Neka je funkcija z - f(x, y) definirana u nekom domenu D i neka je Mo(xo, y0) unutrašnja tačka ovog domena. Definicija. Ako postoji takav broj da je nejednakost istinita za sve koji zadovoljavaju uslove, tada se tačka Mo(xo, yo) naziva tačka lokalnog maksimuma funkcije f(x, y); ako, međutim, za sve Dx, Du zadovoljavaju uslove | tada se tačka Mo(x0, y0) naziva finim lokalnim minimumom. Drugim riječima, tačka M0(x0, y0) je tačka maksimuma ili minimuma funkcije f(x, y) ako postoji 6-susedstvo tačke A/o(x0, y0) tako da uopšte tačke M(x, y) ove okoline, prirast funkcije zadržava predznak. Primjeri. 1. Za funkciju, tačka je minimalna tačka (slika 17). 2. Za funkciju, tačka 0(0,0) je maksimalna tačka (slika 18). 3. Za funkciju, točka 0(0,0) je lokalna maksimalna točka. 4 Zaista, postoji susjedstvo tačke 0(0, 0), na primjer, krug poluprečnika j (vidi sliku 19), u čijoj bilo kojoj tački, različitoj od tačke 0(0, 0), vrijednost funkcije f(x, y) manja od 1 = Razmatraćemo samo tačke strogog maksimuma i minimuma funkcija kada stroga nejednakost ili stroga nejednakost vrijedi za sve tačke M(x) y) iz nekog probušenog 6-susjedstva od tačka Mq. Vrijednost funkcije u tački maksimuma naziva se maksimumom, a vrijednost funkcije u tački minimuma naziva se minimumom ove funkcije. Maksimalne i minimalne tačke funkcije nazivaju se ekstremnim tačkama funkcije, a maksimumi i minimumi same funkcije nazivaju se njeni ekstremi. Teorema 11 (neophodan uslov za ekstrem). Funkcija If Ekstremum funkcije nekoliko varijabli Koncept ekstremuma funkcije nekoliko varijabli. Neophodni i dovoljni uslovi za ekstrem Uslovni ekstrem Najveća i najmanja vrednost neprekidnih funkcija imaju ekstrem u tački tada u ovoj tački svaki parcijalni izvod i u ili nestaje ili ne postoji. Neka funkcija z = f(x) y) ima ekstrem u tački M0(x0, y0). Dajmo varijablu y vrijednost yo. Tada će funkcija z = /(x, y) biti funkcija jedne varijable x\ Pošto pri x = xo ona ima ekstrem (maksimum ili minimum, slika 20), onda je njen izvod u odnosu na x = “o, | (*o,l>)" je jednako nuli, ili ne postoji. Slično, potvrđujemo da) ili je jednako nuli, ili ne postoji. Tačke u kojima je = 0 i u = 0 ili ne postoje nazivaju se kritične tačke funkcije z = Dx, y). Tačke u kojima je $£ = u = 0 nazivaju se i stacionarne tačke funkcije. Teorem 11 izražava samo neophodne uslove za ekstrem, koji nisu dovoljni. 18 Sl.20 immt derivati ​​koji nestaju na. Ali ova funkcija je prilično tanka na imvat „straumum. Zaista, funkcija je jednaka nuli u tački 0(0, 0) i preuzima tačke M(x, y), koliko god želite tački 0(0, 0), kkk pozitivne i negativne vrijednosti. Za njega, dakle, u tačkama u tačkama (0, y) za proizvoljno male tačke, tačka 0(0, 0) ovog tipa naziva se mini-max tačka (slika 21). Dovoljni uslovi za ekstremum funkcije dvije varijable izraženi su sljedećim teoremom. Teorema 12 (dovoljni uslovi za ekstremum rasplinutih varijabli). Neka je tačka Mo(xo, y0) stacionarna tačka funkcije f(x, y), a u nekom okruženju tačke / uključujući i samu tačku Mo, funkcija f(r, y) ima kontinuirane parcijalne izvode nagore do drugog reda uključujući. Tada "1) u tački Mq(xq, V0) funkcija f(x, y) ima maksimum ako je determinanta u ovoj tački 2) u tački Mo(x0, V0) funkcija f(x, y) ima minimum ako u tački Mo(xo, yo) funkcija f(x, y) nema ekstrema ako D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Wo) ekstrem funkcije f(x, y) može, ali i ne mora biti. U ovom slučaju potrebno je dodatno istraživanje. Ograničavamo se na dokazivanje tvrdnji 1) i 2) teoreme. Napišimo Taylorovu formulu drugog reda za funkciju /(i, y): gdje. Po pretpostavci, odakle je jasno da je predznak prirasta D/ određen predznakom trinoma na desnoj strani (1), odnosno predznakom drugog diferencijala d2f. Označimo radi kratkoće. Tada se jednakost (l) može napisati na sljedeći način: Neka u tački MQ(so, y0) imamo susjedstvo tačke M0(s0,yo). Ako je uslov (u tački A/0) zadovoljen i, zbog kontinuiteta, derivacija /,z(s, y) će zadržati svoj predznak u nekom susjedstvu tačke Af0. U području gdje je A ∆ 0, imamo 0 u nekoj okolini tačke M0(x0) y0), tada se predznak trinoma AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 poklapa sa predznakom A u tački C ne može imati različite predznake). Budući da predznak zbira AAs2 + 2BAxAy + CAy2 u tački (s0 + $ Ax, yo + 0 Dy) određuje znak razlike, dolazimo do sljedećeg zaključka: ako je funkcija f(s, y) na tački stacionarna tačka (s0, yo) zadovoljava uslov, tada za dovoljno male || nejednakost će se održati. Dakle, u tački (sq, y0) funkcija /(s, y) ima maksimum. Ali ako je uslov zadovoljen u stacionarnoj tački (s0, yo), tada za sve dovoljno male |Ar| i |Do| nejednakost je tačna, što znači da funkcija /(s, y) ima minimum u tački (dakle, yo). Primjeri. 1. Istražiti funkciju 4 za ekstrem Koristeći potrebne uslove za ekstrem, tražimo stacionarne tačke funkcije. Da bismo to učinili, nalazimo parcijalne izvode, u i izjednačavamo ih sa nulom. Dobijamo sistem jednačina odakle - stacionarna tačka. Koristimo sada teoremu 12. Dakle, postoji ekstremum u tački Ml. Jer ovo je minimum. Ako transformiramo funkciju g u formu, onda je lako vidjeti da će desna strana (")" biti minimalna kada je apsolutni minimum ove funkcije. 2. Istražiti funkciju za ekstrem.Nalazimo stacionarne tačke funkcije, za koje sastavljamo sistem jednačina odavde tako da tačka bude stacionarna. Pošto, na osnovu teoreme 12, ne postoji ekstrem u tački M. * 3. Istražite funkciju za ekstrem Nađite stacionarne tačke funkcije. Iz sistema jednačina dobijamo to, tako da je tačka stacionarna. Nadalje, imamo tako da teorema 12 ne daje odgovor na pitanje o prisutnosti ili odsustvu ekstremuma. Uradimo to na ovaj način. Za funkciju oko svih tačaka osim tačke tako da, po definiciji, u tački A/o(0,0) funkcija r ima apsolutni minimum. Analognim sušenjem utvrđujemo da funkcija ima maksimum u tački, ali funkcija nema ekstremum u tački. Neka je funkcija od η nezavisnih varijabli diferencijabilna u tački Tačka Mo se naziva stacionarnom tačkom funkcije ako Teorema 13 (dovoljni uslovi za ekstrem). Neka je funkcija definirana i ima kontinuirane parcijalne izvode drugog reda u nekom susjedstvu fine linije Mc(xi..., koja je stacionarna fina funkcija, ako je kvadratni oblik (drugi diferencijal funkcije f u finoj tačka je pozitivno-definirana (negativno-definirana), tačka minimuma (odnosno, fini maksimum) funkcije f je u redu. Ako je kvadratni oblik (4) alternativan znakom, onda nema ekstrema u finom LG0. 15.2 Uslovno extremum Do sada smo se bavili pronalaženjem lokalnih ekstrema funkcije u cijelom domenu njene definicije, kada argumenti funkcije nisu vezani nikakvim dodatnim uvjetima. Neka je funkcija z \u003d / (x, y) definirana u području D. Pretpostavimo da je kriva L data u ovoj regiji, a potrebno je pronaći samo ekstreme funkcije f (x> y) među onim njenim vrijednostima koje odgovaraju tačkama krive L. Isti ekstremi se nazivaju uslovni ekstremi funkcije z = f(x) y) na krivulji L. Definicija Kaže se da u tački koja leži na krivulji L, funkcija f(x, y) ima uslovni maksimum (minimum) ako je nejednakost zadovoljena, respektivno, u svim tačkama M (s, y) krive L koje pripadaju nekom susjedstvu tačke M0 (x0, Yo) i različita od tačke M0 (Ako je kriva L data jednačinom, onda je problem nalaženja uslovnog ekstremuma funkcije r - f (x, y) na krivulji! može se formulisati na sljedeći način: pronaći ekstreme funkcije x = /(z, y) u području D, pod uslovom da se, dakle, pri pronalaženju uslovnih ekstrema funkcije z = y), argumenti zn više ne mogu razmatrati kao nezavisne varijable: međusobno su povezane relacijom y ) = 0, koja se naziva jednačina ograničenja. Da bismo objasnili razliku između m «* D y kao bezuslovnog i uslovnog ekstrema, pogledajmo još jedan primer, bezuslovni maksimum funkcije (Sl. 23) jednak je jedan i dostiže se u tački (0,0). To odgovara tačno M - vrhu pvvboloida. Dodajmo jednačinu ograničenja y = j. Tada će uslovni maksimum očigledno biti jednak, dostiže se u tački (o, |), a odgovara vrhu Afj pvvboloida, koji je linija preseka pvvboloida sa ravninom y = j. U slučaju bezuslovnog minimuma s, imamo najmanju aplikaciju među svim ekspliktima površine * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv uslovno - samo među vllkvt tačkama pvrboloidv, koje odgovaraju tački * prave linije y = j ne u ravni xOy. Jedna od metoda za pronalaženje uslovnog ekstremuma funkcije u prisustvu i povezanosti je kako slijedi. Neka jednadžba veze y)-0 definira y kao jednovrijednu diferencijabilnu funkciju argumenta x: Zamjenom funkcije umjesto y u funkciju, dobivamo funkciju jednog argumenta u kojoj je uvjet veze već uzet u obzir . (bezuslovni) ekstremum funkcije je željeni uslovni ekstrem. Primjer. Naći ekstremu funkcije pod uslovom Ekstremum funkcije više varijabli Koncept ekstremuma funkcije nekoliko varijabli. Neophodni i dovoljni uslovi za ekstrem Uslovni ekstrem Najveće i najmanje vrednosti kontinuiranih funkcija A = 1 - kritična tačka;, tako da se dobija uslovni minimum funkcije r (slika 24). Naznačimo još jedan način rešavanja. problem uslovnog ekstremuma, nazvan Lagrangeova metoda množenja. Neka postoji tačka uslovnog ekstremuma funkcije u prisustvu veze. Pretpostavimo da jednačina veze definiše jedinstvenu kontinuirano diferencibilnu funkciju u nekom okruženju tačke xi Pod pretpostavkom da dobijemo da derivacija u odnosu na x funkcije /(r, ip(x)) u tački xq mora biti jednaka nuli ili, što je ekvivalentno ovome, diferencijal f (x, y) ) u tački Mo "O) Iz jednačine veze imamo (5) Tada, zbog proizvoljnosti dx, dobijamo Jednačine (6) i (7) koje izražavaju neophodne uslove za bezuslovni ekstrem u tački funkcije koja se zove Lagrangeova funkcija. Dakle, tačka uslovnog ekstremuma funkcije / (x, y), if, je nužno stacionarna tačka Lagrangeove funkcije gde je A neki numerički koeficijent. Odavde dobijamo pravilo za pronalaženje uslovnih ekstrema: da bismo pronašli tačke koje mogu biti tačke apsolutnog ekstremuma funkcije u prisustvu veze, 1) sastavimo Lagrangeovu funkciju, 2) izjednačimo izvode i W ove funkcije na nulu i dodavanjem jednadžbe veze rezultirajućim jednačinama dobijamo sistem od tri jednadžbe iz kojih nalazimo vrijednosti A i koordinate x, y mogućih ekstremnih tačaka. Pitanje postojanja i prirode uslovnog ekstremuma rješava se na osnovu proučavanja predznaka drugog diferencijala Lagrangeove funkcije za razmatrani sistem vrijednosti x0, Yo, A, dobijenog iz (8) pod uslovom da Ako, tada u tački (x0, Yo) funkcija f(x, y ) ima uslovni maksimum; ako je d2F > 0 - tada je uslovni minimum. Konkretno, ako je u stacionarnoj tački (xo, J/o) determinanta D za funkciju F(x, y) pozitivna, tada u tački (®o, V0) postoji uslovni maksimum funkcije /( x, y) if i uslovni minimum funkcije /(x, y), if Primjer. Vratimo se ponovo na uslove prethodnog primera: pronađite ekstremum funkcije pod uslovom da je x + y = 1. Zadatak ćemo rešiti korišćenjem Lagranžeove metode množenja. Lagrangeova funkcija u ovom slučaju ima oblik Da bismo pronašli stacionarne tačke, sastavljamo sistem Iz prve dvije jednačine sistema dobijamo da je x = y. Tada iz treće jednačine sistema (jednačina sprege) nalazimo da je x - y = j - koordinate tačke mogućeg ekstremuma. U ovom slučaju (naznačeno je da je A = -1. Dakle, Lagrangeova funkcija. je uvjetna minimalna točka funkcije * = x2 + y2 pod uvjetom da ne postoji bezuvjetni ekstrem za Lagrangeovu funkciju. P ( x, y) još ne znači odsustvo uslovnog ekstremuma za funkciju /(x, y) u prisutnosti veze Primjer: Pronađite ekstremum funkcije pod uvjetom y 4 Sastavljamo Lagrangeovu funkciju i ispisujemo sistem za određivanje A i koordinata mogućih tačaka ekstrema: Iz prve dvije jednačine dobijamo x + y = 0 i dolazimo do sistema y = A = 0. Dakle, odgovarajuća Lagrangeova funkcija ima oblik U tački (0 , 0), funkcija F(x, y; 0) nema bezuslovni ekstrem, već uslovni ekstrem funkcije r = xy. Kada je y = x, postoji "Zaista, u ovom slučaju r = x2. Iz ovdje je jasno da u tački (0,0) postoji uslovni minimum. "Metoda Lagrangeovih množitelja prenosi se na slučaj funkcija bilo kojeg broja argumenata / Neka se traži ekstremum funkcije u prisustvu jednadžbe veze Sostaalyaem Lagrangeovu funkciju gdje je A|, Az,..., A„, - ne određene konstantne faktore. Izjednačavajući na nulu sve parcijalne izvode prvog reda funkcije F i dodajući dobijenim jednačinama jednačine veze (9), dobijamo sistem od n + m jednačina, iz kojih određujemo Ab A3|..., Am i koordinate x\) x2) . » xn mogućih tačaka uslovnog ekstremuma. Pitanje da li su tačke pronađene Lagrangeovom metodom zaista uslovne tačke ekstrema često se može rešiti na osnovu razmatranja fizičke ili geometrijske prirode. 15.3. Maksimalne i minimalne vrijednosti kontinuiranih funkcija Neka je potrebno pronaći maksimalnu (najmanju) vrijednost funkcije z = /(x, y) kontinuirane u nekoj proširenoj ograničenoj domeni D. Prema teoremi 3, u ovoj regiji postoji tačka (xo, V0) u kojoj funkcija poprima najveću (najmanju) vrijednost. Ako tačka (xo, y0) leži unutar domene D, tada funkcija / ima maksimum (minimum) u sebi, tako da je u ovom slučaju tačka koja nas zanima sadržana među kritičnim tačkama funkcije /(x , y). Međutim, funkcija /(x, y) također može dostići svoju maksimalnu (najmanju) vrijednost na granici regije. Stoga, da bismo pronašli najveću (najmanju) vrijednost koju uzima funkcija z = /(x, y) u ograničenom zatvorenom području 2, potrebno je pronaći sve maksimume (minimume) funkcije postignute unutar ovog područja , kao i najveća (najmanja) vrijednost funkcije na granici ovog područja. Najveći (najmanji) od svih ovih brojeva će biti željena maksimalna (najmanja) vrijednost funkcije z = /(x, y) u području 27. Pokažimo kako se to radi u slučaju diferencijabilne funkcije. Prmmr. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije površine 4. Nalazimo kritične točke funkcije unutar područja D. Da bismo to učinili, sastavljamo sistem jednadžbi. Odavde dobijamo x \u003d y \u003e 0 , tako da je tačka 0 (0,0) kritična tačka funkcije x. Budući da sada pronađemo najveću i najmanju vrijednost funkcije na granici G područja D. Na dijelu granice imamo tako da je y = 0 kritična tačka, a pošto je \u003d tada na ovom tačka funkcija z \u003d 1 + y2 ima minimum jednak jedan. Na krajevima segmenta G", u tačkama (, imamo. Uzimajući u obzir razmatranja simetrije, dobijamo iste rezultate za ostale dijelove granice. Konačno, dobivamo: najmanju vrijednost funkcije z = x2 + y2 u oblast "B" je jednaka nuli i dostiže se u unutrašnjoj tački 0( 0, 0) oblasti, a maksimalna vrednost ove funkcije, jednaka dva, postiže se u četiri tačke granice (Sl.25) Sl.25 Vježbe funkcije: Naći parcijalne izvode funkcija i njihove totalne diferencijale: Naći izvode kompleksnih funkcija: 3 Naći J. Ekstremum funkcije više varijabli Pojam ekstremuma funkcije više varijabli Neophodni i dovoljni uslovi za ekstremum Uslovni ekstrem Najveća i najmanja vrijednost kontinuiranih funkcija 34. Koristeći formulu za izvod kompleksne funkcije dvije varijable, pronađite i funkcije: 35. Koristeći formulu za izvod kompleksne funkcije u dvije varijable, pronađite |J i funkcije: Nađite jj implicitne funkcije: 40. Nađite nagib tangentne krive u tački sjecišta s pravom x = 3. 41. Pronađite tačke u kojima je tangenta x-krive paralelna sa x-osom. . U sljedećim zadacima pronađite i Z: Napišite jednadžbe tangentne ravnine i normale površine: 49. Napišite jednadžbe tangentnih ravnina površine x2 + 2y2 + Zr2 = 21, paralelne s ravninom x + 4y + 6z \u003d 0. Pronađite prva tri do četiri člana ekspanzije koristeći Taylorovu formulu: 50. y u susjedstvu tačke (0, 0). Koristeći definiciju ekstrema funkcije, istražite sljedeće funkcije za ekstrem:). Koristeći dovoljne uslove za ekstremum funkcije dvije varijable, istražite ekstremum funkcije: 84. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije z = x2 - y2 u zatvorenom krugu 85. Pronađite najveću i najmanju vrijednost vrijednosti funkcije * \u003d x2y (4-x-y) u trokutu omeđenom linijama x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Odrediti dimenzije pravougaonog otvorenog bazena sa najmanjom površinom, pod uslovom da mu je zapremina jednaka V. 87. Odredi dimenzije pravougaonog paralelepipeda sa datom ukupnom površinom od 5 najveće zapremine. Odgovori 1. i | Kvadrat koji čine segmenti x uključujući njegove stranice. 3. Familija koncentričnih prstenova 2= 0,1,2,... .4. Cijela ravan osim tačaka pravih y. Dio ravnine koji se nalazi iznad parabole y \u003d -x?. 8. Zaokružite tačke x. Cela ravan osim pravih linija x Radikalni izraz je nenegativan u dva slučaja j * ^ ili j x ^ ^ što je ekvivalentno beskonačnom nizu nejednačina, respektivno. Domen definicije su osenčeni kvadrati (slika 26) ; l što je ekvivalentno beskonačnom nizu Funkcija je definirana u tačkama. a) Prave paralelne pravoj x b) Koncentrične kružnice sa središtem u početku. 10. a) parabole y) parabole y a) parabole b) hiperbole | .Planes xc. 13.Prim - hiperboloidi sa jednom šupljinom okretanja oko ose Oz; za i su hiperboloidi sa dva lista okretanja oko ose Oz, obe porodice površina su odvojene konusom; Ne postoji granica, b) 0. 18. Neka je y = kxt onda je z lim z = -2, tako da data funkcija u tački (0,0) nema granice. 19. a) Tačka (0.0); b) tačka (0,0). 20. a) Prelomna linija - kružnica x2 + y2 = 1; b) linija prekida je prava linija y = x. 21. a) Prelomne linije - koordinatne ose Ox i Oy; b) 0 (prazan skup). 22. Sve tačke (m, n), gdje su i n cijeli brojevi

Definicija1: Kaže se da funkcija ima lokalni maksimum u tački ako postoji susjedstvo tačke takvo da za bilo koju tačku M sa koordinatama (x, y) nejednakost je ispunjena: . U ovom slučaju, tj. povećanje funkcije< 0.

Definicija2: Kaže se da funkcija ima lokalni minimum u tački ako postoji susjedstvo tačke takvo da za bilo koju tačku M sa koordinatama (x, y) nejednakost je ispunjena: . U ovom slučaju, tj. prirast funkcije > 0.

Definicija 3: Pozivaju se lokalne minimalne i maksimalne točke ekstremne tačke.

Conditional Extremes

Prilikom traženja ekstrema funkcije mnogih varijabli često se javljaju problemi vezani za tzv uslovni ekstrem. Ovaj koncept se može objasniti na primjeru funkcije dvije varijable.

Neka su data funkcija i linija L na površini 0xy. Zadatak je postrojavanje L pronađite takvu tačku P(x, y), u kojoj je vrijednost funkcije najveća ili najmanja u usporedbi s vrijednostima ove funkcije u tačkama prave L nalazi se u blizini tačke P. Takve tačke P pozvao uslovne ekstremne tačke linijske funkcije L. Za razliku od uobičajene tačke ekstrema, vrijednost funkcije u tački uvjetnog ekstrema uspoređuje se s vrijednostima funkcije ne u svim tačkama nekog njenog susjedstva, već samo u onima koje leže na pravoj L.

Sasvim je jasno da je tačka uobičajenog ekstremuma (također kažu bezuslovni ekstrem) je također uslovna tačka ekstrema za svaku pravu koja prolazi kroz ovu tačku. Obrnuto, naravno, nije tačno: uslovna tačka ekstrema možda nije konvencionalna tačka ekstrema. Dozvolite mi da ovo objasnim jednostavnim primjerom. Grafikon funkcije je gornja hemisfera (Dodatak 3 (Sl. 3)).

Ova funkcija ima maksimum na početku; odgovara vrhu M hemisfere. Ako je linija L postoji prava koja prolazi kroz tačke ALI i AT(njena jednadžba x+y-1=0), tada je geometrijski jasno da se za tačke ove prave maksimalna vrijednost funkcije postiže u tački koja leži u sredini između tačaka ALI i AT. Ovo je tačka uslovnog ekstrema (maksimuma) funkcije na datoj liniji; odgovara tački M 1 na hemisferi, a iz slike se vidi da ovde ne može biti reči ni o kakvom običnom ekstremumu.

Imajte na umu da u završnom dijelu problema pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije u zatvorenom području moramo pronaći ekstremne vrijednosti funkcije na granici ovog područja, tj. na nekoj liniji, i time riješiti problem za uslovni ekstrem.

Pređimo sada na praktičnu pretragu tačaka uslovnog ekstremuma funkcije Z= f(x, y) pod uslovom da su varijable x i y povezane jednačinom (x, y) = 0. Ova relacija će biti nazvana jednačina ograničenja. Ako se iz jednačine veze y može eksplicitno izraziti u terminima x: y = (x), dobijamo funkciju jedne varijable Z = f (x, (x)) = F (x).

Nakon što smo pronašli vrijednost x pri kojoj ova funkcija dostiže ekstrem, a zatim odredili odgovarajuće vrijednosti y iz jednadžbe veze, dobit ćemo željene točke uvjetnog ekstrema.

Dakle, u gornjem primjeru, iz jednačine komunikacije x+y-1=0 imamo y=1-x. Odavde

Lako je provjeriti da z dostiže svoj maksimum na x = 0,5; ali onda iz jednačine veze y = 0,5, i dobijamo tačno tačku P, pronađenu iz geometrijskih razmatranja.

Problem uslovnog ekstrema se rešava vrlo jednostavno čak i kada se jednačina ograničenja može predstaviti parametarskim jednačinama x=x(t), y=y(t). Zamjenom izraza za x i y u ovu funkciju, ponovo dolazimo do problema nalaženja ekstrema funkcije jedne varijable.

Ako jednačina ograničenja ima složeniji oblik i ne možemo eksplicitno izraziti jednu varijablu u terminima druge, niti je zamijeniti parametarskim jednadžbama, tada problem pronalaženja uslovnog ekstremuma postaje teži. Nastavićemo da pretpostavljamo da je u izrazu funkcije z= f(x, y) varijabla (x, y) = 0. Ukupna derivacija funkcije z= f(x, y) jednaka je:

Gdje je derivacija y`, pronađena po pravilu diferencijacije implicitne funkcije. U tačkama uslovnog ekstremuma, pronađeni ukupni derivat mora biti jednak nuli; ovo daje jednu jednačinu koja povezuje x i y. Pošto oni takođe moraju zadovoljiti jednačinu ograničenja, dobijamo sistem od dve jednačine sa dve nepoznate

Hajde da transformišemo ovaj sistem u mnogo pogodniji tako što ćemo napisati prvu jednačinu kao proporciju i uvesti novu pomoćnu nepoznanicu:

(znak minus je postavljen ispred radi pogodnosti). Lako je preći sa ovih jednakosti na sljedeći sistem:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

koja, zajedno sa jednačinom ograničenja (x, y) = 0, čini sistem od tri jednačine sa nepoznatim x, y, i.

Ove jednadžbe (*) najlakše se pamte pomoću sljedećeg pravila: da bi se pronašle tačke koje mogu biti tačke uslovnog ekstremuma funkcije

Z= f(x, y) sa jednačinom ograničenja (x, y) = 0, morate formirati pomoćnu funkciju

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Gdje je neka konstanta i napišite jednadžbe za pronalaženje ekstremnih tačaka ove funkcije.

Navedeni sistem jednačina daje, po pravilu, samo potrebne uslove, tj. nije svaki par vrijednosti x i y koji zadovoljava ovaj sistem nužno uslovna tačka ekstrema. Neću dati dovoljne uslove za uslovne ekstremne tačke; vrlo često sam specifičan sadržaj problema sugeriše šta je pronađena tačka. Opisana tehnika rješavanja problema za uslovni ekstrem naziva se metoda Lagrangeovih množitelja.

Dovoljan uslov za ekstremum funkcije dvije varijable

1. Neka je funkcija kontinuirano diferencibilna u nekom susjedstvu tačke i ima kontinuirane parcijalne izvode drugog reda (čiste i mješovite).

2. Označiti determinantom drugog reda

ekstremna varijabla funkcija predavanja

Teorema

Ako je točka s koordinatama stacionarna točka za funkciju, tada:

A) Kada je to tačka lokalnog ekstremuma i, na lokalnom maksimumu, - lokalnog minimuma;

C) kada tačka nije tačka lokalnog ekstrema;

C) ako, možda oboje.

Dokaz

Pišemo Taylorovu formulu za funkciju, ograničavajući se na dva člana:

Pošto je, prema uslovu teoreme, tačka stacionarna, parcijalni izvod drugog reda jednaki su nuli, tj. i. Onda

Označiti

Tada će povećanje funkcije poprimiti oblik:

Zbog kontinuiteta parcijalnih izvoda drugog reda (čistih i mješovitih), prema uslovu teoreme u tački, možemo napisati:

Gdje ili; ,

1. Neka i, tj. ili.

2. Pomnožimo prirast funkcije i podijelimo sa, dobijemo:

3. Dopuni izraz u vitičastim zagradama punim kvadratom zbira:

4. Izraz u vitičastim zagradama nije negativan, jer

5. Prema tome, ako i stoga, i, onda i, prema tome, prema definiciji, tačka je tačka lokalnog minimuma.

6. Ako i znači, i, onda, prema definiciji, tačka sa koordinatama je lokalna maksimalna tačka.

2. Razmotrimo kvadratni trinom, njegov diskriminant, .

3. Ako, onda postoje tačke takve da je polinom

4. Ukupan prirast funkcije u tački u skladu sa izrazom dobijenim u I, zapisujemo u obliku:

5. Zbog kontinuiteta parcijalnih izvoda drugog reda, po uslovu teoreme u tački možemo zapisati da

dakle, postoji susjedstvo tačke takvo da je za bilo koju tačku kvadratni trinom veći od nule:

6. Uzmite u obzir - susjedstvo tačke.

Hajde da izaberemo bilo koju vrijednost, tako da je to poenta. Pod pretpostavkom da je u formuli za prirast funkcije

Šta dobijamo:

7. Od tada.

8. Slično argumentirajući za korijen, dobijamo da u bilo kojoj -okolini tačke postoji tačka za koju, dakle, u okolini tačke ne čuva predznak, pa stoga nema ekstremuma u tački.

Uslovni ekstrem funkcije dvije varijable

Prilikom traženja ekstrema funkcije dvije varijable često se javljaju problemi vezani za takozvani uslovni ekstrem. Ovaj koncept se može objasniti na primjeru funkcije dvije varijable.

Neka su funkcija i prava L dati na ravni 0xy. Zadatak je pronaći takvu tačku P (x, y) na pravoj L, u kojoj je vrijednost funkcije najveća ili najmanja u poređenju s vrijednostima ove funkcije u tačkama prave L, koje se nalaze u blizini tačku P. Takve tačke P se nazivaju funkcijama tačaka uslovnog ekstrema na pravoj L. Za razliku od uobičajene tačke ekstrema, vrijednost funkcije u tački uvjetnog ekstrema uspoređuje se s vrijednostima funkcije ne u svim tačkama nekog njegovog susjedstva, ali samo kod onih koji leže na liniji L.

Sasvim je jasno da je tačka uobičajenog ekstremuma (kažu i bezuslovni ekstrem) ujedno i tačka uslovnog ekstremuma za bilo koju pravu koja prolazi kroz ovu tačku. Obrnuto, naravno, nije tačno: uslovna tačka ekstrema možda nije konvencionalna tačka ekstrema. Ilustrujmo ono što je rečeno na primjeru.

Primjer #1. Grafikon funkcije je gornja hemisfera (slika 2).

Rice. 2.

Ova funkcija ima maksimum na početku; odgovara vrhu M hemisfere. Ako je prava L prava koja prolazi kroz tačke A i B (njena jednadžba), onda je geometrijski jasno da se za tačke ove prave maksimalna vrijednost funkcije postiže u tački koja leži u sredini između tačaka A i B. Ovo je uslovna ekstremna (maksimalna) tačka funkcije na ovoj liniji; odgovara tački M 1 na hemisferi, a iz slike se vidi da ovde ne može biti reči ni o kakvom običnom ekstremumu.

Imajte na umu da u završnom dijelu zadatka pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije u zatvorenom području treba pronaći ekstremne vrijednosti funkcije na granici ovog područja, tj. na nekoj liniji, i time riješiti problem za uslovni ekstrem.

Definicija 1. Kažu da gdje ima uslovni ili relativni maksimum (minimum) u tački koja zadovoljava jednadžbu: ako za bilo koje ono što zadovoljava jednadžbu, nejednakost

Definicija 2. Jednačina oblika naziva se jednačina ograničenja.

Teorema

Ako su funkcije i kontinuirano diferencibilne u susjedstvu točke, a parcijalni izvod i tačka su tačka uslovnog ekstremuma funkcije u odnosu na jednadžbu ograničenja, tada je determinanta drugog reda jednaka nuli:

Dokaz

1. Pošto je, prema uslovu teoreme, parcijalni izvod i vrijednost funkcije, onda u nekom pravokutniku

definirana implicitna funkcija

Kompleksna funkcija dvije varijable u jednoj tački imat će lokalni ekstrem, dakle, ili.

2. Zaista, prema svojstvu invarijantnosti diferencijalne formule prvog reda

3. Jednačina veze se može predstaviti u ovom obliku, što znači

4. Pomnožite jednačinu (2) sa i (3) sa i dodajte ih

Stoga, na

proizvoljno. h.t.d.

Posljedica

Traženje uvjetnih ekstremnih tačaka funkcije dvije varijable u praksi se provodi rješavanjem sistema jednadžbi

Dakle, u gornjem primjeru br. 1 iz jednačine komunikacije imamo. Odavde je lako provjeriti šta dostiže maksimum na . Ali onda iz jednadžbe komunikacije. Dobijamo tačku P, pronađenu geometrijski.

Primjer #2. Nađite uslovne ekstremne tačke funkcije u odnosu na jednadžbu ograničenja.

Nađimo parcijalne izvode date funkcije i jednadžbu veze:

Napravimo determinantu drugog reda:

Zapišimo sistem jednačina za pronalaženje tačaka uslovnog ekstrema:

dakle, postoje četiri uslovne ekstremne tačke funkcije sa koordinatama: .

Primjer #3. Pronađite ekstremne tačke funkcije.

Izjednačavajući parcijalne derivacije sa nulom: , nalazimo jednu stacionarnu tačku - ishodište. Evo,. Dakle, ni tačka (0, 0) nije tačka ekstrema. Jednačina je jednačina hiperboličkog paraboloida (slika 3), slika pokazuje da tačka (0, 0) nije tačka ekstrema.

Rice. 3.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije u zatvorenom području

1. Neka je funkcija definirana i kontinuirana u ograničenom zatvorenom području D.

2. Neka funkcija ima konačne parcijalne izvode u ovoj regiji, osim za pojedinačne tačke regije.

3. U skladu sa Weierstrassovom teoremom, u ovoj oblasti postoji tačka u kojoj funkcija poprima najveću i najmanju vrijednost.

4. Ako su ove tačke unutrašnje tačke regiona D, onda je očigledno da će imati maksimum ili minimum.

5. U ovom slučaju, tačke koje nas zanimaju su među sumnjivim tačkama na ekstremumu.

6. Međutim, funkcija također može poprimiti maksimalnu ili minimalnu vrijednost na granici područja D.

7. Da biste pronašli najveću (najmanju) vrijednost funkcije u području D, potrebno je pronaći sve unutrašnje tačke sumnjive za ekstrem, izračunati vrijednost funkcije u njima, zatim uporediti sa vrijednošću funkcije na granične tačke područja, a najveća od svih pronađenih vrijednosti će biti najveća u zatvorenom području D.

8. Metoda pronalaženja lokalnog maksimuma ili minimuma razmatrana je ranije u Odjeljku 1.2. i 1.3.

9. Ostaje razmotriti metodu pronalaženja maksimalne i minimalne vrijednosti funkcije na granici regije.

10. U slučaju funkcije dvije varijable, područje obično se ispostavlja da je ograničeno krivom ili nekoliko krivulja.

11. Duž takve krive (ili nekoliko krivulja), varijable i ili zavise jedna od druge, ili obje zavise od jednog parametra.

12. Dakle, na granici se ispostavlja da je funkcija zavisna od jedne varijable.

13. Ranije je razmatrana metoda pronalaženja najveće vrijednosti funkcije jedne varijable.

14. Neka je granica područja D data parametarskim jednačinama:

Tada će na ovoj krivulji funkcija dvije varijable biti složena funkcija parametra: . Za takvu funkciju najveća i najmanja vrijednost se određuje metodom određivanja najveće i najmanje vrijednosti za funkciju jedne varijable.

Ekstremi funkcija nekoliko varijabli. Neophodan uslov za ekstrem. Dovoljan uslov za ekstrem. Uslovni ekstrem. Metoda Lagrangeovih množitelja. Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti.

Predavanje 5

Definicija 5.1. Dot M 0 (x 0, y 0) pozvao maksimalni poen funkcije z = f(x, y), ako f (x o , y o) > f(x, y) za sve bodove (x, y) M 0.

Definicija 5.2. Dot M 0 (x 0, y 0) pozvao minimalna tačka funkcije z = f(x, y), ako f (x o , y o) < f(x, y) za sve bodove (x, y) iz nekog susedstva tačke M 0.

Napomena 1. Pozivaju se maksimalne i minimalne tačke ekstremne tačke funkcije nekoliko varijabli.

Napomena 2. Točka ekstrema za funkciju bilo kojeg broja varijabli definirana je na sličan način.

Teorema 5.1(neophodni ekstremni uslovi). Ako a M 0 (x 0, y 0) je tačka ekstrema funkcije z = f(x, y), tada su u ovom trenutku parcijalni izvodi prvog reda ove funkcije jednaki nuli ili ne postoje.

Dokaz.

Popravimo vrijednost varijable at counting y = y 0. Zatim funkcija f(x, y0)će biti funkcija jedne varijable X, za koji x = x 0 je tačka ekstrema. Dakle, prema Fermatovoj teoremi ili ne postoji. Ista tvrdnja je dokazana za .

Definicija 5.3. Tačke koje pripadaju domeni funkcije više varijabli, u kojima su parcijalni izvodi funkcije jednaki nuli ili ne postoje, nazivaju se stacionarne tačke ovu funkciju.

Komentar. Dakle, ekstremum se može postići samo na stacionarnim tačkama, ali ne mora da se posmatra na svakoj od njih.

Teorema 5.2(dovoljni uslovi za ekstrem). Neka u nekom susjedstvu tačke M 0 (x 0, y 0), što je stacionarna tačka funkcije z = f(x, y), ova funkcija ima kontinuirane parcijalne izvode do zaključno 3. reda. Označi onda:

1) f(x, y) ima u tački M 0 maksimalno ako AC-B² > 0, A < 0;

2) f(x, y) ima u tački M 0 minimalno ako AC-B² > 0, A > 0;

3) nema ekstremuma u kritičnoj tački ako AC-B² < 0;

4) ako AC-B² = 0, potrebno je dodatno istraživanje.

Dokaz.

Napišimo Taylorovu formulu drugog reda za funkciju f(x, y), imajući na umu da su u stacionarnoj tački parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli:

gdje Ako je ugao između segmenta M 0 M, gdje M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ at), i O os X označimo φ, zatim Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y=Δρsinφ. U ovom slučaju, Taylorova formula će imati oblik: . Neka Tada možemo podijeliti i pomnožiti izraz u zagradama sa ALI. Dobijamo:

Razmotrite sada četiri moguća slučaja:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и za dovoljno mali Δρ. Dakle, u nekom kraju M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f(x0, y0), tj M 0 je maksimalna tačka.

2) Neka AC-B² > 0, A > 0. Onda , i M 0 je minimalna tačka.

3) Neka AC-B² < 0, A> 0. Razmotrimo prirast argumenata duž zraka φ = 0. Tada iz (5.1) slijedi da je , odnosno kada se kreće duž ove zrake, funkcija se povećava. Ako se krećemo duž zraka tako da je tg φ 0 \u003d -A / B, onda , dakle, kada se kreće duž ove zrake, funkcija opada. Dakle, poenta M 0 nije ekstremna tačka.

3`) Kada AC-B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

slično prethodnom.

3``) Ako AC-B² < 0, A= 0, tada . Pri čemu . Tada, za dovoljno mali φ, izraz 2 B cos + C sinφ blizu 2 AT, odnosno zadržava stalan predznak, a sinφ mijenja predznak u blizini tačke M 0 . To znači da prirast funkcije mijenja predznak u blizini stacionarne tačke, koja stoga nije tačka ekstrema.

4) Ako AC-B² = 0, i , , odnosno predznak prirasta je određen predznakom 2α 0 . Istovremeno, potrebna su dalja istraživanja kako bi se razjasnilo pitanje postojanja ekstremuma.

Primjer. Nađimo tačke ekstrema funkcije z=x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Za traženje stacionarnih tačaka rješavamo sistem . Dakle, stacionarna tačka je (-2,-1). Gde A = 2, AT = -2, With= 4. Onda AC-B² = 4 > 0, stoga se u stacionarnoj tački postiže ekstremum, odnosno minimum (pošto A > 0).

Definicija 5.4. Ako argumenti funkcije f (x 1 , x 2 ,…, x n) vezan dodatnim uslovima u obrascu m jednadžbe ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

gdje funkcije φ i imaju kontinuirane parcijalne izvode, tada se pozivaju jednadžbe (5.2). jednačine veze.

Definicija 5.5. Ekstrem funkcije f (x 1 , x 2 ,…, x n) pod uslovima (5.2) se zove uslovni ekstrem.

Komentar. Možemo ponuditi sljedeću geometrijsku interpretaciju uslovnog ekstremuma funkcije dvije varijable: neka argumenti funkcije f(x,y) povezani su jednadžbom φ (x, y)= 0, definirajući neku krivu u ravni O hu. Vrativši iz svake tačke ove krive okomite na ravan O hu prije prelaska površine z = f (x, y), dobijamo prostornu krivu koja leži na površini iznad krive φ (x, y)= 0. Problem je pronaći tačke ekstrema rezultirajuće krive, koje se, naravno, u opštem slučaju ne poklapaju sa bezuslovnim tačkama ekstrema funkcije f(x,y).

Hajde da definišemo neophodne uslovne ekstremne uslove za funkciju dve varijable tako što ćemo prethodno uvesti sledeću definiciju:

Definicija 5.6. Funkcija L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

gdje λ i - neke konstante, tzv Lagrangeova funkcija, i brojevi λi– neodređeni Lagrangeovi množitelji.

Teorema 5.3(neophodni uslovni ekstremni uslovi). Uslovni ekstremum funkcije z = f(x, y) u prisustvu jednadžbe ograničenja φ ( x, y)= 0 može se postići samo u stacionarnim tačkama Lagrangeove funkcije L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Dokaz. Jednačina ograničenja definira implicitnu ovisnost at od X, pa ćemo to pretpostaviti at postoji funkcija iz X: y = y(x). Onda z postoji složena funkcija X, a njegove kritične tačke su određene uslovom: . (5.4) Iz jednačine ograničenja slijedi da . (5.5)

Jednakost (5.5) pomnožimo nekim brojem λ i dodamo je (5.4). Dobijamo:

, ili .

Posljednja jednakost mora vrijediti u stacionarnim tačkama, iz čega slijedi:

(5.6)

Dobija se sistem od tri jednačine za tri nepoznate: x, y i λ, pri čemu su prve dvije jednadžbe uvjeti za stacionarnu tačku Lagrangeove funkcije. Eliminirajući pomoćnu nepoznatu λ iz sistema (5.6), nalazimo koordinate tačaka u kojima originalna funkcija može imati uslovni ekstrem.

Napomena 1. Prisustvo uslovnog ekstremuma u pronađenoj tački može se provjeriti proučavanjem parcijalnih izvoda Lagrangeove funkcije drugog reda po analogiji sa teoremom 5.2.

Napomena 2. Tačke u kojima se može postići uvjetni ekstrem funkcije f (x 1 , x 2 ,…, x n) pod uslovima (5.2), mogu se definisati kao rešenja sistema (5.7)

Primjer. Naći uvjetni ekstrem funkcije z = xy s obzirom na to x + y= 1. Sastavite Lagrangeovu funkciju L(x, y) = xy + λ (x + y – jedan). Sistem (5.6) tada izgleda ovako:

Otuda -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0.5. Gde L (x, y) može se predstaviti kao L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0,5 ≤ 0,5, dakle, u pronađenoj stacionarnoj tački L (x, y) ima maksimum i z = xy - uslovni maksimum.

Razmotrimo prvo slučaj funkcije dvije varijable. Uslovni ekstrem funkcije $z=f(x,y)$ u tački $M_0(x_0;y_0)$ je ekstrem ove funkcije, koji se postiže pod uslovom da su varijable $x$ i $y$ u okolina ove tačke zadovoljavaju jednačinu ograničenja $\ varphi(x,y)=0$.

Naziv "uslovni" ekstrem je zbog činjenice da je dodatni uslov $\varphi(x,y)=0$ nametnut varijablama. Ako je moguće izraziti jednu varijablu u terminima druge iz jednačine veze, onda se problem određivanja uslovnog ekstrema svodi na problem uobičajenog ekstremuma funkcije jedne varijable. Na primjer, ako $y=\psi(x)$ slijedi iz jednadžbe ograničenja, tada zamjenom $y=\psi(x)$ u $z=f(x,y)$ dobijamo funkciju jedne varijable $ z=f\lijevo (x,\psi(x)\desno)$. U opštem slučaju, međutim, ova metoda je od male koristi, pa je potreban novi algoritam.

Metoda Lagrangeovih množitelja za funkcije dvije varijable.

Metoda Lagrangeovih množitelja je da se za pronalaženje uslovnog ekstrema Lagranževa funkcija sastavlja: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametar $\lambda $ se naziva Lagrangeov množitelj). Neophodni ekstremni uslovi dati su sistemom jednačina iz kojih su određene stacionarne tačke:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(poravnano)\desno.$$

Znak $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Ako je u stacionarnoj tački $d^2F > 0$, tada funkcija $z=f(x,y)$ ima uslovni minimum u ovoj tački, ali ako $d^2F< 0$, то условный максимум.

Postoji još jedan način da se odredi priroda ekstrema. Iz jednačine ograničenja dobijamo: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, tako da u bilo kojoj stacionarnoj tački imamo:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\desno)$$

Drugi faktor (nalazi se u zagradama) može se predstaviti u ovom obliku:

Elementi $\left| \begin(niz) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (niz) \right|$ koji je Hessian Lagrangeove funkcije. Ako je $H > 0$ onda je $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, tj. imamo uslovni minimum funkcije $z=f(x,y)$.

Napomena o obliku $H$ determinante. prikaži/sakrij

$$ H=-\left|\begin(niz) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ kraj(niz) \desno| $$

U ovoj situaciji, pravilo formulirano iznad se mijenja na sljedeći način: ako je $H > 0$, tada funkcija ima uslovni minimum, a za $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritam za proučavanje funkcije dvije varijable za uslovni ekstrem

1. Sastavite Lagrangeovu funkciju $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Riješite sistem $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
3. Odredite prirodu ekstremuma na svakoj stacionarnoj tački pronađenoj u prethodnom paragrafu. Da biste to učinili, koristite bilo koju od sljedećih metoda:
   • Sastavite determinantu $H$ i saznajte njen predznak
   • Uzimajući u obzir jednačinu ograničenja, izračunajte predznak $d^2F$

Lagrangeova metoda množenja za funkcije od n varijabli

Pretpostavimo da imamo funkciju od $n$ varijabli $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ i $m$ jednadžbi ograničenja ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Označavajući Lagrangeove množitelje kao $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, sastavljamo Lagrangeovu funkciju:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Potrebni uslovi za postojanje uslovnog ekstremuma dati su sistemom jednadžbi iz kojih se nalaze koordinate stacionarnih tačaka i vrednosti Lagranžeovih množitelja:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Da li funkcija ima uslovni minimum ili uslovni maksimum u pronađenoj tački, kao i ranije, moguće je saznati pomoću znaka $d^2F$. Ako je u pronađenoj tački $d^2F > 0$, tada funkcija ima uslovni minimum, ali ako je $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Determinanta matrice $\left| \begin(niz) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( niz) \right|$ označen crvenom bojom u $L$ matrici je Hessian Lagrangeove funkcije. Koristimo sljedeće pravilo:

• Ako su predznaci minora ugla $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrice $L$ poklapaju se sa predznakom $(-1)^m$, tada je stacionarna tačka koja se proučava uslovna minimalna tačka funkcije $ z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
• Ako su predznaci minora ugla $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ naizmjenični, a znak minora $H_(2m+1)$ poklapa se sa predznakom broja $(-1)^(m+1 )$, tada je proučavana stacionarna tačka uslovna maksimalna tačka funkcije $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Primjer #1

Naći uslovni ekstrem funkcije $z(x,y)=x+3y$ pod uslovom $x^2+y^2=10$.

Geometrijska interpretacija ovog problema je sljedeća: potrebno je pronaći najveću i najmanju vrijednost aplikacije ravni $z=x+3y$ za tačke njenog preseka sa cilindrom $x^2+y^2 =10$.

Donekle je teško izraziti jednu varijablu u terminima druge iz jednačine ograničenja i zamijeniti je u funkciju $z(x,y)=x+3y$, pa ćemo koristiti Lagrangeovu metodu.

Označavajući $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, sastavljamo Lagrangeovu funkciju:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\parcijalni x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Zapišimo sistem jednadžbi za određivanje stacionarnih tačaka Lagrangeove funkcije:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (poravnano)\desno.$$

Ako pretpostavimo $\lambda=0$, tada prva jednačina postaje: $1=0$. Dobijena kontradikcija kaže da je $\lambda\neq 0$. Pod uslovom $\lambda\neq 0$, iz prve i druge jednačine imamo: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Zamjenom dobijenih vrijednosti u treću jednačinu dobijamo:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(poravnano) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(poravnano) \desno.\\ \begin(poravnano) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(poravnano) $$

Dakle, sistem ima dva rješenja: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ i $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Hajde da saznamo prirodu ekstrema u svakoj stacionarnoj tački: $M_1(1;3)$ i $M_2(-1;-3)$. Da bismo to učinili, izračunavamo determinantu $H$ u svakoj od tačaka.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\lijevo| \begin(niz) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \levo| \begin(niz) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right| $$

U tački $M_1(1;3)$ dobijamo: $H=8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(niz) \right|=40 > 0$, dakle u tački $M_1(1;3)$ funkcija $z(x,y)=x+3y$ ima uslovni maksimum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Slično, u tački $M_2(-1;-3)$ nalazimo: $H=8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(niz) \right|=-40$. Od $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Napominjem da je umjesto izračunavanja vrijednosti determinante $H$ u svakoj tački mnogo zgodnije otvoriti je na opći način. Kako ne bih zatrpao tekst detaljima, ovu metodu ću sakriti ispod napomene.

Determinantna $H$ notacija u opštem obliku. prikaži/sakrij

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\desno) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\desno). $$

U principu, već je očigledno koji znak ima $H$. Pošto se nijedna od tačaka $M_1$ ili $M_2$ ne poklapa sa ishodištem, onda je $y^2+x^2>0$. Dakle, predznak $H$ je suprotan predznaku $\lambda$. Također možete završiti proračune:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\desno)=-40. \end(poravnano) $$

Pitanje o prirodi ekstremuma u stacionarnim tačkama $M_1(1;3)$ i $M_2(-1;-3)$ može se rešiti bez upotrebe determinante $H$. Pronađite predznak $d^2F$ u svakoj stacionarnoj tački:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\desno) $$

Napominjem da oznaka $dx^2$ znači tačno $dx$ podignuto na drugi stepen, tj. $\levo(dx\desno)^2$. Otuda imamo: $dx^2+dy^2>0$, pa za $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ dobijamo $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Odgovori: u tački $(-1;-3)$ funkcija ima uslovni minimum, $z_(\min)=-10$. U tački $(1;3)$ funkcija ima uslovni maksimum, $z_(\max)=10$

Primjer #2

Naći uslovni ekstrem funkcije $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ pod uslovom $x+y=0$.

Prvi način (metoda Lagrangeovih množitelja)

Označavajući $\varphi(x,y)=x+y$ sastavljamo Lagrangeovu funkciju: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(poravnano)\desno.$$

Rješavajući sistem, dobijamo: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ i $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Imamo dvije stacionarne tačke: $M_1(0;0)$ i $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Otkrijmo prirodu ekstremuma u svakoj stacionarnoj tački koristeći determinantu $H$.

$$ H=\levo| \begin(niz) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \levo| \begin(niz) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(niz) \right|=-10-18y $$

U tački $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, tako da u ovom trenutku funkcija ima uslovni maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Istražujemo prirodu ekstremuma u svakoj od tačaka različitim metodom, na osnovu predznaka $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Iz jednačine ograničenja $x+y=0$ imamo: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Pošto je $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, onda je $M_1(0;0)$ uslovna minimalna tačka funkcije $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Slično, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Drugi način

Iz jednačine ograničenja $x+y=0$ dobijamo: $y=-x$. Zamjenom $y=-x$ u funkciju $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, dobijamo neku funkciju varijable $x$. Označimo ovu funkciju kao $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Tako smo problem nalaženja uslovnog ekstremuma funkcije dvije varijable sveli na problem određivanja ekstrema funkcije jedne varijable.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Dobili su bodove $M_1(0;0)$ i $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Dalja istraživanja poznata su iz kursa diferencijalnog računa funkcija jedne varijable. Istražujući predznak $u_(xx)^("")$ u svakoj stacionarnoj tački ili provjeravajući promjenu predznaka $u_(x)^(")$ u pronađenim tačkama, dolazimo do istih zaključaka kao i pri rješavanju prve Na primjer, provjerite znak $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Pošto je $u_(xx)^("")(M_1)>0$, onda je $M_1$ minimalna tačka funkcije $u(x)$, dok je $u_(\min)=u(0)=0 $ . Od $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Vrijednosti funkcije $u(x)$ pod datim uslovom povezivanja poklapaju se sa vrijednostima funkcije $z(x,y)$, tj. pronađeni ekstremi funkcije $u(x)$ su željeni uslovni ekstremi funkcije $z(x,y)$.

Odgovori: u tački $(0;0)$ funkcija ima uslovni minimum, $z_(\min)=0$. U tački $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ funkcija ima uslovni maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Razmotrimo još jedan primjer, u kojem saznajemo prirodu ekstrema određivanjem predznaka $d^2F$.

Primjer #3

Pronađite maksimalnu i minimalnu vrijednost funkcije $z=5xy-4$ ako su varijable $x$ i $y$ pozitivne i zadovoljavaju jednadžbu ograničenja $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Sastavite Lagrangeovu funkciju: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Pronađite stacionarne tačke Lagrangeove funkcije:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(poravnano) \desno.$$

Sve dalje transformacije se izvode uzimajući u obzir $x > 0; \; y > 0$ (ovo je propisano uslovom problema). Iz druge jednačine izražavamo $\lambda=-\frac(5x)(y)$ i zamjenjujemo pronađenu vrijednost u prvu jednačinu: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Zamjenom $x=2y$ u treću jednačinu dobijamo: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Pošto je $y=1$, onda je $x=2$, $\lambda=-10$. Priroda ekstrema u tački $(2;1)$ određena je iz predznaka $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Pošto je $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, onda:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

U principu, ovdje možete odmah zamijeniti koordinate stacionarne tačke $x=2$, $y=1$ i parametar $\lambda=-10$, čime se dobija:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \desno)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Međutim, u drugim problemima za uslovni ekstremum može postojati nekoliko stacionarnih tačaka. U takvim slučajevima, bolje je predstaviti $d^2F$ u opštem obliku, a zatim zamijeniti koordinate svake od pronađenih stacionarnih tačaka u rezultirajući izraz:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Zamjenom $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, dobijamo:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Pošto je $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Odgovori: u tački $(2;1)$ funkcija ima uslovni maksimum, $z_(\max)=6$.

U narednom dijelu razmatrat ćemo primjenu Lagrangeove metode za funkcije većeg broja varijabli.