Nađimo derivaciju funkcije 3x. Pronađite izvod: algoritam i primjeri rješenja

Izračun izvoda- jedan od mnogih važne operacije in diferencijalni račun. Ispod je tabela za pronalaženje izvedenica jednostavne funkcije. Više komplikovana pravila diferencijaciju, pogledajte ostale lekcije:

• Tablica izvoda eksponencijalnih i logaritamskih funkcija

Koristite date formule kao referentne vrijednosti. Oni će vam pomoći da odlučite diferencijalne jednadžbe i zadatke. Na slici, u tabeli izvoda jednostavnih funkcija, nalazi se "cheat sheet" glavnih slučajeva pronalaženja izvoda u obliku koji je razumljiv za upotrebu, pored nje su objašnjenja za svaki slučaj.

Derivati ​​jednostavnih funkcija

1. Derivat broja je nula
s´ = 0
primjer:
5' = 0

Objašnjenje:
Izvod pokazuje brzinu kojom se mijenja vrijednost funkcije kada se promijeni argument. Pošto se broj ni na koji način ne menja ni pod kojim uslovima, brzina njegove promene je uvek nula.

2. Derivat varijable jednako jedan
x' = 1

Objašnjenje:
Sa svakim povećanjem argumenta (x) za jedan, vrijednost funkcije (rezultat proračuna) raste za isti iznos. Dakle, brzina promjene vrijednosti funkcije y = x je tačno jednaka brzini promjene vrijednosti argumenta.

3. Izvod varijable i faktora jednak je ovom faktoru
sx´ = s
primjer:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Objašnjenje:
AT ovaj slučaj, svaki put kada se promijeni argument funkcije ( X) njegova vrijednost (y) raste With jednom. Dakle, stopa promjene vrijednosti funkcije u odnosu na brzinu promjene argumenta je tačno jednaka vrijednosti With.

Otkud to sledi
(cx + b)" = c
tj. diferencijal linearna funkcija y=kx+b je jednako nagibu prave linije (k).

4. Modulo derivat varijable jednak je količniku ove varijable prema njenom modulu
|x|"= x / |x| pod uslovom da je x ≠ 0
Objašnjenje:
Budući da je derivacija varijable (vidi formulu 2) jednaka jedan, derivacija modula se razlikuje samo po tome što se vrijednost brzine promjene funkcije mijenja u suprotno pri prelasku početne točke (pokušajte nacrtati graf funkcije y = |x| i uvjerite se. Ovo je upravo vrijednost i vraća izraz x / |x| Kada je x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - jedan. To jest, u negativne vrijednosti varijable x sa svakim povećanjem promjene argumenta, vrijednost funkcije se smanjuje za potpuno istu vrijednost, a za pozitivne, naprotiv, raste, ali za potpuno istu vrijednost.

5. Izvod snage varijable jednak je proizvodu broja ovog stepena i varijable u stepenu, umanjenom za jedan
(x c)"= cx c-1, pod uslovom da su x c i cx c-1 definisani i c ≠ 0
primjer:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Da zapamtite formulu:
Uzmite eksponent varijable "dolje" kao množitelj, a zatim smanjite sam eksponent za jedan. Na primjer, za x 2 - dva je bila ispred x, a onda nam je smanjena snaga (2-1 = 1) samo dala 2x. Isto se dogodilo i za x 3 - snizimo trojku, smanjimo je za jedan, a umjesto kocke imamo kvadrat, odnosno 3x 2 . Malo "nenaučno", ali vrlo lako za pamćenje.

6.Derivat frakcije 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
primjer:
Pošto se razlomak može predstaviti kao povećanje do negativan stepen
(1/x)" = (x -1)" , tada možete primijeniti formulu iz pravila 5 tabele derivata
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivat frakcije sa promenljivom proizvoljnog stepena u nazivniku
(1/x c)" = - c / x c+1
primjer:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. korijen derivat(derivat varijable pod kvadratni korijen)
(√x)" = 1 / (2√x) ili 1/2 x -1/2
primjer:
(√x)" = (x 1/2)" tako da možete primijeniti formulu iz pravila 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivat varijable pod korijenom proizvoljnog stepena
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Ako slijedimo definiciju, tada je derivacija funkcije u tački granica omjera prirasta funkcije Δ y na prirast argumenta Δ x:

Čini se da je sve jasno. Ali pokušajte izračunati po ovoj formuli, recimo, derivaciju funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grijeh x. Ako sve radite po definiciji, onda ćete nakon nekoliko stranica proračuna jednostavno zaspati. Stoga postoje jednostavniji i efikasniji načini.

Za početak, napominjemo da se takozvane elementarne funkcije mogu razlikovati od čitavog niza funkcija. To je relativno jednostavni izrazi, čiji su derivati ​​odavno izračunati i uneseni u tabelu. Takve funkcije je dovoljno lako zapamtiti, zajedno sa njihovim derivatima.

Derivati ​​elementarnih funkcija

Elementarne funkcije su sve navedene u nastavku. Izvodi ovih funkcija moraju se znati napamet. Štaviše, nije ih teško zapamtiti - zato su elementarni.

Dakle, derivati elementarne funkcije:

Ime	Funkcija	Derivat
Konstantno	f(x) = C, C ∈ R	0 (da, da, nula!)
Stepen sa racionalnim eksponentom	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = grijeh x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	− grijeh x(minus sinus)
Tangenta	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
prirodni logaritam	f(x) = log x	1/x
Proizvoljni logaritam	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Eksponencijalna funkcija	f(x) = e x	e x(ništa se nije promijenilo)

Ako se elementarna funkcija pomnoži sa proizvoljnom konstantom, onda se derivacija nove funkcije također lako izračunava:

(C · f)’ = C · f ’.

Generalno, konstante se mogu izvući iz predznaka izvoda. Na primjer:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očigledno, elementarne funkcije se mogu dodavati jedna drugoj, množiti, dijeliti i još mnogo toga. Tako će se pojaviti nove funkcije, više ne baš elementarne, ali i diferencirane po određenim pravilima. Ova pravila su razmotrena u nastavku.

Derivat zbira i razlike

Neka funkcije f(x) i g(x), čiji su nam derivati ​​poznati. Na primjer, možete uzeti elementarne funkcije o kojima smo gore govorili. Tada možete pronaći derivaciju zbira i razlike ovih funkcija:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Dakle, derivacija zbira (razlike) dvije funkcije jednaka je zbiru (razlici) izvoda. Možda ima više termina. Na primjer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo govoreći, u algebri ne postoji koncept "oduzimanja". Postoji koncept negativni element". Dakle, razlika f − g može se prepisati kao zbir f+ (−1) g, a onda ostaje samo jedna formula - derivacija sume.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) je zbir dvije elementarne funkcije, dakle:

f ’(x) = (x 2+ sin x)’ = (x 2)' + (grijeh x)’ = 2x+ cosx;

Slično tvrdimo i za funkciju g(x). Samo što već postoje tri pojma (sa stanovišta algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

odgovor:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat proizvoda

Matematika je logička nauka, tako da mnogi ljudi vjeruju da ako je derivacija zbira jednaka zbroju izvoda, onda je derivacija proizvoda štrajk"\u003e jednako umnošku derivata. Ali fige vama! Izvod proizvoda se izračunava po potpuno drugoj formuli. Naime:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je jednostavna, ali se često zaboravlja. I ne samo školarci, već i studenti. Rezultat su pogrešno riješeni problemi.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) je proizvod dvije elementarne funkcije, tako da je sve jednostavno:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x grijeh x)

Funkcija g(x) prvi množitelj je malo složeniji, ali opšta šema ovo se ne mijenja. Očigledno, prvi množitelj funkcije g(x) je polinom, a njegov izvod je izvod zbira. Imamo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

odgovor:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x grijeh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Imajte na umu da je u posljednjem koraku izvod faktoriziran. Formalno, to nije neophodno, ali većina derivata se ne izračunavaju samostalno, već radi istraživanja funkcije. To znači da će se dalje derivacija izjednačiti sa nulom, saznati će se njeni predznaci i tako dalje. Za takav slučaj, bolje je imati izraz razložen na faktore.

Ako postoje dvije funkcije f(x) i g(x), i g(x) ≠ 0 na skupu koji nas zanima, možemo definirati novu funkciju h(x) = f(x)/g(x). Za takvu funkciju možete pronaći i izvod:

Nije slabo, zar ne? Odakle minus? Zašto g 2? Ali ovako! Ovo je jedan od najvecih složene formule Ne možete to shvatiti bez flaše. Stoga je bolje da se na tome prouči konkretnim primjerima.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija:

U brojniku i nazivniku svakog razlomka postoje elementarne funkcije, tako da sve što nam treba je formula za izvod količnika:

Po tradiciji, brojilac činimo u faktore - to će uvelike pojednostaviti odgovor:

Složena funkcija nije nužno formula duga pola kilometra. Na primjer, dovoljno je uzeti funkciju f(x) = grijeh x i zamijenite varijablu x, recimo, na x 2+ln x. Ispostavilo se f(x) = grijeh ( x 2+ln x) - To je ono što je složena funkcija. Ona također ima derivat, ali neće uspjeti pronaći ga prema gore navedenim pravilima.

Kako biti? U takvim slučajevima pomaže zamjena varijable i formula za izvod složene funkcije:

f ’(x) = f ’(t) · t', ako x je zamijenjen sa t(x).

Po pravilu, situacija sa razumijevanjem ove formule je još tužnija nego s derivacijom količnika. Stoga je i to bolje objasniti konkretnim primjerima, s Detaljan opis svaki korak.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grijeh ( x 2+ln x)

Imajte na umu da ako je u funkciji f(x) umjesto izraza 2 x+ 3 će biti lako x, tada dobijamo elementarnu funkciju f(x) = e x. Stoga vršimo zamjenu: neka je 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Tražimo izvod kompleksne funkcije po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A sada - pažnja! Izvođenje obrnute zamjene: t = 2x+ 3. Dobijamo:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Pogledajmo sada funkciju g(x). Očigledno treba zamijeniti. x 2+ln x = t. Imamo:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (grijeh t)’ · t' = cos t · t ’

Obrnuta zamjena: t = x 2+ln x. onda:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

To je sve! Kao što se vidi iz posljednjeg izraza, cijeli problem je sveden na izračunavanje derivacije sume.

odgovor:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ln x).

Vrlo često na svojim časovima umjesto izraza „derivat“ koristim riječ „moždani udar“. Na primjer, udarac iz zbroja jednak je zbiru moždani udari. Je li to jasnije? Pa, to je dobro.

Dakle, izračunavanje derivata se svodi na oslobađanje od ovih poteza prema gore navedenim pravilima. As posljednji primjer Vratimo se deriviranoj potenciji sa racionalnim eksponentom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo ko to zna u ulozi n može delovati frakcijski broj. Na primjer, korijen je x 0,5 . Ali šta ako postoji nešto nezgodno ispod korena? Opet, ispostavit će se složena funkcija - oni vole davati takve konstrukcije kontrolni rad i ispite.

Zadatak. Pronađite derivaciju funkcije:

Prvo, prepišimo korijen kao stepen s racionalnim eksponentom:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sada vršimo zamjenu: neka x 2 + 8x − 7 = t. Izvod nalazimo po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Vršimo obrnutu zamjenu: t = x 2 + 8x− 7. Imamo:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Konačno, povratak korijenima:

Definicija. Neka je funkcija \(y = f(x) \) definirana u nekom intervalu koji sadrži tačku \(x_0 \) unutra. Povećajmo \(\Delta x \) na argument kako ne bismo napustili ovaj interval. Pronađite odgovarajući prirast funkcije \(\Delta y \) (pri prelasku iz tačke \(x_0 \) u tačku \(x_0 + \Delta x \)) i sastavite relaciju \(\frac(\Delta y) )(\Delta x) \). Ako postoji granica ove relacije na \(\Delta x \rightarrow 0 \), tada se navedena granica naziva derivirajuća funkcija\(y=f(x) \) u tački \(x_0 \) i označimo \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbol y se često koristi za označavanje izvoda. Imajte na umu da je y" = f(x). nova funkcija, ali prirodno povezana s funkcijom y = f(x) definiranom u svim točkama x u kojima postoji gornja granica. Ova funkcija se zove ovako: izvod funkcije y \u003d f (x).

Geometrijsko značenje izvedenice sastoji se od sljedećeg. Ako se tangenta koja nije paralelna y osi može nacrtati na graf funkcije y = f (x) u tački sa apscisom x = a, tada f (a) izražava nagib tangente:
\(k = f"(a)\)

Pošto je \(k = tg(a) \), jednakost \(f"(a) = tg(a) \) je tačna.

A sada tumačimo definiciju derivacije u terminima približnih jednakosti. Neka funkcija \(y = f(x) \) ima izvod u određenoj tački \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znači da je blizu tačke x približna jednakost \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), tj. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Smisleno značenje dobijene približne jednakosti je sljedeće: prirast funkcije je “gotovo proporcionalan” prirastu argumenta, a koeficijent proporcionalnosti je vrijednost derivacije u dati poen X. Na primjer, za funkciju \(y = x^2 \) vrijedi približna jednakost \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Ako pažljivo analiziramo definiciju derivacije, otkrićemo da ona sadrži algoritam za njeno pronalaženje.

Hajde da to formulišemo.

Kako pronaći izvod funkcije y \u003d f (x)?

1. Popravi vrijednost \(x \), pronađi \(f(x) \)
2. Povećajte \(x \) argument \(\Delta x \), idite na nova tačka\(x+ \Delta x \), pronađite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Pronađite prirast funkcije: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Sastavite relaciju \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Izračunajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ova granica je derivacija funkcije na x.

Ako funkcija y = f(x) ima izvod u tački x, onda se naziva diferencijabilna u tački x. Poziva se postupak za pronalaženje derivacije funkcije y = f (x). diferencijaciju funkcije y = f(x).

Razgovarajmo o sljedećem pitanju: kako su povezani kontinuitet i diferencijabilnost funkcije u nekoj tački?

Neka je funkcija y = f(x) diferencijabilna u tački x. Tada se tangenta može povući na graf funkcije u tački M (x; f (x)) i, podsjetimo, nagib tangente je jednak f "(x). Takav graf se ne može "lomiti" u tačka M, tj. funkcija mora biti kontinuirana na x.

Bilo je to obrazloženje "na prste". Hajde da iznesemo rigorozniji argument. Ako je funkcija y = f(x) diferencijabilna u tački x, tada vrijedi približna jednakost \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) nula, tada \(\Delta y \ ) će također težiti nuli, a to je uvjet za kontinuitet funkcije u tački.

dakle, ako je funkcija diferencijabilna u tački x, tada je i u toj tački kontinuirana.

Obratno nije tačno. Na primjer: funkcija y = |x| je kontinuirano svuda, posebno u tački x = 0, ali tangenta na graf funkcije u “tački spoja” (0; 0) ne postoji. Ako je u nekom trenutku nemoguće nacrtati tangentu na graf funkcije, tada nema izvoda u ovoj tački.

Još jedan primjer. Funkcija \(y=\sqrt(x) \) je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, uključujući u tački x = 0. A tangenta na graf funkcije postoji u bilo kojoj tački, uključujući i tačku x = 0 Ali u ovom trenutku tangenta se poklapa sa y-osom, odnosno okomita je na osu apscise, njena jednadžba ima oblik x = 0. Nagib ne postoji takva linija, što znači da ni \(f"(0) \) ne postoji

Dakle, upoznali smo se sa novim svojstvom funkcije - diferencijabilnošću. Kako možete reći da li se funkcija može razlikovati od grafa funkcije?

Odgovor je zapravo dat gore. Ako se u nekom trenutku može povući tangenta na graf funkcije koja nije okomita na x-osu, tada je funkcija u ovom trenutku diferencibilna. Ako u nekom trenutku tangenta na graf funkcije ne postoji ili je okomita na x-osu, tada funkcija nije diferencibilna.

Pravila diferencijacije

Operacija pronalaženja derivacije se zove diferencijaciju. Prilikom izvođenja ove operacije često morate raditi s količnikima, zbrojima, produktima funkcija, kao i sa "funkcijama funkcija", odnosno složenim funkcijama. Na osnovu definicije derivacije, možemo izvesti pravila diferencijacije koja olakšavaju ovaj rad. Ako C- konstantan broj i f=f(x), g=g(x) su neke diferencibilne funkcije, onda je sljedeće istinito pravila diferencijacije:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \desno) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Izvod složene funkcije:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tablica izvoda nekih funkcija

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Aplikacija

Rješenje izvedenice na sajtu za objedinjavanje materijala koji obrađuju studenti i školarci. Izračunavanje derivacije funkcije u nekoliko sekundi nije teško ako koristite našu online uslugu rješavanja problema. Olovo detaljna analiza temeljno proučavanje praktična lekcija svaki treći učenik može. Često nam se obraća odeljenje resornog odeljenja za promociju matematike u obrazovne institucije zemlje. U ovom slučaju, kako ne spomenuti rješenje izvedenice online za zatvoreni prostor numeričke sekvence. Mnogim bogatim pojedincima je dozvoljeno da izraze svoje čuđenje. Ali u međuvremenu, matematičari ne sjede mirno i naporno rade. Promjenu ulaznih parametara prema linearnim karakteristikama prihvatit će kalkulator derivata uglavnom zbog supreme silazne pozicije kocke. Rezultat je neizbježan kao površina. Kao početni podaci, online derivat eliminira potrebu za poduzimanjem nepotrebnih koraka. Osim fiktivnih domaćih zadataka. Pored činjenice da je rješenje izvedenica online neophodno i važan aspekt učeći matematiku, učenici se često ne sjećaju zadataka iz prošlosti. Učenik, kao lijeno stvorenje, to razumije. Ali studenti smiješni ljudi! Ili uradite prema pravilima, ili derivaciju funkcije u kosoj ravni može dati ubrzanje materijalnoj tački. Usmjerimo negdje vektor silaznog prostornog snopa. U željenom odgovoru, pronalaženje derivacije izgleda kao apstraktni teorijski pravac zbog nestabilnosti matematički sistem. Zamislite omjer brojeva kao niz neiskorištenih opcija. Komunikacijski kanal je dopunjen petom linijom duž silaznog vektora od točke zatvorene bifurkacije kocke. Na ravni zakrivljenih prostora, rješavanje izvedenice na mreži dovodi nas do zaključka koji je natjerao najveće umove planete na razmišljanje u prošlom stoljeću. U toku događaja iz oblasti matematike, pet fundamentalno važni faktori, doprinoseći poboljšanju pozicije izbora varijable. Tako zakon za bodove kaže da se online derivat ne obračunava detaljno u svakom slučaju, samo trenutak lojalnog napredovanja može biti izuzetak. Prognoza nas je dovela do toga nova runda razvoj. Potreban nam je rezultat. U liniji matematičke kosine koja prolazi ispod površine, kalkulator derivacija moda nalazi se u području presjeka proizvoda na skupu za savijanje. Ostaje da se analizira diferencijacija funkcije u njenoj nezavisnoj tački u blizini epsilon susjedstva. To svi mogu vidjeti u praksi. Kao rezultat toga, u sljedećoj fazi programiranja će se nešto odlučiti. Studentu je potreban online derivat kao i uvijek, bez obzira na imaginarne studije koje se praktikuju. Ispada da funkcija rješavanja izvedenice online pomnožena konstantom ne mijenja opći smjer kretanja materijalna tačka, ali karakterizira povećanje brzine u pravoj liniji. U tom smislu, bit će korisno primijeniti naš kalkulator izvedenica i izračunati sve vrijednosti funkcije na cijelom skupu njene definicije. Jednostavno nema potrebe za proučavanjem talasa sile gravitacionog polja. Ni u kom slučaju rješenje za online derivate neće pokazati nagib izlaznog snopa, ali samo u rijetkim slučajevima, kada je to zaista neophodno, studenti mogu to zamisliti. Istražujemo direktora. Vrijednost najmanjeg rotora je predvidljiva. Primijenite na rezultat desno okrenute linije koje opisuju loptu, ali online kalkulator derivata, ovo je osnova za brojke posebne jačine i nelinearne zavisnosti. Izveštaj matematičkog projekta je spreman. Razlika u ličnim karakteristikama najmanji brojevi a derivacija funkcije duž y osi će dovesti konkavnost iste funkcije na visinu. Postoji pravac - postoji zaključak. Teoriju je lakše primijeniti u praksi. Postoji prijedlog studenata o vremenu početka studija. Potreban mi je odgovor nastavnika. Opet, kao iu prethodnoj poziciji, matematički sistem nije reguliran na osnovu radnje koja će pomoći u pronalaženju izvoda.Kao niža polulinearna verzija, online izvod će detaljno naznačiti identifikaciju rješenja prema degenerisani uslovni zakon. Samo iznesite ideju o izračunavanju formula. Linearna diferencijacija funkcije odbacuje istinitost rješenja jednostavnim izlaganjem irelevantnih pozitivnih varijacija. Važnost znakova poređenja smatrat će se kontinuiranim prekidom funkcije duž ose. To je važnost najsvjesnijeg zaključka, prema studentu, u kojem je online derivat nešto drugo nego lojalni primjer matematičke analize. Radijus zakrivljene kružnice u euklidskom prostoru, naprotiv, dao je kalkulatoru derivata prirodan prikaz razmjene odlučujućih problema za stabilnost. najbolja metoda pronađeno. Bilo je lakše podići zadatak. Neka primjenljivost proporcije nezavisne razlike dovede do rješenja izvedenica na mreži. Rješenje se rotira oko x-ose, opisujući lik kruga. Izlaz postoji, a baziran je na istraživanju koje teoretski podržavaju studenti, iz kojeg svi uče, a čak i u tim trenucima postoji derivat funkcije. Našli smo način za napredak i učenici su to potvrdili. Možemo sebi priuštiti da pronađemo izvod bez prevazilaženja neprirodnog pristupa transformaciji matematičkog sistema. Lijevi znak proporcionalnosti raste sa geometrijskim nizom as matematičko predstavljanje online kalkulator izvoda zbog nepoznate okolnosti linearnih faktora na beskonačnoj y-osi. Matematičari širom svijeta dokazali su ekskluzivnost proizvodnog procesa. Tu je najmanji kvadrat unutar kruga prema opisu teorije. Opet, online derivat će elaborirati našu pretpostavku o tome šta je uopće moglo utjecati na teorijski rafinirano mišljenje. Bilo je mišljenja drugačije prirode od izvještaja koji smo analizirali. Odvojena pažnja se možda neće desiti studentima naših fakulteta, ali samo ne pametnim i naprednim matematičarima kod kojih je diferencijacija funkcije samo izgovor. mehanički smisao derivat je vrlo jednostavan. Sila dizanja se izračunava kao onlajn derivat za stabilne prostore koji se spuštaju nadole u vremenu. Očigledno, kalkulator derivata je rigorozan proces opisivanja problema degeneracije umjetne transformacije kao amorfnog tijela. Prva derivacija govori o promjeni kretanja materijalne tačke. trodimenzionalni prostor očito posmatrano u kontekstu posebno obučenih tehnologija za rješavanje izvedenica online, zapravo je na svakom kolokvijumu na temu matematičke discipline. Drugi izvod karakterizira promjenu brzine materijalne tačke i određuje ubrzanje. Meridijanski pristup u osnovi upotrebe afina transformacija displeji uključeni novi nivo derivacija funkcije u tački iz domena ove funkcije. Online kalkulator izvedenica ne može biti bez brojeva i simboličke notacije u nekim slučajevima do pravog izvršnog trenutka, osim transformabilnog rasporeda stvari zadatka. Iznenađujuće, postoji drugo ubrzanje materijalne tačke, što karakterizira promjenu ubrzanja. Za kratko vreme ćemo početi da proučavamo rešenje izvedenice online, ali čim se dostigne određena prekretnica u znanju, naš student će zaustaviti ovaj proces. Najbolji lijek umrežavanje je komunikacija uživo tema iz matematike. Postoje principi koji se ne smiju kršiti ni pod kojim okolnostima, ma koliko težak zadatak bio. Korisno je pronaći derivat online na vrijeme i bez grešaka. Ovo će dovesti do nove pozicije matematičkog izraza. Sistem je stabilan. fizičko značenje derivat nije toliko popularan kao mehanički. Malo je vjerojatno da se itko sjeća kako je online izvedenica detaljno prikazala na ravni obris linija funkcije na normalu iz trokuta koji se nalazi uz x-os. Čovjek zaslužuje veliku ulogu u istraživanjima prošlog stoljeća. Izvršimo u tri elementarne etape diferencijaciju funkcije u tačkama, kako iz domena definicije tako i u beskonačnosti. Biće unutra pisanje samo u oblasti studija, ali može zauzeti mjesto glavnog vektora u matematici i teoriji brojeva, čim se desi povezaće online kalkulator izvedenica sa problemom. Postojao bi razlog, ali će postojati razlog da se sastavi jednačina. Vrlo je važno imati na umu sve ulazne parametre. Najbolje se ne uzima uvijek direktno, iza toga stoji kolosalna količina rada najboljih umova koji su znali kako se online derivat izračunava u svemiru. Od tada se konveksnost smatra svojstvom kontinuirana funkcija. Ipak, bolje je prvo postaviti zadatak rješavanja izvedenica online u najkraćem mogućem roku. Tako će rješenje biti kompletno. Pored neispunjenih normi, to se ne smatra dovoljnim. U početku, gotovo svaki student predlaže iznošenje jednostavne metode o tome kako derivacija funkcije uzrokuje kontroverzan algoritam rasta. U pravcu uzlazne grede. Ima smisla kao opšti položaj. Ranije su označavali početak završetka određene matematičke radnje, a danas će biti obrnuto. Možda će rješenje izvedenice online ponovo pokrenuti pitanje i prihvatiti zajedničko mišljenje o njegovom očuvanju na raspravi na sastanku nastavnika. Nadamo se razumijevanju sa svih strana učesnika sastanka. Logički smisao sadržan je u opisu kalkulatora izvedenica u rezonanciji brojeva o redosledu izlaganja misli problema, na koji su u prošlom veku odgovorili veliki naučnici sveta. To će pomoći da se izvuče kompleksna varijabla iz konvertovanog izraza i pronađe derivat na mreži za izvođenje mase istu vrstu akcije. Istina je mnogo bolja od nagađanja. Najniža vrijednost u trendu. Rezultat neće dugo čekati kada koristite jedinstvenu uslugu za najprecizniju lokaciju, za koju postoji detaljan online derivat. Indirektno, ali do tačke, kako reče jedan mudar čovjek, na zahtjev mnogih studenata iz različitih gradova Sindikata kreiran je online kalkulator derivata. Ako postoji razlika, zašto onda odlučivati ​​dvaput. Specificirani vektor leži na istoj strani kao i normalna. Sredinom prošlog stoljeća diferencijacija funkcije se nikako nije doživljavala kao danas. Zahvaljujući razvoju koji je u toku, pojavila se online matematika. Vremenom učenici zaborave da pridaju priznanje matematičkim disciplinama. Rješenje izvedenice online dovest će u pitanje našu tezu, s pravom zasnovanu na primjeni teorije, podržane od praktično znanje. Ići će dalje postojeću vrijednost faktor prezentacije i eksplicitno napišite formulu za funkciju. Dešava se da morate odmah pronaći izvedenicu na mreži bez korištenja kalkulatora, međutim, uvijek možete pribjeći triku učenika i dalje koristiti takvu uslugu kao web stranicu. Tako će učenik uštedjeti dosta vremena na kopiranju primjera iz nacrta sveske u konačni oblik. Ako nema kontradikcija, onda koristite uslugu rješenja korak po korak za tako složene primjere.

Problem nalaženja derivata od datu funkciju je jedan od glavnih predmeta matematike srednja škola iu visokoškolskim ustanovama. Nemoguće je u potpunosti istražiti funkciju, izgraditi njen graf bez uzimanja njene derivacije. Izvod funkcije se lako može pronaći ako poznajete osnovna pravila diferencijacije, kao i tablicu izvoda glavnih funkcija. Hajde da shvatimo kako pronaći derivaciju funkcije.

Derivat funkcije naziva se granica omjera prirasta funkcije i priraštaja argumenta kada inkrement argumenta teži nuli.

Prilično je teško razumjeti ovu definiciju, budući da se koncept granice ne proučava u potpunosti u školi. Ali da bismo pronašli izvode različitih funkcija, nije potrebno razumjeti definiciju, prepustimo to matematičarima i idemo direktno na pronalaženje izvoda.

Proces pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija. Kada diferenciramo funkciju, dobićemo novu funkciju.

Da bismo ih označili, koristit ćemo pisma f, g itd.

Postoji mnogo različitih notacija za derivate. Koristićemo udar. Na primjer, unos g" znači da ćemo pronaći derivaciju funkcije g.

Tabela derivata

Da bi se odgovorilo na pitanje kako pronaći izvod, potrebno je dati tabelu izvoda glavnih funkcija. Za izračunavanje derivata elementarnih funkcija nije potrebno izvoditi složene proračune. Dovoljno je samo pogledati njegovu vrijednost u tabeli derivata.

1. (sinx)"=cosx
2. (cos x)"= -sin x
3. (xn)"=nxn-1
4. (pr.)"=pr
5. (lnx)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= - 1/sin 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Primjer 1. Pronađite izvod funkcije y=500.

Vidimo da je to konstanta. Prema tabeli izvoda, poznato je da je izvod konstante jednak nuli (formula 1).

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije y=x 100 .

to funkcija snage u kojoj je eksponent 100 i da biste pronašli njegovu derivaciju, trebate pomnožiti funkciju sa eksponentom i smanjiti je za 1 (formula 3).

(x 100)"=100 x 99

Primjer 3. Naći derivaciju funkcije y=5 x

to eksponencijalna funkcija, izračunavamo njen izvod po formuli 4.

Primjer 4. Naći izvod funkcije y= log 4 x

Izvod logaritma nalazimo koristeći formulu 7.

(log 4 x)"=1/x log 4

Pravila diferencijacije

Hajde sada da shvatimo kako pronaći derivaciju funkcije ako je nema u tabeli. Većina istraživanih funkcija nisu elementarne, već su kombinacije elementarnih funkcija pomoću najjednostavnijih operacija (sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i množenje brojem). Da biste pronašli njihove derivate, morate znati pravila diferencijacije. Nadalje, slova f i g označavaju funkcije, a C je konstanta.

1. Konstantni koeficijent se može izvaditi iz predznaka izvoda

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije y= 6*x 8

Iznosimo konstantni faktor 6 i razlikovati samo x 4 . Ovo je funkcija stepena, čiju derivaciju nalazimo prema formuli 3 tabele derivacija.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Derivat zbira jednak je zbiru izvoda

(f + g)"=f" + g"

Primjer 6. Naći izvod funkcije y= x 100 + sin x

Funkcija je zbir dviju funkcija čije izvode možemo pronaći iz tabele. Pošto je (x 100)"=100 x 99 i (sin x)"=cos x. Derivat sume će biti jednak zbiru ovih izvoda:

(x 100 + sin x)"= 100 x 99 + cos x

3. Derivat razlike jednak je razlici izvoda

(f – g)"=f" – g"

Primjer 7. Naći izvod funkcije y= x 100 - cos x

Ova funkcija je razlika dvije funkcije čije izvode također možemo pronaći iz tabele. Tada je derivacija razlike jednaka razlici derivacija i ne zaboravite promijeniti predznak, jer (cos x) "= - sin x.

(x 100 - cos x) "= 100 x 99 + sin x

Primjer 8. Pronađite izvod funkcije y=e x +tg x– x 2 .

Ova funkcija ima i zbroj i razliku, nalazimo izvode svakog člana:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Tada je izvod originalne funkcije:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Derivat proizvoda

(f * g)"=f" * g + f * g"

Primjer 9. Naći izvod funkcije y= cos x *e x

Da biste to učinili, prvo pronađite izvod svakog faktora (cos x)"=–sin x i (e x)"=e x . Sada zamenimo sve u formulu proizvoda. Pomnožite derivaciju prve funkcije s drugom i dodajte proizvod prve funkcije s izvodom druge.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Derivat količnika

(f / g) "= f" * g - f * g "/ g 2

Primjer 10. Naći izvod funkcije y= x 50 / sin x

Da biste pronašli izvod količnika, prvo pronađite izvod brojnika i nazivnika odvojeno: (x 50)"=50 x 49 i (sin x)"= cos x. Zamjenom u formuli za izvod količnika dobijamo:

(x 50 / sin x) "= 50x 49 * sin x - x 50 * cos x / sin 2 x

Derivat kompleksne funkcije

Kompleksna funkcija je funkcija predstavljena kompozicijom od nekoliko funkcija. Da biste pronašli derivaciju kompleksne funkcije, postoji i pravilo:

(u(v))"=u"(v)*v"

Pogledajmo kako pronaći derivaciju takve funkcije. Neka je y= u(v(x)) kompleksna funkcija. Funkcija u će se zvati eksterna, a v - unutrašnja.

Na primjer:

y=sin (x 3) je kompleksna funkcija.

Tada je y=sin(t) vanjska funkcija

t=x 3 - interni.

Pokušajmo izračunati derivaciju ove funkcije. Prema formuli, potrebno je pomnožiti izvode unutrašnje i vanjske funkcije.

(sin t)"=cos (t) - derivacija vanjske funkcije (gdje je t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - izvod unutrašnje funkcije

Tada je (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 izvod kompleksne funkcije.