Примери за система от рационални неравенства. Рационални неравенства и техните системи

Продължаваме да анализираме начини за решаване на неравенства, които имат една променлива в своя състав. Вече сме изучавали линейни и квадратни неравенства, които са частни случаи рационални неравенства. В тази статия ще изясним какъв тип неравенства са рационални, ще ви кажем на какви видове се разделят (целочислени и дробни). След това ще покажем как да ги решим правилно, ще дадем необходимите алгоритмии разгледайте конкретните проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Концепцията за рационални равенства

Когато в училище се изучава темата за решаване на неравенства, те веднага вземат рационални неравенства. Те придобиват и усъвършенстват уменията за работа с този тип изразяване. Нека формулираме определението на това понятие:

Определение 1

Рационалното неравенство е неравенство с променливи, което съдържа рационални изрази и в двете части.

Имайте предвид, че дефиницията не засяга броя на променливите по никакъв начин, което означава, че може да има произволно голям брой от тях. Следователно са възможни рационални неравенства с 1, 2, 3 или повече променливи. Най-често трябва да се работи с изрази, съдържащи само една променлива, по-рядко две, и неравенства с голямо количествопроменливи обикновено в рамките на училищен курсизобщо не се разглеждат.

По този начин можем да научим рационално неравенство, като погледнем неговото обозначение. И от дясната, и от лявата страна трябва да има рационални изрази. Ето няколко примера:

x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

И ето неравенство от вида 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Всички рационални неравенства се делят на цели и дробни.

Определение 2

Едно цяло рационално равенство се състои от цели рационални изрази (и в двете части).

Определение 3

Дробно рационално равенствое равенство, което съдържа дробен изразв едната или и в двете му части.

Например неравенствата от вида 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 и 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 са дробно рационално и 0,5 x ≤ 3 (2 − 5 г)и 1: x + 3 > 0- цяло.

Анализирахме какво представляват рационалните неравенства и идентифицирахме основните им видове. Можем да преминем към преглед на това как да ги разрешим.

Да предположим, че трябва да намерим решения на цяло число рационално неравенство r(x)< s (x) , която включва само една променлива x . При което r(x)и s(x)са всяко цяло рационални числаили изрази, а знакът за неравенство може да е различен. За да решим тази задача, трябва да я трансформираме и да получим еквивалентно равенство.

Нека започнем, като преместим израза от дясната страна наляво. Получаваме следното:

под формата r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)

Ние знаем това r(x) − s(x)ще бъде цяло число и всеки израз с цяло число може да бъде преобразуван в полином. Да се ​​трансформираме r(x) − s(x)в h(x). Този израз ще бъде идентично равен полином. Като се има предвид, че r (x) − s (x) и h (x) имат площ позволени стойности x е същото, можем да отидем до неравенствата h (x)< 0 (≤ , >, ≥), който ще бъде еквивалентен на оригиналния.

Често такава проста трансформация ще бъде достатъчна за решаване на неравенството, тъй като резултатът може да бъде линеен или квадратно неравенство, чиято стойност е лесна за изчисляване. Нека да разгледаме тези проблеми.

Пример 1

Състояние:решаване на цяло рационално неравенство x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.

Решение

Нека започнем, като прехвърлим израза от дясната страна в лявата страна с противоположния знак.

x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

Сега, след като направихме всички полиноми отляво, можем да преминем към линейно неравенство 3 x − 2 ≤ 0, равностойно на даденото в условието. Решаването е лесно:

3 x ≤ 2 x ≤ 2 3

Отговор: x ≤ 2 3 .

Пример 2

Състояние:намери решение на неравенството (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).

Решение

Прехвърляме израза от лявата страна в дясната страна и извършваме допълнителни трансформации, като използваме съкратените формули за умножение.

(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

В резултат на нашите трансформации получихме неравенство, което ще бъде вярно за всякакви стойности на x, следователно всяко реално число може да бъде решението на първоначалното неравенство.

Отговор:всяко реално число.

Пример 3

Състояние:реши неравенството x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.

Решение

Няма да прехвърляме нищо от дясната страна, тъй като има 0 . Нека започнем веднага, като преобразуваме лявата страна в полином:

x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .

Ние сме извели квадратно неравенство, еквивалентно на оригиналното, което може лесно да бъде решено по няколко метода. Нека използваме графичния метод.

Нека започнем с изчисляването на корените на квадратния тричлен − 2 x 2 + 11 x + 6:

D \u003d 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 \ u003d 6

Сега на диаграмата маркираме всички необходими нули. Тъй като водещият коефициент е по-малък от нула, клоновете на параболата на графиката ще гледат надолу.

Ще ни трябва параболична площ, разположена над абсцисната ос, тъй като имаме знак > в неравенството. Желаният интервал е (− 0 , 5 , 6) , следователно този диапазон от стойности ще бъде решението, от което се нуждаем.

