

يزداد عدد البكتيريا مرتين كل 20 دقيقة ، لذلك لدينا:

1،2،4،8 ، ... تقدم هندسي فيه

حسب الصيغة
تجد

بكتيريا.

إجابه:
بكتيريا.

5.) قسم الفيزياء.

من المعروف من تاريخ علم الفلك أن آي تيتيوس ، عالم الفلك الألماني وجد القرن الثامن عشر ، باستخدام سلسلة من أرقام فيبوناتشي ، نمطًا وترتيبًا في المسافات بين الكواكب النظام الشمسي. ومع ذلك ، هناك حالة واحدة بدت أنها مخالفة للقانون: لم يكن هناك كوكب بين المريخ والمشتري. أدت المراقبة المركزة لهذه المنطقة من السماء إلى اكتشاف حزام الكويكبات ، حدث هذا بعد وفاة تيتيوس في التاسع عشر في وقت مبكرمئة عام.

التعاقب يعبر عن قوانين البعض الظواهر الفيزيائية. على سبيل المثال ، وفقًا للقانون المتوالية الهندسيةيحدث تأثير التأين. في تأثير التأين ، يصل أيون موجب إلى سطح القطب السالب ويقرع الإلكترون. هذا الإلكترون ، الذي يمتلك طاقة كبيرة ، يقطع إلكترونًا من الغلاف الخارجي للذرة التي يلتقي بها في طريقه. الإلكترونان المتكونان بالفعل ضربا 2 آخرين ، و 4 تلقى 4 آخرين ، وهكذا دواليك.

يوجد مفهوم في الفيزياء حركة متسارعة بشكل موحد. إذا كان الجسم يتحرك بعجلة منتظمة ، فإن المسافة التي يقطعها في كل وحدة زمنية لاحقة تزداد بنفس المقدار. أولئك. أجزاء المسار التي يمر بها الجسم في 1،2،3،4 ، ... الوحدات الزمنية تشكل تقدمًا حسابيًا.

مهمة.

الكرة التي تتدحرج في شلال تنتقل 0.6 متر في الثانية الأولى ، و 0.6 متر أكثر في كل ثانية لاحقة. كم من الوقت سيستغرقه المشي 6 أمتار؟

المحلول:
م
م
م.

5 ـ لا يفي بشرط المشكلة

تقطع الكرة 6 أمتار في 4 ثوانٍ.

الجواب: 4sec.

6.) قسم الاقتصاد.

تأسس أول بنك في البندقية عام 1171. حيث النظام المصرفييطور ويحسن.

في حالة وضع إيداع نقدي في أحد البنوك ، يحصل المودع على نسبة معينة لاستخدام أمواله.

مهمة.

يدفع البنك 2٪ سنويا. كم سيكون مبلغ المساهمة 800 ريال نهاية كل عام؟ للسنة الأولى أو الثانية نمو الودائع أكثر؟ ماذا ستكون المساهمة بعد 3 سنوات؟

المحلول:

يترك A هو الإيداع الأولي ، والذي يمثل p ٪ سنويًا ، ثم A
- نمو الودائع خلال عام لدينا

أين
- أصبحت قيمة ثابتة لأي مبلغ. بعد عامين لدينا:

أولئك. يزداد نمو المساهمة وفقًا لقانون التقدم الهندسي.

إذا وضع المودع 800 روبل في البنك ، بنسبة 2 ٪ سنويًا ، فإن الزيادة تتشكل

800 0.02 = 16 ص

للسنة الأولى مبلغ الإيداع 800 + 16 = 816 روبل

للسنة الثانية 816 (1 + 0.02) ² = 832.32 روبل

في كل عام تزداد المساهمة الأولية بنسبة 2٪ أي بعد 3 سنوات تساوي

800 (1.02) ³ = 800 1.06 = 848 (ص)

الجواب: 848r.

مهمة.

تم تكليف العمال بمهمة حفر بئر. بالنسبة للمتر الأول المحفور في أعماق البئر ، يُدفع لهم 50 روبل ، ويتقاضون مقابل كل متر تالٍ 20 روبلًا أكثر من السابق. كم من المال (بالروبل) سيدفع العمال مقابل حفر بئر بعمق 12 متراً؟

المحلول:

من حالة المشكلة لدينا تقدم حسابي

تحتاج لتجد

الجواب: 1920

7) حل مهام الاختبار.

1 خيار.

