Izrazi, jednačine i sistemi jednačina
sa kompleksnim brojevima

Danas ćemo na lekciji razraditi tipične radnje sa kompleksnim brojevima, kao i savladati tehniku ​​rješavanja izraza, jednačina i sistema jednačina koje ti brojevi sadrže. Ova radionica je nastavak lekcije i stoga ako niste upoznati sa temom, slijedite gornji link. Pa, predlažem da se spremniji čitaoci odmah zagreju:

Primjer 1

Pojednostavite izraz , ako . Rezultat predstaviti u trigonometrijskom obliku i prikazati ga na kompleksnoj ravni.

Rješenje: dakle, trebate zamijeniti u "strašnom" razlomku, izvršiti pojednostavljenja i prevesti rezultirajući kompleksni broj in trigonometrijski oblik. Plus prokletstvo.

Koji je najbolji način za donošenje odluke? sa "fancy" algebarski izraz Bolje je ići korak po korak. Prvo, pažnja je manje raspršena, a drugo, ako se zadatak ne priznaje, bit će mnogo lakše pronaći grešku.

1) Hajde da prvo pojednostavimo brojilac. Zamijenite vrijednost u njega, otvorite zagrade i popravite frizuru:

... Da, ispao je takav Quasimodo iz kompleksnih brojeva ...

Podsjećam da se u transformacijama koriste potpuno domišljate stvari - pravilo množenja polinoma i ionako banalna jednakost. Glavna stvar je da budete oprezni i da se ne zbunite u znakovima.

2) Sada je imenilac sljedeći. Ako onda:

Zapazite u kakvom se neobičnom tumačenju koristi formula suma kvadrata. Alternativno, možete promijeniti ovdje podformula . Rezultati će se, naravno, poklapati.

3) I na kraju, cijeli izraz. Ako onda:

Da bismo se riješili razlomka, pomnožimo brojilac i imenilac izrazom koji je konjugiran sa nazivnikom. Međutim, za potrebe prijave formule razlike kvadrata trebalo bi preliminarno (i sigurno!) negativni realni dio stavi na 2. mjesto:

A sada ključno pravilo:

NIKAKO NE ŽURIMO! Bolje je igrati na sigurno i propisati dodatni korak.
U izrazima, jednačinama i sistemima sa kompleksnim brojevima drska usmena izračunavanja opterećen kao i uvek!

Došlo je do lijepe kontrakcije u posljednjem koraku i to je samo odličan znak.

Bilješka : strogo govoreći, ovdje se odvijala podjela kompleksnog broja kompleksnim brojem 50 (podsjetimo se ). O ovoj nijansi sam do sada ćutao, a o tome ćemo malo kasnije.

Označimo naše postignuće slovom

Predstavimo rezultat u trigonometrijskom obliku. Uopšteno govoreći, ovdje možete bez crteža, ali čim je potrebno, nešto je racionalnije završiti ga odmah:

Izračunaj modul kompleksnog broja:

Ako izvodite crtež u mjerilu od 1 jedinice. \u003d 1 cm (2 tetradne ćelije), tada je rezultujuću vrijednost lako provjeriti pomoću običnog ravnala.

Hajde da nađemo argument. Pošto je broj u 2 koordinatna četvrtina, zatim:

Ugao se jednostavno provjerava kutomjerom. Ovo je nesumnjivi plus crteža.

Dakle: - željeni broj u trigonometrijskom obliku.

provjerimo:
, što je trebalo provjeriti.

Pogodno je pronaći nepoznate vrijednosti sinusa i kosinusa trigonometrijska tabela.

Odgovori:

Sličan primjer za nezavisno rešenje:

Primjer 2

Pojednostavite izraz , gdje . Nacrtajte rezultirajući broj na kompleksnoj ravni i zapišite ga u eksponencijalnom obliku.

Pokušajte da ne propustite studije slučaja. Možda izgledaju jednostavno, ali bez treninga „ući u lokvicu“ nije jednostavno, već vrlo lako. Pa hajde da ga uhvatimo u ruke.

