Položaj ravnoteže opružnog klatna. Oscilacije opružnog klatna

Opružno klatno je materijalna tačka mase, pričvršćena za apsolutno elastičnu bestežinsku oprugu sa krutošću . Postoje dva najjednostavnija slučaja: horizontalna (slika 15, a) i vertikalno (Sl. 15, b) klatna.

a) Horizontalno klatno(Sl. 15a). Prilikom prebacivanja tereta
van ravnoteže po iznosu djeluje na njega u horizontalnom smjeru. vraćanje elastična sila
(Hookeov zakon).

Pretpostavlja se da je horizontalni oslonac po kojem teret klizi
tokom svojih vibracija, apsolutno je glatka (bez trenja).

b) vertikalno klatno(sl.15, b). Položaj ravnoteže u ovom slučaju karakterizira uvjet:

gdje - veličina elastične sile koja djeluje na opterećenje
kada je opruga statički rastegnuta pod uticajem gravitacije
.

a

Fig.15. Opružno klatno: a- horizontalna i b– vertikalno

Ako se opruga rastegne i oslobodi opterećenje, ona će početi da osciluje okomito. Ako je pomak u nekom trenutku
, tada će se elastična sila sada napisati kao
.

U oba razmatrana slučaja, opružno klatno vrši harmonijske oscilacije sa periodom

(27)

i cikličnu frekvenciju

. (28)

Na primjeru razmatranja opružno klatno možemo zaključiti da su harmonijske oscilacije kretanje uzrokovano silom koja raste proporcionalno pomaku . Na ovaj način, ako obnavljajuća sila izgleda kao Hookeov zakon
(dobila je imekvazielastična sila ), tada sistem mora vršiti harmonijske oscilacije. U trenutku prelaska ravnotežnog položaja, sila za vraćanje ne djeluje na tijelo, međutim tijelo po inerciji preskače ravnotežni položaj i sila vraćanja mijenja smjer u suprotan.

Matematičko klatno

Fig.16. Matematičko klatno

Matematičko klatno je idealizovan sistem u obliku materijalne tačke okačene na bestežinski nerastegljivi konac dužine , koji vrši male oscilacije pod dejstvom gravitacije (slika 16).

Oscilacije takvog klatna pri malim uglovima otklona
(ne prelazi 5º) može se smatrati harmonijskom, a cikličkom frekvencijom matematičko klatno:

, (29)

i period:

. (30)

2.3. Energija tijela tokom harmonijskih vibracija

Energija koja se prenosi oscilirajućem sistemu tokom početnog guranja će se periodično transformisati: potencijalna energija deformisane opruge će se pretvoriti u kinetičku energiju pokretnog tereta i obrnuto.

Neka opružno klatno vrši harmonijske oscilacije sa početnom fazom
, tj.
(sl.17).

Fig.17. zakon o konzervaciji mehanička energija

kada opružno klatno oscilira

Pri maksimalnom odstupanju opterećenja od ravnotežnog položaja ukupna mehanička energija klatna (energija deformisane opruge krutosti ) je jednako
. Prilikom prolaska kroz ravnotežni položaj (
) potencijalna energija opruga će postati jednaka nuli, a ukupna mehanička energija oscilatornog sistema će se odrediti kao
.

Na slici 18 prikazane su zavisnosti kinetičke, potencijalne i ukupne energije u slučajevima kada su harmonijske oscilacije opisane trigonometrijskim funkcijama sinusa (isprekidana linija) ili kosinusa (puna linija).

Fig.18. Grafovi vremenske zavisnosti kinetike

i potencijalna energija za harmonijske oscilacije

Iz grafikona (Sl. 18) proizilazi da je frekvencija promjene kinetičke i potencijalne energije dvostruko veća od prirodne frekvencije harmonijskih oscilacija.

Oscilatorno kretanje je svaki pokret koji se periodično ponavlja. Stoga se ovisnosti koordinate i brzine tijela o vremenu za vrijeme oscilacija opisuju periodičnim funkcijama vremena. AT školski kurs fizičari smatraju takve oscilacije u kojima su ovisnosti i brzine tijela trigonometrijske funkcije , ili njihova kombinacija, gdje je neki broj. Takve oscilacije se nazivaju harmonijske (funkcije i često se nazivaju harmonijske funkcije). Za rješavanje problema za vibracije uključene u program unified državni ispit u fizici, morate znati definicije glavnih karakteristika oscilatorno kretanje: amplituda, period, frekvencija, kružna (ili ciklična) frekvencija i faza oscilacije. Dajmo ove definicije i povežimo nabrojane veličine sa parametrima zavisnosti koordinate tela od vremena , što se u slučaju harmonijskih oscilacija uvek može predstaviti kao

gdje , i su neki brojevi.

Amplituda oscilacije je maksimalno odstupanje tijela koje oscilira od ravnotežnog položaja. Kako je maksimalna i minimalna vrijednost kosinusa u (11.1) jednaka ±1, onda je amplituda oscilacija tijela koje oscilira (11.1) jednaka . Period oscilovanja je minimalno vrijeme nakon kojeg se kretanje tijela ponavlja. Za zavisnost (11.1), period se može postaviti iz sljedećih razmatranja. kosinus - periodična funkcija sa tačkom. Dakle, kretanje se potpuno ponavlja kroz takvu vrijednost da . Odavde dobijamo

Frekvencija kružne (ili ciklične) oscilacije je broj oscilacija u jedinici vremena. Iz formule (11.3) zaključujemo da je kružna frekvencija vrijednost iz formule (11.1).

Faza oscilovanja je argument trigonometrijske funkcije koji opisuje ovisnost koordinate o vremenu. Iz formule (11.1) vidimo da je faza oscilacija tijela, čije je kretanje opisano zavisnošću (11.1), jednaka . Vrijednost faze oscilovanja u trenutku = 0 naziva se početna faza. Za zavisnost (11.1) početna faza oscilacija jednaka je vrijednosti . Očigledno, početna faza oscilacija zavisi od izbora vremenske referentne tačke (moment = 0), koja je uvek uslovna. Promjenom ishodišta vremenske reference, početna faza oscilacija uvijek se može "učiniti" jednakom nuli, a sinus u formuli (11.1) "pretvoren" u kosinus ili obrnuto.

Program jedinstvenog državnog ispita uključuje i poznavanje formula za frekvenciju oscilovanja opruge i matematičkog klatna. Uobičajeno je da se opružnim klatnom naziva tijelo koje može oscilirati na glatkoj horizontalnoj površini pod djelovanjem opruge, čiji je drugi kraj fiksiran (lijeva slika). Matematičko klatno je masivno tijelo čije se dimenzije mogu zanemariti, koje oscilira na dugoj, bestežinskoj i nerastezljivoj niti (desna slika). Naziv ovog sistema - "matematičko klatno" je zbog činjenice da je apstraktan matematički pravi model ( fizički) klatna. Potrebno je zapamtiti formule za period (ili frekvenciju) oscilacija opruge i matematičkog klatna. Za opružno klatno

gdje je dužina niti, je ubrzanje slobodan pad. Razmotrite primjenu ovih definicija i zakona na primjeru rješavanja problema.

Da biste pronašli cikličku frekvenciju opterećenja u zadatak 11.1.1 hajde da prvo pronađemo period oscilovanja, a zatim upotrebimo formulu (11.2). Kako je 10 m 28 s 628 s, a za to vrijeme teret napravi 100 oscilacija, period oscilovanja tereta je 6,28 s. Stoga je frekvencija cikličkih oscilacija 1 s -1 (odgovor 2 ). AT zadatak 11.1.2 opterećenje je napravilo 60 oscilacija za 600 s, pa je frekvencija oscilacija 0,1 s -1 (odgovor 1 ).

Da razumem šta put će proći teret za 2,5 perioda ( zadatak 11.1.3), pratite njegovo kretanje. Nakon određenog perioda, opterećenje će se vratiti na tačku maksimalnog otklona, ​​čineći potpunu oscilaciju. Stoga, tokom ovog vremena, opterećenje preći će udaljenost, jednaka četiri amplitude: do ravnotežnog položaja - jedna amplituda, od ravnotežnog položaja do tačke maksimalnog odstupanja u drugom pravcu - druga, nazad u ravnotežni položaj - treća, od ravnotežnog položaja do početne tačke - četvrti. Tokom drugog perioda, opterećenje će ponovo proći četiri amplitude, a za preostalu polovinu perioda - dvije amplitude. Dakle, pređeni put je jednak deset amplituda (odgovor 4 ).

Količina kretanja tijela je udaljenost od početne do krajnje točke. Za 2,5 perioda u zadatak 11.1.4 tijelo će imati vremena da izvrši dvije pune i polupune oscilacije, tj. će biti na maksimalnom odstupanju, ali na drugoj strani ravnotežnog položaja. Dakle, količina pomaka je jednaka dvije amplitude (odgovor 3 ).

Po definiciji, faza oscilacija je argument trigonometrijske funkcije, koja opisuje ovisnost koordinate oscilirajućeg tijela o vremenu. Stoga je tačan odgovor zadatak 11.1.5 - 3 .

Period je vrijeme potpune oscilacije. To znači da povratak tijela u istu tačku iz koje se tijelo počelo kretati ne znači da je period prošao: tijelo se mora vratiti u istu tačku istom brzinom. Na primjer, tijelo, koje je započelo oscilacije iz ravnotežnog položaja, tokom perioda će imati vremena da odstupi za maksimalnu vrijednost u jednom smjeru, vrati se, odstupi do maksimuma u drugom smjeru i ponovo se vrati. Dakle, tokom perioda, telo će imati vremena da dva puta odstupi za maksimalnu vrednost od ravnotežnog položaja i vrati se nazad. Dakle, prelazak iz ravnotežnog položaja do tačke maksimalnog odstupanja ( zadatak 11.1.6) tijelo provodi četvrti dio menstruacije (odgovor 3 ).

Takve oscilacije nazivaju se harmonijskim, u kojima se ovisnost koordinate tijela koje oscilira o vremenu opisuje trigonometrijskom (sinusnom ili kosinusnom) funkcijom vremena. AT zadatak 11.1.7 ovo su funkcije i , uprkos činjenici da su parametri uključeni u njih označeni kao 2 i 2 . Funkcija je trigonometrijska funkcija kvadrata vremena. Stoga su fluktuacije samo količina i harmonične (odgovor 4 ).

