Многомерна безусловна оптимизация (методи от първи и нулев ред). Числени методи за намиране на екстремума на функции на няколко променливи

Анотация: Тази лекция разглежда основните методи за решаване на проблеми с многомерна оптимизация, по-специално като метода на Hook-Jeeves, метода на Nelder-Mead, метода на изчерпателното търсене (метод на мрежата), метода на координатно спускане, метода на градиентно спускане.

Досега обсъждахме едномерни задачи за оптимизация, при които целевата функция зависи само от един аргумент. Въпреки това, огромното мнозинство реални задачиоптимизациите от практически интерес са многомерни: при тях целевата функция зависи от няколко аргумента, като понякога техният брой може да бъде много голям.

Математическата формулировка на такива проблеми е подобна на тяхната формулировка в едномерния случай: търси се най-малката (най-голямата) стойност на целевата функция, определена на определен набор G от възможни стойности на нейните аргументи.

Както и в едномерния случай, естеството на проблема и съответно възможните методи за решение зависят по същество от информацията за целевата функция, която ни е достъпна в процеса на нейното изучаване. В някои случаи целевата функция се дава с аналитична формула, като същевременно е диференцируема функция. След това можете да изчислите неговите частични производни, да получите явен израз за градиента, който определя посоката на нарастване и намаляване на функцията във всяка точка, и да използвате тази информация, за да решите проблема. В други случаи няма формула за целевата функция, а е възможно само да се определи нейната стойност във всяка точка от разглежданата област (чрез изчисления, в резултат на експеримент и т.н.). В такива задачи, в процеса на решаване, всъщност можем да намерим стойностите на целевата функция само в крайно числоточки, като от тази информация се изисква приблизителното му установяване най-малка стойностза целия регион.

1. Метод на Хук-Джийвс

Този метод е разработен през 1961 г., но все още е много ефективен и оригинален. Търсенето се състои от поредица от проучвателни стъпки на търсене около референтна точка, последвани, ако са успешни, от търсене по модел.

Тази процедура е описана по-долу:

НО. Изберете начална базова точка b 1 и дължина на стъпката h j за всяка променлива x j , j = 1, 2, ..., n . Програмата по-долу използва стъпка h за всяка променлива, но горната модификация също може да бъде полезна.

б. Изчислете f(x) в базова точка b 1, за да получите информация за локалното поведение на функцията f(x) . Тази информация ще бъде използвана за намиране на подходяща посока на търсене на модел, която, надяваме се, може да постигне по-голям спад в стойността на функцията. Функцията f(x) в базовата точка b 1 се намира, както следва:

1. Изчислява се стойността на функцията f(b 1) в базовата точка b 1.

2. Всяка променлива на свой ред се променя чрез добавяне на дължината на крачката.

Така изчисляваме стойността на функцията f(b 1 + h 1 e 1) , където e 1 - единичен векторпо посока на оста x 1 . Ако това води до намаляване на стойността на функцията, тогава b 1 се заменя с b 1 + h 1 e 1 . В противен случай се изчислява стойността на функцията f(b 1 - h 1 e 1) и ако нейната стойност е намаляла, тогава b 1 се заменя с b 1 -h 1 e 1 . Ако нито една от предприетите стъпки не доведе до намаляване на стойността на функцията, тогава точката b 1 остава непроменена и се разглеждат промени в посоката на оста x 2, т.е. намира се стойността на функцията f(b 1 + h 2 e 2) и т.н. Когато се вземат предвид всички n променливи, ще имаме нова базова точка b 2 .

3. Ако b 2 = b 1 , т.е. не е постигнато намаляване на функцията, тогава изследването се повтаря около същата базова точка b 1, но с намалена дължина на стъпката. На практика е задоволително да намалите стъпката(ите) десет пъти от първоначалната дължина.

4. Ако , тогава моделът се търси.

AT. При търсене по шаблон се използва информацията, получена по време на изследването, а минимизирането на функцията се завършва чрез търсене в посоката, зададена от модела. Тази процедура се извършва, както следва:

1. Разумно е да се движите от базовата точка b 1 в посока b 2 - b 1 , тъй като търсенето в тази посока вече е довело до намаляване на стойността на функцията. Следователно изчисляваме функцията в точката на извадката

(1.1)

Задачите за оптимизация (намиране на най-доброто решение) не са най-популярните в средата на 1C neg. Наистина, едно е да се съобразяваш с изпълнението на каквито и да е решения, а съвсем друго е да се вземат същите тези решения. AT последно време, но ми се струва, че 1C се втурна да настигне конкурентите в този проблем. Наистина е вълнуващо да комбинирате всичко, от което един съвременен мениджър може да се нуждае под един покрив, настигайки SAP по този въпрос и заменяйки MS Project и други системи за планиране.

Въпреки това, говорейки за по-нататъшни начиниразвитието на 1C е тема за отделна публикация и дискусия, но засега съм замислил серия от статии, обясняващи и демонстриращи съвременни математически и алгоритмични подходи към многомерната нелинейна оптимизация или, ако желаете, механизми за намиране на решения. Всички статии ще бъдат придружени от демо обработка с универсални процедури и функции за многомерна оптимизация - зависи от вас да им намерите приложение, ако желаете или да вземете полезни знания и инструменти в баланса (само за тези, разбира се, които владеят тази статиядо края). честно обещавам висша математикаизразява най-много на разбираем езики с примери за това как тези ужасни формули могат да бъдат превърнати в програмно разрешими проблеми :) Да тръгваме ...

И така, първата тема е метод на градиентно спускане.

Обхватът на метода е всяка задача за намиране на масив от нпроменливи, които осигуряват минималната (максималната) стойност на целевата функция. В този случай целевата функция е функция на самите тях нпроменливи от най-произволен тип - единственото условие, наложено от метода върху целевата функция, е нейната непрекъснатост, поне в сегмента на търсене на решение. Непрекъснатостта на практика означава, че за всяка комбинация от стойности на променливи можете да намерите реалната стойност на целевата функция.

Нека въведем обозначението:

Много променливи Х,от които зависи стойността на целевата функция

И самата целева функция Z, изчислена по най-произволен начин от множеството х

Сега нека обясним какво е градиент. Градиентът е вектор в многомерно пространство, който показва посоката, в която дадена функция ще се увеличи най-много. Компонентите на градиента са диференциалите на всички функционални променливи З.

От тук следва основното ограничение на приложимостта на метода на градиентно спускане - диференцируемостта (непрекъснатостта) на функцията в цялата област на търсене на решение. Ако това условие е изпълнено, тогава търсенето оптимално решениечисто технически въпрос.

Класическият метод на градиентно спускане се прилага за минимизиране на целевата функция чрез антиградиент (т.е. вектор, противоположен на градиента), който се получава от градиента с най-много по прост начин- чрез умножаване по -1 на всички компоненти на градиента. Или в нотация:

Сега най-много основен въпрос: как можем да ги намерим дЗи dX1 , dX2и т.н.? Много просто! dXnе безкрайно малко увеличение на променливата xn, да речем 0,0001 от текущата му стойност. Или 0.0000000001 - най-важното е (увеличението) да е наистина малко :)

Как се изчислява dZ ? Също елементарно! Изчисли Зза набор от променливи хи след това променете променливата в този набор xnпо количеството dXn. Изчислете отново стойността на целевата функция Зза този леко модифициран комплект ( Zn) и намерете разликата - това ще бъде dZ = Zn - Z. Е, сега, ако знаем dXnи dZнамирам dZ/dXn по-лесно от задушена ряпа.

След като намерим последователно всички компоненти на градиента и антиградиента, получаваме посоката на промяна на променливите, която по възможно най-краткия начин ще ни позволи да достигнем минимума на функцията.

На следващия (k + 1) етап трябва да изчислите новите стойности на масива от променливи х. Очевидно, за да се доближи до минимума на целевата функция Зтрябва да коригираме стойностите хна предходния (k-ти) етап в посока на антиградиента по следната формула:

Остава да се справим с тази алфа във формулата. Защо е необходимо и откъде идва.

α - това е коефициентът, по който се умножава антиградиентът, за да се гарантира, че възможният минимум на функцията е достигнат в дадено направление. Сам по себе си градиентът или антиградиентът не е мярка за изместване на променлива, а само показва посоката на движение. геометричен смисълградиентът е наклонът на допирателната към функцията Зв точката xn(съотношението на противоположния крак dZкъм съседни dXn), но движейки се по допирателна, неизбежно ще се отклоняваме от линията на функцията до достигане на нейния минимум. Значението на тангентата е, че дава преобразуване под формата на директна произволна криволинейна функция в много тесен интервал - околността на точката xn .

Намиране на стойност на параметър α се извършва по един от методите на едномерната оптимизация. Променливи стойности (Х)знаем и знаем техните градиенти - остава да минимизираме целевата функция в близост до текущото решение по отношение на един единствен параметър: α .

Тук няма да се спирам на едномерната оптимизация - методите са доста прости за разбиране и изпълнение, мога само да кажа, че използвах метода на "златното сечение" в моето решение. ОДЗ за α е в диапазона от 0 до 1.

И така, обобщавайки написаното, формулираме последователност от стъпки за намиране на решение, използвайки метода на градиентно спускане:

1. Формираме първоначалното референтно решение чрез присвояване на необходимите променливи произволни стойностиот ОДЗ.
2. Намираме градиенти и антиградиенти за всяка променлива като съотношението на растежа на целевата функция с относително малко увеличение на стойността на променливата към стойността на нарастването на същата тази променлива.
3. Намираме коефициента α , по който трябва да се умножат антиградиентите, преди да се добави референтното решение към началните стойности чрез метода на едномерната оптимизация. Критерий за оптимизация - най-малката възможна стойност на целевата функция за стойностите, коригирани по този начин (Х).
4. Преброяване (Х)в съответствие с дадените стойности на антиградиенти и коефициент на срязване α .
5. Проверете дали е постигната необходимата точност ( ε ) изчисляване на минимума на целевата функция:

6. Ако условието е изпълнено и от етап на етап стойността на целевата функция се променя под зададения от нас критерий, това означава, че е постигната необходимата точност и текущият набор(Х) е решение на проблема,в противен случай преминете към стъпка 2.

Сега нека да преминем към практически проблем, който се решава при обработката.

Според условието на задачата е необходимо да се определи цената за определен продукт по такъв начин, че печалбата от продажбата му в плановия период да бъде максимална. В същото време трябва да се има предвид, че обемът на продажбите зависи от цената, която определяме, а покупната цена на стоките (влияеща върху брутната печалба) също зависи от обема на покупките на стоките: доставчикът е готови да предоставим отстъпки, колкото по-голям е обемът на нашите покупки. Тоест трябва да разберем, едновременно с определянето на цената, колко стоки можем да продадем и на каква цена, и следователно колко стоки трябва да закупим за това и тогава ще знаем каква ще бъде покупната цена . Като цяло, такава леко рекурсивна логика за намиране на решение :)

Най-важното нещо, което имаме, е непрекъснатостта на променливите (цена и обем на покупка / продажба) и целевата функция (винаги има печалба и може да приеме всякаква стойност, дори и да е с минус, тогава се нарича загуба), което означава, че методът на градиентно спускане е най-добрият.

За решаване на проблема този методсе прилага два пъти: на първия етап намираме параметрите на уравнението на търсенето на продукти въз основа на данни за продажби от предходни периоди. Тоест, приемайки някаква зависимост на търсенето от цената, ние изчисляваме стойностите на параметрите на тази зависимост, минимизирайки сумата от квадратните отклонения между изчислените и действителните данни за продажбите. На втория етап, използвайки намерените параметри на връзката между обема на продажбите и продажната цена, оптимизираме печалбата, използвайки същия метод на градиентно спускане, приложен поне към една променлива. Тъй като методът на градиентно спускане минимизира целевата функция и печалбата трябва да бъде максимизирана като нищо друго, ние използваме не-twial целева функция, наречена "MinusProfit", която прави точно това, че изчислява печалбата от получената стойност на цената и преди връщането му го умножава по -1 :) И работи! Сега, колкото по-малка става "минус печалбата", толкова по-голяма е всъщност най-реалната печалба от продажби.

Пример за решение в обработката, както и родова функциянамиране на решение чрез метода на градиентно спускане. Същността на универсалността е, че променливите (Х)му се предават като масив, а целевата функция се предава като низов параметър. Целевата функция, която приема масив от променливи и връща стойност, напишете себе си от всякакъв вид - основното е, че връща число. И такова число, че колкото по-малко е то, толкова по-близо до оптималното решение е дадения масив от аргументи.

Защо не донесох завършената процедура тук, а публикувах обработката? Първо, процедурата вече е дълга, и второ, без обективни функциине работи, така че трябва да плъзнете всичко и дори във взаимно свързване. Надявам се, че теорията, представена в статията, е напълно достатъчна, за да можете да приложите вашето решение, може би дори по по-добър начин от моя. Е, ако изобщо не се получи, изтеглете готовата обработка и я използвайте :)

Това всъщност е всичко. Въпроси, желания и коментари очаквайте в коментарите. Благодаря за вниманието.

Разгледайте методите за намиране на екстремума на функцията Р ( х ) няма активни ограничения. Прието е активни ограничения да се наричат ​​такива ограничения, на чиято граница има решение. Размер на стъпката  х във връзка с

х аз +1 = х аз +  х аз

изчислен с помощта на градиента на целевата функция Р ( х ), тези.

х аз =  ( градР ( х аз )),

в този случай стъпката може да се определи с помощта на градиент в една (текуща) или две (текуща и предишна) точки. Посоката на градиента, както знаете, показва посоката на най-бързото нарастване на функцията, а нейният модул е ​​скоростта на това нарастване.

Изчисляването на градиента предполага непрекъснатост на функция от много променливи

Методите за оптимизиране на търсенето съдържат определени параметри, които значително влияят върху ефективността на търсенето, в резултат на което един и същ метод може да даде напълно различни траектории на търсене. Следователно, за всички методи, разгледани по-долу, само една от възможните траектории е показана на фиг. 3.5.

Ориз. 3.5. Илюстрация на траектории за намиране на минимума на функция с градиент

методи:

1 - оптимално; 2 -- траектория на градиентния метод; 3 - траектория на метода

тежка топка; 4 - траектория на най-стръмния метод на спускане;

5 - траектория на метода на спрегнатия градиент;

Освен това за всички зададени траектории се избират различни начални условия, за да не се затрупват конструкциите. В тази и следващите фигури зависимостта Р ( х 1 , х 2 ) показани като линии на ниво в равнина в координати х 1 - х 2 .

Основни методи

градиентен метод.

Метод на градиента в чиста формаформите преминават през променливи като функция на градиента Р ( х ) в текущата точка на търсене. Най-простият алгоритъм за търсене минР ( х ) се записва във векторна форма, както следва:

или в скаларна форма:

- пореден номер на аргумента,

Стойността на работната стъпка в посоката на градиента ч град Р ( х ) зависи от големината на градиента, която е трудно да се вземе предвид предварително, и от коефициента на пропорционалност на стъпката ч , с които можете да контролирате ефективността на метода.

Търсенето на всяка нова точка се състои от два етапа:

1) оценка на градиента Р ( х ) чрез изчисляване на частните производни на Р ( х ) за всяка променлива х й ,

2) работна стъпка за всички променливи едновременно.

Стойност ч значително влияе върху ефективността на метода. Вариантът на метода е по-ефективен, когато се определя стъпка по променлива косинуси на посоката на градиента.

където cosφ й =

В този случай стойността на работната стъпка не зависи от стойността на модула на градиента и е по-лесно да се контролира промяната ч . В оптималната област може да възникне значително "кривене" и затова се използват различни алгоритми за корекция. ч .

Най-широко използвани са следните алгоритми:

1. ч аз= const = ч(без корекция);

2. ч аз = ч аз -1 /2 ако Р(х аз ) < Р(х аз -1 ) ; ч аз = ч аз -1 , Р(х аз ) > Р(х аз -1 ) ;

3. ч аз = ч аз -1 , ако  1 ≤  ≤ 2 ; ч аз =2ч аз -1 , ако 1 >;
ако 2 < .

където  - ъгълът между градиентите при предишната и текущата стъпка;  1 и  2 - дадените прагови стойности се избират субективно (напр.  1 = π/6,  2 = π/3).

Далеч от оптималното, посоката на градиента се променя малко, така че стъпката може да се увеличи (втори израз), близо до оптималното, посоката се променя рязко (ъгълът между градиентите Р ( х ) голям), така че ч се редуцира (трети израз).

Методите на разликата се използват за оценка на частични производни:

един . Алгоритъм с централна разбивка

2. Алгоритъм със сдвоени проби

където ж й - пробна стъпка й та променлива, която е избрана достатъчно малка за оценка на разликата на производната.

Първият алгоритъм е по-евтин от втория (обикновено разходите се изразяват в броя на изчисленията на критерия за оптималност), но дава възможност да се получи решение по-малко точно от втория и тази грешка зависи от размера на пробната стъпка.

На фиг. дадена е една от възможните траектории за намиране на минимума на двумерна функция чрез градиентния метод (заедно с други методи, разгледани по-долу).

Условието за прекратяване на търсенето може да бъде малкият модул на градиента Р ( х ) , тези. | град Р ( х ) | <  .

Ориз. Илюстрация на извеждане с централни и сдвоени проби.

Пример 1

Изисква се да се намери минимумът на функцията

Р ( х 1 , х 2 ) = х 1 3 + 2 х 2 2 - 3х 1 - 4х 2 ,

2. Квадрат на интервала на търсене: х 1 начало = -2, х 1кон = 2, х 2започнете = -2, х 2кон = 2.

3. Начална точка: х 10 = - 0,5, х 20 = -1.

4. Опции за търсене: фактор стъпка ч = 0,1, опит ж = 0,01, грешка  = 0,01.

5. Алгоритъм на метода: Алгоритъм 1 (Х аз +1 =x аз - ч град Р ( х аз ) ).

6. Алгоритъм за корекция на височината: без корекция на пропорционалността на височината ( ч = const).

7. Метод на изчисляване на производни: изчисление градР с тестове по двойки.

Резултати от изчисленията. В началната точка изчисляваме градиента на функцията:

Стойност на критериите Р = 7,3750. Правим работна стъпка по формула 5, получаваме

х 1 = - 0,275, х 2 = - 0,2.

AT нова точкаотново изчисляваме производните:

Стойност на критериите Р = 1,3750.

Правим работна стъпка, получаваме х 1 = 0,002, х 2 = 0,280.

Таблица 18

			дР/dx 1	дР/dx 2

В последната точка модулът на градиента е по-малък от определената грешка (0,0063< 0,01), поэтому поиск прекращается.

Изграждане на градиентна зависимост от номера на стъпката

Пример 2

Различава се от предишния само в стойността на коефициента на пропорционалност на стъпката ч , сега ч = 0,4. По-долу, в табл. 19 показва само първите 14 стъпки (както в предишния случай). Препоръчително е да ги сравните чрез конструиране на траектории на търсене и за двете стойности ч в координати х 1 – х 2 .

Таблица 19

			дР/dx 1	дР/dx 2

В този случай търсенето има ясно колебателен характер, приближавайки се зле до решението.

номер на итерация	параметър за оптимизацияh=0,4	параметър за оптимизацияh=0, 1

Ориз. 2.5. Сравнение на конвергенцията на градиентния метод, използвайки различна стъпка.

Най-стръмният метод на спускане.

Основният недостатък на градиентния метод е необходимостта често изчисляване на производни на Р ( х ) . Методът на най-стръмното спускане е лишен от този недостатък, който се състои в следното.

В текущата точка градът се изчислява Р ( х ) , а след това min се търси в посоката на градиента Р ( х ) . На практика това може да стане чрез всеки един метод за едномерна оптимизация (търсене в една посока - посоката на градиента), най-често използваният сканиранепреди първия местен минимумв посока град Р ( х ) .

В резултат на това, далеч от оптимума, ефективността на метода се увеличава, бързо достигаме до областта на оптимума, в близост до която ефективността на метода намалява поради чести промени в посоката на търсене и се приближава до ефективността на градиентния метод.

Методът, както всички градиентни методи, има ниска ефективност при дерефункции. В някои случаи е възможно да се увеличи скоростта на достигане на оптималния регион чрез представяне на ниски изисквания за точност на търсене min в посока (зададена от стойността ч - стъпка на търсене в посока).

Условието за прекратяване може да бъде малкият модул на градиента Р ( х ) | градР ( х ) | <  . Можете също така да използвате малките увеличения на променливите в резултат на стъпката, но само ако на тази стъпка "прескочим" оптимума, в противен случай може да се окаже, че малката стъпка се дължи не на близостта до оптимума, а но до малкостта на коефициента на пропорционалност на стъпката ч .

В някои случаи се използва намаляване на стъпката за търсене на оптимума в посоката след всяка промяна на посоката. Това дава възможност всеки път да се намира оптимума с по-голяма точност, но рязко намалява ефективността на търсенето в функциите на дерето. Методът се използва за локализиране на "дъното на дерето" в специални деревни методи. Условието за прекратяване на търсенето в този случай е постигането на предварително зададена малка стойност на стъпката.

Една от възможните траектории за търсене на минимума на двумерна функция чрез метода на най-стръмното спускане е показана на фиг. по-горе.

Пример.

За сравнение с градиентния метод разгледайте решението на предишния пример с ч = 0,1.

Резултати от изчисленията. Изчисляването на производните е обсъдено подробно по-горе, така че не е дадено тук. По-долу, в табл. 20 показва резултатите от движение по градиент с постоянна стъпка.

Таблица 20

			дР/dx 1	дР/dx 2

В следващата точка (0.400, 2.00) стойността на критерия (Р = -0.256) се оказва по-лошо от последното ( Р =-2,1996). Следователно, в оптималната точка, намерена в посоката, ние отново изчисляваме градиента и правим стъпки по него, докато намерим най-добрата точка (Таблица 21).

Таблица 21

			дР/дх 1	дР/дх 2
Второ градиентно търсене
Трето градиентно търсене
Четвърто градиентно търсене
Търсене на пети градиент

Метод на спрегнат градиент (пропускане).

Градиентни методи, базирани само на градиентно изчисление Р ( х ) , са методи от първи ред, тъй като на интервала на стъпка те заместват нелинейната функция Р ( х ) линеен.

Методите от втори ред могат да бъдат по-ефективни, които използват не само първата, но и втората производна на Р ( х ) в текущата точка. Тези методи обаче имат свои собствени трудноразрешими проблеми - изчисляването на вторите производни в точка, освен това, далеч от оптимума, матрицата на вторите производни може да бъде лошо обусловена.

Методът на спрегнатия градиент е опит да се комбинират предимствата на методите от първи и втори ред, като същевременно се елиминират техните недостатъци. На ранни стадии(далеч от оптимума) методът се държи като метод от първи ред, а в близост до оптимума се доближава до методите от втори ред.

Първата стъпка е подобна на първата стъпка от метода за най-стръмно спускане, втората и следващите стъпки се избират всеки път в посоката, образувана като линейна комбинация от градиентните вектори в дадената точка и предишната посока.

Алгоритъмът на метода може да бъде написан по следния начин (във векторна форма):

Стойност  може да се намери приблизително от израза

Алгоритъмът работи по следния начин. От началната точка х 0 търся мин Р ( х ) в посока на градиента (метод най-стръмно спускане), след това, започвайки от намерената точка и по-нататък, посоката на търсене минопределя се от втория израз. Търсенето на минимум в посоката може да се извърши по всякакъв начин: можете да използвате метода на последователно сканиране, без да коригирате стъпката на сканиране при преминаване на минимума, така че точността на достигане на минимума в посоката зависи от размера на стъпката ч .

За квадратична функция Р ( х ) може да се намери решение за П стъпки ( П - измерение на проблема). За други функции търсенето ще бъде по-бавно, а в някои случаи може изобщо да не достигне оптималното поради силно влияниеизчислителни грешки.

Една от възможните траектории за търсене на минимума на двумерна функция чрез метода на спрегнатия градиент е показана на фиг. 17.

Размер: px

Начална импресия от страница:

препис

1 Курс: Методи за оптимизация в машинното обучение, Усъвършенствани методи за многомерна оптимизация комбинирани методи. При всички тези подходи следващата посока на оптимизация d се изчислява само с помощта на информация от оракула в текущата точка x. По този начин траекторията на оптимизация не се взема предвид по никакъв начин. В методите за оптимизация, разгледани по-долу, следващата посока на оптимизация d по същество зависи от траекторията на оптимизация и по-специално зависи от предишните посоки d,...,d. Решение на SLAE, използващо метода на конюгирания градиент. Разгледайте проблема за минимизиране на квадратична функция с положително определен Хесиан: Приравнявайки градиента f на нула, получаваме = Ax b = Ax = b. По този начин проблемът с минимизирането на f е еквивалентен на решаването на SLAE Ax = b. Нека наречем набор от вектори (d i ) спрегнати по отношение на положително определена матрица A, ако е изпълнено следното условие: d T i Ad j = i j. Пример за спрегнати посоки е множеството собствени векториматрица A. Действително в този случай d T i Ad j = λ i d T i d j =. Последното условие е изпълнено, т.к собствените вектори, съответстващи на различни собствени стойности, са ортогонални, а сред собствените вектори с еднакви собствена стойноствинаги може да се избере ортогонален набор. Наборът от спрегнати вектори е линейно независим. Да разгледаме нетривиална линейна комбинация от спрегнати вектори: α i d i =, α i. Умножете това уравнение отляво по d T j A за някакво j. В резултат на това получаваме: α i d T j Ad i = α j = α j =. Последното условие следва от факта, че матрицата A е строго положително определена. Линейната независимост предполага, че спрегнатото множество (d i ) N е основата на цялото пространство rn. По-специално, SLAE решението x може да бъде разширено в тази база с някои коефициенти α i: Умножавайки това уравнение отляво по d T j A, получаваме: dt j Ax α i d i. () = dt j b d T j Ad. () j това не е напълно вярно, когато се използва адаптивна корекция на дължината на стъпката. Всъщност наборът от спрегнати вектори може да се разглежда като ортогонален базис по отношение на скалара продукти x,y= x T Ay. Оттук нататък става очевидно линейна независимоствектори, както и факта, че матрицата A трябва да бъде положително определена (в противен случай няма да има точков продукт).

2 Последното равенство следва от факта, че x е решение на SLAE, т.е. брадва = b. Тук предимството на спрегнатия набор от вектори пред други бази за намиране на x става очевидно: за спрегнатия набор коефициентите на разширение α j се изчисляват аналитично. Търсенето на x по формула () с коефициенти () може да бъде представено като итеративен процес: x =, x + = x +α d, α = dt b d T Ad, =,...,N. В резултат на това x N+ = x. Сега получаваме подобен итеративен процес за намиране на x, който започва с произволен ненулев вектор x. За да направим това, разширяваме вектора x x по отношение на спрегнатия базис: Умножавайки това равенство по d T j A отляво, получаваме: x x = N d T j A(x x) = α j α j = dt j A (x x) α i d i. = dt j (b Ax) = dt j g = dt j g j d T j Ad. (4) j Тук и по-долу g j означава градиента на функцията f в точката x j. За квадратична функция g j = Ax j b. Нека докажем последния преход във формула (4): (j) d T j (g j g) = d T j (Ax j b Ax +b) = d T j A j α i d i = α i d T j Ad i = d T j g j = d T j g. (5) Така получаваме следния итеративен процес за намиране на x от произволно първоначално приближение x: x + = x +α d, α = dt g d T Ad, =,...,N. (6) Може да се покаже, че този итеративен процес е процесът на най-стръмно спускане за функцията f по спрегнати посоки (d i ) N. За да направите това, достатъчно е да се уверите, че коефициентът α j, изчислен по формула (4), доставя минимум в α на функцията f (xj +αdj). Наистина, α f(x j + αd j) = f(x j + α j d j) T d j = g T j+d j = (Ax j + α j Ad j b) T d j = α=αj = (Ax j b) T d j + α j = g T j d j d T j g j =. (7) В същото време тук беше доказано, че g T j+ d j =. Нека покажем, че g T j+ d i = i j. Действително, g T j+ d i = (Ax j+ b) T d i = (A(x + j α i d i) b) T d i = (Ax b) T d i + α i d T i Ad i = g T d i g T i d i =. Последното равенство следва от (5). Условието, че градиентът g j+ е ортогонален на всички предишни посоки на оптимизация, означава, че x j+ доставя минимума на функцията f в линейния обхват L(d,...,d j). Освен това може да се покаже, че точката x j +αd j минимизира функцията f в линейния обхват L(d,...,d j) за всяко α. Наистина, f(x j +αd j) T d i = (A(x j + αd j) b) T d i = (Ax j b) T d i + αd T j Ad i = g T j d i =. аз< j. Таким образом, при движении вдоль очередного сопряжённого направления оптимизацию по предыдущим направлениям проводить не нужно. Это одна из отличителни чертиметод на конюгирана посока. За да се извърши итеративният процес (6), е необходимо да се уточни пълен комплектспрегнати посоки за матрицата A. Разгледайте следната схема на генериране d: d = g, d + = g + +β d, β = gt + Ad d T Ad, =,...,N. (8) Следната последователност от разсъждения е вярна: d = g L(g), g = g +α Ad = g α Ag L(g,Ag), d = g +β d L(g,Ag), g = g + α Ad L(g,Ag,A g), d = g +β d L(g,Ag,A g),...

3 В резултат на това множеството (d,...,d i ), генерирано от схема (8), и множеството (g,...,g i ) принадлежат към едно и също линейно пространство L(g,Ag,..., A и g). Следователно векторът Ad i може да бъде представен в базиса (d,...,d), > i, а векторът g i може да бъде представен в базиса (d,...,d i): Ad i = g i = a j d j, (9) j = i b j d j. () j= Нека сега покажем, че схема (8) ни позволява да конструираме набор от спрегнати посоки за матрицата A. Освен това ще покажем, че когато я използваме, g T d i = i< и g T g i = i <. Проведём доказательство по индукции. Пусть известно, что g T d i = i <, d T Ad i = i <, g T g i = i <. Докажем, что аналогичные утверждения верны для +. Из рассуждений (7) следует, что g T + d =. Далее g T +d i = (g +α Ad) T d i = g T d i +α d T Ad i =. Последнее утверждение выполняется, исходя из предположения индукции. Покажем теперь, что d T + Ad i = i. Используя (8), получим, что d T + Ad = (g + +β d) T Ad = g T + Ad +g T + Ad =. Далее с помощью (9) заключаем, что для i < d T + Ad i = (g + +β d) T Ad i = g + Ad i = g + a j d j = Осталось показать, что g T + g i = i <. Используя (), получаем i g T + g i = g T + b j d j = j= j= i b j g T + d j =. j= a j g T + d j =. В результате получаем, что набор {d,...,d N } действительно является сопряжённым относительно матрицы A. Заметим, что в доказательстве сопряжённости существенно используется тот факт, что первое направление выбирается в соответствии с антиградиентом. При другом выборе d итерационный процесс (8) не приводит к набору сопряжённых направлений. С помощью доказанных выше свойств g T d i = i < и g T g i = i < можно несколько упростить выражения для α и β в итерационных процессах (6), (8): α = g d d T Ad β = gt + Ad d T Ad = g (g +β d) d T Ad = gt g d T Ad, = gt + (g + g) d T Ad = gt + g + α g T g. () В результате получаем итоговый алгоритм решения СЛАУ Ax = b, который получил название метода сопряжённых градиентов:. Задаём начальное приближение x и требуемую точность ε;. Инициализация d = g, = ;. x + = x +α d, где α = gt g d T Ad ; 4. Если α d < ε, то стоп; Пространства такого вида известны в линейной алгебре как пространства Крылова j=

4 5. d + = g + +β d, където β = gt + g + g T g ; 6. = + и отидете на стъпка. Гарантирано е, че този алгоритъм се свежда до решението на N стъпки, където N е измерението на пространството на решението. На всяка стъпка от итеративния процес се изисква да се извърши само едно умножение на матрицата A по вектора d (векторът ax + се изчислява като ax + α Ad). Останалите операции в алгоритъма са векторни: скаларното произведение на два вектора и сумата на два вектора. На фиг. е показан пример за приложението на този алгоритъм. За сравнение е показана и траекторията на метода за най-стръмно спускане. : Пример за метода на най-стръмното спускане (зелена траектория) и метода на спрегнатия градиент (червена траектория) за оптимизиране на квадратична функция. Основните предимства на метода на конюгирания градиент са свързани с пространства с големи размери. За N методите за решаване на SLAE, базирани на матрични декомпозиции, например декомпозиция на Cholesky или QR декомпозиция, престават да бъдат приложими поради необходимостта от итеративно преизчисляване на матрици, чийто размер съвпада с размера на матрица A. Напротив, в конюгата градиентен метод, всички операции се извършват само за вектори с размерност N, като най-трудната операция в алгоритъма е умножението на матрицата A по следващия вектор d. За редица матрици от специален вид, например разредени матрици или матрици, представляващи базата на Фурие, такова умножение може да се извърши по-ефективно от общия случай. Методът на спрегнатия градиент за минимизиране на произволна функция Нека сега разгледаме оптимизационния проблем за произволна гладка функция f. След това, в схемата на метода на конюгирания градиент, матрицата a се заменя с хесиан h в текущата точка x. На практика този подход се превръща в метод на Нютон, при който квадратичната апроксимация на функцията се минимизира с помощта на спрегнати градиенти. Следователно, методът на конюгирания градиент има квадратична скорост на сходимост в малък квартал на оптималното решение. За да се застрахова срещу евентуална неадекватност на квадратичната апроксимация на функцията f в текущата точка, в метода на спрегнатия градиент се предлага да се реши едномерна оптимизационна задача при движение по следващата посока d: x + = x +α d, α = argmin α f(x + αd) . Имайте предвид, че в този случай няма нужда да се изчислява хесианът и методът се превръща в метод за оптимизация от първи ред. Когато се използва формулата () за β, съответният конюгиран градиентен метод се нарича Флетчър-Рийвс (Fletcher-Reeves). Методът на Pola-Ribiere предлага да се използва друга формула за β: β = gt + g + g T + g g T g. За случая на квадратична функция последната формула се превръща във формулата (), защото g T + g =. Въпреки това, за произволна функция, това дава възможност да се постигне по-стабилна и висококачествена работа на метода. В метода на конюгирания градиент посоката d + зависи от d и, следователно, имплицитно зависи от всички предходни посоки d,...,d. За да се увеличи стабилността на метода за неквадратична функция, се предлага да се зададе β = след всяка N-та итерация, т.е. Периодично "изчиствайте" фона, в който могат да се натрупат лоши посоки. Нулирането β съответства на избора на посоката на оптимизация по отношение на антиградиента. Фигура a показва пример за прилагане на метода на спрегнат градиент без използване на нулиране. В резултат на това по време на итерациите методът „превишава“ оптималната точка [,] T поради 4

5 (a) (b) (c) Фиг. : Примери за работата на метода на спрегнатия градиент за функцията на Розенблок. Случай (a): без използване на нулиране β, общо 64 итерации, случай (b): използване на нулиране, общо 6 итерации, случай (c): използване на bactracing, общо 6 итерации. силна зависимост от предишни посоки. Напротив, използването на нулиране (виж фиг. b) направи възможно успешното откриване на минимума в по-малък брой итерации. Както беше отбелязано по-горе, при метода на конюгирания градиент следващата посока на оптимизация се избира по такъв начин, че при движение по нея се поддържа минимумът във всички предишни посоки. Благодарение на това е възможно да се избегне стъпаловидно поведение, характерно за координатно и градиентно спускане. Въпреки това, този подход имплицитно предполага, че точната оптимизация се извършва по следващата посока, тъй като няма планове за връщане към тази посока в бъдеще. Фигура c показва пример за работа на метода, при който bactracing се използва на етапа на едномерна оптимизация. В резултат на това методът започва да работи изключително нестабилно и конвергенцията се постига само след 6 итерации. В действителност методът на конюгирания градиент може да конвергира стабилно дори при използване на неточна едномерна оптимизация. Използването му обаче е свързано с определени рискове. Квазинютонови методи При квазинютоновите методи за оптимизация преизчисляването се извършва по формулата x + = x α S g. () Тук S е някаква положително определена матрица. Условието за положителна определеност за S гарантира възможността за намаляване на функцията f по посока d = S g. Наистина, α f(x αs g) = g T S g<. α= Если S = I, то () переходит в градиентный спуск. Если S = H, то () переходит в метод Ньютона. По аналогии с методом сопряжённых градиентов, рассмотрим сначала квази-ньютоновские методы для случая минимизации квадратичной функции (). Введем обозначения: δ = x + x = α S g, γ = g + g. Для квадратичной функции γ = g + g = Aδ. В результате [γ γ... γ N ] = A[δ δ... δ N ]. Пусть в первый момент времени задано некоторое начальное приближение x. Положим S = I 4 и будем пересчитывать S по правилу S + = S + C, где C некоторая матрица. Проведем N шагов вида () и получим набор {δ,...,δ N }, набор {γ,...,γ N } и набор матриц S,S,...,S N. Если оказывается, что S N [γ γ... γ N ] = [δ δ... δ N ], то матрица S N = A и следующий шаг по схеме () соответствует шагу Ньютона, т.е. x N+ = x. По аналогии с методом сопряжённых градиентов, в котором существуют разные формулы для β и, соответственно, разные итерационные схемы пересчета d, для квази-ньютоновских методов также предложено несколько способов выбора C. Однако, все эти способы гарантируют выполнение следующих свойств:. Метод сходится за N шагов для квадратичной функции; 4 это соответствует использованию направления антиградиента 5

6 (a) (b) Фиг. : Примери за метода L-BFGS за функцията Rosenblock. Случай (a): точна едномерна оптимизация, случай (b): използване на метода на Флетчър За квадратична функция множеството от вектори (δ,...,δ N ) образува спрегнат базис по отношение на матрицата A; . Матрицата S винаги остава положително определена. Последното свойство е важно за фундаменталната възможност за намаляване на f при всяка итерация. Разгледайте няколко схеми за избор C: DFP схема (Davidon-Fletcher-Powell). BFGS схема (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno). S + = S + δ δ T δ T γ S γ γ T S γ T S. γ (S + = S + + γt S) γ δ δ T γ T δ γ T δ δ γ T S +S γ δ T γ T δ. Схема L-BGFS (BFGS с ограничена памет). Формулата за преизчисляване е подобна на BFGS, но за S = I: Замествайки тази формула в (), получаваме: (S + = I + + γt γ) δ δ T γ T δ γ T δ δ γ T +γ δ T γ T δ. d + = S + g + = g + +A δ + B γ, A = gt + δ (γ T δ + γt γ) γ T δ + gt + γ γ T δ, B = gt + δ γ T δ. Имайте предвид, че всички квазинютонови методи са методи от първи ред. В случай на квадратична функция посоките δ,...,δ N са спрегнати по отношение на A. Следователно в този случай всички квазинютонови методи са еквивалентни на метода на спрегнатия градиент. В този случай същественото е използването на посоката на антиградиента в първия момент от време (S = I). При използване на друга матрица S, генерираните оптимизационни посоки δ,...,δ N губят своите свойства на конюгация, а самият метод губи свойството на гарантирана сходимост в N итерации. Фигура a показва пример за работа на метода L-BFGS за функцията Rosenblock. Обърнете внимание, че за разлика от метода на конюгирания градиент, при квази-Нютоновите методи няма нужда да се „почиства“ праисторията и периодично да се приравнява S = I. В допълнение, квази-Нютоновите методи са по-толерантни към използването на неточна едномерна оптимизация ( виж Фиг.,b). 6

Лекция 4 МЕТОДИ ОТ ПЪРВИ РЕД Постановка на задачата Нека е дадена функция f (), ограничена отдолу върху множеството R n и имаща непрекъснати частни производни във всички свои точки. Изисква се да се намери локален минимум

ЛЕКЦИЯ 6 1. Метод на координатно спускане 2. Градиентен метод 3. Метод на Нютон Методи за решаване на крайномерни оптимизационни задачи (Проблеми на неограничената оптимизация) -1- Числени методиНЛП Проблемът с намирането на безусловното

Методи за оптимизация, FKN HSE, зима 2017 Практическа задача 2: Разширени методи за неограничена оптимизация. Краен срок: 9 март 2017 г. (23:59 ч.). Език за програмиране: Python 3. 1 Алгоритми В тази задача

Методи за оптимизация, FKN HSE, зима 2017 Семинар 7: Квази-Нютонови методи 21 февруари 2017 г. 1 Квази-Нютонови методи 11 Мотивация Разгледайте стандартния проблем на плавната неограничена оптимизация:

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ Факултет по приложна математика на процесите на управление А. П. ИВАНОВ, Ю.

ЛЕКЦИЯ 11 ПРОБЛЕМ ЗА ОПТИМИЗАЦИЯ НА МНОГОИЗМЕРНА ИНТЕРПОЛАЦИЯ В последната лекция бяха разгледани методи за решаване на нелинейни уравнения.Бяха разгледани двуточкови методи, които използват локализация на корена,

UDC 59.8 О. А. Юдин, аспирант ТЪРСЕНЕ НА МИНИМУМА ОТ ФУНКЦИИ, КОИТО ИМАТ ДИСКУСИИ НА ЧАСТИЧНИ ПРОИЗВОДНИ Анализират се възможните варианти за решаване на задачата за намиране на минимума на функция, която има прекъсване на частните производни.

ЛЕКЦИЯ 14 Числени методи на нелинейно програмиране 1. Градиентен метод 2. Теореми за конвергенция 3. Такахаши метод (дуализация/градиентен метод) -1- Числени НЛП методи Задачата за намиране на безусловен минимум:

ОПТИМАЛЕН ГРАДИЕНТЕН МЕТОД ЗА МИНИМИЗИРАНЕ НА ИЗПЪКНАЛИ ФУНКЦИИ M. V. Dolgopolik [имейл защитен] 10 ноември 2016 г. Резюме. Докладът обсъжда в известен смисъл оптималния градиентен метод

Уралски федерален университет, Институт по математика и компютърни науки, Катедра по алгебра и дискретна математика Ортогонални и ортонормални набори от вектори От дефиницията на ъгъла между векторите

KV Григориева Насоки Тема. Методи за решаване на проблема за минимизиране на квадратична функция Факултет на PM-PU Санкт Петербургски държавен университет 7 СЪДЪРЖАНИЕ. ФОРМУЛИРАНЕ НА ПРОБЛЕМА. ИНФОРМАЦИЯ ЗА ПОДДРЪЖКА.... МЕТОДИ ЗА СПУСКАНЕ

Семинари по линейни класификатори Евгений Соколов 27 октомври 2013 г. Нека X R d е пространството на обектите, Y = ( 1,+1) множеството валидни отговори, X l = (x i, y i) l i=1 обучителна извадка. Всеки обект

ЛЕКЦИЯ 15 1. Метод на Нютон (метод от втори ред) 2. Метод на външно наказание 3. Метод на вътрешно наказание 4. Метод на координатно спускане -1- МЕТОД НА НЮТОН Нека f е два пъти непрекъснато диференцируема функция

Лекция 5 Постановка и възможни решения на проблема с обучението на невронни мрежи Проблем с частично обучение Нека имаме някаква невронна мрежа N. В процеса на работа тази невронна мрежа се формира

Санкт Петербургски държавен политехнически университет Факултет по техническа кибернетика Катедра Разпределени изчисления и компютърни мрежи Резюме Тема: „Методи за оптимизация без ограничения,

ЛЕКЦИЯ 6 СПЕКТРАЛНИ ПРОБЛЕМИ. Методи на спускане В последната лекция бяха разгледани итеративни методи от вариационен тип. За системата Au = f, за която е валидно A = A, функционалът Φ(u, u)

Тема 2-11: Собствени вектори и собствени стойности А. Я. Овсянников Уралски федерален университет Институт по математика и компютърни науки Катедра по алгебра и дискретна математика Алгебра и геометрия

Лекция 0. Глава 4. Матрици. В тази глава разглеждаме основните видове матрици, операциите върху тях, концепцията за ранг на матрица и техните приложения за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения. 4.. Основни понятия.

ГЛАВА 8. ПОДПРОСТРАНСТВА 1 1. СУМА И ПРЕСЪЧВАНЕ НА ПОДПРОСТРАНСТВА Множество L от вектори в линейно пространство X се нарича подпространство, ако x, y L предполага, че αx + βy L за всеки комплекс

Московски държавен технически университет на името на N.E. Бауман Факултет по фундаментални науки Департамент по математическо моделиране А.Н. Канатников,

Методи за оптимизация в машинното обучение, VMK+Phystech, есен 2017 г. Практическа задача 3: Бариерен метод. 1 Бариерен метод Краен срок: 15 ноември 2017 г. (сряда), 23:59 ч. за ВМК 17 ноември 2017 г. (петък), 23:59 ч.

Списък на методите, включени в задачите за изпитни работи. Билет 20 (етикет) Метод на Нютон Билет 12 (етикет) калкулатор http://math.semestr.ru/simplex/simplex_manual.php Съставяне на двойна задача

Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уралски федерален университет Институт по математика и компютърни науки Департамент по алгебра и дискретна математика Алгебра и геометрия за механика (2-ри семестър)

Съдържание Елементарна теория на грешките. SLAU решение. 4. Норми в крайномерни пространства... 4. Кондициониране на SLAE.................. 5.3 Итеративни методи за решаване на линейни системи......... ........... ...

Симплексен метод за решаване на задачи с линейно програмиране Основният числен метод за решаване на задачи с линейно програмиране е така нареченият симплексен метод. Терминът "симплексен метод" се свързва с факта

Московски държавен технически университет на името на N.E. Бауман Факултет по фундаментални науки Департамент по математическо моделиране А.Н. Канатников

A.P.Popov Методи за оптимални решения Наръчник за студенти от икономически специалности на университетите Ростов на Дон 01 1 Въведение В приложната математика има няколко направления, насочени основно

1 Материали за насочващата лекция Въпрос 37. Итеративни методи за решаване на уравнения. Метод на Нютон. 1. Решение на скаларни уравнения. Метод на Чебишев Разгледайте уравнението f(x) =0,x и нека върху посочените

Московски държавен технически университет на име Н. Е. Бауман, Факултет по фундаментални науки, Катедра по висша математика E B Pavelyeva V Ya Tomashpolsky Linear Algebra Guidelines

Решаване на нелинейни уравнения Не винаги алгебрични или трансцендентални уравнения могат да бъдат решени точно Концепцията за точност на решението предполага:) възможността за написване на „точна формула“, или по-скоро

Линейни трансформации Дефиниция на линейна трансформация Нека V е линейно пространство. Ако е определено правило, според което на всеки вектор x от V се присвоява уникален вектор y от V, тогава

Системи от линейни алгебрични уравнения Основни понятия Система от линейни алгебрични уравнения (SLAE) е система от формата a a a, a a a, a a a Тя може да бъде представена като матрично уравнение

ПРИЛОЖЕНИЕ НА МЕТОДА НА НЮТОН В СИМЕТРИЧНАТА ЗАДАЧА ЗА СОБСТВЕНИ СТОЙНОСТИ О.О. Khamisov Irkutsk State University Има много различни проблеми, като стабилността на система от линейни уравнения или

UDC 519.615.7 Физика и математика Предложен е квазинютонов числен метод за неограничена минимизация, показани са неговите предимства пред метода на Бройдън Флетчър Голдфарб Шано. Ключ

Лекция3. 3. Метод на Нютон (на допирателните. Нека зададем някакво начално приближение [, b] и линеаризираме функцията f (в ​​съседство, използвайки сегмент от реда на Тейлър f (= f (+ f "((-. (5) Вместо уравнението (решаваме

Решения на задачи по алгебра за втори семестър Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейни векторни пространства Задача 1. Линейно зависими ли са векторите в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Лабораторна работа Методи за минимизиране на функции на една променлива с помощта на информация за производните на целевата функция Постановка на проблема: Необходимо е да се намери безусловният минимум на функция на една променлива (

Методи за решаване на мрежови уравнения 1 Директни и итеративни методи В резултат на диференциална апроксимация на гранични задачи на математическата физика се получават SLAE, чиито матрици имат следните свойства:

МОСКОВСКИЯ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ им. M.V.LOMONOSOV Факултет по механика и математика Катедра по изчислителна математика I. O. Arushanyan Практическа работа на компютър Безусловно минимизиране на функции на няколко променливи

ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА Разделът "Числени методи на линейната алгебра" разглежда числените методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) и числените методи за решаване на задачи

41 Симетрични оператори Линейните оператори, действащи върху евклидови пространства, имат допълнителни свойства в сравнение с линейните оператори върху векторни пространства без скалар

Урок 1. Векторен анализ. 1.1. Кратко теоретично въведение. Физическите величини, Z Z (M), за да се определи кое K е достатъчно да се посочи едно число Y K (положително или отрицателно Y) се наричат

4 Итеративни методи за решаване на SLAE Метод на прости итерации С голям брой уравнения, директните методи за решаване на SLAE (с изключение на метода на почистване) стават трудни за прилагане на компютър, главно поради

ЛЕКЦИЯ 3 ЧИСЛЕНО РЕШЕНИЕ НА SLAE Нека си припомним основните резултати, получени в предишната лекция 1 Векторна норма = u Бяха въведени следните векторни норми: =1 1 Октаедрична норма: 1 = max u, където p = 2 кубични

Лекция 11 Оптимално управление

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ Факултет по приложна математика на процесите на управление М. Е. АБАСОВ МЕТОДИ ЗА ОПТИМИЗАЦИЯ Учебник Санкт Петербург 014

ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА ЗАЕДНО С КЛЕН Усов В.В. 1 Точково произведение в аритметично пространство 1.1 Определение. Основни свойства Точково произведение (X, Y) на вектори X = (x 1, x 2,..., x n), Y =

Методи за решаване на мрежови уравнения 1 Директни и итеративни методи

Math-Net.Ru Всеруски математически портал Л. Н. Полякова, Някои методи за минимизиране на максимума на квадратичните функции, Владикавказ. математика. списание, 2006, том 8, номер 4, 46 57 Използване на All-Russian

6 Методи за апроксимация на функции. Най-доброто приближение. Методите за приближение, разгледани в последната глава, изискват възлите на мрежовата функция да принадлежат стриктно на резултантния интерполант. Ако не се изисква

Тема 2-15: Ортогоналност А. Я. Овсянников Уралски федерален университет Институт по математика и компютърни науки Департамент по алгебра и дискретна математика Алгебра и геометрия за механика (2-ри семестър)

12. Линейни оператори върху векторни пространства (продължение) Уникалност на Йорданова нормална форма F алгебрично затворено поле Теорема 9. τ Нека A M n (F), A J и A J където J, J са Йорданови матрици.

1. Числени методи за решаване на уравнения 1. Системи линейни уравнения. 1.1. директни методи. 1.2. итеративни методи. 2. Нелинейни уравнения. 2.1. Уравнения с едно неизвестно. 2.2. Системи уравнения. един.

79 Линейни функции Дефиниция и примери за линейни функции Дефиниция Ще кажем, че функция на един вектор е дадена в линейно пространство L, ако всеки вектор x L е свързан с число (x)

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ ПЕНЗЕНСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ НА ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА Указания за извършване на лабораторна работа ПЕНЗА 7

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "Комсомолск на Амур Държавен технически

Митюков В.В. Уляновско висше авиационно училище на Института за гражданска авиация, програмист OVTI, [имейл защитен]Универсално моделиране на дискретни множества чрез непрекъснати зависимости КЛЮЧ

Планове за отговори на въпросите от изпитните работи на държавния изпит по курса ОПТИМИЗАЦИЯ И ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ, л. проф. М. М. Потапов Въпрос: 4. Симплексен метод за задачата на каноничното линейно програмиране:

345 4 Редица на Фурие в ортогонални системи от функции Нека ((x е ортогонална система от функции в L [ ; ] Изразът c (x + c1 (x + 1 c (x + + (c (x = c (x (41) =) се нарича обобщен ред на Фурие

Числена оптимизация Функции на много променливи: условна оптимизация 26 ноември 2012 г. Числена оптимизация 26 ноември 2012 г. 1 / 27 x (l) i f(x) min, g j (x) 0, h k (x) = 0, x R n j = 1 ,..., J k = 1,...,

маса 1

таблица 2

№	Един вид квадратна форма	Вид на ограниченията
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.	2

Таблица 3

Координати на началната точка
№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
	3	0	-2	5	6	7,5	3	3	1	4	7	4	7
	-2	1	12	-3	-2	-2	0	4	2	3	1	4	3

Етапи на проектиране

1. Постановка на задачата в съответствие с варианта на задачата.
2. Представяне на дадена квадратна форма в матрична нотация.
3. Изследване на природата на екстремума.
4. Описание в матрична форма на метода за търсене и компилация на алгоритъма.
5. Изготвяне на блокова схема на алгоритъма за търсене.
6. Програмиране в среда Math Cad.
7. Изчисляване.
8. Изводи от работата.

Постановка и решение на многомерни неограничени оптимизационни проблеми

Проблеми на многомерната неограничена минимизация

За дадена функция решете задачата за многомерна безусловна минимизация на f(x 1 , x 2), xX (XR) и началната точка x 0 .
Нека f(x) = f(x 1 , x 2 , … ,x n) е реална функция от n променливи, дефинирани в множеството X Ì R n . Точка x* Î X се нарича точка на локален минимум f(x) на множество X, ако съществува такава
e-околност на тази точка, така че за всички x в тази околност, т.е., ако
|| x - x*||< e, выполняется условие f(x*) £ f(x).
Ако условието f(x*)< f(x), то x* называется точкой строгого локального минимума. У функции может быть несколько локальных минимумов. Точка x*Î X называется точкой глобального минимума f(x) на множестве X, если для всех x Î X выполняется условие f(x*) £ f(x). Значение функции f(x*) называется минимальным значением f(x) на множестве X. Для нахождения глобального минимума необходимо найти все локальные минимумы и выбрать наименьшее значение. В дальнейшем будем рассматривать задачу нахождения локального минимума.

Теорема 1 (необходимо екстремално условие)
Нека има точка на локален минимум (максимум) на функцията f(x) върху множеството и тя е диференцируема в точката x*. Тогава градиентът на функцията в точката x* е равен на нула:

Теорема 2 (достатъчно условие)
Нека функцията f(x) в точката x* е два пъти диференцируема, нейният градиент е равен на нула, а матрицата на Хесиан е положително определена (отрицателно определена), т.е.

Тогава точката x* е локална минимална (максимална) точка на функцията върху множеството .
За определяне на знака на матрицата на Хесен се използва критерият на Силвестър.

Задача 1.1 Намерете минимума на функция класически методизползване на необходимите и достатъчни условия.
Ще решим тази задача за функцията f(x 1 ,x 2).
Начална точка x 0
; x0 =(1,5,1,5)

Нека намерим частните производни от първи ред на функцията f(x):


; ; ;

Нека намерим производните от втори ред на функцията f(x):

Съставете матрицата на Хесиан

Ние класифицираме матрицата на Хесен, използвайки критерия на Силвестър:


Следователно матрицата е положително определена.
Използвайки критериите за проверка на достатъчни условия за екстремум, можем да заключим: точката е локална минимална точка.
Стойността на функцията в минималната точка:
;

Задача 1.2
Намерете минимума на тази функция чрез метода на градиентно спускане с разделяне на стъпки.

Метод на стъпково разделяне на градиентно спускане

Методът на градиентно спускане е един от най-разпространените и прости методи за решаване на проблема с неограничена оптимизация. Основава се на свойството градиент на функцията, според което посоката на градиента съвпада с посоката на най-бързото нарастване на функцията, а посоката на антиградиента съвпада с посоката на най-бързото намаляване на функцията. При решаване на задачата за безусловно минимизиране посоката на спускане от точката x(m) се избира като

p(m) = –g(x(m)) = –f "(x(m)).

По този начин итеративната процедура за този метод е

x(m+1) = x(m) – a(m)g(x(m)) (*)

За да изберете стъпка a(m), можете да използвате процедурата за разделяне на стъпки, която е както следва. Произволно фиксирайте началната стойност на стъпката a(m) = a(m – 1) = a. Ако в точката x(m+1), изчислена в съответствие с (2.24), неравенството

f(x(m+1)) > f(x(m)),

след това стъпката се разделя, например, наполовина, т.е. задаваме a(m + 1) = 0,5a(m).
Прилагаме метода на градиентно спускане с разделяне на стъпки, за да минимизираме квадратичната функция

В резултат на решаването на този проблем беше намерен минимум
x* = (-0,182; -0,091),
стойност на функцията f(x*) = -0,091,
брой повторения n = 17.