Grafikon linearne funkcije y ax b. Linearna funkcija, njena svojstva i graf

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudski nalog, u sudskim postupcima, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno u svrhe sigurnosti, provođenja zakona ili u druge svrhe od javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Koncept numeričke funkcije. Načini postavljanja funkcije. Svojstva funkcije.

Numerička funkcija- funkcija koja djeluje iz jednog brojevnog prostora (skupa) u drugi brojevni prostor (skup).

Postoje tri glavna načina definiranja funkcije: analitički, tabelarni i grafički.

1. Analitički.

Metoda specificiranja funkcije pomoću formule naziva se analitička. Ova metoda je glavna u otiraču. analize, ali u praksi to nije zgodno.

2. Tabelarni način podešavanja funkcije.

Funkcija se može definirati korištenjem tablice koja sadrži vrijednosti argumenata i njihove odgovarajuće vrijednosti funkcije.

3. Grafički način zadaci funkcija.

Funkcija y \u003d f (x) se poziva grafički ako je izgrađen njen graf. Ova metoda postavljanja funkcije omogućava određivanje vrijednosti funkcije samo približno, jer je konstrukcija grafa i pronalaženje vrijednosti funkcije na njemu povezana s greškama.

Svojstva funkcije koja se moraju uzeti u obzir kada se crta njen graf:

1) Region definicije funkcija.

Opseg funkcije, odnosno one vrijednosti koje argument x funkcije F =y (x) može uzeti.

2) Intervali rastuće i opadajuće funkcije.

Funkcija se zove rastuća na razmatranom intervalu, ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije y(x). To znači da ako se dva proizvoljna argumenta x 1 i x 2 uzmu iz intervala koji se razmatra, a x 1 > x 2, onda je y (x 1) > y (x 2).

Funkcija se zove opadajuća na intervalu koji se razmatra, ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije y(x). To znači da ako se iz razmatranog intervala uzmu dva proizvoljna argumenta x 1 i x 2, a x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Nule funkcije.

Tačke u kojima funkcija F = y (x) siječe os apscise (dobive se rješavanjem jednadžbe y (x) = 0) i nazivaju se nulama funkcije.

4) Parne i neparne funkcije.

Funkcija se zove parna, ako za sve vrijednosti argumenta iz opsega

y(-x) = y(x).

Graf parne funkcije je simetričan oko y-ose.

Funkcija se naziva neparna, ako za sve vrijednosti argumenta iz opsega

y(-x) = -y(x).

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

Mnoge funkcije nisu ni parne ni neparne.

5) Periodičnost funkcije.

Funkcija se zove periodična, ako postoji broj P takav da za sve vrijednosti argumenta iz domene definicije

y(x + P) = y(x).

Linearna funkcija, njegova svojstva i graf.

Linearna funkcija je funkcija oblika y = kx + b, definisan na skupu svih realni brojevi.

k – nagib(pravi broj)

b– slobodni termin (stvarni broj)

x je nezavisna varijabla.

· U konkretnom slučaju, ako je k = 0, dobijamo konstantnu funkciju y = b, čiji je grafik prava linija paralelna sa Ox osom, koja prolazi kroz tačku sa koordinatama (0; b).

· Ako je b = 0, onda dobijamo funkciju y = kx, što je direktna proporcionalnost.

o Geometrijsko značenje koeficijenta b je dužina segmenta koji prava linija odsiječe duž ose Oy, računajući od početka.

o Geometrijsko značenje koeficijenta k je ugao nagiba prave linije prema pozitivnom pravcu ose Ox, smatra se suprotno od kazaljke na satu.

Svojstva linearne funkcije:

1) Oblast definisanja linearne funkcije je cela realna osa;

2) Ako je k ≠ 0, tada je opseg linearne funkcije cijela realna osa.

Ako je k = 0, tada se opseg linearne funkcije sastoji od broja b;

3) Parnost i neparnost linearne funkcije zavise od vrijednosti koeficijenata k i b.

a) b ≠ 0, k = 0, dakle, y = b je paran;

b) b = 0, k ≠ 0, stoga je y = kx neparan;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, stoga je y = kx + b funkcija opšti pogled;

d) b = 0, k = 0, stoga je y = 0 i parna i neparna funkcija.

4) Linearna funkcija nema svojstvo periodičnosti;

5) Tačke ukrštanja sa koordinatnim osa:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b / k, dakle (-b / k; 0) je točka presjeka s osom apscise.

Oy: y = 0k + b = b, dakle (0; b) je tačka preseka sa y-osom.

Komentar. Ako je b = 0 i k = 0, tada funkcija y = 0 nestaje za bilo koju vrijednost x. Ako je b ≠ 0 i k = 0, tada funkcija y = b ne nestaje ni za jednu vrijednost varijable x.

6) Intervali konstantnosti predznaka zavise od koeficijenta k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b je pozitivan za x iz (-b/k; +∞),

y = kx + b je negativan za x iz (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b je pozitivan za x iz (-∞; -b/k),

y = kx + b je negativan za x iz (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b je pozitivan u cijeloj domeni,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Intervali monotonosti linearne funkcije zavise od koeficijenta k.

k > 0, stoga y = kx + b raste u cijelom domenu,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funkcija y \u003d ax 2 + bx + c, njena svojstva i graf.

Funkcija y \u003d ax 2 + bx + c (a, b, c - konstante, a ≠ 0) se zove kvadratni. U najjednostavnijem slučaju, y = ax 2 (b = c = 0), graf je kriva linija koja prolazi kroz ishodište. Kriva koja služi kao graf funkcije y \u003d ax 2 je parabola. Svaka parabola ima os simetrije tzv osa parabole. Tačka O presjeka parabole sa njenom osom naziva se vrh parabole.

Graf se može izgraditi prema sljedećoj šemi: 1) Naći koordinate vrha parabole x 0 = -b/2a; y 0 = y (x 0). 2) Gradimo još nekoliko tačaka koje pripadaju paraboli, pri izgradnji možete koristiti simetrije parabole u odnosu na pravu liniju x = -b / 2a. 3) Označene tačke povezujemo glatkom linijom. Primjer. Konstruirajte graf funkcije u \u003d x 2 + 2x - 3. Rješenja. Graf funkcije je parabola čije su grane usmjerene prema gore. Apscisa vrha parabole x 0 = 2 / (2 ∙ 1) = -1, njene ordinate y (-1) = (1) 2 + 2 (-1) - 3 = -4. Dakle, vrh parabole je tačka (-1; -4). Napravimo tablicu vrijednosti za nekoliko tačaka koje su postavljene desno od ose simetrije parabole - ravne linije x = -1.

Svojstva funkcije.

Algebra i počeci analize.
1. Linearna funkcija y = ax + b, njena svojstva i graf.
2. Kvadratna funkcija y = ax2 + bx + c, njena svojstva i graf.
3. Funkcija y = k/x, njena svojstva i graf, graf linearna frakciona funkcija(na konkretnom primjeru).
4. Eksponencijalna funkcija y = ax, njegova svojstva i graf.
5. logaritamska funkcija y = loga x, njegova svojstva i graf.
6. Funkcija y = sin(x), njena svojstva i graf.
7. Funkcija y = cos(x), njena svojstva i graf.
8. Funkcija y = tg(x), njena svojstva i graf.
9. Funkcija y = ctg(x), njena svojstva i graf.
10. Aritmetička progresija, zbir prvih n članova aritmetička progresija.
11. Geometrijska progresija, zbir prvih n članova geometrijske progresije. Zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije.
12. Rješenje jednadžbe sin(x) = a, nejednakosti sin(x) > a, sin(x)< a.
13. Rješenje jednadžbe cos(x) = a, nejednakosti cos(x) > a, cos(x)< a.
14. Rješenje jednadžbe tg(x) = a, nejednačine tg(x) > a, tg(x)< a.
15. Formule redukcije (sa izvođenjem).
16. Formule za sinus i kosinus zbira i razlike dva argumenta (sa dokazom).
17. Trigonometrijske funkcije dvostrukog argumenta.
18. Trigonometrijske funkcije poluargumenata.
19. Formule za zbir i razliku sinusa, kosinusa (sa dokazom).
20. Izvođenje formule korijena kvadratna jednačina, Vietin teorem.
21. Logaritam proizvoda, stepena, količnika.
22. Koncept derivata, njegov geometrijskog smisla i fizičko značenje.
23. Pravila za izračunavanje derivata.

Funkcija dato formulom y = kx + b, gdje su k i b neki brojevi, naziva se linearnim.
Područje definicije linearne funkcije je skup R svi realni brojevi, jer izraz kx + b ima smisla za bilo koju vrijednost x.
Grafikon linearne funkcije y = kx + b je prava linija. Očigledno, dvije tačke su dovoljne za crtanje grafika ako je k 0.
Koeficijent k karakterizira ugao koji prava linija y = kx formira sa pozitivnim smjerom ose Ox, pa se k naziva koeficijent nagiba. Ako je k > 0, onda je ovaj ugao oštar; ako k< 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
Grafikon funkcije y = kx + b može se postkodirati pomicanjem grafika funkcije y = kx paralelno.

Odgovor broj 2. ODA. Kvadratna funkcija je funkcija koja se može specificirati formulom oblika y \u003d ax2 + bx + c, gdje je x nezavisna varijabla, a, b i c su neki brojevi, a a 0.

raspored kvadratna funkcija je parabola.

Svojstva funkcije y = ax2 (poseban slučaj) za a > 0.

2. Ako je x 0, onda je y > 0. Grafikon funkcije nalazi se u gornjoj poluravni.

4. Funkcija se smanjuje u intervalu (- ; 0] i raste u intervalu .
5. Najniža vrijednost funkcija prihvata na x = 0. Opseg funkcije je (- ; 0).

Dakle, graf funkcije y = ax2 + bx + c je parabola, čiji je vrh tačka (m; n), gdje je m = , n= . Osa simetrije parabole je prava linija x = m, paralelna sa y osom. Za a > 0, grane parabole su usmjerene prema gore, za a< 0 - вниз.

Ako je varijabla y obrnuto proporcionalna varijabli x, tada se ova zavisnost izražava formulom, gdje je koeficijent inverzna proporcionalnost.

Domen funkcije je skup svih brojeva koji nisu nula, tj.
Graf inverzne proporcionalnosti y=k/x je kriva koja se sastoji od dvije grane simetrične oko ishodišta. Takva kriva se naziva hiperbola. Ako je k>0, tada se grane hiperbole nalaze u I i III koordinatnoj četvrti; ako k<.0, то во II и IV координатных четвертях.
Imajte na umu da hiperbola nema zajedničkih tačaka sa koordinatnim osama, već im se samo približava proizvoljno blizu.

br. 4. Def. Funkcija data formulom y = ax, gdje je a neko pozitivan broj, koji nije jednak jedinici, naziva se eksponencijalna.

1. Funkcija y = ax za a>1

c) funkcija se povećava;

e) ako je x > 0, onda je ax > 1;
e) ako je x< 0, то 0< ax <1;

2. Funkcija y = ax na 0< а <1
a)
b) skup vrijednosti - skup svih pozitivnih brojeva;
c) funkcija se smanjuje;
d) kod x = 0, vrijednost funkcije je 1;
e) ako je x > 0, onda je 0< ax <1;
e) ako je x< 0, то ax > 1.

№5.Def. Funkcija data formulom y = loga x naziva se logaritamska funkcija s bazom a.
Svojstva funkcije y = loga x za a>1:
a) D(f) = R+;
b) E(f) = R;
c) funkcija se povećava;

e) ako je 0 f) ako je x > 1, onda je loga x > 0.
Svojstva funkcije y = loga x na 0 a) D(f) = R+;
b) E(f) = R;
c) funkcija se smanjuje;
d) ako je x = 1, onda je loga x = 0;
e) ako je 0< x < 1, то loga x > 0;
f) ako je x > 1, onda je loga x< 0.

br. 6. ODA. Odnos nogu pravougaonog trougla naspram oštrog ugla u odnosu na hipotenuzu naziva se sinus ovog ugla (označen grijeh).

domen definicije - skup svih realnih brojeva;
skup vrijednosti - [-1; jedan];
neparna funkcija: sin(-x) = -sin(x) za sve;
sin(x) = 0 za x = ;
sin(x) > 0 za sve;
sin(x)< 0 для всех;
funkcija se povećava za;
funkcija se smanjuje za.

br. 7.Opr. Omjer kraka pravokutnog trokuta koji se nalazi pored oštrog ugla u odnosu na hipotenuzu naziva se kosinus ovog ugla (označen cos)

domen definicije - skup svih realnih brojeva;
skup vrijednosti - [-1; jedan];
parna funkcija: cos(-x) = cos(x) za sve;
funkcija je periodična sa najmanje pozitivan period;
cos(x) = 0 at;
cos(x) > 0 za sve;
cos(x) > 0 za sve;
funkcija se povećava za;
funkcija se smanjuje za

№8.Opr. Omjer kraka nasuprot oštrom kutu pravokutnog trokuta i kraka koji je susjedan ovom kutu naziva se tangenta (označena tg).

neparna funkcija: tg(-x) = -tg(x) za sve x iz domena definicije;
funkcija je periodična sa najmanjim pozitivnim periodom;
tg(x) = 0 na x = ;
tg(x) > 0 za sve;
tg(x)< 0 для всех;
funkcija se povećava za.

№9.Opr. Omjer kraka koji se nalazi uz oštar ugao pravokutnog trokuta i kraka suprotnog ovom kutu naziva se kotangens (označen ctg)

domen definicije - skup svih realnih brojeva, osim brojeva oblika;
skup vrijednosti je cijela brojevna prava;
odd funkcija: ctg(-x) = -ctg(x) za sve x iz domene;
funkcija je periodična sa najmanjim pozitivnim periodom;
ctg(x) = 0 za x = ;
ctg(x) > 0 za sve;
ctg(x)< 0 для всех;
funkcija se smanjuje za.

Odgovor broj 10

Numerički niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu, dodanom istom broju, naziva se aritmetička progresija.
Iz definicije aritmetičke progresije proizilazi da je razlika između bilo kojeg njenog člana i prethodnika jednaka istom broju, tj. a2 - a1 = a3 - a2 =... = ak - ak-1 =.... Ovaj broj se naziva razlika aritmetičke progresije i obično se označava slovom d.
Da bi se postavila aritmetička progresija (an), dovoljno je znati njen prvi član a1 i razliku d.
Ako je razlika aritmetičke progresije pozitivan broj, tada se takva progresija povećava; ako negativan broj, a zatim se smanjuje. Ako je razlika aritmetičke progresije jednaka nuli, tada su svi njeni članovi jednaki i progresija je konstantan niz.
karakteristično svojstvo aritmetička progresija. Niz (an) je aritmetička progresija ako i samo ako je bilo koji od njegovih članova, počevši od drugog, aritmetička sredina prethodnog i narednih članova, tj. (1)
Formula za n-ti član aritmetičke progresije je: an = a1 + d(n-1). (2)
Formula za zbir prvih n članova aritmetičke progresije je: (3)
Ako u formuli (3) zamijenimo njen izraz prema formuli (2) umjesto an, onda ćemo dobiti relaciju
Iz definicije razlike aritmetičke progresije slijedi da je a1 + an = a2 + an-1 = ..., tj. zbir članova jednako udaljenih od krajeva progresije je konstantna vrijednost.

Odgovor broj 11

Brojčani niz čiji je prvi član različit od nule, a svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom članu pomnoženom istim brojem koji nije nula, naziva se geometrijska progresija.
Iz definicije geometrijske progresije proizilazi da je odnos bilo kog njenog člana prema prethodnom jednak istom broju, tj. b2 :b1 = b3 :b2 =… = bn :bn-1 = bn+1 :bn=…. Ovaj broj se naziva nazivnik geometrijske progresije i obično se označava slovom q .
Da biste postavili geometrijsku progresiju ( bn), dovoljno je znati njegov prvi pojam b1 i imenilac q .
Ako a q> 0 (), tada je progresija monotoni niz. Neka, na primjer, b1 = -2, q= 3, tada je geometrijska progresija -2, -6, -18,… monotono opadajući niz. Ako a q= 1, tada su svi članovi progresije jednaki. U ovom slučaju, progresija je konstantan niz.
Karakteristično svojstvo geometrijske progresije. Slijed ( bn) je geometrijska progresija ako i samo ako je svaki njen član, počevši od drugog, geometrijska sredina članova koji su mu susjedni, tj. (1)
Formula za n-ti član geometrijske progresije je: (2)
Formula za zbir n prvih članova geometrijske progresije je: , (3)
Ako u formuli (3) zamijenimo njegov izraz prema formuli (2) umjesto bn, onda ćemo dobiti relaciju. , (četiri)
Iz definicije nazivnika geometrijske progresije slijedi da je b1 bn = b2 bn-1 = …, tj. proizvod članova jednako udaljenih od krajeva progresije je konstanta.

Zbir beskonačne geometrijske progresije u

Neka je (xn) geometrijska progresija sa nazivnikom q, gdje ja. Zbir beskonačne geometrijske progresije čiji nazivnik zadovoljava uslov naziva se granica sume n njegovi prvi članovi u.
Označite zbir beskonačne geometrijske progresije sa S. Tada je formula tačna.

Rješenje trigonometrijskih jednačina oblika sin(x) = a

formula za korijene jednadžbe sin(x) = a, gdje, ima oblik:
Posebni slučajevi:
sin(x) = 0, x =
sin(x) = 1, x =
sin(x) = -1, x =
formula za korijene jednadžbe sin2 (x) = a, gdje, ima oblik: x=

Rješenje trigonometrijske nejednakosti oblika sin(x) > a, sin(x)< a

Nejednačine koje sadrže varijablu samo pod znakom trigonometrijske funkcije nazivaju se trigonometrijske.
Prilikom rješavanja trigonometrijskih nejednačina koristi se svojstvo monotonosti trigonometrijskih funkcija, kao i intervali njihovog predznaka konstante.
Za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti oblika sin(x) > a (sin(x)< а) используют jedinični krug ili graf funkcije y = sin(x).
sin(x) = 0 ako je x = ;
sin(x) = -1 ako je x =>;
sin(x) > 0 ako;
sin(x)< 0, если.

Odgovor broj 13

Rješenje trigonometrijska jednačina cos(x) = a

Formula za korijene jednačine cos(x) = a, gdje, ima oblik: .
Posebni slučajevi:
cos(x) = 1, x = ;
cos(x) = 0, ;
cos(x) = -1, x =
Formula za korijene jednadžbe cos2 (x) = a, gdje, ima oblik: .

Rješenje trigonometrijskih nejednačina oblika cos(x) > a, cos(x)< a

Za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti oblika cos(x) > a, cos(x)< a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);
Važna tačka je saznanje da:
cos(x) = 0 ako;
cos(x) = -1 ako je x = ;
cos(x) = 1 ako je x = ;
cos(x) > 0 ako;
cos(x) > 0 ako.

Rješenje trigonometrijske jednadžbe tg(x) = a

Formula za korijene jednadžbe tg(x) = a je: .
Posebni slučajevi:
tan(x) = 0, x = ;
tan(x) = 1, ;
tan(x) = -1, .
Formula za korijene jednadžbe tg2 (x) = a, gdje, ima oblik:

Rješenje trigonometrijskih nejednačina oblika tg(x) > a, tg(x)< a

Za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti oblika tg(x) > a, tg(x)< a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).
Važno je znati da:
tg(x) > 0 ako;
tg(x)< 0, если;
Tangenta ne postoji ako.

Formule redukcije nazivaju se relacije, uz pomoć kojih se vrijednosti trigonometrijske funkcije argumenti se izražavaju kroz vrijednosti grijeha, cos , tg i ctg .
Sve formule redukcije mogu se sažeti u sljedeću tabelu:

	Argument

Da biste olakšali pamćenje gornjih formula, potrebno je koristiti sljedeća pravila:
a) pri prelasku sa funkcije ugla na funkcije ugla, naziv funkcije se mijenja: sinus u kosinus, tangenta u kotangens i obrnuto;
pri prelasku sa funkcije ugla na funkcije ugla, naziv funkcije se zadržava;
b) s obzirom na oštar ugao (tj.), ispred funkcije ugla stavljaju znak kakav ima reducibilna funkcija uglova, .

Sve gore navedene formule mogu se dobiti pomoću sljedećeg pravila:
Bilo koja trigonometrijska funkcija ugla 90°n + by apsolutna vrijednost jednaka je istoj funkciji kuta ako je broj n paran, i dodatna funkcija ako je broj n neparan. Štaviše, ako je funkcija kuta 90°n + . je pozitivna kada oštri ugao, tada su predznaci obje funkcije isti, ako su negativni, onda su različiti.

Formule za kosinus zbira i razlike dvaju argumenata:
Sl.1 Sl.2
Zarotirajmo poluprečnik OA, jednak R, u blizini tačke O za ugao i za ugao (slika 1). Dobijamo poluprečnike OB i OS. Nađimo skalarni proizvod vektora i. Neka su koordinate tačke B x1 i y1, koordinate tačke C su x2 i y2. Vektori i imaju iste koordinate. Po definiciji skalarnog proizvoda vektora:
= x1 x2 + y1 y2. (jedan)
Skalarni proizvod izražavamo u terminima trigonometrijskih funkcija uglova u. Iz definicije kosinusa i sinusa slijedi da
x1 = R cos, y1 = R sin, x2 = R cos, y2 = R sin.
Zamjena vrijednosti x1, x2, y1, y2 u desna strana jednakosti (1), dobijamo:
\u003d R2 coscos + R2 sinsin = R2 (coscos + sinsin).
S druge strane, prema teoremi o tačkasti proizvod vektor imamo:
= cos BOC = R2 cos BOC.
Ugao VOC između vektora i može biti jednak - (slika 1), - (-) (slika 2) ili se može razlikovati od ovih vrijednosti za cijeli broj okretaja. U bilo kojem od ovih slučajeva, cos BOC = cos (-). Zbog toga
= R2 cos(-).
Jer je takođe jednako R2 (coscos + sinsin), onda
cos(-) = coscos + sinsin.
Cos(+) = cos(- (-)) = coscos(-) + sinsin(-) = coscos - sinsin.
znači,
cos(+) = coscos - sinsin.
Formule za sinus zbira i razlike dvaju argumenata:
Sin(+) = cos(/2 - (+)) = cos((/2 -) -) = cos(/2 -) cos+ sin(/2 -) sin= sincos+ cossin.
znači,
sin(+) = sincos + cossin.
Sin(-) = sin(+ (-)) = sincos(-) + cossin(-) = sincos - cossin.
znači,
sin(-) = sincos - cossin.

Formule dupli uglovi

Formule sabiranja vam omogućavaju da izrazite sin 2, cos 2, tg 2, ctg 2 kroz trigonometrijske funkcije ugla.
Unosimo formule
sin(+) = sincos + cossin
cos(+) = coscos - sinsin,
,
.
jednaka. Dobijamo identitete:

sin 2= 2 sin cos ;
cos2= cos2 - sin2 = 1 - sin2 = 2 cos2 - 1;
; .

Formule poluargumenata

Izražavanje desne strane cos formule 2= cos2 - sin2 kroz jednu trigonometrijsku funkciju (sinus ili kosinus), dolazimo do relacija
cos 2= 1 - sin2 , cos 2= 2 cos2 - 1.
Ako u ove relacije stavimo = /2, dobijamo:
cos = 1 - 2 sin2 /2, cos 2= 2 cos2 /2 - 1. (1)
Iz formule (1) slijedi da
(2), (3).
Dijelimo član po član jednakost (2) sa jednakošću (3), dobijamo
(4).
U formulama (2), (3) i (4), predznak ispred radikala zavisi od toga koji koordinatna četvrtina postoji ugao /2.
Korisno je znati sljedeću formulu:
.

Formule za zbir i razliku sinusa, kosinusa

Zbir i razlika sinusa ili kosinusa mogu se predstaviti kao proizvod trigonometrijskih funkcija. Formule na kojima se zasniva takva transformacija mogu se izvesti iz adicionih formula.
Predstaviti kao proizvod sum sin+ sin, stavite = x + y i = x - y i koristite formule za sinus zbira i sinus razlike. Dobijamo:
sin + sin = sin (x + y) + sin (x - y) = sinx ugodno + cosx siny + sinx ugodno - cosx siny = 2sinx ugodno.
Pošto smo sada rešili sistem jednačina = x + y, = x - y u odnosu na x i y, dobijamo x = , y = .
shodno tome,
sin + sin = 2 sincos.
Formule se izvode na sličan način:
sin-sin = 2 kosin;
cos + cos = 2 coscos;
cos + cos = -2 sinsin .

Naći rješenje redukovane kvadratne jednadžbe x2 + str x + q= 0, pri čemu je dovoljno slobodni član prenijeti na desnu stranu i dodati obje strane jednakosti. Tada lijeva strana postaje pun kvadrat, i dobijamo ekvivalentna jednačina = - q .
Od najjednostavnije jednačine x2 = m razlikuje se samo po izgledu: umjesto x i - q- umjesto m. Nađi = . Otsyuba x = - . Ova formula pokazuje da svaka kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ali ovi korijeni mogu biti zamišljeni ako< q. Također se može ispostaviti da su oba korijena kvadratne jednadžbe jednaka jedan drugom ako je = q. Vraćamo se na uobičajeni oblik.
1. Zbir korijena reducirane kvadratne jednadžbe x2 + str x + q= 0 je jednako drugom koeficijentu preuzetom iz suprotan znak, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu, tj. x1 + x2 = - R, i x1 x2 = q .
2. Teorema, obrnuta teorema Vieta. Ako a R, q, x1, x2 su takvi da je x1 + x2 = - R i x1 x2 = q, tada su x1 i x2 korijeni jednadžbe x2 + str x + q = 0.

ODA. Logaritam broja b prema osnovici a je eksponent na koji se baza a mora podići da bi se dobio broj b.
Formula (gdje je b > 0, a > 0 i a 1) se naziva osnovnim logaritamskim identitetom.
Svojstva logaritama:

Logaritam proizvoda jednak je zbiru logaritmi faktora:
.
Da bismo ovo dokazali, koristimo osnovni logaritamski identitet:
x = , y = .
Pomnožimo ove jednakosti član po član, dobićemo:
xy == .
Dakle, po definiciji logaritma (tačka 3) je dokazano.
Logaritam količnika jednaka je logaritmu dividenda bez logaritma djelitelja:
.
Tok dokaza je sličan dokazu iz tačke 3
Logaritam stepena jednak je proizvodu eksponent po logaritmu njegove baze:
.
U dokazu je također potrebno koristiti osnovni logaritamski identitet.

Derivat funkcije f (x) u tački x0 je granica omjera prirasta funkcije u tački x0 i priraštaja argumenta kada potonji teži nuli. Ovo se može napisati ovako: .
Iz definicije izvoda slijedi da funkcija može imati izvod u tački x0 samo ako je definirana u nekom susjedstvu tačke x0, uključujući i ovu tačku.
Neophodan uslov postojanje derivacije funkcije u datoj tački je kontinuitet funkcije u toj tački.
Postojanje derivacije funkcije f u tački x0 je ekvivalentno postojanju (nevertikalne) tangente u tački (x0; f(x0)) grafa, dok tangentni nagib jednaka. Ovo je šta geometrijsko značenje izvedenice.
mehanički smisao derivacija f "(x) funkcije y = f (x) je stopa promjene funkcije u tački x. Stoga, prilikom rješavanja primijenjenih problema, treba imati na umu da bez obzira koji proces opisuje proučavani funkcija y = f (x), derivat s fizičke točke gledišta može se smatrati brzinom kojom se proces odvija.

Derivat zbira jednak je zbiru izvoda, ako postoje:
.
Ako je funkcija u i v su diferencijabilni u tački x0to, njihovi derivati su diferencijabilni u ovoj tački, i
.
Ako je funkcija u i v su diferencijabilne u tački x0, i OD je konstantna, onda funkcija Cu je diferencibilan u ovoj tački i
.
Ako je funkcija u i v su diferencijabilne u tački x0 i funkciji v nije jednako nuli u ovoj tački, tada je kvocijent dvije funkcije također diferencijabilan u tački x0u
.

U ovom članku ćemo pogledati linearna funkcija, graf linearne funkcije i njena svojstva. I, kao i obično, riješit ćemo nekoliko problema na ovu temu.

Linearna funkcija naziva se funkcija oblika

U jednadžbi funkcije, broj s kojim množimo naziva se faktor nagiba.

Na primjer, u jednadžbi funkcije ;

u jednadžbi funkcije ;

u jednadžbi funkcije.

Grafikon linearne funkcije je prava linija.

jedan . Za crtanje funkcije, potrebne su nam koordinate dvije tačke koje pripadaju grafu funkcije. Da biste ih pronašli, trebate uzeti dvije vrijednosti x, zamijeniti ih u jednadžbu funkcije i iz njih izračunati odgovarajuće y vrijednosti.

Na primjer, za crtanje funkcije , prikladno je uzeti i , tada će ordinate ovih točaka biti jednake i .

Dobijamo tačke A(0;2) i B(3;3). Povežimo ih i dobijemo graf funkcije:

2 . U jednadžbi funkcije, koeficijent je odgovoran za nagib grafa funkcije:

Title="(!LANG:k>0">!}

Koeficijent je odgovoran za pomicanje grafika duž ose:

Title="(!LANG:b>0">!}

Slika ispod prikazuje grafikone funkcija; ;

Imajte na umu da je u svim ovim funkcijama koeficijent Iznad nule u pravu. Štaviše, nego više vrijednosti, strmiji ide pravo.

U svim funkcijama - i vidimo da svi grafovi sijeku osu OY u tački (0;3)

Sada razmotrite grafove funkcija; ;

Ovaj put u svim funkcijama koeficijent manje od nule, i svi grafovi funkcija su iskrivljeni nalijevo.

Imajte na umu da što je veći |k|, to je linija strmija. Koeficijent b je isti, b=3, a grafovi, kao iu prethodnom slučaju, prelaze osu OY u tački (0;3)

Razmotrimo grafove funkcija; ;

Sada su u svim jednadžbama funkcija koeficijenti jednaki. I dobili smo tri paralelne prave.

Ali koeficijenti b su različiti, a ovi grafovi sijeku os OY u različitim tačkama:

Grafikon funkcije (b=3) prelazi os OY u tački (0;3)

Grafikon funkcije (b=0) preseca OY osu u tački (0;0) - ishodištu.

Grafikon funkcije (b=-2) prelazi os OY u tački (0;-2)

Dakle, ako znamo predznake koeficijenata k i b, onda možemo odmah zamisliti kako izgleda graf funkcije.

Ako a k<0 и b>0 , tada graf funkcije izgleda ovako:

Ako a k>0 i b>0 , tada graf funkcije izgleda ovako:

Ako a k>0 i b<0 , tada graf funkcije izgleda ovako:

Ako a k<0 и b<0 , tada graf funkcije izgleda ovako:

Ako a k=0 , tada se funkcija pretvara u funkciju i njen graf izgleda ovako:

Ordinate svih tačaka grafa funkcije su jednake

Ako a b=0, tada graf funkcije prolazi kroz ishodište:

to grafik direktne proporcionalnosti.

3 . Zasebno, napominjem grafik jednačine. Grafikon ove jednadžbe je prava linija paralelna sa osom, čije sve tačke imaju apscisu.

Na primjer, graf jednadžbe izgleda ovako:

Pažnja! Jednačina nije funkcija, jer različite vrijednosti argumenta odgovaraju istoj vrijednosti funkcije, što ne odgovara .

4 . Uslov za paralelnost dve prave:

Funkcija Graf paralelno sa grafikom funkcije, ako

5. Uslov okomitosti dvije prave:

Funkcija Graf okomito na graf funkcije ako ili

6. Točke sjecišta grafa funkcije sa koordinatnim osa.

sa OY osom. Apscisa bilo koje tačke koja pripada osi OY jednaka je nuli. Stoga, da biste pronašli točku presjeka sa OY osom, trebate zamijeniti nulu umjesto x u jednadžbi funkcije. Dobijamo y=b. To jest, tačka preseka sa OY osom ima koordinate (0;b).

Sa OX osom: Ordinata bilo koje tačke koja pripada osi OX je nula. Stoga, da biste pronašli točku presjeka sa osom OX, trebate zamijeniti nulu umjesto y u jednadžbi funkcije. Dobijamo 0=kx+b. Odavde. To jest, tačka preseka sa OX osom ima koordinate (; 0):

Razmislite o rješavanju problema.

jedan . Izgradite graf funkcije ako je poznato da ona prolazi kroz tačku A (-3; 2) i paralelna je s pravom y = -4x.

Postoje dva nepoznata parametra u jednadžbi funkcije: k i b. Dakle, u tekstu zadatka treba da postoje dva uslova koja karakterišu graf funkcije.

a) Iz činjenice da je grafik funkcije paralelan pravoj liniji y=-4x, slijedi da je k=-4. Odnosno, jednadžba funkcije ima oblik

b) Ostaje nam da pronađemo b. Poznato je da graf funkcije prolazi kroz tačku A (-3; 2). Ako tačka pripada grafu funkcije, onda kada se njene koordinate zamijene u jednadžbu funkcije, dobivamo ispravnu jednakost:

dakle b=-10

Dakle, trebamo iscrtati funkciju

Tačka A(-3;2) nam je poznata, uzmite tačku B(0;-10)

Stavimo ove tačke u koordinatnu ravan i povežimo ih pravom linijom:

2. Napisati jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačke A(1;1); B(2;4).

Ako prava prolazi kroz tačke sa datim koordinatama, tada koordinate tačaka zadovoljavaju jednadžbu prave. Odnosno, ako zamenimo koordinate tačaka u jednadžbu prave, dobićemo tačnu jednakost.

Zamijenite koordinate svake tačke u jednačini i dobijete sistem linearnih jednačina.

Od druge jednačine sistema oduzimamo prvu jednačinu i dobijamo . Zamijenite vrijednost k u prvoj jednačini sistema i dobijete b=-2.

Dakle, jednačina prave linije.

3 . Plot Equation

Da biste pronašli pri kojim vrijednostima nepoznate je proizvod nekoliko faktora jednak nuli, trebate svaki faktor izjednačiti s nulom i uzeti u obzir svaki množitelj.

Ova jednadžba nema ograničenja na ODZ. Hajde da faktorizujemo drugu zagradu i izjednačimo svaki faktor sa nulom. Dobijamo skup jednačina:

Konstruišemo grafove svih jednačina skupa u jednoj koordinatnoj ravni. Ovo je graf jednadžbe :

četiri . Napravi graf funkcije ako je okomita na pravu liniju i prolazi kroz tačku M (-1; 2)

Nećemo graditi graf, samo ćemo pronaći jednačinu prave linije.

a) Pošto je grafik funkcije, ako je okomit na pravu, dakle, odavde. Odnosno, jednadžba funkcije ima oblik

b) Znamo da graf funkcije prolazi kroz tačku M (-1; 2). Zamijenite njegove koordinate u jednadžbu funkcije. Dobijamo:

Odavde.

Stoga naša funkcija izgleda ovako: .

5 . Iscrtajte funkciju

Pojednostavimo izraz na desnoj strani jednadžbe funkcije.

Bitan! Prije nego što pojednostavimo izraz, pronađimo njegov ODZ.

Imenilac razlomka ne može biti nula, pa title="(!LANG:x1">, title="x-1">.!}

Tada naša funkcija postaje:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

Odnosno, treba da napravimo graf funkcije i izvučemo dve tačke na njemu: sa apscisama x=1 i x=-1:

Zadaci o svojstvima i grafovima kvadratne funkcije, kao što pokazuje praksa, uzrokuju ozbiljne poteškoće. Ovo je prilično čudno, jer se kvadratna funkcija polaže u 8. razredu, a onda se cijela prva četvrtina 9. razreda "muči" svojstvima parabole i grade se njeni grafovi za različite parametre.

To je zbog činjenice da prisiljavajući učenike da grade parabole, oni praktički ne posvećuju vrijeme "čitanju" grafikona, odnosno ne vježbaju razumijevanje informacija dobivenih sa slike. Očigledno se pretpostavlja da će, nakon što je izgradio dva tuceta grafova, pametan student sam otkriti i formulirati odnos između koeficijenata u formuli i izgled grafike. U praksi to ne funkcionira. Za takvu generalizaciju, ozbiljno iskustvo matematičko mini-istraživanje, koje većina učenika devetog razreda, naravno, nema. U međuvremenu, u GIA predlažu da se predznaci koeficijenata određuju tačno prema rasporedu.

Nećemo zahtijevati nemoguće od školaraca i jednostavno ponuditi jedan od algoritama za rješavanje takvih problema.

Dakle, funkcija forme y=ax2+bx+c naziva se kvadratnim, njegov graf je parabola. Kao što ime govori, glavna komponenta je sjekira 2. To je a ne bi trebali biti jednaki nuli, preostali koeficijenti ( b i With) može biti jednaka nuli.

Pogledajmo kako predznaci njegovih koeficijenata utiču na izgled parabole.

Najjednostavnija zavisnost za koeficijent a. Većina školaraca samouvjereno odgovara: „ako a> 0, tada su grane parabole usmjerene prema gore, i ako a < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой a > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

AT ovaj slučaj a = 0,5

A sada za a < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

U ovom slučaju a = - 0,5

Uticaj koeficijenta With takođe dovoljno lak za praćenje. Zamislite da želimo pronaći vrijednost funkcije u nekoj tački X= 0. Zamijenite nulu u formulu:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. Ispostavilo se da y = c. To je With je ordinata tačke preseka parabole sa y-osom. Po pravilu, ovu tačku je lako pronaći na grafikonu. I odredite da li leži iznad nule ili ispod. To je With> 0 ili With < 0.

With > 0:

y=x2+4x+3

With < 0

y = x 2 + 4x - 3

Shodno tome, ako With= 0, tada će parabola nužno proći kroz ishodište:

y=x2+4x

Teže s parametrom b. Tačka do koje ćemo ga pronaći ne zavisi samo od toga b ali i iz a. Ovo je vrh parabole. Njegova apscisa (koordinata ose X) se nalazi po formuli x u \u003d - b / (2a). Na ovaj način, b = - 2ax in. Odnosno, postupamo na sljedeći način: na grafu nalazimo vrh parabole, određujemo predznak njene apscise, odnosno gledamo desno od nule ( x in> 0) ili lijevo ( x in < 0) она лежит.

Međutim, to nije sve. Takođe moramo obratiti pažnju na predznak koeficijenta a. Odnosno, da vidimo gdje su grane parabole usmjerene. I tek nakon toga, po formuli b = - 2ax in odredi znak b.

Razmotrimo primjer:

Grane usmjerene prema gore a> 0, parabola prelazi osu at ispod nule znači With < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Dakle b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: a > 0, b < 0, With < 0.