عينة من م إلى ن. المواضع مع التكرار

التراكبات

التوافقية هي فرع من فروع الرياضيات يدرس مشاكل اختيار العناصر وترتيبها من مجموعة أساسية وفقًا لقواعد معينة. تستخدم الصيغ ومبادئ التوافقية في نظرية الاحتمالات لحساب الاحتمال الأحداث العشوائيةوبالتالي ، الحصول على قوانين التوزيع المتغيرات العشوائية. وهذا بدوره يجعل من الممكن دراسة قوانين الظواهر العشوائية الجماعية ، وهو أمر مهم جدًا لفهم صحيح للقوانين الإحصائية التي تتجلى في الطبيعة والتكنولوجيا.

قواعد الجمع والضرب في التوافقية

حكم المجموع. إذا كان الإجراءان A و B متنافيان ، ويمكن تنفيذ الإجراء A بطرق m ، و B بطرق n ، فيمكن تنفيذ أي من هذه الإجراءات (إما A أو B) بطرق n + m.

مثال 1

هناك 16 فتى و 10 فتيات في الفصل. ما هو عدد الطرق التي يمكن فيها تعيين مرافق واحد؟

المحلول

يمكنك تعيين ولد أو بنت في الخدمة ، أي. يمكن أن يكون أي من الفتيان الستة عشر أو أي من الفتيات العشر في الخدمة.

وفقًا لقاعدة المجموع ، نحصل على أنه يمكن تعيين ضابط مناوب واحد 16 + 10 = 26 طريقة.

سيادة المنتج. فليكن مطلوبًا تنفيذ إجراءات k بالتسلسل. إذا كان من الممكن تنفيذ الإجراء الأول بطرق n 1 ، والإجراء الثاني بطرق n 2 ، والثالث من خلال n 3 طرق ، وهكذا حتى الإجراء k الذي يمكن تنفيذه بطرق n k ، فيمكن عندئذٍ أن تكون جميع إجراءات k معًا إجراء:

طرق.

مثال 2

هناك 16 فتى و 10 فتيات في الفصل. ما هو عدد الطرق التي يمكن فيها تعيين حاضرين؟

المحلول

يمكن أن يكون أول شخص في الخدمة صبيًا أو فتاة. لان هناك 16 فتى و 10 فتيات في الفصل ، ثم يمكنك تعيين الضابط المناوب الأول في 16 + 10 = 26 طريقة.

بعد أن نختار الضابط المناوب الأول ، يمكننا اختيار الضابط الثاني من بين الـ 25 شخصًا المتبقين ، أي 25 طريقة.

من خلال نظرية الضرب ، يمكن اختيار حاضرين في 26 * 25 = 650 طريقة.

تركيبات بدون تكرار. مجموعات مع التكرار

مشكلة التوافقية الكلاسيكية هي مشكلة عدد التوليفات دون التكرار ، والتي يمكن التعبير عن محتواها بالسؤال: كم العدد طرق يستطيع يختار م من ن مختلف البنود ?

مثال 3

يجب أن تختار 4 كتب من بين 10 كتب مختلفة متاحة كهدية. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

المحلول

نحتاج إلى اختيار 4 كتب من أصل 10 ، ولا يهم ترتيب الاختيار. وبالتالي ، فأنت بحاجة إلى إيجاد عدد مجموعات العناصر المكونة من 10 عناصر في 4:

.

ضع في اعتبارك مشكلة عدد التوليفات مع التكرار: هناك r عناصر متطابقةكل من ن أنواع مختلفة; كم العدد طرق يستطيع يختار م () من هؤلاء (ن * ص) عناصر؟

.

مثال 4

باع متجر الحلويات 4 أنواع من الكعك: نابليون ، وإكلير ، وكعكة الغريبة ، ونفخة. ما هو عدد طرق شراء 7 كعكات؟

المحلول

لان من بين 7 كعكات يمكن أن يكون هناك كعكات من نفس الصنف ، ثم يتم تحديد عدد الطرق التي يمكن من خلالها شراء 7 كعكات بعدد التوليفات مع التكرار من 7 إلى 4.

.

المواضع بدون تكرار. المواضع مع التكرار

مشكلة التوافقية الكلاسيكية هي مشكلة عدد المواضع دون التكرار ، والتي يمكن التعبير عن محتواها بالسؤال: كم العدد طرق يستطيع يختار و مكان على م مختلفة أماكن م من ن مختلف العناصر؟

مثال 5

تحتوي بعض الصحف على 12 صفحة. من الضروري وضع أربع صور على صفحات هذه الجريدة. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها إذا لم يكن يجب أن تحتوي صفحة من الصحيفة على أكثر من صورة واحدة؟

المحلول.

في هذه المشكلة ، لا نختار الصور فقط ، بل نضعها على صفحات معينة من الجريدة ، ويجب ألا تحتوي كل صفحة من الجريدة على أكثر من صورة واحدة. وبالتالي ، يتم تقليل المشكلة إلى المشكلة الكلاسيكية المتمثلة في تحديد عدد المواضع دون التكرار من 12 عنصرًا بواسطة 4 عناصر:

وبالتالي ، يمكن ترتيب 4 صور في 12 صفحة بـ 11880 طريقة.

ايضا مشكلة كلاسيكيةالتوافقية هي مشكلة عدد المواضع مع التكرار ، والتي يمكن التعبير عن محتواها بالسؤال: كم العدد طرق يستطيع أنتبجيش و مكان على م مختلفة أماكن م من ن عناصرمعريدي أيّ يوجد نفس الشيء؟

مثال 6

كان لدى الصبي طوابع بالأرقام 1 و 3 و 7 من المجموعة للعبة اللوحة ، وقرر استخدام هذه الطوابع لوضع أرقام مكونة من خمسة أرقام على جميع الكتب - لتجميع كتالوج. كم عدد الأرقام المختلفة المكونة من خمسة أرقام التي يمكن أن يصنعها الصبي؟

التباديل بدون تكرار. التباديل مع التكرار

مشكلة التوافقية الكلاسيكية هي مشكلة عدد التباديل دون التكرار ، والتي يمكن التعبير عن محتواها بالسؤال: كم العدد طرق يستطيع مكان ن مختلف العناصر على ال ن مختلف أماكن؟

مثال 7

كم عدد "الكلمات" المكونة من أربعة أحرف التي يمكن تكوينها من أحرف كلمة "زواج"؟

المحلول

المجموعة العامة هي 4 أحرف من كلمة "زواج" (ب ، ص ، أ ، ك). يتم تحديد عدد "الكلمات" من خلال التباديل لهذه الأحرف الأربعة ، أي

بالنسبة للحالة التي يكون فيها من بين عناصر n المحددة نفس (الاختيار مع الإرجاع) ، يمكن التعبير عن مشكلة عدد التباديل مع التكرار بالسؤال: في كم عدد الطرق التي يمكن بها إعادة ترتيب n كائنات في أماكن مختلفة n إذا كان من بين n كائنات يوجد k أنواع مختلفة (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.

المثال 8

كم عدد تركيبات الحروف المختلفة التي يمكن تكوينها من أحرف كلمة "Mississippi"؟

المحلول

هناك حرف واحد "م" و 4 أحرف "أ" و 3 أحرف "ج" و 1 حرف "ب" و 9 أحرف إجمالاً. لذلك ، فإن عدد التباديل مع التكرار هو

موجز معلومات أساسية عن قسم "المجموعات المشتركة"

يخطط:

1. عناصر التوافقية.

2. القواعد العامة للتوافقيات.

4. استخدام الرسوم البيانية (المخططات) في الحل مشاكل اندماجية.

1. التوافقية وأصلها.

التوافقية- هذا فرع من فروع الرياضيات يتم فيه دراسة الأسئلة حول عدد التركيبات المختلفة ، التي تخضع لشروط معينة ، والتي يمكن أن تتكون من عناصر تنتمي إلى مجموعة معينة.

نشأت التوافقية في القرن السادس عشر. في حياة الطبقات المتميزة من المجتمع آنذاك ، احتلت المقامرة (البطاقات ، الزهر) مكانًا كبيرًا. انتشرت اليانصيب على نطاق واسع. في البداية ، تتعلق المشاكل الاندماجية بشكل رئيسي القمار: كم عدد الطرق التي يمكنك الحصول عليها رقم معيننقاط عن طريق رمي نرد 2 أو 3 ، أو في عدد الطرق التي يمكنك بها الحصول على ملكين في بعض ألعاب الورق. كانت هذه وغيرها من مشاكل القمار القوة الدافعةفي تطوير التوافقية وكذلك في تطوير نظرية الاحتمالات.

كان عالم الرياضيات الإيطالي Tartaglia من أوائل من قاموا بحساب عدد المجموعات المختلفة في لعبة النرد. قام بعمل جداول (عدد الطرق للحصول على نقاط k على نرد r). ومع ذلك ، لم يأخذ في الاعتبار أن نفس القدر من النقاط يمكن أن ينخفض طرق مختلفة، لذلك احتوت طاولاته عدد كبير منأخطاء.

أجريت دراسة نظرية للتوافقيات في القرن السابع عشر علماء الرياضيات الفرنسيونبليز باسكال وفيرمات. كانت نقطة البداية في بحثهم أيضًا مشاكل القمار.

يرتبط التطوير الإضافي للتوافقيات بأسماء J. Bernoulli و G. Leibniz و L. Euler. ومع ذلك ، لعبت تطبيقات الألعاب المختلفة أيضًا دورًا رئيسيًا في عملهم.

اليوم ، يتم استخدام الطرق التوافقية لحلها مهام النقل، على وجه الخصوص ، مهام الجدولة ، لوضع خطط لإنتاج وبيع المنتجات ، إلخ.

2. القواعد العامة للتوافقيات.

حكم المجموع:إذا كان من الممكن اختيار كائن A بطرق m ، والعنصر B بطرق k ، فيمكن اختيار الكائن "إما A أو B" بطرق m + k.

أمثلة:

1. لنفترض أن هناك عددًا من الكرات الملونة في صندوق. يتم رسم كرة واحدة بشكل عشوائي. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

إجابه: ن طرق.

دعونا نوزع كرات n هذه في صندوقين: في الكرات الأولى - m ، في الثانية - k الكرات. بشكل عشوائي ، يتم أخذ كرة واحدة من صندوق تم اختياره عشوائيًا. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

المحلول: يمكن إخراج الكرة من الصندوق الأول بطرق m ، من المربع الثاني - بطرق k. ثم هناك طرق إجمالية م + ك = ن.

2. إشارة بحرية.

في إشارة بحرية ، يتوافق كل حرف من الأبجدية مع موضع معين بالنسبة لجسم رجل الإشارة المكون من علمين. كم عدد هذه الإشارات يمكن أن تكون؟

المحلول: العدد الإجمالي هو مجموع المواضع عند وضع كلا العلمين عليهما جوانب مختلفةمن جسم مرسل الإشارة والمواقف عندما تكون موجودة على جانب واحد من جسم المرسل. عند حساب عدد المراكز الممكنة ، يتم تطبيق قاعدة المجموع.

سيادة المنتج:إذا كان من الممكن اختيار الكائن A بطرق m ، وبعد كل اختيار يمكن اختيار كائن آخر B (بغض النظر عن اختيار الكائن A) بطرق k ، فيمكن اختيار أزواج من الكائنات "A و B" في m * k طرق.

أمثلة:

1. كيف أرقام من رقمينموجود؟

المحلول: يمكن الإشارة إلى عدد العشرات بأي رقم من 1 إلى 9. ويمكن الإشارة إلى عدد العشرات بأي رقم من 0 إلى 9. إذا كان عدد العشرات هو 1 ، فيمكن أن يكون عدد الآحاد أيًا (من 0 إلى 9). وبالتالي ، هناك 10 أعداد مكونة من رقمين ، وعدد العشرات هو 1. ونناقش أيضًا أي عدد آخر من العشرات. ثم يمكننا أن نحسب أن هناك 9 * 10 = 90 رقمًا مكونًا من رقمين.

2. يوجد 2 صناديق. أحدهما يحتوي على مكعبات متعددة الألوان ، والآخر يحتوي على ك كرات متعددة الألوان. ما عدد الطرق التي يمكن بها اختيار زوج من المكعبات؟

المحلول: لا يعتمد اختيار الكرة على اختيار المكعب ، والعكس صحيح. لذلك ، فإن عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار زوج معين هو m * k.

3. السكان دون تكرار وعينات دون تكرار.

السكان دون تكرارهي مجموعة من عدد محدد عناصر مختلفةأ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، ... ، أ ن.

مثال:مجموعة من ن بقع ملونة.

حجم أخذ العيناتك (كن)تسمى مجموعة من عناصر m لعامة السكان.

مثال:شريط متنوع مخيط من بقع م من ألوان مختلفة مختارة من ن.

المواضع منن العناصركتسمى هذه العينات التي تحتوي على عناصر k منتقاة من بين العناصر n المحددة لعامة السكان دون تكرار ، وتختلف عن بعضها البعض إما في تكوين العناصر أو في ترتيب ترتيبها.

- عدد المواضع من n بواسطة k.

عدد المواضع منن إلى ك يمكن أن يعرف بالطريقة الآتية: يمكن تحديد الكائن الأول للاختيارن طرق ، ثم يمكن تحديد الكائن الثانيطريقة n -1 ، إلخ.

تحويل هذه الصيغة ، لدينا:

يجب أن نتذكر ذلك 0!=1.

