Αυτό μαθηματική αριθμομηχανή online θα σας βοηθήσει να λύσετε μια εξίσωση ή ανισότητα με συντελεστές. Πρόγραμμα για επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων με συντελεστέςόχι μόνο δίνει την απάντηση στο πρόβλημα, αλλά οδηγεί αναλυτική λύση με επεξηγήσεις, δηλ. εμφανίζει τη διαδικασία λήψης του αποτελέσματος.

Αυτό το πρόγραμμα μπορεί να είναι χρήσιμο για μαθητές γυμνασίου σχολεία δευτεροβάθμιας εκπαίδευσηςσε προετοιμασία για δοκιμέςκαι εξετάσεις, κατά τον έλεγχο γνώσεων πριν από την Ενιαία Κρατική Εξέταση, για τους γονείς να ελέγχουν την επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά και την άλγεβρα. Ή μήπως είναι πολύ ακριβό για εσάς να προσλάβετε έναν δάσκαλο ή να αγοράσετε νέα σχολικά βιβλία; Ή απλά θέλετε να το κάνετε όσο πιο γρήγορα γίνεται; εργασία για το σπίτιστα μαθηματικά ή στην άλγεβρα; Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα προγράμματά μας με λεπτομερείς λύσεις.

Με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να ξοδέψετε το δικό σας δική σας εκπαίδευσηή/και την εκπαίδευσή τους μικρότερα αδέρφιαή αδελφές, ενώ αυξάνεται το επίπεδο εκπαίδευσης στον τομέα των προβλημάτων που επιλύονται.

|x| ή abs(x) - ενότητα x

Εισαγάγετε μια εξίσωση ή ανισότητα με συντελεστές

Λύστε μια εξίσωση ή ανισότητα

Ανακαλύφθηκε ότι ορισμένα σενάρια που είναι απαραίτητα για την επίλυση αυτού του προβλήματος δεν φορτώθηκαν και το πρόγραμμα ενδέχεται να μην λειτουργεί.
Μπορεί να έχετε ενεργοποιημένο το AdBlock.
Σε αυτήν την περίπτωση, απενεργοποιήστε το και ανανεώστε τη σελίδα.

Η Javascript είναι απενεργοποιημένη στον browser σας.
Για να εμφανιστεί η λύση, πρέπει να ενεργοποιήσετε τη JavaScript.
Ακολουθούν οδηγίες σχετικά με τον τρόπο ενεργοποίησης της JavaScript στο πρόγραμμα περιήγησής σας.

Επειδή Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που είναι πρόθυμοι να λύσουν το πρόβλημα, το αίτημά σας έχει μπει στην ουρά.
Σε λίγα δευτερόλεπτα η λύση θα εμφανιστεί παρακάτω.
Παρακαλώ περιμένετε δευτερόλεπτο...

Αν εσύ παρατήρησε ένα σφάλμα στη λύση, τότε μπορείτε να γράψετε για αυτό στη Φόρμα σχολίων.
Μην ξεχάσεις υποδεικνύουν ποια εργασίαεσύ αποφασίζεις τι εισάγετε στα πεδία.

Τα παιχνίδια, τα παζλ, οι εξομοιωτές μας:

Λίγη θεωρία.

Εξισώσεις και ανισώσεις με συντελεστές

Σε ένα βασικό σχολικό μάθημα άλγεβρας, μπορεί να συναντήσετε τις απλούστερες εξισώσεις και ανισώσεις με συντελεστές. Για να τα λύσετε, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια γεωμετρική μέθοδο που βασίζεται στο γεγονός ότι \(|x-a| \) είναι η απόσταση στην αριθμητική γραμμή μεταξύ των σημείων x και a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Για παράδειγμα, για να λύσετε την εξίσωση \(|x-3|=2\) πρέπει να βρείτε σημεία στην αριθμητική γραμμή που απέχουν από το σημείο 3 σε απόσταση 2. Υπάρχουν δύο τέτοια σημεία: \(x_1=1 \) και \(x_2=5\) .

Επίλυση της ανισότητας \(|2x+7|

Αλλά ο κύριος τρόπος επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων με συντελεστές σχετίζεται με τη λεγόμενη «αποκάλυψη του συντελεστή εξ ορισμού»:
αν \(a \geq 0 \), τότε \(|a|=a \);
εάν \(a Κατά κανόνα, μια εξίσωση (ανισότητα) με συντελεστές ανάγεται σε ένα σύνολο εξισώσεων (ανισώσεις) που δεν περιέχουν το πρόσημο συντελεστή.

Εκτός από τον παραπάνω ορισμό, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες δηλώσεις:
1) Εάν \(c > 0\), τότε η εξίσωση \(|f(x)|=c \) είναι ισοδύναμη με το σύνολο των εξισώσεων: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(πίνακας)\δεξιά. \)
2) Αν \(c > 0 \), τότε η ανισότητα \(|f(x)| 3) Εάν \(c \geq 0 \), τότε η ανισότητα \(|f(x)| > c \) είναι ισοδύναμο με ένα σύνολο ανισώσεων : \(\αριστερά[\αρχή(πίνακας)(l) f(x) c \end(πίνακας)\δεξιά. \)
4) Αν και οι δύο πλευρές της ανίσωσης \(f(x) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Λύστε την εξίσωση \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Αν \(x-1 \geq 0\), τότε \(|x-1| = x-1\) και δεδομένη εξίσωσηπαίρνει τη μορφή
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Δεξί βέλος x^2 +2x -8 = 0 \).
Αν \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Δεξί βέλος x^2 -2x -4 = 0 \).
Έτσι, η δεδομένη εξίσωση θα πρέπει να εξεταστεί χωριστά σε καθεμία από τις δύο υποδεικνυόμενες περιπτώσεις.
1) Έστω \(x-1 \geq 0 \), δηλ. \(x\geq 1\). Από την εξίσωση \(x^2 +2x -8 = 0\) βρίσκουμε το \(x_1=2, \; x_2=-4\). Η συνθήκη \(x \geq 1 \) ικανοποιείται μόνο από την τιμή \(x_1=2\).
2) Έστω \(x-1 Απάντηση: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Λύστε την εξίσωση \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).

