Ποια από τα παρακάτω διανύσματα είναι κάθετα; Σημείο γινόμενο διανυσμάτων

Οδηγίες

Εάν το αρχικό διάνυσμα απεικονίζεται στο σχέδιο σε ένα ορθογώνιο δισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων και πρέπει να κατασκευαστεί ένα κάθετο εκεί, προχωρήστε από τον ορισμό της καθετότητας των διανυσμάτων σε ένα επίπεδο. Δηλώνει ότι η γωνία μεταξύ ενός τέτοιου ζεύγους κατευθυνόμενων τμημάτων πρέπει να είναι ίση με 90°. Ένας άπειρος αριθμός τέτοιων διανυσμάτων μπορεί να κατασκευαστεί. Επομένως, σχεδιάστε οποιαδήποτε βολική τοποθεσίαεπίπεδο κάθετο στο αρχικό διάνυσμα, τοποθετήστε ένα τμήμα σε αυτό, ίσο με μήκοςδίνεται διατεταγμένο ζευγάρι πόντων και ορίζει ένα από τα άκρα του ως αρχή κάθετο διάνυσμα. Κάνετε αυτό χρησιμοποιώντας μοιρογνωμόνιο και χάρακα.

Εάν το αρχικό διάνυσμα δίνεται από δισδιάστατες συντεταγμένες ā = (X1;Y1), υποθέστε ότι το κλιμακωτό γινόμενο ενός ζεύγους κάθετων διανυσμάτων πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να επιλέξετε για το επιθυμητό διάνυσμα ō = (X2,Y2) τέτοιες συντεταγμένες ώστε να ισχύει η ισότητα (ā,ō) = X1*X2 + Y1*Y2 = 0. Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής: επιλέξτε οποιαδήποτε μη μηδενική τιμή για τη συντεταγμένη X2 και υπολογίστε τη συντεταγμένη Y2 χρησιμοποιώντας τον τύπο Y2 = -(X1*X2)/Y1. Για παράδειγμα, για το διάνυσμα ā = (15;5) θα υπάρχει ένα διάνυσμα ō, με μια τετμημένη, ίσο με ένα, και μια τεταγμένη ίση με -(15*1)/5 = -3, δηλ. ō = (1;-3).

Για ένα τρισδιάστατο και οποιοδήποτε άλλο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ισχύει η ίδια απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για την καθετότητα των διανυσμάτων - το κλιμακωτό γινόμενο τους πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Επομένως, εάν το αρχικό κατευθυνόμενο τμήμα δίνεται από τις συντεταγμένες ā = (X1,Y1,Z1), επιλέξτε για το διατεταγμένο ζεύγος σημείων ō = (X2,Y2,Z2) κάθετα σε αυτό συντεταγμένες που ικανοποιούν τη συνθήκη (ā,ō ) = X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2 = 0. Ο ευκολότερος τρόπος είναι να αντιστοιχίσετε μεμονωμένες τιμές στα X2 και Y2 και να υπολογίσετε το Z2 από την απλοποιημένη ισότητα Z2 = -1*(X1*1 + Y1* 1)/Ζ1 = -(Χ1+Υ1)/Ζ1. Για παράδειγμα, για το διάνυσμα ā = (3,5,4) αυτό θα έχει την ακόλουθη μορφή: (ā,ō) = 3*X2 + 5*Y2 + 4*Z2 = 0. Στη συνέχεια, πάρτε την τετμημένη και τη τεταγμένη του κάθετο διάνυσμα ως ένα, και στην περίπτωση αυτή θα είναι ίσο με -(3+5)/4 = -2.

Πηγές:

• βρείτε το διάνυσμα αν είναι κάθετο

Ονομάζονται κάθετοι διάνυσμα, η γωνία μεταξύ των οποίων είναι 90º. Τα κάθετα διανύσματα κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας εργαλεία σχεδίασης. Εάν οι συντεταγμένες τους είναι γνωστές, τότε μπορείτε να ελέγξετε ή να βρείτε την καθετότητα των διανυσμάτων Αναλυτικές μέθοδοι.

Θα χρειαστείτε

• - μοιρογνωμόνιο
• - πυξίδα
• - κυβερνήτης.

