Scalar προϊόνφορείς

Συνεχίζουμε να ασχολούμαστε με διανύσματα. Στο πρώτο μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελαΕξετάσαμε την έννοια του διανύσματος, τις ενέργειες με διανύσματα, τις συντεταγμένες του διανύσματος και τα απλούστερα προβλήματα με διανύσματα. Εάν ήρθατε σε αυτή τη σελίδα για πρώτη φορά από μηχανή αναζήτησης, σας συνιστώ ανεπιφύλακτα να διαβάσετε το παραπάνω εισαγωγικό άρθρο, καθώς για να καταλάβετε το υλικό πρέπει να είστε εξοικειωμένοι με τους όρους και τις ονομασίες που χρησιμοποιώ, ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣσχετικά με τα διανύσματα και να μπορεί να λύνει στοιχειώδη προβλήματα. Αυτό το μάθημαείναι μια λογική συνέχεια του θέματος, και επ' αυτού θα αναλύσω λεπτομερώς τυπικές εργασίες, που χρησιμοποιούν το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων. Αυτή είναι μια ΠΟΛΥ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ δραστηριότητα.. Προσπαθήστε να μην παραλείψετε τα παραδείγματα· συνοδεύονται από ένα χρήσιμο μπόνους - η πρακτική θα σας βοηθήσει να εμπεδώσετε το υλικό που έχετε καλύψει και να βελτιωθείτε στην επίλυση κοινών προβλημάτων στην αναλυτική γεωμετρία.

Πρόσθεση διανυσμάτων, πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό.... Θα ήταν αφελές να πιστεύουμε ότι οι μαθηματικοί δεν έχουν καταλήξει σε κάτι άλλο. Εκτός από τις ενέργειες που έχουν ήδη συζητηθεί, υπάρχει μια σειρά από άλλες πράξεις με διανύσματα, και συγκεκριμένα: τελείες γινόμενο των διανυσμάτων, διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτωνΚαι μικτό γινόμενο διανυσμάτων. Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι γνωστό σε εμάς από το σχολείο, τα άλλα δύο προϊόντα σχετίζονται παραδοσιακά με το μάθημα ανώτερα μαθηματικά. Τα θέματα είναι απλά, ο αλγόριθμος για την επίλυση πολλών προβλημάτων είναι απλός και κατανοητός. Το μόνο πράγμα. Υπάρχει ένας αξιοπρεπής όγκος πληροφοριών, επομένως δεν είναι επιθυμητό να προσπαθήσετε να κατακτήσετε και να λύσετε ΟΛΑ ΤΟΝΟΠΩΣ. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τα ανδρείκελα· πιστέψτε με, ο συγγραφέας δεν θέλει απολύτως να νιώθει σαν τον Chikatilo από τα μαθηματικά. Λοιπόν, ούτε από τα μαθηματικά, φυσικά, =) Οι πιο προετοιμασμένοι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν υλικά επιλεκτικά, μέσα με μια ορισμένη έννοια, «πάρε» τη γνώση που λείπει, για σένα θα είμαι ο ακίνδυνος Κόμης Δράκουλας =)

Ας ανοίξουμε επιτέλους την πόρτα και ας παρακολουθήσουμε με ενθουσιασμό τι συμβαίνει όταν δύο φορείς συναντιούνται...

Ορισμός του βαθμωτού γινομένου των διανυσμάτων.
Ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος. Τυπικές εργασίες

Η έννοια ενός προϊόντος με κουκκίδες

Πρώτα για γωνία μεταξύ των διανυσμάτων. Νομίζω ότι όλοι καταλαβαίνουν διαισθητικά ποια είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων, αλλά για κάθε περίπτωση, λίγο περισσότερες λεπτομέρειες. Ας εξετάσουμε ελεύθερα μη μηδενικά διανύσματα και . Αν σχεδιάσουμε αυτά τα διανύσματα από αυθαίρετο σημείο, λαμβάνετε μια εικόνα που πολλοί έχουν ήδη φανταστεί στο μυαλό τους:

Ομολογώ, εδώ περιέγραψα την κατάσταση μόνο σε επίπεδο κατανόησης. Εάν χρειάζεστε έναν αυστηρό ορισμό της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων, ανατρέξτε στο εγχειρίδιο· για πρακτικά προβλήματα, καταρχήν, δεν το χρειαζόμαστε. Επίσης ΕΔΩ ΚΑΙ ΕΔΩ θα αγνοήσω μηδενικά διανύσματα κατά τόπους λόγω της χαμηλής πρακτικής σημασίας τους. Έκανα μια κράτηση ειδικά για προχωρημένους επισκέπτες του ιστότοπου που μπορεί να με κατηγορήσουν για τη θεωρητική ανεπάρκεια κάποιων μεταγενέστερων δηλώσεων.

μπορεί να λάβει τιμές από 0 έως 180 μοίρες (0 έως ακτίνια), συμπεριλαμβανομένων. Αναλυτικά αυτό το γεγονόςγραμμένο στη μορφή διπλή ανισότητα: ή (σε ακτίνια).

Στη βιβλιογραφία, το σύμβολο της γωνίας συχνά παραλείπεται και απλώς γράφεται.

Ορισμός:Το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων ονομάζεται ΑΡΙΘΜΟΣ, ίσο με το γινόμενοτα μήκη αυτών των διανυσμάτων κατά το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας:

Τώρα αυτός είναι ένας αρκετά αυστηρός ορισμός.

Εστιάζουμε σε βασικές πληροφορίες:

Ονομασία:το κλιμακωτό γινόμενο συμβολίζεται με ή απλά.

Το αποτέλεσμα της επέμβασης είναι ΑΡΙΘΜΟΣ: Το διάνυσμα πολλαπλασιάζεται με διάνυσμα και το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός. Πράγματι, αν τα μήκη των διανυσμάτων είναι αριθμοί, το συνημίτονο μιας γωνίας είναι ένας αριθμός, τότε το γινόμενο τους θα είναι επίσης ένας αριθμός.

