Προσδιορισμός των χαρακτηριστικών μιας τυχαίας συνάρτησης από την εμπειρία. Αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας συνάρτησης

Αφήστε πάνω από μια τυχαία συνάρτηση X(t)διεξήχθη Πανεξάρτητα πειράματα (παρατηρήσεις) και ως αποτέλεσμα προέκυψε Πυλοποιήσεις τυχαία συνάρτηση(Εικ. 15.4.1).

Ρύζι. 15.4.1

Απαιτείται να βρεθούν εκτιμήσεις για τα χαρακτηριστικά μιας τυχαίας συνάρτησης: τη μαθηματική προσδοκία της mx(t),αποκλίσεις Dx(t)και συνάρτηση συσχέτισης K x (t,t).

Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε μια σειρά τμημάτων της τυχαίας συνάρτησης για στιγμές στο χρόνο

και καταχωρήστε τις τιμές που δέχεται η συνάρτηση X(t)σε αυτές τις χρονικές στιγμές. Κάθε μια από τις στιγμές /, t2, ..., t mθα αντιστοιχεί Πτυχαίες τιμές συνάρτησης.

Αξίες /, I, t mσυνήθως προσδιορίζεται ως ίση απόσταση. το μέγεθος του διαστήματος μεταξύ γειτονικών τιμών επιλέγεται ανάλογα με τον τύπο των πειραματικών καμπυλών, έτσι ώστε η κύρια πορεία των καμπυλών να μπορεί να ανακατασκευαστεί από τα επιλεγμένα σημεία. Συχνά συμβαίνει ότι το διάστημα μεταξύ γειτονικών τιμών tρυθμίζεται ανεξάρτητα από τις εργασίες επεξεργασίας από τη συχνότητα λειτουργίας της συσκευής εγγραφής (για παράδειγμα, τον ρυθμό μιας κινηματογραφικής κάμερας).

Καταχωρισμένες τιμές X(t)εισάγονται σε έναν πίνακα, κάθε σειρά του οποίου αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη υλοποίηση και ο αριθμός των στηλών είναι ίσος με τον αριθμό των τιμών αναφοράς του ορίσματος (Πίνακας 15.4.1).

Πίνακας 15.4.1



Χ 2 (?2)	x 2 U k)	X 2 (ti)	x 2 (Jm)

			%Εγώ(tm)

X„(t 2)	X„(tk)	Χ" (?,)

Στον Πίνακα 15.4.1, η σειρά /th περιέχει τις τιμές της τυχαίας συνάρτησης που παρατηρείται στην εφαρμογή /th (/th πείραμα) με τις τιμές του ορίσματος, / 2, ..., tm.Σύμβολο Xj( 4) υποδεικνύεται η τιμή που αντιστοιχεί στην i-η πραγματοποίηση τη στιγμή tk.

Το υλικό που προκύπτει δεν είναι τίποτα άλλο από τα αποτελέσματα Ππειράματα στο σύστημα Τ τυχαίες μεταβλητές

και επεξεργάζεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο (βλ. υποενότητα 14.3). Πρώτα απ 'όλα, οι εκτιμήσεις για τις μαθηματικές προσδοκίες βρίσκονται χρησιμοποιώντας τον τύπο

τότε - για αποκλίσεις

και τέλος, για στιγμές συσχέτισης

Σε ορισμένες περιπτώσεις, κατά τον υπολογισμό των εκτιμήσεων για διακυμάνσεις και ροπές συσχέτισης, είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί η σύνδεση μεταξύ των αρχικών και κεντρικών ροπών και να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Οταν χρησιμοποιείτε πιο πρόσφατες επιλογέςτύπους, για να αποφευχθούν διαφορές μεταξύ κοντινών αριθμών, συνιστάται να μετακινήσετε εκ των προτέρων την αρχή της μέτρησης κατά μήκος του άξονα τεταγμένων πιο κοντά στη μαθηματική προσδοκία.

Αφού υπολογιστούν αυτά τα χαρακτηριστικά, είναι δυνατό, χρησιμοποιώντας μια σειρά τιμών m x (t (), m x (t 2), m x (t m),δημιουργία εξάρτησης mx(t)(Εικ. 15.4.1). Η εξάρτηση χτίζεται με παρόμοιο τρόπο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕΧ (/). Συνάρτηση δύο ορισμάτων K x (t,t")αναπαράγεται με βάση τις τιμές του σε ένα ορθογώνιο πλέγμα σημείων. Εάν είναι απαραίτητο, όλες αυτές οι συναρτήσεις προσεγγίζονται με ορισμένες αναλυτικές εκφράσεις.

15.5. Μέθοδοι για τον προσδιορισμό των χαρακτηριστικών των μετασχηματισμένων τυχαίων συναρτήσεων από τα χαρακτηριστικά των αρχικών τυχαίων συναρτήσεων

Στην προηγούμενη υποενότητα, εισηγηθήκαμε στη μέθοδο του άμεσου προσδιορισμού των χαρακτηριστικών μιας τυχαίας συνάρτησης από την εμπειρία. Αυτή η μέθοδος δεν χρησιμοποιείται πάντα. Πρώτον, η δημιουργία ειδικών πειραμάτων που έχουν σχεδιαστεί για τη μελέτη τυχαίων συναρτήσεων που μας ενδιαφέρουν μπορεί να αποδειχθεί πολύ δύσκολη και δαπανηρή.

Δεύτερον, συχνά χρειάζεται να μελετήσουμε τυχαίες συναρτήσεις που χαρακτηρίζουν σφάλματα σε όργανα, συσκευές ανίχνευσης, συστήματα ελέγχου κ.λπ. που δεν υπάρχουν ακόμη, αλλά απλώς σχεδιάζονται ή αναπτύσσονται. Επιπλέον, η μελέτη αυτών των σφαλμάτων γίνεται συνήθως με ακρίβεια προκειμένου να επιλεγούν ορθολογικά οι παράμετροι σχεδιασμού του συστήματος ώστε να οδηγήσουν σε ελάχιστα σφάλματα.

Είναι σαφές ότι σε αυτή την περίπτωση, η άμεση μελέτη τυχαίων συναρτήσεων που χαρακτηρίζουν τη λειτουργία του συστήματος δεν είναι πρακτική και σε ορισμένες περιπτώσεις είναι εντελώς αδύνατη. Σε τέτοιες περιπτώσεις, όχι άμεσες, αλλά έμμεσες μέθοδοι μελέτης τυχαίων συναρτήσεων χρησιμοποιούνται ως κύριες μέθοδοι εργασίας. Έχουμε ήδη χρησιμοποιήσει παρόμοιες έμμεσες μεθόδους στη μελέτη των τυχαίων μεταβλητών: ορισμένα κεφάλαια του μαθήματός μας -10,11,12- αφιερώθηκαν στην εύρεση των νόμων της κατανομής και αριθμητικά χαρακτηριστικάτυχαίες μεταβλητές έμμεσα, σύμφωνα με τους νόμους της κατανομής και τα αριθμητικά χαρακτηριστικά άλλων τυχαίων μεταβλητών που σχετίζονται με αυτές. Χρησιμοποιώντας εντελώς παρόμοιες μεθόδους, είναι δυνατός ο προσδιορισμός των χαρακτηριστικών των τυχαίων συναρτήσεων έμμεσα, από τα χαρακτηριστικά άλλων τυχαίων συναρτήσεων που σχετίζονται με αυτές. Η ανάπτυξη τέτοιων έμμεσων μεθόδων είναι το κύριο περιεχόμενο εφαρμοσμένη θεωρίατυχαίες συναρτήσεις.

Το πρόβλημα της έμμεσης μελέτης των τυχαίων συναρτήσεων στην πράξη εμφανίζεται συνήθως με την ακόλουθη μορφή.

Ρύζι. 15.5.1

Υπάρχει κάποιο δυναμικό σύστημα ΕΝΑ;Με τον όρο «δυναμικό σύστημα» εννοούμε οποιαδήποτε συσκευή, όραση, υπολογιστικό μηχανισμό, σύστημα αυτόματο έλεγχοκαι ούτω καθεξής. Αυτό το σύστημα μπορεί να είναι μηχανικό, ηλεκτρικό ή να περιέχει άλλα στοιχεία. Θα φανταστούμε τη λειτουργία του συστήματος ως εξής: ορισμένα δεδομένα εισόδου λαμβάνονται συνεχώς στην είσοδο του συστήματος. το σύστημα τα επεξεργάζεται και παράγει συνεχώς κάποιο αποτέλεσμα. Ας συμφωνήσουμε να ονομάσουμε τα δεδομένα που εισάγονται στο σύστημα "επίδραση" και το αποτέλεσμα εξόδου ως "αντίδραση" του συστήματος σε αυτήν την επίδραση. Οι επιρροές μπορεί να περιλαμβάνουν μεταβαλλόμενες τάσεις, γωνιακές και γραμμικές συντεταγμένεςτυχόν αντικείμενα, σήματα ή εντολές που αποστέλλονται στο σύστημα ελέγχου κ.λπ. Ομοίως, η αντίδραση του συστήματος μπορεί να δημιουργηθεί με τη μία ή την άλλη μορφή: με τη μορφή τάσεων, γωνιακών μετατοπίσεων κ.λπ. Για παράδειγμα, για ένα εναέριο θέαμα πυρκαγιάς, η πρόσκρουση είναι η γωνιακή συντεταγμένη ενός κινούμενου στόχου, που μετράται συνεχώς κατά τη διαδικασία παρακολούθησης, και η αντίδραση είναι η γωνία απαγωγής. Ας εξετάσουμε την απλούστερη περίπτωση: όταν η είσοδος του συστήματος ΕΝΑεφαρμόζεται μόνο μία κρούση, η οποία είναι συνάρτηση του χρόνου x(/); Η απάντηση του συστήματος σε αυτόν τον αντίκτυπο είναι μια άλλη συνάρτηση του χρόνου στο(/). Διάγραμμα λειτουργίας συστήματος ΕΝΑσυμβατικά φαίνεται στο Σχ. 15.5.1. Θα πούμε ότι το σύστημα ΕΝΑπραγματοποιεί κάποιο μετασχηματισμό στο εφέ εισόδου, ως αποτέλεσμα του οποίου η συνάρτηση x(f)μετατρέπεται σε άλλη συνάρτηση στο(/). Ας γράψουμε αυτόν τον μετασχηματισμό συμβολικά με τη μορφή:

Μετατροπή ΕΝΑμπορεί να είναι οποιουδήποτε τύπου και οποιασδήποτε πολυπλοκότητας. Στα περισσότερα απλές περιπτώσειςΑυτό είναι, για παράδειγμα, πολλαπλασιασμός με έναν δεδομένο παράγοντα (ενισχυτές, πολλαπλασιαστικοί μηχανισμοί), διαφοροποίηση ή ολοκλήρωση (διαφοροποίηση ή ολοκλήρωση συσκευών). Ωστόσο, στην πράξη, συστήματα που εφαρμόζουν καθαρή μορφήΤέτοιοι απλοί μετασχηματισμοί δεν συμβαίνουν σχεδόν ποτέ. Κατά κανόνα, η λειτουργία του συστήματος περιγράφεται με διαφορικές εξισώσεις και ο μετασχηματισμός ΕΝΑκαταλήγει σε μια απόφαση διαφορική εξίσωση, συνδέοντας το αποτέλεσμα x (/) με την αντίδραση y (I).

Κατά την έρευνα δυναμικό σύστημαΠρώτα απ 'όλα, επιλύεται το κύριο καθήκον: σύμφωνα με μια δεδομένη επίδραση x(t)καθορίσει την απόκριση του συστήματος y(t).Ωστόσο για πλήρη έρευνακαι αξιολογώντας τις τεχνικές του ιδιότητες, μια τέτοια στοιχειώδης προσέγγιση είναι ανεπαρκής. Στην πραγματικότητα, η επιρροή x(/) δεν εισέρχεται ποτέ στην είσοδο του συστήματος στην καθαρή της μορφή. διαστρεβλώνεται πάντα από κάποιους τυχαία σφάλματα(διαταραχές), με αποτέλεσμα να μην επηρεάζεται ουσιαστικά το σύστημα δεδομένη λειτουργία x(t),και η τυχαία συνάρτηση X(t)Κατά συνέπεια, το σύστημα παράγει μια τυχαία συνάρτηση ως αντίδραση Y(t),επίσης διαφορετική από τη θεωρητική αντίδραση y (/) (Εικ. 15.5.2).

Ρύζι. 15.5.2

Φυσικά προκύπτει το ερώτημα: πόσο μεγάλες θα είναι οι τυχαίες παραμορφώσεις στην απόκριση του συστήματος με την παρουσία τυχαίων διαταραχών στην είσοδό του; Και περαιτέρω: πώς πρέπει να επιλεγούν οι παράμετροι του συστήματος ώστε αυτές οι παραμορφώσεις να είναι ελάχιστες;

Η λύση σε τέτοια προβλήματα δεν μπορεί να επιτευχθεί με μεθόδους κλασική θεωρίαπιθανότητες? το μόνο κατάλληλο μαθηματική συσκευήγια το σκοπό αυτό είναι η συσκευή της θεωρίας των τυχαίων συναρτήσεων.

Από τις δύο εργασίες που τέθηκαν παραπάνω, φυσικά, η πιο απλή είναι η πρώτη - άμεση - εργασία. Ας το διατυπώσουμε ως εξής.

Στην είσοδο ενός δυναμικού συστήματος ΕΝΑέρχεται τυχαία συνάρτηση Χ(1 ); το σύστημα το υποβάλλει σε έναν γνωστό μετασχηματισμό, ως αποτέλεσμα του οποίου εμφανίζεται μια τυχαία συνάρτηση στην έξοδο του συστήματος:

Τα χαρακτηριστικά της τυχαίας συνάρτησης είναι γνωστά X(t):μαθηματική προσδοκία και συνάρτηση συσχέτισης. Πρέπει να βρούμε παρόμοια χαρακτηριστικά μιας τυχαίας συνάρτησης Υ(t).Εν ολίγοις, δεδομένων των χαρακτηριστικών μιας τυχαίας συνάρτησης στην είσοδο ενός δυναμικού συστήματος, βρείτε τα χαρακτηριστικά μιας τυχαίας συνάρτησης στην έξοδο.

Το πρόβλημα που τίθεται μπορεί να λυθεί με απόλυτη ακρίβεια σε μια συγκεκριμένη, αλλά πολύ σημαντική για την πρακτική, περίπτωση: όταν ο μετασχηματισμός ΕΝΑανήκει στην τάξη των λεγόμενων γραμμικούς μετασχηματισμούςκαι ανάλογα το σύστημα ΕΝΑανήκει στην τάξη γραμμικά συστήματα.

Εργαστηριακή εργασία Νο 4

ΤΥΧΑΙΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ
ΚΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΟΥΣ

4.1. ΣΤΟΧΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Εισαγωγή στις βασικές έννοιες της θεωρίας τυχαίες διαδικασίες. Εκτέλεση μετρήσεων χαρακτηριστικών ροπών και εκτίμηση αρχείων PDF στιγμιαίων τιμών τυχαίων διεργασιών. Ανάλυση του τύπου της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (ACF) και της φασματικής πυκνότητας ισχύος (PSD) μιας τυχαίας διαδικασίας. Μελέτη μετασχηματισμών τυχαίας διεργασίας από γραμμικές σταθερές και μη γραμμικές αλυσίδες χωρίς αδράνεια.

4.2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ

Τυχαία συμβάντακαι τυχαίες μεταβλητές

Ένα γεγονός που μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί σε κάποια εμπειρία ονομάζεται τυχαίο συμβάνΚαι χαρακτηρίζεται πιθανότηταεκτέλεση

. Τυχαία τιμή(ΒΑ)

μπορεί να πάρει ένα νόημα στην εμπειρία

από κάποιο σετ

; αυτή η τιμή ονομάζεται υλοποίηση αυτού του SV. μπορεί να είναι, για παράδειγμα, πολλά πραγματικούς αριθμούς

ή ένα υποσύνολο αυτού. Εάν το σύνολο είναι πεπερασμένο ή μετρήσιμο (διακριτό SV), μπορούμε να μιλήσουμε για πιθανότητα

καθορίζεται η υλοποίηση ενός συμβάντος, το οποίο συνίσταται στο ότι η τυχαία μεταβλητή δέχεται την τιμή, δηλ. στο σύνολο τιμών της διακριτής τυχαίας μεταβλητής κατανομή πιθανοτήτων. Εάν το σύνολο είναι αμέτρητο (για παράδειγμα, ολόκληρη η πραγματική γραμμή), τότε Πλήρης περιγραφήη τυχαία μεταβλητή δίνει συνάρτηση διανομής,ορίζεται από την έκφραση

Οπου
. Εάν η συνάρτηση κατανομής είναι συνεχής και διαφοροποιήσιμη, τότε μπορούμε να ορίσουμε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας(PDF), που ονομάζεται επίσης πυκνότητα πιθανότητας για συντομία
(και μερικές φορές μόνο πυκνότητα):

, όπου
.

Προφανώς, η συνάρτηση κατανομής είναι μια μη αρνητική μη φθίνουσα συνάρτηση με τις ιδιότητες
,
. Ως εκ τούτου,
Το PDF είναι μια μη αρνητική συνάρτηση που ικανοποιεί κατάσταση κανονικοποίησης
.

Μερικές φορές περιορίζονται στα αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής, τις περισσότερες φορές στιγμές. Στοιχειώδηςστιγμή -η σειρά (η αρχική στιγμή)

πού είναι η οριζόντια γραμμή και
– συμβολική σημείωση του ολοκληρωτικού τελεστή σύνολο μέσο όρο. Πρώτη στιγμή εκκίνησης
, που ονομάζεται μαθηματική προσδοκίαή κέντρο διανομής.

Κεντρικόςστιγμή της τάξης (η κεντρική στιγμή)

Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη κεντρική ροπή είναι η δεύτερη κεντρική ροπή, ή διασπορά

Αντί για διασπορά, συχνά λειτουργούν τυπική απόκλιση(RMS) μιας τυχαίας μεταβλητής
.

^ Μεσαίο τετράγωνο, ή δεύτερη αρχική στιγμή
, σχετίζεται με τη διασπορά και τη μαθηματική προσδοκία:

Για την περιγραφή της μορφής του PDF, χρησιμοποιείται ο συντελεστής ασυμμετρία
και συντελεστής υπέρβαση
(μερικές φορές η κύρτωση χαρακτηρίζεται από την τιμή
).

Συχνά χρησιμοποιείται η κανονική ή Gaussian (Gaussian) κατανομή με PDF

Οπου Και – παραμέτρους κατανομής (μαθηματική προσδοκία και τυπική απόκλιση, αντίστοιχα). Για μια κατανομή Gauss
,
.

Δύο τυχαίες μεταβλητές και χαρακτηρίζονται άρθρωσηπυκνότητα κατανομής
. Τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της πυκνότητας της άρθρωσης είναι το αρχικό και το κεντρικό μικτόςστιγμές

,
,

πού και – αυθαίρετοι ακέραιοι αριθμοί θετικούς αριθμούς;
Και – μαθηματικές προσδοκίεςΒΑ ΧΚαι y.

Οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες μικτές ροπές δεύτερης τάξης είναι οι αρχικές ( συσχετιστικήστιγμή):

και κεντρικό ( συνδιακύμανσηστιγμή, ή συνδιακύμανση)

Για ένα ζεύγος Gaussian τυχαίων μεταβλητών, το δισδιάστατο κοινό PDF έχει τη μορφή

Οπου , - τυπικές αποκλίσεις;
– μαθηματικές προσδοκίες. – συντελεστής συσχέτισης– κανονικοποιημένη ροπή συνδιακύμανσης

Με μηδενικό συντελεστή συσχέτισης, είναι προφανές ότι

δηλ. ασύνδετο Gaussian τυχαίες μεταβλητές ανεξάρτητος.
^

Τυχαίες διαδικασίες

Μια τυχαία διαδικασία είναι μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών που ταξινομούνται με αύξουσα σειρά κάποιας μεταβλητής (συνήθως χρόνος). Μπορείτε να μετακινηθείτε από μια περιγραφή μιας τυχαίας μεταβλητής σε μια περιγραφή μιας τυχαίας διαδικασίας λαμβάνοντας υπόψη τις κοινές κατανομές δύο, τριών ή περισσότερων τιμών διεργασίας σε ορισμένα διαφορετικά χρονικά σημεία. Ειδικότερα, λαμβάνοντας υπόψη τη διαδικασία έγκαιρα ενότητες(στο

), λαμβάνουμε -διάστατη συνάρτηση κατανομής άρθρωσης και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας τυχαίων μεταβλητών

…

, που ορίζεται από την έκφραση

Η τυχαία διαδικασία θεωρείται πλήρως καθορισμένη, αν για κανέναν μπορεί κανείς να γράψει το κοινό PDF του σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή
.

Συχνά, όταν περιγράφουμε μια τυχαία διαδικασία, μπορούμε να περιοριστούμε στο σύνολο των μεικτών της αρχικές στιγμές(αν υπάρχουν, δηλ. τα αντίστοιχα ολοκληρώματα συγκλίνουν)

και μικτές κεντρικές στιγμές

για μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς
και γενικά.

ΣΕ γενική περίπτωσηοι ροπές του κοινού PDF εξαρτώνται από τη θέση των τμημάτων στον άξονα χρόνου και καλούνται συναρτήσεις στιγμής. Η δεύτερη μικτή κεντρική ροπή χρησιμοποιείται συχνότερα.

που ονομάζεται συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ή συνάρτηση αυτοσυσχέτισης(AKF). Ας υπενθυμίσουμε ότι εδώ και παρακάτω η εξάρτηση από το χρόνο δεν αναφέρεται ρητά, δηλαδή οι συναρτήσεις του χρόνου είναι
,
Και
.

