Правилни изпъкнали полиедри. Многостени

Концепцията за полиедър, видове полиедри в геометрията

Призма и нейните свойства

Пирамида

Правилен многостен: видове и свойства на многостените

Хексаедър и неговите свойства

Тетраедър

Октаедър и неговите свойства

додекаедър

икосаедър

Полуправилни многоъгълници

Звездни полиедри

Общи сведения за правилните многостени

Обобщение на понятието многостен

Друга дефиниция на многостена и неговите елементи

Теорема на Ойлер

Основни определения

Свойства на правилните многостени

Обем на правилен многостен

Обеми на правилни многостени

Радиуси на правилни многоъгълници

Симетрия на полиедри

Развитие на полиедри

Надписи на слайдове:

Полиедрите не само заемат видно място в геометрията, но се срещат и в Ежедневиетовсеки човек. Да не говорим за изкуствено създадени битови предмети под формата на различни многоъгълници, като се започне с кибритена кутияи завършвайки с архитектурни елементи, в природата има и кристали под формата на куб (сол), призма (кристал), пирамида (шеелит), октаедър (диамант) и др.

Геометрията като наука съдържа част от стереометрията, която изучава характеристиките и свойствата на триизмерни тела, чиито страни са в триизмерно пространствообразувани от ограничени равнини (лица), се наричат "полиедри". Видовете полиедри включват повече от дузина представители, които се различават по броя и формата на лицата.

Всички полиедри обаче имат общи свойства:

Всички те имат 3 интегрални компонента: лице (повърхността на многоъгълник), връх (ъглите, образувани на кръстовището на лицата), ръб (страната на фигурата или сегмент, образуван на кръстовището на две лица). ).
Всеки ръб на многоъгълник свързва две и само две страни, които са съседни една на друга.
Изпъкналостта означава, че тялото е напълно разположено само от едната страна на равнината, върху която лежи едно от лицата. Правилото важи за всички лица на полиедъра. Такива геометрични фигури в стереометрията се наричат изпъкнали полиедри. Изключение правят звездообразните полиедри, които са производни на правилни полиедрични геометрични тела.

Полиедрите могат да бъдат разделени на:

Видове изпъкнали полиедри, състоящи се от следните класове: обикновени или класически (призма, пирамида, паралелепипед), правилни (наричани още Платонови тела), полуправилни (второ име - Архимедови тела).
Неизпъкнали полиедри (звездовидни).

Стереометрията като клон на геометрията изучава свойствата на триизмерни фигури, видове полиедри (призмата е една от тях). Наричат го призма геометрично тяло, което задължително има две абсолютно еднакви лица (те се наричат още бази), лежащи в успоредни равнини, и n-тия брой странични лица под формата на успоредници. От своя страна, призмата също има няколко разновидности, включително такива видове полиедри като:

Паралелепипед се образува, ако основата е успоредник - многоъгълник с 2 двойки равни срещуположни ъгли и 2 двойки равни срещуположни страни.
Правата призма има ръбове, перпендикулярни на основата.
характеризиращ се с наличието на неправи ъгли (различни от 90) между лицата и основата.
Правилната призма се характеризира с основи във формата с равни странични стени.

Основните свойства на призмата:

Конгруентни основи.
Всички ръбове на призмата са равни и успоредни един на друг.
всичко странични лицаимат формата на успоредник.

Пирамидата е геометрично тяло, което се състои от една основа и n-тия брой триъгълни стени, свързани в една точка - върха. Трябва да се отбележи, че ако страничните стени на пирамидата са задължително представени от триъгълници, тогава в основата може да има или триъгълен многоъгълник, или четириъгълник, и петоъгълник, и така нататък до безкрайност. В този случай името на пирамидата ще съответства на многоъгълника в основата. Например, ако в основата на пирамидата има триъгълник - това е четириъгълник - четириъгълник и т.н.

Пирамидите са конусовидни полиедри. Видовете полиедри от тази група, в допълнение към изброените по-горе, включват и следните представители:

Правилната пирамида има правилен многоъгълник в основата си и нейната височина е проектирана към центъра на окръжност, вписана в основата или описана около нея.
Правоъгълна пирамида се образува, когато един от страничните ръбове се пресича с основата под прав ъгъл. В този случай също е справедливо този ръб да се нарича височина на пирамидата.

Свойства на пирамидата:

Ако всички странични ръбове на пирамидата са равни ( еднаква височина), тогава всички те се пресичат с основата под един ъгъл и около основата можете да нарисувате кръг с център, съвпадащ с проекцията на върха на пирамидата.
Ако правилен многоъгълник лежи в основата на пирамидата, тогава всички странични ръбове са еднакви, а лицата са равнобедрени триъгълници.

В стереометрията специално мястозаемат геометрични тела с абсолютно равни лица, във върховете на които са свързани еднакъв брой ръбове. Тези тела се наричат платонови тела или правилни полиедри. Видовете полиедри с такива свойства имат само пет фигури:

Тетраедър.
Хексаедър.
Октаедър.
додекаедър.
Икосаедър.

Правилните полиедри дължат името си на древногръцкия философ Платон, който описва тези геометрични тела в своите писания и ги свързва с природните елементи: земя, вода, огън, въздух. Петата фигура беше наградена със сходство със структурата на Вселената. Според него атомите на природните елементи по форма наподобяват видовете правилни полиедри. Поради най-вълнуващото си свойство - симетрията, тези геометрични тела представляваха голям интересне само за древните математици и философи, но и за архитекти, художници и скулптори на всички времена. Наличието на само 5 вида полиедри с абсолютна симетрия се смяташе за фундаментално откритие, дори им беше присъдена връзка с божествения принцип.

Във формата на шестоъгълник наследниците на Платон приемат сходство със структурата на атомите на земята. Разбира се, в момента тази хипотеза е напълно опровергана, което обаче не пречи на фигурите да привличат умове в съвременните времена. известни личностисъс своята естетика.

В геометрията хексаедърът, известен също като куб, се счита за специален случай на паралелепипед, който от своя страна е вид призма. Съответно, свойствата на куба са свързани с единствената разлика, че всички лица и ъгли на куба са равни един на друг. От това следват следните свойства:

Всички ръбове на куб са равни и лежат в успоредни равнини един спрямо друг.
Всички лица са съвпадащи квадрати (в куба има общо 6), всяко от които може да се вземе за основа.
Всички междустенни ъгли са 90.
От всеки връх идва равен брой ръбове, а именно 3.
Кубът има 9, които се пресичат в пресечната точка на диагоналите на хексаедъра, наречена център на симетрия.

Тетраедърът е тетраедър с равни лица под формата на триъгълници, всеки от върховете на които е точка на свързване на три лица.

Свойства на правилния тетраедър:

Всички лица на тетраедър - това, от което следва, че всички лица на тетраедър са еднакви.
Тъй като основата е представена от правилна геометрична фигура, т.е равни страни, тогава лицата на тетраедъра се събират под същия ъгъл, тоест всички ъгли са равни.
Сумата от плоските ъгли във всеки от върховете е 180, тъй като всички ъгли са равни, тогава всеки ъгъл на правилен тетраедър е 60.
Всеки от върховете се проектира до точката на пресичане на височините на противоположното (ортоцентърно) лице.

Описвайки видовете правилни полиедри, не може да не се отбележи такъв обект като октаедър, който може да бъде визуално представен като две четириъгълни правилни пирамиди, залепени заедно в основите.

Свойства на октаедъра:

Самото наименование на едно геометрично тяло подсказва броя на лицата му. Октаедърът се състои от 8 еднакви равностранни триъгълника, във всеки от върховете на които се събират равен брой лица, а именно 4.
Тъй като всички лица на октаедър са равни, то и неговите междинни ъгли са равни, всеки от които е равен на 60, а сумата от равнинните ъгли на всеки от върховете е 240.

Ако си представим, че всички лица на едно геометрично тяло са правилен петоъгълник, тогава получаваме додекаедър - фигура от 12 многоъгълника.

Свойства на додекаедъра:

Три лица се пресичат във всеки връх.
Всички ръбове са равни и имат същата дължинаръбове, както и равна площ.
Додекаедърът има 15 оси и равнини на симетрия и всяка от тях минава през върха на лицето и средата на противоположния ръб.

Не по-малко интересен от додекаедъра, икосаедърът е триизмерно геометрично тяло с 20 равни лица. Сред свойствата на правилния двадесетоъгълник може да се отбележи следното:

Всички лица на икосаедъра са равнобедрени триъгълници.
Пет лица се събират във всеки връх на полиедъра и сумата съседни ъгливърхът е 300.
Икосаедърът, подобно на додекаедъра, има 15 оси и равнини на симетрия, минаващи през средните точки на противоположни лица.

В допълнение към Платоновите тела, групата на изпъкналите многостени включва и Архимедовите тела, които са пресечени правилни многостени. Видовете полиедри от тази група имат следните свойства:

Геометричните тела имат по двойки равни лица от няколко типа, например пресеченият тетраедър има 8 лица, точно както обикновения тетраедър, но в случай на архимедово тяло 4 лица ще бъдат триъгълни, а 4 ще бъдат шестоъгълни.
Всички ъгли на един връх са еднакви.

Представители на необемни типове геометрични тела са звездообразни полиедри, чиито лица се пресичат помежду си. Те могат да бъдат образувани чрез сливане на две правилни триизмерни тела или чрез продължаване на техните лица.

По този начин, такива звездовидни полиедри са известни като: звездовидни форми на октаедър, додекаедър, икосаедър, кубоктаедър, икозидодекаедър.

Изпъкналите полиедри се наричат правилни, ако всички лица са еднакви. правилни многоъгълници, и същият брой лица се събират във всеки връх. Такива полиедри се наричат още Платонови тела.

Има само пет правилни полиедра:

Името на всеки полиедър идва от Гръцко имеброя на лицата му и думата "ръб".

Тетраедър

Тетраедърът (на гръцки fefsbedspn - четиристен) е многостен с четири триъгълни стени, във всеки от върховете на които се събират по 3 стени. Тетраедърът има 4 лица, 4 върха и 6 ръба.

Свойства на тетраедър

Паралелни равнини, минаващи през двойки пресичащи се ръбове на тетраедъра, определят паралелепипеда, описан близо до тетраедъра.

Отсечката, свързваща върха на тетраедъра с пресечната точка на медианите на противоположното лице, се нарича негова медиана, изпусната от този връх.