Često problem dozvoljava više od jednog rješenja:

Primjer 3

Izračunaj ako ,

Rješenje: pre svega, obratimo pažnju na izvorni uslov - jedan broj je predstavljen u algebarskom obliku, a drugi u trigonometrijskom obliku, pa čak i sa stepenima. Hajde da to odmah prepišemo u poznatijem obliku: .

U kom obliku treba izvršiti proračune? Izraz, očigledno, uključuje prvo množenje i dalje podizanje na 10. stepen u Formula De Moivre, koji je formuliran za trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Stoga se čini logičnijim pretvoriti prvi broj. Pronađite njegov modul i argument:

Koristimo pravilo množenja kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku:
ako onda

Čineći razlomak ispravnim, dolazimo do zaključka da je moguće "uvijati" 4 okreta (drago.):

Drugi način rješavanja je prevesti 2. broj u algebarski oblik , uradi množenje u algebarski oblik, prevedite rezultat u trigonometrijski oblik i koristite De Moivreovu formulu.

Kao što vidite, jedna "ekstra" akcija. Oni koji žele mogu pratiti rješenje do kraja i uvjeriti se da se rezultati poklapaju.

Uslov ne govori ništa o obliku rezultirajućeg kompleksnog broja, tako da:

Odgovori:

Ali "za ljepotu" ili na zahtjev, rezultat se lako može predstaviti u algebarskom obliku:

samostalno:

Primjer 4

Pojednostavite izraz

Ovdje je potrebno zapamtiti radnje sa ovlastima, iako jedan korisno pravilo nije u priručniku, evo ga: .

Još jedna stvar važna napomena: Primjer se može riješiti u dva stila. Prva opcija je raditi sa dva brojeve i pomiriti se sa razlomcima. Druga opcija je predstavljanje svakog broja u obrascu količnik dva broja: i osloboditi se četvorospratnice. Sa formalne tačke gledišta, nije bitno kako se odlučiti, ali postoji značajna razlika! Molimo vas da dobro razmislite:
je kompleksan broj;
je količnik dva kompleksna broja ( i ), međutim, ovisno o kontekstu, može se reći i ovo: broj predstavljen kao količnik dva kompleksna broja.

Quick Solution i odgovor na kraju lekcije.

Izrazi su dobri, ali jednačine su bolje:

Jednačine sa kompleksnim koeficijentima

Po čemu se razlikuju od "običnih" jednačina? Koeficijenti =)

U svjetlu gornje napomene, počnimo s ovim primjerom:

Primjer 5

riješiti jednačinu

I neposredna preambula u vrućoj potjeri: originalno desni deo jednadžba je pozicionirana kao količnik dva kompleksna broja ( i 13) i stoga bi bilo loše prepisati uvjet sa brojem (iako to neće uzrokovati grešku). Inače, ova razlika se jasnije vidi u razlomcima - ako, relativno govoreći, , onda se ova vrijednost prvenstveno podrazumijeva kao "pun" kompleksni korijen jednadžbe, a ne kao djelitelj broja , a još više - ne kao dio broja !

Rješenje, u principu, takođe se može sastaviti korak po korak, ali u ovaj slučaj igra nije vrijedna svijeće. Početni zadatak je pojednostaviti sve što ne sadrži nepoznato "Z", zbog čega će se jednadžba svesti na oblik:

Pouzdano pojednostavite prosječni razlomak:

Prenosimo rezultat na desnu stranu i nalazimo razliku:

Bilješka : i opet vam skrećem pažnju na suvislu poentu - ovdje nismo oduzeli broj od broja, već smo zbrojili razlomke na zajednički imenilac! Treba napomenuti da već u toku rješenja nije zabranjeno raditi s brojevima: , međutim, u primjeru koji se razmatra, takav stil je više štetan nego koristan =)

Prema pravilu proporcije, izražavamo "z":

Sada opet možete dijeliti i množiti spojenim izrazom, ali sumnjivo slični brojevi brojnika i nazivnika sugeriraju sljedeći potez:

Odgovori:

U svrhu provjere, rezultujuću vrijednost zamjenjujemo u lijevu stranu originalne jednadžbe i izvodimo pojednostavljenja:

- dobije se desna strana izvorne jednadžbe, pa je korijen pravilno pronađen.

…Sad-sada…Odabraću nešto zanimljivije za vas…sačekajte:

Primjer 6

riješiti jednačinu

Ova jednačina svodi na oblik , i stoga je linearan. Nagoveštaj je, mislim, jasan - samo napred!

Naravno...kako se može živjeti bez toga:

Kvadratna jednadžba sa kompleksnim koeficijentima

Na lekciji Kompleksni brojevi za lutke naučili smo to kvadratna jednačina sa realnim koeficijentima mogu imati konjugirane kompleksne korijene, nakon čega se postavlja logično pitanje: zašto, zapravo, sami koeficijenti ne mogu biti kompleksni? ja ću formulisati opšti slučaj:

Kvadratna jednadžba sa proizvoljnim kompleksnim koeficijentima (od kojih 1 ili 2 ili sva tri mogu posebno važiti) Ima dva i samo dva složeni koreni (verovatno jedan ili oba su važeća). Dok korijeni (i stvarni i sa nenultim imaginarnim dijelom) mogu se podudarati (biti višestruki).

Kvadratna jednadžba sa kompleksnim koeficijentima rješava se na isti način kao "školska" jednačina, uz neke razlike u tehnici računanja:

Primjer 7

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe

Rješenje: imaginarna jedinica je na prvom mjestu i, u principu, možete je se riješiti (množenjem obje strane sa ), međutim, za tim nema posebne potrebe.

Radi praktičnosti pišemo koeficijente:

Ne gubimo "minus" besplatnog člana! ... Možda nije svima jasno - prepisaću jednačinu standardni obrazac :

Izračunajmo diskriminanta:

Evo glavne prepreke:

Aplikacija opšta formula vađenje korena (vidi zadnji pasus članka Kompleksni brojevi za lutke) je komplikovano ozbiljnim poteškoćama povezanim s argumentom radikalnog kompleksnog broja (uvjerite se sami). Ali postoji još jedan, "algebarski" način! Potražit ćemo korijen u obliku:

Kvadratirajmo obje strane:

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im realni i imaginarni dijelovi jednaki. Dakle, dobijamo sledeći sistem:

Sistem je lakše riješiti odabirom (temeljniji način je da izrazite iz 2. jednačine - zamijenite u 1., dobijete i riješite bikvadratna jednačina) . Pod pretpostavkom da autor problema nije čudovište, pretpostavljamo da su i cijeli brojevi. Iz 1. jednačine slijedi da je "x" modulo više od "y". Osim toga, pozitivan proizvod nam govori da su nepoznanice istog predznaka. Na osnovu prethodnog, i fokusirajući se na 2. jednadžbu, zapisujemo sve parove koji joj odgovaraju:

Očigledno, posljednja dva para zadovoljavaju 1. jednačinu sistema, dakle:

Međuprovjera neće škoditi:

što je trebalo provjeriti.

Kao "radni" root, možete odabrati bilo koji značenje. Jasno je da je bolje uzeti verziju bez "protiv":

Pronalazimo korijene, ne zaboravljajući, usput, da:

Odgovori:

Provjerimo da li pronađeni korijeni zadovoljavaju jednačinu :

1) Zamjena:

tačna jednakost.

2) Zamjena:

tačna jednakost.

Dakle, rješenje je pronađeno ispravno.

Inspirisan problemom o kome smo upravo govorili:

Primjer 8

Pronađite korijene jednadžbe

Treba napomenuti da Kvadratni korijen od čisto složeno brojevi su savršeno izvučeni i koristeći opću formulu , gdje , tako da su obje metode prikazane u uzorku. Druga korisna primjedba odnosi se na činjenicu da preliminarno izdvajanje korijena iz konstante uopće ne pojednostavljuje rješenje.

A sada se možete opustiti - u ovom primjeru ćete se malo uplašiti :)

Primjer 9

Riješite jednačinu i provjerite

Rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Završni pasus članka je posvećen

sistem jednačina sa kompleksnim brojevima

Opustili smo se i ... ne naprežemo se =) Razmislite najjednostavniji slučaj- sistem od dva linearne jednačine sa dvije nepoznanice:

Primjer 10

Riješite sistem jednačina. Predstavite odgovor u algebarskom i eksponencijalnom obliku, ocrtajte korijene na crtežu.

Rješenje: sam uslov sugeriše da sistem ima jedinstveno rešenje, odnosno da moramo pronaći dva broja koja zadovoljavaju svakome sistemska jednačina.

Sistem se zaista može riješiti na "djetinjast" način (izraziti jednu varijablu u terminima druge) , ali je mnogo praktičniji za korištenje Cramerove formule. Compute glavna odrednica sistemi:

, tako da sistem ima jedinstveno rješenje.

Ponavljam da je bolje ne žuriti i propisati korake što je detaljnije moguće:

Pomnožimo brojilac i imenilac zamišljenom jedinicom i dobijemo 1. korijen:

Slično:

Odgovarajuće desne strane, p.t.p.

Izradimo crtež:

Korijene predstavljamo u eksponencijalnom obliku. Da biste to učinili, morate pronaći njihove module i argumente:

1) - tangenta luka "dvojke" izračunava se "loše", pa to ostavljamo ovako:

Da biste riješili probleme s kompleksnim brojevima, morate razumjeti osnovne definicije. glavni zadatak ovog preglednog članka - objasniti šta su kompleksni brojevi i predstaviti metode rješavanja osnovnih zadataka s kompleksnim brojevima. Dakle, kompleksni broj je broj oblika z = a + bi, gdje a, b- realni brojevi, koji se nazivaju realni i imaginarni dijelovi kompleksnog broja, odnosno, i označavaju a = Re(z), b=Im(z).
i naziva se imaginarna jedinica. i 2 \u003d -1. Konkretno, svaki realan broj se može smatrati kompleksnim: a = a + 0i, gdje je a realno. Ako a = 0 i b ≠ 0, tada se broj naziva čisto imaginarnim.

Sada uvodimo operacije nad kompleksnim brojevima.
Razmotrimo dva kompleksna broja z 1 = a 1 + b 1 i i z 2 = a 2 + b 2 i.

Razmislite z = a + bi.

Skup kompleksnih brojeva proširuje skup realnih brojeva, koji zauzvrat proširuje skup racionalni brojevi itd. Ovaj lanac investicija može se vidjeti na slici: N - cijeli brojevi, Z su cijeli brojevi, Q su racionalni, R su realni, C su kompleksni.

Predstavljanje kompleksnih brojeva

Algebarska notacija.

Razmotrimo kompleksan broj z = a + bi, ovaj oblik pisanja kompleksnog broja se zove algebarski. Već smo detaljno raspravljali o ovom obliku pisanja u prethodnom dijelu. Često koristite sljedeći ilustrativni crtež

trigonometrijski oblik.

Iz slike se vidi da je broj z = a + bi može se napisati drugačije. Očigledno je da a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, Shodno tome z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) naziva se argument kompleksnog broja. Ova reprezentacija kompleksnog broja se zove trigonometrijski oblik. Trigonometrijski oblik zapisa ponekad je vrlo zgodan. Na primjer, zgodno ga je koristiti za podizanje kompleksnog broja na cijeli broj, naime, ako z = rcos(φ) + rsin(φ)i, onda z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ova formula se zove De Moivreova formula.

Demonstrativna forma.

Razmislite z = rcos(φ) + rsin(φ)i je kompleksan broj u trigonometrijskom obliku, pišemo ga u drugom obliku z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, posljednja jednakost proizlazi iz Eulerove formule, pa dobivamo nova forma unosi kompleksnih brojeva: z = re iφ, koji se zove demonstrativna. Ovaj oblik zapisa je također vrlo zgodan za podizanje kompleksnog broja na stepen: z n = r n e inφ, ovdje n nije nužno cijeli broj, ali može biti proizvoljan pravi broj. Ovaj oblik pisanja se često koristi za rješavanje problema.

Osnovni teorem više algebre

Zamislite da imamo kvadratnu jednačinu x 2 + x + 1 = 0. Očigledno, diskriminanta ove jednadžbe je negativna i nema realne korijene, ali ispada da ova jednadžba ima dva različita kompleksna korijena. Dakle, glavna teorema više algebre kaže da svaki polinom stepena n ima barem jedan kompleksni korijen. Iz ovoga slijedi da svaki polinom stepena n ima tačno n kompleksnih korijena, uzimajući u obzir njihovu višestrukost. Ova teorema je veoma važan rezultat u matematici i široko se koristi. Jednostavna posljedica ove teoreme je sljedeći rezultat: postoji tačno n razni koreni snage n iz jedinstva.

Glavne vrste zadataka

Ovaj odjeljak će pokriti glavne tipove jednostavni zadaci na kompleksne brojeve. Uobičajeno, problemi s kompleksnim brojevima mogu se podijeliti u sljedeće kategorije.

• Izvođenje jednostavnih aritmetičkih operacija nad kompleksnim brojevima.
• Pronalaženje korijena polinoma u kompleksnim brojevima.
• Podizanje kompleksnih brojeva na stepen.
• Izdvajanje korijena iz kompleksnih brojeva.
• Primjena kompleksnih brojeva za rješavanje drugih problema.

Sada razmislite opšte tehnike rješenja ovih problema.

Izvođenje najjednostavnijih aritmetičkih operacija sa kompleksnim brojevima odvija se prema pravilima opisanim u prvom dijelu, ali ako su kompleksni brojevi predstavljeni u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku, tada se u ovom slučaju mogu pretvoriti u algebarski oblik i izvršiti operacije prema poznatim pravilima.

Pronalaženje korijena polinoma obično se svodi na pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Pretpostavimo da imamo kvadratnu jednadžbu, ako je njen diskriminanta nenegativna, tada će njeni korijeni biti realni i nalaze se prema dobro poznatoj formuli. Ako je diskriminant negativan, onda D = -1∙a 2, gdje a je određeni broj, onda možemo predstaviti diskriminanta u obliku D = (ia) 2, Shodno tome √D = i|a|, a zatim možete koristiti poznata formula za korijene kvadratne jednadžbe.

Primjer. Vratimo se na gore spomenutu kvadratnu jednačinu x 2 + x + 1 = 0.
diskriminatorno - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1 (√3) 2 = (i√3) 2.
Sada možemo lako pronaći korijene:

Povećanje kompleksnih brojeva na stepen može se izvesti na nekoliko načina. Ako želite podići kompleksan broj u algebarskom obliku na mali stepen (2 ili 3), onda to možete učiniti direktnim množenjem, ali ako je stepen veći (u problemima je često mnogo veći), onda morate napišite ovaj broj u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku i koristite već poznate metode.

Primjer. Uzmimo z = 1 + i i povisimo na deseti stepen.
Z pišemo u eksponencijalnom obliku: z = √2 e iπ/4 .
Onda z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Vratimo se algebarskom obliku: z 10 = -32i.

Izdvajanje korijena iz kompleksnih brojeva je inverzna operacija eksponencijacije, pa se radi na sličan način. Za izdvajanje korijena često se koristi eksponencijalni oblik pisanja broja.

Primjer. Pronađite sve korijene stepena 3 jedinice. Da bismo to učinili, nalazimo sve korijene jednadžbe z 3 = 1, potražit ćemo korijene u eksponencijalnom obliku.
Zamjena u jednadžbi: r 3 e 3iφ = 1 ili r 3 e 3iφ = e 0 .
Dakle: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, dakle φ = 2πk/3.
Različiti korijeni se dobijaju na φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Stoga su 1 , e i2π/3 , e i4π/3 korijeni.
Ili u algebarskom obliku:

Posljednji tip zadatka uključuje veliko mnoštvo problema i ne postoje opšte metode za njihovo rešavanje. Evo jednostavnog primjera takvog zadatka:

Pronađite iznos sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Iako formulacija ovog problema nije u pitanju o kompleksnim brojevima, ali uz njihovu pomoć to se lako može riješiti. Da bi se to riješilo, koriste se sljedeće reprezentacije:


Ako sada ovu reprezentaciju zamijenimo zbirom, onda se problem svodi na zbir uobičajene geometrijske progresije.

Zaključak

Kompleksni brojevi se široko koriste u matematici, u ovom preglednom članku razmatrane su osnovne operacije nad kompleksnim brojevima, opisano je i ukratko nekoliko tipova standardnih problema uobičajene metode njihova rješenja, za detaljnije proučavanje mogućnosti kompleksnih brojeva, preporučuje se korištenje specijalizirane literature.

Književnost

Servis za rješavanje jednadžbi na mreži će vam pomoći da riješite bilo koju jednačinu. Koristeći našu stranicu, ne samo da ćete dobiti odgovor na jednadžbu, već ćete i vidjeti detaljno rješenje, odnosno korak po korak prikaz procesa dobijanja rezultata. Naša usluga će biti korisna srednjoškolcima opšteobrazovne škole i njihovi roditelji. Učenici će moći da se pripremaju za testove, ispite, provere svoje znanje, a roditelji će moći da kontrolišu odluku matematičke jednačine sa svojom decom. Sposobnost rješavanja jednačina je obavezan uslov za učenike. Usluga će vam pomoći da samostalno naučite i unaprijedite svoje znanje iz oblasti matematičkih jednačina. Pomoću njega možete riješiti bilo koju jednačinu: kvadratnu, kubičnu, iracionalnu, trigonometrijsku, itd. online usluga ali neprocjenjivo, jer pored tačnog odgovora dobijate detaljno rješenje svake jednačine. Prednosti rješavanja jednačina na mreži. Bilo koju jednačinu možete riješiti online na našoj web stranici apsolutno besplatno. Usluga je potpuno automatska, ne morate ništa da instalirate na svoj računar, samo treba da unesete podatke i program će izdati rešenje. Bilo kakve greške u proračunu ili tipografske greške su isključene. S nama je vrlo lako riješiti bilo koju jednadžbu na mreži, stoga svakako koristite našu stranicu za rješavanje bilo koje vrste jednadžbi. Potrebno je samo da unesete podatke i izračun će biti završen za nekoliko sekundi. Program radi samostalno, bez ljudske intervencije, a dobijate tačan i detaljan odgovor. Rješavanje jednačine u opšti pogled. U takvoj jednadžbi promjenjivi koeficijenti i željeni korijeni su međusobno povezani. Najveća snaga varijable određuje redoslijed takve jednačine. Na osnovu toga, za jednačine se koriste razne metode i teoreme za pronalaženje rješenja. Rješavanje jednačina ovog tipa znači pronalaženje željenih korijena općenito. Naša usluga vam omogućava da riješite i najsloženije algebarske jednadžbe na mreži. Možete dobiti i opće rješenje jednačine i privatno rješenje za one koje ste naveli. numeričke vrijednosti koeficijenti. Da biste riješili algebarsku jednadžbu na web mjestu, dovoljno je ispravno popuniti samo dva polja: lijevi i desni dio zadata jednačina. At algebarske jednačine sa promenljivim koeficijentima, beskonačnim brojem rešenja, a postavljanjem određenih uslova iz skupa rešenja se biraju privatna. Kvadratna jednadžba. Kvadratna jednadžba ima oblik ax^2+bx+c=0 za a>0. Rješavanje jednačina kvadratni pogled podrazumijeva pronalaženje vrijednosti x za koje je zadovoljena jednakost ax^2+bx+c=0. Da biste to učinili, vrijednost diskriminanta se nalazi po formuli D=b^2-4ac. Ako je diskriminanta manja od nule, onda jednačina nema realnih korijena (korijeni su iz polja kompleksnih brojeva), ako je nula, onda jednačina ima jedan pravi korijen, a ako je diskriminanta Iznad nule, tada jednadžba ima dva realna korijena, koji se nalaze po formuli: D \u003d -b + -sqrt / 2a. Za rješavanje kvadratne jednadžbe na mreži, trebate samo unijeti koeficijente takve jednačine (cijeli brojevi, razlomci ili decimalne vrijednosti). Ako u jednačini postoje znaci za oduzimanje, morate staviti minus ispred odgovarajućih članova jednačine. Kvadratnu jednačinu možete riješiti i online u zavisnosti od parametra, odnosno varijabli u koeficijentima jednačine. Naš online servis za pronalaženje zajednička rješenja. Linearne jednadžbe. Za rješavanje linearnih jednačina (ili sistema jednačina) u praksi se koriste četiri glavne metode. Hajde da detaljno opišemo svaku metodu. Metoda zamjene. Rješavanje jednadžbi metodom zamjene zahtijeva izražavanje jedne varijable u terminima drugih. Nakon toga, izraz se zamjenjuje u druge jednačine sistema. Otuda i naziv metode rješenja, odnosno umjesto varijable, zamjenjuje se njen izraz kroz ostale varijable. U praksi, metoda zahtijeva složene proračune, iako je lako razumljiva, pa će rješavanje takve jednadžbe na mreži uštedjeti vrijeme i olakšati proračune. Potrebno je samo da navedete broj nepoznatih u jednadžbi i popunite podatke iz linearnih jednačina, a zatim će servis izvršiti proračun. Gaussova metoda. Metoda se zasniva na najjednostavnijim transformacijama sistema kako bi se došlo do njega ekvivalentni sistem trouglasti. Nepoznate se iz njega određuju jedna po jedna. U praksi je potrebno riješiti takvu jednačinu na mreži sa Detaljan opis, zahvaljujući čemu ćete dobro savladati Gaussovu metodu za rješavanje sistema linearnih jednačina. Zapišite sistem linearnih jednačina u ispravnom formatu i uzmite u obzir broj nepoznanica kako biste pravilno riješili sistem. Cramerova metoda. Ova metoda rješava sisteme jednačina u slučajevima kada sistem ima jedinstveno rješenje. Glavna matematička operacija ovdje je proračun matrične determinante. Rješavanje jednadžbi Cramer metodom se provodi online, rezultat dobijate odmah s potpunim i detaljnim opisom. Dovoljno je samo popuniti sistem koeficijentima i odabrati broj nepoznatih varijabli. matrična metoda. Ova metoda se sastoji u prikupljanju koeficijenata nepoznatih u matrici A, nepoznatih u koloni X i slobodnih članova u koloni B. Tako se sistem linearnih jednačina svodi na matrična jednačina oblika AxX=B. Ova jednačina ima jedinstveno rješenje samo ako je determinanta matrice A različita od nule, u suprotnom sistem nema rješenja ili je beskonačan broj rješenja. Rješavanje jednačina matrična metoda je pronaći inverzna matrica ALI.

Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Jednadžbe je čovjek koristio od davnina i od tada se njihova upotreba samo povećava. Radi jasnoće, riješimo sljedeći problem:

Izračunaj \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] ako je \

Prije svega, obratimo pažnju na činjenicu da je jedan broj predstavljen u algebarskom obliku, drugi - u trigonometrijskom obliku. Treba ga pojednostaviti i sledeća vrsta

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Izraz \ kaže da, prije svega, radimo množenje i podizanje na 10. stepen prema Moivreovoj formuli. Ova formula je formulisana za trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Dobijamo:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Pridržavajući se pravila za množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku, učinit ćemo sljedeće:

u našem slučaju:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Ispravnim razlomak \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] zaključujemo da je moguće "uvrnuti" 4 zavoja \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Odgovor: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Ova jednadžba se može riješiti na drugi način, koji se svodi na dovođenje 2. broja u algebarski oblik, zatim izvođenje množenja u algebarskom obliku, prevođenje rezultata u trigonometrijski oblik i primjenu Moivreove formule:

Gde mogu da rešim sistem jednačina sa kompleksnim brojevima na mreži?

Sistem jednadžbi možete riješiti na našoj web stranici https: // site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da za nekoliko sekundi riješite online jednadžbu bilo koje složenosti. Sve što treba da uradite je da unesete svoje podatke u rešavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj Vkontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek smo sretni da vam pomognemo.