и върху ос или някакъв друг вектор, има понятия за неговата геометрична проекция и числена (или алгебрична) проекция. Резултатът от геометрична проекция е вектор, а резултатът от алгебрична проекция е неотрицателен реално число. Но преди да преминем към тези понятия, нека си припомним необходимата информация.

Предварителна информация

Основната концепция е директно концепцията за вектор. За да въведете определение геометричен векторНека си припомним какво е сегмент. Въвеждаме следното определение.

Определение 1

Сегментът е част от права линия, която има две граници под формата на точки.

Отсечката може да има 2 посоки. За да посочим посоката, ще наречем една от границите на отсечката нейно начало, а другата граница – негов край. Посоката се посочва от началото до края на сегмента.

Определение 2

Вектор или насочен сегмент е сегмент, за който е известно коя от границите на сегмента се счита за начало и коя е негов край.

Нотация: Две букви: $\overline(AB)$ – (където $A$ е началото му, а $B$ е неговият край).

С една малка буква: $\overline(a)$ (Фигура 1).

Нека въведем още няколко понятия, свързани с концепцията за вектор.

Определение 3

Два ненулеви вектора ще се наричат ​​колинеарни, ако лежат на една права или на прави, успоредни една на друга (фиг. 2).

Определение 4

Два ненулеви вектора ще се наричат ​​съпосочни, ако отговарят на две условия:

1. Тези вектори са колинеарни.
2. Ако са насочени в една посока (фиг. 3).

Обозначение: $\overline(a)\overline(b)$

Определение 5

Два ненулеви вектора ще се наричат ​​противоположно насочени, ако отговарят на две условия:

1. Тези вектори са колинеарни.
2. Ако бъдат изпратени на различни страни(фиг. 4).

Обозначение: $\overline(a)↓\overline(d)$

Определение 6

Дължината на вектора $\overline(a)$ е дължината на сегмента $a$.

Нотация: $|\overline(a)|$

Нека да преминем към дефиницията на равенството на два вектора

Определение 7

Два вектора ще се наричат ​​равни, ако отговарят на две условия:

1. Те са подравнени;
2. Дължините им са равни (фиг. 5).

геометрична проекция

Както казахме по-рано, резултатът от геометрична проекция ще бъде вектор.

Определение 8

Под геометрична проекция на вектора $\overline(AB)$ върху оста разбираме такъв вектор, който се получава по следния начин: Точката на началото на вектора $A$ се проектира върху дадената ос. Получаваме точката $A"$ - началото на желания вектор. Крайната точка на вектора $B$ се проектира върху тази ос. Получаваме точката $B"$ - краят на желания вектор. Векторът $\overline(A"B")$ ще бъде желаният вектор.

Помислете за проблема:

Пример 1

Изградете геометрична проекция $\overline(AB)$ върху оста $l$, показана на фигура 6.

Начертайте перпендикуляр на оста $l$ от точката $A$, вземете точката $A"$ върху него. След това начертайте перпендикуляра на оста $l$ от точката $B$, вземете точката $B" $ върху него (фиг. 7).

Точка в пространството се определя от всеки две нейни проекции. Ако е необходимо да се изгради трета проекция според две дадени, е необходимо да се използва съответствието на сегментите на проекционните свързващи линии, получени при определяне на разстоянията от точка до проекционната равнина (виж фиг. 2.27 и фиг. 2.28).

Примери за решаване на задачи в I октант

Дадено е A 1 ; А 2	Изградете A 3
Дадено е A 2 ; A 3	Изградете A 1
Дадено е A 1 ; A 3	Изградете A 2

Помислете за алгоритъма за конструиране на точка А (Таблица 2.5)

Таблица 2.5

Алгоритъм за изграждане на точка А
На дадени координатиНО ( х = 5, г = 20, z = -9)

AT следващите главиние ще разгледаме изображения: прави линии и равнини само през първата четвърт. Въпреки че всички разглеждани методи могат да се прилагат във всяко тримесечие.

