Πώς ορίζεται και απεικονίζεται ένα διάνυσμα. Διανύσματα Διανύσματα Ιστορικό υπόβαθρο Έννοια ενός διανύσματος Ισότητα διανυσμάτων Αναβολή ενός διανύσματος από ένα δεδομένο σημείο Άθροισμα δύο διανυσμάτων Νόμοι της πρόσθεσης Αφαίρεση

Αν = (̅

- βάση

= (1, 2, 3) , τότε υπάρχει ένα σύνολο αριθμών(

...) έτσι ώστε

̅ + + ̅̅, όπου (

...) – συντεταγμένες του διανύσματος στη βάση.

̅ с̅ = с̅ ̅

= ̅с ̅= − ̅ с̅

= − с̅ ̅= − ̅ ̅с.

20. Να διατυπώσετε την ιδιότητα της γραμμικότητας ενός μικτού προϊόντος.

Για ένα μικτό προϊόν, η ιδιότητα της συσχέτισης σε σχέση με

πολλαπλασιάζοντας διανύσματα με έναν αριθμό: (λ ̅ )с̅

= λ(̅ с̅ ).

Για ένα μικτό προϊόν, η ιδιότητα διανομής ισχύει: (̅̅̅ +̅̅̅ )с̅

= ̅̅̅

̅с + ̅̅̅

Με.

− 1

− 1

− 1

| 2 −1

2 − 1

2 −1 | = 0

3 − 1

3 − 1

3 − 1

(0 ;0 ;

– ονομάζονται συντεταγμένες του σημείου 0 L στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων

παραμετρικές εξισώσεις ευθείας στο χώρο.

Η εξίσωση

− 0

− 0

− 0

που ονομάζεται κανονικές εξισώσειςκατευθείαν

χώρος.

27. Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία του χώρου.

Εξισώσεις

− 1

− 1

− 1

ονομάζονται οι εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία

παραλληλόγραμμο OA’CB’, επομένως = ′ + ′ . Διανυσματικό' και μη μηδενικό διάνυσμα̅

είναι συγγραμμικές και επομένως το πρώτο από αυτά μπορεί να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας το δεύτερο επί

πραγματικός αριθμός α: ′ = . Ομοίως′ = , β R. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε, Τι

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

= ′ + ′ , δηλ. vector̅ είναι ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων και. Σύμφωνα με το θεώρημα

̅ εξαρτώνται γραμμικά.

2.1 (σχετικά με τη γραμμική εξάρτηση των διανυσμάτων), διανύσματα ̅ ,

2. Να αποδείξετε το θεώρημα για την επέκταση ενός διανύσματος ως προς μια βάση.

Θεώρημα για την αποσύνθεση ενός διανύσματος ως προς μια βάση. Αν = (̅

- βάση

= (1, 2, 3), τότε

υπάρχει ένα σύνολο αριθμών (

...) τέτοια ώστε̅= ̅̅̅

̅ + + ̅ ̅, όπου (

...) – συντεταγμένες

Θεωρήστε δύο διανύσματα ̅

και, που δίνονται από τις συντεταγμένες τους στη σωστή ορθοκανονική βάση

̅ = {

). Τότε γίνονται οι διαστολές αυτών των διανυσμάτων: ̅ =̅ +̅

, ̅, ̅:

= ̅ +̅ +

Με βάση αυτά

υποβολές

αλγεβρικός

διανυσματικός πολλαπλασιασμός,

παίρνουμε

= ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅ ̅

× ̅+ × ̅+

× = (

)̅+ (

)̅+ (

Έστω τα διανύσματα a, b, c που δίνονται από τις συντεταγμένες τους σε ορθή ορθοκανονική βάση: ̅ = ( ;

), = ( ; ; ), ̅с = ( ; ; ). Για να βρείτε το ανάμεικτο προϊόν τους,

Ας χρησιμοποιήσουμε τους τύπους για να υπολογίσουμε τα βαθμωτά και διανυσματικά γινόμενα:

̅̅= ̅(× ̅)= ̅ (|

Αν το επίπεδο π καθορίζεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων από τη γενική του εξίσωση

Ax + By + Cz + D = 0, τότε το κανονικό του διάνυσμα είναι το διάνυσμα με συντεταγμένες (A; B; C).

Έστω (0 , 0 , 0 ) και (1 , 1 , 1 ) οι συντεταγμένες των σημείων0

και 1. Τότε ισχύει η ισότητα

A 1 +B1 +C1 +D = 0, αφού το σημείο M1 ανήκει στο επίπεδο και οι συντεταγμένες μπορούν να βρεθούν

̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅

Διάνυσμα 1 0 :

1 0 = (0 − 1; 0 − 1; 0 − 1) . Γράψτε το βαθμωτό γινόμενο ̅ 1 0

μορφή συντεταγμένων και μετασχηματίζοντας (5.8), λαμβάνουμε

| (0 −1 ) + (0 −1 ) + (0 −1 )|

| 0 +0 +0 − (1 +1 +1 )|

2 + 2+ 2

2 + 2+ 2

̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,) =

| 0 1 × |

δουλειά. Αφήστε τις ευθείες γραμμές 1

και 2

κανονικές εξισώσεις. Από τότε που

̅̅̅̅̅̅̅̅

(1, 2) μεταξύ των γραμμών:

̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,2 ) =

| 1 2

1 2|

Ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα μιας ευθείας γραμμής στον Ευκλείδειο χώρο, το ένα άκρο του οποίου (σημείο Α) ονομάζεται αρχή του διανύσματος και το άλλο άκρο (σημείο Β) τέλος του διανύσματος (Εικ. 1). Οι φορείς ορίζονται:

Εάν η αρχή και το τέλος του διανύσματος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμα καλείται μηδενικό διάνυσμακαι ορίζεται 0 .

Παράδειγμα. Ας έχει συντεταγμένες η αρχή του διανύσματος στον δισδιάστατο χώρο ΕΝΑ(12.6) , και το τέλος του διανύσματος είναι οι συντεταγμένες σι(12.6). Τότε το διάνυσμα είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Μήκος τμήματος ΑΒπου ονομάζεται μονάδα μέτρησης (μήκος, ο κανόνας) διάνυσμα και συμβολίζεται με | ένα|. Διάνυσμα μήκους, ίσο με ένα, που ονομάζεται μονάδα διάνυσμα. Εκτός από τη μονάδα, το διάνυσμα χαρακτηρίζεται από κατεύθυνση: το διάνυσμα έχει κατεύθυνση από ΕΝΑΠρος την σι. Ένα διάνυσμα ονομάζεται διάνυσμα, απεναντι αποδιάνυσμα.

Τα δύο διανύσματα ονομάζονται συγγραμμική, εάν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Στην εικόνα Εικ. Τα 3 κόκκινα διανύσματα είναι συγγραμμικά, γιατί βρίσκονται στην ίδια ευθεία και τα μπλε διανύσματα είναι συγγραμμικά, γιατί βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες. Δύο συγγραμμικό διάνυσμαλέγονται εξίσου σκηνοθετημένο, αν τα άκρα τους βρίσκονται στην ίδια πλευρά της ευθείας που συνδέει τις αρχές τους. Καλούνται δύο συγγραμμικά διανύσματα αντίθετα κατευθυνόμενη, αν τα άκρα τους είναι κατά μήκος διαφορετικές πλευρέςαπό την ευθεία που συνδέει την προέλευσή τους. Εάν δύο συγγραμμικά διανύσματα βρίσκονται στην ίδια ευθεία γραμμή, τότε ονομάζονται πανομοιότυπα κατευθυνόμενα εάν μία από τις ακτίνες που σχηματίζονται από το ένα διάνυσμα περιέχει πλήρως την ακτίνα που σχηματίζεται από το άλλο διάνυσμα. Διαφορετικά, τα διανύσματα λέγεται ότι έχουν αντίθετη κατεύθυνση. Στο Σχήμα 3, τα μπλε διανύσματα είναι εξίσου κατευθυνόμενα και τα κόκκινα διανύσματα έχουν αντίθετη κατεύθυνση.

