Το γινόμενο των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Πώς να βρείτε το άθροισμα των ριζών μιας εξίσωσης

Ο προσδιορισμός του αθροίσματος των ριζών μιας εξίσωσης είναι ένα από τα απαραίτητα βήματα κατά την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων (εξισώσεις της μορφής ax² + bx + c = 0, όπου οι εκθέτες a, b και c είναι αυθαίρετοι αριθμοί, και a ? 0) με την υποστήριξη του θεωρήματος του Βιέτα.

Εντολή

1. Γράψτε την τετραγωνική εξίσωση ως ax² + bx + c = 0 Παράδειγμα: Αρχική εξίσωση: 12 + x²= 8x Σωστά γραμμένη εξίσωση: x² - 8x + 12 = 0

2. Εφαρμόστε το θεώρημα Vieta, σύμφωνα με το οποίο το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης θα είναι ίσο με τον αριθμό "b", που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο τους θα είναι ίσο με τον αριθμό "c". Παράδειγμα: Στην εξίσωση υπό εξέταση, b \u003d -8, c \u003d 12, αντίστοιχα: x1 + x2 =8×1∗x2=12

3. Βρείτε αν οι ρίζες των εξισώσεων είναι σωστές ή αρνητικές αριθμοί. Εάν τόσο το γινόμενο όσο και το άθροισμα των ριζών είναι θετικοί αριθμοί, όλες οι ρίζες είναι έγκυρος αριθμός. Αν το γινόμενο των ριζών είναι σωστό και το άθροισμα των ριζών είναι αρνητικός αριθμός, τότε και οι δύο ρίζες είναι αρνητικές. Εάν το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικό, τότε οι ρίζες έχουν ένα σύμβολο ρίζας "+" και ένα άλλο σύμβολο "-". έναν αρνητικό αριθμό - μια μεγαλύτερη ρίζα - αρνητικό." Παράδειγμα: Στην εξίσωση που εξετάζουμε, τόσο το άθροισμα όσο και το γινόμενο είναι οι σωστοί αριθμοί: 8 και 12, που σημαίνει ότι και οι δύο ρίζες είναι θετικοί αριθμοί.

4. Λύστε το προκύπτον σύστημα εξισώσεων επιλέγοντας τις ρίζες. Θα είναι πιο βολικό να ξεκινήσετε την επιλογή από παράγοντες και μετά, για επαλήθευση, να αντικαταστήσετε οποιοδήποτε ζεύγος παραγόντων στη δεύτερη εξίσωση και να ελέγξετε εάν το άθροισμα αυτών των ριζών αντιστοιχεί στη λύση. Παράδειγμα: x1∗x2=12 Κατάλληλα ζεύγη των ριζών θα είναι αντίστοιχα: 12 και 1, 6 και 2, 4 και 3Ελέγξτε τα ληφθέντα ζεύγη με την υποστήριξη της εξίσωσης x1+x2=8. Ζεύγη 12 + 1 ≠ 86 + 2 = 84 + 3 ≠ 8 Αντίστοιχα, οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί 6 και 8.

Μια εξίσωση είναι μια ισότητα της μορφής f(x,y,…)=g(x,y,..), όπου f και g είναι συναρτήσεις μιας ή περισσότερων μεταβλητών. Η εύρεση της ρίζας μιας εξίσωσης σημαίνει την εύρεση ενός συνόλου ορισμάτων βάσει των οποίων αυτή η ισότητα ικανοποιείται.

Θα χρειαστείτε

• Γνώση μαθηματικής κριτικής.

Εντολή

1. Ίσως έχετε μια εξίσωση όπως: x+2=x/5. Αρχικά, μεταφέρουμε όλα τα στοιχεία αυτής της ισότητας από τη δεξιά πλευρά στην αριστερή πλευρά, ενώ αλλάζουμε το πρόσημο της συνιστώσας στην αντίθετη. Το μηδέν θα παραμείνει στη δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης, δηλαδή, παίρνουμε το εξής: x + 2-x / 5 \u003d 0.

2. Ας παρουσιάσουμε τους παρόμοιους όρους. Παίρνουμε το εξής: 4x/5 + 2 = 0.

3. Περαιτέρω, από την προκύπτουσα ανηγμένη εξίσωση, βρίσκουμε τον άγνωστο όρο, στο αυτή η υπόθεσηαυτό είναι το Χ. Η προκύπτουσα τιμή της άγνωστης μεταβλητής θα είναι η λύση της αρχικής εξίσωσης. Σε αυτή την περίπτωση, παίρνουμε τα εξής: x = -2,5.

Σχετικά βίντεο

Σημείωση!
Ως αποτέλεσμα της λύσης, μπορεί να εμφανιστούν επιπλέον ρίζες. Δεν θα είναι λύση στην αρχική εξίσωση, ακόμα κι αν τα έχετε αποφασίσει όλα θετικά. Φροντίστε να ελέγξετε όλες τις λύσεις που λαμβάνετε.

Χρήσιμες συμβουλές
Να ελέγχετε πάντα τις λαμβανόμενες τιμές ενός άγνωστου. Αυτό μπορεί να γίνει πρωταρχικά αντικαθιστώντας την τιμή που προκύπτει σε αρχική εξίσωση. Αν η εξίσωση είναι σωστή, τότε η λύση είναι σωστή.

Το θεώρημα του Vieta δημιουργεί μια άμεση σύνδεση μεταξύ των ριζών (x1 και x2) και των εκθετών (b και c, d) μιας εξίσωσης όπως bx2+cx+d=0. Με τη βοήθεια αυτού του θεωρήματος, επιτρέπεται, χωρίς να καθορίζονται οι τιμές των ριζών, να υπολογιστεί το άθροισμά τους, μιλώντας με τόλμη, στο μυαλό. Δεν υπάρχει τίποτα δύσκολο σε αυτό, το κύριο πράγμα είναι να γνωρίζουμε ορισμένους κανόνες.

Θα χρειαστείτε

• - αριθμομηχανή;
• - χαρτί σημειώσεων.

Εντολή

1. Οδηγεί σε τυπική όψητην τετραγωνική εξίσωση υπό μελέτη, έτσι ώστε όλοι οι εκθέτες να πηγαίνουν με φθίνουσα σειρά, δηλαδή στην αρχή υψηλοτερος ΒΑΘΜΟΣ- x2, και στο τέλος η μηδενική μοίρα - x0. Η εξίσωση θα έχει τη μορφή: b*x2 + c*x1 + d*х0 = b*x2 + c*x + d = 0.

2. Ελέγξτε τη μη αρνητικότητα του διακριτικού. Αυτός ο έλεγχος είναι απαραίτητος για να βεβαιωθείτε ότι η εξίσωση έχει ρίζες. Το D (διακριτικό) παίρνει τη μορφή: D = c2 – 4*b*d. Υπάρχουν πολλές επιλογές εδώ. Δ - διακριτικό - σωστό, που σημαίνει ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες. D - ισούται με μηδέν, προκύπτει ότι υπάρχει μια ρίζα, αλλά είναι διπλή, δηλαδή x1 \u003d x2. Δ - αρνητικό, για ένα σχολικό μάθημα άλγεβρας αυτή η συνθήκη σημαίνει ότι δεν υπάρχουν ρίζες, για ανώτερα μαθηματικάΥπάρχουν ρίζες, αλλά είναι πολύπλοκες.

3. Να προσδιορίσετε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta, αυτό είναι εύκολο να γίνει: b * x2 + c * x + d \u003d 0. Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ευθέως ανάλογο με το "–c" και αντιστρόφως ανάλογο με τον δείκτη "b". Δηλαδή, x1+x2 = -c/b. Προσδιορίστε το γινόμενο των ριζών σύμφωνα με τη διατύπωση - το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης είναι ευθέως ανάλογο με το "d" και αντιστρόφως ανάλογο με τον δείκτη "b": x1 * x2 \u003d d / b.

Σημείωση!
Εάν έχετε αρνητική διάκριση, αυτό δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχουν ρίζες. Αυτό σημαίνει ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι λεγόμενες σύνθετες ρίζες. Το θεώρημα του Vieta είναι επίσης εφαρμόσιμο σε αυτήν την περίπτωση, αλλά η μορφή του θα αλλάξει ελαφρώς: [-c+(-i)*(-c2 + 4*b*d)0,5]/ = x1,2

Χρήσιμες συμβουλές
Εάν αντιμετωπίζετε όχι μια τετραγωνική εξίσωση, αλλά με ένα κυβικό ή μια εξίσωση βαθμού n: b0 * xn + b1 * xn-1 + ... .. + bn = 0, τότε μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα Vieta για να να υπολογίσετε το άθροισμα ή το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης :one. –b1/b0 = x1 + x2 + x3 +….+ xn,2. b2/b0 = x1*x2+….+xn-1*xn,3. (-1)n * (bn/b0) = x1*x2*x3*….*xn.

Εάν, κατά την αντικατάσταση ενός αριθμού σε μια εξίσωση, προκύπτει η σωστή ισότητα, ένας τέτοιος αριθμός ονομάζεται ρίζα. Οι ρίζες μπορεί να είναι σωστές, αρνητικές και μηδενικές. Ανάμεσα σε κάθε σύνολο ριζών της εξίσωσης, διακρίνονται το μέγιστο και το ελάχιστο.

Εντολή

1. Βρείτε όλες τις ρίζες της εξίσωσης, ανάμεσά τους επιλέξτε την αρνητική, εάν υπάρχει. Έστω, ας πούμε, δεδομένης της δευτεροβάθμιας εξίσωσης 2x?-3x+1=0. Εφαρμόστε τη φόρμουλα ρίζας τετραγωνική εξίσωση: x(1,2)=/2=/2=/2, μετά x1=2, x2=1. Είναι εύκολο να παρατηρήσετε ότι δεν υπάρχουν αρνητικά μεταξύ τους.

2. Είναι επίσης δυνατό να βρούμε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta. Σύμφωνα με αυτό το θεώρημα, x1+x1=-b, x1?x2=c, όπου b και c είναι αντίστοιχα οι δείκτες της εξίσωσης x?+bx+c=0. Εφαρμόζοντας αυτό το θεώρημα, είναι δυνατό να μην υπολογιστεί η διάκριση bα-4ac, η οποία σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να απλοποιήσει πολύ την εργασία.

3. Εάν ο εκθέτης στο x είναι άρτιος σε μια τετραγωνική εξίσωση, επιτρέπεται να χρησιμοποιηθεί όχι ο κύριος, αλλά ένας συντομευμένος τύπος για την εύρεση των ριζών. Εάν ο κύριος τύπος μοιάζει με x(1,2)=[-b±?(b?-4ac)]/2a, τότε σε συντομογραφία γράφεται ως εξής: x(1,2)=[-b/2 ±?(b?/4-ac)]/a. Εάν δεν υπάρχει ελεύθερος όρος στην τετραγωνική εξίσωση, είναι πολύ εύκολο να μετακινήσετε το x έξω από τις αγκύλες. Και περιστασιακά η αριστερή πλευρά διπλώνει πλήρες τετράγωνο: x?+2x+1=(x+1)?.

4. Υπάρχουν τύποι εξισώσεων που δεν δίνουν έναν αριθμό, αλλά πολλές λύσεις. Ας πούμε τριγωνομετρικές εξισώσεις. Άρα, το αποτέλεσμα στην εξίσωση 2sin?(2x)+5sin(2x)-3=0 θα είναι x=?/4+?k, όπου k είναι ένας ακέραιος αριθμός. Δηλαδή, όταν αντικαθιστούμε οποιαδήποτε ακέραια τιμή της παραμέτρου k, το όρισμα x θα ικανοποιεί τη δεδομένη εξίσωση.

5. ΣΤΟ τριγωνομετρικά προβλήματαμπορεί να χρειαστεί να βρούμε όλες τις αρνητικές ρίζες ή τις υψηλότερες από τις αρνητικές. Για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων χρησιμοποιείται λογικός συλλογισμός ή μέθοδος μαθηματική επαγωγή. Αντικαταστήστε μερικές ακέραιες τιμές για το k στην έκφραση x=?/4+?k και παρατηρήστε πώς συμπεριφέρεται το όρισμα. Παρεμπιπτόντως, η μεγαλύτερη αρνητική ρίζα στην προηγούμενη εξίσωση θα είναι x=-3?/4 με k=1.

Σχετικά βίντεο

Σημείωση!
ΣΤΟ αυτό το παράδειγμαεξετάστηκε μια παραλλαγή της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, στην οποία a=1. Για να λύσετε την πλήρη τετραγωνική εξίσωση με την ίδια μέθοδο, όπου a & ne 1, πρέπει να φτιάξετε μια βοηθητική εξίσωση, φέρνοντας το "a" στο ένα.

Χρήσιμες συμβουλές
Χρήση αυτή τη μέθοδολύνοντας εξισώσεις για να ανακαλύψετε γρήγορα τις ρίζες. Θα σας βοηθήσει επίσης αν χρειαστεί να λύσετε μια εξίσωση στο κεφάλι σας χωρίς να καταφύγετε σε σημειώσεις.

Το άθροισμα των ριζών της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με αντίθετο σημάδι, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο.

(Θυμηθείτε: η δεδομένη τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση όπου ο πρώτος συντελεστής είναι 1).

Εξήγηση:

Έστω η τετραγωνική εξίσωση ax2+bx +ντο= 0 έχει ρίζες Χ 1 και Χ 2. Στη συνέχεια, σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta:

Παράδειγμα 1:

Η παραπάνω εξίσωση x 2 - 7x + 10 \u003d 0 έχει ρίζες 2 και 5.

Το άθροισμα των ριζών είναι 7 και το γινόμενο είναι 10.

Και στην εξίσωσή μας, ο δεύτερος συντελεστής είναι -7 και η τομή είναι 10.

Έτσι, το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο των ριζών είναι ο ελεύθερος όρος.

Αρκετά συχνά υπάρχουν τετραγωνικές εξισώσεις που μπορούν εύκολα να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta − Επί πλέον, με τη βοήθειά του είναι πιο εύκολο να τα υπολογίσετε. Είναι εύκολο να το δούμε αυτό τόσο στο προηγούμενο παράδειγμα όσο και στο επόμενο.

Παράδειγμα 2 . Λύστε μια τετραγωνική εξίσωση Χ 2 – 2Χ – 24 = 0.

Απόφαση .

Εφαρμόζουμε το θεώρημα Vieta και γράφουμε δύο ταυτότητες:

Χένας · Χ 2 = –24

Χ 1 + Χ 2 = 2

Επιλέγουμε τέτοιους παράγοντες για -24 ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με 2. Μετά από λίγη σκέψη, βρίσκουμε: 6 και -4. Ας ελέγξουμε:

6 (- 4) = -24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Όπως παρατηρήσατε, στην πράξη, η ουσία του θεωρήματος του Vieta είναι να αποσυντεθεί ο ελεύθερος όρος στη δεδομένη τετραγωνική εξίσωση σε τέτοιους παράγοντες, το άθροισμα των οποίων είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με το αντίθετο πρόσημο. Αυτοί οι παράγοντες θα είναι οι ρίζες.

Άρα οι ρίζες της τετραγωνικής μας εξίσωσης είναι 6 και -4.

Απάντηση: Χ 1 = 6, Χ 2 = –4.

Παράδειγμα 3 . Ας λύσουμε την τετραγωνική εξίσωση 3x 2 + 2x - 5 = 0.

Εδώ δεν έχουμε να κάνουμε με ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση. Αλλά τέτοιες εξισώσεις μπορούν επίσης να λυθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta εάν οι συντελεστές τους είναι ισορροπημένοι - για παράδειγμα, εάν το άθροισμα του πρώτου και του τρίτου συντελεστή είναι ίσο με το δεύτερο με το αντίθετο πρόσημο.

Απόφαση .

Οι συντελεστές της εξίσωσης είναι ισορροπημένοι: το άθροισμα του πρώτου και του τρίτου όρου είναι ίσο με τον δεύτερο με το αντίθετο πρόσημο:

3 + (–5) = –2.

Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta

x 1 + x 2 = -2/3
x 1 x 2 = -5/3.

Πρέπει να βρούμε δύο αριθμούς των οποίων το άθροισμα είναι -2/3 και το γινόμενο είναι -5/3. Αυτοί οι αριθμοί θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης.

Ο πρώτος αριθμός μαντεύεται αμέσως: είναι 1. Εξάλλου, με x \u003d 1, η εξίσωση μετατρέπεται στην απλούστερη πρόσθεση-αφαίρεση:
3 + 2 - 5 = 0. Πώς να βρείτε τη δεύτερη ρίζα;
Ας αντιπροσωπεύσουμε το 1 ως 3/3 έτσι ώστε όλοι οι αριθμοί να έχουν ίδιος παρονομαστής: είναι ευκολότερο. Και ρωτούν αμέσως επόμενα βήματα. Αν x 1 \u003d 3/3, τότε:

3/3 + x 2 = -2/3.

Λύνουμε μια απλή εξίσωση:

x 2 \u003d -2/3 - 3/3.

Απάντηση: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d -5/3

Παράδειγμα 4: Λύστε την δευτεροβάθμια εξίσωση 7 Χ 2 – 6Χ – 1 = 0.

Απόφαση:

Μια ρίζα βρίσκεται αμέσως - τραβάει το μάτι σας: Χ 1 = 1 (γιατί προκύπτει απλή αριθμητική: 7 - 6 - 1 = 0).

Οι συντελεστές της εξίσωσης είναι ισορροπημένοι: το άθροισμα του πρώτου και του τρίτου είναι ίσο με το δεύτερο με το αντίθετο πρόσημο:
7 + (– 1) = 6.

Σύμφωνα με το θεώρημα Vieta, συνθέτουμε δύο ταυτότητες (αν και σε αυτή την περίπτωση μία από αυτές αρκεί):

Χένας · Χ 2 = –1/7
Χ 1 + Χ 2 = 6/7

Αντικαταστήστε την τιμή του x 1 σε οποιαδήποτε από αυτές τις δύο παραστάσεις και βρείτε το x 2:

Χ 2 = –1/7: 1 = –1/7

Απάντηση: Χ 1 = 1; Χ 2 = –1/7

Η διάκριση της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης.

Η διάκριση της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης μπορεί να υπολογιστεί ως γενικός τύποςκαι με απλοποιημένο τρόπο:

ΣτοD = 0 οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης μπορούν να υπολογιστούν με τον τύπο:

Αν ο Δ< 0, то уравнение не имеет корней.

Αν D = 0, τότε η εξίσωση έχει μία ρίζα.

Αν D > 0, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Μεταξύ των ριζών και των συντελεστών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, εκτός από τους τύπους ρίζας, υπάρχουν και άλλες χρήσιμες σχέσεις που δίνονται από Το θεώρημα του Βιέτα. Σε αυτό το άρθρο, θα δώσουμε μια διατύπωση και απόδειξη του θεωρήματος του Vieta για μια τετραγωνική εξίσωση. Στη συνέχεια, θεωρούμε ένα θεώρημα αντίστροφο με το θεώρημα του Vieta. Μετά από αυτό, θα αναλύσουμε τις λύσεις των πιο χαρακτηριστικών παραδειγμάτων. Τέλος, καταγράφουμε τους τύπους Vieta που ορίζουν τη σύνδεση μεταξύ των πραγματικών ριζών αλγεβρική εξίσωση ο βαθμός n και οι συντελεστές του.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Θεώρημα Vieta, διατύπωση, απόδειξη

Από τους τύπους των ριζών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης a x 2 +b x+c=0 της μορφής , όπου D=b 2 −4 a c , οι σχέσεις x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = γ/α . Αυτά τα αποτελέσματα επιβεβαιώνονται Το θεώρημα του Βιέτα:

Θεώρημα.

Αν x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης a x 2 +b x+c=0, τότε το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον λόγο των συντελεστών b και a, που λαμβάνονται με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο του οι ρίζες είναι ίσες με τον λόγο των συντελεστών c και a, δηλαδή .

Απόδειξη.

Θα αποδείξουμε το θεώρημα Vieta σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα: συνθέτουμε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας διάσημες φόρμουλεςρίζες, μετά από αυτό μετασχηματίζουμε τις παραστάσεις που προκύπτουν και βεβαιωνόμαστε ότι είναι ίσες με −b/a και c/a, αντίστοιχα.

Ας ξεκινήσουμε με το άθροισμα των ριζών, συνθέστε το. Τώρα φέρνουμε τα κλάσματα στο κοινό παρονομαστή, έχουμε . Στον αριθμητή του κλάσματος που προκύπτει , μετά από τον οποίο : . Τελικά, μετά τις 2, παίρνουμε . Αυτό αποδεικνύει την πρώτη σχέση του θεωρήματος του Vieta για το άθροισμα των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Ας περάσουμε στο δεύτερο.

Συνθέτουμε το γινόμενο των ριζών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης:. Σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων, τελευταία δουλειάμπορεί να γραφτεί ως . Τώρα πολλαπλασιάζουμε την αγκύλη με την αγκύλη στον αριθμητή, αλλά είναι πιο γρήγορο να συμπτύξουμε αυτό το γινόμενο κατά τύπος διαφοράς τετραγώνων, Ετσι . Στη συνέχεια, θυμόμαστε, εκτελούμε την επόμενη μετάβαση. Και εφόσον ο τύπος D=b 2 −4 a·c αντιστοιχεί στη διάκριση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, τότε το b 2 −4·a·c μπορεί να αντικατασταθεί στο τελευταίο κλάσμα αντί του D, παίρνουμε . Μετά το άνοιγμα των στηρίξεων και τη χύτευση παρόμοιους όρουςφτάνουμε στο κλάσμα , και η αναγωγή του κατά 4·a δίνει . Αυτό αποδεικνύει τη δεύτερη σχέση του θεωρήματος του Vieta για το γινόμενο των ριζών.

Εάν παραλείψουμε τις επεξηγήσεις, τότε η απόδειξη του θεωρήματος Vieta θα έχει μια συνοπτική μορφή:
,
.

Μένει μόνο να σημειωθεί ότι όταν η διάκριση είναι ίση με μηδέν, η τετραγωνική εξίσωση έχει μία ρίζα. Ωστόσο, αν υποθέσουμε ότι η εξίσωση σε αυτή την περίπτωση έχει δύο ίδιες ρίζες, τότε ισχύουν και οι ισότητες από το θεώρημα Vieta. Πράγματι, για D=0 η ρίζα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι , τότε και , και αφού D=0 , δηλαδή b 2 −4·a·c=0 , από όπου b 2 =4·a·c , τότε .

Στην πράξη, το θεώρημα του Vieta χρησιμοποιείται συχνότερα σε σχέση με τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση (με τον υψηλότερο συντελεστή a ίσο με 1 ) της μορφής x 2 +p·x+q=0 . Μερικές φορές διατυπώνεται για τετραγωνικές εξισώσεις ακριβώς αυτού του τύπου, κάτι που δεν περιορίζει τη γενικότητα, αφού οποιαδήποτε τετραγωνική εξίσωση μπορεί να αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη εξίσωση διαιρώντας και τα δύο μέρη της με έναν μη μηδενικό αριθμό α. Ακολουθεί η αντίστοιχη διατύπωση του θεωρήματος του Vieta:

Θεώρημα.

Το άθροισμα των ριζών της μειωμένης δευτεροβάθμιας εξίσωσης x 2 + p x + q \u003d 0 είναι ίσο με τον συντελεστή x, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο των ριζών είναι ένας ελεύθερος όρος, δηλαδή x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Αντίστροφο θεώρημα στο θεώρημα του Βιέτα

Η δεύτερη διατύπωση του θεωρήματος Vieta, που δόθηκε στην προηγούμενη παράγραφο, δείχνει ότι αν x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης x 2 +p x+q=0, τότε οι σχέσεις x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2=q. Από την άλλη πλευρά, από τις γραπτές σχέσεις x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, προκύπτει ότι x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x 2 +p x+q=0. Με άλλα λόγια, ο ισχυρισμός αντίστροφος με το θεώρημα του Vieta είναι αληθής. Το διατυπώνουμε με τη μορφή θεωρήματος και το αποδεικνύουμε.

Θεώρημα.

Αν οι αριθμοί x 1 και x 2 είναι τέτοιοι ώστε x 1 +x 2 =−p και x 1 x 2 =q, τότε x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης x 2 +p x+q=0 .

Απόδειξη.

Αφού αντικατασταθούν στην εξίσωση x 2 +p x+q=0 οι συντελεστές p και q της έκφρασής τους μέσω των x 1 και x 2, μετατρέπεται σε ισοδύναμη εξίσωση.

Αντικαθιστούμε τον αριθμό x 1 αντί για x στην εξίσωση που προκύπτει, έχουμε την ισότητα x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, που για οποιαδήποτε x 1 και x 2 είναι η σωστή αριθμητική ισότητα 0=0, αφού x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Επομένως, x 1 είναι η ρίζα της εξίσωσης x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, που σημαίνει ότι x 1 είναι η ρίζα της ισοδύναμης εξίσωσης x 2 +p x+q=0 .

Αν στην εξίσωση x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0Αντικαταστήστε τον αριθμό x 2 αντί για x, τότε παίρνουμε την ισότητα x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Αυτή είναι η σωστή εξίσωση γιατί x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Επομένως, το x 2 είναι επίσης η ρίζα της εξίσωσης x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, και ως εκ τούτου οι εξισώσεις x 2 +p x+q=0 .

Αυτό συμπληρώνει την απόδειξη του θεωρήματος, θεώρημα αντίστροφης Vieta.

Παραδείγματα χρήσης του θεωρήματος του Vieta

Ήρθε η ώρα να μιλήσουμε για την πρακτική εφαρμογή του θεωρήματος του Βιέτα και του αντιστρόφου του θεωρήματος. Σε αυτή την υποενότητα, θα αναλύσουμε τις λύσεις πολλών από τα πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα.

Ξεκινάμε εφαρμόζοντας ένα θεώρημα αντίστροφο με το θεώρημα του Vieta. Είναι βολικό να το χρησιμοποιήσετε για να ελέγξετε αν οι δύο δεδομένοι αριθμοί είναι οι ρίζες μιας δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης. Στην περίπτωση αυτή υπολογίζεται το άθροισμα και η διαφορά τους και μετά ελέγχεται η εγκυρότητα των σχέσεων. Εάν και οι δύο αυτές σχέσεις ικανοποιούνται, τότε, δυνάμει του θεωρήματος που αντιστρέφεται με το θεώρημα του Vieta, συμπεραίνεται ότι αυτοί οι αριθμοί είναι οι ρίζες της εξίσωσης. Εάν τουλάχιστον μία από τις σχέσεις δεν ικανοποιείται, τότε αυτοί οι αριθμοί δεν είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Αυτή η προσέγγιση μπορεί να χρησιμοποιηθεί κατά την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων για τον έλεγχο των ριζών που βρέθηκαν.

Παράδειγμα.

Ποιο από τα ζεύγη αριθμών 1) x 1 =−5, x 2 =3, ή 2), ή 3) είναι ζεύγος ριζών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης 4 x 2 −16 x+9=0;

Απόφαση.

Οι συντελεστές της δεδομένης δευτεροβάθμιας εξίσωσης 4 x 2 −16 x+9=0 είναι a=4 , b=−16 , c=9 . Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta, το άθροισμα των ριζών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης πρέπει να είναι ίσο με −b/a, δηλαδή 16/4=4, και το γινόμενο των ριζών πρέπει να είναι ίσο με c/a, δηλαδή 9 /4.

Τώρα υπολογίζουμε το άθροισμα και το γινόμενο των αριθμών σε καθένα από τα τρία δοσμένα ζεύγηκαι συγκρίνετε τα με τις τιμές που μόλις λήφθηκαν.

Στην πρώτη περίπτωση, έχουμε x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Η τιμή που προκύπτει είναι διαφορετική από το 4, επομένως δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί περαιτέρω επαλήθευση, αλλά με το θεώρημα, το αντίστροφο του θεωρήματος του Vieta, μπορούμε αμέσως να συμπεράνουμε ότι το πρώτο ζεύγος αριθμών δεν είναι ζεύγος ριζών μιας δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης.

Ας περάσουμε στη δεύτερη περίπτωση. Εδώ, δηλαδή, ικανοποιείται η πρώτη προϋπόθεση. Ελέγχουμε τη δεύτερη συνθήκη: , η τιμή που προκύπτει είναι διαφορετική από το 9/4. Επομένως, το δεύτερο ζεύγος αριθμών δεν είναι ζεύγος ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Παρέμεινε τελευταία περίπτωση. Εδώ και . Και οι δύο προϋποθέσεις πληρούνται, επομένως αυτοί οι αριθμοί x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης.

Απάντηση:

Το θεώρημα, το αντίστροφο του θεωρήματος του Vieta, μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην πράξη για την επιλογή των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Συνήθως, επιλέγονται ακέραιες ρίζες των δεδομένων τετραγωνικών εξισώσεων με ακέραιους συντελεστές, αφού σε άλλες περιπτώσεις αυτό είναι αρκετά δύσκολο να γίνει. Ταυτόχρονα, χρησιμοποιούν το γεγονός ότι αν το άθροισμα δύο αριθμών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, που λαμβάνεται με αρνητικό πρόσημο, και το γινόμενο αυτών των αριθμών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο, τότε αυτοί οι αριθμοί είναι τις ρίζες αυτής της τετραγωνικής εξίσωσης. Ας το αντιμετωπίσουμε αυτό με ένα παράδειγμα.

Ας πάρουμε την τετραγωνική εξίσωση x 2 −5 x+6=0 . Για να είναι οι αριθμοί x 1 και x 2 οι ρίζες αυτής της εξίσωσης, πρέπει να ικανοποιηθούν δύο ισότητες x 1 +x 2 \u003d 5 και x 1 x 2 \u003d 6. Απομένει να επιλέξουμε τέτοιους αριθμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, αυτό είναι πολύ απλό: τέτοιοι αριθμοί είναι το 2 και το 3, αφού 2+3=5 και 2 3=6 . Έτσι, το 2 και το 3 είναι οι ρίζες αυτής της τετραγωνικής εξίσωσης.

Το θεώρημα, το αντίστροφο του θεωρήματος του Vieta, είναι ιδιαίτερα βολικό να εφαρμοστεί στην εύρεση της δεύτερης ρίζας της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης, όταν μία από τις ρίζες είναι ήδη γνωστή ή προφανής. Σε αυτή την περίπτωση, η δεύτερη ρίζα βρίσκεται από οποιαδήποτε από τις σχέσεις.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε την τετραγωνική εξίσωση 512 x 2 −509 x−3=0 . Εδώ είναι εύκολο να δούμε ότι η μονάδα είναι η ρίζα της εξίσωσης, αφού το άθροισμα των συντελεστών αυτής της τετραγωνικής εξίσωσης είναι μηδέν. Άρα x 1 =1 . Η δεύτερη ρίζα x 2 μπορεί να βρεθεί, για παράδειγμα, από τη σχέση x 1 x 2 =c/a. Έχουμε 1 x 2 =−3/512, από όπου x 2 =−3/512. Έτσι έχουμε ορίσει και τις δύο ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: 1 και −3/512.

Είναι σαφές ότι η επιλογή των ριζών είναι σκόπιμη μόνο στα περισσότερα απλές περιπτώσεις. Σε άλλες περιπτώσεις, για να βρείτε τις ρίζες, μπορείτε να εφαρμόσετε τους τύπους των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης μέσω του διαχωριστή.

Ενα ακόμα πρακτική χρήσητο θεώρημα, το αντίστροφο του θεωρήματος του Βιέτα, συνίσταται στη σύνταξη τετραγωνικών εξισώσεων για δεδομένες ρίζες x 1 και x 2. Για να γίνει αυτό, αρκεί να υπολογίσουμε το άθροισμα των ριζών, που δίνει τον συντελεστή x με το αντίθετο πρόσημο της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης, και το γινόμενο των ριζών, που δίνει τον ελεύθερο όρο.

Παράδειγμα.

Να γράψετε μια τετραγωνική εξίσωση της οποίας οι ρίζες είναι οι αριθμοί −11 και 23.

Απόφαση.

Σημειώστε x 1 =−11 και x 2 =23 . Υπολογίζουμε το άθροισμα και το γινόμενο αυτών των αριθμών: x 1 + x 2 \u003d 12 και x 1 x 2 \u003d −253. Συνεπώς, αναγραφόμενοι αριθμοίείναι οι ρίζες της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης με τον δεύτερο συντελεστή -12 και τον ελεύθερο όρο -253 . Δηλαδή, x 2 −12·x−253=0 είναι η επιθυμητή εξίσωση.

Απάντηση:

x 2 −12 x−253=0 .

Το θεώρημα του Vieta χρησιμοποιείται πολύ συχνά για την επίλυση εργασιών που σχετίζονται με τα σημάδια των ριζών των τετραγωνικών εξισώσεων. Πώς σχετίζεται το θεώρημα του Vieta με τα πρόσημα των ριζών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης x 2 +p x+q=0 ; Ακολουθούν δύο σχετικές δηλώσεις:

• Αν ο ελεύθερος όρος q είναι θετικός αριθμόςκαι αν η τετραγωνική εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες, τότε είτε είναι και οι δύο θετικές είτε και οι δύο είναι αρνητικές.
• Αν ο ελεύθερος όρος q είναι αρνητικός αριθμός και αν η τετραγωνική εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες, τότε τα πρόσημά τους είναι διαφορετικά, με άλλα λόγια, η μία ρίζα είναι θετική και η άλλη αρνητική.

Αυτές οι δηλώσεις προκύπτουν από τον τύπο x 1 x 2 \u003d q, καθώς και από τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των θετικών, αρνητικούς αριθμούςκαι αριθμοί με διαφορετικά πρόσημα. Εξετάστε παραδείγματα της εφαρμογής τους.

Παράδειγμα.

Το R είναι θετικό. Σύμφωνα με τον τύπο διάκρισης, βρίσκουμε D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , την τιμή της παράστασης r 2 Το +8 είναι θετικό για κάθε πραγματικό r , επομένως το D>0 για κάθε πραγματικό r . Επομένως, η αρχική τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές της παραμέτρου r.

Τώρα ας μάθουμε πότε έχουν οι ρίζες διαφορετικά σημάδια. Αν τα πρόσημα των ριζών είναι διαφορετικά, τότε το γινόμενο τους είναι αρνητικό και με το θεώρημα Vieta, το γινόμενο των ριζών της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο. Επομένως, μας ενδιαφέρουν εκείνες οι τιμές του r για τις οποίες ο ελεύθερος όρος r−1 είναι αρνητικός. Έτσι, για να βρούμε τις τιμές του r που μας ενδιαφέρουν, πρέπει λύσει γραμμική ανισότητα r−1<0 , откуда находим r<1 .

Απάντηση:

στο r<1 .

Φόρμουλες Vieta

Παραπάνω, μιλήσαμε για το θεώρημα του Βιέτα για μια τετραγωνική εξίσωση και αναλύσαμε τις σχέσεις που υποστηρίζει. Αλλά υπάρχουν τύποι που συνδέουν τις πραγματικές ρίζες και τους συντελεστές όχι μόνο των τετραγωνικών εξισώσεων, αλλά και των κυβικών εξισώσεων, των τετραπλών εξισώσεων και γενικά, αλγεβρικές εξισώσειςβαθμός n. Καλούνται Φόρμουλες Vieta.

Γράφουμε τους τύπους Vieta για μια αλγεβρική εξίσωση βαθμού n της μορφής, ενώ υποθέτουμε ότι έχει n πραγματικές ρίζες x 1, x 2, ..., x n (μεταξύ αυτών μπορεί να υπάρχει και η ίδια):

Λήψη τύπων Vieta επιτρέπει θεώρημα παραγοντοποίησης πολυωνύμου, καθώς και τον ορισμό ίσων πολυωνύμων μέσω της ισότητας όλων των αντίστοιχων συντελεστών τους. Άρα το πολυώνυμο και η επέκτασή του σε γραμμικούς συντελεστές της μορφής είναι ίσα. Ανοίγοντας τις αγκύλες στο τελευταίο γινόμενο και εξισώνοντας τους αντίστοιχους συντελεστές, παίρνουμε τους τύπους Vieta.

Συγκεκριμένα, για n=2 έχουμε ήδη γνωστούς τύπους Vieta για την τετραγωνική εξίσωση .

Για μια κυβική εξίσωση, οι τύποι Vieta έχουν τη μορφή

Μένει μόνο να σημειωθεί ότι στην αριστερή πλευρά των τύπων Vieta υπάρχουν τα λεγόμενα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα.

Βιβλιογραφία.

• Αλγεβρα:εγχειρίδιο για 8 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; εκδ. S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ. : Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G.Αλγεβρα. 8η τάξη. Στις 2 μ.μ. Μέρος 1. Ένα εγχειρίδιο για μαθητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων / A. G. Mordkovich. - 11η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Mnemozina, 2009. - 215 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Αλγεβρακαι η αρχή της μαθηματικής ανάλυσης. 10η τάξη: σχολικό βιβλίο. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα: βασικά και προφίλ. επίπεδα / [Γιού. Μ. Kolyagin, Μ. V. Tkacheva, Ν. Ε. Fedorova, Μ. Ι. Shabunin]; εκδ. A. B. Zhizhchenko. - 3η έκδ. - Μ.: Διαφωτισμός, 2010.- 368 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-022771-1.