Τι είναι ένας αριθμός αριθμών. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του LCM

Μαθηματικές εκφράσειςκαι οι εργασίες απαιτούν πολλές πρόσθετες γνώσεις. Το NOC είναι ένα από τα κύρια, που χρησιμοποιείται ιδιαίτερα συχνά στο Το θέμα μελετάται στο γυμνάσιο και δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο να κατανοήσει κανείς το υλικό· ένα άτομο που είναι εξοικειωμένο με τις δυνάμεις και τον πίνακα πολλαπλασιασμού δεν θα δυσκολευτεί να εντοπίσει τους απαραίτητους αριθμούς και να ανακαλύψει αποτέλεσμα.

Ορισμός

Κοινό πολλαπλάσιο είναι ένας αριθμός που μπορεί να χωριστεί πλήρως σε δύο αριθμούς ταυτόχρονα (α και β). Τις περισσότερες φορές, αυτός ο αριθμός προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τους αρχικούς αριθμούς a και b. Ο αριθμός πρέπει να διαιρείται και με τους δύο αριθμούς ταυτόχρονα, χωρίς αποκλίσεις.

NOC είναι η αποδεκτή ονομασία μικρό όνομα, που συλλέγονται από τα πρώτα γράμματα.

Τρόποι για να πάρετε έναν αριθμό

Η μέθοδος πολλαπλασιασμού των αριθμών δεν είναι πάντα κατάλληλη για την εύρεση του LCM· είναι πολύ πιο κατάλληλη για απλούς μονοψήφιους ή διψήφιους αριθμούς. Είναι σύνηθες να χωρίζουμε σε παράγοντες· όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός, τόσο περισσότεροι παράγοντες θα υπάρχουν.

Παράδειγμα #1

Για το απλούστερο παράδειγμα, τα σχολεία χρησιμοποιούν συνήθως πρώτους, μονοψήφιους ή διψήφιους αριθμούς. Για παράδειγμα, πρέπει να λύσετε την παρακάτω εργασία, να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 7 και 3, η λύση είναι αρκετά απλή, απλώς πολλαπλασιάστε τους. Ως αποτέλεσμα, υπάρχει ένας αριθμός 21, απλά δεν υπάρχει μικρότερος αριθμός.

Παράδειγμα Νο. 2

Η δεύτερη έκδοση της εργασίας είναι πολύ πιο δύσκολη. Δίνονται οι αριθμοί 300 και 1260, η εύρεση του LOC είναι υποχρεωτική. Για την επίλυση του προβλήματος, γίνονται οι ακόλουθες ενέργειες:

Αποσύνθεση του πρώτου και του δεύτερου αριθμού σε απλούς παράγοντες. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Το πρώτο στάδιο έχει ολοκληρωθεί.

Το δεύτερο στάδιο περιλαμβάνει την εργασία με δεδομένα που έχουν ήδη ληφθεί. Κάθε ένας από τους αριθμούς που λαμβάνονται πρέπει να συμμετέχει στον υπολογισμό του τελικού αποτελέσματος. Για κάθε παράγοντα, ο μεγαλύτερος αριθμός εμφανίσεων λαμβάνεται από τους αρχικούς αριθμούς. NOC είναι συνολικός αριθμός, επομένως, οι παράγοντες από τους αριθμούς πρέπει να επαναλαμβάνονται σε αυτό, κάθε ένας, ακόμη και αυτοί που υπάρχουν σε ένα αντίγραφο. Και οι δύο αρχικοί αριθμοί περιέχουν τους αριθμούς 2, 3 και 5, in διαφορετικούς βαθμούς, 7 υπάρχει μόνο σε μία περίπτωση.

Για να υπολογίσετε το τελικό αποτέλεσμα, πρέπει να πάρετε κάθε αριθμό με τη μεγαλύτερη από τις δυνάμεις που αντιπροσωπεύονται στην εξίσωση. Το μόνο που μένει είναι να πολλαπλασιάσουμε και να λάβουμε την απάντηση· εάν συμπληρωθεί σωστά, η εργασία χωρίζεται σε δύο βήματα χωρίς εξήγηση:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Αυτό είναι όλο το πρόβλημα, αν προσπαθήσετε να υπολογίσετε τον απαιτούμενο αριθμό με πολλαπλασιασμό, τότε η απάντηση σίγουρα δεν θα είναι σωστή, αφού 300 * 1260 = 378.000.

Εξέταση:

6300 / 300 = 21 - σωστό.

6300 / 1260 = 5 - σωστό.

Η ορθότητα του αποτελέσματος που προκύπτει προσδιορίζεται με έλεγχο - διαίρεση του LCM και με τους δύο αρχικούς αριθμούς· εάν ο αριθμός είναι ακέραιος και στις δύο περιπτώσεις, τότε η απάντηση είναι σωστή.