أمثلة:

1. 17 فريقًا يشاركون في المجموعة الأولى من الفئة أ لبطولة كرة القدم. يتم منح الميداليات: ذهبية وفضية وبرونزية. ما هو عدد الطرق التي يمكن لعبها بها؟

المحلول:تختلف مجموعات الفرق الفائزة عن بعضها البعض في تكوين العناصر وترتيبها ، أي هي مواضع من 17 إلى 3.

2. تتكون الجمعية العلمية من 25 عضوا. من الضروري اختيار رئيس الجمعية ونائب الرئيس والسكرتير العلمي وأمين الصندوق. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

المحلول:تختلف مجموعات موظفي إدارة الشركة عن بعضها البعض في تكوين العناصر وترتيبها ، أي هي مواضع من 25 إلى 4.

التباديل دون التكرار من نعناصرتسمى مواضع بدون تكرارعناصر n بواسطة n ، بمعنى آخر. تختلف الترتيبات عن بعضها البعض فقط في ترتيب العناصر.

عدد التباديل.

أمثلة:

1. كم عدد الأرقام المختلفة المكونة من خمسة أرقام التي يمكن تكوينها من الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، بشرط أن تتكون من أعداد مختلفة?

المحلول:لدينا تباديل من 5 عناصر.2. ما عدد الطرق التي يمكن بها تجميع 6 قطع من ألوان مختلفة في شريط متنوع؟
المحلول:لدينا تباديل من 6 عناصر.

مجموعات بدون تكرار من نعناصر بواسطةكتسمى هذه العينات التي تحتوي على عناصر k منتقاة من بين العناصر n المحددة لعامة السكان دون تكرار ، وتختلف عن بعضها البعض فقط في تكوين العناصر.

- عدد التوليفات منن إلى ك

عناصر كليمكن ترتيب مجموعاتطرق. ثمأمثلة:

1. إذا شارك 20 شخصًا في الدور نصف النهائي من بطولة الشطرنج ، ووصل ثلاثة منهم فقط إلى النهائي ، فكم عدد الطرق التي يمكن تحديد هؤلاء الثلاثة؟

المحلول:في هذه القضيةالترتيب الذي يوضع فيه الثلاثي غير مهم. لذلك ، فإن الثلاثة توائم التي وصلت إلى النهائي هي مجموعات من 20 في 3.

2. ما هو عدد الطرق التي يمكن بها اختيار ثلاثة مندوبين من بين عشرة أشخاص لحضور المؤتمر؟

المحلول:في هذه الحالة ، الترتيب الذي يقع به هذا الثلاثي ليس مهمًا. لذلك ، توائم المندوبين الثلاثة هي مجموعات من 10 إلى 3.

الملخص:

4. تطبيق الرسوم البيانية (المخططات) في حل المشاكل الاندماجية.

في الحالة التي يعتمد فيها عدد الاختيارات الممكنة في كل خطوة على العناصر التي تم اختيارها مسبقًا ، من الممكن تصوير عملية تكوين مجموعات في شكل "شجرة". أولاً ، يتم رسم العديد من المقاطع من نقطة واحدة حيث توجد خيارات مختلفة يمكن إجراؤها في الخطوة الأولى. من نهاية كل مقطع ، يتم رسم أكبر عدد ممكن من المقاطع التي يمكن تحديدها في الخطوة الثانية ، إذا تم اختيار هذا العنصر في الخطوة الأولى ، إلخ.

مهمة:

عند إصدار الأوامر سفينة فضائيةكما تؤخذ في الاعتبار مسألة التوافق النفسي للمشاركين في الرحلة. من الضروري تكوين فريق من سفينة فضاء من 3 أشخاص: قائد ومهندس وطبيب. هناك 4 مرشحين لمنصب القائد:أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، أ 4 - مكان مهندس - 3:ب 1 ، ب 2 ، ب 3. مكان الطبيب - 3: ج 1 ، ج 2 ، ج 3. أظهر التدقيق أن القائدأ 1 متوافق نفسياً مع المهندسين ب 1 و ب 3والأطباء ج 1 وج 3. القائد أ 2- مع المهندسين ب 1 و ب 2. وجميع الأطباء. قائدأ 3 - مع المهندسينب 1 و ب 2والأطباءc1 و c3. قائد أ 4 - مع جميع المهندسين وطبيب ج 2. بالإضافة إلى ذلك ، مهندسب 1 غير متوافق مع الطبيب ج 3، ب 2 - مع طبيب ج 1 وب 3 - مع طبيب ج 2. ما هو عدد الطرق التي يمكن أن يتشكل فيها طاقم السفينة في ظل هذه الظروف؟

المحلول:

دعونا نجعل "الشجرة" المقابلة.

إجابه: 10 تركيبات.

هذه الشجرة عبارة عن رسم بياني وتستخدم لحل المشكلات التوافقية.

التوافقية هي فرع من فروع الرياضيات يدرس أسئلة حول عدد التركيبات المختلفة ، التي تخضع لشروط معينة ، والتي يمكن إجراؤها من كائنات معينة. تعتبر أساسيات التوافقية مهمة جدًا لتقدير احتمالات الأحداث العشوائية ، لأن تسمح لنا بحساب العدد الأساسي الممكن خيارات مختلفةتطوير الأحداث.

صيغة التوافقية الأساسية

يجب ألا تكون هناك مجموعات من العناصر ، وأنا عشرتتكون المجموعة من عناصر n. دعنا نختار عنصرًا واحدًا من كل مجموعة. ثم الرقم الإجمالييتم تحديد الطرق N التي يمكن من خلالها اتخاذ مثل هذا الاختيار من خلال العلاقة N = n 1 * n 2 * n 3 * ... * n k.

مثال 1دعونا نشرح هذه القاعدة بمثال بسيط. يجب أن تكون هناك مجموعتان من العناصر ، المجموعة الأولى تتكون من عناصر n 1 ، والثانية - من n 2 من العناصر. كم عدد أزواج العناصر المختلفة التي يمكن تكوينها من هاتين المجموعتين بحيث يحتوي الزوج على عنصر واحد من كل مجموعة؟ لنفترض أننا أخذنا العنصر الأول من المجموعة الأولى ، وبدون تغييره ، مررنا بجميع الأزواج الممكنة ، وقمنا بتغيير العناصر من المجموعة الثانية فقط. يوجد ن 2 من هذه الأزواج لهذا العنصر. ثم نأخذ العنصر الثاني من المجموعة الأولى ونصنع له أيضًا كل الأزواج الممكنة. سيكون هناك أيضًا ن 2 من هذه الأزواج. نظرًا لوجود عناصر n 1 فقط في المجموعة الأولى ، سيكون هناك n 1 * n 2 من الخيارات الممكنة.

مثال 2كم عدد الأرقام الزوجية المكونة من ثلاثة أرقام التي يمكن تكوينها من الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 إذا كان من الممكن تكرار الأرقام؟
المحلول: n 1 \ u003d 6 (حيث يمكنك أخذ أي رقم من 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 كالرقم الأول) ، n 2 \ u003d 7 (حيث يمكنك أخذ أي رقم من 0 كالرقم الثاني ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6) ، n 3 \ u003d 4 (حيث يمكنك أخذ أي رقم من 0 ، 2 ، 4 ، 6 كالرقم الثالث).
لذا ، N = n 1 * n 2 * n 3 = 6 * 7 * 4 = 168.

عندما تكون كل المجموعات نفس العددالعناصر ، أي n 1 = n 2 = ... n k = n يمكننا أن نفترض أن كل اختيار يتم من نفس المجموعة ، وأن العنصر يعود إلى المجموعة بعد الاختيار. إذن ، فإن عدد جميع طرق الاختيار يساوي n k. هذه الطريقة في الاختيار في التوافقية تسمى إرجاع العينات.

مثال 3كم عددًا مكونًا من أربعة أرقام يمكن تكوينه من الأرقام 1 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8؟
المحلول.هناك خمسة احتمالات لكل رقم مكون من أربعة أرقام ، لذا N = 5 * 5 * 5 * 5 = 5 4 = 625.

ضع في اعتبارك مجموعة تتكون من عناصر n. هذه المجموعة في التوافقية تسمى عامه السكان.

عدد المواضع من n من العناصر بالمتر

التعريف 1.السكن من نعناصر بواسطة مفي التوافقية يسمى أي مجموعة مرتبةمن معناصر مختلفة مختارة من عامة السكان في نعناصر.

مثال 4الترتيبات المختلفة لثلاثة عناصر (1 ، 2 ، 3) اثنان في اثنين ستكون مجموعات (1 ، 2) ، (2 ، 1) ، (1 ، 3) ، (3 ، 1) ، (2 ، 3) ، (3 ، 2). يمكن أن تختلف المواضع عن بعضها البعض في كل من العناصر وترتيبها.

يُشار إلى عدد المواضع في التوافقية بالرمز A n m وتحسب بالصيغة:

تعليق: n! = 1 * 2 * 3 * ... * n (اقرأ: "en factorial") ، بالإضافة إلى ذلك ، يُفترض أن 0! = 1.

مثال 5. كم عددًا مكونًا من رقمين يكون فيه رقم العشرات ورقم الوحدة مختلفين عن الفرديين؟
المحلول:لان هناك خمسة أرقام فردية ، وهي 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، ثم يتم تقليل هذه المشكلة إلى اختيار ووضع اثنين من الأرقام الخمسة المختلفة في موضعين مختلفين ، أي أرقام محددةسوف يكون:

التعريف 2. الجمعمن نعناصر بواسطة مفي التوافقية يسمى أي مجموعة غير مرتبةمن معناصر مختلفة مختارة من عامة السكان في نعناصر.

مثال 6. بالنسبة للمجموعة (1 ، 2 ، 3) ، التركيبات هي (1 ، 2) ، (1 ، 3) ، (2 ، 3).

عدد تركيبات n من العناصر بالمتر

يتم الإشارة إلى عدد التركيبات بواسطة C n m ويتم حسابه بواسطة الصيغة:

مثال 7ما هو عدد الطرق التي يمكن للقارئ أن يختار كتابين من بين ستة كتب متاحة؟

المحلول:عدد الطرق يساوي عدد مجموعات ستة كتب في اثنين ، أي يساوي:

تباديل العناصر ن

التعريف 3. التقليبمن نالعناصر تسمى أي مجموعة مرتبةهذه العناصر.

مثال 7 أ.جميع التباديل الممكنة لمجموعة تتكون من ثلاثة عناصر (1 ، 2 ، 3) هي: (1 ، 2 ، 3) ، (1 ، 3 ، 2) ، (2 ، 3 ، 1) ، (2 ، 1 ، 3) ، (3 ، 2 ، 1) ، (3 ، 1 ، 2).

يتم الإشارة إلى عدد التباديل المختلفة لعناصر n بواسطة P n ويتم حسابها بواسطة الصيغة P n = n !.

المثال 8في عدد الطرق سبعة كتب مؤلفين مختلفينيمكن ترتيبه على الرف في صف واحد؟

المحلول:هذه المشكلة تتعلق بعدد التباديل لسبعة كتب مختلفة. يوجد P 7 = 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040 طريقة لترتيب الكتب.

مناقشة.نرى أن الرقم التوليفات الممكنةيمكن حسابها بواسطة قواعد مختلفة(التباديل ، المجموعات ، المواضع) وستكون النتيجة مختلفة ، لأن مبدأ العد والصيغ نفسها مختلفة. بالنظر عن كثب إلى التعريفات ، يمكنك أن ترى أن النتيجة تعتمد على عدة عوامل في نفس الوقت.

أولاً ، من عدد العناصر التي يمكننا دمج مجموعاتها (ما حجمها تعداد السكانعناصر).

ثانيًا ، تعتمد النتيجة على حجم مجموعات العناصر التي نحتاجها.

أخيرًا ، من المهم معرفة ما إذا كان ترتيب العناصر في المجموعة مهمًا بالنسبة لنا. دعونا نشرح العامل الأخير بالمثال التالي.

المثال 9على ال اجتماع الوالدينهناك 20 شخصا حاضرا. كم عدد الخيارات المختلفة لتكوين اللجنة الأم الموجودة إذا كان ينبغي أن تشمل 5 أشخاص؟
المحلول:في هذا المثال ، لسنا مهتمين بترتيب الأسماء في قائمة اللجان. إذا ظهر ، نتيجة لذلك ، نفس الأشخاص في تكوينها ، فإن هذا هو الخيار نفسه من حيث المعنى بالنسبة لنا. لذلك ، يمكننا استخدام الصيغة لحساب الرقم مجموعاتمن أصل 20 عنصرًا ، 5.

ستكون الأمور مختلفة إذا كان كل عضو في اللجنة مسؤولًا في البداية عن مجال معين من العمل. ثم ، مع نفس جدول رواتب اللجنة ، يمكن أن يكون بداخلها 5! والخيارات التباديلهذا الأمر. يتم تحديد عدد الخيارات المختلفة (من حيث التكوين ومنطقة المسؤولية) في هذه الحالة من خلال الرقم المواضعمن أصل 20 عنصرًا ، 5.

مهام الاختبار الذاتي
1. كم عدد الأرقام الزوجية المكونة من ثلاثة أرقام التي يمكن تكوينها من الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 إذا كان من الممكن تكرار الأرقام؟

2. كم عدد الأرقام المكونة من خمسة أرقام والتي تقرأ بنفس الطريقة من اليسار إلى اليمين ومن اليمين إلى اليسار؟

3. هناك عشرة مواد في الفصل وخمسة دروس في اليوم. ما عدد الطرق التي يمكنك بها عمل جدول ليوم واحد؟

4. كم عدد الطرق التي يمكن بها اختيار 4 مندوبين للمؤتمر إذا كان هناك 20 شخصًا في المجموعة؟

5. كم عدد الطرق التي يمكن بها وضع ثمانية أحرف مختلفة في ثمانية مظاريف مختلفة إذا تم وضع حرف واحد فقط في كل مغلف؟

6. من الضروري تكوين لجنة من ثلاثة علماء رياضيات وعشرة اقتصاديين تتكون من اثنين من علماء الرياضيات وستة خبراء اقتصاديين. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

الغرض من الدرس:تكون قادرًا على تطبيق الصيغ الأساسية للتوافقيات ومعرفة شروط تطبيق هذه الصيغ ؛ معرفة خصائص المعاملات ذات الحدين والقدرة على تحديد امتداد ذات الحدين لقيم محددة لـ n.

خطة الدرس:

1. عدد المواضع.

2. عدد التباديل.

3. عدد التوليفات.

4. التكرار.

5. نيوتن ذات الحدين. مثلث باسكال.

القواعد الارشاديةلدراسة الموضوع

في العديد من الحالات العملية ، يصبح من الضروري حساب عدد المجموعات الممكنة من الكائنات التي تفي بشروط معينة. تسمى هذه المشاكل الاندماجية. يتحدى تنوع المشكلات الاندماجية الوصف الشامل ، ولكن يوجد من بينها خط كاملشائع بشكل خاص ، حيث تُعرف طرق العد.

التوافقية- فرع من فروع الرياضيات تدرس فيه أسئلة حول عدد التركيبات المختلفة ، التي تخضع لشروط معينة ، والتي يمكن إجراؤها من عناصر تنتمي إلى مجموعة معينة. مصطلح "التوافقية" يأتي من كلمة لاتينيةالجمع - للجمع ، الاتصال.

يجب أن يكون هناك مجموعة من العناصر n: x 1 ، x 2 ، x 3 ، ... ، x n.

من هذه المجموعة ، يمكنك تكوين مجموعات فرعية مختلفة ، أي عينات ، تحتوي كل منها على عناصر m (0 ≤ م ≤ ن). هناك تحديدات مرتبة (موضع) وتباديل وتحديدات غير مرتبة (مجموعات).

أماكن الإقامة

المواضع نمختلف العناصر حسب مالعناصر التي تختلف إما في تكوين العناصر أو في ترتيبها.

عدد المواضع من نعناصر بواسطة مالعناصر تشير (أ - الحرف الأول كلمة فرنسيةالترتيب ، وهو ما يعني التنسيب ، والترتيب) ويتم حسابه بواسطة الصيغة:

مفهوم العامل

عمل ن الأعداد الطبيعيةمن 1 الى نيرمز له بالرمز ن! (نعاملي) ، وهذا هو

على سبيل المثال ، 2! =

5!=

لاحظ أنه من المناسب حساب 0! بافتراض ، بحكم التعريف ، 0! = 1.

أمثلة:

من الصيغتين الأخيرتين يتبع ذلك

مثال.

8 فرق تشارك في بطولة كرة القدم من جولة واحدة. كم عدد المتغيرات للجائزة الثلاثة هناك؟

المحلول: نظرًا لأهمية ترتيب الفرق في المراكز الثلاثة الأولى ، فإننا نتعامل مع المواضع. ثم

(والخيارات).

مثال.

ما هو عدد الطرق التي يمكن بها اختيار ثلاثة أشخاص لثلاثة مناصب مختلفة من بين عشرة مرشحين؟

المحلول:

(طرق).

مثال.

كم يمكنك ان تفعل أرقام الهواتفمن 5 أرقام بحيث تختلف جميع الأرقام في كل رقم فردي؟

(أرقام الهاتف).

التباديل

التباديلمجموعات تسمى تتكون من نفس الشيء نعناصر مختلفة وتختلف فقط في ترتيب ترتيبها.

يتم الإشارة إلى عدد جميع التباديل الممكنة لعناصر n بواسطة P n (P هو الحرف الأول من كلمة التقليب الفرنسية ، مما يعني التقليب) ويتم حسابه بواسطة الصيغة:

مثال.

يشارك 8 رياضيين في السباق النهائي لمسافة 100 متر. كم عدد خيارات بروتوكول السباق الموجودة؟

المحلول:

في هذه الحالة ، نحن نتحدث عن جميع التباديل من 8 عناصر. ثم (خيارات)

مثال.

كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن أن يجلس بها 10 أشخاص على مقعد؟

المحلول:

(طرق)

مثال.

ما هو عدد الطرق التي يمكن أن يجلس بها 7 أشخاص على طاولة بها 7 أدوات مائدة؟

المحلول:

(طرق).

مجموعات

مجموعاتتسمى مجموعات مكونة من نمختلف العناصر حسب مالعناصر التي تختلف في عنصر واحد على الأقل.

يتم حساب عدد التركيبات بواسطة الصيغة: (C هو الحرف الأول من الكلمة الفرنسية combinasion).

مثال.

ما هو عدد الطرق التي يمكن بها اختيار ثلاثة أشخاص لثلاثة مناصب متطابقة من بين عشرة مرشحين؟

المحلول:

(طرق).

مثال.

ما عدد الطرق التي يمكن بها اختيار ثلاثة عناصر من صندوق يحتوي على 15 عنصرًا؟

المحلول:

(طرق).

نوع آخر من الصيغ لعدد المواضع وعدد التركيبات

; ، هذا هو .

مجموعة خصائص العدد:

5)

عند حل المشكلات ، تستخدم التوافقية القواعد التالية:

حكم المجموع.إذا كان من الممكن اختيار كائن A من مجموعة كائنات بطرق n ، وكائن آخر B بطرق k ، فيمكن اختيار الكائن "إما A أو B" بطرق n + k.

سيادة المنتج.إذا كان من الممكن اختيار كائن A من مجموعة من الكائنات بطرق n ، وبعد كل اختيار يمكن اختيار كائن آخر B بطرق k ، فيمكن اختيار زوج من الكائنات (A ، B) بالترتيب المحدد في n × طرق ك.

إذا تكررت بعض العناصر ، في هذه الحالة ، يتم حساب التركيبات مع التكرارات باستخدام صيغ أخرى.

المواضع مع التكرار

عدد المواضع حسب مالعناصر ذات التكرار من نعناصر مختلفة ن م،هذا هو

مثال.

من الأرقام 1،2،3،4،5 يمكنك الحصول على 5 3 \ u003d 125 ثلاثة أرقام، إذا كان يمكن أن يحتوي نفس الرقم على نفس الأرقام.

التباديل مع التكرار

إذا كان بين نالعناصر ن 1عناصر من نفس النوع ن 2عناصر من نوع آخر ، وما إلى ذلك ، ثم عدد التباديل مع التكرار

أين

مثال.

كم عدد التبديلات المختلفة للأحرف التي يمكن إجراؤها في كلمة "رياضيات"؟

المحلول:

مجموعات مع التكرار

عدد التركيبات مع التكرارات من نمختلف العناصر حسب مالعناصر تساوي عدد التركيبات دون التكرار من ( ن+م-1) عناصر مختلفة حسب معناصر:

مثال.

أوجد عدد التركيبات مع تكرار أربعة عناصر أ, ب, ج, د 3 عناصر.

المحلول:

سيكون الرقم المطلوب

نظرية ثنائية

بالنسبة إلى عدد صحيح موجب تعسفي n ، فإن الصيغة التالية تحمل:

هذه هي ذات الحدين لنيوتن. تسمى المعاملات المعاملات ذات الحدين.

بالنسبة إلى n = 2 نحصل على الصيغة ؛

بالنسبة إلى n = 3 نحصل على الصيغة.

مثال.أوجد التحلل لـ n = 4.

المحلول:

المعاملات ذات الحدين لها عدد من الخصائص:

2. ;

ضع في اعتبارك المثلث التالي:

………………………….

يحتوي السطر المرقّم n على معاملات التوسع ذات الحدين. استخدام الخاصية ، يمكن ملاحظة أن كل منهما العنصر الداخليمثلث يساوي المجموعيوجد عنصران فوقه ، والعناصر الجانبية للمثلث عبارة عن وحدات:

……………………….

هذا هو مثلث باسكال. يسمح لك بالعثور بسرعة على قيم المعاملات ذات الحدين.

في أدب اللغة الروسية ، تُسمى التباديل المكونة من n عناصر مختلفة عن طريق اختيار m العناصر التي تختلف إما في تكوين العناصر أو في ترتيبها المواضع ، وتعني التباديل مجموعة كاملة من المجموعات التي تتكون من نفس n عناصر مختلفة وتختلف فقط في ترتيب موقعها. بهذا المعنى ، يتم حساب عدد جميع التباديل الممكنة لمجموعة من العناصر المختلفة n بواسطة الصيغة العاملية Pn = n! أو في Excel "= FACTOR (N)" (انظر الشكل رقم 1)

على سبيل المثال ، إذا أدخلت "= PEREST (3 ؛ 2)" ، نحصل على 6. هذه 6 مجموعات: (1.2) ، (2.1) ، (1.3) ، (3.1) ، (2.3) ، (3،2) .

لكن الوظيفة المضمنة "= NUMBERCOMB (N؛ K)" تنتج صيغة اندماجية ، نسميها "عدد المجموعات". في الأدب الروسي ، هذا هو الاسم الذي يطلق على التباديل المكون من n عناصر مختلفة عن طريق اختيار عناصر m ، والتي تختلف فقط في تكوين العناصر ، والترتيب الذي يختارونه غير مبال (انظر الشكل رقم 4)

عند استخدام الوظائف المضمنة ، ارجع إلى "تعليمات لهذه الوظيفة". فمثلا:

مهام لـ قرار مستقل

1. احسب:

2. احسب:

3. احسب:

4. البحث نإذا 5С ن 3 =

5. البحث ن، إذا

6. البحث ن، إذا

7. البحث ن، إذا

8. البحث ن، إذا ، ك ن

9. حل المعادلة

10. حل النظام

11. كم عدد الإشارات التي يمكن إنشاؤها من 6 أعلام بألوان مختلفة ، مأخوذة 2 لكل منها؟

12. ما هو عدد الطرق التي يمكن بها اختيار أربعة أشخاص لأربعة مناصب مختلفة من بين تسعة مرشحين؟

13. ما هو عدد أرقام الهواتف التي يمكن أن تتكون من 6 أرقام بحيث تختلف جميع الأرقام في كل رقم على حدة؟

14. في الصف 10 المواضيعو 5 دروس مختلفةفي يوم. ما عدد الطرق التي يمكن بها توزيع الدروس في يوم واحد؟

15. كم عدد الأرقام المكونة من أربعة أرقام التي يمكن كتابتها باستخدام جميع الأرقام العشرة دون تكرار؟

16. تختار الشركة من بين تسعة مرشحين لثلاثة مناصب مختلفة. كم عدد الطرق المتاحة لاتخاذ هذا الاختيار؟

17. في الصف الثامن يدرس 15 مادة. ما عدد الطرق التي يمكنك بها إنشاء جدول يوم الأربعاء إذا كنت تعلم أنه يجب أن يكون هناك 6 دروس في ذلك اليوم؟

18. يوجد 16 فريقًا في أعلى دوري في البطولة الوطنية لكرة القدم. المعركة من أجل الميداليات الذهبية والفضية والبرونزية. ما هو عدد الميداليات التي يمكن توزيعها بين الفرق؟

19. ما عدد الطرق التي يمكن أن يجلس بها 9 أشخاص على طاولة بها 9 أدوات مائدة؟

20. سيكون هناك 6 متحدثين في الاجتماع. ما هو عدد الطرق التي يمكن بها وضع أسمائهم في القائمة؟

21. كم عددًا مكونًا من ثلاثة أرقام يمكن تكوينه من الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، إذا تم تضمين كل رقم في صورة الرقم مرة واحدة فقط؟

22. ما هو عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها ترتيب 10 كتب مختلفة على الرف بحيث تكون بعض الكتب الأربعة جنبًا إلى جنب؟

23. 8 فرق تشارك في دورة كرة القدم من جولة واحدة. كم عدد المباريات التي ستلعب في المجموع؟

24. من بين 25 طالبًا ، يجب اختيار ثلاثة مندوبين للمؤتمر. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

25. ما هو عدد الطرق التي يمكن بها اختيار قطعتين من علبة تحتوي على 10 قطع؟

26. هناك 36 ورقة في مجموعة أوراق اللعب ، 4 منها ارسالا ساحقا. ما عدد الطرق التي يمكن بها سحب 6 بطاقات بحيث يكون بينهم 2 ارسالا ساحقا؟

27. يتألف فريق المجمع من رسامين وثلاثة جصّين ونجار واحد. كم عدد الألوية المختلفة التي يمكن إنشاؤها من فريق عمل مكون من 15 رسامًا و 10 جصًا و 5 نجارين؟

28. تشارك 10 منتخبات في البطولة المؤهلة مقابل 3 تذاكر لكأس العالم. كم عدد المتغيرات من "الثلاثة المحظوظين" هناك؟

29- من بين 12 شخصاً ، يتم اختيار أربعة للتعيين في 4 وظائف متطابقة. ما هو عدد الطرق التي يمكن أن يتم بها هذا الاختيار؟

30. ما هو عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها تشكيل مجموعة استطلاع من 3 جنود وقائد واحد إذا كان هناك 12 جنديًا و 3 قادة؟

31. على متن الطائرة نلا توجد ثلاثة منها تقع على نفس الخط. أوجد عدد الخطوط التي يمكن الحصول عليها من خلال ربط النقاط في أزواج.

32. تتشكل حروف مورس على شكل سلسلة من النقاط والشرطات. كم عدد الحروف المختلفة التي يمكن تشكيلها باستخدام 5 أحرف؟

33. كم عدد أرقام الهواتف المختلفة المكونة من سبعة أرقام؟

34. دع أحرف بعض الأبجدية تتشكل على شكل سلسلة من النقاط والشرطات والمسافات. كم عدد الحروف المختلفة التي يمكن تشكيلها باستخدام 5 أحرف؟

35. عند لعب الجسر بين أربعة لاعبين ، يتم توزيع مجموعة أوراق من 52 ورقة من 13 ورقة على كل لاعب. كم عدد الطرق المختلفة المتاحة لتداول البطاقات؟

36. في مكتب البريدبطاقات بريدية من خمسة أنواع معروضة للبيع. ابحث عن عدد طرق شراء سبع بطاقات بريدية.

37. اثنين من هواة الجمع يتبادلون الطوابع. ابحث عن عدد طرق التبادل إذا كان المُجمع الأول يتبادل 3 علامات ، والثاني - 6 علامات. (يتم التبادل على طابع واحد).

38. لدى أحد الطلاب 6 كتب في الرياضيات ، والآخر لديه 5. ما عدد الطرق التي يمكنهم بها تبادل كتابين من كتاب واحد مقابل كتابين للآخر؟

39. كم عدد التبديلات المختلفة للحروف التي يمكن إجراؤها في الكلمات: "القلعة" ، "الدوار" ، "الدفاع" ، "الجرس" ، "الندوة"؟

40. ما عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها وضع الأحرف التسعة التالية في 9 خلايا: أ ، أ ، أ ، ب ، ب ، ب ، ج ، ج ، ج؟

41. يوجد 6 مقاعد في السيارة. ما هو عدد الطرق التي يمكن أن يركب بها 6 أشخاص هذه السيارة إذا تمكن اثنان منهم فقط من الجلوس في مقعد السائق؟

42. ما هو عدد الطرق التي يمكن بها سحب 6 بطاقات تحتوي على آس وملك من نفس المجموعة من مجموعة مكونة من 52 ورقة؟

43. حدد التحلل لـ n = 5.

44. حدد التحلل لـ n = 8.

45. أوجد مصطلحًا في المفكوك لا يحتوي على x (أي يحتوي على x حتى درجة الصفر).

46. ​​أوجد الحد السادس للتوسيع ، إذا معامل ذي الحدينالمدة الثالثة من النهاية هي 45.

47. في التحلل معامل الحد الثالث أكبر بـ 44 من معامل الحد الثاني. أوجد المصطلح المجاني ، أي مصطلح التوسع الذي لا يعتمد على x (المصطلح الذي لا يعتمد على x سيكون المصطلح الذي يحتوي على x مرفوعًا للقوة الصفرية).

48. في توسيع ذات الحدين ابحث عن المصطلحات التي لا تحتوي على اللاعقلانية.

49. أوجد عدد مصطلح التوسيع هذا ، الذي يحتوي على أ و ب في قوى متساوية.

درس عملي №2

(درس تفاعلي في مجموعات صغيرة)

وظائف منطقية

الغرض من الدرس:تكون قادرًا على بناء وظائف منطقية مختلفة ، والتحقق من تكافؤ الصيغ المنطقية (باستخدام جدول الحقيقة) ، وتحديد المتغيرات الأساسية والوهمية.

خطة الدرس:

1. العمليات الأساسية

2. وظائف منطقية لمتغيرات n

3. المعادلات الأساسية

عدد المواضع بدون تكرار من ن على ك ن كإحداثيات مختلفة.

تم العثور على عدد المواضع دون التكرار من خلال الصيغة:

مثال:ما عدد الطرق التي يمكنك بها إنشاء رقم مكون من 3 أرقام بأرقام مختلفة لا تحتوي على الرقم 0؟

عدد الخانات
، أبعاد متجه بإحداثيات مختلفة

عدد المواضع مع التكرار

عدد المواضع مع عمليات التكرار من ن على ك هو عدد الطرق التي توجد بها نعناصر مختلفة لبناء ناقلات مع كالإحداثيات ، والتي قد تكون متشابهة.

تم العثور على عدد المواضع مع التكرارات من خلال الصيغة:

.

مثال:كم عدد الكلمات التي يبلغ طولها 6 كلمات يمكن تشكيلها من 26 حرفًا من الأبجدية اللاتينية؟

عدد الحروف
، ناقلات البعد

عدد التباديل دون تكرار

عدد التباديل بدون تكرار من ن عناصر هو عدد الطرق التي يمكن بها وضعها في أماكن مختلفة نعناصر مختلفة.

تم العثور على عدد التباديل دون التكرار من خلال الصيغة:

.

تعليق:قوة المجموعة المرغوبة لكنمن المريح البحث بالصيغة:
، أين X- عدد الطرق لاختيار الأماكن المطلوبة ؛ في- عدد طرق ترتيب العناصر الضرورية عليها ؛ ض- عدد طرق ترتيب العناصر المتبقية في الأماكن المتبقية.

مثال.ما عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب 5 كتب مختلفة على رف الكتب؟ في أي عدد من الحالات سيكون هناك كتابان محددان "أ" و "ب" جنبًا إلى جنب؟

إجمالي عدد طرق ترتيب 5 كتب في 5 أماكن يساوي = 5! = 120.

في المهمة Xهو عدد طرق اختيار مكانين جنبًا إلى جنب ، X= 4;فيهو عدد طرق ترتيب كتابين في مكانين ، في = 2! = 2; ض- عدد طرق ترتيب الكتب الثلاثة المتبقية في الأماكن الثلاثة المتبقية ، ض= 3! = 6. هكذا
= 48.

عدد التركيبات بدون تكرار

عدد التركيبات بدون تكرار من ن على ك هو عدد الطرق التي توجد بها نعناصر مختلفة للاختيار كقطع بدون طلب.

تم العثور على عدد التركيبات دون التكرار من خلال الصيغة:

.

الخصائص:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
; 5)
; 6)
.

مثال.هناك 7 كرات في الجرة. من هؤلاء ، 3 من البيض. يتم اختيار 3 كرات بشكل عشوائي. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟ كم عدد الحالات التي سيكون فيها أبيض واحد بالضبط؟

مجموع الطرق
. للحصول على عدد الطرق اختر 1 كرة بيضاء(من 3 كرات بيضاء) و 2 كرات سوداء (من 4 كرات سوداء) يجب أن تتضاعف
و
وبالتالي ، فإن العدد المطلوب من الطرق

تمارين

1. من بين 35 طالبًا ، كان الفصل في نهاية العام يحتوي على "5" في الرياضيات - 14 طالبًا ؛ في الفيزياء - 15 شخصًا ؛ في الكيمياء - 18 شخصًا ؛ في الرياضيات والفيزياء - 7 أشخاص ؛ في الرياضيات والكيمياء - 9 أشخاص ؛ في الفيزياء والكيمياء - 6 أشخاص ؛ في جميع المواد الثلاثة - 4 أشخاص. كم عدد الأشخاص الذين لديهم "5" في الموضوعات المحددة؟ كم عدد الأشخاص الذين ليس لديهم "5" في هذه الموضوعات؟ لديه "5" في الرياضيات فقط؟ لديه "5" في مادتين فقط؟

2. في مجموعة مكونة من 30 طالبًا ، يعرف الجميع واحدًا على الأقل لغة اجنبية- اللغة الإنجليزية أو الألمانية. يتحدث الإنجليزية 22 طالبًا ، ويتحدث الألمانية 17 طالبًا. كم عدد الطلاب الذين يعرفون اللغتين؟ كم عدد الطلاب الذين يعرفون اللغة الألمانية ولكنهم لا يعرفون اللغة الإنجليزية؟

3. يعيش طلاب من روسيا في 20 غرفة في نزل معهد الصداقة بين الشعوب. 15 من أفريقيا؛ 20 من البلدان أمريكا الجنوبية. علاوة على ذلك ، في 7 - يعيش الروس والأفارقة ، في 8 - الروس وأمريكا الجنوبية ؛ في 9 - الأفارقة وأمريكا الجنوبية ؛ في 3 - كل من الروس وأمريكا الجنوبية والأفارقة. كم عدد الغرف التي يعيش فيها الطلاب: 1) من قارة واحدة فقط ؛ 2) فقط من قارتين ؛ 3) الأفارقة فقط.

4. يُطلب من كل طالب من 500 طالب حضور واحدة على الأقل من الدورات التدريبية الخاصة الثلاث: في الرياضيات والفيزياء وعلم الفلك. ثلاث دورات خاصة يحضرها 10 طلاب ، في الرياضيات والفيزياء - 30 طالبًا ، في الرياضيات وعلم الفلك - 25 ؛ دورة خاصة في الفيزياء فقط - 80 طالب وطالبة. ومن المعروف أيضًا أن 345 طالبًا يحضرون دورة خاصة في الرياضيات ، و 145 طالبًا في الفيزياء ، و 100 طالبًا في علم الفلك. كم عدد الطلاب الذين يحضرون دورة خاصة في علم الفلك فقط؟ كم عدد الطلاب الذين يحضرون دورتين خاصتين؟

5. قدم رئيس الدورة التقرير التالي عن التربية البدنية. في المجموع - 45 طالبًا. قسم كرة القدم - 25 فردًا - قسم كرة السلة - 30 فردًا - قسم الشطرنج - 28 فردًا. في الوقت نفسه ، يحضر 16 شخصًا أقسام كرة القدم وكرة السلة في نفس الوقت ، 18 - كرة القدم والشطرنج ، 17 - كرة السلة والشطرنج ، 15 شخصًا يحضرون الأقسام الثلاثة. اشرح سبب عدم قبول التقرير.

6. يوجد 11 سمكة في الحوض. من هؤلاء ، 4 حمراء ، والباقي ذهب. يتم اختيار 4 أسماك بشكل عشوائي. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟ ابحث عن عدد الطرق للقيام بذلك بحيث يكون من بينها: 1) أحمر واحد بالضبط ؛ 2) قطعتان ذهبيتان بالضبط ؛ 3) أحمر واحد على الأقل.

7. هناك 8 أسماء في القائمة. ومن هؤلاء ، 4 إناث. ما هو عدد الطرق التي يمكن تقسيمها إلى مجموعتين متساويتين بحيث يكون لكل منهما لقب أنثوي؟

8. اختر 4 من مجموعة من 36 بطاقة. كم عدد الطرق للقيام بذلك بحيث: 1) كل البطاقات من مجموعات مختلفة. 2) كانت جميع البطاقات من نفس النوع ؛ 3) 2 أحمر و 2 أسود.

9. الحروف K ، K ، K ، U ، U ، A ، E ، R معطاة على بطاقات الأبجدية المقسمة ، كم عدد الطرق لوضعها في صف حتى تحصل على "غراب".

10. بطاقات الأبجدية المقطوعة مع الأحرف O ، T ، O ، L ، O ، R ، I ، N ، G ، O ، L ، O ، G. تم الحصول على "أخصائي أنف وأذن وحنجرة".

11. يتم تقديم بطاقات الأبجدية المشوشة بالأحرف L ، I ، T ، E ، R ، A ، T ، U ، R ، A. كم عدد الطرق لوضعها في صف حتى يتم الحصول على كلمة "أدب" .

12. 8 أشخاص يصطفون. كم عدد الطرق للقيام بذلك بحيث يكون هناك شخصان محددان A و B: 1) بجوار بعضهما البعض ؛ 2) على حواف قائمة الانتظار ؛

13. 10 أشخاص يجلسون ل طاوله دائريه الشكللمدة 10 مقاعد. كم عدد الطرق التي يمكن القيام بها بحيث يكون هناك: 1) شخصان محددان أ وب ؛ 2) ثلاثة أشخاص محددين A و B و C.

14. 10 أرقام عربية تشكل رمزًا مكونًا من 5 أرقام. في عدد الطرق التي يمكن القيام بها بحيث: 1) جميع الأرقام مختلفة ؛ 2) المكان الأخير هو رقم زوجي.

15. من 26 حرفًا من الأبجدية اللاتينية (من بينها 6 أحرف متحركة) ، يتم عمل كلمة مكونة من ستة أحرف. في عدد الطرق التي يمكن القيام بها بحيث تحتوي الكلمة على: 1) حرف واحد بالضبط "a" ؛ 2) حرف متحرك واحد بالضبط ؛ بالضبط حرفين "أ" ؛ ج) حرفان متحركان بالضبط.

16. كم عددًا مكونًا من أربعة أرقام يقبل القسمة على 5؟

17. كم عدد الأرقام المكونة من أربعة أرقام مع أرقام مختلفة والتي تقبل القسمة على 25؟

19. يتم رمي 3 أحجار نرد. في عدد الحالات التي تسقط فيها: 1) بالضبط 1 "ستة" ؛ 2) واحد على الأقل "ستة".

20. رمي 3 نرد. في عدد الحالات سيكون هناك: 1) كل شخص مختلف. 2) رقمان متطابقان تمامًا من النقاط.

21. كم عدد الكلمات ذات الحروف المختلفة يمكن تكوينها من الأبجدية أ ، ب ، ج ، د. ضعهم جميعًا بترتيب معجمي: abcd ، abcd….