Οδηγίες

Κατασκευάστε ένα διάνυσμα κάθετο στο δεδομένο. Για να το κάνετε αυτό, στο σημείο που είναι η αρχή του διανύσματος, επαναφέρετε μια κάθετο σε αυτό. Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας ένα μοιρογνωμόνιο, ρυθμίζοντας μια γωνία 90º. Εάν δεν έχετε μοιρογνωμόνιο, χρησιμοποιήστε μια πυξίδα για να το κάνετε.

Ρυθμίστε το στο σημείο εκκίνησης του διανύσματος. Σχεδιάστε έναν κύκλο με αυθαίρετη ακτίνα. Στη συνέχεια κατασκευάστε δύο με κέντρα στα σημεία όπου ο πρώτος κύκλος τέμνει την ευθεία στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα. Οι ακτίνες αυτών των κύκλων πρέπει να είναι ίσες μεταξύ τους και μεγαλύτερες από τον πρώτο κύκλο που κατασκευάστηκε. Στα σημεία τομής των κύκλων, κατασκευάστε μια ευθεία γραμμή που θα είναι κάθετη στο αρχικό διάνυσμα στην αρχή της και σχεδιάστε πάνω της ένα διάνυσμα κάθετο σε αυτό.

Αυτό το άρθρο αποκαλύπτει την έννοια της καθετότητας δύο διανυσμάτων σε ένα επίπεδο σε τρισδιάστατο χώρο και την εύρεση των συντεταγμένων ενός διανύσματος κάθετου σε ένα ή ένα ολόκληρο ζεύγος διανυσμάτων. Το θέμα είναι εφαρμόσιμο σε προβλήματα που αφορούν εξισώσεις ευθειών και επιπέδων.

Θα εξετάσουμε την απαραίτητη και επαρκή συνθήκη για την καθετότητα δύο διανυσμάτων, θα λύσουμε τη μέθοδο εύρεσης ενός διανύσματος κάθετου σε ένα δεδομένο και θα θίξουμε καταστάσεις εύρεσης ενός διανύσματος που είναι κάθετο σε δύο διανύσματα.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για την καθετότητα δύο διανυσμάτων

Ας εφαρμόσουμε τον κανόνα για τα κάθετα διανύσματα στο επίπεδο και στον τρισδιάστατο χώρο.

Ορισμός 1

Εφόσον η γωνία μεταξύ δύο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι ίση με 90 ° (π 2 ακτίνια) ονομάζεται κάθετος.

Τι σημαίνει αυτό και σε ποιες περιπτώσεις είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε για την καθετότητά τους;

Ο καθορισμός της καθετότητας είναι δυνατός μέσω του σχεδίου. Όταν σχεδιάζετε ένα διάνυσμα σε ένα επίπεδο από δεδομένα σημεία, μπορείτε να μετρήσετε γεωμετρικά τη γωνία μεταξύ τους. Ακόμη και αν καθοριστεί η καθετότητα των διανυσμάτων, δεν θα είναι απολύτως ακριβής. Τις περισσότερες φορές, αυτές οι εργασίες δεν σας επιτρέπουν να το κάνετε αυτό χρησιμοποιώντας ένα μοιρογνωμόνιο, έτσι αυτή τη μέθοδοισχύει μόνο όταν τίποτα άλλο δεν είναι γνωστό για τα διανύσματα.

Οι περισσότερες περιπτώσεις απόδειξης της καθετότητας δύο μη μηδενικών διανυσμάτων σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα γίνονται με τη χρήση απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για την καθετότητα δύο διανυσμάτων.

Θεώρημα 1

Scalar προϊόνδύο μη μηδενικά διανύσματα a → και b → ίσα με μηδέν για να ικανοποιήσουν την ισότητα a → , b → = 0 αρκούν για την καθετότητά τους.

Αποδεικτικά στοιχεία 1

Έστω κάθετα τα διανύσματα a → και b →, τότε θα αποδείξουμε την ισότητα a ⇀ , b → = 0 .

Από τον ορισμό του τελείες γινόμενο των διανυσμάτωνξέρουμε ότι ισούται το γινόμενο των μηκών των δεδομένων διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας. Κατά συνθήκη, τα a → και b → είναι κάθετα, που σημαίνει, με βάση τον ορισμό, η γωνία μεταξύ τους είναι 90 °. Τότε έχουμε a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .

Δεύτερο μέρος της απόδειξης

Υπό την προϋπόθεση ότι a ⇀, b → = 0, αποδεικνύουν την καθετότητα των a → και b →.

Στην πραγματικότητα, η απόδειξη είναι αντίθετη από την προηγούμενη. Είναι γνωστό ότι τα a → και b → είναι μη μηδενικά, που σημαίνει ότι από την ισότητα a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ βρίσκουμε το συνημίτονο. Τότε παίρνουμε cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Δεδομένου ότι το συνημίτονο είναι μηδέν, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η γωνία a →, b → ^ των διανυσμάτων a → και b → είναι ίση με 90 °. Εξ ορισμού, αυτό είναι μια απαραίτητη και επαρκής ιδιότητα.

Συνθήκη καθετότητας στο επίπεδο συντεταγμένων

Κεφάλαιο κλιμακωτό γινόμενο σε συντεταγμένεςδείχνει την ανισότητα (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , ισχύει για διανύσματα με συντεταγμένες a → = (a x , a y) και b → = (b x , b y), στο επίπεδο και (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y για διανύσματα a → = (a x , a y , a z) και b → = (b x , b y , b z) στο διάστημα. Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για την καθετότητα δύο διανυσμάτων στο επίπεδο συντεταγμένωνέχει τη μορφή a x b x + a y b y = 0, για τρισδιάστατο χώρο a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .

Ας το κάνουμε πράξη και ας δούμε παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Ελέγξτε την ιδιότητα της καθετότητας δύο διανυσμάτων a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).

Λύση

Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να βρείτε το βαθμωτό γινόμενο. Αν σύμφωνα με την συνθήκη ισούται με μηδέν, τότε είναι κάθετοι.

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Η συνθήκη πληρούται, που σημαίνει ότι τα δεδομένα διανύσματα είναι κάθετα στο επίπεδο.

Απάντηση:ναι, τα δοσμένα διανύσματα a → και b → είναι κάθετα.

Παράδειγμα 2

Δίνονται διανύσματα συντεταγμένων i → , j → , k →. Ελέγξτε εάν τα διανύσματα i → - j → και i → + 2 · j → + 2 · k → μπορούν να είναι κάθετα.

Λύση

Για να θυμάστε πώς καθορίζονται οι διανυσματικές συντεταγμένες, πρέπει να διαβάσετε το άρθρο σχετικά διανυσματικές συντεταγμένες σε ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένεςΈτσι, βρίσκουμε ότι τα δοσμένα διανύσματα i → - j → και i → + 2 · j → + 2 · k → έχουν αντίστοιχες συντεταγμένες (1, - 1, 0) και (1, 2, 2). Ας αντικαταστήσουμε αριθμητικές τιμέςκαι παίρνουμε: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

Η παράσταση δεν είναι ίση με μηδέν, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, που σημαίνει ότι τα διανύσματα i → - j → και i → + 2 j → + 2 k → δεν είναι κάθετοι, αφού δεν πληρούται η προϋπόθεση.

Απάντηση:όχι, τα διανύσματα i → - j → και i → + 2 · j → + 2 · k → δεν είναι κάθετα.

Παράδειγμα 3

Δίνονται διανύσματα a → = (1, 0, - 2) και b → = (λ, 5, 1). Να βρείτε την τιμή του λ στην οποία αυτά τα διανύσματα είναι κάθετα.

Λύση

Χρησιμοποιούμε την συνθήκη της καθετότητας δύο διανυσμάτων στο χώρο μέσα τετράγωνο σχήμα, τότε παίρνουμε

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Απάντηση:τα διανύσματα είναι κάθετα στην τιμή λ = 2.

Υπάρχουν περιπτώσεις που το ζήτημα της καθετότητας είναι αδύνατο ακόμη και υπό μια αναγκαία και επαρκή συνθήκη. Δεδομένων των γνωστών δεδομένων στις τρεις πλευρές ενός τριγώνου σε δύο διανύσματα, είναι δυνατό να βρεθούν γωνία μεταξύ των διανυσμάτωνκαι ελέγξτε το.

Παράδειγμα 4

Δίνεται τρίγωνο A B C με πλευρές A B = 8, A C = 6, B C = 10 εκ. Ελέγξτε τα διανύσματα A B → και A C → για καθετότητα.