1. أوجد الفرق في التقدم الحسابي إذا

أ) 0.9 ؛ ب) -0.9 ؛ في 9؛ د) -9.

2. ما مجموع المصطلحات الأربعة الأولى للتقدم الهندسي ، أول حد منه

والمقام

أ) 70 ب) 85 ب) 80 ؛ د) 75.

3. ما مجموع المصطلحات الستة الأولى للتقدم الحسابي إذا

أ) 85 ب) 95 ب) 105 د) 115.

4. من بين هذه المتتاليات ، تشير إلى التقدم الحسابي.

أ) 5 ؛ 8 ؛ 13 ؛ 18 ؛ ج) 0.1 ؛ 0.2 ؛ 0.3 ؛ 0.4 ؛

ب) 45 ؛ 40 ؛ 33 ؛ 27 ؛ د) 7 ؛ 9 ؛ 12 ؛ 14.

5. من تسلسل الأرقام -9، -8، -6،4،5،6 ، تم اختيار رقمين وتم إيجاد منتجهما. أيّ أصغر قيمةيمكن أن تقبل هذا العمل؟

أ) -40 ؛ ب) -54 ؛ ب) -72 ؛ د) -36.

6. أشر إلى تقدم هندسي بين هذه المتتاليات.

أ) 6 ؛ 18 ؛ 54 ؛ 162 ؛ ب) 1 ؛ 2 ؛ 3 ؛ 5 ؛ ج) 3 و 8 و 13 و 18 ؛ د) 21 و 19 و 17 و 15.

7. ما هو الحد الثالث للتقدم الهندسي ، أول مصطلح منه
والمقام

أ) 15 ب) 45 ؛ ب) 135 ؛ د) 75.

8. أوجد مقام التقدم الهندسي إذا

لكن)
ب) في)
ز)

9. أوجد الحد السابع للتقدم الحسابي الذي يكون حده الأول 8 والفارق 0.5.

أ) 11 ب) 10 ؛ ج) 10.5 ؛ د) 9.5.

10. أوجد الحد الأول من التقدم الحسابي إذا كان الحد الثاني 2.1 وكان الفرق 0.7.

أ) 1.4 ؛ ب) 2.8 ؛ ج) 0.3 ؛ د) 14.7.

الخيار 2.

1. أي تسلسل هو تقدم حسابي؟

أ) 1 ؛ 2 ؛ 4 ؛ 8 ؛ ب) 8 ؛ 10 ؛ 13 ؛ 17 ؛ ج) 2 و 4 و 6 و 8 ؛ د) -8 ؛ 8 ؛ -8 ؛ 8.والمقام

أ) -2 ؛ ب) -6 ؛ في 2؛ د) 6.

قسم الأحياء.

مهمة. مرة واحدة في الجسم ، تنقسم البكتيريا إلى 2 في نهاية 20 دقيقة ، كل واحدة منها تنقسم مرة أخرى على 2 في نهاية 20 دقيقة ، وما إلى ذلك. كم عدد البكتيريا التي ستكون في الجسم في اليوم؟

قسم الفيزياء.

مهمة. الكرة التي تتدحرج في شلال تنتقل 0.6 متر في الثانية الأولى ، و 0.6 متر أكثر في كل ثانية لاحقة. كم من الوقت سيستغرق المشي 6 أمتار؟

قسم الاقتصاد.

مهمة. يدفع البنك 2٪ سنويا. كم سيكون مبلغ الإيداع 800 هريفنيا في نهاية كل عام؟ للسنة الأولى أو الثانية نمو الودائع أكثر؟ ماذا ستكون المساهمة بعد 3 سنوات؟

أقسام التاريخ والنظرية.

مهمة. تم تكليف العمال بمهمة حفر بئر. بالنسبة للمتر الأول المحفور في أعماق البئر ، يتم دفع 50 ريالًا ، ولكل متر لاحق يتم دفع 20 ريالًا أكثر من السابق. كم من المال (بالروبل) سيدفع للعمال مقابل حفر بئر

12 م

المؤلفات:

1. دروس مفتوحة. رياضيات. 5،6،7،9،11 خلية العدد 2. المؤلفون المترجمون: Lyashova N.M. وآخرون. فولجوجراد: معلم ، 2007-84 ثانية.

2. أسابيع الموضوعفي المدرسة. رياضيات. بقلم: غونشاروفا إل.

فولغوغراد: معلم .2007-133 ص.

3 - Sukhareva L.S. ألعاب تعليميةفي دروس الرياضيات 7-9 ك. خاركوف: أوسنوفا 2006-144 ص.

يرتبط فهم العديد من الموضوعات في الرياضيات والفيزياء بمعرفة خصائص سلسلة الأرقام. تلاميذ المدارس في الصف التاسع ، عند دراسة مادة "الجبر" ، فكروا في أحد التسلسلات المهمة للأرقام - التقدم الحسابي. لنقدم الصيغ الأساسية للتقدم الحسابي (الصف 9) ، وكذلك أمثلة على استخدامها في حل المشكلات.

التقدم الجبري أو الحسابي

تسمى سلسلة الأرقام التي ستتم مناقشتها في هذه المقالة برقم 2 طرق مختلفةالمقدمة في عنوان هذه الفقرة. لذلك ، يُفهم التقدم الحسابي في الرياضيات على هذا النحو سلسلة رقمية، حيث يختلف أي رقمين يقفان بجانب بعضهما البعض بنفس المقدار ، وهو ما يسمى بالفرق. عادةً ما يتم الإشارة إلى الأرقام في مثل هذه السلسلة بأحرف ذات فهرس عدد صحيح أقل ، على سبيل المثال ، 1 و a 2 و a 3 وما إلى ذلك ، حيث يشير الفهرس إلى رقم عنصر السلسلة.

بالنظر إلى التعريف أعلاه للتقدم الحسابي ، يمكننا كتابة المساواة التالية: a 2 -a 1 = ... = a n -a n-1 = d ، هنا d هو الاختلاف في التقدم الجبري و n هو أي عدد صحيح. إذا كانت d> 0 ، فيمكننا أن نتوقع أن كل مصطلح لاحق من السلسلة سيكون أكبر من السابق ، في هذه الحالة نتحدث عن تقدم متزايد. إذا د<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

معادلات التقدم الحسابي (الصف 9)

سلسلة الأرقام قيد الدراسة ، نظرًا لأنها مرتبة وتخضع لقانون رياضي معين ، لها خاصيتان مهمتان لاستخدامها:

1. أولاً ، بمعرفة رقمين فقط أ 1 ود ، يمكنك العثور على أي عضو في المتسلسلة. يتم ذلك باستخدام الصيغة التالية: a n = a 1 + (n-1) * d.
2. ثانيًا ، لحساب مجموع n من المصطلحات الأولى ، ليس من الضروري إضافتها بالترتيب ، حيث يمكنك استخدام الصيغة التالية: S n \ u003d n * (a n + a 1) / 2.

الصيغة الأولى سهلة الفهم ، لأنها نتيجة مباشرة لحقيقة أن كل عضو في السلسلة قيد الدراسة يختلف عن جاره بنفس الاختلاف.

يمكن الحصول على الصيغة الثانية للتقدم الحسابي من خلال الانتباه إلى حقيقة أن مجموع a 1 + a n يعادل مجموع a 2 + a n-1 و a 3 + a n-2 وهكذا. في الواقع ، بما أن a 2 = d + a 1 ، a n-2 = -2 * d + a n ، a 3 = 2 * d + a 1 ، و a n-1 = -d + a n ، ثم استبدال هذه التعبيرات في المبالغ المقابلة ، نحصل على أنها ستكون هي نفسها. يظهر العامل n / 2 في الصيغة الثانية (لـ S n) بسبب حقيقة أن مجاميع النوع a i + 1 + a n-i تبين أنها n / 2 بالضبط ، وهنا i هو عدد صحيح يتراوح من 0 إلى n / 2-واحد.

وفقًا للأدلة التاريخية الباقية ، تم الحصول على صيغة مجموع S n لأول مرة بواسطة Karl Gauss (عالم الرياضيات الألماني الشهير) عندما كلفه مدرس المدرسة بإضافة أول 100 رقم.

نموذج المشكلة رقم 1: أوجد الفرق

المهام التي تطرح السؤال على النحو التالي: معرفة الصيغ للتقدم الحسابي ، وكيفية العثور على q (d) ، هي أبسط ما يمكن أن يكون لهذا الموضوع فقط.

هذا مثال: بالنظر إلى التسلسل العددي -5 ، -2 ، 1 ، 4 ، ... ، من الضروري تحديد اختلافها ، أي د.

إن القيام بذلك سهل مثل تقشير الكمثرى: عليك أن تأخذ عنصرين وتطرح الأصغر من الأكبر. في هذه الحالة ، لدينا: د = -2 - (-5) = 3.

من أجل التأكد من الإجابة المستلمة ، يوصى بالتحقق من الاختلافات المتبقية ، لأن التسلسل المقدم قد لا يفي بشرط التقدم الجبري. لدينا: 1 - (- 2) = 3 و 4-1 = 3. تشير هذه البيانات إلى أننا حصلنا على النتيجة الصحيحة (د = 3) وأثبتنا أن سلسلة الأرقام في بيان المشكلة هي بالفعل تقدم جبري.

نموذج المشكلة رقم 2: أوجد الفرق بمعرفة شرطين للتقدم

فكر في مشكلة أخرى مثيرة للاهتمام ، والتي يطرحها السؤال عن كيفية العثور على الفرق. يجب استخدام معادلة التقدم الحسابي في هذه الحالة للمصطلح التاسع. إذن ، المهمة: بالنظر إلى الرقمين الأول والخامس من المتسلسلة التي تتوافق مع جميع خصائص التقدم الجبري ، على سبيل المثال ، فهذه هي الأرقام أ 1 = 8 و 5 = -10. كيف تجد الفرق د؟

يجب أن تبدأ في حل هذه المشكلة بكتابة الصيغة العامة لصيغة العنصر n: a n = a 1 + d * (-1 + n). يمكنك الآن الذهاب بطريقتين: إما استبدال الأرقام على الفور والعمل معهم بالفعل ، أو التعبير عن d ، ثم الانتقال إلى محدد 1 و 5. لنستخدم الطريقة الأخيرة ، نحصل على: a 5 \ u003d a 1 + d * (-1 + 5) أو 5 \ u003d 4 * d + a 1 ، والذي يتبع منه d \ u003d (a 5 -a 1 ) / 4. يمكنك الآن استبدال البيانات المعروفة من الحالة بأمان والحصول على الإجابة النهائية: d = (-10-8) / 4 = -4.5.

لاحظ أنه في هذه الحالة ، تبين أن اختلاف التقدم سلبي ، أي أن هناك تسلسلًا متناقصًا للأرقام. من الضروري الانتباه إلى هذه الحقيقة عند حل المشكلات حتى لا تخلط بين علامتي "+" و "-". جميع الصيغ المذكورة أعلاه عالمية ، لذا يجب اتباعها دائمًا بغض النظر عن علامة الأرقام التي يتم تنفيذ العمليات بها.

مثال لحل المسألة رقم 3: أوجد a1 ، مع معرفة الفرق والعنصر

دعونا نغير حالة المشكلة قليلاً. يجب أن يكون هناك رقمان: الفرق d = 6 والعنصر التاسع من التقدم a 9 = 10. كيف تجد a1؟ تظل معادلات التقدم الحسابي دون تغيير ، وسنستخدمها. بالنسبة للرقم أ 9 ، لدينا التعبير التالي: أ 1 + د * (9-1) = أ 9. من حيث نحصل بسهولة على العنصر الأول من السلسلة: أ 1 = أ 9 -8 * د = 10-8 * 6 = -38.

مثال لحل المشكلة رقم 4: أوجد a1 ، بمعرفة عنصرين

هذا الإصدار من المشكلة هو نسخة معقدة من النسخة السابقة. الجوهر هو نفسه ، من الضروري حساب 1 ، لكن الفرق d الآن غير معروف ، وبدلاً من ذلك يتم إعطاء عنصر آخر من التقدم.

مثال على هذا النوع من المسائل هو ما يلي: ابحث عن الرقم الأول في تسلسل معروف بأنه تقدم حسابي وعناصره 15 و 23 هي 7 و 12 على التوالي.

من الضروري حل هذه المشكلة عن طريق كتابة تعبير للعضو n لكل عنصر معروف من الشرط ، لدينا: a 15 = d * (15-1) + a 1 and a 23 = d * (23- 1) + أ 1. كما ترى ، تلقينا معادلتين خطيتين يجب حلهما بالنسبة إلى 1 و d. لنفعل هذا: اطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية ، ثم نحصل على التعبير التالي: أ 23-أ 15 \ u003d 22 * ​​د - 14 * د \ u003d 8 * د. في اشتقاق المعادلة الأخيرة ، تم حذف قيم 1 لأنها تلغي عند طرحها. باستبدال البيانات المعروفة ، نجد الفرق: d \ u003d (a 23 -a 15) / 8 \ u003d (12-7) / 8 \ u003d 0.625.

يجب استبدال قيمة d في أي صيغة لعنصر معروف من أجل الحصول على أول عضو في التسلسل: a 15 = 14 * d + a 1 ، من حيث: a 1 = a 15 -14 * d = 7- 14 * 0.625 = -1.75.

دعنا نتحقق من النتيجة ، لهذا نجد 1 من خلال التعبير الثاني: أ 23 \ u003d د * 22 + أ 1 أو 1 \ u003d أ 23-د * 22 \ u003d 12 - 0.625 * 22 \ u003d -1.75.

مثال على حل المشكلة رقم 5: أوجد مجموع n من العناصر

كما ترى ، حتى هذه النقطة ، تم استخدام صيغة واحدة فقط للتقدم الحسابي (الدرجة 9) للحل. نعطي الآن مسألة لحلها نحتاج إلى معرفة الصيغة الثانية ، وهي مجموع S n.

بالنظر إلى سلسلة الأرقام التالية المرتبة -1.1 ، -2.1 ، -3.1 ، ... ، تحتاج إلى حساب مجموع أول 11 عنصرًا.

يمكن أن نرى من هذه السلسلة أنه يتناقص ، و 1 \ u003d -1.1. فرقها هو: د = -2.1 - (-1.1) = -1. الآن دعنا نحدد المصطلح الحادي عشر: 11 \ u003d 10 * d + a 1 \ u003d -10 + (-1.1) \ u003d -11.1. بعد الانتهاء من الحسابات التحضيرية ، يمكنك استخدام الصيغة أعلاه للمبلغ ، لدينا: S 11 \ u003d 11 * (-1.1 + (-11.1)) / 2 \ u003d -67.1. نظرًا لأن جميع المصطلحات كانت أرقامًا سالبة ، فإن مجموعها له أيضًا العلامة المقابلة.

مثال لحل المسألة رقم 6: أوجد مجموع العناصر من n إلى m

ربما يكون هذا النوع من المشكلات هو الأصعب بالنسبة لمعظم الطلاب. دعنا نعطي مثالًا نموذجيًا: بالنظر إلى سلسلة من الأرقام 2 ، 4 ، 6 ، 8 ... ، تحتاج إلى إيجاد المجموع من الحد السابع إلى الحد الثالث عشر.

الصيغ المتوالية العددية(الصف 9) يتم استخدامهم تمامًا كما هو الحال في جميع المهام من قبل. يوصى بحل هذه المهمة على مراحل:

1. أولًا ، أوجد مجموع 13 حدًا باستخدام الصيغة القياسية.
2. ثم احسب هذا المجموع لأول 6 عناصر.
3. ثم اطرح الثاني من المجموع الأول.

دعنا نصل إلى القرار. كما في الحالة السابقة ، سنجري حسابات تحضيرية: أ 6 = 5 * د + أ 1 = 10 + 2 = 12 ، أ 13 = 12 * د + أ 1 = 24 + 2 = 26.

لنحسب مجموعين: S 13 = 13 * (2 + 26) / 2 = 182 ، S 6 = 6 * (2 + 12) / 2 = 42. نأخذ الفرق ونحصل على الإجابة المطلوبة: S 7-13 = ق 13 - ق 6 = 182-42 = 140. لاحظ أنه عند الحصول على هذه القيمة ، تم استخدام مجموع 6 عناصر من التقدم الذي تم طرحه ، حيث تم تضمين العضو السابع في المجموع S 7-13.

عنوان: التدرجات الحسابية والهندسية

فصل: 9

نظام التدريب: مادة لإعداد دراسة موضوع في الجبر والمرحلة التحضيرية لاجتياز امتحان OGE

استهداف: تشكيل مفاهيم الحساب والتقدم الهندسي

مهام: تعليم التمييز بين أنواع التقدم ، والتدريس بشكل صحيح ، واستخدام الصيغ

المتوالية العدديةاسم سلسلة من الأرقام (أعضاء التقدم)

حيث يختلف كل مصطلح لاحق عن المصطلح السابق بمصطلح صلب ، والذي يسمى أيضًا خطوة أو اختلاف التقدم.

