Γράφημα δυναμικής ενέργειας εκκρεμούς ελατηρίου. Δωρεάν δονήσεις

1. Η δράση σε σώμα ελαστικής δύναμης ανάλογης με τη μετατόπιση του σώματος x από τη θέση ισορροπίας και πάντα κατευθυνόμενη προς τη θέση αυτή.

2. Αδράνεια ταλαντούμενου σώματος, λόγω της οποίας δεν σταματά στη θέση ισορροπίας (όταν η ελαστική δύναμη μηδενίζεται), αλλά συνεχίζει να κινείται προς την ίδια κατεύθυνση.

Η έκφραση για την κυκλική συχνότητα είναι:

όπου w είναι η κυκλική συχνότητα, k είναι η ακαμψία του ελατηρίου, m είναι η μάζα.

Αυτός ο τύπος δείχνει ότι η συχνότητα των ελεύθερων ταλαντώσεων δεν εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες και καθορίζεται πλήρως από τα ίδια χαρακτηριστικά του ίδιου του συστήματος ταλάντωσης - σε σε αυτήν την περίπτωσηακαμψία k και μάζα m.

Αυτή η έκφραση ορίζει περίοδος ελεύθερων ταλαντώσεων εκκρεμές ελατηρίου.

Τέλος εργασίας -

Αυτό το θέμα ανήκει στην ενότητα:

Ταχύτητα ταξιδιού μέση ταχύτητα εδάφους στιγμιαία ταχύτητα/ταχύτητα κίνησης

Κινηματογραφική ενότητα σημείων μελέτης κινηματικής μαθηματική περιγραφήκίνηση των υλικών σημείων, το κύριο καθήκον της κινηματικής είναι.. το κύριο καθήκον της μηχανικής είναι να προσδιορίζει τη θέση του σώματος ανά πάσα στιγμή.. μηχανική κίνησηΑυτή είναι μια αλλαγή στη θέση ενός σώματος στο χώρο με την πάροδο του χρόνου σε σχέση με άλλα σώματα.

Αν χρειάζεσαι πρόσθετο υλικόγια αυτό το θέμα, ή δεν βρήκατε αυτό που ψάχνατε, συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε την αναζήτηση στη βάση δεδομένων των έργων μας:

Τι θα κάνουμε με το υλικό που λάβαμε:

Εάν αυτό το υλικό σας ήταν χρήσιμο, μπορείτε να το αποθηκεύσετε στη σελίδα σας στα κοινωνικά δίκτυα:

Τιτίβισμα

Όλα τα θέματα σε αυτήν την ενότητα:

Ελαστική κυματική ενέργεια
διάνυσμα ροής ενέργειας φυσικό πεδίο; αριθμητικά ίσο με ενέργεια

Ο νόμος του Maxwell για την κατανομή των μορίων σύμφωνα με την ταχύτητα της θερμικής κίνησης
Ο νόμος του Maxwell περιγράφεται από μια ορισμένη συνάρτηση f(v), που ονομάζεται συνάρτηση κατανομής μοριακής ταχύτητας. Αν διαιρέσουμε το εύρος των μοριακών ταχυτήτων σε μικρά διαστήματα ίσα με dv, τότε

Θερμότητα
Η θερμότητα είναι ένα από τα δύο γνωστά σύγχρονη φυσική επιστήμη, μέθοδοι μεταφοράς ενέργειας - μέτρο μεταφοράς διαταραγμένης κίνησης. Η ποσότητα της ενέργειας που μεταφέρεται ονομάζεται ποσότητα θερμότητας.

Θερμομηχανές και ψυκτικές μηχανές. Κύκλος Carnot
Ο κύκλος Carnot είναι ένας ιδανικός θερμοδυναμικός κύκλος. Θερμομηχανή Carnot, δουλεύει

Καλό απόγευμα

Είναι αρκετά απλό. Τώρα μπορώ να πω μερικά δύσκολα λόγια, αλλά μετά θα προσπαθήσω να εξηγήσω τη σημασία τους. Για απλότητα παρουσίασης, θα μιλήσουμε για τη μονοδιάστατη περίπτωση· όλα μπορούν εύκολα να γενικευθούν στην περίπτωση πολλών βαθμών ελευθερίας.

Ετσι, το κύριο καθήκονμηχανική --- βρείτε την εξάρτηση των συντεταγμένων του σώματος από το χρόνο, δηλαδή, στην πραγματικότητα, βρείτε κάποια συνάρτηση που συσχετίζει μια συγκεκριμένη τιμή συντεταγμένων με κάθε χρονική στιγμή. Περιγράφουμε οποιαδήποτε κίνηση χρησιμοποιώντας τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Αυτός ο νόμος περιλαμβάνει την επιτάχυνση, η οποία είναι η δεύτερη παράγωγος της συντεταγμένης του σώματος σε σχέση με το χρόνο, και τη δύναμη, η οποία συνήθως εξαρτάται από την ίδια τη συντεταγμένη. Επίσης, η δύναμη μπορεί να εξαρτάται από την ταχύτητα του σώματος, δηλαδή από την πρώτη παράγωγο της συντεταγμένης ως προς το χρόνο. Έτσι, με μαθηματικό σημείοΑπό μια προοπτική, ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα αντιπροσωπεύει μια ορισμένη σχέση μεταξύ μιας συντεταγμένης και της πρώτης και δεύτερης παραγώγου της. Στα μαθηματικά, μια τέτοια σχέση ονομάζεται διαφορική εξίσωση. Η υψηλότερη παράγωγος που περιλαμβάνεται σε μια τέτοια εξίσωση είναι η δεύτερη. Τα μαθηματικά λένε ότι η λύση μιας τέτοιας εξίσωσης, δηλαδή, γενική μορφήΗ συνάρτηση που ικανοποιεί τη σχέση μας εξαρτάται από δύο αυθαίρετες σταθερές που δεν μπορούν να προσδιοριστούν από την εξίσωση. Αυτές οι αυθαίρετες σταθερές προσδιορίζονται για κάθε συγκεκριμένη περίπτωση, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τις λεγόμενες αρχικές συνθήκες. Δηλαδή, για να καταλάβετε πώς ακριβώς θα κινηθεί ένα σώμα, πρέπει να γνωρίζετε όχι μόνο ποιες δυνάμεις δρουν σε αυτό, αλλά και ποια είναι η αρχική του συντεταγμένη και η ταχύτητά του. Δύο αυθαίρετες σταθερές στη λύση επιλέγονται με τέτοιο τρόπο ώστε η συνάρτηση που λαμβάνουμε και η παράγωγός της (δηλαδή η ταχύτητα) σε στιγμή έναρξηςο χρόνος είχε τις καθορισμένες τιμές.

Αυτό είναι απολύτως γενική κατάσταση. Θυμηθείτε όταν μιλάμε για κίνηση του σώματος με σταθερή επιτάχυνσηΓια να προσδιορίσουμε με ακρίβεια την κίνηση, χρειαζόμαστε ακριβώς δύο αριθμούς, την αρχική συντεταγμένη και την αρχική ταχύτητα.

Το ίδιο ισχύει και για τον δισταγμό. Η ταλάντωση ενός συγκεκριμένου εκκρεμούς (δηλαδή ενός εκκρεμούς με δεδομένη φυσική συχνότητα) καθορίζεται επίσης από δύο αριθμούς. Συνήθως η λύση της εξίσωσης για ένα εκκρεμές που προκύπτει από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα γράφεται με τη μορφή.

Εδώ παίζει ο ρόλος των αυθαίρετων σταθερών, ο οποίος πρέπει να καθοριστεί από τις αρχικές συνθήκες. Ας υπολογίσουμε την ταχύτητα: . Ενημερώστε μας ότι σε μηδενική στιγμήχρόνο, οι συντεταγμένες και η ταχύτητα του εκκρεμούς ήταν ίσες με και . Έχοντας λύσει ένα σύστημα συνηθισμένων εξισώσεων, μπορεί κανείς να βρει συγκεκριμένες εκφράσεις για και μέσω και.

Δεν θα δώσω την απάντηση μέσα γενική περίπτωση, αν θέλετε, μπορείτε εύκολα να το κάνετε μόνοι σας. Θα σας πω μόνο για συγκεκριμένες περιπτώσεις. Ας είναι, για παράδειγμα, γνωστό ότι τη μηδενική στιγμή του χρόνου το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας (δηλαδή), και η ταχύτητά του είναι ίση με τη μέγιστη τιμή του (δηλαδή). Τότε λαμβάνουμε για τη συγκεκριμένη περίπτωση ότι το σύστημα εξισώσεων έχει τη μορφή: . Από την πρώτη εξίσωση είναι αμέσως σαφές ότι (η πρώτη εξίσωση, φυσικά, ικανοποιείται επίσης από τη συνθήκη, αλλά τότε η λύση μας θα αποδειχθεί μηδενική και αυτό δεν μας ταιριάζει). Το δεύτερο τότε παίρνει τη μορφή: , από όπου . Έτσι βρήκαμε εκφράσεις και για τις δύο σταθερές. Ως αποτέλεσμα έχουμε: . Σε αυτή την περίπτωση, για την επιτάχυνση αποδεικνύεται . Αν τώρα υποδηλώσουμε το πλάτος μέσω μιας πιο οικείας έκφρασης, θα λάβουμε πιο οικείους τύπους.

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Τώρα αφήστε το φορτίο να είναι μέσα κατάσταση έκτακτης ανάγκης, δηλαδή η ταχύτητά του είναι μηδέν. Θα υποθέσουμε ότι παρέκκλινε από αρνητική πλευράάξονα, δηλαδή η συντεταγμένη του είναι ίση με . Στη συνέχεια οι εξισώσεις για αρχικές συνθήκεςπαίρνουν τη μορφή: . Από τη δεύτερη εξίσωση. Από την πρώτη: . Έτσι, για τη συντεταγμένη έχει: (δεύτερη ισότητα χρησιμοποιώντας τον τύπο αναγωγής). Για ταχύτητα: . Να επιταχυνεις: .

Οι συγκεκριμένοι τύποι εξαρτώνται από τα αρχικά δεδομένα. Λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα των ημιτόνων και των συνημιτόνων, χρησιμοποιώντας διαφορετικούς τύπουςμειώσεις, μπορείτε να αφαιρέσετε σημάδια από τύπους, να προσθέσετε φάσεις κ.λπ.

Όσον αφορά τον τύπο στο πρόβλημα, δεν υπάρχει συχνότητα, αφού η συγκεκριμένη τιμή του αντικαθίσταται:

Σώματα υπό την επίδραση ελαστικής δύναμης, η δυναμική ενέργεια της οποίας είναι ανάλογη με το τετράγωνο της μετατόπισης του σώματος από τη θέση ισορροπίας:

όπου k είναι η ακαμψία του ελατηρίου.

Με ελεύθερους μηχανικούς κραδασμούς, η κινητική και η δυνητική ενέργεια αλλάζουν περιοδικά. Στη μέγιστη απόκλιση ενός σώματος από τη θέση ισορροπίας του, η ταχύτητά του, άρα και η κινητική του ενέργεια, εξαφανίζονται. Σε αυτή τη θέση, η δυναμική ενέργεια του ταλαντούμενου σώματος φτάνει τη μέγιστη τιμή της. Για ένα φορτίο σε ένα οριζόντιο ελατήριο, η δυναμική ενέργεια είναι η ενέργεια της ελαστικής παραμόρφωσης του ελατηρίου.

Όταν ένα σώμα στην κίνησή του διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, η ταχύτητά του είναι μέγιστη. Αυτή τη στιγμή έχει μέγιστη κινητική και ελάχιστη δυναμική ενέργεια. Αυξάνουν κινητική ενέργειασυμβαίνει λόγω μείωσης δυναμική ενέργεια. Με περαιτέρω κίνηση, η δυναμική ενέργεια αρχίζει να αυξάνεται λόγω μείωσης της κινητικής ενέργειας κ.λπ.

Έτσι, κατά τις αρμονικές ταλαντώσεις, συμβαίνει περιοδικός μετασχηματισμός της κινητικής ενέργειας σε δυναμική ενέργεια και αντίστροφα.

Εάν δεν υπάρχει τριβή στο σύστημα ταλάντωσης, τότε ολοκληρώστε μηχανική ενέργειακατά τις ελεύθερες ταλαντώσεις παραμένει αμετάβλητη.

Για το βάρος της άνοιξης:

Η ταλαντευτική κίνηση του σώματος ξεκινά με το κουμπί Έναρξη. Το κουμπί Διακοπή σάς επιτρέπει να σταματήσετε τη διαδικασία ανά πάσα στιγμή.

Δείχνει γραφικά τη σχέση μεταξύ δυναμικών και κινητικών ενεργειών κατά τη διάρκεια ταλαντώσεων ανά πάσα στιγμή. Σημειώστε ότι ελλείψει εξασθένησης συνολική ενέργειατο σύστημα ταλάντωσης παραμένει αμετάβλητο, η δυναμική ενέργεια φτάνει στο μέγιστο με τη μέγιστη απόκλιση του σώματος από τη θέση ισορροπίας και η κινητική ενέργεια παίρνει μέγιστη αξίαόταν ένα σώμα διέρχεται από μια θέση ισορροπίας.

Ένα εκκρεμές ελατηρίου είναι ένα υλικό σημείο με μάζα προσαρτημένη σε ένα απολύτως ελαστικό ελατήριο χωρίς βαρύτητα με ακαμψία . Υπάρχουν δύο απλούστερες περιπτώσεις: οριζόντια (Εικ. 15, ΕΝΑ) και κάθετη (Εικ. 15, σι) εκκρεμές.

ΕΝΑ) Οριζόντιο εκκρεμές(Εικ. 15, α). Όταν το φορτίο κινείται
από τη θέση ισορροπίας κατά το ποσό δρα σε αυτό κατά την οριζόντια κατεύθυνση αποκατάσταση της ελαστικής δύναμης
(νόμος του Χουκ).

Υποτίθεται ότι το οριζόντιο στήριγμα κατά μήκος του οποίου ολισθαίνει το φορτίο
κατά τις δονήσεις του, είναι απολύτως λείο (χωρίς τριβή).

σι) Κάθετο εκκρεμές(Εικ. 15, σι). Η θέση ισορροπίας σε αυτή την περίπτωση χαρακτηρίζεται από την συνθήκη:

Οπου - μέγεθος ελαστική δύναμη, ενεργώντας στο φορτίο
όταν το ελατήριο τεντώνεται στατικά από υπό την επίδραση της βαρύτητας του φορτίου
.

ΕΝΑ

Εικ. 15. Εκκρεμές ελατηρίου: ΕΝΑ– οριζόντια και σι– κάθετη

Εάν τεντώσετε το ελατήριο και απελευθερώσετε το φορτίο, θα αρχίσει να ταλαντώνεται κατακόρυφα. Αν η μετατόπιση σε κάποια χρονική στιγμή είναι
, τότε η ελαστική δύναμη θα γραφτεί τώρα ως
.