Λύση

Αν τα διανύσματα A B → και A C → είναι κάθετα, το τρίγωνο A B C θεωρείται ορθογώνιο. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα, όπου B C είναι η υποτείνουσα του τριγώνου. Η ισότητα B C 2 = A B 2 + A C 2 πρέπει να είναι αληθής. Από αυτό προκύπτει ότι 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Αυτό σημαίνει ότι τα A B και A C είναι σκέλη του τριγώνου A B C, επομένως, τα A B → και A C → είναι κάθετα.

Είναι σημαντικό να μάθετε πώς να βρίσκετε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος κάθετου σε ένα δεδομένο. Αυτό είναι δυνατό τόσο στο επίπεδο όσο και στο χώρο, με την προϋπόθεση ότι τα διανύσματα είναι κάθετα.

Εύρεση διανύσματος κάθετου σε δεδομένο σε ένα επίπεδο.

Ένα μη μηδενικό διάνυσμα a → μπορεί να έχει άπειρο αριθμό κάθετων διανυσμάτων στο επίπεδο. Ας το απεικονίσουμε στη γραμμή συντεταγμένων.

Δίνεται διάνυσμα μη μηδενικό a → που βρίσκεται στην ευθεία α. Τότε ένα δεδομένο b →, που βρίσκεται σε οποιαδήποτε ευθεία κάθετη στην ευθεία a, γίνεται κάθετο στο a →. Αν το διάνυσμα i → είναι κάθετο στο διάνυσμα j → ή σε οποιοδήποτε από τα διανύσματα λ j → με λ ίσο με οποιοδήποτε πραγματικός αριθμόςεκτός από το μηδέν, τότε η εύρεση των συντεταγμένων του διανύσματος b → κάθετου στο a → = (a x , a y) ανάγεται σε ένα άπειρο σύνολο λύσεων. Είναι όμως απαραίτητο να βρούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κάθετες στο a → = (a x , a y) . Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να γράψετε την συνθήκη της καθετότητας των διανυσμάτων με την ακόλουθη μορφή: a x · b x + a y · b y = 0. Έχουμε b x και b y, που είναι οι επιθυμητές συντεταγμένες του κάθετου διανύσματος. Όταν a x ≠ 0, η τιμή του b y είναι μη μηδενική, και το b x μπορεί να υπολογιστεί από την ανίσωση a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Για x = 0 και a y ≠ 0, εκχωρούμε b x οποιαδήποτε τιμή εκτός από το μηδέν και βρίσκουμε b y από την παράσταση b y = - a x · b x a y .

Παράδειγμα 5

Δίνεται διάνυσμα με συντεταγμένες a → = (- 2 , 2) . Βρείτε ένα διάνυσμα κάθετο σε αυτό.

Λύση

Ας συμβολίσουμε το επιθυμητό διάνυσμα ως b → (b x , b y) . Οι συντεταγμένες του μπορούν να βρεθούν από την συνθήκη ότι τα διανύσματα a → και b → είναι κάθετα. Τότε παίρνουμε: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Ας αντιστοιχίσουμε b y = 1 και ας αντικαταστήσουμε: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Επομένως, από τον τύπο παίρνουμε b x = - 2 - 2 = 1 2. Αυτό σημαίνει ότι το διάνυσμα b → = (1 2 , 1) είναι διάνυσμα κάθετο στο a → .

Απάντηση: b → = (1 2 , 1) .

Εάν τεθεί το ερώτημα σχετικά με τον τρισδιάστατο χώρο, το πρόβλημα λύνεται σύμφωνα με την ίδια αρχή. Στο δεδομένο διάνυσμα a → = (a x , a y , a z) υπάρχει άπειρο σύνολοκάθετα διανύσματα. Αυτό θα διορθωθεί στις συντεταγμένες τρισδιάστατο επίπεδο. Δίνεται ένα → βρίσκεται στη γραμμή α. Το επίπεδο που είναι κάθετο στην ευθεία a συμβολίζεται με α. Στην περίπτωση αυτή, οποιοδήποτε μη μηδενικό διάνυσμα b → από το επίπεδο α είναι κάθετο στο a →.

Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες του b → κάθετες στο μη μηδενικό διάνυσμα a → = (a x , a y , a z) .

Έστω b → δίνεται με συντεταγμένες b x , b y και b z . Για την εύρεση τους, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ο ορισμός της συνθήκης της καθετότητας δύο διανυσμάτων. Πρέπει να ικανοποιηθεί η ισότητα a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0. Από τη συνθήκη a → είναι μη μηδενικό, που σημαίνει ότι μία από τις συντεταγμένες έχει τιμή όχι ίση με μηδέν. Ας υποθέσουμε ότι a x ≠ 0, (a y ≠ 0 ή a z ≠ 0). Επομένως, έχουμε το δικαίωμα να διαιρέσουμε ολόκληρη την ανισότητα a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 με αυτή τη συντεταγμένη, λαμβάνουμε την παράσταση b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Εκχωρούμε οποιαδήποτε τιμή στις συντεταγμένες b y και b x, υπολογίζουμε την τιμή του b x με βάση τον τύπο, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Το επιθυμητό κάθετο διάνυσμα θα έχει την τιμή a → = (a x, a y, a z).

Ας δούμε την απόδειξη χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 6

Δίνεται διάνυσμα με συντεταγμένες a → = (1, 2, 3) . Να βρείτε ένα διάνυσμα κάθετο στο δεδομένο.

Λύση

Ας συμβολίσουμε το επιθυμητό διάνυσμα με b → = (b x , b y , b z) . Με βάση την προϋπόθεση ότι τα διανύσματα είναι κάθετα, το βαθμωτό γινόμενο πρέπει να είναι ίσο με μηδέν.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Αν η τιμή του b y = 1, b z = 1, τότε b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Από αυτό προκύπτει ότι οι συντεταγμένες του διανύσματος b → (- 5 , 1 , 1) . Το διάνυσμα b → είναι ένα από τα διανύσματα που είναι κάθετα στο δεδομένο.

Απάντηση: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Εύρεση των συντεταγμένων ενός διανύσματος κάθετου σε δύο δεδομένα διανύσματα

Πρέπει να βρούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος στον τρισδιάστατο χώρο. Είναι κάθετο στα μη συγγραμμικά διανύσματα a → (a x , a y , a z) και b → = (b x , b y , b z) . Με την προϋπόθεση ότι τα διανύσματα a → και b → είναι συγγραμμικά, θα αρκεί να βρεθεί ένα διάνυσμα κάθετο στο a → ή b → στο πρόβλημα.

Κατά την επίλυση, χρησιμοποιείται η έννοια του διανυσματικού γινόμενου διανυσμάτων.

Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων a → και b → είναι ένα διάνυσμα που είναι ταυτόχρονα κάθετο τόσο στο a → όσο και στο b →. Για την επίλυση αυτού του προβλήματος, χρησιμοποιείται το διανυσματικό γινόμενο a → × b →. Για τρισδιάστατο χώρο έχει τη μορφή a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Ας δούμε το διανυσματικό γινόμενο με περισσότερες λεπτομέρειες χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα προβλήματος.

Παράδειγμα 7

Δίνονται τα διανύσματα b → = (0, 2, 3) και a → = (2, 1, 0). Να βρείτε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε διανύσματος κάθετου στα δεδομένα ταυτόχρονα.

Λύση

Για να λύσετε, πρέπει να βρείτε το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων. (Παρακαλούμε ανατρέξτε στην παράγραφο υπολογισμός της ορίζουσας ενός πίνακαγια να βρείτε το διάνυσμα). Παίρνουμε:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Απάντηση: (3 , - 6 , 4) - συντεταγμένες ενός διανύσματος που είναι ταυτόχρονα κάθετο στο δεδομένο a → και b → .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Προϋπόθεση για τα διανύσματα να είναι κάθετα

Τα διανύσματα είναι κάθετα αν και μόνο αν το γινόμενο κουκίδων τους είναι μηδέν.

Δίνονται δύο διανύσματα a(xa;ya) και b(xb;yb). Αυτά τα διανύσματα θα είναι κάθετα αν η έκφραση xaxb + yayb = 0.

Τα διανύσματα είναι παράλληλα αν το διασταυρούμενο γινόμενο τους είναι μηδέν

Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο. Βασικά προβλήματα σε ευθεία γραμμή σε επίπεδο.

Οποιαδήποτε ευθεία γραμμή στο επίπεδο μπορεί να προσδιοριστεί με μια εξίσωση πρώτης τάξης Ax + By + C = 0, και οι σταθερές A και B δεν είναι ίσες με το μηδέν ταυτόχρονα, δηλ. A2 + B2  0. Αυτή η εξίσωση πρώτης τάξης ονομάζεται γενική εξίσωσηευθεία. Ανάλογα με τις τιμές σταθερά Α, Βκαι C είναι δυνατές οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις: - C = 0, A  0, B  0 – η ευθεία διέρχεται από την αρχή - A = 0, B  0, C  0 ( Κατά

C = 0) - ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Oy - B = 0, A  0, C  0 ( Ax + C = 0) - ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Oy - B = C = 0, A  0 - Η ευθεία γραμμή συμπίπτει με τον άξονα Oy - A = C = 0, B  0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Ox. Η εξίσωση της ευθείας μπορεί να αναπαρασταθεί σε σε διάφορες μορφέςανάλογα με τις δεδομένες αρχικές συνθήκες.

Εάν τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές Α, Β, Γ επίπεδο Ax+By+C=0 ισούται με 0, ur-e
που ονομάζεται ατελής. Με τη μορφή της εξίσωσης μιας ευθείας μπορεί κανείς να κρίνει τη θέση της
επιπεδότητα OXU. Πιθανές περιπτώσεις:
1 C=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0) ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση, που σημαίνει ότι είναι ευθεία
διέρχεται από την καταγωγή
2 A=0 L: Ву+С=0 - κανονικό v-rΤο n=(0,B) είναι κάθετο στον άξονα OX από εδώ
έπεται ότι η ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα ΟΧ
3 V = 0 L: Ay+C=0 0 - η ονομαστική τιμή n=(A,0) είναι κάθετη στον άξονα OY από εδώ
έπεται ότι η ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα του op-amp
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - δεν διέρχεται από την αρχή και τέμνεται
και οι δύο άξονες.

Η εξίσωση ευθεία γραμμή　στο αεροπλάνο, περνώντας από δύο δοθέντες πόντουςΚαι :

Γωνία μεταξύ των επιπέδων.

Υπολογισμός οριζόντων

Ο υπολογισμός των οριζόντων βασίζεται στις γνωστές τους ιδιότητες, οι οποίες ισχύουν για ορίζοντες όλων των τάξεων. Αυτές είναι οι ιδιότητες:

1. Εάν αναδιατάξετε δύο σειρές (ή δύο στήλες) της ορίζουσας, η ορίζουσα θα αλλάξει πρόσημο.

2. Αν τα αντίστοιχα στοιχεία δύο στηλών (ή δύο σειρών) της ορίζουσας είναι ίσα ή ανάλογα, τότε η ορίζουσα ισούται με μηδέν.

3. Η τιμή της ορίζουσας δεν θα αλλάξει εάν ανταλλάξετε τις γραμμές και τις στήλες, διατηρώντας τη σειρά τους.

4. Εάν όλα τα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης) έχουν έναν κοινό παράγοντα, τότε μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της ορίζουσας.

5. Η τιμή της ορίζουσας δεν θα αλλάξει εάν τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης γραμμής (ή στήλης) προστεθούν στα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης), πολλαπλασιαζόμενα με τον ίδιο αριθμό.

Το Matrix και οι ενέργειες από πάνω τους

Μήτρα- ένα μαθηματικό αντικείμενο γραμμένο με τη μορφή ενός ορθογώνιου πίνακα αριθμών (ή στοιχείων ενός δακτυλίου) και επιτρέπει αλγεβρικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό κ.λπ.) μεταξύ αυτού και άλλων παρόμοιων αντικειμένων. Συνήθως, οι πίνακες αντιπροσωπεύονται ως δισδιάστατοι (ορθογώνιοι) πίνακες. Μερικές φορές λαμβάνονται υπόψη πολυδιάστατοι ή μη ορθογώνιοι πίνακες.

Συνήθως η μήτρα συμβολίζεται κεφαλαίο γράμμα Λατινικό αλφάβητοκαι επισημαίνονται με παρένθεση «(…)» (υπάρχει και μια επισήμανση αγκύλες«[…]» ή διπλές ευθείες «||…||»).

Οι αριθμοί που απαρτίζουν τον πίνακα (στοιχεία μήτρας) συχνά υποδηλώνονται με το ίδιο γράμμα με τον ίδιο τον πίνακα, αλλά με πεζά (για παράδειγμα, το a11 είναι στοιχείο του πίνακα Α).

Κάθε στοιχείο πίνακα έχει 2 δείκτες (aij) - το πρώτο "i" υποδηλώνει τον αριθμό της γραμμής στην οποία βρίσκεται το στοιχείο και το δεύτερο "j" υποδηλώνει τον αριθμό της στήλης. Λένε "dimensional matrix", που σημαίνει ότι ο πίνακας έχει m γραμμές και n στήλες. Πάντα στην ίδια μήτρα

Πράξεις σε πίνακες

Έστω aij τα στοιχεία του πίνακα A και bij τα στοιχεία του πίνακα B.

Γραμμικές πράξεις:

Ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα Α με έναν αριθμό λ (σύμβολο: λA) συνίσταται στην κατασκευή ενός πίνακα Β, τα στοιχεία του οποίου προκύπτουν πολλαπλασιάζοντας κάθε στοιχείο του πίνακα Α με αυτόν τον αριθμό, δηλαδή κάθε στοιχείο του πίνακα Β είναι ίσο με

Η πρόσθεση των πινάκων A + B είναι η πράξη εύρεσης ενός πίνακα C, όλα τα στοιχεία του οποίου είναι ίσα με το ζεύγος άθροισμα όλων των αντίστοιχων στοιχείων των πινάκων A και B, δηλαδή κάθε στοιχείο του πίνακα C είναι ίσο με

Η αφαίρεση των πινάκων A − B ορίζεται παρόμοια με την πρόσθεση· αυτή είναι η πράξη εύρεσης ενός πίνακα C του οποίου τα στοιχεία

Η πρόσθεση και η αφαίρεση επιτρέπονται μόνο για πίνακες ίδιου μεγέθους.

Υπάρχει μηδενικός πίνακας Θ τέτοιος που προσθέτοντάς τον σε άλλο πίνακα Α δεν αλλάζει το Α, δηλαδή

Όλα τα στοιχεία του μηδενικού πίνακα είναι ίσα με μηδέν.

Μη γραμμικές πράξεις:

Ο πολλαπλασιασμός πίνακα (ονομασία: AB, λιγότερο συχνά με πρόσημο πολλαπλασιασμού) είναι η πράξη υπολογισμού ενός πίνακα C, τα στοιχεία του οποίου είναι ίσα με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων στην αντίστοιχη σειρά του πρώτου παράγοντα και της στήλης του δεύτερου .cij = ∑ aikbkj k

Ο πρώτος παράγοντας πρέπει να έχει τον ίδιο αριθμό στηλών με τον αριθμό των σειρών του δεύτερου. Αν ο πίνακας A έχει διάσταση B - , τότε η διάσταση του γινομένου τους AB = C είναι. Ο πολλαπλασιασμός του πίνακα δεν είναι ανταλλάξιμος.

Ο πολλαπλασιασμός του πίνακα είναι συνειρμικός. Μόνο οι τετράγωνοι πίνακες μπορούν να αυξηθούν σε ισχύ.

Η μεταφορά πίνακα (σύμβολο: AT) είναι μια πράξη στην οποία ο πίνακας ανακλάται σε σχέση με την κύρια διαγώνιο, δηλαδή

Εάν το Α είναι ένας πίνακας μεγέθους, τότε το AT είναι ένας πίνακας μεγέθους

Παράγωγο σύνθετη λειτουργία

Η μιγαδική συνάρτηση έχει τη μορφή: F(x) = f(g(x)), δηλ. είναι συνάρτηση μιας συνάρτησης. Για παράδειγμα, y = sin2x, y = ln(x2+2x), κ.λπ.

Αν στο σημείο x η συνάρτηση g(x) έχει την παράγωγο g"(x), και στο σημείο u = g(x) η συνάρτηση f(u) έχει την παράγωγο f"(u), τότε η παράγωγος του σύνθετη συνάρτηση f(g(x)) στο σημείο x υπάρχει και ισούται με f"(u)g"(x).

Παράγωγο άρρητη λειτουργία

Σε πολλά προβλήματα, η συνάρτηση y(x) καθορίζεται σιωπηρά. Για παράδειγμα, για τις παρακάτω λειτουργίες

είναι αδύνατο να ληφθεί ρητά η εξάρτηση y(x).

Ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό της παραγώγου y"(x) από μια άρρητη συνάρτηση είναι ο εξής:

Πρώτα πρέπει να διαφοροποιήσετε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης ως προς το x, υποθέτοντας ότι το y είναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση του x και χρησιμοποιώντας τον κανόνα για τον υπολογισμό της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης.

Λύστε την εξίσωση που προκύπτει για την παράγωγο y"(x).

Ας δούμε μερικά παραδείγματα για να το διευκρινίσουμε.

Να διαφοροποιήσετε τη συνάρτηση y(x) που δίνεται από την εξίσωση.

Ας διαφοροποιήσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης ως προς τη μεταβλητή x:

αυτό που οδηγεί στο αποτέλεσμα

Κανόνας του Lapital

Ο κανόνας του L'Hopital. Έστω η συνάρτηση f(x) και g(x) στο περιβάλλον. t-ki x0 pr-nye f' και g' εξαιρουμένης της πιθανότητας αυτού του πολύ t-tu x0. Έστω lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 έτσι ώστε η f(x)/g(x) για x®x0 να δίνει 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4), όταν συμπίπτει με το όριο του λόγου της συνάρτησης lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim(x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(Κριτήριο για τη μονοτονία μιας συνάρτησης που έχει παράγωγο στο διάστημα) Έστω η συνάρτηση συνεχής ενεργή

(a,b), και έχει παράγωγο f"(x) σε κάθε σημείο. Τότε

1)f αυξάνεται κατά (a,b) αν και μόνο αν

2) μειώνεται κατά (a,b) αν και μόνο αν

2. (Επαρκής κατάστασηαυστηρή μονοτονία συνάρτησης που έχει παράγωγο στο διάστημα) Έστω η συνάρτηση είναι συνεχής στο (a,b), και έχει παράγωγο f"(x) σε κάθε σημείο. Τότε

1) αν τότε η f αυξάνεται αυστηρά στο (a,b);

2) αν τότε η f μειώνεται αυστηρά στο (a,b).

Το αντίστροφο, σε γενικές γραμμές, δεν είναι αλήθεια. Η παράγωγος μιας αυστηρά μονοτονικής συνάρτησης μπορεί να εξαφανιστεί. Ωστόσο, το σύνολο των σημείων όπου η παράγωγος δεν είναι μηδέν πρέπει να είναι πυκνό στο διάστημα (a,b). Πιο συγκεκριμένα, το κάνει.

3. (Κριτήριο αυστηρής μονοτονίας συνάρτησης που έχει παράγωγο στο διάστημα) Έστω και η παράγωγος f"(x) ορίζεται παντού στο διάστημα. Τότε η f αυξάνεται αυστηρά στο διάστημα (a,b) εάν και μόνο εάν πληρούνται οι ακόλουθες δύο προϋποθέσεις:

Σημείο γινόμενο διανυσμάτων. Γωνία μεταξύ των διανυσμάτων. Η συνθήκη του παραλληλισμού ή της καθετότητας των διανυσμάτων.

Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι το γινόμενο των μηκών τους και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας:

Οι παρακάτω προτάσεις αποδεικνύονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως και στην επιπεδομετρία:

Το κλιμακωτό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι μηδέν εάν και μόνο εάν τα διανύσματα είναι κάθετα.

Το βαθμωτό τετράγωνο ενός διανύσματος, δηλαδή το βαθμωτό γινόμενο του εαυτού του και του εαυτού του, ισούται με το τετράγωνο του μήκους του.

Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων και δίνεται από τις συντεταγμένες τους μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

Τα διανύσματα είναι κάθετα αν και μόνο αν το γινόμενο κουκίδων τους είναι μηδέν. Παράδειγμα. Δίνονται δύο διανύσματα και . Αυτά τα διανύσματα θα είναι κάθετα αν η έκφραση x1x2 + y1y2 = 0. Η γωνία μεταξύ μη μηδενικών διανυσμάτων είναι η γωνία μεταξύ ευθειών για τις οποίες αυτά τα διανύσματα είναι οδηγοί. Εξ ορισμού, η γωνία μεταξύ οποιουδήποτε διανύσματος και του μηδενικού διανύσματος θεωρείται ίση με μηδέν. Εάν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι 90°, τότε τέτοια διανύσματα ονομάζονται κάθετα. Θα υποδηλώσουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων ως εξής: