Suvorov Mihail, učenik 10. razreda

Ovaj rad je posvećen opisu pogleda starogrčkog filozofa Platona na strukturu Univerzuma, kroz upotrebu pravilni poligoni, kao što su tetraedar, oktaedar, heksaedar (kocka), dodekaedar i ikosaedar. U modernoj matematici ova tijela se nazivaju Platonova tijela.

Rad također odražava pitanje kako se Platonova tijela koriste u modernim teorijama prirodnih nauka.

Skinuti:

Pregled:

Za korištenje pregleda prezentacija, kreirajte Google račun (nalog) i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Istraživački rad iz geometrije. Tema: "Platonska tijela" Pripremio prezentaciju: Suvorovite Suvorov Mihail Nastavnik matematike Kharkova Marina Valerievna

Platon (427-347 pne) - veliki starogrčki filozof, Sokratov učenik, osnivač Akademije. Glavna Platonova zasluga u istoriji matematike je u tome što je prepoznao da je znanje matematike neophodno svima. obrazovana osoba. Platonov doprinos matematici je beznačajan. Međutim, njegove ideje o strukturi i metodama matematike su izuzetno vrijedne. Uveo je tradiciju davanja besprijekornih definicija i određivanja koje se propozicije u matematičkim razmatranjima mogu prihvatiti bez dokaza. Platon je bio prvi koji je potkrijepio metodu dokaza kontradikcijom, koja se danas široko koristi u geometriji. U Platonovoj školi Posebna pažnja posvećena rešavanju građevinskih problema. Zahvaljujući tome, u njemu je formiran koncept lokusa tačaka i razvijena metodologija za rješavanje građevinskih problema. Konveksni pravilni poliedri - tetraedar, oktaedar, heksaedar (kocka), dodekaedar i ikosaedar - se obično nazivaju Platonova tijela.

Definicija: PLATONOVA TELA - od grčkog. Platon 427-347 BC. - skup svih pravilnih poliedara [tj. volumetrijskih tijela ograničenih jednakim pravilnim poligonima] trodimenzionalnog svijeta, koji je prvi opisao Platon.

Pravilan poligon se naziva: ravna figura omeđena pravim linijama s jednakim stranicama i jednakim unutrašnjim uglovima. Analog pravilnog poligona u trodimenzionalnom prostoru je pravilan poliedar: prostorna figura sa identičnim plohama u obliku pravilnih mnogouglova i identičnim poliedarskim uglovima na vrhovima. Postoji samo pet pravilnih konveksnih poliedara: pravilni tetraedar, kocka, oktaedar, dodekaedar i ikosaedar.

Istorija stvaranja Platonovih tijela. Četiri poliedra personificirala su u njemu četiri esencije ili "elementa". Tetraedar je simbolizirao Vatru, jer je njegov vrh usmjeren prema gore; Ikosaedar - Voda, jer je "najbolji" poliedar; Kocka - Zemlja, kao "najstabilniji" poliedar; Oktaedar - Vazduh, kao naj"prozračniji" poliedar. Peti poliedar, Dodekaedar, oličava "sve što postoji"

Tetraedar Stari Grci su poliedar nazvali prema broju lica. "Tetra" znači četiri, "kedra" - znači lice (tetraedar - tetraedar). Poliedar se odnosi na pravilne poliedre i jedno je od pet Platonovih čvrstih tijela. Tetraedar ima sledeće karakteristike: Tip lica - pravilan trougao; Broj strana na ivici je 3; Ukupan broj lica je 4; Broj ivica susednih vrhu je 3; Ukupan broj vrhova je 4; Ukupan broj ivica je 6; Pravilan tetraedar se sastoji od četiri jednakostranična trougla. Svaki od njegovih vrhova je vrh od tri trougla. Dakle, zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 180°. Tetraedar nema centar simetrije, ali ima 3 ose simetrije i 6 ravni simetrije.

Heksaedar (češće ime - kocka) Stari Grci su poliedru dali ime za broj lica. "Hexo" znači šest, "kedra" - znači lice (Hexahedron - heksaedar). Poliedar pripada regularnom poliedru i jedno je od pet Platonovih tijela. Heksaedar ima sljedeće karakteristike: Broj strana na licu je 4; Ukupan broj lica je 6; Broj ivica susednih vrhu je 3; Ukupan broj vrhova je 8; Ukupan broj ivica je 12; Heksaedar se sastoji od šest kvadrata. Svaki vrh kocke je vrh od tri kvadrata. Dakle, zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 270°. Heksaedar nema centar simetrije, ali ima 3 ose simetrije i 6 ravni simetrije.

Ikosaedar Stari Grci su poliedar nazvali po broju lica. "Ikosi" znači dvadeset, "khedra" - znači lice (Icosahedron - dvadesetostrani). Poliedar pripada pravilnom poliedru i jedno je od pet Platonovih tijela. Ikosaedar ima sledeće karakteristike: Tip lica - pravilan trougao; Broj strana na ivici je 3; Ukupan broj lica je 20; Broj ivica susednih vrhu je 5; Ukupan broj vrhova je 12; Ukupan broj ivica je 30; Pravilan ikosaedar se sastoji od dvadeset jednakostraničnih trouglova. Svaki vrh ikosaedra je vrh od pet trouglova. Dakle, zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 270°. Ikosaedar ima centar simetrije - centar ikosaedra, 15 osi simetrije i 15 ravni simetrije.

Oktaedar Stari Grci su poliedar nazvali po broju lica. “Okto” znači osam, “kedra” znači lice (oktaedar - oktaedar).Poliedar je pravilan poliedar i jedno je od pet Platonovih tijela. Oktaedar ima sledeće karakteristike: Tip lica - pravilan trougao; Broj strana na ivici je 3; Ukupan broj lica je 8; Broj ivica susednih vrhu je 4; Ukupan broj vrhova je 6; Ukupan broj ivica je 12; Pravilan oktaedar se sastoji od osam jednakostraničnih trouglova. Svaki vrh oktaedra je vrh od četiri trougla. Dakle, zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 240°. Oktaedar ima centar simetrije - centar oktaedra, 9 osi simetrije i 9 ravni simetrije.

Dodekaedar Stari Grci su poliedar nazvali prema broju lica. "Dodeka" znači dvanaest, "khedra" znači lice (dodekaedar - dodekaedar). Poliedar pripada pravilnom poliedru i jedno je od pet Platonovih tijela. Dodekaedar ima sljedeće karakteristike: Tip lica je pravilan pentagon; Broj strana na rubu je 5; Ukupan broj lica je 12; Broj ivica susednih vrhu je 3; Ukupan broj vrhova je 20; Ukupan broj ivica je 30; Pravilan dodekaedar se sastoji od dvanaest pravilnih pentagona. Svaki vrh dodekaedra je vrh od tri pravilna pentagona. Dakle, zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 324°. Dodekaedar ima centar simetrije - centar dodekaedra, 15 osi simetrije i 15 ravni simetrije.

Upotreba Platonovih tijela u nauci Johannes Kepler (1571-1630) bio je njemački astronom. Otkrio zakone kretanja planeta. Kepler je 1596. predložio pravilo prema kojem se oko Zemljine sfere opisuje dodekaedar, a u njega se upisuje ikosaedar. Udaljenost između orbita planeta može se dobiti na osnovu platonskih tijela ugniježđenih jedno u drugo. Udaljenosti izračunate ovim modelom su prilično bliske pravim.

V. Makarov i V. Morozov smatraju da jezgro Zemlje ima oblik i svojstva rastućeg kristala koji razvija sve prirodne interakcije i procese koji se odvijaju na planeti. Polje sile ovog rastućeg kristala uzrokuje ikosaedar - dodekaedarska struktura Zemlja (IDSZ). Ovi poliedri su upisani jedan u drugi. Sve prirodne anomalije, kao i centri razvoja civilizacija, odgovaraju vrhovima i ivicama ovih figura.

Primjeri: Neki od regularnih poliedra se prirodno javljaju kao kristalni virusi. Polio virus ima oblik dodekaedra. Može živjeti i razmnožavati se samo u ljudskim ćelijama ili ćelijama primata. Na mikroskopskom nivou, dodekaedar i ikosaedar su relativni parametri DNK na kojima je izgrađen sav život. Možete vidjeti da je molekul DNK rotirajuća kocka.

Primene u kristalografiji Platonova čvrsta tela se široko koriste u kristalografiji, pošto su mnogi kristali pravilni poliedri. Na primjer, kocka je monokristal obične soli (NaCl), oktaedar je monokristal kalijum alum, jedan od oblika dijamantskih kristala je oktaedar.

http:// www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320031.htm http:// www.mnogogranniki.ru/stati/129-svojstva-platonovyh-tel.html stepanov.lk.net http:/ /www.goldenmuseum.com/0213Solids_rus.html

Stakhov A.P.

"Da Vincijev kod", platonska i arhimedova čvrsta tijela, kvazikristali, fulerini, Penroseove rešetke i umjetnički svijet Matyushke Teije Kraszek

anotacija

Rad slovenačke umjetnice Matyushke Teije Krashek malo je poznat čitaocima koji govore ruski. Istovremeno, na Zapadu ga nazivaju "istočnoevropski Escher" i "slovenački dar" svjetskoj kulturnoj zajednici. Njene umetničke kompozicije inspirisane su najnovijim naučnim otkrićima (fulereni, kvazikristali Dan Šehtman, Penrouzove pločice), koji su zasnovani na pravilnim i polupravilnim poligonima (Platonova i Arhimedova tela), zlatnom preseku i Fibonačijevim brojevima.

Šta je Da Vincijev kod?

Sigurno je svaka osoba više puta razmišljala o pitanju zašto je priroda u stanju stvoriti tako nevjerojatne skladne strukture koje oduševljavaju i oduševljavaju oko. Zašto umetnici, pesnici, kompozitori, arhitekti iz veka u vek stvaraju neverovatna umetnička dela. Koja je tajna njihove Harmonije i koji zakoni leže u osnovi ovih harmoničnih stvorenja?

Potraga za ovim zakonima, "Zakonima harmonije univerzuma", započela je u drevnoj nauci. Bilo je to u tom periodu ljudska istorija naučnici dolaze do niza neverovatnih otkrića koja prožimaju čitavu istoriju nauke. Prvi od njih se smatra divnom matematičkom proporcijom koja izražava Harmoniju. Zove se drugačije: "zlatni rez", "zlatni broj", "zlatna sredina", "zlatni rez" i čak "božanske proporcije". Zlatni presek takođe pozvan PHI broj u čast velikog starogrčkog kipara Fidija (Phidija), koji je koristio ovaj broj u svojim skulpturama.

Triler Da Vinčijev kod, koji je napisao popularni engleski pisac Den Braun, postao je bestseler 21. veka. Ali šta znači Da Vinčijev kod? Postoje različiti odgovori na ovo pitanje. Poznato je da je tema bio čuveni "Zlatni rez". veliku pažnju i hobiji Leonarda da Vincija. Štaviše, sam naziv "Zlatni presek" je u evropsku kulturu uveo Leonardo da Vinči. Na inicijativu Leonarda, čuveni italijanski matematičar i učeni monah Luca Pacioli, prijatelj i naučni savetnik Leonarda da Vinčija, objavio je knjigu "Divina Proportione", prvo matematičko delo u svetskoj književnosti o zlatnom rezu, koje je autor nazvao " Božanska proporcija". Poznato je i da je sam Leonardo ilustrovao ovu čuvenu knjigu, nacrtavši za nju 60 divnih crteža. Upravo te činjenice, koje široj naučnoj zajednici nisu dobro poznate, daju za pravo da se iznese hipoteza da Da Vinčijev kod nije ništa drugo do zlatni rez. A potvrdu ove hipoteze može se naći u predavanju za studente na Univerzitetu Harvard, na koje se podseća protagonista knjige „Da Vinčijev kod“ prof. Langdon:

„Uprkos svom gotovo mističnom porijeklu, PHI broj je na svoj način igrao jedinstvenu ulogu. Uloga cigle u temelju izgradnje cijelog života na zemlji. Sve biljke, životinje, pa čak i ljudska bića su obdareni fizičkim proporcijama, otprilike jednaka korijenu od omjera broja PHI prema 1. Ova sveprisutnost PHI u prirodi ... ukazuje na povezanost svih živih bića. Nekada se vjerovalo da je PHI broj unaprijed odredio Stvoritelj svemira. Antički naučnici su jednu tačku šest stotina osamnaest hiljaditih zvali "božanskom proporcijom".

Dakle, poznati iracionalni broj PHI = 1,618, koji je Leonardo da Vinci nazvao Zlatnom sredinom, jeste Da Vinčijev kod!

Još jedno matematičko otkriće antičke nauke je pravilni poliedri, koji su imenovani "Platonska čvrsta tela" i "polupravilni poliedri", imenovan "Arhimedova čvrsta tela". Upravo su ovi neverovatno lepi prostorni geometrijski oblici u osnovi dva najveća naučna otkrića 20. veka - kvazikristali(autor otkrića je izraelski fizičar Dan Shechtman) i fulereni(Nobelova nagrada 1996). Ova dva otkrića najznačajnija su potvrda činjenice da je Zlatna proporcija Univerzalni kod prirode (“Da Vinčijev kod”), koji je u osnovi Univerzuma.

Otkriće kvazikristala i fulerena inspirisalo je mnoge savremene umjetnike da stvore djela koja odražavaju umjetnička forma najvažnija fizička otkrića 20. stoljeća. Jedan od tih umjetnika je slovenački umjetnik Majka Theia Kraszek. Ovaj članak predstavlja umjetnički svijet Matyushke Teije Krashek kroz prizmu najnovijih znanstvenih otkrića.

Platonska čvrsta tela

Osoba pokazuje interesovanje za pravilne mnogouglove i poliedre kroz svoju svesnu aktivnost - od dvogodišnjeg deteta koje se igra drvenim kockama do zrelog matematičara. Neki od tačnih i polu ispravna tela prirodno se javljaju kao kristali, drugi kao virusi koji se mogu vidjeti elektronskim mikroskopom.

Šta je pravilni poliedar? Poliedar se naziva pravilnim ako su mu sve strane jednake (ili podudarne) jedna drugoj, a istovremeno su pravilni poligoni. Koliko pravilnih poliedara ima? Na prvi pogled, odgovor na ovo pitanje je vrlo jednostavan - onoliko koliko je pravilnih poligona. Međutim, nije. U Euklidovim elementima nalazimo rigorozan dokaz da postoji samo pet konveksnih pravilnih poliedara i da samo tri vrste pravilnih mnogouglova mogu biti njihova lica: trouglovi, kvadrata i peterokuti (pravilni peterokuti).

Mnoge knjige su posvećene teoriji poliedara. Jedna od najpoznatijih je knjiga engleskog matematičara M. Wennigera "Modeli poliedara". U ruskom prevodu ovu knjigu je objavila izdavačka kuća Mir 1974. godine. Epigraf knjige je izjava Bertranda Russela: "Matematika posjeduje ne samo istinu, već i visoku ljepotu - ljepotu izbrušenu i strogu, uzvišeno čistu i težnju za istinskim savršenstvom, što je svojstveno samo najvećim primjerima umjetnosti."

Knjiga počinje opisom tzv pravilni poliedri, odnosno poliedri formirani od najjednostavnijih pravilnih poligona istog tipa. Ovi poliedri se nazivaju Platonska tijela(sl. 1) , nazvan po starogrčkom filozofu Platonu, koji je u svom radu koristio pravilne poliedre kosmologija.

Slika 1. Platonska tijela: (a) oktaedar ("Vatra"), (b) heksaedar ili kocka ("Zemlja"),

(c) oktaedar ("Vazduh"), (d) ikosaedar ("Voda"), (e) dodekaedar ("Univerzalni um")

Započećemo naše razmatranje sa pravilni poliedri, čija su lica jednakostranični trouglovi. Prvi od njih je tetraedar(Sl.1-a). U tetraedru, tri jednakostranična trougla se sastaju na jednom vrhu; dok njihove osnove formiraju novi jednakostranični trougao. Tetraedar ima najmanji broj lica među Platonovim telima i trodimenzionalni je analog stana pravougaonog trougla, koji ima najmanji broj strana među pravilnim poligonima.

Sljedeće tijelo, koje čine jednakostranični trouglovi, naziva se oktaedar(Sl.1-b). U oktaedru, četiri trougla se sastaju na jednom vrhu; rezultat je piramida sa četvorougaonom bazom. Ako spojite dvije takve piramide s bazama, dobićete simetrično tijelo sa osam trokutastih lica - oktaedar.

Sada možete pokušati spojiti pet jednakostraničnih trouglova u jednoj tački. Rezultat je figura sa 20 trokutastih lica - ikosaedar(Sl.1-d).

Sljedeći ispravan oblik poligon - kvadrat. Ako spojimo tri kvadrata u jednoj tački, a zatim dodamo još tri, dobićemo savršeni šestostrani oblik koji se zove heksaedar ili kocka(Sl. 1-c).

Konačno, postoji još jedna mogućnost konstruisanja pravilnog poliedra na osnovu korišćenja sledećeg pravilnog poligona − Pentagon. Ako sakupimo 12 peterokuta na način da se tri peterokuta sastaju u svakoj tački, dobićemo još jedno platonsko telo, tzv. dodecahedron(Sl.1-e).

Sljedeći pravilni poligon je hexagon. Međutim, ako spojimo tri šesterokuta u jednoj tački, onda ćemo dobiti površinu, odnosno nemoguće je graditi od šesterokuta volumetrijska figura. Bilo koji drugi pravilni poligoni iznad šesterokuta uopće ne mogu formirati čvrsta tijela. Iz ovih razmatranja proizilazi da postoji samo pet pravilnih poliedara čija lica mogu biti samo jednakostranični trouglovi, kvadrati i peterokuti.

Ima neverovatnih geometrijske veze između svih pravilni poliedri. Na primjer, kocka(Sl.1-b) i oktaedar(Sl.1-c) su dvojne, tj. se dobijaju jedno od drugog ako se kao vrhovi drugog uzmu težišta lica jedne i obrnuto. Slično dual ikosaedar(Sl.1-d) i dodecahedron(Sl.1-d) . Tetrahedron(Sl.1-a) je dualno samoj sebi. Dodekaedar se dobija iz kocke konstruisanjem "krovova" na njenim plohama (Euklidov metod), vrhovi tetraedra su bilo koja četiri vrha kocke koja nisu parno susedna duž ivice, odnosno svi drugi pravilni poliedri mogu biti dobijene iz kocke. Sama činjenica postojanja samo pet zaista pravilnih poliedara je iznenađujuća jer na ravni ima beskonačno mnogo pravilnih mnogouglova!

Numeričke karakteristike Platonovih tijela

Glavne numeričke karakteristike Platonska tijela je broj strana lica m, broj lica koja konvergiraju na svakom vrhu, m, broj lica G, broj vrhova AT, broj rebara R i broj ravnih uglova At na površini poliedra, Euler je otkrio i dokazao poznatu formulu

B P + G = 2,

povezujući broj vrhova, ivica i lica bilo kojeg konveksnog poliedra. Gore navedene numeričke karakteristike su date u tabeli. jedan.

Tabela 1

Numeričke karakteristike Platonovih tijela

Poliedar	Broj strana lica, m	Broj lica koja konvergiraju na vrhu, n	Broj lica	Broj vrhova	Broj rebara	Broj ravnih uglova na površini
Tetrahedron
heksaedar (kocka)
ikosaedar
Dodecahedron

Zlatni presek u dodekaedru i ikosaedru

Dodekaedar i njegov dvojni ikosaedar (sl. 1-d, e) zauzimaju posebno mjesto među Platonska tijela. Prije svega, mora se naglasiti da je geometrija dodecahedron i ikosaedar direktno povezana sa zlatnim rezom. Zaista, ivice dodecahedron(Sl.1-d) su pentagons, tj. pravilni pentagoni zasnovani na zlatnom preseku. Ako pažljivo pogledate ikosaedar(Sl. 1-d), tada možete vidjeti da se pet trouglova konvergira na svakom od njegovih vrhova, čije vanjske strane čine pentagon. Već ove činjenice su dovoljne da se uvjerimo da zlatni omjer igra suštinsku ulogu u dizajnu ova dva Platonska tijela.

Ali postoje dublji matematički dokazi za fundamentalnu ulogu koju igra zlatni rez ikosaedar i dodecahedron. Poznato je da ova tijela imaju tri specifične sfere. Prva (unutrašnja) sfera je upisana u tijelo i dodiruje njegova lica. Označimo poluprečnik ove unutrašnje sfere kao R i. Druga ili srednja sfera dodiruje njene ivice. Označimo poluprečnik ove sfere sa R m . Konačno, treća (spoljna) sfera je opisana oko tela i prolazi kroz njegove vrhove. Označimo njegov radijus sa Rc. U geometriji je dokazano da su vrijednosti polumjera navedenih sfera za dodecahedron i ikosaedar, koji ima ivicu jedinične dužine, izražava se u terminima zlatnog preseka t (tabela 2).

tabela 2

Zlatni rez u sferama dodekaedra i ikosaedra

ikosaedar
Dodecahedron

Imajte na umu da je omjer radijusa = isti kao za ikosaedar, i za dodecahedron. Dakle, ako dodecahedron i ikosaedar imaju iste upisane sfere, onda su i njihove opisane sfere jednake jedna drugoj. Dokaz za to matematički rezultat predano Počeci Euclid.

U geometriji su poznati i drugi odnosi dodecahedron i ikosaedar potvrđujući njihovu povezanost sa zlatnim rezom. Na primjer, ako uzmemo ikosaedar i dodecahedron sa dužinom ivice jednakom jedan, i izračunaju njihovu spoljašnju površinu i zapreminu, zatim se iskazuju kroz zlatni presek (tabela 3).

Tabela 3

Zlatni presek u vanjskom području i zapremini dodekaedra i ikosaedra

	ikosaedar	Dodecahedron
vanjsko područje

Dakle, postoji ogroman broj relacija do kojih su došli drevni matematičari, što potvrđuje izuzetnu činjenicu da je zlatni rez je glavni omjer dodekaedra i ikosaedra, a ova činjenica je posebno zanimljiva sa stanovišta tzv "dodekaedarsko-ikosaedarska doktrina", koje ćemo razmotriti u nastavku.

Platonova kosmologija

Pravilni poliedri razmatrani gore se nazivaju Platonska tijela, budući da su zauzimali važno mjesto u Platonovom filozofskom konceptu strukture svemira.

Platon (427-347 pne)

Četiri poliedra personificirala su u njemu četiri esencije ili "elementa". Tetrahedron simbolizirano Vatra, budući da mu je vrh usmjeren prema gore; ikosaedar — vode, budući da je to "najpotegnutiji" poliedar; Kocka — zemlja, kao najstabilniji poliedar; Oktaedar — Zrak, kao naj"prozračniji" poliedar. peti poliedar, Dodecahedron, oličava "sve što postoji", "univerzalni um", simbolizuje ceo univerzum i smatra se glavna geometrijska figura svemira.

Stari Grci su skladne odnose smatrali osnovom svemira, pa su četiri elementa bila povezana takvim omjerom: zemlja / voda = zrak / vatra. Atome "elemenata" Platon je uštimao u savršene konsonancije, poput četiri žice lire. Podsjetimo da je konsonancija ugodna konsonancija. U vezi sa ovim tijelima, valjalo bi reći da je takav sistem elemenata, koji uključuje četiri elementa - zemlju, vodu, zrak i vatru - kanonizirao Aristotel. Ovi elementi su ostali četiri kamena temeljca univerzuma tokom mnogih vekova. Sasvim ih je moguće poistovjetiti sa četiri nama poznata stanja materije - čvrstom, tekućem, plinovitom i plazmom.

Tako su stari Grci ideju „kroz“ harmonije bića povezivali s njenim utjelovljenjem u platonskim telima. Uticao je i uticaj poznatog grčkog mislioca Platona Počeci Euclid. U ovoj knjizi, koja je vekovima bila jedini udžbenik geometrije, dat je opis "idealnih" linija i "idealnih" figura. "Najidealnija" linija - ravno, i "najidealniji" poligon - pravilan poligon, vlasništvo jednake strane i jednakih uglova. Može se uzeti u obzir najjednostavniji pravilan poligon jednakostranični trokut, budući da ima najmanji broj strana koje mogu omeđiti dio ravnine. Zanimljivo je to Počeci Euklid počinje opisom konstrukcije pravougaonog trougla i završi sa pet Platonska tijela. primeti, to Platonska tijela posvećena finalnoj, odnosno 13. knjizi Poceo Euclid. Inače, ova činjenica, odnosno smještanje teorije pravilnih poliedara u završnu (to jest, takoreći najvažniju) knjigu Poceo Euklid, dao je povoda starogrčkom matematičaru Proklu, koji je bio komentator Euklida, da iznese zanimljivu hipotezu o pravim ciljevima koje je Euklid težio, stvarajući Počeci. Prema Proklu, Euklid je stvorio Počeci ne u svrhu predstavljanja geometrije kao takve, već da bi dao potpunu sistematizovanu teoriju konstrukcije "idealnih" figura, posebno pet Platonska tijela, usput ističući neka od najnovijih dostignuća u matematici!

Nije slučajno što jedan od autora otkrića fulerena, nobelovac Harold Kroto, u svom Nobelovom predavanju započinje svoju priču o simetriji kao „osnovi naše percepcije fizičkog svijeta” i njenoj „ulozi u pokušajima da se objasni to sveobuhvatno” upravo sa Platonska tijela i "elementi svih stvari": “Koncept strukturne simetrije seže u antičko doba...” Most značajni primjeri može se, naravno, naći u Timejovom dijalogu kod Platona, gde u 53. odeljku, govoreći o „Elementima“, on piše: „Prvo, svima je jasno (!), Naravno, da su vatra i zemlja, voda i vazduh su tela, i svako telo je čvrsto ”(!!) Platon raspravlja o problemima hemije na jeziku ova četiri elementa i povezuje ih sa četiri platonova tela (u to vreme samo četiri, dok Hiparh nije otkrio peti - dodekaedar). Iako na prvi pogled takva filozofija može izgledati pomalo naivno, ona ukazuje na duboko razumijevanje kako priroda zapravo funkcionira.

Arhimedova čvrsta tela

Polupravilni poliedri

Poznata su mnoga savršenija tijela, tzv polupravilni poliedri ili Arhimedova tela. Oni također imaju sve poliedarske uglove jednake i sva lica su pravilni poligoni, ali nekoliko različite vrste. Postoji 13 polupravilnih poliedara čije se otkriće pripisuje Arhimedu.

Arhimed (287 pne - 212 pne)

Mnogo Arhimedova čvrsta tela mogu se podijeliti u nekoliko grupa. Prvi od njih se sastoji od pet poliedara, koji se dobijaju iz Platonska tijela kao rezultat njihovog skraćivanje. Krnje tijelo je tijelo sa odsječenim vrhom. Za Platonska tijela skraćivanje se može izvršiti na način da i rezultirajuća nova lica i preostali dijelovi starih budu pravilni poligoni. Na primjer, tetraedar(Sl. 1-a) može se odrezati tako da se njegove četiri trokutaste strane pretvore u četiri šestougaone, a na njih se dodaju četiri pravilne trokutaste. Na ovaj način, pet Arhimedova čvrsta tela: skraćeni tetraedar, skraćeni heksaedar (kocka), skraćeni oktaedar, skraćeni dodekaedar i skraćeni ikosaedar(Sl. 2).

(a)	(b)	(u)

(G)	(e)

Slika 2. Arhimedova tijela: (a) skraćeni tetraedar, (b) skraćena kocka, (c) skraćeni oktaedar, (d) skraćeni dodekaedar, (e) skraćeni ikosaedar

U svom Nobelovom predavanju, američki naučnik Smalley, jedan od autora eksperimentalnog otkrića fulerena, govori o Arhimedu (287-212 pne) kao o prvom istraživaču skraćenih poliedara, posebno, skraćeni ikosaedar, međutim, uz naznaku da možda Arhimed prisvaja ovu zaslugu i da su možda ikosaedri bili skraćeni mnogo prije njega. Dovoljno je spomenuti one pronađene u Škotskoj i datirane oko 2000. godine prije Krista. stotine kamenih predmeta (očigledno za ritualne svrhe) u obliku sfera i raznih poliedri(tijela omeđena sa svih strana ravnim lica), uključujući ikosaedre i dodekaedre. Izvorno Arhimedovo djelo, nažalost, nije sačuvano, a njegovi rezultati su dospjeli do nas, kako se kaže, "iz druge ruke". Tokom renesanse sve Arhimedova čvrsta tela jedan za drugim su iznova „otkriveni“. Na kraju, Kepler je 1619. godine u svojoj knjizi „Svetska harmonija“ („Harmonice Mundi“) dao iscrpan opis čitavog skupa arhimedovih čvrstih tela – poliedara, čije je svako lice pravilan poligon, i sve vrhovi nalaze se u ekvivalentnom položaju (kao atomi ugljika u molekulu C 60). Arhimedova čvrsta tijela se sastoje od najmanje dva različita tipa poligona, za razliku od 5 Platonska tijela, čija su sva lica ista (kao u molekulu C 20, na primjer).

Slika 3. Konstrukcija arhimedovog skraćenog ikosaedra
iz Platonovog ikosaedra

Pa kako konstruisati Arhimedov skraćeni ikosaedar od Platonski ikosaedar? Odgovor je ilustrovan uz pomoć Sl. 3. Zaista, kao što se može vidjeti iz tabele. 1,5 lica konvergiraju na bilo kojem od 12 vrhova ikosaedra. Ako se u svakom vrhu 12 dijelova ikosaedra odsječe (odsječe) ravninom, tada se formira 12 novih peterokutnih lica. Zajedno sa već postojećih 20 lica, koja su se nakon takvog rezanja iz trokutastog pretvorila u šesterokutnu, činiće 32 lica skraćenog ikosaedra. U ovom slučaju će biti 90 ivica i 60 vrhova.

drugu grupu Arhimedova čvrsta telačine dva tijela tzv kvazi-tačno poliedri. "Kvazi" čestica naglašava da su lica ovih poliedara pravilni poligoni samo dva tipa, pri čemu je svako lice jednog tipa okruženo poligonima drugog tipa. Ova dva tijela se zovu rombikuboktaedar i ikosidodekaedar(Sl. 4).

Slika 5. Arhimedova tijela: (a) rombikuboktaedar, (b) rombikozidodekaedar

Konačno, postoje dvije takozvane "snub" modifikacije - jedna za kocku ( snub cube), drugi je za dodekaedar ( snub dodecahedron) (Sl. 6).

(a)	(b)

Slika 6 Arhimedova čvrsta tela: (a) prsnuta kocka, (b) prtljasti dodekaedar

U pomenutoj knjizi Wennigera "Modeli poliedara" (1974) čitalac može pronaći 75 različitih modela pravilnih poliedara. "Teorija poliedara, posebno konveksnih poliedara, jedno je od najfascinantnijih poglavlja geometrije" Ovo je mišljenje ruskog matematičara L.A. Lyusternak, koji je učinio mnogo u ovoj oblasti matematike. Razvoj ove teorije povezan je sa imenima istaknutih naučnika. Veliki doprinos razvoju teorije poliedra dao je Johanes Kepler (1571-1630). Svojevremeno je napisao skicu "O pahuljici", u kojoj je dao sljedeću primjedbu: “Među pravilnim tijelima, prvo, početak i rodonačelnik ostalih je kocka, a njen pratilac, ako mogu tako reći, je oktaedar, jer oktaedar ima onoliko uglova koliko kocka ima lica.” Kepler je prvi objavio puna lista trinaest Arhimedova čvrsta tela i dao im imena po kojima su poznati do danas.

Kepler je prvi proučavao tzv zvjezdani poliedri, koji su, za razliku od Platonovog i Arhimedovog tijela, pravilni konveksni poliedri. Početkom prošlog stoljeća francuski matematičar i mehaničar L. Poinsot (1777-1859), čiji se geometrijski radovi odnose na poliedre u obliku zvijezde, razvio je Keplerov rad i otkrio postojanje još dva tipa pravilnih nekonveksnih poliedri. Dakle, zahvaljujući radu Keplera i Poinsota, postala su poznata četiri tipa takvih figura (slika 7). Godine 1812. O. Cauchy je dokazao da ne postoje drugi pravilni poliedari u obliku zvijezde.

Slika 7 Pravilni zvjezdani poliedri (Poinsot čvrsta tijela)

Mnogi čitaoci mogu imati pitanje: „Zašto uopće proučavati pravilne poliedre? Kakva je korist od njih?" Na ovo pitanje se može odgovoriti: „A čemu služi muzika ili poezija? Je li sve lijepo korisno? Modeli poliedara prikazani na sl. 1-7, prije svega, ostavljaju estetski dojam na nas i mogu se koristiti kao ukrasni ukrasi. Ali u stvari, široka manifestacija pravilnih poliedara u prirodnim strukturama izazvala je veliko interesovanje za ovu granu geometrije u moderna nauka.

Misterija egipatskog kalendara

Šta je kalendar?

Ruska poslovica kaže: „Vreme je oko istorije“. Sve što postoji u Univerzumu: Sunce, Zemlja, zvijezde, planete, poznati i nepoznati svjetovi, i sve što postoji u prirodi, živo i neživo, sve ima prostorno-vremensku dimenziju. Vrijeme se mjeri posmatranjem procesa koji se periodično ponavljaju određenog trajanja.

Još u davna vremena ljudi su primijetili da dan uvijek ustupa mjesto noći, a godišnja doba prolaze u strogom nizu: proljeće dolazi za zimom, ljeto za proljećem, jesen za ljetom. U potrazi za tragom za ove pojave, čovjek je skrenuo pažnju na nebeska tijela - Sunce, Mjesec, zvijezde - i na rigoroznu periodičnost njihovog kretanja po nebu. Bila su to prva zapažanja koja su prethodila rođenju jedne od najstarijih nauka - astronomije.

Astronomija je bazirala mjerenje vremena na kretanju. nebeska tela, koji odražava tri faktora: rotaciju Zemlje oko svoje ose, rotaciju Mjeseca oko Zemlje i kretanje Zemlje oko Sunca. Na kojoj se od ovih pojava zasniva mjerenje vremena, zavise i različiti koncepti vremena. Astronomija zna zvjezdani vrijeme, sunčano vrijeme, lokalni vrijeme, struk vrijeme, porodiljsko odsustvo vrijeme, atomski vrijeme itd.

Sunce, kao i sva druga svetila, učestvuje u kretanju po nebu. Osim dnevno kretanje, Sunce ima takozvano godišnje kretanje, a čitava putanja godišnjeg kretanja Sunca po nebu naziva se ekliptika. Ako, na primjer, primijetite lokaciju sazviježđa na nekom posebnom mjestu večernji sat, a zatim ponavljajte ovo zapažanje svakog mjeseca, tada ćemo vidjeti drugačiju sliku neba. Pogled na zvjezdano nebo se neprestano mijenja: svako godišnje doba ima svoju sliku večernjih sazviježđa, a svaka takva slika se ponavlja svake godine. Posljedično, nakon isteka godine, Sunce se u odnosu na zvijezde vraća na svoje prvobitno mjesto.

Radi pogodnosti orijentacije u zvjezdanom svijetu, astronomi su podijelili cijelo nebo u 88 sazviježđa. Svaki od njih ima svoje ime. Od 88 sazvežđa, posebno mesto u astronomiji zauzimaju ona kroz koja prolazi ekliptika. Ova sazvežđa, pored sopstvenih imena, imaju i generalizovano ime - zodijak(od grčke riječi “zoop” životinja), kao i simboli (znakovi) nadaleko poznati u cijelom svijetu i razne alegorijske slike uključene u kalendarske sisteme.

Poznato je da u procesu kretanja duž ekliptike, Sunce prelazi 13 sazviježđa. Međutim, astronomi su smatrali da je potrebno da putanju Sunca podijele ne na 13, već na 12 dijelova, kombinirajući sazviježđa Škorpion i Zmijovnik u jednu pod uobičajeno imeŠkorpija (zašto?)

Problemima mjerenja vremena bavi se posebna nauka tzv hronologija. On je u osnovi svih kalendarskih sistema koje je stvorilo čovječanstvo. Stvaranje kalendara u antici bilo je jedno od kritične zadatke astronomija.

Šta je "kalendar" i šta su kalendarski sistemi? Riječ kalendar izvedeno iz latinska reč calendarium, što doslovno znači "knjiga dugova"; u takvim knjigama bili su naznačeni prvi dani svakog meseca - kalende, u kojoj su u starom Rimu dužnici plaćali kamate.

Od davnina u zemljama istočne i Jugoistočna Azija pri sastavljanju kalendara veliki značaj pridavan je periodičnosti kretanja Sunca, Meseca, kao i Jupiter i Saturn, dvije džinovske planete Sunčevog sistema. Postoji razlog za vjerovanje da je ideja stvaranja jupiterijski kalendar sa nebeskom simbolikom 12-godišnjeg životinjskog ciklusa povezanog s rotacijom Jupiter oko Sunca, koji napravi potpunu revoluciju oko Sunca za oko 12 godina (11.862 godine). S druge strane, druga džinovska planeta Sunčevog sistema - Saturn napravi potpunu revoluciju oko Sunca za oko 30 godina (29.458 godina). Želeći da usklade cikluse kretanja džinovskih planeta, stari Kinezi su došli na ideju da uvedu 60-godišnji ciklus Sunčevog sistema. Tokom ovog ciklusa Saturn pravi 2 puni okreti oko sunca i Jupitera 5 revolucija.

Prilikom izrade godišnjih kalendara koriste se astronomske pojave: promjena dana i noći, promjena mjesečevih faza i promjena godišnjih doba. Upotreba raznih astronomskih fenomena dovela je do stvaranja tri vrste kalendara među različitim narodima: lunarni, zasnovano na kretanju mjeseca, solarno, zasnovano na kretanju sunca, i lunisolar.

Struktura egipatskog kalendara

Jedan od prvih solarni kalendari bio Egipatski, nastao u 4. milenijumu pne. Prvobitna egipatska kalendarska godina sastojala se od 360 dana. Godina je bila podijeljena na 12 mjeseci od po tačno 30 dana. Međutim, kasnije se pokazalo da takvo trajanje kalendarske godine ne odgovara astronomskoj. A onda su Egipćani dodali još 5 dana kalendarskoj godini, koji, međutim, nisu bili dani mjeseci. To je bilo 5 praznika koji povezuju susjedne kalendarske godine. Dakle, egipatska kalendarska godina imala je sledeću strukturu: 365 = 12´ 30 + 5. Imajte na umu da je egipatski kalendar prototip modernog kalendara.

Postavlja se pitanje: zašto su Egipćani podijelili kalendarsku godinu na 12 mjeseci? Uostalom, postojali su kalendari sa različitim brojem mjeseci u godini. Na primjer, u kalendaru Maja, godina se sastojala od 18 mjeseci po 20 dana u mjesecu. Sljedeće pitanje u vezi sa egipatskim kalendarom: zašto je svaki mjesec imao tačno 30 dana (tačnije, dana)? Mogu se postaviti neka pitanja o egipatskom sistemu mjerenja vremena, posebno o izboru takvih jedinica vremena kao što su sat, minut, sekunda. Posebno se postavlja pitanje: zašto je jedinica sata izabrana tako da stane tačno 24 puta dnevno, odnosno zašto je 1 dan = 24 (2´12) sata? Dalje: zašto 1 sat = 60 minuta i 1 minut = 60 sekundi? Ista pitanja važe i za izbor jedinica ugaonih veličina, posebno: zašto je krug podeljen na 360°, odnosno zašto je 2p = 360° = 12´ 30°? Ovim pitanjima se dodaju i druga, posebno: zašto su astronomi smatrali da je svrsishodno smatrati da postoji 12 zodijak znakova, iako u stvari, u procesu svog kretanja duž ekliptike, Sunce prelazi 13 sazviježđa? I još jedno "čudno" pitanje: zašto je vavilonski brojevni sistem imao vrlo neobičnu osnovu - broj 60?

Odnos egipatskog kalendara sa numeričkim karakteristikama dodekaedra

Analizirajući egipatski kalendar, kao i egipatske sisteme za mjerenje vremena i ugaonih vrijednosti, otkrivamo da se četiri broja ponavljaju sa neverovatnom konstantnošću: 12, 30, 60 i iz njih izveden broj 360 = 12´30. Postavlja se pitanje: Postoji li onda neka fundamentalna naučna ideja koja bi mogla dati jednostavno i logično objašnjenje za upotrebu ovih brojeva u egipatskim sistemima?

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, ponovo ćemo se osvrnuti na dodecahedron prikazano na sl. 1-d. Podsjetimo da su svi geometrijski omjeri dodekaedra zasnovani na zlatnom omjeru.

Da li su Egipćani poznavali dodekaedar? Istoričari matematike priznaju da su stari Egipćani poznavali pravilne poliedre. Ali da li su posebno poznavali svih pet pravilnih poliedara dodecahedron i ikosaedar kako one najteže? Drevni grčki matematičar Proklo pripisuje konstrukciju pravilnih poliedara Pitagori. Ali mnoge matematičke teoreme i rezultati (posebno, Pitagorina teorema) Pitagora je pozajmio od starih Egipćana tokom svog veoma dugog "poslovnog putovanja" u Egipat (prema nekim izveštajima, Pitagora je živeo u Egiptu 22 godine!). Stoga možemo pretpostaviti da je Pitagora također posudio znanje o pravilnim poliedrima od starih Egipćana (a možda i od starih Babilonaca, jer je prema legendi Pitagora živio u drevni Babilon 12 godina). Ali postoje i drugi, čvršći dokazi da su Egipćani imali informacije o svih pet pravilnih poliedara. Konkretno, u Britanskom muzeju postoji kocka iz ptolemejskog doba, koja ima oblik ikosaedar, odnosno "Platonsko čvrsto", dual dodecahedron. Sve ove činjenice nam daju za pravo da postavimo hipotezu da Egipćani su poznavali dodekaedar. A ako je to tako, onda iz ove hipoteze proizlazi vrlo harmoničan sistem koji omogućava objašnjenje nastanka egipatskog kalendara, a ujedno i porijekla egipatskog sistema za mjerenje vremenskih intervala i geometrijskih uglova.

Ranije smo ustanovili da dodekaedar na svojoj površini ima 12 lica, 30 ivica i 60 ravnih uglova (tabela 1). Na osnovu hipoteze koju su Egipćani znali dodecahedron a njegove numeričke karakteristike su 12, 30. 60, kakvo je onda bilo njihovo iznenađenje kada su otkrili da se ciklusi Sunčevog sistema izražavaju istim brojevima, odnosno 12-godišnji ciklus Jupitera, 30-godišnji ciklus Saturna i, konačno, 60-ljetni ciklus Sunčevog sistema. Dakle, između tako savršene prostorne figure kao što je dodecahedron, i Sunčevog sistema, postoji duboka matematička veza! Ovaj zaključak su izveli drevni naučnici. To je dovelo do činjenice da dodecahedron je usvojena kao "glavna figura", koja je simbolizirala Harmonija Univerzuma. Tada su Egipćani odlučili da svi njihovi glavni sistemi (kalendarski sistem, sistem mjerenja vremena, sistem mjerenja ugla) trebaju odgovarati numeričkim parametrima. dodecahedron! Budući da je, prema starim ljudima, kretanje Sunca po ekliptici bilo strogo kružno, odabirom 12 znakova Zodijaka, među kojima je razmak luka bilo tačno 30°, Egipćani su iznenađujuće lijepo uskladili godišnje kretanje Sunca duž ekliptika sa strukturom njihove kalendarske godine: jedan mjesec je odgovarao kretanju Sunca duž ekliptike između dva susjedna znaka Zodijaka!Štaviše, kretanje Sunca za jedan stepen odgovaralo je jednom danu u egipatskoj kalendarskoj godini! U ovom slučaju, ekliptika je automatski podijeljena na 360°. Deleći svaki dan na dva dela, prateći dodekaedar, Egipćani su zatim podelili svaku polovinu dana na 12 delova (12 lica dodecahedron) i tako uveden sat je najvažnija jedinica vremena. Podijelite jedan sat na 60 minuta (60 ravnih uglova na površini dodecahedron), Egipćani su na ovaj način uveli minuta je sljedeća važna jedinica vremena. Slično su ušli daj mi sekund- najmanja jedinica vremena za taj period.

Dakle, birajući dodecahedron kao glavne "harmonične" figure univerzuma, a striktno prateći numeričke karakteristike dodekaedra 12, 30, 60, Egipćani su uspeli da naprave izuzetno harmoničan kalendar, kao i sisteme za merenje vremena i ugaonih vrednosti. Ovi sistemi su se u potpunosti slagali sa njihovom "teorijom harmonije", zasnovanom na zlatnom rezu, jer je upravo ta proporcija u osnovi dodecahedron.

Ovi iznenađujući zaključci slijede iz poređenja dodecahedron sa solarnim sistemom. A ako je naša hipoteza tačna (neka je neko pokuša opovrgnuti), onda slijedi da je čovječanstvo već milenijumima živjelo pod znakom zlatnog preseka! I svaki put kada pogledamo svoj sat, koji je također izgrađen na korištenju numeričke karakteristike dodecahedron 12, 30 i 60, dodirujemo glavnu "Misteriju univerzuma" zlatni presek, a da to ne znamo!

Kvazikristali Dana Shechtmana

Dana 12. novembra 1984. godine, u malom članku objavljenom u autoritativnom časopisu Physical Review Letters od strane izraelskog fizičara Dana Shechtmana, predstavljeni su eksperimentalni dokazi o postojanju metalne legure sa izuzetnim svojstvima. Kada se proučava metodom difrakcije elektrona, ova legura je pokazala sve znakove kristala. Njegov difrakcijski uzorak se sastoji od svijetlih i pravilno raspoređenih tačaka, baš kao kristal. Međutim, ovu sliku karakteriše prisustvo "ikosaedarske" ili "pentangonalne" simetrije, što je strogo zabranjeno u kristalu zbog geometrijskih razloga. Takve neobične legure nazvane su kvazikristali. Za manje od godinu dana otkrivene su mnoge druge legure ovaj tip. Bilo ih je toliko mnogo da se pokazalo da je kvazikristalno stanje mnogo češće nego što se može zamisliti.

Izraelski fizičar Dan Shechtman

Koncept kvazikristala je od fundamentalnog interesa jer generalizira i upotpunjuje definiciju kristala. Teorija zasnovana na ovom konceptu zamjenjuje prastaru ideju "strukturne jedinice koja se ponavlja u prostoru na strogo periodičan način" ključnim konceptom daleko poredak. Kako je istaknuto u članku "Kvazikristali" poznatog fizičara D. Gratia, “Ovaj koncept je doveo do ekspanzije kristalografije, ponovno otkrivena bogatstva koje tek počinjemo istraživati. Njegov značaj u svijetu minerala može se staviti u ravan sa dodatkom koncepta iracionalni brojevi do racionalnog u matematici.

Šta je kvazikristal? Koja su njegova svojstva i kako se može opisati? Kao što je gore navedeno, prema osnovni zakon kristalografije na kristalnu strukturu nameću se stroga ograničenja. Prema klasičnim idejama, kristal je sastavljen beskonačno od jedne ćelije, koja treba gusto (licem u lice) „pokriti“ cijelu ravan bez ikakvih ograničenja.

Kao što je poznato, gusto punjenje aviona može se izvesti pomoću trouglovi(Sl.7-a), kvadrata(Sl.7-b) i hexagons(Slika 7-d). Korišćenjem pentagons (pentagons) takvo punjenje je nemoguće (slika 7-c).

a)	b)	u)	G)

Slika 7 Gusto punjenje ravni može se obaviti pomoću trokuta (a), kvadrata (b) i šesterokuta (d)

To su bili kanoni tradicionalne kristalografije koji su postojali prije otkrića neobične legure aluminija i mangana, nazvane kvazikristal. Takva legura nastaje ultrabrzim hlađenjem taline brzinom od 10 6 K u sekundi. Istovremeno, tokom difrakcijske studije takve legure, na ekranu se prikazuje uređeni uzorak, koji je karakterističan za simetriju ikosaedra, koji ima poznate zabranjene ose simetrije 5. reda.

Nekoliko naučnih grupa širom svijeta u narednih nekoliko godina proučavalo je ovu neobičnu leguru elektronska mikroskopija visoka rezolucija. Svi su oni potvrdili idealnu homogenost materije, u kojoj je očuvana simetrija 5. reda u makroskopskim područjima s dimenzijama bliskim atomskim (nekoliko desetina nanometara).

Prema moderni pogledi razvijen je sledeći model za dobijanje kristalne strukture kvazikristala. Ovaj model se zasniva na konceptu "osnovnog elementa". Prema ovom modelu, unutrašnji ikosaedar atoma aluminija okružen je vanjskim ikosaedrom atoma mangana. Ikosaedri su povezani oktaedrima atoma mangana. "Bazni element" ima 42 atoma aluminijuma i 12 atoma mangana. U procesu očvršćavanja dolazi do brzog formiranja "osnovnih elemenata", koji se međusobno brzo povezuju krutim oktaedarskim "mostovima". Podsjetimo da su lica ikosaedra jednakostranični trouglovi. Da bi se formirao oktaedarski most od mangana, potrebno je da se dva takva trougla (po jedan u svakoj ćeliji) približe dovoljno blizu jedan drugom i poredaju se paralelno. Kao rezultat takvog fizičkog procesa, formira se kvazikristalna struktura sa "ikosaedarskom" simetrijom.

Poslednjih decenija otkrivene su mnoge vrste kvazikristalnih legura. Pored "ikosaedarske" simetrije (5. red), postoje i legure sa dekagonalnom simetrijom (10. red) i dodekagonalnom simetrijom (12. red). Fizička svojstva kvazikristala počela su se istraživati ​​tek nedavno.

Šta je praktična vrijednost otkriće kvazikristala? Kao što je navedeno u Gratijinom članku koji je gore citiran, „mehanička čvrstoća kvazikristalnih legura dramatično se povećava; odsustvo periodičnosti dovodi do usporavanja širenja dislokacija u odnosu na obične metale... Ovo svojstvo ima veliku primijenjena vrijednost: upotreba ikosaedarske faze će omogućiti dobijanje lakih i vrlo jakih legura unošenjem malih čestica kvazikristala u aluminijumsku matricu.

Šta se sastoji metodološki značaj otkriće kvazikristala? Prije svega, otkriće kvazikristala je trenutak velikog trijumfa „dodekaedarsko-ikosaedarske doktrine“, koja prožima čitavu povijest prirodne nauke i izvor je dubokih i korisnih naučnih ideja. Drugo, kvazikristali su uništili tradicionalni pojam nepremostive podjele između svijeta minerala, u kojem je bila zabranjena "pentagonalna" simetrija, i svijeta divljih životinja, gdje je "pentagonalna" simetrija jedna od najčešćih. I ne treba zaboraviti da je glavni udio ikosaedra "zlatni rez". A otkriće kvazikristala je još jedna naučna potvrda da je, možda, „zlatna proporcija“, koja se manifestuje i u svetu divljih životinja i u svetu minerala, glavna proporcija Univerzuma.

Penrose pločice

Kada je Dan Shechtman dao eksperimentalni dokaz postojanja kvazikristala sa ikosaedarska simetrija, fizičari u potrazi teorijsko objašnjenje fenomen kvazikristala, skrenuo je pažnju na matematičko otkriće napravljeno 10 godina ranije engleski matematičar Roger Penrose. Kao "ravni analog" kvazikristala, odabrali smo penrose pločice, koje su aperiodične pravilne strukture formirane od "debelih" i "tankih" rombova, poštujući proporcije "zlatnog preseka". Upravo penrose pločice su usvojili kristalografi da objasne ovaj fenomen kvazikristali. Istovremeno, uloga Penrose dijamanti u prostoru tri dimenzije počeo da se igra ikosaedra, uz pomoć kojih se vrši gusto popunjavanje trodimenzionalnog prostora.

Razmotrite ponovo pažljivo pentagon na sl. osam.

Slika 8 Pentagon

Nakon crtanja dijagonala u njemu, originalni pentagon se može predstaviti kao skup od tri tipa geometrijski oblici. U sredini je novi petougao formiran od presjeka dijagonala. Osim toga, pentagon na sl. 8 uključuje pet žutih jednakokračnih trouglova i pet crvenih jednakokračnih trouglova. Žuti trouglovi su "zlatni" jer je omjer kuka i baze jednak zlatnom omjeru; imaju oštre uglove od 36° na vrhu i oštre uglove od 72° na bazi. Crveni trouglovi su također "zlatni", jer je omjer kuka i baze jednak zlatnom omjeru; oni imaju tupi ugao pod 108° na vrhu i oštrim uglovima od 36° na bazi.

A sada spojimo dva žuta trougla i dva crvena trougla sa njihovim osnovama. Kao rezultat, dobijamo dva "zlatnog" romba. Prvi (žuti) ima oštar ugao od 36° i tupi ugao od 144° (slika 9).

(a)	(b)

Slika 9." Zlatni" rombovi: a) "tanki" romb; (b) "debeli" romb

Romb na sl. 9-a zvaćemo tanak romb, i romb na sl. 9-b - debeli romb.

Engleski matematičar i fizičar Rogers Penrose koristio je "zlatne" rombove na Sl. 9 za izradu "zlatnog" parketa koji je dobio ime Penrose pločice. Penrose pločice su kombinacija debelih i tankih dijamanata, prikazanih na Sl. deset.

Slika 10. Penrose pločice

Važno je to naglasiti penrose pločice imaju "pentagonalnu" simetriju ili simetriju 5. reda, a odnos broja debelih rombova prema tankim teži zlatnom rezu!

Fullereni

A sada hajde da pričamo o još jednom izuzetnom modernom otkriću u oblasti hemije. Ovo otkriće je napravljeno 1985. godine, odnosno nekoliko godina kasnije od kvazikristala. Riječ je o takozvanim "fulerenima". Izraz "fulereni" odnosi se na zatvorene molekule kao što su C 60 , C 70 , C 76 , C 84 , u kojima su svi atomi ugljika smješteni na sfernoj ili sferoidnoj površini. U ovim molekulima atomi ugljika nalaze se na vrhovima pravilnih šesterokuta ili peterokuta koji pokrivaju površinu sfere ili sferoida. Centralno mjesto među fulerenima zauzima molekul C 60, koji se odlikuje najvećom simetrijom i kao rezultat toga najvećom stabilnošću. U ovoj molekuli, koja liči na gumu fudbalske lopte i ima strukturu pravilnog skraćenog ikosaedra (sl. 2e i sl. 3), atomi ugljika nalaze se na sfernoj površini u vrhovima 20 pravilnih šesterokuta i 12 pravilnih peterokuta, tako da svaki šestougao graniči sa tri šestougla i tri pentagona, a svaki petougao je oivičen šestouglovima.

Izraz "fuleren" potječe od imena američkog arhitekte Buckminstera Fullera, koji je, ispostavilo se, koristio takve strukture prilikom izgradnje kupola zgrada (još jedna upotreba skraćenog ikosaedra!).

"Fulereni" su u suštini strukture koje je napravio čovjek, izvedene iz istraživanja fundamentalne fizike. Prvi su ih sintetizirali naučnici G. Kroto i R. Smalley (koji su za ovo otkriće dobili Nobelovu nagradu 1996. godine). Ali neočekivano su pronađeni u stijenama pretkambrijskog perioda, odnosno ispostavilo se da su fulereni ne samo "ljudske", već i prirodne formacije. Sada se fulereni intenzivno proučavaju u laboratorijama. različite zemlje, pokušavajući utvrditi uslove za njihovo formiranje, strukturu, svojstva i moguća područja primjene. Najpotpunije proučavan predstavnik porodice fulerena je fuleren-60 (C 60) (ponekad se naziva i buckminster-fuleren. Poznati su i fuleren C 70 i C 84. Fuleren C 60 se dobija isparavanjem grafita u atmosferi helijuma. Tako nastaje fini prah nalik čađi koji sadrži 10% ugljika; kada se rastvori u benzenu, prah daje crvenu otopinu iz koje nastaju kristali C 60. Fulereni imaju neobična hemijska i fizička svojstva. Tako se pri visokom pritisku C 60 postaje tvrd poput dijamanta.Njegovi molekuli formiraju kristalnu strukturu, kao da se sastoje od savršeno glatkih kuglica, koje se slobodno rotiraju u kubičnoj rešetki usmjerenoj na lice.Zbog ovog svojstva, C 60 se može koristiti kao čvrsto mazivo.Fulereni također imaju magnetne i supravodljiva svojstva.

Ruski naučnici A.V. Yeletsky i B.M. Smirnov u svom članku "Fulereni", objavljenom u časopisu "Uspekhi fizičke nauke"(1993, sveska 163, br. 2), zapazite to "fulereni, čije je postojanje utvrđeno sredinom 80-ih i efikasna tehnologijačija je izolacija razvijena 1990. godine, sada je postala predmet intenzivnog istraživanja desetina naučnih grupa. Rezultate ovih studija pomno prate firme koje se bave primjenom. Budući da je ova modifikacija ugljenika dala naučnicima cela linija iznenađenja, ne bi bilo mudro raspravljati o prognozama i moguće posljedice proučavanje fulerena u narednoj deceniji, ali treba biti spreman na nova iznenađenja.”

Umjetnički svijet slovenačke umjetnice Matiushke Teije Kraszek

Matjuška Teja Krasek diplomirala je slikarstvo na Visokoj školi likovnih umjetnosti (Ljubljana, Slovenija) i slobodni je umjetnik. Živi i radi u Ljubljani. Njena teorijska i praktičan rad fokusira se na simetriju kao koncept povezivanja između umjetnosti i nauke. Njeni radovi su predstavljeni na mnogim međunarodnim izložbama i objavljeni u međunarodni časopisi(Leonardo Journal, Leonardo online).

M.T. Kraszek na izložbi „Kaleidoskopski mirisi“, Ljubljana, 2005

Umjetnički rad Matyushke Teije Kraszek vezuje se za različite vrste simetrije, Penroseove pločice i rombove, kvazikristali, zlatni rez kao glavni element simetrije, Fibonačijeve brojeve itd. Uz pomoć refleksije, mašte i intuicije pokušava pronaći nove odnose, nove nivoe strukture, nove i različite vrste reda u ovim elementima i strukturama. U svojim radovima uveliko koristi kompjutersku grafiku kao veoma koristan medij za stvaranje umetničkih dela, koja je spona između nauke, matematike i umetnosti.

Na sl. 11 prikazuje sastav T.M. Crashek povezan sa Fibonačijevim brojevima. Ako odaberemo jedan od Fibonačijevih brojeva (na primjer, 21 cm) za dužinu stranice Penroseovog dijamanta u ovoj uočljivo nestabilnoj kompoziciji, možemo uočiti kako dužine nekih segmenata u kompoziciji formiraju Fibonačijev niz.

Slika 11. Matushka Teija Kraszek "Fibonačijevi brojevi", platno, 1998.

Veliki broj umjetničke kompozicije umjetnika posvećena je Šehtmanovim kvazikristalima i Penrouzovim rešetkama (sl. 12).

(a)	(b)

(u)	(G)

Slika 12. Svijet Theie Kraszek: (a) Svijet kvazikristala. Kompjuterska grafika, 1996.
(b) Zvijezde. Kompjuterska grafika, 1998 (c) 10/5. Holst, 1998. (d) Quasicube. Platno, 1999

U kompoziciji Matyushke Teije Kraszek i Clifforda Pickovera "Biogenesis", 2005 (Sl. 13), predstavljen je deseterokut koji se sastoji od Penroseovih rombova. Može se posmatrati odnos između Petrouseovih dijamanata; svaka dva susedna Penroseova dijamanta formiraju petougaonu zvezdu.

Slika 13. Matushka Theia Kraszek i Clifford Pickover. Biogeneza, 2005.

na slici Double Star GA(Slika 14) vidimo kako se Penroseove pločice uklapaju u dvodimenzionalni prikaz potencijalno hiperdimenzionalnog objekta sa dekagonalnom bazom. Prilikom prikazivanja slike, umjetnik je koristio metodu tvrdih ivica koju je predložio Leonardo da Vinci. Ova metoda slike vam omogućava da vidite u projekciji slike na ravni veliki broj pentagoni i pentakli, koji su formirani projekcijama pojedinačnih ivica Penroseovih rombova. Osim toga, u projekciji slike na ravan, vidimo deseterokut formiran od ivica 10 susjednih Penroseovih rombova. U suštini, na ovoj slici Matyushka Teija Kraszek je pronašla novi pravilni poliedar, koji vrlo vjerojatno zaista postoji u prirodi.

Slika 14. Matushka Teia Kraszek. Double Star GA

U kompoziciji Crasheka "Zvezde za Donalda" (slika 15), možemo posmatrati beskrajnu interakciju Penrouzovih rombova, pentagrama, pentagona, koji se smanjuju prema centralnoj tački kompozicije. Zlatni omjeri su predstavljeni na mnogo različitih načina na različitim skalama.

Slika 15. Matyushka Teija Kraszek "Zvijezde za Donalda", kompjuterska grafika, 2005.

Umjetničke kompozicije Matyushke Teije Kraszek privukle su veliku pažnju predstavnika nauke i umjetnosti. Njena umjetnost je izjednačena s umjetnošću Mauritsa Eschera, a slovenačkog umjetnika nazivaju "istočnoevropskim Escherom" i "slovenskim darom" svjetskoj umjetnosti.

Stakhov A.P. "Da Vincijev kod", platonska i arhimedova čvrsta tijela, kvazikristali, fulerini, Penroseove rešetke i umjetnički svijet Matjuške Teije Kraszek // "Akademija trinitarizma", M., El br. 77-6567, izdanje 12561, 07.11. 2005

Uvod

Ovaj kurs je dizajniran da:

1) konsoliduju, produbljuju i proširuju teorijska znanja iz oblasti metoda za modelovanje površina i objekata, praktične veštine i veštine softverske implementacije metoda;

2) unaprediti veštine samostalnog rada;

3) razvijanje sposobnosti formulisanja sudova i zaključaka, njihovog logičkog i konačnog iznošenja.

Platonove čvrste materije

Platonova čvrsta tela su konveksni poliedri, čija su sva lica pravilni poligoni. Svi poliedarski uglovi pravilnog poliedra su podudarni. Kao što već slijedi iz izračunavanja zbira ravnih uglova na vrhu, ne postoji više od pet konveksnih pravilnih poliedara. Na dole naznačen način može se dokazati da postoji tačno pet pravilnih poliedara (ovo je dokazao Euklid). To su pravilni tetraedar, heksaedar (kocka), oktaedar, dodekaedar i ikosaedar. Nazivi ovih pravilnih poliedara potiču iz Grčke. U doslovnom prijevodu sa grčkog "tetraedar", "oktaedar", "heksaedar", "dodekaedar", "ikosaedar" znači: "tetraedar", "oktaedar", "heksaedar". dodekaedar, dodekaedar.

Tabela br. 1

Tabela broj 2

ime:	Radijus opisane sfere	Poluprečnik upisane sfere
Tetrahedron
Heksaedar
Dodecahedron
ikosaedar

Tetrahedron- tetraedar, čije su sve strane trouglovi, tj. trouglasta piramida; pravilan tetraedar je omeđen sa četiri jednakostranična trougla. (Sl. 1).

Kocka ili pravilni heksaedar- pravilna četverokutna prizma s jednakim rubovima, ograničena sa šest kvadrata. (Sl. 1).

Oktaedar- oktaedar; tijelo omeđeno sa osam trouglova; pravilni oktaedar omeđen je sa osam jednakostraničnih trouglova; jedan od pet pravilnih poliedara. (Sl. 1).

Dodecahedron- dodekaedar, tijelo omeđeno sa dvanaest poligona; pravilan pentagon. (Sl. 1).

ikosaedar- dvadesetostrano tijelo, tijelo omeđeno sa dvadeset poligona; pravilan ikosaedar je omeđen sa dvadeset jednakostraničnih trouglova. (Sl. 1).

Kocka i oktaedar su dualni, tj. se dobijaju jedno od drugog ako se kao vrhovi drugog uzmu težišta lica jedne i obrnuto. Dodekaedar i ikosaedar su na sličan način dualni. Tetraedar je dualan samom sebi. Pravilan dodekaedar se dobija iz kocke konstruisanjem „krova“ na njenim plohama (Euklidov metod), vrhovi tetraedra su bilo koja četiri vrha kocke koja nisu u paru susedna duž ivice. Tako se iz kocke dobijaju svi drugi pravilni poliedri. Sama činjenica postojanja samo pet zaista pravilnih poliedara je zadivljujuća – na kraju krajeva, na ravni ima beskonačno mnogo pravilnih mnogouglova!

Svi pravilni poliedri bili su poznati u staroj Grčkoj, a njima je posvećena 13. knjiga Euklidovih "Početaka". Nazivaju se i Platonovim telima, jer. zauzimali su važno mjesto u Platonovom filozofskom konceptu strukture svemira. Četiri poliedra personificirala su u njemu četiri esencije ili "elementa". Tetraedar je simbolizirao vatru, jer. vrh mu je usmjeren prema gore; ikosaedar? vode, jer on je „najstroženiji“; kocka - zemlja, kao "najstabilnija"; oktaedar? vazduha, kao naj"prozračnije". Peti poliedar, dodekaedar, oličavao je "sve što postoji", simbolizirao je cijeli univerzum i smatrao se glavnim.

Stari Grci su skladne odnose smatrali osnovom svemira, pa su četiri elementa bila povezana takvim omjerom: zemlja / voda = zrak / vatra.

U vezi sa ovim tijelima, valjalo bi reći da je prvi sistem elemenata, koji je uključivao četiri elementa? zemlja, voda, vazduh i vatra - kanonizovan od strane Aristotela. Ovi elementi su ostali četiri kamena temeljca univerzuma tokom mnogih vekova. Sasvim ih je moguće poistovjetiti sa četiri nama poznata stanja materije - čvrstom, tekućem, plinovitom i plazmom.

U sistemu harmonične strukture sveta I. Keplera značajno mesto zauzimaju pravilni poliedri. Ista ista vjera u harmoniju, ljepotu i matematički pravilnu strukturu svemira dovela je I. Keplera do ideje da, pošto postoji pet pravilnih poliedara, njima odgovara samo šest planeta. Po njegovom mišljenju, sfere planeta su međusobno povezane platonskim telima upisanim u njih. Pošto se za svaki pravilan poliedar poklapaju centri upisane i opisane sfere, ceo model će imati jedno središte, u kojem će se nalaziti Sunce.

Obavivši ogroman računski posao, I. Kepler je 1596. objavio rezultate svog otkrića u knjizi "Tajna svemira". On upisuje kocku u sferu Saturnove orbite, u kocku? sfera Jupitera, sfera Jupitera - tetraedar, i tako dalje uzastopno se uklapaju jedna u drugu sfera Marsa? dodekaedar, sfera zemlje? ikosaedar, sfera Venere? oktaedar, sfera Merkura. Čini se da je tajna univerzuma otvorena.

Danas se sa sigurnošću može reći da udaljenosti između planeta nisu povezane ni sa jednim poliedrom. Međutim, moguće je da bez "Tajne univerzuma", "Harmonije sveta" I. Keplera, pravilnih poliedara ne bi postojala tri poznata zakona I. Keplera, koja igraju važnu ulogu u opisivanju kretanja planeta.

Gdje još možete vidjeti ova nevjerovatna tijela? U knjizi njemačkog biologa s početka prošlog vijeka E. Haeckel "Ljepota oblika u prirodi" mogu se pročitati sljedeći redovi: "Priroda hrani u svojim nedrima neiscrpnu količinu neverovatna stvorenja koji po ljepoti i raznolikosti daleko nadmašuju sve forme stvorene ljudskom umjetnošću." Kreacije prirode date u ovoj knjizi su lijepe i simetrične. Ovo je neodvojivo svojstvo prirodnog sklada. Ali jednoćelijski organizmi su i ovdje vidljivi? feodarii, the oblik koji precizno prenosi ikosaedar Kakva je to prirodna geometrizacija uzrokovana činjenicom da od svih poliedara sa istim brojem strana, ikosaedar ima najveći volumen i najmanja površina površine. Ovo geometrijsko svojstvo pomaže morskom mikroorganizmu da savlada pritisak vodenog stupca.

Zanimljivo je i da je upravo ikosaedar bio u fokusu pažnje biologa u njihovim sporovima oko oblika virusa. Virus ne može biti savršeno okrugao, kao što se ranije mislilo. Da bi ustanovili njegov oblik, uzeli su različite poliedre, usmjerili svjetlost na njih pod istim uglovima kao i protok atoma do virusa. Ispostavilo se da samo jedan poliedar daje potpuno istu sjenu? ikosaedar. Njegovo geometrijska svojstva, gore pomenuto, omogućavaju vam da sačuvate genetske informacije. Pravilni poliedri? najprofitabilnije brojke. I priroda to koristi. Kristali nekih nama poznatih supstanci su u obliku pravilnih poliedara. Dakle, kocka prenosi oblik kristala natrijum hlorida NaCl, monokristal aluminijum-kalijum stipse (KAlSO4) 2 12H2O ima oblik oktaedra, kristal sumpornog pirita FeS ima oblik dodekaedra, antimon natrijum sulfat je tetraedar, bor je ikosaedar. Pravilni poliedri određuju oblik kristalne rešetke nekih hemikalija.

Dakle, pravilni poliedri otkrili su nam pokušaje naučnika da se približe tajni svjetske harmonije i pokazali neodoljivu privlačnost i ljepotu ovih geometrijskih figura.

PLATONOVA TIJELA SA NJIHOVIM DETALJNIM OPISOM

PLATONOVA TIJELA [P. - sa grčkog. Platon (427-347 pne / T. - porijeklo. vidi TELO), zbirka svih pravilnih poliedara [tj. e. volumetrijska (trodimenzionalna) tijela omeđena jednakim pravilnim poligonima] trodimenzionalnog svijeta, koji je prvi opisao Platon (posvećena im je i završna, XIII. knjiga „Početaka“ Platonovog učenika Euklida); // sa svom beskonačnom raznolikošću pravilnih poligona (dvodimenzionalni geometrijski oblici omeđeni jednakim stranama, čiji susedni parovi formiraju jednake uglove), postoji samo pet volumetrijskih P.T. (vidi tabelu 6), u skladu sa kojom je, od Platonovog vremena, postavljeno pet elemenata Univerzuma; Zanimljiva je veza koja postoji između heksaedra i oktaedra, kao i između dodekaedra i ikosaedra: geometrijski centri lica svakog od prvih su vrhovi svakog drugog.

Osoba pokazuje interesovanje za poliedre kroz svoju svesnu aktivnost - od dvogodišnjeg deteta koje se igra drvenim kockama do zrelog matematičara. Neka od pravilnih i polupravilnih tijela javljaju se u prirodi u obliku kristala, druga u obliku virusa koji se mogu vidjeti elektronskim mikroskopom. Šta je poliedar? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, podsjetimo se da se sama geometrija ponekad definira kao nauka o prostoru i prostornim figurama - dvodimenzionalnim i trodimenzionalnim. Dvodimenzionalna figura se može definirati kao skup odsječaka koji ograničavaju dio ravnine. Takva ravna figura naziva se poligon. Iz toga slijedi da se poliedar može definirati kao skup poligona koji ograničavaju dio trodimenzionalnog prostora. Poligoni koji formiraju poliedar nazivaju se njegove strane.

Od davnina, naučnike su zanimali "idealni" ili pravilni poligoni, odnosno poligoni koji imaju jednake stranice i jednake uglove. Jednakostranični trokut se može smatrati najjednostavnijim pravilnim poligonom, jer ima najmanji broj stranica koje mogu ograničiti dio ravnine. Opšta slika pravilnih poligona koji nas zanimaju, zajedno sa jednakostraničnim trouglom, je: kvadrat (četiri strane), petougao (pet strana), šestougao (šest strana), osmougao (osam stranica), desetokut ( deset strana) itd. Očigledno, teoretski ne postoje ograničenja za broj stranica pravilnog poligona, odnosno broj pravilnih poligona je beskonačan.

Šta je pravilni poliedar? Poliedar se naziva pravilnim ako su mu sve strane jednake (ili podudarne) jedna drugoj, a istovremeno su pravilni poligoni. Koliko pravilnih poliedara ima? Na prvi pogled, odgovor na ovo pitanje je vrlo jednostavan - onoliko koliko je pravilnih poligona. Međutim, nije. U Euklidovim elementima nalazimo rigorozan dokaz da postoji samo pet pravilnih poliedara i da samo tri vrste pravilnih mnogouglova mogu biti njihova lica: trouglovi, kvadrati i peterokuti.

Naziv Broj lica Element
Tetrahedron 4 Vatra
Heksaedar/kocka 6 Zemlja
Octahedron 8 Air
Ikosaedar 10 Voda
Dodekaedar 12 Eter

Svijet zvjezdanih poliedara

Naš svijet je pun simetrije. Od davnina su naše ideje o ljepoti bile povezane s njom. Možda to objašnjava trajni interes čovjeka za nevjerovatne simbole simetrije, koji su privukli pažnju mnogih istaknutih mislilaca, od Platona i Euklida do Eulera i Cauchyja.

Međutim, poliedri nikako nisu samo predmet naučnog istraživanja. Njihovi oblici su potpuni i bizarni, široko se koriste u dekorativnoj umjetnosti.

Poliedri u obliku zvijezde su vrlo dekorativni, što im omogućava široku primjenu u industriji nakita u proizvodnji svih vrsta nakita. Koriste se i u arhitekturi. Mnoge oblike zvjezdanih poliedara sugerira sama priroda. Snježne pahulje su poliedri u obliku zvijezde. Od davnina ljudi su pokušavali da opišu sve moguće vrste snježnih pahulja i sastavljali su posebne atlase. Sada je poznato nekoliko hiljada različitih vrsta pahuljica.

zvezdasti dodekaedar

Veliki zvjezdani dodekaedar pripada porodici Kepler-Poinsotovih tijela, odnosno pravilnih nekonveksnih poliedara. Lica velikog zvjezdanog dodekaedra su pentagrami, poput onih malog zvjezdanog dodekaedra. Svaki vrh povezuje tri lica. Vrhovi velikog zvjezdanog dodekaedra poklapaju se sa vrhovima opisanog dodekaedra.

Veliki zvjezdani dodekaedar prvi je opisao Kepler 1619. Ovo je posljednji zvjezdani oblik pravilnog dodekaedra.

Dodecahedron

Drevni mudraci su rekli: "Da biste spoznali nevidljivo, pažljivo pogledajte vidljivo." U smislu svetih sila, dodekaedar je najmoćniji poliedar. Nije ni čudo što je Salvador Dali odabrao ovu figuru za svoju "Posljednju večeru". U njemu su iz dvanaest pentagona - takođe jake figure, snage koncentrisane u jednoj tački - na Isusa Hrista.

Dodecahedron(od grčkog dodeka - dvanaest i hedra - ivica) je pravilan poliedar, sastavljen od dvanaest jednakostraničnih peterokuta.

Dodekaedar ima 20 vrhova i 30 ivica.
Vrh dodekaedra je vrh tri pentagona, tako da je zbir ravnih uglova na svakom vrhu 324°.
Zbir dužina svih ivica je 30a.
Dodekaedar ima centar simetrije i 15 osi simetrije.

Svaka od osa prolazi kroz sredine suprotnih paralelnih rebara. Dodekaedar ima 15 ravni simetrije. Bilo koja od ravni simetrije prolazi u svakom licu kroz vrh i sredinu suprotnog ruba.

Pravilni poliedri privlače savršenstvom svojih oblika, potpunom simetrijom. Neka od ispravnih i polupravilnih tijela javljaju se u prirodi u obliku kristala, druga - u obliku virusa, najjednostavnijih mikroorganizama.
Kristali su tijela koja imaju višestruki oblik. Evo jednog primjera takvih tijela: kristal pirita (sumporni pirit FeS) je prirodni model dodekaedra.
Polio virus ima oblik dodekaedra. Može živjeti i razmnožavati se samo u ljudskim ćelijama i ćelijama primata. To, posebno, znači da dječju paralizu možete dobiti samo od ljudi. Osim toga, mnogi virusi se prenose putem vektora, koje često prenose člankonošci (npr. krpelji). Takvi virusi mogu imati širok raspon domaćina, uključujući i kralježnjake i beskičmenjake.

Volvox alga - jedan od najjednostavnijih višećelijskih organizama - je sferna ljuska, sastavljena uglavnom od heptagonalnih, heksagonalnih i peterokutnih ćelija (tj. ćelija koje imaju sedam, šest ili pet susjednih; tri ćelije se konvergiraju na svakom "vrhu").

Postoje slučajevi koji imaju i četvorougaone i osmougaone ćelije, ali biolozi su primetili da ako nema takvih „nestandardnih“ ćelija (sa manje od pet i više od sedam) strana, onda uvek postoji tačno dvanaest više petougaonih ćelija nego heptagonalnih. (ukupno može biti nekoliko stotina ili čak hiljada ćelija). Ova izjava proizilazi iz dobro poznate Eulerove formule.
Fulereni su jedan od oblika ugljika. Otkriveni su prilikom pokušaja modeliranja procesa koji se dešavaju u svemiru. Kasnije su naučnici u zemaljskim laboratorijama uspjeli sintetizirati i proučiti brojne derivate ovih sfernih molekula. Nastala je hemija fulerena. Neka jedinjenja uključena u kristalnu rešetku fulerena C60 su se pokazala kao "vrući superprovodnici" sa kritičnom temperaturom do 117 K.
Pokušavaju se stvoriti materijali na bazi fulerena za molekularnu elektroniku u nastajanju. Sve je ovo zanimljivo i važno. Ali fulereni, kako se ispostavilo, nalaze se i u kopnenim stijenama. Sada, uz prisustvo fulerena u šungitima, neki entuzijasti povezuju ljekovito djelovanje borilačkih voda otkrivenih 1714. godine, kojima se liječio Petar Veliki. A najnovija otkrića geohemičara tjeraju nas da se vratimo na problem porijekla fulerena. Moguće je da nova hemijska istraživanja zemaljski fulereni malo će otvoriti druge stranice bogate istorije planete Zemlje!
U alhemiji se obično govori samo o ovim elementima: vatri, zemlji, vazduhu i vodi; etar se retko spominje jer je tako svet. U Pitagorejskoj školi, kada biste samo spomenuli riječ "dodekaedar" izvan zidova škole, bili biste ubijeni na licu mjesta. Ova figura se smatrala tako svetom. Nisu ni razgovarali o njoj. Dvjesto godina kasnije, za života Platona, razgovarali su o njoj, ali vrlo pažljivo. Zašto? Zato što se dodekaedar nalazi na vanjskoj ivici vašeg energetskom polju i najviši je oblik svijesti. Kada dostignete granicu svog energetskog polja od 55 stopa, ono će biti u obliku kugle. Ali unutrašnja figura najbliža sferi je dodekaedar (u stvari, odnos dodekaedar-ikosaedar). Osim toga, mi živimo unutar velikog dodekaedra koji sadrži svemir. Kada vaš um dostigne granicu prostora kosmosa - a postoji granica - tada naiđe na dodekaedar zatvoren u sferi. Dodekaedar je konačna figura geometrije i veoma je važna.
Na mikroskopskom nivou, dodekaedar i ikosaedar su relativne dimenzije DNK od koje je izgrađen sav život. Također možete vidjeti da je molekul DNK rotirajuća kocka. Kada se kocka rotira uzastopno za 72 stepena prema određenom modelu, dobija se ikosaedar, koji je, pak, par dodekaedra.
Dakle, dvostruki lanac spirale DNK je izgrađen na principu dvosmjerne korespondencije: nakon ikosaedra slijedi dodekaedar, zatim opet ikosaedar, i tako dalje. Ova rotacija kroz kocku stvara molekul DNK.
Struktura DNK zasniva se na svetoj geometriji, iako se mogu otkriti i drugi skriveni odnosi.
Knjiga Dena Wintera Heartmath pokazuje da se molekul DNK sastoji od dualnih odnosa dodekaedara i ikosaedara.

Trenutna stranica: 4 (ukupno knjiga ima 36 stranica) [dostupan odlomak za čitanje: 9 stranica]

Platon I: Struktura iz simetrije - Platonska tijela

Platonska tijela podržavaju neku vrstu magije oko sebe. Oni su oduvijek bili i ostali ti predmeti s kojima možete raditi magiju. Oni su ukorijenjeni duboko u pretpovijesno doba čovječanstva i sada žive kao predmeti koji obećavaju sreću ili lošu sreću u najpoznatijim društvenim igrama, posebno u čuvenim Dungeons and Dragons. Osim toga, njihova misteriozna moć inspirisala je naučnike na neka od najznačajnijih otkrića u razvoju matematike i fizike. Njihova neizreciva ljepota vrijedna je duboke koncentracije na njih.

Albrecht Dürer u svojoj gravuri "Melanholija I" (ill. 4) implicira šarm pravilnih poliedara, iako tijelo prikazano na njegovoj slici nije sasvim platonsko. (Tehnički, to je skraćeni trouglasti trapezoedar. Može se dobiti rastezanjem lica oktaedra na određeni način.) Možda je Krilati genije pao u melanholiju jer nije mogao razumjeti zašto je zlo bat ubacio je u svoju kancelariju upravo ovo, ne baš platonsko tijelo umjesto obične figure.

ill. 4. Albrecht Durer "Melanholija I"

Slika prikazuje skraćeno platonsko tijelo, magični kvadrat i mnogi drugi ezoterični simboli. Sa moje tačke gledišta, to savršeno ilustruje dosadu koju često osjećam kada pokušavam razumjeti stvarnost čistom idejom. Srećom, to nije uvijek slučaj.

Pravilni poligoni

Prije nego što pređemo na Platonova tijela, počnimo s nečim jednostavnijim - s njihovim najbližim analozima u dvije dimenzije, naime pravilnim poligonima. Pravilan mnogokut je ravna figura u kojoj su sve strane jednake i sastaju se pod jednakim uglovima. Najjednostavniji pravilni mnogokut ima tri strane - to je jednakostranični trokut. Zatim dolazi kvadrat sa četiri strane. Zatim - pravilan pentagon, ili pentagon (koji je izabran kao simbol Pitagorejaca i uzet kao osnova u dizajnu poznatog štaba oružanih snaga 9
To se odnosi na Pentagon - glavnu administrativnu zgradu američkog Ministarstva odbrane. - Bilješka. per.

), šestougao (dio košnice i, kako ćemo kasnije vidjeti, grafen 10
Sloj atoma ugljika povezanih u heksagonalnu dvodimenzionalnu kristalnu rešetku. - Bilješka. per.

), sedmougao (može se naći na raznim novčićima), osmougao (obavezni znak za zaustavljanje), nenaugao... Ovaj niz se može nastaviti unedogled: za svaki cijeli broj, počevši od tri, postoji jedinstveni pravilan poligon. U svakom slučaju, broj vrhova je jednak broju strana. Krug možemo smatrati i ekstremnim slučajem pravilnog poligona, gdje broj strana postaje beskonačan.

Pravilni poligoni, u nekom intuitivnom smislu, mogu poprimiti značenje idealnog oličenja planarnih "atoma". Oni mogu poslužiti kao konceptualni atomi od kojih možemo sastaviti složenije strukture reda i simetrije.

Platonska čvrsta tela

Sada pređimo sa ravnih figura na trodimenzionalne. Za maksimalnu uniformnost, možemo generalizirati pojam pravilnog poliedra na različite načine. Najprirodniji od njih, koji se ispostavi da je i najplodonosniji, vodi do platonskih tijela. Govorimo o trodimenzionalnim tijelima čija su lica pravilni poligoni, svi isti i zatvarajući se na isti način u svakom vrhu. Tada, umjesto beskonačnog niza rješenja, dobijamo tačno pet tijela!

ill. 5. Pet Platonovih tijela - magične figure

Pet Platonovih čvrstih tela su:

tetraedar sa četiri trokutasta lica i četiri vrha, u svakom od kojih se tri lica konvergiraju;

oktaedar sa osam trouglastih lica i šest vrhova, od kojih svaki konvergira četiri lica;

ikosaedar sa 20 trouglastih lica i 12 vrhova, u svakom od kojih se konvergira pet lica;

Dodecahedron sa 20 peterokutnih lica i 20 vrhova, u svakom od kojih se konvergiraju tri lica;

Kocka sa šest kvadratnih lica i osam vrhova, od kojih se svaki sastaju po tri lica.

Postojanje ovih pet poliedara je lako razumjeti, a njihovi modeli se mogu konstruirati bez većih poteškoća. Ali zašto ih ima samo pet? (Ili postoje i drugi?)

Da biste se pozabavili ovim pitanjem, uočite da vrhovi tetraedra, oktaedra i ikosaedra ujedinjuju tri, četiri i pet trouglova koji konvergiraju zajedno, i postavite pitanje: "Šta će se dogoditi ako nastavimo i ima ih šest?" Tada ćemo shvatiti da će šest jednakostraničnih trouglova koji imaju zajednički vrh ležati na ravni. Koliko god ponavljali ovaj ravni objekt, on nam neće dozvoliti da izgradimo potpunu figuru koja ograničava određeni volumen. Umjesto toga, figura će se beskonačno širiti po ravni, kao što je prikazano na sl. 6 (lijevo).

ill. 6. Tri beskonačne Platonove površine

Na slici su prikazani samo njihovi završni dijelovi. Ove tri ispravne zamjene aviona se mogu i trebaju smatrati srodnim platonskim čvrstim tvarima - njihovoj rasipnoj braći koja su otišla na hodočašće i nikada se neće vratiti.

Dobit ćemo iste rezultate ako spojimo četiri kvadrata ili tri šesterokuta. Ovo troje ispravne sekcije na ravni - dostojni dodaci Platonovim telima. Dalje ćemo vidjeti kako oživljavaju u mikrokosmosu (sl. 29).

Ako pokušamo uklopiti više od šest jednakostraničnih trokuta, četiri kvadrata ili bilo koja tri velika pravilna poligona, ponestaje nam prostora i jednostavno ne možemo postaviti njihov ukupni ugao oko temena. Dakle, pet Platonovih tijela su svi konačni pravilni poliedri koji mogu postojati.

Značajno je da izvesno konačan broj- pet - proizilazi iz razmatranja geometrijske ispravnosti i simetrije. Ispravnost i simetrija su prirodne i divne stvari o kojima treba razmišljati, ali nemaju očiglednu ili direktnu vezu s određenim brojevima. Kao što ćemo vidjeti, Platon je ovo protumačio težak slučaj njihov nastanak na neverovatno kreativan način.

pozadini

Često poznati ljudi slava se daje za otkrića drugih. Ovo je "Matejev efekat", koji je otkrio sociolog Robert Merton i zasnovan na stihovima iz Jevanđelja po Mateju:

Jer svakome ko ima, daće se, i imaće u izobilju, a od onoga ko nema uzeće se i ono što ima. 11
Jevanđelje po Mateju 13:12. - Bilješka. per.

To je ono što se dogodilo sa Platonovim telima.

U muzeju Ashmoline na Univerzitetu Oksford 12
Muzej umjetnosti i arheologije, Oksford. - Bilješka. per.

Možete vidjeti štand sa pet klesanih kamena, izrađenih oko 2000. godine prije Krista. e. u Škotskoj, za koje se čini da su realizacije pet Platonovih tijela (iako neki naučnici to osporavaju). Očigledno su korišteni u nekoj vrsti igre s kockicama. Može se zamisliti kako su se pećinski ljudi okupljali oko zajedničke vatre i urezivali u "Tamnice i zmajeve" iz doba paleolita. Sasvim je moguće da je ne Platon, već njegov savremenik Teetet (417-369 pne) bio prvi koji je matematički dokazao da su ovih istih pet tijela jedini mogući pravilni poliedri. Nije jasno u kojoj meri je Platon inspirisao Teeteta ili obrnuto, ili da li je u vazduhu drevne Atine bilo nečega što su obojica inspirisali. U svakom slučaju, Platonova tijela su dobila svoje ime jer ih je Platon prvobitno koristio u radu genija, darovitog kreativna mašta stvoriti teoriju fizičkog svijeta na vizionarski način.

ill. 7. Predplatonske slike Platonovih čvrstih tijela, koje su se mogle koristiti u igrama kockicama oko 2000. godine prije Krista. e.

Gledajući u mnogo dalju prošlost, shvaćamo da su neka od najjednostavnijih stvorenja biosfere, uključujući viruse i dijatomeje (ne parove atoma, kako bi se moglo pomisliti iz imena, već alge, koje često uzgajaju složene školjke u obliku Platonska tijela), ne samo da su „otkrili“, već su i doslovno utjelovili Platonova tijela mnogo prije nego što su se prvi ljudi pojavili na Zemlji. herpes virus; virus koji uzrokuje hepatitis B; virus ljudske imunodeficijencije i virusi mnogih drugih bolesti imaju oblik ikosaedra ili dodekaedra. Oni svoj genetski materijal – DNK ili RNK – zatvaraju u proteinske egzoskeletne kapsule koje definiraju njihove vanjske oblike, kao što je prikazano na panelu boja D. Kapsule su označene bojama tako da iste boje predstavljaju iste građevne blokove. Spoj tri pentagona, karakterističan za dodekaedar, upada u oči. Ali ako povučemo ravne linije kroz centre plavih područja, tada ćemo vidjeti ikosaedar.

Složenija mikroskopska stvorenja, uključujući radiolarije koje je Ernst Haeckel volio prikazati u svojoj izvrsnoj knjizi Ljepota oblika u prirodi, također oživljavaju platonska tijela. Na bolestan. 8 vidimo složeni silicijumski egzoskelet ovih jednoćelijskih organizama. Radiolarije su drevni oblik života pronađen u najranijim fosilima. Okeani su ih danas puni. Svako od pet Platonovih čvrstih tijela utjelovljeno je u određenom broju vrsteživi organizmi. Imena nekih od njih čak su fiksirala njihov oblik, uključujući Circoporus octaedrus, Circogonia icosahedra i Circorrhegma dodecahedra.

Euklidova inspirativna ideja

Euklidovi elementi su najveći udžbenik svih vremena, a druge knjige im ne odgovaraju. Ova knjiga je unela sistem i strogost u geometriju. U širem smislu, uvela je u područje ideja – kroz praktičnu primjenu – metod analize i sinteze.

ill. 8. Radiolarije postaju vidljive pod sočivom najjednostavnijeg mikroskopa. Njihovi egzoskeleti često pokazuju simetriju Platonovih tijela.

Analiza i sinteza je preferirana formulacija "redukcionizma" za Isaaca Newtona i za nas također. Evo šta kaže Newton:

Takvom analizom možemo prijeći od spojeva do sastojaka, od kretanja do sila koje ih proizvode, i općenito od posljedica do njihovih uzroka, od pojedinačnih uzroka do općenitijih, sve dok se argument ne završi s najopćenitijim uzrokom. Takav je metod analize, dok sinteza pretpostavlja otkrivene i ustanovljene uzroke kao principe; sastoji se u objašnjavanju pomoću principa pojava koje iz njih proizlaze i u dokazivanju objašnjenja 13
Cit. Citirano prema: Newton I. Optika, ili traktat o refleksijama, lomovima, savijanjima i bojama svjetlosti. - M.-L.: Gosizdat, 1927. - S. 306.

Ova strategija se može uporediti sa Euklidovim pristupom geometriji, gde on počinje sa jednostavnim, intuitivnim aksiomima da bi potom iz njih izveo složenije i iznenađujuće posledice. Njutnova velika Principia Mathematica, temeljni dokument moderne matematičke fizike, takođe prati eksponencijalni stil Euklida, krećući se korak po korak od aksioma preko logičkih konstrukcija do značajnijih rezultata.

Važno je naglasiti da vam aksiomi (ili zakoni fizike) ne govore šta da radite s njima. Skupljajući ih bez ikakve svrhe, lako je stvoriti veliki broj ničega. značajne činjenice to će uskoro biti zaboravljeno. To je kao komad ili muzički komad koji luta okolo kao lutalica i ne stiže nikuda. Kako su utvrdili oni koji su pokušali da prilagode veštačku inteligenciju rešavanju kreativnih matematičkih problema, najteže u ovom poslu je odrediti ciljeve. Imajući na umu vrijedan cilj, postaje lakše pronaći sredstva za postizanje tog cilja. Obožavam kolačiće sudbine, a jednom kada sam naišao na najsretniji kolačić na svijetu, izreka koju sam u njemu našla savršeno sažima sve:

Sam rad će vas naučiti kako se to radi.

I, naravno, za bolje učenje, primamljivo je za studente i potencijalne čitaoce da pred sobom imaju inspirativan cilj. Od samog početka, oni su duboko impresionirani saznanjem da mogu predvidjeti osjećaj nevjerovatnog trika stvaranja konstrukcije koja se neumoljivo kreće od "očiglednih" aksioma ka daleko od očiglednih zaključaka.

Dakle, šta je bio Euklidov cilj u Elementima? Trinaesti i posljednji tom ovog remek-djela završava se konstrukcijom pet Platonovih tijela i dokazom zašto postoji samo pet. Zadovoljstvo mi je što mislim — tim više što je sasvim uvjerljivo — da je Euklid razmišljao o ovom zaključku kada je počeo raditi na cijeloj knjizi i dok je pisao. U svakom slučaju, to je prikladan i ispunjavajući zaključak.

Platonska čvrsta tijela kao atomi

Stari Grci su prepoznali četiri osnovne komponente, ili elementa, u materijalnom svijetu: vatru, vodu, zemlju i zrak. Možda ste primijetili da je broj elemenata - četiri - blizu pet, broju pravilnih poliedara. Platon je, naravno, primijetio! U njegovom najautoritativnijem, proročkom i nerazumljivom dijalogu, Timeju, nalazi se teorija elemenata zasnovana na poliedrima. Sastoji se od sljedećeg.

Svaki element se sastoji od određenih vrsta atoma. Atomi imaju oblik Platonovih čvrstih tijela: atomi vatre imaju oblik tetraedra, atomi vode imaju ikosaedar, atomi zemlje imaju kocku, atomi zraka imaju oktaedar.

U ovim tvrdnjama postoji određena uvjerljivost. Daju objašnjenja. Atomi vatre su oštrog oblika, što objašnjava zašto je vatra bolna za dodir. Atomi vode su najglatkiji i najokrugliji, tako da mogu glatko teći jedan oko drugog. Atomi zemlje mogu biti čvrsto pritisnuti jedan uz drugi i ispuniti prostor bez praznina. Vazduh, koji može biti i vruć i vlažan, ima srednji oblik atoma između vatre i vode.

Iako je četiri blizu pet, oni ne mogu biti jednaki, tako da ne može postojati potpuna podudarnost između pravilnih poliedara, koji se smatraju atomima, i elemenata. Manje nadareni mislilac bi možda bio obeshrabren ovom teškoćom, ali briljantni Platon nije izgubio prisustvo uma. Shvatio je to i kao izazov i kao priliku. On je sugerisao da je preostali pravilni poliedar, dodekaedar, takođe igrao ulogu u rukama Stvoritelja-graditelja, ali ne kao atom. Ne, dodekaedar nije samo neka vrsta atoma, već ponavlja oblik samog Univerzuma u cjelini.

Aristotel, koji je uvijek pokušavao nadmašiti Platona, predložio je drugu, konzervativniju i dosljedniju teoriju. Dve glavne ideje ovih uticajnih filozofa bile su da mesec, planete i zvezde naseljavaju nebeski svod, sastoje se od potpuno drugačije materije od one koju možemo naći u sublunarnom svijetu i da "priroda ne podnosi prazninu"; tako, nebeski prostor ne može biti prazan. Ovo rezonovanje je zahtijevalo postojanje petog elementa, ili kvintesencije, osim zemlje, vatre, vode i zraka, da ispuni nebeski svod. Tako je dodekaedar našao svoje mjesto kao atom kvintesencije ili etra.

Danas je teško složiti se sa detaljima obje ove teorije. Nauci nema koristi da analizira svijet u smislu ova četiri (ili pet) elemenata. U modernom pogledu, atomi uopšte nisu čvrsta tela, a još više nemaju oblik Platonovih tijela. Platonova teorija elemenata sa današnje tačke gledišta izgleda grubo i beznadežno pogrešno u svakom pogledu.

Struktura iz simetrije

Ali iako su Platonovi pogledi propali kao naučna teorija, bili su uspješni kao predviđanje i, rekao bih, kao djelo intelektualne umjetnosti. Da bismo cijenili koncept u ovom svojstvu, moramo se odmaknuti od detalja i sagledati ga u cjelini. Duboka, ključna pretpostavka u sistemu fizičkog svijeta sa Platonove tačke gledišta je da ovaj svijet, uglavnom, treba da utjelovljuje lijepe koncepte. A ova ljepota mora biti ljepota posebne vrste: ljepota matematičke ispravnosti, savršene simetrije. Za Platona, kao i za Pitagoru, ova pretpostavka je u isto vrijeme bila vjerovanje, žudnja i temeljni princip. Oni su čeznuli da dovedu Um u harmoniju sa Supstancom, pokazujući da se Supstanca sastoji od najčistijih proizvoda Uma.

Važno je naglasiti da se Platon u svojim idejama izdigao iznad opšteprihvaćenog nivoa filozofskih generalizacija svog vremena kako bi dao određene izjave o tome šta je materija. Njegove idiosinkratične, iako pogrešne, ideje ne spadaju u zloglasnu kategoriju "čak ni pogrešne". 14
Poznati teorijski fizičar Wolfgang Pauli je jednom prilikom kritizirao bespomoćan rad mladog naučnika poslovičnim riječima: „Ovo ne samo da je pogrešno, nego čak ni pogrešno!“ - Bilješka. per.

Kao što smo vidjeli, Platon je čak poduzeo neke korake ka upoređivanju ove teorije sa stvarnošću. Vatra gori jer tetraedar ima oštre ivice, voda teče jer se ikosaedri lako prevrću jedan preko drugog itd. hemijske reakcije i svojstva složenih (sastoje se od više od jednog elementa) supstanci. Ova objašnjenja su zasnovana na geometriji atoma. Ali ovi uzaludni napori su depresivno daleko od onoga što bismo, uz svu našu želju, mogli smatrati ozbiljnim eksperimentalnim dokazom naučne teorije, a još dalje od upotrebe naučna saznanja u praktične svrhe.

Ipak, Platonovi pogledi na nekoliko načina anticipiraju moderne ideje koje su danas na čelu naučnog mišljenja.

Iako gradivni blokovi materije koje je Platon predložio uopće nisu ono što danas znamo, sama ideja da postoji samo nekoliko građevnih blokova koji postoje u mnogim identičnim kopijama ostaje fundamentalna.

Ali čak i ako se ova nejasna inspirativna ideja ne uzme u obzir, specifičniji princip izgradnje Platonove teorije je da se istakne strukture od simetrija ostavila traga u vekovima. Dolazimo do malog broja posebnih struktura iz čisto matematičkih razmatranja - razmatranja simetrije - i predstavljamo ih prirodi kao mogućih elemenata njene zgrade. Vrsta matematičke simetrije koju je Platon odabrao da sastavi svoju listu sastavnih elemenata prilično se razlikuje od simetrije koju danas koristimo. Ali ideja o tome šta je u srcu prirode laži simetrija je počela da dominira našom percepcijom fizičke stvarnosti. Špekulativna ideja da simetrija definira strukturu – to jest, da se može koristiti visoke zahtjeve matematičkog savršenstva da se dođe do male liste mogućih implementacija, a zatim koristi tu listu kao vodič za izgradnju modela svijeta – postala je naše vodilje zvijezda na granicama nepoznatog, nije označena ni na jednoj mapi. Ova ideja je gotovo bogohulna po svojoj nepromišljenosti, jer tvrdi da možemo shvatiti kako je Gospodar postupio i tačno znamo kako je sve urađeno. I, kao što ćemo kasnije vidjeti, pokazalo se potpuno tačno.

Da bi označio Stvoritelja fizičkog svijeta, Platon je koristio riječ "demijurg". Njegovo doslovno značenje je "gospodar"; obično se prevodi riječju "kreator", što nije sasvim tačno. Platon je vrlo pažljivo birao ovu grčku riječ. To je odražavalo njegovo vjerovanje da fizički svijet nije konačna stvarnost. Tu je i vječni i bezvremenski svijet Ideja koji postoje prije svih, sa potrebom za nesavršenom, fizičkom inkarnacijom i neovisno o njoj. Nemirni kreativni um - Majstor ili Stvoritelj - oblikuje svoje kreacije iz ideja, koristeći potonje kao kalupe.

Timej je delo koje je teško razumeti i uvek postoji iskušenje da se nejasnoća ili greška zamene sa dubinom. Shvativši to, ipak mi je zanimljivo i inspirativno da se Platon ne zadržava na platonskim čvrstim tvarima, već odražava da atomi u drugim oblicima, kao npr. fizičkih objekata, zauzvrat, može biti sastavljena od primitivnijih trouglova. Detalji, naravno, „nisu čak ni pogrešni“, ali intuicija koja poziva na ozbiljno shvatanje modela, govorenje njegovim jezikom i pomeranje granica je u osnovi tačna. Ideja da atomi mogu imati sastavne dijelove predviđa moderni nagon da se analizira sve dublje i dublje. A ideja da ovi sastojci u normalnim uslovima ne mogu postojati kao zasebni objekti, već se nalaze samo kao dijelovi složenijih objekata, možda se upravo ostvaruje u današnjim kvarkovima i gluonima, vječno vezanim unutar atomskih jezgara.

Između ostalog, među Platonovim refleksijama naći ćemo ideju koja je centralna za naše refleksije – ideju da svijet u svojoj dubokoj strukturi utjelovljuje Ljepotu. To je oživljeni duh Platonovog razmišljanja. On pretpostavlja da su sama osnova strukture svijeta – njegovi atomi – utjelovljenja čistih ideja koje se mogu otkriti i jasno formulirati pukim naporom uma.

Ušteda novca

Natrag na viruse: gdje su naučili njihovu geometriju?

To je slučaj kada jednostavnost poprima oblik složenosti, ili, preciznije, kada jednostavna pravila određuju strukturu prividnog složene strukture, koji nakon zrelog razmišljanja postaju idealno jednostavni. Suština je da je DNK virusa 15
Nemaju svi virusi genetski materijal u obliku DNK; Postoje i virusi koji sadrže RNK. - Bilješka. ed.

Koja bi trebala nositi informacije o svim aspektima njihovog života, vrlo je ograničena po veličini. Da uštedite na dužini građevinski materijal, vrijedi napraviti nešto od jednostavnih identičnih dijelova povezanih na isti način. Ovu pjesmu smo već čuli: "jednostavni, identični dijelovi, jednako povezani" - i to upravo u definiciji Platonovih tijela! Pošto dio čini cjelinu, virusi ne moraju znati za dodekaedre ili ikosaedre, samo za trokutove, plus jedno ili dva pravila da ih povežu zajedno. Samo što heterogena, nepravilnija i na prvi pogled čak i nasumična tijela - kao što su ljudi - zahtijevaju detaljnije upute za sastavljanje. Simetrija se pojavljuje kao zadana struktura kada su informacije i resursi ograničeni.