Η έννοια των τύπων αριθμητικής ολοκλήρωσης. Εγχειρίδιο μαθηματικών μεθόδων στη γεωγραφία

Σελίδα 1

Τμήμα Ανωτάτων Μαθηματικών
Αφηρημένη:

Συμπλήρωσε: Matveev F.I.
Έλεγχος: Burlova L.V.

Ulan-Ude.2002

1.Αριθμητικές μέθοδοι ολοκλήρωσης

2. Παραγωγή του τύπου του Simpson

3.Γεωμετρική απεικόνιση

4.Επιλογή βήματος ολοκλήρωσης

5.Παραδείγματα

1. Αριθμητικές μέθοδοι ολοκλήρωσης
Εργο αριθμητική ολοκλήρωσησυνίσταται στον υπολογισμό του ολοκληρώματος

μέσω μιας σειράς τιμών του ολοκληρώματος
.

Τα προβλήματα αριθμητικής ολοκλήρωσης πρέπει να επιλυθούν για συναρτήσεις που καθορίζονται σε πίνακες, συναρτήσεις των οποίων τα ολοκληρώματα δεν λαμβάνονται στοιχειώδεις λειτουργίες, και τα λοιπά. Ας εξετάσουμε μόνο συναρτήσεις μιας μεταβλητής.

Αντί για τη συνάρτηση που πρέπει να ολοκληρωθεί, ενσωματώνουμε το πολυώνυμο παρεμβολής. Οι μέθοδοι που βασίζονται στην αντικατάσταση του ολοκληρώματος με ένα πολυώνυμο παρεμβολής καθιστούν δυνατή την εκτίμηση της ακρίβειας του αποτελέσματος χρησιμοποιώντας τις παραμέτρους του πολυωνύμου ή την επιλογή αυτών των παραμέτρων με βάση τη δεδομένη ακρίβεια.

Οι αριθμητικές μέθοδοι μπορούν να ομαδοποιηθούν υπό όρους σύμφωνα με τη μέθοδο προσέγγισης του ολοκληρώματος.

Οι μέθοδοι Newton-Cotes βασίζονται στην προσέγγιση συναρτήσεων
πολυώνυμο βαθμού . Ο αλγόριθμος αυτής της κλάσης διαφέρει μόνο στο βαθμό του πολυωνύμου. Κατά κανόνα, οι κόμβοι του προσεγγιστικού πολυωνύμου είναι ισοσχετισμένοι.

Οι μέθοδοι ολοκλήρωσης Spline βασίζονται στην προσέγγιση συναρτήσεων
πολυωνυμικό σπαστό τεμάχιο.

Οι μέθοδοι της υψηλότερης αλγεβρικής ακρίβειας (μέθοδος Gaussian) χρησιμοποιούν ειδικά επιλεγμένους άνισους κόμβους που παρέχουν ένα ελάχιστο σφάλμα ολοκλήρωσης για έναν δεδομένο (επιλεγμένο) αριθμό κόμβων.

Οι μέθοδοι Monte Carlo χρησιμοποιούνται συχνότερα κατά τον υπολογισμό πολλαπλών ολοκληρωμάτων· οι κόμβοι επιλέγονται τυχαία και η απάντηση είναι πιθανολογική.

συνολικό σφάλμα

σφάλμα περικοπής

σφάλμα στρογγυλοποίησης

Ανεξάρτητα από την επιλεγμένη μέθοδο, στη διαδικασία της αριθμητικής ολοκλήρωσης είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η κατά προσέγγιση τιμή του ολοκληρώματος και να εκτιμηθεί το σφάλμα. Το σφάλμα μειώνεται όσο αυξάνεται ο αριθμός n

κατατμήσεις τμημάτων
. Ωστόσο, αυτό αυξάνει το σφάλμα στρογγυλοποίησης

αθροίζοντας τις τιμές των ολοκληρωμάτων που υπολογίζονται σε μερικά τμήματα.

Το σφάλμα περικοπής εξαρτάται από τις ιδιότητες του ολοκληρώματος και το μήκος μερικό τμήμα.
2. Παραγωγή του τύπου του Simpson
Αν για κάθε ζεύγος τμημάτων
κατασκευάζουμε ένα πολυώνυμο δεύτερου βαθμού, το ενσωματώνουμε και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της προσθετικότητας του ολοκληρώματος, παίρνουμε τον τύπο του Simpson.

Εξετάστε τη συνάρτηση ολοκλήρωσης
στο τμήμα
. Ας αντικαταστήσουμε αυτό το ολοκλήρωμα με ένα πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange δεύτερου βαθμού, που συμπίπτει με
σε σημεία:

Ας ενσωματωθούμε
:

Τύπος:

και ονομάζεται τύπος του Simpson.

Το αποτέλεσμα που προκύπτει για το ολοκλήρωμα
η τιμή συμπίπτει με την περιοχή καμπύλο τραπεζοειδές, που περιορίζεται από τον άξονα , ευθεία
,
και μια παραβολή που διέρχεται από τα σημεία

Ας υπολογίσουμε τώρα το σφάλμα ολοκλήρωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο του Simpson. Θα το υποθέσουμε στο τμήμα
υπάρχουν συνεχείς παράγωγοι
. Ας καλύψουμε τη διαφορά

Το θεώρημα της μέσης τιμής μπορεί ήδη να εφαρμοστεί σε καθένα από αυτά τα δύο ολοκληρώματα, αφού
συνεχής ενεργή
και η συνάρτηση είναι μη αρνητική στο πρώτο διάστημα ολοκλήρωσης και μη θετική στο δεύτερο (δηλαδή, δεν αλλάζει πρόσημο σε καθένα από αυτά τα διαστήματα). Να γιατί:

(χρησιμοποιήσαμε το θεώρημα μέσης τιμής επειδή
- συνεχής λειτουργία;
).

Διαφοροποιώντας
δύο φορές και στη συνέχεια εφαρμόζοντας το θεώρημα της μέσης τιμής, λαμβάνουμε για
άλλη έκφραση:

, Οπου

Και από τις δύο εκτιμήσεις για
έπεται ότι ο τύπος του Simpson είναι ακριβής για πολυώνυμα βαθμού όχι μεγαλύτερου από τρία. Ας γράψουμε τον τύπο του Simpson, για παράδειγμα, με τη μορφή:

,
.

Αν το τμήμα
η ενσωμάτωση είναι πολύ μεγάλη, τότε χωρίζεται σε
ίσα μέρη(υποθέτοντας
), μετά σε κάθε ζεύγος γειτονικών τμημάτων
,
,...,
Χρησιμοποιείται ο τύπος του Simpson, δηλαδή:

Ας γράψουμε τον τύπο του Simpson σε γενική μορφή:

(1)

(2)

Σφάλμα τύπου Simpson - μέθοδος τέταρτης τάξης:

,
(3)

Εφόσον η μέθοδος του Simpson μας επιτρέπει να αποκτήσουμε υψηλή ακρίβεια, Αν
όχι πολύ μεγάλο. Διαφορετικά, η μέθοδος δεύτερης τάξης μπορεί να δώσει μεγαλύτερη ακρίβεια.

Για παράδειγμα, για μια συνάρτηση το σχήμα ενός τραπεζοειδούς στο
Για
δίνει ακριβές αποτέλεσμα
, ενώ χρησιμοποιώντας τον τύπο του Simpson παίρνουμε

3. Γεωμετρική απεικόνιση

Στο τμήμα
μήκους 2h, κατασκευάζεται μια παραβολή που διέρχεται από τρία σημεία
,
. Η περιοχή κάτω από την παραβολή περικλείεται μεταξύ του άξονα ΟΧ και των γραμμών
, αποδεχτείτε ίσο με το ολοκλήρωμα
.

Ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της εφαρμογής του τύπου του Simpson είναι το γεγονός ότι ο αριθμός των κατατμήσεων του τμήματος ολοκλήρωσης είναι άρτιος.

Εάν ο αριθμός των τμημάτων του διαμερίσματος είναι περιττός, τότε για τα τρία πρώτα τμήματα θα πρέπει να εφαρμοστεί ένας τύπος χρησιμοποιώντας μια παραβολή τρίτου βαθμού που διέρχεται από τα πρώτα τέσσερα σημεία για να προσεγγίσει το ολοκλήρωμα.

(4)

Αυτή είναι η φόρμουλα των τριών όγδοων του Simpson.

Για ένα αυθαίρετο τμήμα ολοκλήρωσης
ο τύπος (4) μπορεί να «συνέχεια»· σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των μερικών τμημάτων πρέπει να είναι πολλαπλάσιο των τριών (
σημεία).

, m=2,3,... (5)

- ολόκληρο μέρος

Μπορείτε να αποκτήσετε τους τύπους Newton-Cotes υψηλότερων παραγγελιών:

(6)

- αριθμός τμημάτων διαμερισμάτων.

- βαθμός του πολυωνύμου που χρησιμοποιείται.

- παράγωγο -η σειρά σε ένα σημείο
;

- βήμα κατάτμησης.

Ο Πίνακας 1 δείχνει τους συντελεστές
. Κάθε γραμμή αντιστοιχεί σε ένα σύνολο κενά
κόμβους για την κατασκευή πολυωνύμου kth βαθμού. Για να χρησιμοποιήσετε αυτό το σχήμα για περισσότεροσύνολα (για παράδειγμα, με k=2 και n=6), πρέπει να «συνεχίσετε» τους συντελεστές και στη συνέχεια να τους προσθέσετε.

Τραπέζι 1:

κ	C0	Α0	Α'1	Α2	α3	α4	α5	α6
2		1	4	1
				1	4	1
						1	4	1
		1	4	2		2	4	1	

Ο αλγόριθμος για την εκτίμηση του σφάλματος των τραπεζοειδών τύπων και του Simpson μπορεί να γραφτεί ως:
(7),

Οπου - συντελεστής ανάλογα με τη μέθοδο ολοκλήρωσης και τις ιδιότητες του ολοκληρωτή.

h - βήμα ολοκλήρωσης.

p - σειρά μεθόδου.

Ο κανόνας του Runge χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του σφάλματος υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα δύο φορές με τα βήματα h και kh.

(8)

(8) - εκ των υστέρων εκτίμηση. Τότε Ispec.= +Ro (9),
εκλεπτυσμένη τιμή του ολοκληρώματος
.

Εάν η σειρά της μεθόδου είναι άγνωστη, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το I για τρίτη φορά σε προσαυξήσεις
, αυτό είναι:

από ένα σύστημα τριών εξισώσεων:

Με άγνωστος I,Aκαι p παίρνουμε:

(10)

Από το (10) προκύπτει
(11)

Έτσι, η μέθοδος διπλού υπολογισμού, που χρησιμοποιείται τον απαιτούμενο αριθμό φορών, επιτρέπει σε κάποιον να υπολογίσει το ολοκλήρωμα με δεδομένο βαθμό ακρίβειας. Ο απαιτούμενος αριθμός κατατμήσεων επιλέγεται αυτόματα. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε πολλαπλές κλήσεις στις υπορουτίνες των αντίστοιχων μεθόδων ολοκλήρωσης χωρίς να αλλάξετε τους αλγόριθμους αυτών των μεθόδων. Ωστόσο, για μεθόδους που χρησιμοποιούν εξίσου συγγενείς κόμβους, είναι δυνατό να τροποποιηθούν οι αλγόριθμοι και να μειωθεί στο μισό ο αριθμός των υπολογισμών του ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τα ολοκληρωτικά αθροίσματα που συσσωρεύτηκαν κατά τη διάρκεια προηγούμενων πολλαπλών κατατμήσεων του διαστήματος ολοκλήρωσης. Δύο κατά προσέγγιση τιμές του ολοκληρώματος
Και
, υπολογίζεται με την τραπεζοειδή μέθοδο με βήματα Και
, σχετίζονται με τη σχέση:

Ομοίως, για ολοκληρώματα που υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον τύπο με βήματα Και
, ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

,

(13)

4. Επιλογή βήματος ολοκλήρωσης
Για να επιλέξετε το βήμα ολοκλήρωσης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την έκφραση του υπόλοιπου όρου. Πάρτε, για παράδειγμα, το υπόλοιπο του τύπου του Simpson:

Αν 

, τότε 

.

Με βάση τη δεδομένη ακρίβεια  της μεθόδου ολοκλήρωσης, προσδιορίζουμε το κατάλληλο βήμα από την τελευταία ανισότητα.

,
.

Ωστόσο, αυτή η μέθοδος απαιτεί αξιολόγηση
(κάτι που στην πράξη δεν είναι πάντα εφικτό). Ως εκ τούτου, χρησιμοποιούν άλλες μεθόδους για τον προσδιορισμό της εκτίμησης ακρίβειας, οι οποίες καθιστούν δυνατή την επιλογή του επιθυμητού βήματος h κατά τη διάρκεια των υπολογισμών.

Ας δούμε μια από αυτές τις τεχνικές. Αφήνω

,

Οπου - κατά προσέγγιση τιμή του ολοκληρώματος με βήμα . Ας μειώσουμε το βήμα δύο φορές, σπάζοντας το τμήμα
σε δύο ίσα μέρη
Και
(
).

Ας το υποθέσουμε τώρα
δεν αλλάζει πολύ γρήγορα, οπότε
σχεδόν σταθερό: . Επειτα
Και
, που
, αυτό είναι
.

Από αυτό μπορούμε να συναγάγουμε το εξής συμπέρασμα: αν
, δηλαδή αν
,
, ΕΝΑ - απαιτείται ακρίβεια, μετά βήμα κατάλληλο για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος με επαρκή ακρίβεια. Αν
, στη συνέχεια ο υπολογισμός επαναλαμβάνεται σε βήματα και στη συνέχεια συγκρίνεται
Και
και τα λοιπά. Αυτός ο κανόνας ονομάζεται κανόνας του Runge.

Ωστόσο, κατά την εφαρμογή του κανόνα του Runge, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη το μέγεθος του σφάλματος υπολογισμού: με μείωση απόλυτο λάθοςυπολογισμοί του ολοκληρώματος αυξήσεις (εξάρτηση
από αντιστρόφως ανάλογη) και για αρκετά μικρά το λάθος της μεθόδου μπορεί να είναι μεγαλύτερο. Εάν υπερβαίνει
, στη συνέχεια για αυτό το βήμαΟ κανόνας του Runge δεν μπορεί να εφαρμοστεί και δεν μπορεί να επιτευχθεί η επιθυμητή ακρίβεια. Σε τέτοιες περιπτώσεις είναι απαραίτητο να αυξηθεί η τιμή .

Κατά την εξαγωγή του κανόνα του Runge, χρησιμοποιήσατε ουσιαστικά την υπόθεση ότι
. Εάν υπάρχει μόνο ένας πίνακας τιμών , στη συνέχεια ελέγξτε
Το "για συνέπεια" μπορεί να γίνει απευθείας από τον πίνακα Περαιτέρω ανάπτυξηαπό τους παραπάνω αλγόριθμους μας επιτρέπει να προχωρήσουμε σε προσαρμοστικούς αλγόριθμους, στους οποίους, επιλέγοντας ένα διαφορετικό βήμα ολοκλήρωσης διαφορετικά μέρητμήμα ολοκλήρωσης ανάλογα με τις ιδιότητες
ο αριθμός των υπολογισμών του ολοκληρώματος μειώνεται.

Ένα άλλο σχέδιο για τη βελτίωση των ενσωματωμένων τιμών είναι η διαδικασία Eithnen. Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται σε βήματα
, και
. Υπολογισμός τιμών. Επειτα
(14).

Το μέτρο της ακρίβειας της μεθόδου Simpson λαμβάνεται ως:

5. Παραδείγματα
Παράδειγμα 1.Υπολογίστε ολοκλήρωμα
σύμφωνα με τον τύπο του Simpson, αν
δίνεται από τον πίνακα. Υπολογίστε το σφάλμα.

Πίνακας 3.

	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
	1	0.995	0.98	0.955	0.921	0.878	0.825	0.765	0.697

Λύση: Υπολογίστε χρησιμοποιώντας τον τύπο (1) στο
Και
αναπόσπαστο

Σύμφωνα με τον κανόνα του Runge παίρνουμε
Δεχόμαστε.

Παράδειγμα 2.Υπολογίστε ολοκλήρωμα
.

Λύση: Έχουμε
. Ως εκ τούτου h=
=0,1. Τα αποτελέσματα των υπολογισμών φαίνονται στον Πίνακα 4.

Πίνακας 4.

Υπολογισμός του ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον τύπο του Simpson

Εγώ
0	0		y0=1,00000
1	0.1	0,90909
2	0.2		0,83333
3	0.3	0,76923
4	0.4		0,71429
5	0.5	0,66667
6	0.6		0,62500
7	0.7	0,58824
8	0.8		0,55556
9	0,9	0,52632
10	1,0		0,50000=υν
		3,45955(1)	2,72818(2)

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Simpson παίρνουμε:

Ας υπολογίσουμε το σφάλμα του ληφθέντος αποτελέσματος. Ολικό σφάλμα αποτελείται από λάθη ενεργειών και υπολειπόμενος όρος . Προφανώς: -0,289687

4

2,35

-0,70271

-0,299026

2,4

-0,73739

-0,307246

2

2,45

-0,77023

-0,314380

2,5

-0,80114

-0,320465

4

2,55

-0,83005

-0,325510

2,6

-0,85689

-0,329573

2

2,65

-0,88158

-0,332672

2,7

-0,90407

-0,334841

4

2,75

-0,92430

-0,336109

 3.

Ας αντικαταστήσουμε το ολοκλήρωμα που περιλαμβάνεται στο (2.50) με ένα πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange βαθμού μηδέν που διέρχεται από το μέσο του τμήματος - το σημείο Χ = (ΕΝΑ + β)/2(Εικ. 2.5). Η περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς μπορεί να αντικατασταθεί από την περιοχή ενός ορθογωνίου, δηλ.

Ο τύπος (2.52) ονομάζεται ΤΥΠΟΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ή ΤΥΠΟΙ ΜΕΣΩΝ ΜΕΣΩΝ. Το λάθος του είναι

Επέκταση λειτουργίας f(x)σε μια σειρά σε σχέση με το μέσο του τμήματος έχει τη μορφή

Αντικαθιστώντας την έκφραση (2.54) σε (2.53), λαμβάνουμε

Ρύζι. 2.5

Κατά τον υπολογισμό του σφάλματος ολοκλήρωσης, καταστράφηκε όχι μόνο ο πρώτος, αλλά και ο δεύτερος όρος της επέκτασης, ο οποίος σχετίζεται με τη συμμετρική επιλογή του κόμβου ολοκλήρωσης. Και παρόλο που από κατασκευή ο τύπος είναι ακριβής για τα πολυώνυμα μηδενική σειρά, η επιλογή ενός συμμετρικού κόμβου παρεμβολής οδήγησε στο γεγονός ότι ο τύπος είναι ακριβής για οποιαδήποτε γραμμική συνάρτηση.

Η τιμή του υπολοίπου όρου στον τύπο του ορθογωνίου (2.53) μπορεί να είναι μεγάλη, αφού η διαφορά (6 - α) μπορεί να είναι αρκετά μεγάλη. Για να αυξήσουμε την ακρίβεια, εισάγουμε ένα πλέγμα

με ένα αρκετά μικρό βήμα h t=jc(- xt_ j και εφαρμόστε τον τύπο ορθογωνίου σε κάθε βήμα του πλέγματος. Τότε παίρνουμε τον γενικευμένο τύπο για τα ορθογώνια

με την αξία του υπολοίπου όρου

Σε ένα ομοιόμορφο πλέγμα με βήματα h t «= Χ ( - xt _ j = ο τύπος const (2.56) απλοποιείται και έχει τη μορφή

η τιμή του υπολοίπου όρου είναι Αντικαθιστώντας το άθροισμα στο (2.58) με ένα ολοκλήρωμα, λαμβάνουμε

Για να είναι έγκυρη η εκτίμηση του υπολοίπου όρου (2.58), είναι απαραίτητη η ύπαρξη συνεχούς δεύτερης παραγώγου. αν η δεύτερη παράγωγος f"x)- τμηματικά συνεχής, τότε είναι δυνατό να γίνει μόνο μια κύρια εκτίμηση με αντικατάσταση f"(x)η μέγιστη τιμή του στο [ΕΝΑ, 6]. Τότε, αν συμβολίσουμε M 2 = max | f"(x)| [και το υπόλοιπο

Στην περίπτωση που η συνάρτηση f(x) δίνεται με τη μορφή πίνακα, η τιμή του στο μέσο του διαστήματος είναι άγνωστη. Αυτή η τιμή βρίσκεται συνήθως με παρεμβολή, η οποία οδηγεί σε επιδείνωση της ακρίβειας του τύπου.

Στην περίπτωση πίνακα καθορισμένες λειτουργίεςείναι βολικό να επιλέξετε την αρχή και το τέλος του τμήματος ολοκλήρωσης ως κόμβους παρεμβολής, δηλαδή να αντικαταστήσετε τη συνάρτηση f(x)Πολυώνυμο Lagrange πρώτου βαθμού. Εχουμε

Ρύζι. 2.6

Σε αυτή την περίπτωση, η τιμή του ολοκληρώματος, ίσο με εμβαδόνκαμπύλο τραπεζοειδές, αντικαθίσταται περίπου από την περιοχή του τραπεζοειδούς (Εικ. 2.6). Επομένως παίρνουμε

έχοντας υπόψη ότι x 0 = a, x g = σι.Αυτός ο τύπος ονομάζεται ΤΡΑΠΕΖΙΟΣ ΤΥΠΟΣ. Όταν χρησιμοποιείτε τον τραπεζοειδή τύπο για

εκτιμήσεις του σφάλματος ολοκλήρωσης, υπολογίζουμε το J dx από

τύπους (2.18). Εχουμε

Το σφάλμα του τραπεζοειδούς τύπου είναι διπλάσιο από το σφάλμα του τύπου ορθογωνίου. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι η επιλογή ορθογωνίων ως κόμβου παρεμβολής ενός συμμετρικού κόμβου στον τύπο οδηγεί σε αύξηση της ακρίβειάς του.

Για να βελτιώσουμε την ακρίβεια του τύπου (2.61), εισάγουμε το τμήμα [α, β]πλέγμα

Υπολογίζοντας την τιμή του ολοκληρώματος για κάθε διάστημα και αθροίζοντας αυτές τις τιμές, παίρνουμε γενικευμένητραπεζοειδής τύπος

με την αξία του υπολοίπου όρου

Αυτοί οι τύποι απλοποιούνται σε ένα πλέγμα με σταθερό βήμα L = L (= Xj- d:, t = const (i - 0, 1, - 1):

Ας εισάγουμε τη σημειογραφία Μ 2 ~ max |ГХ^)1(а &] Στην πράξη, χρησιμοποιούν μια κύρια εκτίμηση για την αξία του υπολοίπου όρου

Έτσι, ο τραπεζοειδής τύπος (όπως ο ορθογώνιος τύπος) έχει μια δεύτερη τάξη ακρίβειας σε σχέση με το βήμα του πλέγματος και το σφάλμα τείνει ασυμπτωτικά στο μηδέν στο η-» 0 έως εντός περισσότερων υψηλή τάξηλίγο.

Για να αυξήσουμε τη σειρά ακρίβειας του τύπου αριθμητικής ολοκλήρωσης, αντικαθιστούμε το ολοκλήρωμα με μια παραβολή - ένα πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange δεύτερου βαθμού, επιλέγοντας τα άκρα και το μέσο του τμήματος ολοκλήρωσης ως κόμβους παρεμβολής: x 0 = a, x x ~ (a + b)/ 2, x g = β(Εικ. 2.7).

Σε αυτή την περίπτωση, ενσωματώνοντας το πολυώνυμο παρεμβολής για κόμβους με ίσες αποστάσεις, λαμβάνουμε

Ρύζι. 2.7

Σε αυτήν την περίπτωση, η αξία του υπολοίπου όρου R~ J D 2 (x) dx υπολογίζεται από την κατά προσέγγιση σχέση °

Ο τύπος (2.67) ονομάζεται ΤΥΠΟΣ SIMPSON. Για κόμβους με άνισα απόσταση x 0, Xj, x 2 η τιμή φάανέρχεται σε

Όπως και στις δύο προηγούμενες περιπτώσεις, για να βελτιώσουμε την ακρίβεια του τύπου (2.67) εισάγουμε ένα πλέγμα με αρκετά μικρό βήμα. Συνοψίζοντας τις τιμές των ολοκληρωμάτων που λαμβάνονται από το (2,67) για κάθε διάστημα, λαμβάνουμε τον γενικευμένο τύπο Simpson (παραβολές), ο οποίος σε ένα ομοιόμορφο πλέγμα έχει τη μορφή

και η τιμή του υπολοίπου όρου είναι

Έτσι, ο τύπος της παραβολής έχει την τέταρτη τάξη ακρίβειας σε σχέση με το βήμα του πλέγματος. Ας εισάγουμε τη σημειογραφία Μ 4= = max |/ IV (x)| :

.
Επειτα .
Θα χρησιμοποιήσουμε γραμμική παρεμβολή του ολοκληρώματος.
Αν αντί για το τμήμα [-1; 1] πάρτε τους κινητούς κόμβους t1, t2 ως κόμβους παρεμβολής, τότε πρέπει να επιλέξετε αυτές τις τιμές έτσι ώστε η περιοχή του τραπεζοειδούς να περιορίζεται παραπάνω από την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A1 (t1, φ(t1)) και Το A2 (t2, φ(t2)) ήταν ίσο με το ολοκλήρωμα οποιουδήποτε πολυωνύμου ορισμένων υψηλοτερος ΒΑΘΜΟΣ.
Υποθέτοντας ότι πρόκειται για πολυώνυμο τρίτου βαθμού, υπολογίζουμε τα t1, t2, τα οποία αποδεικνύονται ίσα με και , διαφέροντας μόνο στην αρίθμηση των τιμών.
Στη συνέχεια, διαιρώντας το τμήμα ολοκλήρωσης σε n μέρη, εφαρμόζοντας την ιδέα που περιγράφεται παραπάνω σε καθένα από αυτά, μπορούμε να λάβουμε τον τύπο Gauss:

προγραμματισμός τύπων αριθμητικής ολοκλήρωσης

Εισαγωγή

1. Μέθοδοι αριθμητικής ολοκλήρωσης

2. Τετραγωνιστικοί τύποι

3. Αυτόματη επιλογή του βήματος ολοκλήρωσης

συμπέρασμα

Βιβλιογραφία

Εισαγωγή

Σκοπός του δοκιμίου είναι να μελετήσει και συγκριτική ανάλυσημέθοδοι αριθμητικής ολοκλήρωσης συναρτήσεων. υλοποίηση αυτών των μεθόδων με τη μορφή προγραμμάτων μηχανών στη γλώσσα υψηλό επίπεδοκαι πρακτική επίλυση προβλημάτων αριθμητικής ολοκλήρωσης σε υπολογιστή.

Κατά την επίλυση προβλημάτων μηχανικής, υπάρχει συχνά ανάγκη υπολογισμού τιμών οριστικό ολοκλήρωμαείδος

. (1)

Εάν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [ ένα , σι] και το αντιπαράγωγό του μπορεί να οριστεί μέσω γνωστή λειτουργία, τότε ένα τέτοιο ολοκλήρωμα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton–Leibniz:

.

ΣΕ μηχανολογικά προβλήματαΣπάνια είναι δυνατόν να ληφθεί η τιμή του ολοκληρώματος σε αναλυτική μορφή. Επιπλέον, η λειτουργία φά (Χ) μπορεί να καθοριστεί, για παράδειγμα, από έναν πίνακα πειραματικών δεδομένων. Επομένως, στην πράξη, για να υπολογίσουν ένα οριστικό ολοκλήρωμα χρησιμοποιούν ειδικές μεθόδους, τα οποία βασίζονται στη συσκευή παρεμβολής.

Η ιδέα τέτοιων μεθόδων είναι η εξής. Αντί να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο (1), υπολογίστε πρώτα τις τιμές της συνάρτησης φά (x i) = y iσε ορισμένους κόμβους x i Î[ ένα , σι]. Στη συνέχεια επιλέγεται το πολυώνυμο παρεμβολής Π (Χ), περνώντας από τα ληφθέντα σημεία ( x i , y i), το οποίο χρησιμοποιείται κατά τον υπολογισμό της κατά προσέγγιση τιμής του ολοκληρώματος (1):

.

Κατά την εφαρμογή αυτής της προσέγγισης, οι τύποι αριθμητικής ολοκλήρωσης λαμβάνουν τα ακόλουθα γενική μορφή:

, (2) - κόμβοι παρεμβολής, A i– ορισμένοι συντελεστές, R– υπολειπόμενος όρος που χαρακτηρίζει το σφάλμα του τύπου. Σημειώστε ότι οι τύποι της μορφής (2) ονομάζονται τύποι τετραγωνισμού.

Η γεωμετρική έννοια της αριθμητικής ολοκλήρωσης είναι ο υπολογισμός του εμβαδού ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που περιορίζεται από το γράφημα της συνάρτησης φά (Χ), τον άξονα x και δύο ευθείες γραμμές x = αΚαι x = β.Ένας κατά προσέγγιση υπολογισμός του εμβαδού οδηγεί στην απόρριψη του υπόλοιπου όρου στους τύπους τετραγωνισμού R, που χαρακτηρίζει το σφάλμα της μεθόδου, το οποίο επιπλέον υπερτίθεται από ένα υπολογιστικό σφάλμα.

1. Μέθοδοι αριθμητικής ολοκλήρωσης

ΣΕ εφαρμοσμένη έρευναΣυχνά υπάρχει ανάγκη να υπολογιστεί η τιμή ενός ορισμένου ολοκληρώματος

Όπως γνωρίζετε από ένα μάθημα μαθηματικών, το ολοκλήρωμα δεν μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά σε όλες τις περιπτώσεις. Και ακόμη και στην περίπτωση που είναι δυνατό να βρεθεί η αναλυτική μορφή αυτού του ολοκληρώματος, η διαδικασία υπολογισμού δίνει ένα κατά προσέγγιση αποτέλεσμα, οπότε προκύπτει το πρόβλημα της κατά προσέγγιση τιμής αυτού του ολοκληρώματος.

Η ουσία του κατά προσέγγιση υπολογισμού βρίσκεται σε δύο πράξεις: 1. επιλογή πεπερασμένος αριθμόςαντί για n? 2. στην επιλογή ενός σημείου

στο αντίστοιχο τμήμα.

Ανάλογα με την επιλογή

παίρνουμε διάφορους τύπους για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος: Τύποι αριστερών και δεξιών ορθογωνίων (5), (6) (5) (6)

Τραπεζοειδής τύπος:

Η φόρμουλα του Simpson

β, α - άκρα του υπό εξέταση τμήματος.

Για να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα του υπολογισμού με τους παραπάνω τύπους αριθμητικής ολοκλήρωσης, υπολογίζουμε το ακόλουθο ολοκλήρωμα με 3 τρόπους, διαιρώντας το τμήμα σε 6 ίσα τμήματα: h=

Σύμφωνα με τον τύπο των αριστερών ορθογωνίων:

Σύμφωνα με τον τραπεζοειδή τύπο:

Σύμφωνα με τον τύπο του Simpson:

Και το αποτέλεσμα που προκύπτει αναλυτικά είναι ίσο με

=1

Επομένως, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι αριθμητική μέθοδοςΗ ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας τον τύπο του Simpson είναι πιο ακριβής, αλλά χρησιμοποιείται σε γενική περίπτωσηκατά τη διαίρεση του τμήματος που χωρίζεται σε ζυγό αριθμό διαστημάτων.

2. Τετραγωνιστικοί τύποι

Παραλληλόγραμμοι τύποιείναι οι απλούστεροι τύποι τετραγωνισμού. Ας χωρίσουμε το τμήμα ολοκλήρωσης [ α, β] επί Πίσα μέρη μήκους

. Σημειώστε ότι η τιμή ηονομάζεται βήμα ολοκλήρωσης. Σε σημεία διάσπασης Χ 0 = α ,Χ 1 =a+h , ..., x n = βσημειώστε τις τεταγμένες y 0 ,y 1 ,…,y nανέντιμος φά (Χ), δηλ. ας υπολογίσουμε y i = στ (x i), x i = a+ ih = x i -1 + η (i =). Σε κάθε τμήμα μήκους ηκατασκευάστε ένα ορθογώνιο με πλευρές ηΚαι y i, Οπου i =, δηλ. από τις τιμές τεταγμένων που υπολογίζονται στα αριστερά άκρα των τμημάτων. Στη συνέχεια, η περιοχή του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς, η οποία καθορίζει την τιμή του ολοκληρώματος (1), μπορεί να αναπαρασταθεί περίπου ως το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων (Εικ. 1). Από εδώ παίρνουμε τον τύπο για τα ορθογώνια:
. (3)

Εάν, κατά τον υπολογισμό του ολοκληρωτικού αθροίσματος, πάρουμε τις τιμές της συνάρτησης φά (Χ) όχι στα αριστερά, αλλά στα δεξιά άκρα των τμημάτων μήκους η, το οποίο φαίνεται στο Σχ. 1 με μια διακεκομμένη γραμμή, παίρνουμε τη δεύτερη έκδοση του τύπου ορθογωνίου:

. (4)

Η τρίτη έκδοση του τύπου ορθογωνίου μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τις τιμές συνάρτησης φά (Χ), υπολογίζεται στο μέσο κάθε τμήματος μήκους η(Εικ. 2):

. (5)

Οι τύποι (3), (4) και (4) ονομάζονται τύποι του αριστερού, δεξιού και κεντρικού ορθογωνίου, αντίστοιχα.

Η φόρμουλα του Simpson.Ας διαιρέσουμε το διάστημα ολοκλήρωσης με 2 nίσα μέρη μήκους

. Σε κάθε τμήμα [ x i , x i+2] integrand συνάρτηση φά (Χ) θα αντικατασταθεί από μια παραβολή που διέρχεται από τα σημεία ( x i , y i), (x i +1 , y i +1), (x i +2 , y i+2). Τότε η κατά προσέγγιση τιμή του ολοκληρώματος προσδιορίζεται από τον τύπο του Simpson: . (7)

Κατά τον υπολογισμό σε υπολογιστή, ο ακόλουθος τύπος είναι πιο βολικός:

Η μέθοδος του Simpson είναι μια από τις πιο γνωστές και χρησιμοποιούμενες μεθόδους αριθμητικής ολοκλήρωσης· δίνει ακριβείς ακέραιες τιμές κατά την ενσωμάτωση πολυωνύμων έως και τρίτης τάξης.

τύπος του Νεύτωνα.Η κατά προσέγγιση τιμή του ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον τύπο του Newton υπολογίζεται ως εξής:

όπου ο αριθμός των τμημάτων διαμερισμάτων είναι πολλαπλάσιο του τρία, δηλ. είναι 3 n. Κατά την ανάπτυξη προγραμμάτων υπολογιστή, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιείτε τον ισοδύναμο τύπο:

Η μέθοδος του Νεύτωνα δίνει ακριβείς τιμές του ολοκληρώματος κατά την ολοκλήρωση πολυωνύμων μέχρι την τέταρτη τάξη συμπεριλαμβανομένων.

3. Αυτόματη επιλογή του βήματος ολοκλήρωσης

Ως αποτέλεσμα του υπολογισμού με χρήση των τύπων (3) - (8), προκύπτει μια κατά προσέγγιση τιμή του ολοκληρώματος, η οποία μπορεί να διαφέρει από την ακριβή τιμή κατά ένα ορισμένο ποσό, που ονομάζεται σφάλμα ολοκλήρωσης. Το σφάλμα καθορίζεται από τον υπόλοιπο τύπο R, διαφορετική για κάθε μέθοδο ολοκλήρωσης. Εάν είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η τιμή του ολοκληρώματος με σφάλμα που δεν υπερβαίνει το e, τότε είναι απαραίτητο να επιλέξετε ένα τέτοιο βήμα ολοκλήρωσης η, ώστε να ισχύει η ανισότητα R (η) £ε. Στην πράξη, χρησιμοποιείται αυτόματη επιλογή τιμής η, διασφαλίζοντας την επίτευξη ενός δεδομένου σφάλματος. Αρχικά, υπολογίστε την τιμή του ολοκληρώματος Εγώ (n), διαιρώντας το διάστημα ολοκλήρωσης σε Πτμήματα, τότε ο αριθμός των τμημάτων διπλασιάζεται και υπολογίζεται το ολοκλήρωμα Εγώ (2n). Η διαδικασία υπολογισμού συνεχίζεται μέχρι να γίνει αληθής η συνθήκη.