Πρώτος τρόπος(επέκταση ενότητας εξ ορισμού).
Συλλογίζοντας όπως στο παράδειγμα 1, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η δεδομένη εξίσωση πρέπει να εξεταστεί χωριστά εάν πληρούνται δύο προϋποθέσεις: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) ή \(x^2-6x+7

1) Αν \(x^2-6x+7 \geq 0 \), τότε \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) και η δεδομένη εξίσωση παίρνει τη μορφή \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Δεξί βέλος 3x^2-23x+30=0 \). Έχοντας αποφασίσει αυτό τετραγωνική εξίσωση, παίρνουμε: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Ας μάθουμε αν η τιμή \(x_1=6\) ικανοποιεί τη συνθήκη \(x^2-6x+7 \geq 0\). Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε την καθορισμένη τιμή σε τετραγωνική ανισότητα. Παίρνουμε: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), δηλ. Το \(7 \geq 0 \) είναι μια αληθινή ανισότητα. Αυτό σημαίνει ότι \(x_1=6\) είναι η ρίζα της δεδομένης εξίσωσης.
Ας μάθουμε αν η τιμή \(x_2=\frac(5)(3)\) ικανοποιεί τη συνθήκη \(x^2-6x+7 \geq 0\). Για να γίνει αυτό, αντικαταστήστε την υποδεικνυόμενη τιμή στην τετραγωνική ανισότητα. Παίρνουμε: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), δηλ. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) είναι μια εσφαλμένη ανισότητα. Αυτό σημαίνει ότι το \(x_2=\frac(5)(3)\) δεν είναι ρίζα της δεδομένης εξίσωσης.

2) Εάν η \(x^2-6x+7 Τιμή \(x_3=3\) ικανοποιεί τη συνθήκη \(x^2-6x+7 Η τιμή \(x_4=\frac(4)(3) \) δεν ικανοποιεί η συνθήκη \ (x^2-6x+7 Άρα, η δεδομένη εξίσωση έχει δύο ρίζες: \(x=6, \; x=3 \).

Δεύτερος τρόπος.Αν δίνεται η εξίσωση \(|f(x)| = h(x) \), τότε με \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(πίνακας)\δεξιά. \)
Και οι δύο αυτές εξισώσεις λύθηκαν παραπάνω (χρησιμοποιώντας την πρώτη μέθοδο επίλυσης της δεδομένης εξίσωσης), οι ρίζες τους είναι οι εξής: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). Συνθήκη \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) από αυτά τέσσερις τιμέςικανοποιεί μόνο δύο: 6 και 3. Αυτό σημαίνει ότι η δεδομένη εξίσωση έχει δύο ρίζες: \(x=6, \; x=3\).

Τρίτος τρόπος(γραφικός).
1) Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης \(y = |x^2-6x+7| \). Αρχικά, ας κατασκευάσουμε μια παραβολή \(y = x^2-6x+7\). Έχουμε \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(y = (x-3)^2-2\) μπορεί να ληφθεί από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(y = x^2 \) μετατοπίζοντάς την κατά 3 μονάδες κλίμακας προς τα δεξιά (κατά μήκος τον άξονα x) και κατά 2 μονάδες κλίμακας προς τα κάτω (κατά μήκος του άξονα y). Η ευθεία x=3 είναι ο άξονας της παραβολής που μας ενδιαφέρει. Ως σημεία ελέγχου για πιο ακριβή γραφική παράσταση, είναι βολικό να λαμβάνεται το σημείο (3; -2) - η κορυφή της παραβολής, το σημείο (0; 7) και το σημείο (6; 7) συμμετρικά με αυτό σε σχέση με τον άξονα της παραβολής .
Για να κατασκευάσετε τώρα ένα γράφημα της συνάρτησης \(y = |x^2-6x+7| \), πρέπει να αφήσετε αμετάβλητα εκείνα τα μέρη της κατασκευασμένης παραβολής που δεν βρίσκονται κάτω από τον άξονα x και να αντικατοπτρίσετε αυτό το τμήμα του παραβολή που βρίσκεται κάτω από τον άξονα x σε σχέση με τον άξονα x.
2) Ας φτιάξουμε ένα γράφημα γραμμική συνάρτηση\(y = \frac(5x-9)(3)\). Είναι βολικό να λαμβάνετε τα σημεία (0; –3) και (3; 2) ως σημεία ελέγχου.

Είναι σημαντικό το σημείο x = 1,8 της τομής της ευθείας με τον άξονα της τετμημένης να βρίσκεται στα δεξιά του αριστερού σημείου τομής της παραβολής με τον άξονα της τετμημένης - αυτό είναι το σημείο \(x=3-\ sqrt(2)\) (αφού \(3-\sqrt(2) 3) Κρίνοντας από το σχέδιο, οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται σε δύο σημεία - A(3; 2) και B(6; 7). Αντικαθιστώντας τα τετμημένα αυτών σημεία x = 3 και x = 6 στη δεδομένη εξίσωση, είμαστε πεπεισμένοι ότι και τα δύο σε μια άλλη τιμή, προκύπτει η σωστή αριθμητική ισότητα. Αυτό σημαίνει ότι η υπόθεσή μας επιβεβαιώθηκε - η εξίσωση έχει δύο ρίζες: x = 3 και x = 6 Απάντηση: 3, 6.

Σχόλιο. Γραφική μέθοδοςπαρ' όλη την κομψότητα του, δεν είναι πολύ αξιόπιστο. Στο εξεταζόμενο παράδειγμα, λειτούργησε μόνο επειδή οι ρίζες της εξίσωσης είναι ακέραιοι.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Λύστε την εξίσωση \(|2x-4|+|x+3| = 8\)

Πρώτος τρόπος
Η παράσταση 2x–4 γίνεται 0 στο σημείο x = 2 και η παράσταση x + 3 γίνεται 0 στο σημείο x = –3. Αυτά τα δύο σημεία διαιρούν την αριθμητική γραμμή σε τρία διαστήματα: \(x

Εξετάστε το πρώτο διάστημα: \((-\infty; \; -3) \).
Αν x Θεωρήστε το δεύτερο διάστημα: \([-3; \; 2) \).
Αν \(-3 \leq x Θεωρήστε το τρίτο διάστημα: \(

Αλλο σημαντικό γεγονός: ο συντελεστής δεν είναι ποτέ αρνητικός. Όποιον αριθμό κι αν πάρουμε - είτε είναι θετικός είτε αρνητικός - ο συντελεστής του αποδεικνύεται πάντα θετικός (ή, σε ακραίες περιπτώσεις, μηδέν). Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ο συντελεστής ονομάζεται συχνά απόλυτη τιμή ενός αριθμού.

Επιπλέον, εάν συνδυάσουμε τον ορισμό του συντελεστή για έναν θετικό και αρνητικό αριθμό, λαμβάνουμε έναν συνολικό ορισμό του συντελεστή για όλους τους αριθμούς. Δηλαδή: ο συντελεστής ενός αριθμού είναι ίσος με αυτόν τον ίδιο τον αριθμό, εάν ο αριθμός είναι θετικός (ή μηδέν) ή ίσος με αντίθετος αριθμός, εάν ο αριθμός είναι αρνητικός. Μπορείτε να το γράψετε ως τύπο:

Υπάρχει επίσης ένα μέτρο μηδέν, αλλά είναι πάντα ίσο με μηδέν. Επιπλέον, μηδέν ενικός, που δεν έχει αντίθετο.

Έτσι, αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση $y=\left| x \right|$ και προσπαθήστε να σχεδιάσετε το γράφημά του, θα πάρετε κάτι σαν αυτό:

Γράφημα συντελεστών και παράδειγμα επίλυσης της εξίσωσης

Από αυτή την εικόνα είναι αμέσως ξεκάθαρο ότι $\left| -m \δεξιά|=\αριστερά| m \right|$, και το γράφημα του συντελεστή δεν πέφτει ποτέ κάτω από τον άξονα x. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό: η κόκκινη γραμμή σηματοδοτεί την ευθεία $y=a$, η οποία, για θετικό $a$, μας δίνει δύο ρίζες ταυτόχρονα: $((x)_(1))$ και $((x) _(2)) $, αλλά θα το συζητήσουμε αργότερα. :)

Εκτός από τον καθαρά αλγεβρικό ορισμό, υπάρχει και ένας γεωμετρικός. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο σημεία στην αριθμητική γραμμή: $((x)_(1))$ και $((x)_(2))$. Σε αυτήν την περίπτωση, η έκφραση $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ είναι απλώς η απόσταση μεταξύ των καθορισμένων σημείων. Ή, αν προτιμάτε, το μήκος του τμήματος που συνδέει αυτά τα σημεία:

Συντελεστής είναι η απόσταση μεταξύ σημείων σε μια αριθμητική ευθεία

Αυτός ο ορισμός υποδηλώνει επίσης ότι ο συντελεστής είναι πάντα μη αρνητικός. Αλλά αρκετοί ορισμοί και θεωρία - ας προχωρήσουμε σε πραγματικές εξισώσεις. :)

Βασικός τύπος

Εντάξει, λύσαμε τον ορισμό. Αλλά αυτό δεν το διευκόλυνε. Πώς να λύσετε εξισώσεις που περιέχουν αυτήν ακριβώς την ενότητα;

Ήρεμα, απλά ήρεμα. Ας ξεκινήσουμε με τα πιο απλά πράγματα. Σκεφτείτε κάτι σαν αυτό:

\[\αριστερά| x\δεξιά|=3\]

Άρα το μέτρο του $x$ είναι 3. Με τι θα μπορούσε να είναι ίσο το $x$; Λοιπόν, αν κρίνουμε από τον ορισμό, είμαστε πολύ ευχαριστημένοι με το $x=3$. Πραγματικά:

\[\αριστερά| 3\δεξιά|=3\]

Υπάρχουν άλλα νούμερα; Το Cap φαίνεται να υπαινίσσεται ότι υπάρχει. Για παράδειγμα, το $x=-3$ είναι επίσης $\left| -3 \right|=3$, δηλ. ικανοποιείται η απαιτούμενη ισότητα.

Μήπως λοιπόν, αν ψάξουμε και σκεφτούμε, θα βρούμε περισσότερα νούμερα; Αλλά κόψτε το: περισσότερα νούμεραΟχι. Εξίσωση $\αριστερά| Το x \right|=3$ έχει μόνο δύο ρίζες: $x=3$ και $x=-3$.

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο. Αφήστε τη συνάρτηση $f\left(x \right)$ να κρέμεται κάτω από το σύμβολο του συντελεστή αντί για τη μεταβλητή $x$ και βάλτε έναν αυθαίρετο αριθμό $a$ στη θέση του τριπλού στα δεξιά. Παίρνουμε την εξίσωση:

\[\αριστερά| f\left(x \right) \right|=a\]

Πώς μπορούμε λοιπόν να το λύσουμε αυτό; Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω: η $f\left(x \right)$ είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση, η $a$ είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Εκείνοι. Οτιδήποτε! Για παράδειγμα:

\[\αριστερά| 2x+1 \δεξιά|=5\]

\[\αριστερά| 10x-5 \δεξιά|=-65\]

Ας προσέξουμε τη δεύτερη εξίσωση. Μπορείτε να πείτε αμέσως γι 'αυτόν: δεν έχει ρίζες. Γιατί; Αυτό είναι σωστό: γιατί απαιτεί ο συντελεστής να είναι ίσος με αρνητικός αριθμός, κάτι που δεν συμβαίνει ποτέ, αφού ήδη γνωρίζουμε ότι ο συντελεστής είναι πάντα θετικός αριθμός ή, σε ακραίες περιπτώσεις, μηδέν.

Αλλά με την πρώτη εξίσωση όλα είναι πιο διασκεδαστικά. Υπάρχουν δύο επιλογές: είτε υπάρχει μια θετική έκφραση κάτω από το σύμβολο συντελεστή, και μετά $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, ή αυτή η έκφραση είναι ακόμα αρνητική και, στη συνέχεια, $\left| 2x+1 \δεξιά|=-\αριστερά(2x+1 \δεξιά)=-2x-1$. Στην πρώτη περίπτωση, η εξίσωσή μας θα ξαναγραφεί ως εξής:

\[\αριστερά| 2x+1 \δεξιά|=5\Δεξί βέλος 2x+1=5\]

Και ξαφνικά αποδεικνύεται ότι η υποαρθρωτή έκφραση $2x+1$ είναι πραγματικά θετική - είναι ίση με τον αριθμό 5. Δηλαδή μπορούμε να λύσουμε με ασφάλεια αυτήν την εξίσωση - η προκύπτουσα ρίζα θα είναι ένα κομμάτι της απάντησης:

Όσοι είναι ιδιαίτερα δύσπιστοι μπορούν να προσπαθήσουν να αντικαταστήσουν τη ρίζα που βρέθηκε στην αρχική εξίσωση και να βεβαιωθούν ότι ο συντελεστής θα είναι πραγματικά θετικός αριθμός.

Τώρα ας δούμε την περίπτωση μιας αρνητικής υπομονάδας έκφρασης:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Δεξί βέλος 2x+1=-5\]

Ωχ! Και πάλι, όλα είναι ξεκάθαρα: υποθέσαμε ότι $2x+1 \lt 0$, και ως αποτέλεσμα πήραμε ότι $2x+1=-5$ - πράγματι, αυτή η έκφραση είναι μικρότερη από το μηδέν. Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει, ενώ γνωρίζουμε ήδη με βεβαιότητα ότι η ρίζα που βρέθηκε θα μας ταιριάζει:

Συνολικά, λάβαμε και πάλι δύο απαντήσεις: $x=2$ και $x=3$. Ναι, ο αριθμός των υπολογισμών αποδείχθηκε λίγο μεγαλύτερος από ό,τι στην πολύ απλή εξίσωση $\left| x \right|=3$, αλλά τίποτα ουσιαστικά δεν έχει αλλάξει. Μήπως λοιπόν υπάρχει κάποιο είδος καθολικού αλγόριθμου;

Ναι, υπάρχει τέτοιος αλγόριθμος. Και τώρα θα το αναλύσουμε.

Απαλλαγείτε από το σύμβολο του συντελεστή

Ας μας δοθεί η εξίσωση $\left| f\left(x \right) \right|=a$, και $a\ge 0$ (διαφορετικά, όπως ήδη γνωρίζουμε, δεν υπάρχουν ρίζες). Στη συνέχεια, μπορείτε να απαλλαγείτε από το σύμβολο συντελεστή χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο κανόνα:

\[\αριστερά| f\left(x \right) \right|=a\Δεξί βέλος f\left(x \right)=\pm a\]

Έτσι, η εξίσωσή μας με μέτρο χωρίζεται στα δύο, αλλά χωρίς συντελεστή. Αυτή είναι όλη η τεχνολογία! Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε μερικές εξισώσεις. Ας ξεκινήσουμε με αυτό

\[\αριστερά| 5x+4 \δεξιά|=10\Δεξί βέλος 5x+4=\pm 10\]

Ας εξετάσουμε χωριστά όταν υπάρχει ένα δέκα συν στα δεξιά και χωριστά όταν υπάρχει ένα μείον. Εχουμε:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Δεξί βέλος 5x=-14\Δεξί βέλος x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\end(στοίχιση)\]

Αυτό είναι όλο! Έχουμε δύο ρίζες: $x=1,2$ και $x=-2,8$. Η όλη λύση πήρε κυριολεκτικά δύο γραμμές.

Εντάξει, δεν υπάρχει αμφιβολία, ας δούμε κάτι λίγο πιο σοβαρό:

\[\αριστερά| 7-5x\δεξιά|=13\]

Ανοίγουμε ξανά την ενότητα με συν και πλην:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Δεξί βέλος -5x=-20\Δεξί βέλος x=4. \\\end(στοίχιση)\]

Και πάλι μερικές γραμμές - και η απάντηση είναι έτοιμη! Όπως είπα, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σχετικά με τις ενότητες. Απλά πρέπει να θυμάστε μερικούς κανόνες. Επομένως, προχωράμε και ξεκινάμε με πραγματικά πιο σύνθετες εργασίες.

Η περίπτωση μιας μεταβλητής στη δεξιά πλευρά

Τώρα σκεφτείτε αυτήν την εξίσωση:

\[\αριστερά| 3x-2 \δεξιά|=2x\]

Αυτή η εξίσωση είναι θεμελιωδώς διαφορετική από όλες τις προηγούμενες. Πως? Και το γεγονός ότι στα δεξιά του ίσου βρίσκεται η έκφραση $2x$ - και δεν μπορούμε να ξέρουμε εκ των προτέρων αν είναι θετική ή αρνητική.

Τι να κάνετε σε αυτή την περίπτωση; Πρώτον, πρέπει να το καταλάβουμε μια για πάντα αν η δεξιά πλευρά της εξίσωσης αποδειχθεί αρνητική, τότε η εξίσωση δεν θα έχει ρίζες- Γνωρίζουμε ήδη ότι η ενότητα δεν μπορεί να είναι ίση με αρνητικό αριθμό.

Και δεύτερον, εάν το δεξί μέρος είναι ακόμα θετικό (ή ίσο με μηδέν), τότε μπορείτε να ενεργήσετε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως πριν: απλά ανοίξτε τη μονάδα ξεχωριστά με το σύμβολο συν και ξεχωριστά με το σύμβολο μείον.

Έτσι, διατυπώνουμε έναν κανόνα για αυθαίρετες λειτουργίες$f\left(x \right)$ και $g\left(x \right)$:

\[\αριστερά| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Σε σχέση με την εξίσωσή μας παίρνουμε:

\[\αριστερά| 3x-2 \δεξιά|=2x\Δεξί βέλος \αριστερά\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Λοιπόν, θα αντιμετωπίσουμε κατά κάποιο τρόπο την απαίτηση $2x\ge 0$. Στο τέλος, μπορούμε βλακωδώς να αντικαταστήσουμε τις ρίζες που παίρνουμε από την πρώτη εξίσωση και να ελέγξουμε αν η ανισότητα ισχύει ή όχι.

Ας λύσουμε λοιπόν την ίδια την εξίσωση:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Δεξί βέλος 3x=0\Δεξί βέλος x=0. \\\end(στοίχιση)\]

Λοιπόν, ποια από αυτές τις δύο ρίζες ικανοποιεί την απαίτηση $2x\ge 0$; Ναι και τα δύο! Επομένως, η απάντηση θα είναι δύο αριθμοί: $x=(4)/(3)\;$ και $x=0$. Αυτή είναι η λύση. :)

Υποψιάζομαι ότι κάποιοι από τους μαθητές έχουν ήδη αρχίσει να βαριούνται; Λοιπόν, ας δούμε μια ακόμη πιο σύνθετη εξίσωση:

\[\αριστερά| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Αν και φαίνεται κακό, στην πραγματικότητα εξακολουθεί να είναι η ίδια εξίσωση της μορφής "μέτρο ίσον συνάρτηση":

\[\αριστερά| f\left(x \right) \right|=g\left(x \δεξιά)\]

Και λύνεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο:

\[\αριστερά| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Δεξί βέλος \αριστερά\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \αριστερά(x-((x)^(3)) \δεξιά), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Θα ασχοληθούμε με την ανισότητα αργότερα - είναι κατά κάποιο τρόπο πολύ κακό (στην πραγματικότητα, είναι απλό, αλλά δεν θα το λύσουμε). Προς το παρόν, είναι καλύτερο να ασχοληθούμε με τις εξισώσεις που προκύπτουν. Ας εξετάσουμε την πρώτη περίπτωση - αυτό συμβαίνει όταν η ενότητα επεκτείνεται με ένα σύμβολο συν:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Λοιπόν, είναι απίστευτο ότι πρέπει να συλλέξετε τα πάντα από τα αριστερά, να φέρετε παρόμοια και να δείτε τι συμβαίνει. Και αυτό συμβαίνει:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(στοίχιση)\]

Βγάζουμε τον κοινό παράγοντα $((x)^(2))$ από αγκύλες και παίρνουμε μια πολύ απλή εξίσωση:

\[((x)^(2))\αριστερά(2x-3 \right)=0\Δεξί βέλος \αριστερά[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

\[((x)_(1))=0;\τετράγωνο ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Εδώ χρησιμοποιήσαμε σημαντική περιουσίαγινόμενο, για χάρη του οποίου συνυπολογίσαμε το αρχικό πολυώνυμο: το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν.

Τώρα ας αντιμετωπίσουμε τη δεύτερη εξίσωση με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, η οποία προκύπτει επεκτείνοντας τη μονάδα με το σύμβολο μείον:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\αριστερά(-3x+2 \δεξιά)=0. \\\end(στοίχιση)\]

Και πάλι το ίδιο: το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Εχουμε:

\[\αριστερά[ \αρχή(στοίχιση)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Λοιπόν, έχουμε τρεις ρίζες: $x=0$, $x=1,5$ και $x=(2)/(3)\;$. Λοιπόν, ποιο από αυτό το σύνολο θα πάει στην τελική απάντηση; Για να το κάνετε αυτό, να θυμάστε ότι έχουμε έναν επιπλέον περιορισμό με τη μορφή της ανισότητας:

Πώς να λάβετε υπόψη αυτήν την απαίτηση; Ας αντικαταστήσουμε απλώς τις ρίζες που βρέθηκαν και ας ελέγξουμε αν η ανισότητα ισχύει για αυτά τα $x$ ή όχι. Εχουμε:

\[\begin(align)& x=0\Δεξί βέλος x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Δεξί βέλος x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Δεξί βέλος x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(στοίχιση)\]

Έτσι, η ρίζα $x=1,5$ δεν μας ταιριάζει. Και σε απάντηση θα υπάρχουν μόνο δύο ρίζες:

\[((x)_(1))=0;\τετράγωνο ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Όπως μπορείτε να δείτε, ακόμη και σε αυτήν την περίπτωση δεν υπήρχε τίποτα περίπλοκο - οι εξισώσεις με τις ενότητες λύνονται πάντα χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο. Απλά πρέπει να έχετε καλή κατανόηση των πολυωνύμων και των ανισώσεων. Επομένως, προχωράμε σε πιο σύνθετες εργασίες - θα υπάρχουν ήδη όχι μία, αλλά δύο ενότητες.

Εξισώσεις με δύο ενότητες

Μέχρι στιγμής έχουμε μελετήσει μόνο τα περισσότερα απλές εξισώσεις— υπήρχε μια ενότητα και κάτι άλλο. Στείλαμε αυτό το «κάτι άλλο» σε ένα άλλο μέρος της ανισότητας, μακριά από το δομοστοιχείο, έτσι ώστε στο τέλος όλα να αναχθούν σε μια εξίσωση της μορφής $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ ή ακόμα πιο απλό $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Αλλά νηπιαγωγείοτελείωσε - ήρθε η ώρα να σκεφτείς κάτι πιο σοβαρό. Ας ξεκινήσουμε με εξισώσεις όπως αυτή:

\[\αριστερά| f\left(x \right) \right|=\αριστερά| g\left(x \right) \right|\]

Αυτή είναι μια εξίσωση της μορφής «modulus ίσο με συντελεστή" Θεμελιωδώς σημαντικό σημείοείναι η απουσία άλλων όρων και παραγόντων: μόνο μία ενότητα στα αριστερά, μία ακόμη ενότητα στα δεξιά - και τίποτα περισσότερο.

Κάποιος θα σκεφτεί τώρα ότι τέτοιες εξισώσεις είναι πιο δύσκολο να λυθούν από ό,τι έχουμε μελετήσει μέχρι τώρα. Αλλά όχι: αυτές οι εξισώσεις είναι ακόμα πιο εύκολο να λυθούν. Εδώ είναι ο τύπος:

\[\αριστερά| f\left(x \right) \right|=\αριστερά| g\left(x \right) \right|\Δεξί βέλος f\αριστερά(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Ολα! Απλώς εξισώνουμε υπομονάδες εκφράσεις βάζοντας ένα σύμβολο συν ή πλην μπροστά από μία από αυτές. Και μετά λύνουμε τις δύο εξισώσεις που προκύπτουν - και οι ρίζες είναι έτοιμες! Κανένας πρόσθετους περιορισμούς, χωρίς ανισότητες κ.λπ. Όλα είναι πολύ απλά.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε αυτό το πρόβλημα:

\[\αριστερά| 2x+3 \δεξιά|=\αριστερά| 2x-7 \δεξιά|\]

Elementary Watson! Επέκταση των ενοτήτων:

\[\αριστερά| 2x+3 \δεξιά|=\αριστερά| 2x-7 \δεξιά|\Δεξί βέλος 2x+3=\pm \αριστερά(2x-7 \δεξιά)\]

Ας εξετάσουμε κάθε περίπτωση ξεχωριστά:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\αριστερά(2x-7 \δεξιά)\Δεξί βέλος 2x+3=-2x+7. \\\end(στοίχιση)\]

Η πρώτη εξίσωση δεν έχει ρίζες. Γιατί πότε είναι $3=-7$; Σε ποιες τιμές $x$; «Τι στο διάολο είναι $x$; Σε λιθοβολούν; Δεν υπάρχει καθόλου $x$ εκεί», λέτε. Και θα έχεις δίκιο. Λάβαμε μια ισότητα που δεν εξαρτάται από τη μεταβλητή $x$, και ταυτόχρονα η ίδια η ισότητα είναι λανθασμένη. Γι' αυτό δεν υπάρχουν ρίζες. :)

Με τη δεύτερη εξίσωση, όλα είναι λίγο πιο ενδιαφέροντα, αλλά και πολύ, πολύ απλά:

Όπως μπορείτε να δείτε, όλα λύθηκαν κυριολεκτικά σε μερικές γραμμές - δεν περιμέναμε τίποτα άλλο από μια γραμμική εξίσωση. :)

Ως αποτέλεσμα, η τελική απάντηση είναι: $x=1$.

Πώς, λοιπόν? Δύσκολος? Φυσικά και όχι. Ας δοκιμάσουμε κάτι άλλο:

\[\αριστερά| x-1 \δεξιά|=\αριστερά| ((x)^(2))-3x+2 \δεξιά|\]

Και πάλι έχουμε μια εξίσωση της μορφής $\left| f\left(x \right) \right|=\αριστερά| g\left(x \right) \right|$. Επομένως, το ξαναγράφουμε αμέσως, αποκαλύπτοντας το σύμβολο του συντελεστή:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \αριστερά(x-1 \δεξιά)\]

Ίσως κάποιος ρωτήσει τώρα: «Ε, τι ανοησίες; Γιατί το «συν-πλην» εμφανίζεται στη δεξιά έκφραση και όχι στην αριστερή;» Ηρέμησε, θα τα εξηγήσω όλα τώρα. Πράγματι, με καλό τρόπο θα έπρεπε να είχαμε ξαναγράψει την εξίσωσή μας ως εξής:

Στη συνέχεια, πρέπει να ανοίξετε τις αγκύλες, να μετακινήσετε όλους τους όρους στη μία πλευρά του ίσου (καθώς η εξίσωση, προφανώς, θα είναι τετράγωνη και στις δύο περιπτώσεις) και στη συνέχεια να βρείτε τις ρίζες. Αλλά πρέπει να συμφωνήσετε: όταν το "συν ή πλην" εμφανίζεται πριν από τρεις όρους (ειδικά όταν ένας από αυτούς τους όρους είναι τετραγωνική έκφραση), αυτό κατά κάποιο τρόπο φαίνεται πιο περίπλοκο από την κατάσταση όταν το "συν ή πλην" εμφανίζεται μόνο μπροστά από δύο όρους.

Αλλά τίποτα δεν μας εμποδίζει να ξαναγράψουμε την αρχική εξίσωση ως εξής:

\[\αριστερά| x-1 \δεξιά|=\αριστερά| ((x)^(2))-3x+2 \δεξιά|\Δεξί βέλος \αριστερά| ((x)^(2))-3x+2 \δεξιά|=\αριστερά| x-1 \δεξιά|\]

Τι συνέβη? Τίποτα το ιδιαίτερο: απλώς άλλαξαν το αριστερό και σωστη πλευρασε μερικά μέρη. Ένα μικρό πράγμα που τελικά θα κάνει τη ζωή μας λίγο πιο εύκολη. :)

Σε γενικές γραμμές, λύνουμε αυτήν την εξίσωση, λαμβάνοντας υπόψη επιλογές με ένα συν και ένα μείον:

\[\αρχή(στοίχιση)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Δεξί βέλος ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\αριστερά(x-1 \δεξιά)\Δεξί βέλος ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(στοίχιση)\]

Η πρώτη εξίσωση έχει ρίζες $x=3$ και $x=1$. Το δεύτερο είναι γενικά ένα ακριβές τετράγωνο:

\[((x)^(2))-2x+1=((\αριστερά(x-1 \δεξιά))^(2))\]

Επομένως, έχει μόνο μία ρίζα: $x=1$. Αλλά έχουμε ήδη αποκτήσει αυτήν τη ρίζα νωρίτερα. Έτσι, μόνο δύο αριθμοί θα μπουν στην τελική απάντηση:

\[((x)_(1))=3;\τετράγωνο ((x)_(2))=1.\]

Αποστολή εξετελέσθη! Μπορείτε να πάρετε μια πίτα από το ράφι και να τη φάτε. Υπάρχουν 2 από αυτά, το δικό σου είναι το μεσαίο. :)

Σημαντική σημείωση. Η παρουσία πανομοιότυπων ριζών διαφορετικές επιλογέςΗ επέκταση του συντελεστή σημαίνει ότι τα αρχικά πολυώνυμα παραγοντοποιούνται και μεταξύ αυτών των παραγόντων θα υπάρχει σίγουρα ένας κοινός. Πραγματικά:

\[\αρχή(στοίχιση)& \αριστερά| x-1 \δεξιά|=\αριστερά| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \αριστερά| x-1 \δεξιά|=\αριστερά| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(στοίχιση)\]

Μία από τις ιδιότητες της μονάδας: $\left| a\cdot b \δεξιά|=\αριστερά| a \right|\cdot \αριστερά| b \right|$ (δηλαδή ο συντελεστής του προϊόντος ίσο με το γινόμενοενότητες), οπότε η αρχική εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

\[\αριστερά| x-1 \δεξιά|=\αριστερά| x-1 \δεξιά|\cdot \αριστερά| x-2 \δεξιά|\]

Όπως καταλαβαίνετε, έχουμε πραγματικά έναν κοινό παράγοντα. Τώρα, εάν συλλέξετε όλες τις ενότητες στη μία πλευρά, μπορείτε να αφαιρέσετε αυτόν τον παράγοντα από το στήριγμα:

\[\αρχή(στοίχιση)& \αριστερά| x-1 \δεξιά|=\αριστερά| x-1 \δεξιά|\cdot \αριστερά| x-2 \right|; \\& \αριστερά| x-1 \δεξιά|-\αριστερά| x-1 \δεξιά|\cdot \αριστερά| x-2 \right|=0; \\& \αριστερά| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(στοίχιση)\]

Λοιπόν, θυμηθείτε τώρα ότι το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν:

\[\αριστερά[ \αρχή(στοίχιση)& \αριστερά| x-1 \δεξιά|=0, \\& \αριστερά| x-2 \right|=1. \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Έτσι, η αρχική εξίσωση με δύο ενότητες έχει μειωθεί στις δύο απλούστερες εξισώσεις για τις οποίες μιλήσαμε στην αρχή του μαθήματος. Τέτοιες εξισώσεις μπορούν να λυθούν κυριολεκτικά σε μερικές γραμμές. :)

Αυτή η παρατήρηση μπορεί να φαίνεται αδικαιολόγητα περίπλοκη και ανεφάρμοστη στην πράξη. Ωστόσο, στην πραγματικότητα μπορεί να συναντήσετε πολλά περισσότερα σύνθετες εργασίες, από αυτές που αναλύουμε σήμερα. Σε αυτά, οι ενότητες μπορούν να συνδυαστούν με πολυώνυμα, αριθμητικές ρίζες, λογάριθμοι κ.λπ. Και σε τέτοιες περιπτώσεις, η δυνατότητα μείωσης του συνολικού βαθμού της εξίσωσης βγάζοντας κάτι εκτός παρενθέσεων μπορεί να είναι πολύ, πολύ χρήσιμη. :)

Τώρα θα ήθελα να δω μια άλλη εξίσωση, που με την πρώτη ματιά μπορεί να φαίνεται τρελή. Πολλοί μαθητές κολλάνε σε αυτό, ακόμη και εκείνοι που πιστεύουν ότι έχουν καλή κατανόηση των ενοτήτων.

Ωστόσο, αυτή η εξίσωση είναι ακόμη πιο εύκολο να λυθεί από αυτό που εξετάσαμε νωρίτερα. Και αν καταλάβετε γιατί, θα πάρετε ένα άλλο κόλπο γρήγορη λύσηεξισώσεις με ενότητες.

Άρα η εξίσωση είναι:

\[\αριστερά| x-((x)^(3)) \δεξιά|+\αριστερά| ((x)^(2))+x-2 \δεξιά|=0\]

Όχι, δεν πρόκειται για τυπογραφικό λάθος: είναι ένα πλεονέκτημα μεταξύ των μονάδων. Και πρέπει να βρούμε σε τι $x$ το άθροισμα δύο μονάδων είναι ίσο με μηδέν. :)

Ποιο είναι τελικά το πρόβλημα; Αλλά το πρόβλημα είναι ότι κάθε ενότητα είναι ένας θετικός αριθμός, ή, σε ακραίες περιπτώσεις, μηδέν. Τι θα συμβεί αν προσθέσετε δύο θετικούς αριθμούς; Προφανώς και πάλι θετικός αριθμός:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(στοίχιση)\]

Η τελευταία γραμμή μπορεί να σας δώσει μια ιδέα: η μόνη φορά που το άθροισμα των μονάδων είναι μηδέν είναι εάν κάθε ενότητα είναι μηδέν:

\[\αριστερά| x-((x)^(3)) \δεξιά|+\αριστερά| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Δεξί βέλος \αριστερά\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \αριστερά| ((x)^(2))+x-2 \δεξιά|=0. \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Και πότε η ενότητα είναι ίση με μηδέν; Μόνο σε μία περίπτωση - όταν η υποαρθρωτή έκφραση είναι ίση με μηδέν:

\[((x)^(2))+x-2=0\Δεξί βέλος \αριστερά(x+2 \δεξιά)\αριστερά(x-1 \δεξιά)=0\Δεξί βέλος \αριστερά[ \begin(στοίχιση)& x=-2 \\& x=1 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Έτσι, έχουμε τρία σημεία στα οποία η πρώτη ενότητα μηδενίζεται: 0, 1 και −1. καθώς και δύο σημεία στα οποία η δεύτερη ενότητα επαναφέρεται στο μηδέν: −2 και 1. Ωστόσο, χρειαζόμαστε να μηδενιστούν και οι δύο μονάδες ταυτόχρονα, επομένως μεταξύ των αριθμών που βρέθηκαν πρέπει να επιλέξουμε αυτούς που περιλαμβάνονται στο και τα δύο σετ. Προφανώς, υπάρχει μόνο ένας τέτοιος αριθμός: $x=1$ - αυτή θα είναι η τελική απάντηση.

Μέθοδος διάσπασης

Λοιπόν, έχουμε ήδη καλύψει ένα σωρό προβλήματα και έχουμε μάθει πολλές τεχνικές. Νομίζεις ότι αυτό είναι όλο; Αλλά όχι! Τώρα θα δούμε την τελική τεχνική - και ταυτόχρονα την πιο σημαντική. Θα μιλήσουμε για διαίρεση εξισώσεων με συντελεστή. Για τι θα μιλήσουμε ακόμη; Ας πάμε λίγο πίσω και ας δούμε μια απλή εξίσωση. Για παράδειγμα αυτό:

\[\αριστερά| 3x-5 \δεξιά|=5-3x\]

Κατ 'αρχήν, γνωρίζουμε ήδη πώς να λύσουμε μια τέτοια εξίσωση, επειδή είναι μια τυπική κατασκευή της μορφής $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Αλλά ας προσπαθήσουμε να δούμε αυτή την εξίσωση από μια ελαφρώς διαφορετική οπτική γωνία. Πιο συγκεκριμένα, εξετάστε την έκφραση κάτω από το πρόσημο του συντελεστή. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι ο συντελεστής οποιουδήποτε αριθμού μπορεί να είναι ίσος με τον ίδιο τον αριθμό ή μπορεί να είναι αντίθετος με αυτόν τον αριθμό:

\[\αριστερά| a \right|=\αριστερά\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Στην πραγματικότητα, αυτή η ασάφεια είναι το όλο πρόβλημα: αφού ο αριθμός κάτω από το μέτρο αλλάζει (εξαρτάται από τη μεταβλητή), δεν είναι σαφές για εμάς αν είναι θετικός ή αρνητικός.

Αλλά τι γίνεται εάν αρχικά ζητήσετε να είναι θετικός αυτός ο αριθμός; Για παράδειγμα, απαιτούμε ότι $3x-5 \gt 0$ - σε αυτήν την περίπτωση είναι εγγυημένο ότι θα λάβουμε έναν θετικό αριθμό κάτω από το σύμβολο του συντελεστή και μπορούμε να απαλλαγούμε εντελώς από αυτόν ακριβώς τον συντελεστή:

Έτσι, η εξίσωσή μας θα μετατραπεί σε γραμμική, η οποία μπορεί εύκολα να λυθεί:

Είναι αλήθεια ότι όλες αυτές οι σκέψεις έχουν νόημα μόνο υπό την προϋπόθεση $3x-5 \gt 0$ - εμείς οι ίδιοι εισαγάγαμε αυτήν την απαίτηση για να αποκαλύψουμε ξεκάθαρα τη μονάδα. Επομένως, ας αντικαταστήσουμε το $x=\frac(5)(3)$ που βρέθηκε σε αυτήν τη συνθήκη και ελέγξτε:

Αποδεικνύεται ότι όταν καθορισμένη τιμή$x$ η απαίτησή μας δεν ικανοποιείται, γιατί η έκφραση αποδείχθηκε ίση με μηδέν, αλλά χρειαζόμαστε αυστηρά Πάνω απο το μηδέν. Λυπημένος. :(

Αλλά είναι εντάξει! Μετά από όλα, υπάρχει μια άλλη επιλογή $3x-5 \lt 0$. Επιπλέον: υπάρχει επίσης η περίπτωση $3x-5=0$ - αυτό πρέπει επίσης να εξεταστεί, διαφορετικά η λύση θα είναι ελλιπής. Λοιπόν, εξετάστε την περίπτωση $3x-5 \lt 0$:

Προφανώς, η ενότητα θα ανοίξει με ένα σύμβολο μείον. Αλλά τότε προκύπτει μια περίεργη κατάσταση: τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά στην αρχική εξίσωση θα προεξέχει η ίδια έκφραση:

Αναρωτιέμαι σε τι $x$ η έκφραση $5-3x$ θα είναι ίση με την έκφραση $5-3x$; Ακόμα και ο καπετάν Προφανής θα έπνιγε το σάλιο του από τέτοιες εξισώσεις, αλλά ξέρουμε: αυτή η εξίσωση είναι ταυτότητα, δηλ. ισχύει για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής!

Αυτό σημαίνει ότι κάθε $x$ θα μας ταιριάζει. Ωστόσο, έχουμε έναν περιορισμό:

Με άλλα λόγια, η απάντηση δεν θα είναι ένας μόνο αριθμός, αλλά ένα ολόκληρο διάστημα:

Τέλος, απομένει μια ακόμη περίπτωση που πρέπει να εξεταστεί: $3x-5=0$. Όλα είναι απλά εδώ: κάτω από το συντελεστή θα υπάρχει μηδέν και ο συντελεστής μηδέν είναι επίσης ίσος με μηδέν (αυτό προκύπτει απευθείας από τον ορισμό):

Αλλά τότε η αρχική εξίσωση $\left| Το 3x-5 \right|=5-3x$ θα ξαναγραφτεί ως εξής:

Έχουμε ήδη αποκτήσει αυτήν τη ρίζα παραπάνω όταν εξετάσαμε την περίπτωση των $3x-5 \gt 0$. Επιπλέον, αυτή η ρίζα είναι μια λύση στην εξίσωση $3x-5=0$ - αυτός είναι ο περιορισμός που εισάγαμε εμείς οι ίδιοι για να επαναφέρουμε τη μονάδα. :)

Έτσι, εκτός από το διάστημα, θα είμαστε ικανοποιημένοι και με τον αριθμό που βρίσκεται στο τέλος αυτού του διαστήματος:

Συνδυασμός ριζών σε εξισώσεις modulo

Συνολική τελική απάντηση: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Δεν είναι πολύ συνηθισμένο να βλέπουμε τέτοιες βλακείες στην απάντηση σε μια αρκετά απλή (ουσιαστικά γραμμική) εξίσωση με συντελεστή , Λοιπόν, συνηθίστε το: η δυσκολία της ενότητας είναι ότι οι απαντήσεις σε τέτοιες εξισώσεις μπορεί να αποδειχθούν εντελώς απρόβλεπτες.

Κάτι άλλο είναι πολύ πιο σημαντικό: μόλις αναλύσαμε έναν καθολικό αλγόριθμο για την επίλυση μιας εξίσωσης με συντελεστή! Και αυτός ο αλγόριθμος αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

1. Εξισώστε κάθε συντελεστή στην εξίσωση με μηδέν. Παίρνουμε πολλές εξισώσεις.
2. Λύστε όλες αυτές τις εξισώσεις και σημειώστε τις ρίζες στην αριθμογραμμή. Ως αποτέλεσμα, η ευθεία γραμμή θα χωριστεί σε πολλά διαστήματα, σε καθένα από τα οποία όλες οι ενότητες αποκαλύπτονται μοναδικά.
3. Λύστε την αρχική εξίσωση για κάθε διάστημα και συνδυάστε τις απαντήσεις σας.

Αυτό είναι όλο! Απομένει μόνο ένα ερώτημα: τι να κάνετε με τις ρίζες που αποκτήθηκαν στο βήμα 1; Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο ρίζες: $x=1$ και $x=5$. Θα χωρίσουν την αριθμητική γραμμή σε 3 κομμάτια:

Διαίρεση της αριθμητικής γραμμής σε διαστήματα χρησιμοποιώντας σημεία

Ποια είναι λοιπόν τα διαστήματα; Είναι σαφές ότι υπάρχουν τρία από αυτά:

1. Το πιο αριστερό: $x \lt 1$ — η ίδια η μονάδα δεν περιλαμβάνεται στο διάστημα.
2. Κεντρικό: $1\le x \lt 5$ - εδώ περιλαμβάνεται ένα στο διάστημα, αλλά πέντε δεν περιλαμβάνονται.
3. Δεξιά: $x\ge 5$ - πέντε περιλαμβάνονται μόνο εδώ!

Νομίζω ότι έχετε ήδη καταλάβει το μοτίβο. Κάθε διάστημα περιλαμβάνει το αριστερό άκρο και δεν περιλαμβάνει το δεξί.

Εκ πρώτης όψεως, μια τέτοια καταχώρηση μπορεί να φαίνεται άβολη, παράλογη και γενικά κάποιου είδους τρελή. Αλλά πιστέψτε με: μετά από λίγη εξάσκηση, θα διαπιστώσετε ότι αυτή η προσέγγιση είναι η πιο αξιόπιστη και δεν παρεμβαίνει στο ξεκάθαρο άνοιγμα των μονάδων. Είναι καλύτερο να χρησιμοποιείτε ένα τέτοιο σχέδιο παρά να σκέφτεστε κάθε φορά: δώστε το αριστερό/δεξιό άκρο στο τρέχον διάστημα ή «ρίξτε» το στο επόμενο.