заключения

По този начин, въз основа на теорията на G. Monge, е възможно да се трансформира пространственото изображение на изображението (точка) в плоскост.

Тази теория се основава на следните точки:

1. Цялото пространство е разделено на 4 четвърти с помощта на две взаимно перпендикулярни равнини p 1 и p 2 , или с 8 октави чрез добавяне на трета взаимно перпендикулярна равнина p 3 .

2. Изображението на пространствено изображение върху тези равнини се получава с помощта на правоъгълна (ортогонална) проекция.

3. За да преобразувате пространствено изображение в плоско изображение, се счита, че равнината p 2 е неподвижна, а равнината p 1 се върти около оста хтака че положителната полуравнина p 1 съвпада с отрицателната полуравнина p 2 , отрицателната част на p 1 съвпада с положителната част p 2 .

4. Равнината p 3 се върти около оста z(линии на пресичане на равнините) до подравняване с равнината p 2 (виж Фиг. 2.31).

Изображенията, получени върху равнините p 1 , p 2 и p 3 с правоъгълна проекция на изображения, се наричат ​​​​проекции.

Равнините p 1 , p 2 и p 3 заедно с изобразените върху тях проекции образуват равнинен сложен чертеж или диаграми.

Линии, свързващи проекциите на изображението ^ с осите х, г, z, се наричат ​​проекционни линии.

За още точно определениеизображения в пространството може да се приложи система от три взаимно перпендикулярни равнини p 1 , p 2 , p 3 .

В зависимост от състоянието на проблема можете да изберете за изображението или системата p 1 , p 2 или p 1 , p 2 , p 3 .

Системата от равнини p 1 , p 2 , p 3 може да бъде свързана към системата Декартови координати, което дава възможност да се специфицират обекти не само по графичен или (вербален) начин, но и аналитично (с помощта на числа).

Този начин на изобразяване на изображения, по-специално точки, позволява решаването на такива позиционни проблеми като:

• местоположението на точката спрямо проекционните равнини ( обща позиция, принадлежащи на равнината, ос);
• позиция на точката по четвъртинки (в коя четвъртинка се намира точката);
• позицията на точките една спрямо друга (по-високо, по-ниско, по-близо, по-далеч спрямо равнините на проекциите и зрителя);
• положението на точковите проекции спрямо проекционните равнини (равно разстояние, по-близо, по-далеч).

Метрични задачи:

• равноотстояние на проекцията от проекционните равнини;
• съотношението на отстраняване на проекцията от проекционните равнини (2–3 пъти, повече, по-малко);
• определяне на разстоянието на точка от проекционните равнини (при въвеждане на координатна система).

Въпроси за интроспекция

1. Линията на пресичане на кои равнини е оста z?

2. Линията на пресичане на кои равнини е оста г?

3. Как е линията на проекционна връзка на фронталната и профилна проекцияточки? Покажи.

4. Какви координати определят позицията на проекцията на точката: хоризонтална, фронтална, профилна?

5. В коя четвърт е точка F (10; -40; -20)? От коя проекционна равнина точката F е най-отдалечена?

6. Разстоянието от коя проекция до коя ос определя разстоянието на точката от равнината p 1 ? Каква е координатата на точката е това разстояние?

1. Въз основа на два вида детайли изградете трети изглед. Приложете размери.

2. Постройте правоъгълна изометрична проекция.

Данните се вземат от таблицата. един.

Пример за изпълнение на задачата е показан на фиг. 3.

1.2 Насоки

1. Проучете GOST 2.305–68, GOST 2.317–68, препоръчителната литература и се запознайте с насоките за изучаваната тема.

2. Прочетете внимателно дадените изображения на детайла и определете основните геометрични тела, от които се състои. Представете формата на частта в пространството, за което частта трябва да бъде психически разделена на съставни геометрични елементи. Следователно, за да научите как бързо и правилно да четете сложни чертежи на части, трябва да знаете как различни геометрични елементи се проектират върху проекционните равнини: прави линии, линии, повърхностни равнини. В същото време трябва да се има предвид, че всеки детайл в задачата е комбинация от различни геометрични телаи повечето от тях заемат определена позиция спрямо проекционните равнини. Освен това, изпълнявайки тази задача, трябва да можете да решавате задачи за изграждането на линии на пресичане на повърхността с равнина и линии на взаимно пресичане на повърхности. В случай на затруднения можете да използвате пластилин и да изваяте частта. Можете също така да изрежете част от всякакъв материал и да я скицирате.

3. След като дизайнът на детайла е напълно разбран, трябва да се извърши предварително оформление на чертежа върху листа, като се подчертае подходящата област на листа хартия за всяко изображение.

4. Установени са правилата за изграждане на изображения върху чертежите

ГОСТ 2.305–68. Изграждането на изображението се осъществява чрез правоъгълна (ортогонална) проекция на детайли върху 6 лица на куба, като се приема, че детайлът е разположен между наблюдателя и съответната страна на куба. Лицата на куба се приемат като основни проекционни равнини, които заедно с изображенията, получени върху тях, се комбинират в една равнина.

Изградете всички изображения в чертежа в съответствие със задачата.

За да направите това изграждане:

дадени видове:предна (главна) и горна; за два вида детайли изградете третия си изглед (вляво).

правоъгълен изометричен изглед на детайла. GOST 2.317–69 установява 5 вида издатини. Когато изпълнявате задача, изберете аксонометрична проекция, който има най-голяма яснота (правоъгълна изометрична проекция).

5. Нанесете всички необходими размери и удължителни линии, размерни номера и знаци.

поставете размерни линии и числа извън очертанията на изображението на детайла;

предотвратяване на пресичането на удължителни линии с размерни линии;

удължителни линии за рисуване от линиите на видимия контур;

не позволявайте използването на контурни линии, аксиални, централни и отдалечени като размери.

посочете размерите на всички повърхности, от които се състои тази част.

посочете взаимното разположение на повърхностите;

задайте общите размери.

Общият брой на размерите в чертежа трябва да бъде минимален и достатъчен за производството на детайла. Размерните номера се препоръчват да се изпълняват с шрифт 3,5 или 5 mm.

6. Попълнете основния надпис и издайте задачата в съответствие с примера на фиг. 3. Проверка на правилността на конструкциите.

Изграждане на третата проекция на детайла по две данни

Първо трябва да разберете формата на отделните части на обекта; За да направите това, вземете предвид и двете дадени изображения. Полезно е да имате предвид кои повърхности отговарят на най-често срещаните изображения: кръг, триъгълник, шестоъгълник и др. Под формата на триъгълник в изглед отгоре (фиг. 41) може да се покаже следното: триъгълна призма 1, триъгълна 2 и четириъгълна 3 пирамиди, конус на въртене 4, пресечена призма 5.

Формата на четириъгълник (квадрат) може да се види отгоре (фиг. 41): цилиндър 6, триъгълна призма 8, четириъгълни призми 7 и 10, както и други обекти, ограничени от равнини или цилиндрични повърхности 9.

Формата на кръг може да се види отгоре: сфера, конус, цилиндър и други повърхности на въртене. Изгледът отгоре във формата на правилен шестоъгълник има правилна шестоъгълна призма.

След като определи формата на отделни части от повърхността на обекта, човек трябва мислено да си представи техния образ в левия изглед и целия обект като цяло.

За да създадете трети изглед от две данни, използвайте различни начини: изграждане с общи размери; използване на спомагателна линия; използване на компас; с помощта на прави линии, начертани под ъгъл от 45 ° и т.н.

Нека разгледаме някои от тях.

Конструкция с помощта на спомагателна линия(фиг. 42). За да прехвърлите размера на ширината на детайла от изглед отгоре към изглед отляво, е удобно да използвате спомагателната права линия. По-удобно е да начертаете тази права линия вдясно от изгледа отгоре под ъгъл от 45° спрямо хоризонталната посока.



За изграждане на трета проекция НО 3 върха НОнека да минем през него предна проекция НО 2 хоризонтална линия 1. Необходимата проекция ще бъде върху нея НО 3 . След това, чрез хоризонтална проекция НО 1 начертайте хоризонтална линия 2, докато се пресече със спомагателната линия в точката НО 0 . Чрез точката НО 0 начертайте вертикална линия 3, докато се пресече с линия 1 in желана точка НО 3 .

Профилните проекции на останалите върхове на обекта се изграждат по подобен начин.

След начертаване на спомагателна права линия под ъгъл 45 O е удобно да се построи и трета проекция с помощта на Т-квадрат и триъгълник (фиг. 80б). Първо чрез фронтална проекция НО 2 начертайте хоризонтална линия. Начертайте хоризонтална линия през проекцията НО 1 няма нужда, достатъчно е чрез прилагане на Т-квадрат да направите хоризонтален прорез в точката НО 0 на спомагателната линия. След това, леко премествайки Т-квадрата надолу, прилагаме квадрата с един крак към Т-квадрата, така че вторият крак да минава през точката НО 0 и маркирайте позицията на проекцията на профила НО 3 .

Изграждане с базови линии.За да се конструира третият изглед, е необходимо да се определи кои линии от чертежа трябва да се вземат като базови линии за измерване на размерите на изображенията на обекта. Като такива линии те обикновено приемат аксиални линии (проекции на равнините на симетрия на обекта) и проекции на равнините на основите на обекта.

Да вземем пример (фиг. 43) за изграждане на изглед отляво според две дадени проекции на обект.

Сравнявайки двете изображения, установяваме, че повърхността на обекта включва повърхности: правилна шестоъгълна 1 и четириъгълна 2 призми, два цилиндъра 3 и 4 и пресечен конус 5. Обектът има фронтална равнина на симетрия Е, което е удобно да се вземе като основа за измерване на ширината на отделни части на обект, когато се конструира изгледът му отляво. Височините на отделните участъци на обекта се измерват от долната основа на обекта и се контролират по хоризонтални комуникационни линии.

Формата на много обекти се усложнява от различни изрези, изрези и пресичания на съставните повърхности. След това първо трябва да определите формата на пресечните линии, да ги изградите върху отделни точки, като въведете обозначенията на проекциите на точките, които след завършване на конструкциите могат да бъдат премахнати от чертежа.

На фиг. 44 е конструиран ляв изглед на обект, чиято повърхност е образувана от повърхността на вертикален цилиндър на въртене с T-образен нарез в горната му част и цилиндричен отвор, заемащ предно издадено положение. Равнината на долната основа и фронталната равнина на симетрия Ф са взети за основни равнини. T-образен прорез в левия изглед, изграден с помощта на точки НО,AT,ОТ,ди дконтура на разреза и линията на пресичане цилиндрични повърхности- използване на точки Да се,Л,Ми те са симетрични. При конструирането на третия тип се взема предвид симетрията на обекта спрямо равнината Е.

2.6. тестови въпроси

1. Какво изображение е взето в чертежа като основно?

2. Как се позиционира обектът спрямо равнината на предната проекция?

3. Как се разделят изображенията в чертежа в зависимост от тяхното съдържание?

4. Какви са причините за избора на броя на изображенията?

5. Какво изображение се нарича изглед?

6. Как са разположени основните изгледи в проекционната връзка в чертежа и как се наричат?

7. Какви видове се обозначават и как се надписват?

8. Какъв е размерът на буквата, използвана за обозначаване на вида?

9. Какви са съотношенията на размерите на стрелките, показващи посоката на гледане?

10. Какви видове се наричат ​​допълнителни, кои са местни?

11. Кога допълнителен изгледне посочват?

12. Какво изображение се нарича разрез?

13. Как посочвате позицията на режещата равнина по време на рязане?

14. С какъв надпис е отбелязан разрезът?

15. Какъв е размерът на буквите на линията на сечението и в надписа, маркиращ сечението?

16. Как се разделят разрезите в зависимост от положението на режещата равнина?

17. Кога вертикален разрез се нарича фронтален, кога - профилен?

18. Къде могат да бъдат разположени хоризонтални, челни и профилни разрези и кога не са посочени?

19. Как се класифицират срезовете в зависимост от броя на режещите равнини?

20. Как се изчертава сечение в сложен разрез?

21. Какви разфасовки се наричат ​​стъпаловидни? Как са нарисувани и етикетирани?

22. Какви разрези се наричат ​​прекъснати линии? Как са нарисувани и етикетирани?

23. Какъв разрез се нарича локален и как се откроява в изгледа?

24. Какво служи като разделителна линия при свързване на половината изглед и разрез?

25. Какво служи като разделителна линия, ако при свързване на половината изглед и разрез съвпада с оста на симетрия контурна линия?

26. Как се изобразява твърдост в разрез, ако режещата равнина е насочена по дългата му страна?

27. Как се разкрива контурът на групов отвор в кръгъл фланец, ако не попада в равнината на този разрез?

28. Какво изображение се нарича раздел?

29. Как се класифицират разделите, които не са включени в раздела?

30. Кои секции са предпочитани?

31. Коя линия изобразява очертанията на разширената секция и коя линия - очертанията на насложената секция?

32. Какви раздели не обозначават и не надписват?

33. Как посочвате позицията на режещата равнина по време на разрез?

34. Какви надписи придружават секцията?

35. Как се разполага разширеният участък върху чертожното поле?

36. Какво е прието символза показване на разрез по оста на повърхност на въртене, ограничаваща дупка или вдлъбнатина?

38. Как се щриховат различните разрези в детайлен чертеж?

39. Избройте начините за изграждане на трети тип детайл от две данни.

„Конструкционни задачи“ – Всички задачи, които могат да се решават с пергел и линийка, могат да се решават и с оригами. Процесът на решаване на конструктивния проблем с помощта на пергел и линийка е разделен на 4 етапа: Анализ Конструкция Проучване Проучване. Резултати от контролни участъци. Методи за откриване на ниво логично мисленестуденти.

"Двама капитани Каверин" - В.А. Каверин. Образът на капитан Иван Львович Татаринов напомня няколко исторически аналогии. По абсурдна случайност бащата на Саня е обвинен в убийство и арестуван. И след като се върна в Полярни, Саня също намира Катя при д-р Павлов. Експедицията не се върна. Момчетата вървят пеша до Москва.

"Графика" - Ключ към решението: Постройте набор от точки на равнината дадено от уравнението: Според фигурата можем лесно да разчетем отговора. Паралелно преместване по оста x. Симетричен дисплей спрямо оста y. Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата. Целите на избираемата дисциплина. Нека начертаем графиките на функцията с пунктирана линия в една координатна система.

„Построяване на графики на функции“ – Тема: Построяване на графики на функции. Графика на функцията y = sinx. Начертайте функцията y=sin(x) +cos(x). Изпълнител: Филипова Наталия Василиевна, учител по математика Белоярска средна общообразователно училищеномер 1. Линия на допирателните. График на функцията y = sinx. Алгебра.

„Линейно уравнение с две променливи“ – Определение: Алгоритъм за доказване, че дадена двойка числа е решение на уравнение: Равенство, съдържащо две променливи, се нарича уравнение с две променливи. Дай примери. Какво е линейно уравнение с две променливи? Какво е уравнение с две променливи? Линейно уравнениес две променливи.

"Две слани" - Е, как се справихте с дърваря? И като стигнахме до мястото ми стана още по-зле. Друг отговаря: - Защо не се забавлявате! Е, мисля да стигнем до мястото, тогава ще те хвана. Живейте с моята, за да знаете, че брадвата топли по-добре коженото палто. Как ще се забавляваме - да замразим хората? Две слани. По-големият брат, Фрост - Синият нос, се смее и потупва ръкавицата си по ръкавицата.