Многостен, чиито лица са четири правилни триъгълника. Правилни полиедри

Целта на урока:

1. Въведете понятието правилни полиедри.
2. Помислете за видовете правилни полиедри.
3. Разрешаване на проблем.
4. Да внуши интерес към темата, да научи да вижда красотата в геометричните тела, развитието на пространственото въображение.
5. Междупредметни комуникации.

Видимост:маси, модели.

По време на часовете

I. Организационен момент.Информирайте темата на урока, формулирайте целите на урока.

II. Учене на нов материал/

Предлага се в училищната геометрия специални теми, който очаквате с нетърпение, очаквайки среща с невероятно красив материал. Тези теми включват „Правилни полиедри“. Тук се отваря не само прекрасният свят на геометрични тела с уникални свойства, но и интересни научни хипотези. И тогава урокът по геометрия се превръща в нещо като изучаване на неочаквани аспекти на обичайния училищен предмет.

Никое от геометричните тела не притежава такова съвършенство и красота като правилните полиедри. „Правилните полиедри са предизвикателно малко“, пише веднъж Л. Карол, „но този отряд, който е много скромен по брой, успя да навлезе в самите дълбини на различни науки.“

Определение правилен многостен.

Полиедърът се нарича правилен, ако:

1. тя е изпъкнала;
2. всичките му лица са равни едно на друго правилни многоъгълници;
3. се събира във всеки свой връх същото числоребра;
4. всичките му двустенни ъгли са равни.

Теорема:Има пет различни (до подобие) типа правилни полиедри: правилен тетраедър, правилен хексаедър (куб), правилен октаедър, правилен додекаедър и правилен икозаедър.

Маса 1.Някои свойства на правилните полиедри са дадени в следващата таблица.

Тип лице	плосък ъгъл в горната част	Изглед на многостенния ъгъл на върха	Сумата от плоските ъгли при върха	AT	Р	Ж	Името на многостена
правоъгълен триъгълник	60º	3-странен	180º	4	6	4	правилен тетраедър
правоъгълен триъгълник	60º	4-странен	240º	6	12	8	Правилен октаедър
правоъгълен триъгълник	60º	5-странен	300º	12	30	20	Правилен икосаедър
Квадрат	90º	3-странен	270º	8	12	6	Правилен хексаедър (куб)
правоъгълен триъгълник	108º	3-странен	324º	20	30	12	Правилен додекаедър

Помислете за видовете полиедри:

правилен тетраедър

<Рис. 1>

Правилен октаедър

<Рис. 2>

Правилен икосаедър

<Рис. 3>

Правилен хексаедър (куб)

<Рис. 4>

Правилен додекаедър

<Рис. 5>

Таблица 2. Формули за намиране на обеми на правилни многостени.

Тип полиедър	Обем на полиедър
правилен тетраедър
Правилен октаедър
Правилен икосаедър
Правилен хексаедър (куб)
Правилен додекаедър

„Платонови тела“.

Кубът и октаедърът са дуални, т.е. се получават едно от друго, ако центроидите на лицата на едното се приемат за върхове на другото и обратно. Додекаедърът и икосаедърът са двойствени по подобен начин. Тетраедърът е двойствен на себе си. Правилен додекаедър се получава от куб чрез конструиране на „покриви“ върху лицата му (метод на Евклид), върховете на тетраедър са всеки четири върха на куба, които не са съседни по двойки по ръба. Така от куба се получават всички други правилни многостени. Самият факт за съществуването само на пет наистина правилни полиедъра е удивителен - все пак в равнината има безкрайно много правилни многоъгълници!

Всички правилни полиедри са били известни още през Древна Гърция, като на тях е посветена последната, XII книга от известните начала на Евклид. Тези полиедри често се наричат ​​еднакви Платонови телав идеалистичната картина на света, дадена от великия древногръцки мислител Платон. Четири от тях олицетворяват четирите елемента: тетраедър-огън, куб-земя, икосаедър-вода и октаедър-въздух; петият полиедър, додекаедърът, символизира цялата вселена. На латински започват да го наричат ​​quinta essentia („петата същност“).

Очевидно не е било трудно да се измисли правилният тетраедър, куб, октаедър, особено след като тези форми имат естествени кристали, например: кубът е единичен кристал трапезна сол(NaCl), октаедър - единичен кристал от калиева стипца ((KAlSO 4) 2 l2H 2 O). Има предположение, че древните гърци са получили формата на додекаедъра, като са разглеждали кристали от пирит (серен пирит FeS). Имайки същия додекаедър, не е трудно да се изгради икосаедър: неговите върхове ще бъдат центровете на 12 лица на додекаедъра.

Къде другаде можете да видите тези невероятни тела?

В една много красива книга на немския биолог от началото на нашия век Е. Хекел „Красотата на формите в природата” могат да се прочетат следните редове: „Природата храни в лоното си неизчерпаемо количество невероятни съществакоито по красота и разнообразие далеч надминават всички форми, създадени от изкуството на човека. Творенията на природата в тази книга са красиви и симетрични. Това е неразделно свойство на природната хармония. Но тук можете да видите едноклетъчни организми- feodarii, чиято форма точно предава икосаедъра. Какво причини тази естествена геометризация? Може би защото от всички полиедри с еднакъв брой лица икосаедърът има най-голям обем и най-малка повърхност. то геометрично свойствопомага на морския микроорганизъм да преодолее налягането на водния стълб.

Интересен е и фактът, че именно икосаедърът се оказва в центъра на вниманието на биолозите в споровете им относно формата на вирусите. Вирусът не може да бъде идеално кръгъл, както се смяташе досега. За да установят формата му, те взеха различни полиедри, насочиха светлина към тях под същите ъгли, под които протича потокът от атоми към вируса. Оказа се, че споменатите по-горе свойства позволяват запазването на генетична информация. Правилните полиедри са най-печелившите фигури. И природата се възползва от това. Правилните полиедри определят формата на кристалните решетки на някои химически вещества. Следващата задача ще илюстрира тази идея.

Задача.Моделът на метановата молекула CH 4 има формата на правилен тетраедър, с водородни атоми в четири върха и въглероден атом в центъра. Определете ъгъла на свързване между две CH връзки.

<Рис. 6>

Решение.Тъй като правилният тетраедър има шест равни ръба, е възможно да се избере куб така, че диагоналите на лицата му да са ръбовете на правилен тетраедър. Центърът на куба е и център на тетраедъра, тъй като четирите върха на тетраедъра са и върховете на куба, а описаната около тях сфера се определя еднозначно от четири точки, които не лежат в една и съща равнина.

Триъгълник AOC е равнобедрен. Следователно a е страната на куба, d е дължината на диагонала на страничната повърхност или ръба на тетраедъра. И така, a = 54,73561 0 и j = 109,47 0

Задача.В куб с един връх (D) са начертани диагонали на лица DA, DB и DC и техните краища са свързани с прави линии. Докажете, че многогранникът DABC, образуван от четири равнини, минаващи през тези прави, е правилен тетраедър.

<Рис. 7>

Задача.Ръбът на куба е а.Да се ​​изчисли повърхнина на вписан в нея правилен октаедър. Намерете връзката му с повърхността на правилен тетраедър, вписан в същия куб.

<Рис. 8>

Обобщение на понятието многостен.

Полиедърът е колекция от краен брой равнинни многоъгълници, така че:

1. всяка страна на който и да е от полигоните е в същото време страна на другата (но само една (наречена съседна на първата) по тази страна);
2. от който и да е многоъгълник, съставляващ полиедъра, може да се стигне до всеки от тях, като се премине към съседния, а от този, на свой ред, към съседния и т.н.

Тези многоъгълници се наричат ​​лица, техните страни се наричат ​​ръбове, а върховете им са върховете на многостена.

Горната дефиниция на полиедър получава различен смисълв зависимост от това как дефинирате многоъгълника:

- ако многоъгълник се разбира като плоски затворени начупени линии (въпреки че те се пресичат), тогава те стигат до това определениеполиедър;

- ако многоъгълник се разбира като част от равнина, ограничена от прекъснати линии, тогава от тази гледна точка полиедърът се разбира като повърхност, съставена от многоъгълни части. Ако тази повърхност не пресича сама себе си, тогава тя е пълната повърхност на някои геометрично тяло, който също се нарича полиедър. Оттук възниква трета гледна точка върху полиедрите като геометрични тела и също така се допуска тези тела да имат „дупки“, ограничени от крайно числоплоски ръбове.

Най-простите примери за полиедри са призми и пирамиди.

Полиедърът се нарича н-въглища пирамида, ако има едно от лицата си (основа) всяко н-квадрат, а останалите лица са триъгълници с общ връх, който не лежи в равнината на основата. Триъгълната пирамида се нарича още тетраедър.

Полиедърът се нарича н- въглищна призма, ако има две от лицата (основите) равни н-ъгълници (не лежащи в една и съща равнина), получени един от друг чрез паралелен превод, а останалите лица са паралелограми, противоположни страникоито са съответните страни на основите.

За всеки политоп от род нула характеристиката на Ойлер (броят на върховете минус броя на ръбовете плюс броя на лицата) е равна на две; символично: V - P + G = 2 (теорема на Ойлер). За полиедър от рода стрвръзката B - R + G \u003d 2 - 2 стр.

Изпъкнал полиедър е многостен, който лежи от едната страна на равнината на всяко от лицата си. Най-важните са следните изпъкнали полиедри:

<Рис. 9>

1. правилни полиедри (тела на Платон) - такива изпъкнали полиедри, всички лица на които са еднакви правилни многоъгълници и всички многостенни ъгли при върховете са правилни и равни<Рис. 9, № 1-5>;
2. изогони и изоедри - изпъкнали многостени, всички многостенни ъгли на които са равни (изогони) или равни на всички лица (изоедри); освен това, групата от завъртания (с отражения) на изогон (изоедър) около центъра на тежестта отвежда който и да е от неговите върхове (лица) към който и да е от другите му върхове (лица). Получените по този начин полиедри се наричат ​​полуправилни многостени (архимедови тела)<Рис. 9, № 10-25>;
3. паралелоедри (изпъкнали) - полиедри, разглеждани като тела, чрез успоредно пресичане на които е възможно да се запълни цялото безкрайно пространство, така че да не влизат един в друг и да не оставят празнини помежду си, т.е. формира разделение на пространството<Рис. 9, № 26-30>;
4. Ако под многоъгълник разбираме плоски затворени начупени линии (дори и да са самопресичащи се), тогава могат да се посочат още 4 неизпъкнали (звездовидни) правилни полиедъра (тела на Поансо). В тези полиедри или лицата се пресичат помежду си, или лицата са самопресичащи се многоъгълници.<Рис. 9, № 6-9>.

III. Домашна работа.

IV. Решаване на задачи No279, No281.

V. Обобщаване.

Списък на използваната литература:

1. „Математическа енциклопедия“, ред И. М. Виноградова,издателство " Съветска енциклопедия”, Москва, 1985. Том 4, стр. 552–553 Том 3, стр. 708–711.
2. „Малка математическа енциклопедия“, Е. Фрид, И. Пастор, И. Реймани др., Издателство на Унгарската академия на науките, Будапеща, 1976 г. Стр. 264–267.
3. „Колекция от задачи по математика за кандидатстващи в университети“ в две книги, под редакцията на M.I. Сканави, книга 2 - Геометрия, издателство " висше училище”, Москва, 1998. С. 45–50.
4. “Работилнициматематика: Урокза техникуми”, издателство “Высшая школа”, Москва, 1979 г. Стр. 388–395, стр. 405.
5. “Повторна математика”, изд. 2–6, доп., Учебник за кандидатстващи в университети, издателство “Высшая школа”, Москва, 1974 г. Стр. 446–447.
6. енциклопедичен речникмлад математик, А. П. Савин,издателство "Педагогика", Москва, 1989 г. Стр. 197–199.
7. „Енциклопедия за деца. Т.П. математика", Главен редактор М. Д. Аксенова; метод, и респ. редактор В. А. Володин, издателство Аванта+, Москва, 2003 г. Стр. 338–340.
8. Геометрия, 10–11: Учебник за образователни институции/ Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцеви други - 10-то издание - М .: Образование, 2001. Стр. 68–71.
9. “Квант” № 9, 11 - 1983 г., № 12 - 1987 г., № 11, 12 - 1988 г., № 6, 7, 8 - 1989 г. Популярно научно-математическо списание на Академията на науките на СССР и Академия педагогически наукиСССР. Издателство "Наука". Основното издание на физико-математическата литература. Страница 5-9, 6-12, 7-9, 10, 4-8, 13, 16, 58.
10. Разрешаване на проблем повишена сложностпо геометрия: 11 клас - М .: АРКТИ, 2002. Стр. 9, 19–20.

Правилни изпъкнали полиедри се наричат, всички лица на които са еднакви правилни многоъгълници и същият брой лица се събират във всеки връх. Такива полиедри се наричат ​​още Платонови тела.

Има само пет правилни полиедра:

Образ	Тип правилен многостен	Броят на страните на лицето	Брой ръбове, съседни на връх	Общ брой върхове	общ брой ръбове	Общ брой лица
Тетраедър
Хексаедър или куб
додекаедър
икосаедър

Името на всеки полиедър идва от Гръцко имеброя на лицата му и думата "ръб".

Тетраедър

Тетраедърът (на гръцки fefsbedspn - четиристен) е многостен с четири триъгълни стени, във всеки от върховете на които се събират по 3 стени. Тетраедърът има 4 лица, 4 върха и 6 ръба.

Свойства на тетраедър

Паралелни равнини, минаващи през двойки пресичащи се ръбове на тетраедъра, определят паралелепипеда, описан близо до тетраедъра.

Отсечката, свързваща върха на тетраедъра с пресечната точка на медианите на противоположното лице, се нарича негова медиана, изпусната от този връх.

Сегментът, свързващ средите на пресичащите се ръбове на тетраедър, се нарича неговата бимедиана, която свързва тези ръбове.

Отсечката, свързваща връх с точка от срещуположното лице и перпендикулярна на това лице, се нарича неговата височина от дадения връх.

Теорема.Всички медиани и бимедиани на тетраедър се пресичат в една точка. Тази точка разделя медианите в съотношение 3:1, като се брои отгоре. Тази точка разполовява бимедианите.

Разпределете:

• Изоедърен тетраедър, в който всички лица са триъгълници, равни един на друг;
• · ортоцентричен тетраедър, в който всички височини, спуснати от върхове до противоположни стени, се пресичат в една точка;
• правоъгълен тетраедър, в който всички ръбове, съседни на един от върховете, са перпендикулярни един на друг;
• правилен тетраедър, в който всички лица са равностранни триъгълници;
• рамков тетраедър - тетраедър, който отговаря на някое от следните условия:
• · Има сфера, докосваща всички краища.
• · Сумите от дължините на пресичащите се ръбове са равни.
• · Сумите на двустенните ъгли при противоположните ръбове са равни.
• Окръжностите, вписани в лицата, се допират по двойки.
• · Всички четириъгълници, получени от развитието на тетраедър, са описани.
• · Перпендикуляри, повдигнати към лицата от центровете на вписаните в тях окръжности, се пресичат в една точка.
• съизмерим тетраедър, всички височини на който са равни;
• · инцентричен тетраедър, в който сегментите, свързващи върховете на тетраедъра с центровете на окръжности, вписани в противоположни страни, се пресичат в една точка.

Кубът или правилният хексаедър е правилен многостен, всяко лице на който е квадрат. специален случайпаралелепипед и призма.

Свойства на куба

• · Четири сечения на куба са правилни шестоъгълници - тези сечения минават през центъра на куба перпендикулярно на неговите четири основни диагонала.
• Тетраедърът може да бъде вписан в куб по два начина. И в двата случая четирите върха на тетраедъра ще бъдат подравнени с четирите върха на куба и всичките шест ръба на тетраедъра ще принадлежат към лицата на куба. В първия случай всички върхове на тетраедъра принадлежат на лицата на тристенния ъгъл, чийто връх съвпада с един от върховете на куба. Във втория случай по двойки пресичащи се ръбове на тетраедъра принадлежат на по двойки противоположни страни на куба. Такъв тетраедър е правилен.
• · Октаедър може да бъде вписан в куб, освен това всичките шест върха на октаедъра ще бъдат подравнени с центровете на шестте лица на куба.
• · Куб може да бъде вписан в октаедър, освен това всичките осем върха на куба ще бъдат разположени в центровете на осемте лица на октаедъра.
• · Икосаедър може да бъде вписан в куб, докато шест взаимно успоредни ръба на икосаедъра ще бъдат разположени съответно на шест страни на куба, останалите 24 ръба са вътре в куба. Всичките дванадесет върха на икосаедъра ще лежат върху шестте лица на куба.

Диагоналът на куб е сегмент, който свързва два върха, които са симетрични спрямо центъра на куба. Диагоналът на куб се намира по формулата

полиедър икосаедър октаедър додекаедър

където d е диагоналът, а a е ръбът на куба.

Октаедър

Октаедър (гръцки pkfedspn, от гръцки pkfyu, „осем“ и гръцки Edsb – „основа“) е един от петте изпъкнали правилни многостени, така наречените платонови тела.

Октаедърът има 8 триъгълни лица, 12 ръба, 6 върха, 4 ръба се събират във всеки връх.

Ако дължината на ръба на октаедър е a, тогава неговата площ пълна повърхност(S) и обемът на октаедъра (V) се изчисляват по формулите:

Радиусът на сфера, описана около октаедър, е:

радиусът на сфера, вписана в октаедър, може да се изчисли по формулата:

Правилният октаедър има О симетрия, която е същата като тази на куба.

Октаедърът има форма на единична звезда. Октаедърът е открит от Леонардо да Винчи, след това, почти 100 години по-късно, преоткрит от Йоханес Кеплер и наречен от него Stella octangula - осмоъгълна звезда. Оттук тази форма има второто име "stella octangula на Кеплер".

Всъщност това е съединение от два тетраедъра

додекаедър

Додекаедър (от гръцки dudekb - дванадесет и edspn - лице), додекаедър - правилен многостен, съставен от дванадесет правилни петоъгълника. Всеки връх на додекаедъра е връх на три правилни петоъгълника.

Така додекаедърът има 12 лица (петоъгълни), 30 ръба и 20 върха (3 ръба се събират във всеки). Сумата от равнинните ъгли на всеки от 20-те върха е 324°.

Додекаедърът има 3 звезди: малък звездовиден додекаедър, голям додекаедър, голям звездовиден додекаедър (голям звездовиден додекаедър, крайна форма). Първите два от тях са открити от Кеплер (1619 г.), третият от Поансо (1809 г.). За разлика от октаедъра, която и да е от звездните форми на додекаедъра не е съединение на Платоновите тела, а образува нов полиедър.

Всичките 3 звезди на додекаедъра, заедно с големия икосаедър, образуват семейство тела на Кеплер-Поансо, тоест правилни неизпъкнали (звездовидни) полиедри.

Големите лица на додекаедъра са петоъгълници, които се събират по пет във всеки от върховете. Малките звездовидни и големите звездовидни додекаедри са обърнати към - пет лъчеви звезди(пентаграми), които в първия случай се събират с 5, а във втория с 3. Върховете на големия звездовиден додекаедър съвпадат с върховете на описания додекаедър. Всеки връх свързва три лица.

Основни формули:

Ако вземем a като дължина на ръба, тогава повърхността на додекаедъра е:

Обем на додекаедър:

Радиус на описаната сфера:

Радиус на вписаната сфера:

Елементи на симетрия на додекаедъра:

· Додекаедърът има център на симетрия и 15 оси на симетрия.

Всяка от осите минава през средните точки на противоположни успоредни ребра.

Додекаедърът има 15 равнини на симетрия. Всяка от равнините на симетрия минава във всяко лице през върха и средата на противоположния ръб.

икосаедър

Икосаедър (от гръцки eykpuht - двадесет; -edspn - лице, лице, основа) - правилно изпъкнал многостен, двадесетстранно, едно от Платоновите тела. Всяко от 20-те лица е равностранен триъгълник. Броят на ръбовете е 30, броят на върховете е 12.

Площта S, обемът V на икосаедър с дължина на ръба a, както и радиусите на вписаната и описаната сфера се изчисляват по формулите:

радиус на вписана сфера:

радиус на описаната сфера:

Имоти

• Икосаедър може да бъде вписан в куб, докато шест взаимно перпендикулярни ръба на икосаедъра ще бъдат разположени съответно на шест лица на куба, останалите 24 ръба вътре в куба, всичките дванадесет върха на икосаедъра ще лежат на шест лица на куба .
• · Тетраедър може да бъде вписан в икосаедър, освен това четири върха на тетраедъра ще бъдат комбинирани с четири върха на икосаедъра.
• · Икосаедър може да бъде вписан в додекаедър, докато върховете на икосаедъра ще бъдат подравнени с центровете на лицата на додекаедъра.
• · Додекаедър може да бъде вписан в икосаедър с подравняването на върховете на додекаедъра и центровете на лицата на икосаедъра.
• · Пресечен икосаедър може да се получи чрез отрязване на 12 върха, за да се образуват лица под формата на правилни петоъгълници. В същото време броят на върховете на новия многостен се увеличава 5 пъти (12?5=60), 20 триъгълни лица се превръщат в правилни шестоъгълници (общият брой лица става 20+12=32), а броят на ръбовете нараства до 30+12?5=90.

Икосаедърът има 59 звезди, от които 32 имат пълна и 27 непълна икосаедрична симетрия. Една от тези звездовидни звезди (20-та, мод. 41 според Wenninger), наречена голям икосаедър, е един от четирите правилни звездовидни многостени на Кеплер-Поансо. Неговите лица са правилни триъгълници, които се събират във всеки връх пет; това свойство се споделя от големия икосаедър с икосаедъра.

Сред звездните форми има още: съединение от пет октаедра, съединение от пет тетраедра, съединение от десет тетраедра.

За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт в Google (акаунт) и влезте: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Многостени. Върхове, ръбове, лица на многостен. ТЕОРЕМА НА ОЙЛЕР. 10 клас Изпълнител: Кайгородова С.В.

Правилен многостен е този, в който всички лица са правилни многоъгълници и всички многостенни ъгли във върховете са равни.

От древни времена на човека са известни пет невероятни полиедра.

Според броя на лицата те се наричат ​​правилен тетраедър.

хексаедър (хексахедър) или куб

октаедър (октаедър)

додекаедър (додекаедър)

икосаедър (двадесетстранен)

Развитие на правилни многостени

Исторически контекст Четири есенции на природата са били известни на човечеството: огън, вода, земя и въздух. Според Платон техните атоми изглеждали като правилни многостени.Великият древногръцки философ Платон, живял през 4 - 5в. пр.н.е., вярвали, че тези тела олицетворяват същността на природата.

атомът на огъня изглеждаше като тетраедър, земята - на хексаедър (куб) от въздух - октаедър на вода - икосаедър

Но имаше додекаедър, на който нямаше съответствие Платон предполагаше, че има още една (пета) същност. Той го нарече световен етер. Атомите на тази пета есенция изглеждаха като додекаедър. Платон и неговите ученици в техните произведения голямо вниманиедадени на изброените полиедри. Следователно тези полиедри се наричат ​​още платонови тела.

За всеки изпъкнал многостен е вярна връзката: Г+В-Р=2, където Г е броят на лицата, В е броят на върховете, Р е броят на ръбовете на дадения многостен. Лица + Върхове - Ръба = 2. Теорема на Ойлер

Характеристики на правилните полиедри Многостен Брой страни на лицето Брой лица, събиращи се във всеки връх Брой лица (G) Брой ръбове (P) Брой върхове (V) Тетраедър 3 3 4 6 4 Хексаедър 4 3 6 12 8 Октаедър 3 4 8 12 6 Икосаедър 3 5 20 30 12 Додекаедър 5 3 12 30 20

Двойственост на правилните полиедри Хексаедър (куб) и октаедър образуват двойна двойка полиедри. Броят на лицата на един многостен е равен на броя на върховете на другия и обратно.

Вземете произволен куб и помислете за многостен с върхове в центровете на лицата му. Както можете лесно да видите, получаваме октаедър.

Центровете на лицата на октаедъра служат като върхове на куба.

Натриевият антимон сулфат е тетраедър. Полиедрите в природата, химията и биологията Кристалите на някои от познатите ни вещества имат формата на правилни многостени. Кристал пирит - естествен модел додекаедър. Кристалите на солта предават формата на куб. Единичен кристал от алуминиево-калиева стипца има формата на октаедър. Кристал (призма) Икосаедърът е бил в центъра на вниманието на биолозите в техните спорове относно формата на вирусите. Вирусът не може да бъде идеално кръгъл, както се смяташе досега. За да установят формата му, те взеха различни полиедри, насочиха светлина към тях под същите ъгли, под които протича потокът от атоми към вируса. Оказа се, че само един полиедър дава абсолютно същата сянка - икосаедърът. В процеса на делене на яйцето първо се образува тетраедър от четири клетки, след това октаедър, куб и накрая додекаедрично-икозаедрична структура на гаструлата. И накрая, може би най-важното, структурата на ДНК генетичен кодживот - е четириизмерен размах (по времевата ос) на въртящ се додекаедър! В молекулата на метана той има формата на правилен тетраедър.

Полиедри в изкуството "Портрет на Монна Лиза" Композицията на картината се основава на златни триъгълници, които са части от правилен звезден петоъгълник. гравюра "Меланхолия" На преден план на картината е додекаедър. "Тайната вечеря" Христос с неговите ученици е изобразен на фона на огромен прозрачен додекаедър.

Многостените в архитектурата на Музея на плодовете в Яманаши са създадени с помощта на триизмерно моделиране. Четиристепенната Спаска кула с Неръкотворния храм на Спасителя е главният вход на Казанския Кремъл. Построен през 16 век от псковските архитекти Иван Ширяй и Постник Яковлев, по прякор "Барма". Четирите нива на кулата са куб, полиедри и пирамида. Спаската кула на Кремъл. Музей на плодовете на фара на Александрийските пирамиди

AT училищна програма, за съжаление, сферичната геометрия и геометрията на Лобачевски не се изучават. Междувременно изучаването им заедно с евклидовата геометрия позволява по-задълбочено разбиране на случващото се с обектите. Например, за да се разбере връзката между правилните полиедри и подложките на сферата, подложките на Евклидовата равнина и подложките на равнината на Лобачевски.
Познаването на геометрията на пространствата с постоянна кривина помага да се издигнем над триизмерността и да разкрием полиедри в пространства с измерение 4 и по-високо. Въпроси за намиране на полиедри, намиране на дялове на пространства с постоянна кривина, извеждане на формула двустенен ъгълправилен многостен в n-мерно пространство- са толкова тясно преплетени, че се оказа проблематично да се постави всичко в заглавието на статията. Нека фокусът е върху ясни, правилни полиедри, въпреки че те не са само резултат от всички изводи, но също така, в същото време, инструмент за разбиране на пространства с по-високи измерения и равномерно извити пространства.

За тези, които не знаят (забравили), информирам (напомням), че в познатото ни триизмерно евклидово пространство има само пет правилни полиедъра:

1. Тетраедър:	2. Куб:	3. Октаедър:	4. Додекаедър:	5. Икосаедър:

AT триизмерно пространствоПравилен многостен е изпъкнал многостен, в който всички върхове са равни един на друг, всички ръбове са равни помежду си, всички лица са равни едно на друго и лицата са правилни многоъгълници.

Правилен многоъгълник е изпъкнал многоъгълник, в която всички страни са равни една на друга и всички ъгли са равни помежду си.

Върховете са равни един на друг, което означава, че броят на ръбовете и броят на лицата, приближаващи всеки връх, е еднакъв и те се приближават под еднакви ъгли във всеки връх.

В такава нотация нашите полиедри ще получат обозначенията:
1. Тетраедър (3, 3),
2. Куб (4, 3),
3. Октаедър (3, 4),
4. Додекаедър (5, 3),
5. Икосаедър (3, 5)
Например, (4, 3) - кубът има 4 ъглови лица, 3 такива лица се събират във всеки връх.
В октаедъра (3, 4), напротив, лицата са 3 въглища, събират 4 парчета на върха.
По този начин символът на Schläfli напълно определя комбинаторната структура на полиедър.

Защо има само 5 правилни многостена? Може би има още?

За да се даде пълен отговор на този въпрос, първо трябва да се получи интуиция за геометрията на сферата и на равнината на Лобачевски. За тези, които все още нямат такава идея, ще се опитам да дам необходимите разяснения.

Сфера

1. Какво е точка върху сфера? Мисля, че е интуитивно за всеки. Психически не е трудно да си представим точка върху сфера.

2. Какво е отсечка върху сфера? Вземете две точки и ги свържете най-късото разстояниевърху сферата получавате дъга, ако погледнете сферата отстрани.

3. Ако продължите този сегмент в двете посоки, тогава той ще се затвори и ще получите кръг. В този случай равнината на окръжността съдържа центъра на сферата, това следва от факта, че сме свързали двете начални точки с най-късото, а не произволно разстояние. Отстрани изглежда като кръг, но от гледна точка на сферичната геометрия е права линия, тъй като е получена от сегмент, продължаващ до безкрайност в двете посоки.

4. И накрая, какво е триъгълник върху сфера? Вземаме три точки на сферата и ги свързваме с сегменти.

По аналогия с триъгълник можете да нарисувате произволен многоъгълник върху сфера. За нас е фундаментално важно свойство на сферичен триъгълник, което се състои в това, че сумата от ъглите на такъв триъгълник е повече от 180 градуса, с които сме свикнали в евклидовия триъгълник. Освен това сборът от ъглите на два различни сферични триъгълника е различен. Колкото по-голям е триъгълникът, толкова ПО-ГОЛЯМ е сборът от неговите ъгли.

Съответно се появява 4-ти знак за равенство на триъгълници върху сферата - под три ъгъла: два сферични триъгълника са равни един на друг, ако съответните им ъгли са равни.

За простота е по-лесно да не рисувате самата сфера, тогава триъгълникът ще изглежда малко раздут:

Сфера се нарича още пространство с постоянна положителна кривина. Кривината на пространството просто води до факта, че най-късото разстояние е дъга, а не познат ни сегмент от права линия. Сегментът изглежда извит.

Лобачевски

Сега, след като се запознахме с геометрията на сферата, няма да е трудно да разберем геометрията на хиперболичната равнина, открита от великия руски учен Николай Иванович Лобачевски, тъй като тук всичко се случва по същия начин като сферата, само че „отвътре навън“, „обратно“. Ако начертахме дъги върху сферата с кръгове, с център вътре в сферата, сега дъгите трябва да бъдат начертани с кръгове с център извън сферата.

Да започваме. Ще представим равнината на Лобачевски в интерпретацията на Поанкаре II (Жул Анри Поанкаре, великият френски учен), тази интерпретация на геометрията на Лобачевски се нарича още диск на Поанкаре.

1. Точка в равнината на Лобачевски. Точката също е точка в Африка.

2. Отсечка на равнината на Лобачевски. Свързваме две точки с линия по най-късото разстояние в смисъла на равнината на Лобачевски.

Най-късото разстояние се начертава, както следва:

Необходимо е да се начертае окръжност, ортогонална на диска на Поанкаре през дадените две точки (Z и V на фигурата). Центърът на този кръг винаги ще бъде извън диска. Дъгата, свързваща първоначалните две точки, ще бъде най-късото разстояние в смисъла на равнината на Лобачевски.

3. Премахвайки спомагателните дъги, получаваме правата линия E1 - H1 в равнината на Лобачевски.

Точките E1, H1 "лежат" на безкрайността на равнината на Лобачевски, като цяло ръбът на диска на Поанкаре е безкраен отдалечени точкисамолети Лобачевски.

4. И накрая, какво е триъгълник в равнината на Лобачевски? Взимаме три точки и ги свързваме с отсечки.

По аналогия с триъгълник можете да нарисувате произволен многоъгълник на равнината на Лобачевски. За нас собствеността хиперболичен триъгълник, което се състои в това, че сумата от ъглите на такъв триъгълник винаги е по-малка от 180 градуса, с които сме свикнали в евклидовия триъгълник. Освен това сборът от ъглите на два различни хиперболични триъгълника е различен. Колкото по-голяма е площта на триъгълника, толкова ПО-МАЛКА е сумата от ъглите му.

Съответно тук има и 4-ти знак за равенство на хиперболичните триъгълници - при три ъгъла: два хиперболични триъгълника са равни един на друг, ако съответните им ъгли са равни.

За простота самият диск на Поанкаре понякога може да бъде пропуснат, тогава триъгълникът ще изглежда малко „свит“, „издухан“:

Равнината на Лобачевски (и като цяло пространството на Лобачевски от всяко измерение) се нарича още пространство на константа ОТРИЦАТЕЛНА кривина. Кривината на пространството просто води до факта, че най-късото разстояние е дъга, а не познат ни сегмент от права линия. Сегментът изглежда извит.

Правилни дялове на двумерната сфера и правилните тримерни полиедри

Всичко казано за сферата и равнината на Лобачевски се отнася до двуизмерността, т.е. повърхността на една сфера е двуизмерна. Какво общо има това с посочената в заглавието на статията триизмерност? Оказва се, че всеки тримерен правилен евклидов полиедър съответства едно към едно на собственото си дялане на двумерната сфера. Това се вижда най-добре на фигурата:

За да се получи преграда на сфера от правилен многостен, е необходимо да се опише сфера около многостена. Върховете на полиедъра ще бъдат на повърхността на сферата, свързвайки тези точки със сегменти на сферата (дъги), ще получим разделяне на двуизмерна сфера на правилни сферични многоъгълници. Например, беше направена видео демонстрация как икосаедърът съответства на разделянето на сфера на сферични триъгълници и обратно, как разделянето на сфера на сферични триъгълници, събиращи се по пет в един връх, съответства на икосаедър.

За да се изгради полиедър от дял на сфера, върховете на дяла, съответстващи на дъгите, трябва да бъдат свързани с обикновени, праволинейни, евклидови сегменти.

Съответно символът на Schläfli на икосаедъра (3, 5) - триъгълници, събиращи се пет части на върха, определя не само структурата на този полиедър, но и структурата на разделянето на двуизмерна сфера. Подобно на други политопи, техните символи на Schläfli също определят структурата на съответните дялове. Освен това разделянето на евклидовата равнина и равнината на Лобачевски в правилни многоъгълници също може да бъде определено чрез символа на Schläfli. Например, (4, 4) - четириъгълници, събиращи се в четири - това е обичайната тетрадка с квадратчета за всички нас, т.е. е разделяне на равнината на Евклид на квадрати. Има ли други дялове на равнината на Евклид? Ще видим по-нататък.

Изграждане на дялове на двумерна сфера, равнината на Евклид и равнината на Лобачевски

За конструиране на дялове на двумерни пространства с постоянна кривина (това е често срещано иметези три интервала) имаме нужда от геометрия в началното училище и знанието, че сумата от ъглите на сферичен триъгълник е по-голяма от 180 градуса (по-голяма от Pi), че сумата от ъглите на хиперболичен триъгълник е по-малка от 180 градуса (по-малка от Pi) , и какво е символът Schläfli. Всичко това вече беше казано по-горе.

И така, нека вземем произволен символ на Schläfli (p1, p2), той определя дял на едно от трите пространства с постоянна кривина (това е вярно за равнина, за пространства с по-високи измерения ситуацията е по-сложна, но нищо не ни пречи от изследване на всички комбинации от символа).

Помислете за правилен p1-ъгълник, начертайте сегменти, свързващи центъра и върховете му. Вземете p1 парчета равнобедрен триъгълник(на фигурата е показан само един такъв триъгълник). Означаваме сумата от ъглите на всеки от тези триъгълници като t и изразяваме t чрез pi и ламбда коефициента.

Тогава, ако lamda = 1, тогава евклидовият триъгълник, т.е. е в евклидовата равнина, ако ламбда е в интервала (1, 3), тогава това означава, че сумата от ъглите е по-голяма от pi и това означава, че този триъгълник е сферичен (не е трудно да си представим, че с увеличаване на сферичния триъгълник в границата се получава кръг с три точки върху него, във всяка точка ъгълът на триъгълника се оказва равен на pi, а общо 3 * pi , Това обяснява горната граница на интервалът = 3). Ако ламбда е в интервала (0, 1), тогава триъгълникът е хиперболичен, тъй като сборът от неговите ъгли е по-малък от pi (тоест по-малък от 180 градуса). Накратко това може да се напише по следния начин:

От друга страна, за сближаването във върха p2 на части (т.е. цяло число) от едни и същи многоъгълници е необходимо, че

Приравняване на изразите за 2*betta, получени от условието за конвергенция и от многоъгълника:

Получихме уравнение, което показва кое от трите интервала се разделя фигурата, дадена от нейния символ Шлефли (p1, p2). За да се реши това уравнение, трябва също да се помни, че p1, p2 са цели числа, по-големи или равни на 3. Това, така да се каже, следва от техните физически смисъл, тъй като това са p1 ъгли (поне 3 ъгъла), събиращи се в p2 части във върха (също поне 3, в противен случай няма да бъде връх).

Решението на това уравнение е да се итерират всички възможни стойности за p1, p2 по-големи или равни на 3 и да се изчисли ламбда стойността. Ако се окаже, че е равно на 1, тогава (p1, p2) разделя евклидовата равнина, ако е по-голямо от 1, но по-малко от 3, тогава това е разделяне на сферата, ако от 0 до 1, тогава това е разцепване на равнината на Лобачевски. Всички тези изчисления са удобно обобщени в таблица.

Къде можете да видите това:
1. Само 5 решения отговарят на сферата, когато lamda е по-голямо от 1 и по-малко от 3, те се маркират в зеленона масата. Това са: (3, 3) - тетраедър, (3, 4) - октаедър, (3, 5) - икосаедър, (4, 3) - куб, (5, 3) - додекаедър. Техните снимки бяха представени в началото на статията.
2. Разделенията на евклидовата равнина отговарят само на три решения, когато lamda = 1, те са маркирани в синьо в таблицата. Ето как изглеждат тези раздели.

3. И накрая, всички други комбинации (p1, p2) съответстват на дялове на равнината на Лобачевски, съответно има безкраен (изброим) брой такива дялове. Остава само да илюстрираме някои от тях, напр.

Резултати

По този начин има само 5 правилни полиедра, те съответстват на пет дяла на двумерна сфера, има само 3 дяла на евклидовата равнина и има изброим брой дялове на равнината на Лобачевски.
Какво е приложението на това знание?

Има хора, които са пряко заинтересовани от разделянето на сферата.