Τα δύο διανύσματα ονομάζονται ίσοςεάν έχουν ίσες ενότητες και τις ίδιες κατευθύνσεις. Στο σχήμα 2, τα διανύσματα είναι ίσα επειδή Οι ενότητες τους είναι ίσες και έχουν την ίδια κατεύθυνση.

Τα διανύσματα ονομάζονται ομοεπίπεδη, εάν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή σε παράλληλα επίπεδα.

ΣΕ nΣε ένα διανυσματικό χώρο, θεωρήστε το σύνολο όλων των διανυσμάτων των οποίων το σημείο εκκίνησης συμπίπτει με την αρχή των συντεταγμένων. Τότε το διάνυσμα μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

Οπου x 1 , x 2 , ..., x nδιανυσματικές συντεταγμένες τελικού σημείου Χ.

Ένα διάνυσμα γραμμένο με τη μορφή (1) ονομάζεται διάνυσμα σειράς, και το διάνυσμα γραμμένο με τη μορφή

που ονομάζεται διάνυσμα στήλης.

Αριθμός nπου ονομάζεται διάσταση (για να) διάνυσμα. Αν τότε καλείται το διάνυσμα μηδενικό διάνυσμα(από το σημείο εκκίνησης του διανύσματος ). Δύο φορείς ΧΚαι yείναι ίσα αν και μόνο αν τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα.

Το διάνυσμα είναι μια από τις βασικές γεωμετρικές έννοιες. Ένα διάνυσμα χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό (μήκος) και μια κατεύθυνση. Μπορεί να φανταστεί οπτικά ως ένα κατευθυνόμενο τμήμα, αν και όταν μιλάμε για ένα διάνυσμα, είναι πιο σωστό να εννοούμε μια ολόκληρη κατηγορία κατευθυνόμενων τμημάτων, τα οποία είναι όλα παράλληλα μεταξύ τους, ίδιο μήκοςκαι την ίδια κατεύθυνση (Εικ. 1). Παραδείγματα φυσικών μεγεθών που είναι διανυσματικής φύσης είναι η ταχύτητα (ενός μεταφορικά κινούμενου σώματος), η επιτάχυνση, η δύναμη κ.λπ.

Η έννοια του διανύσματος εμφανίστηκε στα έργα του Γερμανού μαθηματικού του 19ου αιώνα. Ο G. Grassmann και ο Ιρλανδός μαθηματικός W. Hamilton. τότε έγινε εύκολα αποδεκτή από πολλούς μαθηματικούς και φυσικούς. Στα σύγχρονα μαθηματικά και τις εφαρμογές τους αυτή η έννοια παίζει ζωτικός ρόλος. Τα διανύσματα χρησιμοποιούνται στην κλασική μηχανική του Galileo-Newton (στην σύγχρονη παρουσίαση), στη θεωρία της σχετικότητας, κβαντική φυσική, σε μαθηματικά οικονομικάκαι πολλά άλλα τμήματα της φυσικής επιστήμης, για να μην αναφέρουμε τη χρήση διανυσμάτων σε διάφορους τομείς των μαθηματικών.

Κάθε ένα από τα κατευθυνόμενα τμήματα που αποτελούν το διάνυσμα (Εικ. 1) μπορεί να ονομαστεί αντιπροσωπευτικό αυτού του διανύσματος. Ένα διάνυσμα του οποίου ο αντιπρόσωπος είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα που πηγαίνει από σημείο σε σημείο συμβολίζεται με . Στο Σχ. 1 έχουμε, δηλ. και είναι το ίδιο διάνυσμα (του οποίου οι εκπρόσωποι είναι και τα δύο κατευθυνόμενα τμήματα που επισημαίνονται στο Σχ. 1). Μερικές φορές ένα διάνυσμα συμβολίζεται με ένα μικρό γράμμα με ένα βέλος: , .

Ένα διάνυσμα που αντιπροσωπεύεται από ένα κατευθυνόμενο «τμήμα» του οποίου η αρχή και το τέλος συμπίπτουν ονομάζεται μηδέν. συμβολίζεται με , δηλ. . Δύο παράλληλα διανύσματα που έχουν τα ίδια μήκη αλλά αντίθετες κατευθύνσεις ονομάζονται αντίθετα. Αν ένα διάνυσμα συμβολίζεται με , τότε το αντίθετό του διάνυσμα συμβολίζεται με .

Ας ονομάσουμε τις βασικές πράξεις που σχετίζονται με διανύσματα.

I. Καθυστέρηση ενός διανύσματος από ένα σημείο. Έστω κάποιο διάνυσμα και ένα σημείο. Μεταξύ των κατευθυνόμενων τμημάτων που είναι εκπρόσωποι του διανύσματος, υπάρχει ένα κατευθυνόμενο τμήμα που ξεκινά από το σημείο. Το άκρο αυτού του κατευθυνόμενου τμήματος ονομάζεται σημείο, που προκύπτει από τη γραφική παράσταση του διανύσματος από το σημείο (Εικ. 2). Αυτή η λειτουργία έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

Ι1. Για οποιοδήποτε σημείο και κάθε διάνυσμα υπάρχει, και μόνο ένα, ένα σημείο για το οποίο .

Διάνυσμα προσθήκη. Έστω και είναι δύο διανύσματα. Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο και ας σχεδιάσουμε το διάνυσμα από το σημείο, δηλ. ας βρούμε ένα σημείο τέτοιο που (Εικ. 3). Στη συνέχεια σχεδιάζουμε το διάνυσμα από το σημείο, δηλ. βρίσκουμε ένα σημείο τέτοιο ώστε . Ένα διάνυσμα ονομάζεται άθροισμα διανυσμάτων και συμβολίζεται με . Μπορεί να αποδειχθεί ότι το άθροισμα δεν εξαρτάται από την επιλογή του σημείου, δηλ. αν αντικαταστήσετε με ένα άλλο σημείο, θα έχετε ένα διάνυσμα ίσο με (Εικ. 3). Από τον ορισμό του αθροίσματος των διανυσμάτων προκύπτει ότι για οποιαδήποτε τρία σημεία η ισότητα

I2:

(«κανόνας τριών σημείων»). Εάν τα μη μηδενικά διανύσματα δεν είναι παράλληλα, τότε είναι βολικό να βρείτε το άθροισμά τους χρησιμοποιώντας τον κανόνα του παραλληλογράμμου (Εικ. 4).

II. Οι κύριες ιδιότητες του αθροίσματος των διανυσμάτων εκφράζονται με τις ακόλουθες 4 ισότητες (ισχύουν για οποιαδήποτε διανύσματα , , ):

II2. .

Σημειώστε επίσης ότι το άθροισμα πολλών διανυσμάτων βρίσκεται βρίσκοντας διαδοχικά το άθροισμα δύο από αυτά. Για παράδειγμα: .

Ταυτόχρονα, ανεξάρτητα από τη σειρά που προσθέτουμε δεδομένων διανυσμάτων, το αποτέλεσμα (όπως προκύπτει από τις ιδιότητες που αναφέρονται στις παραγράφους II1 και II2) θα είναι πάντα το ίδιο. Για παράδειγμα:

Επιπλέον, γεωμετρικά, το άθροισμα πολλών διανυσμάτων μπορεί να ληφθεί ως εξής: είναι απαραίτητο να τοποθετηθούν κατευθυνόμενα τμήματα που είναι αντιπροσωπευτικά αυτών των διανυσμάτων το ένα μετά το άλλο (δηλαδή, έτσι ώστε η αρχή του δεύτερου κατευθυνόμενου τμήματος να συμπίπτει με το τέλος του πρώτου , η αρχή του τρίτου με το τέλος του δεύτερου, κ.λπ.) τότε διάνυσμα θα έχει ως αντιπρόσωπό του ένα «κλείσιμο» κατευθυνόμενο τμήμα που εκτείνεται από την αρχή του πρώτου έως το τέλος του τελευταίου (Εικ. 5). (Σημειώστε ότι εάν μια τέτοια διαδοχική εναπόθεση έχει ως αποτέλεσμα μια "κλειστή διανυσματική διακεκομμένη γραμμή", τότε .)

III. Πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό. Έστω μη μηδενικό διάνυσμα και μη μηδενικός αριθμός. Through υποδηλώνει ένα διάνυσμα που ορίζεται από τις ακόλουθες δύο συνθήκες: α) το μήκος του διανύσματος είναι ίσο με ; β) το διάνυσμα είναι παράλληλο με το διάνυσμα και η διεύθυνση του συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος στο και αντίθετο από αυτό στο (Εικ. 6). Εάν τουλάχιστον μία από τις ισότητες είναι αληθής, τότε το γινόμενο θεωρείται ίσο με . Έτσι, το γινόμενο ορίζεται για οποιοδήποτε διάνυσμα και οποιονδήποτε αριθμό.

Οι ακόλουθες 4 ισότητες (ισχύουν για οποιαδήποτε διανύσματα και οποιουσδήποτε αριθμούς) εκφράζουν τις βασικές ιδιότητες της πράξης του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό:

III2. .

III3. .

Από αυτές τις ιδιότητες προκύπτει ένας αριθμός περαιτέρω γεγονόταπου σχετίζονται με τις εξεταζόμενες πράξεις σε διανύσματα. Ας σημειώσουμε μερικά από αυτά που χρησιμοποιούνται συχνά για την επίλυση προβλημάτων.

α) Αν είναι ένα σημείο στο τμήμα τέτοιο ώστε , τότε για οποιοδήποτε σημείο η ισότητα , συγκεκριμένα, εάν είναι το μέσο του τμήματος , τότε .

β) Αν είναι το σημείο τομής των διάμεσων του τριγώνου, τότε ; Επιπλέον, για οποιοδήποτε σημείο η ισότητα είναι αληθής (ισχύουν και τα αντίστροφα θεωρήματα).

γ) Έστω ένα σημείο σε μια ευθεία και έστω μη μηδενικό διάνυσμα παράλληλο σε αυτήν την ευθεία. Ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία αν και μόνο αν (όπου είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός).

δ) Έστω ένα σημείο στο επίπεδο και , είναι μη μηδενικά και μη παράλληλα διανύσματα παράλληλα σε αυτό το επίπεδο. Ένα σημείο ανήκει στο επίπεδο εάν και μόνο αν το διάνυσμα εκφράζεται με όρους και, δηλ. .

Τέλος, ας σημειώσουμε και την ιδιότητα της διάστασης, η οποία εκφράζει το γεγονός ότι ο χώρος είναι τρισδιάστατος.

IV. Στον χώρο υπάρχουν τρία διανύσματα , , , έτσι ώστε κανένα από αυτά δεν μπορεί να εκφραστεί ως προς τα άλλα δύο. οποιοδήποτε τέταρτο διάνυσμα εκφράζεται με βάση αυτά τα τρία διανύσματα: . ορίζεται από την ισότητα: υποδεικνύεται το βαθμωτό γινόμενο του διανύσματος (και τότε η γωνία μεταξύ τους δεν καθορίζεται).

Οι ιδιότητες των διανυσματικών πράξεων που αναφέρονται παραπάνω είναι από πολλές απόψεις παρόμοιες με τις ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των αριθμών. Ταυτόχρονα, ένα διάνυσμα είναι ένα γεωμετρικό αντικείμενο και γεωμετρικές έννοιες όπως το μήκος και η γωνία χρησιμοποιούνται στον ορισμό των διανυσματικών πράξεων. Αυτό εξηγεί τη χρησιμότητα των διανυσμάτων για τη γεωμετρία (και τις εφαρμογές τους στη φυσική και σε άλλα γνωστικά πεδία). Ωστόσο, για να λυθεί γεωμετρικά προβλήματαΜε τη βοήθεια διανυσμάτων, πρέπει πρώτα απ 'όλα να μάθετε να "μεταφράζετε" την συνθήκη ενός γεωμετρικού προβλήματος σε μια διανυσματική "γλώσσα". Μετά από μια τέτοια "μετάφραση", πραγματοποιούνται αλγεβρικοί υπολογισμοί με διανύσματα και, στη συνέχεια, η προκύπτουσα διανυσματική λύση "μεταφράζεται" ξανά σε μια γεωμετρική "γλώσσα". Αυτή είναι η διανυσματική λύση σε γεωμετρικά προβλήματα.

Κατά την παρουσίαση ενός μαθήματος γεωμετρίας στο σχολείο, δίνεται ένα διάνυσμα ως προσδιορίσιμη έννοια (βλ. Ορισμός) και ως εκ τούτου η αξιωματική που υιοθετείται στο σχολικό εγχειρίδιο (βλ. Αξιωματική και αξιωματική μέθοδος) της γεωμετρίας δεν λέει τίποτα για τις ιδιότητες των διανυσμάτων, π.χ. όλες αυτές οι ιδιότητες πρέπει να αποδειχθούν ως θεωρήματα.

Υπάρχει, ωστόσο, ένας άλλος τρόπος παρουσίασης της γεωμετρίας, στον οποίο οι αρχικές (ακαθόριστες) έννοιες θεωρούνται διάνυσμα και σημείο και σημειώνονται οι ιδιότητες I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1-V4 παραπάνω λαμβάνονται ως αξιώματα. Αυτός ο τρόπος κατασκευής της γεωμετρίας προτάθηκε το 1917 από τον Γερμανό μαθηματικό G. Weyl. Εδώ οι ευθείες γραμμές και τα επίπεδα είναι οι καθορισμένες έννοιες. Το πλεονέκτημα αυτής της κατασκευής είναι η συντομία της και οργανική σύνδεσημε σύγχρονη αντίληψη της γεωμετρίας τόσο στα ίδια τα μαθηματικά όσο και σε άλλους γνωστικούς τομείς. Συγκεκριμένα, τα αξιώματα ΙΙ1-ΙΙ4, ΙΙΙ1-ΙΙΙ4 εισάγουν τον λεγόμενο διανυσματικό χώρο που χρησιμοποιείται στα σύγχρονα μαθηματικά, τη φυσική, τα μαθηματικά οικονομικά κ.λπ.

Επιτέλους, έπιασα στα χέρια μου αυτό το εκτενές και πολυαναμενόμενο θέμα. αναλυτική γεωμετρία. Πρώτα λίγο για αυτός ο τομέας ανώτερα μαθηματικά…. Σίγουρα θυμάστε τώρα ένα μάθημα σχολικής γεωμετρίας με πολλά θεωρήματα, τις αποδείξεις τους, τα σχέδια κ.λπ. Τι να κρύψω, ένα αναγάπητο και συχνά σκοτεινό θέμα για ένα σημαντικό ποσοστό μαθητών. Η αναλυτική γεωμετρία, παραδόξως, μπορεί να φαίνεται πιο ενδιαφέρουσα και προσιτή. Τι σημαίνει το επίθετο «αναλυτικό»; Δύο κλισέ μαθηματικές φράσεις έρχονται αμέσως στο μυαλό: "μέθοδος γραφικής λύσης" και " αναλυτική μέθοδοςλύσεις». Γραφική μέθοδος , φυσικά, συνδέεται με την κατασκευή γραφημάτων και σχεδίων. Αναλυτικόςίδιο μέθοδοςπεριλαμβάνει την επίλυση προβλημάτων κυρίωςμέσω αλγεβρικών πράξεων. Από αυτή την άποψη, ο αλγόριθμος για την επίλυση σχεδόν όλων των προβλημάτων της αναλυτικής γεωμετρίας είναι απλός και διαφανής· συχνά αρκεί να εφαρμόζεται προσεκτικά απαραίτητες φόρμουλες- και η απάντηση είναι έτοιμη! Όχι, φυσικά, δεν θα είναι δυνατό χωρίς σχέδια καθόλου, και επιπλέον, για καλύτερη κατανόησηΘα προσπαθήσω να προσφέρω περισσότερο υλικό από αυτό που χρειάζεται.

Το νέο μάθημα των μαθημάτων γεωμετρίας δεν προσποιείται ότι είναι θεωρητικά ολοκληρωμένο· επικεντρώνεται στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Θα συμπεριλάβω στις διαλέξεις μου μόνο ό,τι, από την άποψή μου, είναι σημαντικό σε πρακτικούς όρους. Εάν χρειάζεστε πιο ολοκληρωμένη βοήθεια σε οποιαδήποτε υποενότητα, προτείνω την ακόλουθη αρκετά προσιτή βιβλιογραφία:

1) Κάτι που, χωρίς αστείο, γνωρίζουν αρκετές γενιές: Σχολικό εγχειρίδιο γεωμετρίας, συγγραφείς - L.S. Atanasyan and Company. Αυτή η κρεμάστρα σχολικών αποδυτηρίων έχει ήδη περάσει από 20 (!) ανατυπώσεις, που φυσικά δεν είναι το όριο.

2) Γεωμετρία σε 2 τόμους. Συγγραφείς L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Αυτή είναι η λογοτεχνία για Λύκειο, θα χρειαστείτε πρώτος τόμος. Οι εργασίες που αντιμετωπίζω σπάνια μπορεί να πέσουν από τα μάτια μου και φροντιστήριοθα προσφέρει πολύτιμη βοήθεια.

Και τα δύο βιβλία μπορούν να τα κατεβάσετε δωρεάν στο διαδίκτυο. Επιπλέον, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αρχείο μου με έτοιμες λύσεις, το οποίο μπορείτε να βρείτε στη σελίδα Κατεβάστε παραδείγματα στα ανώτερα μαθηματικά.

Από εργαλείαΚαι πάλι, προτείνω τη δική μου ανάπτυξη - πακέτο λογισμικούστην αναλυτική γεωμετρία, η οποία θα απλοποιήσει πολύ τη ζωή και θα εξοικονομήσει πολύ χρόνο.

Υποτίθεται ότι ο αναγνώστης είναι εξοικειωμένος με τα βασικά γεωμετρικές έννοιεςκαι σχήματα: σημείο, ευθεία, επίπεδο, τρίγωνο, παραλληλόγραμμο, παραλληλεπίπεδο, κύβος κ.λπ. Συνιστάται να θυμάστε μερικά θεωρήματα, τουλάχιστον το Πυθαγόρειο θεώρημα, γεια στους επαναλήπτες)

Και τώρα θα εξετάσουμε διαδοχικά: την έννοια ενός διανύσματος, ενέργειες με διανύσματα, διανυσματικές συντεταγμένες. Συνιστώ να διαβάσετε περαιτέρω το πιο σημαντικό άρθρο Σημείο γινόμενο διανυσμάτων, και επίσης Διάνυσμα και μικτό γινόμενο διανυσμάτων. Μια τοπική εργασία - Διαίρεση τμήματος από αυτή την άποψη - δεν θα είναι επίσης περιττή. Με βάση τις παραπάνω πληροφορίες, μπορείτε να κυριαρχήσετε εξίσωση μιας ευθείας σε ένα επίπεδοΜε απλούστερα παραδείγματα λύσεων, που θα επιτρέψει μάθουν να λύνουν προβλήματα γεωμετρίας. Τα παρακάτω άρθρα είναι επίσης χρήσιμα: Εξίσωση ενός επιπέδου στο διάστημα, Εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο, Βασικά προβλήματα σε ευθεία γραμμή και επίπεδο, άλλες ενότητες αναλυτικής γεωμετρίας. Φυσικά, στην πορεία θα εξεταστούν τυπικές εργασίες.

Έννοια του φορέα. Δωρεάν διάνυσμα

Αρχικά, ας επαναλάβουμε τον σχολικό ορισμό ενός διανύσματος. Διάνυσμαπου ονομάζεται σκηνοθετημένοςένα τμήμα για το οποίο υποδεικνύονται η αρχή και το τέλος του:

ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηη αρχή του τμήματος είναι το σημείο, το τέλος του τμήματος είναι το σημείο. Το ίδιο το διάνυσμα συμβολίζεται με . Κατεύθυνσηείναι απαραίτητο, αν μετακινήσετε το βέλος στο άλλο άκρο του τμήματος, θα λάβετε ένα διάνυσμα, και αυτό είναι ήδη εντελώς διαφορετικό διάνυσμα. Η έννοια του διανύσματος ταυτίζεται εύκολα με την κίνηση φυσικό σώμα: Συμφωνώ, το να μπαίνεις στις πόρτες του ινστιτούτου ή να βγαίνεις από τις πόρτες του ινστιτούτου είναι τελείως διαφορετικά πράγματα.

Είναι βολικό να θεωρούνται μεμονωμένα σημεία ενός επιπέδου ή χώρου ως τα λεγόμενα μηδενικό διάνυσμα. Για ένα τέτοιο διάνυσμα, το τέλος και η αρχή συμπίπτουν.

!!! Σημείωση: Εδώ και περαιτέρω, μπορείτε να υποθέσετε ότι τα διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή μπορείτε να υποθέσετε ότι βρίσκονται στο χώρο - η ουσία του υλικού που παρουσιάζεται ισχύει τόσο για το επίπεδο όσο και για το διάστημα.

Ονομασίες:Πολλοί παρατήρησαν αμέσως το ραβδί χωρίς βέλος στην ονομασία και είπαν, υπάρχει επίσης ένα βέλος στην κορυφή! Είναι αλήθεια ότι μπορείτε να το γράψετε με ένα βέλος: , αλλά είναι επίσης δυνατό το λήμμα που θα χρησιμοποιήσω στο μέλλον. Γιατί; Προφανώς, αυτή η συνήθεια αναπτύχθηκε για πρακτικούς λόγους· οι σκοπευτές μου στο σχολείο και στο πανεπιστήμιο αποδείχτηκαν πολύ διαφορετικού μεγέθους και δασύτριχοι. ΣΕ εκπαιδευτική βιβλιογραφίαμερικές φορές δεν ασχολούνται καθόλου με τη σφηνοειδή γραφή, αλλά τονίζουν τα γράμματα με έντονους: , υπονοώντας ότι είναι διάνυσμα.

Αυτό ήταν η στυλιστική, και τώρα για τους τρόπους γραφής διανυσμάτων:

1) Τα διανύσματα μπορούν να γραφτούν με δύο κεφαλαία λατινικά γράμματα:
και ούτω καθεξής. Σε αυτή την περίπτωση, το πρώτο γράμμα Αναγκαίωςδηλώνει το σημείο έναρξης του διανύσματος και το δεύτερο γράμμα υποδηλώνει το σημείο λήξης του διανύσματος.

2) Τα διανύσματα γράφονται επίσης με μικρά λατινικά γράμματα:
Συγκεκριμένα, για συντομία, το διάνυσμά μας μπορεί να επαναπροσδιοριστεί ως μικρό Λατινικό γράμμα.

Μήκοςή μονάδα μέτρησηςμη μηδενικό διάνυσμα ονομάζεται μήκος του τμήματος. Το μήκος του μηδενικού διανύσματος είναι μηδέν. Λογικός.

Το μήκος του διανύσματος υποδεικνύεται από το σύμβολο συντελεστή: ,

Θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε το μήκος ενός διανύσματος (ή θα το επαναλάβουμε, ανάλογα με το ποιος) λίγο αργότερα.

Ήταν Βασικές πληροφορίεςσχετικά με το διάνυσμα, γνωστό σε όλους τους μαθητές. Στην αναλυτική γεωμετρία, τα λεγόμενα ελεύθερο διάνυσμα.

Να το θέσω απλά - το διάνυσμα μπορεί να σχεδιαστεί από οποιοδήποτε σημείο:

Έχουμε συνηθίσει να ονομάζουμε τέτοια διανύσματα ίσα (ο ορισμός των ίσων διανυσμάτων θα δοθεί παρακάτω), αλλά καθαρά από μαθηματικό σημείοη προβολή είναι το ΙΔΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ή ελεύθερο διάνυσμα. Γιατί δωρεάν; Επειδή στην πορεία επίλυσης προβλημάτων, μπορείτε να "προσαρτήσετε" αυτό ή εκείνο το διάνυσμα σε ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ σημείο του επιπέδου ή του χώρου χρειάζεστε. Αυτό είναι ένα πολύ ωραίο χαρακτηριστικό! Φανταστείτε ένα διάνυσμα αυθαίρετου μήκους και κατεύθυνσης - μπορεί να «κλωνοποιηθεί» άπειρες φορές και σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου, στην πραγματικότητα, υπάρχει ΠΑΝΤΟΥ. Υπάρχει ένα τέτοιο φοιτητικό ρητό: Κάθε λέκτορας δίνει βλασφημία για το διάνυσμα. Εξάλλου, δεν είναι απλώς μια πνευματώδης ομοιοκαταληξία, όλα είναι μαθηματικά σωστά - το διάνυσμα μπορεί επίσης να συνδεθεί εκεί. Αλλά μην βιαστείτε να χαρείτε, είναι οι ίδιοι οι μαθητές που συχνά υποφέρουν =)

Ετσι, ελεύθερο διάνυσμα- Αυτό ένα μάτσο πανομοιότυπα κατευθυνόμενα τμήματα. Ο σχολικός ορισμός του διανύσματος, που δίνεται στην αρχή της παραγράφου: «Ένα κατευθυνόμενο τμήμα ονομάζεται διάνυσμα...» υπονοεί ειδικόςκατευθυνόμενο τμήμα που λαμβάνεται από δεδομένο σύνολο, το οποίο είναι δεμένο με συγκεκριμένο σημείοαεροπλάνο ή χώρο.

Πρέπει να σημειωθεί ότι από τη σκοπιά της φυσικής, η έννοια του ελεύθερου διανύσματος σε γενική περίπτωσηείναι λανθασμένο και το σημείο εφαρμογής του διανύσματος έχει σημασία. Πράγματι, ένα άμεσο χτύπημα της ίδιας δύναμης στη μύτη ή στο μέτωπο, αρκετό για να αναπτύξω το ηλίθιο παράδειγμά μου, συνεπάγεται διαφορετικές συνέπειες. Ωστόσο, ανελεύθεροςδιανύσματα βρίσκονται επίσης στην πορεία του vyshmat (μην πάτε εκεί :)).

Δράσεις με διανύσματα. Συγγραμμικότητα διανυσμάτων

ΣΕ σχολικό μάθημαγεωμετρία, εξετάζεται ένας αριθμός ενεργειών και κανόνων με διανύσματα: πρόσθεση σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου, πρόσθεση σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου, κανόνας διανυσματικής διαφοράς, πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό, κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων κ.λπ.Ως σημείο εκκίνησης, ας επαναλάβουμε δύο κανόνες που είναι ιδιαίτερα σημαντικοί για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας.

Ο κανόνας για την προσθήκη διανυσμάτων χρησιμοποιώντας τον κανόνα του τριγώνου

Εξετάστε δύο αυθαίρετα μη μηδενικά διανύσματα και :

Πρέπει να βρείτε το άθροισμα αυτών των διανυσμάτων. Λόγω του γεγονότος ότι όλα τα διανύσματα θεωρούνται ελεύθερα, θα παραμερίσουμε το διάνυσμα από τέλοςδιάνυσμα:

Το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα. Για καλύτερη κατανόηση του κανόνα, καλό είναι να συμπεριληφθεί φυσική έννοια: αφήστε κάποιο σώμα να ταξιδέψει κατά μήκος ενός διανύσματος και μετά κατά μήκος ενός διανύσματος. Τότε το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα της διαδρομής που προκύπτει με την αρχή στο σημείο αναχώρησης και το τέλος στο σημείο άφιξης. Ένας παρόμοιος κανόνας διατυπώνεται για το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού διανυσμάτων. Όπως λένε, το σώμα μπορεί να πάει πολύ αδύνατο κατά μήκος ενός ζιγκ-ζαγκ, ή ίσως στον αυτόματο πιλότο - κατά μήκος του διανύσματος του αθροίσματος που προκύπτει.

Παρεμπιπτόντως, εάν το διάνυσμα αναβληθεί από ξεκίνησεδιάνυσμα, τότε παίρνουμε το ισοδύναμο κανόνας παραλληλογράμμουπροσθήκη διανυσμάτων.

Πρώτον, σχετικά με τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων. Τα δύο διανύσματα ονομάζονται συγγραμμική, εάν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Σε γενικές γραμμές, μιλάμε για παράλληλα διανύσματα. Αλλά σε σχέση με αυτά, χρησιμοποιείται πάντα το επίθετο "συγγραμμικό".

Φανταστείτε δύο συγγραμμικά διανύσματα. Εάν τα βέλη αυτών των διανυσμάτων κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση, τότε ονομάζονται τέτοια διανύσματα συν-σκηνοθεσία. Εάν τα βέλη δείχνουν προς διαφορετικές κατευθύνσεις, τότε τα διανύσματα θα είναι αντίθετες κατευθύνσεις.

Ονομασίες:Η συγγραμμικότητα των διανυσμάτων γράφεται με το συνηθισμένο σύμβολο παραλληλισμού: , ενώ η λεπτομέρεια είναι δυνατή: (τα διανύσματα κατευθύνονται από κοινού) ή (τα διανύσματα κατευθύνονται αντίθετα).

Η δουλειάένα μη μηδενικό διάνυσμα σε έναν αριθμό είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ίσο με , και τα διανύσματα και είναι συν-κατευθυνόμενα και αντίθετα στο .

Ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό είναι πιο κατανοητός με τη βοήθεια μιας εικόνας:

Ας το δούμε αναλυτικότερα:

1) Κατεύθυνση. Αν ο πολλαπλασιαστής είναι αρνητικός, τότε το διάνυσμα αλλάζει κατεύθυνσηπρος το αντίθετο.

2) Μήκος. Εάν ο πολλαπλασιαστής περιέχεται εντός ή , τότε το μήκος του διανύσματος μειώνεται. Άρα, το μήκος του διανύσματος είναι το μισό του μήκους του διανύσματος. Αν ο συντελεστής του πολλαπλασιαστή είναι μεγαλύτερος από ένα, τότε το μήκος του διανύσματος αυξάνειεγκαίρως.

3) Σημειώστε ότι όλα τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, ενώ ένα διάνυσμα εκφράζεται μέσω ενός άλλου, για παράδειγμα, . Ισχύει και το αντίστροφο: εάν ένα διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί μέσω ενός άλλου, τότε τέτοια διανύσματα είναι απαραίτητα συγγραμμικά. Ετσι: αν πολλαπλασιάσουμε ένα διάνυσμα με έναν αριθμό, παίρνουμε συγγραμμικό(σε σχέση με το πρωτότυπο) διάνυσμα.

4) Τα διανύσματα είναι συν-κατευθυνόμενα. Vectors και είναι επίσης συν-σκηνοθετημένα. Οποιοδήποτε διάνυσμα της πρώτης ομάδας κατευθύνεται αντίθετα σε σχέση με οποιοδήποτε διάνυσμα της δεύτερης ομάδας.

Ποια διανύσματα είναι ίσα;

Δύο διανύσματα είναι ίσα αν είναι στην ίδια κατεύθυνση και έχουν το ίδιο μήκος. Σημειώστε ότι η συνκατεύθυνση συνεπάγεται συγγραμμικότητα των διανυσμάτων. Ο ορισμός θα ήταν ανακριβής (περιττός) αν λέγαμε: «Δύο διανύσματα είναι ίσα εάν είναι συγγραμμικά, συμκατευθυντικά και έχουν το ίδιο μήκος».

Από την άποψη της έννοιας του ελεύθερου διανύσματος, ίσα διανύσματα είναι το ίδιο διάνυσμα, όπως συζητήθηκε στην προηγούμενη παράγραφο.

Διανυσματικές συντεταγμένες στο επίπεδο και στο διάστημα

Το πρώτο σημείο είναι να εξετάσουμε τα διανύσματα στο επίπεδο. Ας αντιπροσωπεύσουμε το Καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες και από την αρχή συντεταγμένων αναβάλλουμε μονόκλινοφορείς και:

Διανύσματα και ορθογώνιο. Ορθογώνιος = Κάθετος. Σας συνιστώ να συνηθίσετε σιγά σιγά τους όρους: αντί για παραλληλισμό και καθετότητα, χρησιμοποιούμε τις λέξεις αντίστοιχα συγγραμμικότηταΚαι ορθογωνικότητα.

Ονομασία:Η ορθογωνία των διανυσμάτων γράφεται με το συνηθισμένο σύμβολο της καθετότητας, για παράδειγμα: .

Τα διανύσματα που εξετάζονται ονομάζονται διανύσματα συντεταγμένωνή όρτες. Αυτά τα διανύσματα σχηματίζονται βάσηστην επιφάνεια. Το τι είναι η βάση, νομίζω, είναι διαισθητικά σαφές σε πολλούς, περισσότερους λεπτομερείς πληροφορίεςμπορείτε να βρείτε στο άρθρο Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Βάση διανυσμάτωνΜε απλά λόγια, η βάση και η προέλευση των συντεταγμένων καθορίζουν ολόκληρο το σύστημα - αυτό είναι ένα είδος θεμελίου πάνω στο οποίο βράζει μια πλήρης και πλούσια γεωμετρική ζωή.

Μερικές φορές ονομάζεται η κατασκευασμένη βάση ορθοκανονικήβάση του επιπέδου: «ορθό» - επειδή τα διανύσματα συντεταγμένων είναι ορθογώνια, το επίθετο «κανονικοποιημένο» σημαίνει μονάδα, δηλ. τα μήκη των διανυσμάτων βάσης είναι ίσα με ένα.

Ονομασία:η βάση γράφεται συνήθως σε παρένθεση, μέσα στην οποία με αυστηρή σειράπαρατίθενται βασικά διανύσματα, για παράδειγμα: . Διανύσματα συντεταγμένων ειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟτακτοποιώ.

Οποιοςεπίπεδο διάνυσμα ο μόνος τρόποςεκφράστηκε ώς:
, Οπου - αριθμοίπου ονομάζονται διανυσματικές συντεταγμένεςσε αυτή τη βάση. Και η ίδια η έκφραση που ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσηςκατά βάση .

Δείπνο που σερβίρεται:

Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο γράμμα του αλφαβήτου: . Το σχέδιο δείχνει ξεκάθαρα ότι κατά την αποσύνθεση ενός διανύσματος σε βάση, χρησιμοποιούνται αυτά που μόλις συζητήθηκαν:
1) ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό: και ;
2) πρόσθεση διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου: .

Τώρα σχεδιάστε νοερά το διάνυσμα από οποιοδήποτε άλλο σημείο του επιπέδου. Είναι προφανές ότι η φθορά του «θα τον ακολουθεί αμείλικτα». Εδώ είναι, η ελευθερία του διανύσματος - το διάνυσμα "κουβαλά τα πάντα με τον εαυτό του". Αυτή η ιδιότητα, φυσικά, ισχύει για οποιοδήποτε διάνυσμα. Είναι αστείο ότι τα ίδια τα διανύσματα βάσης (δωρεάν) δεν χρειάζεται να σχεδιάζονται από την αρχή· το ένα μπορεί να σχεδιαστεί, για παράδειγμα, κάτω αριστερά και το άλλο πάνω δεξιά, και τίποτα δεν θα αλλάξει! Είναι αλήθεια ότι δεν χρειάζεται να το κάνετε αυτό, καθώς ο δάσκαλος θα δείξει επίσης πρωτοτυπία και θα σας αποσπάσει μια "πίστωση" σε ένα απροσδόκητο μέρος.

Τα διανύσματα απεικονίζουν ακριβώς τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό, το διάνυσμα είναι συμκατευθυντικό με το διάνυσμα βάσης, το διάνυσμα κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα βάσης. Για αυτά τα διανύσματα, μία από τις συντεταγμένες είναι ίση με μηδέν· μπορείτε να τη γράψετε σχολαστικά ως εξής:


Και τα διανύσματα βάσης, παρεμπιπτόντως, είναι έτσι: (στην πραγματικότητα, εκφράζονται μέσω του εαυτού τους).

Και τελικά: , . Παρεμπιπτόντως, τι είναι η διανυσματική αφαίρεση και γιατί δεν μίλησα για τον κανόνα της αφαίρεσης; Κάπου στη γραμμική άλγεβρα, δεν θυμάμαι πού, σημείωσα ότι είναι η αφαίρεση ειδική περίπτωσηπρόσθεση. Έτσι, οι επεκτάσεις των διανυσμάτων "de" και "e" γράφονται εύκολα ως άθροισμα: . Αναδιάταξη των όρων και δείτε στο σχέδιο πόσο καλά λειτουργεί η παλιά καλή προσθήκη διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου σε αυτές τις καταστάσεις.

Η θεωρούμενη αποσύνθεση της μορφής μερικές φορές ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσης στο σύστημα ort(δηλαδή σε ένα σύστημα μοναδιαίων διανυσμάτων). Αλλά αυτός δεν είναι ο μόνος τρόπος για να γράψετε ένα διάνυσμα· η ακόλουθη επιλογή είναι κοινή:

Ή με πρόσημο ίσου:

Τα ίδια τα διανύσματα βάσης γράφονται ως εξής: και

Δηλαδή, οι συντεταγμένες του διανύσματος υποδεικνύονται σε παρένθεση. Σε πρακτικά προβλήματα, χρησιμοποιούνται και οι τρεις επιλογές σημειογραφίας.

Αμφιβάλλω αν θα μιλήσω, αλλά θα το πω πάντως: Οι διανυσματικές συντεταγμένες δεν μπορούν να αναδιαταχθούν. Αυστηρά στην πρώτη θέσηγράψτε τη συντεταγμένη που αντιστοιχεί μονάδα διάνυσμα , αυστηρά στη δεύτερη θέσησημειώνουμε τη συντεταγμένη που αντιστοιχεί στο μοναδιαίο διάνυσμα. Πράγματι, και είναι δύο διαφορετικά διανύσματα.

Καταλάβαμε τις συντεταγμένες στο αεροπλάνο. Τώρα ας δούμε τα διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο, σχεδόν όλα είναι ίδια εδώ! Θα προσθέσει απλώς μια ακόμη συντεταγμένη. Είναι δύσκολο να κάνω τρισδιάστατα σχέδια, επομένως θα περιοριστώ σε ένα διάνυσμα, το οποίο για λόγους απλότητας θα παραμερίσω από την αρχή:

Οποιοςδιάνυσμα τρισδιάστατο χώροΜπορώ ο μόνος τρόποςεπεκτείνονται σε ορθοκανονική βάση:
, όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος (αριθμός) σε αυτή τη βάση.

Παράδειγμα από την εικόνα: . Ας δούμε πώς λειτουργούν οι διανυσματικοί κανόνες εδώ. Αρχικά, πολλαπλασιάζοντας το διάνυσμα με έναν αριθμό: (κόκκινο βέλος), (πράσινο βέλος) και (βέλος βατόμουρου). Δεύτερον, εδώ είναι ένα παράδειγμα προσθήκης πολλών, σε αυτό περίπτωση τριών, διανύσματα: . Το διάνυσμα αθροίσματος ξεκινά από το αρχικό σημείο αναχώρησης (αρχή του διανύσματος) και τελειώνει στο τελικό σημείο άφιξης (τέλος του διανύσματος).

Όλα τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου, φυσικά, είναι επίσης ελεύθερα· προσπαθήστε να παραμερίσετε νοερά το διάνυσμα από οποιοδήποτε άλλο σημείο και θα καταλάβετε ότι η αποσύνθεσή του «θα παραμείνει μαζί του».

Επίσης επίπεδη θήκη, εκτός από την ηχογράφηση εκδόσεις με αγκύλες χρησιμοποιούνται ευρέως: είτε .

Εάν λείπουν ένα (ή δύο) διανύσματα συντεταγμένων στην επέκταση, τότε στη θέση τους μπαίνουν μηδενικά. Παραδείγματα:
διάνυσμα (σχολαστικά ) - ας γράψουμε ;
διάνυσμα (σχολαστικά ) - ας γράψουμε ;
διάνυσμα (σχολαστικά ) - ας γράψουμε .

Τα διανύσματα βάσης γράφονται ως εξής:

Αυτό είναι μάλλον το ελάχιστο θεωρητική γνώση, απαραίτητο για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας. Μπορεί να υπάρχουν πολλοί όροι και ορισμοί, γι' αυτό συνιστώ στα ανδρείκελα να ξαναδιαβάσουν και να κατανοήσουν αυτή η πληροφορίαπάλι. Και θα είναι χρήσιμο για κάθε αναγνώστη να αναφερθεί βασικό μάθημαγια καλύτερη αφομοίωση του υλικού. Συγγραμμικότητα, ορθογωνικότητα, ορθοκανονική βάση, διάνυσμα αποσύνθεσης - αυτές και άλλες έννοιες θα χρησιμοποιούνται συχνά στο μέλλον. Θα ήθελα να σημειώσω ότι τα υλικά στον ιστότοπο δεν επαρκούν για να περάσετε ένα θεωρητικό τεστ ή ένα συνέδριο στη γεωμετρία, καθώς κρυπτογραφώ προσεκτικά όλα τα θεωρήματα (και χωρίς αποδείξεις) - εις βάρος του επιστημονικό στυλπαρουσίαση, αλλά ένα πλεονέκτημα για την κατανόηση του θέματος. Για να λάβετε λεπτομερείς θεωρητικές πληροφορίες, παρακαλούμε να υποκλιθείτε στον καθηγητή Atanasyan.

Και περνάμε στο πρακτικό μέρος:

Τα απλούστερα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας.
Ενέργειες με διανύσματα σε συντεταγμένες

Συνιστάται ιδιαίτερα να μάθετε πώς να επιλύετε τις εργασίες που θα εξεταστούν πλήρως αυτόματα και τους τύπους απομνημονεύω, μην θυμάστε καν συγκεκριμένα, θα θυμούνται τον εαυτό τους =) Αυτό είναι πολύ σημαντικό, γιατί στο πιο απλό στοιχειώδη παραδείγματαβασίζονται άλλα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας και θα ήταν κρίμα να ξοδέψουμε επιπλέον χρόνο τρώγοντας πιόνια. Δεν χρειάζεται να κουμπώσετε τα πάνω κουμπιά στο πουκάμισό σας, πολλά πράγματα σας είναι γνωστά από το σχολείο.

Η παρουσίαση του υλικού θα ακολουθήσει παράλληλη πορεία -τόσο για το αεροπλάνο όσο και για το διάστημα. Για το λόγο ότι όλες οι φόρμουλες... θα το δείτε μόνοι σας.

Πώς να βρείτε ένα διάνυσμα από δύο σημεία;

Αν δίνονται δύο σημεία του επιπέδου, τότε το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:

Αν δίνονται δύο σημεία στο χώρο, τότε το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:

Αυτό είναι, από τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματοςπρέπει να αφαιρέσετε τις αντίστοιχες συντεταγμένες αρχή του διανύσματος.

Ασκηση:Για τα ίδια σημεία, γράψτε τους τύπους για την εύρεση των συντεταγμένων του διανύσματος. Φόρμουλες στο τέλος του μαθήματος.

Παράδειγμα 1

Δίνονται δύο σημεία του επιπέδου και . Βρείτε διανυσματικές συντεταγμένες

Λύση:σύμφωνα με τον κατάλληλο τύπο:

Εναλλακτικά, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η ακόλουθη καταχώρηση:

Οι αισθητιστές θα αποφασίσουν αυτό:

Προσωπικά, έχω συνηθίσει την πρώτη έκδοση της ηχογράφησης.

Απάντηση:

Σύμφωνα με την προϋπόθεση, δεν ήταν απαραίτητο να κατασκευαστεί ένα σχέδιο (το οποίο είναι χαρακτηριστικό για προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας), αλλά για να διευκρινίσω ορισμένα σημεία για τα ανδρείκελα, δεν θα είμαι τεμπέλης:

Πρέπει οπωσδήποτε να καταλάβετε διαφορά μεταξύ σημειακών και διανυσματικών συντεταγμένων:

Συντεταγμένες σημείων– αυτές είναι συνηθισμένες συντεταγμένες σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Βάλτε πόντους επίπεδο συντεταγμένωνΝομίζω ότι όλοι μπορούν να το κάνουν από την 5η-6η δημοτικού. Κάθε σημείο έχει μια αυστηρή θέση στο αεροπλάνο και δεν μπορούν να μετακινηθούν πουθενά.

Οι συντεταγμένες του διανύσματος– αυτή είναι η επέκτασή του σύμφωνα με τη βάση, στην προκειμένη περίπτωση. Οποιοδήποτε διάνυσμα είναι ελεύθερο, επομένως, αν χρειαστεί, μπορούμε εύκολα να το απομακρύνουμε από κάποιο άλλο σημείο του επιπέδου. Είναι ενδιαφέρον ότι για τα διανύσματα δεν χρειάζεται να δημιουργήσετε καθόλου άξονες ή ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων· χρειάζεστε μόνο μια βάση, σε αυτήν την περίπτωση μια ορθοκανονική βάση του επιπέδου.

Οι εγγραφές των συντεταγμένων των σημείων και οι συντεταγμένες των διανυσμάτων φαίνεται να είναι παρόμοιες: , και έννοια των συντεταγμένωναπολύτως διαφορετικός, και θα πρέπει να γνωρίζετε καλά αυτή τη διαφορά. Αυτή η διαφορά, φυσικά, ισχύει και για το διάστημα.

Κυρίες και κύριοι, ας γεμίσουμε τα χέρια μας:

Παράδειγμα 2

α) Βαθμοί και δίνονται. Βρείτε διανύσματα και .
β) Δίνονται βαθμοί Και . Βρείτε διανύσματα και .
γ) Βαθμοί και δίνονται. Βρείτε διανύσματα και .
δ) Δίνονται βαθμοί. Βρείτε διανύσματα .

Ίσως είναι αρκετό. Αυτά είναι παραδείγματα για ανεξάρτητη απόφαση, προσπαθήστε να μην τα αμελήσετε, θα σας αποδώσει ;-). Δεν χρειάζεται να κάνετε σχέδια. Λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.

Τι είναι σημαντικό κατά την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας;Είναι σημαντικό να είστε ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΑ ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΟΙ για να αποφύγετε να κάνετε το αριστοτεχνικό λάθος «δύο συν δύο ίσον μηδέν». Ζητώ συγγνώμη αμέσως αν έκανα λάθος κάπου =)

Πώς να βρείτε το μήκος ενός τμήματος;

Το μήκος, όπως ήδη σημειώθηκε, υποδεικνύεται από το σύμβολο συντελεστή.

Εάν δίνονται δύο σημεία του επιπέδου και , τότε το μήκος του τμήματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

Εάν δίνονται δύο σημεία στο διάστημα, τότε το μήκος του τμήματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

Σημείωση: Οι τύποι θα παραμείνουν σωστοί εάν αντικατασταθούν οι αντίστοιχες συντεταγμένες: και , αλλά η πρώτη επιλογή είναι πιο τυπική

Παράδειγμα 3

Λύση:σύμφωνα με τον κατάλληλο τύπο:

Απάντηση:

Για λόγους σαφήνειας, θα κάνω ένα σχέδιο

Ευθύγραμμο τμήμα - αυτό δεν είναι διάνυσμα, και, φυσικά, δεν μπορείτε να το μετακινήσετε πουθενά. Επιπλέον, εάν σχεδιάζετε σε κλίμακα: 1 μονάδα. = 1 cm (δύο κελιά σημειωματάριου), τότε η απάντηση που προκύπτει μπορεί να ελεγχθεί με έναν κανονικό χάρακα μετρώντας απευθείας το μήκος του τμήματος.

Ναι, η λύση είναι σύντομη, αλλά υπάρχουν μερικές ακόμη σημαντικά σημείαπου θα ήθελα να διευκρινίσω:

Πρώτον, στην απάντηση βάζουμε τη διάσταση: «μονάδες». Η κατάσταση δεν λέει ΤΙ είναι, χιλιοστά, εκατοστά, μέτρα ή χιλιόμετρα. Επομένως, μια μαθηματικά σωστή λύση θα ήταν η γενική διατύπωση: "μονάδες" - συντομογραφία ως "μονάδες".

Δεύτερον, ας επαναλάβουμε το σχολικό υλικό, το οποίο είναι χρήσιμο όχι μόνο για την εξεταζόμενη εργασία:

δώσε προσοχή στο σπουδαίος τεχνική τεχνική – αφαιρώντας τον πολλαπλασιαστή κάτω από τη ρίζα. Ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, έχουμε ένα αποτέλεσμα και το καλό μαθηματικό στυλ περιλαμβάνει την αφαίρεση του παράγοντα κάτω από τη ρίζα (αν είναι δυνατόν). Πιο αναλυτικά η διαδικασία μοιάζει με αυτό: . Φυσικά, το να αφήσετε την απάντηση ως έχει δεν θα ήταν λάθος - αλλά σίγουρα θα ήταν μια αδυναμία και ένα βαρύ επιχείρημα για κουβέντα από την πλευρά του δασκάλου.

Εδώ είναι άλλες κοινές περιπτώσεις:

Συχνά υπάρχει αρκετό στη ρίζα μεγάλος αριθμός, Για παράδειγμα . Τι να κάνετε σε τέτοιες περιπτώσεις; Χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή, ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με το 4: . Ναι, χωρίστηκε τελείως, έτσι: . Ή μήπως ο αριθμός μπορεί να διαιρεθεί πάλι με το 4; . Ετσι: . Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι περιττό, επομένως η διαίρεση με το 4 για τρίτη φορά προφανώς δεν θα λειτουργήσει. Ας προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε με το εννέα: . Σαν άποτέλεσμα:
Ετοιμος.

Συμπέρασμα:αν κάτω από τη ρίζα έχουμε έναν αριθμό που δεν μπορεί να εξαχθεί ως σύνολο, τότε προσπαθούμε να αφαιρέσουμε τον παράγοντα κάτω από τη ρίζα - χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με: 4, 9, 16, 25, 36, 49, κλπ.

Κατά την επίλυση διαφόρων προβλημάτων, συχνά συναντώνται ρίζες· προσπαθείτε πάντα να εξάγετε παράγοντες κάτω από τη ρίζα για να αποφύγετε χαμηλότερο βαθμό και περιττά προβλήματα με την οριστικοποίηση των λύσεών σας με βάση τα σχόλια του δασκάλου.

Ας επαναλάβουμε επίσης τις ρίζες του τετραγώνου και άλλες δυνάμεις:

Κανόνες για ενέργειες με πτυχία in γενική εικόναμπορεί να βρεθεί σε ένα σχολικό εγχειρίδιο για την άλγεβρα, αλλά νομίζω ότι από τα παραδείγματα που δίνονται, όλα ή σχεδόν όλα είναι ήδη ξεκάθαρα.

Εργασία για ανεξάρτητη λύση με ένα τμήμα στο διάστημα:

Παράδειγμα 4

Πόντοι και δίνονται. Βρείτε το μήκος του τμήματος.

Η λύση και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.

Πώς να βρείτε το μήκος ενός διανύσματος;

Εάν δίνεται ένα επίπεδο διάνυσμα, τότε το μήκος του υπολογίζεται από τον τύπο.

Εάν δίνεται ένα διάνυσμα χώρου, τότε το μήκος του υπολογίζεται από τον τύπο .

Δεν βρήκατε απάντηση στην ερώτησή σας; Κοιτάξτε εδώ

Ζωή σε άλλους πλανήτες του ηλιακού συστήματος

Δήμιοι της Οθωμανικής Αυτοκρατορίας Νόμοι για τη διαδοχή του θρόνου στην Οθωμανική Αυτοκρατορία

Κατάληψη της Κωνσταντινούπολης από τους Σταυροφόρους