Μόνο μερικά παραδείγματα προθέρμανσης:

Παράδειγμα 1

Λύση:Χρησιμοποιούμε τον τύπο . ΣΕ σε αυτήν την περίπτωση:

Απάντηση:

Οι τιμές συνημιτόνου μπορούν να βρεθούν στο τριγωνομετρικός πίνακας. Συνιστώ να το εκτυπώσετε - θα χρειαστεί σχεδόν σε όλα τα τμήματα του πύργου και θα χρειαστεί πολλές φορές.

Καθαρά με μαθηματικό σημείοΑπό άποψη άποψης, το κλιμακωτό γινόμενο είναι αδιάστατο, δηλαδή το αποτέλεσμα, σε αυτήν την περίπτωση, είναι απλώς ένας αριθμός και αυτό είναι. Από την άποψη των προβλημάτων φυσικής, το βαθμωτό γινόμενο έχει πάντα ένα ορισμένο φυσική έννοια, δηλαδή, μετά το αποτέλεσμα πρέπει να υποδείξετε το ένα ή το άλλο φυσική μονάδα. Κανονικό παράδειγμασχετικά με τον υπολογισμό του έργου της δύναμης μπορεί να βρεθεί σε οποιοδήποτε εγχειρίδιο (ο τύπος είναι ακριβώς ένα βαθμωτό γινόμενο). Το έργο μιας δύναμης μετριέται σε Joules, επομένως, η απάντηση θα γραφτεί πολύ συγκεκριμένα, για παράδειγμα, .

Παράδειγμα 2

Βρείτε αν , και η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι ίση με .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για ανεξάρτητη απόφαση, η απάντηση βρίσκεται στο τέλος του μαθήματος.

Γωνία μεταξύ διανυσμάτων και τιμής προϊόντος κουκκίδας

Στο Παράδειγμα 1 το βαθμωτό γινόμενο αποδείχθηκε θετικό και στο Παράδειγμα 2 αποδείχθηκε αρνητικό. Ας μάθουμε από τι εξαρτάται το πρόσημο του βαθμωτού προϊόντος. Ας δούμε τον τύπο μας: . Τα μήκη των μη μηδενικών διανυσμάτων είναι πάντα θετικά: , οπότε το πρόσημο μπορεί να εξαρτάται μόνο από την τιμή του συνημιτόνου.

Σημείωση: Για να κατανοήσετε καλύτερα τις παρακάτω πληροφορίες, είναι καλύτερο να μελετήσετε το γράφημα συνημιτόνου στο εγχειρίδιο Γραφήματα συναρτήσεων και ιδιότητες. Δείτε πώς συμπεριφέρεται το συνημίτονο στο τμήμα.

Όπως έχει ήδη σημειωθεί, η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων μπορεί να ποικίλλει εντός , και ταυτόχρονα δυνατό επόμενες περιπτώσεις:

1) Αν γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων αρωματώδης: (από 0 έως 90 μοίρες), τότε , Και το προϊόν με κουκκίδες θα είναι θετικό συν-σκηνοθεσία, τότε η γωνία μεταξύ τους θεωρείται μηδέν και το βαθμωτό γινόμενο θα είναι επίσης θετικό. Επειδή , ο τύπος απλοποιεί: .

2) Αν γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων αμβλύς: (από 90 έως 180 μοίρες), λοιπόν και αντίστοιχα, το προϊόν κουκκίδας είναι αρνητικό: . Ιδιαίτερη περίπτωση: αν διανύσματα αντίθετες κατευθύνσεις, τότε εξετάζεται η γωνία μεταξύ τους αναπτυγμένος: (180 μοίρες). Το κλιμακωτό γινόμενο είναι επίσης αρνητικό, αφού

Οι αντίστροφες δηλώσεις είναι επίσης αληθείς:

1) Αν , τότε η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι οξεία. Εναλλακτικά, τα διανύσματα είναι συνκατευθυντικά.

2) Αν , τότε η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι αμβλεία. Εναλλακτικά, τα διανύσματα είναι σε αντίθετες κατευθύνσεις.

Όμως η τρίτη περίπτωση παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον:

3) Αν γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων ευθεία: (90 μοίρες), λοιπόν το κλιμακωτό γινόμενο είναι μηδέν: . Ισχύει και το αντίστροφο: αν , τότε . Η δήλωση μπορεί να διατυπωθεί συμπαγώς ως εξής: Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι μηδέν αν και μόνο αν τα διανύσματα είναι ορθογώνια. Σύντομη μαθηματική σημειογραφία:

! Σημείωση : Ας επαναλάβουμε τα βασικά της μαθηματικής λογικής: Ένα εικονίδιο λογικής συνέπειας διπλής όψης συνήθως διαβάζεται "εάν και μόνο εάν", "εάν και μόνο εάν". Όπως μπορείτε να δείτε, τα βέλη κατευθύνονται και προς τις δύο κατευθύνσεις - "από αυτό ακολουθεί αυτό και αντίστροφα - από αυτό ακολουθεί αυτό." Ποια είναι, παρεμπιπτόντως, η διαφορά από το εικονίδιο μονόδρομης παρακολούθησης; Το εικονίδιο αναφέρει μόνο αυτό, ότι «από αυτό προκύπτει αυτό», και δεν είναι γεγονός ότι ισχύει το αντίθετο. Για παράδειγμα: , αλλά δεν είναι κάθε ζώο πάνθηρας, οπότε σε αυτήν την περίπτωση δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το εικονίδιο. Ταυτόχρονα, αντί για το εικονίδιο Μπορώχρησιμοποιήστε το εικονίδιο μιας όψης. Για παράδειγμα, κατά την επίλυση του προβλήματος, ανακαλύψαμε ότι καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα διανύσματα είναι ορθογώνια: - μια τέτοια καταχώριση θα είναι σωστή και ακόμη πιο κατάλληλη από .

Η τρίτη περίπτωση έχει περισσότερα πρακτική σημασία , καθώς σας επιτρέπει να ελέγξετε εάν τα διανύσματα είναι ορθογώνια ή όχι. Αυτή η εργασίαθα λύσουμε στη δεύτερη ενότητα του μαθήματος.

Ιδιότητες του προϊόντος με τελείες

Ας επιστρέψουμε στην κατάσταση όταν δύο διανύσματα συν-σκηνοθεσία. Σε αυτήν την περίπτωση, η γωνία μεταξύ τους είναι μηδέν, και ο τύπος του κλιμακωτού γινομένου παίρνει τη μορφή: .

