Задачи за деление на обикновени дроби. Деление на обикновени дроби

AT последен пътнаучихме как да събираме и изваждаме дроби (вижте урока „Събиране и изваждане на дроби“). Най-трудният момент в тези действия беше привеждането на дробите към общ знаменател.

Сега е време да се занимаваме с умножение и деление. Добрата новина е, че тези операции са дори по-лесни от събирането и изваждането. За да започнете, помислете най-простият случайкогато са две положителни дробибез отделна цяла част.

За да умножите две дроби, трябва да умножите отделно техните числители и знаменатели. Първото число ще бъде числителят на новата дроб, а второто ще бъде знаменателят.

За да разделите две дроби, трябва да умножите първата дроб по "обърнатата" втора.

Обозначаване:

От определението следва, че разделянето на дроби се свежда до умножение. За да обърнете дроб, просто разменете числителя и знаменателя. Следователно целият урок ще разгледаме основно умножението.

В резултат на умножението може да възникне (и често възниква) намалена фракция - разбира се, тя трябва да бъде намалена. Ако след всички съкращения фракцията се окаже неправилна, в нея трябва да се разграничи цялата част. Но това, което точно няма да се случи с умножението, е редукция до общ знаменател: без кръстосани методи, максимални множители и най-малко общи кратни.

По дефиниция имаме:

Умножение на дроби с цяла част и отрицателни дроби

Ако присъства във фракции цяла част, те трябва да бъдат преобразувани в неправилни - и едва след това умножени според схемите, посочени по-горе.

Ако има минус в числителя на дроб, в знаменателя или пред него, той може да бъде изваден от границите на умножението или напълно премахнат съгласно следните правила:

1. Плюс по минус дава минус;
2. Две отрицания правят утвърдително.

Досега тези правила се срещаха само при събиране и изваждане на отрицателни дроби, когато се изискваше да се отървем от цялата част. За даден продукт те могат да бъдат обобщени, за да „изгорят“ няколко минуси наведнъж:

1. Зачеркваме минусите по двойки, докато изчезнат напълно. В краен случай може да оцелее един минус - този, който не е намерил съответствие;
2. Ако няма останали минуси, операцията е завършена - можете да започнете да умножавате. Ако последният минус не е зачеркнат, тъй като не е намерил двойка, ние го изваждаме от границите на умножение. Получавате отрицателна дроб.

Задача. Намерете стойността на израза:

Превеждаме всички дроби в неправилни и след това изваждаме минусите извън границите на умножението. Това, което остава, се умножава по обичайните правила. Получаваме:

Нека ви напомня още веднъж, че минусът, който идва пред дроб с подчертана цяла част, се отнася конкретно за цялата дроб, а не само за нейната цяла част (това се отнася за последните два примера).

Обърнете внимание и на отрицателни числа: Когато се умножават, те се ограждат в скоби. Това се прави, за да се отделят минусите от знаците за умножение и да се направи цялата нотация по-точна.

Намаляване на дроби в движение

Умножението е много трудоемка операция. Числата тук са доста големи и за да опростите задачата, можете да опитате да намалите фракцията още повече преди умножение. Наистина, по същество числителите и знаменателите на дробите са обикновени множители и следователно могат да бъдат намалени, като се използва основното свойство на дроб. Разгледайте примерите:

Задача. Намерете стойността на израза:

По дефиниция имаме:

Във всички примери с червено са отбелязани числата, които са намалени и това, което е останало от тях.

Моля, обърнете внимание: в първия случай множителите бяха напълно намалени. На мястото си останаха единици, които, общо казано, могат да бъдат пропуснати. Във втория пример не беше възможно да се постигне пълно намаление, но общият размер на изчисленията все пак намаля.

В никакъв случай обаче не използвайте тази техника при събиране и изваждане на дроби! Да, понякога има подобни числа, които просто искате да намалите. Ето вижте:

Не можете да направите това!

Грешката възниква поради факта, че при добавяне на дроб сумата се появява в числителя на дроб, а не произведението на числата. Следователно е невъзможно да се приложи основното свойство на дроб, тъй като в това свойство говорим сиСтава въпрос за умножаване на числа.

Просто няма друга причина за намаляване на дробите, така че правилното решение на предишния проблем изглежда така:

Правилното решение:

Както можете да видите, правилният отговор се оказа не толкова красив. Като цяло, бъдете внимателни.

Тема: Разделяне обикновени дроби.

Цел:научете как да разделяте обикновени дроби, повторете и консолидирайте правилата за умножаване на обикновени дроби и концепцията за взаимно реципрочни числа.

Тип урок:получаване на нови знания.

Оборудване: тебешир, дъска, интерактивно оборудване, карти с правила и тестови задачи.

План на урока:

Актуализация на знанията.

1). Организиране на времето

2). Фронтално проучване

Формиране на нови знания.

един). Постановка на проблема.

2). Търсене на решение на проблема.

3) Съставяне на алгоритъм за деление на дроби.

четири). Физкултминутка.

един). Решение на примери за деление № 596

2). Направи си сам решениетестове.

3). Отражение.

четири). Домашна работа.

По време на часовете:

Актуализация на знанията.

Здравейте момчета! Ще започна нашия урок днес със следните думи:

Необходими са различни фракции

Различните фракции са важни

Трябва да научим дроби!

Вече знаем как изглеждат обикновените дроби: правилни и неправилни, със и без цяло число. Знаем как да извършваме някои действия с тези дроби. Моля, избройте тези дейности.

Какво друго можем да направим?

Отговори на учениците: Намерете взаимно обратни дроби.

Какво още не си се научил да правиш?

Отговори на учениците: Разделете обикновени дроби.

И така, остава да изучаваме само делението, за да можем да извършваме всички аритметични действия с обикновени дроби.

Предлагам ви да предприемете "Пътешествие в планината". За да покорим върха, трябва да изминем дълъг път и да решим няколко проблема. Тръгваме на път. И така, да започваме.

Коя от двете дроби е по-голяма?

Назовете дробта, по-голяма от 2 и по-малка от 3.

Назовете равни дроби.

Назовете число, което няма обратно. (0).

Назовете числото, реципрочно на себе си. (един).

Назовете дроб, равна на 4.

От предложените числа изберете двойка взаимно обратни. (.

На какво е равна работата? (един)

Площта на правоъгълника е m2. Дължина на едната страна Намерете дължината на другата страна? (ние незнаем).

Тук ще посветим днешния ни урок на изучаването на разделянето на дроби. Нека формулираме и запишем темата на урока:

Ученик отговаря: "Деление на обикновени дроби."

Формиране на нови знания.

За да преодолеем тази трудност, възникнала по пътя ни, е необходимо да намерим начин да разделим обикновените дроби. Какви ще бъдат предложенията? (Слушайте отговорите на учениците правилно решениене е намерено, тогава вижте урока).

Нека се опитаме да намерим отговора на този въпрос в учебника. Отворете учебниците на стр.97 стр.17 и намерете там правилото за деление на дроби, прочетете го. (Децата отварят учебниците и четат правилото за деление на обикновени дроби).

Нека го запишем в тетрадка.

ПРАВИЛО: За да разделите една дроб на друга, трябва да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя!

Пример: .

Направете деление.

(Затруднение и търсене на решение от учениците, учителят изслушва предложените решения на тази задача).

Разделям .

Решете как да разделите смесени числа. Попълнете празните места на картите с липсващите думи. Картите са на вашите маси.

КАРТА:

Физкултминутка.

Предлагам ви да си починете. Оставете всичките си вещи настрана, станете и се протегнете, вдишайте чистия планински въздух. Тогава ще си поиграем малко. Ще прочета твърденията и ако са верни, тогава пляскайте с ръце, а ако не, тогава тропайте с крака. Така ще се загреем и след това ще продължим пътя си към върха на планината.

А) е правилна дроб.

Б) е несъкратима дроб.

В) не е правилна дроб.

Г) е несъкратима дроб.

Г) е правилна дроб.

E) е намалена дроб.

Е, сега вземете нещата си и продължете да се катерите.

Формиране на умения и способности.

Ще решим на дъска № 596 а); д); и); л); м).

Последно Крайният етапза да преодолеете върха, предлагам ви да го направите сами.

ТЕСТ (След като завършите разделянето, изберете и оградете верния отговор).

Тип урок:урок за откриване на нови знания

Целите на учителя: въвеждат делението на дроб с дроб; създават условия за развитие на умения за използване на правилото за умножаване на дроб с дроб и намаляване на дроби на практика.

Предмет:изведе правилото за деление на дроб на дроб; извършват деление на обикновени дроби; решаване на задачи за намиране на S и a по формулата за площ на правоъгълник, обем.

лични:показват положително отношение към уроците по математика, широк интерес към новото учебен материал, начини за решаване на нови Цели на обучението, доброжелателно отношение към връстниците; адекватно възприемат оценката на учителя; разбират причините за успеха в образователните дейности.

Метасубект:

• регулаторен: определяне на целта на образователната дейност с помощта на учител и самостоятелно, търсене на средства за нейното постигане;
• когнитивни: способни да предават съдържание в компресирана или разширена форма;
• комуникативен: те изразяват своята гледна точка и се опитват да я обосноват, като дават аргументи.

Оборудване: мултимедиен проектор, презентация.

По време на часовете

I. Организационен момент. Мотивация за учебна дейност – 1мин

Искам да започна урока с въпрос към вас. Кое според вас е най-ценното нещо на земята? (Слушат се отговорите на децата). Този въпрос вълнува човечеството от хиляди години. Ето отговора на известния учен Ал-Бируни: „Знанието е най-доброто притежание. Всеки се стреми към него, но то не идва от само себе си.” Нека тези думи бъдат мотото на нашия урок.

2. Проверка на готовността на учениците за урока

3. Индикатор за изпълнение на психологическата задача на учениците: приятелско отношение, бързо включване на класа в бизнес ритъм.

II. Практически дейностиученици - 5 мин

Бързо броене - 1 мин (задължителна част)

Устно броене – 4 мин

1. Намаляване на дроби: ,, , ,

2. Действайте:

III. Етапът на подготовка на учениците за активно съзнателно усвояване на знания - 7мин

Фронтално проучване на учениците върху преминатия материал, взаимно обратни числа

Какво представляват реципрочните числа?

Две числа, чийто продукт е равен на единица, се наричат ​​реципрочни.

Каква е реципрочната стойност на естествено число?

Дробта е числителят, който \u003d 1, а знаменателят е самото естествено число (P \u003d 1 / n)

Каква е реципрочната стойност на обикновена дроб?

Разменете числителя и знаменателя a/b и b/a

Всяко число има ли обратно?

Не? Нулата няма обратно действие, защото не можете да разделите на нула!

- Може ли произведението на две реципрочни да бъде по-голямо от едно?

Защо? Можете ли любезно да ми отговорите на този въпрос?

да Две числа, чийто продукт е равен на единица, се наричат ​​реципрочни.

Назовете реципрочните стойности на следните числа:

Отговор: ;;; един;

2) Отворете тетрадките си. Запишете датата и оставете място за темата. А сега ви предлагам да решите следните уравнения. Отидете на работете по двойки. Работейки по двойки, отговорът се приема, само след като двойката се съгласи и двойката стигне до консенсус. Само когато двойката е готова да отговори, ще приема вашия отговор: (Знак за готовност на двойката - вдигнати ръце заедно)

1) 3 * x \u003d 12,6 Отговор: x \u003d 4,2

2) X * 0,5 \u003d 2 Отговор: x \u003d 4

3) * x \u003d 2 отговор: x \u003d 4

Възникнаха трудности при решаването на третото уравнение? Как се справи с тях?

Преобразуваме обикновена дроб в десетична и получаваме уравнението под номер 2

Остава да се реши уравнението под № 4. Намерете корена на това уравнение.

Отговорът на корена на уравнението е x=5

Какви знания ви помогнаха да решите?

Произведение на реципрочни числа=1. Спомнихме си, че това е правилото за реципрочните числа.

Разгледайте следното уравнение и го решете: *x=

а) Ново знание (концепция) (използват добре познат метод за намиране на неизвестен фактор, но за действия с обикновени дроби)

б) пробно действие (опитва се да реши)

Какво е неизвестното в това уравнение?

неизвестен множител. За да намерите неизвестния множител, трябва да разделите продукта на известния множител

Работи върху добре известно правило X=2/7:1/3

в) фиксиране на трудността

Можете ли да решите това уравнение?

Не мога да изпълня тази задача, защото нямаме правило за решаване на това уравнение.

Каква е вашата трудност? Решихте всички предишни уравнения успешно! И този....

Не можем ли да намерим корена на уравнението?

г) причината за затруднението

Какво спря работата ни?

Ние не знаем как да разделим обикновените дроби

д) формулиране на целта на дейността

Имаше проблем: не знаем правилото за деление на обикновени дроби

Проблемна ситуация, която ни довежда до целта на нашия урок

Цел на урока: Правилото за деление на обикновени дроби

IV. Етапът на усвояване на нови знания - 10 минути (фиксиране на нови знания)

Запишете темата на урока: Деление на обикновени дроби

Можете ли да предложите начин за решаване на нашия проблем? (поставяне на цели)

Учениците предлагат различни опцииотговори.

Отворете учебника на стр. 97, прочетете правилото за деление на дроби в учебника. Прочетете и текста на стр. 98 под заглавието „Говори по правилния начин“.

Учениците от първия вариант казват това правило на учениците от втория вариант.

Сега нека решим последното уравнение. Кой го реши?

1) Как решихте уравнението? Приложете правилото за деление на дроби.

2) С какво действие е заменено разделението?

3) Какво се е променило? Какво не се е променило?

4) 1/3 и 3. Как се наричат ​​тези числа?

Формулирайте правило за деление на обикновени дроби.

За да разделите обикновена дроб на обикновена дроб, трябва да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя

Физминутка

V. Етап на затвърдяване на нови знания – 9 минути

P.98 Решете № 596(a-e)

в) 7/5=1 2/5,

д) 15/9=1 2/3

Решението се представя на дъската чрез произнасяне на правилото с пълен коментар в решението.След свършената работа учителят ги спира от решаване и предлага да отговорят на въпроса.

Може ли разделението да бъде опасно? или капани?

Не можеш да делиш на нула!

Работа по задача. P.98 No. 600

Отговор: kg - тегло 1 dm 3; 2 dm 3 - обем от 1 kg борова пръчка

Вие работихте върху нашето откритие "Правилото за деление на обикновени дроби". В работата си се срещнахте не само с обикновени дроби, но и с естествени числа, смесени фракции. И ти го направи. Какъв е вашият успех?

Тъй като всички числа с изключение на нулата имат реципрочни стойности.Това правило е подходящо и за решаване на естествени и смесени дроби.

VI. Етап на проверка на нови знания - 6 минути

Предлагам ви да решите самостоятелна работа, според метода за разделяне на обикновени дроби, който намерихме:

Отворете дневниците си и запишете домашното си: стр. 17 (стр. 99-100) научете правилото. № 633 (a-e), № 637 (стр. 105). Отворете книгите на тази страница и вижте задачата. Кой какво не разбира? Ако имате въпроси, попитайте или можете да се свържете с учителя в междучасието.

VIII.Етап на размисъл и резултата от урока – 1 минута

Какво ново научихме в урока?

Намерихме начин да разделим обикновените дроби.

Постигната ли е целта на нашия урок?

да Намерихме начин сами да решим проблема си и откритието ни беше потвърдено.

Формулирайте откритието заедно (кажете правилото в унисон)

За да разделите обикновена дроб на обикновена дроб, трябва да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя.

В древността в Русия са казали: Умножението е мъка, а делението е беда.”А днес през целия урок доказваме обратното. Вдигнете ръка, ако сте съгласни с мен. Благодаря ти за урока!

Използвана учебна и методическа литература.

1. Математика.6 клас : учебник за общообразовател. институции / Н.Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Москва: Мнемозина, 2012.
2. Разработки на уроциматематика. 6 клас-Виговская В.В.-М: ВАКО, 2014
3. Сайт на издателство "Първи септември"

Умножение и деление на дроби.

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Тази операция е много по-хубава от събиране-изваждане! Защото е по-лесно. Напомням ви: за да умножите дроб по дроб, трябва да умножите числителите (това ще бъде числителят на резултата) и знаменателите (това ще бъде знаменателят). Това е:

Например:

Всичко е изключително просто. И моля те, не гледай общ знаменател! Не ми трябва тук...

За да разделите дроб на дроб, трябва да обърнете второ(това е важно!) дроб и ги умножете, т.е.:

Например:

Ако се хване умножение или деление с цели числа и дроби, всичко е наред. Както при събирането, правим дроб от цяло число с единица в знаменателя - и тръгваме! Например:

В гимназията често трябва да се справяте с триетажни (или дори четириетажни!) фракции. Например:

Как да доведем тази фракция до прилична форма? Да, много лесно! Използвайте деление през две точки:

Но не забравяйте за реда на разделяне! За разлика от умножението, тук това е много важно! Разбира се, няма да бъркаме 4:2 или 2:4. Но в триетажна фракция е лесно да се направи грешка. Моля, обърнете внимание, например:

В първия случай (израз вляво):

Във втория (израз вдясно):

Почувствай разликата? 4 и 1/9!

Какъв е редът на разделяне? Или скоби, или (както тук) дължината на хоризонталните тирета. Развийте око. И ако няма скоби или тирета, като:

след това деление-умножение в ред, отляво надясно!

И още един много прост и важен трик. При действия с градуси ще ви е от полза! Нека разделим единицата на произволна дроб, например на 13/15:

Кадърът се обърна! И винаги се случва. При разделяне на 1 на която и да е дроб, резултатът е същата дроб, само обърната.

Това са всички действия с дроби. Нещото е доста просто, но дава повече от достатъчно грешки. Забележка практически съвети, и те (грешките) ще бъдат по-малко!

Практически съвети:

1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието! Не е общи думи, не са добри пожелания! Това е сериозна нужда! Направете всички изчисления на изпита като пълноценна задача, с концентрация и яснота. По-добре е да напишете два допълнителни реда в чернова, отколкото да се объркате, когато изчислявате в главата си.

2. В примерите със различни видовефракции - отидете на обикновени дроби.

3. Намаляваме всички дроби до крак.

4. Многоетажна дробни изразисвеждаме до обикновени с деление през две точки (следваме реда на деление!).

5. Разделяме единицата на дроб в ума си, просто като обърнем дробта.

Ето задачите, които трябва да изпълните. След всички задачи се дават отговори. Използвайте материалите от тази тема и практически съвети. Преценете колко примера можете да решите правилно. Първият път! Без калкулатор! И си направи правилните изводи...

Запомнете верния отговор получено от втори (особено трети) път - не се брои!Такъв е суровият живот.

Така, решаване в изпитен режим ! Между другото това е подготовка за изпита. Решаваме пример, проверяваме, решаваме следното. Решихме всичко - пак проверихме от първия до последния. Но само следвижте отговорите.

Изчисли:

решихте ли

Търсите отговори, които отговарят на вашите. Специално ги записах на бъркотия, далеч от изкушението, така да се каже... Ето ги и отговорите, записани с точка и запетая.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

И сега правим изводи. Ако всичко се получи - радвам се за вас! Елементарните изчисления с дроби не са ваш проблем! Може повече сериозни неща. Ако не...

Така че имате един от двата проблема. Или и двете наведнъж.) Липса на знания и (или) невнимание. Но това разрешими проблеми.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.