Методи за изучаване на буквални изрази в началното училище. Методика за изучаване на елементите на алгебрата

1. Значение алгебричен материалв начално образованиематематика.

2. Проблеми на изучаването на алгебричен материал.

3. Методи за работа върху алгебрични понятия.

4. Методи за изучаване на математически изрази.

5. Методи за изучаване на числови равенства и неравенства.

6. Методика на обучение за решаване на уравнения и задачи по алгебричен път.

7. Методи за работа върху неравенства с променлива.

8. Функционална пропедевтика в началното обучение по математика.

1. Стойността на алгебричния материал в началното обучение по математика

а) намиране на стойностите на математически изрази;

б) решаване на уравнения и неравенства;

а) закони a×(b+c)=a×b+a×c;

б) зависимости, правила a+b=c

4. Развитие на логическо и теоретично мислене.

5. Подготовка за по-нататъшно изучаване на математика.

Че. алгебричният материал изпълнява спомагателна функция при изучаването на аритметичния материал.

Въпреки че алгебричният материал заема място, подчинено на аритметичното съдържание, той има и известна самостоятелност, която на първо място се проявява в последователността на въвеждане на елементи от алгебрата.

Какви алгебрични понятия се въвеждат в първичен курсматематика? Как се определят в математиката? (Вижте os #22)

В начален курс по математика нито едно от тях не е доведено до нивото на формална дефиниция. Следователно е невъзможно да се повдигне въпросът: „Какво се нарича ..?“

Учениците трябва: да разбират правилно термина и да го оперират правилно практически дейности.

Разберете

Термин Обект

Приложи

Формираща работа алгебрични понятияизвършва се на етапи:

1. Подготвителна работа.

2. Въвеждане на понятието (термин).

3. Затвърдяване в практически дейности.

Подготвителна работавключва работата на съответните обекти без използването на термини. Например:

а) 2+1, 5-1, 3+1+1, 20+8+30+1, 12:2?5; (51-48):(27:9) и други подобни → за въвеждане на понятието „Математически израз“.

б) 1=1, 1<2, 8+2+3=13, 8?7=56 и т.п.→понятий “ равенство”, “ неравенство ”.

в) ? +4=6, a+4=6, x+4=12→уравнение.

Така на етапа на подготовка се натрупват конкретни идеи, които се обобщават на следващия етап.

Въвеждат се алгебрични понятия:

а) контекстуално, т.е. значението на новия термин се изяснява от значението на пасаж от текст. Например: „Буквата x (x) означава непознат номер. x+2=5 е уравнение. Да се ​​реши уравнение означава да се намери неизвестно число.

б) остензивен, когато обектът е просто назован и показан. Например: „Числени математически изрази“.

В този случай е необходимо да се използва сравнение, анализ, синтез, класификация. Например: "Равенство - неравенство."

асимилацияалгебрични понятия се осъществява на практика с техните конкретни представители.

Учениците се научават правилно да разбират и прилагат подходящите думи – термини.

Какво означава да изучаваш математически изрази? (виж OS N22)

— усвояване на четене и писане от диктовка или от текста на учебник;

- запознаване с правилата за процедурата за извършване на действия;

- съставяне на изрази за задачи, по схеми;

— изчисляване на стойностите на израза;

- запознаване с трансформациите на (еднакви) изрази;

- сравнение на изрази.

(8 часа)

план:

1. Цели на изучаване на алгебричен материал в начално училище.

2. Свойства аритметични операциипреподавани в началните класове.

3. Усвояване на числови изрази и правила за реда, в който се извършват действията:

Една поръчка без скоби;

Една поръчка със скоби;

Изрази без скоби, включително 4 аритметични операции, със скоби.

4. Анализ на изучавани в начален клас числени равенства и неравенства (сравнение на две числа, число и числов израз, два числови израза).

5. Въвеждане на буквени символи с променлива.

6. Методика за изучаване на уравнения:

а) дайте определение на уравнението (от лекции по математика и от учебник по математика за основно училище),

б) подчертават обхвата и съдържанието на концепцията,

в) какъв метод (абстрактно-дедуктивен или конкретно-индуктивен) ще въведете това понятие? Опишете основните стъпки при работа върху уравнение.

Изпълнете задачите:

1. Обяснете целесъобразността на използването на неравенства с променлива в началните класове.

2. Подгответе съобщение за урока за възможността за развитие на функционална пропедевтика при учениците (чрез играта, чрез изучаване на неравенства).

3. Подберете задачи за учениците за изпълнение на съществените и несъществените свойства на понятието "уравнение".

1. Абрамова О.А., Моро М.И.Решаване на уравнения // Начално училище. - 1983. - № 3. - С. 78-79.

2. Йманбекова П.Средства за видимост при формирането на понятието "равенство" и "неравенство" // Начално училище. - 1978. - № 11. - С. 38-40.

3. Щадрова И.В.За реда на действията в аритметичен израз // Начално училище. - 2000. - № 2. - С. 105-107.

4. Шихалиев Х.Ш.Единен подход за решаване на уравнения и неравенства // Начално училище. - 1989. - № 8. - С. 83-86.

5. Назарова I.N.Запознаване с функционалната зависимост при преподаване на решаване на проблеми // Начално училище. - 1989. - № 1. - С. 42-46.

6. Кузнецова V.I.За някои типични грешки на учениците, свързани с проблемите на алгебричната пропедевтика // Начално училище. - 1974. - № 2. – С. 31.

Обща характеристика на методологията на изследването

алгебричен материал

Въвеждането на алгебричен материал в началния курс по математика дава възможност да се подготвят учениците за изучаване на основните понятия на съвременната математика, например като "променлива", "уравнение", "неравенство" и др., И допринася за за развитието на функционалното мислене при децата.

Основните понятия на темата са „израз“, „равенство“, „неравенство“, „уравнение“.

Терминът "уравнение" се въвежда при изучаването на темата "Хиляда", но подготвителната работа за запознаване на учениците с уравнения започва от 1 клас. Термините „израз“, „стойност на израза“, „равенство“, „неравенство“ са включени в речника на учениците от 2 клас. Понятието „решаване на неравенство“ не се въвежда в началните класове.

Числови изрази

В математиката под израз се разбира поредица от постоянни по определени правила математически символи, обозначаващи числа и операции върху тях. Примери за изрази: 7; 5+4; 5 (3+ в); 40: 5 + 6 и т.н.

Изрази от вида 7; 5+4; 10:5+6; (5 + 3) 10 се наричат ​​числови изрази, за разлика от изразите от формата 8 - а; (3 + в); 50: да се, наречени буквални или променливи изрази.

Задачите за изучаване на темата

2. Да запознае учениците с правилата за реда на извършване на действия с числа и в съответствие с тях да развие способността за намиране на числените стойности на изразите.

3. Да се ​​запознаят учениците с тъждествени преобразувания на изрази въз основа на аритметични действия.

В метода на запознаване младши ученицис концепцията за числов израз могат да се разграничат три етапа, включващи запознаване с изрази, съдържащи:

Едно аритметично действие (I етап);

Две или повече аритметични операции на един етап (етап II);

Две или повече аритметични операции от различни нива (етап III).

С най-простите изрази – сбор и разлика – учениците се запознават в I клас (при изучаване на събиране и изваждане в рамките на 10); с произведението и частното на две числа - във II клас.

Още при изучаването на темата „Десет“ в речника на учениците се въвеждат имената на аритметичните операции, термините „член“, „сума“, „намалена“, „извадена“, „разлика“. В допълнение към терминологията, те трябва да научат и някои елементи на математическата символика, по-специално знаци за действие (плюс, минус); трябва да се научат да четат и пишат прости математически изрази като 5 + 4 (сумата от числата "пет" и "четири"); 7 - 2 (разликата между числата "седем" и "две").

Първо учениците се запознават с понятието „сума” в значението на числото, което е резултат от действието събиране, а след това в значението на израза. Приемане на изваждане на формата 10 - 7, 9 - 6 и т.н. въз основа на знания за връзката между събиране и изваждане. Ето защо е необходимо да научите децата да представят число (съкратено) като сбор от два члена (10 е сумата от числата 7 и 3; 9 е сумата от числата 6 и 3).

С изрази, съдържащи две или повече аритметични действия, децата се запознават през първата година на обучение с усвояването на изчислителни техники ± 2, ± 3, ± 1. Решават примери от вида 3 + 1 + 1, 6 - 1 - 1, 2 + 2 + 2 и т.н. Изчислявайки например стойността на първия израз, ученикът обяснява: „Добавете едно към три, получавате четири, добавете едно към четири, получавате пет.“ По подобен начин се обяснява решението на примери от формата 6 - 1 - 1 и т. н. Така първокласниците постепенно се подготвят да изведат правило за реда, в който се извършват действията в изрази, съдържащи действия от един етап, който се обобщава във II степен.

В I клас децата практически ще усвоят още едно правило за реда на извършване на действията, а именно извършване на действия в изрази от вида 8 - (4 + 2); (6 - 2) + 3 и т.н.

Обобщават се знанията на учениците за правилата за реда на извършване на действията и се въвежда друго правило за реда на извършване на действията в изрази, които нямат скоби и съдържат аритметични действия от различни нива: събиране, изваждане, умножение и разделение.

Когато се запознавате с новото правило за реда на действията, работата може да се организира по различни начини. Можете да поканите децата да прочетат правилото от учебника и да го приложат при изчисляване на стойностите на съответните изрази. Можете също така да поканите учениците да изчислят например стойността на израза 40 - 10: 2. Отговорите може да се окажат различни: за някои стойността на израза ще бъде равна на 15, за други 35.

След това учителят обяснява: „За да се намери стойността на израз, който няма скоби и съдържа операциите събиране, изваждане, умножение и деление, трябва да изпълните в ред (отляво надясно) първо операциите умножение и деление и след това (също отляво надясно) събиране и изваждане. В този израз първо трябва да разделите 10 на 2 и след това да извадите резултата 5 от 40. Стойността на израза е 35.

студенти начално училищедействително се запознават с идентични трансформации на изрази.

Тъждественото преобразуване на изрази е замяната на даден израз с друг, чиято стойност е равна на стойността на дадения (терминът и определението не се дават на учениците от началното училище).

С преобразуването на изрази учениците се срещат от 1 клас във връзка с изучаването на свойствата на аритметичните операции. Например, когато решават примери от формата 10 + (50 + 3) по удобен начин, децата разсъждават така: „По-удобно е да добавите десетки с десетки и да добавите 3 единици към резултата 60. Ще запиша: 10 (50 + 3) \u003d (10 + 50) + 3 \u003d 63.

Изпълнявайки задача, в която е необходимо да завършите записа: (10 + 7) 3 = 10 3 + 7 3 ..., децата обясняват: „Отляво сумата от числата 10 и 7 се умножава по номер 3, отдясно, първият член 10 от тази сума се умножава по числото 3; за да се запази знакът за равенство, вторият член 7 също трябва да се умножи по числото 3 и получените продукти да се добавят. Ще го запиша така: (10 + 7) 3 = 10 3 + 7 3.

Когато преобразуват изрази, учениците понякога допускат грешки от вида (10 + 4) 3 = - 10 3 + 4. Причината за този вид грешки е свързана с неправилното използване на предварително придобити знания (в този случай, като се използва правилото на добавяне на число към сбора при решаване на пример, в който сборът трябва да се умножи по числото). За да предотвратите подобни грешки, можете да предложите на учениците следните задачи:

а) Сравнете изразите, записани от лявата страна на равенствата. По какво си приличат, по какво се различават? Обяснете как сте изчислили техните стойности:

(10 + 4) + 3 = 10 + (4 + 3) = 10 + 7 = 17

(10 + 4) 3 = 10 3 + 4 3 = 30 + 12 = 42

б) Попълнете пропуските и намерете резултата:

(20 + 3) + 5 = 20 + (3 + ð); (20 + 3) 5 = 20 ð + 3 ð.

в) Сравнете изразите и поставете знак > между тях,< или =:

(30 + 4) + 2 ... 30 + (4 + 2); (30 + 4) + 2 ... 30 2 + 4 2.

г) Проверете чрез изчисление дали са верни следните равенства:

8 3 + 7 3 = (8 + 7) 3; 30 + (5 + 7) = 30 + 7.

Буквални изрази

В началните класове е предвидено провеждане – в тясна връзкас изучаването на номериране и аритметични операции - подготвителна работаза да разкрие значението на променливата. За тази цел учебниците по математика включват упражнения, в които променливата е обозначена с „прозорец“. Например, ð< 3, 6 < ð, ð + 2 = 5 и др.

Тук е важно да насърчите учениците да се опитат да заменят в „прозореца“ не едно, а няколко числа на свой ред, проверявайки всеки път дали въведеното е правилно.

Така в случая на ð< 3 в «окошко» можно подставить числа 0, 1, 2,; в случае 6 < ð - числа 7, 8, 9, 10, 20 и др.; в случае ð + 2 = 5 можно подставить только число 3.

За да се опрости учебната програма по математика за начален клас и да се осигури нейната достъпност, буквените символи като средство за обобщение аритметични знанияне се използва. Всички буквени обозначения се заменят със словесни формулировки.

Например, вместо настройка

Предлага се задача в следната форма: „Увеличете числото 3 4 пъти; 5 пъти; 6 пъти; ... ".

Равенства и неравенства

Запознаването на учениците от началното училище с равенства и неравенства е свързано с решаването на следните задачи:

Да научи как да установи връзката "по-голямо", "по-малко" или "равно на" между изрази и да напише резултатите от сравнението със знак;

Методологията за формиране на идеи за числови равенства и неравенства сред по-младите ученици предвижда следните етапи на работа.

На първия етап, на първо място, учебната седмица, първокласниците изпълняват упражнения за сравняване на набори от предмети. Тук е най-целесъобразно да се използва методът за установяване на кореспонденция едно към едно. На този етап резултатите от сравнението все още не са написани с помощта на съответните знаци за съотношение.

На етап II учениците извършват сравнение на числа, като първо разчитат на визуализацията на предмета, а след това на това свойство на числата от естествения ред, според кое от двете различни числапо-голямото число, което се извиква по-късно при броенето, и по-малкото число, което се извиква по-рано. Установените по този начин отношения се записват от децата с помощта на подходящи знаци. Например 3 > 2, 2< 3. В дальнейшем при изучении нумерации (в концентрах «Сотня», «Тысяча», «Многоцифрени числа”) за сравняване на числа е полезно да се използват два метода, а именно да се установят връзки между числата: 1) според местоположението им в естествената серия; 2) въз основа на сравнение на съответните битови числа, като се започне с по-високи чинове. Например 826< 829, так как сотен и десятков в этих числах поровну, а единиц в первом числе меньше, чем во втором.

Можете също да сравните стойностите: 4 dm 5 cm > 4 dm 3 cm, тъй като има повече дециметри, отколкото във втория. В допълнение, стойностите могат първо да бъдат изразени в единици за едно измерване и едва след това да бъдат сравнени: 45 cm > 43 cm.

Подобни упражнения вече са въведени при изучаване на събиране и изваждане в рамките на 10. Полезно е да ги изпълнявате въз основа на яснота, например: учениците поставят четири кръга на чиновете си отляво и четири триъгълника отдясно. Оказва се, че фигурите са разделени по равно - по четири. Записват равенството: 4 \u003d 4. След това децата добавят по едно кръгче към цифрите отляво и записват сбора 4 + 1. Отляво има повече цифри, отколкото отдясно, което означава 4 + 1\ u003e 4.

Използвайки техниката на уравнението, учениците преминават от неравенство към равенство. Например върху наборно платно са поставени 3 гъби и 4 катерици. За да направите гъбите и катериците по равно, можете: 1) да добавите една гъба (тогава ще има 3 гъби и 3 катерици).

Върху наборното платно има 5 коли и 5 камиона. За да имате повече коли от другите, можете: 1) да премахнете една (две, три) коли (коли или камиони) или 2) да добавите една (две, три) коли.

Постепенно, когато сравняват изрази, децата преминават от разчитане на визуализация към сравняване на техните значения. Този метод е основен в началните класове. При сравняване на изрази учениците могат да разчитат и на знанията: а) връзката между компонентите и резултата от аритметично действие: 20 + 5 * 20 + 6 (сумата на числата 20 и 5 е записана вляво, сборът на числата 20 и 6 отдясно. Първите членове на тези сборове са еднакви, второто събираемо вляво е по-малко от второто събираемо вдясно, така че сборът отляво е по-малък от сбора отдясно : 20 + 5< 20 + 6); б) отношение между результатами и компонентами арифметических действий: 15 + 2 * 15 (слева и справа сначала было поровну – по 15. Затем к 15 прибавили 2, стало больше, чем 15); в) смысла действия умножения: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 * 5 · 3 (слева число 5 взяли слагаемым 5 раз, справа число 5 взяли слагаемым 3 раза, значит, сумма слева будет больше, чем справа: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 >5 + 5 + 5); г) свойства на аритметичните операции: (5 + 2) 3 * 5 3 + 2 3 (вляво сумата от числата 5 и 2 се умножава по числото 3, вдясно продуктите на всеки член по се намират и добавят номер 3. Така че вместо звездичка можете да поставите знак за равенство: (5 + 2) 3 = 5 3 + 2 3).

В тези случаи оценката на стойностите на изразите се използва за проверка на правилността на знака. За записване на неравенства с променлива в начален клас се използва „прозорец“: 2 > ð, ð = 5, ð > 3.

Полезно е първите упражнения от този тип да се изпълняват на базата на числова серия, позовавайки се на която учениците забелязват, че числото 2 е по-голямо от едно и нула, следователно числата 0 и 1 могат да бъдат заменени в „прозореца“ (2 > ð) (2> 0, 2> 1).

Други упражнения с прозорец се изпълняват по подобен начин.

Основният начин при разглеждане на неравенства с променлива е методът на подбор.

За да се улеснят стойностите на променливата в неравенствата, се предлага да ги изберете от определена серия от числа. Например, можете да предложите да изпишете онези числа от серията 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, за които записът ð - 7 е правилен< 5.

Докато правите дадена задачаученикът може да разсъждава така: „Нека заместим числото 7 в „прозореца“: 7 минус 7 ще бъде 0, 0 е по-малко от 5, така че числото 7 е подходящо. Заменете числото 8:8 минус 7 в „прозореца“ ще бъде 1, 1 е по-малко от 5, което означава, че числото 8 също е подходящо ... Заменете числото 12 в „прозореца“: 12 минус 7 ще бъде 5, 5 по-малко от 5 е неправилно, тогава числото 12 не е подходящо. Да напиша ð - 7< 5 была верной, в «окошко» можно подставить любое из чисел 7, 8, 9, 10, 11».

Уравнения

В края на 3 клас децата се запознават с най-простите уравнения от вида: х+8 =15; 5+х=12; х–9 =4; 13–х=6; х 7 \u003d 42; четири · х=12; х:8 =7; 72:х=12.

Детето трябва да може да решава уравнения по два начина:

1) метод на подбор (в най-простите случаи); 2) по начин, основан на прилагането на правилата за намиране на неизвестни компоненти на аритметичните операции. Ето пример за писане на решение на уравнение заедно с проверка и разсъжденията на детето при решаването му:

х – 9 = 4 х = 4 + 9 х = 13

13 – 9 = 4 4 = 4

„В уравнението х– 9 = 4 x стои на мястото на намаленото. За да намерите неизвестното умалявано, трябва да добавите изваждаемото към разликата ( х\u003d 4 + 9.) Нека проверим: изваждаме 9 от 13, получаваме 4. Получихме правилното равенство 4 \u003d 4, което означава, че уравнението е решено правилно.

В 4 клас детето може да се запознае с решението прости задачикак да напиша уравнение.

Заобиколени сме от предмети. От първите дни на детето в училище ние учим Светътвключително и в часовете по математика.

Учебник 1 клас. 1 част. какво виждаме Изучаваме предмети. Каква е концепцията за обект? (това е набор от основни свойства на обект)

Много начално училище математически понятияотначало те се усвояват повърхностно, неясно. При първото запознаване учениците научават само за някои свойства на понятията, те имат много тясна представа за техния обхват. И това е естествено. Не всички концепции са лесни за разбиране. Но безспорно е, че разбирането и навременното използване от страна на учителя на определени видове дефиниции на математически понятия е едно от условията за формирането на солидни знания за тези понятия у учениците.

При асимилиране научно познаниелице на учениците от началното училище различни видовеконцепции. Неспособността на ученика да диференцира понятията води до тяхното неадекватно усвояване.

концепцияе набор от преценки, мисли, в които се потвърждава нещо отличителни белезиобект на изследване. Какво имаме предвид под обхват? (набор от обекти, обозначени с един и същ термин)

По този начин програмата за обучение "Училище на Русия" изхожда от факта, че основни понятияначален курс по математика са понятията "числа" и "стойности", паралелно се разглежда алгебричен и геометричен материал, решават се текстови задачи.

В началното училище започваме да даваме първите дефиниции на понятията: сегмент, квадрат, лъч и др. Каква е дефиницията на понятието? ( логическа операция, разкриващи съдържанието на понятието)

По обем математическите понятия се делят на единични и общи. Ако обхватът на понятието включва само един обект, той се нарича единичен.

Примери за единични понятия: „най-малкото двуцифрено число“, „число 5“, „квадрат с дължина на страната 10 cm“, „окръжност с радиус 5 cm“.

Общата концепция показва характеристиките на определен набор от обекти. Обемът на такива концепции винаги ще бъде по-голям от обема на един елемент.

Примери общи понятия: "Много двуцифрени числа”, „триъгълници”, „уравнения”, „неравенства”, „кратни на 5”, „учебници по математика за начален етап”.

При обучението на по-малки ученици, най-често контекстуални и остензивни дефиниции на понятията.

Всеки пасаж от текста, независимо дали е какъвто и да е контекст, в който се среща концепцията, която ни интересува, е в известен смисъл нейна имплицитна дефиниция. Контекстът поставя понятието във връзка с други понятия и по този начин разкрива неговото съдържание.

Например, когато работите с деца такива изрази като „намерете стойностите на израза“, „сравнете стойността на изразите 5 + a и (a - 3) × 2, ако a = 7“, „четете изрази, които са суми“, „прочетете изрази и след това прочетете уравненията“, разкриваме концепцията за „математически израз“ като запис, който се състои от числа или променливи и знаци на действия.

Почти всички определения, които срещаме в Ежедневиетоса контекстуални определения. Слух непозната дума, ние се опитваме сами да установим неговата стойност въз основа на всичко казано.

Същото важи и за обучението на по-малки ученици. Много математически понятия в началното училище се дефинират чрез контекст. Това са например понятия като „голямо - малко“, „всяко“, „всяко“, „едно“, „много“, „число“, „аритметична операция“, „уравнение“, „задача“ и др. .д.

Контекстуалните определения остават през по-голямата частнепълен и непълен. Те се използват във връзка с неподготвеността на по-младия ученик да усвои пълното и още повече научното определение.

Остензивните определения са определения чрез демонстрация. Те приличат на обикновени контекстуални определения, но контекстът тук не е пасаж от някакъв текст, а ситуацията, в която се намира обектът, обозначен с понятието.

Например, учителят показва квадрат (рисунка или хартиен модел) и казва "Вижте - това е квадрат." Това е типично остензивно определение.

В началните класове се използват остензивни дефиниции, когато се разглеждат такива понятия като „червен (бял, черен и др.) цвят“, „ляво - дясно“, „отляво надясно“, „число“, „предходно и следващото число“, „знаци на аритметични действия”, „знаци за сравнение”, „триъгълник”, „четириъгълник”, „куб” и др.

Въз основа на усвояването на значенията на думите по остензивен начин е възможно да се въведе в речника на детето вече словесното значение на нови думи и фрази. Остензивните определения - и само те - свързват думата с нещата.

Обърнете внимание, че в началното валидни определениякато "Думата "петоъгълник" ще бъде многоъгълник с пет страни." Това е така наречената "номинална дефиниция".

Каква е структурата на понятието? (дефинирано понятие = общо + специфично) Дайте пример. Като следствие от тази формула изследването математически материалв началното училище. Например, помислете за понятията "квадрат" и "правоъгълник". Обхватът на понятието "квадрат" е част от обхвата на понятието "правоъгълник". Следователно, първият се нарича вид, а вторият - родов. AT родово-видови отношениятрябва да се прави разлика между концепцията за най-близкия род и следващите родови стъпки.

Например за изгледа "квадрат" най-близкият род ще бъде родът "правоъгълник", за правоъгълникът най-близкият род ще бъде родът "успоредник", за "успоредникът" - "четириъгълник", за "четириъгълник" - "многоъгълник", а за "многоъгълник" - " плоска фигура.

В началните класове за първи път всяко понятие се въвежда нагледно, чрез наблюдение конкретни елементиили практическа работа (например при броенето им). Учителят черпи от знанията и опита на децата, които те са придобили в предучилищна възраст. Запознаването с математическите понятия се фиксира с помощта на термин или термин и символ.

Специално вниманиетрябва да се отдаде на понятието число.

Числото е съотношението на това, което се определя количествено (дължина, тегло, обем и т.н.) към стандарта, който се използва за тази оценка. Очевидно числото зависи както от измерената стойност, така и от стандарта. Колкото по-голяма е измерената стойност, толкова по-голямо ще бъде числото със същия стандарт. Напротив, колкото по-голям е стандартът (мярката), толкова по-малко ще бъде числото при оценяване на същата стойност. Следователно учениците трябва да разберат от самото начало, че сравнението на числата по големина може да се направи само когато те са подкрепени от един и същ стандарт. Наистина, ако например се получи пет при измерване на дължина в сантиметри и три при измерване в метри, тогава три означава по-голяма стойност от пет. Ако учениците не схванат относителния характер на числото, те ще преживеят сериозни затрудненияи при изучаването на бройната система.

Естествено числоразглежда като обща собственостклас на еквивалентни крайни множества. Първите представи за числото са свързани с количествените характеристики на обектите.

(Много - набор от някои обекти, еквивалентни = равни по брой)

Количествено определяне на комплектасе разпознава от учениците в процеса на установяване на едно-към-едно съответствие между елементи от непразно крайно множество и сегмент от естествен числова серия. Такова едно-към-едно съответствие се нарича брой на елементите на крайно множество. В такъв случай количествена характеристиканепразни крайни множества намира израз в отношения като "по-голямо", "по-малко", "равно на", обозначени със съответните символи.

Въз основа на използването на обективна визуализация се установява например, че броят на кръговете е повече от квадратите, а броят на квадратите е по-малък от кръговете.

4, следователно 5 b 4, 4 m 5

Числото "нула" в началото. училището се разглежда като характеристика на празен набор, базиран на практически дейности с набор от предмети. За тази цел се използват чертежи от вида:

. . .

.

. .

Или въз основа на резултата от аритметична операция, когато се разглеждат примери от формата: 3-1=2, 2-1=1, 1-1=0.

Целите неотрицателни числа се разглеждат в курса по математика в началното училище по концентрации: "Числа от 0 до 10", "Числа от 10 до 100", "Числа от 100 до 1000", "Числа, които са по-големи от 1000".

Основните понятия във всяка концентрация са устна и писмена номерация.

Устна номерация- начин за назоваване на всяко от числата, срещани в житейската практика, с помощта на числителни думи: едно, девет, сто и две и др.

Писмена номерация- начин на писане на всяко от числата, срещани в житейската практика, с помощта на числа: 1, 2, 3 ... 9, 0 въз основа на принципа на местната стойност на числата (всяка цифра, в зависимост от мястото, което заема в числото вход, разполага със собствен определена стойност). Например при въвеждането на числото 999 числото 9, което идва първо отдясно наляво, означава в дадено число 9 единици. Същата цифра, която е на второ място отдясно наляво, означава, че в числото има 9 десетици и т.н.

Аритметичните операции +, -, x, : са разгледани в Н.С. на теоретико-множествена основа.

Допълнениецели неотрицателни числа е свързано с операцията обединяване на крайни по двойки несвързани множества.

Изважданеестествени числасе разглежда на визуална основа като премахване на част от крайно множество, което е подмножество на това множество.

Умножениена неотрицателни цели числа се разглежда като броят на елементите в обединението на равен брой по двойки несвързани множества.

дивизияот гледна точка на теорията на множествата, то е свързано с разделянето на крайно множество на равен брой по двойки несвързани подмножества. С негова помощ се решават две задачи за разделяне: намиране на броя на елементите във всяко подмножество на преградата (разделяне на равни части) (напр.: 15 ябълки лежат в 3 чинии. Колко ябълки има на всяка чиния?) и намиране на числото на такива подмножества (разделяне по съдържание) (напр.: 15 ябълки имаше в чиниите. Имаше 5 ябълки на всяка чиния. Колко чинии имаше на масата?).

Формиране на представи на учениците за броя и десетична системасмятането е тясно свързано с изучаването на количествата.

Стойност- това е някакво свойство на набор от обекти или явления.

Стойност- това е такова свойство на обекти или явления, което ви позволява да сравнявате и установявате двойки обекти, които имат това свойство в еднаква или неравна степен.

В Н.С. разглеждат се такива величини като дължина, площ, време, обем, маса.

Дължина- стойност, характеризираща дължината, разстоянието и движението на тела или техни части по дадена линия. Дължина на сегмент или права линия- това е разстоянието между краищата му, измерено с някакъв сегмент, взет за единица дължина.

Квадрат- характеризираща стойност геометрични фигурина равнината и се определя от броя на пълнежа плоска фигураединични квадрати, т.е. квадрати със страни равни на една дължина. Измерете площта на фигурасредства за установяване квадратни единицидължина (кв. см, кв. дм, кв. м и др.), която съдържа.

Обем, капацитете стойност, която характеризира геометрични телаи се определя в най-простите случаи от броя на единичните кубчета, които се вписват в тялото, т.е. кубчета с ръбове равно на еднодължина. Телата могат да имат еднакъв (т.е. тела с еднакъв размер) и различен обем.

Тегло- това е физическо количество, което е една от основните характеристики на материята, която определя нейните инерционни и гравитационни свойства. Сравнение на телесните маси, операциите върху тях се свеждат до сравнение и операции върху числените стойности на масите със същата единица маса.

време- стойност, която характеризира последователната промяна на явленията и състоянията на материята, продължителността на битието. Календар- система за броене на дни, месеци, години. В математиката времето се разглежда като скаларна величина (стойност, всяка стойност на която може да се изрази с едно реално число), т.к. Времевите интервали имат свойства, подобни на тези на дължина, площ, маса. Времето обхваща точно като другите скалари, можете да сравнявате, събирате, изваждате, умножавате и делите на положително реално число. Съществуват връзки между величини от един и същи вид: „по-голямо от“, „по-малко от“, „равно на“.

На нагледна основа се въвеждат понятията пропорция на количество и дроб. дялсчитан за един от равни частицяло. Фракциясе определя като двойка естествени числа ( а, н), което характеризира множеството A от равни части от едно; първият от тях апоказва колко н-та "част съдържа А и се нарича числител на дробта, втората н-на колко равни части е разделена единицата и се нарича знаменател на дробта.

Успоредно с аритметичния материал и изучаването на количествата, теоретичен материал: комутативно свойство на събиране и умножение (комутативно); асоциативното свойство на умножението и събирането (асоциативно), разпределителното свойство на делението по отношение на сбор и разлика; разпределително свойство на делението по отношение на сбор и разлика; разпределително свойство на умножението по отношение на събирането и изваждането - разглеждани като правила за умножаване на сбор (разлика) с число (a+b)х c = aх c+bх ° С. Освен това се разглежда зависимостта между компонентите и резултата от аритметична операция. По-късно на базата на тази зависимост се разглежда решението на уравненията.

В училищната практика много учители принуждават учениците да запомнят дефинициите на понятията и изискват познаване на техните основни свойства, за да бъдат доказани. Резултатите от подобно обучение обаче обикновено са незначителни. Това се случва, защото по-голямата част от учениците, когато прилагат понятията, научени в училище, разчитат на маловажни знаци, докато учениците осъзнават и възпроизвеждат основните признаци на понятията само когато отговарят на въпроси, които изискват определение на понятието. Често учениците точно възпроизвеждат понятия, тоест те откриват знания за неговите основни характеристики, но не могат да приложат тези знания на практика, те разчитат на онези случайни характеристики, идентифицирани чрез пряк опит. Процесът на усвояване на понятията може да се контролира, те могат да се формират с дадените качества.

Нека се спрем по-подробно на поетапното формиране на концепции.

След като изпълнят пет до осем задачи с реални обекти или модели, учениците, без никакво запаметяване, запомнят както признаците на понятието, така и правилото за действие. Тогава действието се превежда във външна речева форма, когато се задават задачи писане, а знаците на понятията, правилото и предписанието се наричат ​​или записват от учениците по памет. На този етап учениците могат да работят по двойки, като се редуват като изпълнител, след това като контролер.

В случай, че дадено действие се извършва лесно и правилно във външна речева форма, то може да бъде преведено на вътрешна форма. Задачата се дава писмено, а ученикът изпълнява възпроизвеждането на признаци, тяхната проверка, сравнение на резултатите с правилото за себе си. Ученикът все още получава инструкции като „Назовете първия знак на себе си“, „Проверете дали има“ и т.н. Първо се контролира правилността на всяка операция и крайния отговор. Постепенно контролът се извършва само според крайния резултат и се извършва при необходимост.

Ако действието е извършено правилно, то се прехвърля в умствения етап: ученикът сам изпълнява и контролира действието. Програмата за обучение на този етап предвижда контрол от страна на възпитателя само върху крайния продукт на действието; обучаемият получава обратна връзкаако има затруднения или несигурност относно правилността на резултата. Процесът на изпълнение вече е скрит, действието е станало напълно умствено, идеално, но съдържанието му е известно на учителя, тъй като той сам го е изградил и сам го е трансформирал от външно, материално действие.

Така постепенно се осъществява преобразуването на действието във форма. Преобразуването на действието според обобщението се осигурява от специален подбор на задачи. При това се отчита както специфичната, така и общата логическа част на ориентировъчната основа на действието.

За обобщаване на специфичната част, свързана с използването на система от необходими и достатъчни признаци, всички типични видове обекти, свързани с това понятие, са дадени за разпознаване. Така че, когато се формира концепцията за ъгъл, е важно учениците да работят с ъгли, които се различават по големина (от 0 ° до 360 ° и повече), по позиция в пространството и т.н. Освен това е важно да се вземат обекти, които имат само някои характеристики тази концепция, но не се отнасят за него.

За обобщаване на логическата част на действието за разпознаване са дадени за анализ всички основни случаи, предвидени от логическото правило за включването в понятието, т.е. задачи с положителен, отрицателен и несигурен отговор. Можете също да включите работни места с излишни условия. Характерно е, че в практиката на преподаване по правило се дава само един вид задача: с достатъчен набор от условия и положителен отговор. В резултат на това учениците усвояват действието разпознаване в недостатъчно обобщена форма, което естествено ограничава обхвата на неговото приложение. Задачи с излишни, неопределени условия позволяват да се научат учениците не само да откриват определени характеристики в обектите, но и да установят тяхната достатъчност за решаване на проблема. Последните в житейската практика често действат като независим проблем.

