» Μάθημα 15

Μάθημα 15

Μέθοδος Cramer

(SLN)
- αναγνωριστικό συστήματος
Εάν η ορίζουσα του SLE είναι μη μηδενική, τότε η λύση του συστήματος προσδιορίζεται μοναδικά από τους τύπους Cramer:
, , ()
όπου:

	Για να γίνει αυτό, στη στήλη όπου είναι η μεταβλητή x, και επομένως στην πρώτη στήλη, αντί για τους συντελεστές στο x, βάζουμε τους ελεύθερους συντελεστές, οι οποίοι στο σύστημα των εξισώσεων βρίσκονται στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων.
	Για να γίνει αυτό, στη στήλη όπου η μεταβλητή y είναι (2η στήλη), αντί για τους συντελεστές στο y, βάζουμε τους ελεύθερους συντελεστές, οι οποίοι στο σύστημα των εξισώσεων βρίσκονται στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων.
	Για να γίνει αυτό, στη στήλη όπου βρίσκεται η μεταβλητή z, που σημαίνει την τρίτη στήλη, αντί για τους συντελεστές στο z, βάζουμε τους ελεύθερους συντελεστές, οι οποίοι στο σύστημα εξισώσεων βρίσκονται στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων.

Ασκηση 1.Επίλυση SLE με τύπους Cramer στο Excel

Πρόοδος απόφασης

1. Γράφουμε την εξίσωση σε μορφή πίνακα:

2. Εισαγάγετε τους πίνακα A και B στο Excel.

3. Βρείτε την ορίζουσα του πίνακα Α. Θα πρέπει να είναι ίση με 30.

4. Η ορίζουσα του συστήματος είναι διαφορετική από το μηδέν, επομένως - η λύση καθορίζεται μοναδικά από τους τύπους του Cramer.

5. Συμπληρώστε τις τιμές dX, dY, dZ στο φύλλο Excel (δείτε την παρακάτω εικόνα).

6. Για να υπολογίσετε τις τιμές dX, dY, dZ στα κελιά F8, F12, F16, πρέπει να εισαγάγετε μια συνάρτηση που υπολογίζει τον ορίζοντα dX, dY, dZ, αντίστοιχα.

7. Για να υπολογίσετε την τιμή του X στο κελί I8, πρέπει να εισαγάγετε τον τύπο =F8/B5 (σύμφωνα με τον τύπο του Cramer dX/|A|).

8. Εισαγάγετε τύπους για να υπολογίσετε μόνοι σας το Y και το Z.

Εργασία 2: βρείτε ανεξάρτητα τη λύση του SLE με τη μέθοδο Cramer:

οι τύποι του Cramer και μέθοδος μήτραςλύσεις συστημάτων γραμμικές εξισώσειςδεν έχουν σοβαρές Πρακτική εφαρμογη, δεδομένου ότι περιλαμβάνουν δυσκίνητους υπολογισμούς. Στην πράξη, η μέθοδος Gauss χρησιμοποιείται συχνότερα για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων.

Μέθοδος Gauss

Η διαδικασία λύσης Gauss αποτελείται από δύο βήματα.

1. Ίσιο κτύπημα:το σύστημα ανάγεται σε βαθμιδωτή (ιδίως τριγωνική) μορφή.

Για να λυθεί ένα σύστημα εξισώσεων, ο επαυξημένος πίνακας αυτού του συστήματος γράφεται

και πάνω από τις σειρές αυτού του πίνακα παράγουν στοιχειώδεις μεταμορφώσεις, φέρνοντάς το στη μορφή όταν τα μηδενικά θα βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο.
Επιτρέπεται η εκτέλεση στοιχειωδών μετασχηματισμών σε πίνακες.
Με τη βοήθεια αυτών των μετασχηματισμών, κάθε φορά λαμβάνεται ο επαυξημένος πίνακας νέο σύστημα, ισοδύναμο με το αρχικό, δηλ. ένα σύστημα του οποίου η λύση συμπίπτει με τη λύση του αρχικού συστήματος.

2. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ: υπάρχει ένας διαδοχικός προσδιορισμός αγνώστων από αυτό το σταδιακό σύστημα.

Παράδειγμα.Ρύθμιση συμβατότητας και επίλυση συστήματος

Λύση.
Απευθείας κίνηση:Ας γράψουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και ανταλλάξουμε την πρώτη και τη δεύτερη σειρά έτσι ώστε το στοιχείο να είναι ίσο με ένα (είναι πιο βολικό να εκτελούνται μετασχηματισμοί πίνακα με αυτόν τον τρόπο).



.

Εχουμε Οι τάξεις του πίνακα του συστήματος και του εκτεταμένου πίνακα του συνέπεσαν με τον αριθμό των αγνώστων. Σύμφωνα με το θεώρημα Kronecker-Capelli, το σύστημα των εξισώσεων είναι συνεπές και η επίλυσή του είναι μοναδική.
Αντίστροφη κίνηση:Ας γράψουμε το σύστημα των εξισώσεων, τον διευρυμένο πίνακα του οποίου λάβαμε ως αποτέλεσμα μετασχηματισμών:

Έχουμε λοιπόν.
Περαιτέρω, αντικαθιστώντας την τρίτη εξίσωση, βρίσκουμε .
Αντικαθιστώντας και στη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε .
Αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση που βρέθηκε παίρνουμε .
Έτσι, έχουμε μια λύση στο σύστημα.

Επίλυση SLE με τη μέθοδο Gauss στο Excel:

Το κείμενο θα σας ζητήσει να εισαγάγετε έναν τύπο της μορφής: (=A1:B3+$C$2:$C$3) στην περιοχή των κελιών, κ.λπ., αυτοί είναι οι λεγόμενοι "τύποι πίνακα". Microsoft Excelτο περικλείει αυτόματα σε σγουρά σιδεράκια (( )). Για να εισαγάγετε αυτόν τον τύπο τύπου, επιλέξτε ολόκληρη την περιοχή όπου θέλετε να εισαγάγετε τον τύπο, εισαγάγετε τον τύπο χωρίς σγουρές αγκύλες στο πρώτο κελί (για το παραπάνω παράδειγμα - =A1:B3+$C$2:$C$3) και πατήστε Ctrl +Shift+Enter.
Ας έχουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

1. Ας γράψουμε τους συντελεστές του συστήματος εξισώσεων στα κελιά Α1:Δ4 και τη στήλη των ελεύθερων όρων στα κελιά Ε1:Ε4. Αν σε κελίΑ'1είναι 0, πρέπει να αλλάξετε τις σειρές έτσι ώστε αυτό το κελί να έχει μη μηδενική τιμή. Για μεγαλύτερη σαφήνεια, μπορείτε να προσθέσετε ένα γέμισμα στα κελιά στα οποία βρίσκονται τα ελεύθερα μέλη.

2. Είναι απαραίτητο να μειωθεί ο συντελεστής στο x1 σε όλες τις εξισώσεις εκτός από την πρώτη σε 0. Αρχικά, ας το κάνουμε αυτό για τη δεύτερη εξίσωση. Αντιγράψτε την πρώτη γραμμή στα κελιά A6:E6 χωρίς αλλαγές, στα κελιά A7:E7 πρέπει να εισαγάγετε τον τύπο: (=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)). Έτσι, αφαιρούμε την πρώτη σειρά από τη δεύτερη σειρά, πολλαπλασιαζόμενη με A2/$A$1, δηλ. ο λόγος των πρώτων συντελεστών της δεύτερης και της πρώτης εξίσωσης. Για τη διευκόλυνση της συμπλήρωσης των γραμμών 8 και 9, οι αναφορές στα κελιά της πρώτης γραμμής πρέπει να είναι απόλυτες (χρησιμοποιούμε το σύμβολο $).

3. Αντιγράφουμε τον εισαγόμενο τύπο στις γραμμές 8 και 9, απαλλαγούμε έτσι από τους συντελεστές μπροστά από το x1 σε όλες τις εξισώσεις εκτός από την πρώτη.

4. Τώρα ας φέρουμε τους συντελεστές μπροστά από το x2 στην τρίτη και τέταρτη εξίσωση στο 0. Για να το κάνετε αυτό, αντιγράψτε τις προκύπτουσες 6η και 7η σειρές (μόνο τιμές) στις σειρές 11 και 12 και στα κελιά A13:E13 εισαγάγετε τον τύπο (=A8:E8-$ A$7:$E$7*(B8/$B$7)), το οποίο στη συνέχεια αντιγράφουμε στα κελιά A14:E14. Έτσι, πραγματοποιείται η διαφορά των σειρών 8 και 7, πολλαπλασιαζόμενη με τον συντελεστή B8/$B$7. .

5. Απομένει να φέρουμε τον συντελεστή x3 στην τέταρτη εξίσωση στο 0, για αυτό θα κάνουμε πάλι το ίδιο: αντιγράψτε τις προκύπτουσες 11η, 12η και 13η σειρές (μόνο τιμές) στις σειρές 16-18 και εισάγετε τον τύπο ( = A14: E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)). Έτσι, πραγματοποιείται η διαφορά μεταξύ των σειρών 14 και 13, πολλαπλασιαζόμενη με τον συντελεστή C14/$C$13. Μην ξεχάσετε να μεταθέσετε τις γραμμές για να απαλλαγείτε από το 0 στον παρονομαστή του κλάσματος.

6. Ολοκληρώθηκε η σάρωση Gaussian προς τα εμπρός. Ας ξεκινήσουμε την αντίστροφη σειρά από την τελευταία σειρά του πίνακα που προκύπτει. Είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε όλα τα στοιχεία της τελευταίας σειράς με τον συντελεστή x4. Για να γίνει αυτό, στη γραμμή 24 εισάγουμε τον τύπο (=A19:E19/D19).

7. Ας φέρουμε όλες τις γραμμές σε μια παρόμοια φόρμα, για αυτό συμπληρώνουμε τις γραμμές 23, 22, 21 με τους ακόλουθους τύπους:

23: (=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18) - αφαιρούμε την τέταρτη σειρά πολλαπλασιασμένη με τον συντελεστή x4 της τρίτης σειράς από την τρίτη σειρά.

22: (=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17) – αφαιρέστε την τρίτη και την τέταρτη γραμμή από τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με τους αντίστοιχους συντελεστές.

21: (=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16) – αφαιρέστε τη δεύτερη, την τρίτη και την τέταρτη από την πρώτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενοι με τους αντίστοιχους συντελεστές.

Το αποτέλεσμα (οι ρίζες της εξίσωσης) υπολογίζεται στα κελιά E21:E24.

Συντάκτης: Saliy N.A.

Η μέθοδος του Cramer βασίζεται στη χρήση οριζόντων στην επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Αυτό επιταχύνει σημαντικά τη διαδικασία λύσης.

Η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση ενός συστήματος τόσων γραμμικών εξισώσεων όσες υπάρχουν άγνωστοι σε κάθε εξίσωση. Εάν η ορίζουσα του συστήματος δεν είναι ίση με μηδέν, τότε η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη λύση, εάν είναι ίση με μηδέν, τότε δεν μπορεί. Επιπλέον, η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων που έχουν μοναδική λύση.

Ορισμός. Η ορίζουσα, που αποτελείται από τους συντελεστές των αγνώστων, ονομάζεται ορίζουσα του συστήματος και συμβολίζεται με (δέλτα).

Καθοριστικές

λαμβάνονται αντικαθιστώντας τους συντελεστές στους αντίστοιχους αγνώστους με ελεύθερους όρους:

;

.

Θεώρημα Cramer. Αν η ορίζουσα του συστήματος είναι μη μηδενική, τότε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων έχει μία μόνο λύση και ο άγνωστος είναι ίσος με τον λόγο των οριζόντων. Ο παρονομαστής είναι η ορίζουσα του συστήματος και ο αριθμητής είναι η ορίζουσα που λαμβάνεται από την ορίζουσα του συστήματος αντικαθιστώντας τους συντελεστές με τον άγνωστο με ελεύθερους όρους. Αυτό το θεώρημα ισχύει για ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων οποιασδήποτε τάξης.

Παράδειγμα 1Να λύσετε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων:

Σύμφωνα με Θεώρημα Cramerέχουμε:

Άρα, η λύση του συστήματος (2):

ηλεκτρονική αριθμομηχανή, αποφασιστική μέθοδοςΚράμερ.

Τρεις περιπτώσεις στην επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Όπως φαίνεται από Θεωρήματα Cramer, κατά την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, μπορεί να προκύψουν τρεις περιπτώσεις:

Πρώτη περίπτωση: το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων έχει μια μοναδική λύση

(το σύστημα είναι συνεπές και συγκεκριμένο)

Δεύτερη περίπτωση: το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων έχει αμέτρητοςαποφάσεις

(το σύστημα είναι συνεπές και απροσδιόριστο)

** ,

εκείνοι. οι συντελεστές των αγνώστων και των ελεύθερων όρων είναι ανάλογοι.

Τρίτη περίπτωση: το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων δεν έχει λύσεις

(σύστημα ασυνεπές)

Το σύστημα λοιπόν Μγραμμικές εξισώσεις με nμεταβλητές καλείται ασύμβατεςαν δεν έχει λύσεις, και άρθρωσηαν έχει τουλάχιστον μία λύση. σύστημα άρθρωσηςλέγονται εξισώσεις που έχουν μόνο μία λύση βέβαιος, και περισσότερα από ένα αβέβαιος.

Παραδείγματα επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Cramer

Αφήστε το σύστημα

.

Με βάση το θεώρημα του Cramer

………….
,

όπου
-

αναγνωριστικό συστήματος. Οι υπόλοιπες ορίζουσες λαμβάνονται αντικαθιστώντας τη στήλη με τους συντελεστές της αντίστοιχης μεταβλητής (άγνωστη) με ελεύθερα μέλη:

Παράδειγμα 2

.

Επομένως, το σύστημα είναι καθορισμένο. Για να βρούμε τη λύση του, υπολογίζουμε τις ορίζουσες

Με τους τύπους του Cramer βρίσκουμε:

Άρα, (1; 0; -1) είναι η μόνη λύση στο σύστημα.

Για να ελέγξετε τις λύσεις συστημάτων των εξισώσεων 3 Χ 3 και 4 Χ 4, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ηλεκτρονική αριθμομηχανή, τη μέθοδο επίλυσης Cramer.

Αν στο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων δεν υπάρχουν μεταβλητές σε μία ή περισσότερες εξισώσεις, τότε στην ορίζουσα τα στοιχεία που τους αντιστοιχούν είναι ίσα με μηδέν! Αυτό είναι το επόμενο παράδειγμα.

Παράδειγμα 3Να λύσετε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer:

.

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Κοιτάξτε προσεκτικά το σύστημα των εξισώσεων και την ορίζουσα του συστήματος και επαναλάβετε την απάντηση στο ερώτημα σε ποιες περιπτώσεις ένα ή περισσότερα στοιχεία της ορίζουσας είναι ίσα με μηδέν. Άρα, η ορίζουσα δεν είναι ίση με μηδέν, επομένως, το σύστημα είναι οριστικό. Για να βρούμε τη λύση του, υπολογίζουμε τις ορίζουσες για τους αγνώστους

Με τους τύπους του Cramer βρίσκουμε:

Άρα, η λύση του συστήματος είναι (2; -1; 1).

Για να ελέγξετε τις λύσεις συστημάτων των εξισώσεων 3 Χ 3 και 4 Χ 4, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ηλεκτρονική αριθμομηχανή, τη μέθοδο επίλυσης Cramer.

Αρχή σελίδας

Συνεχίζουμε να λύνουμε συστήματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer μαζί

Όπως ήδη αναφέρθηκε, αν η ορίζουσα του συστήματος είναι ίση με μηδέν και οι ορίζουσες για τους αγνώστους δεν είναι ίσες με μηδέν, το σύστημα είναι ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις. Ας το διευκρινίσουμε με το ακόλουθο παράδειγμα.

Παράδειγμα 6Να λύσετε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer:

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Η ορίζουσα του συστήματος είναι ίση με μηδέν, επομένως, το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων είναι είτε ασυνεπές και οριστικό, είτε ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις. Για να διευκρινίσουμε, υπολογίζουμε τις ορίζουσες για τους αγνώστους

Οι ορίζουσες για τους αγνώστους δεν είναι ίσες με το μηδέν, επομένως, το σύστημα είναι ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις.

Για να ελέγξετε τις λύσεις συστημάτων των εξισώσεων 3 Χ 3 και 4 Χ 4, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ηλεκτρονική αριθμομηχανή, τη μέθοδο επίλυσης Cramer.

Σε προβλήματα σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων, υπάρχουν και εκείνα όπου, εκτός από τα γράμματα που δηλώνουν μεταβλητές, υπάρχουν και άλλα γράμματα. Αυτά τα γράμματα αντιπροσωπεύουν κάποιο αριθμό, τις περισσότερες φορές έναν πραγματικό αριθμό. Στην πράξη, τέτοιες εξισώσεις και συστήματα εξισώσεων οδηγούν σε προβλήματα αναζήτησης κοινές ιδιότητεςοποιαδήποτε φαινόμενα ή αντικείμενα. Δηλαδή εφηύρατε κανένα νέο υλικόή μια συσκευή, και για να περιγράψουμε τις ιδιότητές της, που είναι κοινές ανεξάρτητα από το μέγεθος ή τον αριθμό των αντιγράφων, είναι απαραίτητο να λυθεί ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, όπου αντί για κάποιους συντελεστές για μεταβλητές υπάρχουν γράμματα. Δεν χρειάζεται να ψάξετε μακριά για παραδείγματα.

Το επόμενο παράδειγμα είναι για ένα παρόμοιο πρόβλημα, μόνο ο αριθμός των εξισώσεων, των μεταβλητών και των γραμμάτων που δηλώνουν κάποιο πραγματικό αριθμό αυξάνεται.

Παράδειγμα 8Να λύσετε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer:

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Εύρεση ορίζουσες για αγνώστους

Λύση γραμμικών συστημάτων αλγεβρικές εξισώσειςστο Excel Οι μέθοδοι επίλυσης συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων περιγράφονται καλά στο εγχειρίδιο "Fundamentals of Computational Mathematics. Demidovich BP, Maron IA 1966". Λήψη - 11 Mb

1. Μέθοδος αντίστροφου πίνακα (λύση στο Excel)

Δίνεται η εξίσωση:
A*X = B, όπου το A είναι τετράγωνη μήτρα, X,B - διανύσματα;
και Β - διάσημο διάνυσμα(δηλαδή μια στήλη αριθμών), το X είναι ένα άγνωστο διάνυσμα,
τότε η λύση Χ μπορεί να γραφτεί ως:
X = A -1 *B, όπου A -1 είναι το αντίστροφο του πίνακα A.
Στο MS Excel, ο αντίστροφος πίνακας υπολογίζεται από τη συνάρτηση MIN() και οι πίνακες (ή ένας πίνακας με ένα διάνυσμα) πολλαπλασιάζονται με τη συνάρτηση MMUM().

Υπάρχουν "λεπτές αποχρώσεις" στη χρήση αυτών ενέργειες μήτραςστο Excel. Έτσι, για να υπολογίσετε τον αντίστροφο πίνακα από τον πίνακα Α, χρειάζεστε:

1. Χρησιμοποιήστε το ποντίκι για να επιλέξετε μια τετράγωνη περιοχή κελιών όπου θα τοποθετηθεί η αντίστροφη μήτρα. 2. Αρχίστε να εισάγετε τον τύπο =MOBR(3. Επιλέξτε τη μήτρα Α με το ποντίκι. Σε αυτήν την περίπτωση, η αντίστοιχη περιοχή κελιών θα χωρέσει στα δεξιά της αγκύλης. 4. Κλείστε την αγκύλη, πατήστε το συνδυασμό πλήκτρων: Ctrl-Shift -Εισαγάγετε 5. Ο αντίστροφος πίνακας πρέπει να υπολογιστεί και να γεμίσει την περιοχή που προορίζεται για αυτόν Για να πολλαπλασιάσετε έναν πίνακα με ένα διάνυσμα: 1. Χρησιμοποιήστε το ποντίκι για να επιλέξετε την περιοχή των κελιών όπου θα τοποθετηθεί το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού. 2. Έναρξη εισάγοντας τον τύπο =MULTIPLE(3. Επιλέξτε τη μήτρα - τον πρώτο πολλαπλασιαστή με το ποντίκι. Σε αυτήν την περίπτωση, το αντίστοιχο εύρος κελιών θα εισαχθεί στα δεξιά της αγκύλης. 4. Εισαγάγετε το διαχωριστικό από το πληκτρολόγιο ; (Ερωτηματικό) 5. Επιλέξτε με το ποντίκι το διάνυσμα-δεύτερος παράγοντας. Σε αυτήν την περίπτωση, η αντίστοιχη περιοχή κελιών θα χωρέσει στα δεξιά της αγκύλης. 6. Κλείστε την αγκύλη, πατήστε το συνδυασμό πλήκτρων: Ctrl-Shift-Enter 7. το προϊόν θα πρέπει να υπολογιστεί και να συμπληρώσει την περιοχή που προορίζεται για αυτό και άλλος τρόπος που χρησιμοποιεί το κουμπί δημιουργίας συναρτήσεων Excel. Παράδειγμα SLAE 4ης τάξης

Κάντε λήψη του εγγράφου του Excel όπου επιλύεται αυτό το παράδειγμα διάφορες μεθόδους.

2. Μέθοδος Gauss

Η μέθοδος Gauss εκτελείται αναλυτικά (με βήματα) μόνο σε εκπαιδευτικούς σκοπούςόταν πρέπει να δείξετε ότι μπορείτε να το κάνετε. Και για να λύσετε ένα πραγματικό SLAE, είναι καλύτερο να εφαρμόσετε τη μέθοδο στο Excel αντίστροφη μήτραή χρησιμοποιήστε ειδικά προγράμματα, για παράδειγμα, αυτό

Σύντομη περιγραφή.

3. Μέθοδος Jacobi (μέθοδος απλών επαναλήψεων)

Για να εφαρμοστεί η μέθοδος Jacobi (και η μέθοδος Seidel), είναι απαραίτητο οι διαγώνιες συνιστώσες του πίνακα Α να είναι μεγαλύτερες από το άθροισμα των υπόλοιπων συνιστωσών της ίδιας σειράς. Σύστημα στόχουδεν έχει αυτήν την ιδιότητα, επομένως εκτελώ προκαταρκτικούς μετασχηματισμούς.

(1)' = (1) + 0,43*(2) - 0,18*(3) - 0,96*(4) (2)' = (2) + 0,28*(1) - 1 ,73*(3) + 0,12 *(4) (3)' = (3) – 0,27*(1) - 0,75*(2) + 0,08*(4) (4)' = (4) + 0,04*(1) – 6,50*(2) + 8.04*(3) Σημείωση: οι συντελεστές επιλέχθηκαν στο φύλλο "Ανάλυση". Επιλύονται συστήματα εξισώσεων, σκοπός των οποίων είναι να μηδενιστούν τα εκτός διαγώνια στοιχεία. Οι συντελεστές είναι τα στρογγυλεμένα αποτελέσματα της επίλυσης τέτοιων συστημάτων εξισώσεων. Φυσικά, αυτό δεν ισχύει. Ως αποτέλεσμα, παίρνω ένα σύστημα εξισώσεων:
Για να εφαρμοστεί η μέθοδος Jacobi, το σύστημα των εξισώσεων πρέπει να μετατραπεί στη μορφή:
Χ = Β2 + Α2*Χ

Στη συνέχεια, διαιρώ κάθε σειρά με τον παράγοντα της αριστερής στήλης, δηλαδή με 16, 7, 3, 70, αντίστοιχα. Τότε ο πίνακας Α2 έχει τη μορφή:


Και διάνυσμα Β2:

Σύντομη θεωρία από το μάθημα της άλγεβρας:

Έστω το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων (1). Μέθοδος μήτραςΗ επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των μεταβλητών.

Ας εισάγουμε τη σημειογραφία. Αφήνω ΑΛΛΑείναι ο πίνακας των συντελεστών για τις μεταβλητές, σιείναι το διάνυσμα των ελεύθερων όρων, Χείναι το διάνυσμα των μεταβλητών τιμών. Επειτα Χ=Α-1×Β, όπου Α'1– μήτρα, αντίστροφη ΑΛΛΑ. Επιπλέον, ο αντίστροφος πίνακας A -1 υπάρχει εάν η ορίζουσα του πίνακα A δεν είναι ίση με 0. Το γινόμενο του αρχικού πίνακα A και του αντίστροφου A -1 πρέπει να είναι ίσο με τον πίνακα ταυτότητας:

A -1 A \u003d AA -1 \u003d E.

Ασκηση: Να λύσετε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων:

Τεχνολογία εργασίας:

Έστω στην περιοχή A11:C13, δίνεται ο αρχικός πίνακας A, που αποτελείται από τους συντελεστές του συστήματος. Αρχικά, βρείτε την ορίζουσα του πίνακα A. Για να το κάνετε αυτό, στο κελί F15, πρέπει να καλέσετε Οδηγός λειτουργιών, Στην κατηγορία " Αναφορές και πίνακες"βρείτε μια συνάρτηση MOPRED() , ορίστε το όρισμά του σε A11:C13. Πήραμε το αποτέλεσμα 344. Αφού η ορίζουσα του αρχικού πίνακα Α δεν είναι ίση με 0, δηλ. υπάρχει ένας αντίστροφος πίνακας, οπότε το επόμενο βήμα είναι να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε την περιοχή A15:C17, όπου θα τοποθετηθεί ο αντίστροφος πίνακας. κλήση Οδηγοί λειτουργιών, στην κατηγορία " Αναφορές και πίνακες"βρείτε μια συνάρτηση MOBR( ), ορίστε το όρισμά του σε A11:С13 και πατήστε Shift+Ctrl+Enter. Για να ελέγξετε την ορθότητα του αντίστροφου πίνακα, πολλαπλασιάστε τον με τον αρχικό χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση MULT() . Καλέστε αυτήν τη λειτουργία αφού επιλέξετε την περιοχή A19:A21. Καθορίστε τον αρχικό πίνακα Α ως ορίσματα, π.χ. εύρος A11:C13 και αντίστροφος πίνακας, δηλ. εύρος A15:C17 και πατήστε Shift+Ctrl+Enter. Πήρα μήτρα ταυτότητας. Έτσι, ο αντίστροφος πίνακας βρίσκεται σωστά. Τώρα για να βρείτε το αποτέλεσμα, επιλέξτε την περιοχή F18:F20 για αυτό. Καλέστε μια συνάρτηση MULT() χρησιμοποιώντας Οδηγοί λειτουργιών, καθορίστε δύο εύρη συστοιχιών που θα πολλαπλασιάσετε - τον αντίστροφο πίνακα και τη στήλη των ελεύθερων μελών, π.χ. A15:C17 και E11:E13 και πατήστε Shift+Ctrl+Enter. Το αποτέλεσμα φαίνεται στο Σχήμα 6.

Τώρα μπορείτε να ελέγξετε την ορθότητα των λύσεων που βρέθηκαν x 1, x 2και x 3. Για να το κάνετε αυτό, εκτελέστε τον υπολογισμό κάθε εξίσωσης χρησιμοποιώντας τις τιμές που βρέθηκαν x 1, x 2και x 3. Για παράδειγμα, στο κελί G11, υπολογίστε την τιμή , και το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι ίσο με 3. Ας εισάγουμε τον ακόλουθο τύπο =A11*$F$18+B11*$F$19+C11*$F$20 . Αντιγράψτε αυτόν τον τύπο στα δύο κελιά παρακάτω, π.χ. σε G12 και G13. Αποκτήστε ξανά τη στήλη των δωρεάν μελών. Έτσι, η λύση του συστήματος των γραμμικών εξισώσεων είναι σωστή (Εικ. 80).

Εικόνα 80 - Επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων

Παραλλαγές μεμονωμένων εργασιών

Εργασία αριθμός 1.Υπολογίστε την τιμή μιας παράστασης χρησιμοποιώντας το Microsoft Excel:

Πίνακας 16 - Μεμονωμένες επιλογές για εργαστηριακές εργασίες