Τι σημαίνει το NOC στα μαθηματικά;

Όπως γνωρίζετε, δεν υπάρχει ούτε μία άχρηστη συνάρτηση στα μαθηματικά, αυτή δεν αποτελεί εξαίρεση. Ο πιο συνηθισμένος σκοπός αυτού του αριθμού είναι να μειώσει τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή. Τι συνήθως μελετάται στις τάξεις 5-6 Λύκειο. Είναι επίσης ένας κοινός διαιρέτης για όλα τα πολλαπλάσια, εάν υπάρχουν τέτοιες συνθήκες στο πρόβλημα. Μια τέτοια έκφραση μπορεί να βρει ένα πολλαπλάσιο όχι μόνο δύο αριθμών, αλλά και ενός πολύ μεγαλύτερου αριθμού - τρία, πέντε και ούτω καθεξής. Πως περισσότερα νούμερα- τόσο περισσότερες ενέργειες υπάρχουν στην εργασία, αλλά η πολυπλοκότητα δεν αυξάνεται.

Για παράδειγμα, λαμβάνοντας υπόψη τους αριθμούς 250, 600 και 1500, πρέπει να βρείτε το κοινό LCM τους:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - αυτό το παράδειγμα περιγράφει λεπτομερώς την παραγοντοποίηση, χωρίς μείωση.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Για να συνθέσετε μια έκφραση, είναι απαραίτητο να αναφέρετε όλους τους παράγοντες, στην περίπτωση αυτή δίνονται 2, 5, 3 - για όλους αυτούς τους αριθμούς είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί ο μέγιστος βαθμός.

Προσοχή: όλοι οι παράγοντες πρέπει να φτάσουν στο σημείο πλήρους απλοποίησης, αν είναι δυνατόν, να αποσυντεθούν σε μονοψήφιο επίπεδο.

Εξέταση:

1) 3000 / 250 = 12 - σωστό.

2) 3000 / 600 = 5 - αληθές.

3) 3000 / 1500 = 2 - σωστά.

Αυτή η μέθοδος δεν απαιτεί κόλπα ή ικανότητες ιδιοφυούς επιπέδου, όλα είναι απλά και ξεκάθαρα.

Ενας άλλος τρόπος

Στα μαθηματικά, πολλά πράγματα συνδέονται, πολλά πράγματα μπορούν να λυθούν με δύο ή περισσότερους τρόπους, το ίδιο ισχύει και για την εύρεση του λιγότερου κοινού πολλαπλάσιου, του LCM. Επόμενη μέθοδοςμπορεί να χρησιμοποιηθεί στην περίπτωση απλών διψήφιων και μονοψήφιων αριθμών. Καταρτίζεται ένας πίνακας στον οποίο ο πολλαπλασιαστής εισάγεται κάθετα, ο πολλαπλασιαστής οριζόντια και το γινόμενο υποδεικνύεται στα τεμνόμενα κελιά της στήλης. Μπορείτε να απεικονίσετε τον πίνακα χρησιμοποιώντας μια γραμμή, να πάρετε έναν αριθμό και να γράψετε τα αποτελέσματα του πολλαπλασιασμού αυτού του αριθμού με ακέραιους αριθμούς, από το 1 έως το άπειρο, μερικές φορές αρκούν 3-5 σημεία, ο δεύτερος και οι επόμενοι αριθμοί υποβάλλονται στην ίδια υπολογιστική διαδικασία. Όλα συμβαίνουν μέχρι να βρεθεί ένα κοινό πολλαπλάσιο.

Λαμβάνοντας υπόψη τους αριθμούς 30, 35, 42, πρέπει να βρείτε το LCM που συνδέει όλους τους αριθμούς:

1) Πολλαπλάσια του 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, κ.λπ.

2) Πολλαπλάσια του 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, κ.λπ.

3) Πολλαπλάσια του 42: 84, 126, 168, 210, 252, κ.λπ.

Είναι αξιοσημείωτο ότι όλοι οι αριθμοί είναι αρκετά διαφορετικοί, ο μόνος κοινός αριθμός μεταξύ τους είναι το 210, επομένως θα είναι το NOC. Μεταξύ των διαδικασιών που εμπλέκονται σε αυτόν τον υπολογισμό υπάρχει επίσης ένας μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης, ο οποίος υπολογίζεται σύμφωνα με παρόμοιες αρχές και συναντάται συχνά σε γειτονικά προβλήματα. Η διαφορά είναι μικρή, αλλά αρκετά σημαντική, το LCM περιλαμβάνει τον υπολογισμό ενός αριθμού που διαιρείται με όλες τις δεδομένες αρχικές τιμές και το GCD περιλαμβάνει τον υπολογισμό υψηλότερη τιμήμε την οποία διαιρούνται οι αρχικοί αριθμοί.

Ας συνεχίσουμε τη συζήτηση για το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, που ξεκινήσαμε στην ενότητα «LCM - ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, ορισμός, παραδείγματα». Σε αυτό το θέμα, θα εξετάσουμε τρόπους εύρεσης του LCM για τρεις ή περισσότερους αριθμούς και θα εξετάσουμε το ερώτημα πώς να βρείτε το LCM ενός αρνητικού αριθμού.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Υπολογισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλού (LCM) μέσω GCD

Έχουμε ήδη καθορίσει τη σχέση μεταξύ του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου και του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη. Τώρα ας μάθουμε πώς να προσδιορίζουμε το LCM μέσω του GCD. Αρχικά, ας καταλάβουμε πώς να το κάνουμε αυτό θετικούς αριθμούς.

Ορισμός 1

Μπορείτε να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο μέσω του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη χρησιμοποιώντας τον τύπο LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Παράδειγμα 1

Πρέπει να βρείτε το LCM των αριθμών 126 και 70.

Λύση

Ας πάρουμε a = 126, b = 70. Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές στον τύπο για τον υπολογισμό του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου μέσω του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Βρίσκει το gcd των αριθμών 70 και 126. Για αυτό χρειαζόμαστε τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, επομένως GCD (126 , 70) = 14 .

Ας υπολογίσουμε το LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Απάντηση: LCM(126, 70) = 630.

Παράδειγμα 2

Βρείτε τον αριθμό 68 και 34.

Λύση

GCD σε σε αυτήν την περίπτωσηΑυτό δεν είναι δύσκολο, αφού το 68 διαιρείται με το 34. Ας υπολογίσουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο χρησιμοποιώντας τον τύπο: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Απάντηση: LCM(68, 34) = 68.

Σε αυτό το παράδειγμα, χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα για την εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου των θετικών ακεραίων a και b: εάν ο πρώτος αριθμός διαιρείται με τον δεύτερο, το LCM αυτών των αριθμών θα είναι ίσο με τον πρώτο αριθμό.

Εύρεση του LCM με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες

Τώρα ας δούμε τη μέθοδο εύρεσης του LCM, η οποία βασίζεται στην παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Ορισμός 2

Για να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, πρέπει να εκτελέσουμε μια σειρά από απλά βήματα:

συνθέτουμε το προϊόν όλων πρωταρχικούς παράγοντεςαριθμοί για τους οποίους πρέπει να βρούμε το LCM.
Εξαιρούμε όλους τους κύριους παράγοντες από τα προϊόντα που προκύπτουν.
το γινόμενο που προκύπτει μετά την εξάλειψη των κοινών πρώτων παραγόντων θα είναι ίσο με το LCM των δεδομένων αριθμών.

Αυτή η μέθοδος εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου βασίζεται στην ισότητα LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Αν κοιτάξετε τον τύπο, θα γίνει σαφές: το γινόμενο των αριθμών a και b είναι ίσο με το γινόμενο όλων των παραγόντων που συμμετέχουν στην αποσύνθεση αυτών των δύο αριθμών. Σε αυτή την περίπτωση, το gcd δύο αριθμών ίσο με το γινόμενοόλους τους πρώτους παράγοντες που υπάρχουν ταυτόχρονα στις παραγοντοποιήσεις δύο δεδομένων αριθμών.

Παράδειγμα 3

Έχουμε δύο αριθμούς 75 και 210. Μπορούμε να τις συνυπολογίσουμε ως εξής: 75 = 3 5 5Και 210 = 2 3 5 7. Αν συνθέσετε το γινόμενο όλων των παραγόντων των δύο αρχικών αριθμών, λαμβάνετε: 2 3 3 5 5 5 7.

Αν εξαιρέσουμε τους παράγοντες 3 και 5 που είναι κοινοί και στους δύο αριθμούς, παίρνουμε το γινόμενο τον παρακάτω τύπο: 2 3 5 5 7 = 1050. Αυτό το προϊόν θα είναι το LCM μας για τους αριθμούς 75 και 210.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το LCM των αριθμών 441 Και 700 , παραγοντοποιώντας και τους δύο αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

Λύση

Ας βρούμε όλους τους πρώτους παράγοντες των αριθμών που δίνονται στην συνθήκη:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Παίρνουμε δύο αλυσίδες αριθμών: 441 = 3 3 7 7 και 700 = 2 2 5 5 7.

Το γινόμενο όλων των παραγόντων που συμμετείχαν στην αποσύνθεση αυτών των αριθμών θα έχει τη μορφή: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ας βρούμε κοινούς παράγοντες. Αυτός είναι ο αριθμός 7. Ας τον αποκλείσουμε από συνολικό προϊόν: 2 2 3 3 5 5 7 7. Αποδεικνύεται ότι ο ΝΟΚ (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Απάντηση: LOC(441, 700) = 44.100.

Ας δώσουμε μια άλλη διατύπωση της μεθόδου εύρεσης του LCM αποσυνθέτοντας αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

Ορισμός 3

Προηγουμένως, εξαιρέσαμε από τον συνολικό αριθμό των κοινών παραγόντων και στους δύο αριθμούς. Τώρα θα το κάνουμε διαφορετικά:

Ας συνυπολογίσουμε και τους δύο αριθμούς σε πρώτους παράγοντες:
προσθέστε στο γινόμενο των πρώτων παραγόντων του πρώτου αριθμού τους συντελεστές που λείπουν από τον δεύτερο αριθμό.
παίρνουμε το γινόμενο, το οποίο θα είναι το επιθυμητό LCM δύο αριθμών.

Παράδειγμα 5

Ας επιστρέψουμε στους αριθμούς 75 και 210, για τους οποίους ήδη αναζητήσαμε το LCM σε ένα από τα προηγούμενα παραδείγματα. Ας τα αναλύσουμε σε απλούς παράγοντες: 75 = 3 5 5Και 210 = 2 3 5 7. Στο γινόμενο των παραγόντων 3, 5 και 5 οι αριθμοί 75 προσθέτουν τους παράγοντες που λείπουν 2 Και 7 αριθμοί 210. Παίρνουμε: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Αυτό είναι το LCM των αριθμών 75 και 210.

Παράδειγμα 6

Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το LCM των αριθμών 84 και 648.

Λύση

Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς από την συνθήκη σε απλούς παράγοντες: 84 = 2 2 3 7Και 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Ας προσθέσουμε στο γινόμενο τους παράγοντες 2, 2, 3 και 7 αριθμοί 84 που λείπουν παράγοντες 2, 3, 3 και
3 αριθμοί 648. Παίρνουμε το προϊόν 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.Αυτό είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 84 και του 648.

Απάντηση: LCM(84, 648) = 4.536.

Εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών

Ανεξάρτητα από το πόσους αριθμούς έχουμε να κάνουμε, ο αλγόριθμος των ενεργειών μας θα είναι πάντα ο ίδιος: θα βρίσκουμε διαδοχικά το LCM δύο αριθμών. Υπάρχει ένα θεώρημα για αυτή την περίπτωση.

Θεώρημα 1

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ακέραιους αριθμούς a 1 , a 2 , … , a k. NOC m kΑυτοί οι αριθμοί βρίσκονται με διαδοχικό υπολογισμό m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Τώρα ας δούμε πώς μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων.

Παράδειγμα 7

Πρέπει να υπολογίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τεσσάρων αριθμών 140, 9, 54 και 250 .

Λύση

Ας εισάγουμε τον συμβολισμό: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Ας ξεκινήσουμε υπολογίζοντας m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Ας εφαρμόσουμε τον Ευκλείδειο αλγόριθμο για να υπολογίσουμε το GCD των αριθμών 140 και 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Παίρνουμε: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Επομένως, m 2 = 1.260.

Τώρα ας υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας τον ίδιο αλγόριθμο m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Κατά τους υπολογισμούς λαμβάνουμε m 3 = 3 780.

Απλώς πρέπει να υπολογίσουμε m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Ακολουθούμε τον ίδιο αλγόριθμο. Παίρνουμε m 4 = 94 500.

Το LCM των τεσσάρων αριθμών από την συνθήκη του παραδείγματος είναι 94500.

Απάντηση: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι υπολογισμοί είναι απλοί, αλλά αρκετά απαιτούν εργασία. Για να εξοικονομήσετε χρόνο, μπορείτε να ακολουθήσετε άλλο τρόπο.

Ορισμός 4

Σας προσφέρουμε τον ακόλουθο αλγόριθμο ενεργειών:

Αποσυνθέτουμε όλους τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.
Στο γινόμενο των παραγόντων του πρώτου αριθμού προσθέτουμε τους συντελεστές που λείπουν από το γινόμενο του δεύτερου αριθμού.
στο προϊόν που λήφθηκε στο προηγούμενο στάδιο προσθέτουμε τους συντελεστές που λείπουν του τρίτου αριθμού κ.λπ.
το γινόμενο που προκύπτει θα είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο όλων των αριθμών από τη συνθήκη.

Παράδειγμα 8

Πρέπει να βρείτε το LCM πέντε αριθμών 84, 6, 48, 7, 143.

Λύση

Ας συνυπολογίσουμε και τους πέντε αριθμούς σε πρώτους παράγοντες: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Οι πρώτοι αριθμοί, που είναι ο αριθμός 7, δεν μπορούν να συνυπολογιστούν σε πρώτους παράγοντες. Τέτοιοι αριθμοί συμπίπτουν με την αποσύνθεσή τους σε πρώτους παράγοντες.

Ας πάρουμε τώρα το γινόμενο των πρώτων παραγόντων 2, 2, 3 και 7 του αριθμού 84 και ας προσθέσουμε σε αυτούς τους συντελεστές που λείπουν από τον δεύτερο αριθμό. Διασπάσαμε τον αριθμό 6 σε 2 και 3. Αυτοί οι παράγοντες είναι ήδη στο γινόμενο του πρώτου αριθμού. Επομένως, τα παραλείπουμε.

Συνεχίζουμε να προσθέτουμε τους πολλαπλασιαστές που λείπουν. Ας περάσουμε στον αριθμό 48, από το γινόμενο των πρώτων παραγόντων του οποίου παίρνουμε το 2 και το 2. Στη συνέχεια προσθέτουμε τον πρώτο παράγοντα του 7 από τον τέταρτο αριθμό και τους συντελεστές του 11 και του 13 του πέμπτου. Παίρνουμε: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Αυτό είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αρχικών πέντε αριθμών.

Απάντηση: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Βρίσκοντας το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αρνητικών αριθμών

Για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αρνητικούς αριθμούς, αυτοί οι αριθμοί πρέπει πρώτα να αντικατασταθούν από αριθμούς με αντίθετο σημάδι, και στη συνέχεια πραγματοποιήστε υπολογισμούς χρησιμοποιώντας τους παραπάνω αλγόριθμους.

Παράδειγμα 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) και LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Τέτοιες ενέργειες είναι επιτρεπτές λόγω του γεγονότος ότι αν δεχθούμε ότι έναΚαι − α– αντίθετοι αριθμοί,
τότε το σύνολο των πολλαπλασίων ενός αριθμού έναταιριάζει με το σύνολο των πολλαπλασίων ενός αριθμού − α.

Παράδειγμα 10

Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το LCM των αρνητικών αριθμών − 145 Και − 45 .

Λύση

Ας αντικαταστήσουμε τους αριθμούς − 145 Και − 45 στους αντίθετους αριθμούς τους 145 Και 45 . Τώρα, χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο, υπολογίζουμε το LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1.305, έχοντας προηγουμένως καθορίσει το GCD χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο.

Παίρνουμε ότι το LCM των αριθμών είναι − 145 και − 45 ισοδυναμεί 1 305 .

Απάντηση: LCM (− 145, − 45) = 1.305.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Πώς να βρείτε το LCM (ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο)

Ένα κοινό πολλαπλάσιο δύο ακεραίων είναι ένας ακέραιος που διαιρείται ομοιόμορφα και με τους δύο δεδομένους αριθμούς χωρίς να αφήνει υπόλοιπο.

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ακεραίων είναι ο μικρότερος από όλους τους ακεραίους που διαιρείται και με τους δύο δεδομένους αριθμούς χωρίς να αφήνει υπόλοιπο.

Μέθοδος 1. Μπορείτε να βρείτε το LCM, με τη σειρά του, για καθέναν από τους δεδομένους αριθμούς, γράφοντας με αύξουσα σειρά όλους τους αριθμούς που προκύπτουν πολλαπλασιάζοντάς τους με το 1, 2, 3, 4 κ.ο.κ.

Παράδειγμαγια τους αριθμούς 6 και 9.
Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό 6, διαδοχικά, με το 1, 2, 3, 4, 5.
Παίρνουμε: 6, 12, 18 , 24, 30
Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό 9, διαδοχικά, με το 1, 2, 3, 4, 5.
Παίρνουμε: 9, 18 , 27, 36, 45
Όπως μπορείτε να δείτε, το LCM για τους αριθμούς 6 και 9 θα είναι ίσο με 18.

Αυτή η μέθοδος είναι βολική όταν και οι δύο αριθμοί είναι μικροί και είναι εύκολο να πολλαπλασιαστούν με μια ακολουθία ακεραίων. Ωστόσο, υπάρχουν φορές που πρέπει να βρείτε το LCM για διψήφιο ή τριψήφιους αριθμούς, και επίσης όταν υπάρχουν τρεις ή και περισσότεροι αρχικοί αριθμοί.

Μέθοδος 2. Μπορείτε να βρείτε το LCM συνυπολογίζοντας τους αρχικούς αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.
Μετά την αποσύνθεση, είναι απαραίτητο να διαγραφούν οι πρωταρχικοί παράγοντες από την προκύπτουσα σειρά ίδιοι αριθμοί. Οι υπόλοιποι αριθμοί του πρώτου αριθμού θα είναι πολλαπλασιαστής για τον δεύτερο και οι υπόλοιποι αριθμοί του δεύτερου θα είναι πολλαπλασιαστής για τον πρώτο.

Παράδειγμαγια τους αριθμούς 75 και 60.
Το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 75 και 60 μπορεί να βρεθεί χωρίς να σημειωθούν τα πολλαπλάσια αυτών των αριθμών στη σειρά. Για να γίνει αυτό, ας συνυπολογίσουμε το 75 και το 60 σε απλούς παράγοντες:
75 = 3 * 5 * 5, α
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Όπως μπορείτε να δείτε, οι παράγοντες 3 και 5 εμφανίζονται και στις δύο σειρές. Τους «διαβάζουμε» νοερά.
Ας γράψουμε τους υπόλοιπους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση καθενός από αυτούς τους αριθμούς. Κατά την αποσύνθεση του αριθμού 75, μας μένει ο αριθμός 5 και κατά την αποσύνθεση του αριθμού 60, μας μένουν 2 * 2
Αυτό σημαίνει ότι για να προσδιορίσουμε το LCM για τους αριθμούς 75 και 60, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τους υπόλοιπους αριθμούς από την επέκταση του 75 (αυτό είναι 5) επί 60 και να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς που απομένουν από την επέκταση του 60 (αυτός είναι 2 * 2) επί 75. Δηλαδή, για ευκολία κατανόησης, λέμε ότι πολλαπλασιάζουμε «σταυροειδώς».
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Έτσι βρήκαμε το LCM για τους αριθμούς 60 και 75. Αυτός είναι ο αριθμός 300.

Παράδειγμα. Προσδιορίστε το LCM για τους αριθμούς 12, 16, 24
Σε αυτή την περίπτωση, οι ενέργειές μας θα είναι κάπως πιο περίπλοκες. Αλλά πρώτα, όπως πάντα, ας παραγοντοποιήσουμε όλους τους αριθμούς
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Για να προσδιορίσουμε σωστά το LCM, επιλέγουμε τον μικρότερο από όλους τους αριθμούς (αυτός είναι ο αριθμός 12) και εξετάζουμε διαδοχικά τους συντελεστές του, διαγράφοντας τους εάν σε τουλάχιστον μία από τις άλλες σειρές αριθμών συναντήσουμε τον ίδιο παράγοντα που δεν έχει ακόμη έχει διαγραφεί.

Βήμα 1 . Βλέπουμε ότι το 2 * 2 εμφανίζεται σε όλες τις σειρές αριθμών. Ας τα διαγράψουμε.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Βήμα 2. Στους πρώτους παράγοντες του αριθμού 12, παραμένει μόνο ο αριθμός 3. Υπάρχει όμως στους πρώτους συντελεστές του αριθμού 24. Διαγράφουμε τον αριθμό 3 και από τις δύο σειρές, ενώ δεν αναμένονται ενέργειες για τον αριθμό 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Όπως μπορείτε να δείτε, κατά την αποσύνθεση του αριθμού 12, "διαγράψαμε" όλους τους αριθμούς. Αυτό σημαίνει ότι ολοκληρώθηκε το πόρισμα του ΛΟΚ. Το μόνο που μένει είναι να υπολογίσουμε την αξία του.
Για τον αριθμό 12, πάρτε τους υπόλοιπους συντελεστές του αριθμού 16 (επόμενο σε αύξουσα σειρά)
12 * 2 * 2 = 48
Αυτή είναι η NOC

Όπως μπορείτε να δείτε, σε αυτήν την περίπτωση, η εύρεση του LCM ήταν κάπως πιο δύσκολη, αλλά όταν πρέπει να το βρείτε για τρεις ή περισσότερους αριθμούς, αυτή τη μέθοδοσας επιτρέπει να το κάνετε πιο γρήγορα. Ωστόσο, και οι δύο μέθοδοι εύρεσης του LCM είναι σωστές.

Μέγιστο κοινό διαιρέτη

Ορισμός 2

Εάν ένας φυσικός αριθμός a διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό $b$, τότε ο $b$ ονομάζεται διαιρέτης του $a$ και ο $a$ ονομάζεται πολλαπλάσιο του $b$.

Έστω $a$ και $b$ φυσικοί αριθμοί. Ο αριθμός $c$ ονομάζεται κοινός διαιρέτης και του $a$ και του $b$.

Το σύνολο των κοινών διαιρετών των αριθμών $a$ και $b$ είναι πεπερασμένο, αφού κανένας από αυτούς τους διαιρέτες δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από $a$. Αυτό σημαίνει ότι μεταξύ αυτών των διαιρετών υπάρχει ένας μεγαλύτερος, ο οποίος ονομάζεται ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών $a$ και $b$ και συμβολίζεται με τον ακόλουθο συμβολισμό:

$GCD\(a;b)\ ή \D\(a;b)$

Για να βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο αριθμών χρειάζεστε:

Βρείτε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.

Παράδειγμα 1

Βρείτε το gcd των αριθμών $121$ και $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Επιλέξτε τους αριθμούς που περιλαμβάνονται στην επέκταση αυτών των αριθμών

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Βρείτε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.

$GCD=2\cdot 11=22$

Παράδειγμα 2

Βρείτε το gcd των μονωνύμων $63$ και $81$.

Θα βρούμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο που παρουσιάζεται. Για αυτό:

Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Επιλέγουμε τους αριθμούς που περιλαμβάνονται στην επέκταση αυτών των αριθμών

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Ας βρούμε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.

$GCD=3\cdot 3=9$

Μπορείτε να βρείτε το gcd δύο αριθμών με άλλο τρόπο, χρησιμοποιώντας ένα σύνολο διαιρετών αριθμών.

Παράδειγμα 3

Βρείτε το gcd των αριθμών $48$ και $60$.

Λύση:

Ας βρούμε το σύνολο των διαιρετών του αριθμού $48$: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Τώρα ας βρούμε το σύνολο των διαιρετών του αριθμού $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ $

Ας βρούμε την τομή αυτών των συνόλων: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - αυτό το σύνολο θα καθορίσει το σύνολο των κοινών διαιρετών των αριθμών $48$ και $60 $. Το μεγαλύτερο στοιχείο σε δεδομένο σύνολοο αριθμός θα είναι $12 $. Αυτό σημαίνει ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών $48$ και $60$ είναι $12$.

Ορισμός του NPL

Ορισμός 3

Κοινά πολλαπλάσια φυσικούς αριθμούς Το $a$ και το $b$ είναι ένας φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο του $a$ και του $b$.

Τα κοινά πολλαπλάσια αριθμών είναι αριθμοί που διαιρούνται με τους αρχικούς αριθμούς χωρίς υπόλοιπο. Για παράδειγμα, για τους αριθμούς $25$ και $50$, τα κοινά πολλαπλάσια θα είναι οι αριθμοί $50,100,150,200$ κ.λπ.

Το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο θα ονομάζεται το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο και θα συμβολίζεται με LCM$(a;b)$ ή K$(a;b).$

Για να βρείτε το LCM δύο αριθμών, πρέπει:

Αριθμοί παραγόντων σε πρώτους παράγοντες
Γράψτε τους παράγοντες που αποτελούν μέρος του πρώτου αριθμού και προσθέστε σε αυτούς τους παράγοντες που αποτελούν μέρος του δεύτερου και δεν είναι μέρος του πρώτου

Παράδειγμα 4

Βρείτε το LCM των αριθμών $99$ και $77$.

Θα βρούμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο που παρουσιάζεται. Για αυτό

Αριθμοί παραγόντων σε πρώτους παράγοντες

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Καταγράψτε τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στο πρώτο

προσθέστε σε αυτά πολλαπλασιαστές που αποτελούν μέρος του δεύτερου και όχι μέρος του πρώτου

Βρείτε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι το επιθυμητό ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Η σύνταξη λιστών διαιρετών αριθμών είναι συχνά μια εργασία μεγάλης έντασης εργασίας. Υπάρχει ένας τρόπος να βρείτε το GCD που ονομάζεται Ευκλείδειος αλγόριθμος.

Δηλώσεις στις οποίες βασίζεται ο ευκλείδειος αλγόριθμος:

Αν οι $a$ και $b$ είναι φυσικοί αριθμοί και οι $a\vdots b$, τότε $D(a;b)=b$

Αν οι $a$ και $b$ είναι φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε το $b

Χρησιμοποιώντας $D(a;b)= D(a-b;b)$, μπορούμε να μειώσουμε διαδοχικά τους αριθμούς που εξετάζουμε μέχρι να φτάσουμε σε ένα ζεύγος αριθμών έτσι ώστε ο ένας από αυτούς να διαιρείται με τον άλλο. Τότε ο μικρότερος από αυτούς τους αριθμούς θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης για τους αριθμούς $a$ και $b$.

Ιδιότητες GCD και LCM

Οποιοδήποτε κοινό πολλαπλάσιο των $a$ και $b$ διαιρείται με το K$(a;b)$
Αν $a\vdots b$ , τότε К$(a;b)=a$

Αν K$(a;b)=k$ και $m$ είναι φυσικός αριθμός, τότε K$(am;bm)=km$

Εάν ο $d$ είναι ένας κοινός διαιρέτης για $a$ και $b$, τότε K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Αν $a\vdots c$ και $b\vdots c$ , τότε το $\frac(ab)(c)$ είναι το κοινό πολλαπλάσιο των $a$ και $b$

Για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς $a$ και $b$ ισχύει η ισότητα

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Οποιοσδήποτε κοινός διαιρέτης των αριθμών $a$ και $b$ είναι διαιρέτης του αριθμού $D(a;b)$

Αλλά πολλοί φυσικοί αριθμοί διαιρούνται επίσης με άλλους φυσικούς αριθμούς.

Για παράδειγμα:

Ο αριθμός 12 διαιρείται με το 1, με το 2, με το 3, με το 4, με το 6, με το 12.

Ο αριθμός 36 διαιρείται με το 1, με το 2, με το 3, με το 4, με το 6, με το 12, με το 18, με το 36.

Οι αριθμοί με τους οποίους ο αριθμός διαιρείται με ένα σύνολο (για το 12 είναι 1, 2, 3, 4, 6 και 12) λέγονται διαιρέτες αριθμών. Διαιρέτης φυσικού αριθμού ένα- είναι ένας φυσικός αριθμός που διαιρείται δεδομένου αριθμού έναχωρίς ίχνος. Ένας φυσικός αριθμός που έχει περισσότερους από δύο διαιρέτες ονομάζεται σύνθετος .

Σημειώστε ότι οι αριθμοί 12 και 36 έχουν κοινούς παράγοντες. Αυτοί οι αριθμοί είναι: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ο μεγαλύτερος διαιρέτης αυτών των αριθμών είναι το 12. Ο κοινός διαιρέτης αυτών των δύο αριθμών έναΚαι σι- αυτός είναι ο αριθμός με τον οποίο διαιρούνται και οι δύο αριθμοί χωρίς υπόλοιπο έναΚαι σι.

Κοινά πολλαπλάσιααρκετοί αριθμοί είναι ένας αριθμός που διαιρείται με καθέναν από αυτούς τους αριθμούς. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 9, 18 και 45 έχουν κοινό πολλαπλάσιο του 180. Αλλά το 90 και το 360 είναι επίσης κοινά πολλαπλάσια τους. Μεταξύ όλων των κοινών πολλαπλασίων υπάρχει πάντα ένα μικρότερο, στην περίπτωση αυτή είναι το 90. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται το μικρότεροκοινά πολλαπλάσια (CMM).

Το LCM είναι πάντα ένας φυσικός αριθμός που πρέπει να είναι μεγαλύτερος από τον μεγαλύτερο από τους αριθμούς για τους οποίους ορίζεται.

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM). Ιδιότητες.

Ανταλλαγή:

Συνεταιρισμός:

Συγκεκριμένα, αν και είναι συμπρώτοι αριθμοί, τότε:

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ακεραίων ΜΚαι nείναι διαιρέτης όλων των άλλων κοινών πολλαπλασίων ΜΚαι n. Επιπλέον, το σύνολο των κοινών πολλαπλασίων m, nσυμπίπτει με το σύνολο των πολλαπλασίων του LCM( m, n).

Οι ασυμπτωτικές για μπορούν να εκφραστούν με όρους ορισμένων αριθμητικών συναρτήσεων.

Ετσι, Λειτουργία Chebyshev. Και:

Αυτό προκύπτει από τον ορισμό και τις ιδιότητες της συνάρτησης Landau g(n).

Τι προκύπτει από τον νόμο διανομής πρώτοι αριθμοί.

Εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου (LCM).

NOC( α, β) μπορεί να υπολογιστεί με διάφορους τρόπους:

1. Εάν είναι γνωστός ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη σύνδεσή του με το LCM:

2. Ας γίνει γνωστό κανονική αποσύνθεσηκαι οι δύο αριθμοί σε πρώτους παράγοντες:

Οπου p 1 ,...,p k- διάφοροι πρώτοι αριθμοί και d 1 ,...,d kΚαι e 1 ,...,e k— μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί (μπορούν να είναι μηδενικοί αν ο αντίστοιχος πρώτος δεν βρίσκεται στην επέκταση).

Στη συνέχεια NOC ( ένα,σι) υπολογίζεται με τον τύπο:

Με άλλα λόγια, η αποσύνθεση LCM περιέχει όλους τους πρώτους παράγοντες που περιλαμβάνονται σε τουλάχιστον μία από τις αποσυνθέσεις των αριθμών α, β, και λαμβάνεται ο μεγαλύτερος από τους δύο εκθέτες αυτού του πολλαπλασιαστή.

Παράδειγμα:

Ο υπολογισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου πολλών αριθμών μπορεί να μειωθεί σε αρκετούς διαδοχικούς υπολογισμούς του LCM δύο αριθμών:

Κανόνας.Για να βρείτε το LCM μιας σειράς αριθμών, χρειάζεστε:

- Αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

- μεταφέρετε τη μεγαλύτερη αποσύνθεση (το γινόμενο των παραγόντων του μεγαλύτερου αριθμού από τους δεδομένους) στους συντελεστές του επιθυμητού προϊόντος και, στη συνέχεια, προσθέστε παράγοντες από την αποσύνθεση άλλων αριθμών που δεν βρίσκονται στον πρώτο αριθμό ή βρίσκονται σε αυτόν μικρότερο αριθμόμια φορά;

— το προκύπτον γινόμενο των πρώτων παραγόντων θα είναι το LCM των δεδομένων αριθμών.

Οποιοιδήποτε δύο ή περισσότεροι φυσικοί αριθμοί έχουν το δικό τους LCM. Αν οι αριθμοί δεν είναι πολλαπλάσιοι ο ένας του άλλου ή δεν έχουν πανομοιότυποι πολλαπλασιαστέςστην επέκταση, τότε το LCM τους είναι ίσο με το γινόμενο αυτών των αριθμών.

Οι πρώτοι παράγοντες του αριθμού 28 (2, 2, 7) συμπληρώνονται με τον παράγοντα 3 (ο αριθμός 21), το γινόμενο (84) που προκύπτει θα είναι ο μικρότερος αριθμός, που διαιρείται με το 21 και το 28.

Οι πρώτοι παράγοντες του μεγαλύτερου αριθμού 30 συμπληρώνονται από τον παράγοντα 5 του αριθμού 25, το γινόμενο 150 που προκύπτει είναι μεγαλύτερο από τον μεγαλύτερο αριθμό 30 και διαιρείται με όλους τους δεδομένους αριθμούς χωρίς υπόλοιπο. Αυτό λιγότερο προϊόντου δυνατού (150, 250, 300...), στο οποίο όλοι οι αριθμοί που δίνονται είναι πολλαπλοί.

Οι αριθμοί 2,3,11,37 είναι πρώτοι αριθμοί, άρα το LCM τους είναι ίσο με το γινόμενο των δεδομένων αριθμών.

Κανόνας. Για να υπολογίσετε το LCM των πρώτων αριθμών, πρέπει να πολλαπλασιάσετε όλους αυτούς τους αριθμούς μαζί.

Αλλη επιλογή:

Για να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) πολλών αριθμών χρειάζεστε:

1) αντιπροσωπεύει κάθε αριθμό ως γινόμενο των πρώτων παραγόντων του, για παράδειγμα:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) Καταγράψτε τις δυνάμεις όλων των πρώτων παραγόντων:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) Καταγράψτε όλους τους πρώτους διαιρέτες (πολλαπλασιαστές) καθενός από αυτούς τους αριθμούς.

4) επιλέξτε τον μεγαλύτερο βαθμό καθενός από αυτούς, που βρίσκεται σε όλες τις επεκτάσεις αυτών των αριθμών.

5) πολλαπλασιάστε αυτές τις δυνάμεις.

Παράδειγμα. Βρείτε το LCM των αριθμών: 168, 180 και 3024.

Λύση. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Καταγράφουμε τις μεγαλύτερες δυνάμεις όλων των πρώτων διαιρετών και τις πολλαπλασιάζουμε:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.