Преобразуването на действието по другите две свойства се постига чрез повторение на еднотипни задачи. Препоръчително е да направите това, както е посочено, само на последните етапи. На всички останали етапи се дава само такъв брой задачи, който осигурява усвояването на действието в дадена форма. Невъзможно е да се забави действието върху преходните форми, тъй като това ще доведе до автоматизирането му в тази форма, което предотвратява прехвърлянето на действието в нова, по-късна форма.

Изучаването на алгебричен материал в началното училище. Въвеждането на елементи от алгебрата в началния курс по математика позволява от самото начало на обучението да се провежда систематична работа, насочена към развиване на такива важни математически понятия у децата като израз, равенство, неравенство, уравнение. Включването на елементи от алгебрата е насочено главно към по-пълно и по-задълбочено разкриване на аритметичните понятия, привеждайки обобщенията на учениците до по- високо ниво, както и създаване на предпоставки за успешното усвояване на курса по алгебра в бъдеще. Запознаването с използването на буква като символ, обозначаващ всяко число от областта на числата, познати на децата, създава условия за обобщаване на много от въпросите, разгледани в началния курс теория на аритметиката , е добра подготовка за запознаване на децата в бъдеще с понятията променлива, функция. По-ранното запознаване с използването на алгебричния метод за решаване на проблеми дава възможност да се направят сериозни подобрения в цялата система за обучение на деца за решаване на различни текстови задачи. Работата по всички изброени въпроси на алгебричното съдържание, в съответствие с начина, по който е планирано в учебниците, трябва да се извършва систематично и системно през всичките години на основното образование. Изучаването на елементите на алгебрата в елементарната математика е тясно свързано с изучаването на аритметиката. Това се изразява по-специално във факта, че например уравненията и неравенствата се решават не въз основа на използването на алгебричния апарат, а въз основа на използването на свойствата на аритметичните операции, въз основа на връзката между компоненти и резултатите от тези операции. Формирането на всяко от разглежданите алгебрични понятия не е доведено до формално логическо определение. Цели на изучаване на темата: 1. Да се ​​формират уменията на учениците да четат, пишат и сравняват числови изрази. 2. Да запознае учениците с правилата за изпълнение на реда на действията в числови изрази и да развие способността да изчислява стойностите на изразите в съответствие с тези правила. 3. За да формирате способността на учениците да четат, запишете буквални изрази и изчислете техните стойности за дадени буквени стойности. 4. Да запознае учениците с уравнения от първа степен, съдържащи действията на първия и втория етап, да формира способността да ги решава чрез метода на подбор, както и въз основа на знанията за връзката между компонентите и резултат от аритметични операции. Математически изрази. При формирането на концепцията за математически израз при децата трябва да се има предвид, че знакът за действие, поставен между числата, има две значения: от една страна, той обозначава действие, което трябва да се извърши върху числа (например 6 + 4 - добавете четири към шест); от друга страна, знакът за действие служи за обозначаване на израза (6 + 4 е сборът от числата 6 и 4). Концепцията за изразяване се формира при по-малките ученици в тясна връзка с понятията за аритметични действия и допринася за по-доброто им усвояване. Запознаване с числови изрази: методиката за работа с изрази предвижда два етапа. На първия от тях се формира понятието за най-простите изрази (сума, разлика, произведение, частно на две числа), а на втория - на сложните (сумата на произведението и числото, разликата на две частни и т.н.). Запознаване с първия израз - сумата от две числа се среща в I клас при изучаване на събиране и изваждане в рамките на 10. Извършвайки операции върху множества, учениците на първо място научават конкретното значение на събирането и изваждането, следователно в записи като 5 + 1, 6-2 знаците за действие се възприемат от тях като кратко обозначениедуми "добавяне", "изваждане". Приблизително в същото планът вървиработа върху следните изрази: разлика (1 клас), произведение и частно на две числа (2 клас). Въвеждат се понятията "математически израз" и "стойност на математически израз" (без определения). След като записва няколко примера в едно действие, учителят съобщава, че тези примери иначе се наричат ​​математически изрази. Правилото, използвано при четене на изрази: 1) установете кое действие се извършва последно; 2) запомнете как се наричат ​​числата в това действие; 3) прочетете как се изразяват тези числа. Упражнения по четене и писане сложни изрази, съдържащи компоненти на действие, дадени от прости изрази, помагат на децата да научат правилата за реда на действията, а също така ги подготвят за решаване на уравнения. Предлагайки такива упражнения и проверявайки знанията и уменията на учениците, учителят трябва само да се стреми да гарантира, че те могат да изпълняват практически такива задачи: запишете израз, прочетете го, съставете израз за предложената задача, съставете задача за тази израз (или „прочетете по различен начин“ този израз), разбрахте какво означава да запишете сумата (разликата) с помощта на числа и знаци за действие и какво означава да изчислите сумата (разликата) и по-късно, след въведението свързани терминикакво означава да съставиш израз и какво означава да намериш стойността му. Изучаване на правилата за работа. Целта на работата върху този етап- въз основа на практическите умения на учениците, насочете вниманието им към процедурата за извършване на действия в такива изрази и формулирайте подходящото правило. Учениците решават самостоятелно избраните от учителя примери и обясняват в какъв ред са извършили действията във всеки пример. След това сами формулират заключението или четат заключението от учебника. Работата се извършва в следната последователност: 1. Разглежда се правилото за реда, в който се извършват действията в изрази без скоби, когато числата са или само събиране и изваждане, или само умножение и деление. Заключение: ако в израза без скоби са посочени само операции за добавяне и изваждане (или само операции за умножение и деление), тогава те се изпълняват в реда, в който са написани (т.е. отляво надясно). 2. По същия начин проучете реда на действията в изрази със скоби от формата: 85-(46-14), 60: (30-20), 90: (2 * 5). Учениците също са запознати с такива изрази и могат да четат, пишат и изчисляват тяхното значение. След като обяснят реда за извършване на действия в няколко такива израза, децата формулират заключение: в изрази със скоби първото действие се извършва върху числата, записани в скоби. 3. Най-трудното правило е редът на изпълнение на действията в изрази без скоби, когато те съдържат действия от първата и втората стъпка. Заключение: процедурата се приема по споразумение: първо се извършва умножение, деление, след това събиране, изваждане отляво надясно. 4. Упражнения за пресмятане на смисъла на изрази, когато ученикът трябва да приложи всички научени правила. Запознаване с тъждествени преобразувания на изрази. Преобразуване на идентичност на израз е замяната на даден израз с друг, чиято стойност е равна на стойността на дадения израз. Учениците извършват такива преобразувания на изрази въз основа на свойствата на аритметичните операции и произтичащите от тях последствия (как да добавим сбор към число, как да извадим число от сбор, как да умножим число по продукт и др. ). Когато изучават всяко свойство, учениците се убеждават, че в изрази от определен тип действията могат да се извършват по различни начини, но значението на израза не се променя (смисълът на израза не се променя, когато редът на действията се променя само ако са приложени свойствата на действието) Въведение в буквалните изрази. Още в I клас става необходимо да се въведе символ, обозначаващ неизвестно число. В образователната и методическа литератураза тази цел на учениците бяха предложени голямо разнообразие от знаци: многоточие, кръгова празна клетка, звездички, въпросителен знаки т.н. Но тъй като всички тези знаци трябва да се използват за различни цели, тогава, за да напишете неизвестно число, трябва да използвате общоприетия знак за тези цели - буква. В бъдеще буквата като математически символ се използва и в началното обучение по математика за записване на обобщени числа, тоест когато се има предвид не едно неотрицателно цяло число, а произволно число. Такава необходимост възниква, когато е необходимо да се изразят свойствата на аритметичните операции. Буквите са необходими за обозначаване на количества и писане на формули, които отразяват връзките между количествата, за обозначаване на точки, сегменти, върхове на геометрични фигури. В I клас учениците използват буква, за да обозначат непознато число, което търсят. Учениците се запознават с писането и четенето на някои латински букви, като ги използват незабавно за записване на примери с неизвестно число (прости уравнения). На учениците се показва как да преведат на езика на математическите символи задачата, изразена устно: „Добавихме 2 към неизвестно число и получихме 6. Намерете неизвестно число.“ Учителят обяснява как да напише тази задача: означете неизвестното число с буквата x, след това използвайте знака +, за да покажете, че към неизвестното число е добавено 2 и е получено числото, равно на 6, което се записва със знака за равенство: x + 2 = 6. Сега трябва да извършите операция за изваждане, за да намерите другия член чрез сбора на два члена и един от тях. Основната работа с използването на буквата като математически символ се извършва в следващите класове. С въведението буквални изрази важна роляв системата от упражнения играе умела комбинация от индуктивни и дедуктивни методи. В съответствие с това упражненията предвиждат преходи от числови изрази към буквени и, обратно, от буквени изрази към числови. a + b (a плюс b) също е математически израз, само че в него термините са обозначени с букви: всяка от буквите означава произволни числа. Като давате на буквите различни числови стойности, можете да получите колкото искате числови изрази. По-нататък във връзка с работата върху изразите се разкрива концепцията за константа. За тази цел се разглеждат изрази, в които се фиксира постоянна стойност с помощта на числа, например: a ± 12, 8 ± s. Тук, както и в предишния етап, са предвидени упражнения за преход от числови изрази към изрази, написани с помощта на букви и цифри, и обратно. По същия начин можете да получите математически изрази от формата: 17 ± n, k ± 30, а по-късно - изрази от формата: 7 * b, a: 8, 48: d. Работата по изчисляване на стойностите на буквалните изрази за различни значения на буквите, като се наблюдава промяната в резултатите от изчисленията в зависимост от промяната в компонентите на действията, поставя основата за формирането на концепцията за променлива. Упражнения за намиране числови стойностиизрази за дадени буквени стойности. Освен това буквите се използват за записване в обобщена форма на свойствата на аритметичните операции, които преди това са били изучавани върху конкретни числени примери. Учениците, изпълнявайки специални упражнения, овладяват следните умения: 1. Използвайте букви, за да запишете свойствата на аритметичните операции, връзката между компонентите и резултатите от аритметичните операции. 2. Прочетете свойствата на аритметичните операции, зависимостите, отношенията, написани с букви. 3. Бягайте трансформация на идентичносттаизрази, базирани на знания за свойствата на аритметичните действия. 4. Докажете справедливост дадени равенстваили неравенства, използващи числово заместване. Използването на азбучни символи допринася за повишаване на нивото на обобщаване на знанията, придобити от учениците в началното училище, и ги подготвя за изучаване на систематичен курс по алгебра в следващите класове. Равенство, неравенство. В практиката на обучението в началните класове числовите изрази от самото начало се считат за неразривно свързани с числовите равенства и неравенства. В математиката числовите равенства и неравенства се делят на верни и неверни. В началните класове вместо тези термини се използват думите „истински“ и „неверник“. Задачите на изучаване на равенства и неравенства в началните класове са да научат учениците практически да работят с равенства и неравенства: да сравняват числа, да сравняват аритметични изрази, да решават прости неравенства с едно неизвестно, да преминават от неравенство към равенство и от равенство към неравенство. Понятията равенства, неравенства се разкриват във взаимовръзка. При изучаване на аритметичен материал. Числовите равенства и неравенства се изучават в резултат на сравняване на дадени числа или аритметични изрази. Следователно знаците ">", "<», « = » соединяются не любые два числа, не любые два выражения, а лишь те, между которыми существуют указанные отношения. Первоначально у младших школьников формируются понятия только о верных равенствах и неравенствах (не во всех программах). Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, с помощью установления взаимно однозначного соответствия. Установленные отношения записываются с помощью знаков «>», «<», « = », учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначных чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу и сравнения соответствующих разрядных чисел. Сравнение величин сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осуществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых единицах измерения. Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся упражняются в сравнении выражения и числа (числа и выражения). Выражение и число (число и выражение) учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами (подумай - поставь знак - объясни - проверь вычислением). Сравнить два выражения - значит, сравнить их значения. Сначала выполняются вычисления, затем рассматриваются задания на основе рассуждений с опорой на обобщение. Термины «решить неравенство», «решение неравенства» не вводятся в начальных классах. Уравнения. Подготовкой к ознакомлению учащихся с уравнениями является вся работа с равенствами и неравенствами. Особое значение среди всех этих упражнений имеют задания, при выполнении которых надо от неравенства перейти к равенству и наоборот. Впервые с уравнением учащиеся знакомятся в первом классе после того, как они познакомились с зависимостью между компонентами сложения. Здесь учащийся воспринимает уравнение как равенство, которое справедливо при определенном значении пока неизвестного числа. Выдвигается требование - найти такое значение буквы, обозначающей неизвестное. Чтобы составить уравнение, достаточно задание, выраженное словесно, записать с помощью математических символов. В соответствии с программой в начальных классах рассматриваются уравнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х-3=10 + 5, х*(17-10)=70, х:2+10 = 30. Неизвестное число сначала находят подбором, а позднее на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т. е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Найти неизвестное число (корень) - значит решить уравнение. С целью формирования умений решать уравнения предлагают разнообразные упражнения: 1) Решите уравнения и выполните проверку. 2) Выполните проверку решенных уравнений, объясните ошибки в неверно решенных уравнениях. 3) Составьте уравнения с числами х, 7, 10, решите и проверьте решение. 3) Из заданных уравнений выберите и решите те, в которых неизвестное число находят вычитанием (делением). 4) Из заданных уравнений выпишите те, в которых неизвестное число равно 8. 5) Рассмотрите решение уравнения, определите, чем является неизвестное в уравнении и вставьте пропущенный знак действия: х...2=12 х…2=12 х=12:2 х=12+2 7) Решите уравнения; сравните уравнения и их решения: х+8=40 х*3 = 24 х-8=40 х: 3 = 24 После того как учащиеся освоят решение простейших уравнений, уравнения усложняются в том отношении, что: 1) в правой части дается выражение: x+10=30-7; 2) один из компонентов задан выражением к + (18 - 15) = 24; 3) один из компонентов задан выражением, причем в него входит неизвестное (73 - b) + 31 = 85 Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений. Далее вводятся уравнения, содержащие действия первой и второй ступени. Для овладения приемом решения этих уравнений в начальных классах учащемуся необходимо в первую очередь научиться левую часть представить в виде двух компонентов, в результате действий с которыми была получена правая часть, и разобрать состав каждого компонента. При обучении решения уравнений важно вырабатывать навык проверки его корня, то есть найденного значения буквы. Здесь учащиеся должны в уравнение вместо буквы подставить ее значение, отдельно вычислить левую и правую части и сравнить полученные результаты. Отношение равенства этих результатов является основанием для заключения, что найденное число удовлетворяет условиям уравнения. Решение задач с помощью уравнений. Чтобы понять роль решения задач с помощью уравнений, рассмотрим сначала, в чем суть этого способа. Пусть надо решить путем составления уравнения задачу: «На экскурсию поехало 28 мальчиков и несколько девочек. Все они разместились в двух автобусах, по 25 человек в каждом. Сколько девочек отправилось на экскурсию?» Обозначим число девочек, которые отправились на экскурсию, какой-либо буквой, например х. Для составления равенства можно выделить различные связи, в соответствии с которыми можно составить выражения и, приравняв их, получить уравнение: а) В условии задачи сказано, что все мальчики и девочки поехали в автобусах, значит, можно выразить, сколько мальчиков и девочек поехало на экскурсию (28+x) и сколько мальчиков и девочек разместилось в автобусах (25*2), а затем приравнять эти выражения; тогда получится уравнение 28+x=25*2; решив это уравнение, получим ответ на вопрос задачи. б) В условии задачи сказано, что в каждом автобусе разместилось по 25 человек, значит, можно выразить число экскурсантов в каждом автобусе через другие числа и приравнять полученное выражение к числу 25, тогда получится уравнение (28+х): 2 = 25. Можно, рассуждая аналогичным образом, составить и другие уравнения. Для решения задачи с помощью составления уравнений обозначают буквой искомое число, выделяют в условии задачи связи, которые позволяют составить равенство, содержащее неизвестное (уравнение), записывают соответствующие выражения и составляют равенство. Полученное уравнение решают. При этом решение полученного уравнения не связывается с содержанием задачи. Решение любой задачи можно выполнить путем составления уравнения, руководствуясь указанным планом. В этом заключается универсальность способа решения задач с помощью составления уравнений, что определяет его преимущества. Кроме того, как видно, решение задач способом составления уравнений способствует овладению понятием уравнения. Поэтому уже в начальных классах в определенной системе ведется обучение решению задач путем составления уравнений. В методике обучения решению задач с помощью составления уравнений предусматриваются следующие этапы: сначала ведется подготовительная работа к решению задач с помощью уравнений, затем вводится решение простых задач с помощью уравнений и, наконец, рассматриваются приемы составления уравнений при решении составных задач.

Въпроси и задачи за самостоятелна работа

1. Назовете геометричните понятия, които се изучават в началното училище. Защо те са обект на изследване?

2. Геометричният материал в началния курс по математика образува ли самостоятелен раздел? Защо?

3. Опишете метода за формиране на геометрични понятия сред учениците: сегмент, триъгълник, ъгъл, правоъгълник.

4. Какви възможности за развитието на логическото мислене на учениците предоставя изучаването на геометричен материал? Дай примери.

5. С какви връзки се запознават учениците при изучаване на геометричен материал?

6. Каква е функцията на задачите за конструиране в началното училище?

7. Дайте примери за конструктивни задачи, характерни за началното училище.

8. Какви са етапите на решаване на строителни проблеми? Покажете до каква степен общата схема за решаване на строителни задачи може да се използва в началните класове.

Лекция 14

1. Основни понятия на математиката.

2. Общи въпроси на методиката за изучаване на алгебричен материал в курса по математика в началните класове.

3. Числови изрази. Усвояване на правилата за реда на извършване на аритметичните действия.

4. Изрази с променлива.

5. Техника за изучаване на уравнения.

6. Методи за изучаване на числови равенства и числени неравенства.

7. Запознаване на учениците с функционалната зависимост.

Литература: (1) Глава 4; (2) §27, 37, 52; (5) - (12).

Основни понятия на математиката

Числовият израз като цяло може да се дефинира, както следва:

1) Всяко число е числов израз.

2) Ако A и B са числови изрази, тогава (A) + (B), (A) - (B), (A) (B), (A): (B); (A)⁽ⁿ⁾ и f(A), където f(x) е някаква числова функция, също са числени изрази.

Ако в числов израз е възможно да се извършат всички посочени в него действия, тогава полученото реално число се нарича числена стойност на дадения числов израз и се казва, че числовият израз има смисъл. Понякога числовият израз няма числова стойност, защото не всички посочени в него действия са осъществими; за такъв числов израз се казва, че няма значение. И така, следните числови изрази (5 - 3): (2 - 8:4); √7 - 2 6 и (7 - 7)° нямат смисъл.

По този начин всеки числов израз или има една единствена числова стойност, или е безсмислен. -

Следната процедура се приема при изчисляване на стойността на числов израз:

1. Първо се изпълняват всички операции вътре в скобите. Ако има няколко двойки скоби, изчисленията започват от най-вътрешната.

2. Вътре в скобите редът на изчисленията се определя от приоритета на операциите: първо се изчисляват стойностите на функциите, след това се извършва степенуването, след това умножението или деленето, последните са събиране и изваждане.

3. Ако има няколко операции с еднакъв приоритет, изчисленията се извършват последователно отляво надясно.

Числено равенство- два числови израза A и B, свързани със знак за равенство ("=").

Числено неравенство- два числови израза A и B, свързани със знак за неравенство ("<", ">“, „≤“ или „≥“).

Извиква се израз, който съдържа променлива и се превръща в число, когато променливата се замени с нейната стойност променлив изразили числова форма.

Уравнение с една променлива(с едно неизвестно) е предикат от формата f₁(x) = f₂(x), където x ∊X, където f₁(x) и f₂(x) са изрази с променливата x, дефинирана в множеството X.

Всяка стойност на променливата x от множеството X, при която уравнението става истинско числово равенство, се нарича корен(решение на уравнението). реши уравнението- това означава да се намерят всичките му корени или да се докаже, че те не съществуват. Множеството от всички корени на уравнението (или истинското множество T на предиката f₁(x) = f₂(x)) се нарича множество от решения на уравнението

Наборът от стойности, за които са определени двете страни на уравнението, се нарича домейн на приемливите стойности (ODV) на променливата x и домейн на уравнението.

2. Общи въпроси на метода за изучаване на алгебричен материал

Елементарният курс по математика, наред с основния аритметичен материал, включва и елементи от алгебрата, представени от следните понятия:

Числови изрази;

Променливи изрази;

Числени равенства и неравенства;

Уравнения.

Целта на включването на елементи от алгебрата в курса по математика в началното училище е:

По-пълно и по-задълбочено разглежда аритметичния материал;

Изведете обобщенията на учениците на по-високо ниво;

Създаване на предпоставки за по-успешно изучаване на алгебра в средния и старшия клас на училището.

Алгебричният материал не е откроен в програмата като отделна тема. Разпределен е в курса на математиката в началното училище в отделни въпроси. Тези въпроси се изучават, като се започне от 1 клас, паралелно с изучаването на основния аритметичен материал. Последователността на разглеждане на въпросите, предложени от програмата, се определя от учебника.

Усвояването на изучаваните алгебрични понятия в началните класове включва въвеждането на подходяща терминология и изпълнението на прости операции без конструиране на формално логически определения.