Τι συμβαίνει αν ένα διάνυσμα πολλαπλασιαστεί από τον εαυτό του; Είναι σαφές ότι το διάνυσμα είναι ευθυγραμμισμένο με τον εαυτό του, επομένως χρησιμοποιούμε τον παραπάνω απλοποιημένο τύπο:

Ο αριθμός καλείται βαθμωτό τετράγωνοδιάνυσμα, και συμβολίζονται ως .

Ετσι, το βαθμωτό τετράγωνο ενός διανύσματος είναι ίσο με το τετράγωνο του μήκους του δεδομένου διανύσματος:

Από αυτή την ισότητα μπορούμε να λάβουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό του μήκους του διανύσματος:

Μέχρι στιγμής φαίνεται ασαφές, αλλά οι στόχοι του μαθήματος θα βάλουν τα πάντα στη θέση τους. Για να λύσουμε τα προβλήματα χρειαζόμαστε επίσης ιδιότητες του προϊόντος με κουκκίδες.

Για αυθαίρετα διανύσματακαι οποιοσδήποτε αριθμός είναι έγκυρος παρακάτω ιδιότητες:

1) – ανταλλακτική ή ανταλλακτικήνόμος κλιμακωτών προϊόντων.

2) – διανομή ή διανεμητικόςνόμος κλιμακωτών προϊόντων. Απλά, μπορείτε να ανοίξετε τις αγκύλες.

3) – συνειρμική ή προσεταιριστικήνόμος κλιμακωτών προϊόντων. Η σταθερά μπορεί να προκύψει από το βαθμωτό γινόμενο.

Συχνά, κάθε είδους ιδιότητες (που πρέπει επίσης να αποδειχθούν!) εκλαμβάνονται από τους μαθητές ως περιττά σκουπίδια, τα οποία χρειάζεται μόνο να απομνημονευθούν και να ξεχαστούν με ασφάλεια αμέσως μετά την εξέταση. Φαίνεται ότι αυτό που είναι σημαντικό εδώ, όλοι γνωρίζουν ήδη από την πρώτη τάξη ότι η αναδιάταξη των παραγόντων δεν αλλάζει το προϊόν: . Πρέπει να σας προειδοποιήσω ότι στα ανώτερα μαθηματικά είναι εύκολο να μπλέξετε τα πράγματα με μια τέτοια προσέγγιση. Έτσι, για παράδειγμα, η ανταλλακτική ιδιότητα δεν ισχύει για αλγεβρικοί πίνακες. Δεν ισχύει επίσης για διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων. Επομένως, τουλάχιστον, είναι καλύτερο να εμβαθύνετε σε όποιες ιδιότητες συναντήσετε σε ένα ανώτερο μάθημα μαθηματικών για να καταλάβετε τι μπορεί να γίνει και τι δεν μπορεί να γίνει.

Παράδειγμα 3

.

Λύση:Αρχικά, ας ξεκαθαρίσουμε την κατάσταση με το διάνυσμα. Τι είναι αυτό τέλος πάντων; Το άθροισμα των διανυσμάτων είναι ένα καλά καθορισμένο διάνυσμα, το οποίο συμβολίζεται με . Μια γεωμετρική ερμηνεία των ενεργειών με διανύσματα μπορεί να βρεθεί στο άρθρο Διανύσματα για ανδρείκελα. Ο ίδιος μαϊντανός με διάνυσμα είναι το άθροισμα των διανυσμάτων και .

Έτσι, σύμφωνα με την προϋπόθεση, απαιτείται να βρεθεί το βαθμωτό γινόμενο. Θεωρητικά, πρέπει να εφαρμόσετε τον τύπο εργασίας , αλλά το πρόβλημα είναι ότι δεν γνωρίζουμε τα μήκη των διανυσμάτων και τη γωνία μεταξύ τους. Αλλά η συνθήκη δίνει παρόμοιες παραμέτρους για διανύσματα, οπότε θα ακολουθήσουμε μια διαφορετική διαδρομή:

(1) Αντικαταστήστε τις εκφράσεις των διανυσμάτων.

(2) Ανοίγουμε τις αγκύλες σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων· ένα χυδαίο στριφτάρι γλώσσας μπορεί να βρεθεί στο άρθρο Μιγαδικοί αριθμοίή Ολοκλήρωση κλασματικής-ορθολογικής συνάρτησης. Δεν θα επαναλάβω τον εαυτό μου =) Παρεμπιπτόντως, η διανεμητική ιδιότητα του βαθμωτού προϊόντος μας επιτρέπει να ανοίξουμε τις αγκύλες. Έχουμε το δικαίωμα.

(3) Στον πρώτο και τον τελευταίο όρο γράφουμε συμπαγώς τα βαθμωτά τετράγωνα των διανυσμάτων: . Στον δεύτερο όρο χρησιμοποιούμε τη δυνατότητα μετατροπής του κλιμακωτού γινομένου: .

(4) Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους: .

(5) Στον πρώτο όρο χρησιμοποιούμε τον βαθμωτό τετράγωνο τύπο, ο οποίος αναφέρθηκε όχι πολύ καιρό πριν. Στον τελευταίο όρο, αντίστοιχα, λειτουργεί το ίδιο: . Επεκτείνουμε τον δεύτερο όρο σύμφωνα με τυπική φόρμουλα .

(6) Αντικαταστήστε αυτές τις προϋποθέσεις , και πραγματοποιήστε ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ τους τελικούς υπολογισμούς.

Απάντηση:

Αρνητικό νόημαΤο βαθμωτό γινόμενο δηλώνει το γεγονός ότι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι αμβλεία.

Το πρόβλημα είναι τυπικό, εδώ είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας:

Παράδειγμα 4

Να βρείτε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και αν είναι γνωστό ότι .

Τώρα μια άλλη κοινή εργασία, μόνο για τον νέο τύπο για το μήκος ενός διανύσματος. Η σημείωση εδώ θα είναι λίγο επικαλυπτόμενη, οπότε για λόγους σαφήνειας θα την ξαναγράψω με διαφορετικό γράμμα:

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το μήκος του διανύσματος αν .

Λύσηθα είναι ως εξής:

(1) Παρέχουμε την έκφραση για το διάνυσμα .

(2) Χρησιμοποιούμε τον τύπο μήκους: , και ολόκληρη η έκφραση ve λειτουργεί ως διάνυσμα "ve".

(3) Χρησιμοποιούμε τον σχολικό τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος. Παρατηρήστε πώς λειτουργεί εδώ με έναν περίεργο τρόπο: – στην πραγματικότητα, είναι το τετράγωνο της διαφοράς και, στην πραγματικότητα, έτσι είναι. Όσοι επιθυμούν μπορούν να αναδιατάξουν τα διανύσματα: - συμβαίνει το ίδιο, μέχρι την αναδιάταξη των όρων.

(4) Αυτό που ακολουθεί είναι ήδη γνωστό από τα δύο προηγούμενα προβλήματα.

Απάντηση:

Δεδομένου ότι μιλάμε για μήκος, μην ξεχάσετε να υποδείξετε τη διάσταση - "μονάδες".

Παράδειγμα 6

Να βρείτε το μήκος του διανύσματος αν .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Ολοκληρωμένη λύσηκαι η απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Συνεχίζουμε να συμπιέζουμε χρήσιμα πράγματα από το προϊόν κουκίδων. Ας δούμε ξανά τη φόρμουλα μας . Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αναλογίας, επαναφέρουμε τα μήκη των διανυσμάτων στον παρονομαστή της αριστερής πλευράς:

Ας ανταλλάξουμε τα μέρη:

Ποιο είναι το νόημα αυτού του τύπου; Εάν τα μήκη δύο διανυσμάτων και το βαθμωτό γινόμενο τους είναι γνωστά, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτών των διανυσμάτων και, κατά συνέπεια, την ίδια τη γωνία.

Το γινόμενο με τελείες είναι αριθμός; Αριθμός. Τα διανυσματικά μήκη είναι αριθμοί; Αριθμοί. Αυτό σημαίνει ότι ένα κλάσμα είναι επίσης ένας αριθμός. Και αν το συνημίτονο της γωνίας είναι γνωστό: , στη συνέχεια χρησιμοποιώντας αντίστροφη συνάρτησηΕίναι εύκολο να βρείτε την ίδια τη γωνία: .

Παράδειγμα 7

Να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και αν είναι γνωστό ότι .

Λύση:Χρησιμοποιούμε τον τύπο:

Επί τελικό στάδιουπολογισμοί που χρησιμοποιήθηκαν τεχνική τεχνική– εξάλειψη του παραλογισμού στον παρονομαστή. Για να εξαλείψω τον παραλογισμό, πολλαπλασίασα τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί .

Οπότε αν , Οτι:

Αντίστροφες τιμές τριγωνομετρικές συναρτήσειςμπορεί να βρεθεί από τριγωνομετρικός πίνακας. Αν και αυτό συμβαίνει σπάνια. Σε προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας, πολύ πιο συχνά κάποια αδέξια αρκούδα όπως , και η τιμή της γωνίας πρέπει να βρεθεί περίπου χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή. Στην πραγματικότητα, θα δούμε μια τέτοια εικόνα περισσότερες από μία φορές.

Απάντηση:

Και πάλι, μην ξεχάσετε να υποδείξετε τις διαστάσεις - ακτίνια και μοίρες. Προσωπικά, για να «λύσω όλα τα ερωτήματα» προφανώς, προτιμώ να αναφέρω και τα δύο (εκτός αν η συνθήκη, φυσικά, απαιτεί την παρουσίαση της απάντησης μόνο σε ακτίνια ή μόνο σε μοίρες).

Τώρα μπορείτε ανεξάρτητα να αντιμετωπίσετε περισσότερα δύσκολη εργασία:

Παράδειγμα 7*

Δίνονται τα μήκη των διανυσμάτων και η μεταξύ τους γωνία. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων , .

Η εργασία δεν είναι τόσο δύσκολη όσο είναι πολλαπλών βημάτων.
Ας δούμε τον αλγόριθμο επίλυσης:

1) Σύμφωνα με την συνθήκη, πρέπει να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και , επομένως πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο .

2) Βρείτε το βαθμωτό γινόμενο (βλ. Παραδείγματα Νο. 3, 4).

3) Βρείτε το μήκος του διανύσματος και το μήκος του διανύσματος (βλ. Παραδείγματα Νο. 5, 6).

4) Το τέλος της λύσης συμπίπτει με το Παράδειγμα Νο. 7 - γνωρίζουμε τον αριθμό , πράγμα που σημαίνει ότι είναι εύκολο να βρεθεί η ίδια η γωνία:

Γρήγορη Λύσηκαι η απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Η δεύτερη ενότητα του μαθήματος είναι αφιερωμένη στο ίδιο βαθμωτό γινόμενο. Συντεταγμένες. Θα είναι ακόμα πιο εύκολο από ότι στο πρώτο μέρος.

Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων,
δίνονται από συντεταγμένες σε ορθοκανονική βάση

Απάντηση:

Περιττό να πούμε ότι η ενασχόληση με τις συντεταγμένες είναι πολύ πιο ευχάριστη.

Παράδειγμα 14

Βρείτε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και αν

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συσχέτιση της πράξης, δηλαδή να μην μετράτε, αλλά να βγάλετε αμέσως το τριπλό έξω από το βαθμωτό γινόμενο και να πολλαπλασιάσετε με αυτό σε έσχατη λύση. Η λύση και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.

Στο τέλος της ενότητας, ένα προκλητικό παράδειγμα για τον υπολογισμό του μήκους ενός διανύσματος:

Παράδειγμα 15

Να βρείτε τα μήκη των διανυσμάτων , Αν

Λύση:Η μέθοδος της προηγούμενης ενότητας προτείνεται ξανά: αλλά υπάρχει και άλλος τρόπος:

Ας βρούμε το διάνυσμα:

Και το μήκος του σύμφωνα με τον ασήμαντο τύπο :

Το προϊόν με κουκκίδες δεν είναι καθόλου σχετικό εδώ!

Δεν είναι επίσης χρήσιμο κατά τον υπολογισμό του μήκους ενός διανύσματος:
Να σταματήσει. Δεν πρέπει να εκμεταλλευτούμε την προφανή ιδιότητα του διανυσματικού μήκους; Τι μπορείτε να πείτε για το μήκος του διανύσματος; Αυτό το διάνυσμα 5 φορές μεγαλύτερο από το διάνυσμα. Η κατεύθυνση είναι αντίθετη, αλλά αυτό δεν έχει σημασία, γιατί μιλάμε για μήκος. Προφανώς, το μήκος του διανύσματος είναι ίσο με το γινόμενο μονάδα μέτρησηςαριθμοί ανά διάνυσμα μήκος:
– το σύμβολο συντελεστή «τρώει» το πιθανό μείον του αριθμού.

Ετσι:

Απάντηση:

Τύπος για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων που καθορίζονται με συντεταγμένες

τώρα έχουμε πλήρεις πληροφορίες, έτσι ώστε ο τύπος που προέκυψε προηγουμένως για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων εκφράστε μέσω διανυσματικών συντεταγμένων:

Συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των επίπεδων διανυσμάτωνκαι , καθορίζονται σε ορθοκανονική βάση, εκφράζεται με τον τύπο:
.

Συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων του χώρου, καθορίζεται σε ορθοκανονική βάση, εκφράζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα 16

Δίνονται τρεις κορυφές τριγώνου. Βρείτε (γωνία κορυφής).

Λύση:Σύμφωνα με τις συνθήκες, το σχέδιο δεν απαιτείται, αλλά και πάλι:

Η απαιτούμενη γωνία σημειώνεται με πράσινο τόξο. Ας θυμηθούμε αμέσως τον προσδιορισμό του σχολείου για μια γωνία: – Ιδιαίτερη προσοχήεπί μέση τιμήγράμμα - αυτή είναι η κορυφή της γωνίας που χρειαζόμαστε. Για συντομία, μπορείτε επίσης να γράψετε απλά .

Από το σχέδιο είναι προφανές ότι η γωνία του τριγώνου συμπίπτει με τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και, με άλλα λόγια: .

Συνιστάται να μάθετε πώς να κάνετε την ανάλυση διανοητικά.

Ας βρούμε τα διανύσματα:

Ας υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο:

Και τα μήκη των διανυσμάτων:

Συνημίτονο γωνίας:

Αυτή ακριβώς είναι η σειρά ολοκλήρωσης της εργασίας που προτείνω για τα ανδρείκελα. Οι πιο προχωρημένοι αναγνώστες μπορούν να γράψουν τους υπολογισμούς «σε μία γραμμή»:

Εδώ είναι ένα παράδειγμα μιας "κακής" τιμής συνημιτόνου. Η τιμή που προκύπτει δεν είναι τελική, επομένως δεν έχει νόημα να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή.

Ας βρούμε την ίδια τη γωνία:

Αν κοιτάξετε το σχέδιο, το αποτέλεσμα είναι αρκετά εύλογο. Για έλεγχο, η γωνία μπορεί να μετρηθεί και με μοιρογνωμόνιο. Μην καταστρέψετε το κάλυμμα της οθόνης =)

Απάντηση:

Στην απάντηση δεν το ξεχνάμε αυτό ρώτησε για τη γωνία τριγώνου(και όχι για τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων), μην ξεχάσετε να υποδείξετε την ακριβή απάντηση: και την κατά προσέγγιση τιμή της γωνίας: , βρέθηκε χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή.

Όσοι έχουν απολαύσει τη διαδικασία μπορούν να υπολογίσουν τις γωνίες και να επαληθεύσουν την εγκυρότητα της κανονικής ισότητας

Παράδειγμα 17

Ένα τρίγωνο ορίζεται στο διάστημα από τις συντεταγμένες των κορυφών του. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των πλευρών και

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος

Μια σύντομη τελευταία ενότητα θα αφιερωθεί στις προβολές, οι οποίες περιλαμβάνουν επίσης ένα κλιμακωτό προϊόν:

Προβολή ενός διανύσματος σε ένα διάνυσμα. Προβολή ενός διανύσματος σε άξονες συντεταγμένων.
Συνημίτονα κατεύθυνσης ενός διανύσματος

Εξετάστε τα διανύσματα και:

Ας προβάλουμε το διάνυσμα στο διάνυσμα· για να το κάνουμε αυτό, από την αρχή και το τέλος του διανύσματος παραλείπουμε κάθετεςσε διάνυσμα (πράσινες διακεκομμένες γραμμές). Φανταστείτε ότι οι ακτίνες φωτός πέφτουν κάθετα πάνω στο διάνυσμα. Τότε το τμήμα (κόκκινη γραμμή) θα είναι η «σκιά» του διανύσματος. Στην περίπτωση αυτή, η προβολή του διανύσματος πάνω στο διάνυσμα είναι το ΜΗΚΟΣ του τμήματος. Δηλαδή η ΠΡΟΒΟΛΗ ΕΙΝΑΙ ΑΡΙΘΜΟΣ.

Αυτός ο ΑΡΙΘΜΟΣ συμβολίζεται ως εξής: , "μεγάλο διάνυσμα" υποδηλώνει το διάνυσμα ΟΙ ΟΠΟΙΕΣέργο, το «διάνυσμα μικρού δείκτη» υποδηλώνει το διάνυσμα ΕΠΙπου προβάλλεται.

Το ίδιο το λήμμα έχει ως εξής: "προβολή του διανύσματος "a" στο διάνυσμα "be".

Τι συμβαίνει εάν το διάνυσμα "be" είναι "πολύ μικρό"; Σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή που περιέχει το διάνυσμα "be". Και το διάνυσμα "a" θα προβληθεί ήδη προς την κατεύθυνση του διανύσματος "be", απλά - στην ευθεία που περιέχει το διάνυσμα "be". Το ίδιο πράγμα θα συμβεί εάν το διάνυσμα "a" αναβληθεί στο τριακοστό βασίλειο - θα εξακολουθεί να προβάλλεται εύκολα στην ευθεία γραμμή που περιέχει το διάνυσμα "be".

Αν η γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων αρωματώδης(όπως στην εικόνα), λοιπόν

Αν οι φορείς ορθογώνιο, τότε (η προβολή είναι ένα σημείο του οποίου οι διαστάσεις θεωρούνται μηδέν).

Αν η γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων αμβλύς(στο σχήμα, αναδιατάξτε διανοητικά το διανυσματικό βέλος), στη συνέχεια (το ίδιο μήκος, αλλά λαμβάνεται με το σύμβολο μείον).

Ας σχεδιάσουμε αυτά τα διανύσματα από ένα σημείο:

Προφανώς, όταν ένα διάνυσμα κινείται, η προβολή του δεν αλλάζει

Κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων (εφεξής καλούμενο SP). Αγαπητοί φίλοι και φίλες! Η εξέταση των μαθηματικών περιλαμβάνει μια ομάδα προβλημάτων επίλυσης διανυσμάτων. Έχουμε ήδη εξετάσει ορισμένα προβλήματα. Μπορείτε να τα δείτε στην κατηγορία «Διανύσματα». Γενικά, η θεωρία των διανυσμάτων δεν είναι περίπλοκη, το κύριο πράγμα είναι να τη μελετήσουμε με συνέπεια. Υπολογισμοί και πράξεις με διανύσματα in σχολικό μάθημαΤα μαθηματικά είναι απλά, οι τύποι δεν είναι περίπλοκοι. Ρίξε μια ματιά στο. Σε αυτό το άρθρο θα αναλύσουμε προβλήματα στο SP των διανυσμάτων (που περιλαμβάνονται στην Εξέταση Ενιαίου Κράτους). Τώρα «βύθιση» στη θεωρία:

H Για να βρείτε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος, πρέπει να αφαιρέσετε από τις συντεταγμένες του τέλους τουτις αντίστοιχες συντεταγμένες της προέλευσής του

Και επιπλέον:

*Το διανυσματικό μήκος (μέτρο) προσδιορίζεται ως εξής:

Αυτές οι φόρμουλες πρέπει να θυμόμαστε!!!

Ας δείξουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων:

Είναι σαφές ότι μπορεί να κυμαίνεται από 0 έως 180 0(ή σε ακτίνια από 0 έως Pi).

Μπορούμε να βγάλουμε κάποια συμπεράσματα σχετικά με το πρόσημο του βαθμωτού γινομένου. Τα διανυσματικά μήκη είναι θετική αξία, Είναι προφανές. Αυτό σημαίνει ότι το πρόσημο του βαθμωτού γινομένου εξαρτάται από την τιμή του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων.

Πιθανές περιπτώσεις:

1. Εάν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι οξεία (από 0 0 έως 90 0), τότε το συνημίτονο της γωνίας θα έχει θετική τιμή.

2. Εάν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι αμβλεία (από 90 0 έως 180 0), τότε το συνημίτονο της γωνίας θα έχει αρνητική τιμή.

*Στις μηδέν μοίρες, όταν δηλαδή τα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση, συνημίτονο ίσο με ένακαι ανάλογα το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Στο 180 o, δηλαδή όταν τα διανύσματα έχουν αντίθετες κατευθύνσεις, το συνημίτονο είναι ίσο με μείον ένα,και ανάλογα το αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό.

Τώρα το ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ!

Στο 90 o, δηλαδή όταν τα διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους, το συνημίτονο είναι ίσο με μηδέν και επομένως το SP είναι ίσο με μηδέν. Αυτό το γεγονός (συνέπεια, συμπέρασμα) χρησιμοποιείται στην επίλυση πολλών προβλημάτων όπου μιλάμε σχετική θέσηδιανύσματα, συμπεριλαμβανομένων των προβλημάτων που περιλαμβάνονται σε ανοιχτή τράπεζαεργασίες μαθηματικών.

Ας διατυπώσουμε τη δήλωση: το βαθμωτό γινόμενο είναι ίσο με μηδέν αν και μόνο αν αυτά τα διανύσματα βρίσκονται σε κάθετες ευθείες.

Έτσι, οι τύποι για διανύσματα SP:

Εάν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των διανυσμάτων ή οι συντεταγμένες των σημείων των αρχών και των άκρων τους, τότε μπορούμε πάντα να βρούμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων:

Ας εξετάσουμε τα καθήκοντα:

27724 Να βρείτε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων a και b.

Μπορούμε να βρούμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων χρησιμοποιώντας έναν από τους δύο τύπους:

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι άγνωστη, αλλά μπορούμε εύκολα να βρούμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουμε τον πρώτο τύπο. Εφόσον οι απαρχές και των δύο διανυσμάτων συμπίπτουν με την αρχή των συντεταγμένων, οι συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων είναι ίσες με τις συντεταγμένες των άκρων τους, δηλαδή

Πώς να βρείτε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος περιγράφεται στο.

Υπολογίζουμε:

Απάντηση: 40

Ας βρούμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:

Για να βρούμε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τις αντίστοιχες συντεταγμένες της αρχής του από τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματος, που σημαίνει

Υπολογίζουμε το βαθμωτό γινόμενο:

Απάντηση: 40

Να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων α και β. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.

Έστω οι συντεταγμένες των διανυσμάτων να έχουν τη μορφή:

Για να βρούμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων, χρησιμοποιούμε τον τύπο για το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων:

Συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων:

Ως εκ τούτου:

Οι συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων είναι ίσες:

Ας τα αντικαταστήσουμε στον τύπο:

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι 45 μοίρες.

Απάντηση: 45

Έτσι, το μήκος του διανύσματος υπολογίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συντεταγμένων του
. Το μήκος ενός διανύσματος n-διαστάσεων υπολογίζεται με παρόμοιο τρόπο
. Αν θυμηθούμε ότι κάθε συντεταγμένη ενός διανύσματος είναι η διαφορά μεταξύ των συντεταγμένων του τέλους και της αρχής, τότε παίρνουμε τον τύπο για το μήκος του τμήματος, δηλ. Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ σημείων.

Scalar προϊόνδύο διανύσματα σε ένα επίπεδο είναι το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας:
. Μπορεί να αποδειχθεί ότι το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων = (x 1, x 2) και = (y 1 , y 2) ισούται με το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων συντεταγμένων αυτών των διανυσμάτων:
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2 .

Στον n-διάστατο χώρο, το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων X= (x 1, x 2,...,x n) και Y= (y 1, y 2,..., y n) ορίζεται ως το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων συντεταγμένων τους: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

Η λειτουργία του πολλαπλασιασμού των διανυσμάτων μεταξύ τους είναι παρόμοια με τον πολλαπλασιασμό ενός πίνακα σειρών με έναν πίνακα στήλης. Τονίζουμε ότι το αποτέλεσμα θα είναι αριθμός, όχι διάνυσμα.

Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων έχει τις ακόλουθες ιδιότητες (αξιώματα):

1) Αντικαταθλιπτική ιδιότητα: X*Y=Y*X.

2) Διανεμητική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Για κάθε πραγματικό αριθμό 
.

4)
, το ifX δεν είναι μηδενικό διάνυσμα.
Το ifX είναι μηδενικό διάνυσμα.

Ένας γραμμικός διανυσματικός χώρος στον οποίο δίνεται ένα βαθμωτό γινόμενο διανυσμάτων που ικανοποιεί τα τέσσερα αντίστοιχα αξιώματα ονομάζεται Ευκλείδειο γραμμικό διάνυσμαχώρος.

Είναι εύκολο να δούμε ότι όταν πολλαπλασιάζουμε οποιοδήποτε διάνυσμα από μόνο του, παίρνουμε το τετράγωνο του μήκους του. Άρα είναι διαφορετικό μήκοςένα διάνυσμα μπορεί να οριστεί ως η τετραγωνική ρίζα του βαθμωτού τετραγώνου του:.

Το διανυσματικό μήκος έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1) |Χ| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, όπου είναι ένας πραγματικός αριθμός.

3) |X*Y||X|*|Y| ( Ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky);

4) |X+Y||X|+|Y| ( τριγωνική ανισότητα).

Η γωνία  μεταξύ των διανυσμάτων στον n-διάστατο χώρο προσδιορίζεται με βάση την έννοια του βαθμωτό γινόμενο. Στην πραγματικότητα, αν
, Οτι
. Αυτό το κλάσμα δεν είναι μεγαλύτερο από ένα (σύμφωνα με την ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky), οπότε από εδώ μπορούμε να βρούμε το .

Τα δύο διανύσματα ονομάζονται ορθογώνιοή κάθετος, αν το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι ίσο με μηδέν. Από τον ορισμό του βαθμωτού γινομένου προκύπτει ότι το μηδενικό διάνυσμα είναι ορθογώνιο σε οποιοδήποτε διάνυσμα. Αν και τα δύο ορθογώνια διανύσματα είναι μη μηδενικά, τότε cos= 0, δηλ.=/2 = 90 o.

Ας δούμε ξανά την Εικόνα 7.4. Από το σχήμα φαίνεται ότι το συνημίτονο της γωνίας της κλίσης του διανύσματος προς τον οριζόντιο άξονα μπορεί να υπολογιστεί ως
, και το συνημίτονο της γωνίαςτου διανύσματος προς κάθετος άξοναςΠως
. Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται συνήθως συνημίτονα κατεύθυνσης. Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι το άθροισμα των τετραγώνων των συνημιτόνων διεύθυνσης είναι πάντα ίσο με ένα: cos 2 +cos 2 = 1. Ομοίως, οι έννοιες των συνημιτόνων κατεύθυνσης μπορούν να εισαχθούν για χώρους υψηλότερων διαστάσεων.

Διάνυσμα βάση χώρου

Για τα διανύσματα, μπορούμε να ορίσουμε τις έννοιες γραμμικός συνδυασμός,γραμμική εξάρτησηΚαι ανεξαρτησίαπαρόμοιο με το πώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες για σειρές μήτρας. Είναι επίσης αλήθεια ότι εάν τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα, τότε τουλάχιστον ένα από αυτά μπορεί να εκφραστεί γραμμικά ως προς τα άλλα (δηλαδή, είναι ένας γραμμικός συνδυασμός τους). Το αντίστροφο ισχύει επίσης: εάν ένα από τα διανύσματα είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων, τότε όλα αυτά τα διανύσματα μαζί εξαρτώνται γραμμικά.

Σημειώστε ότι αν μεταξύ των διανυσμάτων a l , a 2 ,...a m υπάρχει ένα μηδενικό διάνυσμα, τότε αυτό το σύνολο διανυσμάτων είναι απαραίτητα γραμμικά εξαρτώμενο. Στην πραγματικότητα, παίρνουμε l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0 αν, για παράδειγμα, εξισώσουμε τον συντελεστή j στο μηδενικό διάνυσμα με ένα και όλους τους άλλους συντελεστές με μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν θα είναι όλοι οι συντελεστές ίσοι με μηδέν ( j ≠ 0).

Επιπλέον, εάν κάποιο μέρος των διανυσμάτων από ένα σύνολο διανυσμάτων είναι γραμμικά εξαρτώμενα, τότε όλα αυτά τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά. Στην πραγματικότητα, εάν ορισμένα διανύσματα δίνουν μηδενικό διάνυσμα στον γραμμικό συνδυασμό τους με συντελεστές που δεν είναι και οι δύο μηδέν, τότε τα υπόλοιπα διανύσματα πολλαπλασιαζόμενα με τους μηδενικούς συντελεστές μπορούν να προστεθούν σε αυτό το άθροισμα των γινομένων και θα εξακολουθεί να είναι μηδενικό διάνυσμα.

Πώς να προσδιορίσετε εάν τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά;

Για παράδειγμα, ας πάρουμε τρία διανύσματα: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) και a 3 = (3, 1, 4, 3). Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα από αυτούς, στον οποίο θα είναι στήλες:

Τότε το ζήτημα της γραμμικής εξάρτησης θα περιοριστεί στον προσδιορισμό της κατάταξης αυτού του πίνακα. Εάν αποδειχθεί ότι είναι ίσο με τρία, τότε και οι τρεις στήλες είναι γραμμικά ανεξάρτητες, και εάν αποδειχθεί ότι είναι μικρότερο, τότε αυτό θα υποδηλώνει μια γραμμική εξάρτηση των διανυσμάτων.

Εφόσον η κατάταξη είναι 2, τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.

Σημειώστε ότι η λύση στο πρόβλημα θα μπορούσε επίσης να ξεκινήσει με συλλογισμό που βασίζεται στον ορισμό της γραμμικής ανεξαρτησίας. Δηλαδή, δημιουργήστε μια διανυσματική εξίσωση  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, η οποία θα έχει τη μορφή l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Τότε παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

Η επίλυση αυτού του συστήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss θα οδηγήσει στην απόκτηση του ίδιου μήτρα βημάτων, μόνο που θα έχει ακόμη μία στήλη - δωρεάν μέλη. Όλοι θα είναι ίσοι με μηδέν, αφού γραμμικούς μετασχηματισμούςτα μηδενικά δεν μπορούν να οδηγήσουν σε διαφορετικό αποτέλεσμα. Το μετασχηματισμένο σύστημα εξισώσεων θα έχει τη μορφή:

Η λύση σε αυτό το σύστημα θα είναι (-с;-с; σ), όπου το c είναι ένας αυθαίρετος αριθμός. για παράδειγμα, (-1;-1;1). Αυτό σημαίνει ότι αν πάρουμε  l = -1; 2 =-1 και 3 = 1, τότε l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, δηλ. τα διανύσματα στην πραγματικότητα εξαρτώνται γραμμικά.

Από το λυμένο παράδειγμα γίνεται σαφές ότι αν πάρουμε τον αριθμό των διανυσμάτων μεγαλύτερο από τη διάσταση του χώρου, τότε θα είναι απαραίτητα γραμμικά εξαρτώμενα. Στην πραγματικότητα, αν παίρναμε πέντε διανύσματα σε αυτό το παράδειγμα, θα παίρναμε έναν πίνακα 4 x 5, η κατάταξη του οποίου δεν θα μπορούσε να είναι μεγαλύτερη από τέσσερα. Εκείνοι. ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων στηλών δεν θα ήταν ακόμη μεγαλύτερος από τέσσερις. Δύο, τρία ή τέσσερα τετραδιάστατα διανύσματα μπορεί να είναι γραμμικά ανεξάρτητα, αλλά πέντε ή περισσότερα όχι. Κατά συνέπεια, όχι περισσότερα από δύο διανύσματα μπορούν να είναι γραμμικά ανεξάρτητα στο επίπεδο. Οποιαδήποτε τρία διανύσματα στον δισδιάστατο χώρο εξαρτώνται γραμμικά. Στον τρισδιάστατο χώρο, οποιαδήποτε τέσσερα (ή περισσότερα) διανύσματα είναι πάντα γραμμικά εξαρτημένα. Και ούτω καθεξής.

Να γιατί διάστασηΟ χώρος μπορεί να οριστεί ως ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων που μπορεί να υπάρχουν σε αυτόν.

Ένα σύνολο n γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων ενός ν-διάστατου χώρου R ονομάζεται βάσηαυτόν τον χώρο.

Θεώρημα. Κάθε διάνυσμα γραμμικού χώρου μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων βάσης και με μοναδικό τρόπο.

Απόδειξη. Έστω τα διανύσματα e l , e 2 ,...e n σχηματίζουν ένα χώρο βάσης-διαστάσεων R. Ας αποδείξουμε ότι οποιοδήποτε διάνυσμα X είναι ένας γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων. Εφόσον, μαζί με το διάνυσμα Χ, ο αριθμός των διανυσμάτων θα γίνει (n +1), αυτά τα (n +1) διανύσματα θα εξαρτώνται γραμμικά, δηλ. υπάρχουν αριθμοί l , 2 ,..., n ,, όχι ταυτόχρονα ίσοι με μηδέν, έτσι ώστε

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

Σε αυτήν την περίπτωση, 0, επειδή διαφορετικά θα παίρναμε l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, όπου δεν είναι όλοι οι συντελεστές l , 2 ,..., n ίσοι με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματα βάσης θα εξαρτώνται γραμμικά. Επομένως, μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της πρώτης εξίσωσης με:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0

Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,

όπου x j = -( j /),
.

Τώρα αποδεικνύουμε ότι μια τέτοια αναπαράσταση με τη μορφή γραμμικού συνδυασμού είναι μοναδική. Ας υποθέσουμε το αντίθετο, δηλ. ότι υπάρχει άλλη αναπαράσταση:

X = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Ας αφαιρέσουμε από αυτό όρο προς όρο την έκφραση που λήφθηκε προηγουμένως:

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n

Δεδομένου ότι τα διανύσματα βάσης είναι γραμμικά ανεξάρτητα, λαμβάνουμε ότι (y j - x j) = 0,
, δηλαδή y j = x j . Έτσι η έκφραση αποδείχθηκε η ίδια. Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Η έκφραση X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n ονομάζεται αποσύνθεσηδιάνυσμα X με βάση e l, e 2,...e n και αριθμούς x l, x 2,...x n - συντεταγμένεςδιάνυσμα x σε σχέση με αυτή τη βάση ή σε αυτή τη βάση.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι αν τα μη μηδενικά διανύσματα ενός ν-διάστατου Ευκλείδειου χώρου είναι κατά ζεύγη ορθογώνια, τότε αποτελούν τη βάση. Στην πραγματικότητα, ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 με οποιοδήποτε διάνυσμα e i. Παίρνουμε  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (e n *е i) = 0   i (e i *е i) = 0   i = 0 για  i.

Διανύσματα e l , e 2 ,...e n της μορφής του ν-διάστατου Ευκλείδειου χώρου ορθοκανονική βάση, αν αυτά τα διανύσματα είναι κατά ζεύγη ορθογώνια και η νόρμα καθενός από αυτά είναι ίση με ένα, δηλ. αν e i *e j = 0 για i≠j и |е i | = 1 γιαi.

Θεώρημα (χωρίς απόδειξη). Σε κάθε ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο υπάρχει μια ορθοκανονική βάση.

Ένα παράδειγμα ορθοκανονικής βάσης είναι ένα σύστημα n μοναδιαίων διανυσμάτων e i , για τα οποία η i-η συνιστώσα είναι ίση με ένα και τα υπόλοιπα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν. Κάθε τέτοιο διάνυσμα ονομάζεται ort. Για παράδειγμα, τα διανυσματικά διανύσματα (1, 0, 0), (0, 1, 0) και (0, 0, 1) αποτελούν τη βάση του τρισδιάστατου χώρου.