Εισαγωγή

Όλα τα τμήματα περιγραφική γεωμετρίαχρησιμοποιήστε μια μέθοδο - η μέθοδος προβολής, επομένως, τα σχέδια που χρησιμοποιούνται όχι μόνο στην περιγραφική γεωμετρία ονομάζονται σχέδια προβολής.

Η μέθοδος προβολής έγκειται στο γεγονός ότι οποιοδήποτε από τα σημεία του συνόλου των σημείων στο χώρο μπορεί να προβληθεί χρησιμοποιώντας ακτίνες προβολής σε οποιαδήποτε επιφάνεια. Για να γίνει αυτό, παρουσιάζουμε μερικά δεδομένη επιφάνεια(Εικ. 1) και ένα σημείο ΑΛΛΑστο διάστημα. Κατά τη διεξαγωγή μιας δοκού μικρόμέσα από ένα σημείο ΑΛΛΑπρος την κατεύθυνση της επιφάνειας, η τελευταία θα την τέμνει σε ένα σημείο ΑΛΛΑένας . σημείο ΑΛΛΑπου ονομάζεται προβλεπόμενο σημείο. Το επίπεδο α στο οποίο προκύπτει η προβολή ονομάζεται επίπεδο προβολής. Το σημείο τομής της ακτίνας με το επίπεδο ονομάζεται προβολή του σημείου ΑΛΛΑ. Ευθεία ΑΛΛΑΑΛΛΑ 1 (δοκός), καλείται προεξέχουσα δέσμη.

Εικ.1.

Η κεντρική (κωνική ή πολική) μέθοδος προβολής βασίζεται στο γεγονός ότι κατά την προβολή σε ένα επίπεδο μια σειρά σημείων ( ΑΛΛΑ, σι, ντοκ.λπ.) όλες οι προβαλλόμενες ακτίνες περνούν από ένα σημείο, που ονομάζεται κέντρο προβολής, ή Πόλος.

Φανταστείτε ένα τρίγωνο στο διάστημα αλφάβητοκαι προβάλλοντας ακτίνες που περνούν από έναν δεδομένο πόλο μικρόκαι μέσα από σημεία αλφάβητοτρίγωνα που σχεδιάζονται στην τομή με το επίπεδο α. Τρίγωνο ΑΛΛΑ 1 σι 1 ντοΤο 1 θα είναι η κεντρική προβολή του τριγώνου αλφάβητο(Εικ. 2).

Η μέθοδος κεντρικής προβολής δεν ικανοποιεί ορισμένες προϋποθέσεις που είναι απαραίτητες για ένα τεχνικό σχέδιο, συγκεκριμένα: δεν δίνει ομοιόμορφη εικόνα, πλήρη σαφήνεια όλων γεωμετρικά σχήματα, δεν έχει αναγνωσιμότητα, δεν έχει την απλότητα της εικόνας.

Η μέθοδος της παράλληλης (λοξής) προβολής είναι ότι όλες οι προβαλλόμενες ακτίνες που διέρχονται από τα σημεία του τριγώνου αλφάβητο, θα είναι παράλληλες μεταξύ τους (Εικ. 3). Αυτή η μέθοδος προκύπτει από τη μέθοδο της κεντρικής προβολής, ενώ ο πόλος πρέπει να αφαιρεθεί σε άπειρη απόσταση από το επίπεδο πάνω στο οποίο προβάλλεται το αντικείμενο.

Ορθογώνια (ορθογώνια) μέθοδος προβολής - μια μέθοδος κατά την οποία οι προεξέχουσες ακτίνες είναι παράλληλες μεταξύ τους και κάθετες προς επίπεδα προβολής(Εικ. 4). Αυτή η μέθοδος – ειδική περίπτωσηπαράλληλη προβολή.

Έτσι, οποιοδήποτε σημείο στο χώρο μπορεί να προβληθεί στο επίπεδο προβολής: στο οριζόντιο P 1 , στο μετωπικό P 2 και στο προφίλ P 3 . Οριζόντια προβολήσημειώνονται σημεία ΑΛΛΑ 1 ή ΑΛΛΑ», μετωπική ΑΛΛΑ 2 ή ΑΛΛΑ" Προφίλ ΑΛΛΑ 3 ή ΑΛΛΑ′″ (Εικ. 5).

Η παράλληλη προβολή μπορεί να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωση κεντρικής προβολής.

Αν το κέντρο προβολής στο κεντρικά γραφείαπροβολή στο άπειρο, τότε οι προεξέχουσες ακτίνες μπορούν να θεωρηθούν παράλληλες. Ως εκ τούτου, η συσκευή παράλληλης προβολής αποτελείται από το επίπεδο προβολής P και την κατεύθυνση R. Με την κεντρική προβολή, οι προεξέχουσες ακτίνες βγαίνουν από ένα σημείο και με παράλληλη προβολή είναι παράλληλες μεταξύ τους.

Ανάλογα με την κατεύθυνση των δοκών προβολής, η παράλληλη προβολή μπορεί να είναι λοξή, όταν οι δοκοί προβολής έχουν κλίση προς το επίπεδο προβολής, και ορθογώνια (ορθογώνια), όταν οι δοκοί προβολής είναι κάθετες στο επίπεδο προβολής.

Εξετάστε ένα παράδειγμα λοξής παράλληλης προβολής.

Κατασκευάζουμε μια παράλληλη προβολή Α1Β1 του τμήματος ΑΒ, στο επίπεδο Ρ1, με δοθείσα κατεύθυνσηπροβολή P όχι P1. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε προεξέχουσες γραμμές μέσω των σημείων Α και Β παράλληλες προς την κατεύθυνση της προβολής P. Όταν οι προεξέχουσες γραμμές τέμνονται με το επίπεδο P1, θα προκύψουν παράλληλες προβολές Α1 και Β1 των σημείων Α και Β. Με τη σύνδεση τις παράλληλες προβολές Α1 και Β1, παίρνουμε παράλληλη προβολή Α1Β1 του τμήματος ΑΒ.

Παρομοίως, είναι δυνατό να κατασκευαστεί μια παράλληλη προβολή А1В1С1D1 του τετράπλευρου ABCD στο επίπεδο P1, με δεδομένη διεύθυνση προβολής P όχι κάθετη στο P1.

Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε προεξέχουσες γραμμές μέσω των σημείων A, B, C, D, παράλληλες προς την κατεύθυνση της προβολής P. Όταν οι προεξέχουσες γραμμές τέμνονται με το επίπεδο P1, παράλληλες προβολές A1, B1, C1, D1 των σημείων Θα προκύψουν τα A, B, C, D. Συνδέοντας τις παράλληλες προβολές A1, B1, C1, D1 παίρνουμε παράλληλη προβολή A1B1C1D1 τετράπλευρου ABCD.

Ιδιότητες προβολών σε παράλληλη προβολή:

Οι πρώτες έξι ιδιότητες της κεντρικής προβολής ισχύουν και για παράλληλη προβολή. Παραθέτουμε μερικές ακόμη ιδιότητες που είναι εγγενείς στην παράλληλη προβολή:

1. Οι προβολές των παράλληλων ευθειών είναι παράλληλες.

Από το σχήμα φαίνεται ότι οι γραμμές AA 1 , BB 1 , SS 1και ΔΔ 1σχηματίζουν δύο παράλληλα επίπεδα ένακαι σι. Αυτά τα δύο επίπεδα τέμνονται Σ 1. Επομένως, οι γραμμές της τομής τους Α 1 Β 1και Γ 1 Δ 1θα είναι παράλληλη.

2. Αν το σημείο διαιρεί το μήκος του τμήματος σε σχέση με m:n, τότε η προβολή αυτού του σημείου διαιρεί το μήκος της προβολής του τμήματος στην ίδια αναλογία.

Αφήστε το θέμα ΑΠΟανήκει στο τμήμα ΑΒ, και |AC| : |CB| = 2:1. Ας φτιάξουμε μια παράλληλη προβολή Α 1 Β 1τμήμα ΑΒ. Τελεία Από 1 Α 1 Β 1. Ας ξοδέψουμε AC' || Α 1 Γ 1και CB' || Γ 1 Β 1, παίρνουμε δύο παρόμοια τρίγωνα ACC'και CBB'. Από την ομοιότητα τους προκύπτει η αναλογικότητα των πλευρών: |AC| : |CB| = |AC'| : |CB'|, αλλά |CB'| = |С1В1|, ένα |AC'| = |А 1 C 1 |, ως εκ τούτου |AC| : |CB| = |A 1 C 1 | : |C 1 B 1 |.

3. επίπεδη φιγούρα, παράλληλα με το επίπεδο προβολής, προβάλλεται χωρίς παραμόρφωση.

Ας πάρουμε ένα τρίγωνο αλφάβητοκαι να το προβάλετε σε δύο παράλληλα επίπεδα προβολής P 1'και Σ 1. Αφού τα μήκη των τμημάτων είναι ίσα |A 1 A 1 '| = |B 1 B 1 ‘| = |C 1 C 1 ‘|και τα τμήματα είναι παράλληλα, μετά τα τετράπλευρα A 1 A 1 ‘B 1 B 1 ‘, B 1 B 1 ‘ C 1 C 1 ‘, C 1 C 1 ‘A 1 A 1 ‘είναι παραλληλόγραμμα. Συνεπώς, αντίθετες πλευρέςείναι ίσα σε μήκος | A 1 B 1 | = | A 1 'B 1 '|, | B 1 C 1 | = |B 1 ‘C 1 ‘|, |A 1 C 1 | = |A 1 ‘C 1 ‘|, άρα τα τρίγωνα είναι ίσα.

Ομοίως, το ίδιο μπορεί να αποδειχθεί για οποιαδήποτε άλλη επίπεδη φιγούρα. Η παράλληλη προβολή, σε αντίθεση με την κεντρική, έχει μικρότερη ευκρίνεια, αλλά παρέχει ευκολία κατασκευής και μεγαλύτερη σχέση με το πρωτότυπο.

Παράλληλη προβολή(Εικ. 1.6) μπορεί να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωση κεντρικής προβολής, στην οποία το κέντρο προβολής απομακρύνεται στο άπειρο ( μικρό∞). Με παράλληλη προβολή, χρησιμοποιούνται παράλληλες γραμμές προβολής, σχεδιασμένες σε μια δεδομένη κατεύθυνση σε σχέση με το επίπεδο προβολής

θέσεις. Εάν η κατεύθυνση προβολής είναι κάθετη στο επίπεδο προβολής, τότε οι προεξοχές ονομάζονται ορθογώνιες ή ορθογώνιες. σε άλλες περιπτώσεις - λοξή (στο Σχ. 1.6 η κατεύθυνση προβολής υποδεικνύεται με ένα βέλος υπό γωνία προς το επίπεδο προβολής).

Η παράλληλη προβολή διατηρεί όλες τις ιδιότητες της κεντρικής προβολής και επίσης εισάγει τις ακόλουθες νέες ιδιότητες.

1. Οι παράλληλες προβολές αμοιβαία παράλληλων ευθειών είναι παράλληλες και ο λόγος των μηκών των τμημάτων αυτών των γραμμών είναι ίσος με τον λόγο των μηκών των προβολών τους.

Αν ευθεία MNκαι KL(Εικ. 1.7) είναι παράλληλα, μετά τα προεξέχοντα επίπεδα και είναι παράλληλες, αφού οι τεμνόμενες γραμμές σε αυτά τα επίπεδα είναι αμοιβαία παράλληλες: - κατά συνθήκη,

Κατά συνέπεια, οι προβολές και είναι παράλληλες όπως οι ευθείες τομής των παράλληλων επιπέδων p και y με το επίπεδο l.

Σημείωση σε ευθεία γραμμή MNαυθαίρετο τμήμα Α Βκαι σε ευθεία γραμμή KLαυθαίρετο τμήμα CD.Σχεδιάστε το επίπεδο p μέσα από το σημείο ΑΛΛΑευθεία και στο επίπεδο y διαμέσου του σημείου C την ευθεία C - . Τμήματα ως τμήματα παραλλήλου μεταξύ παραλλήλων. Τμήματα και, επομένως, . Τμήματα, αφού όλες οι πλευρές τους είναι αμοιβαία παράλληλες. Από την ομοιότητα των τριγώνων προκύπτει:

Από όσα εξετάστηκαν είναι τα εξής:

α) εάν το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος διαιρείται με ένα σημείο σε οποιαδήποτε αναλογία, τότε το μήκος της προβολής του τμήματος διαιρείται με την προβολή αυτού του σημείου στην ίδια αναλογία (Εικ. 1.8):

β) οι προβολές τμημάτων αμοιβαία παράλληλων ευθειών ίσων σε μήκος είναι αμοιβαία παράλληλες και ίσες σε μήκος.

Αυτό είναι προφανές, αφού (βλ. Εικ. 1.7) στο θα είναι . Επομένως, με λοξή προβολή μέσα γενική περίπτωσηπαραλληλόγραμμο, ρόμβος, ορθογώνιο, τετράγωνο προβάλλονται σε παραλληλόγραμμο.

• 2. Ένα επίπεδο σχήμα παράλληλο στο επίπεδο των προβολών προβάλλεται κατά την παράλληλη προβολή σε αυτό το επίπεδο στο ίδιο σχήμα.
• 3. Η παράλληλη μεταφορά ενός σχήματος στο χώρο ή στο επίπεδο των προβολών δεν αλλάζει τον τύπο και το μέγεθος της προβολής του σχήματος.

Οι παράλληλες προβολές, όπως οι κεντρικές με ένα κέντρο προβολής, επίσης δεν παρέχουν αναστρεψιμότητα σχεδίασης.

Χρησιμοποιώντας τις μεθόδους παράλληλης προβολής ενός σημείου και μιας ευθείας, είναι δυνατό να κατασκευαστούν παράλληλες προβολές μιας επιφάνειας και ενός σώματος.

Οι παράλληλες προβολές χρησιμοποιούνται για την κατασκευή οπτικών εικόνων διαφόρων τεχνικών συσκευών και των λεπτομερειών τους.

Ορθογώνια (ορθογώνια) προβολή

Μια ειδική περίπτωση παράλληλης προβολής, στην οποία η κατεύθυνση προβολής είναι κάθετη στο επίπεδο προβολής, ονομάζεται ορθογώνιοςή ορθογώνια προβολή. Η ορθογώνια (ορθογώνια) προβολή ενός σημείου είναι η βάση της κάθετης που σχεδιάζεται από το σημείο στο επίπεδο προβολής. Ορθογώνια προβολή ρε 0 βαθμοί ρεφαίνεται στο σχ. 1.9.

Μαζί με τις ιδιότητες των παράλληλων (λοξών) προβολών ορθογώνια προβολή έχει επόμενο ακίνητο : ορθογώνιες προβολέςδύο αμοιβαία κάθετες ευθείες, η μία από τις οποίες είναι παράλληλη στο επίπεδο προβολής και η άλλη όχι κάθετη σε αυτό, είναι αμοιβαία κάθετες.

Στο σχ. 1.10 Ας το αποδείξουμε αυτό

Η γραμμή προβολής είναι κάθετη στο επίπεδο των προβολών, της προβολής και της γραμμής VA.Επίπεδο ) είναι κάθετο στην ευθεία VA,αφού είναι κάθετη σε δύο τεμνόμενες ευθείες αυτού του επιπέδου ( - κατά συνθήκη, αλλά κατά κατασκευή). Η προβολή είναι κάθετη στο επίπεδο, αφού . Επομένως, η προβολή ενός επιπέδου σε ένα επίπεδο είναι μια ευθεία γραμμή KLκάθετα στην προβολή, αλλά με ευθεία γραμμή KLσυμπίπτει προβολή Σε °C 0, δηλαδή, που έπρεπε να αποδειχτεί.

Σε προβλήματα γεωμετρίας, η επιτυχία δεν εξαρτάται μόνο από τη γνώση της θεωρίας, αλλά από ένα ποιοτικό σχέδιο.
Με επίπεδα σχέδια, όλα είναι λίγο πολύ ξεκάθαρα. Αλλά στη στερεομετρία, η κατάσταση είναι πιο περίπλοκη. Μετά από όλα, είναι απαραίτητο να απεικονίσει τρισδιάστατησώμα επάνω διαμέρισμασχέδιο, και με τέτοιο τρόπο ώστε τόσο εσείς οι ίδιοι όσο και αυτός που κοιτάζει το σχέδιό σας να βλέπετε το ίδιο τρισδιάστατο σώμα.

Πως να το κάνεις?
Φυσικά, οποιαδήποτε εικόνα ενός τρισδιάστατου σώματος σε ένα αεροπλάνο θα είναι υπό όρους. Ωστόσο, υπάρχει ένα συγκεκριμένο σύνολο κανόνων. Υπάρχει ένας γενικά αποδεκτός τρόπος κατασκευής σχεδιαγραμμάτων − παράλληλη προβολή.

Ας πάρουμε ένα συμπαγές σώμα.
Ας διαλέξουμε επίπεδο προβολής.
Μέσα από κάθε σημείο του ογκομετρικού σώματος σχεδιάζουμε ευθείες γραμμές, παράλληλες μεταξύ τους και τέμνοντας το επίπεδο προβολής σε κάποια γωνία. Κάθε μία από αυτές τις γραμμές τέμνει το επίπεδο προβολής σε κάποιο σημείο. Μαζί, αυτά τα σημεία σχηματίζονται προβολήογκομετρικό σώμα σε επίπεδο, δηλαδή η επίπεδη εικόνα του.

Πώς να φτιάξετε προβολές ογκομετρικών σωμάτων;
Φανταστείτε ότι έχετε ένα πλαίσιο ενός τρισδιάστατου σώματος - ένα πρίσμα, μια πυραμίδα ή έναν κύλινδρο. Φωτίζοντάς το με μια παράλληλη δέσμη φωτός, παίρνουμε μια εικόνα - μια σκιά στον τοίχο ή στην οθόνη. Σημειώστε ότι από διαφορετικές οπτικές γωνίες, παίρνουμε διαφορετικές εικόνες, αλλά ορισμένες κανονικότητες εξακολουθούν να υπάρχουν:

Η προβολή του τμήματος θα είναι το τμήμα.

Φυσικά, εάν το τμήμα είναι κάθετο στο επίπεδο προβολής, θα εμφανίζεται σε ένα σημείο.

Στη γενική περίπτωση, η προβολή ενός κύκλου θα είναι έλλειψη.

Η προβολή ενός ορθογωνίου είναι παραλληλόγραμμο.

Δείτε πώς φαίνεται η προβολή ενός κύβου σε ένα επίπεδο:

Εδώ η μπροστινή και η πίσω όψη είναι παράλληλες με το επίπεδο προβολής

Μπορείτε να το κάνετε διαφορετικά:

Όποια γωνία κι αν επιλέξουμε, προβολές παράλληλων τμημάτων στο σχέδιο θα είναι επίσης παράλληλα τμήματα . Αυτή είναι μια από τις αρχές της παράλληλης προβολής.

Σχεδιάζουμε προβολές της πυραμίδας,

κύλινδρος:

Για άλλη μια φορά επαναλαμβάνουμε τη βασική αρχή της παράλληλης προβολής. Επιλέγουμε το επίπεδο προβολής και σχεδιάζουμε ευθείες γραμμές παράλληλες μεταξύ τους σε κάθε σημείο του ογκομετρικού σώματος. Αυτές οι γραμμές τέμνουν το επίπεδο προβολής υπό κάποια γωνία. Εάν αυτή η γωνία είναι 90° - μιλαμεσχετικά με ορθογώνια προβολή. Με τη βοήθεια της ορθογώνιας προβολής κατασκευάζονται σχέδια τρισδιάστατων τμημάτων στη μηχανική. Σε αυτή την περίπτωση, μιλάμε για κάτοψη, μπροστινή όψη και πλάγια όψη.

Μια ειδική περίπτωση κεντρικής προβολής με το κέντρο των προβολών να βρίσκεται στο άπειρο (σε ακατάλληλο σημείο Ο). Εκτελείται από μια δέσμη ακτίνων δεδομένης κατεύθυνσης μικρό(Εικ. 2).

Συσκευή παράλληλης προβολής:

  επίπεδο προβολής.

μικρό- κατεύθυνση προβολής.

[Ο  ΕΝΑ][ Ο  σι]  μικρό

ΕΝΑ  = [ΟΑ]  - παράλληλη προβολή του σημείου Α στο επίπεδο.

μεγάλο  = (AA   ΒΒ) είναι μια παράλληλη προβολή μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο .

Δεν υπάρχει αναστρεψιμότητα. Ενας κεντρική προβολήσημεία δεν επιτρέπει να κρίνουμε τη θέση ενός σημείου στο χώρο. Α = ρε

Τα γεωμετρικά σχήματα προβάλλονται στο επίπεδο προβολής, γενικά, με παραμόρφωση. Η φύση της παραμόρφωσης εξαρτάται από τη συσκευή προβολής και τη θέση του προβαλλόμενου σχήματος σε σχέση με το επίπεδο προβολής.

Ειδικότερα, η παράλληλη προβολή παραβιάζει μετρικές προδιαγραφέςγεωμετρικά σχήματα (οι γραμμικές και γωνιακές τιμές παραμορφώνονται). Ορισμένες ιδιότητες μιας φιγούρας διατηρούνται στην προβολή της.

Οι ιδιότητες του σχήματος που διατηρούνται στην προβολή ονομάζονται ανεξάρτητες ή αμετάβλητες. Αυτά τα αμετάβλητες ιδιότητεςσυχνά λέγεται εν συντομία: αμετάβλητοι.

Αναλλοίωτα παράλληλης προβολής

Η προβολή ενός σημείου είναι ένα σημείο (Εικ. 1; Εικ. 2)

Η προβολή μιας ευθείας γραμμής είναι μια ευθεία γραμμή (Εικ. 1; Εικ. 2)



3 . Η προβολή ενός σημείου που ανήκει σε ευθεία γραμμή ανήκει στην προβολή.

αυτή η ευθεία γραμμή (Εικ. 1; Εικ. 2)

Η προβολή του σημείου τομής των γραμμών καθορίζεται από την τομή των προεξοχών αυτών των γραμμών (Εικ. 3)

Οι προβολές των αμοιβαία παράλληλων γραμμών είναι αμοιβαία παράλληλες (Εικ. 4)

Η αναλογία των μηκών των τμημάτων των αμοιβαία παράλληλων γραμμών είναι ίση με την αναλογία των μηκών των προεξοχών τους (Εικ. 4)

ΣΥΝΕΠΕΙΑ:εάν ένα ευθύγραμμο τμήμα διαιρείται με ένα σημείο σε οποιαδήποτε αναλογία, τότε η προβολή του τμήματος διαιρείται με την προβολή αυτού του σημείου στην ίδια αναλογία (Εικ. 5)

7 . Ένα επίπεδο σχήμα παράλληλο στο επίπεδο των προβολών προβάλλεται σε αυτό το επίπεδο σε ένα ομοιόμορφο σχήμα (Εικ. 6)

Ρύζι. 3 Εικ. τέσσερις

Ρύζι. 5 Εικ. 6

1. Ορθογώνια (ορθογώνια) προβολή

Ειδική περίπτωση παράλληλης προβολής, στην οποία η κατεύθυνση προβολής είναι κάθετη στο επίπεδο προβολής (Εικ. 7)

Σε αυτό που ακολουθεί, χρησιμοποιείται άνευ όρων η ορθογώνια προβολή.

Μια ορθογραφική προβολή διατηρεί όλες τις ιδιότητες μιας παράλληλης προβολής. Επιπλέον, για την ορθογώνια προβολή, το θεώρημα της προβολής ορθή γωνία(βλ. θέμα Νο. 6) και εφαρμόστε τη μέθοδο προσδιορισμού της απόστασης μεταξύ σημείων (δηλαδή, το μήκος του τμήματος, βλέπε θέμα Νο. 3), που ονομάζεται μέθοδος ορθογωνίου τριγώνου.

Ρύζι. 7

ΛΕΠΤΟΜΕΡΩΣ...

Η θέση ενός αντικειμένου στο χώρο καθορίζεται από τα τέσσερα σημεία του που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Η εικόνα ενός χωροαντικειμένου στο σχέδιο μειώνεται στην κατασκευή προβολών του συνόλου των σημείων αυτού του αντικειμένου στο επίπεδο R(ονομάζεται επίπεδο προβολής) χρησιμοποιώντας ευθείες γραμμές (ακτίνες προβολής) που διέρχονται από τα σημεία του αντικειμένου και κατευθύνονται προς το κέντρο προβολής μικρό.

Ωστόσο, για να κατασκευαστεί μια προβολή ενός αντικειμένου, δεν είναι απαραίτητο να κατασκευαστούν όλα τα σημεία του. Αρκεί να βρούμε μόνο τις προβολές χαρακτηριστικών σημείων (κορυφές, ακμές κ.λπ.), τα οποία στη συνέχεια συνδέονται με αντίστοιχη γραμμή.

Οι προεξέχουσες ακτίνες μαζί σχηματίζονται επιφάνεια προβολής. Έτσι, κατά την προβολή μιας ευθείας γραμμής ΑΒ, η επιφάνεια προβολής είναι το επίπεδο ΑΒ βα(ρύζι.).

Γραμμή τομής αβπροεξέχον επίπεδο με επίπεδο Rείναι μια προβολή μιας ευθείας γραμμής ΑΒ, το οποίο συντίθεται από τις προβολές των επιμέρους σημείων του.

Η προβολή είναι σαν μια σκιά που ρίχνεται από ένα αντικείμενο που φωτίζεται από μια λάμπα ή τον ήλιο.

Κατά την προβολή μιας καμπύλης γραμμής στην πρώτη περίπτωση, σχηματίζονται οι προεξέχουσες ακτίνες κωνική επιφάνειαμε την κορυφή στο σημείο μικρό, αποδεικνύεται προς τηνονική (προοπτική) εικόνα της καμπύλης (Εικ. 2). Στη δεύτερη περίπτωση, ο κώνος των προβαλλόμενων ακτίνων μετατρέπεται σε κύλινδρο και η κωνική εικόνα γίνεται κυλινδρική (παράλληλη) (Εικ. 2). Η προβολή της καμπύλης γραμμής θεωρείται στην περίπτωση αυτή ως η γραμμή τομής της προεξέχουσας επιφάνειας με το επίπεδο R.

Σε προοπτική, το αντικείμενο απεικονίζεται όπως φαίνεται στο μάτι του παρατηρητή. Ο φακός του ματιού είναι το κέντρο προβολής. Καθένας από εμάς είναι εξοικειωμένος με το ακόλουθο φαινόμενο: αν κοιτάξετε κατά μήκος του καμβά ΣΙΔΗΡΟΔΡΟΜΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ, μας φαίνεται ότι οι ράγες φαίνονται να πλησιάζουν η μία την άλλη και συγκλίνουν στον ορίζοντα σε ένα σημείο (κέντρο) και τα στηρίγματα που βρίσκονται κατά μήκος των σιδηροτροχιών μειώνονται καθώς απομακρύνονται.

Παράλληλη προβολή -μια ειδική περίπτωση προοπτικής. Η ουσία της παράλληλης προβολής είναι η εξής: εάν αφαιρέσουμε υπό όρους το κέντρο προβολής στο άπειρο, τότε οι προβαλλόμενες ακτίνες μπορούν να θεωρηθούν παράλληλες.

Έτσι, για να φτιάξουμε μια παράλληλη προβολή ενός τριγώνου αλφάβητο(Εικ.), πρέπει να ορίσετε: R- επίπεδο προβολής (όχι παράλληλο και δεν συμπίπτει με την κατεύθυνση των προβαλλόμενων ακτίνων). μικρό- την κατεύθυνση των προβαλλόμενων ακτίνων (κατεύθυνση προβολής).

Περαιτέρω, οι προβαλλόμενες ακτίνες διέρχονται από τα χαρακτηριστικά σημεία του αντικειμένου Αχ,Вbκαι σσπαράλληλα με την κατεύθυνση της προβολής και στη συνέχεια βρείτε τα σημεία ένα,σικαι από τη διασταύρωση τους με το επίπεδο R. Αυτά τα σημεία είναι οι επιθυμητές παράλληλες προβολές των σημείων ΑΛΛΑ,ΣΤΟκαι ΑΠΟδεδομένο τρίγωνο.

Προβολή αλφάβητο- τη γραμμή τομής της προεξέχουσας πρισματικής επιφάνειας με το επίπεδο R. Το σχήμα και οι διαστάσεις μιας παράλληλης προβολής ενός αντικειμένου για μια δεδομένη κατεύθυνση προβολής εξαρτώνται μόνο από την επιλογή της κατεύθυνσης του επιπέδου προβολής και δεν εξαρτώνται από την απόστασή του από το αντικείμενο. Τρίγωνο που βρίσκεται σε ένα επίπεδο RΤο 1 , παράλληλα με το επίπεδο προβολής, προβάλλεται ίσο με το δεδομένο. Σε αυτήν την περίπτωση αβ=ΑΒ,προ ΧΡΙΣΤΟΥ=προ ΧΡΙΣΤΟΥ,μετα Χριστον=ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.

Ανάλογα με τη γωνία κλίσης της προεξέχουσας δέσμης προς το επίπεδο προβολής, η παράλληλη προβολή χωρίζεται σε δύο τύπους: ορθογώνιο και λοξό.

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΣ(ή ορθογώνια) προβολή καλείται όταν η κατεύθυνση προβολής επιλέγεται κάθετα στο επίπεδο προβολής. Αλλιώς λέγεται ΛΟΞΟΣ.

Με την ορθογώνια προβολή (Εικ. 7), η τιμή του συντελεστή παραμόρφωσης δεν μπορεί να υπερβαίνει τη μονάδα.

Σε λοξές προεξοχές (Εικ. 5), ο συντελεστής παραμόρφωσης ( Προς την=αβ/ΑΒ) αυτού του τμήματος ΑΒμπορεί να λάβει οποιεσδήποτε αριθμητικές τιμές ανάλογα με την κλίση του τμήματος και τις προεξέχουσες ακτίνες στο επίπεδο προβολής. Συγκεκριμένα, εάν η κατεύθυνση του τμήματος συμπίπτει με την κατεύθυνση προβολής, τότε η προβολή αυτού του τμήματος θα είναι ένα σημείο και ο συντελεστής παραμόρφωσης είναι μηδέν.

Διατηρητέα παράλληλης προβολής βασικές ιδιότητεςοι προοπτικές είναι:

1) η προβολή ενός σημείου είναι ένα σημείο.

2) η προβολή μιας ευθείας γραμμής στη γενική περίπτωση θα είναι μια ευθεία γραμμή.

3) κάθε σημείο που ανήκει σε οποιαδήποτε ευθεία αντιστοιχεί στην προβολή αυτού του σημείου στην προβολή αυτής της ευθείας.

Επιπλέον, η παράλληλη προβολή έχει μια σειρά από (μόνο εγγενείς) ιδιότητες:

4) εάν ένα σημείο βρίσκεται σε ένα ευθύγραμμο τμήμα, τότε η προβολή αυτού του σημείου διαιρεί την προβολή του τμήματος στην ίδια αναλογία με

το σημείο διαιρεί το τμήμα, δηλ. ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ/CB=άσσος/γβ(Εικ. 5);

5) η προβολή των τεμνόμενων τμημάτων θα είναι επίσης τα τεμνόμενα τμήματα και το σημείο τομής τους θα είναι η προβολή του σημείου τομής αυτών των τμημάτων (Εικ. 3).

6) οι προβολές των παράλληλων τμημάτων είναι παράλληλες, ίδιας κατεύθυνσης και ο λόγος τους είναι ίσος με τον λόγο των μηκών των τμημάτων, δηλ. αβCDκαι ΑΒ/CD=αβ/CD(Εικ. 4);

στην ορθογώνια προβολή, μια ορθή γωνία προβάλλεται σε ορθή γωνία μόνο εάν μια από τις πλευρές της είναι παράλληλη προς το επίπεδο προβολής και η άλλη δεν είναι προεξέχουσα δέσμη (θεώρημα προβολής ορθής γωνίας).