Kako riješiti primjere Cramerove metode. Primjeri rješavanja sistema linearnih algebarskih jednačina Cramerovom metodom

Cramerova metoda se zasniva na korištenju determinanti u rješavanju sistema linearne jednačine. Ovo uvelike ubrzava proces rješenja.

Cramerova metoda se može koristiti za rješavanje sistema od onoliko linearnih jednačina koliko ima nepoznatih u svakoj jednačini. Ako determinanta sistema nije jednaka nuli, onda se u rješenju može koristiti Cramerova metoda; ako je jednaka nuli, onda ne može. Osim toga, Cramerova metoda se može koristiti za rješavanje sistema linearnih jednačina koje imaju jedinstveno rješenje.

Definicija. Determinanta, sastavljena od koeficijenata nepoznatih, naziva se determinanta sistema i označava se sa (delta).

Odrednice

dobiju se zamjenom koeficijenata na odgovarajućim nepoznanicama slobodnim terminima:

;

.

Cramerova teorema. Ako je determinanta sistema različita od nule, onda sistem linearnih jednačina ima jedno jedino rešenje, a nepoznata je jednaka odnosu determinanti. Imenilac je determinanta sistema, a brojilac je determinanta dobijena iz determinante sistema zamenom koeficijenata sa nepoznatim slobodnim članovima. Ova teorema vrijedi za sistem linearnih jednačina bilo kojeg reda.

Primjer 1 Riješite sistem linearnih jednačina:

Prema Cramerova teorema imamo:

Dakle, rješenje sistema (2):

online kalkulator, odlučujući metod Kramer.

Tri slučaja u rješavanju sistema linearnih jednačina

Kako se čini iz Cramerove teoreme, pri rješavanju sistema linearnih jednačina mogu se pojaviti tri slučaja:

Prvi slučaj: sistem linearnih jednačina ima jedinstveno rješenje

(sistem je konzistentan i određen)

Drugi slučaj: sistem linearnih jednačina ima bezbroj odluke

(sistem je konzistentan i neodređen)

** ,

one. koeficijenti nepoznatih i slobodnih članova su proporcionalni.

Treći slučaj: sistem linearnih jednačina nema rješenja

(sistem nedosljedan)

Dakle sistem m linearne jednačine sa n varijable se poziva nekompatibilno ako nema rješenja, i joint ako ima barem jedno rješenje. zglobni sistem naziva se jednadžba koja ima samo jedno rješenje siguran, i više od jednog neizvjesno.

Primjeri rješavanja sistema linearnih jednačina Cramer metodom

Pustite sistem

.

Na osnovu Cramerove teoreme

………….
,

gdje
-

identifikator sistema. Preostale determinante se dobiju zamjenom stupca s koeficijentima odgovarajuće varijable (nepoznate) sa slobodnim članovima:

Primjer 2

.

Dakle, sistem je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante

Po Cramerovim formulama nalazimo:

Dakle, (1; 0; -1) je jedino rješenje sistema.

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, Cramerovu metodu rješavanja.

Ako u sistemu linearnih jednadžbi nema varijabli u jednoj ili više jednačina, tada su u determinanti elementi koji im odgovaraju jednaki nuli! Ovo je sljedeći primjer.

Primjer 3 Rešite sistem linearnih jednačina Cramerovom metodom:

.

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Pažljivo pogledajte sistem jednačina i determinantu sistema i ponovite odgovor na pitanje u kojim slučajevima je jedan ili više elemenata determinante jednak nuli. Dakle, determinanta nije jednaka nuli, dakle, sistem je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante za nepoznate

Po Cramerovim formulama nalazimo:

Dakle, rješenje sistema je (2; -1; 1).

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, Cramerovu metodu rješavanja.

Vrh stranice

Nastavljamo da zajedno rješavamo sisteme koristeći Cramerovu metodu

Kao što je već spomenuto, ako je determinanta sistema jednaka nuli, a determinante za nepoznate nisu jednake nuli, sistem je nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Ilustrirajmo sljedećim primjerom.

Primjer 6 Rešite sistem linearnih jednačina Cramerovom metodom:

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Determinanta sistema je jednaka nuli, pa je sistem linearnih jednačina ili nekonzistentan i određen, ili nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Da pojasnimo, izračunavamo determinante za nepoznate

Odrednice za nepoznate nisu jednake nuli, dakle sistem je nekonzistentan, odnosno nema rješenja.

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, Cramerovu metodu rješavanja.

U zadacima o sistemima linearnih jednačina postoje i oni u kojima se pored slova koja označavaju varijable nalaze i druga slova. Ova slova označavaju neki broj, najčešće pravi broj. U praksi, takve jednačine i sistemi jednačina dovode do problema pretraživanja zajednička svojstva bilo koje pojave ili objekte. Odnosno, da li ste izmislili bilo šta novi materijal ili uređaja, a da bi se opisali njegova svojstva koja su uobičajena bez obzira na veličinu ili broj kopija, potrebno je riješiti sistem linearnih jednačina, gdje umjesto nekih koeficijenata za varijable postoje slova. Ne morate daleko tražiti primjere.

Sljedeći primjer je za sličan problem, samo se povećava broj jednačina, varijabli i slova koja označavaju neki realni broj.

