Многостен, чиито лица са 4 триъгълника. Правилни многостени: елементи, симетрия и площ

Полиедрите не само заемат видно място в геометрията, но се срещат и в Ежедневиетовсеки човек. Да не говорим за изкуствено създадени битови предмети под формата на различни многоъгълници, като се започне с кибритена кутияи завършвайки с архитектурни елементи, в природата има и кристали под формата на куб (сол), призма (кристал), пирамида (шеелит), октаедър (диамант) и др.

Концепцията за полиедър, видове полиедри в геометрията

Геометрията като наука съдържа част от стереометрията, която изучава характеристиките и свойствата на триизмерни тела, чиито страни са в триизмерно пространствообразувани от ограничени равнини (лица), се наричат "полиедри". Видовете полиедри включват повече от дузина представители, които се различават по броя и формата на лицата.

Всички полиедри обаче имат общи свойства:

Всички те имат 3 интегрални компонента: лице (повърхността на многоъгълник), връх (ъглите, образувани на кръстовището на лицата), ръб (страната на фигурата или сегмент, образуван на кръстовището на две лица). ).
Всеки ръб на многоъгълник свързва две и само две страни, които са съседни една на друга.
Изпъкналостта означава, че тялото е напълно разположено само от едната страна на равнината, върху която лежи едно от лицата. Правилото важи за всички лица на полиедъра. Такива геометрични фигури в стереометрията се наричат изпъкнали полиедри. Изключение правят звездните полиедри, които са производни на правилните полиедри. геометрични тела.

Полиедрите могат да бъдат разделени на:

Видове изпъкнали полиедри, състоящи се от следните класове: обикновени или класически (призма, пирамида, паралелепипед), правилни (наричани още Платонови тела), полуправилни (второ име - Архимедови тела).
Неизпъкнали полиедри (звездовидни).

Призма и нейните свойства

Стереометрията като клон на геометрията изучава свойствата на триизмерни фигури, видове полиедри (призмата е една от тях). Призма е геометрично тяло, което задължително има две напълно еднакви лица (те се наричат още основи), лежащи в успоредни равнини, и n-тия брой странични лица под формата на успоредници. От своя страна, призмата също има няколко разновидности, включително такива видове полиедри като:

Паралелепипед се образува, ако основата е успоредник - многоъгълник с 2 двойки равни срещуположни ъгли и 2 двойки равни срещуположни страни.
Правата призма има ръбове, перпендикулярни на основата.
характеризиращ се с наличието на неправи ъгли (различни от 90) между лицата и основата.
Правилната призма се характеризира с основи във формата с равни странични стени.

Основните свойства на призмата:

Конгруентни основи.
Всички ръбове на призмата са равни и успоредни един на друг.
всичко странични лицаимат формата на успоредник.

Пирамида

Пирамидата е геометрично тяло, което се състои от една основа и n-тия брой триъгълни стени, свързани в една точка - върха. Трябва да се отбележи, че ако страничните стени на пирамидата са задължително представени от триъгълници, тогава в основата може да има или триъгълен многоъгълник, или четириъгълник, и петоъгълник, и така нататък до безкрайност. В този случай името на пирамидата ще съответства на многоъгълника в основата. Например, ако в основата на пирамидата има триъгълник - това е четириъгълник - четириъгълник и т.н.

Пирамидите са конусовидни полиедри. Видовете полиедри от тази група, в допълнение към изброените по-горе, включват и следните представители:

Правилната пирамида има правилен многоъгълник в основата си и нейната височина е проектирана към центъра на окръжност, вписана в основата или описана около нея.
Правоъгълна пирамида се образува, когато един от страничните ръбове се пресича с основата под прав ъгъл. В този случай също е справедливо този ръб да се нарича височина на пирамидата.

Свойства на пирамидата:

Ако всички странични ръбове на пирамидата са равни ( еднаква височина), тогава всички те се пресичат с основата под един ъгъл и около основата можете да нарисувате кръг с център, съвпадащ с проекцията на върха на пирамидата.
Ако правилен многоъгълник лежи в основата на пирамидата, тогава всички странични ръбове са еднакви, а лицата са равнобедрени триъгълници.

Правилен многостен: видове и свойства на многостените

В стереометрията специално мястозаемат геометрични тела с абсолютно равни лица, във върховете на които са свързани еднакъв брой ръбове. Тези тела се наричат платонови тела или правилни полиедри. Видовете полиедри с такива свойства имат само пет фигури:

Тетраедър.
Хексаедър.
Октаедър.
додекаедър.
Икосаедър.

Правилните полиедри дължат името си на древногръцкия философ Платон, който описва тези геометрични тела в своите писания и ги свързва с природните елементи: земя, вода, огън, въздух. Петата фигура беше наградена със сходство със структурата на Вселената. Според него атомите на природните елементи по форма наподобяват видовете правилни полиедри. Поради най-вълнуващото си свойство - симетрията, тези геометрични тела представляваха голям интересне само за древните математици и философи, но и за архитекти, художници и скулптори на всички времена. Наличието на само 5 вида полиедри с абсолютна симетрия се смяташе за фундаментално откритие, дори им беше присъдена връзка с божествения принцип.

Хексаедър и неговите свойства

Във формата на шестоъгълник наследниците на Платон приемат сходство със структурата на атомите на земята. Разбира се, в момента тази хипотеза е напълно опровергана, което обаче не пречи на фигурите да привличат умове в съвременните времена. известни личностисъс своята естетика.

В геометрията хексаедърът, известен също като куб, се счита за специален случай на паралелепипед, който от своя страна е вид призма. Съответно, свойствата на куба са свързани с единствената разлика, че всички лица и ъгли на куба са равни един на друг. От това следват следните свойства:

Всички ръбове на куб са равни и лежат в успоредни равнини един спрямо друг.
Всички лица са съвпадащи квадрати (в куба има общо 6), всяко от които може да се вземе за основа.
Всички междустенни ъгли са 90.
От всеки връх идва равен брой ръбове, а именно 3.
Кубът има 9, които се пресичат в пресечната точка на диагоналите на хексаедъра, наречена център на симетрия.

Тетраедър

Тетраедърът е тетраедър с равни лица под формата на триъгълници, всеки от върховете на които е точка на свързване на три лица.

Свойства на правилния тетраедър:

Всички лица на тетраедър - това, от което следва, че всички лица на тетраедър са еднакви.
Тъй като основата е представена от правилна геометрична фигура, т.е равни страни, тогава лицата на тетраедъра се събират под същия ъгъл, тоест всички ъгли са равни.
Сумата от плоските ъгли във всеки от върховете е 180, тъй като всички ъгли са равни, тогава всеки ъгъл на правилен тетраедър е 60.
Всеки от върховете се проектира до точката на пресичане на височините на противоположното (ортоцентърно) лице.

Октаедър и неговите свойства

Описвайки видовете правилни полиедри, не може да не се отбележи такъв обект като октаедър, който може да бъде визуално представен като две четириъгълни правилни пирамиди, залепени заедно в основите.

Свойства на октаедъра:

Самото наименование на едно геометрично тяло подсказва броя на лицата му. Октаедърът се състои от 8 еднакви равностранни триъгълници, във всеки от чийто върхове се събират равен брой лица, а именно 4.
Тъй като всички лица на октаедър са равни, то и неговите междинни ъгли са равни, всеки от които е равен на 60, а сумата от равнинните ъгли на всеки от върховете е 240.

додекаедър

Ако си представим, че всички лица на едно геометрично тяло са правилен петоъгълник, тогава получаваме додекаедър - фигура от 12 многоъгълника.

Свойства на додекаедъра:

Три лица се пресичат във всеки връх.
Всички ръбове са равни и имат същата дължинаръбове, както и равна площ.
Додекаедърът има 15 оси и равнини на симетрия и всяка от тях минава през върха на лицето и средата на противоположния ръб.

икосаедър

Не по-малко интересен от додекаедъра, икосаедърът е триизмерно геометрично тяло с 20 равни лица. Сред свойствата на правилния двадесетоъгълник може да се отбележи следното:

Всички лица на икосаедъра са равнобедрени триъгълници.
Пет лица се събират във всеки връх на полиедъра и сумата съседни ъгливърхът е 300.
Икосаедърът, подобно на додекаедъра, има 15 оси и равнини на симетрия, минаващи през средните точки на противоположни лица.

Полуправилни многоъгълници

В допълнение към Платоновите тела, групата на изпъкналите многостени включва и Архимедовите тела, които са пресечени правилни многостени. Видовете полиедри от тази група имат следните свойства:

Геометричните тела имат по двойки равни лица от няколко типа, например пресеченият тетраедър има 8 лица, точно както обикновения тетраедър, но в случай на архимедово тяло 4 лица ще бъдат триъгълни, а 4 ще бъдат шестоъгълни.
Всички ъгли на един връх са еднакви.

Звездни полиедри

Представители на необемни типове геометрични тела са звездообразни полиедри, чиито лица се пресичат помежду си. Те могат да бъдат образувани чрез сливане на две правилни триизмерни тела или чрез продължаване на техните лица.

По този начин, такива звездовидни полиедри са известни като: звездовидни форми на октаедър, додекаедър, икосаедър, кубоктаедър, икозидодекаедър.

Урок 7 на тема: „Многогранници. Върхове, ръбове, лица на многостен"

Цел на урока: запознайте учениците с един от видовете полиедри - куб; чрез измерване и наблюдение открийте възможно най-много свойства на куба.

Тип урок: изучаване на нов материал

Методи:

Според източниците на познание: вербални, визуални;

Според степента на взаимодействие учител-ученик: евристичен разговор;

Относно дидактически задачи: подготовка за възприемане;

По отношение на естеството на познавателната дейност:репродуктивен, частично изследователски.

Оборудване: Урок:Математика: Визуална геометрия. 5-6 клас И.Ф. Шаригин, мултимедиен проектор, компютър.

Резултати от обучението:

лични: способност за емоционално възприемане математически обектиспособността да изразявате идеи ясно и точно.

Метасубект: способност за разбиране и използване на визуални средства.

Предмет: научете се да рисувате сканирания и да правите форми с тяхна помощ.

Оборудване: учебник “Нагледна геометрия. 5 - 6 клас "С. Шаригин, интерактивна дъска, ножици.

UUD:

когнитивен: анализ и класификация на обекти

регулаторен: поставяне на цели; идентифициране и разбиране на това, което вече е известно и това, което трябва да се научи

комуникативен: образователно сътрудничество с учителя и връстниците.

По време на часовете

Организиране на времето.

Актуализиране и фиксиране на основни знания.

На масата има полиедри, в които учениците се срещнаха начално училище. Какви фигури можете да посочите? Кои фигури са най-много?

Трудно е да се намери човек, който да не е запознат с куба. Все пак кубчетата са любима игра на децата. Изглежда, че знаем всичко за куба. Но дали е така?

Кубът е представител на голямо семейство многостени. Някои вече сте срещали - това е пирамида, кубоид. Предстои ви среща с други хора.

Полиедрите, въпреки различията си, имат редица общи свойства.

Повърхнината на всеки от тях се състои от плоски многоъгълници, които се наричатлица на полиедър . Два съседни плоски многоъгълника имат обща страна -ръб на полиедър . Краищата на ребрата савърховеполиедър.

В миналия урок се интересувахте от видовете многостени и ето 5 представителя на правилните многоъгълници.

Тетраедър октаедър икосаедър хексаедър додекаедър

Обобщаване и систематизиране на знанията

Помислете за изображението на куба на фигурата, начертайте го в тетрадка и подпишете имената на основните елементи на куба. Запомнете и използвайте тези условия в бъдеще.

Кубът е правилен многостен, чиито лица са квадрати и във всеки връх се събират три ръба и три лица. Има 6 лица, 8 върха и 12 ръба.

Работа с модели.

Работете с метла.

№ 2 (Математика: Визуална геометрия. 5-6 клас I.F. Sharygin) На лист хартия нарисувайте сканиран куб. Изрежете го и разточете кубче от него, залепете го.

Изрязаната фигура се наричасканиране на куб . Помислете защо е наречен така.

№ 3 (Математика: Визуална геометрия. 5-6 клас I.F. Sharygin) Опитайте се да сглобите куб от предложените сканирания и да ги прехвърлите в тетрадката си.

№ 5 (Математика: Визуална геометрия. 5-6 клас I.F. Sharygin) Куб е разгънат. Кое от кубчетата на фигура 30, a-c може да се слепи от него? Изберете куб и аргументирайте избора си.

№ 12 (Математика: Визуална геометрия. 5-6 клас I.F. Sharygin) Има лента хартия с размери 1 * 7. Как да сгънете едно кубче от него?

№ 15 (Математика: Визуална геометрия. 5-6 клас I.F. Sharygin) В противоположните върхове на куба седят паяк и муха. Кой е най-краткият път за паяк да стигне до муха? Обяснете отговора

Отражение на учебната дейност.

днес разбрах...

беше интересно…

беше трудно…

изпълнявах задачи...

Купих...

Научих…

успях…

Аз бях в състояние...

Ще опитам…

Изненадай ме...

даде ми урок за цял живот...

Домашна работа. Направете модел на куб от картон.

Тема.„Многогранник. Елементите на многостена са лица, върхове, ръбове.

цели.Създайте условия за разширяване теоретични знанияотносно пространствените фигури: въведете понятията "многостен", "лица", "върх", "ръб"; гарантират развитието на способността на учениците да подчертават основното в познавателен обект; насърчават развитието пространствено въображениестуденти.

Образователни материали.Учебник „Математика. 4 клас "(автор V.N. Rudnitskaya, T.V. Yudacheva); компютър; проектор; презентация „Многоъгълници”; печатни форми "Координатен ъгъл", "Многоъгълници", "Задача"; модели на многостени, развитие на многостени; огледала; ножица.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

Преди началото на урока децата се разделят на три групи според нивото на знания – високо, средно, ниско.

I. Организационен момент

Учител.Скъпи мои фиджове, още веднъж ви каня очарователен святматематика. И съм сигурен, че в този урок ще научите нови неща, ще затвърдите наученото и ще можете да приложите придобитите знания на практика.

Днес бих искал да започна нашия урок с думите на английския философ Роджър Бейкън за математиката: „Който не знае математиката, не може да изучава други науки и не може да опознае света.“ Мисля, че в урока със сигурност ще намерим потвърждение на думите на този философ.

II. Повторение на преминатия материал. Построяване на полигони по координати

U.В уроците по математика в 1, 2, 3 клас изучавахме различни плоски геометрични фигури, а също така се научихме как да ги изграждаме. Предлагам ви да вградите координатен ъгъл плоски фигурипо дадените координати.

Задачата се изпълнява на разпечатани бланки.

Група 1

Построете фигура, ако координатите са известни НО (0; 2), AT (2; 5), ОТ(9; 2). Каква фигура получихте?

Група 2

Конструирайте правоъгълник, ако точките НО(3; 2) и AT(6; 5) са неговите противоположни върхове. Назовете координатите на противоположните върхове. Какво е другото име на тази фигура?

Група 3

Построете фигура, ако са известни координатите на нейните върхове НО (2; 3), AT (2; 6), ОТ (5; 8), д (8; 6), К (8; 3), М(5; 1). Каква фигура получихте?

Как можете да назовете всички тези фигури?

деца.Това са многоъгълници.

слайд 1

U.Знаем, че всички многоъгълници имат върхове и страни. Назовете ги и ги покажете.

Един човек от групата изпълнява задачата на дъската.

III. Въведение в новия материал

U.Днес ще ви запозная с обемисти геометрични форми, които се наричат полигони. Техните модели са представени на вашите маси.

Учениците имат обемни фигури на масите: куб, паралелепипед, пирамиди, призми.

- Настанете се удобно, гледайте внимателно, слушайте внимателно и запомнете.

Запознаване с понятията "многостен", "лице", "върх", "ръб"

- Ако вземете 4 триъгълника, можете да създадете обемна фигура – пирамида. От квадрати можете да получите друга фигура - куб, от правоъгълници - паралелепипед. Имате още една фигура на масата - призма, която е съставена от правоъгълници и триъгълници. Всички тези фигури се наричат полиедри .

Всеки от полигоните (в този случайтриъгълници) се наричат ръб, край полиедър. Страните на многоъгълниците се наричат ребра полиедър. И, разбира се, върховете на многоъгълника ще бъдат върховеполиедър. Ето как изглежда чертеж на многостен върху лист хартия.

слайд 2

Изглежда, че фигурата е направена от стъкло. Какво според вас показва пунктираната линия на чертежа?

Д.Невидими ребра.

Децата работят върху рисунката на дъската.

U.И така, какво е това?

Д.Многостен.

U.Назовете и покажете лицата на многостена, неговите ръбове и върхове.

Децата сочат с показалец и списък.

- Ако разрежете пирамидата отгоре надолу по ръбовете, получавате такъв размах.
А сега, скъпи мои притеснители, намерете форма с многоъгълник на масата, внимателно прочетете инструкциите:

1. Внимателно обмислете чертежа на многоъгълника.
2. Намерете желаната многоъгълна разгъвка (модели на дъската).
3. Сглобете модела на полигона.
4. Посочете броя на върховете __ , лицата __ , ръбовете __ на многоъгълника.
5. Наименувайте всеки връх __ , ръб __ , лице __ на многоъгълника.

Група 1

Група 2

Група 3

- На дъската са развоите на полиедри. Опитайте се да намерите развитието на вашата фигура от чертежа и сглобете многостена. Работете заедно и мисля, че ще успеете.

Проверка на изпълнението на задачата (слайдове 3, 4, 5).

върхове – 8; ребра – 12; лица – 6;
върхове - M, B, C, A, X, K, O, T;
ребра - MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO;
лица - MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT.

върхове – 8; ребра – 12; лица – 6;
върхове - M, B, C, A, X, K, O, T;
ребра - MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO;
лица - MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT.

върхове – 12; ребра – 18; лица – 8;
върхове - Y, B, A, X, N, M, P, E, D, F, L, C;
ребра - YB, YX, BA, XA, XN, NM, AM, ME, EP, NP, ED, PF, DF, FL, LC, CD, LY, CB;
лица - BAMEDC, YXNPFL, YBAX, XAMN, NMEP, EDFP, DFLC, CLYB.

IV. Обобщаване и систематизиране на знанията

U.Кажете ми, има ли предмети в света около нас, които имат формата на многостени?

Чуват се отговорите на децата. Прави се импровизирана "разходка" из училищния двор. Децата "разглеждат" модели на училищната сграда, помощни помещения, които приличат на полиедри.

- Изпълнете задачата:

Вълкът и заекът залепиха къща от цветна хартия. Колко лица от всеки цвят ви трябваха? Каква многоъгълна форма има ръбът на всеки цвят?

слайд 6

V. Затвърдяване на наученото

U.Момчета, представете си себе си като архитекти, дизайнери или строители и се опитайте да разрешите проблеми.

Задача за 1 група

Намерете площта, която ще заеме новата училищна сграда, ако нейната дължина е 74 m и ширината ѝ е 13 m. ( Отговор: 962 кв. м.)

Задача за 2 група

Площта на детската площадка в двора на нашето училище е 1080 кв.м. м. Това е 1320 квадратни метра. m по-малко от площта на хокейната пързалка. Изчислете площта на хокейната пързалка. ( Отговор: 2400 кв. м)

Задача за 3 група

За построяването на нова сграда на училището ни се отделя парцел от 2500 кв. м. Известно е, че сградата ще бъде широка 13 м, дълга 74 м. Каква площ от обекта ще остане за цветни лехи и пътеки след построяването на сградата? ( Отговор: 1) 962 кв. m; 2) 1538 кв. м)

Децата проверяват решенията на задачите, обясняват как са ги решили.

VI. Обобщение на урока

U.Оказва се, че Роджър Бейкън е бил прав, когато е казал: „Който не знае математиката, не може да изучава други науки и не може да опознае света“.

Учителят оценява работата на групите.

1. На фигура 1 посочете изпъкнали и неизпъкнали полиедри.

Отговор: Изпъкнал - б), д); неизпъкнали - а), в), г).

2. Дайте пример за неизпъкнал многостен, всичките лица на който са изпъкнали многоъгълници.

Отговор: Фигура 1, а).

3. Вярно ли е, че обединението на изпъкнали многостени е изпъкнал многостен?

Отговор: Не.

4. Може ли броят на върховете на полиедър да бъде равен на броя на лицата му?

Отговор: Да, тетраедър.

5. Установете връзка между броя на равнинните ъгли P на многостена и броя на неговите ръбове P.

Отговор: P = 2R.

6. Лицата на изпъкнал многостен са само триъгълници. Колко върха B и лица D има, ако има: а) 12 ребра; б) 15 ребра? Дайте примери за такива полиедри.

7. Три ръба излизат от всеки връх на изпъкнал многостен. Колко върха B и лица D има, ако има: а) 12 ребра; б) 15 ребра? Начертайте тези полиедри.

Отговор: а) B \u003d 8, D \u003d 6, куб; б) H \u003d 10, D \u003d 7, петоъгълна призма.

8. Във всеки връх на изпъкнал многостен четири ръба се събират. Колко върха B и лица D има, ако броят на ръбовете е 12? Начертайте тези полиедри.

9. Докажете, че всеки изпъкнал многостен има триъгълно лице или три ръба се пресичат в някои от върховете му.

10. Помислете къде в аргументите, показващи валидността на отношението на Ойлер, е използвана изпъкналостта на многостена.

11. Какво е B - P + G за полиедъра, показан на фигура 6?

Правилни полиедри

Изпъкнал многостен се нарича правилен, ако лицата му са равни правилни многоъгълници, и всички многостенни ъгли са равни.

Нека разгледаме възможните правилни полиедри и на първо място онези от тях, чиито лица са правилни триъгълници. Най-простият такъв правилен многостен е триъгълна пирамида, чиито лица са правилни триъгълници (фиг. 7). Във всеки от върховете му се събират три лица. Само с четири лица този полиедър се нарича още правилен тетраедър или просто тетраедър, което се превежда от Гръцкиозначава четириъгълник.

Полиедър, чиито лица са правилни триъгълници и четири лица се събират във всеки връх, е показан на фигура 8. Повърхността му се състои от осем правилни триъгълника, така че се нарича октаедър.

Полиедър, във всеки връх на който се събират пет правилни триъгълника, е показан на фигура 9. Повърхността му се състои от двадесет правилни триъгълника, така че се нарича икосаедър.

Обърнете внимание, че тъй като повече от пет правилни триъгълника не могат да се събират във върховете на изпъкнал многостен, няма други правилни многостени, чиито лица са правилни триъгълници.

По същия начин, тъй като само три квадрата могат да се събират във върховете на изпъкнал многостен, тогава, освен куба (фиг. 10), няма други правилни многостени, чиито лица са квадрати. Кубът има шест страни и затова се нарича още хексаедър.

Полиедър, чиито лица са правилни петоъгълници и три лица се събират във всеки връх, е показан на фигура 11. Повърхността му се състои от дванадесет правилни петоъгълника, поради което се нарича додекаедър.

Помислете за концепцията за правилен полиедър от гледна точка на топологията на науката, която изучава свойствата на фигури, които не зависят от различни деформации без прекъсвания. От тази гледна точка, например, всички триъгълници са еквивалентни, тъй като един триъгълник винаги може да се получи от всеки друг чрез съответното свиване или разширяване на страните. Като цяло всички многоъгълници с еднакъв брой страни са еквивалентни по една и съща причина.

Как можем да дефинираме понятието топологично правилен полиедър в такава ситуация? С други думи, кои свойства в дефиницията на правилен полиедър са топологично стабилни и трябва да бъдат оставени и кои не са топологично стабилни и трябва да бъдат отхвърлени.

В дефиницията на правилен многостен броят на страните и броят на лицата са топологично стабилни, т.е. непроменен при непрекъсната деформация. Правилността на полигоните не е топологично стабилно свойство. Така стигаме до следното определение.

Изпъкнал полиедър се нарича топологично правилен, ако лицата му са многоъгълници с еднакъв брой страни и се събират във всеки връх същото числолица.

Два полиедра се наричат топологично еквивалентни, ако единият може да бъде получен от другия чрез непрекъсната деформация.

Например всички триъгълни пирамидиса топологично правилни полиедри, еквивалентни един на друг. Всички паралелепипеди също са топологично правилни полиедри, еквивалентни един на друг. Те не са топологично правилни полиедри, например четириъгълни пирамиди.

Нека разберем въпроса колко топологично правилни полиедри, които не са еквивалентни един на друг.

Както знаем, има пет правилни полиедъра: тетраедър, куб, октаедър, икосаедър и додекаедър. Изглежда, че трябва да има много повече топологично правилни полиедри. Оказва се обаче, че няма други топологично правилни полиедри, които да не са еквивалентни на вече известните правилни.

За да докажем това, използваме теоремата на Ойлер. Нека е даден топологично правилен полиедър, чиито лица са n -ъгълници и m ръба се събират във всеки връх. Ясно е, че n и m са по-големи или равни на три. Означаваме, както преди, B - броят на върховете, P - броят на ръбовете и Г - броят на лицата на този многостен. Тогава

nГ = 2P; G = ; mB = 2P; B = .

По теоремата на Ойлер B - P + G = 2 и следователно

Където R = .

От полученото равенство по-специално следва, че неравенството 2n + 2m - nm > 0 трябва да е в сила, което е еквивалентно на неравенството (n - 2)(m - 2)< 4.

Намерете всички възможни стойности на n и m, които удовлетворяват намереното неравенство и попълнете следната таблица


тетраедър	V=6, R=12, D=8	V=12, P=30, D=20 икосаедър
V=8, P=12, D=4	Не съществува	Не съществува
V=20, P=30, D=12 додекаедър	Не съществува	Не съществува

Например, стойностите n = 3, m = 3 отговарят на неравенството (n - 2) (m - 2)< 4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим Р = 6, В = 4, Г = 4.

Стойностите n = 4, m = 4 не удовлетворяват неравенството (n - 2)(m - 2)< 4 и, следовательно, соответствующего многогранника не существует.

Останалите случаи проверете сами.

От тази таблица следва, че единствените възможни топологично правилни полиедри са изброените по-горе правилни полиедри и еквивалентните им полиедри.

Определение. Многостенът се нарича правилен, ако: 1) е изпъкнал; 2) всичките му лица са правилни многоъгълници, равни един на друг; 3) еднакъв брой ръбове се събират във всеки от върховете му; 4) всички негови двустени са равни.

Пример за правилен многостен е куб: той е изпъкнал многостен, всичките му лица са равни квадрати, три ръба се събират във всеки връх и всички двустенни ъгли на куба са прави. Правилният тетраедър също е правилен многостен.

Възниква въпросът: колко различни видовеправилни полиедри?

Пет вида правилни полиедри:

Да разгледаме произволен правилен многостен М , който има B върхове, P ръбове и G лица. По теоремата на Ойлер за този полиедър е в сила следното равенство:

V - R + G \u003d 2. (1)

Нека всяко лице на дадения полиедър съдържа мръбове (страни) и във всеки връх се събират нребра. очевидно,

Тъй като полиедърът B има върхове, всеки от които има n ръба, получаваме n ръба. Но всяко ребро свързва два върха на полиедъра, така че всяко ребро ще влезе в произведението n два пъти. Така че полиедърът има различниребра. Тогава

От (1), (3), (4) получаваме - Р + = 2, откъдето

+ = + > . (5)

По този начин имаме

От неравенства 3 и 3 следва, че лицата на правилния многостен могат да бъдат или правилни триъгълници, или правилни четириъгълници, или правилни петоъгълници. Освен това в случаите m = n = 4; m = 4, n = 5; m = 5, n = 4; m = n = 5 стигаме до противоречие с условието. Следователно остават възможни пет случая: 1) m = n = 3; 2) m = 4, n = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5. Нека разгледаме всеки от тези случаи, като използваме отношения (5), (4) и (3).

1) m=n=3(всяко лице на многостена е правилен триъгълник. Това е известното ни правилен тетраедър (« тетраедър" означава тетраедър).

2) m = 4, n = 3(всяко лице е квадрат и три ръба се събират във всеки връх). Ние имаме

P = 12; B = 8; G = 6.

Получаваме правилен шестоъгълник, в който всяко лице е квадрат. Този полиедър се нарича правилен хексаедър и е куб (" хексаедър"-- хексаедър), всеки паралелепипед е хексаедър.

3) m = 3, n = 4(всяко лице е правилен триъгълник, четири ръба се събират във всеки връх). Ние имаме

P = 12; B = =6; G \u003d \u003d 8.

Получаваме правилен октаедър, в който всяко лице е правилен триъгълник. Този полиедър се нарича правилен октаедър ("октаедър" --октаедър).

4) m = 5, n = 3(всяко лице е правилен петоъгълник, три ръба се събират във всеки връх). Ние имаме:

P = 30; B = = 20; G \u003d \u003d 12.

Получаваме правилен додекаедър, в който всяко лице е правилен петоъгълник. Този полиедър се нарича правилен додекаедър (« додекаедър"- додекаедър).

5) m = 3, n = 5(всяко лице е правилен триъгълник, пет ръба се събират във всеки връх). Ние имаме

P = 30; B = =12; G = = 20.

Получаваме правилното двадесетстранно. Този полиедър се нарича правилен икосаедър (« икосаедър“- двадесетстранно).

Така получихме следната теорема.

Теорема. Има пет различни (до подобие) типа правилни полиедри: правилен тетраедър, правилен хексаедър (куб), правилен октаедър, правилен додекаедър и правилен икозаедър.

До този извод може да се стигне по малко по-различен начин.

Наистина, ако лицето на правилен многостен е правилен триъгълник и се събират в един връх кребра, т.е. всички плоски изпъкнали ъгли ктогава -стенният ъгъл са равни. Следователно, естествено число кможе да приема стойности: 3;4;5. докато Г = , Р = . Въз основа на теоремата на Ойлер имаме:

B+-= 2 или B (6 - к) = 12.

След това при к\u003d 3 получаваме: B = 4, G \u003d 4, P \u003d 6 (правилен тетраедър);

при k = 4 получаваме: B \u003d 6, G \u003d 8, P \u003d 12 (правилен октаедър);

при k = 5 получаваме: B \u003d 12, G \u003d 20, P \u003d 30 (правилен икосаедър).

Ако лицето на правилния многостен е правилен четириъгълник, тогава. Това условие отговаря на единственото естествено число к= 3. Тогава: Г = , Р= ; B + - = 2 или. И така, B \u003d 8, G \u003d 6, P \u003d 12 - получаваме куб (правилен хексаедър).

Ако лицето на правилния многостен е правилен петоъгълник, тогава Това условие също е изпълнено само к= 3 и Г = ; R = . по същия начин предишни изчисленияполучаваме: и B \u003d 20, G \u003d 12, P \u003d 30 (правилен додекаедър).

Започвайки с правилни шестоъгълници, вероятно лицата на правилен многостен, равнинните ъгли не стават по-малки и по-тесни к= 3 сборът им става най-малко, което е невъзможно. Следователно има само пет вида правилни полиедри.

Фигурите показват разположението на всеки от петте правилни полиедъра.

правилен тетраедър

Правилен октаедър

Правилен хексаедър

Правилен икосаедър

Правилен додекаедър

Някои свойства на правилните полиедри са дадени в следващата таблица.

Тип лице	плосък ъгъл в горната част	Изглед на многостенния ъгъл на върха	Сумата от плоските ъгли при върха			Името на многостена
вярно триъгълник	3-странен			правилен тетраедър
вярно триъгълник	4-странен			Правилен октаедър
вярно триъгълник	5-странен			Правилен икосаедър
	3-странен			вярно хексаедър (куб)
вярно петоъгълник	3-странен				вярно додекаедър

За всеки от правилните полиедри, освен вече посочените, най-често ще се интересуваме от:

1. Стойността на това двустенен ъгълпри реброто (с дължината на реброто а).
2. Подредете го на квадрат пълна повърхност(за дължина на ребрата а).
3. Обемът му (с дължината на реброто а).
4. Радиусът на описаната около него сфера (с дължината на ръба а).
5. Радиусът на вписаната в него сфера (с дължината на ръба а).
6. Радиусът на сфера, докосващ всичките й ръбове (с дължина на ръба а).

Най-простото решение е да се изчисли общата повърхност на правилен полиедър; тя е равна на Г, където Г е броят на лицата на правилен полиедър и е площта на едно лице.

Спомнете си sin = , което ни дава възможност да запишем в радикали: ctg =. Като се има предвид това, ние правим таблици:

а) за площта на лице на правилен многостен

б) за общата повърхност на правилен многостен

Сега нека да преминем към изчисляване на стойността на двустенния ъгъл на правилен многостен при неговия ръб. За правилен тетраедър и куб можете лесно да намерите стойността на този ъгъл.

В правилния додекаедър всички равнинни ъгли на лицата му са равни, следователно, прилагайки косинусовата теорема за тристенни ъгли към всеки тристенен ъгъл на даден додекаедър при неговия връх, получаваме: cos, откъдето

На изобразения правилен октаедър ABCDMF можете да видите, че двустенният ъгъл при ръба на октаедъра е 2arctg.

За да намерим стойността на двустенния ъгъл при ръба на правилен икосаедър, можем да разгледаме тристенния ъгъл ABCD при върха A: неговите равнинни ъгли BAC и CAD са равни, и третия равнинен ъгъл BAD, спрямо който двустенният ъгъл B (AC)D = лежи, е равно на (BCDMF - правилен петоъгълник). По косинусовата теорема за тристенния ъгъл ABCD имаме: . Като се има предвид това, стигаме докъде. По този начин двустенният ъгъл при ръба на икосаедъра е равен.

И така, получаваме следната таблица със стойности на двустенни ъгли в ръбовете на правилните полиедри.

Преди да намерим обема на един или друг правилен многостен, първо обсъждаме как да намерим обема на правилните многостени в общ вид.

Опитайте се първо да докажете, че ако центърът на всяко лице на всеки правилен многостен е права линия, перпендикулярна на равнинататова лице, тогава всички начертани линии ще се пресичат в една точка О, отдалечени от всички лица на даден полиедър на същото разстояние, което означаваме с r. Точка Осе оказва център на сфера, вписана в даден полиедър, и r- неговият радиус. Чрез свързване на получената точка Ос всички върхове на даден многостен, ще го разделим на Г пирамиди, равни една на друга (Г е броят на лицата на правилния многостен): основите на образуваните пирамиди са r. Тогава обемът на този полиедър е равно на суматаобеми на всички тези пирамиди. Тъй като полиедърът е правилен, обемът му Vможе да се намери с помощта на формулата:

Остава да се намери дължината на радиуса r.

За да направите това, като свържете точката Осъс средата Да серъбовете на многостена, опитайте се да се уверите, че наклонените КОкъм лице на многостен, съдържащ ръб, сключва ъгъл с равнината на това лице, равен на половината от стойността на двустенния ъгъл при този ръб на многостена; проекцията е наклонена КОвърху равнината на това лице принадлежи на неговата апотема и е равен на радиуса на вписаната в него окръжност. Тогава

където p е полупериметърът на лицето. Тогава от (1) и (2) получаваме формула за изчисляване на техните обеми, общи за всички правилни полиедри:

Тази формула е напълно ненужна за намиране на обемите на куб, правилен тетраедър и октаедър, но улеснява намирането на обемите на правилен икосаедър и додекаедър.