Медианата е отсечката, изтеглена от върха на триъгълника до средата на противоположната страна, тоест тя го разделя наполовина от пресечната точка. Точката, в която медианата пресича противоположната страна, от която излиза, се нарича основа. През една точка, наречена пресечна точка, минава всяка медиана на триъгълника. Формулата за нейната дължина може да се изрази по няколко начина.

Формули за изразяване на дължината на медианата

• Често в задачи по геометрия учениците трябва да се справят с такъв сегмент като медиана на триъгълник. Формулата за неговата дължина се изразява чрез страните:

където a, b и c са страни. Освен това c е страната, на която пада медианата. Ето как изглежда най-простата формула. Понякога се изискват медиани на триъгълника за спомагателни изчисления. Има и други формули.

• Ако по време на изчислението са известни две страни на триъгълника и определен ъгъл α, разположен между тях, тогава дължината на медианата на триъгълника, спусната към третата страна, ще бъде изразена по следния начин.

Основни свойства

• Всички медиани имат една обща пресечна точка O и те също се делят на нея в съотношение две към едно, ако броим от върха. Тази точка се нарича център на тежестта на триъгълника.
• Медианата разделя триъгълника на два други, чиито площи са равни. Такива триъгълници се наричат ​​равни триъгълници.
• Ако нарисувате всички медиани, тогава триъгълникът ще бъде разделен на 6 равни фигури, които също ще бъдат триъгълници.
• Ако в триъгълника и трите страни са равни, тогава в него всяка от медианите също ще бъде височина и бисектриса, тоест перпендикулярна на страната, към която е начертана, и разполовява ъгъла, от който излиза.
• В равнобедрен триъгълник медианата, изпусната от връх, който е срещу страна, която не е равна на никоя друга, също ще бъде височината и ъглополовящата. Медианите, изпуснати от други върхове, са равни. Това също е необходимо и достатъчно условие за равнобедрените.
• Ако триъгълникът е основата на правилна пирамида, тогава височината, спусната върху тази основа, се проектира до пресечната точка на всички медиани.

• В правоъгълен триъгълник медианата, изтеглена към най-дългата страна, е половината от нейната дължина.
• Нека O е пресечната точка на медианите на триъгълника. Формулата по-долу ще бъде вярна за всяка точка M.

• Друго свойство е медианата на триъгълник. Формулата за квадрата на неговата дължина по отношение на квадратите на страните е представена по-долу.

Свойства на страните, към които е изтеглена медианата

• Ако свържем произволни две пресечни точки на медианите със страните, върху които са спуснати, тогава полученият сегмент ще бъде средната линия на триъгълника и ще бъде половината от страната на триъгълника, с която няма общи точки.
• Основите на височините и медианите в триъгълника, както и средните точки на отсечките, свързващи върховете на триъгълника с пресечната точка на височините, лежат върху една и съща окръжност.

В заключение е логично да се каже, че един от най-важните сегменти е именно медианата на триъгълника. Неговата формула може да се използва за намиране на дължините на другите му страни.

За да намерите медианата на страните на триъгълник, не е необходимо да запомняте допълнителна формула. Достатъчно е да знаете алгоритъма на решението.

Първо, нека разгледаме проблема в общи линии.

Даден е триъгълник със страни a, b, c. Намерете дължината на медианата, изтеглена към страна b.

AB=a, AC=b, BC=c.

На лъча BF отделяме отсечката FD, FD=BF.

Нека свържем точка D с точки A и C.

Четириъгълник ABCD е паралелограм (по признак), тъй като диагоналите му в пресечната точка са разделени наполовина.

Свойство на диагоналите на успоредник: сумата от квадратите на диагоналите на успоредника е равна на сумата от квадратите на страните му.

Следователно: AC²+BD²=2(AB²+BC²), така че b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². По конструкция BF е половината от BD, следователно,

Това е формулата за намиране на медианата на триъгълник по неговите страни. Обикновено се пише така:

Нека да преминем към конкретен проблем.

Страните на триъгълника са 13 см, 14 см и 15 см. Намерете медианата на триъгълника, начертана до средната му страна.

Прилагайки подобни разсъждения, получаваме:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

14²+BD²=2(13²+15²)

Триъгълник е многоъгълник с три страни, или затворена прекъсната линия с три връзки, или фигура, образувана от три сегмента, свързващи три точки, които не лежат на една права линия (виж фиг. 1).

Основни елементи на триъгълник abc

върхове – точки A, B и C;

Парти – отсечки a = BC, b = AC и c = AB, свързващи върховете;

ъгли – α , β, γ, образувани от три двойки страни. Ъглите често се обозначават по същия начин като върховете с буквите A, B и C.

Ъгълът, образуван от страните на триъгълника и лежащ във вътрешността му, се нарича вътрешен ъгъл, а прилежащият към него ъгъл е прилежащият ъгъл на триъгълника (2, с. 534).

Височини, медиани, ъглополовящи и средни линии на триъгълник

В допълнение към основните елементи в триъгълника се разглеждат и други сегменти, които имат интересни свойства: височини, медиани, ъглополовящи и средни линии.

Височина

Височини на триъгълникса перпендикулярите, изпуснати от върховете на триъгълника към противоположните му страни.

За да изградите височината, направете следното:

1) начертайте права линия, съдържаща една от страните на триъгълника (ако височината е изтеглена от върха на остър ъгъл в тъп триъгълник);

2) от връх, лежащ срещу начертаната линия, начертайте сегмент от точка до тази линия, като с нея направите ъгъл от 90 градуса.

Точката на пресичане на височината със страната на триъгълника се нарича височина основа (виж фиг. 2).