Отговор: (− 0 , 5 , 6) .

Има още трудни случаикогато се получи полиномът на третия или повече отляво висока степен. За решаване на такова неравенство се препоръчва използването на интервалния метод. Първо изчисляваме всички корени на полинома h(x), което най-често се прави чрез разлагане на полином на множители.

Пример 4

Състояние:изчисли (x 2 + 2) (x + 4)< 14 − 9 · x .

Решение

Нека започнем, както винаги, като преместим израза в лявата страна, след което ще трябва да разширим скобите и да преместим подобни условия.

(x 2 + 2) (x + 4) − 14 + 9 x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

В резултат на трансформациите получихме равенство, еквивалентно на първоначалното, отляво на което има полином от трета степен. Прилагаме интервалния метод, за да го решим.

Първо, изчисляваме корените на полинома, за които трябва да решим кубично уравнение x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Има ли рационални корени? Те могат да бъдат само сред делителите на свободния член, т.е. сред числата ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Заместваме ги последователно в първоначалното уравнение и откриваме, че числата 1, 2 и 3 ще бъдат неговите корени.

И така, полиномът x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6може да се опише като продукт (x − 1) (x − 2) (x − 3), и неравенство x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 може да се представи като (x − 1) (x − 2) (x − 3)< 0 . С неравенство от този вид ще ни бъде по-лесно да определим знаците на интервалите.

Следвайте останалите стъпки интервален метод: начертайте числова ос и точки върху нея с координати 1, 2, 3. Те разделят правата линия на 4 интервала, в които е необходимо да се определят знаците. Засенчваме пропуските с минус, тъй като оригиналното неравенство има знака < .

Остава само да запишем готовия отговор: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) ​​​​.

Отговор: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

В някои случаи извършете прехода от неравенството r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) до h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , където h(x)– полином по-висок от 2 е неподходящ. Това се простира до онези случаи, в които представяме r (x) − s (x) като произведение на линейни биноми и квадратни тричленипо-лесно от разлагането на h(x) на отделни фактори. Нека да разгледаме този проблем.

Пример 5

Състояние:намери решение на неравенството (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).

Решение

Това неравенство се отнася за цели числа. Ако преместим израза от дясната страна наляво, отворим скобите и извършим редукция на членовете, получаваме x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .

Решаването на такова неравенство не е лесно, тъй като трябва да търсите корените на полином от четвърта степен. То няма никакъв рационален корен (например 1 , − 1 , 19 или − 19 не пасват) и е трудно да се търсят други корени. Така че не можем да използваме този метод.

Но има и други решения. Ако прехвърлим изразите от дясната страна на оригиналното неравенство към лявата страна, тогава можем да извършим поставянето в скоби на общия множител x 2 − 2 x − 1:

(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

Получихме неравенство, еквивалентно на първоначалното, и неговото решение ще ни даде желания отговор. Намерете нулите на израза от лявата страна, за който решаваме квадратни уравнения x 2 − 2 x − 1 = 0и x 2 − 2 x − 19 = 0. Техните корени са 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Обръщаме се към равенството x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 , което може да бъде решено чрез интервалния метод:

Според картинката отговорът е - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Отговор: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Добавяме, че понякога не е възможно да се намерят всички корени на полином h(x), следователно не можем да го представим като произведение на линейни биноми и квадратни триноми. След това решете неравенство от вида h (x)< 0 (≤ , >, ≥) не можем, следователно, също е невъзможно да решим първоначалното рационално неравенство.

Да предположим, че трябва да решим частично рационални неравенства от формата r (x)< s (x) (≤ , >, ≥), където r (x) и s(x)са рационални изрази, x е променлива. Поне един от определени изразище бъде дробна. Алгоритъмът за решение в този случай ще бъде както следва:

1. Ние определяме обхвата на приемливите стойности за променливата x.
2. Прехвърляме израза от дясната страна на неравенството в лявата и получения израз r(x) − s(x)представено като дроб. Междувременно къде p(x)и q(x)ще бъдат цели числа, които са продукти на линейни биноми, неразложими квадратни триноми и степени с естествени показатели.
3. След това решаваме полученото неравенство по интервалния метод.
4. Последната стъпка е да изключим точките, получени по време на решението, от обхвата на приемливите стойности за променливата x, която дефинирахме в началото.

Това е алгоритъмът за решаване на дробно рационално неравенство. Повечето отнеговите ясни, малки обяснения са необходими само за параграф 2. Преместихме израза от дясната страна наляво и получихме r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) и след това как да го доведем до формата p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?

Първо, определяме дали дадена трансформация винаги може да бъде извършена. Теоретично тази възможност винаги съществува, тъй като в рационална дробможе да се преобразува във всеки рационално изразяване. Тук имаме дроб с полиноми в числителя и знаменателя. Припомнете си основната теорема на алгебрата и теоремата на Безу и определете, че всеки полином от n-та степен, съдържащ една променлива, може да се трансформира в произведение на линейни биноми. Следователно на теория винаги можем да трансформираме израза по този начин.

На практика факторизирането на полиноми често е доста трудна задача, особено ако степента е по-висока от 4. Ако не можем да извършим разширението, тогава няма да можем да решим това неравенство, но такива задачи обикновено не се изучават в рамките на училищния курс.

След това трябва да решим дали полученото неравенство p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) еквивалентен по отношение на r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) и към оригиналния. Има възможност да се окаже неравностойно.

Еквивалентността на неравенството ще бъде осигурена, когато диапазонът от приемливи стойности p(x) q(x)съответства на диапазона на израза r(x) − s(x). Тогава последният параграф от инструкциите за решаване на дробно-рационални неравенства не е необходимо да се следва.

Но гамата за p(x) q(x)може да е по-широк от r(x) − s(x), например чрез намаляване на дроби. Пример би бил преминаването от x x - 1 3 x - 1 2 x + 3 към x x - 1 x + 3 . Или това може да се случи при добавяне на подобни термини, например тук:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 до 1 x + 3

За такива случаи се добавя последната стъпка от алгоритъма. Като го изпълните, вие ще се отървете от външните стойности на променливата, които възникват поради разширяването на диапазона от валидни стойности. Нека вземем няколко примера, за да стане по-ясно за какво говорим.

Пример 6

Състояние:намерете решения на рационалното равенство x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x x - 3 2 x + 1 .

Решение

Ние действаме според алгоритъма, посочен по-горе. Първо, ние определяме диапазона от приемливи стойности. AT този случайопределя се от системата от неравенства x + 1 x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 (x + 1) ≠ 0 , решението на която е множеството (− ∞ , − 1) ∪ ( − 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0

След това трябва да го трансформираме, така че да е удобно за прилагане на интервалния метод. На първо място представяме алгебрични дробидо най-малкия общ знаменател (x − 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

Свиваме израза в числителя, като прилагаме формулата на квадрата на сумата:

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

Диапазонът на валидните стойности на получения израз е (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) . Виждаме, че е подобно на това, което беше дефинирано за първоначалното равенство. Заключаваме, че неравенството x + 2 2 x - 3 2 x + 1 ≥ 0 е еквивалентно на оригиналното, което означава, че не се нуждаем от последната стъпка на алгоритъма.

Използваме метода на интервала:

Виждаме решението ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) , което ще бъде решението на първоначалното рационално неравенство x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

Отговор: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

Пример 7

Състояние:пресметнете решението x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .

Решение

Определяме зоната на допустимите стойности. В случая на това неравенство то ще бъде равно на всички реални числа с изключение на − 2 , − 1 , 0 и 1 .

Преместваме изразите от дясната страна наляво:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Предвид резултата, ние пишем:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

За израза - 1 x - 1, диапазонът от валидни стойности ще бъде множеството от всички реални числа, с изключение на единицата. Виждаме, че диапазонът от стойности се е разширил: − 2 , − 1 и 0 . И така, трябва да изпълним последната стъпка от алгоритъма.

Тъй като стигнахме до неравенството - 1 x - 1 > 0 , можем да запишем неговия еквивалент 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

Изключваме точки, които не са включени в обхвата на приемливите стойности на първоначалното равенство. Трябва да изключим от (− ∞ , 1) числата − 2 , − 1 и 0 . Така решението на рационалното неравенство x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 ще бъдат стойностите (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Отговор: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

В заключение ще дадем още един пример за задача, в която крайният отговор зависи от обхвата на допустимите стойности.

Пример 8

Състояние:намерете решението на неравенството 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 .

Решение

Областта на допустимите стойности на посоченото в условието неравенство се определя от системата x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.

Тази система няма решения, защото

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

Това означава, че първоначалното равенство 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 няма решение, тъй като няма такива стойности на променливата, за които би има смисъл.

Отговор:няма решения.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебен ред, в съдебни производства и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо от съображения за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Примери:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)

\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .

При решаване на дробни рационални неравенства се използва методът на интервалите. Ето защо, ако алгоритъмът по-долу ви създава затруднения, вижте статията за .

Как се решават дробни рационални неравенства:

Алгоритъм за решаване на дробни рационални неравенства.

Примери:



Поставете знаци върху интервалите на числовата ос. Нека ви напомня правилата за подреждане на табели:

Определяме знака в най-десния интервал - вземаме число от този интервал и го заместваме в неравенството вместо x. След това определяме знаците в скоби и резултата от умножаването на тези знаци;

Примери:




Маркирайте пространствата, които искате. Ако има отделен корен, маркирайте го с флаг, за да не забравите да го включите в отговора (вижте примера по-долу).

Примери:


Запишете в отговор подчертаните пропуски и корените, отбелязани с флагче (ако има такива).

Примери:
Отговор: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪)