Gaussian μέθοδος (διαδοχική εξάλειψη αγνώστων). Παραδείγματα λύσεων για ανδρείκελα

Ας εξετάσουμε ακριβείς μεθόδους για την επίλυση του συστήματος. εδώ είναι ο πίνακας διαστάσεων

Μια μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος ταξινομείται ως ακριβής εάν, υποθέτοντας ότι δεν υπάρχουν στρογγυλοποιήσεις, δίνει μια ακριβή λύση στο πρόβλημα μετά πεπερασμένος αριθμόςαριθμητική και λογικές πράξεις. Εάν ο αριθμός των μη μηδενικών στοιχείων του πίνακα συστήματος είναι της τάξης του , τότε για τα περισσότερα που χρησιμοποιούνται αυτήν τη στιγμή ακριβείς μεθόδουςΓια την επίλυση τέτοιων συστημάτων, ο απαιτούμενος αριθμός λειτουργιών είναι της τάξης του . Επομένως, για τη δυνατότητα εφαρμογής των ακριβών μεθόδων, είναι απαραίτητο αυτή η σειρά του αριθμού των λειτουργιών να είναι αποδεκτή για έναν δεδομένο υπολογιστή. άλλοι περιορισμοί επιβάλλονται από τον όγκο και τη δομή της μνήμης του υπολογιστή.

Η ρήτρα σχετικά με τις «τρέχουσες χρησιμοποιούμενες μεθόδους» έχει την ακόλουθη έννοια. Υπάρχουν μέθοδοι για την επίλυση τέτοιων συστημάτων με χαμηλότερη τάξη αριθμού λειτουργιών, αλλά δεν χρησιμοποιούνται ενεργά λόγω της ισχυρής ευαισθησίας του αποτελέσματος σε υπολογιστικά σφάλματα.

Η πιο διάσημη από τις ακριβείς μεθόδους για την επίλυση συστημάτων γραμμικές εξισώσειςείναι η Gaussian μέθοδος εξάλειψης. Ας εξετάσουμε μια από τις πιθανές υλοποιήσεις του. Υποθέτοντας ότι , η πρώτη εξίσωση του συστήματος

διαιρούμε με τον συντελεστή, το αποτέλεσμα είναι η εξίσωση

Στη συνέχεια, από κάθε μία από τις υπόλοιπες εξισώσεις, αφαιρείται η πρώτη εξίσωση, πολλαπλασιαζόμενη με τον κατάλληλο συντελεστή. Ως αποτέλεσμα, αυτές οι εξισώσεις μετατρέπονται στη μορφή

Ο πρώτος άγνωστος εξαιρέθηκε από όλες τις εξισώσεις εκτός από την πρώτη. Επιπλέον, με την υπόθεση ότι , διαιρούμε τη δεύτερη εξίσωση με έναν συντελεστή και εξαλείφουμε το άγνωστο από όλες τις εξισώσεις, ξεκινώντας από τη δεύτερη, κ.λπ. Ως αποτέλεσμα διαδοχική εξάλειψη άγνωστο σύστημαεξισώσεις μετατρέπεται σε σύστημα εξισώσεων με τριγωνική μήτρα

Το σύνολο των υπολογισμών που πραγματοποιήθηκαν, κατά το οποίο αρχικό πρόβλημαμετατρέπεται σε μορφή (2), ονομάζεται η άμεση πρόοδος της μεθόδου Gauss.

Από την εξίσωση του συστήματος (2) προσδιορίζουμε , από , κλπ. έως . Το σύνολο τέτοιων υπολογισμών ονομάζεται αντίστροφο της μεθόδου Gauss.

Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι η εφαρμογή της προόδου προς τα εμπρός της μεθόδου Gauss απαιτεί αριθμητικές πράξεις και οι αντίστροφες - αριθμητικές πράξεις.

Μια εξαίρεση προκύπτει ως αποτέλεσμα των ακόλουθων πράξεων: 1) διαίρεση της εξίσωσης με , 2) αφαίρεση της προκύπτουσας εξίσωσης πολλαπλασιαζόμενη επί , από τις εξισώσεις με αριθμούς k. Η πρώτη πράξη είναι ισοδύναμη με τον πολλαπλασιασμό του συστήματος των εξισώσεων στα αριστερά με έναν διαγώνιο πίνακα

η δεύτερη πράξη είναι ισοδύναμη με τον αριστερό πολλαπλασιασμό με τον πίνακα

Έτσι, το σύστημα (2), που προκύπτει ως αποτέλεσμα αυτών των μετασχηματισμών, θα γραφτεί με τη μορφή

Το γινόμενο των αριστερών (δεξιών) τριγωνικών πινάκων είναι ένας αριστερός (δεξιός) τριγωνικός πίνακας, επομένως ο πίνακας C είναι αριστερός τριγωνικός. Από τον τύπο για τα στοιχεία του αντίστροφου πίνακα

έπεται ότι το αντίστροφο ενός αριστερού (δεξιού) τριγωνικού πίνακα είναι αριστερό (δεξιό) τριγωνικό. Επομένως, η μήτρα είναι τριγωνική.

Ας παρουσιάσουμε τον χαρακτηρισμό. Σύμφωνα με την κατασκευή, ο πίνακας D είναι επίσης ορθογώνιος. Από εδώ λαμβάνουμε μια αναπαράσταση του πίνακα Α ως το γινόμενο αριστερών και δεξιών τριγωνικών πινάκων:

Η ισότητα, μαζί με την συνθήκη, σχηματίζει ένα σύστημα εξισώσεων για τα στοιχεία των τριγωνικών πινάκων Β και:. Δεδομένου ότι στο και στο , αυτό το σύστημα μπορεί να γραφτεί με τη μορφή

(3)

ή, τι είναι το ίδιο,

Χρησιμοποιώντας την προϋπόθεση ότι όλοι λαμβάνουν το σύστημα σχέσεις υποτροπήςγια να ορίσετε τα στοιχεία και:

Οι υπολογισμοί πραγματοποιούνται διαδοχικά για τους πληθυσμούς. Εδώ και παραπέρα στην περίπτωση που ανώτατο όριοΤο άθροισμα είναι μικρότερο από το χαμηλότερο, ολόκληρο το άθροισμα θεωρείται μηδέν.

Έτσι, αντί για διαδοχικούς μετασχηματισμούς του συστήματος (1) στον σχηματισμό (2), είναι δυνατός ο απευθείας υπολογισμός των πινάκων Β χρησιμοποιώντας τους τύπους (4). Αυτοί οι υπολογισμοί μπορούν να πραγματοποιηθούν μόνο εάν όλα τα στοιχεία είναι μη μηδενικά. Έστω οι πίνακες των κύριων δευτερευόντων της τάξης των πινάκων A, B, D. Σύμφωνα με το (3). Γιατί, λοιπόν. Ως εκ τούτου,

Έτσι, για να πραγματοποιηθούν υπολογισμοί χρησιμοποιώντας τους τύπους (4), είναι απαραίτητο και επαρκές να πληρούνται οι προϋποθέσεις

Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι γνωστό εκ των προτέρων ότι η προϋπόθεση (5) ικανοποιείται. Για παράδειγμα, πολλές εργασίες μαθηματική φυσικήανάγεται στην επίλυση συστημάτων με θετικό καθορισμένο πίνακα Α. Ωστόσο, σε γενική περίπτωσηαυτό δεν μπορεί να ειπωθεί εκ των προτέρων. Είναι επίσης δυνατή η ακόλουθη περίπτωση: όλα , αλλά μεταξύ των ποσοτήτων υπάρχουν πολύ μικρές και όταν διαιρεθούν με αυτές θα πάρουμε μεγάλα νούμεραμε μεγάλο απόλυτα λάθη. Ως αποτέλεσμα, η λύση θα παραμορφωθεί σε μεγάλο βαθμό.

Ας υποδηλώσουμε . Αφού και , τότε ισχύουν οι ισότητες. Έτσι, μετά την αποσύνθεση του πίνακα του αρχικού συστήματος στο γινόμενο αριστερών και δεξιών τριγωνικών πινάκων, η λύση του αρχικού συστήματος ανάγεται σε μια διαδοχική λύση δύο συστημάτων με τριγωνικούς πίνακες. αυτό θα απαιτήσει αριθμητικές πράξεις.

Η ακολουθία πράξεων για την αποσύνθεση του πίνακα Α στο γινόμενο τριγωνικών πινάκων και τον προσδιορισμό του διανύσματος d είναι συχνά βολικό να συνδυαστεί. Εξισώσεις

τα συστήματα μπορούν να γραφτούν με τη μορφή

Επομένως, οι τιμές μπορούν να υπολογιστούν ταυτόχρονα με άλλες τιμές χρησιμοποιώντας τύπους (4).

Κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτων, είναι συχνά απαραίτητο να λυθούν συστήματα εξισώσεων με έναν πίνακα που περιέχει ένας μεγάλος αριθμός απόμηδενικά στοιχεία.

Συνήθως αυτές οι μήτρες έχουν μια λεγόμενη δομή κορδέλας. Πιο συγκεκριμένα, ένας πίνακας Α ονομάζεται -διαγώνιος ή έχει δομή ζώνης εάν για . Ο αριθμός ονομάζεται πλάτος της ταινίας. Αποδεικνύεται ότι κατά την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων με έναν πίνακα λωρίδων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian, ο αριθμός των αριθμητικών πράξεων και η απαιτούμενη ποσότητα μνήμης υπολογιστή μπορούν να μειωθούν σημαντικά.

Εργασία 1. Διερευνήστε τα χαρακτηριστικά της μεθόδου Gauss και τη μέθοδο επίλυσης του συστήματος χρησιμοποιώντας την αποσύνθεση της μήτρας ζώνης Α στο γινόμενο αριστερών και δεξιών τριγωνικών πινάκων. Δείξτε ότι η εύρεση λύσης απαιτεί αριθμητικές πράξεις (για ). Εύρημα κύριο μέλοςαριθμός παρεχόμενων λειτουργιών.

Εργασία 2. Υπολογίστε την ποσότητα της φορτωμένης μνήμης του υπολογιστή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss για πίνακες ταινίας.

Κατά τον υπολογισμό χωρίς τη βοήθεια υπολογιστή, υπάρχει μεγάλη πιθανότητα τυχαία σφάλματα. Για την εξάλειψη τέτοιων σφαλμάτων, μερικές φορές εισάγεται ένα σύστημα ελέγχου, το οποίο αποτελείται από στοιχεία ελέγχουεξισώσεις του συστήματος

Κατά τον μετασχηματισμό των εξισώσεων, εκτελούνται οι ίδιες πράξεις στα στοιχεία ελέγχου όπως και στους ελεύθερους όρους των εξισώσεων. Ως αποτέλεσμα, το στοιχείο ελέγχου κάθε νέας εξίσωσης πρέπει να είναι ίσο με το άθροισμα των συντελεστών αυτής της εξίσωσης. Μια μεγάλη απόκλιση μεταξύ τους υποδηλώνει σφάλματα στους υπολογισμούς ή την αστάθεια του αλγορίθμου υπολογισμού σε σχέση με το υπολογιστικό σφάλμα.

Για παράδειγμα, στην περίπτωση αναγωγής ενός συστήματος εξισώσεων για να σχηματιστεί χρησιμοποιώντας τους τύπους (4), το στοιχείο ελέγχου καθεμιάς από τις εξισώσεις του συστήματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους ίδιους τύπους (4). Μετά τον υπολογισμό όλων των στοιχείων στο σταθερός έλεγχοςπραγματοποιείται με έλεγχο της ισότητας

Το αντίστροφο της μεθόδου Gauss συνοδεύεται επίσης από τον υπολογισμό των στοιχείων ελέγχου των γραμμών του συστήματος.

Για να αποφευχθεί η καταστροφική επίδραση του υπολογιστικού λάθους, χρησιμοποιείται η μέθοδος Gaussian με την επιλογή του κύριου στοιχείου.

Η διαφορά του από το σχήμα της μεθόδου Gauss που περιγράφηκε παραπάνω είναι η εξής. Αφήστε το σύστημα των εξισώσεων να ληφθεί εξαλείφοντας τους αγνώστους

Ας βρούμε κάτι που θα επαναπροσδιορίσουμε και ? Στη συνέχεια, θα εξαλείψουμε το άγνωστο από όλες τις εξισώσεις, ξεκινώντας με . Αυτός ο επαναπροσδιορισμός οδηγεί σε αλλαγή της σειράς εξάλειψης αγνώστων και, σε πολλές περιπτώσεις, μειώνει σημαντικά την ευαισθησία της λύσης σε σφάλματα στρογγυλοποίησης στους υπολογισμούς.

Συχνά είναι απαραίτητο να λυθούν πολλά συστήματα εξισώσεων με τον ίδιο πίνακα Α. Είναι βολικό να προχωρήσουμε ως εξής: εισάγοντας τον συμβολισμό

Ας πραγματοποιήσουμε υπολογισμούς χρησιμοποιώντας τους τύπους (4) και ας υπολογίσουμε τα στοιχεία στο . Ως αποτέλεσμα, θα ληφθούν p συστήματα εξισώσεων με τριγωνικό πίνακα που αντιστοιχεί στο αρχικό πρόβλημα

Επιλύουμε αυτά τα συστήματα το καθένα ξεχωριστά. Τελικά φαίνεται πως συνολικός αριθμός αριθμητικές πράξειςόταν λύνουμε p συστήματα εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο.

Η τεχνική που περιγράφεται παραπάνω χρησιμοποιείται μερικές φορές για να ληφθεί, χωρίς σημαντικό πρόσθετο κόστος, μια κρίση σχετικά με το σφάλμα απόφασης που προκύπτει από σφάλματα στρογγυλοποίησης στους υπολογισμούς. Καθορίζονται από ένα διάνυσμα z με συστατικά που έχουν, εάν είναι δυνατόν, την ίδια σειρά και πρόσημο με τα συστατικά της επιθυμητής λύσης. συχνά λόγω έλλειψης επαρκών πληροφοριών που λαμβάνουν . Το διάνυσμα υπολογίζεται και μαζί με το αρχικό σύστημα εξισώσεων, το σύστημα λύνεται.

Έστω και z είναι οι πραγματικά ληφθείσες λύσεις αυτών των συστημάτων. Μια κρίση σχετικά με το σφάλμα της επιθυμητής λύσης μπορεί να ληφθεί με βάση την υπόθεση: τα σχετικά σφάλματα κατά την επίλυση συστημάτων με τον ίδιο πίνακα και διαφορετικές δεξιές πλευρές, που είναι αντίστοιχα οι ποσότητες και η μέθοδος εξάλειψης, δεν διαφέρουν πολύ μεγάλος αριθμόςμια φορά.

Μια άλλη τεχνική για την απόκτηση μιας κρίσης σχετικά με το πραγματικό μέγεθος του σφάλματος που προκύπτει λόγω στρογγυλοποίησης στους υπολογισμούς είναι η αλλαγή της κλίμακας, αλλάζοντας την εικόνα της συσσώρευσης του υπολογιστικού σφάλματος.

Μαζί με το αρχικό σύστημα, το σύστημα επιλύεται χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο

Όταν και δεν είναι ακέραιες δυνάμεις δύο, η σύγκριση των διανυσμάτων δίνει μια ιδέα για το μέγεθος του υπολογιστικού σφάλματος. Για παράδειγμα, μπορείτε να πάρετε .

Η μελέτη πολλών προβλημάτων οδηγεί στην ανάγκη επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με συμμετρικό θετικό καθορισμένο πίνακα. Τέτοια συστήματα προκύπτουν, για παράδειγμα, κατά την επίλυση διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων ή τις μεθόδους πεπερασμένων διαφορών. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η μήτρα συστήματος έχει επίσης δομή κορδέλας.

Για την επίλυση τέτοιων συστημάτων, καθώς και συστημάτων εξισώσεων γενικότερης μορφής με ερμιτικό πίνακα που δεν είναι απαραίτητα θετικός ορισμένος, χρησιμοποιείται η μέθοδος τετραγωνική ρίζα(μέθοδος Cholesky). Ο πίνακας Α αναπαρίσταται ως

όπου S είναι ένας ορθογώνιος τριγωνικός πίνακας και το συζυγές του, δηλ.

όπου τα πάντα είναι ένας διαγώνιος πίνακας με στοιχεία ίσα με ή -1. Η ισότητα του πίνακα (6) σχηματίζει ένα σύστημα εξισώσεων

Παρόμοιες εξισώσεις για απορρίπτονται, αφού οι εξισώσεις που αντιστοιχούν στα ζεύγη και είναι ισοδύναμες. Από εδώ παίρνουμε τύποι υποτροπήςγια να ορίσετε τα στοιχεία και:

Ο πίνακας S είναι ορθογώνιος και έτσι, αφού ληφθεί η παράσταση (6), η λύση στο αρχικό σύστημα μειώνεται επίσης σε Συνεπής λύσηδύο συστήματα με τριγωνικούς πίνακες. Σημειώστε ότι στην περίπτωση των πάντων και .

Πρόβλημα 3. Υπολογίστε τον αριθμό των αριθμητικών πράξεων και το φορτίο μνήμης του υπολογιστή (υπό την προϋπόθεση ότι μειώνεται η ποσότητα μνήμης που απαιτείται για την απομνημόνευση του πίνακα Α) όταν λύνετε ένα σύστημα με πραγματικό θετικό καθορισμένο πίνακα Α χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της τετραγωνικής ρίζας.

Πολλά πακέτα λογισμικού εφαρμογών για την επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών της μαθηματικής φυσικής χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων οργανώνονται σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα. Αφού σχηματιστεί η μήτρα του συστήματος Α με αναδιάταξη σειρών και στηλών (και οι δύο σειρές και οι στήλες αναδιατάσσονται ταυτόχρονα), το σύστημα μετατρέπεται στη φόρμα με το μικρότερο πλάτος ταινίας. Στη συνέχεια, εφαρμόζεται η μέθοδος της τετραγωνικής ρίζας. Σε αυτήν την περίπτωση, προκειμένου να μειωθεί ο αριθμός των υπολογισμών κατά την επίλυση ενός συστήματος με άλλες δεξιές πλευρές, ο πίνακας S απομνημονεύεται.

Σε αυτό το άρθρο, η μέθοδος θεωρείται ως μέθοδος επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων (SLAE). Η μέθοδος είναι αναλυτική, δηλαδή σας επιτρέπει να γράψετε έναν αλγόριθμο λύσης γενική εικόνακαι, στη συνέχεια, αντικαταστήστε τις τιμές από συγκεκριμένα παραδείγματα εκεί. Σε αντίθεση με τη μέθοδο του πίνακα ή τους τύπους του Cramer, όταν λύνετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss, μπορείτε επίσης να εργαστείτε με εκείνες που έχουν άπειρο αριθμό λύσεων. Ή δεν το έχουν καθόλου.

Τι σημαίνει η επίλυση με τη μέθοδο Gaussian;

Αρχικά, πρέπει να γράψουμε το σύστημα των εξισώσεων μας στο Φαίνεται κάπως έτσι. Πάρτε το σύστημα:

Οι συντελεστές γράφονται με τη μορφή πίνακα και οι ελεύθεροι όροι γράφονται σε ξεχωριστή στήλη στα δεξιά. Η στήλη με τους ελεύθερους όρους διαχωρίζεται για ευκολία.Η μήτρα που περιλαμβάνει αυτή τη στήλη ονομάζεται εκτεταμένη.

Στη συνέχεια, ο κύριος πίνακας με τους συντελεστές πρέπει να μειωθεί σε μια ανώτερη τριγωνική μορφή. Αυτό είναι το κύριο σημείο επίλυσης του συστήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss. Με απλά λόγια, μετά από ορισμένους χειρισμούς, η μήτρα θα πρέπει να φαίνεται έτσι ώστε το κάτω αριστερό τμήμα της να περιέχει μόνο μηδενικά:

Στη συνέχεια, αν γράψετε ξανά τον νέο πίνακα ως σύστημα εξισώσεων, θα παρατηρήσετε ότι η τελευταία σειρά περιέχει ήδη την τιμή μιας από τις ρίζες, η οποία στη συνέχεια αντικαθίσταται στην παραπάνω εξίσωση, βρίσκεται μια άλλη ρίζα κ.ο.κ.

Αυτή είναι μια περιγραφή της λύσης με τη μέθοδο Gaussian κατά πολύ γενικό περίγραμμα. Τι θα συμβεί αν ξαφνικά το σύστημα δεν έχει λύση; Ή είναι άπειρα πολλά από αυτά; Για να απαντήσουμε σε αυτές και σε πολλές άλλες ερωτήσεις, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε ξεχωριστά όλα τα στοιχεία που χρησιμοποιούνται για την επίλυση της μεθόδου Gauss.

Πίνακες, οι ιδιότητές τους

Κανένας κρυφό νόημαόχι στη μήτρα. Αυτός είναι απλώς ένας βολικός τρόπος καταγραφής δεδομένων για επακόλουθες λειτουργίες με αυτό. Ακόμη και οι μαθητές δεν χρειάζεται να τους φοβούνται.

Η μήτρα είναι πάντα ορθογώνια, γιατί είναι πιο βολική. Ακόμη και στη μέθοδο Gaussian, όπου όλα καταλήγουν στην κατασκευή μιας μήτρας τριγωνική εμφάνιση, το λήμμα περιέχει ένα ορθογώνιο, μόνο με μηδενικά στο σημείο που δεν υπάρχουν αριθμοί. Τα μηδενικά μπορεί να μην γράφονται, αλλά υπονοούνται.

Η μήτρα έχει μέγεθος. Το "πλάτος" του είναι ο αριθμός των σειρών (m), το "μήκος" είναι ο αριθμός των στηλών (n). Στη συνέχεια, το μέγεθος του πίνακα A (για τη συμβολή τους συνήθως χρησιμοποιούνται κεφαλαία γράμματα) γράμματα) θα συμβολίζεται ως A m×n. Αν m=n, τότε αυτός ο πίνακας είναι τετράγωνος και m=n είναι η σειρά του. Αντίστοιχα, οποιοδήποτε στοιχείο του πίνακα Α μπορεί να συμβολιστεί με τους αριθμούς σειρών και στηλών του: a xy ; x - αριθμός σειράς, αλλαγές, y - αριθμός στήλης, αλλαγές.

Το Β δεν είναι το κύριο σημείο της απόφασης. Κατ 'αρχήν, όλες οι λειτουργίες μπορούν να εκτελεστούν απευθείας με τις ίδιες τις εξισώσεις, αλλά η σημείωση θα είναι πολύ πιο περίπλοκη και θα είναι πολύ πιο εύκολο να μπερδευτείτε σε αυτήν.

Καθοριστικός

Ο πίνακας έχει επίσης μια ορίζουσα. Αυτό είναι πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό. Δεν χρειάζεται να μάθετε τη σημασία του τώρα· μπορείτε απλώς να δείξετε πώς υπολογίζεται και στη συνέχεια να πείτε ποιες ιδιότητες του πίνακα καθορίζει. Ο ευκολότερος τρόπος για να βρείτε την ορίζουσα είναι μέσω διαγωνίων. Οι φανταστικές διαγώνιοι σχεδιάζονται στον πίνακα. τα στοιχεία που βρίσκονται σε καθένα από αυτά πολλαπλασιάζονται και στη συνέχεια προστίθενται τα προϊόντα που προκύπτουν: διαγώνιες με κλίση προς τα δεξιά - με σύμβολο συν, με κλίση προς τα αριστερά - με σύμβολο μείον.

Είναι εξαιρετικά σημαντικό να σημειωθεί ότι η ορίζουσα μπορεί να υπολογιστεί μόνο για έναν τετραγωνικό πίνακα. Για ορθογώνια μήτραμπορείτε να κάνετε τα εξής: από τον αριθμό των γραμμών και τον αριθμό των στηλών, επιλέξτε τη μικρότερη (ας είναι k) και, στη συνέχεια, σημειώστε τυχαία k στήλες και k σειρές στον πίνακα. Τα στοιχεία που βρίσκονται στη διασταύρωση των επιλεγμένων στηλών και γραμμών θα σχηματίσουν ένα νέο τετραγωνική μήτρα. Εάν η ορίζουσα ενός τέτοιου πίνακα είναι ένας μη μηδενικός αριθμός, ονομάζεται ελάσσονα βάσης του αρχικού ορθογώνιου πίνακα.

Πριν ξεκινήσετε να λύνετε ένα σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian, δεν βλάπτει να υπολογίσετε την ορίζουσα. Εάν αποδειχθεί μηδέν, τότε μπορούμε αμέσως να πούμε ότι ο πίνακας έχει είτε άπειρο αριθμό λύσεων είτε καμία απολύτως. Σε μια τέτοια θλιβερή περίπτωση, πρέπει να προχωρήσετε περαιτέρω και να μάθετε για την κατάταξη του πίνακα.

Ταξινόμηση συστήματος

Υπάρχει κάτι όπως η κατάταξη μιας μήτρας. Αυτή είναι η μέγιστη τάξη της μη μηδενικής ορίζοντάς της (αν θυμόμαστε περίπου βασικό μικρό, μπορούμε να πούμε ότι η κατάταξη του πίνακα είναι η σειρά του βασικού ελάσσονος).

Με βάση την κατάσταση με την κατάταξη, το SLAE μπορεί να χωριστεί σε:

• Αρθρωση. UΣτα κοινά συστήματα, η κατάταξη του κύριου πίνακα (που αποτελείται μόνο από συντελεστές) συμπίπτει με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα (με μια στήλη ελεύθερων όρων). Τέτοια συστήματα έχουν λύση, αλλά όχι απαραίτητα, άρα επιπλέον συστήματα αρθρώσεωνδιαιρείται σε:
• - βέβαιος- έχοντας μια ενιαία λύση. Σε ορισμένα συστήματα, η κατάταξη του πίνακα και ο αριθμός των αγνώστων (ή ο αριθμός των στηλών, που είναι το ίδιο πράγμα) είναι ίσοι.
• - απροσδιόριστο -με άπειρο αριθμό λύσεων. Η κατάταξη των πινάκων σε τέτοια συστήματα είναι μικρότερη από τον αριθμό των αγνώστων.
• Ασύμβατες. UΣε τέτοια συστήματα, οι τάξεις των κύριων και εκτεταμένων πινάκων δεν συμπίπτουν. Τα ασύμβατα συστήματα δεν έχουν λύση.

Η μέθοδος Gauss είναι καλή γιατί κατά τη διάρκεια της λύσης επιτρέπει σε κάποιον να αποκτήσει είτε μια ξεκάθαρη απόδειξη της ασυνέπειας του συστήματος (χωρίς να υπολογίζονται οι ορίζουσες μεγάλων πινάκων), είτε μια λύση σε γενική μορφή για ένα σύστημα με άπειρο αριθμό λύσεων.

Στοιχειώδεις μεταμορφώσεις

Πριν προχωρήσετε απευθείας στην επίλυση του συστήματος, μπορείτε να το κάνετε λιγότερο περίπλοκο και πιο βολικό για υπολογισμούς. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω στοιχειώδεις μεταμορφώσεις- έτσι ώστε η εφαρμογή τους να μην αλλάζει με κανέναν τρόπο την τελική απάντηση. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι ορισμένοι από τους δεδομένους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς ισχύουν μόνο για πίνακες, η πηγή των οποίων ήταν το SLAE. Ακολουθεί μια λίστα με αυτούς τους μετασχηματισμούς:

1. Αναδιάταξη γραμμών. Προφανώς, εάν αλλάξετε τη σειρά των εξισώσεων στην εγγραφή συστήματος, αυτό δεν θα επηρεάσει τη λύση με κανέναν τρόπο. Κατά συνέπεια, οι σειρές στη μήτρα αυτού του συστήματος μπορούν επίσης να ανταλλάσσονται, χωρίς φυσικά να ξεχνάμε τη στήλη των ελεύθερων όρων.
2. Πολλαπλασιάζοντας όλα τα στοιχεία μιας συμβολοσειράς με έναν συγκεκριμένο συντελεστή. Πολύ χρήσιμο! Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μείωση μεγάλων αριθμών σε έναν πίνακα ή την αφαίρεση μηδενικών. Πολλές αποφάσεις, ως συνήθως, δεν θα αλλάξουν, αλλά οι περαιτέρω λειτουργίες θα γίνουν πιο βολικές. Το κύριο πράγμα είναι ότι ο συντελεστής δεν είναι ίσος με μηδέν.
3. Αφαίρεση σειρών με αναλογικούς παράγοντες. Αυτό προκύπτει εν μέρει από την προηγούμενη παράγραφο. Εάν δύο ή περισσότερες σειρές σε έναν πίνακα έχουν αναλογικούς συντελεστές, τότε όταν μία από τις σειρές πολλαπλασιαστεί/διαιρεθεί με τον συντελεστή αναλογικότητας, προκύπτουν δύο (ή, πάλι, περισσότερες) απολύτως ίδιες σειρές και οι επιπλέον μπορούν να αφαιρεθούν, αφήνοντας μόνο ένα.
4. Αφαίρεση μηδενικής γραμμής. Εάν, κατά τη διάρκεια του μετασχηματισμού, λαμβάνεται μια σειρά κάπου στην οποία όλα τα στοιχεία, συμπεριλαμβανομένου του ελεύθερου μέλους, είναι μηδέν, τότε μια τέτοια σειρά μπορεί να ονομαστεί μηδέν και να πεταχτεί έξω από τη μήτρα.
5. Προσθέτοντας στα στοιχεία μιας σειράς τα στοιχεία μιας άλλης (στις αντίστοιχες στήλες), πολλαπλασιαζόμενα με έναν ορισμένο συντελεστή. Η πιο αφανής και πιο σημαντική μεταμόρφωση όλων. Αξίζει να σταθούμε σε αυτό με περισσότερες λεπτομέρειες.

Προσθήκη συμβολοσειράς πολλαπλασιασμένη με έναν παράγοντα

Για ευκολία κατανόησης, αξίζει να αναλύσουμε αυτή τη διαδικασία βήμα προς βήμα. Δύο σειρές λαμβάνονται από τον πίνακα:

a 11 a 12 ... a 1n | β1

a 21 a 22 ... a 2n | β 2

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να προσθέσετε το πρώτο στο δεύτερο, πολλαπλασιασμένο με τον συντελεστή "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Στη συνέχεια, η δεύτερη σειρά στη μήτρα αντικαθίσταται με μια νέα και η πρώτη παραμένει αμετάβλητη.

a 11 a 12 ... a 1n | β1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Πρέπει να σημειωθεί ότι ο συντελεστής πολλαπλασιασμού μπορεί να επιλεγεί με τέτοιο τρόπο ώστε, ως αποτέλεσμα της προσθήκης δύο σειρών, ένα από τα στοιχεία της νέας σειράς να είναι ίσο με μηδέν. Επομένως, είναι δυνατό να ληφθεί μια εξίσωση σε ένα σύστημα όπου θα υπάρχει ένας λιγότερο άγνωστος. Και αν λάβετε δύο τέτοιες εξισώσεις, τότε η πράξη μπορεί να γίνει ξανά και να πάρετε μια εξίσωση που θα περιέχει δύο λιγότερους αγνώστους. Και αν κάθε φορά μηδενίζετε έναν συντελεστή από όλες τις σειρές που είναι κάτω από την αρχική, τότε μπορείτε, σαν σκάλες, να κατεβείτε στο κάτω μέρος του πίνακα και να πάρετε μια εξίσωση με έναν άγνωστο. Αυτό ονομάζεται επίλυση του συστήματος με τη χρήση της μεθόδου Gauss.

Γενικά

Ας υπάρχει σύστημα. Έχει m εξισώσεις και n άγνωστες ρίζες. Μπορείτε να το γράψετε ως εξής:

Ο κύριος πίνακας καταρτίζεται από τους συντελεστές του συστήματος. Μια στήλη ελεύθερων όρων προστίθεται στον εκτεταμένο πίνακα και, για ευκολία, χωρίζεται με μια γραμμή.

• η πρώτη σειρά του πίνακα πολλαπλασιάζεται με τον συντελεστή k = (-a 21 /a 11).
• Η πρώτη τροποποιημένη σειρά και η δεύτερη σειρά του πίνακα προστίθενται.
• αντί για τη δεύτερη σειρά, το αποτέλεσμα της προσθήκης από την προηγούμενη παράγραφο εισάγεται στη μήτρα.
• τώρα ο πρώτος συντελεστής σε νέο δεύτεροΗ γραμμή είναι 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Τώρα εκτελείται η ίδια σειρά μετασχηματισμών, εμπλέκονται μόνο η πρώτη και η τρίτη σειρά. Αντίστοιχα, σε κάθε βήμα του αλγορίθμου, το στοιχείο a 21 αντικαθίσταται από ένα 31. Στη συνέχεια όλα επαναλαμβάνονται για ένα 41, ... ένα m1. Το αποτέλεσμα είναι ένας πίνακας όπου το πρώτο στοιχείο στις σειρές είναι μηδέν. Τώρα πρέπει να ξεχάσετε τη γραμμή νούμερο ένα και να εκτελέσετε τον ίδιο αλγόριθμο, ξεκινώντας από τη γραμμή δύο:

• συντελεστής k = (-a 32 /a 22);
• η δεύτερη τροποποιημένη γραμμή προστίθεται στην "τρέχουσα" γραμμή.
• το αποτέλεσμα της προσθήκης αντικαθίσταται στην τρίτη, τέταρτη και ούτω καθεξής γραμμές, ενώ η πρώτη και η δεύτερη παραμένουν αμετάβλητες.
• στις σειρές του πίνακα τα δύο πρώτα στοιχεία είναι ήδη ίσα με μηδέν.

Ο αλγόριθμος πρέπει να επαναληφθεί μέχρι να εμφανιστεί ο συντελεστής k = (-a m,m-1 /a mm). Αυτό σημαίνει ότι η τελευταία φορά που εκτελέστηκε ο αλγόριθμος ήταν μόνο για την κάτω εξίσωση. Τώρα η μήτρα μοιάζει με τρίγωνο ή έχει βαθμιδωτό σχήμα. Στην κάτω γραμμή υπάρχει η ισότητα a mn × x n = b m. Ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι γνωστοί και η ρίζα εκφράζεται μέσω αυτών: x n = b m /a mn. Η προκύπτουσα ρίζα αντικαθίσταται στην επάνω γραμμή για να βρεθεί x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Και ούτω καθεξής κατ' αναλογία: σε κάθε επόμενη γραμμή υπάρχει νέα ρίζα, και, έχοντας φτάσει στην «κορυφή» του συστήματος, μπορεί κανείς να βρει πολλές λύσεις. Θα είναι το μόνο.

Όταν δεν υπάρχουν λύσεις

Αν σε ένα από σειρές μήτραςόλα τα στοιχεία εκτός από τον ελεύθερο όρο είναι ίσα με μηδέν, τότε η εξίσωση που αντιστοιχεί σε αυτή τη γραμμή μοιάζει με 0 = b. Δεν έχει λύση. Και αφού μια τέτοια εξίσωση περιλαμβάνεται στο σύστημα, τότε το σύνολο των λύσεων ολόκληρου του συστήματος είναι κενό, είναι δηλαδή εκφυλισμένο.

Όταν υπάρχει άπειρος αριθμός λύσεων

Μπορεί να συμβεί στον δεδομένο τριγωνικό πίνακα να μην υπάρχουν σειρές με ένα στοιχείο συντελεστή της εξίσωσης και έναν ελεύθερο όρο. Υπάρχουν μόνο γραμμές που, όταν ξαναγραφούν, θα μοιάζουν με εξίσωση με δύο ή περισσότερες μεταβλητές. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων. Σε αυτή την περίπτωση, η απάντηση μπορεί να δοθεί με τη μορφή γενικής λύσης. Πως να το κάνεις?

Όλες οι μεταβλητές στον πίνακα χωρίζονται σε βασικές και ελεύθερες. Τα βασικά είναι αυτά που στέκονται «στην άκρη» των γραμμών μέσα μήτρα βημάτων. Τα υπόλοιπα είναι δωρεάν. Στη γενική λύση, οι βασικές μεταβλητές γράφονται μέσω ελεύθερων.

Για ευκολία, ο πίνακας ξαναγράφεται πρώτα σε ένα σύστημα εξισώσεων. Στη συνέχεια, στην τελευταία από αυτές, όπου ακριβώς μένει μόνο μία βασική μεταβλητή, αυτή παραμένει στη μία πλευρά και όλα τα άλλα μεταφέρονται στην άλλη. Αυτό γίνεται για κάθε εξίσωση με μία βασική μεταβλητή. Στη συνέχεια, στις υπόλοιπες εξισώσεις, όπου είναι δυνατόν, η έκφραση που προκύπτει για αυτό αντικαθίσταται αντί της βασικής μεταβλητής. Εάν το αποτέλεσμα είναι πάλι μια παράσταση που περιέχει μόνο μία βασική μεταβλητή, εκφράζεται ξανά από εκεί και ούτω καθεξής, έως ότου κάθε βασική μεταβλητή γραφτεί ως έκφραση με ελεύθερες μεταβλητές. Αυτό είναι κοινή απόφαση SLAU.

Μπορείτε επίσης να βρείτε τη βασική λύση του συστήματος - δώστε στις δωρεάν μεταβλητές οποιεσδήποτε τιμές και, στη συνέχεια, για τη συγκεκριμένη περίπτωση υπολογίστε τις τιμές των βασικών μεταβλητών. Υπάρχει ένας άπειρος αριθμός συγκεκριμένων λύσεων που μπορούν να δοθούν.

Λύση με συγκεκριμένα παραδείγματα

Εδώ είναι ένα σύστημα εξισώσεων.

Για ευκολία, είναι καλύτερο να δημιουργήσετε αμέσως τη μήτρα του

Είναι γνωστό ότι όταν λυθεί με τη μέθοδο Gauss, η εξίσωση που αντιστοιχεί στην πρώτη σειρά θα παραμείνει αμετάβλητη στο τέλος των μετασχηματισμών. Επομένως, θα είναι πιο κερδοφόρο εάν το επάνω αριστερό στοιχείο της μήτρας είναι το μικρότερο - τότε τα πρώτα στοιχεία των υπόλοιπων σειρών μετά τις πράξεις θα μετατραπούν στο μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι στον μεταγλωττισμένο πίνακα θα είναι πλεονεκτικό να τοποθετηθεί η δεύτερη σειρά στη θέση της πρώτης.

δεύτερη γραμμή: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

τρίτη γραμμή: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Τώρα, για να μην μπερδευτείτε, πρέπει να γράψετε τη μήτρα με ενδιάμεσα αποτελέσματαμεταμορφώσεις.

Προφανώς, ένας τέτοιος πίνακας μπορεί να γίνει πιο βολικός για την αντίληψη χρησιμοποιώντας ορισμένες λειτουργίες. Για παράδειγμα, μπορείτε να αφαιρέσετε όλα τα "πλην" από τη δεύτερη γραμμή πολλαπλασιάζοντας κάθε στοιχείο με "-1".

Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι στην τρίτη γραμμή όλα τα στοιχεία είναι πολλαπλάσια των τριών. Στη συνέχεια, μπορείτε να συντομεύσετε τη γραμμή κατά αυτόν τον αριθμό, πολλαπλασιάζοντας κάθε στοιχείο με "-1/3" (μείον - ταυτόχρονα, για να αφαιρέσετε αρνητικές τιμές).

Φαίνεται πολύ πιο ωραίο. Τώρα πρέπει να αφήσουμε ήσυχη την πρώτη γραμμή και να δουλέψουμε με τη δεύτερη και την τρίτη. Το καθήκον είναι να προσθέσουμε τη δεύτερη γραμμή στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιασμένη με έναν τέτοιο συντελεστή ώστε το στοιχείο a 32 να γίνει ίσο με μηδέν.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (εάν κατά τη διάρκεια ορισμένων μετασχηματισμών η απάντηση δεν αποδειχθεί ακέραιος, συνιστάται να διατηρηθεί η ακρίβεια των υπολογισμών προς αποχώρηση είναι «ως έχει», με τη μορφή συνηθισμένων κλασμάτων και μόνο τότε, όταν ληφθούν οι απαντήσεις, αποφασίστε εάν θα στρογγυλοποιήσετε και θα μετατρέψετε σε άλλη μορφή εγγραφής)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Ο πίνακας γράφεται ξανά με νέες τιμές.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Όπως μπορείτε να δείτε, ο προκύπτων πίνακας έχει ήδη κλιμακωτή όψη. Επομένως, δεν απαιτούνται περαιτέρω μετασχηματισμοί του συστήματος με τη μέθοδο Gaussian. Αυτό που μπορεί να γίνει εδώ είναι να αφαιρεθεί από την τρίτη γραμμή συνολικός συντελεστής "-1/7".

Τώρα όλα είναι όμορφα. Το μόνο που μένει να κάνετε είναι να γράψετε ξανά τον πίνακα με τη μορφή ενός συστήματος εξισώσεων και να υπολογίσετε τις ρίζες

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Ο αλγόριθμος με τον οποίο θα βρεθούν τώρα οι ρίζες ονομάζεται αντίστροφη κίνηση στη μέθοδο Gauss. Η εξίσωση (3) περιέχει την τιμή z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Και η πρώτη εξίσωση μας επιτρέπει να βρούμε το x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Έχουμε το δικαίωμα να ονομάσουμε ένα τέτοιο σύστημα κοινό, και μάλιστα οριστικό, δηλαδή να έχει μια μοναδική λύση. Η απάντηση γράφεται με την ακόλουθη μορφή:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Παράδειγμα αβέβαιου συστήματος

Επιλογή λύσης ένα ορισμένο σύστημααναλύεται με τη μέθοδο Gaussian, τώρα είναι απαραίτητο να εξεταστεί η περίπτωση εάν το σύστημα είναι αβέβαιο, δηλαδή, μπορούν να βρεθούν άπειρες λύσεις για αυτό.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Η ίδια η εμφάνιση του συστήματος είναι ήδη ανησυχητική, επειδή ο αριθμός των αγνώστων είναι n = 5 και η κατάταξη του πίνακα συστήματος είναι ήδη ακριβώς μικρότερη από αυτόν τον αριθμό, επειδή ο αριθμός των σειρών είναι m = 4, δηλαδή υψηλότερη τάξηη τετράγωνη ορίζουσα είναι 4. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν λύσεις άπειρο σύνολο, και πρέπει να αναζητήσουμε τη γενική του εμφάνιση. Η μέθοδος Gauss για γραμμικές εξισώσεις σας επιτρέπει να το κάνετε αυτό.

