Математически моделе начин да се опише реалното житейска ситуация(задачи) с помощта на математически език. Реална ситуацияМатематически модел Кристина и Глеб имат еднакъв брой печати x = y Кристина има 6 печати повече от Глеб x + 6 = y x - 6 = y x + y= 6 Глеб има 4 пъти повече печати от Кристина 4x = y x = y. 4y:x=4

Първият работник изпълнява задачата за t часа, а вторият изпълнява същата задача за v часа, като първият работи с 3 часа повече от втория.

Три килограма ябълки струват колкото два килограма круши. В същото време е известно, че 1 кг ябълки струва x r., а 1 kg круши струва x r. X r. при реката

Цената на чаша сок от мандарина е p., а чаша гроздов сок е b p. Известно е, че 5 чаши гроздов сок струват колкото 6 чаши сок от мандарини.

Велосипедист със скорост v 1 и мотоциклетист със скорост v 2 са напуснали точки A и B едновременно една към друга и са се срещнали след t часа.

Автомобил със скорост v 1 и автобус със скорост v 2 v1v1 v2v2 напуснаха точка A едновременно в противоположни посоки A Движение в противоположни посоки v = v 1 + v 2

От точка А са тръгнали едновременно в една посока лек автомобил и товарен автомобил, чиито скорости са съответно x km/h и y km/h. X km/h Y km/ht Движение в една посока v = x-y

Велосипедист напусна точка А. В същото време от точка В, на 30 km по посока на велосипедиста, в същата посока тръгва пешеходец със скорост x km/h. Известно е, че велосипедистът е настигнал пешеходеца след t ч. 30 kmt x km/h

12 В хода на решаването на задачи по алгебричен начин разсъжденията се разделят на три етапа: съставяне математическа компилацияматематически модел; модели; работи с математическа работас математически модел (решение на уравнението) модел (решение на уравнението) отговорът на въпроса на задачата. отговор на въпроса от задачата. Етапи на математическото моделиране

Повечето житейски задачи се решават като алгебрични уравнения: довеждайки ги до самото обикновен поглед, т.е. към съставянето на единен математически модел. Методът за въвеждане на нова променлива позволява при решаване на тригонометрични, експоненциални, логаритмични уравненияи неравенства, преминете към съставяне на единичен, по-прост модел: квадратно уравнение или неравенство.

Пример 1. Решаване на уравнение 4 x + 2 x + 1 - 24 = 0.

Решение.

1. Първи етап. Изготвяне на математически модел.

Забелязвайки, че 4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x = (2 x) 2 и 2 x + 1 = 2 2 x , нова редакция дадено уравнениепод формата (2 x) 2 + 2 2 x - 24 = 0.

Има смисъл да се въведе нова променлива: y = 2х ; тогава уравнението ще приеме формата 2 + 2y - 24 = 0. Математическият модел е съставен. Това е квадратно уравнение. 2. Втори етап. Работа с компилирания модел. Чрез решаване на квадратното уравнение 2 + 2y - 24 = 0 по отношение на y намираме: y 1 = 4, y 2 = -6.

3. Третият етап. Отговорът на проблемния въпрос.

Тъй като y = 2 x , Така че трябва да решим две уравнения: 2х = 4; 2 х = -6.

От първото уравнение намираме: x = 2; второто уравнение няма корени, тъй като за всякакви стойности на x неравенството 2 x > 0.

Отговор: 2.

Пример 2. Задачата за намиране на най-големия и най-малките стойностиколичества.

Резервоар, който прилича на кубоидс квадратна основа, трябва да побира 500 литра вода. От коя страна на основата повърхността на резервоара (без капака) ще бъде най-малка?

Решение. Първи етап. Изготвяне на математически модел.

1) Оптимизирана стойност (O.V.) - повърхностна площ на резервоара, тъй като проблемът изисква да се установи кога тази площ ще бъде най-малка. Нека обозначим О. В. с буквата S.

2) Площта на повърхността зависи от измерванията на кубоида. Обявяваме страната на квадрата, която служи като основа на резервоара, като независима променлива (N.P.); Нека го означим като x. Ясно е, че x > 0. Няма други ограничения, така че 0

3) Ако резервоарът съдържа 500 литра вода, тогава обемът V на резервоара е 500 dm 3 . Ако h е височината на резервоара, тогава V = x 2 h, откъдето намираме h=Повърхността на резервоара се състои от квадрат със страна x и четири правоъгълника със страни x и. означава,

S \u003d x 2 + 4 x \u003d x 2 +.

И така, S = X 2 + , където x € (0; + ) (взехме предвид, че V = 500)

Съставен е математическият модел на задачата.

Втора фаза. Работа с компилирания модел.

На този етап за функцията S = x 2 + , където x € (0; + )

Трябва да намерите / наемане. Това изисква производната на функцията:

S" \u003d 2x -;

S" = .

На интервала (0; +oo) критични точкине но неподвижна точкасамо едно: S" = 0 при x = 10.

Обърнете внимание, че за x 10 е изпълнено неравенството S "> 0. Следователно x \u003d 10 е единствената стационарна точка и минималната точка на функцията на даден интервал и следователно, съгласно теоремата от параграф 1, при в тази точка функцията достига най-малката си стойност.

Трети етап. Отговорът на проблемния въпрос.

Проблемът пита от коя страна трябва да бъде основата, за да може резервоарът да има най-малка повърхност. Разбрахме, че страната на квадрата, който служи за основа на такъв резервоар, е 10 dm.

Отговор: 10 дм.

Какво е математически модел?

Концепцията за математически модел.

Математическият модел е много проста концепция. И много важно. Математическите модели са тези, които свързват математиката и реалния живот.

говорене обикновен език, математическият модел е математическо описаниевсяка ситуация.И това е. Моделът може да бъде примитивен, може да бъде супер сложен. Каква е ситуацията, какъв е моделът.)

Във всеки (повтарям - във всеки!) случай, когато трябва да изчислите нещо и да изчислите - ние сме ангажирани математическо моделиране. Дори и да не го знаем.)

P \u003d 2 CB + 3 CB

Този запис ще бъде математическият модел на разходите за нашите покупки. Моделът не отчита цвят на опаковката, срок на годност, вежливост на касиерите и др. Ето защо тя модел,не е реална покупка. Но разходите, т.е. от което се нуждаем- ще знаем със сигурност. Ако моделът е правилен, разбира се.

Полезно е да си представим какво е математически модел, но това не е достатъчно. Най-важното е да можете да изградите тези модели.

Компилация (конструиране) на математически модел на задачата.

Компилирането на математически модел означава превеждане на условията на проблема в математическа форма. Тези. превръщайте думите в уравнение, формула, неравенство и др. Освен това, завъртете го така, че тази математика стриктно да съответства на програмен код. В противен случай ще завършим с математически модел на някакъв друг непознат за нас проблем.)

По-точно имате нужда от

В света има безкраен брой задачи. Следователно, за да предложим ясна инструкции стъпка по стъпкавърху изготвянето на математически модел всякаквизадачите са невъзможни.

Но има три основни момента, на които трябва да обърнете внимание.

1. Във всяка задача има текст, колкото и да е странно.) Този текст, като правило, има явна, отворена информация.Числа, стойности и т.н.

2. Във всяка задача има скрита информация.Това е текст, който предполага наличието на допълнителни знания в главата. Без тях - нищо. В допълнение, математическата информация често е скрита зад с прости думии ... се изплъзва от вниманието.

3. Във всяка задача трябва да има дадено комуникация между данни.Тази връзка може да бъде дадена в ясен текст (нещо е равно на нещо) или може да бъде скрита зад прости думи. Но простите и ясни факти често се пренебрегват. И моделът не е компилиран по никакъв начин.

Веднага трябва да кажа, че за да се приложат тези три точки, задачата трябва да се прочете (и внимателно!) няколко пъти. Обичайното нещо.

А сега - примери.

Нека започнем с един прост проблем:

Петрович се върна от риболов и с гордост представи улова си на семейството си. При по-внимателно разглеждане се оказа, че идват 8 риби северни морета, 20% от всички риби са от юг, а от местната река, където е ловил Петрович, няма нито една. Колко риби е купил Петрович в магазина за морски дарове?

Всички тези думи трябва да се превърнат в някакво уравнение. За да направите това, повтарям, установете математическа връзка между всички данни на проблема.

Къде да започна? Първо ще извлечем всички данни от задачата. Да започнем по ред:

Нека се съсредоточим върху първата точка.

Какво има тук изричноматематическа информация? 8 риби и 20%. Не много, но нямаме нужда от много.)

Нека обърнем внимание на втората точка.

Търсят скритоинформация. Тя е тук. Това са думите: „20% от цялата риба". Тук трябва да разберете какви са процентите и как се изчисляват. В противен случай задачата не е решена. Това е точно Допълнителна информация, което трябва да е в главата.

Има и тук математическиинформация, която е напълно невидима. то въпрос на задачата: "Колко риби купихте...Това също е число. И без него нито един модел няма да бъде компилиран. Затова нека означим това число с буквата "Х".Все още не знаем какво е равно на x, но такава нотация ще ни бъде много полезна. За повече информация какво да вземете за x и как да се справите с него, вижте урока Как се решават математически задачи? Нека го напишем веднага:

x парчета - обща сумариба.

В нашата задача южните риби са дадени като процент. Трябва да ги преведем на части. За какво? Тогава какво има всякаквизадачата на модела трябва да бъде в същите размери.Парчета - значи всичко е на парчета. Ако ни се дадат, да кажем, часове и минути, ние превеждаме всичко в едно нещо - или само часове, или само минути. Няма значение какво. Важно е да всички стойности бяха еднакви.

Обратно към разкриването. Който не знае колко е процент, никога няма да разкрие, да ... И който знае, веднага ще каже, че лихвата тук е от общ бройдават се риби. Не знаем този номер. Нищо няма да излезе!

Общият брой риби (на парчета!) не е напразно с писмото "Х"определен. Няма да работи да преброим южните риби на парчета, но можем ли да го запишем? Като този:

0,2 x парчета - броят на рибите от южните морета.

Сега изтеглихме цялата информация от задачата. Както явно, така и скрито.

Нека обърнем внимание на третата точка.

Търсят математическа връзкамежду данните за задачите. Тази връзка е толкова проста, че мнозина не я забелязват... Това често се случва. Тук е полезно просто да запишете събраните данни на куп и да видите какво има.

какво имаме Има 8 броясеверна риба, 0,2 х парчета- южна риба и х риба- обща сума. Възможно ли е тези данни да се свържат по някакъв начин? Да Лесно! общ брой риби се равнявасбор от южни и северни! Е, кой би си помислил ...) Така че записваме:

x = 8 + 0,2x

Това ще бъде уравнението математически модел на нашия проблем.

Моля, имайте предвид, че в този проблем от нас не се иска да сгъваме нищо!Ние самите, извън главите си, осъзнахме, че сумата от южната и северната риба ще ни даде общия брой. Нещото е толкова очевидно, че убягва на вниманието. Но без това доказателство не може да се състави математически модел. Като този.

Сега можете да приложите цялата мощ на математиката, за да решите това уравнение). За това е създаден математическият модел. Решаваме това линейно уравнение и получаваме отговора.

Отговор: х=10

Нека направим математически модел на друг проблем:

Попитали Петрович: "Колко пари имате?" Петрович се разплака и отговори: "Да, само малко. Ако похарча половината от всички пари и половината от останалите, тогава ще ми остане само една торба с пари ..." Колко пари има Петрович?

Отново работим точка по точка.

1. Търсим изрична информация. Няма да го намерите веднага! Изричната информация е единторба с пари. Има някои други половини... Е, ще го подредим във втория параграф.

2. Търсим скрита информация. Това са половинки. Какво? Не е много ясно. Търси повече. Има и друг проблем: — Колко пари има Петрович?Нека обозначим сумата пари с буквата "Х":

х- всички пари

И прочетете отново проблема. Вече познавам този Петрович хна пари. Тук работят половинките! Записваме:

0,5 х- половината от всички пари.

Остатъкът също ще бъде половината, т.е. 0,5 х.И половината от половината може да се напише така:

0,5 0,5 x = 0,25x- половината от остатъка.

Сега цялата скрита информация е разкрита и записана.

3. Търсим връзка между записаните данни. Тук можете просто да прочетете страданията на Петрович и да ги запишете математически):

Ако похарча половината от всички пари...

Нека запишем този процес. Всички пари - Х.половината - 0,5 х. Да харчиш означава да отнемаш. Фразата става:

х - 0,5 х

и половината от останалите...

Извадете другата половина от остатъка:

х - 0,5 х - 0,25 х

тогава само една торба с пари ще остане при мен ...

И има равенство! След всички изваждания остава една торба с пари:

x - 0,5 x - 0,25x \u003d 1

Ето го, математическият модел! Това отново е линейно уравнение, решаваме, получаваме:

Въпрос за разглеждане. Четири е какво? Рубла, долар, юан? И в какви единици имаме пари в математическия модел? В торби!Значи четири чантаПарите на Петрович. Също не е лошо.)

Задачите, разбира се, са елементарни. Това е специално за улавяне на същността на изготвянето на математически модел. В някои задачи може да има много повече данни, в които е лесно да се объркате. Това често се случва при т.нар. компетентностни задачи. Как да извлечете математическо съдържание от купчина думи и числа е показано с примери

Още една забележка. В класическите училищни задачи (тръбите пълнят басейна, лодките плават някъде и т.н.) всички данни, като правило, се избират много внимателно. Има две правила:
- в проблема има достатъчно информация за разрешаването му,
- в задачата няма допълнителна информация.

Това е намек. Ако в математическия модел има неизползвана стойност, помислете дали има грешка. Ако по някакъв начин няма достатъчно данни, най-вероятно не цялата скрита информация е разкрита и записана.

По компетентност и др житейски задачитези правила не се прилагат стриктно. Нямам намек. Но такива проблеми също могат да бъдат решени. Освен ако, разбира се, не тренирате върху класиката.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Първо ниво

Математически модели в OGE и Единния държавен изпит (2019)

Концепцията за математически модел

Представете си самолет: крила, фюзелаж, опашка, всичко това заедно - истински огромен, огромен, цял самолет. И може да се направи модел на самолет, малък, но всичко е истинско, същите крила и т.н., но компактен. Такъв е и математическият модел. Има текстова задача, тромав, можете да го разгледате, прочетете, но не го разбирате съвсем и още повече, че не е ясно как да го разрешите. Но какво ще стане, ако направим малък модел от него, математически модел, от голяма вербална задача? Какво означава математически? И така, използвайки правилата и законите на математическата нотация, преработете текста в логически правилно представяне с помощта на числа и аритметични знаци. Така, Математическият модел е представяне на реална ситуация с помощта на математически език.

Нека започнем просто: Число повече бройна. Трябва да го запишем без думи, само на езика на математиката. Ако повече от, тогава се оказва, че ако извадим от, тогава самата разлика на тези числа ще остане равна. Тези. или. Разбрахте същината?

Сега е по-сложно, сега ще има текст, който трябва да се опитате да представите под формата на математически модел, докато прочетете как ще го направя, опитайте сами! Има четири числа: , и. Произведения на изкуството и повече произведения на изкуствотои два пъти.

Какво стана?

Под формата на математически модел ще изглежда така:

Тези. продуктът се отнася като две към едно, но това може да бъде допълнително опростено:

Добре, на прости примерисхванахте същината, предполагам. Нека да преминем към пълноценни задачи, в които тези математически модели също трябва да бъдат решени! Ето я задачата.

Математически модел на практика

Задача 1

След дъжд нивото на водата в кладенеца може да се повиши. Момчето измерва времето за падане на малки камъчета в кладенеца и изчислява разстоянието до водата по формулата, където е разстоянието в метри и е времето на падане в секунди. Преди дъжда времето за падане на камъчетата беше с. Колко трябва да се покачи нивото на водата след дъжда, за да се промени измереното време на s? Изразете отговора си в метри.

О, Боже! Какви формули, какъв кладенец, какво се случва, какво да правя? Прочетох мислите ти? Спокойно, в задачи от този тип условията са още по-ужасни, основното нещо, което трябва да запомните е, че в тази задача ви интересуват формули и връзки между променливи, а какво означава всичко това в повечето случаи не е много важно. Какво полезно виждате тук? Аз лично виждам. Принципът за решаване на тези задачи е следният: вземате всички известни количества и ги замествате.Но понякога трябва да се мисли!

Следвайки първия ми съвет и замествайки всички известни в уравнението, получаваме:

Аз бях този, който замени времето на секундата и намерих височината, на която камъкът излетя преди дъжда. А сега трябва да броим след дъжда и да намерим разликата!

Сега чуйте втория съвет и помислете върху него, въпросът уточнява "колко трябва да се повиши нивото на водата след дъжд, за да се промени измереното време със s". Трябва да го разберете веднага, soooo, след дъжд нивото на водата се покачва, което означава, че времето за падане на камъка до нивото на водата е по-малко и тук богато украсената фраза „така че измереното време се променя“ по конкретно значение: времето на падане не се увеличава, а се намалява с посочените секунди. Това означава, че в случай на хвърляне след дъжд, просто трябва да извадим c от първоначалното време c и получаваме уравнението за височината, на която камъкът ще излети след дъжда:

И накрая, за да намерите колко трябва да се повиши нивото на водата след дъжда, така че измереното време да се промени с s, просто трябва да извадите втората от първата височина на падането!

Получаваме отговора: на метър.

Както можете да видите, няма нищо сложно, най-важното е, че не се притеснявайте много за това къде е такова неразбираемо и понякога сложно уравнениев условията, от които идва и какво означава всичко в него, повярвайте ми на думата, повечето от тези уравнения са взети от физиката, а там дивите са по-лоши, отколкото в алгебрата. Понякога ми се струва, че тези задачи са измислени, за да сплашат студент на изпита с изобилие сложни формулии термини, и в повечето случаи не изискват почти никакви познания. Просто прочетете внимателно условието и заменете известните стойности във формулата!

Ето още една задача, вече не по физика, а от света икономическа теория, въпреки че тук отново не се изискват познания по други науки освен математиката.

Задача 2

Зависимостта на обема на търсенето (единици на месец) за продуктите на монополно предприятие от цената (хиляда рубли) се дава по формулата

Месечните приходи на компанията (в хиляди рубли) се изчисляват по формулата. Определете най-високата цена, при която месечните приходи ще бъдат най-малко хиляда рубли. Дайте отговора в хиляди рубли.

Познайте какво ще направя сега? Да, ще започна да замествам това, което знаем, но отново трябва да помислите малко. Да тръгнем от края, трябва да намерим в коя. И така, има равно на някои, намираме на какво друго е равно и е равно и ще го запишем. Както можете да видите, не се притеснявам особено за значението на всички тези количества, просто гледам от условията, какво е равно на какво, това е, което трябва да направите. Да се ​​върнем на задачата, вече я имате, но както се сещате, от едно уравнение с две променливи не може да се намери нито една от тях, какво да правя? Да, все още имаме неизползвана частица в условието. Тук вече има две уравнения и две променливи, което означава, че сега и двете променливи могат да бъдат намерени - страхотно!

Можете ли да разрешите такава система?

Решаваме чрез заместване, вече сме го изразили, което означава, че ще го заместим в първото уравнение и ще го опростим.

Оказва се, че тук има такова квадратно уравнение: , решаваме, корените са така, . В задачата се изисква да се намери най-високата цена, при която ще бъдат изпълнени всички условия, които сме взели предвид при съставянето на системата. О, оказа се, че това е цената. Страхотно, така че намерихме цените: и. най-висока цена, ти каза? Добре, най-големият от тях, очевидно, ние го пишем в отговор. Е, трудно ли е? Мисля, че не и не е нужно да се задълбочавате твърде много!

И ето ви една плашеща физика или по-скоро друг проблем:

Задача 3

За определяне на ефективната температура на звездите се използва законът на Стефан-Болцман, според който къде е мощността на излъчване на звездата, е константа, е повърхността на звездата и е температурата. Известно е, че повърхността на определена звезда е равна, а мощността на нейното излъчване е равна на W. Намерете температурата на тази звезда в градуси Келвин.

Къде е ясно? Да, условието казва кое на какво е равно. По-рано препоръчвах всички неизвестни да бъдат незабавно заменени, но тук е по-добре първо да изразите търсеното неизвестно. Вижте колко е просто всичко: има формула и те са известни в нея, и (това е гръцката буква "сигма". По принцип физиците обичат гръцките букви, свиквайте с това). Температурата е неизвестна. Нека го изразим под формата на формула. Как да го направя, надявам се, че знаете? Такива задачи за GIA в 9 клас обикновено дават:

Сега остава да замените числата вместо буквите от дясната страна и да опростите:

Ето отговора: градуси Келвин! И каква ужасна задача беше!

Продължаваме да измъчваме проблемите по физика.

Задача 4

Височината над земята на хвърлена топка се променя според закона, където е височината в метри, е времето в секунди, което е изминало от хвърлянето. Колко секунди топката ще бъде на височина най-малко три метра?

Това бяха всички уравнения, но тук е необходимо да се определи колко е била топката на височина от поне три метра, което означава на височина. Какво ще правим? Неравенство, да! Имаме функция, която описва как топката лети, къде е точно същата височина в метри, трябва ни височината. Средства

И сега просто решавате неравенството, най-важното е, че не забравяйте да промените знака на неравенството от по-голямо или равно на по-малко или равно на, когато умножавате по двете части на неравенството, за да се отървете от минуса отпред.

Ето корените, изграждаме интервали за неравенство:

Интересуваме се от интервала, където е знакът минус, тъй като неравенството е там отрицателни стойности, това е от до двете включително. И сега включваме мозъка и мислим внимателно: за неравенството използвахме уравнение, което описва полета на топката, тя някак си лети по парабола, т.е. излита, достига връх и пада, как да разбера колко дълго ще бъде на височина поне метри? Открихме 2 повратни точки, т.е. моментът, когато се издига над метри и моментът, когато достига същата марка, докато пада, тези две точки се изразяват в нашата форма под формата на време, т.е. знаем на коя секунда от полета е навлязъл в интересуващата ни зона (над метри) и в коя я е напуснал (паднало под метъра). Колко секунди беше в тази зона? Логично е да вземем времето за излизане от зоната и да извадим от него времето за влизане в тази зона. Съответно: - толкова много беше в зоната над метри, това е отговорът.

Имате такъв късмет, че повечето примери по тази тема могат да бъдат взети от категорията задачи по физика, така че хващайте още един, той е последният, така че натискайте, остава много малко!

Задача 5

За нагревателен елемент на определено устройство експериментално е получена температурната зависимост от времето на работа:

Къде е времето в минути. Известно е, че при температура на нагревателния елемент над устройството може да се влоши, така че трябва да се изключи. Намерете през който най-дълго времеслед започване на работа изключете устройството. Изразете отговора си за минути.

Действаме по добре установена схема, всичко, което е дадено, първо изписваме:

Сега вземаме формулата и я приравняваме към температурната стойност, до която устройството може да се нагрее колкото е възможно повече, докато изгори, тоест:

Сега заместваме цифри вместо букви там, където са известни:

Както можете да видите, температурата по време на работа на устройството е описана квадратно уравнение, което означава, че е разпределен по парабола, т.е. устройството се нагрява до определена температура и след това се охлажда. Получихме отговори и следователно по време и минути на отопление температурата е критична, но между и минути е дори по-висока от ограничението!

Така че трябва да изключите устройството след минута.

МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛИ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Най-често математическите модели се използват във физиката: в крайна сметка вероятно е трябвало да запомните десетки физични формули. И формулата е математическо представянеситуации.

В OGE и Единния държавен изпит има задачи точно по тази тема. В USE (профил) това е задача номер 11 (по-рано B12). В OGE - задача номер 20.

Схемата за решение е очевидна:

1) От текста на условието е необходимо да се „изолира“ полезна информация - това, което пишем в задачите по физика под думата „Дадено“. Това полезна информацияса:

• Формула
• Известни физични величини.

Тоест на всяка буква от формулата трябва да се присвои определен номер.

2) Вземете всички известни количества и ги заменете във формулата. Неизвестната стойност остава като буква. Сега просто трябва да решите уравнението (обикновено доста просто) и отговорът е готов.

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е ... просто е супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно преминаване на изпита, за прием в института на бюджета и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отваря много. повече възможностии животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка ... по-щастливи?

НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

На изпита няма да ви питат теория.

Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.

Това е като в спорта - трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекция навсякъде, където пожелаете задължително с решения подробен анализ и решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (не е необходимо) и ние със сигурност ги препоръчваме.

За да получите ръка с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има две възможности:

1. Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия - 299 търкайте.
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на урока - 999 търкайте.

Да, имаме 99 такива статии в учебника и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Във втория случай ние ще ви дадемсимулатор "6000 задачи с решения и отговори, за всяка тема, за всички нива на сложност." Определено е достатъчно, за да се сдобиете с решаването на задачи по всякаква тема.

Всъщност това е много повече от симулатор - цяла програма за обучение. Ако е необходимо, можете да го използвате и БЕЗПЛАТНО.

Осигурен е достъп до всички текстове и програми за целия живот на сайта.

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.

„Разбрах“ и „Знам как да решавам“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и решете!