Και στις δύο περιπτώσεις που εξετάζονται, το εκκρεμές ελατηρίου εκτελεί αρμονικές ταλαντώσεις με τελεία

(27)

και κυκλική συχνότητα

. (28)

Χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός εκκρεμούς ελατηρίου, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι αρμονικές ταλαντώσεις είναι κίνηση που προκαλείται από μια δύναμη που αυξάνεται ανάλογα με τη μετατόπιση . Ετσι, αν η δύναμη επαναφοράς μοιάζει με το νόμο του Χουκ
(πήρε το όνομαοιονεί ελαστική δύναμη ), τότε το σύστημα πρέπει να εκτελέσει αρμονικές ταλαντώσεις.Τη στιγμή της διέλευσης της θέσης ισορροπίας, δεν ασκείται δύναμη επαναφοράς στο σώμα· ωστόσο, το σώμα, με αδράνεια, περνά από τη θέση ισορροπίας και η δύναμη επαναφοράς αλλάζει κατεύθυνση προς το αντίθετο.

Μαθηματικό εκκρεμές

Εικ. 16. Μαθηματικό εκκρεμές

Μαθηματικό εκκρεμέςείναι ένα εξιδανικευμένο σύστημα με τη μορφή ενός υλικού σημείου που αιωρείται σε ένα αβαρές μη εκτατό νήμα μήκους , που κάνει μικρές ταλαντώσεις υπό την επίδραση της βαρύτητας (Εικ. 16).

Ταλαντώσεις ενός τέτοιου εκκρεμούς σε μικρές γωνίες απόκλισης
(που δεν υπερβαίνει τις 5º) μπορεί να θεωρηθεί αρμονική και η κυκλική συχνότητα μαθηματικό εκκρεμές:

, (29)

και περίοδος:

. (30)

2.3. Ενέργεια του σώματος κατά τις αρμονικές ταλαντώσεις

Η ενέργεια που προσδίδεται στο ταλαντευόμενο σύστημα κατά την αρχική ώθηση θα μετασχηματίζεται περιοδικά: η δυναμική ενέργεια του παραμορφωμένου ελατηρίου θα μετατρέπεται στην κινητική ενέργεια του κινούμενου φορτίου και πίσω.

Αφήστε το εκκρεμές ελατηρίου να εκτελέσει αρμονικές ταλαντώσεις με την αρχική φάση
, δηλ.
(Εικ. 17).

Εικ. 17. Νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας

όταν ένα εκκρεμές ελατηρίου ταλαντώνεται

Στη μέγιστη απόκλιση του φορτίου από τη θέση ισορροπίας, η συνολική μηχανική ενέργεια του εκκρεμούς (η ενέργεια ενός παραμορφωμένου ελατηρίου με ακαμψία ) είναι ίσο με
. Κατά τη διέλευση της θέσης ισορροπίας (
) η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου θα γίνει ίση με μηδέν και η συνολική μηχανική ενέργεια του ταλαντευτικού συστήματος θα προσδιοριστεί ως
.

Το Σχήμα 18 δείχνει γραφήματα των εξαρτήσεων της κινητικής, του δυναμικού και της συνολικής ενέργειας σε περιπτώσεις όπου οι αρμονικές δονήσεις περιγράφονται από τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημιτόνου (διακεκομμένη γραμμή) ή συνημιτόνου (συμπαγής γραμμή).

Εικ. 18. Γραφήματα χρονικής εξάρτησης κινητικής

και δυναμική ενέργεια κατά τις αρμονικές ταλαντώσεις

Από τα γραφήματα (Εικ. 18) προκύπτει ότι η συχνότητα μεταβολής της κινητικής και δυναμικής ενέργειας είναι διπλάσια από τη φυσική συχνότητα αρμονικές δονήσεις.

(1.7.1)

Εάν η μπάλα μετατοπιστεί από τη θέση ισορροπίας κατά μια απόσταση x, τότε η επιμήκυνση του ελατηρίου θα γίνει ίση με Δl 0 + x. Τότε η δύναμη που προκύπτει θα πάρει την τιμή:

Λαμβάνοντας υπόψη τη συνθήκη ισορροπίας (1.7.1), λαμβάνουμε:

Το σύμβολο μείον δείχνει ότι η μετατόπιση και η δύναμη βρίσκονται σε αντίθετες κατευθύνσεις.

Η ελαστική δύναμη f έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1. Είναι ανάλογο με τη μετατόπιση της μπάλας από τη θέση ισορροπίας της.
2. Κατευθύνεται πάντα προς τη θέση ισορροπίας.

Για να εκχωρηθεί μια μετατόπιση x στο σύστημα, πρέπει να γίνει εργασία ενάντια στην ελαστική δύναμη:

Αυτό εργασία σε εξέλιξηγια να δημιουργήσετε ένα απόθεμα δυναμικής ενέργειας του συστήματος:

Κάτω από τη δράση μιας ελαστικής δύναμης, η μπάλα θα κινηθεί προς τη θέση ισορροπίας με διαρκώς αυξανόμενη ταχύτητα. Επομένως, η δυναμική ενέργεια του συστήματος θα μειωθεί, αλλά η κινητική ενέργεια θα αυξηθεί (παραμελούμε τη μάζα του ελατηρίου). Έχοντας φτάσει στη θέση ισορροπίας, η μπάλα θα συνεχίσει να κινείται με αδράνεια. Αυτό είναι αργή κίνηση και θα σταματήσει όταν η κινητική ενέργεια μετατραπεί πλήρως σε δυναμική ενέργεια. Στη συνέχεια, η ίδια διαδικασία θα συμβεί όταν η μπάλα μπει μέσα αντίστροφη κατεύθυνση. Εάν δεν υπάρχει τριβή στο σύστημα, η μπάλα θα ταλαντώνεται επ' αόριστον.

Η εξίσωση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα σε αυτή την περίπτωση είναι:

Ας μετατρέψουμε την εξίσωση ως εξής:

Εισάγοντας τη σημείωση , παίρνουμε μια γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωσηδεύτερη παραγγελία:

Είναι εύκολο να επαληθευτεί με άμεση αντικατάσταση κοινή απόφασηΗ εξίσωση (1.7.8) έχει τη μορφή:

όπου a είναι το πλάτος και φ η αρχική φάση της ταλάντωσης - σταθερές. Κατά συνέπεια, η ταλάντωση του εκκρεμούς ελατηρίου είναι αρμονική (Εικ. 1.7.2).

Ρύζι. 1.7.2. Αρμονική ταλάντωση

Λόγω της περιοδικότητας του συνημιτόνου, διάφορες καταστάσεις του ταλαντωτικού συστήματος επαναλαμβάνονται μετά από ένα ορισμένο χρονικό διάστημα (περίοδος ταλάντωσης) Τ, κατά το οποίο η φάση ταλάντωσης λαμβάνει μια αύξηση 2π. Μπορείτε να υπολογίσετε την περίοδο χρησιμοποιώντας την ισότητα:

από το οποίο προκύπτει:

Ο αριθμός των ταλαντώσεων ανά μονάδα χρόνου ονομάζεται συχνότητα:

Μονάδα συχνότητας είναι η συχνότητα μιας τέτοιας ταλάντωσης, η περίοδος της οποίας είναι 1 s. Αυτή η μονάδα ονομάζεται 1 Hz.

Από την (1.7.11) προκύπτει ότι:

Επομένως, ω 0 είναι ο αριθμός των ταλαντώσεων που ολοκληρώθηκαν σε 2π δευτερόλεπτα. Η ποσότητα ω 0 ονομάζεται κυκλική ή κυκλική συχνότητα. Χρησιμοποιώντας τα (1.7.12) και (1.7.13), γράφουμε:

Διαφοροποιώντας το () ως προς το χρόνο, λαμβάνουμε μια έκφραση για την ταχύτητα της μπάλας:

Από την (1.7.15) προκύπτει ότι η ταχύτητα αλλάζει επίσης σύμφωνα με έναν αρμονικό νόμο και προωθεί τη μετατόπιση φάσης κατά ½π. Διαφοροποιώντας (1.7.15), παίρνουμε την επιτάχυνση:

1.7.2. Μαθηματικό εκκρεμές

Μαθηματικό εκκρεμέςπου ονομάζεται εξιδανικευμένο σύστημα που αποτελείται από ένα μη επεκτάσιμο αβαρές νήμα, πάνω στο οποίο αιωρείται ένα σώμα, του οποίου όλη η μάζα συγκεντρώνεται σε ένα σημείο.

Η απόκλιση του εκκρεμούς από τη θέση ισορροπίας χαρακτηρίζεται από τη γωνία φ που σχηματίζει το νήμα με την κατακόρυφο (Εικ. 1.7.3).

Ρύζι. 1.7.3. Μαθηματικό εκκρεμές

Όταν το εκκρεμές αποκλίνει από τη θέση ισορροπίας, ροπή, που τείνει να επαναφέρει το εκκρεμές στη θέση ισορροπίας του:

Ας γράψουμε τη δυναμική εξίσωση για το εκκρεμές περιστροφική κίνηση, λαμβάνοντας υπόψη ότι η ροπή αδράνειας του είναι ίση με ml 2:

Αυτή η εξίσωση μπορεί να αναχθεί στη μορφή:

Περιοριζόμαστε στην περίπτωση των μικρών ταλαντώσεων sinφ ≈ φ και εισάγουμε τον συμβολισμό:

Η εξίσωση (1.7.19) μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

που συμπίπτει σε μορφή με την εξίσωση των ταλαντώσεων ενός εκκρεμούς ελατηρίου. Επομένως, η λύση του θα είναι μια αρμονική ταλάντωση:

Από την (1.7.20) προκύπτει ότι η κυκλική συχνότητα ταλαντώσεων ενός μαθηματικού εκκρεμούς εξαρτάται από το μήκος και την επιτάχυνσή του ελεύθερη πτώση. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την περίοδο ταλάντωσης () και (1.7.20), παίρνουμε τη γνωστή σχέση:

1.7.3. Φυσικό εκκρεμές

Ένα φυσικό εκκρεμές ονομάζεται στερεός, ικανό να ταλαντώνεται γύρω σταθερό σημείο, που δεν συμπίπτει με το κέντρο αδράνειας. Στη θέση ισορροπίας, το κέντρο αδράνειας του εκκρεμούς C βρίσκεται κάτω από το σημείο ανάρτησης O στην ίδια κατακόρυφο (Εικ. 1.7.4).

Ρύζι. 1.7.4. Φυσικό εκκρεμές

Όταν το εκκρεμές αποκλίνει από τη θέση ισορροπίας κατά μια γωνία φ, προκύπτει μια περιστροφική ροπή, η οποία τείνει να επαναφέρει το εκκρεμές στη θέση ισορροπίας:

όπου m είναι η μάζα του εκκρεμούς, l είναι η απόσταση μεταξύ του σημείου ανάρτησης και του κέντρου αδράνειας του εκκρεμούς.

Ας γράψουμε την εξίσωση για τη δυναμική της περιστροφικής κίνησης για το εκκρεμές, λαμβάνοντας υπόψη ότι η ροπή αδράνειας του είναι ίση με I:

Για μικρές δονήσεις sinφ ≈ φ. Στη συνέχεια, εισάγοντας τη σημειογραφία:

που συμπίπτει και ως προς τη μορφή με την εξίσωση των ταλαντώσεων ενός εκκρεμούς ελατηρίου. Από τις εξισώσεις (1.7.27) και (1.7.26) προκύπτει ότι για μικρές αποκλίσεις φυσικό εκκρεμέςαπό τη θέση ισορροπίας εκτελεί μια αρμονική ταλάντωση, η συχνότητα της οποίας εξαρτάται από τη μάζα του εκκρεμούς, τη ροπή αδράνειας και την απόσταση μεταξύ του άξονα περιστροφής και του κέντρου αδράνειας. Χρησιμοποιώντας το (1.7.26), μπορείτε να υπολογίσετε την περίοδο ταλάντωσης:

Συγκρίνοντας τους τύπους (1.7.28) και () προκύπτει ότι ένα μαθηματικό εκκρεμές με μήκος:

θα έχει την ίδια περίοδο ταλάντωσης με το θεωρούμενο φυσικό εκκρεμές. Η ποσότητα (1.7.29) ονομάζεται δεδομένου μήκουςφυσικό εκκρεμές. Κατά συνέπεια, το μειωμένο μήκος ενός φυσικού εκκρεμούς είναι το μήκος ενός μαθηματικού εκκρεμούς του οποίου η περίοδος ταλάντωσης είναι ίση με την περίοδο ταλάντωσης ενός δεδομένου φυσικού εκκρεμούς.

Ένα σημείο σε μια ευθεία γραμμή που συνδέει το σημείο ανάρτησης με το κέντρο αδράνειας, που βρίσκεται σε απόσταση μειωμένου μήκους από τον άξονα περιστροφής, ονομάζεται κέντρο ταλάντευσηςφυσικό εκκρεμές. Σύμφωνα με το θεώρημα του Steiner, η ροπή αδράνειας ενός φυσικού εκκρεμούς είναι ίση με:

όπου I 0 είναι η ροπή αδράνειας σε σχέση με το κέντρο αδράνειας. Αντικαθιστώντας το (1.7.30) με το (1.7.29), παίρνουμε:

Συνεπώς, το μειωμένο μήκος είναι πάντα μεγαλύτερο από την απόσταση μεταξύ του σημείου ανάρτησης και του κέντρου αδράνειας του εκκρεμούς, έτσι ώστε το σημείο ανάρτησης και το κέντρο αιώρησης να βρίσκονται κατά μήκος διαφορετικές πλευρέςαπό το κέντρο της αδράνειας.

1.7.4. Ενέργεια αρμονικών δονήσεων

Με την αρμονική δόνηση, υπάρχει μια περιοδική αμοιβαία μετατροπή της κινητικής ενέργειας του ταλαντούμενου σώματος E k και της δυναμικής ενέργειας E p, που προκαλείται από τη δράση μιας οιονεί ελαστικής δύναμης. Αυτές οι ενέργειες αποτελούν τη συνολική ενέργεια Ε του ταλαντευτικού συστήματος:

Ας γράψουμε την τελευταία έκφραση

Αλλά k = mω 2, οπότε παίρνουμε μια έκφραση για τη συνολική ενέργεια του ταλαντούμενου σώματος

Έτσι, η συνολική ενέργεια μιας αρμονικής δόνησης είναι σταθερή και ανάλογη με το τετράγωνο του πλάτους και το τετράγωνο της κυκλικής συχνότητας της δόνησης.

1.7.5. Απόσβεση ταλαντώσεων .

Κατά τη μελέτη των αρμονικών δονήσεων, οι δυνάμεις τριβής και αντίστασης που υπάρχουν σε πραγματικά συστήματα. Η δράση αυτών των δυνάμεων αλλάζει σημαντικά τη φύση της κίνησης, η ταλάντωση γίνεται ξεθώριασμα.

Εάν στο σύστημα, εκτός από την οιονεί ελαστική δύναμη, υπάρχουν δυνάμεις αντίστασης του μέσου (δυνάμεις τριβής), τότε ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα μπορεί να γραφτεί ως εξής:

όπου r είναι ο συντελεστής τριβής που χαρακτηρίζει τις ιδιότητες του μέσου να ανθίσταται στην κίνηση. Ας αντικαταστήσουμε το (1.7.34b) με το (1.7.34a):

Το γράφημα αυτής της συνάρτησης φαίνεται στο Σχ. 1.7.5 με συμπαγή καμπύλη 1 και η διακεκομμένη γραμμή 2 δείχνει την αλλαγή στο πλάτος:

Με πολύ μικρή τριβή, η περίοδος της απόσβεσης ταλάντωσης είναι κοντά στην περίοδο της μη απόσβεσης δωρεάν δόνηση(1.7.35.b)

Προσδιορίζεται ο ρυθμός μείωσης του πλάτους των ταλαντώσεων συντελεστής εξασθένησης: όσο μεγαλύτερο το β, τόσο ισχυρότερο είναι το ανασταλτικό αποτέλεσμα του μέσου και τόσο πιο γρήγορα μειώνεται το πλάτος. Στην πράξη, συχνά χαρακτηρίζεται ο βαθμός εξασθένησης λογαριθμική μείωση απόσβεσης, που σημαίνει με αυτό μια τιμή ίση με φυσικός λογάριθμοςο λόγος δύο διαδοχικών πλάτη ταλάντωσης που χωρίζονται από ένα χρονικό διάστημα ίσο με την περίοδο ταλάντωσης:

;

Επομένως, ο συντελεστής εξασθένησης και λογαριθμική μείωσηοι εξασθενήσεις σχετίζονται με μια αρκετά απλή σχέση:

Με ισχυρή απόσβεση, ο τύπος (1.7.37) δείχνει ότι η περίοδος ταλάντωσης είναι ένα φανταστικό μέγεθος. Το κίνημα σε αυτή την περίπτωση καλείται ήδη απεριοδικός. Το γράφημα της απεριοδικής κίνησης φαίνεται στο Σχ. 1.7.6. Συνεχής και απόσβεση ταλαντώσεωνπου ονομάζεται τα δικά ή Ελεύθερος. Προκύπτουν λόγω αρχικής μετατόπισης ή αρχική ταχύτητακαι διενεργούνται ερήμην εξωτερική επιρροήλόγω της αρχικά συσσωρευμένης ενέργειας.

1.7.6. Αναγκαστικοί κραδασμοί. Αντήχηση .

Αναγκαστικά ταλαντώσεις είναι αυτές που συμβαίνουν σε ένα σύστημα με τη συμμετοχή εξωτερική δύναμη, που ποικίλλει σύμφωνα με έναν περιοδικό νόμο.

Ας υποθέσουμε ότι σε υλικό σημείοεκτός από την οιονεί ελαστική δύναμη και τη δύναμη τριβής, υπάρχει και μια εξωτερική κινητήρια δύναμη

,

όπου F 0 - πλάτος. ω - κυκλική συχνότητα ταλαντώσεων της κινητήριας δύναμης. Ας δημιουργήσουμε μια διαφορική εξίσωση (δεύτερος νόμος του Νεύτωνα):

,

Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης (1.7.39) είναι ευθέως ανάλογο με το πλάτος της κινητήριας δύναμης και έχει σύνθετος εθισμόςστον συντελεστή απόσβεσης του μέσου και στις κυκλικές συχνότητες των φυσικών και εξαναγκασμένων ταλαντώσεων. Αν για το σύστημα δίνονται ω 0 και β, τότε το πλάτος εξαναγκασμένες ταλαντώσειςέχει μέγιστη τιμή σε κάποια ορισμένη συχνότητακαλείται αναγκαστική δύναμη ηχηρός.

Το ίδιο το φαινόμενο - επίτευξη μέγιστου πλάτους για δεδομένο ω 0 και β - ονομάζεται αντήχηση.

Ρύζι. 1.7.7. Αντήχηση

Ελλείψει αντίστασης, το πλάτος των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων στον συντονισμό είναι απείρως μεγάλο. Στην περίπτωση αυτή, από ω res =ω 0, δηλ. Ο συντονισμός σε ένα σύστημα χωρίς απόσβεση εμφανίζεται όταν η συχνότητα της κινητήριας δύναμης συμπίπτει με τη συχνότητα των φυσικών ταλαντώσεων. Γραφική εξάρτηση του πλάτους των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων από την κυκλική συχνότητα της κινητήριας δύναμης στο διαφορετικές έννοιεςΟ συντελεστής εξασθένησης φαίνεται στο Σχ. 5.

Ο μηχανικός συντονισμός μπορεί να είναι και ωφέλιμος και επιβλαβής. Οι βλαβερές συνέπειες του συντονισμού οφείλονται κυρίως στην καταστροφή που μπορεί να προκαλέσει. Έτσι, στην τεχνολογία, λαμβάνοντας υπόψη διαφορετικούς κραδασμούς, είναι απαραίτητο να παρέχουμε πιθανά περιστατικάσυνθήκες συντονισμού, διαφορετικά μπορεί να υπάρξουν καταστροφές και καταστροφές. Τα σώματα έχουν συνήθως πολλές φυσικές συχνότητες δόνησης και, κατά συνέπεια, αρκετές συχνότητες συντονισμού.

Εάν ο συντελεστής εξασθένησης των εσωτερικών οργάνων ενός ατόμου δεν ήταν μεγάλος, τότε τα ηχητικά φαινόμενα που προέκυψαν σε αυτά τα όργανα υπό την επίδραση εξωτερικών δονήσεων ή ηχητικά κύματα, θα μπορούσε να οδηγήσει σε τραγικές συνέπειες: ρήξη οργάνων, βλάβη στους συνδέσμους κ.λπ. Ωστόσο, τέτοια φαινόμενα πρακτικά δεν παρατηρούνται υπό μέτριες εξωτερικές επιρροές, καθώς ο συντελεστής εξασθένησης των βιολογικών συστημάτων είναι αρκετά μεγάλος. Ωστόσο, ηχηρά φαινόμενα υπό την επίδραση εξωτερικών μηχανικές δονήσειςεμφανίζονται σε εσωτερικά όργανα. Αυτός είναι προφανώς ένας από τους λόγους για τον αρνητικό αντίκτυπο των δονήσεων και των δονήσεων στο ανθρώπινο σώμα.

1.7.7. Αυτοταλαντώσεις

Υπάρχουν επίσης συστήματα ταλάντωσης που ρυθμίζουν από μόνα τους την περιοδική αναπλήρωση της σπατάλης ενέργειας και ως εκ τούτου μπορούν να ταλαντώνονται για μεγάλο χρονικό διάστημα.

Οι μη αποσβεσμένες ταλαντώσεις που υπάρχουν σε οποιοδήποτε σύστημα απουσία μεταβλητής εξωτερικής επιρροής ονομάζονται αυτοταλαντώσειςκαι τα ίδια τα συστήματα - αυτοταλαντευόμενος.

Το πλάτος και η συχνότητα των αυτοταλαντώσεων εξαρτώνται από τις ιδιότητες στο ίδιο το αυτοταλαντούμενο σύστημα· σε αντίθεση με τις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, δεν καθορίζονται από εξωτερικές επιρροές.

Σε πολλές περιπτώσεις, τα αυτοταλαντούμενα συστήματα μπορούν να αναπαρασταθούν από τρία κύρια στοιχεία (Εικ. 1.7.8): 1) το ίδιο το ταλαντευόμενο σύστημα. 2) πηγή ενέργειας? 3) ρυθμιστής παροχής ενέργειας στο ίδιο το ταλαντευόμενο σύστημα. Ταλαντωτικό σύστημα ανά κανάλι ανατροφοδότηση(Εικ. 6) επηρεάζει τον ρυθμιστή, ενημερώνοντας τον ρυθμιστή για την κατάσταση αυτού του συστήματος.

Ένα κλασικό παράδειγμα ενός μηχανικού αυτοταλαντούμενου συστήματος είναι ένα ρολόι στο οποίο ένα εκκρεμές ή ζυγό είναι ένα ταλαντευόμενο σύστημα, ένα ελατήριο ή ένα ανυψωμένο βάρος είναι πηγή ενέργειας και μια άγκυρα είναι ένας ρυθμιστής της ροής ενέργειας από την πηγή στο ταλαντωτικό σύστημα.

Πολλά βιολογικά συστήματα(καρδιά, πνεύμονες κ.λπ.) αυτοταλαντώνονται. Χαρακτηριστικό παράδειγμα ηλεκτρομαγνητικού αυτοταλαντούμενου συστήματος είναι οι γεννήτριες αυτοταλαντούμενων ταλαντώσεων.

1.7.8. Πρόσθεση ταλαντώσεων μιας κατεύθυνσης

Εξετάστε την προσθήκη δύο αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας κατεύθυνσης και ίδιας συχνότητας:

x 1 =a 1 cos(ω 0 t + α 1), x 2 =a 2 cos(ω 0 t + α 2).

Μια αρμονική ταλάντωση μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας ένα διάνυσμα, το μήκος του οποίου είναι ίσο με το πλάτος των ταλαντώσεων και η κατεύθυνση σχηματίζει μια γωνία με έναν ορισμένο άξονα ίσο με την αρχική φάση των ταλαντώσεων. Αν αυτό το διάνυσμα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτηταω 0, τότε η προβολή του στον επιλεγμένο άξονα θα αλλάξει σύμφωνα με τον αρμονικό νόμο. Με βάση αυτό, θα επιλέξουμε έναν συγκεκριμένο άξονα Χ και θα αναπαραστήσουμε τις ταλαντώσεις χρησιμοποιώντας τα διανύσματα a 1 και a 2 (Εικ. 1.7.9).

Από το Σχ. 1.7.6 προκύπτει ότι

.

Τα σχήματα στα οποία οι ταλαντώσεις απεικονίζονται γραφικά ως διανύσματα σε ένα επίπεδο ονομάζονται διανυσματικά διαγράμματα.

Προκύπτει από τον τύπο 1.7.40. Τι γίνεται αν η διαφορά φάσης και των δύο ταλαντώσεων είναι μηδέν, το πλάτος της ταλάντωσης που προκύπτει είναι ίσο με το άθροισμα των πλατών των προστιθέμενων ταλαντώσεων. Εάν η διαφορά φάσης των προστιθέμενων ταλαντώσεων είναι ίση, τότε το πλάτος της προκύπτουσας ταλάντωσης είναι ίσο με . Εάν οι συχνότητες των προστιθέμενων ταλαντώσεων δεν είναι ίδιες, τότε τα διανύσματα που αντιστοιχούν σε αυτές τις ταλαντώσεις θα περιστρέφονται με διαφορετικές ταχύτητες. Σε αυτή την περίπτωση, το διάνυσμα που προκύπτει πάλλεται σε μέγεθος και περιστρέφεται με μεταβλητή ταχύτητα. Κατά συνέπεια, το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δεν είναι μια αρμονική ταλάντωση, αλλά μια πολύπλοκη ταλαντωτική διαδικασία.

1.7.9. Beats

Ας εξετάσουμε την προσθήκη δύο αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας κατεύθυνσης, ελαφρώς διαφορετικών σε συχνότητα. Έστω η συχνότητα ενός από αυτά ίση με ω, και του δεύτερου ω+Δω, και Δω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 =a cos ωt, x 2 =a cos(ω+∆ω)t.

Προσθέτοντας αυτές τις εκφράσεις και χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των συνημίτονων, έχουμε:

Οι ταλαντώσεις (1.7.41) μπορούν να θεωρηθούν ως αρμονική ταλάντωση με συχνότητα ω, το πλάτος της οποίας ποικίλλει σύμφωνα με το νόμο. Αυτή η συνάρτηση είναι περιοδική με συχνότητα διπλάσια από τη συχνότητα της έκφρασης κάτω από το πρόσημο του συντελεστή, δηλ. με συχνότητα Δω. Έτσι, η συχνότητα παλμών του πλάτους, που ονομάζεται συχνότητα παλμού, είναι ίση με τη διαφορά στις συχνότητες των προστιθέμενων ταλαντώσεων.

1.7.10. Πρόσθεση αμοιβαίων κάθετων ταλαντώσεων (σχήματα Lissajous)

Εάν ένα υλικό σημείο ταλαντώνεται τόσο κατά μήκος του άξονα x όσο και κατά μήκος του άξονα y, τότε θα κινηθεί κατά μήκος μιας ορισμένης καμπυλόγραμμης τροχιάς. Έστω η συχνότητα ταλάντωσης η ίδια και η αρχική φάση της πρώτης ταλάντωσης ίση με μηδέν, τότε γράφουμε τις εξισώσεις ταλάντωσης με τη μορφή:

Η εξίσωση (1.7.43) είναι η εξίσωση μιας έλλειψης, οι άξονες της οποίας προσανατολίζονται αυθαίρετα σε σχέση με τους άξονες συντεταγμένων x και y. Ο προσανατολισμός της έλλειψης και το μέγεθος των ημιαξόνων της εξαρτώνται από τα πλάτη a και b και τη διαφορά φάσης α. Ας δούμε μερικές ειδικές περιπτώσεις:

(m=0, ±1, ±2, …). Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση έχει τη μορφή

Αυτή είναι η εξίσωση μιας έλλειψης, οι άξονες της οποίας συμπίπτουν με τους άξονες συντεταγμένων και οι ημιάξονες της είναι ίσοι με τα πλάτη (Εικ. 1.7.12). Αν τα πλάτη είναι ίσα, τότε η έλλειψη γίνεται κύκλος.

Εικ.1.7.12

Εάν οι συχνότητες των αμοιβαία κάθετων ταλαντώσεων διαφέρουν κατά ένα μικρό ποσό Δω, μπορούν να θεωρηθούν ως ταλαντώσεις της ίδιας συχνότητας, αλλά με αργά μεταβαλλόμενη διαφορά φάσης. Σε αυτή την περίπτωση, οι εξισώσεις δόνησης μπορούν να γραφτούν

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

και η έκφραση ∆ωt+α θα πρέπει να θεωρηθεί ως διαφορά φάσης που αργά αλλάζει με το χρόνο σύμφωνα με έναν γραμμικό νόμο. Η προκύπτουσα κίνηση σε αυτή την περίπτωση συμβαίνει κατά μήκος μιας αργά μεταβαλλόμενης καμπύλης, η οποία θα πάρει διαδοχικά μια μορφή που αντιστοιχεί σε όλες τις τιμές της διαφοράς φάσης από -π έως +π.

Εάν οι συχνότητες των αμοιβαία κάθετων ταλαντώσεων δεν είναι ίδιες, τότε η τροχιά της προκύπτουσας κίνησης έχει τη μορφή μάλλον πολύπλοκων καμπυλών που ονομάζονται Φιγούρες Lissajous. Έστω, για παράδειγμα, οι συχνότητες των προστιθέμενων ταλαντώσεων συσχετίζονται ως 1 : 2 και διαφορά φάσης π/2. Τότε οι εξισώσεις δόνησης έχουν τη μορφή

x=a cos ωt, y=b cos.

Στο διάστημα που ένα σημείο καταφέρνει να κινηθεί κατά μήκος του άξονα x από τη μια ακραία θέση στην άλλη, κατά μήκος του άξονα y, έχοντας αφήσει τη μηδενική θέση, καταφέρνει να φτάσει σε μια ακραία θέση, μετά σε μια άλλη και να επιστρέψει. Το σχήμα της καμπύλης φαίνεται στο Σχ. 1.7.13. Η καμπύλη με τον ίδιο λόγο συχνότητας, αλλά η διαφορά φάσης ίση με μηδέν φαίνεται στο Σχ. 1.7.14. Ο λόγος των συχνοτήτων των προστιθέμενων ταλαντώσεων είναι αντίστροφος προς τον λόγο του αριθμού των σημείων τομής των σχημάτων Lissajous με ευθείες παράλληλες προς τους άξονες συντεταγμένων. Κατά συνέπεια, με την εμφάνιση των σχημάτων Lissajous, μπορεί κανείς να προσδιορίσει τον λόγο των συχνοτήτων των προστιθέμενων ταλαντώσεων ή την άγνωστη συχνότητα. Εάν μία από τις συχνότητες είναι γνωστή.

Εικ.1.7.13

Εικ.1.7.14

Όσο πιο κοντά στην ενότητα είναι το ορθολογικό κλάσμα που εκφράζει τον λόγο των συχνοτήτων ταλάντωσης, τόσο πιο περίπλοκα είναι τα σχήματα Lissajous που προκύπτουν.

1.7.11. Διάδοση κυμάτων σε ελαστικό μέσο

Εάν οι δονήσεις των σωματιδίων του διεγείρονται σε οποιοδήποτε σημείο σε ένα ελαστικό (στερεό υγρό ή αέριο) μέσο, ​​τότε, λόγω της αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωματιδίων, αυτή η δόνηση θα διαδοθεί στο μέσο από σωματίδιο σε σωματίδιο με μια ορισμένη ταχύτητα v. η διαδικασία διάδοσης των δονήσεων στο χώρο ονομάζεται κύμα.

Τα σωματίδια του μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα δεν έλκονται σε μεταφορική κίνηση από το κύμα· ταλαντώνονται μόνο γύρω από τις θέσεις ισορροπίας τους.

Ανάλογα με τις κατευθύνσεις των ταλαντώσεων των σωματιδίων σε σχέση με την κατεύθυνση στην οποία διαδίδεται το κύμα, υπάρχουν διαμήκης και εγκάρσιοςκυματιστά. Σε ένα διαμήκη κύμα, τα σωματίδια του μέσου ταλαντώνονται κατά τη διάδοση του κύματος. Σε ένα εγκάρσιο κύμα, τα σωματίδια του μέσου ταλαντώνονται σε κατευθύνσεις κάθετες προς την κατεύθυνση διάδοσης των κυμάτων. Τα ελαστικά εγκάρσια κύματα μπορούν να προκύψουν μόνο σε ένα μέσο που έχει αντίσταση διάτμησης. Επομένως, σε υγρά και αέρια μέσα, μπορούν να εμφανιστούν μόνο διαμήκη κύματα. Σε ένα στερεό μέσο, ​​μπορούν να εμφανιστούν τόσο διαμήκη όσο και εγκάρσια κύματα.

Στο Σχ. Το σχήμα 1.7.12 δείχνει την κίνηση των σωματιδίων όταν ένα εγκάρσιο κύμα διαδίδεται σε ένα μέσο. Οι αριθμοί 1, 2 κ.λπ. δείχνουν σωματίδια που υστερούν το ένα πίσω από το άλλο κατά απόσταση ίση με (¼ υT), δηλ. την απόσταση που διανύει το κύμα κατά το ένα τέταρτο της περιόδου των ταλαντώσεων που εκτελούνται από τα σωματίδια. Τη στιγμή που λήφθηκε ως μηδέν, το κύμα, που διαδόθηκε κατά μήκος του άξονα από αριστερά προς τα δεξιά, έφτασε στο σωματίδιο 1, με αποτέλεσμα το σωματίδιο να αρχίσει να μετακινείται προς τα πάνω από τη θέση ισορροπίας, παρασύροντας τα ακόλουθα σωματίδια μαζί του. Μετά από ένα τέταρτο της περιόδου, το σωματίδιο 1 φτάνει στην ανώτατη θέση ισορροπίας, το σωματίδιο 2. Μετά από ένα άλλο τέταρτο της περιόδου, το πρώτο μέρος θα περάσει τη θέση ισορροπίας, κινούμενο προς την κατεύθυνση από πάνω προς τα κάτω, το δεύτερο σωματίδιο θα φτάσει στο ανώτατο θέση, και το τρίτο σωματίδιο θα αρχίσει να κινείται προς τα πάνω από τη θέση ισορροπίας. Σε χρόνο ίσο με Τ, το πρώτο σωματίδιο θα ολοκληρώσει τον πλήρη κύκλο της ταλάντωσης και θα βρίσκεται στην ίδια κατάσταση κίνησης με την αρχική στιγμή. Το κύμα τη στιγμή Τ, έχοντας περάσει τη διαδρομή (υT), θα φτάσει στο σωματίδιο 5.

Στο Σχ. Το σχήμα 1.7.13 δείχνει την κίνηση των σωματιδίων όταν ένα διαμήκη κύμα διαδίδεται σε ένα μέσο. Όλα τα επιχειρήματα που αφορούν τη συμπεριφορά των σωματιδίων σε ένα εγκάρσιο κύμα μπορούν να εφαρμοστούν σε αυτήν την περίπτωση με την αντικατάσταση των μετατοπίσεων προς τα πάνω και προς τα κάτω από μετατοπίσεις προς τα δεξιά και προς τα αριστερά.

Από το σχήμα φαίνεται ότι όταν ένα διαμήκη κύμα διαδίδεται σε ένα μέσο, ​​δημιουργούνται εναλλασσόμενες συμπυκνώσεις και αραιώσεις σωματιδίων (οι τόποι συμπύκνωσης περιγράφονται στο σχήμα με διακεκομμένες γραμμές), κινούμενοι προς την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος με μια ταχύτητα v.

Ρύζι. 1.7.15

Ρύζι. 1.7.16

Στο Σχ. Τα 1.7.15 και 1.7.16 δείχνουν δονήσεις σωματιδίων των οποίων οι θέσεις και οι ισορροπίες βρίσκονται στον άξονα Χ.Στην πραγματικότητα, δεν δονούνται μόνο τα σωματίδια που βρίσκονται κατά μήκος του άξονα Χ,αλλά μια συλλογή σωματιδίων που περιέχονται σε έναν ορισμένο όγκο. Διαδίδοντας από τις πηγές των ταλαντώσεων, η κυματική διαδικασία καλύπτει όλο και περισσότερα νέα μέρη του χώρου, η γεωμετρική θέση των σημείων στα οποία φτάνουν οι ταλαντώσεις τη στιγμή t ονομάζεται μέτωπο κύματος(ή μέτωπο κυμάτων). Το μέτωπο κύματος είναι η επιφάνεια που χωρίζει το τμήμα του χώρου που ήδη εμπλέκεται στην κυματική διαδικασία από την περιοχή στην οποία δεν έχουν ακόμη προκύψει ταλαντώσεις.

Η γεωμετρική θέση των σημείων που ταλαντώνονται στην ίδια φάση ονομάζεται επιφάνεια κύματος . Η επιφάνεια του κύματος μπορεί να τραβηχτεί μέσω οποιουδήποτε σημείου στο χώρο που καλύπτεται από την κυματική διαδικασία. Κατά συνέπεια, υπάρχει άπειρος αριθμός επιφανειών κύματος, ενώ υπάρχει μόνο ένα μέτωπο κύματος σε κάθε χρονική στιγμή. Οι επιφάνειες των κυμάτων παραμένουν ακίνητες (διέρχονται από τις θέσεις ισορροπίας των σωματιδίων που ταλαντώνονται στην ίδια φάση ). Το μέτωπο κύματος κινείται συνεχώς.

Οι επιφάνειες κυμάτων μπορεί να έχουν οποιοδήποτε σχήμα. Στις απλούστερες περιπτώσεις έχουν σχήμα επιπέδου ή σφαίρας. Κατά συνέπεια, το κύμα σε αυτές τις περιπτώσεις ονομάζεται επίπεδο ή σφαιρικό. Σε ένα επίπεδο κύμα, οι επιφάνειες κυμάτων είναι ένα σύνολο επιπέδων παράλληλων μεταξύ τους, σε ένα σφαιρικό κύμα - ένα σύνολο ομόκεντρων σφαιρών.

Ρύζι. 1.7.17

Αφήστε ένα επίπεδο κύμα να διαδοθεί κατά μήκος του άξονα Χ. Τότε όλα τα σημεία της σφαίρας των οποίων οι θέσεις και οι ισορροπίες έχουν την ίδια συντεταγμένη Χ(αλλά η διαφορά στις τιμές συντεταγμένων yΚαι z),ταλαντώνονται στην ίδια φάση.

Στο Σχ. Το 1.7.17 δείχνει μια καμπύλη που δίνει μετατόπιση ξ από τη θέση ισορροπίας σημείων με διαφορετικά Χκάποια στιγμή. Αυτό το σχέδιο δεν πρέπει να εκλαμβάνεται ως ορατή εικόνα κύματος. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα συναρτήσεων ξ (x, t)για κάποια σταθερά σημείο στο χρόνο t.Ένα τέτοιο γράφημα μπορεί να κατασκευαστεί τόσο για διαμήκη όσο και για εγκάρσια κύματα.

Η απόσταση λ στην οποία διαδίδεται ένα κύμα σύντομη σε χρόνο ίσο με την περίοδο ταλάντωσης των σωματιδίων του μέσου ονομάζεται μήκος κύματος. Είναι προφανές ότι

όπου υ είναι η ταχύτητα του κύματος, T η περίοδος ταλάντωσης. Το μήκος κύματος μπορεί επίσης να οριστεί ως η απόσταση μεταξύ των πλησιέστερων σημείων του μέσου που ταλαντώνεται με διαφορά φάσης ίση με 2π (βλ. Εικ. 1.7.14).

Αντικαθιστώντας το T σε σχέση (1.7.45) έως 1/ν (ν είναι η συχνότητα ταλάντωσης), παίρνουμε

Αυτός ο τύπος μπορεί επίσης να επιτευχθεί από τις ακόλουθες σκέψεις. Σε ένα δευτερόλεπτο, η πηγή κύματος εκτελεί ν ταλαντώσεις, δημιουργώντας στο μέσο με κάθε ταλάντωση μια «κορυφή» και μια «γούρνα» του κύματος. Όταν η πηγή ολοκληρώσει τη ν -η ταλάντωση, η πρώτη «ράχη» θα έχει χρόνο να διανύσει μια απόσταση υ. Συνεπώς, το ν από τις «κορυφές» και τις «γούρνες» του κύματος πρέπει να ταιριάζει στο μήκος υ.

1.7.12. Εξίσωση επίπεδων κυμάτων

Η κυματική εξίσωση είναι μια έκφραση που δίνει τη μετατόπιση ενός ταλαντούμενου σωματιδίου σε συνάρτηση με τις συντεταγμένες του x, y, z και του χρόνου t :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(εννοεί τις συντεταγμένες της θέσης ισορροπίας του σωματιδίου). Αυτή η συνάρτηση πρέπει να είναι περιοδική ως προς το χρόνο t , και σε σχέση με τις συντεταγμένες x, y, z. . Η περιοδικότητα στο χρόνο προκύπτει από το γεγονός ότι τα σημεία βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους λ , ταλαντώνονται με τον ίδιο τρόπο.

Ας βρούμε τον τύπο της συνάρτησης ξ στην περίπτωση ενός επίπεδου κύματος, υποθέτοντας ότι οι ταλαντώσεις είναι αρμονικής φύσης. Για απλοποίηση, ας κατευθύνουμε τους άξονες συντεταγμένων έτσι ώστε ο άξονας Χ συνέπεσε με την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. Τότε οι επιφάνειες των κυμάτων θα είναι κάθετες στον άξονα Χ και, εφόσον όλα τα σημεία της επιφάνειας του κύματος δονούνται εξίσου, η μετατόπιση ξ θα εξαρτηθεί μόνο από Χ Και t:

ξ = ξ (x, t) .

Εικ.1.7.18

Αφήστε τις δονήσεις των σημείων που βρίσκονται στο επίπεδο Χ = 0 (Εικ. 1.7.18), έχουν τη μορφή

Ας βρούμε τον τύπο ταλάντωσης των σημείων στο επίπεδο που αντιστοιχεί σε μια αυθαίρετη τιμή Χ . Προκειμένου να διανύσει ένα μονοπάτι από το αεροπλάνο Χ=0 για να φτάσει σε αυτό το επίπεδο, το κύμα θέλει χρόνο ( υ - ταχύτητα διάδοσης κυμάτων). Κατά συνέπεια, οι δονήσεις των σωματιδίων που βρίσκονται στο επίπεδο Χ , θα καθυστερήσει χρονικά κατά τ από δονήσεις σωματιδίων στο επίπεδο Χ = 0 , δηλ. θα μοιάζει

Ετσι, εξίσωση επίπεδου κύματος(διαμήκης και εγκάρσια), που εκτείνεται προς την κατεύθυνση του άξονα Χ , ως εξής:

Αυτή η έκφραση ορίζει τη σχέση μεταξύ του χρόνου t και εκείνο το μέρος Χ , στην οποία η φάση έχει σταθερή τιμή. Η προκύπτουσα τιμή dx/dt δίνει την ταχύτητα με την οποία κινείται μια δεδομένη τιμή φάσης. Διαφοροποιητική έκφραση (1.7.48), λαμβάνουμε

Εξίσωση κύματος που διαδίδεται με φθίνουσα κατεύθυνση Χ :

Κατά την εξαγωγή του τύπου (1.7.53), υποθέσαμε ότι το πλάτος των ταλαντώσεων δεν εξαρτάται από Χ . Για ένα επίπεδο κύμα, αυτό παρατηρείται στην περίπτωση που η ενέργεια του κύματος δεν απορροφάται από το μέσο. Κατά τη διάδοση σε ένα μέσο απορρόφησης ενέργειας, η ένταση του κύματος μειώνεται σταδιακά με την απόσταση από την πηγή των ταλαντώσεων - παρατηρείται εξασθένηση του κύματος. Η εμπειρία δείχνει ότι σε ένα ομοιογενές μέσο μια τέτοια εξασθένηση συμβαίνει σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο:

Αντίστοιχα εξίσωση επίπεδου κύματος, λαμβάνοντας υπόψη την εξασθένηση, έχει την ακόλουθη μορφή:

(1.7.54)

(α 0 - πλάτος σε σημεία του επιπέδου x = 0).