Свойства на височината на триъгълника

В правоъгълен триъгълник височината, изтеглена от върха на правия ъгъл, го разделя на два триъгълника, подобни на оригиналния триъгълник.

В остър триъгълник двете му височини отрязват подобни триъгълници от него.

Ако триъгълникът е остър, тогава всички основи на височините принадлежат на страните на триъгълника, а за тъп триъгълник две височини падат върху продължението на страните.

Три височини в остър триъгълник се пресичат в една точка и тази точка се нарича ортоцентър триъгълник.

Медиана

медиани(от латински mediana - "среда") - това са сегменти, свързващи върховете на триъгълника със средните точки на противоположните страни (виж фиг. 3).

За да изградите медиана, направете следното:

1) намерете средата на страната;

2) свържете точката, която е средата на страната на триъгълника, с противоположния връх със сегмент.

Средни свойства на триъгълник

Медианата разделя триъгълника на два триъгълника с една и съща площ.

Медианите на триъгълник се пресичат в една точка, която разделя всяка от тях в съотношение 2:1, като се брои от върха. Тази точка се нарича център на тежестта триъгълник.

Целият триъгълник е разделен от медианите на шест равни триъгълника.

Бисектриса

бисектриси(от лат. bis - два пъти "и seko - режа) се наричат ​​отсечките от прави линии, затворени вътре в триъгълника, които разполовяват ъглите му (виж фиг. 4).

За да построите бисектриса, трябва да изпълните следните стъпки:

1) построете лъч, излизащ от върха на ъгъла и го разделящ на две равни части (половяща на ъгъла);

2) намерете пресечната точка на ъглополовящата на ъгъла на триъгълника с противоположната страна;

3) изберете сегмент, свързващ върха на триъгълника с пресечната точка от противоположната страна.

Свойства на бисектриса на триъгълник

Симетралата на ъгъла на триъгълник разделя противоположната страна в съотношение, равно на съотношението на двете съседни страни.

Симетралите на вътрешните ъгли на триъгълник се пресичат в една точка. Тази точка се нарича център на вписаната окръжност.

Половините на вътрешния и външния ъгли са перпендикулярни.

Ако ъглополовящата на външния ъгъл на триъгълника пресича продължението на противоположната страна, тогава ADBD=ACBC.

Симетралите на един вътрешен и два външни ъгъла на триъгълник се пресичат в една точка. Тази точка е центърът на една от трите извън кръга на този триъгълник.

Основите на симетралите на два вътрешни и един външен ъгъл на триъгълник лежат на една и съща права, ако ъглополовящата на външния ъгъл не е успоредна на противоположната страна на триъгълника.

Ако симетралите на външните ъгли на триъгълник не са успоредни на противоположните страни, тогава техните основи лежат на една и съща права.

Когато изучавате всяка тема от училищния курс, можете да изберете определен минимум от задачи, като усвоите методите за решаване на които, учениците ще могат да решат всяка задача на нивото на програмните изисквания за изучаваната тема. Предлагам да разгледате задачи, които ще ви позволят да видите връзката между отделните теми от училищния курс по математика. Следователно съставената система от задачи е ефективно средство за повтаряне, обобщаване и систематизиране на учебния материал в хода на подготовката на студентите за изпит.

За да преминете изпита, допълнителна информация за някои елементи на триъгълника няма да е излишна. Разгледайте свойствата на медианата на триъгълник и проблемите, в които тези свойства могат да бъдат използвани. Предложените задачи реализират принципа на диференциация по нива. Всички задачи са условно разделени на нива (нивото е посочено в скоби след всяка задача).

Припомнете си някои свойства на медианата на триъгълник

Свойство 1. Докажете, че медианата на триъгълника ABCизтеглено отгоре А, по-малко от половината от сбора на страните АБи AC.

Доказателство

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="(!LANG:$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Свойство 2. Медианата разрязва триъгълника на две равни зони.

Доказателство

От връх B на триъгълник ABC изчертайте медиана BD и височина BE..gif" alt="(!LANG:Площ" width="82" height="46">!}

Тъй като сегментът BD е медиана, тогава

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="(!LANG:Mediana" align="left" width="196" height="75 src=">!} Свойство 4. Медианите на триъгълника разделят триъгълника на 6 триъгълника с еднаква площ.

Доказателство

Нека докажем, че площта на всеки от шестте триъгълника, на които медианите разделят триъгълник ABC, е равна на площта на триъгълник ABC. За да направите това, разгледайте, например, триъгълника AOF и пуснете перпендикуляра AK от върха A на правата BF.

Поради свойство 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="(!LANG:Mediana" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Свойство 6. Медианата на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, е половината от хипотенузата.

Доказателство

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="(!LANG:Медиана" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Последствия:1. Центърът на окръжност, описана около правоъгълен триъгълник, лежи в средата на хипотенузата.

2. Ако в триъгълник дължината на медианата е равна на половината от дължината на страната, към която е начертана, то този триъгълник е правоъгълен триъгълник.

ЗАДАЧИ

При решаване на всеки следващ проблем се използват доказани свойства.

№1 Теми: Удвояване на медианата. Трудност: 2+

Характеристики и свойства на паралелограма Класове: 8,9

състояние

Относно продължението на медианата AMтриъгълник ABCна точка Мсегментът е отложен MD, равна на AM. Докажете, че четириъгълникът ABDC- паралелограм.

Решение

Нека използваме един от знаците на паралелограма. Диагонали на четириъгълник ABDCпресичат се в точка Ми го разделете наполовина, така че четириъгълникът ABDC- паралелограм.