Δύο τυχαίες διαδικασίες μπορούν να εξεταστούν μαζί
Και
; μια τέτοια εξέταση προϋποθέτει την περιγραφή τους με τη μορφή ενός κοινού πολυδιάστατου PDF, καθώς και με τη μορφή ενός συνόλου όλων των στιγμών, συμπεριλαμβανομένων των μικτών. Τις περισσότερες φορές χρησιμοποιείται η δεύτερη μικτή κεντρική ροπή.

που ονομάζεται συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης
.

Μεταξύ όλων των τυχαίων διεργασιών, διακρίνονται τα SP για τα οποία το PDF κοινής διάστασης δεν αλλάζει όταν όλα τα χρονικά τμήματα αλλάζουν ταυτόχρονα (μετατόπιση) κατά το ίδιο ποσό. Τέτοιες διαδικασίες ονομάζονται στάσιμος με τη στενή έννοιαή αυστηρά ακίνητο.

Συχνότερα, εξετάζεται μια ευρύτερη κατηγορία τυχαίων διεργασιών με εξασθενημένες ιδιότητες σταθερότητας. Η κοινοπραξία ονομάζεται στάσιμος μέσα με ευρεία έννοια , αν με ταυτόχρονη μετατόπιση τμημάτων μόνο οι ροπές του δεν αλλάζουν όχι υψηλότερα από το δεύτεροΣειρά. Στην πράξη, αυτό σημαίνει ότι το SP είναι ακίνητο με την ευρεία έννοια εάν έχει σταθερά μέση τιμή(μαθηματική προσδοκία) και διασπορά
, και το ACF εξαρτάται μόνο από τη διαφορά στις χρονικές στιγμές, αλλά όχι από τις θέσεις τους στον άξονα του χρόνου:

1)
,

2) ,
.

σημειώσε ότι
, από το οποίο προκύπτει η σταθερότητα της διασποράς.

Δεν είναι δύσκολο να επαληθευτεί ότι μια διαδικασία που είναι ακίνητη με τη στενή έννοια είναι επίσης στάσιμη με την ευρεία έννοια. Η αντίστροφη πρόταση είναι γενικά λανθασμένη, αν και υπάρχουν διαδικασίες για τις οποίες η σταθερότητα με την ευρεία έννοια συνεπάγεται στασιμότητα με τη στενή έννοια.

Κοινό -διάστατο PDF αναγνώσεων
Η διαδικασία Gauss, που λαμβάνεται σε χρονικά τμήματα, έχει τη μορφή

, (4.1)

Οπου - καθοριστικός τετράγωνη μήτρα, που αποτελείται από συντελεστές συσχέτισης ανά ζεύγη δειγμάτων.
– αλγεβρικό συμπλήρωμαστοιχείο αυτή τη μήτρα.

Το κοινό Gaussian PDF για κάθε περίπτωση καθορίζεται πλήρως από μαθηματικές προσδοκίες, διασπορές και συντελεστές συσχέτισης δειγμάτων, δηλαδή συναρτήσεις ροπής όχι υψηλότερες από δεύτερης τάξης. Εάν η διαδικασία Gauss είναι ακίνητη με την ευρεία έννοια, τότε όλες οι μαθηματικές προσδοκίες είναι ίδιες, όλες οι διακυμάνσεις (και επομένως η τυπική απόκλιση) είναι ίσες μεταξύ τους και οι συντελεστές συσχέτισης καθορίζονται μόνο από το πόσο διαχωρίζονται τα χρονικά τμήματα από ο ένας τον άλλον. Τότε, προφανώς, το PDF (4.1) δεν θα αλλάξει εάν όλες οι ενότητες χρόνου μετατοπιστούν προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά κατά το ίδιο ποσό. Από αυτό προκύπτει ότι Gaussian διαδικασία, στάσιμη με την ευρεία έννοια, στάσιμη με τη στενή έννοια(αυστηρά ακίνητο).

Μεταξύ αυστηρά στατικών τυχαίων διεργασιών, συχνά διακρίνεται μια στενότερη κατηγορία εργοδοτικότυχαίες διαδικασίες. Για εργοδικές διεργασίες, οι ροπές που βρέθηκαν με τον υπολογισμό του μέσου όρου στο σύνολο είναι ίσες με τις αντίστοιχες ροπές που βρέθηκαν με τον υπολογισμό του μέσου όρου με την πάροδο του χρόνου:

(Εδώ – συμβολικός προσδιορισμός του τελεστή μέσου όρου χρόνου).

Συγκεκριμένα, για μια εργοδοτική διαδικασία η μαθηματική προσδοκία, η διακύμανση και η ACF είναι ίσες, αντίστοιχα

Η εργοδικότητα είναι ιδιαίτερα επιθυμητή, καθώς καθιστά δυνατή την πρακτική μέτρηση (αξιολόγηση) των αριθμητικών χαρακτηριστικών μιας τυχαίας διαδικασίας. Το γεγονός είναι ότι συνήθως μόνο μία (αν και πιθανώς αρκετά μεγάλη) υλοποίηση μιας τυχαίας διαδικασίας είναι διαθέσιμη στον παρατηρητή. Εργοδικία σημαίνει, ουσιαστικά, ότι αυτή η μοναδική συνειδητοποίηση είναι πλήρης εκπρόσωπος όλου του συνόλου.

Η μέτρηση των χαρακτηριστικών της εργοδοτικής διαδικασίας μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας απλές συσκευές μέτρησης. Έτσι, εάν η διαδικασία είναι μια χρονικά εξαρτώμενη τάση, τότε το βολτόμετρο μαγνητοηλεκτρικότο σύστημα μετρά τη μαθηματική του προσδοκία (σταθερή συνιστώσα), ένα βολτόμετρο ενός ηλεκτρομαγνητικού ή θερμοηλεκτρικού συστήματος συνδεδεμένου μέσω μιας χωρητικότητας διαχωρισμού (για να εξαιρεθεί η σταθερή συνιστώσα) - η μέση τετραγωνική τιμή της ρίζας του (RMS). Συσκευή, δομικό σχήμαπου φαίνεται στο Σχ. 4.1, σας επιτρέπει να μετρήσετε τις τιμές της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης για διαφορετικά . Το χαμηλοπερατό φίλτρο παίζει εδώ το ρόλο του ολοκληρωτή, ο πυκνωτής συγκεντρώνει τη διαδικασία, αφού δεν περνά το στοιχείο συνεχούς ρεύματος. Αυτή η συσκευή ονομάζεται συσχετόμετρο.

Ρύζι. 4.1

Επαρκείς συνθήκες για την εργοδοτικότητα μιας στατικής τυχαίας διαδικασίας είναι η συνθήκη
, και επίσης λιγότερο ισχυρό Κατάσταση Slutsky
.
^

Διακριτές αλγόριθμοι για την εκτίμηση των παραμέτρων SP

Οι παραπάνω εκφράσεις για την εύρεση εκτιμήσεων των παραμέτρων του SP και της συνάρτησης συσχέτισης ισχύουν για συνεχή χρόνο. Σε αυτό εργαστηριακές εργασίες(όπως σε πολλά σύγχρονα τεχνικά συστήματακαι συσκευές) παράγονται και υποβάλλονται σε επεξεργασία αναλογικά σήματα ψηφιακές συσκευές, που οδηγεί στην ανάγκη για κάποια τροποποίηση των αντίστοιχων εκφράσεων. Ειδικότερα, για τον προσδιορισμό της εκτίμησης της μαθηματικής προσδοκίας, χρησιμοποιείται η έκφραση δείγμα μέσου όρου

Οπου
– ακολουθία δειγμάτων διεργασίας ( δείγμαΕνταση ΗΧΟΥ
). Η εκτίμηση της διασποράς είναι διακύμανση δείγματος , που ορίζεται από την έκφραση

Εκτίμηση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, που ονομάζεται αλλιώς συσχετιστικό γράφημα, βρίσκεται ως

Μια εκτίμηση της πυκνότητας κατανομής πιθανότητας της στιγμιαίας τιμής του SSP είναι ραβδόγραμμα. Για να το βρείτε, το εύρος των πιθανών τιμών SP χωρίζεται σε διαστήματα ίσου πλάτους, στη συνέχεια για το καθένα -ο διάστημα ο αριθμός των δείγματα του δείγματος που περιλαμβάνεται σε αυτό. Το ιστόγραμμα είναι ένα σύνολο αριθμών
, συνήθως απεικονίζεται ως διάγραμμα καφασωτών. Ο αριθμός των διαστημάτων για ένα δεδομένο μέγεθος δείγματος επιλέγεται βάσει ενός συμβιβασμού μεταξύ της ακρίβειας εκτίμησης και της ανάλυσης (βαθμός λεπτομέρειας) του ιστογράμματος.
^

Συσχέτιση-φασματική θεωρία τυχαίων διεργασιών

Εάν μας ενδιαφέρουν μόνο τα χαρακτηριστικά στιγμής της πρώτης και δεύτερης τάξης, τα οποία καθορίζουν την ιδιότητα της στασιμότητας με την ευρεία έννοια, τότε η περιγραφή του στατικού SP πραγματοποιείται στο επίπεδο της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης

και φασματική πυκνότητα ισχύος

, που συνδέονται με ένα ζεύγος μετασχηματισμών Fourier ( Θεώρημα Wiener–Khinchin):

,
.

Προφανώς, SPM - μη αρνητικόλειτουργία. Εάν η διαδικασία έχει μη μηδενική μαθηματική προσδοκία, τότε ο όρος προστίθεται στο PSD
.

Για μια πραγματική διαδικασία, το ACF και το SPM είναι ακόμη και πραγματικές συναρτήσεις.

Μερικές φορές μπορείτε να περιοριστείτε σε αριθμητικά χαρακτηριστικά - το διάστημα συσχέτισης και το ενεργό εύρος φάσματος. ^ Διάστημα συσχέτισης ορίζονται με διαφορετικούς τρόπους, ειδικότερα, είναι γνωστοί οι ακόλουθοι ορισμοί:

Είχαμε πολλές φορές να επαληθεύσουμε τι μεγάλης σημασίαςΣτη θεωρία πιθανοτήτων, έχουν τα βασικά αριθμητικά χαρακτηριστικά των τυχαίων μεταβλητών: μαθηματική προσδοκία και διακύμανση - για μια τυχαία μεταβλητή, μαθηματικές προσδοκίες και πίνακα συσχέτισης - για ένα σύστημα τυχαίων μεταβλητών. Η τέχνη της χρήσης αριθμητικών χαρακτηριστικών, αφήνοντας τους νόμους κατανομής κατά μέρος όσο το δυνατόν περισσότερο, είναι η βάση της εφαρμοσμένης θεωρίας πιθανοτήτων. Η συσκευή αριθμητικών χαρακτηριστικών είναι μια πολύ ευέλικτη και ισχυρή συσκευή που καθιστά δυνατή την επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων με σχετική ευκολία.

Μια εντελώς παρόμοια συσκευή χρησιμοποιείται στη θεωρία των τυχαίων συναρτήσεων. Για τις τυχαίες συναρτήσεις, εισάγονται επίσης τα απλούστερα βασικά χαρακτηριστικά, παρόμοια με τα αριθμητικά χαρακτηριστικά των τυχαίων μεταβλητών, και θεσπίζονται κανόνες για ενέργειες με αυτά τα χαρακτηριστικά. Μια τέτοια συσκευή αποδεικνύεται επαρκής για την επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων.

Σε αντίθεση με τα αριθμητικά χαρακτηριστικά των τυχαίων μεταβλητών, που αντιπροσωπεύουν ορισμένους αριθμούς, τα χαρακτηριστικά των τυχαίων συναρτήσεων, στη γενική περίπτωση, δεν είναι αριθμοί, αλλά συναρτήσεις.

Η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας συνάρτησης ορίζεται ως εξής. Ας εξετάσουμε τη διατομή μιας τυχαίας συνάρτησης για ένα σταθερό . Σε αυτή την ενότητα έχουμε μια συνηθισμένη τυχαία μεταβλητή. Ας προσδιορίσουμε τη μαθηματική προσδοκία του. Προφανώς, στη γενική περίπτωση εξαρτάται, δηλ. αντιπροσωπεύει μια συγκεκριμένη συνάρτηση:

. (15.3.1)

Έτσι, η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας συνάρτησης είναι μια μη τυχαία συνάρτηση, η οποία για κάθε τιμή του ορίσματος είναι ίση με τη μαθηματική προσδοκία του αντίστοιχου τμήματος της τυχαίας συνάρτησης.

Με την έννοια της, η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας συνάρτησης είναι κάποια μέση συνάρτηση γύρω από την οποία οι συγκεκριμένες πραγματοποιήσεις της τυχαίας συνάρτησης ποικίλλουν με διαφορετικούς τρόπους.

Στο Σχ. 15.3.1 Οι λεπτές γραμμές δείχνουν υλοποιήσεις μιας τυχαίας συνάρτησης, η παχιά γραμμή δείχνει τις μαθηματικές προσδοκίες της.

Η διακύμανση μιας τυχαίας συνάρτησης προσδιορίζεται με παρόμοιο τρόπο.

Η διακύμανση μιας τυχαίας συνάρτησης είναι μια μη τυχαία συνάρτηση, η τιμή της οποίας για καθεμία είναι ίση με τη διακύμανση του αντίστοιχου τμήματος της τυχαίας συνάρτησης:

. (15.3.2)

Η διακύμανση μιας τυχαίας συνάρτησης για καθεμία χαρακτηρίζει την εξάπλωση των πιθανών πραγματοποιήσεων μιας τυχαίας συνάρτησης σε σχέση με τον μέσο όρο, με άλλα λόγια, τον «βαθμό τυχαίας» μιας τυχαίας συνάρτησης.

Προφανώς υπάρχει μια μη αρνητική συνάρτηση. Ανάκτηση από αυτό Τετραγωνική ρίζα, παίρνουμε τη συνάρτηση - την τυπική απόκλιση της τυχαίας συνάρτησης:

. (15.3.3)

Οι προσδοκίες και οι διαφορές είναι πολύ σημαντικά χαρακτηριστικάτυχαία συνάρτηση? Ωστόσο, αυτά τα χαρακτηριστικά δεν είναι αρκετά για να περιγράψουν τα κύρια χαρακτηριστικά μιας τυχαίας συνάρτησης. Για να το επαληθεύσετε, εξετάστε δύο τυχαίες συναρτήσεις και , που απεικονίζονται σαφώς από οικογένειες υλοποιήσεων στο Σχήμα. 15.3.2 και 15.3.3.

Οι τυχαίες συναρτήσεις έχουν περίπου τις ίδιες μαθηματικές προσδοκίες και διακυμάνσεις. Ωστόσο, η φύση αυτών των τυχαίων συναρτήσεων είναι πολύ διαφορετική. Μια τυχαία συνάρτηση (Εικ. 15.3.2) χαρακτηρίζεται από μια ομαλή, σταδιακή αλλαγή. Εάν, για παράδειγμα, σε ένα σημείο μια τυχαία συνάρτηση λάβει μια τιμή αισθητά υψηλότερη από τον μέσο όρο, τότε είναι πολύ πιθανό ότι στο σημείο αυτό θα λάβει επίσης μια τιμή υψηλότερη από τον μέσο όρο. Μια τυχαία συνάρτηση χαρακτηρίζεται από μια έντονη εξάρτηση μεταξύ των τιμών της σε διαφορετικά . Αντίθετα, η τυχαία συνάρτηση (Εικ. 15.3.3) έχει έντονα ταλαντωτικό χαρακτήρα με ακανόνιστες, χαοτικές ταλαντώσεις. Μια τέτοια τυχαία συνάρτηση χαρακτηρίζεται από μια ταχεία εξασθένηση της εξάρτησης μεταξύ των τιμών της καθώς αυξάνεται η απόσταση μεταξύ τους.

Προφανώς, η εσωτερική δομή και των δύο τυχαίων διαδικασιών είναι εντελώς διαφορετική, αλλά αυτή η διαφορά δεν αποτυπώνεται ούτε από τη μαθηματική προσδοκία ούτε από τη διακύμανση. Για να το περιγράψουμε, είναι απαραίτητο να δώσουμε ένα ειδικό χαρακτηριστικό. Αυτό το χαρακτηριστικό ονομάζεται συνάρτηση συσχέτισης (αλλιώς γνωστή ως συνάρτηση αυτοσυσχέτισης). Η συνάρτηση συσχέτισης χαρακτηρίζει τον βαθμό εξάρτησης μεταξύ τμημάτων μιας τυχαίας συνάρτησης που ανήκουν σε διαφορετικά .

Έστω να υπάρχει μια τυχαία συνάρτηση (Εικ. 15.3.4). Ας εξετάσουμε δύο από τις ενότητες του που σχετίζονται με διάφορες στιγμές: και , δηλαδή δύο τυχαίες μεταβλητές και . Προφανώς, για κοντινές τιμές, και οι δύο ποσότητες συνδέονται στενά: εάν μια ποσότητα έχει λάβει μια συγκεκριμένη τιμή, τότε η ποσότητα πιθανότατα θα λάβει μια τιμή κοντά σε αυτήν. Είναι επίσης προφανές ότι όσο αυξάνεται το διάστημα μεταξύ των τμημάτων, η εξάρτηση των ποσοτήτων θα πρέπει γενικά να μειώνεται.

Ο βαθμός εξάρτησης των μεγεθών και μπορεί να χαρακτηριστεί σε μεγάλο βαθμό από τη ροπή συσχέτισής τους. προφανώς είναι συνάρτηση δύο επιχειρημάτων και . Αυτή η συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση συσχέτισης.

Έτσι, η συνάρτηση συσχέτισης μιας τυχαίας συνάρτησης είναι μια μη τυχαία συνάρτηση δύο ορισμάτων, η οποία, για κάθε ζεύγος τιμών, είναι ίση με τη ροπή συσχέτισης των αντίστοιχων τμημάτων της τυχαίας συνάρτησης:

, (15.3.4)

, .

Ας επιστρέψουμε στα παραδείγματα των τυχαίων συναρτήσεων και (Εικ. 15.3.2 και 15.3.3). Βλέπουμε τώρα ότι με τις ίδιες μαθηματικές προσδοκίες και διακυμάνσεις, οι τυχαίες συναρτήσεις έχουν εντελώς διαφορετικές συναρτήσεις συσχέτισης. Η συνάρτηση συσχέτισης μιας τυχαίας συνάρτησης μειώνεται αργά όσο αυξάνεται το διάστημα. Αντίθετα, η συνάρτηση συσχέτισης της τυχαίας συνάρτησης μειώνεται γρήγορα καθώς αυτό το διάστημα αυξάνεται.

Ας μάθουμε σε τι μετατρέπεται η συνάρτηση συσχέτισης όταν συμπίπτουν τα ορίσματά της. Υποθέτοντας, έχουμε:

, (15.3.5)

δηλ. όταν η συνάρτηση συσχέτισης μετατρέπεται στη διακύμανση της τυχαίας συνάρτησης.

Έτσι, η ανάγκη για διακύμανση ως ξεχωριστό χαρακτηριστικόΗ τυχαία συνάρτηση εξαφανίζεται: ως κύρια χαρακτηριστικά μιας τυχαίας συνάρτησης, αρκεί να λάβουμε υπόψη τη μαθηματική της προσδοκία και τη συνάρτηση συσχέτισης.

Δεδομένου ότι η ροπή συσχέτισης δύο τυχαίων μεταβλητών δεν εξαρτάται από την ακολουθία στην οποία λαμβάνονται υπόψη αυτές οι τιμές, η συνάρτηση συσχέτισης είναι συμμετρική ως προς τα ορίσματά της, δηλαδή δεν αλλάζει όταν τα ορίσματα εναλλάσσονται:

. (15.3.6)

Αν απεικονίσουμε τη συνάρτηση συσχέτισης ως επιφάνεια, τότε αυτή η επιφάνεια θα είναι συμμετρική ως προς το κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από τη διχοτόμο της γωνίας (Εικ. 15.3.5).

Σημειώστε ότι οι ιδιότητες της συνάρτησης συσχέτισης προέρχονται φυσικά από τις ιδιότητες του πίνακα συσχέτισης του συστήματος των τυχαίων μεταβλητών. Πράγματι, ας αντικαταστήσουμε την κατά προσέγγιση τυχαία συνάρτηση με ένα σύστημα τυχαίων μεταβλητών. Με αύξηση και αντίστοιχη μείωση στα διαστήματα μεταξύ των ορισμάτων, ο πίνακας συσχέτισης του συστήματος, που είναι ένας πίνακας δύο εισόδων, στο όριο μετατρέπεται σε συνάρτηση δύο συνεχώς μεταβαλλόμενων ορισμάτων, που έχει παρόμοιες ιδιότητες. Η ιδιότητα της συμμετρίας του πίνακα συσχέτισης ως προς την κύρια διαγώνιο μετατρέπεται σε ιδιότητα συμμετρίας της συνάρτησης συσχέτισης (15.3.6). Κατά μήκος της κύριας διαγωνίου του πίνακα συσχέτισης είναι οι διακυμάνσεις των τυχαίων μεταβλητών. Ομοίως, όταν η συνάρτηση συσχέτισης μετατρέπεται σε διασπορά.

Στην πράξη, εάν είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί μια συνάρτηση συσχέτισης μιας τυχαίας συνάρτησης, συνήθως προχωράμε ως εξής: τους δίνεται μια σειρά από ίσες τιμές του επιχειρήματος και κατασκευάζουν έναν πίνακα συσχέτισης του προκύπτοντος συστήματος τυχαίων μεταβλητών. Αυτός ο πίνακας δεν είναι τίποτα περισσότερο από έναν πίνακα τιμών συνάρτησης συσχέτισης για ένα ορθογώνιο πλέγμα τιμών ορισμάτων στο επίπεδο. Στη συνέχεια, με παρεμβολή ή προσέγγιση, μπορείτε να κατασκευάσετε μια συνάρτηση δύο ορισμάτων.

Αντί για τη συνάρτηση συσχέτισης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση κανονικοποιημένης συσχέτισης:

, (15.3.7)

που είναι ο συντελεστής συσχέτισης των μεγεθών , . Η συνάρτηση κανονικοποιημένης συσχέτισης είναι παρόμοια με την κανονικοποιημένη μήτρα συσχέτισης ενός συστήματος τυχαίων μεταβλητών. Όταν η κανονικοποιημένη συνάρτηση συσχέτισης είναι ίση με μονάδα.

Προκαταρκτικές παρατηρήσεις.Ας βρούμε την εικόνα Fourier από ρε-λειτουργίες.

Προφανώς δίκαιο και αντίστροφη μετατροπή Fourier:

Και:

1. Αφήστε τη διαδικασία να είναι σταθερή τιμή x(t)=A o .Όπως ήδη ανακαλύφθηκε νωρίτερα, η συνάρτηση συσχέτισης μιας τέτοιας διαδικασίας είναι ίση με Ας βρούμε τη φασματική πυκνότητα της διαδικασίας από άμεση μετατροπήΣυναρτήσεις Fourier R(t):

Το φάσμα της διαδικασίας αποτελείται από μια μοναδική κορυφή του τύπου συνάρτησης παλμού που βρίσκεται στην αρχή. Έτσι, εάν υπάρχει μόνο μία συχνότητα σε μια διαδικασία w=0, αυτό σημαίνει ότι όλη η ισχύς της διαδικασίας συγκεντρώνεται σε αυτή τη συχνότητα, η οποία επιβεβαιώνει τη μορφή της συνάρτησης S(w).Εάν μια τυχαία συνάρτηση περιέχει μια σταθερή συνιστώσα, π.χ. μέση τιμή λοιπόν S(w)θα έχει ασυνέχεια στην αρχή και θα χαρακτηρίζεται από την παρουσία ρε-λειτουργεί σε ένα σημείο w=0.

2. Για την αρμονική συνάρτηση X=A o sin(w 0 t+j)συνάρτηση συσχέτισης:

Η φασματική πυκνότητα είναι

Πρόγραμμα S(w)θα έχει δύο κορυφές του τύπου συνάρτησης παλμού, που βρίσκονται συμμετρικά σε σχέση με την αρχή των συντεταγμένων στο w=+w 0 και w=-w 0 . Αυτό υποδηλώνει ότι η ισχύς της διαδικασίας συγκεντρώνεται σε δύο συχνότητες + w 0 και - w 0 .

Αν μια τυχαία συνάρτηση έχει αρμονικές συνιστώσες, τότε φασματική πυκνότηταέχει ασυνέχειες σε σημεία w= ± w 0 και χαρακτηρίζεται από την παρουσία δύο συναρτήσεων δέλτα που βρίσκονται σε αυτά τα σημεία.

λευκός θόρυβος . Ο λευκός θόρυβος νοείται ως μια τυχαία διαδικασία που έχει τις ίδιες τιμές φασματικής πυκνότητας σε όλες τις συχνότητες από -¥ έως +¥: S( w) = Κωνστ.

Ένα παράδειγμα τέτοιας διαδικασίας κάτω από ορισμένες παραδοχές είναι ο θερμικός θόρυβος, η κοσμική ακτινοβολία κ.λπ. Η συνάρτηση συσχέτισης μιας τέτοιας διαδικασίας είναι ίση με

Ετσι R(t)αντιπροσωπεύει τη συνάρτηση ώθησης που βρίσκεται στην αρχή.

Αυτή η διαδικασία είναι μια καθαρά τυχαία διαδικασία, γιατί σε οποιαδήποτε t¹0 δεν υπάρχει συσχέτιση μεταξύ των επόμενων και των προηγούμενων τιμών της τυχαίας συνάρτησης. Μια διαδικασία με τέτοια φασματική πυκνότητα είναι φυσικά μη ρεαλιστική, γιατί αντιστοιχεί σε απείρως μεγάλη διασπορά και μεσαίο τετράγωνοτυχαία μεταβλητή:

Μια τέτοια διαδικασία αντιστοιχεί σε μια απείρως μεγάλη ισχύ και μια πηγή με μια απείρως μεγάλη ενέργεια.

2. Περιορισμένος λευκός θόρυβος. Αυτή η διαδικασία χαρακτηρίζεται από μια φασματική πυκνότητα της μορφής

S(w)=Cστο ½ β½<w n,

S(w)=0 στο ½w½>w n.

Οπου (- w n, wιδ) ζώνη συχνοτήτων για φασματική πυκνότητα.

Αυτή είναι μια τυχαία διαδικασία, η φασματική πυκνότητα της οποίας παραμένει σχεδόν σταθερή στο εύρος συχνοτήτων που μπορεί να επηρεάσει το υπό εξέταση σύστημα ελέγχου, δηλ. στην περιοχή συχνοτήτων που εκπέμπει το σύστημα. Τύπος καμπύλης μικρό(w) εκτός αυτού του εύρους δεν έχει σημασία, γιατί τμήμα της καμπύλης που αντιστοιχεί υψηλότερες συχνότητες, δεν θα επηρεάσει τη λειτουργία του συστήματος. Αυτή η διαδικασία αντιστοιχεί στη συνάρτηση συσχέτισης

Η διακύμανση της διαδικασίας είναι ίση με

5. Τυπικό σήμα εισόδου συστήματος παρακολούθησης. Το σήμα του οποίου η γραφική παράσταση φαίνεται στο Σχ. 63 λαμβάνεται ως τυπικό σήμα. Η ταχύτητα περιστροφής του άξονα μετάδοσης κίνησης του συστήματος σερβομηχανισμού διατηρεί σταθερή τιμή για ορισμένα χρονικά διαστήματα t 1, t 2,...

Η μετάβαση από τη μια τιμή στην άλλη γίνεται αμέσως. Τα χρονικά διαστήματα υπακούουν στον νόμο κατανομής Poisson. Αναμενόμενη αξία

Εικ.63. Τυπικό σήμα

Ένα γράφημα αυτού του τύπου λαμβάνεται ως πρώτη προσέγγιση κατά την παρακολούθηση Ραντάρπίσω από έναν κινούμενο στόχο. Οι σταθερές τιμές ταχύτητας αντιστοιχούν στον στόχο που κινείται σε ευθεία γραμμή. Μια αλλαγή στο πρόσημο ή το μέγεθος της ταχύτητας αντιστοιχεί στον ελιγμό στόχο.

Αφήνω Μ-μέσος αριθμός αλλαγών ταχύτητας ανά 1 δευτερόλεπτο. Επειτα T=1/mθα είναι η μέση τιμή των χρονικών διαστημάτων κατά τα οποία η γωνιακή ταχύτητα διατηρεί τη σταθερή της τιμή. Εφαρμόζεται σε Ραντάραυτή η τιμή θα είναι ο μέσος χρόνος που ο στόχος κινείται σε ευθεία γραμμή. Για τον προσδιορισμό της συνάρτησης συσχέτισης, είναι απαραίτητο να βρεθεί η μέση τιμή του προϊόντος

Κατά την εύρεση αυτής της τιμής, μπορεί να υπάρχουν δύο περιπτώσεις.

1. Στιγμές στο χρόνο tΚαι t+tανήκουν στο ίδιο διάστημα. Τότε ο μέσος όρος του γινομένου των γωνιακών ταχυτήτων θα είναι ίσος με το μέσο τετράγωνο γωνιακή ταχύτηταή διακύμανση:

2. Στιγμές στο χρόνο tΚαι t+tανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα. Τότε ο μέσος όρος του γινομένου των ταχυτήτων θα είναι ίσος με μηδέν, αφού οι ποσότητες W(t)Και W(t+t)για διαφορετικά διαστήματα μπορούν να ληφθούν υπόψη ανεξάρτητες ποσότητες:

Η συνάρτηση συσχέτισης είναι ίση με:

όπου P 1 είναι η πιθανότητα να βρεθούν οι χρονικές στιγμές t και t+t στο ίδιο διάστημα, και P 2 =1- P 1 η πιθανότητα να βρεθούν σε διαφορετικά διαστήματα.

Ας υπολογίσουμε την τιμή του P 1 . Η πιθανότητα αλλαγής ταχύτητας να συμβεί σε σύντομο χρονικό διάστημα Dt είναι ανάλογη με αυτό το διάστημα και ισούται με mDt ή Dt/T. Η πιθανότητα να μην αλλάξει η ταχύτητα για το ίδιο διάστημα θα είναι ίση με 1-Dt/T. Για ένα χρονικό διάστημα t, η πιθανότητα μη μεταβολής της ταχύτητας π.χ. πιθανότητα εύρεσης χρονικών ροπών t και t+t στο ίδιο διάστημα σταθερή ταχύτηταθα είναι ίσο με το γινόμενο της πιθανότητας μη μεταβολής της ταχύτητας σε κάθε στοιχειώδες διάστημα Dt, επειδή αυτές οι εκδηλώσεις είναι ανεξάρτητες. Για πεπερασμένο διάστημαβρίσκουμε ότι ο αριθμός των διαστημάτων είναι ίσος με t/Dt και

Περνώντας στο όριο, φτάνουμε

ο Τυχαία συνάρτησηείναι μια συνάρτηση X(t), η τιμή της οποίας, για οποιαδήποτε τιμή του ορίσματος t, είναι μια τυχαία μεταβλητή.

Με άλλα λόγια, μια τυχαία συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που, ως αποτέλεσμα πειράματος, μπορεί να λάβει τη μία ή την άλλη συγκεκριμένη μορφή, αν και δεν είναι εκ των προτέρων γνωστό ποια.

o Η συγκεκριμένη μορφή που παίρνει μια τυχαία μεταβλητή ως αποτέλεσμα πειράματος ονομάζεται υλοποίηση μιας τυχαίας συνάρτησης.

Επειδή Στην πράξη, το όρισμα t είναι τις περισσότερες φορές προσωρινό, τότε η τυχαία συνάρτηση ονομάζεται αλλιώς τυχαία διαδικασία.

Το σχήμα δείχνει πολλές υλοποιήσεις μιας τυχαίας διαδικασίας.

Αν διορθώσουμε την τιμή του ορίσματος t, τότε η τυχαία συνάρτηση X(t) θα μετατραπεί σε μια τυχαία μεταβλητή, η οποία ονομάζεται διατομή μιας τυχαίας συνάρτησης, που αντιστοιχεί στο χρόνο t. Θα υποθέσουμε ότι η κατανομή της διατομής είναι συνεχής. Τότε το X(t) για ένα δεδομένο t προσδιορίζεται από την πυκνότητα κατανομής p(x; t).

Προφανώς, το p(x; t) δεν είναι ένα εξαντλητικό χαρακτηριστικό της τυχαίας συνάρτησης X(t), αφού δεν εκφράζει την εξάρτηση μεταξύ των τμημάτων του X(t) σε διαφορετικούς χρόνους t. Περισσότερο πλήρης περιγραφήδίνει τη συνάρτηση - πυκνότητα κοινής κατανομής συστήματος τυχαίων μεταβλητών , όπου t 1 και t 2 είναι αυθαίρετες τιμές του ορίσματος t της τυχαίας συνάρτησης. Ένας ακόμη πληρέστερος χαρακτηρισμός της τυχαίας συνάρτησης X(t) θα δοθεί από τη συμβατή πυκνότητα κατανομής ενός συστήματος τριών τυχαίων μεταβλητών κ.λπ.

o Λένε ότι μια τυχαία διαδικασία έχει τάξη ν, εάν προσδιορίζεται πλήρως από την πυκνότητα της συμβατής κατανομής n αυθαίρετων τμημάτων της διεργασίας, δηλ. σύστημα n τυχαίων μεταβλητών, όπου X(t i) είναι η διατομή της διεργασίας που αντιστοιχεί στη στιγμή του χρόνου t i, αλλά δεν προσδιορίζεται με τον καθορισμό της κοινής κατανομής μικρότερου από n αριθμού διατομών.

o Εάν η πυκνότητα της κοινής κατανομής αυθαίρετων δύο διατομών μιας διεργασίας την καθορίζει πλήρως, τότε μια τέτοια διαδικασία ονομάζεται Μαρκόφσκι.

Έστω μια τυχαία συνάρτηση X(t). Η εργασία προκύπτει από την περιγραφή του χρησιμοποιώντας ένα ή περισσότερα μη τυχαία χαρακτηριστικά. Ως πρώτο από αυτά, είναι φυσικό να αναλάβουμε τη λειτουργία -μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας διαδικασίας. Το δεύτερο θεωρείται ο μέσος όρος τυπική απόκλισητυχαία διαδικασία .

Αυτά τα χαρακτηριστικά είναι μερικές συναρτήσεις του t. Το πρώτο από αυτά είναι η μέση τροχιά για όλες τις πιθανές υλοποιήσεις. Το δεύτερο χαρακτηρίζει την πιθανή εξάπλωση πραγματοποιήσεων μιας τυχαίας συνάρτησης γύρω από τη μέση τροχιά. Όμως αυτά τα χαρακτηριστικά δεν είναι αρκετά. Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε την εξάρτηση των μεγεθών X(t 1) και X(t 2). Αυτή η εξάρτηση μπορεί να χαρακτηριστεί χρησιμοποιώντας μια συνάρτηση συσχέτισης ή μια ροπή συσχέτισης.

Έστω δύο τυχαίες διεργασίες, αρκετές υλοποιήσεις των οποίων φαίνονται στα σχήματα.

Αυτές οι τυχαίες διαδικασίες έχουν περίπου τις ίδιες μαθηματικές προσδοκίες και μέσους όρους τετραγωνικές αποκλίσεις. Ωστόσο, αυτό διάφορες διαδικασίες. Οποιαδήποτε υλοποίηση για μια τυχαία συνάρτηση X 1 (t) αλλάζει αργά τις τιμές της με μια αλλαγή στο t, κάτι που δεν μπορεί να ειπωθεί για την τυχαία συνάρτηση X 2 (t). Για την πρώτη διεργασία, η εξάρτηση μεταξύ των διατομών X 1 (t) και θα είναι μεγαλύτερη από την εξάρτηση για τις διατομές X 2 (t) και της δεύτερης διεργασίας, δηλ. μειώνεται πιο αργά από , με αύξηση Δt. Στη δεύτερη περίπτωση, η διαδικασία «ξεχνάει» το παρελθόν της πιο γρήγορα.