Сегментът, свързващ средите на пресичащите се ръбове на тетраедър, се нарича неговата бимедиана, която свързва тези ръбове.

Отсечката, свързваща връх с точка от срещуположното лице и перпендикулярна на това лице, се нарича неговата височина от дадения връх.

Теорема.Всички медиани и бимедиани на тетраедър се пресичат в една точка. Тази точка разделя медианите в съотношение 3:1, като се брои отгоре. Тази точка разполовява бимедианите.

Разпределете:

Изоедърен тетраедър, в който всички лица са триъгълници, равни един на друг;
· ортоцентричен тетраедър, в който всички височини, спуснати от върхове до противоположни стени, се пресичат в една точка;
правоъгълен тетраедър, в който всички ръбове, съседни на един от върховете, са перпендикулярни един на друг;
правилен тетраедър, в който всички лица са равностранни триъгълници;
рамков тетраедър - тетраедър, който отговаря на някое от следните условия:
· Има сфера, докосваща всички краища.
· Сумите от дължините на пресичащите се ръбове са равни.
· Сумите на двустенните ъгли при противоположните ръбове са равни.
Окръжностите, вписани в лицата, се допират по двойки.
· Всички четириъгълници, получени от развитието на тетраедър, са описани.
· Перпендикуляри, повдигнати към лицата от центровете на вписаните в тях окръжности, се пресичат в една точка.
съизмерим тетраедър, всички височини на който са равни;
· инцентричен тетраедър, в който сегментите, свързващи върховете на тетраедъра с центровете на окръжности, вписани в противоположни страни, се пресичат в една точка.

Кубът или правилният хексаедър е правилен многостен, всяко лице на който е квадрат. специален случайпаралелепипед и призма.

Свойства на куба

· Четири сечения на куба са правилни шестоъгълници - тези сечения минават през центъра на куба перпендикулярно на неговите четири основни диагонала.
Тетраедърът може да бъде вписан в куб по два начина. И в двата случая четирите върха на тетраедъра ще бъдат подравнени с четирите върха на куба и всичките шест ръба на тетраедъра ще принадлежат към лицата на куба. В първия случай всички върхове на тетраедъра принадлежат на лицата на тристенния ъгъл, чийто връх съвпада с един от върховете на куба. Във втория случай по двойки пресичащи се ръбове на тетраедъра принадлежат на по двойки противоположни страни на куба. Такъв тетраедър е правилен.
· Октаедър може да бъде вписан в куб, освен това всичките шест върха на октаедъра ще бъдат подравнени с центровете на шестте лица на куба.
· Куб може да бъде вписан в октаедър, освен това всичките осем върха на куба ще бъдат разположени в центровете на осемте лица на октаедъра.
· Икосаедър може да бъде вписан в куб, докато шест взаимно успоредни ръба на икосаедъра ще бъдат разположени съответно на шест страни на куба, останалите 24 ръба са вътре в куба. Всичките дванадесет върха на икосаедъра ще лежат върху шестте лица на куба.

Диагоналът на куб е сегмент, който свързва два върха, които са симетрични спрямо центъра на куба. Диагоналът на куб се намира по формулата

полиедър икосаедър октаедър додекаедър

където d е диагоналът, а a е ръбът на куба.

Октаедър

Октаедър (гръцки pkfedspn, от гръцки pkfyu, „осем“ и гръцки Edsb – „основа“) е един от петте изпъкнали правилни многостени, така наречените платонови тела.

Октаедърът има 8 триъгълни лица, 12 ръба, 6 върха, 4 ръба се събират във всеки връх.

Ако дължината на ръба на октаедър е a, тогава неговата площ пълна повърхност(S) и обемът на октаедъра (V) се изчисляват по формулите:

Радиусът на сфера, описана около октаедър, е:

радиусът на сфера, вписана в октаедър, може да се изчисли по формулата:

Правилният октаедър има О симетрия, която е същата като тази на куба.

Октаедърът има форма на единична звезда. Октаедърът е открит от Леонардо да Винчи, след това, почти 100 години по-късно, преоткрит от Йоханес Кеплер и наречен от него Stella octangula - осмоъгълна звезда. Оттук тази форма има второто име "stella octangula на Кеплер".

Всъщност това е съединение от два тетраедъра

додекаедър

Додекаедър (от гръцки dudekb - дванадесет и edspn - лице), додекаедър - правилен многостен, съставен от дванадесет правилни петоъгълника. Всеки връх на додекаедъра е връх на три правилни петоъгълника.

Така додекаедърът има 12 лица (петоъгълни), 30 ръба и 20 върха (3 ръба се събират във всеки). Сумата от равнинните ъгли на всеки от 20-те върха е 324°.

Додекаедърът има 3 звезди: малък звездовиден додекаедър, голям додекаедър, голям звездовиден додекаедър (голям звездовиден додекаедър, крайна форма). Първите два от тях са открити от Кеплер (1619 г.), третият от Поансо (1809 г.). За разлика от октаедъра, която и да е от звездните форми на додекаедъра не е съединение на Платоновите тела, а образува нов полиедър.

Всичките 3 звезди на додекаедъра, заедно с големия икосаедър, образуват семейство тела на Кеплер-Поансо, тоест правилни неизпъкнали (звездовидни) полиедри.

Големите лица на додекаедъра са петоъгълници, които се събират по пет във всеки от върховете. Малките звездовидни и големите звездовидни додекаедри са обърнати към - пет лъчеви звезди(пентаграми), които в първия случай се събират с 5, а във втория с 3. Върховете на големия звездовиден додекаедър съвпадат с върховете на описания додекаедър. Всеки връх свързва три лица.

Основни формули:

Ако вземем a като дължина на ръба, тогава повърхността на додекаедъра е:

Обем на додекаедър:

Радиус на описаната сфера:

Радиус на вписаната сфера:

Елементи на симетрия на додекаедъра:

· Додекаедърът има център на симетрия и 15 оси на симетрия.

Всяка от осите минава през средните точки на противоположни успоредни ребра.

Додекаедърът има 15 равнини на симетрия. Всяка от равнините на симетрия минава във всяко лице през върха и средата на противоположния ръб.

икосаедър

Икосаедър (от гръцки. eykput - двадесет; -edspn - лице, лице, основа) - правилен изпъкнал многостен, двадесетстранен, едно от Платоновите тела. Всяко от 20-те лица е равностранен триъгълник. Броят на ръбовете е 30, броят на върховете е 12.

Площта S, обемът V на икосаедър с дължина на ръба a, както и радиусите на вписаната и описаната сфера се изчисляват по формулите:

радиус на вписана сфера:

радиус на описаната сфера:

Имоти

Икосаедър може да бъде вписан в куб, докато шест взаимно перпендикулярни ръба на икосаедъра ще бъдат разположени съответно на шест лица на куба, останалите 24 ръба вътре в куба, всичките дванадесет върха на икосаедъра ще лежат на шест лица на куба .
· Тетраедър може да бъде вписан в икосаедър, освен това четири върха на тетраедъра ще бъдат комбинирани с четири върха на икосаедъра.
· Икосаедър може да бъде вписан в додекаедър, докато върховете на икосаедъра ще бъдат подравнени с центровете на лицата на додекаедъра.
· Додекаедър може да бъде вписан в икосаедър с подравняването на върховете на додекаедъра и центровете на лицата на икосаедъра.
· Пресечен икосаедър може да се получи чрез отрязване на 12 върха, за да се образуват лица под формата на правилни петоъгълници. В същото време броят на върховете на новия многостен се увеличава 5 пъти (12?5=60), 20 триъгълни лица се превръщат в правилни шестоъгълници (общият брой лица става 20+12=32), а броят на ръбовете нараства до 30+12?5=90.

Икосаедърът има 59 звезди, от които 32 имат пълна и 27 непълна икосаедрична симетрия. Една от тези стелации (20-та, mod. 41 според Wenninger), наречена големият икосаедър, е една от четири правилниЗвездообразни полиедри на Кеплер-Поансо. Неговите лица са правилни триъгълници, които се събират във всеки връх пет; това свойство се споделя от големия икосаедър с икосаедъра.

Сред звездните форми има още: съединение от пет октаедра, съединение от пет тетраедра, съединение от десет тетраедра.

Геометрията е красива с това, че за разлика от алгебрата, където не винаги е ясно какво мислите и защо, тя дава видимост на обекта. Това прекрасен свят различни телаукрасяват правилни полиедри.

Според мнозина правилните полиедри, или както ги наричат още Платонови тела, имат уникални свойства. Тези обекти са свързани с няколко научни хипотези. Когато започнете да изучавате тези геометрични тела, разбирате, че не знаете практически нищо за такава концепция като правилни полиедри. Представянето на тези предмети в училище не винаги е интересно, така че мнозина дори не помнят как се наричат. Повечето хора помнят само куба. Нито едно от телата в геометрията не е толкова съвършено, колкото правилните полиедри. Всички имена на тези геометрични тела идват от Древна Гърция. Те означават броя на лицата: тетраедър - четиристранно, хексаедър - шестстранно, октаедър - осемстранно, додекаедър - дванадесетстранно, икосаедър - двадесетстранно. Всички тези геометрични тела заети важно мястов концепцията на Платон за Вселената. Четири от тях олицетворяват елементите или същностите: тетраедърът - огън, икосаедърът - вода, кубът - земя, октаедърът - въздух. Додекаедърът въплъщава всичко, което съществува. Той се смяташе за основен, защото беше символ на Вселената.

Полиедърът е колекция крайно числомногоъгълници, така че:

всяка от страните на който и да е от многоъгълниците е в същото време страна само на един друг многоъгълник от същата страна;
от всеки от полигоните можете да стигнете до останалите, като преминете покрай полигоните, съседни на него.

Многоъгълниците, които образуват многостена, са неговите лица, а техните страни са неговите ръбове. Върховете на многостените са върховете на многоъгълниците. Ако концепцията за многоъгълник се разбира като плоски затворени прекъснати линии, тогава те стигат до една дефиниция на полиедър. В случай, че това понятие означава част от равнината, която е ограничена прекъснати линии, трябва да се разбира като повърхност, състояща се от многоъгълни парчета. наречено тяло, лежащо от едната страна на равнина, съседна на лицето му.

Полиедърът е повърхност, състояща се от многоъгълници, която ограничава геометрично тяло. Те са:

неконвексен;
изпъкнали (правилни и неправилни).

Правилен политоп е изпъкнал политоп с максимална симетрия. Елементи на правилните полиедри:

тетраедър: 6 ръба, 4 лица, 5 върха;
хексаедър (куб): 12, 6, 8;
додекаедър: 30, 12, 20;
октаедър: 12, 8, 6;
икосаедър: 30, 20, 12.

Той установява връзка между броя на ръбовете, върховете и лицата, които са топологично еквивалентни на сфера. Чрез сумиране на броя на върховете и лицата (B + D) на различни правилни полиедри и сравняването им с броя на ръбовете може да се установи един модел: сборът от броя на лицата и върховете е равен на броя на ръбовете (P) увеличен с 2. Може да се изведе проста формула:

C + D = P + 2.

Тази формула е вярна за всички изпъкнали полиедри.

Концепцията за правилен многостен не може да бъде описана с едно изречение. Тя е по-смислена и обемна. За да бъде признато едно тяло като такова, то трябва да отговаря на редица определения. И така, едно геометрично тяло ще бъде правилен многостен при следните условия:

тя е изпъкнала;
същият брой ръбове се събират във всеки от неговите върхове;
всичките му лица са правилни многоъгълници, равни помежду си;
всички са равни.

Има 5 различни видовеправилни полиедри:

Куб (хексахедър) - има плосък ъгъл на върха е 90 °. Има 3-странен ъгъл. Сборът от плоските ъгли на върха е 270°.
Тетраедър - плосък ъгъл отгоре - 60°. Има 3-странен ъгъл. Сборът на плоските ъгли в горната част е 180°.
Октаедър - плосък ъгъл отгоре - 60°. Има 4-странен ъгъл. Сборът на плоските ъгли в горната част е 240°.
Додекаедър - плосък ъгъл при върха 108°. Има 3-странен ъгъл. Сборът на плоските ъгли в горната част е 324°.
Икосаедър - има плосък ъгъл на върха - 60°. Има 5-странен ъгъл. Сборът на плоските ъгли в горната част е 300°.

Площта на тези геометрични тела (S) се изчислява като площта на правилен многоъгълник, умножена по броя на лицата му (G):

S \u003d (a: 2) x 2G ctg π / p.

Тази стойност се изчислява чрез умножаване на обема правилна пирамида, в основата на който има правилен многоъгълник, по броя на лицата, а височината му е радиусът на вписаната сфера (r):

V=1:3rS.

Както всяко друго геометрично тяло, правилните полиедри имат различни обеми. По-долу са формулите, по които можете да ги изчислите:

тетраедър: α x 3√2: 12;
октаедър: α x 3√2: 3;
икосаедър; α x 3;
хексаедър (куб): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
додекаедър: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Хексаедърът и октаедърът са двойни геометрични тела. С други думи, те могат да се получат един от друг, ако центърът на тежестта на лицето на единия се приеме за връх на другия и обратно. Икосаедърът и додекаедърът също са двойствени. Само тетраедърът е двойствен на себе си. Според метода на Евклид можете да получите додекаедър от хексаедър чрез изграждане на "покриви" върху лицата на куб. Върховете на тетраедър ще бъдат всеки 4 върха на куб, които не са съседни по двойки по ръба. От хексаедър (куб) можете да получите други правилни полиедри. Въпреки факта, че има безброен, има само 5 правилни многостена.

Всяко от тези геометрични тела е свързано с 3 концентрични сфери:

описано, преминавайки през върховете му;
вписан, докосващ всяко от лицата си в центъра си;
медиана, докосваща всички ребра в средата.

Радиусът на описаната сфера се изчислява по следната формула:

R \u003d a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Радиусът на вписана сфера се изчислява по формулата:

R \u003d a: 2 x ctg π / p x tg θ: 2,

където θ е двустенният ъгъл, който е между съседни лица.

Радиусът на средната сфера може да се изчисли по следната формула:

ρ = a cos π/p: 2 sin π/h,

където стойността на h = 4,6,6,10 или 10. Съотношението на описаните и вписаните радиуси е симетрично по отношение на p и q. Изчислява се по формулата:

R / r \u003d tg π / p x tg π / q.

Симетрията на правилните полиедри е от първостепенен интерес за тези геометрични тела. Под него се разбира такова движение на тялото в пространството, което оставя същия брой върхове, лица и ръбове. С други думи, под действието на трансформация на симетрия, ръб, връх, лице или запазва първоначалната си позиция, или се премества в първоначалната позиция на друг ръб, връх или лице.

Елементите на симетрия на правилните многостени са характерни за всички видове такива геометрични тела. Тук говорим за идентична трансформация, която оставя която и да е от точките в първоначалното й положение. Така че, когато завъртите многоъгълна призма, можете да получите няколко симетрии. Всеки от тях може да бъде представен като продукт на отражения. Симетрия, която е продукт на четен брой отражения, се нарича права линия. Ако е продукт на нечетен брой отражения, тогава се нарича обратен. По този начин всички завъртания около права са пряка симетрия. Всяко отражение на полиедър е обратна симетрия.

За да разберем по-добре елементите на симетрия на правилните полиедри, можем да вземем примера с тетраедър. Всяка линия, която ще минава през един от върховете и центъра на това геометрична фигура, също ще премине през центъра на противоположното му лице. Всяко от завъртанията на 120 и 240° около правата принадлежи на множествено числосиметрия на тетраедъра. Тъй като има 4 върха и 4 лица, има само осем директни симетрии. Всяка от линиите, минаваща през средата на ръба и центъра на това тяло, минава през средата на противоположния му ръб. Всяко завъртане на 180°, наречено половин оборот, около права линия е симетрия. Тъй като тетраедърът има три двойки ръбове, има още три директни симетрии. Въз основа на горното може да се заключи, че общ бройдиректни симетрии, включително трансформация на идентичносттаще стигне до дванадесет. Тетраедърът няма други директни симетрии, но има 12 обратни симетрии. Следователно тетраедърът се характеризира с общо 24 симетрии. За по-голяма яснота можете да изградите модел на правилен тетраедър от картон и да се уверите, че това геометрично тяло наистина има само 24 симетрии.

Додекаедърът и икосаедърът са най-близо до сферата на тялото. Икосаедърът има най-голям бройлица, най-големият и най-плътният от всички може да бъде притиснат към вписаната сфера. Додекаедърът има най-малкия ъглов дефект, най-големия телесен ъгъл при върха. Той може да запълни максимално описаната си сфера.

Правилните, които всички сме лепили заедно в детството, имат много понятия. Ако има колекция от многоъгълници, всяка от които е идентифицирана само с едната страна на полиедъра, тогава идентифицирането на страните трябва да отговаря на две условия:

от всеки полигон е възможно да се премине през полигони с идентифицирана страна;
страните, които трябва да бъдат идентифицирани, трябва да имат еднаква дължина.

Наборът от многоъгълници, които отговарят на тези условия, се нарича развитие на многостена. Всяко от тези тела има няколко от тях. Така, например, един куб има 11 от тях.

За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт в Google (акаунт) и влезте: https://accounts.google.com

Тип правилен многостен

Броят на страните на лицето

Брой ръбове, съседни на връх

Общ брой върхове

общ брой ръбове

Общ брой лица

Хексаедър или куб

додекаедър

Многостени. Върхове, ръбове, лица на многостен. ТЕОРЕМА НА ОЙЛЕР. 10 клас Изпълнител: Кайгородова С.В.

Правилен многостен е този, в който всички лица са правилни многоъгълници и всички многостенни ъгли във върховете са равни.

От древни времена на човека са известни пет невероятни полиедра.

Според броя на лицата те се наричат правилен тетраедър.

хексаедър (хексахедър) или куб

октаедър (октаедър)

додекаедър (додекаедър)

икосаедър (двадесетстранен)

Развитие на правилни многостени

Исторически контекст Четири есенции на природата са били известни на човечеството: огън, вода, земя и въздух. Според Платон техните атоми изглеждали като правилни многостени.Великият древногръцки философ Платон, живял през 4 - 5в. пр.н.е., вярвали, че тези тела олицетворяват същността на природата.

атомът на огъня изглеждаше като тетраедър, земята - на хексаедър (куб) от въздух - октаедър на вода - икосаедър

Но имаше додекаедър, на който нямаше съответствие Платон предполагаше, че има още една (пета) същност. Той го нарече световен етер. Атомите на тази пета есенция изглеждаха като додекаедър. Платон и неговите ученици в техните произведения голямо вниманиедадени на изброените полиедри. Следователно тези полиедри се наричат още платонови тела.

За всеки изпъкнал многостен е вярна връзката: Г+В-Р=2, където Г е броят на лицата, В е броят на върховете, Р е броят на ръбовете на дадения многостен. Лица + Върхове - Ръба = 2. Теорема на Ойлер

Характеристики на правилните полиедри Многостен Брой страни на лицето Брой лица, събиращи се във всеки връх Брой лица (G) Брой ръбове (P) Брой върхове (V) Тетраедър 3 3 4 6 4 Хексаедър 4 3 6 12 8 Октаедър 3 4 8 12 6 Икосаедър 3 5 20 30 12 Додекаедър 5 3 12 30 20

Двойственост на правилните полиедри Хексаедър (куб) и октаедър образуват двойна двойка полиедри. Броят на лицата на един многостен е равен на броя на върховете на другия и обратно.

Вземете произволен куб и помислете за многостен с върхове в центровете на лицата му. Както можете лесно да видите, получаваме октаедър.

Центровете на лицата на октаедъра служат като върхове на куба.

Натриевият антимон сулфат е тетраедър. Полиедрите в природата, химията и биологията Кристалите на някои от познатите ни вещества имат формата на правилни многостени. Кристал пирит - естествен модел додекаедър. кристали готварска солпредайте формата на куб. Единичен кристал от алуминиево-калиева стипца има формата на октаедър. Кристал (призма) Икосаедърът е бил в центъра на вниманието на биолозите в техните спорове относно формата на вирусите. Вирусът не може да бъде идеално кръгъл, както се смяташе досега. За да установят формата му, те взеха различни полиедри, насочиха светлина към тях под същите ъгли, под които протича потокът от атоми към вируса. Оказа се, че само един полиедър дава абсолютно същата сянка - икосаедърът. В процеса на делене на яйцето първо се образува тетраедър от четири клетки, след това октаедър, куб и накрая додекаедрично-икозаедрична структура на гаструлата. И накрая, може би най-важното, структурата на ДНК генетичен кодживот - е четириизмерен размах (по времевата ос) на въртящ се додекаедър! В молекулата на метана той има формата на правилен тетраедър.

Полиедри в изкуството "Портрет на Монна Лиза" Композицията на картината се основава на златни триъгълници, които са части от правилен звезден петоъгълник. гравюра "Меланхолия" На преден план на картината е додекаедър. "Тайната вечеря" Христос с неговите ученици е изобразен на фона на огромен прозрачен додекаедър.

Многостените в архитектурата на Музея на плодовете в Яманаши са създадени с помощта на триизмерно моделиране. Четиристепенната Спаска кула с Неръкотворния храм на Спасителя е главният вход на Казанския Кремъл. Построен през 16 век от псковските архитекти Иван Ширяй и Постник Яковлев, по прякор "Барма". Четирите нива на кулата са куб, полиедри и пирамида. Спаската кула на Кремъл. Музей на плодовете на фара на Александрийските пирамиди

Определение. Многостенът се нарича правилен, ако: 1) е изпъкнал; 2) всичките му лица са правилни многоъгълници, равни един на друг; 3) се събира във всеки от върховете си същото числоребра; 4) всички негови двустени са равни.

Пример за правилен многостен е куб: той е изпъкнал многостен, всичките му лица са равни квадрати, три ръба се събират във всеки връх и всички двустенни ъгли на куба са прави. Правилният тетраедър също е правилен многостен.

Възниква въпросът: колко различни видовеправилни полиедри?

Пет вида правилни полиедри:

Да разгледаме произволен правилен многостен М , който има B върхове, P ръбове и G лица. По теоремата на Ойлер за този полиедър е в сила следното равенство:

V - R + G \u003d 2. (1)

Нека всяко лице на дадения полиедър съдържа мръбове (страни) и във всеки връх се събират нребра. очевидно,

Тъй като полиедърът B има върхове, всеки от които има n ръба, получаваме n ръба. Но всяко ребро свързва два върха на полиедъра, така че всяко ребро ще влезе в произведението n два пъти. Така че полиедърът има различниребра. Тогава

От (1), (3), (4) получаваме - Р + = 2, откъдето

+ = + > . (5)

По този начин имаме

От неравенства 3 и 3 следва, че лицата на правилния многостен могат да бъдат или правилни триъгълници, или правилни четириъгълници, или правилни петоъгълници. Освен това в случаите m = n = 4; m = 4, n = 5; m = 5, n = 4; m = n = 5 стигаме до противоречие с условието. Следователно остават възможни пет случая: 1) m = n = 3; 2) m = 4, n = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5. Нека разгледаме всеки от тези случаи, като използваме отношения (5), (4) и (3).

1) m=n=3(всяко лице на полиедъра - правоъгълен триъгълник. Това ни е известно правилен тетраедър (« тетраедър" означава тетраедър).

2) m = 4, n = 3(всяко лице е квадрат и три ръба се събират във всеки връх). Ние имаме

P = 12; B = 8; G = 6.

Получаваме правилен шестоъгълник, в който всяко лице е квадрат. Този полиедър се нарича правилен хексаедър и е куб (" хексаедър"-- хексаедър), всеки паралелепипед е хексаедър.

3) m = 3, n = 4(всяко лице е правилен триъгълник, четири ръба се събират във всеки връх). Ние имаме

P = 12; B = =6; G \u003d \u003d 8.

Получаваме правилен октаедър, в който всяко лице е правилен триъгълник. Този полиедър се нарича правилен октаедър ("октаедър" --октаедър).

4) m = 5, n = 3(всяко лице е правилен петоъгълник, три ръба се събират във всеки връх). Ние имаме:

P = 30; B = = 20; G \u003d \u003d 12.

Получаваме правилен додекаедър, в който всяко лице е правилен петоъгълник. Този полиедър се нарича правилен додекаедър (« додекаедър"- додекаедър).

5) m = 3, n = 5(всяко лице е правилен триъгълник, пет ръба се събират във всеки връх). Ние имаме

P = 30; B = =12; G = = 20.

Получаваме правилното двадесетстранно. Този полиедър се нарича правилен икосаедър (« икосаедър“- двадесетстранно).

Така получихме следната теорема.

Теорема. Има пет различни (до подобие) типа правилни полиедри: правилен тетраедър, правилен хексаедър (куб), правилен октаедър, правилен додекаедър и правилен икозаедър.

До този извод може да се стигне по малко по-различен начин.

Наистина, ако лицето на правилен многостен е правилен триъгълник и се събират в един връх кребра, т.е. всички плоски изпъкнали ъгли ктогава -стенният ъгъл са равни. Следователно, естествено число кможе да приема стойности: 3;4;5. докато Г = , Р = . Въз основа на теоремата на Ойлер имаме:

B+-= 2 или B (6 - к) = 12.

След това при к\u003d 3 получаваме: B = 4, G \u003d 4, P \u003d 6 (правилен тетраедър);

при k = 4 получаваме: B \u003d 6, G \u003d 8, P \u003d 12 (правилен октаедър);

при k = 5 получаваме: B \u003d 12, G \u003d 20, P \u003d 30 (правилен икосаедър).

Ако лицето на правилния многостен е правилен четириъгълник, тогава. Това условие отговаря на единственото естествено число к= 3. Тогава: Г = , Р= ; B + - = 2 или. И така, B \u003d 8, G \u003d 6, P \u003d 12 - получаваме куб (правилен хексаедър).

Ако лицето на правилния многостен е правилен петоъгълник, тогава Това условие също е изпълнено само к= 3 и Г = ; R = . по същия начин предишни изчисленияполучаваме: и B \u003d 20, G \u003d 12, P \u003d 30 (правилен додекаедър).

Започвайки с правилни шестоъгълници, вероятно лицата на правилен многостен, равнинните ъгли не стават по-малки и по-тесни к= 3 сборът им става най-малко, което е невъзможно. Следователно има само пет вида правилни полиедри.

Фигурите показват разположението на всеки от петте правилни полиедъра.

правилен тетраедър

Правилен октаедър

Правилен хексаедър

Правилен икосаедър

Правилен додекаедър

Някои свойства на правилните полиедри са дадени в следващата таблица.

Тип лице	плосък ъгъл в горната част	Изглед на многостенния ъгъл на върха	Сумата от плоските ъгли при върха			Името на многостена
вярно триъгълник	3-странен			правилен тетраедър
вярно триъгълник	4-странен			Правилен октаедър
вярно триъгълник	5-странен			Правилен икосаедър
	3-странен			вярно хексаедър (куб)
вярно петоъгълник	3-странен				вярно додекаедър

За всеки от правилните полиедри, освен вече посочените, най-често ще се интересуваме от:

1. Стойността на това двустенен ъгълпри реброто (с дължината на реброто а).
2. Площта на общата му повърхност (с дължината на реброто а).
3. Обемът му (с дължината на реброто а).
4. Радиусът на описаната около него сфера (с дължината на ръба а).
5. Радиусът на вписаната в него сфера (с дължината на ръба а).
6. Радиусът на сфера, докосващ всичките й ръбове (с дължина на ръба а).

Най-простото решение е да се изчисли общата повърхност на правилен полиедър; тя е равна на Г, където Г е броят на лицата на правилен полиедър и е площта на едно лице.

Спомнете си sin = , което ни дава възможност да запишем в радикали: ctg =. Като се има предвид това, ние правим таблици:

а) за площта на лице на правилен многостен

б) за общата повърхност на правилен многостен

Сега нека да преминем към изчисляване на стойността на двустенния ъгъл на правилен многостен при неговия ръб. За правилен тетраедър и куб можете лесно да намерите стойността на този ъгъл.

В правилния додекаедър всички равнинни ъгли на лицата му са равни, следователно, прилагайки косинусовата теорема за тристенни ъгли към всеки тристенен ъгъл на даден додекаедър при неговия връх, получаваме: cos, откъдето

На изобразения правилен октаедър ABCDMF можете да видите, че двустенният ъгъл при ръба на октаедъра е 2arctg.

За да намерим стойността на двустенния ъгъл при ръба на правилен икосаедър, можем да разгледаме тристенния ъгъл ABCD при върха A: неговите равнинни ъгли BAC и CAD са равни, и третия равнинен ъгъл BAD, спрямо който двустенният ъгъл B (AC)D = лежи, е равно на (BCDMF - правилен петоъгълник). По косинусовата теорема за тристенния ъгъл ABCD имаме: . Като се има предвид това, стигаме докъде. По този начин двустенният ъгъл при ръба на икосаедъра е равен.

И така, получаваме следната таблица със стойности на двустенни ъгли в ръбовете на правилните полиедри.

Преди да намерим обема на един или друг правилен многостен, първо обсъждаме как да намерим обема на правилните многостени в общ вид.

Опитайте се първо да докажете, че ако центърът на всяко лице на всеки правилен многостен е права линия, перпендикулярна на равнинататова лице, тогава всички начертани линии ще се пресичат в една точка О, отдалечени от всички лица на даден полиедър на същото разстояние, което означаваме с r. Точка Осе оказва център на сфера, вписана в даден полиедър, и r- неговият радиус. Чрез свързване на получената точка Ос всички върхове на даден многостен, ще го разделим на Г пирамиди, равни една на друга (Г е броят на лицата на правилния многостен): основите на образуваните пирамиди са r. Тогава обемът на този полиедър е равно на суматаобеми на всички тези пирамиди. Тъй като полиедърът е правилен, обемът му Vможе да се намери с помощта на формулата:

Остава да се намери дължината на радиуса r.

За да направите това, като свържете точката Осъс средата Да серъбовете на многостена, опитайте се да се уверите, че наклонените КОкъм лице на многостен, съдържащ ръб, сключва ъгъл с равнината на това лице, равен на половината от стойността на двустенния ъгъл при този ръб на многостена; проекцията е наклонена КОвърху равнината на това лице принадлежи на неговата апотема и е равен на радиуса на вписаната в него окръжност. Тогава

където p е полупериметърът на лицето. Тогава от (1) и (2) получаваме формула за изчисляване на техните обеми, общи за всички правилни полиедри:

Тази формула е напълно ненужна за намиране на обемите на куб, правилен тетраедър и октаедър, но улеснява намирането на обемите на правилен икосаедър и додекаедър.