Kod harmonijskih oscilacija brzina tijela se mijenja po zakonu , gdje je amplituda oscilacija brzine (vremenska referenca je odabrana tako da početna faza oscilacija bude jednaka nuli). Odavde nalazimo zavisnost kinetička energija tijela iz vremena
(zadatak 11.1.8). Koristeći dobro poznato trigonometrijska formula, dobijamo

Iz ove formule proizilazi da se kinetička energija tijela mijenja tokom harmonijskih oscilacija također po harmonijskom zakonu, ali sa udvostručenom frekvencijom (odgovor je 2 ).

Iza omjera između kinetičke energije tereta i potencijalne energije opruge ( zadatak 11.1.9) može se lako pratiti iz sljedećih razmatranja. Kada se tijelo maksimalno odmakne od ravnotežnog položaja, brzina tijela je nula, pa je stoga potencijalna energija opruge veća od kinetičke energije tereta. Nasuprot tome, kada tijelo prijeđe ravnotežni položaj, potencijalna energija opruge je nula, pa je stoga kinetička energija veća od potencijalne energije. Dakle, između prolaska ravnotežnog položaja i maksimalnog odstupanja, kinetička i potencijalna energija se uspoređuju jednom. A pošto tokom perioda telo pređe četiri puta iz ravnotežnog položaja do maksimalnog odstupanja ili obrnuto, tada se tokom perioda kinetička energija tereta i potencijalna energija opruge upoređuju jedna s drugom četiri puta (odgovor je 2 ).

Amplituda fluktuacija brzine ( zadatak 11.1.10) je najlakše pronaći po zakonu održanja energije. U tački maksimalnog otklona energija oscilatornog sistema jednaka je potencijalnoj energiji opruge , gdje je koeficijent krutosti opruge, je amplituda oscilacije. Prilikom prolaska kroz ravnotežni položaj, energija tijela jednaka je kinetičkoj energiji , gdje je masa tijela, brzina tijela pri prolasku kroz ravnotežni položaj, tj. maksimalna brzina tijelo u procesu oscilovanja i, prema tome, predstavlja amplitudu oscilacija brzine. Izjednačavajući ove energije, nalazimo

(odgovor 4 ).

Iz formule (11.5) zaključujemo ( zadatak 11.2.2) da njegov period ne zavisi od mase matematičkog klatna, a sa povećanjem dužine za 4 puta, period oscilovanja se povećava za 2 puta (odgovor je 1 ).

Sat je oscilatorni proces, koji se koristi za mjerenje vremenskih intervala ( zadatak 11.2.3). Reči sat "juriš" znače da je period ovog procesa manje od togašta bi trebalo da bude. Stoga, da bi se razjasnio tok ovih taktova, potrebno je povećati period procesa. Prema formuli (11.5), da bi se povećao period oscilovanja matematičkog klatna, potrebno je povećati njegovu dužinu (odgovor je 3 ).

Da biste pronašli amplitudu oscilacija u zadatak 11.2.4, potrebno je zavisnost koordinata tijela o vremenu predstaviti u obliku jedne trigonometrijske funkcije. Za funkciju datu u uvjetu, to se može učiniti uvođenjem dodatnog kuta. Množenje i dijeljenje ove funkcije sa i korištenje formule za dodavanje trigonometrijske funkcije, dobijamo

gdje je ugao takav da . Iz ove formule slijedi da je amplituda oscilacija tijela (odgovor 4 ).

Dobar dan!

Sve je prilično jednostavno. Sada mogu reći nekoliko složenice, ali ću onda pokušati da objasnim njihovo značenje. Radi jednostavnosti prezentacije, govorit ćemo o jednodimenzionalnom slučaju; sve se lako može generalizirati na slučaj više stupnjeva slobode.

dakle, glavni zadatak mehanika --- da se pronađe zavisnost koordinate tijela od vremena, odnosno da se u stvari nađe neka funkcija koja svakom trenutku vremena povezuje određenu vrijednost koordinate. Svako kretanje opisujemo koristeći drugi Newtonov zakon. Ovaj zakon uključuje ubrzanje, koje je drugi izvod koordinate tijela u odnosu na vrijeme, i silu koja obično ovisi o samoj koordinati. Takođe, sila može zavisiti od brzine tela, odnosno od prvog izvoda koordinate u odnosu na vreme. Dakle, sa matematička poenta sa gledišta, drugi Newtonov zakon predstavlja određeni odnos između koordinata, njenih prvog i drugog izvoda. Ovaj odnos se u matematici naziva diferencijalna jednadžba. Najviši izvod uključen u takvu jednačinu je drugi. Matematika kaže da je rješenje takve jednačine, tj opšti oblik funkcija koja zadovoljava našu relaciju zavisi od dvije proizvoljne konstante koje se ne mogu odrediti iz jednačine. Ove proizvoljne konstante se određuju od slučaja do slučaja, na primjer, pomoću takozvanih početnih uslova. Odnosno, da biste točno razumjeli kako će se tijelo kretati, morate znati ne samo koje sile djeluju na njega, već i koje su njegove početne koordinate i brzina. Dvije proizvoljne konstante u rješenju su odabrane na način da dobijena funkcija i njen deriv (tj. brzina) u početni trenutak vrijeme je dalo vrijednosti.

To je apsolutno opšta situacija. Sjetite se kada govorimo o kretanju tijela sa konstantno ubrzanje, da bismo precizno odredili kretanje, potrebna su nam tačno dva broja, početna koordinata i startna brzina.

Isto važi i za oscilaciju. Oscilovanje određenog klatna (odnosno klatna sa datom prirodnom frekvencijom) takođe je određeno sa dva broja. Obično se rješenje jednačine klatna dobiveno iz Newtonovog drugog zakona zapisuje kao .

Ovdje one igraju samo ulogu proizvoljnih konstanti, koje se moraju odrediti iz početnih uslova. Izračunajmo brzinu: . Javite nam to u nulti trenutak vrijeme, koordinate i brzina klatna su bile jednake i . Nakon što je riješen sistem običnih jednačina , može se naći specifični izrazi za i kroz i .

Neću dati odgovor opšti slučaj ako želite, možete to lako učiniti sami. Govoriću samo o konkretnim slučajevima. Neka je, na primjer, poznato da je tijelo u nultom trenutku u ravnoteži (tj. ), a njegova brzina jednaka je njegovoj maksimalnoj vrijednosti (tj. ). Tada dobijamo za naš poseban slučaj da sistem jednačina ima oblik: . Iz prve jednadžbe je odmah jasno da (naravno, prva jednačina također zadovoljava uvjet , ali tada će se naše rješenje ispostaviti da je nula, ali to nam ne odgovara). Drugi tada poprima oblik: , odakle . Tako smo pronašli izraze za obje konstante. Kao rezultat, imamo: U isto vrijeme, ispada za ubrzanje. Ako sada označimo poznatijim izrazom za amplitudu , dobićemo poznatije formule.

Razmotrimo još jedan primjer. Sada neka teret bude unutra ekstremni položaj, odnosno njegova brzina je nula. Pretpostavićemo da je odstupilo od negativnu stranu osa, odnosno njegova koordinata je . Zatim jednačine za početni uslovi uzmi oblik: iz druge jednačine. Od prvog: . Dakle, za koordinatu ima: (druga jednakost pomoću formule redukcije). Za brzinu: . Za ubrzanje: .

Specifične formule zavise od početnih podataka. Uzimajući u obzir periodičnost sinusa i kosinusa, korištenjem različite formule cast, možete ukloniti znakove iz formula, dodati faze itd.

Što se tiče formule u problemu, ne postoji frekvencija, jer je njena specifična vrijednost zamijenjena:

Besplatne vibracije nastaju pod uticajem unutrašnje sile sistema nakon što je sistem izvučen iz ravnoteže.

To slobodne vibracije su napravljene po harmonijskom zakonu, potrebno je da sila koja teži da vrati tijelo u ravnotežni položaj bude proporcionalna pomaku tijela iz ravnotežnog položaja i usmjerena u smjeru suprotnom od pomaka (vidi § 2.1):

Snaga bilo koje druge fizičke prirode koji zadovoljavaju ovaj uslov nazivaju se kvazielastična .

Dakle, opterećenje neke mase m pričvršćena na oprugu za ukrućenje k, čiji je drugi kraj nepomično fiksiran (slika 2.2.1), čine sistem sposoban da vrši slobodne harmonijske oscilacije u odsustvu trenja. Masa na opruzi se zove linearni harmonik oscilator.

Kružna frekvencija ω 0 slobodne vibracije Težina opruge se nalazi iz drugog Newtonovog zakona:

Kod horizontalnog rasporeda sistema opružnog opterećenja, sila gravitacije koja se primjenjuje na opterećenje kompenzira se reakcijskom silom oslonca. Ako je teret okačen na oprugu, tada je sila gravitacije usmjerena duž linije kretanja tereta. U ravnotežnom položaju, opruga se rasteže za određenu količinu x 0 jednako

Stoga se drugi Newtonov zakon za opterećenje opruge može zapisati kao

Jednačina (*) se zove jednadžba slobodnih vibracija . Treba napomenuti da fizička svojstva oscilatorni sistem odrediti samo prirodnu frekvenciju oscilacija ω 0 ili period T . Parametri procesa oscilovanja kao što su amplituda x m i početna faza φ 0 određene su načinom na koji je sistem izbačen iz ravnoteže u početnom trenutku vremena.

Ako je, na primjer, opterećenje bilo pomaknuto iz ravnotežnog položaja za udaljenost Δ l a zatim na vrijeme t= 0 otpušteno bez početne brzine, onda x m = ∆ l, φ 0 = 0.

Ako je, međutim, početna brzina ± υ 0 dodijeljena teretu, koji je bio u ravnotežnom položaju, uz pomoć oštrog pritiska, tada,

Dakle, amplituda x Određene su m slobodnih oscilacija i njena početna faza φ 0 početni uslovi .

Postoji mnogo varijanti mehaničkih oscilatornih sistema koji koriste sile elastičnih deformacija. Na sl. 2.2.2 prikazuje ugaoni analog linearnog harmonijskog oscilatora. Horizontalno postavljen disk visi na elastičnom navoju pričvršćenom u središtu mase. Kada se disk rotira za ugao θ, javlja se moment sila M elastična torzijska deformacija:

gdje I = I C - moment inercije diska oko ose koja prolazi kroz centar mase, ε - ugaono ubrzanje.

Po analogiji s opterećenjem opruge, možete dobiti:

Besplatne vibracije. Matematičko klatno

Matematičko klatno naziva se tijelo male veličine, okačeno na tanku nerastegljivu nit, čija je masa zanemarljiva u odnosu na masu tijela. U ravnotežnom položaju, kada klatno visi na visku, sila gravitacije je uravnotežena silom napetosti niti. Kada klatno odstupi od ravnotežnog položaja za određeni ugao φ, pojavljuje se tangencijalna komponenta gravitacije F τ = - mg sin φ (slika 2.3.1). Znak minus u ovoj formuli znači da je tangencijalna komponenta usmjerena u smjeru suprotnom od otklona klatna.

Ako je označeno sa x linearni pomak klatna iz ravnotežnog položaja duž luka kružnice polumjera l, tada će njegov kutni pomak biti jednak φ = x / l. Drugi Newtonov zakon, napisan za projekcije vektora ubrzanja i sile na smjer tangente, daje:

Ova relacija pokazuje da je matematičko klatno kompleks nelinearne sistema, pošto je sila koja teži da vrati klatno u njegov ravnotežni položaj proporcionalna nepomeranju x, a

Samo u slučaju male fluktuacije kada je blizu može zamijeniti matematičko klatno je harmonijski oscilator, odnosno sistem sposoban da izvodi harmonijske oscilacije. U praksi, ova aproksimacija vrijedi za uglove reda veličine 15-20°; dok se vrijednost razlikuje od najviše 2%. Oscilacije klatna pri velikim amplitudama nisu harmonijske.

Za male oscilacije matematičkog klatna, Newtonov drugi zakon se zapisuje kao

Ova formula izražava prirodna frekvencija malih oscilacija matematičkog klatna .

shodno tome,

Svako tijelo postavljeno na horizontalnu os rotacije sposobno je vršiti slobodne oscilacije u gravitacionom polju i stoga je također klatno. Takvo klatno se zove fizički (Slika 2.3.2). Od matematičkog se razlikuje samo po raspodjeli masa. U položaju stabilne ravnoteže, centar mase C fizičko klatno je ispod ose rotacije O na vertikali koja prolazi kroz os. Kada klatno odstupi za ugao φ, javlja se moment gravitacije koji teži da vrati klatno u ravnotežni položaj:

a Njutnov drugi zakon za fizičko klatno postaje (videti §1.23)

Ovdje ω 0 - prirodna frekvencija malih oscilacija fizičkog klatna .

shodno tome,

Prema tome, jednadžba koja izražava drugi Newtonov zakon za fizičko klatno može se napisati kao

Konačno, za kružnu frekvenciju ω 0 slobodnih oscilacija fizičkog klatna dobija se sljedeći izraz:

Transformacije energije tokom slobodnih mehaničkih vibracija

Kada je slobodan mehaničke vibracije kinetička i potencijalna energija se periodično mijenjaju. Pri maksimalnom odstupanju tijela od ravnotežnog položaja, njegova brzina, a time i kinetička energija, nestaje. U ovom položaju dostiže potencijalna energija oscilirajućeg tijela maksimalna vrijednost. Za opterećenje opruge, potencijalna energija je energija elastične deformacije opruge. Za matematičko klatno, ovo je energija u Zemljinom gravitacionom polju.

Kada tijelo u svom kretanju prođe kroz ravnotežni položaj, njegova brzina je maksimalna. Tijelo preskače ravnotežni položaj prema zakonu inercije. U ovom trenutku ima maksimalnu kinetičku i minimalnu potencijalnu energiju. Povećanje kinetičke energije događa se na račun smanjenja potencijalne energije. Daljnjim kretanjem potencijalna energija počinje rasti zbog smanjenja kinetičke energije itd.

Dakle, tokom harmonijskih oscilacija dolazi do periodične transformacije kinetičke energije u potencijalnu i obrnuto.

Ako nema trenja u oscilatornom sistemu, onda ukupna mehanička energija tokom slobodnih vibracija ostaje nepromijenjena.

Za opružno opterećenje(vidi §2.2):

U realnim uslovima svaki oscilatorni sistem je pod uticajem sila trenja (otpora). U tom slučaju se dio mehaničke energije pretvara u unutrašnja energija termičko kretanje atomi i molekuli, i vibracije postaju fading (Slika 2.4.2).

Brzina prigušenja oscilacija ovisi o veličini sila trenja. Vremenski interval τ tokom kojeg se amplituda oscilovanja smanjuje u e≈ 2,7 puta, pozvan vreme propadanja .

Frekvencija slobodnih oscilacija zavisi od brzine prigušenja oscilacija. Kako se sile trenja povećavaju, prirodna frekvencija se smanjuje. Međutim, promjena prirodne frekvencije postaje primjetna samo pri dovoljno velikim silama trenja, kada prirodne oscilacije brzo opadaju.

Važna karakteristika oscilatornog sistema koji oslobađa prigušene oscilacije, je faktor kvaliteta Q. Ovaj parametar je definiran kao broj N ukupne oscilacije koje sistem pravi tokom vremena prigušenja τ, pomnoženo sa π:

Dakle, faktor kvaliteta karakteriše relativni gubitak energije oscilatornog sistema zbog prisustva trenja u vremenskom intervalu jednakom jednom periodu oscilovanja.

Prisilne vibracije. Rezonancija. Samooscilacije

Oscilacije koje nastaju pod uticajem vanjske periodične sile nazivaju se prisiljen.

Spoljna sila vrši pozitivan rad i obezbeđuje priliv energije u oscilatorni sistem. Ne dopušta da oscilacije nestaju, uprkos djelovanju sila trenja.

Periodična vanjska sila može varirati u vremenu prema različitim zakonima. Posebno je zanimljiv slučaj kada vanjska sila, mijenjajući se po harmonijskom zakonu sa frekvencijom ω, djeluje na oscilatorni sistem sposoban da vrši prirodne oscilacije na određenoj frekvenciji ω 0 .

Ako se slobodne oscilacije javljaju na frekvenciji ω 0, koja je određena parametrima sistema, tada se stabilne prisilne oscilacije uvijek javljaju pri frekvencija ω vanjske sile.

Nakon početka uticaja vanjske sile na oscilatorni sistem, neko vrijeme Δ t uspostaviti prisilne vibracije. Vrijeme smirivanja je po redu veličine jednako vremenu opadanja τ slobodnih oscilacija u oscilatornom sistemu.

U početnom trenutku oba procesa se pobuđuju u oscilatornom sistemu – prisilne oscilacije na frekvenciji ω i slobodne oscilacije na prirodnoj frekvenciji ω 0 . Ali slobodne vibracije su prigušene zbog neizbježnog prisustva sila trenja. Stoga, nakon nekog vremena, u oscilatornom sistemu ostaju samo stacionarne oscilacije na frekvenciji ω vanjske pokretačke sile.

Razmotrimo, kao primjer, prisilne vibracije tijela na oprugu (slika 2.5.1). Na slobodni kraj opruge primjenjuje se vanjska sila. Ona prisiljava slobodni (lijevo na slici 2.5.1) kraj opruge da se kreće prema zakonu

Ako je lijevi kraj opruge pomaknut za razmak y, a desni - na daljinu x iz njihovog prvobitnog položaja, kada opruga nije bila deformisana, tada raste izduženje opruge Δ l jednako:

U ovoj jednačini, sila koja djeluje na tijelo je predstavljena kao dva člana. Prvi član na desnoj strani je elastična sila koja teži da vrati tijelo u ravnotežni položaj ( x= 0). Drugi pojam je vanjski periodični utjecaj na tijelo. Ovaj termin se zove ubedljiva sila.

Jednačina koja izražava drugi Newtonov zakon za tijelo na oprugi u prisustvu vanjskog periodičnog djelovanja može se dati strogi matematički oblik, ako uzmemo u obzir odnos između ubrzanja tijela i njegove koordinate: Tada biće napisan u formi

Jednačina (**) ne uzima u obzir djelovanje sila trenja. Za razliku od jednačine slobodnih oscilacija(*) (vidi §2.2) jednačina prisilnih vibracija(**) sadrži dvije frekvencije - frekvenciju ω 0 slobodnih oscilacija i frekvenciju ω pokretačke sile.

Stalne prisilne oscilacije opterećenja na oprugu javljaju se na frekvenciji spoljni uticaj u zakonu

x(t) = x m cos (ω t + θ).

Amplituda prisilnih vibracija x m i početna faza θ zavise od odnosa frekvencija ω 0 i ω i od amplitude y m spoljna sila.

Na vrlo niskim frekvencijama, kada ω<< ω 0 , движение тела массой m, pričvršćen za desni kraj opruge, ponavlja kretanje lijevog kraja opruge. Gde x(t) = y(t), a opruga ostaje praktično nedeformisana. Vanjska sila primijenjena na lijevi kraj opruge ne radi, jer je modul ove sile na ω<< ω 0 стремится к нулю.

Ako se frekvencija ω vanjske sile približi vlastitoj frekvenciji ω 0 , dolazi do naglog povećanja amplitude prisilnih oscilacija. Ovaj fenomen se zove rezonancija . Amplitudna zavisnost x m prisilnih oscilacija od frekvencije ω pokretačke sile naziva se rezonantna karakteristika ili rezonantna kriva(Slika 2.5.2).

U rezonanciji, amplituda x m fluktuacije opterećenja mogu biti mnogo puta veće od amplitude y m oscilacije slobodnog (lijevog) kraja opruge uzrokovane vanjskim djelovanjem. U nedostatku trenja, amplituda prinudnih oscilacija u rezonanciji trebala bi se neograničeno povećavati. U realnim uslovima, amplituda stabilnih prisilnih oscilacija određena je uslovom: rad spoljne sile tokom perioda oscilovanja mora biti jednak gubitku mehaničke energije tokom istog vremena usled trenja. Što je manje trenje (tj. veći je faktor kvalitete Q oscilatornog sistema), što je veća amplituda prinudnih oscilacija u rezonanciji.

Za oscilatorne sisteme sa ne baš visokim faktorom kvaliteta (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Fenomen rezonancije može uzrokovati uništenje mostova, zgrada i drugih konstrukcija, ako se prirodne frekvencije njihovih oscilacija poklapaju s frekvencijom periodično djelujuće sile, koja je nastala, na primjer, zbog rotacije neuravnoteženog motora.

Prisilne vibracije su neprigušeni fluktuacije. Neizbježni gubici energije zbog trenja kompenziraju se snabdijevanjem energijom iz vanjskog izvora periodično djelujuće sile. Postoje sistemi u kojima neprigušene oscilacije nastaju ne zbog periodičnog vanjskog utjecaja, već kao rezultat sposobnosti takvih sistema da reguliraju protok energije iz stalnog izvora. Takvi sistemi se nazivaju samooscilirajući, i proces neprigušenih oscilacija u takvim sistemima - samooscilacije . U samooscilatornom sistemu mogu se razlikovati tri karakteristična elementa - oscilatorni sistem, izvor energije i uređaj za povratnu spregu između oscilatornog sistema i izvora. Kao oscilatorni sistem, može se koristiti bilo koji mehanički sistem sposoban da izvodi sopstvene prigušene oscilacije (na primer, klatno zidnog sata).

Izvor energije može biti energija deformacije opruge ili potencijalna energija tereta u gravitacionom polju. Uređaj povratne sprege je mehanizam kojim autooscilatorni sistem reguliše protok energije iz izvora. Na sl. 2.5.3 prikazuje dijagram interakcije različitih elemenata samooscilirajućeg sistema.

Primjer mehaničkog samooscilirajućeg sistema je sat sa sidro pomeriti (slika 2.5.4). Točak za trčanje sa kosim zubima čvrsto je pričvršćen na nazubljeni bubanj, kroz koji se baca lanac sa utegom. Pričvršćen za gornji kraj klatna sidro(sidro) sa dvije ploče od tvrdog materijala, zakrivljene duž luka kružnice sa centrom na osi klatna. U ručnom satu težinu zamjenjuje opruga, a klatno zamjenjuje balansir - ručni kotač pričvršćen za spiralnu oprugu. Balanser izvodi torzijske vibracije oko svoje ose. Oscilatorni sistem u satu je klatno ili balans.

Izvor energije je podignuta težina ili namotana opruga. Uređaj za povratnu informaciju je sidro koje omogućava pogonskom točku da okrene jedan zub u jednom poluciklusu. Povratna informacija se postiže interakcijom sidra i kotača. Sa svakim oscilacijom klatna, zub putnog točka gura sidrenu vilicu u smjeru kretanja klatna, prenoseći joj određeni dio energije, čime se nadoknađuju gubici energije uslijed trenja. Tako se potencijalna energija utega (ili uvrnute opruge) postepeno, u odvojenim dijelovima, prenosi na klatno.

Mehanički samooscilatorni sistemi su rasprostranjeni u životu oko nas iu tehnologiji. Samooscilacije izvode parne mašine, motori sa unutrašnjim sagorevanjem, električna zvona, žice gudačkih muzičkih instrumenata, vazdušni stubovi u cevima duvačkih instrumenata, glasne žice pri govoru ili pevanju itd.

Slika 2.5.4. Satni mehanizam sa klatnom.

Kada se oscilacije dešavaju u školi, one su ilustrovane dvama najjednostavnijim primjerima: utegom na oprugi i matematičkim klatnom (tj. tačkastim utegom na nerastezljivoj niti) u polju gravitacije. U oba slučaja uočena je važna pravilnost u oscilacijama: njihov period ne zavisi od amplitude - barem dok je ta amplituda mala - već je određen samo mehaničkim svojstvima sistema.

Kombinirajmo sada ova dva primjera i razmotrimo vibracije utega okačenog na zateznu oprugu u gravitacionom polju (slika 1).

Radi jednostavnosti, zanemarujemo treću dimenziju i pretpostavljamo da ovo opružno klatno oscilira striktno u ravnini figure. U ovom slučaju, težina (koja se takođe smatra tačkastim utegom) može se kretati u vertikalnoj ravni u proizvoljnom smjeru, a ne samo gore-dolje ili lijevo-desno, kao što je prikazano na sl. 2. Ali ako se opet ograničimo na samo mala odstupanja od ravnotežnog položaja, tada se horizontalne i vertikalne oscilacije javljaju gotovo nezavisno, sa svojim periodima T x i T y.

Čini se da budući da su ove oscilacije određene potpuno različitim silama i karakteristikama sistema, onda njihovi periodi mogu biti potpuno proizvoljni, ni na koji način međusobno povezani. Ispostavilo se - ne!

Zadatak

Dokazati da je za takvo klatno period horizontalnih oscilacija uvijek veći od perioda vertikalnih: T x > T y.

Clue

U početku vas problem može iznenaditi činjenicom da se čini da u njemu ništa nije dato, ali nešto treba dokazati. Ali tu nema ništa loše. Kada je problem formuliran na ovaj način, to znači da možete za sebe uvesti neku notaciju koja vam je potrebna, izračunati s njima ono što je potrebno i onda doći do zaključka koji je već ne zavisi od ovih vrednosti. Uradite to za ovaj zadatak. Uzmite formule za periode zamaha, razmislite o uključenim količinama i uporedite dva perioda međusobno dijeleći jedan s drugim.

Rješenje

Period oscilacije masenog utega m na oprugu za ukrućenje k i dužina L 0 je

.

Ova formula se ne mijenja čak i ako je težina suspendirana u gravitacijskom polju sa ubrzanjem slobodnog pada g. Naravno, ravnotežni položaj utega će se pomeriti naniže na visinu Δ L = mg/k- s takvim izduženjem opruge elastična sila kompenzira silu gravitacije. Ali period vertikalnih oscilacija oko ovog novog ravnotežnog položaja sa istegnutom oprugom ostaće isti.

Period horizontalnih oscilacija rastegnutog klatna izražava se kao gravitacijsko ubrzanje g i njegov kompletan dužina L = L 0 +Δ L:

.

To saznajemo zahvaljujući dodatnom istezanju u gravitacionom polju

To je cijelo rješenje.

Pogovor

Uprkos svojoj prividnoj jednostavnosti, klatno na oprugi je sistem koji je prilično bogat fenomenima. Ovo je jedan od najjednostavnijih primjera simpatičnog fenomena - Fermijeve rezonance. Sastoji se u ovome. Uopšteno govoreći, ako se težina nekako povuče i oslobodi, tada će oscilirati i okomito i horizontalno. Ove dvije vrste oscilacija jednostavno će se preklapati i neće ometati jedna drugu. Ali ako su periodi vertikalnih i horizontalnih oscilacija povezani relacijom T x = 2T y, tada će horizontalne i vertikalne oscilacije, kao protiv svoje volje, postepeno prelaziti jedna u drugu, kao u animaciji s desne strane. Energija vibracija će se, takoreći, pumpati iz vertikalnih vibracija u horizontalne vibracije i obrnuto.

To izgleda ovako: povučete težinu prema dolje i otpustite je. U početku samo oscilira gore-dolje, zatim se sam počinje ljuljati u stranu, na trenutak oscilacija postaje gotovo potpuno horizontalna, a zatim se ponovo vraća u vertikalnu. Iznenađujuće, striktno vertikalna oscilacija se pokazala nestabilnom.

Objašnjenje ovog izuzetnog efekta, kao i magični odnos T x:T y= 2:1, to je to. Označiti sa x i y odstupanja težine od ravnotežnog položaja (os y usmereno prema gore). S takvim odstupanjem potencijalna energija raste za iznos

Ovo je tačna formula, pogodna je za sva odstupanja, velika i mala. Ali ako x i y mali, mnogo manje L, tada je izraz približno jednak

plus drugi termini koji sadrže još veće stepene odstupanja. Količine U y i U x su obične potencijalne energije iz kojih se dobijaju vertikalne i horizontalne oscilacije. A ovdje je vrijednost označena plavom bojom Uxy je poseban aditiv koji stvara interakcija između ovih vibracija. Zbog ove male interakcije, vertikalne vibracije utiču na horizontalne vibracije i obrnuto. Ovo postaje prilično transparentno ako izvršimo dalje proračune i napišemo jednadžbu za horizontalne i vertikalne oscilacije:

gdje je notacija

Bez plavog dodatka, imali bismo uobičajene nezavisne oscilacije okomito i horizontalno sa frekvencijama ωy i ω x. Ovaj aditiv igra ulogu pokretačka snaga, dodatno pumpanje vibracija. Ako su frekvencije ωy i ω x su proizvoljni, onda ova mala sila ne dovodi do nekog značajnog efekta. Ali ako je odnos ωy = 2ω x, počinje rezonancija: pokretačka sila za oba tipa oscilacija sadrži komponentu sa istom frekvencijom kao i sama oscilacija. Kao rezultat, ova sila polako ali postojano stvara jednu vrstu oscilacija i potiskuje drugu. Tako se horizontalne i vertikalne vibracije prelivaju jedna u drugu.

Dodatne ljepote nastaju ako se u ovom primjeru iskreno uzme u obzir treća dimenzija. Pretpostavljamo da teg može vertikalno sabijati-rastezati oprugu i ljuljati se poput klatna u dva horizontalna smjera. Zatim, kada je uslov rezonancije ispunjen, kada se gleda odozgo, težina ispisuje putanju zvijezde, kao što je, na primjer, na sl. 3. To se dešava zato što ravan oscilovanja ne ostaje nepomična, već se rotira - ali ne glatko, već kao u skokovima. Sve dok titranje ide s jedne na drugu stranu, ova se ravan manje-više drži, a okretanje se događa u tom kratkom intervalu kada je njihanje gotovo okomito. Pozivamo čitaoce da sami razmisle koji su razlozi ovakvog ponašanja i šta određuje ugao rotacije aviona. A oni koji žele bezglavo uroniti u ovaj prilično dubok zadatak mogu pogledati članak Stepwise Precession of the Resonant Swinging Spring , koji ne samo da pruža detaljnu analizu problema, već govori i o njegovoj povijesti i povezanosti ovog problema s drugim dijelovi fizike, posebno atomske fizike.