Primjer 8 Rešite sistem linearnih jednačina Cramerovom metodom:

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Pronalaženje determinanti za nepoznate

Cramerova metoda ili takozvano Cramerovo pravilo je način traženja nepoznatih veličina iz sistema jednačina. Može se koristiti samo ako je broj traženih vrijednosti ekvivalentan broju algebarskih jednadžbi u sistemu, odnosno, glavna matrica formirana iz sistema mora biti kvadratna i ne mora sadržavati nula redova, kao i ako njena determinanta mora ne biti nula.

Teorema 1

Cramerova teorema Ako glavna determinanta $D$ glavne matrice, sastavljena na osnovu koeficijenata jednačina, nije jednaka nuli, onda je sistem jednačina konzistentan i ima jedinstveno rješenje. Rješenje takvog sistema se izračunava pomoću takozvanih Cramerovih formula za rješavanje sistema linearnih jednačina: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Šta je Cramer metoda

Suština Cramerove metode je sljedeća:

1. Da bismo pronašli rješenje sistema Cramerovom metodom, prije svega izračunavamo glavnu determinantu matrice $D$. Kada se izračunata determinanta glavne matrice, izračunata Cramerovom metodom, pokaže jednaka nuli, tada sistem nema jedno rješenje ili ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, za pronalaženje opšteg ili nekog osnovnog odgovora za sistem, preporučuje se primena Gausove metode.
2. Zatim trebate zamijeniti posljednju kolonu glavne matrice kolonom slobodnih članova i izračunati determinantu $D_1$.
3. Ponovite isto za sve kolone, uzimajući determinante od $D_1$ do $D_n$, gdje je $n$ broj krajnje desne kolone.
4. Nakon što se pronađu sve determinante za $D_1$...$D_n$, nepoznate varijable se mogu izračunati pomoću formule $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Tehnike za izračunavanje determinante matrice

Za izračunavanje determinante matrice s dimenzijom većom od 2 puta 2, može se koristiti nekoliko metoda:

• Pravilo trouglova, ili pravilo Sarrusa, nalik istom pravilu. Suština metode trokuta je da se pri izračunavanju determinante umnožaka svih brojeva povezanih na slici crvenom linijom desno pišu sa znakom plus, a svi brojevi povezani na sličan način na slici na lijevo - sa znakom minus. Oba pravila su pogodna za matrice 3 x 3. U slučaju Sarrusovog pravila, prvo se prepisuje sama matrica, a pored nje ponovo se prepisuju njeni prvi i drugi stupac. Dijagonale se povlače kroz matricu i ovi dodatni stupci, članovi matrice koji leže na glavnoj dijagonali ili paralelno s njom pišu se znakom plus, a elementi koji leže na sekundarnoj dijagonali ili paralelno s njom pišu se znakom minus.

Slika 1. Pravilo trouglova za izračunavanje determinante za Cramerovu metodu

• Sa metodom poznatom kao Gausova metoda, ova metoda se ponekad naziva i redukcija determinante. U ovom slučaju, matrica se transformira i svodi na trouglasti, a zatim pomnožite sve brojeve na glavnoj dijagonali. Treba imati na umu da se u takvoj potrazi za determinantom ne mogu množiti ili dijeliti redovi ili stupci brojevima, a da se ne izuzmu kao faktor ili djelitelj. U slučaju traženja determinante, moguće je samo oduzimati i sabirati redove i kolone jedni drugima, nakon što ste prethodno pomnožili oduzeti red sa faktorom koji nije nula. Takođe, sa svakom permutacijom redova ili kolona matrice, treba imati na umu potrebu za promjenom konačnog predznaka matrice.
• Prilikom rješavanja Cramerove SLAE sa 4 nepoznanice, najbolje je koristiti Gaussovu metodu za traženje i pronalaženje determinanti ili određivanje determinante kroz traženje maloljetnika.

Rješavanje sistema jednačina Cramerovom metodom

Primjenjujemo Cramerovu metodu za sistem od 2 jednačine i dvije tražene veličine:

$\begin(slučajevi) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(slučajevi)$

Prikažimo ga u proširenom obliku radi praktičnosti:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Pronađite determinantu glavne matrice, koja se još naziva i glavna determinanta sistema:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(niz) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Ako glavna determinanta nije jednaka nuli, tada je za rješavanje problema Cramerovom metodom potrebno izračunati još par determinanti iz dvije matrice sa stupcima glavne matrice zamijenjenim redom slobodnih pojmova:

$D_1 = \begin(niz)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(niz) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(niz)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(niz) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Sada pronađimo nepoznate $x_1$ i $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Primjer 1

Cramerova metoda za rješavanje SLAE sa glavnom matricom 3. reda (3 x 3) i tri željene.

Riješite sistem jednačina:

$\begin(slučajevi) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 - x_2 - x_3 = 10 \\ \end(slučajevi)$

Izračunavamo glavnu determinantu matrice koristeći gornje pravilo pod brojem 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(niz) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 4 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - 64 $

A sada tri druge odrednice:

$D_1 = \begin(niz)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(niz) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot 10 - 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - 296 $

$D_2 = \begin(niz)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(niz) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 USD

$D_3 = \begin(niz)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(niz) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 \u003d 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 \u003d - 60 $

Nađimo tražene vrijednosti:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Neka sistem linearnih jednačina sadrži onoliko jednačina koliko je nezavisnih varijabli, tj. ima oblik

Takvi sistemi linearnih jednačina nazivaju se kvadratnim. Determinanta sastavljena od koeficijenata pri nezavisnom sistemske varijable(1.5) naziva se glavna determinanta sistema. Označit ćemo ga grčkim slovom D. Dakle,

. (1.6)

Ako je u glavnoj odrednici proizvoljan ( j th) stupac, zamijenimo ga kolonom slobodnih članova sistema (1.5), onda možemo dobiti više n pomoćne odrednice:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramerovo pravilo rješavanje kvadratnog sistema linearnih jednačina je kako slijedi. Ako je glavna determinanta D sistema (1.5) različita od nule, onda sistem ima jedinstveno rešenje, koje se može naći po formulama:

(1.8)

Primjer 1.5. Rešite sistem jednačina koristeći Cramerovu metodu

.

Izračunajmo glavnu determinantu sistema:

Od D¹0, sistem ima jedinstveno rješenje koje se može pronaći pomoću formula (1.8):

Na ovaj način,

Matrične akcije

1. Množenje matrice brojem. Operacija množenja matrice brojem definirana je na sljedeći način.

2. Da biste matricu pomnožili brojem, potrebno je da pomnožite sve njene elemente ovim brojem. To je

. (1.9)

Primjer 1.6. .

Matrično dodavanje.

Ova operacija je uvedena samo za matrice istog reda.

Da biste dodali dvije matrice, potrebno je elementima jedne matrice dodati odgovarajuće elemente druge matrice:

(1.10)
Operacija sabiranja matrice ima svojstva asocijativnosti i komutativnosti.

Primjer 1.7. .

Množenje matrice.

Ako je broj kolona matrice ALI odgovara broju redova matrice AT, tada se za takve matrice uvodi operacija množenja:

2

Dakle, prilikom množenja matrice ALI dimenzije m´ n na matricu AT dimenzije n´ k dobijamo matricu OD dimenzije m´ k. U ovom slučaju, elementi matrice OD izračunavaju se prema sljedećim formulama:

Problem 1.8. Pronađite, ako je moguće, proizvod matrica AB i BA:

Rješenje. 1) Da nađem posao AB, potrebni su vam redovi matrice A pomnožiti matričnim stupcima B:

2) Umetničko delo BA ne postoji, jer je broj stupaca matrice B ne odgovara broju redova matrice A.

Inverzna matrica. Rješavanje sistema linearnih jednačina na matrični način

Matrix A- 1 se naziva inverznom kvadratnom matricom ALI ako vrijedi jednakost:

gde kroz I označeno matrica identiteta isti red kao i matrica ALI:

.

Da bi kvadratna matrica imala inverz, neophodno je i dovoljno da njena determinanta bude različita od nule. Inverzna matrica se nalazi po formuli:

, (1.13)

gdje A ij- algebarski dodaci elementima aij matrice ALI(imajte na umu da algebarski dodaci redovima matrice ALI raspoređeni su u inverznu matricu u obliku odgovarajućih kolona).

Primjer 1.9. Pronađite inverznu matricu A- 1 na matricu

.

Inverznu matricu nalazimo po formuli (1.13), što je za slučaj n= 3 izgleda ovako:

.

Hajde da nađemo det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Pošto je determinanta originalne matrice drugačija od nule, inverzna matrica postoji.

1) Pronađite algebarske sabirke A ij:

Radi lakšeg pronalaženja inverzna matrica, stavili smo algebarske dodatke redovima originalne matrice u odgovarajuće kolone.

Od primljenih algebarski dodaci sastaviti novu matricu i podijeliti je determinantom det A. Tako ćemo dobiti inverznu matricu:

Kvadratni sistemi linearnih jednadžbi sa glavnom determinantom različitom od nule mogu se riješiti korištenjem inverzne matrice. Za to je upisan sistem (1.5). matrični oblik:

gdje

Množenje obje strane jednakosti (1.14) na lijevoj strani sa A- 1, dobijamo rješenje sistema:

, gdje

Dakle, da biste pronašli rješenje za kvadratni sistem, morate pronaći inverznu matricu glavnoj matrici sistema i pomnožiti je na desnoj strani matricom stupaca slobodnih članova.

Problem 1.10. Riješiti sistem linearnih jednačina

koristeći inverznu matricu.

Rješenje. Sistem zapisujemo u matričnom obliku: ,

gdje je glavna matrica sistema, je kolona nepoznatih, i kolona slobodnih termina. Pošto je glavna determinanta sistema , zatim glavna matrica sistema ALI ima inverznu matricu ALI-jedan. Da pronađemo inverznu matricu ALI-1, izračunajte algebarske komplemente svim elementima matrice ALI:

Od dobijenih brojeva sastavljamo matricu (štaviše, algebarski dodaci redovima matrice ALI upišite u odgovarajuće kolone) i podijelite ga determinantom D. Tako smo pronašli inverznu matricu:

Rješenje sistema se nalazi po formuli (1.15):

Na ovaj način,

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi običnim Jordanovim izuzecima

Neka je dat proizvoljan (ne nužno kvadratni) sistem linearnih jednačina:

(1.16)

Potrebno je pronaći rješenje sistema, tj. takav skup varijabli koji zadovoljava sve jednakosti sistema (1.16). AT opšti slučaj sistem (1.16) može imati ne samo jedno rješenje, već i beskonačan broj rješenja. Takođe možda nema nikakvih rješenja.

U rješavanju ovakvih problema, dobro poznati školski kurs metoda eliminacije nepoznatih, koja se naziva i metoda običnih Jordanovih eliminacija. Suština ove metode leži u činjenici da se u jednoj od jednačina sistema (1.16) jedna od varijabli izražava preko drugih varijabli. Zatim se ova varijabla zamjenjuje u druge jednačine sistema. Rezultat je sistem koji sadrži jednu jednačinu i jednu manju varijablu od originalnog sistema. Pamti se jednačina iz koje je varijabla izražena.

Ovaj proces se ponavlja sve dok još jedna posljednja jednačina ne ostane u sistemu. U procesu eliminacije nepoznanica, neke jednačine se mogu pretvoriti u prave identitete, na primjer. Takve jednadžbe su isključene iz sistema, jer vrijede za bilo koje vrijednosti varijabli i stoga ne utiču na rješenje sistema. Ako u procesu eliminacije nepoznanica barem jedna jednadžba postane jednakost koja se ne može zadovoljiti ni za jednu vrijednost varijabli (na primjer, ), tada zaključujemo da sistem nema rješenja.

Ako u toku rješavanja nekonzistentnih jednačina nije nastalo, onda se jedna od preostalih varijabli u njoj nalazi iz posljednje jednačine. Ako u posljednjoj jednačini ostane samo jedna varijabla, ona se izražava brojem. Ako druge varijable ostanu u posljednjoj jednadžbi, one se smatraju parametrima, a varijabla izražena kroz njih bit će funkcija ovih parametara. Zatim tzv obrnuti hod". Pronađena varijabla se zamjenjuje u posljednju memorisanu jednačinu i pronalazi se druga varijabla. Zatim se dvije pronađene varijable zamjenjuju u pretposljednju memorisanu jednačinu i pronalazi se treća varijabla, i tako dalje, do prve memorisane jednačine.

Kao rezultat dobijamo rešenje sistema. Ovo rešenjeće biti jedinstven ako su pronađene varijable brojevi. Ako prva pronađena varijabla, a zatim i sve ostale ovise o parametrima, tada će sistem imati beskonačan broj rješenja (svaki skup parametara odgovara novom rješenju). Formule koje omogućavaju pronalaženje rješenja za sistem ovisno o određenom skupu parametara nazivaju se općim rješenjem sistema.

Primjer 1.11.

x

Nakon pamćenja prve jednačine i donoseći slične članove u drugoj i trećoj jednačini, dolazimo do sistema:

Express y iz druge jednadžbe i zamijenite je u prvu jednačinu:

Zapamtite drugu jednačinu, a iz prve nalazimo z:

Praveći obrnuti potez, sukcesivno nalazimo y i z. Da bismo to učinili, prvo zamjenjujemo posljednju zapamćenu jednačinu , iz koje nalazimo y:

.

Zatim zamjenjujemo i u prvu zapamćenu jednačinu odakle nalazimo x:

Problem 1.12. Riješite sistem linearnih jednačina eliminacijom nepoznanica:

. (1.17)

Rješenje. Izrazimo varijablu iz prve jednačine x i zamijeni ga u drugu i treću jednačinu:

.

Zapamtite prvu jednačinu

U ovom sistemu, prva i druga jednačina su kontradiktorne jedna drugoj. Zaista, izražavanje y , dobijamo da je 14 = 17. Ova jednakost nije zadovoljena, ni za jednu vrijednost varijabli x, y, i z. Prema tome, sistem (1.17) je nekonzistentan, tj. nema rješenje.

Čitaoci se pozivaju da samostalno provjere da li je glavna determinanta originalnog sistema (1.17) jednaka nuli.

Razmotrimo sistem koji se razlikuje od sistema (1.17) samo po jednom slobodnom članu.

Problem 1.13. Riješite sistem linearnih jednačina eliminacijom nepoznanica:

. (1.18)

Rješenje. Kao i ranije, izražavamo varijablu iz prve jednačine x i zamijeni ga u drugu i treću jednačinu:

.

Zapamtite prvu jednačinu a slične članove predstavljamo u drugoj i trećoj jednačini. Dolazimo do sistema:

izražavanje y iz prve jednačine i zamjenjujući je u drugu jednačinu , dobijamo identitet 14 = 14, koji ne utiče na rešenje sistema, pa se stoga može isključiti iz sistema.

U posljednjoj memorisanoj jednakosti, varijabla zće se smatrati kao parametar. Mi vjerujemo . Onda

Zamena y i z u prvu zapamćenu jednakost i pronađite x:

.

Dakle, sistem (1.18) ima beskonačan skup rješenja, a svako rješenje se može naći iz formule (1.19) odabirom proizvoljne vrijednosti parametra t:

(1.19)
Dakle, rješenja sistema, na primjer, su sljedeći skupovi varijabli (1; 2; 0), (2; 26; 14) itd. Formule (1.19) izražavaju općenito (bilo koje) rješenje sistema (1.18 ).

U slučaju kada originalni sistem (1.16) ima dovoljno veliki broj jednadžbi i nepoznanica, specificirana metoda običnih jordanskih eliminacija izgleda glomazna. Međutim, nije. Dovoljno je izvesti algoritam za ponovno izračunavanje koeficijenata sistema u jednom koraku u opšti pogled i formalizirati rješenje problema u obliku posebnih Jordanovih tablica.

Neka je dat sistem linearnih oblika (jednačina):

, (1.20)
gdje xj- nezavisne (željene) varijable, aij- konstantni koeficijenti
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Desni delovi sistema y i (i = 1, 2,…, m) mogu biti i varijable (zavisne) i konstante. Potrebno je pronaći rješenja za ovaj sistem uklanjanjem nepoznanica.

Razmotrimo sljedeću operaciju, u daljem tekstu "jedan korak običnih Jordanskih izuzetaka". Od proizvoljnog ( r th) jednakost, izražavamo proizvoljnu varijablu ( x s) i zamijeniti sve ostale jednakosti. Naravno, to je moguće samo ako a rs¹ 0. Koeficijent a rs naziva se razlučujući (ponekad vodeći ili glavni) element.

Dobićemo sledeći sistem:

. (1.21)

Od s jednakosti sistema (1.21), naknadno ćemo pronaći varijablu x s(nakon što se pronađu druge varijable). S Ta linija se pamti i potom isključuje iz sistema. Preostali sistem će sadržavati jednu jednačinu i jednu nezavisnu varijablu manje od originalnog sistema.

Izračunajmo koeficijente rezultujućeg sistema (1.21) u smislu koeficijenata originalnog sistema (1.20). Počnimo sa r ta jednačina, koja nakon izražavanja varijable x s kroz ostale varijable će izgledati ovako:

Dakle, novi koeficijenti r jednadžba se izračunava po sljedećim formulama:

(1.23)
Izračunajmo sada nove koeficijente b ij(i¹ r) proizvoljna jednačina. Da bismo to učinili, zamjenjujemo varijablu izraženu u (1.22) x s in i jednačina sistema (1.20):

Nakon donošenja sličnih uslova, dobijamo:

(1.24)
Iz jednakosti (1.24) dobijamo formule po kojima se izračunavaju preostali koeficijenti sistema (1.21) (s izuzetkom r ta jednačina):

(1.25)
Transformacija sistema linearnih jednačina metodom običnih jordanskih eliminacija prikazana je u obliku tabela (matrica). Ove tabele se zovu "Jordan tabele".

Dakle, problem (1.20) je povezan sa sljedećom Jordanovom tablicom:

Tabela 1.1

	x 1	x 2	…	xj	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		aij		a je		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		a ms		amn

Jordanova tabela 1.1 sadrži lijevu zaglavnu kolonu u kojoj su upisani desni dijelovi sistema (1.20) i gornju liniju glave u kojoj su upisane nezavisne varijable.

Preostali elementi tabele čine glavnu matricu koeficijenata sistema (1.20). Ako pomnožimo matricu ALI na matricu koja se sastoji od elemenata gornjeg reda zaglavlja, onda dobijamo matricu koja se sastoji od elemenata lijevog stupca zaglavlja. To jest, u suštini, Jordanova tabela je matrični oblik pisanja sistema linearnih jednačina: . U ovom slučaju, sljedeća Jordanova tabela odgovara sistemu (1.21):

Tabela 1.2

	x 1	x 2	…	xj	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b je		b in
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

Permisivni element a rs mi ćemo istaći podebljano. Podsjetimo da da bi se implementirao jedan korak Jordanovih izuzetaka, razrješavajući element mora biti različit od nule. Red tabele koji sadrži permisivni element naziva se permisivni red. Stupac koji sadrži element omogućavanja naziva se stupac omogućavanja. Prilikom prelaska sa date na sljedeću tablicu, jedna varijabla ( x s) iz gornjeg reda zaglavlja tabele se pomera u lijevu kolonu zaglavlja i, obrnuto, jedan od slobodnih članova sistema ( y r) se pomiče iz lijevog stupca zaglavlja tabele u gornji red zaglavlja.

Opišimo algoritam za ponovno izračunavanje koeficijenata pri prelasku iz Jordanove tabele (1.1) u tabelu (1.2), što sledi iz formula (1.23) i (1.25).

1. Element omogućavanja zamjenjuje se inverznim brojem:

2. Preostali elementi permisivne linije podijeljeni su permisivnim elementom i mijenjaju predznak u suprotan:

3. Preostali elementi stupca za omogućavanje dijele se na element koji omogućava:

4. Elementi koji nisu uključeni u red za razrješenje i kolonu za razrješavanje se ponovo izračunavaju prema formulama:

Posljednju formulu je lako zapamtiti ako primijetite da su elementi koji čine razlomak , nalaze se na raskrsnici i-oh i r-ti redovi i j th and s-te kolone (razrješavajući red, razrješavajući stupac i red i kolona na čijem se presjeku nalazi element koji se preračunava). Tačnije, prilikom pamćenja formule možete koristiti sljedeći grafikon:

-21 -26 -13 -37

Izvođenje prvog koraka jordanskih izuzetaka, bilo koji element tabele 1.3 koji se nalazi u kolonama x 1 ,…, x 5 (svi navedeni elementi nisu jednaki nuli). Ne bi trebalo da izaberete samo omogućavajući element u poslednjoj koloni, jer potrebno je pronaći nezavisne varijable x 1 ,…, x 5 . Biramo, na primjer, koeficijent 1 sa promenljivom x 3 u trećem redu tabele 1.3 (element omogućavanja je podebljan). Prilikom prelaska na tabelu 1.4, varijabla x 3 iz gornjeg reda zaglavlja zamjenjuje se konstantom 0 lijevog stupca zaglavlja (treći red). Istovremeno, varijabla x 3 se izražava u terminima preostalih varijabli.

string x 3 (Tabela 1.4) može se, nakon prethodnog pamćenja, isključiti iz Tabele 1.4. Tabela 1.4 takođe isključuje treću kolonu sa nulom u gornjem redu zaglavlja. Poenta je da bez obzira na koeficijente ove kolone b i 3 svi članovi svake jednačine 0 koji joj odgovaraju b i 3 sistema će biti jednaka nuli. Stoga se ovi koeficijenti ne mogu izračunati. Eliminacija jedne varijable x 3 i sećajući se jedne od jednačina, dolazimo do sistema koji odgovara tabeli 1.4 (sa precrtanom linijom x 3). Odabir u tabeli 1.4 kao element za razrješenje b 14 = -5, idite na tabelu 1.5. U tabeli 1.5 pamtimo prvi red i isključujemo ga iz tabele zajedno sa četvrtom kolonom (sa nulom na vrhu).

Tabela 1.5 Tabela 1.6

Od zadnji sto 1.7 nalazimo: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Uzastopno zamjenjujući već pronađene varijable u memorisane linije, nalazimo preostale varijable:

Dakle, sistem ima beskonačan broj rješenja. varijabla x 5, možete dodijeliti proizvoljne vrijednosti. Ova varijabla djeluje kao parametar x 5 = t. Dokazali smo kompatibilnost sistema i pronašli ga zajednička odluka:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Parametar davanja t razna značenja, dobijamo beskonačan broj rješenja za originalni sistem. Tako, na primjer, rješenje sistema je sljedeći skup varijabli (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

U prvom dijelu smo pogledali neke teorijski materijal, metoda zamjene i metoda sabiranja sistemskih jednačina po članu. Svima koji su došli na stranicu preko ove stranice, preporučujem da pročitate prvi dio. Možda će nekim posjetiteljima materijal biti previše jednostavan, ali u toku rješavanja sistema linearnih jednačina napravio sam niz vrlo važne napomene i zaključke u vezi sa odlukom matematički problemi općenito.

A sada ćemo analizirati Cramerovo pravilo, kao i rješenje sistema linearnih jednačina korištenjem inverzne matrice (matrična metoda). Svi materijali su predstavljeni jednostavno, detaljno i jasno, gotovo svi čitatelji će moći naučiti kako rješavati sisteme koristeći gore navedene metode.

Prvo ćemo detaljno razmotriti Cramerovo pravilo za sistem od dvije linearne jednačine u dvije nepoznate. Zašto? - Nakon svega najjednostavniji sistem može se riješiti školskom metodom, zbrajanjem termina!

Činjenica je da čak i ako ponekad, ali postoji takav zadatak - riješiti sistem od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice koristeći Cramerove formule. Drugo, jednostavniji primjer će vam pomoći da shvatite kako da više koristite Cramerovo pravilo težak slučaj– sistemi od tri jednačine sa tri nepoznate.

Osim toga, postoje sistemi linearnih jednačina sa dvije varijable, koje je preporučljivo rješavati tačno po Cramerovom pravilu!

Razmotrimo sistem jednačina

U prvom koraku izračunavamo determinantu , ona se zove glavna odrednica sistema.

Gaussova metoda.

Ako je , tada sistem ima jedinstveno rješenje, a da bismo pronašli korijene, moramo izračunati još dvije determinante:
i

U praksi se gore navedene odrednice također mogu označiti latinično pismo.

Korijeni jednadžbe se nalaze po formulama:
,

Primjer 7

Riješiti sistem linearnih jednačina

Rješenje: Vidimo da su koeficijenti jednačine prilično veliki, na desnoj strani su decimale sa zarezom. Zarez je prilično rijedak gost praktični zadaci u matematici, ovaj sistem sam preuzeo iz ekonometrijskog problema.

Kako riješiti takav sistem? Možete pokušati izraziti jednu varijablu u terminima druge, ali u ovom slučaju ćete sigurno dobiti strašne fensi razlomke, s kojima je izuzetno nezgodno raditi, a dizajn rješenja će izgledati jednostavno grozno. Možete pomnožiti drugu jednačinu sa 6 i oduzeti član po član, ali ovdje će se pojaviti isti razlomci.

sta da radim? U takvim slučajevima u pomoć priskaču Cramerove formule.

;

;

Odgovori: ,

Oba korijena imaju beskonačne repove i nalaze se približno, što je sasvim prihvatljivo (pa čak i uobičajeno) za probleme ekonometrije.

Komentari ovdje nisu potrebni, jer se zadatak rješava prema gotovim formulama, međutim, postoji jedno upozorenje. Prilikom upotrebe ovu metodu, obavezna Fragment zadatka je sljedeći fragment: "tako da sistem ima jedinstveno rješenje". U suprotnom, recenzent vas može kazniti zbog nepoštovanja Cramerove teoreme.

Neće biti suvišno provjeriti, što je zgodno provesti na kalkulatoru: zamjenjujemo približne vrijednosti u lijevu stranu svake jednadžbe sistema. Kao rezultat toga, s malom greškom, trebali bi se dobiti brojevi koji se nalaze na desnoj strani.

Primjer 8

Izrazite svoj odgovor na uobičajen način nepravilni razlomci. Provjeri.

Ovo je primjer za nezavisno rešenje(primjer završetka i odgovor na kraju lekcije).

Prelazimo na razmatranje Cramerovog pravila za sistem od tri jednačine sa tri nepoznanice:

Pronalazimo glavnu determinantu sistema:

Ako je , onda sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan (nema rješenja). U ovom slučaju, Cramerovo pravilo neće pomoći, morate koristiti Gaussovu metodu.

Ako je , tada sistem ima jedinstveno rješenje, a da bismo pronašli korijene, moramo izračunati još tri determinante:
, ,

I konačno, odgovor se izračunava po formulama:

Kao što vidite, slučaj „tri po tri“ se suštinski ne razlikuje od slučaja „dva po dva“, kolona slobodnih pojmova uzastopno „šeta“ s lijeva na desno duž stupaca glavne determinante.

Primjer 9

Riješite sistem koristeći Cramerove formule.

Rješenje: Rešimo sistem koristeći Cramerove formule.

, tako da sistem ima jedinstveno rješenje.

Odgovori: .

Zapravo, tu se opet nema šta posebno komentarisati, s obzirom na to da se odluka donosi po gotovim formulama. Ali ima nekoliko napomena.

Dešava se da se kao rezultat proračuna dobiju "loši" nesvodljivi razlomci, na primjer: .
Preporučujem sljedeći algoritam "liječenja". Ako nema kompjutera pri ruci, radimo ovo:

1) Možda postoji greška u proračunima. Čim naiđete na „loš” pogodak, morate odmah provjeriti da li da li je uslov ispravno napisan. Ako je uslov prepisan bez grešaka, onda morate ponovo izračunati determinante koristeći proširenje u drugom redu (koloni).

2) Ako kao rezultat provjere nisu pronađene greške, onda je najvjerovatnije došlo do greške u kucanju u stanju zadatka. U ovom slučaju, mirno i PAŽLJIVO riješite zadatak do kraja, a zatim obavezno provjerite i sačiniti ga na čistoj kopiji nakon odluke. Naravno, provjera razlomaka odgovora je neugodan zadatak, ali će to biti razoružavajući argument za nastavnika, koji, eto, zaista voli da stavi minus za bilo kakvu lošu stvar. Kako postupati sa razlomcima detaljno je opisano u odgovoru za primjer 8.

Ako imate računar pri ruci, provjerite ga pomoću automatiziranog programa koji se može besplatno preuzeti na samom početku lekcije. Inače, najpovoljnije je koristiti program odmah (čak i prije pokretanja rješenja), odmah ćete vidjeti međukorak u kojem ste pogriješili! Isti kalkulator automatski izračunava rješenje sistema matrična metoda.

Druga primjedba. S vremena na vrijeme postoje sistemi u čijim jednačinama nedostaju neke varijable, na primjer:

Ovdje u prvoj jednačini nema varijable, u drugoj nema varijable. U takvim slučajevima veoma je važno pravilno i PAŽLJIVO zapisati glavnu odrednicu:
– nule se stavljaju umjesto varijabli koje nedostaju.
Inače, racionalno je otvarati determinante sa nulama u redu (koloni) u kojem se nalazi nula, jer je primjetno manje proračuna.

Primjer 10

Riješite sistem koristeći Cramerove formule.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (završavanje uzorka i odgovor na kraju lekcije).

Za slučaj sistema od 4 jednačine sa 4 nepoznate, Cramerove formule se pišu po sličnim principima. Možete vidjeti primjer uživo u lekciji Determinant Properties. Smanjenje reda determinante - pet determinanti 4. reda je sasvim rješivo. Iako zadatak već jako podsjeća na profesorsku cipelu na grudima srećnog studenta.

Rješenje sistema pomoću inverzne matrice

Metoda inverzne matrice je u suštini poseban slučaj matrična jednačina(Vidi primjer br. 3 navedene lekcije).

Da biste proučili ovaj dio, morate biti u mogućnosti proširiti determinante, pronaći inverznu matricu i izvršiti množenje matrice. Relevantne veze će biti date kako objašnjenje bude napredovalo.

Primjer 11

Riješite sistem matričnim metodom

Rješenje: Sistem zapisujemo u matričnom obliku:
, gdje

Molimo pogledajte sistem jednačina i matrice. Po kom principu upisujemo elemente u matrice, mislim da je svima jasno. Jedini komentar: ako neke varijable nedostaju u jednadžbi, onda bi nule morale biti stavljene na odgovarajuća mjesta u matrici.

Inverznu matricu nalazimo po formuli:
, gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice .

Prvo, pozabavimo se determinantom:

Ovdje je determinanta proširena za prvi red.

Pažnja! Ako je , tada inverzna matrica ne postoji i nemoguće je riješiti sistem matričnim metodom. U ovom slučaju sistem se rješava eliminacijom nepoznatih (Gaussova metoda).

Sada trebate izračunati 9 minora i upisati ih u matricu minora

referenca: Korisno je znati značenje dvostrukih indeksa u linearnoj algebri. Prva znamenka je broj linije u kojoj se element nalazi. Druga znamenka je broj kolone u kojoj se element nalazi:

To jest, dvostruki indeks označava da je element u prvom redu, trećem stupcu, dok je, na primjer, element u 3. redu, 2. koloni

Razmotrimo sistem od 3 jednačine sa tri nepoznate

Koristeći determinante trećeg reda, rješenje takvog sistema se može zapisati u istom obliku kao za sistem od dvije jednačine, tj.

(2.4)

ako je 0. Evo

TO JE Cramerovo pravilo rješavanje sistema od tri linearne jednadžbe u tri nepoznate.

Primjer 2.3. Riješite sistem linearnih jednačina koristeći Cramerovo pravilo:

Rješenje . Pronalaženje determinante glavne matrice sistema

Pošto je 0, da biste pronašli rješenje za sistem, možete primijeniti Cramerovo pravilo, ali prvo izračunajte još tri determinante:

pregled:

Dakle, rješenje je pronađeno ispravno. 

Cramerova pravila izvedena za linearni sistemi 2. i 3. reda, sugeriraju da se ista pravila mogu formulirati za linearne sisteme bilo kojeg reda. Zaista se dešava

Cramerova teorema. Kvadratni sistem linearnih jednadžbi sa nenultom determinantom glavne matrice sistema (0) ima jedno i samo jedno rješenje, a to rješenje se izračunava po formulama

(2.5)

gdje  – determinanta glavne matrice,  i – matrična determinanta, izvedeno iz glavnog, zamjenskogikolona slobodnih članova.

Imajte na umu da ako je =0, onda Cramerovo pravilo nije primjenjivo. To znači da sistem ili nema rješenja uopće, ili ima beskonačno mnogo rješenja.

Nakon formulisanja Cramerove teoreme, prirodno se postavlja pitanje izračunavanja determinanti višeg reda.

2.4. determinante n-tog reda

Dodatni minor M ij element a ij naziva se determinanta dobijena iz datog brisanjem i-ti red i j-th kolona. Algebarsko sabiranje A ij element a ij naziva se minor ovog elementa, uzet sa predznakom (–1) i + j, tj. A ij = (–1) i + j M ij .

Na primjer, pronađimo minore i algebarske komplemente elemenata a 23 i a 31 odrednica

Dobijamo



Koristeći koncept algebarskog komplementa, možemo formulisati teorema ekspanzije determinanten-ti red po redu ili koloni.

Teorema 2.1. Matrična determinantaAjednak je zbroju proizvoda svih elemenata nekog reda (ili stupca) i njihovih algebarskih komplementa:

(2.6)

Ova teorema leži u osnovi jedne od glavnih metoda za izračunavanje determinanti, tzv. metoda smanjenja narudžbe. Kao rezultat proširenja determinante n redom u bilo kom redu ili koloni, dobijamo n determinanti ( n–1)-ti red. Da bismo imali manje takvih determinanti, preporučljivo je odabrati red ili kolonu koji ima najviše nula. U praksi, formula ekspanzije za determinantu se obično piše kao:

one. algebarski dodaci su napisani eksplicitno u terminima minora.

Primjeri 2.4. Izračunajte determinante tako da ih prvo proširite u bilo koji red ili kolonu. Obično u takvim slučajevima odaberite kolonu ili red koji ima najviše nula. Odabrani red ili kolona će biti označeni strelicom.



2.5. Osnovna svojstva determinanti

Proširujući determinantu u bilo koji red ili kolonu, dobijamo n determinanti ( n–1)-ti red. Tada svaka od ovih determinanti ( n–1)-ti red se također može rastaviti na zbir determinanti ( n–2)-ti red. Nastavljajući ovaj proces dolazi se do determinanti 1. reda, tj. na elemente matrice čija se determinanta izračunava. Dakle, da biste izračunali determinante 2. reda, moraćete da izračunate zbir dva člana, za determinante 3. reda - zbir 6 članova, za determinante 4. reda - 24 člana. Broj pojmova će se naglo povećati kako se red determinante povećava. To znači da izračunavanje determinanti vrlo visokih redova postaje prilično naporan zadatak, izvan snage čak i kompjutera. Međutim, determinante se mogu izračunati i na drugi način, koristeći svojstva determinanti.

Nekretnina 1 . Odrednica se neće promijeniti ako se u njoj zamjene redovi i stupci, tj. prilikom transponovanja matrice:

.

Ovo svojstvo ukazuje na jednakost redova i stupaca determinante. Drugim riječima, bilo koja izjava o stupcima determinante je tačna za njene redove, i obrnuto.

Nekretnina 2 . Odrednica mijenja predznak kada se zamijene dva reda (kolone).

Posljedica . Ako determinanta ima dva identična reda (kolone), onda je jednaka nuli.

Nekretnina 3 . Zajednički faktor svih elemenata u bilo kojem redu (stupcu) može se izvaditi iz predznaka determinante.

Na primjer,

Posljedica . Ako su svi elementi nekog reda (kolone) determinante jednaki nuli, tada je i sama determinanta jednaka nuli.

Nekretnina 4 . Odrednica se neće promijeniti ako se elementi jednog reda (kolone) dodaju elementima drugog reda (kolone) pomnoženim nekim brojem.

Na primjer,

Svojstvo 5 . Determinanta matričnog proizvoda jednaka je proizvodu matričnih determinanti: