Optimalno linearno dinamičko filtriranje. Optimalni Kalman-Bucy filter

Kao što je poznato, suština filtriranja je kontinuirana procjena vremenski promjenjivih parametara slučajnog procesa. Ako je poruka skalarna Markov proces(za stacionarni Gausov proces, to znači da funkcija kovarijanse ima oblik Aexp(-B|t-u|), tada se rješenje problema može zasnivati ​​na sljedećim principima koji pojednostavljuju postizanje cilja:

Opis procesa od interesa za nas treba da se izvede korišćenjem linearnih sistema sa vremenski promenljivim parametrima koji bi ih generisali kada se beli šum primeni na ulaze sistema;

Linearni sistem koji generiše poruku treba da se opiše diferencijalnom jednačinom čije je rešenje željena poruka;

Optimalna procjena kao izlazna vrijednost linearnog sistema treba se dati kao rješenje diferencijalne jednadžbe čiji su koeficijenti određeni statistikom procesa.

Linearni sistemi izgrađeni prema ovim principima nazivaju se Kalman-Bucy filteri, koji posjeduju originalni rad u ovoj oblasti. Za razliku od ovih principa, kod integralnog Wienerovog filtriranja, opis procesa se provodi korištenjem kovarijansnih funkcija, linearnih sistema - korištenjem impulsnog odziva, optimalnih procjena - kao rješenja Wiener-Hopfove integralne jednačine.

Diferencijalna jednadžba optimalnog Kalmanovog filtera u kanonski oblik izgleda kao:

gdje je matrični dobitak optimalnog filtera.

Kalmanov filter vrši dinamičko optimalno filtriranje nestacionarnih slučajnih procesa. Rješenje problema optimalnog filtriranja svodi se na rješavanje sistema vektorsko-matričnih diferencijalnih (ili razlika) jednačina. Ova metoda vam omogućava da upravljate zatvorenim sistemom jednadžbi u rekurentnom obliku, što je najpogodnije za tehničku implementaciju. U suštini, Kalmanov filter je računski algoritam za obradu informacija koji koristi skup apriornih informacija o originalnom sistemu (struktura, parametri, statističke karakteristike buke stanja i buke merenja, informacije o početnim uslovima, itd.). Ovaj filter čini statistička obrada informacije o posmatranju, uzimajući u obzir dinamička svojstva originalnog modela sistema. Struktura Kalmanovog filtera je model originalnog dinamičkog sistema sa greškom filtriranja ispravljenom korektivnim signalom

gdje je korektivni signal oblika:

U ovom slučaju, optimalni nestacionarni dinamički Kalmanov filter je zatvoreni automatski upravljački sistem koji sadrži matematički model originalnog sistema, a na izlazu modela se generiše procjena stanja i unosi se signal korekcije sa matričnim nestacionarnim pojačanjem. K(t):

Stoga se algoritam dinamičkog filtriranja zasniva na klasičnom principu kontrole devijacije sa matričnim dobitkom K(t) koji osigurava minimalnu srednju kvadratnu grešku filtriranja. Korektivni signal se sastoji od trenutnog signala posmatranja z(t) stanja originalnog sistema, dopunjenog trenutnim signalom stanja modela originalnog sistema. Signal je signal za korekciju greške filtera i karakterizira Dodatne informacije između trenutnih mjerenja z(t) i procjena stanja dobijenih iz rezultata procjena prije tekućih mjerenja z(t). Matrična šema optimalnog Kalmanovog filtera ima oblik prikazan na Sl. 4.18. Ova šema implementira dinamički algoritam filtriranja kada je stanje originalnog sistema dato diferencijalnim jednačinama, čija desna strana ne zavisi od posmatranja.

Posebno je dobilo optimalno diskretno Kalmanovo filtriranje rasprostranjena u vezi sa razvojem diskretnih metoda obrade informacija. To je proširenje rezultata kontinuiranog optimalnog dinamičkog filtriranja na diskretne dinamičke sisteme opisane diferencijskim vektorsko-matričnim jednadžbama.

Rice. 4.17. Matrična shema optimalnog Kalmanovog filtera

Optimalna jednačina linearnog filtera omogućava vam da sekvencijalno izračunate procjene. Za izračunavanje rezultata koriste se samo prethodne vrijednosti rezultata i broj parametra. Vrijednost rezultata u trenutku izračunava se iz rezultata u trenutku, dodajući ponderisanu razliku između mjerenja u vremenu i rezultata mjerenja u vremenu.Ovaj način izračunavanja rezultata naziva se rekurzivni. Dakle, diskretni Kalmanov filter u rekurzivnom obliku izvodi rekurzivnu proceduru za izračunavanje uzastopnih procjena, što zahtijeva pohranjivanje malog broja rezultata proračuna u svakom koraku.

Matrično kolo diskretnog Kalmanovog filtera prikazano je na sl. 4.19 zajedno sa modelima originala dinamički sistem i mjerni sistem.

Rice. 4.18. Diskretno kolo Kalmanovog filtera matrice

Osnova za izvođenje jednadžbe filtracije su jednadžbe stanja dinamičkog sistema i jednačina posmatranja (mjerenja). Jednačina stanja linearnog dinamičkog sistema opisana je sistemom razlika jednadžbi u vektorsko-matričnom obliku:

gdje je prelazna matrica stanja dimenzije , -dimenzionalni vektor stanja dinamičkog sistema; - matrica perturbacije, odnosno ulazni signal dimenzija; - -dimenzionalni vektor slučajnog Gausovog niza.

Jednačina posmatranja (mjerenja) signala dobijenog na izlazu modela mjernog sistema opisana je jednadžbom vektora razlike:

gdje je vektor dimenzionalnog posmatranja (mjerenja); -dimenzionalni vektor slučajnog Gausovog nekorelisanog niza grešaka merenja koji iskrivljuju rezultat praćenja stanja dinamičkog sistema; matrica dimenzija dimenzija

Pretpostavimo da su procjena trenutnog stanja sistema i prijelazna matrica ) poznate. Tada se ova procjena može uzeti kao početna i procjena u trenutku može se izračunati u skladu sa jednadžbom:

Ova procjena je predviđena (ekstrapolirana) iz rezultata prethodnih opservacija. Prilikom njegovog proračuna nije korišteno posljednje mjerenje stanja dinamičkog sistema koje je izvršeno u ovom trenutku. To će dovesti do grešaka u procjeni vektora stanja sistema. Greška procjene u ovom trenutku kroz prijelaznu matricu se proteže na sve naredne procjene u , a uz dugo vrijeme rada filtera, greške se mogu akumulirati i dovesti do nezadovoljavajućih rezultata. Procjena se može poboljšati korištenjem mjerenja u određenom trenutku i generiranjem korektivnog signala: . Odavde

Zamjenom (9.14) u ovaj izraz dobijamo jednačinu diskretnog Kalmanovog filtera u kanonskom obliku:

Optimalni koeficijent prenosa takvog filtera treba da obezbedi minimum srednje kvadratne greške filtriranja u skladu sa uslovom (4.152).

Kontrolna pitanja do poglavlja 4

1. Koji kriterijumi odlučivanja se koriste u GAS NC?

2. Koje su sličnosti i razlike između kriterija detekcije za "Ideal Observer", "Neyman-Pearson" i "Wald"?

3. Koja je fizička suština vjerovatnoća ispravnog otkrivanja, ispravnog neotkrivanja, preskakanja signala i lažne uzbune?

4. Kako je u korelaciji vjerovatnoća lažnog alarma "u tački" i višekanalnog sistema?

5. Kako se bira prag detekcije prilikom implementacije Neyman-Pearsonovog kriterijuma?

6. Kako se bira prag detekcije pri implementaciji Kotelnikov-Siegert kriterija?

7. Kako se bira prag detekcije pri implementaciji Waldovog kriterija detekcije?

8. Koje su adekvatnosti i karakteristike korelacionog prijemnika i usklađenog filtera?

9. Šta je suština konzistentnosti procjene?

10. Šta je suština efektivnosti procjene?

11. Šta je suština nepristrasne procjene?

12. Šta je Fisherova informacijska matrica?

13. Kako je konstruirana karakteristika za određivanje smjera sonara?

14. Kako se formira rječnik znakova i abeceda slika sonarnih objekata?

15. Koja je adekvatnost i razlika između koncepata klasifikacije i prepoznavanja sonarnih objekata?

BILTEN DRŽAVNOG UNIVERZITETA TOMSK 2011 Menadžment, računarsko inženjerstvo i informatika br. 3(16) UDK 517.511 V.I. Smagin, S.V. Smagin FILTERIRANJE U LINEARNIM DISKRETNIM NESTACIONARNIM SISTEMIMA SA NEPOZNATIM PERTURBACIJAMA Razmatran je algoritam za projektovanje optimalnog filtera koji određuje procenu vektora stanja diskretnog linearnog nestacionarnog dinamičkog sistema sa aditivnim perturbacijama koje sadrže nepoznatu konstantnu komponentu. Prikazani su rezultati računskog eksperimenta. Ključne riječi: linearni diskretni nestacionarni sistemi, Kalmanov filter, nepoznate perturbacije. U radovima mnogih autora velika pažnja se poklanja razvoju algoritama Kalmanovog filtriranja za klasu sistema sa nepoznatim aditivnim perturbacijama i parametrima koji se mogu koristiti kao modeli realnih fizičkih sistema, modeli objekata sa nepoznatim greškama. Poznate metode za izračunavanje procjena vektora stanja zasnovane su na algoritmima koji koriste nepoznate procjene perturbacije. U radu se razmatraju algoritmi za proširenje prostora stanja (model neuočljive perturbacije se dodaje glavnom modelu postrojenja) i dvostepeni algoritam filtriranja koji smanjuje računske troškove zbog dekompozicije problema. U radovima se proučavaju algoritmi za rekurentno optimalno filtriranje koji koriste procjene nepoznate perturbacije koje imaju prilično stroge uvjete za njihovu rješivost. U ovom radu, za diskretno nestacionarno postrojenje s nepoznatom konstantnom komponentom perturbacija, predlažemo optimalnu metodu filtriranja koja ne koristi procjene nepoznate perturbacije. Metoda se zasniva na transformaciji modela i redukciji na problem linearnog Kalmanova filtriranja. U ovom članku rezultati su generalizirani na slučaj rješavanja problema za nestacionarni diskretni objekat. 1. Izjava problema Razmatramo diskretni sistem, koji je opisan sljedećim razlikama jednačina: x(k + 1) = A(k) x(k) + f + q (k), x(0) = x0 , (1) gdje je x(k) ∈ R n vektor stanja; A(k) je n×n matrica; f je nepoznati konstantni vektor; q(k) je bijeli Gausov slučajni niz sa karakteristikama M (q (k)) = 0 , M(q(k)q Τ (j)) = Q(k)δk , j . (2) Kanal za posmatranje ima oblik y (k) = S (k) x(k) + v(k) , (3) y (k) ∈ R l je vektor mjerenja; S(k) je l × n matrica; v(k) - bijeli gaus - V.I. Smagin, S.V. Smagin 44 sovjetski slučajni niz grešaka mjerenja, sa karakteristikama: M(v(k)) = 0 , M(q (k)v Τ (j)) = 0 , M(v(k)v Τ (j)) = V (k)δi , j ; (4) za matrice (S(k), A(k)) uslovi uočljivosti su zadovoljeni. Vektor x0 je slučajan i ne zavisi od procesa q(k) i v(k), dok je M(x(0)) = x0 , M ((x(0) − x0)(x(0) − x0)Τ ) = P0 . Za sistem (1) i kanal za posmatranje (3) potrebno je sintetizirati filter koji izračunava procjenu vektora stanja koji ne koristi procjene nepoznate konstantne komponente poremećaja. 2. Sinteza filtera Transformirajmo diskretni sistem (1). Konstantnu komponentu poremećaja f isključujemo iz opisa objekta oduzimanjem iste jednačine iz jednačine (1), ali sa pomakom za jedan ciklus: x(k) = A(k − 1) x(k − 1) + f + q(k − 1) . (5) Kao rezultat, dobijamo sljedeću jednačinu: x(k + 1) = (A(k) + En) x(k) − A(k − 1) x(k − 1) + q (k) − q(k − 1) . (6) Proširimo prostor stanja sistema dodavanjem jednačini (6) identiteta x(k) = x(k) . Označimo x(k) ⎞ ⎛ q(k) − q(k − 1) ⎞ . X (k) = ⎛⎜ ⎟ ⎟ , q (k) = ⎜ 0 ⎝ ⎠ ⎝ x(k − 1) ⎠ Hajde da predstavimo sistem (1) u obliku vektorske matrice X (k + 1) = A(k) X (k) + q (k), X 0 (k) (k), X 0 (k) n -matrica ima sljedeću blok strukturu: ⎛ A(k) + En A(k) = ⎜ En ⎝ − A(k − 1) ⎞ ⎟. 0 ⎠ (9) Slučajni vektor X 0 = (x0Τ x−Τ1)Τ ima sljedeće karakteristike: M( X (0)) = X 0 , M ((X 0 − X 0)(X 0 − X 0)Τ ) = P0 , (x0Τ (10) x−Τ1)Τ gdje je X Imajte na umu da je ovdje dodatno uveden n-dimenzionalni vektor x−1, koji je nezavisan od q(k) i v(k) , a karakteristike (10) se mogu dobiti iz apriornih informacija o objektu (1). Imajte na umu da u razmatranom modelu (8) proces q (k) nije bijeli Gausov niz, procesi q (k) i q (k − 1) će biti u korelaciji: ako je j = k, ⎧ Q (k), ⎪ M(q (k)q (j)) = ⎨Q (k − 1), ako je j = k − 0, ako je j = k − 0< k − 1, ⎩ (11) Q(k) + Q(k − 1) 0 ⎞ ⎛ −Q(k − 1) 0 ⎞ . Q(k) = ⎛⎜ ⎟ , Q (k − 1) = ⎜ 0 0 0 0 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ (12) Τ где Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах 45 Представим канал наблюдений для расширенной системы (8) в виде y (k) = S (k) X (k) + v(k) , (13) где S (k) = (S (k) 0) , v(k) − случайная последовательность ошибок измерений с характеристиками (4). В качестве уравнения для вычисления оценки вектора состояния расширенной системы выберем уравнение, по своей структуре совпадающее с фильтром Калмана: Xˆ (k + 1) = A(k) Xˆ (k) + K (k)(y (k + 1) − S (k + 1) A(k) Xˆ (k)) , Xˆ (0) = X . (14) 0 Учитывая (8) и (14), получим следующее уравнение для ошибки e(k) = Xˆ (k) − X (k) : e(k + 1) = (A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))e(k) + K (k)v(k + 1) + (K (k) S (k + 1) − E2 n)q (k) . (15) В силу (11) и (15), матрица P (k) = M{e(k)eΤ (k)} определится из следующего разностного уравнения: P (k + 1) = (A(k) − K (k) S (k + 1) A(k)) P (k)(A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))Τ + +(K (k) S (k + 1) − E2 n)Q (k)(K (k) S (k + 1) − E2 n)Τ + K (k)V (k + 1) K Τ (k) + +(A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))(K (k − 1) S (k) − E2 n) × ×Q (k − 1)(K (k) S (k + 1) − E2 n)Τ + (K (k) S (k + 1) − E2 n) × ×Q (k − 1)(K (k − 1) S (k) − E2 n)Τ (A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))Τ , P (0) = P0 . (16) Оптимизируемый критерий зададим в виде J (k + 1) = trP (k + 1) . (17) Оптимальные коэффициенты передачи фильтра K(k) определяются из условия dJ (k + 1) =0. (18) dK (k) Учитывая (17) и desna strana(16), primjenom pravila matričnog diferenciranja traga od matrice, iz uvjeta (18) dobijamo jednačinu za određivanje matrice K(k) S (k + 1)Τ − K (k) S (k + 1)Q (k − 1) × S (k)Τ K (k − 1) (k)Τ K (k − 1) +ΤΤ (k − 1) +ΤΤ (k − 1) 1)Q (k − 1) A(k)Τ S (k + 1)Τ − − K (k) S (k + 1) A(k) K (k − 1) S (k)Q (k − 1) S (k + 1)Τ + + K (k) S (k + 1) A(k)Q (k + 1) A(k)Q (k − 1) S (k) (k) (k − 1) S (k) (k) + Q Τ × × A(k)Τ S (k + 1)Τ − Q (k − 1) A(k)Τ S (k + 1)Τ − A(k)Q (k − 1) S (k + 1)Τ + + A(k) K (k − 1) S (k)Q (k − 1) S (k + 1)Τ (k + 1)Τ (k + 1)Τ (19) Rješenje posljednje jednačine u odnosu na K(k) daje sljedeći rezultat: K (k) = P (k) S (k + 1)Τ (S (k + 1) P (k) S (k + 1)Τ + V (k + 1)) −1 , (20) 46 V.I. Smagin, S.V. Smagin gdje je P (k) = A(k) P (k) A(k)Τ + Q (k − 1)(E2 n − S (k)Τ K (k − 1)Τ) A(k)Τ + + A(k)(E2 n − K (k − 1) S (k))Q (k − 1) + Q (k) . (21) Napominjemo da je za izračunavanje koeficijenata prijenosa (20), na osnovu (21), potrebno postaviti početne vrijednosti koeficijenata K(−1). Zamjenom izraza za optimalni koeficijent prijenosa (20) u jednačinu (16), dobijamo jednačinu P (k + 1) = (E2 n − K (k) S (k + 1)) P(k) , P (0) = P0 . (22) Glavni rezultat formuliramo u obliku teoreme, uzimajući u obzir simetriju i blokovsku reprezentaciju matrica P (k) i P (k) : (k) ⎞ , p3 (k) ⎟⎠ (23) blok strukture matrica A(k), Q(k), Q (k), S (k ma) predstavljaju K⎞k (k) ⎞ K (k) = ⎜ 1 ⎟ . (24) ⎝ K 2 (k) ⎠ Teorema. Neka je proces s nepoznatom konstantnom perturbacijom definiran jednadžbama (1), a kanal za promatranje ima oblik (3). Onda optimalni algoritam filtracija je određena sljedećim razlikama jednadžbi: xˆ (k + 1) = (A(k) + En) xˆ (k) − A(k − 1) xˆ (k − 1) + K1 (k)(y (k + 1) − − S (k + 1)[(A(k) + En) xˆ (k) − ˆ s početnim uslovima (k) − 2 (k) (k) ) = x0 , xˆ(1) = M(x(1)) = x1 Matrica K1 (k) u (25) je definisana formulom (26) K1 (k) = p1 (k) S (k + 1)Τ (S (k + 1) p1 (k) S (k + 1)Τ) + V (k + 1)Τ) (k + 1)Τ + V izračunajte sistem od (k + 1) e (k + 1) od (k + 1) e (k + 1) od (k + 1) izračunajte sistem (k + 1). cije (27) p1 (k) = (A (k) + En) p1 (k)(A(k) + En)Τ − A(k − 1) p2 (k)(A(k) + En)Τ − −(A(k) + En) p2Τ (k) A(k − 1)Τ + A(k − 1)Τ + A(k − A) (k) (k − 1) p3 (k − A) p3 (k − A) − 1)Τ × ×(A(k) + En)Τ − Q(k − 1) S (k)Τ K 2 (k − 1)Τ AΤ (k − 1) + +(A(k) + En) K1 (k − 1) S (k)Q(k − 1) − A(k − 1) K 2 (k − 1) K 2 (k − 1) K 2 (k − Q) (k − Q) − 1) − Q(k − 1)( A(k) + En)Τ + Q(k) + Q(k − 1) , p2 (k) = p1 (k)(A(k) + En)Τ − p2Τ (k) A(k − 1)Τ + + K1 (k − 1) S (k)Q(k − 1) S (k)Q(k − 1) S (k)Q(k −1) (k)Q(k −1) (k)Q(k −1) + 1) = (En − K1 (k) S (k + 1)) p1 (k) , p1 (0) = p1,0 , p2 (k + 1) = − K 2 (k) S (k + 1) p1 (k) + p2 (k) , p2 (0) = p2.0 , p3 (k + 1) = p2.0 , p3 (k + 1) (k) (k) (k) (k) 1)Τ (S (k + 1) p1 (k) S (k + 1)Τ + V (k + 1)) −1 . (28) Filtriranje u linearnim diskretnim nestacionarnim sistemima 47 U (28) početni uslovi p1,0 , p2,0 , p3,0 su odgovarajući blokovi matrice P0 . Imajte na umu da je za izvođenje proračuna u (28) potrebno postaviti početne uslove za K1 (−1) i K 2 (−1) . Komentar. Kontrolisano postrojenje x(k + 1) = A(k) x(k) + B(k)u (k) + f + q(k), x(0) = x0 , (29) kada se isključi nepoznata konstantna perturbacija f biljke, potrebno je transformisati je u oblik koji će se razlikovati od (8) za jedan član: X (k + 1) (k) (k + 1) (k) (k + 1) + q (k), X (0 ) = X 0 , (30) pri čemu je matrica A(k) data u formuli (9), q (k) ima karakteristike (11), (12) U (30) matrica B (k) ima oblik B (k) ⎞ B (k) = ⎛⎜ ⎟ ⎛⎜ ⎟. + 1) = (A(k) + En) xˆ (k ) − A(k − 1) xˆ (k − 1) + B(k)(u (k) − u (k − 1)) + K1 (k)(y (k + 1) − − S (k + 1)[(A(k) + En) xˆ (k) − A (k) (k) − A (k) (k − 1))] , (32)) sa početnim uslovima ( 26), a matrica K1 (k) je određena u skladu sa (27) i (28) 3. Rezultati računarskog eksperimenta Razmotrimo primenu algoritma filtriranja za model drugog reda oblika (1) i vrednosti kanala za posmatranje (3) sa sledećim vrednostima parametra za posmatranje ⎠ ⎠ ⎠ ⎠ ❎ ⎟ ❎. 5 0,925 + 0,1sin(0,01k) ⎠ 1,0 1,0 0 ⎞ S = (1 1) ; x0 = ⎛⎜ ⎞⎟ ; P0 = ⎛⎜ (33) ⎟. ⎝ 1.5 ⎠ ⎝ 0 1, 0 ⎠ Izračunavanje procjena vektora x(k) može se izvršiti korištenjem dvostepenog algoritma filtriranja. Mjerni model u ovom slučaju, uzimajući u obzir (1), predstavljen je kao y (k + 1) = Sx(k + 1) + v(k + 1) = SA(k) x(k) + Sf + Sq(k) + v(k + 1) . (34) Rekurentne jednadžbe procjene za nepoznati vektor f imaju oblik fˆ (k + 1) = fˆ (k) + K (k)(y (k + 1) − SA(k) xˆ (k) − Sfˆ (k)) , fˆ (0) = f , 0 f Τ 1 K (k) S (k) S (k) S (k) S + V) , gdje je P f (k + 1) = (E2 − K f (k) S) Pf (k), Pf (0) = Pf0 , (35) M( f ) = f 0 , M((f − f 0)(f − f 0)Τ ) = Pf0 . (36) V.I. Smagin, S.V. Smagin 48 Procjena vektora stanja za objekat sa nepoznatim konstantnim ulazom data je jednadžbom: xˆ (k + 1) = A(k) xˆ (k) + fˆ (k) + K (k)(y (k + 1) − SA(k) xˆ (k) − Sfˆ (k) − Sfˆ (k)) , gdje je (37 ma tri) kalibracijski filter (k) , (37) Prilikom modeliranja koristimo 0 1, 0 0 ⎞ f 0 = ⎛⎜ ⎞⎟ , Pf0 = ⎛⎜ (38) ⎟. ⎝0⎠ ⎝ 0 1, 0 ⎠ Primjena proširenog Kalmanovog filtera za ovaj primjer (u ovom slučaju, jednačina (1) se proširuje dodavanjem jednačine f(k+1) = f(k)) dovodi do potrebe da se konstruiše Kalmanov filter za diskretni sistem sa sljedećim matricama disturzije, disturzionim kanalima i dinamikom disturbacije u➎b: ⎛ A(k) E2 ⎞ , (S 0) , ⎛ ⎜ (39) ⎟. ⎜ 0 E2 ⎟⎠ ⎝ 0 0⎠ ⎝ Upotreba u ovaj primjer Metode opisane u radovima nemoguće je zbog neispunjavanja uslova za postojanje optimalnih procjena nepoznatog ulaznog vektora: n≥m i l≥m. (40) U nepoznatu perturbaciju definira se kao f = Gd , gdje je d nepoznati m-dimenzionalni vektor, G je n × m-poznata matrica. U razmatranom primeru G = E2 , n = 2 , m = 2, l = 1 , što znači da uslovi (40) nisu ispunjeni. Primena algoritma filtriranja je takođe proučavana za nepoznatu promenljivu smetnju sa tri moguće vrednosti vektorskih f komponenti: ⎧ 1 ako je 0 ≤ k ≤ 9, ⎪ f1 (k) = f 2 (k) = ⎨ −1 ako je 9< k < 25, ⎪ 1, если 25 ≤ k ≤ 50. ⎩ На рис. 1 приведены реализации процессов и их оценок для трех сравниваемых фильтров. Отметим, что при реализации алгоритма фильтрации (25), начальные значения K1 (−1) и K 2 (−1) задавались нулевые. x1(k) x1(k) x2(k) x2(k) 2 10 0 –10 0 3 4 20 30 40 k –10 0 4 1 0 1 10 3 10 2 10 20 30 40 k Рис. 1. Реализации процессов и оценок (1 – реализация x(k); 2 – оценка, построенная по алгоритму (25); 3 – оценка, построенная по двухэтапному алгоритму; 4 – оценка для расширенного фильтра Калмана) Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах 49 На рис. 2 приведены ошибки оценивания компонент вектора состояния. e1(k) 4 2 e2(k) 4 3 1 0 –2 –4 –6 0 2 2 3 1 0 2 –2 10 20 30 40 k –4 0 10 20 30 40 k Рис. 2. Графики ошибок фильтрации (1 – ошибка для оценки, построенной по алгоритму (25); 2 – ошибка для оценки, построенной по двухэтапному алгоритму; 3 – ошибка для расширенного фильтра Калмана) Как видно из рисунков для рассмотренного примера, качество оценок, полученных с помощью фильтра (25), лучше, чем для двухэтапного алгоритма фильтрации и расширенного фильтра Калмана, использующих оценки неизвестного возмущения. Отметим также, что для алгоритма фильтрации (25) не нужно задавать априорную информацию о характеристиках распределения начальных значений f 0 и Pf0 . Ниже, в таблице, приведены средние значения среднеквадратических ошибок оценивания для трех рассматриваемых методов, рассчитанных по 50 реализациям. Как видно из таблицы, предложенный метод фильтрации (25) обеспечивает prosečna greška 3-4 puta manje od ostalih metoda. Srednje vrijednosti korijenskih srednjih kvadratnih grešaka za komponente vektora stanja Algoritam (25) e1,av = 0,0912 Dvostepeni algoritam e1,av = 0,3128 Prošireni Kalmanov filter e1,av = 0,4103 e2,av = 0,0945 e2,av = 0,0945 e2, av = 0,0945 e2, av = 0,29 filtar objekt čije perturbacije sadrže nepoznatu konstantnu komponentu. Algoritam se zasniva na proširenju prostora stanja i isključivanju nepoznate komponente iz modela. Za razliku od klasičnog Kalmanovog filtera, predloženi filter koristi rekurzivne procjene izgrađene na prethodna dva ciklusa. Kao što pokazuju rezultati računskog eksperimenta, algoritam se može primijeniti na komadno konstantnu nepoznatu aditivnu komponentu perturbacija. LITERATURA 1. Astrom K., Eykhoff P. Identifikacija sistema. Anketa // Automatica. 1971. V. 7. P. 123−162. 2. Friedland B. Tretman pristranosti u rekurzivnom filtriranju // IEEE Trans. na Automat. kontr. 1969.V.AC-14. P. 359−367. 3. Chen J., Patton R. J. Optimalno filtriranje i robusna dijagnoza grešaka stohastičkih sistema s nepoznatim poremećajima // IEE Proc. Control Theory Appl. 1996. V. 143. P. 31–36. 50 V.I. Smagin, S.V. Smagin 4. Darouach M., Zasadzinski M. Nepristrasna procjena minimalne varijanse za sisteme s nepoznatim egzogenim ulazima // Automatica. 1997. V. 33. P. 717–719. 5. Darouach M., Zasadzinski M., Xu S. J. Posmatrači punog reda za linearne sisteme s nepoznatim ulazima // IEEE Trans. na Automat. kontr. 1999.V.AC-39. P. 606. 6. Gillijns S., Moor B. Nepristrasni unos minimalne varijanse i procjena stanja za linearne sisteme s diskretnim vremenom // Automatica. 2007. V. 43. P. 111–116. 7. Hou M., Patton R. Optimalno filtriranje za sisteme s nepoznatim ulazima // IEEE Trans. na Automat. kontr. 1998.V.AC-43. P. 445–449. 8. Hsieh C.-S. Jedinstveno rješenje za nepristrasnu procjenu minimalne varijance za sisteme s nepoznatim ulazima // Proc.17th World Congress The International Federation of Automatic Control. seul. Korea. 6–11. jul 2008. P. 14502–14509. 9. Hsieh C.-S. Robusni dvostepeni Kalmanovi filteri za sisteme sa nepoznatim ulazima // IEEE Trans. na Automat. kontr. 2000.V.AC-45. P. 2374–2378. 10. Hsieh C.-S. Proširenje optimalnog nepristrasnog filtera minimalne varijanse za sisteme s nepoznatim ulazima // Proc. 15. IEEE međunarodna radionica o nelinearnoj dinamici elektronskih sistema. Tokushima. Japan. 2007. P. 217–220. 11. Hsieh C. -S. Robusno parametrizirano minimalno filtriranje varijanse za nesigurne sisteme s nepoznatim ulazima // Proc. Američka kontrolna konferencija. Njujork. 2007. P. 5118–5123. 12. Kalman R.E., Busy R. Novi rezultati u linearnom filtriranju i teoriji predviđanja // Trans. ASME J. Basic Engr. 1961. V. 83. P. 95–108. 13. Brammer K., Ziffling G. Kalman-Bucy filter. M.: Nauka, 1972. 200 str. 14. Pugačev V.S., Sinjicin I.N. Stohastičke diferencijalne jednadžbe, Moskva: Nauka, 1990. 630 str. 15. Smagin S.V. Filtriranje u linearnim diskretnim sistemima s nepoznatim perturbacijama // Avtometriya. 2009. V. 45. br. 6. C. 29−37. 16. Amosov A.A., Kolpakov V.V. Skalarna matrična diferencijacija i njena primjena na konstruktivne probleme teorije komunikacija // Problemi prijenosa informacija. 1972. br. 1. S. 3−15. Smagin Valerij Ivanovič Smagin Sergej Valerijevič Tomski Državni univerzitet Email: [email protected]; [email protected] Primljeno 6. decembra 2010

H-optimalna kontrola i filtriranje u linearnim kontinuiranim objektima">

480 rub. | 150 UAH | $7,5 ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Teza - 480 rubalja, dostava 10 minuta 24 sata dnevno, sedam dana u nedelji i praznicima

Birjukov Ruslan Sergejevič. Diskretno generalizovano H-optimalno upravljanje i filtriranje u linearnim kontinuiranim objektima: disertacija... Kandidat fizičko-matematičkih nauka: 01.01.09 / Biryukov Ruslan Sergeevich; N.I. Lobačevskog"], 2017

Uvod

Poglavlje 1. Pregled teorije generaliziranog upravljanja i filtriranja za linearne diskretne sisteme 8

1. Generalizirana -norma linearnog objekta 8

2. Sinteza generalizovane kontrole 11

3. Sinteza generalizovanog -filtera 13

Poglavlje 2 Generalizirana -norma kontinuiranog objekta sa diskretnim ciljnim izlazom 15

1. Nivo suzbijanja smetnji u kontinuiranom diskretnom postrojenju 15

2. Najgore vanjske perturbacije i početno stanje u kontinuirano diskretnom objektu 28

3. Nivo potiskivanja perturbacija u diskretno-diskretnom objektu 32

4. Najgore vanjske perturbacije i početno stanje u diskretno-diskretnom postrojenju 49

5. Nivo potiskivanja perturbacija u slučaju beskonačnog horizonta 56

6. Karakterizacija nivoa potiskivanja smetnji u smislu LMI 61

7. Zaključci 64

Poglavlje 3 Diskretno generalizovano -optimalno upravljanje 66

1. Sinteza optimalnog upravljanja po stanju 66

2. Sinteza optimalne kontrole izlaza 74

3. Elektromagnetna kontrola ovjesa 94

4. Zaključci 101

Poglavlje 4 Diskretno generalizirano -optimalno filtriranje 102

1. Sinteza optimalnog filtera 102

2. Filtriranje podataka u problemu prigušenja vibracija zgrade 108

3. Nalazi 114

Zaključak 115

Bibliografija

Uvod u rad

Relevantnost teme istraživanja. Moderni sistemi kontrole se, po pravilu, implementiraju u digitalnom obliku, dok većina stvarnih objekata radi u kontinuiranom vremenu. Takva podjela na analogne i digitalne dijelove dovodi do gubitka informacija, jer su vrijednosti kontinuiranog signala koji dolazi od objekta do kontrolera poznate samo u fiksnim diskretnim vremenima. Iz tog razloga postaje važno analizirati i sintetizirati diskretni kontroler koji uzima u obzir ponašanje originalnog objekta što je potpunije moguće u vremenima između mjerenja. Ovisno o klasama vanjskih smetnji koje djeluju na objekt, i krajnjim ciljevima kontrole, razlikuju se različiti pristupi do rješenja ovog problema. Posebno je interesantan slučaj kada na objekat utiču spoljašnje perturbacije sa ograničenom „energijom“, a cilj upravljanja je minimiziranje ukupne „energije“ ciljnog izlaza objekta. U ovom slučaju, problem je diskretni %00-optimalni problem upravljanja za kontinuirano postrojenje na osnovu vremenski diskretnih mjerenja.

Predloženi su različiti pristupi za rješavanje ovog problema. Jedan od prvih bio je pristup zasnovan na predstavljanju originalnog kontinuiranog sistema sa diskretnim izlazom kao kontinuirano-diskretnim, čije ponašanje je opisano skupom diferencijalnih i razlika jednačina (Sun W., Nagpal K.M., Poolla K.R., Khargonekar P.P., Sagfors M.F., Toivonen H.T.). U ovom slučaju, postupak za projektovanje diskretnih 7^^-optimalnih regulatora i filtera bio je zasnovan na diferencijalnim Rikatijevim jednadžbama, čija rješenja doživljavaju skokove u trenucima koji odgovaraju opservacijama. Praktična implementacija predloženih algoritama sinteze nailazi na niz poteškoća povezanih s rješavanjem nelinearnog graničnog problema za Riccatijeve diferencijalne jednadžbe.

Sličan pristup korišten je u radovima Basara T. i Bernharda P., gdje je problem diskretnog ^^-optimalnog upravljanja kontinuiranim postrojenjem razmatran sa stanovišta teorije igara. Formulisani su uslovi postojanja %^-optimalnih regulatora u slučaju izmerenog stanja objekta u terminima razlika Rikatijevih jednačina, a postupak sinteze ovakvih regulatora takođe se zasniva na rešavanju nelinearnog graničnog problema.

Drugi pristup se zasniva na upotrebi metode podizanja, u kojoj se originalni kontinuirani sistem pretvara u ekvivalentni diskretni (Bamieh B.A., Pearson J.B., Chen T., Francis B.A., Tadmor G., Sagfors M.F., Toivonen H.T., Lall S., itd., Dullerud G.). U isto vrijeme, budući da su vanjska perturbacija, kao i ciljni izlaz originalnog objekta, između momenata promatranja, djelomično kontinuirane funkcije, perturbacija i ciljni izlaz ekvivalentnog diskretnog sistema već pripadaju beskonačnom

dimenzionalni prostor. U ovim radovima, sinteza optimalnih regulatora zasniva se na sekvencijalnom (iterativnom) rješenju algebarskih ili rekurentnih Rikatijevih jednačina, ovisno o pomoćnom parametru koji treba minimizirati. Praktična implementacija ovog postupka dovodi do računskih poteškoća.

Konačno, u radovima Yu.V. Uslovi za postojanje -kontrole formulisani su u obliku dovoljnih uslova u smislu linearnih matričnih nejednakosti.

Jedan od bitnih nedostataka teorije -kontrole je pretpostavka da u početni trenutak vrijeme kada objekt miruje, odnosno njegovo početno stanje je nula. Ako ovaj zahtjev nije ispunjen, tada sintetizirani regulatori dobro potiskuju vanjske smetnje, ali se ne nose uvijek na adekvatan način sa zadatkom prigušivanja početnih smetnji koje stvaraju početni uvjeti različiti od nule. U ovom slučaju predložena je generalizirana norma kao jedinstveni kriterij koji uzima u obzir utjecaj vanjskih i početnih poremećaja (Khargonekar P.P., Nagpal K.M. i Poolla K.R.). Ova norma se poklapa sa klasičnom -normom, ako u početnom trenutku vremena objekt miruje, a kada je početno stanje objekta različito od nule, i nema vanjske perturbacije, onda se generalizirana -norma poklapa sa 0 -normom definiranom u radovima Balandina D.V. i Kogan M.M. Za kontinuirane objekte sa kontinuiranim mjerljivim izlazom, zakoni kontinuirane kontrole i filtriranja sintetizirani su u radovima Khargonekar P.P., Nagpal K.M., Balandin D.V., Kogan M.M. i dr. U slučaju kontinuiranog objekta sa diskretnim izlazom, rad Sun W., Nagpal K.M. i Khargonekar P.P., u kojima je dobiveno rješenje diskretnog generaliziranog upravljačkog problema za objekt na beskonačnom horizontu. U ovom slučaju, formulirani zakoni upravljanja i filtriranja temelje se na rješenju nelinearne Riccatijeve diferencijalne jednadžbe, što otežava njihovu upotrebu. dakle, dalji razvoj teorija diskretnog generalizovanog upravljanja kontinuiranim sistemima je veoma aktuelan problem teorije upravljanja.

Svrha disertacije. Osnovni cilj rada je razvoj teorije diskretnog generalizovanog upravljanja i filtriranja za linearne kontinuirane sisteme. U skladu sa ciljem, disertacija je usmjerena na rješavanje sljedećih problema:

Za linearne nestacionarne objekte na konačnom vremenskom intervalu dobiti uslove za postojanje i jednačine diskretnih generalizovanih -optimalnih zakona upravljanja u klasi linearnih nestacionarnih povratne informacije na stanju iu klasi linearnih nestacionarnih dinamičkih regulatora punog reda u izlazu.

Za linearne stacionarne objekte na beskonačnom vremenskom intervalu dobiti uslove za postojanje i jednačine diskretnih generalizovanih -optimalnih zakona upravljanja u klasi linearnih stacionarnih povratnih informacija o stanju iu klasi linearnih stacionarnih dinamičkih regulatora punog reda na izlazu.

Za linearne nestacionarne objekte na konačnom vremenskom intervalu dobiti uslove za postojanje i jednačine diskretnih nestacionarnih generalizovanih -optimalnih filtera punog reda u obliku posmatrača.

Za linearne stacionarne objekte u konačnom vremenskom intervalu, dobiti uslove postojanja i jednačine za diskretne stacionarne generalizovane -optimalne filtere punog reda u obliku posmatrača.

Metode istraživanja. U radu se koriste metode varijacionog računa i optimalnog upravljanja, teorija konveksne optimizacije i, posebno, teorija poludefiniranog programiranja.

Naučna novina i glavni rezultati. U disertaciji su dobijeni sljedeći novi rezultati iz teorije diskretnog generaliziranog upravljanja i filtriranja linearnim kontinuiranim objektima:

Pokazano je da se generalizirana -norma linearne nestacionarne biljke na konačnom vremenskom intervalu nalazi kao rješenje nelinearnog graničnog problema za matričnu diferencijalnu ili diferencijsku Riccati jednadžbu, kao i u smislu linearnih matričnih nejednakosti. U slučaju linearne stabilne stacionarne biljke u beskonačnom vremenskom intervalu, generalizirana -norma se nalazi kao rješenje diskretne algebarska jednačina Riccati ili u smislu linearnih matričnih nejednakosti (odgovara stavu 6 pasoša specijalnosti 01.01.09).

Za linearne nestacionarne objekte u konačnom vremenskom intervalu potrebno je i dovoljne uslove, a u slučaju neizmjerenog stanja samo dovoljni uslovi za postojanje diskretnih generalizovanih -optimalnih zakona upravljanja. Ovi zakoni upravljanja sintetizirani su u klasi linearnih nestacionarnih povratnih sprega stanja iu klasi linearnih nestacionarnih dinamičkih izlaznih regulatora (odgovara paragrafu 6 pasoša specijalnosti 01.01.09).

Za linearne stacionarne objekte na beskonačnom vremenskom intervalu dobijaju se neophodni i dovoljni uslovi za postojanje diskretnih generalizovanih -optimalnih zakona upravljanja. Ovi zakoni upravljanja sintetizirani su u klasi linearnih stacionarnih povratnih informacija o stanju iu klasi linearnih stacionarnih dinamičkih izlaznih regulatora (odgovara paragrafu 6 pasoša specijalnosti 01.01.09).

Za linearne nestacionarne objekte na konačnom (beskonačnom) vremenskom intervalu dobijaju se potrebni i dovoljni uslovi za postojanje i vrši se sinteza nestacionarnih (stacionarnih) diskretnih generalizovanih "H^ -optimalnih filtera punog reda u obliku posmatrača

Kao aplikacije, diskretno generalizovane Ti^-optimalni kontroleri u problemu upravljanja tijelom u elektromagnetskom ovjesu i diskretni generalizirani ^-optimalni filteri u problemu prigušenja vibracija visokih zgrada i konstrukcija (odgovara stavu 6 pasoša specijalnosti 01.01.09).

Usklađenost sa kodom specijalnosti. Rad odgovara formuli specijalnosti 01.01.09 - Diskretna matematika i matematička kibernetika i pokriva sledeće oblasti istraživanja obuhvaćene specijalnošću 01.01.09: str.6. Matematička teorija optimalnog upravljanja.

Teorijski i praktični značaj. Rad je teorijske prirode i predstavlja razvoj teorije diskretnog generalizovanog "H^-optimalnog upravljanja kontinualnim objektima. Rezultati dobijeni u njemu dovedeni su do konstruktivnih postupaka, čija je efikasnost potvrđena sintezom regulatora u problemu upravljanja elektromagnetnim ovjesom i sintezom filtera u problemu visokovlažne konstrukcije i vibriranja konstrukcija.

Stepen pouzdanosti i provjerenosti rezultata studije. O glavnim rezultatima rada na disertaciji raspravljalo se na sastanku naučnog seminara u Nižnjem Novgorodu " Matematičko modeliranje Dinamika upravljačkih sistema i procesa” u Istraživačkom institutu Primijenjena matematika i kibernetiku, a izvještavao je i na sljedećim međunarodnim i sveruskim konferencijama:

X Sveruski Naučni skup"Nelinearne vibracije mehaničkih sistema" nazvane po V.I. Yu.I. Neimark ( Nižnji Novgorod, 2016);

XIII Međunarodna konferencija „Stabilnost i fluktuacije nelinearni sistemi menadžment” (Pjatnicki konferencija) (Moskva, 2016);

XI Sveruski kongres o fundamentalnim problemima teorijske i primijenjene mehanike (Kazan, 2015);

Međunarodna konferencija o matematička teorija upravljanje i mehanika (Suzdal, 2015);

Šesta tradicionalna sveruska omladina ljetna škola„Upravljanje, informacije i optimizacija“ (Moskva, 2014);

XII Sveruska konferencija o problemima upravljanja (Moskva, 2014);

XIX Nižnji Novgorod sesija mladih naučnika: Prirodne i matematičke nauke (Nižnji Novgorod, 2014).

U 2013-2014 i 2014-2015 Istraživanje je podržala stipendija nazvana po akademiku G.A. Razuvaeva za diplomirane studente, kao i stipendiju Vlade Ruska Federacija(2014-2015).

Rezultati prvog tri poglavlja teze su primljene tokom realizacije projekta br. 14-01-31120 mol_a u 2014-2015. (rukovodilac) i projekti br. 12-01-31358 mol_a u 2012-2013, br. 14-01-00266 u 2014-2016. (izvođač) izveden uz finansijsku podršku ruski fond fundamentalno istraživanje.

Rezultati četvrtog poglavlja dobijeni su uz finansijsku podršku Ministarstva obrazovanja i nauke Ruske Federacije u okviru Federalnog ciljnog programa „Istraživanje i razvoj o prioritetne oblasti Razvoj naučnog i tehnološkog kompleksa Rusije za 2014-2020” (ugovor 14.578.21.0110 od 27. oktobra 2015., jedinstveni identifikator RFMEFI57815X0110).

Publikacije. Glavni rezultati na temu disertacije predstavljeni su u 10 publikacija, uključujući 4 publikacije u vodećim naučnim časopisima koje preporučuje Visoka atestacijska komisija Ministarstva obrazovanja i nauke Ruske Federacije -], radovi dvaju međunarodne konferencije i četiri sažetka izvještaja regionalnih i Sveruske konferencije[-. U zajedničkom radu] autor poseduje rezultate numeričke simulacije.

Lični doprinos aplikanta. Sve studije prikazane u radu disertacije podnosilac je lično izvodio u toku naučne delatnosti. Od zajedničkih publikacija, u disertaciju je uključen samo materijal koji direktno pripada podnosiocu prijave.

Struktura i obim posla. Disertacija se sastoji od uvoda, četiri poglavlja, zaključka i liste literature. Rad je predstavljen na 123 stranice, sadrži 11 ilustracija. Bibliografija obuhvata 81 naslov.

Sinteza generalizirane kontrole

U teoriji generalizirane %oc-upravljanja razmatra se linearni upravljivi objekt, koji je podložan vanjskom dejstvu i početnoj perturbaciji izazvanoj nepoznatim početnim uslovima. Ako objekt miruje u početno vrijeme, odnosno početna perturbacija je nula, onda kao mjera utjecaja spoljni uticaj na objektu koji se razmatra uzima se nivo potiskivanja eksterne perturbacije, koji se poklapa sa oo-normom, a problem projektovanja kontrole koja minimizira ovaj kriterijum je problem H-optimalnog upravljanja. Naprotiv, kada je početno stanje različito od nule i nema spoljašnje perturbacije, mera odziva sistema se shvata kao nivo prigušenja početne perturbacije, koji je jednak 70-normi. U ovom slučaju, zakon upravljanja optimizuje prelazni proces u najgorem slučaju, poznato je kao 7o-optimalno. U opštem slučaju, ovi kriterijumi su kontradiktorni, stoga je glavni cilj generalizovane %oc-kontrole da se odredi zakon upravljanja, koji bi bio kompromis pri proceni uticaja i spoljašnjih i početnih perturbacija.

Sada predstavljamo glavne činjenice vezane za generalizovanu Hoo-normu, dok ćemo u prezentaciji pratiti radove. Radi određenosti, razmotrite linearnu diskretnu nestacionarnu biljku oblika Xk+i = Axk + Bkvk, k = 0,...,N-l, zk = Ckxk + Dkvk, gdje je h Ê Ž1 stanje, z Ê E"-2 je ciljni izlaz i ue Rnv je eksterna perturbacija, N-o v fc-0 r:

Pretpostavimo da je, u opštem slučaju, početno stanje x0 različito od nule i nepoznato, a njegov uticaj na dinamiku objekta se tumači kao početna perturbacija.

Kontrolirani izlaz postrojenja za fiksno početno stanje x0 i niz poremećaja v0,... , vN_ i karakterizirat će se vrijednošću funkcionala N-1 j(x0,v0,..., vN_ij = \\z\\i2 + xNSxN = Y zk zk-\- xNSxN, (1.2) fc=0 objekta.

Prvo, razmatramo odvojeno dva ekstremna slučaja: samo početna ili samo vanjska perturbacija djeluje na objekt. Neka objekt miruje u početnom trenutku vremena, što odgovara slučaju kada nema početne perturbacije. U nastavku definišemo indikator uticaja eksternih smetnji na ciljni učinak (1.1) - nivo potiskivanja eksternih smetnji - kao relativna vrijednost funkcionalna (1.2) u najgorem slučaju: J(0,VO,...,VN_1) 2 = sup 2 0 2

Imajte na umu da ako je objekat (1.1) stacionaran i razmatra se na beskonačnom vremenskom intervalu, onda, koristeći Parsevalovu jednakost, možemo pokazati da se izraz (1.3) poklapa sa 7-normom razmatranog objekta. Sljedeća tvrdnja karakteriše nivo potiskivanja eksterne perturbacije u smislu rješenja linearnih matričnih nejednačina.

Izjava 1.1. Nivo potiskivanja eksterne perturbacije u sistemu (1.1) zadovoljava nejednakost 7oo 7 na konačnom vremenskom intervalu ako i samo ako su linearne matrične nejednakosti ,..., N - 1, za XN = S.

Iz tvrdnje proizilazi da se nivo potiskivanja eksterne perturbacije 7oo nalazi kao najmanji infimum skupa od svih 7 za koje je sistem linearnih matričnih nejednačina (1.4) rješiv u odnosu na matrice Xk = Xk 0 i 7 .

Ako ne postoji eksterna perturbacija, onda se efekat početne perturbacije na kvalitet prelaznog procesa u sistemu (1.1) može okarakterisati vrednošću B pokazuje da se ova vrijednost može naći kao rješenje problema optimizacije sa ograničenjima datim linearnim matričnim nejednačinama.

Izjava 1.2. Nivo potiskivanja početne perturbacije u sistemu (1.1) zadovoljava nejednakost 70 7 na konačnom vremenskom intervalu ako i samo ako su linearne matrične nejednakosti ATkXk+1Ak -Xk + ClCk O, X0 -f2I, (1.6) rješive u odnosu na Xk = matricu X, N, K = K, N = K, Da bismo opisali zajednički efekat eksternih i početnih perturbacija na proizvodnju postrojenja (1.1), definišemo nivo potiskivanja perturbacija kao neku vrstu konvolucije dva razmatrana faktora: 7W = sup

Jx0,v0,. . . ,VN_1 =F , (1.7) gdje je R = R 0 težinska matrica dizajnirana da postavi prioritet između vanjskog poremećaja i komponenti početnog stanja. Eksponent uveden na ovaj način naziva se generalizovana 7-norma. Lako je vidjeti da se u ekstremnim slučajevima izraz (1.7) pretvara u (1.3) ili (1.5), odnosno za x0 = 0 imamo 7w = 7oo, a za v = 0 dobijamo 7" = 70/max(-). Pokazalo se da se nivo prigušenja perturbacije može izraziti u terminima linearnih matričnih nejednakosti, za to je dovoljno zahtijevati postojanje zajedničko rešenje nejednakosti (1.4) i (1.6), koje karakterišu odvojeno nivo prigušenja spoljašnje perturbacije i nivo prigušenja početne perturbacije, uzimajući u obzir težinski koeficijent.

Nivo prigušenja perturbacije u sistemu (1.1) na konačnom vremenskom intervalu zadovoljava nejednakost 7w 7 ako i samo ako su nejednakosti linearne matrice (A.

Najgore vanjske perturbacije i početno stanje u kontinuirano diskretnom postrojenju

Napominjemo da se, prema formulisanoj teoremi, nivo prigušenja perturbacija 7S uz pomoć relacije (2.45) izražava kroz vrijednost matrične funkcije X(t). Međutim, zbog jednačine (2.6a), veličina X(t) implicitno zavisi od y. Kao rezultat, da bi se odredio nivo prigušenja perturbacije, javlja se nelinearni granični problem za matričnu Rikatijevu diferencijalnu jednadžbu: pronaći rješenje jednadžbe (2.6a) sa graničnim uvjetima (2.6b) i (2.45), kao i uvjetom (2.6d).

Pređimo sada na dokaz teoreme.

Dokaz teoreme 2.2. Lako je pokazati da je relacija (2.4) ekvivalentna jednakosti sup J(xo,v,w) = 0. (2.48) Ií!2 +ÍÍ2 2 + 0D 0=í Prema formuli (2.39), funkcional J(x0,v,w) se može zapisati na sljedeći način: 2 (2.48) Ií!2 +ÍÍ2 2 + 0D 0=í. k - w k) + fc=l + wN - w N (AdgbAdg - 7C- (wN - w N i forme, tako da maksimalna vrijednost funkcionala J(x0, v, w) nestaje za v = v i wk = w k, k = 1,..., N, i odgovarajući izbor x0). Prema tome, perturbacije u odnosu na nas vanjske supstitucije po wl7. v i w k u relaciju (2.48), tada: sup J(x0, v , w)= sup xUx(t0) + CjC0-- fcR)x0. \\v \\L+\\v \\2+x0R 0=l ll« llL+lh ll2+ ftr0 = l Sada imajte na umu da relacije u k 0, t zavise od 0, u -0: ovdje je F(Mo) osnovna matrica rješenja zatvorenog sistema (2.115). Dakle, ograničenje je kvadratni oblik u x0: \\v \\l2 + \\w \\l+xUxo = x Qx0 = l, gdje je tN Q = R + 1-2 Ak - 7sL \íH(ík)F(ík - 0, t0). Dakle, problem (2.48) se svodi na sljedeće:

Za rješavanje posljednjeg problema koristimo pravilo množitelja Lagrangea: maksimalna tačka x0 mora zadovoljiti sistem jednadžbi: 1 \x(t0) + CjC0 + q y V 7c = Amax (i?-1 [x (0) + C0TCo + / x fil V ) vrijednost od a e u quate se nalazi od 2 do 4 vrijednosti ( Neka se nađe druga vrijednost a u qua 9). dramatičnu formu i pojednostaviti: gornje lice jednaka nuli, dakle /i = 0. Zamjenom pronađene vrijednosti /i u izraz za x0 dolazimo do relacija (2.45) i (2.46c).

Hajde da formulišemo i dokažemo nekoliko posledica koje odgovaraju na pitanje o najgorim perturbacijama primenjenim na nivoe potiskivanja početne perturbacije C, kontinuirane eksterne perturbacije c, diskretne eksterne perturbacije G i nivoa potiskivanja mešovitih spoljašnjih perturbacija c w .

Posljedica 2.5. U postrojenju (2.1), (2.2) i (2.3) nivo prigušenja početnih smetnji c = max (J0 + (0)) (2.50) postiže se u najgorem početnom stanju = max (J0 + (0)] , (2.51) gdje je () rješenje sistema (2.41) koji se nalazi u 46 ), ako je k 0 = 0 , ako je k. , = 1,..., .. Korol 2.6 U postrojenju (2.1), (2.2) i (2.3) nivo potiskivanja kontinuiranih vanjskih perturbacija í̈ = max (J0 + (0)) (2.52) postiže se pod najgorom vanjskom perturbacijom () = ") 1T() (2.2) i (2.3) (2) rješenje (2) p od sistema.

Dokaz. Relacija (2.53) se dobija iz relacija (2.46) ako u potonju stavimo k = 0, = 1,..., što je ekvivalentno činjenici da na objekat ne utiče diskretna spoljašnja perturbacija, a zbog odsustva početne perturbacije, uslov (2.46c) mora biti odbačen (2.46 u relaciji).

Posljedica 2.7. U objektu (2.1), (2.2) i (2.3) postiže se nivo prigušenja diskretnih vanjskih perturbacija c = max (j 0 + (0)) (2.54) za najgoru vanjsku perturbaciju / -r- \ -1 -r k = - (j(k)k - c") j(k)(k -) 0 (2.4) (k) (k -) 0 (gdje je rješenje od 2.4. uslovima (2.6b) i (2.6d), pronađeno je noe sa " . Dokaz. Kako na objekt ne utječe kontinuirana eksterna perturbacija, onda se relacija (2.55) dobiva iz relacija (2.46) ako u potonjoj postavimo B(i) = O, a zbog nepostojanja početne perturbacije, uvjet (2.46c) se mora odbaciti i R = I u odnosu (2.45). Zaključak 2.8. U postrojenju (2.1), (2.2) i (2.3), nivo prigušenja mješovitih vanjskih perturbacija lT = Amax (cJC0 + X(t0)) (2.56) postiže se za najgore eksterne perturbacije t)x(t), (2.57b) gdje je X(i) rješenje za sistem, jer je pronađeno X(i). Na postrojenje ne utiče početna perturbacija, onda, odbacivanjem uslova (2.46c) u relacijama (2.46) i postavljanjem R = I u formuli (2.45), dobijamo relacije (2.57).

Još jednom napominjemo da nam teorema 2.2 i njene posljedice omogućavaju da proračun odgovarajućih nivoa prigušenja perturbacije svedemo na rješenje nelinearnog graničnog problema. Ovo posljednje se može riješiti na različite načine numeričke metode, na primjer, jednostavnom iteracijom. Ukratko opišite aplikaciju ovu metodu na primjeru izračunavanja nivoa potiskivanja perturbacija 7c. Odaberemo neku dovoljno veliku početnu vrijednost 7 i riješimo problem (2.6b), (2.6a) i (2.6d). Zatim, koristeći formulu (2.45), izračunavamo sljedeću aproksimaciju na 7c. Ponavljat ćemo navedeni postupak sve dok razlika između dvije susjedne pronađene vrijednosti ne postane manja od neke unaprijed određene male pozitivan broj. Jedan od značajnih nedostataka pomenutog pristupa, pored mogućeg nedostatka konvergencije generisanog niza aproksimacija, jeste potreba da se u svakom koraku rešava matrica. diferencijalna jednadžba. Ovo se može eliminisati prelaskom sa kontinuirano-diskretnog modela na diskretni. Sljedeći odjeljak posvećen realizaciji ove ideje.

Sinteza optimalne kontrole izlaza

Grupiramo prvi i drugi član u (2.105) i pojednostavljujemo izraz za P2, za koji ponovo primjenjujemo Sherman-Morrison-Woodbury formulu, a zatim: lCk = -g / -g \-1 -g = CTkGk+l(Wk+l - ETk+lXk+lEk+l) GTk Ek+l, GTk Ek +l matrica S se formira, na primjer, prema formuli

Teorema 3.4 takođe omogućava da se sintetiše generalizovana ft-optimalna izlazna kontrola u beskonačnom vremenskom intervalu. Da bi se to postiglo, dovoljno je pronaći rješenje za problem minimizacije 7c() pod ograničenjima datim nejednačinama (3.51), nakon čega se kao rješenje za (3.52) nađe optimalni regulator.

Konačno, u zaključku odjeljka, bez dokaza predstavljamo posljedice iz teoreme 3.4, koje uspostavljaju potrebne i dovoljne uslove za postojanje 70- i Pse-kontrola u odnosu na izlaz za stacionarnu elektranu na beskonačnom horizontu.

Zaključak 3.13. Za stacionarno postrojenje (3.21), (3.22), za dato 7 0, postoji diskretna izlazna kontrola u beskonačnom vremenskom intervalu ako i samo ako su linearne matrične nejednakosti Ah,XAh 0, S1 AhYAl Y C1YAl (Wc2 0 0 II MT X I C1YCj I x 3 0) (Wc2 0 0 II MT X I C1YCj MC. 0, X yl, (3.53c) su rješivi u odnosu na X = X 0, Y = Y 0, a stupci matrica Wr KJ 2 i M čine baze jezgara matrice, respektivno.

Korolar 3.14. Za stacionarni objekt (3.21), (3.22), u beskonačnom vremenskom intervalu, postoji diskretno upravljanje i -izlazno upravljanje, koje osigurava gašenje kontinuiranih vanjskih smetnji sa datim 7 0, ako samo kada su dozvoljene linearna matrična nejednakost i prva nejednakost (3.51c), u odnosu na y i oblik W = o x o, kolona x u x o baze prostora ET CO i ket [u .. d-,), respektivno.

Korolar 3.15. Za stacionarno postrojenje (3.21), (3.22), na beskonačnom vremenskom intervalu, postoji diskretna I izlazna kontrola koja obezbeđuje prigušenje diskretnih eksternih perturbacija sa datim 7 O ako i samo ako postoje matrice X = X O, Y = Y O koje zadovoljavaju nejednakosti linearne matrice i nejednakosti prve matrične matrice i nejednakosti prve kolone M i nejednakosti baze M, dok nejednakost kolone 3 formiraju 3. s ker (S2 D2j i ker [Vi Dx ) respektivno. Korolar 3.16. Za stacionarno postrojenje (3.21), (3.22), na beskonačnom vremenskom intervalu, postoji diskretna AND-izlazna kontrola koja obezbeđuje prigušenje mešovitih spoljašnjih perturbacija sa datim 7 0 ako i samo ako su nejednakosti linearne matrice (3.51a), (3.51b) i prva kertrička nejednakost u odnosu na 3 lvma kertričke nejednakosti 2 tako da su5. ⊂ D2 0 i ker BI Dj ⊂ 0, respektivno.

Iz napomene uz teoremu 2.8 slijedi da postoji konačna matrica R takva da se, za bilo koji težinski koeficijent R R , generalizirani H-optimalni izlazni regulator u beskonačnom vremenskom intervalu poklapa s H-optimalnim izlaznim regulatorom sintetiziranim nasljedstvom 3.16 i koji obezbjeđuje prigušenje mješovitih vanjskih smetnji. Stoga, da bi se postigao pravi kompromis kada se uzmu u obzir efekti i početnih i vanjskih perturbacija, matrica težine R mora zadovoljiti uvjet Atax(L_1L) Í. Numerički, granična vrijednost R matrice težine je definirana na sljedeći način: brx y1 , gdje X označava matricu koja zadovoljava nejednakosti (3.51a), (3.51b) i prvu nejednakost (3.51c) sa minimalna vrijednost 7s.

Razmotrite onu prikazanu na sl. 3.3 mehanički sistem koji se sastoji od visećeg tijela mase m i elektromagneta. Levitacija tijela je osigurana promjenom magnetskog polja, koja nastaje zbog promjene napona U primijenjenog na namotaj elektromagneta. Dinamika tako jednostavnog magnetnog ovjesa slijedi dvije jednačine: ti) = F - ta, (3.56) V + RI=U. Prva jednadžba (3.56) izražava drugi Newtonov zakon i određuje promjenu koordinata s visećeg tijela pod djelovanjem gravitacije tg i sile F sa strane elektromagneta, a druga određuje promjenu jačine struje / u elektromagnetnom kolu sa otporom R kada se napon U primijenjen na njega promijeni i predstavlja Kirchoff zakon električni krug elektromagnet. Veza fluksa namotaja elektromagneta je označena sa F, F = pF, gde je F - magnetni fluks prolazeći kroz jedan zavoj, a n je broj zavoja u namotu.

Veza fluksa F i jačina struje / u elektromagnetskom kolu su povezani relacijom: = L(s)/, L(s) = , CL = /i0n2A/2, (3.57) gdje je L(s) induktivnost elektromagneta, CL je projektni parametar, a 6 je vrijednost nominalnog razmaka između tijela i elektromagneta. Ako nazivnu induktivnost označimo kao L0 = L (0), onda C = L05, a zatim

U ovom odeljku razmatramo diskretni oblik linearnog nepristrasnog algoritma koji obezbeđuje minimalnu srednju kvadratnu grešku, pod pretpostavkom da je model poruke dat linearnom vektorskom razlikovnom jednadžbom

gdje je ulazni šum (ili šum biljke) bijeli šum s nultom srednjom vrijednosti i matricom kovarijanse

Model posmatranja ili mjerenja dat je linearnom algebarskom relacijom

. (7.3)

gdje je mjerni šum v nula srednji bijeli šum i

. (7.4)

Radi jednostavnosti početnih proračuna, pretpostavljamo da su i nekorelirani, tj.

Za sve , (7.5)

Inicijalna vrijednost predstavlja slučajnu varijablu sa srednjom vrijednosti i varijansom, drugim riječima

; . (7.6)

Takođe ćemo pretpostaviti da za sve .

Nađimo procjenu količine iz skupa uzastopnih opažanja. Označimo ovu procjenu sa , a grešku procjene - sa

U zavisnosti od odnosa između veličina i procjene naziva se predviđanje ili ekstrapolacija, filtriranje ili uglađivanje i, konačno, interpolacija. Takva podjela je intuitivno sasvim jasna, jer, na primjer, predviđanje znači procjenu stanje u th moment na osnovu svih zapažanja do -tog trenutka. U ovom poglavlju ćemo uglavnom razmatrati problem filtriranja, dok će se predviđanje i interpolacija istraživati ​​u sljedećem poglavlju.

Procjena će biti uslovno i bezuslovno nepristrasna, tj. i , i također će biti linearna funkcija niza opažanja. Iz skupa mogućih linearnih nepristrasnih algoritama procjene biramo samo onaj koji daje minimalnu varijansu greške, tj. onaj za koji ili minimalno.

U prethodnom poglavlju smo ustanovili da se procjena po kriteriju minimalne standardne greške poklapa sa uslovnom srednjom vrijednošću veličine za dati skup opažanja. Međutim, općenito, čak i ako su modeli izvješćivanja i promatranja linearni (što jesu za ovdje formulirani problem), uvjetna sredina nije linearna funkcija zapažanja, stoga algoritam procjene nema željeno svojstvo linearnosti.

Za dobijanje linearni algoritam za procjenu koja daje minimalnu varijansu greške, moramo koristiti jedan od dva pristupa. Jedan je da se odredi uslovna sredina koja predstavlja linearni oblik, a zatim da se pronađe najprikladniji za taj oblik. Ovaj pristup se zasniva na upotrebi ortogonalne projekcije. Drugi pristup se zasniva na pretpostavci da su slučajne varijable , i zajedno normalne. Na osnovu onoga što je dokazano u pogl. 4 svojstva linearnih sistema se ne mijenjaju normalan zakon distribucije, tačna uslovna sredina u ovom slučaju će biti linearni oblik. Linearni estimator minimalne varijanse mora biti jednak minimalnom estimatoru varijanse ako je potonji zaista linearan. Ovo se dešava ako pretpostavimo normalne zakone distribucije.

Imajte na umu da ako zahtijevamo da algoritam procjene bude linearan, onda stvarni zakon raspodjele veličina , i nije bitan. Međutim, ako su distribucije zaista normalne, kao što često jesu, tada je uslovna sredina u stvari linearni oblik. Drugim riječima, Kalmanov filter je najbolji (u smislu minimalne varijanse greške) linearni filter, bez obzira na vrstu distribucije, i najbolji algoritam od svih mogućih linearnih i nelinearnih algoritama procjene, ako šum objekta i mjerenja, kao i početno stanje, imaju normalne zakone raspodjele.

Prilikom izvođenja jednadžbe za Kalmanov filter, pretpostavit ćemo i zahtijevati da se opažanja obrađuju sekvencijalno. Bez obzira da li je algoritam procjene sekvencijalan ili ne, vrijednosti dobivenih procjena stanja se ne prilagođavaju. Međutim, računska izvodljivost metode je od suštinskog značaja. Vjerovatno najznačajniji doprinos Kalmana i Bucyja je da su oni prvi izveli linearni algoritam za procjenu minimalne varijanse u serijskom obliku koristeći koncept varijabli stanja. Problem linearnog sekvencijalnog filtriranja po kriterijumu minimalne varijanse greške davno su rešili Wiener i drugi autori u odnosu na sisteme sa jednim ulazom i jednim izlazom. Glavna zasluga Kalmana je što je generalizovao teoriju Wienerovog filtriranja na slučaj nestacionarnih višedimenzionalnih sistema sa nestacionarnim realizacijama šuma konačnog trajanja i dobio rešenje za problem filtriranja u rekurentnom obliku.

S obzirom da je prezentacija suštine problema donekle odložena, prije nego što pređemo direktno na njegovo rješavanje, hajde da sumiramo. Želimo da dobijemo linearnu nepristrasnu procenu stanja linearnog nestacionarnog dinamičkog sistema koji je optimalan u smislu kriterijuma minimalne varijanse greške i na koji utiče beli šum sa nultom srednjom vrednošću i poznatom varijansom.

Da bismo dobili procjenu, promatramo vremenski promjenjivu funkciju linearnog stanja na pozadini aditivnog bijelog šuma s nultom srednjom vrijednosti i poznatom varijansom. Početno stanje procesa je slučajna varijabla sa poznatim srednjim vrijednostima i varijansom. Ne postoji korelacija između ulaznog šuma i buke mjerenja, te je potrebno pronaći algoritam procjene u rekurentnom obliku. Kalmanov algoritam filtriranja je rješenje za ovaj problem. Primijenjeno na diskretni sistemi Razmotrimo dva različita pristupa izvođenju Kalmanove filtarske jednačine, koja su ilustracija dvije gore navedene ideje. U prvom slučaju, kada se koristi pristup ortogonalne projekcije, predodabrat ćemo linearni oblik algoritma procjene, a zatim ćemo pronaći najbolji algoritam. U drugom slučaju, kada se procjena vrši maksimalnom aposteriornom vjerovatnoćom, pretpostavit ćemo da slučajne varijable imaju normalne zakone raspodjele i pronaći optimalni algoritam procjene, koji će se zaista pokazati linearnim. Prilikom izvođenja jednadžbe filtracije, Kalman je koristio pristup baziran na metodi ortogonalne projekcije, pa ćemo izlaganje započeti ovom metodom.

ortogonalnoprojekcija. Teorija ortogonalne projekcije je ukratko razmatrana u § 6.6. Ovdje će, bez dokaza, biti predstavljene neke generalizacije rezultata koji su tamo prikazani; trebaće nam u budućnosti. Linearna procjena količine po kriteriju minimalne varijanse greške za dati linearni prostor opažanja data je ortogonalnom projekcijom na , tj.

Ovdje se simbol koristi umjesto , budući da se linearna procjena s minimalnom varijansom općenito ne poklapa s uslovnim matematičkim očekivanjem. Da smo unaprijed pretpostavili da slučajne varijable imaju normalne distribucije, onda bi se to jednostavno poklopilo sa ; međutim, namjerno smo odabrali drugačiji pristup kako bismo naglasili da pretpostavka normalnih distribucija nije neophodna, ako se prisjetimo da rezultirajući algoritam procjene možda nije apsolutno najbolji, već samo najbolji u klasi linearnih algoritama. Ako ortogonalni niz čini osnovu za , onda se može predstaviti na sljedeći način

. (7.8)

Da bismo dobili rješenje u rekurentnom obliku, potreban nam je sljedeći rezultat. Ako je vektor ortogonan na , tj. , za , Gdje je ortogonalna osnova za , Tada

Ovaj rezultat je lema o ortogonalnoj projekciji. Iako će nas zanimati filtriranje, tj., prvo ćemo razmotriti predviđanje u jednom koraku, tj. Da bismo dobili rješenje u traženom rekurentnom obliku, koristimo princip matematičke indukcije. Pretpostavimo da je poznato i predstavlja kroz i novo zapažanje. Međutim, , općenito govoreći, nije ortogonalno, i prije korištenja jednadžbe (7.9), potrebno je pronaći komponentu promatranja , koja je ortogonalna na . U suštini, to se svodi na isticanje novih informacija sadržanih u .

Lako je pokazati da je vektor

ortogonalno. Imajte na umu da predstavlja "novu informaciju" sadržanu u , jer za dobijanje najbolje procjene količine, pod uvjetom da je dato, tj. , oduzima se od . Ovo je još jedan oblik tvrdnje koji je ortogonan. Slučajna varijabla je poznata kao "ažuriranje". Koristeći jednačinu (7.10), može se izraziti u terminima ažurirane slučajne varijable na sljedeći način:

.

Ova dva izraza su ekvivalentna jer se nalazi u prostoru za promatranje i stoga se ne dodaju nikakve dodatne informacije u odnosu na one sadržane u . Pošto su i ortogonalni, možemo koristiti jednačinu (7.9) i zapisati je kao . Pošto , onda se ovaj izraz može predstaviti u sljedećem obliku:

Iz ovoga proizilazi da se dobije predviđanjem vrijednosti slučajne varijable iz prethodnih opservacija, a zatim ispravljanjem predviđene vrijednosti u skladu sa novim informacijama sadržanim u trenutnoj vrijednosti uzorka slučajne varijable. Koncept predviđanja i korekcije je vrlo plodan i omogućava vam da vizualno interpretirate Kalmanov algoritam. Stoga ćemo pri izvođenju algoritma filtriranja koristiti pristup zasnovan na ideji predviđanja i korekcije. Analizirajmo zasebno svaki od dva člana na desnoj strani jednačine (7.11). Prema izrazu (7.1) dat je kao . Dakle, što je po definiciji jednako , sada postaje jednako

Po definiciji imamo

Budući da zavisi samo od for i je bijeli šum, matematičko očekivanje vrijednosti na datoj vrijednosti jednostavno se poklapa s bezuvjetnim matematičkim očekivanjem . Dakle, gornji rezultat se pretvara u sljedeće:

Vidimo da je predviđena vrijednost , zasnovana na opservaciji, dobijena kao rezultat neporemećenog prijelaza jedan korak naprijed, tj. na . Ovaj zaključak nije neočekivan, budući da je najbolja procjena , zasnovana na opservaciji , kao što je gore prikazano, identično nula. Iz ovoga također slijedi

To znači da je i kod filtriranja i kod predviđanja najbolja procjena bijelog šuma sa nultom srednjom vrijednosti identično nula. Ovaj zaključak je izuzetno važan i bit će vrlo koristan, posebno kada se govori o konceptu procesa "obnove". U nastavku će na sličan način biti prikazano šta je definisano kao, a šta zapravo

Ako zamenimo jednačinu (7.12) u (7.11), dobijamo

Razmotrimo drugi član na desnoj strani ove jednačine. Koristeći jednačinu (7.8), može se napisati u sljedećem obliku:

Sada ćemo posebno ispitati svaki član na desnoj strani ove jednačine. Zamjenom (7.1) za , dobijamo za prvi član jednačine

Sada, koristeći definicije i [usp. jednačine (7.3) i (7.10)], mogu se napisati u sljedećem obliku:

Gdje . Prema tome, jednačina (7.17) poprima oblik

i nakon množenja odgovarajućih članova, pretvara se u oblik

Budući da ovisi samo o , i , a i nisu u korelaciji, onda . Budući da je bijeli šum, i ovisi samo o , onda a treći član na desnoj strani gornje jednačine mora biti nula. Poslednji član na desnoj strani jednačine je takođe jednak nuli, pošto i - nisu u korelaciji. Dakle, ostaje samo prvi pojam, a kao rezultat imamo

Dobiveni izraz se može dodatno pojednostaviti ako uzmemo u obzir da . Gde postaje jednak

Ali prvi član, prema lemi o ortogonalnoj projekciji, jednak je nuli. Prema tome, jednačina (7.18) se može napisati kao:

gdje Na sličan način se može pokazati da

Ako zamenimo jednačine (7.19), (7.20) i (7.10) u (7.16), onda

Stoga, izraz za poprima oblik

Ovaj rezultat se može izraziti u pogodnijem obliku uvođenjem notacije

tako da završimo sa

Količina se naziva povećanjem jednostepenog Kalmanovog ekstrapolatora. Oblik rješenja predstavljen jednačinama (7.23) i (7.24) vrlo je zanimljiv i pogodan sa računske tačke gledišta. Dobili smo sekvencijalni algoritam proračuna od poznate vrijednosti izračunate u prethodnom koraku i novog opažanja. Nova procjena ovdje je formirana kao rezultat ekstrapolacije stare procjene i naknadne korekcije korištenjem ponderiranog signala greške posmatranja. 7.1b; za poređenje, originalni modeli poruke i posmatranja su prikazani na sl. 7.1, a. Prije korištenja gornjeg rezultata, prvo morate pronaći izraz za da biste izračunali . Možete učiniti drugačije i pronaći . Da bismo odredili , prvo ćemo pronaći rekurzivni izraz za . Kombinujući jednačine (7.1) i (7.24), dobijamo

Slika 7.1. Blok dijagrami problema predviđanja u jednom koraku: a) modeli izvještavanja i promatranja, b) uređaj za predviđanje u jednom koraku

Ako sada zamijenimo izraz (7.3) za i izvedemo niz jednostavnih algebarske transformacije, tada se gornji izraz svodi na oblik

Pored činjenice da se jednačina (7.25) može koristiti za izračunavanje , ona je takođe od nezavisnog interesa, kao zakon promene greške u proceni.

Budući da je srednja vrijednost veličine jednaka nuli (pošto je procjena nepristrasna), a veličine , i - nisu u korelaciji, izraz za se može dobiti direktno iz definicije ove veličine i jednačine (7.25), u obliku

Ako sada zamijenimo (7.23) i pojednostavimo rezultat, dobićemo sledeći izraz za varijansu greške:

Jednačina (7.26), zajedno sa (7.23) i (7.24), u potpunosti definiše linearni sekvencijalni jednostepeni ekstrapolator sa minimalnom varijansom greške.

Prije korištenja prethodno dobivenog rezultata potrebno je postaviti odgovarajuće početne uvjete u jednadžbama za i . Očigledno, najbolja procjena količine, pod uvjetom da nisu obavljena nikakva zapažanja, je i, stoga,

Dakle, kao početne uslove za algoritme predviđanja u jednom koraku, biramo ; .

Svi algoritmi predviđanja u jednom koraku sažeti su u tabeli. 7.1.

Jednačina (7.26) se također može prepisati u sljedećem obliku:

Ako postavite početne uslove u jednačinama (7.24) i (7.26), tada možete dosljedno koristiti algoritme predviđanja u jednom koraku. Na primjer, jednadžba (7.23) sa početnim uvjetom može se koristiti za pronalaženje , koju zatim treba zamijeniti u (7.24) da bi se izračunalo iz prvog opažanja. Jednačina disperzije (7.26) se koristi u sljedećem koraku kada se preračuna na . Dobijena vrijednost veličine se zatim koristi za proračun itd. Obrada podataka prema jednadžbama predviđanja je šematski prikazana na sl. 7.2. Pažljiva analiza jednačina (7.23) i (7.26) pokazuje da se izračunavanje veličina i zapravo vrši bez pribjegavanja redoslijedu opažanja . Moguće je prethodno izračunati i pohraniti matrice pojačanja. Vjerovatno ne bismo mogli prihvatiti ovu metodu predračunavanja matrica da brzina pristizanja opservacija na ulaz procesora nije tako visoka i ne bi spriječila proračune prema jednadžbi (7.23) i (7.26) u realnom vremenu, ili kada mogućnost memorisanja nije bila pristupačnija i jeftinija od mogućnosti izračunavanja u realnom vremenu.

Tabela 7.1. Diskretni algoritmi predviđanja u jednom koraku

Model poruke

Model posmatranja

Prethodni podaci ; ; ;

Algoritam predviđanja

Izračun pojačanja

Izračun prethodne varijanse

Početni uslovi

Glavna prednost algoritama Kalmanovog filtriranja nije toliko u tome što daju rješenje problema filtriranja (rješenje je dobijeno mnogo ranije drugim metodama), već u tome što rješenje direktno određuje praktičnu implementaciju rezultata. Prilikom rješavanja mnogih praktičnih problema moguće je osigurati izvodljivost proračuna jednadžbama (7.23) i (7.26) u realnom vremenu i, shodno tome, implementirati sekvencijalne algoritme filtriranja u realnom vremenu. Druga karakteristična karakteristika razmatranog pristupa je da se varijansa greške izračunava kao sastavni dio procjene i stoga se može koristiti za kontrolu tačnosti postupka procjene. Ovo se zasniva na pretpostavci da su obrasci izvještavanja i posmatranja, kao i prethodna distribucija, potpuno poznati.

Rice. 7.2. Strukturni dijagram proračuna na algoritmima predviđanja

Primjer 7.1. Neka su modeli poruke i opažanja dati skalarnim jednačinama:

; .

i I ili,. Ovdje pretpostavljamo da je šum nepomičan i bijeli, iako općenito ne mora biti stacionaran. Pretpostavimo i da početna vrijednost ima nultu srednju vrijednost i jediničnu varijansu, tako da i .

Za ovaj primjer, jednadžba procjene (7.24) postaje

sa pojačanjem određenim iz jednačine

Jednačina disperzije ima oblik

Izračunajmo i pod pretpostavkom da imamo zapažanja , . Prvo izračunavamo dobit koristeći početni uslov:

; .

Koristeći početni uslov , dobijamo I . Varijanca greške ove procjene određuje se iz jednačine varijanse na sljedeći način:

Sada je potrebno ponoviti sve korake proračuna kako bismo pronašli, procijenili i, konačno, varijansu. Iako je razmatrani primjer izuzetno jednostavan, on jasno ilustruje sve korake proračuna koji se moraju izvesti u procesu primjene Kalmanovih algoritama predviđanja u jednom koraku.

Jedan od praktičnih važnih zadataka, koji proizilazi iz gornjih rezultata, a još teži od pronalaženja srednje vrijednosti i varijanse početnog stanja, je određivanje varijanse ulaznog i mjernog šuma. Vrijednosti varijanse i često se mogu dobiti bilo iz analize fizičko lice zadatak, ili direktnim mjerenjem sa razumnom preciznošću. Slične primjedbe mogu se dati o apriornim momentima vektora stanja. Vrijednost se bira kao najbolja procjena srednje vrijednosti vektora stanja na nultom koraku, odnosno prije nego što su obavljena zapažanja, a kao karakteristika stepena neizvjesnosti pri izboru .

U čisto kvalitativnom smislu, može se tvrditi da što je veća nesigurnost oko prave vrijednosti , to su veće vrijednosti koje postavljamo.

Sada se okrenimo problemu filtriranja. Ekstrapolator u jednom koraku se koristio kao zgodan korak u rješavanju ovog osnovnog problema, a često i jeste praktična vrijednost. Vidjet ćemo da rješenje problema filtriranja uključuje predviđanje u jednom koraku, čiji rezultati se zatim koriguju prema trenutnim informacijama. Često, ali ne uvijek, rješavanje problema filtriranja treba dati prednost u odnosu na rješavanje problema filtriranja u jednom koraku.

Ako je procjena dobivena kao rezultat filtriranja, naime, poznata, onda se može dobiti kao

Budući da i, prema tome, ovisi samo o , prostor za promatranje ne sadrži informacije o , gdje je diskretni bijeli šum. Stoga, da se predvidi vrijednost iz zapažanja, dovoljno je predvidjeti vrijednosti korak naprijed postavljanjem . Ovaj pristup je omogućio dobijanje jednačine (7.27), koja će se koristiti u nastavku. Namjerno dozvoljavajući nestriktnu notaciju radi jednostavnosti notacije, pišemo je kao . Osim u posebnim slučajevima, kao u , pretpostavit ćemo da su uvjeti dati prostorom . U ovoj notaciji, jednačina (7.27) se može prepisati kao

Očigledno, dvije procjene zasnovane na posmatranju moraju biti ekvivalentne. Stoga se može koristiti jednačina (7.28) za dobijanje sekvencijalnog algoritma procjene iz jednačina (7.23), (7.24) i (7.26). Prvo zamjenjujemo yp-ne (7.28) u (7.24). Kao rezultat, dobijamo

Ako pomnožimo oba dijela ove jednadžbe sa , što je, zbog svojstava prijelazne matrice stanja, jednako , tada ćemo dobiti

Da bismo pojednostavili rezultirajući izraz, uvodimo , definirano kao , ili

ako za određivanje koristite jednačinu (7.23). Stoga je napisano u formi

Iako je jednadžba (7.30) vjerovatno najpogodniji oblik jednačine procjene Kalmanovog filtera, u principu se može dobiti nekoliko drugih oblika. Dva od njih su posebno korisna. Ako koristimo relaciju, onda se jednačina (7.30) može prepisati u sljedećem obliku:

Ovaj izraz se može dodatno pojednostaviti uvođenjem vrijednosti za "ažuriranje".

Jednačine (7.29)-(7.31) ili (7.32), zajedno sa jednadžbom (7.26), u potpunosti rješavaju problem linearnog filtriranja po kriteriju minimalne srednje kvadratne greške. Dati početni uslovi za , odnosno i , koriste se za formiranje početnih uslova za i , respektivno, na isti način kao u ekstrapolatoru u jednom koraku.

Kalmanovi algoritmi filtriranja mogu se predstaviti u pogodnijem obliku ako nađemo izraze za varijansu greške filtriranja . Osim toga, varijansa se može koristiti kao kriterij za kvalitet postupka procjene. Varijanca se često naziva prethodna varijansa jer je to varijansa procjene do vremena promatranja, a varijansa se naziva posteriorna varijansa. Da bismo odredili , prvo ćemo pronaći izraz za . Opet, moguće je nekoliko oblika prezentacije. Jedan od najpogodnijih za naš slučaj je predstavljanje pomoću jednačine (7.32). U ovom slučaju, definira se na sljedeći način:

Ako sada zamijenimo jednačine (7.29) za i (7.19) i (7.20) za i u ovaj izraz, dobijamo

Ako koristimo jednačinu (7.29) za , onda se posljednji izraz može prepisati kao

Prema ovoj jednačini, varijansa greške filtriranja je prilično jednostavno izražena u smislu varijanse greške predviđanja u jednom koraku. Upotreba veličine takođe omogućava značajno pojednostavljenje jednačine (7.26). Prepišimo to u formu

Koristeći f-loy (7.29) za , možemo zapisati ovaj izraz kao

Lako je vidjeti da vrijednost u vitičastim zagradama ne predstavlja ništa više od . Stoga imamo

Ovaj izraz se može dobiti na uobičajen način izračunavanjem varijanse slučajne varijable date jednadžbom (7.1) za datu .

Jednačine (7.29), (7.30), (7.33) i (7.34) u potpunosti definiraju konačnu verziju diskretnog Kalmanovog filtera. Ove jednačine su sažete u tabeli. 7.2. Blok dijagram proračuna prema dobijenim algoritmima prikazan je na sl. 7.3, i blok dijagram diskretnog Kalmanovog filtera - na sl. 7.4.

Još jednom imajte na umu da jednačina za disperziju i pojačanje ne uključuje niz posmatranja, tako da se ove količine mogu unaprijed izračunati ako je potrebno. Ova mogućnost je konvencionalno prikazana na Sl. 7.3 isprekidana linija.

Tabela 7.2. Sažetak algoritama diskretnog Kalmanovog filtriranja

Model poruke

Model posmatranja

Prethodni podaci

Algoritmi filtriranja

Izračun pojačanja

Izračun prethodne varijanse

Jednadžba za posteriornu varijansu

Početni uslovi

Analiza blok dijagrama na slici 7.4 pokazuje da Kalmanov filter implementira ideju predviđanja-ispravke. Prethodna procjena se ekstrapolira korak naprijed, a zatim se koristi za dobivanje najbolje procjene novog zapažanja na osnovu svih prethodnih zapažanja. Greška između "najbolje procene" trenutnog posmatranja i stvarnog posmatranja, odnosno ili , je nova informacija [komponenti ortogonalnoj na ]. Greška je ponderisana težinom koja uzima u obzir vrijednost varijansi ulaznog procesa, mjerenja i greške procjene kako bi se formirao signal korekcije. Signal korekcije se dodaje predviđenoj procjeni i rezultat je nova procjena.

Sl.7.3. Strukturni dijagram proračuna po Kalmanovom algoritmu filtriranja.

Rice. 7.4. Strukturni dijagram diskretnog Kalmanovog filtera.

Imajte na umu da struktura Kalmanovog filtera koja odgovara jednačini (7.30) i prikazana je na Sl. 7.4 je vrlo slična strukturi originalnog modela poruke datog jednačinom (7.1) i prikazanog na sl. 7.1a. Algoritam filtriranja je baziran na korištenju komponente "ažuriranja", koja sadrži nove informacije dobivene kao rezultat promatranja.

Primjer 7.2. Da bismo ilustrirali primjenu Kalmanovog algoritma filtriranja, razmotrimo dvodimenzionalni model poruke dat jednadžbom

Promatranje se vrši prema skalarnom modelu

Ulazna buka je stacionarna sa , a šum mjerenja nije stacionaran sa . Drugim riječima, mjerenja za parne indekse su manje tačna od onih za neparne. Pretpostavimo da je varijansa početnih grešaka (ili početnog stanja) data matricom . Potrebno je izračunati vrijednost za sve od 1 do 10.

Koristeći jednačine (7.29) i (7.34), kao i početni uslov , lako se može izračunati i , koji su jednaki

Sada, koristeći jednačinu (7 23), možete izračunati posteriornu varijansu

kao i prethodna varijansa, koja se za sljedeći korak mijenja prema jednačini (7.34) i postaje jednaka

Rice. 7.5. Promjena pojačanja Kalmanovog filtera razmatranog u primjeru 7.2

Sada možete izračunati itd. Komponente vektora, kada se mijenjaju od 1 do 10, prikazane su na slici 7.5. Obratite pažnju na karakteristično povećanje pojačanja za neparne vrijednosti od , zbog čega su poboljšana relativno precizna mjerenja. Može se vidjeti da pojačanje dostiže stabilno stanje periodično mijenjajući vrijednost u nekoliko uzoraka. Vjerovatno je korisno ukratko i čisto kvalitativno raspravljati o utjecaju omjera veličina i na , čak i ako je teško dobiti opće kvantitativne rezultate. Prvo, ovdje su važne relativne vrijednosti, a ne apsolutne. Konkretno, lako je pokazati da se u slučaju kada , i pomnože sa istom pozitivnom skalarnom konstantom, onda ne mijenja. Vrlo približno, može se samo reći da pojačanje zavisi od odnosa signal-šum. Elementi matrice koeficijenata se smanjuju kako se smanjuju vrijednosti elemenata matrice i [ili samo u ] ili se povećavaju vrijednosti elemenata matrice. Čini se da je ovaj rezultat prilično intuitivan, jer kako se smanjuje, treba očekivati ​​sve manje i manje promjene stanja, pa stoga nema potrebe da se tako precizno "prati" zapažanja. Slično, ako se smanji, tada se povećava preciznost. početna procjena i potreba za informacijama sadržanim u zapažanjima je smanjena, a samim tim i dobit je smanjena. S druge strane, ako se poveća, pojačanje se ponovo smanjuje, sprečavajući da se procjeni doda pretjerani šum mjerenja. U granici, kada teži nuli, lako je pokazati da se asimptotski približava nuli za velike vrijednosti . Kako se približava nuli, varijanse greške se također približavaju nuli i postupak procjene postaje nezavisan od posmatranja i ulazi u mod poznat kao zasićenje ulaza. Ovaj način rada može dovesti do ozbiljnih problema s divergencijom. Metode korekcije divergencije će biti detaljno razmotrene u Pog. 8.5.

Procjena po kriteriju maksimalne aposteriorne vjerovatnoće. Dobijamo algoritam linearne procjene, uz pretpostavku da , i imaju normalne zakone distribucije. U ovom slučaju, lako je pokazati (vidi § 4.2) da su i normalno raspoređene slučajne varijable za sve . Stoga je linearna funkcija promatranja. Drugim riječima, algoritam za procjenu varijanse linearne minimalne greške je algoritam za procjenu s minimalnom varijansom greške, a varijansa greške je manja ili jednaka varijansi greške bilo kojeg drugog linearnog ili nelinearnog algoritma procjene.

Da bi se dobio algoritam za procenu po kriterijumu maksimalne aposteriorne verovatnoće, potrebno je samo odrediti uslovnu gustinu verovatnoće vrednosti za datu vrednost, a zatim pronaći njeno matematičko očekivanje. Pošto je uslovna raspodela normalna za datu, poznato je (videti §6.2) da algoritam za procenu koji izračunava uslovno očekivanje minimizira ne samo srednji kvadrat greške, ali i srednja vrijednost apsolutna greška za jednostavne i mnoge druge funkcije gubitka.

Dakle, može se dodijeliti algoritam za procjenu minimalne varijance uzimajući u obzir procjenu pod bilo kojom drugom funkcijom gubitka, na primjer, procjenu maksimalne posteriorne vjerovatnoće (skraćeno MAP procjena) kada je funkcija gubitka odabrana da bude jednostavna i procjena se poklapa s modom uvjetne gustoće.

Koristimo ovu tehniku ​​i konstruiramo algoritam MAV-estimacije. Budući da se neki izrazi s kojima ćemo morati operirati mogu ispasti predugački, u toku prezentacije ponekad ćemo koristiti pojednostavljeni oblik zapisa. Uz pretpostavku malog nedostatka strogosti, napustićemo indeksnu notaciju za gustine verovatnoće, a slučajne varijable koje se razmatraju biće označene kao argumenti ovih gustina. Na primjer, vrijednost gustine vjerovatnoće slučajne varijable u tački , u ovom slučaju se zapisuje kao ; slično napisano kao . I ne treba pokušavati tumačiti ovaj pojednostavljeni oblik zapisa kao vjerovatnoću da (ovo je čista besmislica), odnosno, gustoću vjerovatnoće treba posmatrati kao funkciju, a ne kao vrijednost ove funkcije koju uzima za određeno opažanje. Nažalost, u nerigoroznoj matematici koju inženjeri koriste, razlika između funkcije, kao preslikavanja iz jednog skupa u drugi, i specifične vrijednosti ove funkcije često nije jasno naglašena.

Funkcija gustoće vjerovatnoće koja se razmatra prilikom procjene na osnovu maksimalnog posteriornog kriterija vjerovatnoće ili na osnovu uvjetnog matematičko očekivanje, je funkcija slučajne varijable za dati niz opažanja i označava se kao . Algoritam procjene zasnovan na uslovnom očekivanju definira se kao

(7.35)

Procjena po kriteriju maksimalne aposteriorne vjerovatnoće, koja će biti označena kao , nalazi se kao rješenje jednadžbe

. (7.36)

pod uslovom da

(7.37)

Ako je zadovoljen uslov (7.37), koji zahteva da matrica drugih izvoda bude negativno određena, tada rešenje jednačine (7.36) odgovara maksimalnoj uslovnoj gustoći.

Da nađem izraz za , koristimo teoremu množenja i pišemo Kako

Ako to posmatramo kao uniju novog zapažanja i prethodnih zapažanja, tada će jednačina (7.38) biti prepisana u obliku

(7.39)

Razmotrimo brojilac ovog izraza. Koristeći teoremu množenja možemo pisati

jer znanje nesumnjivo isključuje potrebu za očuvanjem. Ako je dat, onda je in je samo slučajna varijabla i budući da je bijeli šum, onda nikakva informacija nije sadržana ni u , ni u . Ako izraz (7.40) zamijenimo u (7.39), dobićemo

Primjenjujući teoremu množenja na nazivnik, zapisujemo rezultirajući izraz u obliku

Nakon redukcije za zajedničku skalarnu funkciju vjerovatnoće, dobijamo

(7.41)

Sada možete odrediti uslovnu gustinu vjerovatnoće slučajne varijable date izračunavanjem svakog izraza za vjerovatnoću na desnoj strani jednačine (7.41). Razmotrimo svaki član posebno, dokazujući da je svaka gustina vjerovatnoće u (7.41) normalna, i definirajući prva dva momenta koji karakteriziraju normalnu distribuciju. Hajde da prvo istražimo. Kako je dato jednadžbom , a je normalan slučajni proces, onda je gustina vjerovatnoće nesumnjivo normalna, budući da postoji zbir normalnog slučajnog procesa i konstantna vrijednost. Srednja vrijednost procesa je

jer je slučajan proces sa nultom srednjom vrednošću. Varijanca slučajnog procesa je po definiciji

iu ovom slučaju

Dakle, gustina vjerovatnoće se može napisati u sljedećem obliku:

Sada razmotrimo imenilac izraza (7.41), tačnije, gustinu vjerovatnoće date vrijednosti tri. Koristeći jednačinu za model posmatranja, može se napisati kao

Prema izvornoj formulaciji problema, poznato je da ima normalan zakon raspodjele i ne ovisi o . Ako to pretpostavimo - normalno, bez sumnje je također normalna, budući da je linearna funkcija (zbir) dvije slučajne varijable koje imaju normalan zakon raspodjele. Gustoća vjerovatnoće slučajne varijable za dato u je normalna, jer se u ovom slučaju jednostavno poklapa sa , što je, prema početnoj pretpostavci, normalno. Sljedeće će pokazati valjanost pretpostavke da , a samim tim i su normalni za sve. Prosječna vrijednost sa gustinom jednaki

gdje se koristi prethodno uvedena notacija; jednako nuli, pošto je to bijeli šum sa nultom srednjom vrijednosti. Po definiciji, disperzija procesa je jednaka datoj, jer su disperzije veličina:, koje se smatraju početnim u ovom lancu, normalne. Stoga je potvrđena pretpostavka da je gustina normalno.

Procjena stanja za dati , zasnovana na uslovnom matematičkom očekivanju (procjena po kriteriju minimalne varijanse greške), određena je jednadžbom (7.54) i konzistentna je sa prethodno dobijenim rezultatima [vidi. (7.30)]. Međutim, u ovom slučaju procjena je potpuno jednaka uslovnom očekivanju (jer je ovdje pretpostavljena normalna raspodjela), a nije najbolja samo u klasi linearnih procjena. Naravno za normalna distribucija obje procjene su iste, budući da je uslovno očekivanje linearna funkcija posmatranja.

Da biste odredili procjenu MAV-a, morate pronaći vrijednost koja maksimizira . Upotrijebimo dobro poznati trik i potražimo maksimum, a ne samu gustinu

a u ovom slučaju se promatra zbog fizičkih svojstava matrice disperzije greške. Stoga se procjena MAV-a poklapa sa procjenom uslovnog očekivanja i procjenom po kriteriju minimalne varijanse greške. Skup vrijednosti je dovoljna statistika za procjenu u smislu da u potpunosti određuju uvjetnu gustinu.

Treba napomenuti da se može direktno koristiti originalni oblik zapisa gustine [izraz (7.52)] umjesto kompaktnog oblika (7.53). Ovaj pristup se čini privlačnijim, jer u ovom slučaju nije potrebno poznavanje kompaktnije forme, koja nije dovoljno jednostavna i očigledna. Ako koristimo izraz (7.52) za , tada kao rezultat transformacije jednačine (7.57) imamo

Ako sada grupišemo pojmove koji uključuju , dobićemo

čije rješenje u odnosu dovodi do sljedećeg rezultata:

Iako ovo rješenje za optimalnu procjenu nije predstavljeno u tako prikladnom obliku kao prethodno, lako se može svesti na (7.62) korištenjem leme o inverziji matrice ili direktno izraza (7.55) i (7.56).

Brojni zanimljivi i korisni izrazi za varijansu mogu se izvesti iz Kalmanovih algoritama filtriranja. Evo nekih od korisnijih vezanih za koncept "procesa obnove":

Pomoću jednačine (7.70) dobijamo [što je ujedno i optimalna procjena koja važi na izlazu sistema, tj. kada model posmatranja ima sljedeći oblik:

Oni daju rješenje problema linearnog diskretnog filtriranja u najopštijoj formulaciji. U zaključku napominjemo da iz općih rezultata slijede, posebno, rezultati dati u tabeli. 7.2, ako postavimo i jednako nuli.