Формули за изчисляване на емпиричната стойност на статистиката на Фишер. Критерий φ* - Ъглова трансформация на Фишер

На този примерНека разгледаме как се оценява надеждността на полученото регресионно уравнение. Същият тест се използва за проверка на хипотезата, че регресионните коефициенти са нула, a=0, b=0. С други думи, същността на изчисленията е да се отговори на въпроса: може ли да се използва за по-нататъшни анализи и прогнози?

Използвайте този t-тест, за да определите сходството или разликата между дисперсиите в две проби.

И така, целта на анализа е да се получи някаква оценка, с помощта на която би било възможно да се твърди, че при определено ниво на α, полученото регресионно уравнение е статистически надеждно. За това използва се коефициентът на детерминация R 2.
Значимостта на регресионния модел се проверява с помощта на F-теста на Fisher, чиято изчислена стойност се намира като съотношение на дисперсията на първоначалната серия от наблюдения на изследвания показател и безпристрастната оценка на дисперсията на остатъчната последователност за този модел.
Ако изчислената стойност с k 1 =(m) и k 2 =(n-m-1) степени на свобода е по-голяма от табличната стойност при дадено ниво на значимост, тогава моделът се счита за значим.

където m е броят на факторите в модела.
Степен статистическа значимостпарна баня линейна регресияпроизведени по следния алгоритъм:
1. Прибиращ се нулева хипотезаче уравнението като цяло е статистически незначимо: H 0: R 2 =0 при ниво на значимост α.
2. След това определете действителната стойност на F-критерия:


където m=1 за регресия по двойки.
3. Таблица стойностсе определя от таблиците за разпределение на Фишер за дадено ниво на значимост, като се вземе предвид, че броят на степените на свобода за обща сумаквадрати (по-висока дисперсия) е 1 и броят на степените на свобода остатъчна сумаквадрати (по-малка дисперсия) при линейна регресия е n-2 (или чрез Функция на Excel FDISP(вероятност,1,n-2)).
F таблица е максимално възможната стойност на критерия под влияние на случайни фактори за дадени степени на свобода и ниво на значимост α. Ниво на значимост α - вероятността за отхвърляне на правилната хипотеза, при условие че е вярна. Обикновено α се приема равно на 0,05 или 0,01.
4. Ако действителната стойност на F-критерия е по-малка от стойността на таблицата, тогава те казват, че няма причина да се отхвърли нулевата хипотеза.
В противен случай нулевата хипотеза се отхвърля и алтернативната хипотеза за статистическата значимост на уравнението като цяло се приема с вероятност (1-α).
Таблични стойности на критерия със степени на свобода k 1 =1 и k 2 =48, F таблица = 4

заключения: Тъй като действителната стойност на F > F таблица, коефициентът на определяне е статистически значим ( получената оценка на регресионното уравнение е статистически надеждна) .

Дисперсионен анализ

Качествени показатели на регресионното уравнение

Пример. Въз основа на общо 25 търговски предприятия се изследва връзката между знаците: X - цената на стоките А, хил. Рубли; Y - печалба на търговско предприятие, милиони рубли. При оценяване регресионен моделполучи следното междинни резултати: ∑(y i -y x) 2 = 46000; ∑(y i -y sr) 2 = 138000. Какъв показател за корелация може да се определи от тези данни? Изчислете стойността на този индикатор въз основа на този резултат и с помощта F-тест на Fisherнаправи заключение за качеството на регресионния модел.
Решение. Въз основа на тези данни може да се определи емпирична корелация: , където ∑(y cf -y x) 2 = ∑(y i -y cf) 2 - ∑(y i -y x) 2 = 138 000 - 46 000 = 92 000.
η 2 = 92000/138000 = 0,67, η = 0,816 (0,7< η < 0.9 - связь между X и Y высокая).

F-тест на Fisher: n = 25, m = 1.
R 2 = 1 - 46000 / 138000 = 0,67, F = 0,67 / (1-0,67)x (25 - 1 - 1) = 46. F таблица (1; 23) = 4,27
Тъй като действителната стойност на F > Ftabl, намерената оценка на регресионното уравнение е статистически надеждна.

Въпрос: Каква статистика се използва за тестване на значимостта на регресионен модел?
Отговор: За значимостта на целия модел като цяло се използва F-статистика (критерий на Фишер).

Критерий на Фишер

Критерият на Фишер се използва за тестване на хипотезата, че дисперсиите на две генерални съвкупности са равни, разпределени според нормален закон. Това е параметричен критерий.

F-тестът на Фишер се нарича коефициент на дисперсия, тъй като се формира като съотношение на две сравнени безпристрастни оценки на дисперсии.

Нека в резултат на наблюденията се получат две проби. Въз основа на тях се определят дисперсиите и имайки и степени на свобода. Ще приемем, че първата извадка е взета от генералната съвкупност с дисперсия , а вторият - от генералната съвкупност с дисперсия . Излага се нулевата хипотеза за равенството на двете дисперсии, т.е. H0:
или . За да се отхвърли тази хипотеза, е необходимо да се докаже значимостта на разликата при дадено ниво на значимост.
.

Стойността на критерия се изчислява по формулата:

Очевидно, ако дисперсиите са равни, стойността на критерия ще бъде равна на единица. В други случаи ще бъде по-голямо (по-малко) от едно.

Критерият има разпределение на Фишер
. Тестът на Фишер е двустранен тест и нулевата хипотеза
отхвърлен в полза на алтернатива
ако . Ето къде
са обемите съответно на първата и втората проба.

Системата STATISTICA прилага едностранен тест на Фишер, т.е. както винаги вземете максималната дисперсия. В този случай нулевата хипотеза се отхвърля в полза на алтернативата, ако .

Пример

Нека поставим задачата да сравним ефективността на обучението на две групи ученици. Нивото на напредък характеризира нивото на управление на учебния процес, а дисперсията характеризира качеството на управлението на обучението, степента на организация на учебния процес. И двата индикатора са независими и общ случайтрябва да се разглеждат съвместно. Степента на напредък (математическо очакване) на всяка група ученици се характеризира със средно аритметично и , а качеството се характеризира със съответните извадкови дисперсии на оценките: и . При оценка на нивото на текущото представяне се оказа, че то е еднакво и за двамата ученици: == 4,0. Примерни отклонения:
и
. Броят на степените на свобода, съответстващи на тези оценки:
и
. Следователно, за да установим разликите в ефективността на обучението, можем да използваме стабилността на академичното представяне, т.е. нека проверим хипотезата.

Изчислете
(числителят трябва да има голямо отклонение), . Според таблиците ( СТАТИСТИКА – Вероятностразпространениекалкулатор) намираме , което е по-малко от изчисленото, следователно нулевата хипотеза трябва да бъде отхвърлена в полза на алтернативата. Това заключение може да не задоволи изследователя, тъй като той се интересува от истинската стойност на съотношението
(винаги имаме голямо отклонение в числителя). При проверка на едностранен критерий получаваме , което е по-малко от изчислената по-горе стойност. Така че нулевата хипотеза трябва да бъде отхвърлена в полза на алтернативата.

Тест на Фишер в програмата STATISTICA в среда на Windows

За пример за тестване на хипотеза (критерий на Фишер), ние използваме (създаваме) файл с две променливи (fisher.sta):

Ориз. 1. Таблица с две независими променливи

За да се провери хипотезата, е необходимо в основните статистики ( ОсновенСтатистикаимаси) изберете тест на Стюдънт за независими променливи. ( t-тест, независим, по променливи).

Ориз. 2. Тестване на параметрични хипотези

След като изберете променливи и натиснете клавиша Резюмеизчисляват се стойностите на стандартните отклонения и теста на Фишер. Освен това се определя нивото на значимост стр, където разликата е незначителна.

Ориз. 3. Резултати от проверката на хипотезата (F-тест)

Използвайки Вероятносткалкулатори като зададете стойността на параметрите, можете да начертаете разпределението на Фишер с маркировка на изчислената стойност.

Ориз. 4. Област на приемане (отхвърляне) на хипотезата (F-критерий)

Източници.

Тестване на хипотези за връзката на две дисперсии

URL: /tryphonov3/terms3/testdi.htm

Лекция 6. :8080/resources/math/mop/lections/lection_6.htm

F - Критерий на Фишер

URL: /home/portal/applications/Multivariatadvisor/F-Fisheer/F-Fisheer.htm

Теория и практика на вероятностно-статистическите изследвания.

URL: /active/referats/read/doc-3663-1.html

F - Критерий на Фишер

Критерий на Фишерви позволява да сравнявате стойностите на вариациите на извадката на две независими извадки. За да изчислите F emp, трябва да намерите съотношението на дисперсиите на две проби, така че по-голямата дисперсия да е в числителя, а по-малката - в знаменателя. Формулата за изчисляване на критерия на Фишер е следната:

където са дисперсиите съответно на първата и втората извадка.

Тъй като според условието на критерия стойността на числителя трябва да бъде по-голяма или равна на стойността на знаменателя, стойността на Femp винаги ще бъде по-голяма или равна на единица.

Броят на степените на свобода също се определя просто:

к 1 =n л - 1 за първата извадка (т.е. за извадката, чиято дисперсия е по-голяма) и к 2 = н 2 - 1 за втората проба.

В Приложение 1 критичните стойности на критерия на Фишер се намират от стойностите k 1 (горния ред на таблицата) и k 2 (лявата колона на таблицата).

Ако t emp >t crit, тогава нулевата хипотеза се приема, в противен случай се приема алтернативата.

Пример 3Тестването е проведено в два трети класа умствено развитиеспоред теста TURMSh на десет ученици. Получените средни стойности не се различават значително, но психологът се интересува от въпроса - има ли разлики в степента на хомогенност на показателите за умствено развитие между класовете.

Решение. За теста на Фишер е необходимо да се сравнят дисперсиите тестови оценкии в двата класа. Резултатите от теста са представени в таблицата:

Таблица 3

След като изчислим дисперсиите за променливите X и Y, получаваме:

с х 2 =572.83; с г 2 =174,04

Тогава, съгласно формулата (8) за изчисление по критерия F Fisher, намираме:

Съгласно таблицата от Приложение 1 за F критерия със степени на свобода и в двата случая k=10 - 1 = 9 намираме F crit = 3.18 (<3.29), следовательно, в терминах статистических гипотез можно утвер­ждать, что Н 0 (гипотеза о сходстве) может быть отвергнута на уровне 5%, а принимается в этом случае гипотеза Н 1 . Иcследователь может утверждать, что по степени однородности такого показа­теля, как умственное развитие, имеется различие между выбор­ками из двух классов.

6.2 Непараметрични тестове

Сравнявайки на око (в проценти) резултатите преди и след всяка експозиция, изследователят стига до извода, че ако се наблюдават разлики, значи има разлика в сравняваните проби. Подобен подход е категорично неприемлив, тъй като е невъзможно да се определи степента на доверие в разликите в процентите. Процентите, взети сами по себе си, не позволяват да се направят статистически надеждни заключения. За да се докаже ефективността на всяко въздействие, е необходимо да се идентифицира статистически значима тенденция в изместването (изместването) на индикаторите. За да реши такива проблеми, изследователят може да използва редица критерии за разлика. По-долу ще бъдат разгледани непараметрични тестове: знаков тест и хи-квадрат тест.

За да сравните две нормално разпределени популации, които нямат разлики в извадковите средни стойности, но има разлика в дисперсиите, използвайте Критерий на Фишер. Действителният критерий се изчислява по формулата:

където числителят е по-голямата стойност на дисперсията на извадката, а знаменателят е по-малката стойност. За да заключим значимостта на разликите между пробите, използваме ОСНОВНИЯТ ПРИНЦИП проверка на статистически хипотези. Критични точки за
се съдържат в таблицата. Нулевата хипотеза се отхвърля, ако действителната стойност
ще надвишава или е равна на критичната (стандартна) стойност
тази стойност за приетото ниво на значимост  и брой степени на свобода к 1 = н голям -1 ; к 2 = н по-малък -1 .

Пример: при изследване на ефекта на определено лекарство върху скоростта на покълване на семената се установи, че в опитната партида семена и контролата средната скорост на покълване е една и съща, но има разлика в дисперсията.
=1250,
=417. Размерите на извадката са еднакви и равни на 20.

=2,12. Следователно нулевата хипотеза се отхвърля.

корелационна зависимост. Коефициент на корелация и неговите свойства. Регресионни уравнения.

ЗАДАЧАкорелационният анализ се свежда до:

Установяване на посоката и формата на комуникация между знаците;

измерване на плътността му.

функционален връзка едно към едно между променливи се нарича, когато определена стойност на една (независима) променлива х , наречен аргумент, съответства на определена стойност на друга (зависима) променлива при наречена функция. ( Пример: зависимост на скоростта на химичната реакция от температурата; зависимост на силата на привличане от масите на привлечените тела и разстоянието между тях).

корелация връзка между променливи от статистическо естество се нарича, когато определена стойност на една характеристика (разглеждана като независима променлива) съответства на цяла поредица от числени стойности на друга характеристика. ( Пример: връзка между добива и валежите; между ръст и тегло и др.).

Корелационно поле е набор от точки, чиито координати са равни на експериментално получените двойки променливи стойности х и при .

По формата на корелационното поле може да се прецени наличието или отсъствието на връзка и нейния тип.

Връзката се нарича положителен ако увеличаването на една променлива увеличава друга променлива.

Връзката се нарича отрицателен когато увеличението на една променлива намалява друга променлива.

Връзката се нарича линеен , ако може да се представи аналитично като
.

Индикатор за плътността на връзката е коефициент на корелация . Емпиричният коефициент на корелация се дава от:

Коефициентът на корелация е в диапазона от -1 преди 1 и характеризира степента на близост между величините х и г . Ако:

Корелационната зависимост между характеристиките може да бъде описана по различни начини. По-специално, всяка форма на връзка може да бъде изразена чрез общо уравнение
. Типово уравнение
и
Наречен регресия . Уравнение на директна регресия при на х като цяло може да се запише във формата

Уравнение на директна регресия х на при общо взето изглежда така

Най-вероятните стойности на коефициентите аи в, си дможе да се изчисли, например, като се използва методът на най-малките квадрати.