Разстоянието между успоредните прави е равно. Взаимно разположение на две прави линии

Доказателство.

Нека вземем точка , която лежи на правата а, след това координатите на точката M1удовлетворяват уравнението, тоест равенството, откъдето имаме .

Ако font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> bима форматаfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> и ако, тогава нормално уравнениеправ bима форматаfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

След това при font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">разстояние от точканаправо bизчислено по формулата, а при - по формулата

Тоест за всяка стойност C2разстояниеот точката направо bможе да се изчисли с помощта на формулата. И като се има предвид равенството, която беше получена по-горе, тогава последната формула ще приеме форматаfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Теоремата е доказана.

2. Решаване на задачи за намиране на разстоянието между успоредни прави

Пример #1.

Намерете разстоянието между успоредни правии Решение.

Получаваме общите уравнения на дадени успоредни прави.

За направо размер на шрифта: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">съответства на общото уравнение на линия. Нека преминем от параметричните уравнения на директната формаfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">към общото уравнение на този ред:

размер на шрифта: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">Променливи коефициенти хи гв получените общи уравнения успоредните прави са равни, така че веднага можем да приложим формулата за изчисляване на разстоянието между успоредни прави в равнина:.

Отговор: размер на шрифта: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">Пример #2.

На равнината е въведена правоъгълна координатна система Оксии предвид уравненията на две успоредни правии . Намерете разстоянието между дадените успоредни прави.

Решение:

Първото решение.

Канонични уравнения на права върху равнина от видаразмер на шрифта: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana"> ви позволява незабавно да запишете координатите на точка M1лежащ на тази линия:размер на шрифта: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">. Разстояние от тази точка до линиятаравно на желаното разстояние между успоредни прави. Уравнениетое нормално уравнение на права линия, следователно можем веднага да изчислим разстоянието от точкатанаправо font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">:.

Второто решение.

Общото уравнение на една от дадените успоредни прави вече ни е даденоfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Ето каноничното уравнение на линиятакъм общото уравнение на права линия:. Променливи коефициенти хв общите уравнения дадените успоредни прави са равни (с променлива гкоефициентите също са равни - те са равни на нула), така че можете да използвате формула, която ви позволява да изчислите разстоянието между дадени успоредни прави:.

Отговор: 8

3. Домашна работа

Задачи за самопроверка

1. Намерете разстоянието между две успоредни прави

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Всички поставени цели и задачи са напълно постигнати. Два урока от раздела " Взаимна договореностобекти на равнина” по темата „Разстояние от точка до права. Разстояние между успоредни прави” по координатния метод. Материалът е подбран на достъпно за учениците ниво, което ще позволи решаването на задачи по геометрия с по-прости и красиви методи.

5. СПИСЪК НА ЛИТЕРАТУРАТА

1) , Юдина. 7 - 9 клас: учебник за образователни институции.

2) , Позняк. Учебник за 10-11 клас на средното училище.

3) , Николски Математика. Том първи: Елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.

4) , Познякова геометрия.

6. ПРИЛОЖЕНИЯ

Материал за справка

Общо уравнение на права линия:

Ах + Ву + С = 0 ,

където НОи ATне е равно на нула в същото време.

Коефициенти НОи ATса координати нормален вектор права линия (т.е. вектор, перпендикулярен на правата линия). При А = 0 права линия, успоредна на оста ОХ, при B = 0 права линия, успоредна на оста О Y .

При AT0 получавам уравнение на права линия с фактор на наклона :

Уравнението на права линия, минаваща през точка ( х 0 , при 0), а не успоредна на остаой, изглежда като:

при – при 0 = м (х – х 0) ,

където м – наклон , допирателнаъгълът, образуван от дадена права и положителната посока на оста ОХ .

При НО font-size:12.0pt;font-family:Verdana;color:black">

където а = – ° С / А , b = – ° С / б . Тази права минава през точките (а, 0) и (0, b), т.е. отрязва по координатните оси сегменти от дължинааи b .

Уравнение на права, минаваща през две различни точки (х 1, при 1) и ( х 2, при 2):

Параметрично уравнение на права линия преминаващ през точката ( х 0 , при 0) и успоредни вектор на посоката права (а, b) :

Състояние на успоредни прави:

1) за прави линии Ax + Vy + C = 0 идx+дy+Е = 0: AE – BD = 0 ,

2) за прави линии при = м х+ к и при= стр х+ р : м = стр .

В материала на тази статия ще анализираме въпроса за намирането на разстоянието между две успоредни линии, по-специално чрез координатния метод. Анализът на типични примери ще помогне за консолидиране на придобитите теоретични знания.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Разстояние между две успоредни правие разстоянието от някои произволна точкаедна от успоредните линии към другата линия.

Ето илюстрация за по-голяма яснота:

Чертежът показва две успоредни линии. аи b. Точка M 1 принадлежи на правата a, от нея е пуснат перпендикуляр на правата b. Полученият сегмент M 1 H 1 е разстоянието между две успоредни прави аи b.

Посочената дефиниция на разстоянието между две успоредни прави е валидна както в равнината, така и за правите в нея триизмерно пространство. Освен това, това определениее свързано със следната теорема.

Теорема

Когато две прави са успоредни, всички точки на едната от тях са на еднакво разстояние от другата права.

Доказателство

Нека са ни дадени две успоредни прави аи b. Поставете на права линия аточки M 1 и M 2, пускаме перпендикуляри от тях към правата b, обозначавайки техните бази съответно като H 1 и H 2. M 1 H 1 е разстоянието между две успоредни прави по дефиниция и трябва да докажем, че | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | .

Нека също има някакъв секанс, който пресича две дадени успоредни прави. Условието за успоредни прави, разгледано в съответната статия, ни дава право да твърдим, че в този случайвътрешните напречни ъгли, образувани при пресичането на секанса на дадените прави, са равни: ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Правата M 2 H 2 е перпендикулярна на правата b по конструкция и, разбира се, перпендикулярна на правата a. Получените триъгълници M 1 H 1 H 2 и M 2 M 1 H 2 са правоъгълни и равни един на друг по отношение на хипотенузата и острия ъгъл: M 1 H 2 е общата хипотенуза, ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Въз основа на равенството на триъгълниците можем да говорим за равенство на техните страни, т.е.: | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | . Теоремата е доказана.

Имайте предвид, че разстоянието между две успоредни прави е най-малкото от разстоянията от точки на едната права до точки на другата.

Намиране на разстоянието между успоредни прави

Вече разбрахме, че всъщност, за да се намери разстоянието между две успоредни прави, е необходимо да се определи дължината на перпендикуляра, пуснат от определена точка на една права на друга. Има няколко начина да направите това. В някои задачи е удобно да се използва Питагоровата теорема; други включват използването на знаци за равенство или подобие на триъгълници и т.н. В случаите, когато линиите са дадени в правоъгълна системакоординати, възможно е да се изчисли разстоянието между две успоредни прави с помощта на метода на координатите. Нека го разгледаме по-подробно.

Да поставим условията. Да предположим, че е фиксирана правоъгълна координатна система, в която са дадени две успоредни прави a и b. Необходимо е да се определи разстоянието между дадените линии.

Ще изградим решението на проблема върху определянето на разстоянието между успоредни прави: за да се намери разстоянието между две дадени успоредни прави, е необходимо:

Намерете координатите на точка M 1, принадлежаща на една от дадените прави;

Да се ​​изчисли разстоянието от точка M 1 до дадена права, на която тази точка не принадлежи.

Въз основа на уменията за работа с уравненията на права линия в равнина или в пространството е лесно да се определят координатите на точката M 1. При намиране на разстоянието от точка M 1 до права линия е полезен материалът на статията за намиране на разстоянието от точка до права линия.

Да се ​​върнем към примера. Нека правата a е описана от общото уравнение A x + B y + C 1 = 0, а правата b е описана от уравнението A x + B y + C 2 = 0. Тогава разстоянието между две дадени успоредни прави може да се изчисли по формулата:

M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2

Нека изведем тази формула.

Използваме някаква точка М 1 (x 1 , y 1), принадлежаща на правата a . В този случай координатите на точката M 1 ще отговарят на уравнението A x 1 + B y 1 + C 1 = 0. Така равенството е справедливо: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0; от него получаваме: A x 1 + B y 1 = - C 1 .

Когато C 2< 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0

При C 2 ≥ 0, нормалното уравнение на правата b ще изглежда така:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y - C 2 A 2 + B 2 = 0

И тогава за случаите, когато C 2< 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .

А за C 2 ≥ 0 желаното разстояние се определя по формулата M 1 H 1 = - A A 2 + B 2 x 1 - B A 2 + B 2 y 1 - C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

По този начин, за всяка стойност на числото C 2, дължината на сегмента | M 1 H 1 | (от точка M 1 до ред b) се изчислява по формулата: M 1 H 1 \u003d A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

По-горе получихме: A x 1 + B y 1 \u003d - C 1, тогава можем да преобразуваме формулата: M 1 H 1 \u003d - C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 = C 2 - C 1 A 2 + B2. Така че всъщност получихме формулата, посочена в алгоритъма на координатния метод.

Нека анализираме теорията с примери.

Пример 1

Дадени са две успоредни прави y = 2 3 x - 1 и x = 4 + 3 · λ y = - 5 + 2 · λ . Необходимо е да се определи разстоянието между тях.

Решение

Първоначалните параметрични уравнения позволяват да се зададат координатите на точката, през която минава правата линия, описана от параметрични уравнения. Така получаваме точката M 1 (4, - 5) . Търсеното разстояние е разстоянието между точката M 1 (4, - 5) до правата y = 2 3 x - 1, нека го изчислим.

Даденото уравнение на права линия с наклон y = 2 3 x - 1 се преобразува в нормално уравнение на права линия. За тази цел първо правим преход към общото уравнение на права линия:

y = 2 3 x - 1 ⇔ 2 3 x - y - 1 = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 3 = 0

Нека изчислим нормализиращия коефициент: 1 2 2 + (- 3) 2 = 1 13 . Умножаваме двете части на последното уравнение по него и накрая получаваме възможността да напишем нормалното уравнение на правата: 1 13 2 x - 3 y - 3 = 1 13 0 ⇔ 2 13 x - 3 13 y - 3 13 = 0.

За x = 4 и y = - 5, изчисляваме желаното разстояние като модул на стойността на екстремното равенство:

2 13 4 - 3 13 - 5 - 3 13 = 20 13

Отговор: 20 13 .

Пример 2

Във фиксирана правоъгълна координатна система O x y са дадени две успоредни прави, дефинирани от уравненията x - 3 = 0 и x + 5 0 = y - 1 1 . Необходимо е да се намери разстоянието между дадените успоредни прави.

Решение

Условията на задачата определят едно общо уравнение, дадено от един от оригиналните редове: x-3=0. Нека трансформираме първоначалното канонично уравнение в общо: x + 5 0 = y - 1 1 ⇔ x + 5 = 0 . За променливата x коефициентите в двете уравнения са равни (също равни за y - нула), поради което имаме възможност да приложим формулата за намиране на разстоянието между успоредни прави:

M 1 H 1 \u003d C 2 - C 1 A 2 + B 2 \u003d 5 - (- 3) 1 2 + 0 2 \u003d 8

Отговор: 8 .

И накрая, разгледайте проблема за намиране на разстоянието между две успоредни прави в триизмерното пространство.

Пример 3

В правоъгълна координатна система O x y z са дадени две успоредни прави, описани от канонични уравненияправа линия в пространството: x - 3 1 = y - 1 = z + 2 4 и x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 . Намерете разстоянието между тези линии.

Решение

От уравнението x - 3 1 \u003d y - 1 \u003d z + 2 4, координатите на точката, през която минава правата линия, описана от това уравнение, могат лесно да бъдат определени: M 1 (3, 0, - 2 ) . Нека изчислим разстоянието | M 1 H 1 | от точка M 1 до права x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 .

Правата x + 5 1 \u003d y - 1 - 1 \u003d z - 2 4 минава през точката M 2 (- 5, 1, 2). Записваме вектора на посоката на правата x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 като b → с координати (1 , - 1 , 4) . Нека определим координатите на вектора M 2 M → :

M 2 M 1 → = 3 - (- 5 , 0 - 1 , - 2 - 2) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , - 1 , - 4

Нека изчислим кръстосаното произведение на векторите:

b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 - 1 4 8 - 1 - 4 = 8 i → + 36 j → + 7 k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = ( ​​8, 36 , 7)

Нека приложим формулата за изчисляване на разстоянието от точка до права линия в пространството:

M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + (- 1) 2 + 4 2 = 1409 3 2

Отговор: 1409 3 2 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Успоредник е четириъгълник с противоположни страниуспоредни, т.е. лежат на успоредни прави (фиг. 1).

Теорема 1. За свойствата на страните и ъглите на успоредник.В успоредник противоположните страни са равни, противоположните ъгли са равни и сборът от ъглите, съседни на едната страна на успоредника, е 180°.

Доказателство. В този успоредник ABCD начертайте диагонал AC и вземете две триъгълник ABCи ADC (фиг. 2).

Тези триъгълници са равни, тъй като ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (напречни ъгли при успоредни прави), а страната AC е обща. От равенството Δ ABC = Δ ADC следва, че AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Сумата от ъглите, съседни на едната страна, например ъгли A и D, е равна на 180 ° като един -страни с успоредни линии. Теоремата е доказана.

Коментирайте. Равенството на противоположните страни на успоредник означава, че сегментите на успоредните, отрязани от успоредните, са равни.

Следствие 1. Ако две прави са успоредни, то всички точки от едната права са на еднакво разстояние от другата права.

Доказателство. Наистина, нека || b (фиг. 3).

Нека от някои две точки B и C на правата b прекараме перпендикулярите BA и CD към правата a. Тъй като AB || CD, то фигурата ABCD е успоредник и следователно AB = CD.

Разстоянието между две успоредни прави е разстоянието от произволна точка на едната права до другата права.

Според доказаното тя е равна на дължината на перпендикуляра, прекаран от някаква точка на една от успоредните прави към другата права.

Пример 1Периметърът на успоредника е 122 см. Едната му страна е по-дълга от другата с 25 см. Намерете страните на успоредника.

Решение. Според теорема 1 срещуположните страни на успоредник са равни. Нека означим едната страна на успоредника като x, другата като y. След това по условие $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Решавайки тази система, получаваме x = 43, y = 18. Така страните на успоредника са 18, 43, 18 и 43 cm.

Пример 2

Решение. Нека фигура 4 отговаря на условието на задачата.

Означаваме AB с x и BC с y. По условие периметърът на успоредника е 10 см, т.е. 2(x + y) = 10, или x + y = 5. Периметърът на триъгълника ABD е 8 см. И тъй като AB + AD = x + y = 5 , тогава BD = 8 - 5 = 3 . Така че BD = 3 cm.

Пример 3Намерете ъглите на успоредника, като знаете, че единият от тях е с 50° по-голям от другия.

Решение. Нека фигура 5 отговаря на условието на задачата.

Нека означим градусната мярка на ъгъл A като x. Тогава степенна мяркаъгъл D е x + 50°.

Ъглите BAD и ADC са вътрешни едностранни с успоредни прави AB и DC и секуща AD. Тогава сумата от тези именувани ъгли ще бъде 180°, т.е.
x + x + 50° = 180°, или x = 65°. Така ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Пример 4Страните на успоредника са 4,5 dm и 1,2 dm. От върха остър ъгъле начертана ъглополовяща. На какви части разделя дългата страна на успоредника?

Решение. Нека фигура 6 отговаря на условието на задачата.

AE е ъглополовящата на острия ъгъл на успоредника. Следователно ∠ 1 = ∠ 2.

В тази статия, използвайки примера за решаване на задача C2 от Единния държавен изпит, се анализира методът за намиране на координати с помощта на метода. Спомнете си, че линиите са коси, ако не лежат в една и съща равнина. По-специално, ако една линия лежи в равнина, а втората линия пресича тази равнина в точка, която не лежи на първата линия, тогава такива линии са коси (вижте фигурата).

За намиране разстояния между пресичащи се линиинеобходимо:

1. Начертайте равнина през една от изкривените линии, която е успоредна на другата изкривена линия.
2. Пуснете перпендикуляр от всяка точка на втората права линия към получената равнина. Дължината на този перпендикуляр ще бъде желаното разстояние между линиите.

Да анализираме този алгоритъмпо-подробно на примера за решаване на задача С2 от Единния държавен изпит по математика.

Разстояние между линиите в пространството

Задача.в едно кубче ABCDA 1 б 1 ° С 1 д 1 намерете разстоянието между линиите BA 1 и Д.Б. 1 .

Ориз. 1. Чертеж към задачата

Решение.През средата на диагонала на куба Д.Б. 1 (точка О) начертайте права, успоредна на правата А 1 б. Пресечни точки на дадена линия с ръбове пр.н.еи А 1 д 1 обозначават съответно ни М. Направо MNлежи в самолета MNB 1 и успоредна на правата А 1 б, която не лежи в тази равнина. Това означава, че прекият А 1 буспоредна на равнината MNB 1 на базата на успоредност на права и равнина (фиг. 2).

Ориз. 2. Желаното разстояние между пресичащите се линии е равно на разстоянието от всяка точка на избраната линия до изобразената равнина

Сега търсим разстоянието от някаква точка на правата линия А 1 бдо самолета MNBедин . Това разстояние по дефиниция ще бъде желаното разстояние между косите линии.

За да намерим това разстояние, използваме метода на координатите. Въвеждаме правоъгълна декартова координатна система, така че нейният произход да съвпада с точка B, оста хбеше насочен по ръба BA, ос Y- по реброто пр.н.е, ос З- по реброто BB 1 (фиг. 3).

Ориз. 3. Избираме правоъгълна декартова координатна система, както е показано на фигурата

Намираме уравнението на равнината MNB 1 в тази координатна система. За целта първо определяме координатите на точките М, ни б 1: Заместваме получените координати в общото уравнение на права линия и получаваме следваща системауравнения:

От второто уравнение на системата получаваме от третото, а след това от първото получаваме.Получените стойности заместваме в общото уравнение на правата линия:

Имайте предвид, че в противен случай самолетът MNB 1 ще премине през началото. Разделяме двете страни на това уравнение на и получаваме:

Разстоянието от точка до равнина се определя по формулата.

О-о-о-о-о-о ... е, тенекиен е, сякаш си прочете изречението =) Но тогава релаксът ще помогне, особено след като днес купих подходящи аксесоари. Затова нека да продължим към първия раздел, надявам се, че до края на статията ще запазя весело настроение.

Взаимно разположение на две прави линии

Случаят, когато залата пее в хор. Две линии могат:

1) мач;

2) да са успоредни: ;

3) или се пресичат в една точка: .

Помощ за манекени : моля, запомнете математически знакпресичане, ще се случва много често. Записът означава, че правата се пресича с правата в точката.

Как да определим относителната позиция на две линии?

Да започнем с първия случай:

Две прави съвпадат тогава и само тогава, когато съответните им коефициенти са пропорционални, тоест има такова число "ламбда", че равенствата

Нека разгледаме прави линии и съставим три уравнения от съответните коефициенти: . От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.

Наистина, ако всички коефициенти на уравнението умножете по -1 (променете знаците) и всички коефициенти на уравнението намалите с 2, получавате същото уравнение: .

Вторият случай, когато линиите са успоредни:

Две прави са успоредни тогава и само ако техните коефициенти при променливите са пропорционални: , но.

Като пример разгледайте две прави линии. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите:

Въпреки това е ясно, че.

И третият случай, когато линиите се пресичат:

Две прави се пресичат тогава и само ако техните коефициенти на променливите НЕ са пропорционални, тоест НЯМА такава стойност на "ламбда", че равенствата да са изпълнени

И така, за прави линии ще съставим система:

От първото уравнение следва, че , а от второто уравнение: , следователно, системата е непоследователна(няма решения). Следователно коефициентите при променливите не са пропорционални.

Заключение: линиите се пресичат

В практически задачи може да се използва току-що разгледаната схема за решение. Между другото, той е много подобен на алгоритъма за проверка на вектори за колинеарност, който разгледахме в урока. Концепцията за линейна (не) зависимост на векторите. Векторна основа. Но има по-цивилизован пакет:

Пример 1

Разберете относителната позиция на линиите:

Решениевъз основа на изследването на насочващите вектори на прави линии:

а) От уравненията намираме насочващите вектори на правите: .

, така че векторите не са колинеарни и правите се пресичат.

За всеки случай ще сложа камък с указатели на кръстопътя:

Останалите прескачат камъка и го следват, право към Кашчей Безсмъртния =)

б) Намерете насочващите вектори на правите:

Правите имат един и същ вектор на посоката, което означава, че са или успоредни, или еднакви. Тук детерминантата не е необходима.

Очевидно коефициентите на неизвестните са пропорционални, докато .

Нека разберем дали равенството е вярно:

По този начин,

в) Намерете насочващите вектори на правите:

Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на тези вектори:
, следователно векторите на посоката са колинеарни. Правите са или успоредни, или съвпадат.

Коефициентът на пропорционалност "ламбда" е лесно да се види директно от съотношението на векторите на колинеарна посока. Но може да се намери и чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата безплатни термина са нула, така че:

Получената стойност удовлетворява това уравнение(по принцип подхожда на всяко число).

Така линиите съвпадат.

Отговор:

Много скоро ще се научите (или дори вече сте се научили) да решавате разглеждания проблем устно буквално за секунди. В тази връзка не виждам причина да предлагам нещо за независимо решение, по-добре е да поставите друга важна тухла в геометричната основа:

Как да начертаем права, успоредна на дадена?

Заради невежеството на това най-простата задачанаказва сурово Славея Разбойника.

Пример 2

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за успоредна права, която минава през точката.

Решение: Означете непознатия ред с буквата . Какво казва условието за това? Правата минава през точката. И ако правите са успоредни, тогава е очевидно, че насочващият вектор на правата "ce" също е подходящ за построяване на правата "de".

Изваждаме вектора на посоката от уравнението:

Отговор:

Геометрията на примера изглежда проста:

Аналитичната проверка се състои от следните стъпки:

1) Проверяваме дали линиите имат еднакъв насочващ вектор (ако уравнението на правата не е правилно опростено, тогава векторите ще бъдат колинеарни).

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение.

Аналитичната проверка в повечето случаи се извършва лесно устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще разберат как линиите са успоредни без никакъв чертеж.

Примерите за самостоятелно решаване днес ще бъдат креативни. Защото все още трябва да се състезавате с Баба Яга, а тя, знаете, е любител на всякакви гатанки.

Пример 3

Напишете уравнение за права, минаваща през точка, успоредна на правата, ако

Има рационален и не много рационален начин за решаване. Най-краткият път е в края на урока.

Поработихме малко с успоредни прави и ще се върнем към тях по-късно. Случаят на съвпадащи линии не представлява голям интерес, така че помислете за проблем, който ви е добре познат от училищна програма:

Как да намерим пресечната точка на две прави?

Ако прав се пресичат в точката , тогава нейните координати са решението системи от линейни уравнения

Как да намерим пресечната точка на линиите? Решете системата.

Ето за вас геометричен смисълдве линейни уравненияс две неизвестниса две пресичащи се (най-често) прави в равнина.

Пример 4

Намерете пресечната точка на линиите

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичен начине просто да начертаете дадените линии и да намерите пресечната точка директно от чертежа:

Ето нашата гледна точка: . За да проверите, трябва да замените координатите му във всяко уравнение на права линия, те трябва да пасват и там, и там. С други думи, координатите на точка са решението на системата . Всъщност обмислихме графичен начин за решаване системи от линейни уравненияс две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е, че седмокласниците решават така, въпросът е, че ще отнеме време, за да се направи правилен и ТОЧЕН чертеж. Освен това някои линии не са толкова лесни за конструиране, а самата пресечна точка може да бъде някъде в тридесетото царство извън листа на тетрадката.

Следователно е по-целесъобразно да се търси пресечната точка по аналитичния метод. Нека решим системата:

За решаване на системата е използван методът на почленно събиране на уравнения. За да развиете съответните умения, посетете урока Как се решава система от уравнения?

Отговор:

Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да удовлетворяват всяко уравнение на системата.

Пример 5

Намерете пресечната точка на правите, ако се пресичат.

Това е пример за „направи си сам“. Задачата може удобно да се раздели на няколко етапа. Анализът на състоянието предполага, че е необходимо:
1) Напишете уравнението на права линия.
2) Напишете уравнението на права линия.
3) Намерете относителната позиция на линиите.
4) Ако линиите се пресичат, намерете пресечната точка.

Разработването на алгоритъм за действие е типично за мнозина геометрични задачи, и ще се съсредоточа върху това многократно.

Цялостно решениеи отговорът в края на урока:

Чифт обувки все още не е износен, тъй като стигнахме до втория раздел на урока:

Перпендикулярни линии. Разстоянието от точка до права.
Ъгъл между линиите

Да започнем с типичен и много важна задача. В първата част научихме как да изградим права линия, успоредна на дадената, а сега колибата на пилешките крака ще се обърне на 90 градуса:

Как да начертаем права, перпендикулярна на дадена?

Пример 6

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за перпендикулярна права, минаваща през точка.

Решение: По предположение е известно, че . Би било хубаво да се намери насочващият вектор на правата линия. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:

От уравнението „премахваме“ нормалния вектор: , който ще бъде насочващият вектор на правата линия.

Съставяме уравнението на права линия от точка и насочващ вектор:

Отговор:

Нека разгънем геометричната скица:

Хммм... Оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.

Аналитична проверкарешения:

1) Извлечете векторите на посоката от уравненията и с помощта точково произведение на векторизаключаваме, че правите наистина са перпендикулярни: .

Между другото, можете да използвате нормални вектори, дори е по-лесно.

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение .

Проверката отново е лесна за вербална.

Пример 7

Намерете пресечната точка на перпендикулярни прави, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример за „направи си сам“. В задачата има няколко действия, така че е удобно да подредите решението точка по точка.

Нашите забавно пътуванепродължава:

Разстояние от точка до линия

Пред нас е права ивица от реката и нашата задача е да я достигнем по най-краткия път. Няма препятствия, а най-оптималният маршрут ще бъде движението по перпендикуляра. Тоест разстоянието от точка до права е дължината на перпендикулярния сегмент.

Разстоянието в геометрията традиционно се обозначава с гръцката буква "ro", например: - разстоянието от точката "em" до правата линия "de".

Разстояние от точка до линия се изразява с формулата

Пример 8

Намерете разстоянието от точка до права

Решение: всичко, от което се нуждаете, е внимателно да замените числата във формулата и да направите изчисленията:

Отговор:

Нека изпълним чертежа:

Намереното разстояние от точката до правата е точно дължината на червения сегмент. Ако направите рисунка върху карирана хартия в мащаб 1 единица. \u003d 1 cm (2 клетки), тогава разстоянието може да се измери с обикновена линийка.

Помислете за друга задача според същия чертеж:

Задачата е да се намерят координатите на точката, която е симетрична на точката спрямо правата . Предлагам да извършите действията сами, но ще обознача алгоритъма за решение с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на права.

2) Намерете пресечната точка на линиите: .

И двете действия са разгледани подробно в този урок.

3) Точката е средата на отсечката. Знаем координатите на средата и единия от краищата. от формули за координатите на средата на сегментанамирам .

Няма да е излишно да проверите дали разстоянието също е равно на 2,2 единици.

Тук могат да възникнат трудности при изчисленията, но в кулата микрокалкулаторът помага много, позволявайки ви да броите обикновени дроби. Съветвал съм много пъти и ще препоръчам отново.

Как да намерим разстоянието между две успоредни прави?

Пример 9

Намерете разстоянието между две успоредни прави

Това е още един пример за независимо решение. Малък съвет: има безкрайно много начини за решаване. Разбор в края на урока, но по-добре се опитайте да познаете сами, мисля, че успяхте да разпръснете изобретателността си добре.

Ъгъл между две прави

Какъвто и да е ъгълът, тогава джамът:


В геометрията ъгълът между две прави се приема за ПО-МАЛКИ ъгъл, от което автоматично следва, че той не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащите се линии. И неговият „зелен“ съсед или противоположно ориентиранипурпурен ъгъл.

Ако правите са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме за ъгъл между тях.

Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, посоката на "превъртане" на ъгъла е фундаментално важна. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например, ако .

Защо казах това? Изглежда, че можете да се справите с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че във формулите, по които ще намерим ъглите, лесно може да се окаже отрицателен резултати не трябва да ви изненадва. Ъгъл със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа за отрицателен ъгъл е задължително да посочите ориентацията му (по часовниковата стрелка) със стрелка.

Как да намерим ъгъла между две прави?Има две работни формули:

Пример 10

Намерете ъгъла между линиите

Решениеи Метод първи

Помислете за два реда дадени чрез уравненияв общ изглед:

Ако прав не перпендикулярно, тогава ориентиранаъгълът между тях може да се изчисли по формулата:

Повечето внимателно вниманиеобърнете се към знаменателя - това е точно скаларно произведениенасочващи вектори на прави линии:

Ако , тогава знаменателят на формулата изчезва и векторите ще бъдат ортогонални и линиите ще бъдат перпендикулярни. Ето защо е направена уговорка за неперпендикулярността на линиите във формулировката.

Въз основа на гореизложеното решението е удобно формализирано в две стъпки:

1) Изчислете скаларно произведениенасочващи вектори на прави линии:
така че линиите не са перпендикулярни.

2) Намираме ъгъла между линиите по формулата:

Като се използва обратна функциялесно намиране на самия ъгъл. В този случай използваме нечетността на аркутангенса (виж Фиг. Графики и свойства на елементарни функции):

Отговор:

В отговора посочваме точната стойност, както и приблизителната стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатор.

Е, минус, значи минус, всичко е наред. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в условието на задачата първото число е права линия и "усукването" на ъгъла започва именно от нея.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да размените редовете, тоест да вземете коефициентите от второто уравнение и вземете коефициентите от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с директен .