وهكذا ، من خلال تحديد خطوة التقدم ومصطلحها الأول ، يمكنك العثور على أي من عناصرها باستخدام الصيغة

1) كل عضو من أعضاء التقدم الحسابي ، بدءًا من الرقم الثاني ، هو المتوسط ​​الحسابي للعضو السابق والتالي في التقدم

والعكس صحيح أيضا. إذا كان المتوسط ​​الحسابي للأعضاء الفرديين (الزوجيين) المجاورين للتقدم يساوي العضو الذي يقف بينهم ، فإن تسلسل الأرقام هذا هو تقدم حسابي. من خلال هذا التأكيد ، من السهل جدًا التحقق من أي تسلسل.

أيضًا من خلال خاصية التقدم الحسابي ، يمكن تعميم الصيغة أعلاه على ما يلي

من السهل التحقق من ذلك إذا كتبنا الشروط على يمين علامة التساوي

غالبًا ما يتم استخدامه عمليًا لتبسيط العمليات الحسابية في المشكلات.

2) يتم حساب مجموع أول n من المصطلحات للتقدم الحسابي بواسطة الصيغة

تذكر جيدًا صيغة مجموع التقدم الحسابي ، فهي لا غنى عنها في الحسابات وهي شائعة جدًا في مواقف الحياة البسيطة.

3) إذا كنت بحاجة إلى العثور ليس المجموع بالكامل ، ولكن جزء من التسلسل يبدأ من العضو k ، فستكون صيغة المجموع التالية في متناول يديك

4) من الفائدة العملية إيجاد مجموع n من الأعضاء للتقدم الحسابي بدءًا من الرقم k. للقيام بذلك ، استخدم الصيغة

أوجد الحد الأربعين للتقدم الحسابي 4 ؛ 7 ؛ ...

المحلول:

حسب الحالة ، لدينا

حدد خطوة التقدم

وفقًا للصيغة المعروفة ، نجد المصطلح الأربعين للتقدم

يتم إعطاء التقدم الحسابي من قبل أعضائها الثالث والسابع. أوجد الحد الأول من التقدم ومجموع عشرة.

المحلول:

نكتب العناصر المعطاة للتقدم وفقًا للصيغ

يتم إعطاء التقدم الحسابي بواسطة المقام وأحد أعضائه. أوجد الحد الأول من التقدم ، ومجموع 50 حدًا يبدأ من 50 ومجموع أول 100.

المحلول:

لنكتب صيغة العنصر المائة في التقدم

والعثور على الأول

بناءً على الأول ، نجد الحد الخمسين للتقدم

إيجاد مجموع جزء التقدم

ومجموع أول 100

مجموع التقدم هو 250. أوجد عدد أعضاء التقدم الحسابي إذا:

a3-a1 = 8 ، a2 + a4 = 14 ، سن = 111.

المحلول:

نكتب المعادلات من حيث المصطلح الأول وخطوة التقدم وتحديدها

نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في صيغة الجمع لتحديد عدد المصطلحات في المجموع

التبسيط

وحل المعادلة التربيعية

من بين القيمتين اللتين تم العثور عليهما ، يكون الرقم 8 فقط مناسبًا لظروف المشكلة. وبالتالي ، فإن مجموع المصطلحات الثمانية الأولى من التقدم هو 111.

حل المعادلة

1 + 3 + 5 + ... + س = 307.

المحلول:

هذه المعادلة هي مجموع التقدم الحسابي. نكتب حده الأول ونوجد فرق التقدم

نعوض بالقيم التي تم العثور عليها في الصيغة لمجموع التقدم لإيجاد عدد الحدود

كما في المهمة السابقة ، نجري عمليات التبسيط ونحل المعادلة التربيعية

اختر الأكثر منطقية من القيمتين. لدينا أن مجموع 18 عضوًا من التقدم بقيم معينة a1 = 1 ، d = 2 يساوي Sn = 307.

أمثلة على حل المشكلات: التقدم الحسابي

مهمة 1

تعاقد الفريق الطلابي على وضع بلاط سيراميك على أرضية صالة نادي الشباب بمساحة 288 م 2 ، واكتساب الخبرة ، بدأ الطلاب كل يوم تالٍ ، ابتداءً من اليوم الثاني ، بوضع 2 م 2 أكثر من سابقتها ، و كان لديهم ما يكفي من البلاط لمدة 11 يومًا من العمل بالضبط. التخطيط لزيادة الإنتاجية بنفس الطريقة ، قرر رئيس العمال أن الأمر سيستغرق 5 أيام أخرى لإكمال الوظيفة. كم عدد الصناديق من البلاط التي يحتاج إلى طلبها إذا كان هناك صندوق واحد يكفي لمساحة 1.2 متر مربع من الأرضيات ، و 3 صناديق مطلوبة لاستبدال البلاط منخفض الجودة؟

المحلول

حسب حالة المشكلة ، من الواضح أننا نتحدث عن تقدم حسابي يسمح فيه

أ 1 = س ، سن = 288 ، ن = 16

ثم نستخدم الصيغة: Sn = (2а1 + d (n-1)) * n / 0.86 = 200mm Hg. فن.

288 = (2 س + 2 * 15) * 16/2

احسب مساحة المتر المربع التي سيضعها الطلاب في 11 يومًا: S11 = (2 * 3 + 2 * 10) * 11.2 = 143 م 2

288-143 = 145 م 2 متبقية بعد 11 يوم عمل ، أي لمدة 5 أيام

يجب طلب 145 / 1،2 = 121 (تقريبًا) صندوقًا لمدة 5 أيام.

يجب طلب 121 + 3 = 124 صندوقًا به عيوب

الجواب: 124 صندوقا

المهمة 2

بعد كل حركة لمكبس مضخة التخفيف ، تتم إزالة 20٪ من الهواء الموجود به من الوعاء. لنحدد ضغط الهواء داخل الوعاء بعد ست حركات مكبس ، إذا كان الضغط الأولي 760 مم زئبق. فن.

المحلول

نظرًا لأن 20٪ من الهواء المتاح يتم إزالته من الوعاء بعد كل حركة للمكبس ، فإن 80٪ من الهواء يبقى. لمعرفة ضغط الهواء في الوعاء بعد حركة المكبس التالية ، تحتاج إلى زيادة ضغط حركة المكبس السابقة بمقدار 0.8.

لدينا تقدم هندسي حده الأول 760 ومقامه 0.8. الرقم الذي يعبر عن ضغط الهواء في الوعاء (ملم زئبق) بعد ست ضربات للمكبس هو العضو السابع في هذا التقدم. إنه يساوي 760 * 0.86 = 200 مم زئبق. فن.

الجواب: 200 مم زئبق

معطى المتوالية العددية، حيث يساوي الحد الخامس والعاشر 38 و 23 على التوالي. أوجد الحد الخامس عشر من التقدم ومجموع حدوده العشرة الأولى.

المحلول:

أوجد عدد حد التقدم الحسابي 5،14،23 ، ... ، إذا كان الحد -th يساوي 239.

المحلول:

تجد عدد شروط التقدم الحسابي هو 9،12،15 ، ... ، إذا كان مجموعها 306.

المحلول:

أوجد قيمة x التي تمثل فيها الأرقام x-1 و 2x-1 و x2-5 تقدمًا حسابيًا

المحلول:

أوجد الفرق بين عضو واحد وعضوين في التقدم:

د = (2 س -1) - (س -1) = س

أوجد الفرق بين 2 و 3 أعضاء في التقدم:

د = (x2-5) - (2x-1) = x2-2x-4

لان الاختلاف هو نفسه ، ثم يمكن معادلة شروط التقدم:

عند التحقق في كلتا الحالتين ، يتم الحصول على تقدم حسابي

الإجابة: عند x = -1 و x = 4

يتم إعطاء التقدم الحسابي بواسطة أعضائه الثالث والسابع a3 = 5 ؛ a7 = 13. أوجد الحد الأول من التقدم ومجموع عشرة.

المحلول:

نطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية ، ونتيجة لذلك نجد خطوة التقدم

a1 + 6d- (a1 + 2d) = 4d = 13-5 = 8 ، لذا د = 2

يتم استبدال القيمة التي تم العثور عليها في أي من المعادلات لإيجاد الحد الأول من التقدم الحسابي

احسب مجموع أول عشرة فصول من التقدم

S10 = (2 * 1 + (10-1) * 2) * 10/2 = 100

الجواب: a1 = 1 ؛ S10 = 100

في التقدم الحسابي الذي يكون حده الأول -3.4 والفرق 3 ، أوجد الحدين الخامس والحادي عشر.

نعلم أن a1 = -3.4 ؛ د = 3. أوجد: a5، a11-.

المحلول.لإيجاد العضو n من التقدم الحسابي ، نستخدم الصيغة: a = a1 + (n - 1) d. نملك:

a5 \ u003d a1 + (5-1) د \ u003d -3.4 + 4 3 \ u003d 8.6 ؛

a11 \ u003d a1 + (11-1) د \ u003d -3.4 + 10 3 \ u003d 26.6.

كما ترى ، في هذه الحالة الحل ليس صعبًا.

الحد الثاني عشر من التقدم الحسابي هو 74 ، والفرق هو -4. أوجد الفصل الرابع والثلاثين من هذا التقدم.

قيل لنا أن a12 = 74 ؛ د = -4 ، وتحتاج إلى إيجاد a34-.

في هذه المشكلة ، لا يمكن تطبيق الصيغة على الفور a = a1 + (n - 1) d ، لأن المصطلح الأول a1 غير معروف. يمكن حل هذه المشكلة بعدة خطوات.

1. باستخدام المصطلح a12 وصيغة الحد النوني ، نجد a1:

a12 = a1 + (12-1) d ، الآن بسّط واستبدل d: a12 = a1 + 11 (-4). من هذه المعادلة نجد a1: a1 = a12 - (-44) ؛

نحن نعرف الحد الثاني عشر من حالة المشكلة ، لذلك نحسب a1 دون أي مشاكل

a1 = 74 + 44 = 118. دعنا ننتقل إلى الخطوة الثانية - حساب a34.

2. مرة أخرى ، وفقًا للصيغة a = a1 + (n - 1) d ، نظرًا لأن a1 معروف بالفعل ، فسنحدد a34- ،

a34 = a1 + (34-1) د = 118 + 33 (-4) = 118-132 = -14.

الجواب: الحد الرابع والثلاثون للتقدم الحسابي هو -14.

كما ترى ، حل المثال الثاني أكثر تعقيدًا. يتم استخدام نفس الصيغة مرتين للحصول على الإجابة. لكن كل شيء معقد للغاية. يمكن تقصير الحل باستخدام صيغ إضافية.

كما لوحظ بالفعل ، إذا كان a1 معروفًا في المشكلة ، فمن الملائم جدًا تطبيق الصيغة لتحديد العضو التاسع في التقدم الحسابي. ولكن ، إذا لم يتم تحديد المصطلح الأول في الشرط ، فيمكن أن تأتي صيغة الإنقاذ التي تربط المصطلح n الذي نحتاجه والمصطلح ak المحدد في المشكلة.

an = ak + (n - k) d.

لنحل المثال الثاني ، لكن باستخدام الصيغة الجديدة.

معطى: a12 = 74 ؛ د = -4. البحث: a34-.

نستخدم الصيغة an = ak + (n - k) d. في حالتنا سيكون:

a34 = a12 + (34-12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74-88 = -14.

تم الحصول على الإجابة في المشكلة بشكل أسرع ، لأنه لم يكن من الضروري القيام بإجراءات إضافية والبحث عن العضو الأول في التقدم.

باستخدام الصيغ أعلاه ، يمكنك حل مسائل لحساب فرق التقدم الحسابي. لذلك ، باستخدام الصيغة a = a1 + (n - 1) d ، يمكننا التعبير عن d:

د = (أن - أ 1) / (ن - 1). ومع ذلك ، فإن المشكلات المتعلقة بمصطلح أول معين ليست شائعة جدًا ، ويمكن حلها باستخدام صيغتنا a = ak + (n - k) d ، والتي يمكن من خلالها ملاحظة أن d = (an - ak) / (n - ك). دعونا نفكر في مثل هذه المهمة.

أوجد فرق التقدم الحسابي إذا كان معروفًا أن a3 = 36 ؛ a8 = 106.

باستخدام الصيغة التي حصلنا عليها ، يمكن كتابة حل المشكلة في سطر واحد:

د = (a8 - a3) / (8-3) = (106-36) / 5 = 14.

إذا لم تكن هذه الصيغة في الترسانة ، فإن حل المشكلة سيستغرق وقتًا أطول بكثير ، لأن سيضطر إلى حل نظام من معادلتين.

التعاقب الهندسي

1. صيغة العضو ال (عام التقدم).
2. صيغة مجموع الأعضاء الأوائل للتقدم :. عندما يكون من المعتاد التحدث عن تقدم هندسي متقارب ؛ في هذه الحالة ، يمكنك حساب مجموع التقدم بأكمله باستخدام الصيغة.
3. معادلة "الوسط الهندسي": إذا ، هي ثلاث مصطلحات متتالية للتقدم الهندسي ، فبموجب التعريف لدينا العلاقة: أو .