Αρχικά, ως συνήθως, συντάσσεται ένας εκτεταμένος πίνακας.

Δεύτερη γραμμή: συντελεστής k = (-a 21 /a 11) = -3. Στην τρίτη γραμμή, το πρώτο στοιχείο είναι πριν από τους μετασχηματισμούς, επομένως δεν χρειάζεται να αγγίξετε τίποτα, πρέπει να το αφήσετε ως έχει. Τέταρτη γραμμή: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία της πρώτης σειράς με κάθε έναν από τους συντελεστές τους με τη σειρά και προσθέτοντάς τα στις απαιτούμενες σειρές, παίρνουμε τον πίνακα τον παρακάτω τύπο:

Όπως μπορείτε να δείτε, η δεύτερη, η τρίτη και η τέταρτη σειρά αποτελούνται από στοιχεία ανάλογα μεταξύ τους. Το δεύτερο και το τέταρτο είναι γενικά πανομοιότυπα, επομένως ένα από αυτά μπορεί να αφαιρεθεί αμέσως, και το υπόλοιπο μπορεί να πολλαπλασιαστεί με τον συντελεστή "-1" και να πάρει τη γραμμή 3. Και πάλι, από δύο όμοιες γραμμές, αφήστε μία.

Το αποτέλεσμα είναι ένας τέτοιος πίνακας. Ενώ το σύστημα δεν έχει ακόμη καταγραφεί, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι βασικές μεταβλητές εδώ - αυτές που βρίσκονται στους συντελεστές a 11 = 1 και a 22 = 1, και οι ελεύθερες - όλες οι υπόλοιπες.

Στη δεύτερη εξίσωση υπάρχει μόνο μία βασική μεταβλητή - x 2. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να εκφραστεί από εκεί γράφοντάς το μέσω των μεταβλητών x 3 , x 4 , x 5 , οι οποίες είναι ελεύθερες.

Αντικαθιστούμε την έκφραση που προκύπτει στην πρώτη εξίσωση.

Το αποτέλεσμα είναι μια εξίσωση στην οποία η μόνη βασική μεταβλητή είναι x 1 . Ας κάνουμε το ίδιο με το x 2.

Όλες οι βασικές μεταβλητές, από τις οποίες υπάρχουν δύο, εκφράζονται ως τρεις ελεύθερες· τώρα μπορούμε να γράψουμε την απάντηση σε γενική μορφή.

Μπορείτε επίσης να καθορίσετε μία από τις συγκεκριμένες λύσεις του συστήματος. Για τέτοιες περιπτώσεις, συνήθως επιλέγονται μηδενικά ως τιμές για ελεύθερες μεταβλητές. Τότε η απάντηση θα είναι:

16, 23, 0, 0, 0.

Παράδειγμα μη συνεργατικού συστήματος

Η επίλυση ασυμβίβαστων συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss είναι η ταχύτερη. Τελειώνει αμέσως μόλις σε ένα από τα στάδια προκύψει μια εξίσωση που δεν έχει λύση. Δηλαδή, εξαλείφεται το στάδιο του υπολογισμού των ριζών, που είναι αρκετά μεγάλο και κουραστικό. Θεωρείται το ακόλουθο σύστημα:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ως συνήθως, η μήτρα συντάσσεται:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Και μειώνεται σε μια σταδιακή μορφή:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Μετά τον πρώτο μετασχηματισμό, η τρίτη γραμμή περιέχει μια εξίσωση της μορφής

χωρίς λύση. Κατά συνέπεια, το σύστημα είναι ασυνεπές και η απάντηση θα είναι το κενό σύνολο.

Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα της μεθόδου

Εάν επιλέξετε ποια μέθοδο θα επιλύσετε SLAE σε χαρτί με στυλό, τότε η μέθοδος που συζητήθηκε σε αυτό το άρθρο φαίνεται η πιο ελκυστική. Είναι πολύ πιο δύσκολο να μπερδευτείτε σε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς από ό,τι εάν πρέπει να αναζητήσετε με μη αυτόματο τρόπο έναν προσδιοριστή ή κάποιον δύσκολο αντίστροφο πίνακα. Ωστόσο, εάν χρησιμοποιείτε προγράμματα για να εργαστείτε με αυτόν τον τύπο δεδομένων, για παράδειγμα, ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΦΥΛΛΑ, τότε αποδεικνύεται ότι τέτοια προγράμματα περιέχουν ήδη αλγόριθμους για τον υπολογισμό των κύριων παραμέτρων των πινάκων - ορίζουσα, δευτερεύουσες, αντίστροφες και ούτω καθεξής. Και αν είστε βέβαιοι ότι το μηχάνημα θα υπολογίσει μόνο του αυτές τις τιμές και δεν θα κάνει λάθος, συνιστάται να χρησιμοποιήσετε μέθοδος μήτραςή τύπους Cramer, επειδή η εφαρμογή τους αρχίζει και τελειώνει με τον υπολογισμό των οριζόντων και αντίστροφοι πίνακες.

Εφαρμογή

Δεδομένου ότι η λύση Gaussian είναι ένας αλγόριθμος και ο πίνακας είναι στην πραγματικότητα ένας δισδιάστατος πίνακας, μπορεί να χρησιμοποιηθεί στον προγραμματισμό. Αλλά επειδή το άρθρο τοποθετείται ως οδηγός "για ανδρείκελα", θα πρέπει να ειπωθεί ότι το πιο εύκολο μέρος για να τοποθετήσετε τη μέθοδο είναι τα υπολογιστικά φύλλα, για παράδειγμα, το Excel. Και πάλι, κάθε SLAE που εισάγεται σε έναν πίνακα με τη μορφή πίνακα θα θεωρείται από το Excel ως ένας δισδιάστατος πίνακας. Και για πράξεις με αυτά υπάρχουν πολλές ωραίες εντολές: πρόσθεση (μπορείτε να προσθέσετε μόνο πίνακες του ίδιου μεγέθους!), πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό, πολλαπλασιασμός πινάκων (επίσης με ορισμένους περιορισμούς), εύρεση των αντίστροφων και μεταφερόμενων πινάκων και, το πιο σημαντικό , υπολογίζοντας την ορίζουσα. Εάν αυτή η χρονοβόρα εργασία αντικατασταθεί από μία μόνο εντολή, είναι δυνατό να προσδιοριστεί η κατάταξη της μήτρας πολύ πιο γρήγορα και, επομένως, να διαπιστωθεί η συμβατότητα ή η ασυμβατότητά της.

Έστω το σύστημα Δ≠0. (1)
Μέθοδος Gaussείναι μια μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων.

Η ουσία της μεθόδου Gauss είναι ο μετασχηματισμός (1) σε ένα σύστημα με τριγωνικό πίνακα, από τον οποίο λαμβάνονται διαδοχικά οι τιμές όλων των αγνώστων (αντίστροφα). Ας εξετάσουμε ένα από τα υπολογιστικά σχήματα. Αυτό το κύκλωμα ονομάζεται κύκλωμα μονής διαίρεσης. Ας δούμε λοιπόν αυτό το διάγραμμα. Έστω ένα 11 ≠0 (κύριο στοιχείο) να διαιρέσει την πρώτη εξίσωση με το 11. Παίρνουμε
(2)
Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (2), είναι εύκολο να εξαλειφθούν οι άγνωστοι x 1 από τις υπόλοιπες εξισώσεις του συστήματος (για να γίνει αυτό, αρκεί να αφαιρέσουμε την εξίσωση (2) από κάθε εξίσωση, πολλαπλασιασμένη προηγουμένως με τον αντίστοιχο συντελεστή για x 1) , δηλαδή στο πρώτο βήμα αποκτούμε
.
Με άλλα λόγια, στο βήμα 1, κάθε στοιχείο των επόμενων σειρών, ξεκινώντας από τη δεύτερη, ισούται με τη διαφορά μεταξύ του αρχικού στοιχείου και του γινόμενου της «προβολής» του στην πρώτη στήλη και στην πρώτη (μετασχηματισμένη) σειρά.
Μετά από αυτό, αφήνοντας μόνη την πρώτη εξίσωση, εκτελούμε έναν παρόμοιο μετασχηματισμό στις υπόλοιπες εξισώσεις του συστήματος που λήφθηκαν στο πρώτο βήμα: επιλέγουμε από αυτές την εξίσωση με το κύριο στοιχείο και, με τη βοήθειά του, αποκλείουμε το x 2 από το υπόλοιπο εξισώσεις (βήμα 2).
Μετά από n βήματα, αντί για (1) παίρνουμε ισοδύναμο σύστημα
(3)
Έτσι, στο πρώτο στάδιο παίρνουμε ένα τριγωνικό σύστημα (3). Αυτό το στάδιο ονομάζεται εμπρόσθιο εγκεφαλικό επεισόδιο.
Στο δεύτερο στάδιο (αντίστροφα), βρίσκουμε διαδοχικά από το (3) τις τιμές x n, x n -1, ..., x 1.
Ας συμβολίσουμε τη λύση που προκύπτει ως x 0 . Τότε η διαφορά ε=b-A x 0 που ονομάζεται υπολειπόμενο.
Αν ε=0, τότε η ευρεθείσα λύση x 0 είναι σωστή.

Οι υπολογισμοί με τη μέθοδο Gaussian γίνονται σε δύο στάδια:

1. Το πρώτο στάδιο ονομάζεται μέθοδος προώθησης. Στο πρώτο στάδιο, το αρχικό σύστημα μετατρέπεται σε τριγωνική μορφή.
2. Το δεύτερο στάδιο ονομάζεται αντίστροφο εγκεφαλικό επεισόδιο. Στο δεύτερο στάδιο, επιλύεται ένα τριγωνικό σύστημα ισοδύναμο με το αρχικό.

Οι συντελεστές a 11, a 22, ... ονομάζονται κύρια στοιχεία.
Σε κάθε βήμα, το βασικό στοιχείο θεωρήθηκε ότι είναι μη μηδενικό. Εάν αυτό δεν συμβαίνει, τότε οποιοδήποτε άλλο στοιχείο μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως κύριο στοιχείο, σαν να αναδιατάσσει τις εξισώσεις του συστήματος.

Σκοπός της μεθόδου Gauss

Η μέθοδος Gauss έχει σχεδιαστεί για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Αναφέρεται σε μεθόδους άμεσης λύσης.

Τύποι μεθόδου Gauss

1. Κλασική Gaussian μέθοδος;
2. Τροποποιήσεις της μεθόδου Gauss. Μία από τις τροποποιήσεις της μεθόδου Gauss είναι ένα σχήμα με την επιλογή του κύριου στοιχείου. Ένα χαρακτηριστικό της μεθόδου Gauss με την επιλογή του κύριου στοιχείου είναι μια τέτοια αναδιάταξη των εξισώσεων έτσι ώστε στο kth βήμα το κύριο στοιχείο να αποδεικνύεται το μεγαλύτερο στοιχείο της kth στήλης.
3. Μέθοδος Jordano-Gauss;

Η διαφορά μεταξύ της μεθόδου Jordano-Gauss και της κλασικής Μέθοδος Gaussσυνίσταται στην εφαρμογή του κανόνα του ορθογωνίου, όταν η κατεύθυνση αναζήτησης μιας λύσης εμφανίζεται κατά μήκος της κύριας διαγωνίου (μετατροπή σε μήτρα ταυτότητας). Στη μέθοδο Gauss, η κατεύθυνση αναζήτησης λύσης εμφανίζεται κατά μήκος των στηλών (μετατροπή σε σύστημα με τριγωνικό πίνακα).
Ας δείξουμε τη διαφορά Μέθοδος Jordano-Gaussαπό τη μέθοδο Gauss με παραδείγματα.

Παράδειγμα λύσης με τη μέθοδο Gauss
Ας λύσουμε το σύστημα:

Για ευκολία στον υπολογισμό, ας ανταλλάξουμε τις γραμμές:

Ας πολλαπλασιάσουμε τη 2η γραμμή με (2). Προσθέστε την 3η γραμμή στη 2η

Πολλαπλασιάστε τη 2η γραμμή με (-1). Προσθέστε τη 2η γραμμή στην 1η

Από την 1η γραμμή εκφράζουμε x 3:
Από τη 2η γραμμή εκφράζουμε x 2:
Από την 3η γραμμή εκφράζουμε x 1:

Ένα παράδειγμα λύσης που χρησιμοποιεί τη μέθοδο Jordano-Gauss
Ας λύσουμε το ίδιο SLAE χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Jordano-Gauss.

Θα επιλέξουμε διαδοχικά το στοιχείο επίλυσης RE, το οποίο βρίσκεται στην κύρια διαγώνιο του πίνακα.
Το στοιχείο ανάλυσης είναι ίσο με (1).



NE = SE - (A*B)/RE
RE - στοιχείο επίλυσης (1), A και B - στοιχεία μήτρας που σχηματίζουν ένα ορθογώνιο με τα στοιχεία STE και RE.
Ας παρουσιάσουμε τον υπολογισμό κάθε στοιχείου με τη μορφή πίνακα:

x 1	x 2	x 3	σι
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Το στοιχείο επίλυσης είναι ίσο με (3).
Στη θέση του στοιχείου επίλυσης παίρνουμε 1 και στην ίδια τη στήλη γράφουμε μηδενικά.
Όλα τα άλλα στοιχεία του πίνακα, συμπεριλαμβανομένων των στοιχείων της στήλης Β, καθορίζονται από τον κανόνα του ορθογωνίου.
Για να γίνει αυτό, επιλέγουμε τέσσερις αριθμούς που βρίσκονται στις κορυφές του ορθογωνίου και περιλαμβάνουν πάντα το στοιχείο επίλυσης RE.

x 1	x 2	x 3	σι
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Το στοιχείο ανάλυσης είναι (-4).
Στη θέση του στοιχείου επίλυσης παίρνουμε 1 και στην ίδια τη στήλη γράφουμε μηδενικά.
Όλα τα άλλα στοιχεία του πίνακα, συμπεριλαμβανομένων των στοιχείων της στήλης Β, καθορίζονται από τον κανόνα του ορθογωνίου.
Για να γίνει αυτό, επιλέγουμε τέσσερις αριθμούς που βρίσκονται στις κορυφές του ορθογωνίου και περιλαμβάνουν πάντα το στοιχείο επίλυσης RE.
Ας παρουσιάσουμε τον υπολογισμό κάθε στοιχείου με τη μορφή πίνακα:

x 1	x 2	x 3	σι
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Απάντηση: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Εφαρμογή της μεθόδου Gauss

Η μέθοδος Gaussian εφαρμόζεται σε πολλές γλώσσες προγραμματισμού, και συγκεκριμένα: Pascal, C++, php, Delphi, και υπάρχει επίσης μια διαδικτυακή υλοποίηση της μεθόδου Gaussian.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian

Εφαρμογή της μεθόδου Gauss στη θεωρία παιγνίων

Στη θεωρία παιγνίων, κατά την εύρεση της μέγιστης βέλτιστης στρατηγικής ενός παίκτη, συντάσσεται ένα σύστημα εξισώσεων, το οποίο λύνεται με τη μέθοδο Gaussian.

Εφαρμογή της μεθόδου Gauss στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων

Για να βρείτε μια μερική λύση σε μια διαφορική εξίσωση, βρείτε πρώτα παραγώγους του κατάλληλου βαθμού για τη γραπτή μερική λύση (y=f(A,B,C,D)), οι οποίες αντικαθίστανται στην αρχική εξίσωση. Δίπλα να βρεις μεταβλητές A,B,C,Dένα σύστημα εξισώσεων συντάσσεται και λύνεται με τη μέθοδο Gauss.

Εφαρμογή της μεθόδου Jordano-Gauss στον γραμμικό προγραμματισμό

ΣΕ γραμμικός προγραμματισμός, ειδικότερα, στη μέθοδο simplex, ο κανόνας του ορθογωνίου, που χρησιμοποιεί τη μέθοδο Jordano-Gauss, χρησιμοποιείται για να μετασχηματίσει τον πίνακα simplex σε κάθε επανάληψη.

Μέθοδος Gaussιδανικό για επίλυση γραμμικών συστημάτων αλγεβρικές εξισώσεις(SLAU). Έχει πολλά πλεονεκτήματα σε σύγκριση με άλλες μεθόδους:

• Πρώτον, δεν χρειάζεται να εξεταστεί πρώτα το σύστημα εξισώσεων για συνέπεια.
• δεύτερον, η μέθοδος Gauss μπορεί να λύσει όχι μόνο SLAE στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων συμπίπτει με τον αριθμό των άγνωστων μεταβλητών και ο κύριος πίνακας του συστήματος είναι μη ενικός, αλλά και συστήματα εξισώσεων στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων δεν συμπίπτει με ο αριθμός των άγνωστων μεταβλητών ή ο προσδιοριστής του κύριου πίνακα είναι ίσος με μηδέν.
• Τρίτον, η μέθοδος Gauss οδηγεί σε αποτελέσματα με σχετικά μικρό αριθμό υπολογιστικών πράξεων.

Σύντομη επισκόπηση του άρθρου.

Αρχικά, δίνουμε τους απαραίτητους ορισμούς και εισάγουμε σημειώσεις.

Στη συνέχεια, θα περιγράψουμε τον αλγόριθμο της μεθόδου Gauss για την απλούστερη περίπτωση, δηλαδή για συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, ο αριθμός των εξισώσεων στις οποίες συμπίπτει με τον αριθμό των άγνωστων μεταβλητών και η ορίζουσα του κύριου πίνακα του συστήματος είναι όχι ίσο με μηδέν. Κατά την επίλυση τέτοιων συστημάτων εξισώσεων, η ουσία της μεθόδου Gauss είναι πιο ευδιάκριτη, η οποία είναι η διαδοχική εξάλειψη άγνωστων μεταβλητών. Επομένως, η μέθοδος Gauss ονομάζεται επίσης μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων. Θα σας δείξουμε λεπτομερείς λύσειςαρκετά παραδείγματα.

Συμπερασματικά, θα εξετάσουμε τη λύση με τη μέθοδο Gauss συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, ο κύριος πίνακας των οποίων είναι είτε ορθογώνιος είτε ενικός. Η λύση σε τέτοια συστήματα έχει ορισμένα χαρακτηριστικά, τα οποία θα εξετάσουμε λεπτομερώς χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Βασικοί ορισμοί και σημειώσεις.

Θεωρήστε ένα σύστημα p γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους (το p μπορεί να είναι ίσο με n):

Όπου υπάρχουν άγνωστες μεταβλητές, είναι αριθμοί (πραγματικοί ή μιγαδικοί) και είναι ελεύθεροι όροι.

Αν , τότε ονομάζεται το σύστημα των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων ομοιογενής, σε διαφορετική περίπτωση - ετερογενής.

Καλείται το σύνολο των τιμών των άγνωστων μεταβλητών για τις οποίες όλες οι εξισώσεις του συστήματος γίνονται ταυτότητες απόφαση της SLAU.

Αν υπάρχει τουλάχιστον μία λύση σε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, τότε καλείται άρθρωση, σε διαφορετική περίπτωση - μη άρθρωση.

Εάν ένα SLAE έχει μια μοναδική λύση, τότε ονομάζεται βέβαιος. Εάν υπάρχουν περισσότερες από μία λύσεις, τότε το σύστημα καλείται αβέβαιος.

Λένε ότι το σύστημα είναι γραμμένο φόρμα συντεταγμένων, αν έχει τη μορφή
.

Αυτό το σύστημα σε μορφή μήτραςη εγγραφή έχει τη μορφή , όπου - ο κύριος πίνακας του SLAE, - ο πίνακας της στήλης των άγνωστων μεταβλητών, - ο πίνακας των ελεύθερων όρων.

Αν προσθέσουμε μια μήτρα-στήλη ελεύθερων όρων στον πίνακα Α ως (n+1)η στήλη, παίρνουμε το λεγόμενο εκτεταμένη μήτρασυστήματα γραμμικών εξισώσεων. Συνήθως, ένας εκτεταμένος πίνακας συμβολίζεται με το γράμμα T και η στήλη των ελεύθερων όρων χωρίζεται με μια κάθετη γραμμή από τις υπόλοιπες στήλες, δηλαδή

Ο τετραγωνικός πίνακας Α ονομάζεται εκφυλισμένος, αν η ορίζουσα του είναι μηδέν. Αν , τότε καλείται ο πίνακας Α μη εκφυλισμένος.

Πρέπει να σημειωθεί το ακόλουθο σημείο.

Εάν εκτελέσετε τις παρακάτω ενέργειες με ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

• ανταλλάξτε δύο εξισώσεις,
• πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές οποιασδήποτε εξίσωσης με έναν αυθαίρετο και μη μηδενικό πραγματικό (ή μιγαδικό) αριθμό k,
• και στις δύο πλευρές οποιασδήποτε εξίσωσης προσθέστε τα αντίστοιχα μέρη μιας άλλης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενα με έναν αυθαίρετο αριθμό k,

τότε παίρνετε ένα ισοδύναμο σύστημα που έχει τις ίδιες λύσεις (ή, όπως το αρχικό, δεν έχει λύσεις).

Για έναν εκτεταμένο πίνακα ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, αυτές οι ενέργειες θα σημαίνουν τη διεξαγωγή στοιχειωδών μετασχηματισμών με τις σειρές:

• ανταλλάσσοντας δύο γραμμές,
• πολλαπλασιάζοντας όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς του πίνακα T με έναν μη μηδενικό αριθμό k,
• προσθέτοντας στα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς ενός πίνακα τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς, πολλαπλασιαζόμενα με έναν αυθαίρετο αριθμό k.

Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στην περιγραφή της μεθόδου Gauss.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων και ο κύριος πίνακας του συστήματος είναι μη ενικός, με τη μέθοδο Gauss.

Τι θα κάναμε στο σχολείο αν μας έδιναν το καθήκον να βρούμε λύση σε ένα σύστημα εξισώσεων; .

Κάποιοι θα το έκαναν αυτό.

Σημειώστε ότι προσθέτοντας την αριστερή πλευρά της πρώτης στην αριστερή πλευρά της δεύτερης εξίσωσης και τη δεξιά πλευρά στη δεξιά πλευρά, μπορείτε να απαλλαγείτε από τις άγνωστες μεταβλητές x 2 και x 3 και να βρείτε αμέσως το x 1:

Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε x 1 =1 στην πρώτη και τρίτη εξίσωση του συστήματος:

Αν πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της τρίτης εξίσωσης του συστήματος με -1 και τις προσθέσουμε στα αντίστοιχα μέρη της πρώτης εξίσωσης, απαλλαγούμε από την άγνωστη μεταβλητή x 3 και μπορούμε να βρούμε το x 2:

Αντικαθιστούμε την προκύπτουσα τιμή x 2 = 2 στην τρίτη εξίσωση και βρίσκουμε την υπόλοιπη άγνωστη μεταβλητή x 3:

Άλλοι θα έκαναν διαφορετικά.

Ας επιλύσουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος σε σχέση με την άγνωστη μεταβλητή x 1 και ας αντικαταστήσουμε την έκφραση που προκύπτει στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση του συστήματος για να εξαιρέσουμε αυτή τη μεταβλητή από αυτές:

Τώρα ας λύσουμε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος για το x 2 και ας αντικαταστήσουμε το αποτέλεσμα που προκύπτει με την τρίτη εξίσωση για να εξαλείψουμε την άγνωστη μεταβλητή x 2 από αυτήν:

Από την τρίτη εξίσωση του συστήματος είναι σαφές ότι x 3 =3. Από τη δεύτερη εξίσωση βρίσκουμε , και από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε .

Γνωστές λύσεις, σωστά;

Το πιο ενδιαφέρον εδώ είναι ότι η δεύτερη μέθοδος λύσης είναι ουσιαστικά η μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων, δηλαδή η μέθοδος Gauss. Όταν εκφράσαμε τις άγνωστες μεταβλητές (πρώτη x 1, στο επόμενο στάδιο x 2) και τις αντικαταστήσαμε στις υπόλοιπες εξισώσεις του συστήματος, έτσι τις αποκλείσαμε. Πραγματοποιήσαμε εξάλειψη έως ότου έμεινε μόνο μία άγνωστη μεταβλητή στην τελευταία εξίσωση. Η διαδικασία της διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων ονομάζεται άμεση Gaussian μέθοδος. Αφού ολοκληρώσουμε την κίνηση προς τα εμπρός, έχουμε την ευκαιρία να υπολογίσουμε την άγνωστη μεταβλητή που βρέθηκε στην τελευταία εξίσωση. Με τη βοήθειά του, βρίσκουμε την επόμενη άγνωστη μεταβλητή από την προτελευταία εξίσωση κ.ο.κ. Η διαδικασία της διαδοχικής εύρεσης άγνωστων μεταβλητών κατά τη μετάβαση από την τελευταία εξίσωση στην πρώτη ονομάζεται αντίστροφη της μεθόδου Gauss.

Πρέπει να σημειωθεί ότι όταν εκφράζουμε x 1 ως x 2 και x 3 στην πρώτη εξίσωση, και στη συνέχεια αντικαθιστούμε την έκφραση που προκύπτει στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση, οι ακόλουθες ενέργειες οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα:

Πράγματι, μια τέτοια διαδικασία καθιστά επίσης δυνατή την εξάλειψη της άγνωστης μεταβλητής x 1 από τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση του συστήματος:

Αποχρώσεις με την εξάλειψη άγνωστων μεταβλητών με τη χρήση της μεθόδου Gauss προκύπτουν όταν οι εξισώσεις του συστήματος δεν περιέχουν κάποιες μεταβλητές.

Για παράδειγμα, στο SLAU στην πρώτη εξίσωση δεν υπάρχει άγνωστη μεταβλητή x 1 (με άλλα λόγια, ο συντελεστής μπροστά της είναι μηδέν). Επομένως, δεν μπορούμε να λύσουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος για x 1 προκειμένου να εξαλειφθεί αυτή η άγνωστη μεταβλητή από τις υπόλοιπες εξισώσεις. Η διέξοδος από αυτήν την κατάσταση είναι να ανταλλάξουμε τις εξισώσεις του συστήματος. Εφόσον εξετάζουμε συστήματα γραμμικών εξισώσεων των οποίων οι ορίζοντες των κύριων πινάκων είναι διαφορετικοί από το μηδέν, υπάρχει πάντα μια εξίσωση στην οποία υπάρχει η μεταβλητή που χρειαζόμαστε και μπορούμε να αναδιατάξουμε αυτήν την εξίσωση στη θέση που χρειαζόμαστε. Για το παράδειγμά μας, αρκεί να ανταλλάξουμε την πρώτη και τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος , τότε μπορείτε να επιλύσετε την πρώτη εξίσωση για το x 1 και να την εξαιρέσετε από τις υπόλοιπες εξισώσεις του συστήματος (αν και το x 1 δεν υπάρχει πλέον στη δεύτερη εξίσωση).

Ελπίζουμε να καταλάβετε την ουσία.

Ας περιγράψουμε Αλγόριθμος μεθόδου Gauss.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε ένα σύστημα n γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με n άγνωστες μεταβλητές της μορφής , και έστω η ορίζουσα του κύριου πίνακα του να είναι διαφορετική από το μηδέν.

Θα υποθέσουμε ότι , αφού μπορούμε πάντα να το πετύχουμε αυτό αναδιατάσσοντας τις εξισώσεις του συστήματος. Ας εξαλείψουμε την άγνωστη μεταβλητή x 1 από όλες τις εξισώσεις του συστήματος, ξεκινώντας από τη δεύτερη. Για να γίνει αυτό, στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος προσθέτουμε την πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη με , στην τρίτη εξίσωση προσθέτουμε την πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη με , και ούτω καθεξής, στην nη εξίσωση προσθέτουμε την πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη με . Το σύστημα των εξισώσεων μετά από τέτοιους μετασχηματισμούς θα πάρει τη μορφή

πού και .

Θα είχαμε φτάσει στο ίδιο αποτέλεσμα αν είχαμε εκφράσει x 1 ως προς άλλες άγνωστες μεταβλητές στην πρώτη εξίσωση του συστήματος και αντικαθιστούσαμε την έκφραση που προκύπτει με όλες τις άλλες εξισώσεις. Έτσι, η μεταβλητή x 1 εξαιρείται από όλες τις εξισώσεις, ξεκινώντας από τη δεύτερη.

Στη συνέχεια, προχωράμε με παρόμοιο τρόπο, αλλά μόνο με μέρος του προκύπτοντος συστήματος, το οποίο σημειώνεται στο σχήμα

Για να γίνει αυτό, στην τρίτη εξίσωση του συστήματος προσθέτουμε τη δεύτερη, πολλαπλασιαζόμενη με , στην τέταρτη εξίσωση προσθέτουμε τη δεύτερη, πολλαπλασιαζόμενη με , και ούτω καθεξής, στην nη εξίσωση προσθέτουμε τη δεύτερη, πολλαπλασιαζόμενη με . Το σύστημα των εξισώσεων μετά από τέτοιους μετασχηματισμούς θα πάρει τη μορφή

πού και . Έτσι, η μεταβλητή x 2 εξαιρείται από όλες τις εξισώσεις, ξεκινώντας από την τρίτη.

Στη συνέχεια, προχωράμε στην εξάλειψη του αγνώστου x 3, ενώ ενεργούμε παρόμοια με το τμήμα του συστήματος που σημειώνεται στο σχήμα

Συνεχίζουμε λοιπόν την άμεση εξέλιξη της μεθόδου Gauss μέχρι το σύστημα να πάρει τη μορφή

Από αυτή τη στιγμή ξεκινάμε το αντίστροφο της μεθόδου Gauss: υπολογίζουμε το x n από την τελευταία εξίσωση καθώς, χρησιμοποιώντας την τιμή του x n που προκύπτει, βρίσκουμε x n-1 από την προτελευταία εξίσωση, και ούτω καθεξής, βρίσκουμε x 1 από την πρώτη εξίσωση .

Ας δούμε τον αλγόριθμο χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Μέθοδος Gauss.

Λύση.

Ο συντελεστής a 11 είναι μη μηδενικός, οπότε ας προχωρήσουμε στην άμεση πρόοδο της μεθόδου Gauss, δηλαδή στον αποκλεισμό της άγνωστης μεταβλητής x 1 από όλες τις εξισώσεις του συστήματος εκτός από την πρώτη. Για να το κάνετε αυτό, στην αριστερή και δεξιά πλευρά της δεύτερης, τρίτης και τέταρτης εξίσωσης, προσθέστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της πρώτης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενες επί, αντίστοιχα. Και :

Η άγνωστη μεταβλητή x 1 έχει εξαλειφθεί, ας προχωρήσουμε στην εξάλειψη του x 2 . Στην αριστερή και δεξιά πλευρά της τρίτης και τέταρτης εξίσωσης του συστήματος προσθέτουμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της δεύτερης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενες με αντίστοιχα Και :

Για να ολοκληρώσουμε την πρόοδο προς τα εμπρός της μεθόδου Gauss, πρέπει να εξαλείψουμε την άγνωστη μεταβλητή x 3 από την τελευταία εξίσωση του συστήματος. Ας προσθέσουμε στην αριστερή και δεξιά πλευρά της τέταρτης εξίσωσης, αντίστοιχα, το αριστερό και σωστη πλευρατρίτη εξίσωση πολλαπλασιαζόμενη επί :

Μπορείτε να ξεκινήσετε το αντίστροφο της μεθόδου Gauss.

Από την τελευταία εξίσωση έχουμε ,
από την τρίτη εξίσωση παίρνουμε,
από το δεύτερο,
από την πρώτη.

Για έλεγχο, μπορείτε να αντικαταστήσετε τις λαμβανόμενες τιμές των άγνωστων μεταβλητών στο αρχικό σύστημα εξισώσεων. Όλες οι εξισώσεις μετατρέπονται σε ταυτότητες, γεγονός που δείχνει ότι η λύση με τη μέθοδο Gauss βρέθηκε σωστά.

Απάντηση:

Τώρα ας δώσουμε μια λύση στο ίδιο παράδειγμα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian σε σημειογραφία πίνακα.

Παράδειγμα.

Βρείτε τη λύση του συστήματος των εξισώσεων Μέθοδος Gauss.

Λύση.

Ο εκτεταμένος πίνακας του συστήματος έχει τη μορφή . Στην κορυφή κάθε στήλης βρίσκονται οι άγνωστες μεταβλητές που αντιστοιχούν στα στοιχεία του πίνακα.

Η άμεση προσέγγιση της μεθόδου Gauss εδώ περιλαμβάνει τη μείωση της εκτεταμένης μήτρας του συστήματος σε τραπεζοειδή μορφή χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς. Αυτή η διαδικασία είναι παρόμοια με την εξάλειψη άγνωστων μεταβλητών που κάναμε με το σύστημα σε μορφή συντεταγμένων. Τώρα θα το δείτε αυτό.

Ας μετατρέψουμε τον πίνακα έτσι ώστε όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης, ξεκινώντας από τη δεύτερη, να μηδενίζονται. Για να γίνει αυτό, στα στοιχεία της δεύτερης, τρίτης και τέταρτης γραμμής προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της πρώτης γραμμής πολλαπλασιαζόμενα επί , και αναλόγως:

Στη συνέχεια, μετασχηματίζουμε τον πίνακα που προκύπτει έτσι ώστε στη δεύτερη στήλη όλα τα στοιχεία, ξεκινώντας από την τρίτη, να μηδενίζονται. Αυτό θα αντιστοιχεί στην εξάλειψη της άγνωστης μεταβλητής x 2 . Για να γίνει αυτό, στα στοιχεία της τρίτης και τέταρτης σειράς προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα, πολλαπλασιαζόμενα με αντίστοιχα Και :

Απομένει να εξαιρεθεί η άγνωστη μεταβλητή x 3 από την τελευταία εξίσωση του συστήματος. Για να γίνει αυτό, στα στοιχεία της τελευταίας σειράς του πίνακα που προκύπτει προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της προτελευταίας σειράς, πολλαπλασιαζόμενα επί :

Πρέπει να σημειωθεί ότι αυτός ο πίνακας αντιστοιχεί σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

που αποκτήθηκε νωρίτερα μετά από μια κίνηση προς τα εμπρός.

Είναι ώρα να γυρίσουμε πίσω. Στη σημειογραφία μήτρας, το αντίστροφο της μεθόδου Gauss περιλαμβάνει τον μετασχηματισμό του πίνακα που προκύπτει έτσι ώστε ο πίνακας που σημειώνεται στο σχήμα

έγινε διαγώνιος, πήρε δηλαδή τη μορφή

που είναι κάποιοι αριθμοί.

Αυτοί οι μετασχηματισμοί είναι παρόμοιοι με τους προς τα εμπρός μετασχηματισμούς της μεθόδου Gauss, αλλά εκτελούνται όχι από την πρώτη γραμμή στην τελευταία, αλλά από την τελευταία στην πρώτη.

Προσθέστε στα στοιχεία της τρίτης, δεύτερης και πρώτης γραμμής τα αντίστοιχα στοιχεία της τελευταίας γραμμής, πολλαπλασιαζόμενα επί , ξανά και ξανά αντίστοιχα:

Τώρα προσθέστε στα στοιχεία της δεύτερης και της πρώτης γραμμής τα αντίστοιχα στοιχεία της τρίτης γραμμής, πολλαπλασιαζόμενα επί και επί, αντίστοιχα:

Στο τελευταίο βήμα της αντίστροφης μεθόδου Gauss, στα στοιχεία της πρώτης σειράς προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της δεύτερης σειράς, πολλαπλασιαζόμενα επί:

Ο προκύπτων πίνακας αντιστοιχεί στο σύστημα των εξισώσεων , από όπου βρίσκουμε τις άγνωστες μεταβλητές.

Απάντηση:

ΣΗΜΕΙΩΣΗ.

Όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος Gauss για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, θα πρέπει να αποφεύγονται οι κατά προσέγγιση υπολογισμοί, καθώς αυτό μπορεί να οδηγήσει σε εντελώς εσφαλμένα αποτελέσματα. Συνιστούμε να μην στρογγυλοποιείτε δεκαδικούς αριθμούς. Καλύτερα από δεκαδικάπαω σε συνηθισμένα κλάσματα.

Παράδειγμα.

Να λύσετε ένα σύστημα τριών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss .

Λύση.

Σημειώστε ότι σε αυτό το παράδειγμα οι άγνωστες μεταβλητές έχουν διαφορετικό προσδιορισμό (όχι x 1, x 2, x 3, αλλά x, y, z). Ας περάσουμε στα συνηθισμένα κλάσματα:

Ας εξαιρέσουμε τον άγνωστο x από τη δεύτερη και τρίτη εξίσωση του συστήματος:

Στο προκύπτον σύστημα, η άγνωστη μεταβλητή y απουσιάζει στη δεύτερη εξίσωση, αλλά η y υπάρχει στην τρίτη εξίσωση, επομένως, ας ανταλλάξουμε τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση:

Αυτό ολοκληρώνει την άμεση εξέλιξη της μεθόδου Gauss (δεν χρειάζεται να εξαιρέσουμε το y από την τρίτη εξίσωση, αφού αυτή η άγνωστη μεταβλητή δεν υπάρχει πλέον).

Ας αρχίσουμε αντίστροφη κίνηση.

Από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε ,
από την προτελευταία


από την πρώτη εξίσωση που έχουμε

Απάντηση:

X = 10, y = 5, z = -20.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων δεν συμπίπτει με τον αριθμό των αγνώστων ή ο κύριος πίνακας του συστήματος είναι ενικός, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

Συστήματα εξισώσεων, ο κύριος πίνακας των οποίων είναι ορθογώνιος ή τετράγωνος ενικός, μπορεί να μην έχουν λύσεις, μπορεί να έχουν μία μόνο λύση ή μπορεί να έχουν άπειρο αριθμό λύσεων.

Τώρα θα καταλάβουμε πώς η μέθοδος Gauss μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τη συμβατότητα ή την ασυνέπεια ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων και, στην περίπτωση της συμβατότητάς του, να προσδιορίσουμε όλες τις λύσεις (ή μία μόνο λύση).

Κατ' αρχήν, η διαδικασία εξάλειψης άγνωστων μεταβλητών στην περίπτωση τέτοιων SLAE παραμένει η ίδια. Ωστόσο, αξίζει να αναφερθούμε λεπτομερώς σε ορισμένες καταστάσεις που μπορεί να προκύψουν.

Ας περάσουμε στο πιο σημαντικό στάδιο.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι το σύστημα των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, αφού ολοκληρώσει την πρόοδο προς τα εμπρός της μεθόδου Gauss, παίρνει τη μορφή και ούτε μία εξίσωση δεν περιορίστηκε σε (σε αυτή την περίπτωση θα συμπεράνουμε ότι το σύστημα είναι ασυμβίβαστο). Τίθεται ένα λογικό ερώτημα: «Τι να κάνουμε μετά»;

Ας γράψουμε τις άγνωστες μεταβλητές που έρχονται πρώτες σε όλες τις εξισώσεις του προκύπτοντος συστήματος:

Στο παράδειγμά μας αυτά είναι τα x 1, x 4 και x 5. Στην αριστερή πλευρά των εξισώσεων του συστήματος αφήνουμε μόνο εκείνους τους όρους που περιέχουν τις γραπτές άγνωστες μεταβλητές x 1, x 4 και x 5, οι υπόλοιποι όροι μεταφέρονται στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων με το αντίθετο πρόσημο:

Ας δώσουμε στις άγνωστες μεταβλητές που βρίσκονται στα δεξιά των εξισώσεων αυθαίρετες τιμές, όπου - αυθαίρετοι αριθμοί:

Μετά από αυτό, οι δεξιές πλευρές όλων των εξισώσεων του SLAE μας περιέχουν αριθμούς και μπορούμε να προχωρήσουμε στο αντίστροφο της μεθόδου Gauss.

Από την τελευταία εξίσωση του συστήματος έχουμε, από την προτελευταία εξίσωση που βρίσκουμε, από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε

Η λύση σε ένα σύστημα εξισώσεων είναι ένα σύνολο τιμών άγνωστων μεταβλητών

Δίνοντας Αριθμούς διαφορετικές έννοιες, θα παραλαβουμε διάφορες λύσειςσυστήματα εξισώσεων. Δηλαδή το σύστημα των εξισώσεων μας έχει άπειρες λύσεις.

Απάντηση:

Οπου - αυθαίρετους αριθμούς.

Για να εμπεδώσουμε το υλικό, θα αναλύσουμε λεπτομερώς τις λύσεις αρκετών ακόμη παραδειγμάτων.

Παράδειγμα.

Αποφασίζω ομοιογενές σύστημαγραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις Μέθοδος Gauss.

Λύση.

Ας εξαιρέσουμε την άγνωστη μεταβλητή x από τη δεύτερη και τρίτη εξίσωση του συστήματος. Για να γίνει αυτό, στην αριστερή και δεξιά πλευρά της δεύτερης εξίσωσης, προσθέτουμε, αντίστοιχα, την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της πρώτης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενες επί , και στην αριστερή και δεξιά πλευρά της τρίτης εξίσωσης, προσθέτουμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης δεξιές πλευρές της πρώτης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενες επί:

Τώρα ας εξαιρέσουμε το y από την τρίτη εξίσωση του προκύπτοντος συστήματος εξισώσεων:

Το SLAE που προκύπτει είναι ισοδύναμο με το σύστημα .

Αφήνουμε στην αριστερή πλευρά των εξισώσεων του συστήματος μόνο τους όρους που περιέχουν τις άγνωστες μεταβλητές x και y και μετακινούμε τους όρους με την άγνωστη μεταβλητή z στη δεξιά πλευρά: